高中数学《第一章 集合与函数概念 》 章末复习

第一章集合与函数概念

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1．相同函数的判定方法

(1)定义域相同；

(2)对应法则相同(两点必须同时具备)．

2．函数解析式的求法

(1)定义法；

(2)换元法；

(3)待定系数法．

3．函数的定义域的求法

(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变

量的取值集合．

(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．

(3)复合函数问题

①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出；

②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．

注意：①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同；②定义域所指永远是x的范围．

4．函数值域的求法

(1)配方法(二次或四次)；

(2)判别式法；

(3)换元法；

(4)函数的单调性法．

5．判断函数单调性的步骤

(1)设x1、x2是所研究区间内任两个自变量的值，且x1

(2)判定f(x1)与f(x2)的大小：作差比较或作商比较．

6．奇偶性的判定法

首先考查定义域是否关于原点对称，再看f(－x)与f(x)之间的关系：①若函数f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若函数f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数；若f(x)＋f(－

x)＝0，则f(x)为奇函数；③若f(x)

f(－x)＝1(f(－x)≠0)，则f(x)为偶函数；

若f(x)

f(－x)＝－1(f(－x)≠0)，则f(x)为奇函数．

学科思想培优

一、集合的运算与方程、不等式

在高考中集合知识常与方程、不等式有关的问题结合在一起进行考查．

关于集合与方程问题的考查，一是不含参数的，直接求方程的解

集；二是含参数的，需要对方程分类讨论，求参数的取值范围．

不等式的解集常用集合表示，因此集合与不等式之间有着密切的联系，随着后续知识的学习，此类问题将经常出现，主要分为两类：一类是不含参数的，一般可以直接求解；二是含有参数的，常需要讨论，或进行等价转换，利用集合间的运算先化简集合，然后根据数形结合来解决．

[典例1] (1)若集合M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}，N ＝{x |(x －4)(x －

1)＝0}，则M ∩N ＝( )

A ．{1,4}

B ．{－1，－4}

C ．{0}

D ．∅ (2)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( )

A ．[－4，＋∞)

B ．(－2，＋∞)

C ．[－4,1]

D ．(－2,1] (3)已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }，若B ⊆A ，实数a 的取值范围是________．

解析 (1)因为M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}＝{－4，－1}，N ＝{x |(x －

4)(x －1)＝0}＝{1,4}，所以M ∩N ＝∅，故选D.

(2)由已知得S ∩T ＝{x |x >－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝{x |－2

(3)A ＝{x |x 2＋4x ＝0，x ∈R }＝{－4,0}，因为B ⊆A ，所以可分B ＝A 和B A 两种情况讨论．

①当B ＝A 时，B ＝{－4,0}，即－4,0是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－

1＝0的两根，则⎩⎨⎧ 2(a ＋1)＝4，a 2－1＝0，

解得a ＝1. ②当B

A 时，若

B ＝∅，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <

－1；

若B ≠∅，则B ＝{－4}或B ＝{0}，此时Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，检验知B ＝{0}，满足条件．

综上，可知实数a 的取值范围为{a |a ＝1或a ≤－1}．

答案 (1)D (2)D (3){a |a ＝1或a ≤－1}

二、函数的定义域

函数的定义域是指函数y ＝f (x )中自变量x 的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．

[典例2] (1)函数f (x )＝3x 2

1－x

＋(3x －1)0的定义域是( ) A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫－∞，13 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，1 (2)已知函数y ＝f (x ＋1)定义域是[－2,3]，则y ＝f (2x －1)的定义域是( )

A.⎣⎢⎡⎦

⎥⎤0，52 B ．[－1,4] C ．[－5,5]

D ．[－3,7] 解析 (1)由题意，得⎩⎨⎧ 1－x >0，3x －1≠0，

解得x <1且x ≠13.

(2)设u ＝x ＋1，由－2≤x ≤3，得－1≤x ＋1≤4，所以y ＝f (u )定

义域为[－1,4]．再由－1≤2x －1≤4，解得0≤x ≤52，即函数y ＝f (2x －

1)的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52.