第二章4公式化简最小项表达式

式 A· 0=0 A+1=1 A· 1=A A+0=A A· A=A A+A=A A· A=0 A+A=1 A· B· B= A A+B=B+A A· C)= (A· C (B· B)· A+(B+C)=(A+B)+C A(B+C)=AB+AC A+BC=(A+B)(A+C) (A+B)(A+B)=A AB+AB=A A(A+B)=A A+AB=A A(A+B)=AB A+AB=A+B (A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C) B+AC+BC=AB+AC A AB=A+B A+B=A· B A=A
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(2)最小项表达式（标准与或式）
例：F(A,B,C) = A B C + A B C + A B C
m0 m2 m4
(m0 , m2 , m4 ) m(0,2,4)
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第二章 逻辑代数基础
23
2. 最小项的性质 一变量函数，如 F(A)，共有：2个最小项 即：A、A 二变量函数，如 F(A,B)，共有：4个最小项 即：A B、A B、A B、A B
第二章 逻辑代数基础 13
公
例1
解法1
F ABC ABC ABC ABC
F=ABC+ABC+AB (吸收律1 ABC+ABC=AB) =ABC+A（BC+B） （分配律） =ABC+A（C+B） （吸收律3） =ABC+AC+AB （ 分配律） =（AB+A）C+AB （分配律） =（B+A）C+AB （吸收律3）
=A+C+BD+BEG+DEGH（吸收律3）
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第二章 逻辑代数基础
16
例3
F=AB+BC+BC+AB F=AB+BC+BC（A+A）+AB（C+C） （互补律A+A=1） =AB+BC+ABC+ABC+ABC+ABC （分配律） =AB+BC+ABC+ABC+ABC（吸收律2： AB+ABC=AB） =AB+BC+ABC+ABC （吸收律2：BC+ABC=BC）
第六节
逻辑函数的化简
一、化简的意义和最简的标准 ：
1.化简的意义（目的） ： 节省元器件；提高工作可靠性 2. 化简的目标 ： 最简与或式或者最简或与式 逻辑函数式有多种形式，如与或式， 或与式，与非与非式，或非或非式等等。
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第二章 逻辑代数基础
1
AB+AC =AB AC =A(B+C) =A＋B+C
7
练习：
Y1 AB AC BC
Y1 AB AC BC AB ( A B )C A B A BC AB C
Y2 AC B C AB Y2 AC B C AB
AC BC AB AC BC
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第二章 逻辑代数基础
11
练习：
Y3 AB BC BC AB
Y3 AB BC BC AB AB BC ( BC AB AC ) ( AB BC AC ) ( BC AB AC ) ( AB AC ) ( BC AC ) AB AC BC
= AB · AC
=(A+B)·A+C) ( = AB + A C
与非—与非式
与或非式
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第二章 逻辑代数基础
20
= ( A + B ) ·A + C ) (
或与式
= ( A + B ) ·A + C ) (
= A+B +A+C 或非—或非式
二、标准表达式
1.最小项、最小项表达式 (1)最小项的概念及其表示
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第二章 逻辑代数基础
25
A B C
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1
ABC
0 0 0 0
能使最小项的值为1的取
值组合，称为与该最小
项对应的取值组合。 例：101 ABC 。
1 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1 1
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0
1 0 0
若把与最小项对应的取 值组合看成二进制数， 则对应的十进制数就是 该最小项的编号i。
三变量函数，如 F(A,B,C)，共有：8个最小项 即：A B C、A B C、A B C、A B C
A B C、A B C、A B C、A B C 结论：n变量函数，共有：2 个最小（大）项。
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n
(1) 最小项的主要性质 ① 对任何一个最小项，只有一组变量的取值组 合，使它的值为1。
此题按常规的方法用公式无法再化简，经过一定的处理可再化简：
=AB+BC+AC（吸收律1:ABC+ABC=AC）
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第二章 逻辑代数基础
17
公式化简法
优点：不受变量数目的限制。
缺点：没有固定的步骤可循； 需要熟练运用各种公式和定理； 在化简一些较为复杂的逻辑函数时还需 要一定的技巧和经验； 有时很难判定化简结果是否最简。
Y3 AB C ACD BCD
Y3 AB C ACD BCD AB C C ( AD BD ) AB C ( AD BD ) AB C ( A B) D AB C ABD AB C D
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3
练习：用并项法化简下列逻辑函数
Y( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC AB(C C) AB(C C) AB AB B(A A) B
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第二章 逻辑代数基础
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例1：已知三变量函数 F(A,B,C) ，则 ABC就是 一个最小项，通常写成m5。 其中，m 表示最小项，5 表示最小项的编号
ABC
( 101 )2
( 5 )10
例2：已知四变量函数 F(A,B,C,D) ，则 BACD就 是一个最小项，其最小项编号为多少？ 解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺 序排列 ，得ABCD，从而得(0111)2，即(7)10。 所以，此最小项的编号为7，通常写成m7。
=BC+AC+AB （分配律）
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例1
解法2
F ABC ABC ABC ABC
F=ABC+ABC+ABC+ABC+ABC + ABC （等幂律） =BC + AC + AB （吸收律1）
（ABC+ABC=BC， ABC+ABC=AC， ABC+ABC=AB）
此例告诉我们某一项对化简有利可以反复应用若干 次，此例ABC项就反复用了三次
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第二章 逻辑代数基础
15
例2 F=AD+AD+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH
解: 原式=A+AB+AC+BD+ACEG+BEG+DEGH （吸收律1）
=A+AC+BD+BEG+DEGH (吸收律2)
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第二章 逻辑代数基础
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例3：F = A B + A C + B C =AB+ABC =AB+C 例4： F = A B + A B + A B C D + A B C D =AB+AB+C D(AB+AB) =AB+AB+C D
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第二章 逻辑代数基础
小项 。
n 即： mi m j mi (0 i( j ) 2 1, 且i j )
证明： 若自变量的取值组合使mi = 1 ( 有且只有一组) ， mi m j 1 mi 则： 若自变量的取值组合使mi = 0 ( 其余2 -1组)， mi m j 0 mi 则： 所以，等式成立。
⑥
证明： 根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中 的原、反变量互换，即得到F′。 所以，F 和F′中包含的最小项的个数是相等的， 且对应的最小项的编号之和为( 2 -1 )。 即上述关系式成立。
二、公式法
1. 相邻项合并法
利用合并相邻项公式: A B + A B = A
例1：F = A B + C D + A B + C D =(AB+ AB)+( CD+CD) =A+ D 例2：F = A ( B C + B C ) + A ( B C + B C )
=A
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第二章 逻辑代数基础
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第二章 逻辑代数基础
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第五节 逻辑函数的表达式
一、常见表达式
二、标准表达式
1.最小项、最小项表达式 2. 最小项的性质 3. 由一般表达式写出最小项表达式的方法 4. 由真值表写出最小项表达式的方法
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第二章 逻辑代数基础
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一、常见表达式
F = AB + AC = AB + AC 与或式
2013年1月30日星期三 第二章 逻辑代数基础 10
练习：
Y2 AB AB BC BC
Y2 AB AB BC BC AB AB(C C ) ( A A) BC BC AB ABC ABC ABC ABC BC AB(1 C ) BC ( A 1) AC ( B B) AB BC AC
2. 消项法
利用消项公式 A + AB = A或A + AB = A + B
或A B + A C + B C = A B + A C
例1： F = A B + A B C + A B D
=AB+AB(C+ D) =AB 例2： F = A C + C D + A D E + A D G =AC+C D
练习：
Y( A, B, C) ABC ABC ABC ABC
Y ABC ABC ABC ABC A[(BC BC ) ( BC BC)] A[ B C B ⊙ C ] A 1 ＝A
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第二章 逻辑代数基础 26
②全部最小项之和恒等于1。 即：
2n 1
mi 1 i 0
③任意两个最小项的乘积恒等于0 。 即：
mi m j 0 (0 i ( j ) 2n 1, 且i j )
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第二章 逻辑代数基础
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④任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最
第二章 逻辑代数基础
9
(3) 配项法 利用消项公式 A=A + A或1=A + A
或A B + A C =A B + A C + B C 配出多余项，再
与其它项合并 例： 1 ABC ABC ABC Y 解： ABC ABC ABC Y1
( ABC ABC ) ( ABC ABC ) BC ( A A) AC ( B B) BC AC
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n
⑤
（k为0 ~ (2 1)中除了j以外的所有正整数）
n
证明：
因为 m j mk 1
当 m j 0时， mk 1
当 m j 1时， mk 0 所以 m j mk
即上述关系式成立。
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与或式 与非与非式 或与式 或非或非式 两次取反 两次取反
Байду номын сангаас
与或式使用最多，因此只讨论与或 式的最简标准. 3.最简的标准 ：
(1)含的与项最少； －－门最少 (2)各与项中的变量数最少。 －－门的输入端最少 (3)要求电路的工作速度较高时，优先考虑级数最少
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(4) 综合法
公式名称 1.0-1律 2.自等律 3.等幂律 4.互补律 5.交换律 6.结合律 7.分配律 8.吸收律1 9 .吸收律2 10 .吸收律3 11.多余项定律 12.求反律 13.否否律
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先找公共因子，再找互补因子