湖南省2013年对口升学考试数学试题[1]

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2013湖南高考数学(理)详解(精校word)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()1z i i =+ （i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于【 B 】A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是【 D 】A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于【 D 】A ．12π B ．6π C ．4πD ．3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是【 C 】A ．52-B ．0C ．53D ．525.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为【 B 】A ．3B ．2C ．1D ．06. 已知,a b 是单位向量，0⋅=a b .若向量c 满足1--=c a b ，则c 的取值范围是【 A 】A．⎤⎦ B．⎤⎦C．1⎡⎤⎣⎦D．1⎡⎤⎣⎦7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于【 C 】A ．1BCD8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等于【 D 】A ．2B ．1C ．83D ．43图1二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分） 9.在平面直角坐标系xOy 中，若,:x t l y t a =⎧⎨=-⎩（t 为参数）过椭圆3cos ,:2sin x C y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）的右顶点，则常数a 的值为3.10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为12. 11.如图2O 中,弦,AB CD 相交于点,P 2,PA PB ==1PD =，则圆心O 到弦CD的距离为.（二）必做题（12-16题） 12.若209Tx dx =⎰，则常数T 的值为3.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b == 则输出的a 的值为9.14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C的离心率为.15．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n n S a n N *=--∈则（1）3a =116-；（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=10011(1)32-. 16．设函数(),0,0.xxxf x a b c c a c b =+->>>>其中（1）记集合{(,,),,M a b c a b c =不能构成一个三角形的三条边长，且}=a b ，则(,,)a b c M ∈所对应的()f x 的零点的取值集合为{}01x x <≤.（2）若,,a b c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论正确的是①②③.（写出所有正确结论的序号）①()(),1,0;x f x ∀∈-∞>②,x R ∃∈使,,xxxxa b c 不能构成一个三角形的三条边长， ③若ABC ∆为钝角三角形，则()1,2x ∃∈使()0f x =.ADBPC图2O三、解答题：本大题共6小题，共75分。

(完整版)湖南省2012-2018年对口升学考试数学试题

湖南省2012年普通高等学校对口招生考试数学试题时量120分钟总分：120分、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. ...................................................................................................................... 设集合 A=(x | x >1},B={ x |0< x <1}, WJ AU B 等丁 ............................... () A.( x | x >0} B.{ x | x 丰 1} C.{ x | x >0 或x 丰 1}D.{ x | x >0且 x 丰 1}2. “ x 3 ” 是” x 2 9 ” 的 ............................................. ()A.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件3. .................................................................................................................... 不等式|2 x -3|>1的解集为 ..................................................... () A.(1,2)B.(- 8,1)U (2,+ 8)C.(- 8,1)D.(2,+ 8)4. ................................................................................ 已知 tan a =-2,贝U ^^~~22a)=cos aA. 4B. 2C. -2 抛掷一枚骰子，朝上的一面的点数大丁 3的概率为A. 1B. 1C.-6326. 若直线x y k 0过加圆x 2 y 2 2x 4y 7 0的圆心，则实数k 的值为........................................................................................................... () A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 7. 已知函数f(x) =sinx, ............................................... 若e m =2,则f(m)的值为 () A. sin2B. sineC. sin(ln2)D. ln(sin2)8. 设a ,b,c 为三条直线，a , 6为两个平■面，则下列结论中正确的是• • •（） A.若 a ± b, b ± c ,则 a II c B.若 a ?也,b?6, a II b, WJ a // p C.若 a // b, b? a ，则 a //a D.若 aLa, b // a,则 b ± a9. 将5个培训指标全部分配给三所学校，每所学校至少有一个指标，则不同的分配方、填空题（本大题共5个小题,每小题4分,共20分.将答案填在答题卡中对应题号后机密★启用前B.必要不充分条件C.充分必要条件D. -45. 案有（） A. 5种2210.双曲线L J916B. 6种C. 10 种 1的一个焦点到其渐近线的距离为A, 16 B. 9 C. 4D. 12 种 .............. ()D. 3的横线上）11. 已知向量a =(1,-1), b=(2,y).若a // b ,则y= .12. 某校高一年级有男生480人，女生360人，若用分层抽样的方法从中抽取一个容量为21的样本，则抽取的男生人数应为.13. 已知球的体积为七，则其表面积为^314. (x+ M)9的二项式展开式中的常数项为.( 用数字作答)x15. 函数f(x)=4 x-2x+1的值域为.三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题,共60分.解答应写出文字说明或演算步骤))16. (本小题满分8分)已知函数f(x)=lg(1 - x2).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由.17. (本小题满分10分)uuu uuu已知a, b是不共线的两个向量.设AB =2a+b , BC =- a-2b .uuur uuu uuu(1)用a, b 表示AC ；(2)若|a|=|b|=1,< a , b >=60o,求AB BC .18. (本小题满分10分)设( a n｝是首项a〔=2,公差不为0的等差数歹U ,且a〔, a3, a、成等比数歹U ,(1) 求数列｛a n｝的通项公式；(2) 若数列｛b n｝为等比数列，且bi =a〔, a2 = b3,求数列｛b n｝的前n项和S n.19. (本小题满分10分)某射手每次射击命中目标的概率为2,且各次射击的结果互不影响.假设3该射手射击3次，每次命中目标得2分,未命中目标得-1分.记X为该射手射击3 次的总得分数.求(1) X的分布列；(2) 该射手射击3次的总得分数大丁0的概率.20. (本小题满分10分)x2 V2 6 4 , 一，已知点A 2,0是椭圆C:-y & 1(a b 0)的一个顶点，点B(—,—)在C上. a2 b2 5 5(1) 求C的方程；(2) 设直线l与AB平行，且l与C相交丁P,Q两点.若AP垂直AQ,求直线l的方程.四、选做题(注意：第21题(工科类),22题(财经，商贸与服务类)为选做题，请考生选择其中一题作答.)21. (本小题满分12分)已知函数 f (x) sin x , 3 cos x⑴ 将函数V f ( x)(0 3)图象上所有点向右平■移；个单位长度，得到函数g(x)的图象，若g(x)的图象经过坐标原点，求①的值.⑵ 在/\ ABCfr,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若 f (A) V3 , a =2, b+c=3,求/\ ABC的面积.湖南省2013年普通高等学校对口招生考试数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1.已知集合A= {3,4,5 } , B= {4,5,6 }，贝U A B 等丁A. (3,4,5,6} B{4,5} C. {3,6} D .2.凶数y=x2在其定义域内是A.增函数 B .减函数C.奇函数D.偶函数3. “x=2” 是“（x-1 ）A.充分不必要条件(x-2 ) =0” 的B.必要/、充分条件C.充分必要条件D.既小充分乂不必要条件4.已知点A (m^ -1 )关丁y轴的对称点为1B (3, n),则m n的值分别为A. m=3 n=-1B.m=3 n=1C.m=-3, n=-1D.m=-3, n=15.圆(x+2) 2+ (y-1 )2=9的圆心到直线3x+4y-5=0的距离为A. -B.3C.3D.15__ 4 一6.已知sin = —，且5是第二象限的角，则tan 的值为5 A 34 八43A. —B C D. —43347.不等式x2-2x-3>0的解集为A. (-3 , 1)B.(-,-3) U (1, +)C. (-1 , 3)D.(-，-1) U (3, +)8.在100件产品中有3件次品，其余的为正品。

2012-2013年度普通高校对口单招高三第二次模拟考试试卷及答案(数学)

三、解答题（本大题共 7 小题，共 78 分）得分评卷人得评人 19.（本小题满分 6 分）求函数 f ( x)
log 1 x 3 的定义域。
2
3
得分
评卷人
得评人
20. （本小题满分 10 分）已知：A、B、C 是 ABC 的内角，
a, b, c 分别是其对边长，向量 m ( 3 , cos A 1) ，
2
第Ⅱ卷（非选择题部分，共 102 分）
注意事项： 1.答Ⅱ第卷前，考生务必将密封线内的各项目及第 5 页右下角的座位号填写清楚。 2.第Ⅱ卷共 6 页，考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上。 3.考试结束，考生将第Ⅱ卷、第Ⅰ卷和答题卡一并交回。得分评卷人得评人二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
C．若 m , n // , // , 则m n
D．若 m // , n // , m
9. 已知双曲线为（ A. 2 ）
x2 y 2 1(a 0, b 0) 的一条渐近线经过点 (1, 2) ，则该双曲线的离心率的值 a 2 b2
B.
2
5
C.
5 2
2012-2013 年度普通高校对口单招高三第二次模拟考试
数学试卷
说明：本试卷分第 Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷 2 页，第Ⅱ 卷 4 页。数学两卷满分为 150 分，考试时间 120 分钟。Ⅰ卷答案涂在答题卡上，Ⅱ 卷答案写在试卷上。
第Ⅰ卷（选择题，共 48 分）
注意事项：每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选择其答案标号，如果答案不涂写在答题卡上，成绩无效。一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1.已知全集 U {0,1,2,3}, 集合 A {0,1}, B {1,2,3}, 则 (C U A) B ( A. )

【精校】2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理数-含答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中，角所对的边长分别为.若A ．B ．C ．D ． 4.若变量满足约束条件，A ．B ．C ．D ．5.函数的图像与函数的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．06. 已知是单位向量，.若向量满足A ．B ．C ．D ． 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A ． BC ．D ．()()1z ii i =+g 为虚数单位ABC ∆,A B ,a b 2sin ,a B A =则角等于12π6π4π3π,x y 211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2x y +则的最大值是5-205352()2ln f x x =()245g x x x =-+,a b 0a b •=c 1,c a b c --=则的取值范围是⎤⎦⎤⎦1⎡⎤⎣⎦1⎡⎤⎣⎦1228.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若直线右顶点，则常数 .10.已知 .11.如图2，在半径为的中,弦.（一）必做题（12-16题） 12.若 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入.14．设是双曲线的两个焦点，P 是C 上一点，若且的最小内角为，则C 的离心率为___。

2013年湖南省数学试卷及答案

（第3题图）俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N = ，则x 的值为（） A ．3 B ．2C ．1D ．02．设1,(1)()2,(1)x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．-13．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（）. A.圆柱 B. 三棱柱 C.球 D.四棱柱4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（）A ．8B ．2C ．-2D ．-86．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生进行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为（） A ．15,5,25B ．15,15,15C ．10,5,30D ．15,10,207．某袋中有9个大小相同的球，其中有5个红球，4个白球，现从中任意取出1个，则取出的球恰好是白球的概率为（）A ．15B ．14C ．49D ．598．已知点(,)x y 在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则z x y =+的最大值是（）A ．1B ．2C ．3D ．59．已知两点(4,0),(0,2)P Q ，则以线段PQ 为直径的圆的方程是（） A ．22(2)(1)5x y +++= B ．22(2)(1)10x y -+-=C ．22(2)(1)5x y -+-=D ．22(2)(1)10x y +++=10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C 的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（）A ．3kmB ．2kmC ．1.5kmD ．2kmyxo(3,2)(1,2)(1,0)（第8题图）1km120°CBA开始输入x0?x >21y x =-输出y y x=结束是否（第14题图）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log 4+= .．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x = ．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a = ，且4a b = ，则b =.三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,)22παα=∈（1）求tan α的值；（2）求sin()6πα+的值.某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a 的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a 的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F 分别是,AC AD 的中点. （1）求证：EF ∥平面BCD ；（2）求三棱锥A BCD -的体积.频率组距早餐日平均费用（元）a 0.100.0512*******（第17题图）FEDCBA（第18题图）已知数列{}n a 满足：313a =-，14n n a a -=+(1,)n n N >∈. （1）求12,a a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值. 20．（本小题满分10分）已知函数()22x x f x λ-=+⋅()R λ∈ （1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x 为偶函数，求实数λ的值; （3）若不等式12≤()f x ≤4在[0,1]x ∈上恒成立，求实数λ的取值范围.2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 ABCABDCDCA二、填空题11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=； 14、2 ； 15、 4三、解答题：16、（1）(0,),cos 02παα∈∴> ，从而23cos 1sin 2αα=-=（2）231sin 2cos 22sin cos 12sin 2ααααα++=+-= 17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人）（2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14.19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}n a ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n n n a -∴=⋅= (2)22log log 2n n n b a n === ，(1)1232n n n S n +∴=++++= 20、（1）22:(1)(2)5C x y k ++-=- ，(1,2)C ∴- （2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩ 设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y y y y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒<112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++= 1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+= 即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足。

2013年湖南卷文科数学高考试卷(原卷答案)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（原创）已知集合{}2|20A x x x =−−<，集合{}|0B x x =≥，则AB =（）A ．()1,2−B ．[)0,2C ．()0,2D ．[]1,2− 2．（原创）复数i i−12的虚部为（） A ．iB ．i −C ．1D ．1−3．（原创）已知命题p ：函数()f x 在0x x =处有极值，命题q ：可导函数()f x 在0x x =处导数为0，则p 是q 的（）条件。

A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是5.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg6. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c −>−，其中所有的正确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③8 . 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A．2B.2C.2D.49. 设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π）且x ≠2π时，()()02x f x π'−>，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 10.在极坐标系中，曲线1C：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______. 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. (二)必做题（12~16题）12.不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=−+−++−⎣⎦，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14.如果执行如图3所示的程序框图，输入 4.5x =,则输出的数i = .15.如图4，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = . 16.对于N n *∈，将n 表示为1101102222kk k k n a a a a −−=⨯+⨯++⨯+⨯,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤−时i a 为0或1，定义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n =1；否则b n =0. （1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，（Ⅰ）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率）18.（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=−−+的单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. （Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标.22.（本小题满分13分）已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1,x 2）,使0()f x k '=恒成立.2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学(参考答案)二、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 4.【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5. 【答案】D【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+−=−，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 6.【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为by x a=±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b a ∴=，即2a b =.又222c a b =+，25,5a b ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 7 . 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a ＞cb，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c −>−>−>，由对数函数的图像与性质知③正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8 .【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+−⋅⋅，即27422cos60c c =+−⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c −−=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9. 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π）且x ≠2π时，()()02x f x π'−>，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做，则按前一题记分） 10.【答案】2【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.11.xyo2π2π−11−sin y x=()y f x =【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力. (二)必做题（12~16题） 12.【答案】{}23x x ≤≤【解析】由x 2-5x+6≤0，得(3)(2)0x x −−≤，从而的不等式x 2-5x+6≤0的解集为{}23x x ≤≤. 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力. 13【答案】6.8 【解析】1(89101315)115x =++++=， 2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=−+−+−+−+−⎣⎦ 6.8=. 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力. 14.【答案】4【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养. 15.【答案】18 【解析】设ACBD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 16.【答案】（1）3；（2）2. 【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===；一次类推1331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟).（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======. 123123,,,A A A A A A A =且是互斥事件， 123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++33172010410=++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 18.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=−=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+−++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=−+12sin 22(sin 2cos 2)22x x x =−+sin 22x x =2sin(2),3x π=− 由222,232k x k πππππ−≤−≤+得5,.1212k x k k z ππππ−≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=−=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ，从而求出f （x ）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得. 19.【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ，而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，,2OD AD ==所以2 4.PD OD PA ====故四棱锥P ABCD −的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 20.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+−=−，2113(150%)2a a d a d =+−=−，13(150%)2n n n a a d a d +=+−=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132n n a a d −=−2233()22n a d d −=−− 233()22n a d d −=−−=12213333()1()()2222n n a d −−⎡⎤=−++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d −−⎡⎤=−−−⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d −=−+. 由题意，134000,()(30003)24000,2n n a d d −=∴−+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤−⨯⎢⎥−⎣⎦==−−. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+−−时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为４０００元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 的关系式132n n a a d +=−，第二问，只要把第一问中的132n n a a d +=−迭代，即可以解决. 21.【解析】（Ⅰ）由22420x y x +−+=，得22(2)2x y −+=.故圆Ｃ的圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22221(0),x y a b a b+=>>其焦距为2c ，由题设知22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===−=故椭圆Ｅ的方程为： 221.1612x y += （Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x −=−−=−且121.2k k =由1l 与圆22:(2)2c x y −+=相切，得=即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦同理可得 222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦.从而12,k k 是方程0220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦的两个实根，于是 202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧−−≠⎪⎨⎡⎤∆=−+−>⎪⎣⎦⎩① 且2012222 2.(2)2y k k x −==−− 由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪−−⎩得20058360.x x −−=解得02,x =或010.5x = 由02x =−得03;y =±由0185x =得0,5y =±它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 (2,3)−，或(2,3)−−，或18(55，或18(,55−.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为12，得出关于点P 坐标的一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标.22.【解析】解：(),x f x e a '=−令()0ln f x x a '==得.当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =−于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当ln 1a a a −≥. ①令()ln ,g t t t t =−则()ln .g t t '=−当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()().x x f x f x e e k a x x x x −−==−−− 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ−'=−=−−则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ−⎡⎤=−−−−⎣⎦− 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ−⎡⎤=−−−⎣⎦− 令()1t F t e t =−−，则()1t F t e '=−.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t −−>从而2121()10x x e x x −−−−>，1212()10,x x e x x −−−−>又1210,x e x x >−2210,x e x x >− 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =−对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.。

13年高考真题理科数学湖南卷

19．（本小题满分 12 分）在直棱柱
ABCD A1B1C1D1 中（如图 5），
AD // BC ， BAD 900 ， AC BD ， BC 1，
AD AA1 3 。⑴证明: AC B1D ；⑵求直线 B1C1 与平
面 ACD1 所成角的正弦值。
图5
20．（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将
2013 年高考真题理科数学（解析版）卷
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南）卷
数学（理科）
一．选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给也的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的）
1．复数 z i 1 i（ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）
则输出的 a 的值为__________。
14．设 F1, F2 是双曲线 C :
个焦点， P 是 C 上一点，若| PF1 | | PF2 | 6a ，且
PF1F2 的最小内角为 300 ，则 C 的离心率为__________。
15．设 Sn 为数列an
的前 n
⑴ a3 _______；⑵ S1 S2 S100 ___________。
（C）第三象限
（C）系统抽样法
x

2
（D）0

6．已知 a, b 是单位向量， a b 0 。若 c 满足| c a b | 1 ，则| c | 的取值范围是（
）（A） 2 1, 2+1 （B） 2 1, 2+2 （C） 1, 2+1 （D） 1, 2+2
全做，则按前两题计分）
椭圆
9．在平面直角坐标系

2013年湖南高考理科数学试题及答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A B．0 C D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）B ．C．D．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）C ．D ．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为_________．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为_________．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为_________．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为_________．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_________．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为_________．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=_________；（2）S1+S2+…+S100=_________．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为_________．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法【答案】 D【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版

数学文史类一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z ＝i²(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2． “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n ＝( )．A ．9B ．10C ．12D ．134．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )．A ．4B ．3C ．2D ．1 5．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B，则角A 等于( )．A ．π3B ．π4C ．π6D ．π126．函数f (x )＝ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋4的图象的交点个数为( )．A ．0B ．1C ．2D ．37．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1方体的正视图的面积等于( )．A．2 B ．1 C．12 D8．已知a ，b 是单位向量，a²b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )．A1 B1 D29．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB＝( )．A ．12B ．14 C．2 D．4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(UA )∩B ＝__________.11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：21x s y s =+⎧⎨=⎩(s 为参数)和直线l 2：,21x at y t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)平行，则常数a 的值为__________．12．执行如图所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．13．若变量x ，y 满足约束条件28,04,03,x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩则x ＋y 的最大值为__________．14．设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点．若在C 上存在一点P ，使PF 1⊥PF 2，且∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为__________．15．对于E ＝{a 1，a 2，…，a 100}的子集X ＝{1i a ，2i a ，…，k i a }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，…，x 100，其中xi 1＝xi 2＝…＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0，…，0. (1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于__________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为__________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16． (本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x ²πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.(1)求2π3f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求使f (x )＜14成立的x 的取值集合．17． (本小题满分12分)如图，在直棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC AA 1＝3，D 是BC 的中点，点E 在棱BB 1上运动． (1)证明：AD ⊥C1E ；(2)当异面直线AC ，C 1E 所成的角为60°时，求三棱锥C 1－A 1B 1E 的体积．18． (本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X1米． (1)(2)48 kg 的概率．19． (本小题满分13分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0,2a n －a 1＝S 1²S n ，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和．20．(本小题满分13分)已知F 1，F 2分别是椭圆E ：25x ＋y 2＝1的左、右焦点，F 1，F 2关于直线x ＋y －2＝0的对称点是圆C 的一条直径的两个端点． (1)求圆C 的方程；(2)设过点F 2的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ，当ab 最大时，求直线l 的方程． 21． (本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x -+e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0.数学(文史卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：B解析：z ＝i²(1＋i)＝i －1＝－1＋i ，故选B ． 2．答案：A解析：∵“1＜x ＜2”能推出“x ＜2”成立，但“x ＜2”不能推出“1＜x ＜2”成立，故选A ． 3．答案：D 解析：抽样比为316020=，所以甲抽取6件，乙抽取4件，丙抽取3件，∴n ＝13，故选D ． 4．答案：B解析：∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数， ∴f (－1)＋g (1)＝2，即－f (1)＋g (1)＝2.① f (1)＋g (－1)＝4，即f (1)＋g (1)＝4.② 由①＋②得g (1)＝3，故选B ． 5．答案：A解析：∵2a sin B ，∴2sin A sin B B ．∵sin B ≠0，∴sin A∵A ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭， ∴A ＝π3.故选A ．6．答案：C解析：利用图象知，有两个交点．故选C ．7．答案：D解析：如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的俯视图为ABCD ，侧视图为BB 1D 1D正方体的正视图应为AA1C 1C ．又因AC8．答案：C解析：可利用特殊值法求解．可令a ＝(1,0)，b ＝(0,1)，c ＝(x ，y )．由|c －a －b |＝1，1=，∴(x －1)2＋(y －1)2＝1.|c |即为，可看成M 上的点到原点的距离，∴|c |max ＝|OM |＋1＝1.故选C ．答案：D解析：如图，设AB ＝2x ，AD ＝2y .由于AB 为最大边的概率是12，则P 在EF 上运动满足条件，且DE ＝CF ＝12x ，即AB ＝EB 或AB ＝FA ．∴2x =4x 2＝4y 2＋94x 2，即74x 2＝4y 2，∴22716y x =.∴4y x =.又∵224AD y y AB x x ===，故选D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 10．答案：{6,8} 11．答案：4解析：l 1的普通方程为：x ＝2y ＋1，l 2的普通方程为：x ＝a ²12y +，即22a ax y =+，∴a ＝4. 12．答案：9解析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3；a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5；a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，终止循环．输出a ＝9. 13．答案：6解析：画出可行域，令z ＝x ＋y ，易知z 在A (4,2)处取得最大值6.14．1解析：如图所示，∵PF 1⊥PF 2，∠PF 1F 2＝30°，可得|PF 2|＝c . 由双曲线定义知， |PF 1|＝2a ＋c ，由|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2得 4c 2＝(2a ＋c )2＋c 2，即2c 2－4ac －4a 2＝0，即e 2－2e －2＝0，∴e =1e =. 15．答案：(1)2 (2)17解析：(1){a 1，a 3，a 5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，∴前3项和为2. (2)根据题意知，P 的特征数列为1,0,1,0,1，0，…，则P ＝{a 1，a 3，a 5，…，a 99}有50个元素，Q 的特征数列为1,0,0,1,0,0,1，…，则Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}有34个元素， ∴P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，…，a 97}，共有1＋9716-＝17个．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解：(1)2π2ππcos cos 333f ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭＝ππcos cos 33-⋅＝21124⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.(2)f (x )＝cos x ²πcos 3x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝cos x ²1cos 22x x ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭＝12cos 2x ＋2sin x cos x＝14(1＋cos 2x )＋4sin 2x ＝1π1cos 2234x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. f (x )＜14等价于1π11cos 22344x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，即πcos 2<03x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.于是2k π＋π2＜2x －π3＜2k π＋3π2，k ∈Z .解得k π＋5π12＜x ＜k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )＜14成立的x 的取值集合为5π11π|ππ,1212x k x k k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z .17．(1)证明：因为AB ＝AC ，D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ．①又在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BB 1⊥平面ABC ，而AD ⊂平面ABC ，所以AD ⊥BB 1.② 由①，②得AD ⊥平面BB 1C 1C ．由点E 在棱BB 1上运动，得C 1E ⊂平面BB 1C 1C ，所以AD ⊥C 1E .(2)解：因为AC ∥A 1C 1，所以∠A 1C 1E 是异面直线AC ，C 1E 所成的角，由题设，∠A 1C 1E ＝60°，因为∠B 1A 1C 1＝∠BAC ＝90°，所以A 1C 1⊥A 1B 1，又AA 1⊥A 1C 1，从而 A 1C 1⊥平面A 1ABB 1，于是A 1C 1⊥A 1E .故C 1E ＝11cos 60AC =︒，又B 1C 1＝2，所以B 1E ＝2，从而111C A B E V -三棱锥＝1113A B E S ∆³A 1C 1＝1122323⨯⨯=. 18．解：(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株．列表如下：所种作物的平均年收获量为51248445642315⨯+⨯+⨯+⨯＝10219227012615+++＝69015＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝215，P(Y＝48)＝415.故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48 kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝242 15155+=.19．解：(1)令n＝1，得2a1－a1＝a12，即a1＝a12.因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2.解得a2＝2.当n≥2时，由2a n－1＝S n,2a n－1－1＝S n－1两式相减得2a n－2a n－1＝a n.即a n＝2a n－1.于是数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列．因此，a n＝2n－1.所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1.(2)由(1)知，na n＝n²2n－1.记数列{n²2n－1}的前n项和为B n，于是B n＝1＋2³2＋3³22＋…＋n³2n－1，①2B n＝1³2＋2³22＋3³23＋…＋n³2n.②①－②得－B n＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n²2n＝2n－1－n²2n.从而B n＝1＋(n－1)²2n.20．解：(1)由题设知，F1，F2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，圆C的半径为2，圆心为原点O关于直线x＋y －2＝0的对称点．设圆心的坐标为(x0，y0)，由001,20 22yxx y⎧=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩解得02,2.xy=⎧⎨=⎩所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)由题意，可设直线l的方程为x＝my＋2，则圆心到直线l的距离d=所以b==由222,15x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得(m 2＋5)y 2＋4my －1＝0. 设l 与E 的两个交点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝245m m -+，y 1y 2＝215m -+.于是a =从而ab=＝4==，即m=故当m ＝±3时，ab 最大，此时，直线l 的方程为x ＋2或x ＝＋2，即x －2＝0，或x －2＝0.21．(2013湖南，文21)(本小题满分13分)已知函数f (x )＝211x x -+e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2＜0. (1)解：函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝211x x -⎛⎫'⎪+⎝⎭e x ＋211x x -+e x＝2222211e 11xx x x x x ⎡⎤---+⎢⎥(+)+⎣⎦ ＝222[12]e 1xx x x -(-)+(+). 当x ＜0时，f ′(x )＞0；当x ＞0时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明：当x ＜1时，由于211x x-+＞0，e x＞0，故f (x )＞0；同理，当x ＞1时，f (x )＜0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1＜x 2，由(1)知x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )，即证2211e e 11x xx x x x--+<++. 此不等式等价于(1－x )e x－1e xx+＜0. 令g (x )＝(1－x )e x－1ex x +，则g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．当x ∈(0,1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，从而g (x )＜g (0)＝0.即(1－x )e x－1e xx+＜0. 所以∀x ∈(0,1)，f (x )＜f (－x )．而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)＜f (－x 2)，从而f (x 1)＜f (－x 2)．由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1＜－x 2，即 x 1＋x 2＜0.。

湖南省2013年普通高等学校对口招生考试

湖南省2013年普通高等学校对口招生考试师范类专业综合知识试题本试题卷共6大题，共6页。

时量150分钟，满分390分、一、单选题(在本题的每一小题的备选答案中，只有一个答案是正确的，本大题共20小题，每小题3分，共60分)1．人体的“第二心脏”是指( )A、骨骼肌B、关节C、骨骼D、血液2．通常被称为优质蛋白质的是( )A、牛奶和水果中的蛋白质B、蔬菜和水果中的蛋白质C、动物性蛋白质和大豆蛋白质D、谷类和蛋类蛋白质3．幼儿肌肉的发育特点是( )A、肌肉柔嫩，收缩力较强，力量小，易疲劳B、肌肉柔嫩，收缩力较差，力量小，易疲劳C、肌肉柔嫩，收缩力较差，力量小，不易疲劳D、肌肉柔嫩，收缩力较强，力量小，不易疲劳4．幼儿活动室电源插座的安全高度不应低于( )A、1.10米B、1.30米C、1.50米D、1.70米5．心理的内容与源泉是( )A、心脏B、客观现实C、大自然D、大脑6．“三岁看大、七岁看老”这句俗语说明了心理发展的( )A、变化性B、稳定性C、阶段性D、唯一性7．“看见”、“听到”、“想象”、“思考”反映的是( )A、心理过程B、心理状态C、个性特征D、能力倾向8．幼儿初期判断和推理常常不能正确把握的是( )A、游戏逻辑B、生活逻辑C、直观逻辑D、客观逻辑9．下列不属于幼儿期性格典型特点的是( )A、活泼好动B、喜欢交往C、好奇好问D、不善模仿lO、下列选项中，最容易使儿童形成“清高孤傲，自命不凡”特点的亲子关系是A、民主型B、专制型C、溺爱型D、放任型11．目前，很多幼儿园将课程内容分为语言、科学、社会、健康、艺术等领域，这种幼儿园课程内容的编制方式属于( )A、分科课程C、核心课程B、活动课程D、单元课程12．我国《幼儿园工作规程》正式颁布于( )A、1990年B、1985年C、1996年D．1997年13．教师从幼儿的兴趣和实际水平出发，根据幼儿园教育目标，有目的、有计划地组织和指导幼儿主动学习，以获取有利于其身心发展的经验的教育活动是A、幼儿园教学B、幼儿园目标C、幼儿园课程D、幼儿园教学手段14．幼儿园环境创设应与幼儿身心发展的特点和发展需要相适宜，这体现了A、经济性原则B、适宜性原则C、幼儿参与的原则D、开放性原则15．1907年，在罗马贫民区创设“儿童之家”，招收3～6岁幼儿的教育家是( )A、杜威B、蒙台梭利C、维果茨基D、陈鹤琴16．下列进餐要求不正确的有( )A、进餐前后不宜剧烈运动B、不吃汤泡饭C、不大声谈笑，不口含着食物说话D、用比赛的方式催促幼儿进餐17．下列游戏中，属于创造性游戏的是（）A、娃娃家B、跳房子C、词语接龙D、老鹰抓小鸡18．被世人誉为“幼儿园之父”的教育家是( )A、蒙台梭利B、陶行知C、陈鹤琴D、福禄贝尔19．下列不属于智育内容的是( )A、发展智力B、培养求知兴趣C、培养爱祖国的情感D、培养良好的学习习惯20．开展家长工作最简便、最经常、最及时的方法是( )A、家访B、书面联系C、接送孩子时的个别谈话D、家长委员会二、多选题(在本题的每小题的备选答案中，有两个或两个以上答案是正确的，多选、少选不给分、本大题共4小题，每小题4分，共1 6分)21．下列关于幼儿呼吸运动特点的描述，正确的有( )A、机体需氧量相对比成人少B、以腹式呼吸为主C、呼吸节律不稳定D、年龄越小，呼吸频率快22．维生素D的主要来源有( )A、乳类、肝脏和蛋类食物B、母乳C、晒太阳D、谷类食物23．下列各项中用来描述个性的词有( )A、自私自利B、心胸狭窄C、宽容大度D、才貌双全24．课程的基本要素包括（）A、课程目标B、课程内容C、课程组织D、课程评价三、填空题（本小题共14小题，每小题3分，共42分）25、循环系统包括血液循环系统和。

2013年湖南省长沙市2013年初中毕业学业水平考试数学试题.docx

2013 年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数学注意事项：1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；6、本学科试卷共26 个小题，考试时量120 分钟，满分120 分。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。

请在答题卡中填涂符合题意的选项。

本题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）1．下列实数是无理数的是A．－ 1B． 0C．1D． 3 22．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结果的条数约为61 700 000，这个数用科学记数法表示为A．617105 B ． 6.17106C．6.17107 D ． 0.6171083．如果一个三角形的两边长分别为 2 和 4，则第三边长可能是A． 2B． 4C． 6D． 84．已知1的半径为１ cm，2的半径为 3cm，两圆的圆心距12为 4cm，则两圆的e O e O O O位置关系是A．外离B．外切C．相交D．内切5．下列计算正确的是B ． ( a2 )3a8A． a6a3 a 3C．222D ． a2a2a4 (a b)a b6．某校篮球队 12 名同学的身高如下表：身高（ cm）180186188192195人数12531则该校篮球队12 名同学身高的众数是（单位：cm）A． 192B． 188C． 186D． 180 7．下列各图中，D1大于D2的是A B C D 8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是A ．四边形B ．五边形C ．六边形D ．八边形9．在下列某品牌T 恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有．．运用旋转或轴对称知识的是A BC D10．二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象如图所示，则下列关系式错误的是．．A ． aB ． c 0C ． b 24ac 0D ． ab c 0（第 10 题）二、填空题（本题共 8 个小题，每小题3 分，共 24 分）11．计算： 8 - 2 =．12．因式分解： x 2 + 2 x+ 1 =．13．已知 ? A 67o ，则 DA 的余角等于度．14．方程2 = 1的解为 x= ．x + 1 x15．如图， BD 是 DABC的平分线，P 是BD 上的一点， PE ^ BA 于点E ， PE = 4cm ，则点P 到边BC 的距离为cm ．（第 15 题）（第 16 题）（第 18 题）16．如图，在△ ABC 中，点 D ，点 E 分别是边 AB ，AC 的中点，则△ ADE 与△ ABC 的周长之比等于．17．在一个不透明的盒子中装有 n 个小球，它们只有颜色上的区别，其中有 2 个红球．每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出 n 大约是．18．如图，在梯形 ABCD 中， AD// BC ， ? B50o ， ? C 80o ， AE// CD 交 BC 于点 E ，若 AD ＝2， BC ＝ 5，则边 CD 的长是．三、解答题（本题共 2 个小题，每小题 6 分，共 12 分）19．计算： | - 3| + (- 2) 2 - ( 5 + 1)0 ．2(x 1) x3,20．解不等式组x 4 3x,①②并将其解集在数轴上表示出来．四、解答题（本题共 2 个小题，每小题8 分，共 16 分）21．“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注．我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了 2013 年 1 月份至４月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：（ 1）统计图共统计了天的空气质量情况．（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数．（3）从小源所在班级的 40 名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？22．如图，△ ABC 中，以 AB 为直径的e O 交 AC 于点 D，∠DBC＝∠ BAC．（1）求证： BC 是e O 的切线；（2）若e O 的半径为 2，∠ BAC＝30°，求图中阴影部分的面积．（第 22 题）五、解答题（本题共 2 个小题，每小题9 分，共 18 分）23．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的地铁 1、2 号线．已知修建地铁 1 号线 24 千米和 2 号线 22 千米共需投资265 亿元；若 1 号线每千米的平均造价比 2 号线每千米的平均造价多 0.5 亿元．（1）求 1 号线， 2 号线每千米的平均造价分别是多少亿元？（2）除 1，2 号线外，长沙市政府规划到 2018 年还要再建 91.8 千米的地铁线网．据预算，这91.8 千米地铁线网每千米的平均造价是 1 号线每千米的平均造价的1.2 倍，则还需投资多少亿元？24．如图，在Y ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN 于点 O．（1）求证：△ ABN ≌△ CDM ；（2）过点 C 作 CE⊥ MN 于点 E，交 DN 于点 P，若 PE＝ 1，∠ 1=∠ 2，求 AN 的长．（第 24 题）六、解答题（本题共 2 个小题，每小题10 分，共20 分）25．设a,b是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式 a x b 的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为a,b ．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y满足：当 m x n 时，有m y n ，我们就称此函数是闭区间m, n上的“闭函数” ．（ 1）反比例函数y 2013 是闭区间1,2013上的“闭函数” 吗？请判断并说明理由；x（ 2）若一次函数y kx b (k0) 是闭区间m,n上的“闭函数” ，求此函数的解析式；（ 3）若二次函数y 1 x2 4 x7是闭区间a,b上的“闭函数”，求实数a, b 的值．55526．如图，在平面直角坐标系中，直线y x 2 与x轴，y 轴分别交于点A，点B，动点 P (a, b)在第一象限内，由点P 向x 轴，y 轴所作的垂线PM， PN（垂足为M，N）分别与直线 AB 相交于点 E，点 F，当点 P (a,b)运动时，矩形 PMON 的面积为定值 2．（1）求 OAB 的度数；（2）求证：△ AOF ∽△ BEO ；（3）当点 E，F 都在线段 AB 上时，由三条线段AE ，EF ， BF 组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△ OEF 的面积为 S2．试探究： S1S2是否存在最小值？若存在，请求出该最小值；若不存在，请说明理由．（第 26 题）2013 年长沙市初中毕业学业水平考试试卷数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共10 个小题，每小题 3 分，共 30 分）号题 1 2 3 4 5 6 78 9 1答D CB BABDAC0 D案二、填空题（本题共 8 个小题，每小题3 分，共 24 分）11．212． ( x 1)213． 2314． 115 ．416．1: 2．10 18．317三、解答题（本题共2 个小题，每小题 6 分，共 12 分）19 ．解：原式=3 4 1 6 . ··························· 分6 20．解：解不等式①，得： x 1 ； ··························2 分解不等式②，得： x 2 ； ··························4 分所以原不等式组的解集是： 2 x 1. ···················5 分解集在数轴上表示如图所示:··········6 分四、解答题（本题共 2 个小题，每小题 8 分，共 16 分）21. 解：（ 1）100 ； ..........................................2 分（ 2）补充条形统计图如下图所示； (4)分空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数：360 20% 72 ； ···6 分（ 3）恰好选到小源的概率是1分. (8)4022．（1）证明：AB 为 e O直径，ADB 90 ，···········1分BAC ABD 90 ，····························2分D B C B A CABC = ABD +DBC =90 ，····························3 分点 B 在e O 上，BC 是e O 的切线 .················4分（2）解：连接OD，BAC 30o，则∠ BOD＝ 2∠ A= 60°，···5分S··································6 分O B D6 032.4333 6 0阴影部分的面积为23 . ··························8 分3五、解答题（本题共 2 个小题，每小题9分，共18分）23．解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是x 亿元，y亿元，则由题意可得2 4x2y2 2 6 5x y0 . 5····························3 分x6·······························6 分解之得5.5y所以 1 号线， 2 号线每千米的平均造价分别为 6 亿元， 5.5 亿元；···7 分（2）由题意得： 91.8 1.26660.96 （亿元），所以还需投资 660.96亿元 .··························9 分24．（1）证明：在Y ABCD中，B ADC , ····················1 分A B C D·······································2分,M， N 分别是 AD ， BC 的中点，11··3分BNBC AD DM ,22△ABN ≌△ CDM ；·······························4 分（2）解：在Y ABCD 中， M， N 分别是 AD ，BC 的中点，CN // DM , CN = DM ，四边形CDMN 为平行四边形；·······5分在 Rt△ AND 中， M 为 AD 中点，MN =MD ；Y CDMN为菱形. (由AN//CM，得CM⊥DN，亦可证菱形)·······6分∠ MND =∠ DNC=∠ 1=∠2，CE ⊥MN ，∠ MND =∠ DNC=∠ 1=∠ 2＝ 30° .(由 MN=MD ，亦可得∠ MND =∠DNC =∠1= ∠ 2＝ 30° ) ············7分在 Rt△PEN 中， PE=1，EN= 3, ···················8分∠MNC= ∠ MND +∠DNC ＝60°，△MNC 为等边三角形，又由 (1) 可得， MC=AN,AN=MC =NC= 2 3 ，AN 的长为2六、解答题（本题共 2 个小题，每小题103 ．分，共···············9 分20 分）S = S阴扇25．解：（ 1）是； ··································1 分由函数 y2013的图象可知，当 1 x 2013 时，函数值 y 随着自变量 x 的增x大而减少，而当 x1 时， y 2013 ； x 2013 时， y 1 ，故也有 1 y2013 ，所以，函数 y2013 是闭区间 1,2013 上的“闭函数” . ·······3 分（ 2）因为一次函数 x m, n 上的“闭函数”，所以根据一次y kx b(k 0) 是闭区间函数的图象与性质，必有：①当 k0 时，km b m (m n) ，解之得 k1 ， b 0y x ，kn bn②当 k0 时，km b n (m n) ，解之得 k1 ，b m nyxm n ，kn b m故一次函数的解析式为y x 或 yx m n .·······6 分（ 3）由于函数 y1 x2 4 x 7的图象开口向上，且对称轴为 x2 ，5 5 5 顶点为 (2,11) ，由题意根据图象，分以下三种情况讨论：5①当 2 a b 时，必有 x a 时， ya 且 xb 时， yb ，即方程 1x 2 4 x 7x 必有两个不等实数根，解得x9109 ，5552而 9109 分布在 2 的两边，这与 2 ab 矛盾，舍去；··7 分22 时，必有 xa 时， y②当 a bb 且 x b 时， y a ，1 a2 4 a 7 b (1) 即 5 55 1 b 24 b 7 a (2)555（ 1） - （ 2）得 ab1, 代入（ 1）得 a2 或 a 1 （舍去） ,b1 b2故此时有a 2b 1 满足题意； ·························8 分③ 当 a2 b 时，必有函数值 y 的最小值为11 ，5由于此二次函数是闭区间a, b 上的“闭函数”，故必有a11 ，5从而有 a,b11，而当 x11时，y166，即得点11 166 ；,b - ，55125 5 12511 166关于对称轴 x2 的对称点为4+11 166，又点 -，5 ，5 125125由“闭函数” 的定义可知必有x b 时， yb(b 49109 11) , 又由①知 b,52故可得 a910911， b2符合题意 .5综上所述， a2 , b 1 或 a11 ， b 9 109 为所求的实数 .·······10 分2OAB526．解：（ 1）45°； ······························3 分（2）由题意可得：点E(a,2 a) ，点 F (2b,b) ， ·············4 分BE 2a ， AF2b ,····························5 分OAFEBO 45°，由 ab2 得， 2b2, 即 AF BO ,22a AOBE所以 AOF ∽ BEO ；当点 F 在第二象限或点 E 在第四象限时，同理可证. ···········6 分（3）设 AME , BNF , PEF 的面积分别是 s,t, r 显然 AME , BNF , PEF均为等腰直角三角形，从而它们都相似，故由相似三角形的性质可得到：s ( ME )2( 2 a) 2 ， t ( NF )2( 2 b )2 rPEa b 2rPEa b 2由于 (2 a)2( 2 b )28 a 2 b 2 4a 4b 1a b 2a b 218 a 2 b 2 4a 4bE F ，从而有st(AE) 2 (BF)得到A EB F22 22r rEFEF故以三线段 AE,EF,BF 所组成的三角形为直角三角形. ·····7 分（或代数计算或翻折或旋转等方法同样可证得）EF2故 S 12 ( a b 2 2)，2S 2 21 2 (2 a)1 2 (2 b) a b 2 ,22从而 S 1 S 2( a b 2)2 (a b 2) ，2 令 a b 2 u ，S 1 S 2(ab 2) 2 (ab 2)2u 2 u 2 (u 1 ) 21； ···8 分22当 a 0 ， b 0 时， ( ab )20 ， a b2 ab ，当且仅当 a b 时取 “ =”，则 u a b 2 2 2 2 ，当且仅当 a b2 时，等号成立； ····9 分根据二次函数的图象与性质，可得：当 u 2 22 时， S 1S 2 有最小值为：(2 22)2 (2 2 2)6422 22 . ···············10 分2(本卷各题的其它合理解答均酌情计分 )。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(湖南卷)【word精析版】

这8道选择题中，第1-3为基础题，注重基础知识的考查、基本公式的应用，第4-7为数形结合的问题，基本图像的观察以及基本思想的渗透，其中4、5两题注重培养学生的动手能力，要求学生自己做出图像，自己分析得到答案，第7题注重空间想象能力的培养，要求学生寻找正方体在旋转过程中的最值，第8题，与平面几何知识想结合，要求将平面几何问题解析话，降低解题的难度；总体老说，这9道问题难度相对均衡，无偏题、怪题；二、填空题考点一览表：题号主要考点9 参数方程10 不等式选讲11 几何证明12 定积分的基本运算第21题：本题为圆锥曲线问题，试题以此开始，难度和计算量有了较大的提升，第（1）小题以向本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（）A．抽签法B．随机数法C．系统抽样法D．分层抽样法3.在锐角中，角所对的边长分别为.若（）A．B．C．D．4.若变量满足约束条件，A．B．C．D．5.函数的图像与函数的图像的交点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B；6. 已知是单位向量，.若向量满足（）A．B．C．D．7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（）A．B．C．D．【答案】C；【解析】正方体的正视图面积应当介意1与之间，故C不正确.【考点定位】本题考查三视图，考查学生的空间想象能力.8.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经发射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若右顶点，则常数.10.已知.【答案】12【解析】，所以.【考点定位】本题考查柯西不等式的使用，考查学生的化归与转化能力.11.如图2，在半径为的中,弦.（一）必做题（12-16题）12.若.13.执行如图3所示的程序框图，如果输入.14．设是双曲线的两个焦点，P是C上一点，若且的最小内角为，则C的离心率为___。

2013年湖南卷数学试题及答案(理)

2013·湖南卷(理科数学)1．复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 1．B [解析] 由题z ＝i·(1＋i)＝i ＋i 2＝－1＋i ，在复平面上对应的点坐标为(－1，1)，即位于第二象限，选B.2．某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法2．D [解析] 根据抽样方法的特点可知，应选用分层抽样法． 3．在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b ，若2a sin B ＝3b ，则角A 等于( )A.π12B.π6C.π4D.π33．D [解析] 由正弦定理可得2sin A sin B ＝3sin B ，又sin B ≠0，所以可得sin A ＝32，又A 为锐角，故A ＝π3，选D.4．若变量x ，y 满足结束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ，x ＋y ≤1，y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )A ．－52B ．0 C.53 D.524．C [解析] 根据题意，画出x ，y 满足的可行域，如图，可知在点C ⎝⎛⎭⎫13，23处x ＋2y 取最大值为53.5．，函数f(x)＝2ln x的图像与函数g(x)＝x2－4x＋5的图像的交点个数为()A．3 B．2 C．1 D．05．B[解析] 法一：作出函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x2－4x＋5的图像如图：可知，其交点个数为2，选B.法二：也可以采用数值法：x 12 4f(x)＝2ln x 02ln 2＝ln 4>1ln 42<5g(x)＝x2－4x＋521 5可知它们有2个交点，选B.6．已知，是单位向量，＝0，若向量满足|－－|＝1，则||的取值范围是()A．[2－1，2＋1] B．[2－1，2＋2]C．[1，2＋1] D．1，2＋26．A[解析] 由题可知·＝0，则⊥，又||＝||＝1，且|－－|＝1，不妨令＝(x，y)，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1，又||＝x2＋y2，故根据几何关系可知||max＝12＋12＋1＝1＋2，||min＝12＋12－1＝2－1，故选A.7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于()A．1 B. 2C.2－12 D.2＋127．C[解析] 由题可知，该正方体的俯视图恰好是正方形，则正视图最大值应是正方体的对角面，最小值为正方形，故面积范围为[1，2]，因2－12∉[1，2]，故选C.8．在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图1－1所示)，若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于()图1－1A ．2B ．1 C.83 D.438．D [解析] 不妨设AP ＝m (0≤m ≤4)，建立坐标系，设AB 为x 轴，AC 为y 轴，则A (0，0)，B (4，0)，C (0，4)，Q (x Q ，y Q )，R (0，y R )，P (m ，0)，可知△ABC 的重心为G ⎝⎛⎭⎫43，43，根据反射性质，可知P 关于y 轴的对称点P 1(－m ，0)在直线QR 上，P 关于x ＋y ＝4的对称点P 2(4，4－m )在直线RQ 上，则QR 的方程为y －04－m ＝x ＋m 4＋m ，将G ⎝⎛⎭⎫43，43代入可得3m 2－4m ＝0，即m ＝43或m ＝0(舍)，选D.9．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．9．3 [解析] 将参数方程化为普通方程可得，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a ，即y ＝x －a ，椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ，即x 29＋y 24＝1，可知其右顶点为(3，0)，代入直线方程可得a ＝3.10．已知a ，b ，c ∈，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．10．12 [解析] 因a ＋2b ＋3c ＝6，由柯西不等式可知(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，可知a 2＋4b 2＋9c 2≥363＝12，即最小值为12.图1－311．如图1－2所示，在半径为7的⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P .P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为________．11.32[解析] 由相交弦定理可知P A ·PB ＝PC ·PD ，得PC ＝4，故弦CD ＝5，又半径r ＝7，记圆心O 到直线CD 的距离为d ，则d 2＋⎝⎛⎭⎫522＝7，即d 2＝34，故d ＝32. 12．若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．12．3 [解析] 由积分运算公式可得⎠⎛0T x 2d x ＝⎪⎪13x 3T0＝13T 3＝9，解得T ＝3.13．执行如图1－3所示的程序框图，如果输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为________．图1－313．9 [解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a ＝1，b ＝2，①a ＝3，②a ＝5，③a ＝7，④a ＝9，满足条件输出a ＝9.14．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为________．14.3 [解析] 若最小角为∠F 1PF 2，由对称性设|PF 1|>|PF 2|，由|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，此时|PF 2|<|F 1F 2|，故∠F 1PF 2不可能为最小角．由双曲线对称性，不妨记最小角为∠PF 1F 2＝30°，则|PF 1|>|PF 2|，由|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，由余弦定理可得4a 2＝16a 2＋4c 2－2×4a ×2c ×cos 30°，即3a 2－2 3ac ＋c 2＝0，解得c ＝3a ，即e ＝ca＝ 3.15．，设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈*，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．15．(1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 [解析] (1)因S n ＝(－1)n a n －12n ，则S 3＝－a 3－18，S 4＝a 4－116，解得a 3＝－116.(2)当n 为偶数时，S n ＝a n －12n ，当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ，可得当n 为奇数时a n ＝－12n ＋1，又S 1＋S 2＋…＋S 100＝⎝⎛⎭⎫－a 1－12＋⎝⎛⎭⎫a 2－122＋…＋⎝⎛⎭⎫－a 99－1299＋⎝⎛⎭⎫a 100－12100 ＝－a 1＋a 2＋…－a 99＋a 100－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋1299＋12100 ＝S 100－2(a 1＋a 3＋…＋a 99)－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝S 101－a 101－2⎝⎛⎭⎫－122－124－…－12100－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝－12102－⎝⎛⎭⎫－12102＋2×122⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122501－122－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝－13⎝⎛⎭⎫1－12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 16．，，设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c >a >0，c >b >0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )>0；②∃x ∈，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1，2)，使f (x )＝0.16．(1){x |0<x ≤1} (2)①②③ [解析] (1)因a ＝b ，所以函数f (x )＝2a x －c x ，又因a ，b ，c 不能构成一个三角形，且c >a >0，c >b >0，故a ＋b ＝2a <c ，令f (x )＝2a x －c x ＝0，即f (x )＝c x⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫a c x－1＝0，故可知⎝⎛⎭⎫a c x＝12，又0<a c <12，结合指数函数性质可知0<x ≤1，即取值集合为{x |0<x ≤1}．(2)因f (x )＝a x＋b x－c x＝c x⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c x＋⎝⎛⎭⎫b c x－1，因c >a >0，c >b >0，则0<a c <1，0<bc <1，当x ∈(－∞，1)时，有⎝⎛⎭⎫a c x >a c ，⎝⎛⎭⎫b c x >b c ，所以⎝⎛⎭⎫a c x ＋⎝⎛⎭⎫b c x>a c ＋b c ，又a ，b ，c 为三角形三边，则定有a ＋b >c ，故对∀x ∈(－∞，1)，⎝⎛⎭⎫a c x＋⎝⎛⎭⎫b c x－1>0，即f (x )＝a x ＋b x －c x ＝c x ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫a c x＋⎝⎛⎭⎫b c x－1>0，故①正确；取x ＝2，则⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2<a c ＋b c ，取x ＝3，则⎝⎛⎭⎫a c 3＋⎝⎛⎭⎫b c 3<⎝⎛⎭⎫a c 2＋⎝⎛⎭⎫b c 2，由此递推，必然存在x ＝n 时，有⎝⎛⎭⎫a c n＋⎝⎛⎭⎫b c n <1，即a n ＋b n <c n，故②正确；对于③，因f (1)＝a ＋b －c >0，f (2)＝a 2＋b 2－c 2<0(C 为钝角)，根据零点存在性定理可知，∃x ∈(1，2)，使f (x )＝0，故③正确．故填①②③.17．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2. (1)若α是第一象限角，且f (α)＝3 35，求g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合． 17．解：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3 ＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x .g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝3 35得sin α＝35.又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≥12. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈故使f (x )≥g (x ) 成立的x 的取值集合为18．某人在如图1－4所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物，根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：X 1 2 3 4 Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率； (2)从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．图1－418．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，边界上的作物株数为12，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 13C 112＝36种，选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率为836＝29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列．因为P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)．所以只需求出P (X ＝k )(k ＝1，2，3，4)即可．记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1，2，3，4)，则n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝n kN得P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝615＝25，P (X ＝4)＝315＝15.故所求的分布列为Y 51 48 45 42 P2154152515所求的数学期望为E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝34＋64＋90＋425＝46.19．如图1－4所示，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．图1－419．解：方法一(1)证明：如图所示，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1. 又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D ，而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D .(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图所示，联结A 1D ，因为棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1，从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1，故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D .由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB ，从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB DA ＝BCAB，即AB ＝DA ·BC ＝ 3. 联结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 21＋BD 2＝BB 21＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D ＝21.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝AD B 1D ＝321＝217，即cos(90°－θ)＝217，从而sin θ＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 方法二(1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直，如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为A (0，0，0)，B (t ，0，0)，B 1(t ，0，3)，C (t ，1，0)，C 1(t ，1，3)，D (0，3，0)，D 1(0，3，3)．从而B 1D →＝(－t ，3，－3)，AC →＝(t ，1，0)，BD →＝(－t ，3，0)．因为AC ⊥BD ，所以AC →·BD →＝－t 2＋3＋0＝0，解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是B 1D →＝(－3，3，－3)，AC →＝(3，1，0)．因为AC →·B 1D →＝－3＋3＋0＝0，所以AC →⊥B 1D →，即AC ⊥B 1D .(2)由(1)知，AD →1＝(0，3，3)，AC →＝(3，1，0)，B 1C 1→＝(0，1，0)．设＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则＝(1，－3，3)．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈，B 1C 1→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪·B 1C 1→|n |·|B 1C 1→|＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 20．在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．如图1－5所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3，20)，B (－10，0)，C (14，0)处，现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)；(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．图1－520．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|. 因为d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|.(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号成立．又因为|x ＋10|＋|x －14|≥24.(**)当且仅当x ∈[－10，14]时，不等式(**)中的等号成立．所以d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号成立．d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号成立．故点P 的坐标为(3，1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能进入保护区，所以 d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|.此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|，d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号成立．综上所述，在点P (3，1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．过抛物线E ：x 2＝2py (p >0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2.l 1与E 相交于点A ，B ，l 2与E 相交于点C ，D 以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1>0，k 2>0，证明：FM →·FN →<2p 2；(2)若点M 到直线l 的距离的最小值为7 55，求抛物线E 的方程． 21．解：(1)证明：由题意，抛物线E 的焦点为F ⎝⎛⎭⎫0，p 2，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋p 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ＋p 2，x 2＝2py得x 2－2pk 1x －p 2＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根，从而x 1＋x 2＝2pk 1.y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 21＋p .所以点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 1，pk 21＋p 2，FM →＝(pk 1，pk 21)．同理可得点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫pk 2，pk 22＋p 2，FN →＝(pk 2，pk 22)．于是FM →·FN →＝p 2(k 1k 2＋k 21k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1>0，k 2>0，k 1≠k 2，所以0<k 1k 2<⎝⎛⎭⎫k 1＋k 222＝1.故FM →·FN →<p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋p 2，|FB |＝y 2＋p 2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 21＋2p ，从而圆M 的半径r 1＝pk 21＋p . 故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋⎝⎛⎭⎫y －pk 21－p 22＝(pk 21＋p )2. 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 21＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 21)y ＝0.又 k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.因为p >0，所以点M 到直线l 的距离d ＝|2pk 21＋pk 1＋p |5＝p |2k 21＋k 1＋1|5＝p 2⎝⎛⎭⎫k 1＋142＋785.故当k 1＝－14时，d 取最小值7p 8 5. 由题设7p 8 5＝7 55，解得p ＝8.故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y .22．已知a >0，函数f (x )＝x －a x ＋2a. (1)记f (x )在区间[0，4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)是否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0，4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由．22．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝a －x x ＋2a ；当x >a 时，f (x )＝x －a x ＋2a.因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝－3a （x ＋2a ）2<0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝3a （x ＋2a ）2>0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递增． ①若a ≥4，则f (x )在[0，4]上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0<a <4，则f (x )在[0，a ]上单调递减，在(a ，4]上单调递增，所以g (a )＝max{f (0)，f (4)}，而f (0)－f (4)＝12－4－a 4＋2a ＝a －12＋a ，故当0<a ≤1时，g (a )＝f (4)＝4－a 4＋2a；当1<a <4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝⎩⎨⎧4－a 4＋2a ，0<a ≤1，12，a >1.(2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0，4)上单调递减，故不满足要求．当0<a <4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，4)上单调递增，若存在x 1，x 2∈(0，4)(x 1<x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a ，4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，即－3a （x 1＋2a ）2·3a （x 2＋2a ）2＝－1，亦即x 1＋2a ＝3a x 2＋2a.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a ，4)得x 1＋2a ∈(2a ，3a )，3a x 2＋2a ∈3a 4＋2a，1. 故(*)成立等价于集合A ＝{x |2a <x <3a }与集合B ＝x⎪⎪⎪ )3a 4＋2a<x <1的交集非空．因为3a 4＋2a<3a ，所以当且仅当0<2a <1，即0<a <12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0，4)内的图像上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a的取值范围是.。

2013湖南理科数学高考试题(含解析与答案)

2013年全国一致考试数学理工农医类(湖南卷)一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．1．(2013湖南，理1)复数z ＝i·(1＋i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )． A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案：B 剖析：z ＝i ＋i 2＝－1＋i ，对应点为(－1,1)，故在第二象限，选B ．2．(2013湖南，理2)某学校有男、女学生各500名，为认识男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面可否存在明显差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行检查，则宜采用的抽样方法是( )．A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法答案：D剖析：看男、女学生在学习兴趣与业余爱好可否存在明显差异，应当分层抽取，故宜采用分层抽样．3．(2013湖南，理3)在锐角△ABC 中，角A ，B 所对的边长分别为a ，b .若2a sin B，则角A 等于( )．A ．π12 B ．π6 C ．π4 D ．π3答案：D剖析：由2a sin B得2sin A sin BB ，故sin AA ＝π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形，故A ＝π3. 4．(2013湖南，理4)若变量x ，y 满足拘束条件2,1,1.y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩则x ＋2y 的最大值是( )．A ．52-B ．0C ．53D ．52答案：C剖析：拘束条件表示的可行域为如图阴影部分．令x ＋2y ＝d ，即122dy x =-+，由线性规划知识可得最优点为12,33⎛⎫⎪⎝⎭，因此d max ＝145333+=. 5．(2013湖南，理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )．A ．3B ．2C ．1D ．0 答案：B剖析：设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，则y ＝2ln x ，y ＝x 2－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2－4x ＋5，令h (x )＝x 2－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，由h ′(x )＝2x －4－2x＝0得x 1＝1x 2＝1舍)．当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1时，h (x )单调递减；当h ′(x )＞0，即x ∈(1+∞)时，h (x )单调递加．又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0，∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．6．(2013湖南，理6)已知a ，b 是单位向量，a·b ＝0，若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的取值范围是( )．A ．11]B ．12]C ．[11]D ．[12] 答案：A剖析：由题意，不如令a ＝(0,1)，b ＝(1,0)，c ＝(x ，y )，由|c －a －b |＝1得(x －1)2＋(y －1)2＝1，|c |可看做(x ，y )到原点的距离，而点(x ，y )在以(1,1)为圆心，以1为半径的圆上．以下列图，当点(x ，y )在地址P 时到原点的距离近来，在地址P ′时最远，而PO 1，P ′O 1，应选A ．7．(2013湖南，理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不能能等于( )．A ．1BC ．12D ．12答案：C剖析：θ，以下列图．故正视图的面积为Sθ(0≤θ≤π4)， ∴1≤S而1<12，故面积不能能等于12. 8．(2013湖南，理8)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 为边AB 上异于A ，B 的一点，光辉从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P .若光辉QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )．A ．2B ．1C ．83D ．43答案：D剖析：以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴建立直角坐标系以下列图．则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)．设△ABC 的重心为D ，则D 点坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭. 设P 点坐标为(m,0)，则P 点关于y 轴的对称点P 1为(－m,0)，由于直线BC 方程为x ＋y －4＝0，因此P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4－m )，依照光辉反射原理，P 1，P 2均在QR 所在直线上，∴12PD P D k k =，即4443344433m m -+=+-，解得，m ＝43或m ＝0.当m ＝0时，P 点与A 点重合，故舍去． ∴m ＝43. 二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每题5分，共35分．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，若是全做，则按前两题记分)9．(2013湖南，理9)在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：,x t y t a=⎧⎨=-⎩(t 为参数)过椭圆C ：3cos ,2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩(φ为参数)的右极点，则常数a 的值为__________．答案：3剖析：由题意知在直角坐标系下，直线l 的方程为y ＝x －a ，椭圆的方程为22194x y +=，因此其右极点为(3,0)．由题意知0＝3－a ，解得a ＝3.10．(2013湖南，理10)已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为__________．答案：12剖析：由柯西不等式得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝2时等号建立，因此a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 11．(2013湖南，理11)如图，在半径为7的O 中，弦AB ，CD 订交于点P ，P A ＝PB ＝2，PD ＝1，则圆心O 到弦CD 的距离为__________．答案：2剖析：以下列图，取CD 中点E ，连结OE ，OC ．由圆内订交弦定理知PD ·PC ＝P A ·PB ，因此PC ＝4，CD ＝5，则CE ＝52，OC因此O 到CD 距离为OE =(二)必做题(12～16题) 12．(2013湖南，理12)若0T⎰x 2d x ＝9，则常数T 的值为__________．答案：3 剖析：∵313x '⎛⎫⎪⎝⎭＝x 2，∴T ⎰x 2d x ＝13x 30|T ＝13T 3－0＝9，∴T ＝3. 13．(2013湖南，理13)执行以下列图的程序框图，若是输入a ＝1，b ＝2，则输出的a 的值为__________．答案：9剖析：输入a ＝1，b ＝2，不满足a ＞8，故a ＝3； a ＝3不满足a ＞8，故a ＝5； a ＝5不满足a ＞8，故a ＝7；a ＝7不满足a ＞8，故a ＝9，满足a ＞8，停止循环．输出a ＝9.14．(2013湖南，理14)设F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的离心率为__________．剖析：不如设|PF 1|＞|PF 2|，由1212||||6,||||2PF PF a PF PF a+=⎧⎨-=⎩可得12||4,||2.PF a PF a =⎧⎨=⎩∵2a ＜2c ，∴∠PF 1F 2＝30°，∴cos 30°＝22224224c a a a()+()-()，整理得，c 2＋3a 2－＝0，即e 2－＋3＝0，∴e =15．(2013湖南，理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝__________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝__________. 答案：(1)116-(2)10011132⎛⎫- ⎪⎝⎭16．(2013湖南，理16)设函数f (x )＝a x ＋b x －c x ，其中c ＞a ＞0，c ＞b ＞0.(1)记会集M ＝{(a ，b ，c )|a ，b ，c 不能够构成一个三角形的三条边长，且a ＝b }，则(a ，b ，c )∈M 所对应的f (x )的零点的取值会集为__________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则以下结论正确的选项是__________．(写出所有正确结论的序号)①∀x ∈(－∞，1)，f (x )＞0；②∃x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能够构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则∃x ∈(1,2)，使f (x )＝0. 答案：(1){x |0＜x ≤1} (2)①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(2013湖南，理17)(本小题满分12分)已知函数ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，g (x )＝22sin2x.(1)若α是第一象限角，且f (α)g (α)的值； (2)求使f (x )≥g (x )建立的x 的取值会集．解：ππ()sin cos 63f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝2sin x －12cos x ＋12cos x ＋2sin xx ，g (x )＝22sin 2x ＝1－cos x .(1)由f (α)＝5得sin α＝35.又α是第一象限角，因此cos α＞0.从而g (α)＝1－cos α＝1 ＝41155-=.(2)f (x )≥g (x )x ≥1－cos x x ＋cos x ≥1.于是π1sin 62x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭. 从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )建立的x 的取值会集为2π|2π2π,3x k x k k ⎧⎫≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z . 18．(2013湖南，理18)(本小题满分12分)某人在以下列图的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交织点以及三角形的极点)处都种了一株相同品种的作物．依照历年的种植经验，一株该种作物的年收获量Y (单位：kg)与它的“周边”作物株数X 之间的关系以下表所示：米．(1)从三角形地块的内部和界线上分别随机采用一株作物，求它们恰好“周边”的概率； (2)从所种作物中随机采用一株，求它的年收获量的分布列与数学希望．解：(1)所种作物总株数N ＝1＋2＋3＋4＋5＝15，其中三角形地块内部的作物株数为3，界线上的作物株数为12.从三角形地块的内部和界线上分别随机采用一株的不相同结果有11312C C ＝36种，采用的两株作物恰好“周边”的不相同结果有3＋3＋2＝8种．故从三角形地块的内部和界线上分别随机采用一株作物，它们恰好“周边”的概率为82369=. (2)先求从所种作物中随机采用的一株作物的年收获量Y 的分布列．由于P (Y ＝51)＝P (X ＝1)，P (Y ＝48)＝P (X ＝2)，P (Y ＝45)＝P (X ＝3)，P (Y ＝42)＝P (X ＝4)，因此只需求出P (X ＝k )(k ＝1,2,3,4)即可．记n k 为其“周边”作物恰有k 株的作物株数(k ＝1,2,3,4)，则 n 1＝2，n 2＝4，n 3＝6，n 4＝3. 由P (X ＝k )＝kn N得 P (X ＝1)＝215，P (X ＝2)＝415，P (X ＝3)＝62155=，P (X ＝4)＝31155=. 故所求的分布列为所求的数学希望为 E (Y )＝51×215＋48×415＋45×25＋42×15＝346490425+++＝46. 19．(2013湖南，理19)(本小题满分12分)如图，在直棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．解法1：(1)如图，由于BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，因此AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD ，因此AC ⊥平面BB 1D ．而B 1D ⊂平面BB 1D ，因此AC ⊥B 1D ．(2)由于B 1C 1∥AD ，因此直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)．如图，连结A 1D ，由于棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，因此A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，因此四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D ．由(1)知，AC ⊥B 1D ，因此B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，由于AC ⊥BD ，因此∠BAC ＝∠ADB ．从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB BCDA AB=.即AB=连结AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 12＋BD 2＝BB 12＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝17AD B D ==，即cos(90°－θ)＝7. 从而sin θ. 即直线B 1C 1与平面ACD 1. 解法2：(1)易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则相关各点的坐标为：A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．由于AC ⊥BD ，因此AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0.解得t =t =(舍去)．于是1B D ＝(3-，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．由于AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，因此AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D ． (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝1,0)，11B C ＝(0,1,0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则10,0,AC AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即0,330.y y z +=+=⎪⎩ 令x ＝1，则n ＝(1，．设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则 sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝1111B C B C ⋅⋅n n7=. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为7. 20．(2013湖南，理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”．以下列图的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”．某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy 内三点A (3,20)，B (－10,0)，C (14,0)处．现计划在x 轴上方地域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心．(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明)：(2)若以原点O 为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L 路径”不能够进入保护区，请确定点P 的地址，使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．解：设点P 的坐标为(x ，y )．(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x －3|＋|y －20|，x ∈R ，y ∈[0，＋∞)．(2)由题意知，点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d )的最小值．①当y ≥1时，d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋2|y |＋|y －20|，由于d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|≥|x ＋10|＋|x －14|，(*) 当且仅当x ＝3时，不等式(*)中的等号建立，又由于|x ＋10|＋|x －14|≥24，(**)当且仅当x ∈[－10,14]时，不等式(**)中的等号建立．因此d 1(x )≥24，当且仅当x ＝3时，等号建立． d 2(y )＝2y ＋|y －20|≥21，当且仅当y ＝1时，等号建立．故点P 的坐标为(3,1)时，P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小，且最小值为45. ②当0≤y ≤1时，由于“L 路径”不能够进入保护区，因此d ＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|＋1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|，此时，d 1(x )＝|x ＋10|＋|x －14|＋|x －3|， d 2(y )＝1＋|1－y |＋|y |＋|y －20|＝22－y ≥21.由①知，d 1(x )≥24，故d 1(x )＋d 2(y )≥45，当且仅当x ＝3，y ＝1时等号建立．综上所述，在点P (3,1)处修建文化中心，可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小．21．(2013湖南，理21)(本小题满分13分)过抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点F 作斜率分别为k 1，k 2的两条不相同直线l 1，l 2，且k 1＋k 2＝2，l 1与E 订交于点A ，B ，l 2与E 订交于点C ，D ，以AB ，CD 为直径的圆M ，圆N (M ，N 为圆心)的公共弦所在直线记为l .(1)若k 1＞0，k 2＞0，证明：FM ·FN ＜2p 2；(2)若点M 到直线lE 的方程．解：(1)由题意，抛物线E 的焦点为F 0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l 1的方程为y ＝k 1x ＋2p ，由12,22p y k x x py⎧=+⎪⎨⎪=⎩得x 2－2pk 1x －p 2＝0.设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2是上述方程的两个实数根．从而x 1＋x 2＝2pk 1，y 1＋y 2＝k 1(x 1＋x 2)＋p ＝2pk 12＋p .因此点M 的坐标为211,2p pk pk ⎛⎫+⎪⎝⎭，FM ＝(pk 1，pk 12)．同理可得点N 的坐标为222,2p pk pk ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，FN ＝(pk 2，pk 22)．于是FM ·FN ＝p 2(k 1k 2＋k 12k 22)．由题设，k 1＋k 2＝2，k 1＞0，k 2＞0，k 1≠k 2，因此0＜k 1k 2＜2122k k +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1. 故FM ·FN ＜p 2(1＋12)＝2p 2.(2)由抛物线的定义得|F A |＝y 1＋2p ，|FB |＝y 2＋2p ，因此|AB |＝y 1＋y 2＋p ＝2pk 12＋2p .从而圆M 的半径r 1＝pk 12＋p ，故圆M 的方程为(x －pk 1)2＋2212p y pk ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝(pk 12＋p )2. 化简得x 2＋y 2－2pk 1x －p (2k 12＋1)y －34p 2＝0. 同理可得圆N 的方程为x 2＋y 2－2pk 2x －p (2k 22＋1)y －34p 2＝0. 于是圆M ，圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2－k 1)x ＋(k 22－k 12)y ＝0.又k 2－k 1≠0，k 1＋k 2＝2，则l 的方程为x ＋2y ＝0.由于p ＞0，因此点M 到直线l 的距离2d =22117248p k ⎡⎤⎛⎫++⎢⎥ ⎪⎝⎭故当k 1＝14-时，d.=p ＝8. 故所求的抛物线E 的方程为x 2＝16y . 22．(2013湖南，理22)(本小题满分13分)已知a ＞0，函数f (x )＝2x a x a -+. (1)记f (x )在区间[0,4]上的最大值为g (a )，求g (a )的表达式；(2)可否存在a ，使函数y ＝f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明原由．解：(1)当0≤x ≤a 时，f (x )＝2a x x a -+；当x ＞a 时，f (x )＝2x a x a-+.因此，当x ∈(0，a )时，f ′(x )＝232a x a -(+)＜0，f (x )在(0，a )上单调递减；当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )＝232a x a (+)＞0，f (x )在(a ，＋∞)上单调递加． ①若a ≥4，则f (x )在(0,4)上单调递减，g (a )＝f (0)＝12. ②若0＜a ＜4，则f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递加．因此g (a )＝max{f (0)，f (4)}．而f (0)－f (4)＝1412422a a a a---=++，故当0＜a ≤1时，g (a )＝f (4)＝442a a-+；当1＜a ＜4时，g (a )＝f (0)＝12. 综上所述，g (a )＝4,01,421, 1.2a a a a -⎧<≤⎪⎪+⎨⎪>⎪⎩ (2)由(1)知，当a ≥4时，f (x )在(0,4)上单调递减，故不满足要求．当0＜a ＜4时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a,4)上单调递加．若存在x 1，x 2∈(0,4)(x 1＜x 2)，使曲线y ＝f (x )在(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))两点处的切线互相垂直，则x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)，且f ′(x 1)·f ′(x 2)＝－1，即221233122a a x a x a -⋅=-(+)(+). 亦即x 1＋2a ＝232a x a +.(*) 由x 1∈(0，a )，x 2∈(a,4)得x 1＋2a ∈(2a,3a )，232a x a +∈3,142a a ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 故(*)建立等价于会集A ＝{x |2a ＜x ＜3a }与会集B ＝3142a xx a ⎧⎫<<⎨⎪+⎩⎭的交集非空．由于342a a +＜3a ，因此当且仅当0＜2a ＜1，即0＜a ＜12时，A ∩B ≠∅. 综上所述，存在a 使函数f (x )在区间(0,4)内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直，且a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.。