第四章非惯性系中的质点力学

小结：选用不同的 s 系，其 加速度变换公式的具体分 析结果不同。
§4.3 非惯性系内质点动力学
当计入惯性力，就可在非惯性系中得到形式上和惯性 系一样的动力学规律（如三个定理，三个守恒定律）.
(x 0为势能零点 s系中 2. 当非惯性系以匀角速度 绕固定轴转动时, 2 1 2 2 F m ( r ) m e ( m ) Ic 2
牵连惯性 力 非惯性系中的 质点的动力学 方程
m a F
§4.2 非惯性系内质点的动力学方程
科氏 力
对惯性力作几点说明:
1.惯性力不是相互作用力,不遵从牛顿第三定律，它不 存在反作用力。 2.惯性力仅存在于非惯性系之中。 3.在非惯性系中惯性力真实存在，不是假想的力。 4.惯性离心力
m ( r )
三.落体偏东
以自由落体运动为例，研究科氏力对质点竖直运动的影响
在地面参照系oxyz中，其单位 矢量为i、j 、k.，且 i 水平向 南, j 水平向东, k 竖直向上. 质 点在z轴上 z h 处自由下落， 不计空气阻力，且不受其它物 体的作用， F 0


这里惯性离心力是保守力, 1 对应的势能为 V m 2r2 2
1 2 1 22 1 22 m m v r 0 m r 0 2 2 2
§4.4 地球自转的动力学效应
本节应用非惯性系内动力学理论解决实际问题的范例.
一. 质点相对地球的运动微分方程
1.有关地球运动的几个量. 2.地球为非惯性系时质点在地球表面附近运动微分方程. 地球既有自转又有公转,是非惯性参照系,以日心系为S系.
3. 通过前面分析,我们可利用运动系把质点的复杂运动 分解成为几个比较简单的运动的合成.
分析例题4.1 0 , a 0 , a 0 0 v u r , r b i b ut j a r 2 u
第四章 非惯性系中的质点力学
本章重点：绝对加速度、相对加速度、牵连 加速度之间的变换关系,和在非惯性系中建立 质点力学方程及应用. 本章难点：科氏加速度产生的原因

主要内容: • 两参考系间速度和加速度的变换关系
• 非惯性系内质点的动力学方程 • 非惯性系内质点的动力学 • 地球自转的动力学效应
1. 当非惯性系以ai 作匀加速平动时. F m a ma i (m x ) a t


保守力
V
例题4.3
处在与圆盘固连的 s 系中,在水平面方向上,质点受到的 科氏力与相对速度垂直不做功,只有惯性离心力做功. 一解: 由动能定理得 12 2 d ( m v ) [ m ( r )] d r m r d r 2 二解:用“机械能守恒定律”
例题4.2
分别以不同的转动非惯性系和平动非惯性系作为 s 系 解法一：
a , m r 0 0 o 2 m (r)2 ma cos e r F t 2 2 m v 2 m a e n F c
表观重力 : m g m g m ( R ) 0

弹簧秤拉力为 F m g [ m g m ( R )] T 0 2 [ m g m R cos ] 0 同学自行分析 g 与g 0 间的 差别随纬度的增大而减小， 即在赤道处两者相差最大, 在两极两者相等。
引起质点在 v
d d r R v v v r t dt dt 2 d d v R d a r ( r ) 2 v 2 dd t t dt


( v , v , a , a , a ) 2. 在 s 系中看不到相对运动 与牵连运动 t t c v ,a ) ;同样,在 s系中只看到相对运动, 只看到绝对运动 ( 而看不到绝对运动与牵连运动 ( . v , v , a , a , a ) t t c
v相对速度
d d r R v v v r t dt dt

vt牵连速度
v o 基点速度
s 五. 系与 s 系间加速度变换公式
d v d d R a v r dt dt dt 2 d v d R d d r 2 r dt dt dt dt 2 d v d R d d r v 2 r r dt dt dt dt
§4.1 两参考系间速度和加速度的变换关系
一. 静止系和运动系
静止系记为 s,运动系记为 s .用描述刚体的一般运 动的方法来描述 s 系相对 s 系的运动,即 s 系随基点 o 的平动与绕 o 点的转动合成.
二.绝对运动、相对运动和牵连 运动
力学体系相对 s系的运动为 绝对运动，相对 s 系的运动 为相对运动，牵连运动则为 由于 s 系的运动而引起的力 学体系相对 s 系的运动。

A A i A j A k x y z
矢量 A 的相对变率：
d A d i d j d k A i A A A A k A j x x y y z z dt dt dt dt A i A j A k A i A j A k x y z x y z
a a R ( R ) o D
略去



P

m a F m [ a ( R )] D m ( r ) 2 m v
m a F ( F m a ) { mg m [ ( R r )] s D 0 2 m v m g m ( R ) 0 m g表 观 重 力


ac
科氏加速 度
a相对加速
度
at 牵连加速
度
a a a a t c
分析柯氏加速度产生的原因：
柯氏加速度产生的原因:a)由于相对运动 ,使得速度大小发生变化,产生了加 s 系上位置发生变化 速度. b)由于转动 引起相对速度方向的变化,从而产 生了加速度. 总之,科氏加速度是相对运动和牵连运动 相互作用的结果.
2 d d v R d a r ( r ) 2 v 2 dd t t dt


2 d d v R d a r ( r ) 2 v 2 dd t t dt
三. 任意矢量 A 的绝对变率、相对变率和牵连变率
d A i j k 矢量 A 的绝对变率： A A A x y z dt A A i A j A k x y z
d A A i A A k j x y z dt

r ( r ) a o

P71. 4.2 若以与圆盘固连的
d a a r ( r ) 是否还成立 ? 等式右三项 o dt 又各是什么速度 ?
则 O为 xyz系,s
m a m a m a m a F t c F m a m a m a t c 2 d R F m 2 m r m r 2 m v dt F F F t c
分析:
d v v 0 , a 0 dt


2 d v d R d a 2 r(r)2 v dt dt dt 2 dR d 2 r(r) dt dt d a r(r) o dt
六.三点说明
1. 系与 s 系间速度和加速度变换公式如上,是根据 s 2. 系相对 系的运动进行分析得到的,如果采用不同的 3. 运动系,分解的具体结果则不同.
s
s
请思考 P71 4.1,4.2
P71. 4.1 一竖直圆盘沿水平直线轨道做无滑滚动,其 盘心O点的加速度为 ao ,以地面为S系,以O为原点建立平 系.则轮边上一点P的绝对加速度为 动oxyz 为s


若质点位于地心, F ;若质点不在地心 , 则因 m a 0 s D 其到地心的距离远小于 R SE ,故认为 F m a 0 s D
质点在地球表面附近 运动的微分方程:
m a F m g 2 m v

二. 表观重力
通常认为物体在地球表面受到的重力为地球对它的引 力,是没考虑到地球的自转效应.
d a a r ( r ), 问 o dt 1) 是绝对变率还是相对变率?2)等式右方三项各是什么加速度? 2 d d v R d a r ( r ) 2 v 2 dd t t dt d ( r) ao dt d r r ao dt
解法二：
v 2 m a m e v m e m a e o o t n R a 2 2 m a cos e m a sin e F n t t,
2 o
v a e t
d A dA A dt dt