高三数学 抛物线

第三节 抛 物 线一、基本知识概要：1.抛物线的定义：到一个定点Ｆ的距离与到一条定直线Ｌ的距离相等的点的轨迹．2.方程：px y 22= px y 22-= py x 22= py x 22-= 这里0>p3.4.基本量：对称轴 Ｘ轴 Ｙ轴 顶点坐标 原点Ｏ（０，０）焦点坐标 ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,2p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2p ⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0p ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,0p准线方程 2p x -= 2p x =2p y -= 2py = 焦半经 20p x r += 20p x r +-= 20p y r += 20py r +-=焦准距＝p ； 顶准距＝焦顶距＝2p； 曲线上的点到焦点的最近距＝2p 离心率 1=e5.焦点弦 过px y 22=()0>p 的焦点弦ＡＢ Ａ（1x ，1y ）Ｂ（2x ，2y ）,sin 2221αp p x x AB =++=221p y y -=，4221p x x = 6.标点 抛物线px y 22=上的点可标为()00,y x 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛02,2y p y 或()pt pt2,22()R t ∈ 二、例题：例1、（1）抛物线24ax y =的焦点坐标是_____________.（2）焦点在直线042=--y x 上的抛物线的标准方程是_______________.其对应的准线方程是_________________. (3)以抛物线()022>=p py x 的一条焦点弦为直径的圆是08622=--+y x y x ，则=p _______________(4)到y 轴的距离比到点()0,2的距离小2的动点的轨迹方程是_____________(5)一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是()20022≤≤=y y x 。

在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯的底部，则玻璃球的半径的范围为（ ）10.≤<r A 10.<<r B 20.≤<r C 20.<<r D解：（1）焦点F ⎪⎭⎫⎝⎛a 161,0（2）因为焦点在坐标轴上，所以焦点为()0,4或()2,0-，故抛物线的标准方程为x y 162=或y x 82-=,对应的准线方程是2,4=-=y x 。

（3）因为该圆与该抛物线的准线相切，所以212=⇒=p p（4）即为动点到点（2，0）的距离等于到直线2-=x 的距离，或动点在Y 轴的非正半轴上，所以轨迹方程为x y 82= 或()00≤=x y（5）设圆为()222r r y x =-+，抛物线为y x 22=，联立得()0122=-+y r y ，令0=∆，得1=r ，1max =∴r ，故选A 。

[思维点拔]正确理解抛物线和注意问题的多解性，严密思考问题。

例2、河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？ 解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为)0(22>-=p py x 。

将B （4,-5）代入得P=1.6y x 2.32-=∴船两侧与抛物线接触时不能通过则A(2,y A )，由22=-3.2 y A 得y A = - 1.25 因为船露出水面的部分高0.75米 所以h=︱y A ︱+0.75=2米答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行 [思维点拔] 注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。

．例3、如图所示，直线1l 和2l 相交于点M ，21l l ⊥，点1l N ∈，以A 、B 为端点的曲线段C 上任一点到2l 的距离与到点N 的距离相等。

若AMN ∆为锐角三角形，6NB ,3,17＝且==AN AM ，建立适当的坐标系，求曲线段C 的方程。

解：以直线1l 为x 轴，线段MN 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C 是以点N 为焦点，以2l 为准线的抛物线的一段，其中A 、B 分别为曲线段C 的端点。

设曲线段C 的方程为)0,)(0(22>≤≤>=y x x x p px y B A ，其中B A x x ,为A 、B 的横坐标，MN p =，所以)0,2(),0,2(p N pM -，由3,17==AN AM ，得172)2(2=++A A px p x （1）92)2(2=+-A A px p x （2），（1）（2）联立解得p x A 4=，代入（1）式，并由0>p 解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2214A A x p x p 或，因为AMN ∆为锐角三角形，所以A x p>2，故舍去⎩⎨⎧==22A x p ，所以⎩⎨⎧==14A x p 由点B 在曲线段C 上，得42=-=PBN x B ，综上，曲线段C 的方程为)0,41(82>≤≤=y x x y[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

例4. 设抛物线)0(22>=p px y 的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线的准线上，且轴x BC //，证明直线AC 经过原点O 。

证明一：设AB ：02,2,2222=--=+=p pmy y px y p my x 得代入由韦达定理，得AB B A y p y p y y 22,-=-=即）（－上，在准线轴，且B y p p x x BC ,2C 2C //∴-= 则OA A AA B OC k x y y p p y k ===-=22，故直线AC 经过原点O 。

证明二：见教材P125页。

[思维点拔]本题的“几何味”特别浓，这就为本题注入了活力，在涉及解析思想较多的证法中，关键是得到2p y y B A -=这个重要结论，还有些证法充分利用了平面几何知识，这也提醒广大师生对圆锥曲线几何性质的重视，也只有这样才能挖掘出丰富多彩的解析几何的题目。

例5、（备用）设抛物线)0(42>=a ax y 的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB ︱为半径，在x 轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M ，N 。

点P 是MN 的中点。

（1）求︱AM ︱+︱AN ︱的值（2）是否存在实数a ，恰使︱AM ︱︱AP ︱︱AN ︱成等差数列？若存在，求出a ，不存在，说明理由。

解：(1)设M,N,P 在抛物线准线上的射影分别为M ′,N ′,P ′. ︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=x M +x N +2a 又圆方程16)]4([22=++-y a x将ax y 42=代入得08)4(222=++--a a x a x()a x x N M -=+∴42得︱AM ︱+︱AN ︱=8(2)假设存在a因为︱AM ︱+︱AN ︱=︱MM ′︱+︱NN ′︱=2︱PP ′︱所以︱AP ︱=︱PP ′︱ ，P 点在抛物线上，这与P 点是MN 的中点矛盾。

故a 不存在。

例6、（备用）抛物线()022>=p px y 上有两动点A ，B 及一个定点M ，F 为焦点，若BF MF AF ,,成等差数列 （1） 求证线段AB 的垂直平分线过定点Q（2） 若6,4==OQ MF （O 为坐标原点），求抛物线的方程。

（3） 对于（2）中的抛物线，求△AQB 面积的最大值。

解：（1）设()()()002211,,,,,y x M y x B y x A ，则21p x AF +=，22px BF +=，20px MF +=，由题意得2210x x x +=，AB ∴的中点坐标可设为()t x ,0，其中0221≠+=y y t （否则0=⇒==p BF MF AF ）， 而()222121212121y y py y x x y y k AB --=--=t py y p =+=212，故AB 的垂直平分线为()0x x ptt y -=-，即()00=+--yp p x x t ，可知其过定点()0,0p x Q + （2）由6,4==OQ MF ，得6,4200=+=+p x px ，联立解得2,40==x p x y 82=∴。

（3）直线AB ：()24-=-x tt y ，代入x y 82=∴得0162222=-+-t ty y ，()()2212212214644t y y y y y y -==-+=-∴ ，()()221222116y y t x x -=- (),16422t t -=()()221221y y x x AB -+-=∴()()22161621t t -+==425621t -=，又点()0,6Q 到AB 的距离216t d +== ，d AB S AQB 21=∴∆()()241625641t t +-=64216256409641t t t --+=令642162564096t t t u --+=，则53664512t t t u --='，令0='u 即066451253=--t t t ，得0=t 或162-=t 或3162=t ，∴3162=t 334±=⇒t 时()6964=∆AQBS。

[思维点拔]设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法，必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

三、课堂小结：全面精确地掌握抛物线的定义，方程以及它的基本量是把握问题的关键。

对圆锥曲线综合问题的处理也需多多的感悟。

四、作业布置：教材P125闯关训练。