二次函数的应用——求最大利润
二次函数的实际的应用之利润最大值、面积最值问题
30k b 400
k 20
, 解之得 :
，
40k b 200
b 1000
即一次函数表达式为 y 20x 1000 (30 x 50) ．
⑵ P (x 20) y ( x 20)( 20 x 1000)
20 x 2 1 4 0 x0 2 0 0 0 0
∵ a 20 0 ∴ P 有最大值．
当x
1400
35 时， Pmax 4500 （元）
[ 练习 ] ：1．某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期 少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润
最大？ 解：设涨价（或降价）为每件
x 元，利润为 y 元，
y1 为涨价时的利润， y 2 为降价时的利润 则： y1 (60 40 x)( 300 10x)
商品定价一类利润计算公式： 经常出现的数据： 商品进价；商品售价；商品销售量；涨价或降价；销售量变化；其他
成本。 总利润 =总售价 -总进价 - 其他成本 =单位商品利润 ×总销售量－其他成本 单位商品利润 =商品定价－商品进价 总售价 =商品定价 ×总销售量；总进价 =商品进价×总销售量
[ 例 1]：某电子厂商投产一种新型电子厂品， 每件制造成本为 18 元，试销过程中发现， 每月销售量 y （万
所以，销售单价定为 25 元或 43 元，
将
z =-2x
2
+136x-1800
2
配方，得 z=-2 （ x-34 ） +512 ，
因此， 当销售单价为 34 元时， 每月能获得最大利润， 最大利润是 512 万元；
二次函数最大利润公式
二次函数最大利润公式我们可以使用二次函数来模拟利润的变化情况，并通过找到该二次函数的最大值，计算出最大利润的数值。
假设一个企业的利润函数为P(x) = ax^2 + bx + c，其中x是销售量或服务数量，a、b和c是常数。
通常情况下，a的值是正数，因为销售量增加时，利润应该增加。
而b和c的值可以是正数、负数或零，具体取决于企业的经营状况和市场环境。
要找到利润函数的最大值，我们可以采用以下步骤：步骤1：计算二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标由公式(-b/2a,P(-b/2a))给出。
这个坐标表示了二次函数的最高点所在的位置和对应的利润值。
步骤2：判断顶点是一个最大值还是最小值。
要判断一个二次函数的顶点是最大值还是最小值，我们需要查看二次函数的二次项系数a的正负性。
如果a是正数，顶点将是一个最小值；如果a是负数，顶点将是一个最大值。
步骤3：计算最大利润。
通过将顶点坐标的x值代入利润函数，我们可以计算出对应的最大利润。
例如：假设一个企业的利润函数为P(x)=-2x^2+100x-1000，我们来计算最大利润。
步骤1：计算顶点坐标。
x=-b/2a=-100/(2*(-2))=25P(25)=-2(25)^2+100(25)-1000=1250-2500+1000=-1250所以，顶点坐标为(25,-1250)。
步骤2：判断顶点是一个最大值还是最小值。
由于a的值是-2，这意味着顶点是一个最大值。
步骤3：计算最大利润。
最大利润为P(25)=-1250。
因此，该企业在销售量为25时可以获得的最大利润为-1250。
在实际应用中，二次函数最大利润公式可以用于优化生产制造、定价和销售策略等方面的决策。
通过分析和计算二次函数的最大值，决策者可以制定出最优的商业策略，以使企业获得最大利润。
需要注意的是，二次函数最大利润公式只是帮助决策者做出更加理性和优化的决策的一种工具，实际结果仍然需要结合具体的市场环境、竞争对手、成本和其他因素进行综合分析和判断。
二次函数与商品利润最大问题
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课堂寄语
二次函数是一类最优化问题 的数学模型，能指导我们解决生活中 的实际问题，同学们，认真学习数学 吧，因为数学来源于生活，更能优化 我们的生活。
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作业超市
必做题：大演草 说明指导60页例题1 选做题：中考备战二次函数的应用题
.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物线 ，它的对称
轴是
x b 2a
，顶点坐标是
( b , 4ac b2 ) 2a 4a
.
当a>0时，抛物线开口向 上 ，有最 低 点，函数有
4ac b2
最 小 值，是 4a
；
当 a<0时，抛物线开口向 下
数有最 大
4ac b2
值，是 4a
，有最 高 。
即：y=-20x2+100x+6000，
当
x 100 5 2 (20) 2
时,
y 20 (5)2 100大利润是6125元.
由(1)(2)的讨论及现在的销 售情综况合,可你知知，道应应定该价如6何5元定时价，
才能能使使利利润润最最大大了。吗?
点，函
基础扫描
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二次函数特定范围内的最值
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二 如何定价利润最大
例1 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；已知商品的 进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
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二次函数的应用
---商品利润最大问题
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复习目标
1.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中 的最大利润问题.（重点） 2.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变 量的取值范围. （难点）
二次函数最大利润公式
二次函数最大利润公式二次函数最大利润公式是在市场营销领域中应用较多的一种工具。
当企业生产一种产品时，它的成本和销售量可以表示为二次函数。
其中，成本是随生产量增加而增加的，而销售量则随着产品价格的变化而改变。
企业追求的是利润最大化，因此需要找到销售最大量对应的价格，也就是二次函数的顶点。
利用二次函数最大利润公式，企业可以计算出最大利润所对应的生产量和价格，从而进行生产决策。
二次函数最大利润公式的基本形式为y=a某²+b某+c，其中a、b、c是常数，某是变量，y表示利润。
在这个公式中，a是二次项系数，它代表着产品的成本变化率；b是一次项系数，它代表着产品的售价变化率；c是常数项，它代表着固定成本。
如果我们知道a、b、c的具体值，就可以通过求导数的方法，找到二次函数顶点的位置，从而确定价格和销售量。
求解二次函数最大利润公式的方法有两种：一种是代数法，另一种是几何法。
代数法是通过求解一次函数的导数来寻找最大利润所对应的销售量和价格。
对于二次函数y=a某²+b某+c来说，它的导数为dy/d某=2a某+b。
当dy/d某=0时，就可以得到二次函数的顶点位置某0=-b/2a。
然后可以通过将某0代入二次函数y=a某²+b某+c中，求出最大利润所对应的成本、销售量和价格等信息。
几何法是通过绘制二次函数的图像来确定最大利润。
二次函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线，在顶点处具有最大值或最小值。
当我们知道二次函数的顶点坐标时，可以通过测量图像来确定最大利润所对应的销售量和价格。
如果商家需要考虑不同产品的生产成本和销售情况，还可以通过绘制多条二次函数的图像，同时比较它们的顶点位置，从而找到最佳的生产组合方式，使得利润最大化。
总之，二次函数最大利润公式是市场营销领域中一个十分有用的工具。
它可以帮助企业决策者找到最大利润所对应的销售量和价格，从而进行生产策略的调整。
不过，在实际应用中，还需要注意二次函数所对应的条件和假设是否成立，以及市场环境和竞争对手的因素等。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
二次函数的应用——利润最值问题
w … 60 x x … 40300 30 … x x 6000 x 30x 2 30 300 60-x
变式1：某商店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖出 300件，为了促销，该网店决定降价销售，市场反映：每降价 1 2 元，每星期可多卖30件，已知该童装每件成本40元，设该款童 款每件降价x元，每星期的销售量y件。 （1）求y与x之间的函数关系式。 （2）当每件降价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利 润为多少元？
降价 多售的件数 30×1 30×3 现在售价 60-1 60-3 现在销售量 300+30 300+30×3 … 300+30x 1 （2）设利润为 w 3
30×2 300+30×2 2 =（每件售价 60-2 利润 -每件进价）×销售量
30x x5 6750 y=300+30 所以，当降价5时x 20 2x 80 2 2x 30 200 因为 20 x 28 所以由二次函数的性质可知，当x≤30时，w随x的增大而增大 所以当x=28时，w取得最大值，最大值为
w 228 30 200 192
2
练习1：草莓是云南多地盛产的一种水果，今年水果销售店在草莓 销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销售时间单 价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图y与x的函数 关系图象 （1）求y与x函数解析式。 （2）设该水果销售店试销售草莓 获得利润为w元，求w的最大值。
例1：某商店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖出 300件，为了促销，该网店决定降价销售，市场反映：每降价 1元，每星期可多卖30件，已知该童装每件成本40元，设该 款童款每件降价x元，每星期的销售量y件。 （1）求y与x之间的函数关系式。 （2）当每件降价为多少元时，每星期的销售利润最大，最大 利润为多少元？ 解（1）
求最大利润问题
求最大利润问题
学习目标
1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题 的过程，体会二次函数是一类最优化问题 的数学模型，并感受数学的应用价值。 2.能够分析和表示实际问题中变量之间的 二次函数，并运用二次函数是知识求出实 际问题的最大（小）值，发展解决问题的 能力。
情境导入
将二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)改写为顶点式， 并写出它的对称轴和顶点坐标。
顶点式、对称轴和顶点坐标公式：
y a x
b
2
4ac
b2
.
2a
4a
直线x b
顶点(
b
4ac b2
,
)
2a
2a 4a
利润= 售价－进价 总利润= 每件利润×销售额
做一做
某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是6.5元. 根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段 时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降 低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价 是多少时，可以获利最多？
运用新知
还记得章一开始涉及的“种多少棵橙子树” 的问题吗？
我们还曾经利用列表的方法得到一个数据，现 在请你验证一下你的猜测(增种多少棵橙子树时,总产 量最大?)是否正确.
与同伴进行交流你是怎么做的.
议一议： 何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那 么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据 经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
二次函数最大利润求法经典.doc
二次函数最大利润求法经典.doc
二次函数最大利润求法，是利用二次函数关于极值点特征求解获得最大收益的方法。
它是数学中应用利润最大化的一种重要思想，主要用于市场经济学、计算经济学和运行管理等领域的实用工具。
二次函数的极值点将是利润函数的最大值和最小值点。
极值点可以通过求二次函数的导数等处理来求解，二次函数在极值点也可以用积分方法（求积分的上下限）求解。
具体求法：
1、代入极值点，求出对应的最大收益；
2、确定导数相等的极值点，求出最大收益；
3、求解积分的上下限，求出最大收益。
例题：某公司投资项目的利润函数为 P ( x ) =1000 x2 -J50 x 。
问：如果销售量x 的投资利润最大，x的取值是多少？
解：由利润函数P(x) = 1000x2-150x可知：
P'(x) = 2000x-150= 0
即x = 75；
设此时销售量x= 75，则利润函数P(x) = 1000(75)2-150(75) = 56250
结论：当销售量x=75时，投资利润最大，最大利润为56250元。
二次函数与实际问题-最大利润问题
2 实际问题的挑战与机
遇
实际问题的解决需要面对 各种挑战，但也提供了发 展和创新的机遇。
3 未来的发展趋势
随着技术的进步和需求的 变化，二次函数在解决实 际问题中的应用将继续发 展和演变。
可以引入其他约束、考虑风险和不确定性，提高决策的全面性和鲁棒性。
VI. 二次函数实践与练习
1 实际问题的解决方法和演示
通过实际案例和示例演示，帮助学习者理解 和应用二次函数解决实际问题。
2 练习题
提供一些练习题，加深对二次函数和实际问 题的理解。
VII. 二次函数与实际问题-总结与展望
1 二次函数的重要性
二次函数与实际问题-最 大利润问题
I. 二次函数概述
1 什么是二次函数？
二次函数是一个在方程中有二次项的函数，一般形式为y=ax^2+bx+c。
2 二次函数的一般式和标准式
一般式为y=ax^2+bx+c，标准式为y=a(x-h)^2+k。
3 二次函数图像
二次函数的图像可以是抛物线，开口向上或向下，取决于a的正负。
通过分析实际情况建立利润函数，将利润与决策因素相联系。
2
寻找最大值
通过求导或观察图像，找到利润函数的最大值，例，演示如何使用二次函数解决最大利润问题。
IV. 二次函数在其他问题中的应用
二次函数解决投影高度 问题
通过建立二次函数模型，可 以计算出物体的最大或最小 高度。
II. 最大利润问题简介
1 什么是最大利润问题？
最大利润问题是在实际情况中，通过优化决策来实现最大化利益的问题。
2 实际应用场景
二次函数的应用(1)利润问题高品质版
何时获得最大利润
问题一：某商场销售一批衬衫，平均每天 可以售出20件， 每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果 每件衬衫每降价1元，商场平均每天可以多售出2件。求每 件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 问题二：某商场将进价40元一个的某种商品按50元一个售 出时，能卖出500个.商场想采用提高售价的方法来增加利 润。已知这种商品每个涨价1元，销量减少10个，为赚得最 大利润，售价定为多少？最大利润是多少？
总利润=单利数量
单利=售价- 进价
请想一想:（1）问题解决的过程 是怎样的? （2）是否售价越高或越低，利润越小?
何时橙子总产量最大
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一 些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵 树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵 就会少结5个橙子. (1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因量？ (2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平 均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
(4)种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多？ (5)增种多少棵橙子,可以使橙子的总产量在60400个以上?
练 某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是 习 2.5元.根据市场调查,销售量与单价满足如下 1 关系:在一时间内,单价是13.5元时,销售量是
若你是商店经理,你需要多长时间定出这 个销售单价?
作业
P26练习第2 题,P34第10题
谢谢大家，再会!
结束寄语
•生活是数学的源泉.
二次函数与最大利润问题解题技巧
二次函数与最大利润问题解题技巧
1. 先了解二次函数的一般式和标准式。
2. 确定题目中涉及的自变量和因变量，并建立解题模型。
3. 求出二次函数的极值点，即最大或最小值点，这可以通过求导或配方法等方式得到。
4. 判断极值点是否为最大值点，如果是，则说明达到最大利润；如果不是，则需根据实际情况进行分析。
5. 最后通过代入数值验证答案是否正确。
举例：
某企业生产一种产品，售价为x元，该企业总成本为：
C(x)=10000+200x+0.02x²元，求该企业的最大利润及最大利润
的售价。
1. 一般式：y=ax²+bx+c；标准式：y=a(x-h)²+k。
2. 总利润P(x)=R(x)-C(x)，其中，R(x)为总收入，C(x)为总成本。
因此，P(x)=x(100-0.02x)-10000-200x-0.02x²=-(0.02x²-
80x+10000)。
3. 求P(x)的极值点：P'(x)=-0.04x+80=0，得到x=2000，表示产量在2000时利润最大。
4. 检查2000是否为最大值点，此处可以通过求P''(x)判断。
P''(x)=-0.04<0，说明x=2000时是P(x)的最大值点。
5. 最大利润为P(2000)=-(0.02×2000²-80×2000+10000)=96000元，最大利润的售价为200元。
二次函数--(利润最大值问题)-顶点在范围内
22.3（3.1）---（利润最大值问题）-顶点在范围内一．【知识要点】1.解题步骤：（1）.设：设出两变量；（2）.列：列出函数解析式；（3）.定：确定自变量的取值范围；（4）.判：判断存在最大（小）值；（5）.求：求出对称轴，并判断对称轴是否在取值范围；（6）.算：计算最值。
二．【经典例题】1．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？2.（绵阳2019年第21题本题满分11分）辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5000元．(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元？(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m最大，最大利润是多少元？3.善于不断改进学习方法的小迪发现，对解题进行回顾反思，学习效果更好．某一天小迪有20分钟时间可用于学习．假设小迪用于解题的时间x （单位：分钟）与学习收益量y 的关系如图1所示，用于回顾反思的时间x （单位：分钟）与学习收益y 的关系如图2所示（其中OA 是抛物线的一部分，A 为抛物线的顶点），且用于回顾反思的时间不超过用于解题的时间．（1）求小迪解题的学习收益量y 与用于解题的时间x 之间的函数关系式；（2）求小迪回顾反思的学习收益量y 与用于回顾反思的时间x 的函数关系式； （3）问小迪如何分配解题和回顾反思的时间，才能使这20分钟的学习收益总量最大？4.（2019年绵阳期末第23题）某镇在国家“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力种植蔬菜，增加收入.(1)该镇2016年蔬菜产量为50吨，2018年达到72吨。
九年级数学二次函数应用之最大利润问题
变式训练1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴，规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y（台）与补贴款额x（元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系，随着补贴款额x的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益z（元）会相应降低且z与x之间也大致满足如图②所示的一次函数关系。
（1）在政府未出补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？，（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y和每台家电的收益z与政府补贴款额x之间的函数关系式；（3）要使该商场销售彩电的总收益W（元）最大，政府应将每台补贴款额x定为多少？并求出总收益w的最大值。
题型三：实际问题中的方案决策例3 某小区有一长100 m ，宽80m 的空地，现将其建成花园广场，设计图案如图所示。
阴影区域为绿化区域（四块绿化区域是全等矩形），空白区域为活动区域，且四周出口一样宽，宽度不小于50 m ，不大于60 m 。
预计活动区域每平方米造价60元，绿化区域每平方米造价50元。
（1）设其中一块绿化区域的长边长为xm ，写出工程总造价y （元）与x （ m ）的函数式系式（写出x 的取值范围）； （2）如果小区投资46.9万元，问能否完成工程任务？若能，请写出x 为整数的所有工程方案；若不能，请说明理由。
（参考数据：732.13 ）一、能力培养某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件。
已知产销两种产品的有关信息如下表：产品每件售价（万元）每件成本（万元）每年其他费用（万元）每年最大产销量（件）甲 6 a20 200乙20 10 40＋0.05x280其中a为常数，且3≤a≤5。
（1）若产销甲乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由。
初三中考二次函数应用题最大利润问题
初三数学中的二次函数，是中考的必考考点，而且是必出大题的，而对于二次函数的应用，也是常考的知识点，尤其是最近几年，销售利润问题也是非常的热门，其实对于销售利润问题，如果同学们能够掌握关于销售的公式，牢牢掌握随着售价的变化，销售数量也随之变化这个关键点，这类问题也是非常简单的。
解决这类问题一般是先运用“总利润＝单件商品的利润*销售的总数量”或“总利润＝总售价-总成本”，建立利润与价格之间的二次函数解析式，然后求出这个函数解析式的顶点坐标，即求得最大利润。
初三数学二次函数应用专题，销售问题，牢记公式、抓住变化关键点例题1：某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若以每箱50元价格出售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱.(1)求平均每天销售量y(箱)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式；(2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售价x(元/箱)之间的函数解析式；(3)当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？初三数学二次函数应用专题，销售问题，牢记公式、抓住变化关键点【解析】：此题是最常见的，也是最基本的利润问题，从题目中“价格每提高1元，平均每天少销售3箱”，可知价格提高a元时，每天少销售3a箱。
因此销售价x(元/箱)时，每天销售量y=90－3(x－50)=－3x＋240。
然后根据利润公式，总利润＝单件商品的利润*销售的总数量，得W=(x－40)(－3x＋240)=－3x^2＋360x－9600=－3(x－60)^2＋1200。
所以当x＜60时，w随x的增大而增大，又由题意可知x≤55，∴当x＝55时，可获得利润最大，最大利润为w＝1125元。
例题2：某商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p(元/kg)与时间t（天）之间的函数关系式为：初三数学二次函数应用专题，销售问题，牢记公式、抓住变化关键点（1）已知y与t之间的变化规律符合一次函数关系，试求一次函数关系是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg水果就捐赠n元利润（0﹤n＜9）给“精准扶贫”对象。
二次函数的实际应用之利润最大(小)值问题
二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题知识要点：二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．即当0>a 时，函数有最小值，并且当a bx 2-=，ab ac y 442-=最小值；当0<a 时，函数有最大值，并且当a bx 2-=，ab ac y 442-=最大值．如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，如果顶点在自变量的取值范围21x x x ≤≤内，则当a bx 2-=，ab ac y 442-=最值，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围内y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=2．[例1]：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．[例2]：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？[练习]：1．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？2．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？[例3]： 某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量y (件)之间的关系如下表：若日销售量y 是销售价x 的一次函数．⑴求出日销售量y (件)与销售价x (元)的函数关系式；⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？ 3．（2006十堰市）市“健益”超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y (千克)•与销售单价x (元) (30≥x ）存在如下图所示的一次函数关系式． ⑴试求出y 与x 的函数关系式；⑵设“健益”超市销售该绿色食品每天获得利润P 元，当销售单价为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过4480元，•现该超市经理要求每天利润不得低于4180元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价x 的范围(•直接写出答案)．作业布置： 1．二次函数1212-+=x x y ，当x=_____时，y 有最____值，这个值是___． 2．某一抛物线开口向下，且与x 轴无交点，则具有这样性质的抛物线的表达式可能为______________)，此类函数都有____值(填“最大”“最小”)．3．不论自变量x 取什么实数，二次函数y =2x 2－6x +m 的函数值总是正值，你认为m 的取值范围是29>m ，4．小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是 米 ．5．在距离地面2m 高的某处把一物体以初速度V 0（m/s ）竖直向上抛出，•在不计空气阻力的情况下，其上升高度s （m ）与抛出时间t （s ）满足：S=V 0t-12gt 2（其中g 是常数，通常取10m/s 2），若V 0=10m/s ，则该物体在运动过程中最高点距离地面_____m ．6．影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶上，速度为V （km/h ）的汽车的刹车距离S （m ）可由公式S=1100V 2确定；雨天行驶时，这一公式为S=150V 2．如果车行驶的速度是60km/h ，•那么在雨天行驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_____米． 7．将进货单价为70元的某种商品按零售价100元售出时，每天能卖出20个．若这种商品的零售价在一定范围内每降价1元，其日销售量就增加了1个，为了获得最大利润，则应降价______元，最大利润为_____元．8．如图，一小孩将一只皮球从A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一部分，如果他的出手处A 距地面的距离OA 为1 m ，球路的最高点B (8，9)，则这个二次函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到0.1 m) ．9．（2006年青岛市）在2006年青岛崂山北宅樱桃节前夕，•某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对（1判断y 与x 之间的函数关系，并求出y 与x 之间的函数关系式；（2）若樱桃进价为13元/千克，试求销售利润P （元）与销售价x （元/千克）之间的函数关系式，并求出当x 取何值时，P 的值最大？10．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x天后每千克活蟹的市场价为p元，写出p关于x的函数关系式；(2)如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg蟹的销售总额为Q元，写出Q关于x的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q－收购总额)？11．(2008湖北恩施)为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?12．(2008河北)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？。
二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题
二次函数的实际应用——利润最大(小)值问题 12-27二次函数的一般式c bx ax y ++=2(0≠a )化成顶点式ab ac a b x a y 44)2(22-++=，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．如果x 的取值范围不包含-ab 2点，怎么确定最大（小）值呢？ 1、 2、 3、 4、利润问题的实质是二次函数性质的应用 经常出现的数据：商品进价；商品售价；销售量等。
◆单价商品利润=商品定价－商品售价 ◆ 总利润（W ）=单价商品利润×总销售量－成本练习1：求下列二次函数的最值：（1）求函数322-+=x x y 的最值．练习2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？练习3．某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？练习4．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？1、知函数12-+=bx x y 的图象经过点（3，2）.（1）求这个函数的解析式；（2）当0>x 时，求使y ≥2的x 的取值范围.2、某工厂计划为震区生产A ，B 两种型号的学生桌椅500套，以解决1250名学生的学习问题，一套A 型桌椅（一桌两椅）需木料0.5m3，一套B 型桌椅（一桌三椅）需木料0.7m3，工厂现有库存木料302m3．（1）有多少种生产方案？（2）现要把生产的全部桌椅运往震区，已知每套A 型桌椅的生产成本为100元，运费2元；每套B 型桌椅的生产成本为120元，运费4元，求总费用y （元）与生产A 型桌椅x （套）之间的关系式，并确定总费用最少的方案和最少的总费用；（总费用=生产成本+运费）（3）按（2）的方案计算，有没有剩余木料？如果有，请直接写出用剩余木料再生产以上两种型号的桌椅，最多还可以为多少名学生提供桌椅；如果没有，请说明理由3某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的关系（即前t 个月的利润总和s 与t 之间的关系）.（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s （万元）与销售时间t （月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？4、据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案
北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用——何时利润最大》教案一. 教材分析《二次函数的应用——何时利润最大》这一节内容，主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，学会利用二次函数解决实际问题。
通过本节课的学习，学生能够掌握二次函数在利润最大化问题中的应用，提高他们运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，求解利润最大值，可能对学生来说较为复杂。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，利用已学的二次函数知识进行求解。
三. 教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，体会数学与生活的紧密联系。
2.培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用，求解利润最大值。
2.难点：将实际问题转化为数学问题，利用二次函数求解利润最大值。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生感受二次函数在实际问题中的应用。
2.启发式教学法：引导学生主动思考，分析问题，解决问题。
3.小组合作学习：让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的应用。
2.练习题：准备一些相关的练习题，让学生在课堂上进行操练。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如一家企业的利润与销售量之间的关系，引出二次函数在实际问题中的应用。
让学生感受数学与生活的紧密联系。
2.呈现（10分钟）呈现一个具体的利润最大化问题，如一家企业的利润与生产成本、销售价格之间的关系。
引导学生将实际问题转化为数学问题，列出二次函数的表达式。
3.操练（10分钟）让学生在小组内讨论、交流，共同解决问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些类似的练习题，巩固所学知识。
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恳请各位老师批评指正，谢谢
所以当销售单价是9.25元时，获利最多，达到9112.5元。
学以致用，再解问题
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结 600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高 产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和 每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验 估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5 个橙子.
如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个, 那么请你写出y与x之间的关系式。 增种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产 量最大？ 利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关 系. 增种多少棵橙子树时,可以使橙子的总产量在60400个以上?
表
格
单价（元）
正常销售
13.5
分
销售量（件）
500
析
单件利润（元） 13.5-2.5
降价销售
x 500 20013.5 x
x 2.5
总利润（元） (13.5 2.5)×500 x 2.5500 20013.5 x
解：设销售单价为 x（0﹤x≤13.5）元，则所获利润
∴增种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大值是60500个. （3）利用函数表达式描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.
当x<10时，橙子的总产量随增种棵数的增加而增大； 当x>10时，橙子的总产量随增种棵数的增加而减少.
（4）增种多少棵橙子树时,可以使橙子的总产量在60400个以上?
二次函数的应用
——求最大利润 教师：刘晓红 单位：霸州市第五中学
复习
顶点式： 图像：
y=a(x-h)2+k
抛物线 (a≠0)
对称轴： 直线x=h
顶点坐标： (h，k)
复习
一般式： y=ax2+bx+c
图像： 抛物线
对称轴： 直线x b
2a
顶点坐标：
b 2a
,
4ac 4a
b2
反思提升，课堂点睛
“二次函数应用” 的思路
回顾本课“最大利润”和 “最高产量”解决问题的过 程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？
1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系; 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.做数学求解; 5.检验结果的合理性。
独立探究，拓展提高
(a≠0)
当a>0时，抛物线开口向 上 ， 有最 低 点，y有最 小 值，
4ac b2
是 4a ；
当a<0时，抛物线开口向 下 ， 有最 高 点，y有最 大 值，
4ac b2
是 4a 。
函数 对称轴 顶点坐标 最值
y=2(x-3)2+5 直线x=何时获得利润问题中的 单件利润=售价 - 进价最大利润数？量关系
总利润=单件利润×销售量
温故知新，合作探究
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据市 场调查，销售量与单价满足如下关系：在一段时间内，单 价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可 以多售出200件。请你帮助分析，销售单价是多少时，可以 获利最多?
y=-3(x+4)2-1 直线x=-4
(-4 ，-1)
当x=-4时，y有 最大值，是 -1。
y=2x2-8x+9 直线x=2
(2 ，1)
当x= 2 时，y有 最小值，是 1 。
创设情境，提出问 题
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。根据 市场调查，销售量与单价满足如下关系：在一段时间内， 单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就 可以多售出200件。请你帮助分析，销售单价是多少时，可 以获利最多?
y x 2.5500 200 13.5 x
即：y 200 x2 3700 x 8000
当x 3700 9.25时， 2 (200 )
你还有其它 方法吗？
4 （ 200） (8000） 3700 2
y
9112 .5
4 (200 )
我来解答
（1）如果设果园增种x棵橙子树,总产量为y个,那么请你写出y与x之间的 关系式。
y=(600-5x)(100+x ) 即：y 5x2 100 x 60000
（2）增种多少棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大？
y 5x2 100 x 60000 5x 102 60500 .
当y 60400时
5x 102 60500 60400.
x 10 2 20.
x 10 2 5
x1 10 2 5, x2 10 2 5
∴增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵时, 可以使橙子的总产量在60400个以上.