高考数学选题压轴题精选：立体几何模块

专题：立体几何的动态问题

题型一 ：立体几何中动态问题中的角度问题

例1.（2016·四川高考）如图，四边形ABCD 和ADPQ 均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M 在线段PQ 上，E 、F 分别为AB 、BC 的中点，设异面直线EM 与AF 所成的角为θ，则cos θ的最大值为（ ）

A ．

15

B ．

35

C ．

25

D ．

45

【举一反三】

1．（2020·黑龙江牡丹江一中高三（理））如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是AC 中点，点P 在线段11A C 上，若直线OP 与平面11A BC 所成的角为θ，则sin θ的取值范围是（ ）．

A ．3⎣⎦

B ．11,32

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

C ．⎣⎦

D ．11,43

⎡⎤⎢⎥⎣⎦

2．（2020·广东高考模拟）在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是侧面11ADD A 内的动点，且1B E //平面1BDC ，则直线1B E 与直线AB 所成角的正弦值的最小值是( )

A ．

13 B C ．12 D 3.（2020·浙江台州中学高三）如图，已知正方体ABCD EFGR -的上底面中心为H ，点O 为AH 上的动点，P 为FG 的三等分点（靠近点F ），Q 为EF 的中点，分别记二面角P OQ R --，Q OR P --，

R OP Q --的平面角为,,αβγ，则（ ）

A ．γαβ<<

B ．αγβ<<

C ．αβγ<<

D ．βαγ<<

题型二 立体几何中动态问题中的距离问题

【例2】（2020·山西高三）设点M 是棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AD 的中点，点P 在面BCC 1B 1所在的平面内，若平面D 1PM 分别与平面ABCD 和平面BCC 1B 1所成的锐二面角相等，则点P 到点C 1的最短距离是（ ）

A B ．

2

C ．1

D ．

3

【举一反三】

1．（2020·四川高三（理））已知三棱锥S ABC -中，1SA SB SC ===，且SA 、SB 、SC 两两垂直，P 是三棱锥S ABC -外接球面上一动点，则P 到平面ABC 的距离的最大值是（ ）

A B C D

2.如图，已知正方体棱长为4，点在棱上，且，在侧面内作边长为1的正方形，是侧面内一动点，且点到平面距离等于线段的长，则当点运动时，的最小值是（ ）

A ．21

B ．22

C ．23

D ．25

3（2020广西柳州市模考）如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，棱长为1，点P 为线段A 1C 上的动点（包含线段端点），则下列结论错误的是（ ）

A ．当A 1C ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =3A 1P ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 时，D 1P ∥平面BDC 1

B ．当P 为A 1

C 中点时，四棱锥P −AA 1

D 1D 的外接球表面为9

4π

C ．AP +P

D 1的最小值为√6 D ．当A 1P =

√3

3

时，A 1P ⊥平面D 1AP

题型三 立体几何中动态问题中的面积、体积问题

【例3】（2020·河南高三（理））在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，P 是底面ABCD 所在平面内一动点，设1PD ，PE 与底面ABCD 所成的角分别为12θθ，（12θθ，均不为0），若12θθ=，则三棱锥11P BB C -体积的最小值是（ ）

1111ABCD A B C D -H 1AA 11HA =11BCC B 1EFGC P 11BCC B P 11CDD C PF P 2

||

HP

A ．

92

B ．

52

C ．

32

D ．

54

【举一反三】

1.（2020·四川高三期末）长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，1BC =，12AA =，P 为该正方体侧面

11CC D D 内（含边界）的动点，且满足tan tan PAD PBC ∠+∠=则四棱锥P ABCD -体积的取值范

围是（ ）

A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦

B ．233⎤

⎥⎣

⎦ C ．40,3⎛⎤

⎥⎝⎦

D ．4,33⎤

⎥⎣

⎦ 2.在棱长为6的正方体

中，是

中点，点是面

所在的平面内的动点，且满足

，则三棱锥

的体积最大值是（ ）

A. 36

B.

C. 24

D.

3．（2020·重庆市松树桥中学校高三）如图，在单位正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1AD 上运动，给出以下四个命题：

①异面直线1A P 与1BC 间的距离为定值；

②三棱锥1D BPC -的体积为定值；

③异面直线1C P 与直线1CB 所成的角为定值；

④二面角1P BC D --的大小为定值．

其中真命题有( ) A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

题型四 立体几何中动态问题中的轨迹问题

【例4】（2020南充高考一模）如图，直二面角AB αβ--，P α∈，C β∈，D β∈，且AD AB ⊥，BC AB ⊥，5AD =，10BC =，6AB =，APD CPB ∠=∠，则点P 在平面α内的轨迹是（ ）