高中文科数学直线和圆方程复习
高中数学直线和圆知识点复习总结
高中数学直线和圆知识点复习总结
1.直线方程⑴点斜式；⑵斜截式；⑶截距式；⑷两点式；⑸一般式(A，B不全为0)。
(直线的方向向量，法向量）
2.求解线性规划问题的步骤是：(1)列约束条件；(2)作可行域，写目标函数；(3)确定目标函数的最优解。
3.两条直线的位置关系：
4.直线系。
5.几个公式⑴设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，⊿ABC的重心G是：()；⑵点P(x0，y0)到直线Ax+By+C=0的距离：；⑶两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是；
6.圆的方程：⑴标准方程：①；②。
⑵一般方程：(注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=C0且B=0且D2+E2-4AF
7.圆的方程的求法：⑴待定系数法；⑵几何法；⑶圆系法。
8.圆系：⑴；注：当时表示两圆交线。
⑵。
9.点、直线与圆的位置关系：(主要掌握几何法)⑴点与圆的位置关系：(表示点到圆心的距离)①点在圆上；②点在圆内；③点在圆外。
⑵直线与圆的位置关系：(表示圆心到直线的距离)①相切；②相交；③相离。
⑶圆与圆的位置关系：(表示圆心距，表示两圆半径，且)①相离；②外切；③相交；④内切；⑤内含。
高三数学直线与圆知识点复习
高三数学直线与圆知识点复习数学是高中阶段学生最让人头疼的科目之一，而高三阶段的数学更是难度系数加大。
在高三数学课程中，直线与圆是一个非常重要的知识点。
下面我们来复习一下直线与圆的相关知识。
1. 直线方程在平面直角坐标系中，直线可以用一般式或点斜式方程表示。
一般式方程为Ax + By + C = 0，其中A、B和C是常数。
而点斜式方程则是y - y1 = k(x - x1)，其中(k是直线的斜率，(x1, y1)是直线上的一点。
直线方程中的斜率对于直线的性质起着重要作用。
斜率为正表示直线向右上方倾斜，斜率为负表示直线向右下方倾斜，斜率为零表示直线为水平线，斜率不存在表示直线为竖直线。
2. 圆的方程在平面直角坐标系中，圆可以用标准方程表示。
标准方程为(x - a)² + (y - b)² = r²，其中(a, b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的方程中，圆心对圆的性质起着重要作用。
圆心坐标(a, b)表示圆心所在的位置，半径r则决定了圆的大小。
3. 直线与圆的关系直线与圆有着紧密的关系，可以分为以下几种情况：- 直线与圆相切：直线与圆相切表示直线与圆只有一个交点，此时直线的斜率与半径的斜率互为相反数。
- 直线与圆相离：直线与圆相离表示直线与圆没有交点，此时直线的斜率与半径的斜率不相等。
- 直线与圆相交：直线与圆相交表示直线与圆有两个交点。
- 直径：直径是连接圆上任意两点，并且经过圆心的线段。
直径的长度等于圆的半径的两倍。
4. 直线与圆的求解方法当我们遇到直线与圆的相交等问题时，可以通过以下几种方法求解：- 列方程求解：将直线和圆的方程列出，根据方程求解交点的坐标。
- 利用性质求解：根据直线和圆的性质，通过几何推理求解交点的坐标。
5. 直线与圆的应用直线与圆的知识在实际生活中有广泛的应用。
例如，在建筑设计中，我们需要确定两条直线是否相交，以确保结构的稳定性。
在电子设备设计中，我们需要确定一条直线是否与一个电子元件的引脚相交，以确保电子元件的正常工作。
直线和圆的方程 高中数学-例题课后习题详解-选必一复习参考题 2
复习参考题2一.选择题.1.直线3210x y +-=的一个方向向量是（）A.()2,3- B.()2,3 C.()3,2- D.()3,2【答案】A【解析】【分析】根据直线的斜率先得到直线的一个方向向量，然后根据方向向量均共线，求解出结果.【详解】因为直线3210x y +-=的斜率为32-，所以直线的一个方向向量为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为()2,3-与31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，所以3210x y +-=的一个方向向量可以是()2,3-，故选：A.2.设直线l 的方程为x -y sin θ+2=0，则直线l 的倾斜角α的范围是（）A.[0,π] B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭3,24ππ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦【答案】C【解析】【分析】分sin 0θ=和sin 0θ≠两种情况讨论，当sin 0θ=时，2πα=；当sin 0θ≠时，结合sin θ的范围，可得斜率的取值范围，进而得到倾斜角α的范围.【详解】直线l 的方程为sin 20x y θ-+=，当sin 0θ=时直线方程为2x =-，倾斜角2πα=当sin 0θ≠时，直线方程化为12sin sin y x θθ=+，斜率in 1s k θ=，因为[)(]sin 1,00,1θ∈- ，所以(][),11,k ∈-∞-+∞ ，即(][)tan ,11,α Î-¥-+¥，又因为[)0,απ∈，所以3,,4224ππππα⎡⎫⎛⎤∈⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦综上可得3,44ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：C3.与直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为（）A.3450x y +-=B.3450x y ++=C.3450x y -+= D.3450x y --=【答案】B【解析】【分析】把方程中y 换成y -，整理即得．【详解】直线3450x y -+=关于x 轴对称的直线的方程为34()50x y --+=，即3450x y ++=．故选：B ．4.已知下列各组中的两个方程表示的直线平行，求a 的值：（1）23x y a +=，4630x y +-=；（2）210x ay +-=，(31)10a x ay ---=；（3）(1)2x a y a ++=-，2416ax y +=-．【答案】（1）32a ≠；（2）0a =或16a =；（3）1a =【解析】【分析】（1）根据平行得出23463a =≠可求；（2）可得0a =满足，0a ≠时，311121a a a ---=≠-；（3）可得0a =不满足，0a ≠时，1122416a a a +-=≠-.【详解】（1）若方程23x y a +=，4630x y +-=表示的直线平行，则23463a =≠，解得32a ≠；（2）当0a =时，方程210x ay +-=化为1x =，方程(31)10a x ay ---=化为1x =-，此时两直线平行，符合题意；当0a ≠时，要使直线平行，则满足311121a a a ---=≠-，解得16a =，这是0a =或16a =；（3）当0a =时，方程(1)2x a y a ++=-化为20x y +-=，方程2416ax y +=-化为4y =-，此时两直线不平行，不符合题意；当0a ≠时，要使直线平行，则满足1122416a a a +-=≠-，解得1a =，综上，1a =.5.已知下列各组中的两个方程表示的直线垂直．求a 的值（1）41ax y +=，(1)1a x y -+=-；（2）22x ay +=，21ax y +=；（3）(32)(14)80a x a y ++-+=，(52)(4)70a x a y -++-=．【答案】（1）2a =±；（2）0a =；（3）0a =或1a =.【解析】【分析】当直线以一般方程形式给出时，两直线垂直，可利用公式12120A A B B +=，求实数a 的取值.【详解】（1）因为两直线垂直，所以()41110a a -+⨯=，即24410a a --=，解得：2a =±；（2）由条件可知，220a a +=，得0a =；（3）由条件可知，()()()()32521440a a a a +-+-+=，即20a a -=，解得：0a =或1a =.6.求平行于直线20x y --=，且与它的距离为【答案】20,60x y x y -+=--=【解析】【分析】设该直线为0x y c -+=,利用平行线间的距离公式可得结果.【详解】因为所求直线平行于直线20x y --=，所以可设该直线为0x y c -+=，又因为所求直线与直线20x y --=的距离为，=可得24c +=，解得2,6c c ==-，所以平行于直线20x y --=，且与它的距离为20,60x y x y -+=--=.【点睛】本题主要考查直线平行的性质以及平行线间的距离公式，意在考查对所学知识的掌握与应用，属于基础题./7.已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是，，且它的对角线的交点是M （3，3），求这个平行四边形其它两边所在直线的方程.【答案】其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．【解析】【详解】试题分析：依题意，由方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,可解得平行四边形ABCD 的顶点A 的坐标，再结合对角线的交点是M （3，3），可求得C 点坐标，利用点斜式即可求得其他两边所在直线的方程．试题解析：联立方程组x+y−1=0,3x−y+4=0,解得x=−34,y=74，所以平行四边形ABCD 的顶点A （−34,74）,设C （x 0，y 0），由题意，点M （3，3）是线段AC 的中点，∴x 0−34=6,y 0+74=6，解得x 0=274,y 0=174，∴C （274,174）,由已知，直线AD 的斜率k AD =3．∵直线BC ∥AD ，∴直线BC 的方程为3x-y-16=0,由已知，直线AB 的斜率k AB =-1,∵直线CD ∥AB ，∴直线CD 的方程为x+y-11="0,"因此，其他两边所在直线的方程是3x-y-16=0，x+y-11=0．考点：1.直线的一般式方程与直线的平行关系；2.直线的一般式方程.8.求下列各圆的方程：（1）圆心为()5,3M -且过点()8,1A --；（2）过()2,4A -，()1,3B ，()2,6C 三点；（3）圆心在直线350x y +-=上，且经过原点和点()3,1-.【答案】（1）()()225325x y ++-=（2）()2255x y +-=（3）2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据圆心为()5,3M -且过点()8,1A --，求得半径即可；（2）设圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，将()2,4A -，()1,3B ，()2,6C ，代入求解；（3）先求得以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线，再与350x y +-=联立，求得圆心即可.【小问1详解】解：因为圆心为()5,3M -且过点()8,1A --，所以圆的半径为5r ==，所以圆的方程为：()()225325x y ++-=；【小问2详解】设圆的方程为：()()222x a y b r -+-=，因为过()2,4A -，()1,3B ，()2,6C 三点，所以()()()()()()222222222241326a b r a b r a b r ⎧++-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩，解得2055a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆的方程为：()2255x y +-=；【小问3详解】以原点和点()3,1-为端点的线段的垂直平分线为：350x y --=，又圆心在直线350x y +-=上，由350350x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得530x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，所以圆心为5,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径为53r =，所以圆的方程为：2252539x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭.9.m 为何值时，方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆？并求半径最大时圆的方程．【答案】当()1,3m ∈-时，方程表示圆，当半径最大时，圆的方程为()()22214x y -++=.【解析】【分析】根据方程表示圆可得出关于实数m 的不等式，可解出实数m 的取值范围，求出圆的半径的表达式，利用二次函数的基本性质可求得圆的半径的最大值，求得此时m 的值，即可得出圆的方程.【详解】若方程222422210x y x my m m +-++-+=表示圆，则()()222244422148120m m m m m -+--+=-++>，整理得2230m m --<，解得13m -<<.设圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径为r ，则22r ==，所以，当1m =时，圆222422210x y x my m m +-++-+=的半径取最大值，此时，圆的方程为224210x y x y +-++=，即()()22214x y -++=.10.判断圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=是否相切．【答案】是，两圆内切【解析】【分析】求出两圆圆心及半径，判断圆心距与半径和与差的关系来确定两圆的位置关系.【详解】2264120x y x y +-++=，即22(3)(2)1x y -++=，圆心为(3,2)-，半径为1；22142140x y x y +--+=，即22(7)(1)36x y -+-=，圆心为(7,1)，半径为6；圆心距为5d ===，半径之和为7，之差为5，故两圆内切.11.若函数()y f x =在x a =及x b =之间的一段图象可以近似地看作线段，且a c b ≤≤，求证：[]()()()()c a f c f a f b f a b a-≈+--【答案】证明见详解．【解析】【分析】作图利用三角形相似，得比例CE AE BF AF=即可证明．【详解】证明：设()()()()()(),,,,,,A a f a B b f b C c f c 作AF BF ⊥如图所示：在AFB △中，有CE AE BF AF=，则()()()()f c f a c a f b f a b a --≈--所以[]()()()()c a f c f a f b f a b a-≈+--12.求点()2,1P --到直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=（λ为任意实数）的距离的最大值．13【解析】【分析】将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，得直线系恒过点()1,1A ，由此得到P 到直线l 的最远距离为PA ，再利用两点间的距离公式计算可得．【详解】解：∵直线:(13)(1)240l x y λλλ+++--=，∴可将直线方程变形为()()2340x y x y λ+-++-=，∴20340x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，由此可得直线系恒过点()1,1A 则P 到直线l 的最近距离为A ，此时直线过P ．P 到直线l 的最远距离为PA ，此时直线垂直于PA ．∴max d PA ===．13.过点P (3,0)作一条直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0和l 2：x ＋y ＋3＝0间的线段AB 恰好被点P 平分，求此直线的方程．【答案】8240x y --=【解析】【分析】根据题意，设出直线l 1上的一点P 1，求出P 1关于点P 的对称点P 2；由P 2在直线l 2上，求出点P 1，即得所求的直线方程．【详解】方法一：若直线AB 无斜率，则其方程为x ＝3，它与两直线的交点分别为(3,4)，(3，－6)，这两点的中点为(3，－1)不是点P ，不合题意．所以直线AB 必有斜率，设为k (k ≠2且k ≠－1)，则直线AB 的方程为y ＝k (x －3)．由3,220,y kx x y =-⎧⎨--=⎩解得y 1＝42k k -,由3,30,y kx x y =-⎧⎨++=⎩解得y 2＝61k k -+.据题意122y y +＝0，即42k k -＋61k k -+＝0，解得k ＝0或8.当k ＝0时，它与两直线的交点分别为(1,0)，(－3,0)，这两点的中点并不是点P ，不符合题意，舍去．当k ＝8时，它与两直线的交点分别为(113，163)，(73，－163)，这两点的中点是点P ，符合题意．∴直线AB 的方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0.方法二：()()()20000,3,3,06-3l M x x M P N x x --∴+在直线上任取一点点关于的对称点，在直线1l 上，把()006-3N x x +点，代入1l 方程220x y --=，解得073x =716,33M ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，16038733l k --∴==-，即直线1l 方程为：824y x =-.14.已知直线:280l x y --=和(2,0)A -，()2,4B 两点，若直线l 上存在点P 使得PA PB +最小，求点P 的坐标．【答案】(2,3)-【解析】【分析】先判断两点是在直线同侧还是异侧，再求A 关于直线的对称点得解【详解】因为(208)(288)0----->，所以,A B 在直线同侧，设点(2,0)A -关于直线280x y --=对称的点坐标为(,)A a b '，则280222a b b a -⎧--=⎪⎪⎨⎪=-⎪+⎩，即(2,8)A '-，可知PA PB A B +≥'，即三点,,A P B '共线时，||||PA PB +最小，连接A B '交直线于点P ，点P 即为所求，A B ' 直线方程2x =，联立求得P 点坐标(2,3)-.15.求圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长．【答案】【解析】【分析】首先利用两圆相减，求公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解公共弦长.【详解】()()2222101005550x y x y x y +--=⇔-+-=，即圆心是()5,5，半径r =()()2222624003150x y x y x y +-+-=⇔-++=，圆心()3,1-，半径r =，=<+，两圆相交，两圆相减得3100x y +-=，此直线是两圆相交公共弦所在直线方程，()()2222101005550x y x y x y +--==-+-=，即圆心是()5,5，半径r =，圆心到直线3100x y +-=的距离d==所以公共弦长l ===.16.已知圆224x y +=与圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，求直线l 的方程．【答案】20x y -+=【解析】【分析】求得两圆的圆心，可得过两圆心直线的斜率和中点坐标，根据对称性可得直线l 斜率，从而求得直线l 的方程.【详解】解：圆221:4C x y +=，圆心为1C ()0,0，半径12r =圆222:4440C x y x y ++-+=，经整理为()()22224x y ++-=，其圆心为2C ()2,2-，半径22r =；故12C C 中点为()1,1C -，而1220120C C k -==---，由对称性知121l C C k k ⋅=-，1l k ∴=:11l y x ∴-=+即直线l 的方程为20x y -+=.17.求与圆C :22(2)(6)1x y ++-=关于直线3−4+5=0对称的圆的方程.【答案】22(4)(2)1x y -++=.【解析】【分析】利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求出对称圆的圆心即可得解.【详解】圆22:(2)(6)1C x y ++-=的圆心的坐标是()2,6-，半径长1r =．设所求圆C '的方程是22()()1x a y b -+-=,由圆C '与圆C 关于直线3450x y -+=对称知，直线3450x y -+=是两圆连心线的垂直平分线．所以有642326345022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪⋅-⋅+=⎪⎩,解此方程组，得4,2a b ==-．所以与圆22:(2)(6)1C x y ++-=关于直线3450x y -+=对称的圆的方程是22(4)(2)1x y -++=.【点睛】关键点点睛：利用两圆圆心关于直线3450x y -+=对称求解是解题关键.18.求圆心在直线y ＝－2x 上，并且经过点A(2,－1)，与直线x ＋y ＝1相切的圆的方程.【答案】圆的方程为：2(1)x -＋22(y )+＝2【解析】【详解】设圆心为S ，则k SA ＝1,∴SA 的方程为：y ＋1＝x －2，即y ＝x －3，和y ＝－2x 联立解得x ＝1,y ＝－2，即圆心(1,－2)∴r故所求圆的方程为：2(1)x -＋22(y )+＝2\19.如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线具有什么关系？为什么？【答案】对角线互相垂直【解析】【分析】设有四边形ABCD ，由条件得知2222A CB CD AD B ++= ，则由向量的运算规律得0BD AC ⋅= ．【详解】解：如果四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，那么它的对角线互相垂直．证明如下：设有四边形ABCD ，由条件得知2222A CB CD AD B ++= 则()()2222AB AD AC AC AB AD+--+= ∴AD AC AB AC ⋅=⋅ ，()0AD AB AC -⋅= ∴0BD AC ⋅=．即BD AC ⊥20.求由曲线22x y x y +=+围成的图形的面积．【答案】2π+【解析】【分析】先看当0x ≥，0y ≥时整理曲线的方程，表示出图形占整个图形的14，而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆，进而利用三角形面积公式和圆的面积公式求得二者的面积，相加即可．【详解】解：当0x ≥，0y ≥时，22111()()222x y -+-=，表示的图形占整个图形的14，而22111()()222x y -+-=，表示的图形为一个等腰直角三角形和一个半圆∴1114112222S ππ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=+ ⎪⎝⎭故围成的图形的面积为：2π+21.一条光线从点()2,3A -射出，经x 轴反射后，与圆22:(3)(2)1C x y -+-=相切，求反射后光线所在直线的方程【答案】3460x y --=或4310x y --=.【解析】【分析】设出反射光线斜率，得出反射光线方程，利用圆心到反射光线的距离为半径建立关系可求得斜率，得出方程.【详解】点()2,3A -关于x 轴的对称点为()2,3--，设反射光线的斜率为k ，则可得出反射光线为()32y k x +=+，即230kx y k -+-=，因为反射光线与圆相切，则圆心()3,2到反射光线的距离d r =1=，解得43k =或34，则反射直线的方程为3460x y --=或4310x y --=.22.已知圆22:(1)(2)25C x y -+-=，直线:(21)(1)740l m x m y m +++--=．（1）求证：直线l 恒过定点．（2）直线l 被圆C 截得的弦何时最长、何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长．【答案】（1）证明见解析；（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，此时34m =-，最短弦长为【解析】【分析】（1）直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=，要使直线l 恒过定点，则与参数的变化无关，从而可得27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，易得定点；（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长；当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，即得解.【详解】（1）证明：直线l 的方程可化为(27)(4)0x y m x y +-++-=，联立27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得31x y =⎧⎨=⎩.所以直线恒过定点P (3,1).（2）当直线l 过圆心C 时，直线被圆截得的弦长最长．当直线l CP ⊥时，直线被圆截得的弦长最短，直线l 的斜率为21121,1312CP m k k m +-=-==-+-由211(112m m +-⋅-=-+解得34m =-此时直线l 的方程是250x y --=圆心(1,2)C 到直线250x y --=的距离为d ==，||||AP BP ==，所以最短弦长是||2||AB AP ==。
高中数学 人教版 必修二 直线与圆的方程综合复习题(含答案)
直线与圆的方程综合复习（含答案）一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是（ C ） A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B （m,4）的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为（ C ） A 0 B 2 C -8 D 103.若直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于（ D ）A -1或2B 23C 2D -14.若点A （2，-3）是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 （a 1，b 1）和（a 2，b 2）所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=05.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m=12”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+(m+2y)-3=0相互垂直”的（ B ）A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B （-5,6），则直线L 的方程为（B ） A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).若直线2l 经过点（0,5）且1l 2l ，则直线2l 的方程为（ B ）A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为（ A ）A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是（A ）A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是（ C ）A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为（D ）， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于（ B ）A B 4 C 8 D 914.若直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为（ B ）A 1B -1C 3D -315.若直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba11+的最小值是（ C ）A.41B.2C.4D.2116.若直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 （ A ）A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点（4,1），则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于（ C ）A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 （ C ） A.2B.5C.3D.3519.若直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211ba +≤1 D.2211ba +≥120.已知A （-3，8）和B （2，2），在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为（ B ） A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x+2(2)y =4相交于M 、N 两点，若︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是（ A ）A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞） C [-33,33] D [-23,0] 22.（广东理科2）已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则AB 的元素个数为（C ）A ．0B ．1C ．2D ．3 23.（江西理科9）若曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
高考数学复习《直线和圆的方程》知识点
直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式．直线方程的一般式． 两条直线平行与垂直的条件．两条直线的交角．点到直线的距离．用二元一次不等式表示平面区域．简单的线性规划问题．曲线与方程的概念．由已知条件列出曲线方程．圆的标准方程和一般方程．圆的参数方程．考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．（3）了解二元一次不等式表示平面区域．（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用．（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法．（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。
理解圆的参数方程．§07. 直线和圆的方程 知识要点一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x 轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是)0(1800παα ≤≤.注：①当 90=α或12x x =时，直线l 垂直于x 轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x 轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.特别地，当直线经过两点),0(),0,(b a ，即直线在x 轴，y 轴上的截距分别为)0,0(,≠≠b a b a 时，直线方程是：1=+by a x . 注：若232--=x y 是一直线的方程，则这条直线的方程是232--=x y ，但若)0(232≥--=x x y 则不是这条线. 附：直线系：对于直线的斜截式方程b kx y +=，当b k ,均为确定的数值时，它表示一条确定的直线，如果b k ,变化时，对应的直线也会变化.①当b 为定植，k 变化时，它们表示过定点（0，b ）的直线束.②当k 为定值，b 变化时，它们表示一组平行直线.3. ⑴两条直线平行：1l ∥212k k l =⇔两条直线平行的条件是：①1l 和2l 是两条不重合的直线. ②在1l 和2l 的斜率都存在的前提下得到的. 因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个“前提”都会导致结论的错误.（一般的结论是：对于两条直线21,l l ，它们在y 轴上的纵截距是21,b b ，则1l ∥212k k l =⇔，且21b b ≠或21,l l 的斜率均不存在，即2121A B B A =是平行的必要不充分条件，且21C C ≠） 推论：如果两条直线21,l l 的倾斜角为21,αα则1l ∥212αα=⇔l . ⑵两条直线垂直：两条直线垂直的条件：①设两条直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，则有12121-=⇔⊥k k l l 这里的前提是21,l l 的斜率都存在. ②0121=⇔⊥k l l ，且2l 的斜率不存在或02=k ，且1l 的斜率不存在. （即01221=+B A B A 是垂直的充要条件）4. 直线的交角：⑴直线1l 到2l 的角（方向角）；直线1l 到2l 的角，是指直线1l 绕交点依逆时针方向旋转到与2l 重合时所转动的角θ，它的范围是),0(π，当 90≠θ时21121tan k k k k +-=θ. ⑵两条相交直线1l 与2l 的夹角：两条相交直线1l 与2l 的夹角，是指由1l 与2l 相交所成的四个角中最小的正角θ，又称为1l 和2l 所成的角，它的取值范围是 ⎝⎛⎥⎦⎤2,0π，当 90≠θ，则有21121tan k k k k +-=θ. 5. 过两直线⎩⎨⎧=++=++0:0:22221111C y B x A l C y B x A l 的交点的直线系方程λλ(0)(222111=+++++C y B x A C y B x A 为参数，0222=++C y B x A 不包括在内）6. 点到直线的距离：⑴点到直线的距离公式：设点),(00y x P ，直线P C By Ax l ,0:=++到l 的距离为d ，则有2200B A CBy Ax d +++=.注：1. 两点P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)的距离公式：21221221)()(||y y x x P P -+-=.特例：点P(x,y)到原点O 的距离：||OP =2. 定比分点坐标分式。
2023年高考数学(文科)一轮复习讲义——直线与圆、圆与圆的位置关系
第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系；2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.直线与圆的位置关系设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，圆心C (a ，b )到直线l 的距离为d ，由⎩⎨⎧（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，Ax ＋By ＋C ＝0消去y (或x )，得到关于x (或y )的一元二次方程，其判别式为Δ.位置关系相离相切相交图形量化方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0 几何观点d >rd ＝rd <r2.圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ＞r )，两圆圆心间的距离为d ，则两圆的位置关系可用下表表示： 位置关系 外离外切相交内切内含图形量的关系d ＞R ＋rd ＝R ＋rR －r ＜d ＜R ＋rd ＝R －rd ＜R －r公切线条数432101.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x ＋y0y＝r2.2.直线被圆截得的弦长的求法(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2r2－d2.(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x M＋x N和x M·x N，则|MN|＝1＋k2·（x M＋x N）2－4x M·x N.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.()(4)若直线平分圆的周长，则直线一定过圆心.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√解析(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的充分不必要条件；(2)除外切外，还有可能内切；(3)两圆还可能内切或内含.2.(2021·绍兴一模)设m∈R，则“1≤m≤2”是“直线l：x＋y－m＝0和圆C：x2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝3－m ，圆心为(1，2)，半径r ＝3－m (m <3).若直线l 与圆C 有公共点，则圆心(1，2)到直线l 的距离d ＝|3－m |2≤3－m ，解得1≤m <3. 因为{m |1≤m ≤2}{m |1≤m <3}，所以“1≤m ≤2”是“直线l ：x ＋y －m ＝0和圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋m ＋2＝0有公共点”的充分不必要条件.3.(2022·全国百校联盟质检)已知直线l ：x －2y ＋6＝0与圆C ：x 2＋y 2－4y ＝0相交于A ，B 两点，则CA →·CB →＝( ) A.165 B.－165 C.125 D.－125 答案 D解析 由圆的一般方程x 2＋y 2－4y ＝0得标准方程为x 2＋(y －2)2＝4，故可得圆心C (0，2)，半径r ＝2， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋6＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝185.不妨设A (－2，2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫65，185，则CA →＝(－2，0)，CB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫65，85，所以CA →·CB →＝－2×65＋0×85＝－125.4.(2021·洛阳模拟)若圆x 2＋y 2＝a 2与圆x 2＋y 2＋ay －6＝0的公共弦长为23，则a ＝________. 答案 ±2解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为a 2＋ay －6＝0，原点到a 2＋ay －6＝0的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a .∵公共弦长为23， ∴a 2＝(3)2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪6a －a 2，∴a 2＝4，a ＝±2.5.(易错题)若半径为r ，圆心为(0，1)的圆和定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1相切，则r 的值等于________. 答案2＋1或2－1解析 由题意，定圆(x －1)2＋(y －2)2＝1的圆心为A (1，2)，半径R ＝1，半径为r 的圆的圆心为B (0，1)， 所以|AB |＝（1－0）2＋（2－1）2＝ 2.因为两圆相切，所以|AB |＝|R －r |或|AB |＝|R ＋r |， 即|1－r |＝2或 |1＋r |＝2， 解得r ＝1±2或r ＝－1±2. 因为r >0，所以r＝2＋1或r＝2－1.6.(易错题)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为________________.答案5x－12y＋45＝0或x－3＝0解析化圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0为标准方程得(x－1)2＋(y－2)2＝4，其圆心为(1，2)，半径为2.∵|OA|＝（3－1）2＋（5－2）2＝13>2，∴点A(3，5)在圆外.显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方程为x－3＝0.当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝0.又圆心为(1，2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝|3－2k|k2＋1＝2，即|3－2k|＝2k2＋1，∴k＝512，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.考点一直线与圆的位置关系1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是()A.[－3，－1]B.[－1，3]C.[－3，1]D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案 C解析由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为2，∴|a－0＋1|12＋（－1）2≤2，即|a＋1|≤2，解得－3≤a ≤1.2.(2022·成都诊断)直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A.相交 B.相切 C.相离D.不确定答案 A解析 法一 (代数法)由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋（y －1）2＝5，消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0，因为Δ＝16m 2＋20>0，所以直线l 与圆相交.法二 (几何法)由题意知，圆心(0，1)到直线l 的距离d ＝|－m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交.法三 易得直线l 过定点(1，1)， 把点(1，1)代入圆的方程有1＋0<5， ∴点(1，1)在圆的内部，故直线l 与圆C 相交.3.“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案 A解析 若直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则有|a －3＋4|2＝22，即|a ＋1|＝4，所以a ＝3或－5.故“a ＝3”是“直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切”的充分不必要条件.感悟提升判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系.(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交. 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.考点二圆的弦长问题例1 (1)(2022·河南名校联考)已知圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为()A.1B. 2C.2D.2 2(2)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为()A.1B.2C.3D.4答案(1)D(2)B解析(1)根据题意，圆C：(x－a)2＋y2＝4的半径r＝2.圆C：(x－a)2＋y2＝4(a≥2)与直线x－y＋22－2＝0相切，则圆心C到直线x－y＋22－2＝0的距离为2，即|a＋22－2|2＝2，解得a＝2或a＝2－42(舍去)，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心C(2，0)到直线x－y－4＝0的距离d＝|2－4|2＝2，所以圆C与直线x－y－4＝0相交所得弦长为222－d2＝2 2.(2)圆的方程可化为(x－3)2＋y2＝9，故圆心的坐标为C(3，0)，半径r＝3.如图，记点M(1，2)，则当MC与直线垂直时，直线被圆截得的弦的长度最小，此时|MC |＝22， 弦的长度l ＝2r 2－|MC |2＝29－8＝2.感悟提升 弦长的两种求法(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长. (2)几何方法：若弦心距为d ，圆的半径长为r ，则弦长l ＝2r 2－d 2.训练1 (2022·南昌摸底测试)若直线x ＋ay －a －1＝0与圆C ：(x －2)2＋y 2＝4交于A ，B 两点，当|AB |最小时，劣弧AB 的长为( ) A.π2 B.πC.2πD.3π答案 B解析 圆C ：(x －2)2＋y 2＝4的圆心为C (2，0)，半径r ＝2.直线的方程可化为x －1＋a (y －1)＝0，可知直线恒过点D (1，1). 因为点D (1，1)的坐标满足(1－2)2＋12<4， 所以点D (1，1)恒在圆C 内，且|CD |＝2，易知，当CD ⊥AB 时，|AB |取得最小值，且最小值为2r 2－|CD |2＝2 2.此时，劣弧AB 对应的圆心角为π2，所以劣弧AB 对应的弧长为π2×2＝π. 考点三 圆的切线问题例2 (经典母题)过点P (2，4)引圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为________________.答案 x ＝2或4x －3y ＋4＝0解析 当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝2，此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0.∵直线与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径，即d＝|k －1＋4－2k |k 2＋（－1）2＝|3－k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，∴所求切线方程为43x －y ＋4－2×43＝0， 即4x －3y ＋4＝0.综上，切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.迁移1 在例2中，若点P 坐标变为⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1，其他条件不变，求切线方程.解 易知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，22＋1在圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1上，则k PC ＝22＋1－122＋1－1＝1，∴所求切线方程的斜率为－1，则切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋1，即x ＋y －2－2＝0.迁移2 在例2中，已知条件不变，设两个切点为A ，B ，求切点弦AB 所在的直线方程.解 由题意得，点P ，A ，C ，B 在以PC 为直径的圆上，此圆的方程为(x －2)(x －1)＋(y －4)(y －1)＝0，整理得x 2＋y 2－3x －5y ＋6＝0.①圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1展开得x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，② 由②－①得x ＋3y －5＝0，即为直线AB 的方程.感悟提升 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.训练2 (1)过直线y ＝2x ＋3上的点作圆C ：x 2＋y 2－4x ＋6y ＋12＝0的切线，则切线长的最小值为( )A.19B.2 5C.21D.555(2)(2021·晋中模拟)过点P (2，3)作圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则P A →·PB →＝________.答案 (1)A (2)32解析 (1)圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y ＝2x ＋3上的点和圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y ＝2x ＋3的距离d ，d ＝|2×2＋3＋3|5＝25，故切线长的最小值为d 2－r 2＝19.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1，所以圆心C (1，0)，半径为1，所以|PC |＝2，|P A |＝|PB |＝3，∠APB ＝60°， 所以P A →·PB →＝|P A →||PB →|cos 60°＝32. 考点四 圆与圆的位置关系例3 已知两圆x 2＋y 2－2x －6y －1＝0，x 2＋y 2－10x －12y ＋m ＝0. (1)m 取何值时两圆外切？ (2)m 取何值时两圆内切？(3)当m ＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长. 解 因为两圆的标准方程分别为 (x －1)2＋(y －3)2＝11， (x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，所以两圆的圆心分别为(1，3)，(5，6)，半径分别为11，61－m ，(1)当两圆外切时，由（5－1）2＋（6－3）2＝11＋61－m ，得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆半径11小于两圆圆心之间的距离5，所以61－m －11＝5，解得m＝25－1011.(3)由(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得两圆的公共弦所在直线的方程为4x＋3y－23＝0，故两圆的公共弦的长为2（11）2－（|4×1＋3×3－23|42＋32）2＝27.感悟提升 1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A.内切B.相交C.外切D.相离(2)(2022·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条答案(1)B(2)D解析(1)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝a2，所以2a2－a22＝22，解得a＝2.圆M，圆N的圆心距|MN|＝2小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径之差1，故两圆相交.(2)x2－4x＋y2＝0⇒(x－2)2＋y2＝22，圆心坐标为(2，0)，半径为2；x2＋y2＋4x＋3＝0⇒(x＋2)2＋y2＝12，圆心坐标为(－2，0)，半径为1，圆心距为4，两圆半径和为3.因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条.阿波罗尼斯圆公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A ，B 为两定点，动点P 满足|P A |＝λ|PB |.则λ＝1时，动点P 的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P 的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.证明：设|AB |＝2m (m >0)，|P A |＝λ|PB |，以AB 的中点为原点，直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－m ，0)，B (m ，0).又设P (x ，y )，则由|P A |＝λ|PB |得（x ＋m ）2＋y 2＝λ（x －m ）2＋y 2， 两边平方并化简整理得(λ2－1)x 2－2m (λ2＋1)x ＋(λ2－1)y 2＝m 2(1－λ2).当λ＝1时，x ＝0，轨迹为线段AB 的垂直平分线；当λ>0且λ≠1时，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －λ2＋1λ2－1m 2＋y 2＝4λ2m 2（λ2－1）2，轨迹为以点⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫λ2＋1λ2－1m ，0为圆心，⎪⎪⎪⎪⎪⎪2λm λ2－1为半径的圆. 例1 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ，使|MA |＝2|MO |，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解 (1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝2x －4，得圆心为C (3，2). 由题意知切线的斜率存在，设切线方程为y ＝kx ＋3，圆心C 到切线的距离d ＝|3k ＋3－2|1＋k2＝r ＝1，得k ＝0或k ＝－34. 故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2)设点M (x ，y )，由|MA |＝2|MO |， 知x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋(y ＋1)2＝4，即点M 的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D .又因为点M 也在圆C 上，故圆C 与圆D 的关系为相交或相切，故1≤|CD |≤3，其中|CD |＝a 2＋（2a －3）2， 解得0≤a ≤125. 即圆心C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125. 例2 在平面直角坐标系xOy 中，设点A (1，0)，B (3，0)，C (0，a )，D (0，a ＋2)，若存在点P ，使得|P A |＝2|PB |，|PC |＝|PD |，则实数a 的取值范围是________. 答案 [－22－1，22－1]解析设P(x，y)，则（x－1）2＋y2＝2·（x－3）2＋y2，整理得(x－5)2＋y2＝(22)2，即动点P在以(5，0)为圆心，22为半径的圆上运动. 另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝(22)2有交点.所以|a＋1|≤2 2.故实数a的取值范围是[－22－1，22－1].1.(2022·兰州质检)“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析若直线l与圆相切，则有|2k|k2＋1＝1，解得k＝±33，所以“k＝33”是“直线l：y＝k(x＋2)与圆x2＋y2＝1相切”的充分不必要条件.2.(2021·福州调研)已知圆x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直线x＋y＋2＝0所得的弦的长度为4，则实数a的值是()A.－2B.－4C.－6D.－8答案 B解析将圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2－a，所以圆心为(－1，1)，半径r＝2－a，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|－1＋1＋2|2＝2，故r2－d2＝4，即2－a－2＝4，所以a＝－4.3.圆x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直线x＋y＋1＝0的距离为2的点共有()A.1个B.2个C.3个D.4个答案 C解析圆的方程可化为(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圆心(－1，－2)到直线的距离d＝|－1－2＋1|＝2，半径是22，结合图形(图略)可知有3个符合条件的点.24.(2021·南昌模拟)已知圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1，则下列选项所对应的图形中，与圆O相切的是()A.x2＋y2＝1B.(x－4)2＋(y－5)2＝16C.x＋y＝1D.x－y＝2答案 B解析圆O：(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心坐标为(1，1)，半径r＝1.对于选项A，x2＋y2＝1表示的是圆心坐标为(0，0)，半径r1＝1的圆，此圆与圆O的圆心距为12＋12＝2<r＋r1＝2，所以两圆不相切，不符合题意.对于选项B，(x－4)2＋(y－5)2＝16表示的是圆心坐标为(4，5)，半径r2＝4的圆，此圆与圆O的圆心距为（4－1）2＋（5－1）2＝5＝r＋r2＝5，所以两圆相切.对于选项C，圆心(1，1)到直线x＋y＝1的距离为22<1，故直线x＋y＝1与圆O 相交.对于选项D，圆心(1，1)到直线x－y＝2的距离为2>1，故直线x－y＝2与圆O 相离.5.过点P(1，－2)作圆C：(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则AB 所在直线的方程为()A.y＝－34 B.y＝－12C.y＝－32 D.y＝－14答案 B解析由题意知，点P，A，C，B在以PC为直径的圆上，易求得这个圆为(x－1)2＋(y＋1)2＝1，此圆的方程与圆C的方程作差可得AB所在直线的方程为y＝－12.6.(2022·宜宾诊断)已知直线l：y＝3x＋m与圆C：x2＋(y－3)2＝6相交于A，B 两点，若∠ACB＝120°，则实数m的值为()A.3＋6或3－ 6B.3＋26或3－2 6C.9或－3D.8或－2答案 A解析由题意知圆心C(0，3)到直线l的距离d＝|0－3＋m|3＋1＝|m－3|2.因为∠ACB＝120°，所以|m－3|2×2＝6，解得m＝3±6.7.已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.答案－2 5解析根据题意画出图形，可知A(－2，－1)，C(0，m)，B(0，3)，则|AB|＝（－2－0）2＋（－1－3）2＝25，|AC|＝（－2－0）2＋（－1－m）2＝4＋（m＋1）2，|BC |＝|m －3|.∵直线2x －y ＋3＝0与圆C 相切于点A ，∴∠BAC ＝90°，∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2.即20＋4＋(m ＋1)2＝(m －3)2，解得m ＝－2.因此r ＝|AC |＝4＋（－2＋1）2＝ 5.8.(2021·长春模拟)已知点P (1，2)和圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，过点P 作圆C 的切线有两条，则实数k 的取值范围是________.答案 ⎝⎛⎭⎪⎫－233，233 解析 因为C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0为圆， 所以k 2＋4－4k 2>0，解得－233<k <233.又过点P 作圆C 的切线有两条，所以点P 在圆的外部，故1＋4＋k ＋4＋k 2>0，解得k ∈R ，综上可知－233<k <233.故k 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－233，233. 9.在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0，1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为______.答案 10 2解析 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心(1，3)，半径r ＝10，圆心(1，3)与E (0，1)距离（1－0）2＋（3－1）2＝5.由题意知AC ⊥BD ，且|AC |＝210，|BD |＝210－5＝25，所以四边形ABCD 的面积为S ＝12|AC |·|BD |＝12×210×25＝10 2.10.已知圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0，圆N ：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，且圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上.(1)求圆M 的方程；(2)证明圆M 和圆N 相交，并求两圆公共弦的长度l .(1)解 圆M ：x 2＋y 2－2ax ＋10ay －24＝0的圆心为M (a ，－5a )，∵圆M 上任意一点关于直线x ＋y ＋4＝0的对称点都在圆M 上，∴直线x ＋y ＋4＝0经过M ，则a －5a ＋4＝0，解得a ＝1.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0.(2)证明 ∵圆M 的圆心M (1，－5)，半径r 1＝52，圆N 的圆心N (－1，－1)，半径r 2＝10，∴|MN |＝（1＋1）2＋（－5＋1）2＝2 5.∵52－10<25<52＋10，∴圆M 和圆N 相交.由圆M ，圆N 的方程左右两边分别相减，得x －2y ＋4＝0，∴两圆公共弦的直线方程为x －2y ＋4＝0.∵M 到直线x －2y ＋4＝0的距离d ＝|1＋10＋4|5＝35， ∴公共弦长度l ＝2h 2－d 2＝2 5.11.已知圆C 经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C 在直线x －y ＋1＝0上，过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点.(1)求圆C 的方程；(2)①请问AM →·AN →是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；②若OM →·ON →＝12(O 为坐标原点)，求直线l 的方程.解 (1)设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，（1－a ）2＋（3－b ）2＝r 2，a －b ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝3，r ＝1，∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝1.(2)①AM →·AN →为定值，理由如下：过点A (0，1)作直线AT 与圆C 相切，切点为T ，易得|AT |2＝7，∴AM →·AN →＝|AM →|·|AN →|cos 0°＝|AT |2＝7.根据圆的弦切角定理及相似三角形，∴AM →·AN →为定值，且定值为7.②依题意可知，直线l 的方程为y ＝kx ＋1，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入(x －2)2＋(y －3)2＝1，并整理，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12，即4k （1＋k ）1＋k 2＝4，解得k ＝1.又当k ＝1时，Δ>0，∴k ＝1，∴直线l 的方程为y ＝x ＋1.12.(2022·宝鸡模拟)过点P (x ，y )作圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：(x －2)2＋(y －2)2＝1的切线，切点分别为A ，B ，若|P A |＝|PB |，则x 2＋y 2的最小值为( )A. 2B.2C.2 2D.8 答案 B解析 由(x 2＋y 2－1)－(x 2＋y 2－4x －4y ＋7)＝0得x ＋y －2＝0，则P 点在直线l ：x ＋y －2＝0上，原点到直线l 的距离d ＝2，所以(x 2＋y 2)min ＝d 2＝2.13.(2022·南阳联考)阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k (k >0，且k ≠1)的点的轨迹是圆，后人将此圆称为阿氏圆.若平面内两定点A ，B 间的距离为4，动点P 满足|P A ||PB |＝3，则动点P 的轨迹所围成的图形的面积为________；P A →·PB →的最大值是________. 答案 12π 24＋16 3解析 以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立平面直角坐标系， 则A (－2，0)，B (2，0).设P (x ，y )，∵|P A ||PB |＝3，∴（x ＋2）2＋y 2（x －2）2＋y 2＝3，得x 2＋y 2－8x ＋4＝0，即(x －4)2＋y 2＝12，所以点P 的轨迹为圆，其面积为12π.P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y )＝x 2－4＋y 2＝|OP |2－4，如图，当P 位于点D 时，|OP |2最大，|OP |2的最大值为(4＋23)2＝28＋163， 故P A →·PB →的最大值是24＋16 3.14.(2021·北京海淀区模拟)已知A (2，0)，直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，且P 为圆C 上任意一点.(1)求|P A |的最大值与最小值；(2)圆C 与坐标轴相交于三点，求以这三个点为顶点的三角形的内切圆的半径. 解 (1)∵直线4x ＋3y ＋1＝0被圆C ：(x ＋3)2＋(y －m )2＝13(m <3)所截得的弦长为43，∴圆心到直线的距离d ＝|－12＋3m ＋1|5＝（13）2－（23）2＝1.∵m <3，∴m ＝2，∴|AC |＝（－3－2）2＋（2－0）2＝29， ∴|P A |的最大值与最小值分别为29＋13，29－13.(2)由(1)可得圆C 的方程为(x ＋3)2＋(y －2)2＝13，令x ＝0，得y ＝0或4； 令y ＝0，得x ＝0或－6，∴圆C 与坐标轴相交于三点M (0，4)，O (0，0)，N (－6，0)，∴△MON为直角三角形，斜边|MN|＝213，∴△MON内切圆的半径为4＋6－2132＝5－13.。
高中数学 人教版 必修二 直线与圆的方程综合复习题(含答案)
直线与圆的方程综合复习〔含答案〕一． 选择题1.已知点A(1,. 3),B(-1,33),则直线AB 的倾斜角是〔 C 〕 A 3B 6C 23D 562.已知过点A(-2,m)和B 〔m,4〕的直线与直线2x+y-1=0平行，则m 的值为〔 C 〕 A 0 B 2 C -8 D 103.假设直线L 1:ax+2y+6=0与直线L 2:x+(a-1)y+(2a -1)=0平行但不重合，则a 等于〔 D 〕A -1或2 B23C 2D -1 4.假设点A 〔2，-3〕是直线a 1x+b 1y+1=0和a 2x+b 2y+1=0的公共点，则相异两点 〔a 1，b 1〕和〔a 2，b 2〕所确定的直线方程是( A ) A.2x-3y+1=0 B.3x-2y+1=0 C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0 5.直线xcos θ+y-1=0 (θ∈R )的倾斜角的范围是 ( D )A.[)π，0B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡ππ43,4C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4,4ππD.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,434,06.“m= 12〞是“直线〔m+2〕x+3my+1=0与直线〔m-2〕x+(m+2y)-3=0相互垂直〞的〔 B 〕A 充分必要条件B 充分而不必要条件C 必要而不充分条件D 既不充分也不必要条件7.已知A(7,-4)关于直线L 的对称点为B 〔-5,6〕，则直线L 的方程为〔B 〕 A 5x+6y-11=0 B 6x-5y-1=0 C 6x+5y-11=0 D 5x-6y+1=0 8.已知直线1l 的方向向量a=(1,3),直线2l 的方向向量b=(-1,k).假设直线2l 经过点〔0,5〕且1l 2l ，则直线2l 的方程为〔 B 〕A x+3y-5=0B x+3y-15=0C x-3y+5=0D x-3y+15=0 9. 过坐标原点且与圆2x +2y -4x+2y+52=0相切的直线方程为〔 A 〕A y=-3x 或y= 13xB y=3x 或y= -13xC y=-3x 或y= -13xD y=3x 或y= 13x10.直线x+y=1与圆2x +2y -2ay=0(a>0)没有公共点,则a 的取值范围是〔A 〕A (02-1,)B (2-1, 2+1)C (-2-1, 2-1)D (0, 2+1) 11.圆2x +2y -4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0的最大距离与最小距离的差是〔 C 〕A 36B 18C 62D 5212.以直线：y=kx-k 经过的定点为P 为圆心且过坐标原点的圆的方程为〔D 〕， A 2x +2y +2x=0 B 2x +2y +x=0 C 2x +2y -x=0 D 2x +2y -2x-013.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果定点P 满足PA=2PB,则定点P 的轨迹所 包围的面积等于〔 B 〕A B 4 C 8 D 914.假设直线3x+y+a=0过圆2x +2y +2x-4y=0的圆心，则a 的值为〔 B 〕A 1B -1C 3D -315.假设直线2ax-by+2=0 (a ＞0,b ＞0)始终平分圆x 2+y 2+2x-4y+1=0的周长，则ba 11+的最小值是〔 C 〕 A.41B.2C.4D.2116.假设直线y=k(x-2)+4与曲线y=1+24x -有两个不同的交点，则k 的取值范围是 〔 A 〕A.⎥⎦⎤⎝⎛43,125 B.⎪⎭⎫⎝⎛+∞,125 C.⎥⎦⎤⎝⎛43,21D.⎪⎭⎫⎝⎛125,0 17.设两圆1C ,2C 都和两坐标轴相切，且过点〔4,1〕，则两圆心的距离 ︱1C 2C ︱等于〔 C 〕A 4B 42C 8D 8218.能够使得圆x 2+y 2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为 〔 C 〕 A.2B.5C.3D.3519.假设直线by ax +=1与圆x 2+y 2=1有公共点，则( D )A.a 2+b 2≤1B.a 2+b 2≥1C.2211b a +≤1 D.2211b a +≥120.已知A 〔-3，8〕和B 〔2，2〕，在x 轴上有一点M ，使得|AM|+|BM|为最短，那么点M 的坐标为〔 B 〕A.(-1,0)B.(1,0)C.⎪⎭⎫⎝⎛0522，D. ⎪⎭⎫⎝⎛522,021.直线y=kx+3与圆2(3)x +2(2)y =4相交于M 、N 两点，假设︱MN ︱≥23,则k 的取值范围是〔 A 〕A [-34,0] B [-∞,-34] [0，∞〕 C [-33,33] D [-23,0] 22.〔X 理科2〕已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为〔 C 〕A ．0B ．1C ．2D ．3 23.〔X 理科9〕假设曲线02221=-+x y x C ：与曲线 0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( B ) A. )33,33(-B. )33,0()0,33( -C. ]33,33[-D. ),33()33,(+∞--∞ 答案：B 曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，曲线()0=--m mx y y 表示0,0=--=m mx y y 或过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，由图可以了解，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是)33,0()0,33( -二．填空题24．已知圆C 经过)3,1(),1,5(B A 两点，圆心在X 轴上，则C 的方程为10)2(22=+-y x ___________。
高二数学必修2直线圆精品复习
《直线和圆的方程》复习一、直线的方程1、倾斜角：范围 ，若x l //轴或与x 轴重合时， 。
2、斜率： k=α与k 的关系：α=0⇔k =0＜α＜2k π⇔> α=2k π⇔22k ππ<<⇔<已知L 上两点P 1（x 1,y 1）P 2（x 2,y 2）⇒k=当1x =2x 时，α= ，κ 。
3、截距： 特别：曲线过原点⇔横纵截距都为0。
几种特殊位置的直线 ①x 轴： ②y 轴：③平行于x 轴：④平行于y 轴： ⑤过原点：②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数（1） (2) 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） （2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。
②与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③与Ax+By+C=0垂直的直线系 （3）过L 1 :A 1x+B 1y+C 1=0,L 2: A 2X+B 2Y+C 2=0交点的直线系 （不含2l ） 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+，② ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系：2、距离：①点到直线距离：已知点p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0d=②两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒ d=（与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B A d 与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是：0221=+++C C BY AX ）3、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --' （2）点关于线的对称：设p(a（3）求点P （X 0、Y 0）关于L ：如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则 Kpp 0﹡K L =－1P, P 0中点满足L 方程解出P 0(x 0,y 0)（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P 0(x 0,y 0)的坐标。
高中数学必修2直线与圆常考题型：圆的一般方程
圆的一般方程【知识梳理】圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E 2)，半径长为12D 2＋E 2－4F . 【常考题型】题型一、圆的一般方程的概念辨析【例1】 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，求(1)实数m 的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D 2＋E 2－4F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15， 故m 的取值范围为(－∞，15)． (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .【类题通法】形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F ＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．【对点训练】1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x 2＋y 2＋x ＋1＝0；(2)x 2＋y 2＋2ax ＋a 2＝0(a ≠0)；(3)2x 2＋2y 2＋2ax －2ay ＝0(a ≠0)．解：(1)∵D ＝1，E ＝0，F ＝1，∴D 2＋E 2－4F ＝1－4＝－3＜0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D ＝2a ，E ＝0，F ＝a 2，∴D 2＋E 2－4F ＝4a 2－4a 2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x 2＋y 2＋ax －ay ＝0，D ＝a ，E ＝－a ，F ＝0，∴D 2＋E 2－4F ＝2a 2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为(－a 2，a 2)， 半径r ＝12 D 2＋E 2－4F ＝22|a |. 题型二、圆的一般方程的求法【例2】 已知△ABC 的三个顶点为A (1,4)，B (－2,3)，C (4，－5)，求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解] 法一：设△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，∵A ，B ，C 在圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋16＋D ＋4E ＋F ＝0，4＋9－2D ＋3E ＋F ＝0，16＋25＋4D －5E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－2，E ＝2，F ＝－23，∴△ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －23＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.∴外心坐标为(1，－1)，外接圆半径为5.法二：∵k AB ＝4－31＋2＝13，k AC ＝4＋51－4＝－3， ∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC .∴△ABC 是以角A 为直角的直角三角形，∴外心是线段BC 的中点，坐标为(1，－1)，r ＝12|BC |＝5. ∴外接圆方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝25.应用待定系数法求圆的方程时：(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a ，b ，r .(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D 、E 、F .【对点训练】2．求经过点A (－2，－4)且与直线x ＋3y －26＝0相切于点B (8,6)的圆的方程． 解：设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2. ∵圆与x ＋3y －26＝0相切，∴6＋E 28＋D 2·⎝⎛⎭⎫－13＝－1，即E －3D －36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圆上，∴2D ＋4E －F －20＝0，②8D ＋6E ＋F ＋100＝0.③联立①②③，解得D ＝－11，E ＝3，F ＝－30，故所求圆的方程为x 2＋y 2－11x ＋3y －30＝0.题型三、代入法求轨迹方程【例3】 已知△ABC 的边AB 长为4，若BC 边上的中线为定长3，求顶点C 的轨迹方程．[解] 以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立坐标系(如图)，则A (－2,0)，B (2,0)，设C (x ，y )，BC 中点D (x 0，y 0)．∴⎩⎨⎧2＋x 2＝x 0，0＋y 2＝y 0. ①∵|AD |＝3，∴(x 0＋2)2＋y 20＝9. ②将①代入②，整理得(x ＋6)2＋y 2＝36.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点． 轨迹方程为(x ＋6)2＋y 2＝36(y ≠0)．用代入法求轨迹方程的一般步骤【对点训练】3．过点A (8,0)的直线与圆x 2＋y 2＝4交于点B ，则AB 中点P 的轨迹方程为________________． 解析：设点P 的坐标为(x ，y )，点B 为(x 1，y 1)，由题意，结合中点坐标公式可得x 1＝2x －8，y 1＝2y ，故(2x －8)2＋(2y )2＝4，化简得(x －4)2＋y 2＝1，即为所求．答案：(x －4)2＋y 2＝1【练习反馈】1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)解析：选D 圆的方程化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，圆心(2，－3)，选D.2．已知方程x 2＋y 2－2x ＋2k ＋3＝0表示圆，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－32，＋∞) 解析：选A 方程可化为：(x －1)2＋y 2＝－2k －2，只有－2k －2>0，即k <－1时才能表示圆．3．方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 2＝2，－－b 2＝2，12 4a 2＋b 2－4c ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－2，b ＝4，c ＝4.答案：－2,4,44．设A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线且|P A |＝1，则P 点的轨迹方程是________．解析：设P (x ，y )是轨迹上任一点，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为B (1,0)，则|P A |2＋1＝|PB |2，∴(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝25．求过点(－1,1)，且圆心与已知圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心相同的圆的方程． 解：设所求的圆的方程为：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，又圆x 2＋y 2－6x －8y ＋15＝0的圆心为(3,4)，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧2－D ＋E ＋F ＝0，－D 2＝3，－E 2＝4， 解此方程组，可得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. ∴所求圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0.。
高中数学必修2直线与圆常考题型：直线的两点式方程、直线的一般式方程
直线的两点式方程、直线的一般式方程【知识梳理】1．直线的两点式与截距式方程(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示．(2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 3．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．【常考题型】题型一、利用两点式求直线方程【例1】 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程．[解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.【类题通法】求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．【对点训练】1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.解析：(1)由于点A 与点B 的横坐标相等，所以直线l 没有两点式方程，所求的直线方程为x ＝2.(2)由两点式方程得，过A ，B 两点的直线方程为y －(－1)4－(－1)＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0.又点P (3，m )在直线AB 上，所以3＋m －1＝0，得m ＝－2.答案：(1)x ＝2 (2)－2题型二、直线的截距式方程及应用【例2】 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. 【类题通法】用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式． (3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．【对点训练】2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程． 解：设直线在x 轴、y 轴上的截距分别是a 、b ， 则有S ＝12|a ·b |＝1.∴ab ＝±2.设直线的方程是x a ＋yb＝1.∵直线过点(－2,2)，代入直线方程得－2a ＋2b ＝1，即b ＝2aa ＋2.∴ab ＝2a 2a ＋2＝±2.当2a 2a ＋2＝－2时，化简得a 2＋a ＋2＝0，方程无解；当2a 2a ＋2＝2时，化简得a 2－a －2＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴直线方程是x －1＋y －2＝1或x 2＋y1＝1，即2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0.题型三、直线方程的一般式应用【例3】 (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值； (2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？[解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0.①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2， 需2m ＝m ＋13≠4－2. 解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2. 当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0， 显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2.同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直． ②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0， 解得a ＝±1.将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 【类题通法】1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，(1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.【对点训练】3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程． 解：(1)法一：设直线l 的斜率为k ， ∵l 与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，∴k ＝－34.又∵l 经过点(1,2)，可得所求直线方程为y －2＝ －34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0. 法二：设与直线3x ＋4y ＋1＝0平行的直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0. ∵l 经过点(1,2)，∴3×1＋4×2＋m ＝0，解得m ＝－11. ∴所求直线方程为3x ＋4y －11＝0. (2)法一：设直线l 的斜率为k . ∵直线l 与直线2x ＋y －10＝0垂直， ∴k ·(－2)＝－1， ∴k ＝12.又∵l 经过点A (2,1)，∴所求直线l 的方程为y －1＝12(x －2)，即x －2y ＝0.法二：设与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线方程为x －2y ＋m ＝0. ∵直线l 经过点A (2,1)， ∴2－2×1＋m ＝0， ∴m ＝0.∴所求直线l 的方程为x －2y ＝0.【练习反馈】1．直线x 3－y4＝1在两坐标轴上的截距之和为( )A ．1B ．－1C ．7D ．－7解析：选B 直线在x 轴上截距为3，在y 轴上截距为－4，因此截距之和为－1. 2．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( ) A.3x 4－y2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y－2＝1 D.x 43＋y－2＝1 解析：选D 求直线方程的截距式，必须把方程化为x a ＋yb ＝1的形式，即右边为1，左边是和的形式．3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________． 解析：由题意直线过两点，由直线的两点式方程可得：y －25－2＝x －(－1)2－(－1)，整理得x －y ＋3＝0.答案：x －y ＋3＝04．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________． 解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程． 解：∵直线AB 过点A (0，－5)，B (－3,3)两点， 由两点式方程，得y ＋53＋5＝x －0－3－0.整理，得8x ＋3y ＋15＝0.∴直线AB 的方程为8x ＋3y ＋15＝0. 又∵直线AC 过A (0，－5)，C (2,0)两点， 由截距式得x 2＋y－5＝1，整理得5x －2y －10＝0，∴直线AC 的方程为5x －2y －10＝0.。
高三总复习直线与圆的方程知识点总结_2
2016届高考数学复习——直线与圆的方程【考试要求】（1）直线与方程①在平面直角坐标系中, 结合具体图形, 确定直线位置的几何要素.②理解直线的倾斜角和斜率的概念, 掌握过两点的直线斜率的计算公式.③能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.④掌握确定直线位置的几何要素, 掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）, 了解斜截式与一次函数的关系.⑤能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.⑥掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式, 会求两条平行直线间的距离. （2）圆与方程①掌握确定圆的几何要素, 掌握圆的标准方程与一般方程.②能根据给定直线、圆的方程, 判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程, 判断两圆的位置关系.③能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.【知识及公式回顾】1.点到直线距离: __________________________（已知点（p0(x0,y0)与直线L: AX+BY+C=0）2.推论: 两行平线间距离: L1=AX+BY+C1=0 L2: AX+BY+C2=0 d=_________________对称问题: （1）点关于点对称：点P(x1,y1)关于M（x0,y0）的对称点（, ）2）点关于线的对称: 设点P(a,b),则其关于直线l的对称点的坐标？一般方法:P3.圆的方程①标准方程, ______________为圆心, _______________为半径。
②一般方程：,圆心______________, 半径=Cr__________________当时, 表示一个点。
当时, 不表示任何图形。
4.点与圆的位置关系：考察点到圆心距离d, 然后与半径r比较大小。
5.直线和圆的位置关系：相交、相切、相离判定: 利用圆心c (a、b) 到直线Ax+By+C=0的距离d来确定:d＜r⇔_________、d＝r⇔_________、d＞r⇔___________（直线与圆相交, 注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt△）6.圆与圆的位置关系由两圆心间距离与其半径进行判断、相交、相离（外离、内含）、相切（外切、内切）【典型考题】类型一: 圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0 y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与 圆的关系.例2 求半径为4, 与圆 相切, 且和直线 相切的圆的方程.例3【2015湖南】若直线 与圆 相交于A,B 两点, 且 （O 为坐标原点）, 则 =_____.类型二: 直线与圆的位置关系例4 【2015安徽】直线3x+4y=b 与圆 相切, 则b=（ ）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12例5 求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.例6 已知直线 和圆 , 判断此直线与已知圆的位置关系.例7 【2015全国卷1】 已知过点 且斜率为k 的直线l 与圆C: 交于M, N 两点. （I ）求k 的取值范围；（II ） , 其中O 为坐标原点, 求 .类型三: 轨迹问题例8 已知点 与两个定点 , 的距离的比为 , 求点 的轨迹方程.例9 已知线段的端点的坐标是（4, 3）, 端点在圆上运动, 求线段的中点的轨迹方程.。
高考文科数学第一轮考点总复习课件 直线和圆的方程 (4)
D2x+E2y+F2)=0
7
▪
圆x2+y2-4x+4y+6=0截直线x-y-
5=0所得A的弦长等于( )
A. 6
B. 5 2
2
C. 1
D. 5
▪
解：易知圆心(2,-2)到直线x-y-
5=022的距离为 ，
▪
又圆的半径为2,所以2 弦( 2长)2 -(为22 )2 6.
8
▪ 圆x2+y2-4x=0在3点P(1, )处的切D线
轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆
x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方
程.
▪
解：已知圆的标准方程为(x-2)2+(y-2)2=1，
▪
其关于x轴的对称圆C′为(x-2)2+(y+2)2=1.
▪
设入射光线所在直线的方程为y-3=k(x+3)，
▪ 则此直所线以与| 51k圆kC52|′相 1切, ，化简得12k2 25k 12 0,
27
题型 以直线与圆为背景求变量的取值范围
▪
3. 已知动圆M与定圆
▪ C:(x+4)2+y2=4外切，圆心
▪ M在y轴上移动,圆M与y轴
▪ 相交于A、B两点,P(-3,0)为
▪ 定点，求tan∠APB的取值范围.
▪
a2 解16 ：设点M(0，a)，圆M的半
径为r，则r+2=
，点A(0，a-r)，28
(D1-D2)x+(E1-
x2+y2+D2x+E2y+F2E=20)相y 交于A、B两
+F1-F2=0
笔记(高中数学复习—直线方程与圆)
高中数学复习—直线方程与圆直线方程1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行，则m 的值4．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为5．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是6．若1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --三点共线 则m 的值为 7．直线13kx y k -+=，当k 变动时，所有直线都通过定点8．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是9．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为10．已知点(2,3),(3,2)A B --，若直线l 过点(1,1)P 与线段AB 相交，则直线l 的 斜率k 的取值范围是11．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线方程是12．求经过点(2,2)A -并且和两个坐标轴围成的三角形的面积是1的直线方程。
13．△ABC 中，点(4,1)A -,AB 的中点为(3,2)M ,重心为(4,2)P ，则边BC 的长为14．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为15．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为16．一直线过点(3,4)M -，并且在两坐标轴上截距之和为12，这条直线方程是17．求经过点(1,2)P 的直线，且使(2,3)A ，(0,5)B -到它的距离相等的直线方程18．若直线过点(3,－3)且倾斜角为30°,则该直线的方程为19. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率20．若直线x +a y+2=0和2x +3y+1=0互相垂直，则a =圆类型一：圆的方程 1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．2 求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程．3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程5 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线． 6 圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求公共弦AB 所在直线的方程．7、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第六讲、直线和圆的方程四、 平面解析几何初步（一）直线与方程1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素。
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念及相互间的关系，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
3.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直。
4.掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），了解斜截式与一次函数的关系。
5.会求两直线的交点坐标。
6.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离。
（二）圆与方程1.掌握圆的标准方程与一般方程。
2.能判断直线与圆、圆与圆的位置关系。
3.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题。
4.初步了解用代数方法处理几何问题。
（三）空间直角坐标系1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置。
2.了解空间两点间的距离公式。
直线方程 1数轴上两点间距离公式：B x x AB -=2直角坐标平面内的两点间距离公式：22122121)()(y y x x P P -+-=3直线的倾斜角：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角 当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° 可见，直线倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 4直线的斜率：倾斜角α不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用k 表示，即k =tan α（α≠90°）倾斜角是90°的直线没有斜率；倾斜角不是90°的直线都有斜率，其取值范围是（－∞，+∞） 5直线的方向向量：设F 1（x 1，y 1）、F 2（x 2，y 2）是直线上不同的两点，则向量21F F =（x 2－x 1，y 2－y 1）称为直线的方向向量向量121x x -21F F =（1，1212x x y y --）=（1，k ）也是该直线的方向向量，k 是直线的斜率特别地，垂直于x 轴的直线的一个方向向量为a ＝(0,1) 6求直线斜率的方法①定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k =tan α②公式法：已知直线过两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），且x 1≠x 2，则斜率k 1212x x y y -- ③方向向量法：若a =（m ，n ）为直线的方向向量，则直线的斜率k m n 平面直角坐标系内，每一条直线都有倾斜角，但不是每一条直线都有斜率对于直线上任意两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2），当x 1=x 2时，直线斜率k 不存在，倾斜角α=90°；当x 1≠x 2时，直线斜率存在，是一实数，并且k ≥0时，α=arctan k ；k ＜0时，α=π+arctan k 7直线方程的五种形式点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y +=，两点式：121121x x x x y y y y --=--， 截距式：1=+by a x ，一般式：0=++C By Ax 两直线的位置关系1．特殊情况下的两直线平行与垂直．当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直2．斜率存在时两直线的平行与垂直：两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ⇔1k =2k 且21b b ≠已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A1l ∥2l 的充要条件是212121C C B B A A ≠= ⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是1k 和2k ，则这两条直线垂直的充要条件是121-=k k ．已知直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则1l ⊥2l ⇔02121=+B B A A ． 3直线1l 到2l 的角的定义及公式：直线1l 按逆时针方向旋转到与2l 重合时所转的角,叫做1l 到2l 的角 1l 到2l 的角θ：0°＜θ＜180°， 如果.2,1,012121πθ=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=θ 4．直线1l 与2l 的夹角定义及公式:1l 到2l 的角是1θ, 2l 到1l 的角是π-1θ,当1l 与2l 相交但不垂直时, 1θ和π-1θ仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线1l ⊥2l 时,直线1l 与2l 的夹角是2π夹角α：0°＜α≤90° 如果.2,1,012121πα=-==+则即k k k k 如果0121≠+k k ，12121tan k k k k +-=α 5．两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组：⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A 是否有惟一解 6．点到直线距离公式：点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200B A C By Ax d +++=7．两平行线间的距离公式已知两条平行线直线1l 和2l 的一般式方程为1l ：01=++C By Ax ， 2l ：02=++C By Ax ，则1l 与2l 的距离为2221B A C C d +-= 8 直线系方程:若两条直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A 有交点，则过1l 与2l 交点的直线系方程为)(111C y B x A ++＋0)(222=++C y B x A λ或)(222C y B x A +++0)(111=++C y B x A λ (λ为常数)简单的线性规划及实际应用 1二元一次不等式表示平面区域:在平面直角坐标系中，已知直线Ax +By +C =0，坐标平面内的点P （x 0，y 0）B ＞0时，①Ax 0+By 0+C ＞0，则点P （x 0，y 0）在直线的上方；②Ax 0+By 0+C ＜0，则点P （x 0，y 0）在直线的下方对于任意的二元一次不等式Ax +By +C ＞0（或＜0），无论B 为正值还是负值，我们都可以把y 项的系数变形为正数当B ＞0时，①Ax +By +C ＞0表示直线Ax +By +C =0上方的区域；②Ax +By +C ＜0表示直线Ax +By +C =0下方的区域 2线性规划: 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题 满足线性约束条件的解（x ，y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域（类似函数的定义域）；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解生产实际中有许多问题都可以归结为线性规划问题线性规划问题一般用图解法，其步骤如下：（1）根据题意，设出变量x 、y ； （2）找出线性约束条件；（3）确定线性目标函数z =f （x ，y ）；（4）画出可行域（即各约束条件所示区域的公共区域）；（5）利用线性目标函数作平行直线系f （x ，y ）=t （t 为参数）；（6）观察图形，找到直线f （x ，y ）=t 在可行域上使t 取得欲求最值的位置，以确定最优解，给出答案曲线和方程1．平面解析几何研究的主要问题：根据已知条件求出表示平面曲线的方程；通过方程，研究平面曲线的性质2．“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),( y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；（纯粹性）(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．（完备性） 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线3求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合；（3）用坐标表示条件P （M ），列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点 4由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)；②求截距：方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y ()==⎧⎨⎩00x方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x ()==⎧⎨⎩00y③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线．5．交点：求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组．6．曲线系方程：过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)． 求轨迹有直接法、定义法和参数法，最常使用的就是参数法圆的方程1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2圆的标准方程圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+- 3圆的一般方程二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（*）配方得（x +2D ）2+（y +2E ）24422F E D -+ 把方程)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x 其中，半径是2422F E D r -+=，圆心坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛--22E D ，叫做圆的一般方程（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x 2、y 2项系数相等且不为零 没有xy 项（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2E ）； 当D 2+E 2－4F ＜0时，方程（*）不表示任何图形（3）根据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程 4圆的参数方程①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程是：cos ()sin x r y r ααα=⎧⎨=⎩是参数②圆心在点)(b a C ，，半径为r 的圆的参数方程是：⎩⎨⎧+=+=)(sin cos 是参数αααr b y r a x 在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程 5二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件若二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +AF =0， 仅当D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0 6 线段AB 为直径的圆的方程： 若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是0))(())((2121=--+--y y y y x x x x 7经过两个圆交点的圆系方程：经过011122=++++F y E x D y x ，022222=++++F y E x D y x 的交点的圆系方程是：0)(2222211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ 在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程 8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线0=++C By Ax l ：与圆022=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系方程是：0)(22=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ 9确定圆需三个独立的条件（1）标准方程： 222)()(r b y a x =-+-， 半径圆心，----r b a ),(（2）一般方程：022=++++F Ey Dx y x ，（)0422>-+F E D ,)2,2(圆心----E D 2422F E D r -+= 对称问题 1点关于点成中心对称的对称中心恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题设P （x 0，y 0），对称中心为A （a ，b ），则P 关于A 的对称点为P ′（2a －x 0，2b －y 0） 2点关于直线成轴对称问题 由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对顶点的坐标一般情形如下：设点P （x 0，y 0）关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（x ′，y ′），则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求出x ′、y ′ 特殊地，点P （x 0，y 0）关于直线x =a 的对称点为P ′（2a －x 0，y 0）；点P （x 0，y 0）关于直线y =b 的对称点为P ′（x 0，2b －y 0） 3曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题：一般是转化为点的中心对称或轴对称（这里既可选特殊点，也可选任意点实施转化）一般结论如下：（1）曲线f （x ，y ）=0关于已知点A （a ，b ）的对称曲线的方程是f （2a －x ，2b －y ）=0（2）曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线的求法：设曲线f （x ，y ）=0上任意一点为P （x 0，y 0），P 点关于直线y =kx +b 的对称点为P ′（y ，x ），则由（2）知，P 与P ′的坐标满足0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩从中解出x 0、y 0， 代入已知曲线f （x ，y ）=0，应有f （x 0，y 0）=0利用坐标代换法就可求出曲线f （x ，y ）=0关于直线y =kx +b 的对称曲线方程直线与圆、圆与圆的位置关系 1研究圆与直线的位置关系最常用的方法：①判别式法；②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系。