第10章电磁感应和电磁场知识点复习.

c

a

O


v
若 vB > kr/6 , 的方向为顺时针； 若 vB < kr/6 , 的方向为逆时针。
kπr vBr 6

d



b
(11)
五、互感系数
M
21 12
i1 i2
在磁场中有 A、 B两点，中间可放直导线 AB和弯曲导 线AB，问哪根导线上的电动势大。 解：在直线AB上的电动势为
d 1 d dB 1 ( BS1 ) S1 dt dt dt
S1为三角形OAB面积。 在曲线AB上的电动势为
O A
B
d 2 d dB 2 ( BS2 ) S2 dt dt dt
1 2
动生



感生

wk.baidu.com

O
30



v

cd弧上的动生电动势相当于cd 弦上的动生电动势

d
b
(10)
1
cd
(v B ) dl vBcd vBr 方向: cd
当 I < 0 时， 若dI > 0, 则 > 0 若dI < 0, 则 < 0

0
图(a) 0
t

t (A) t (C)
0
t (B) t (D)

0
(14)
例10：真空中两根很长的相距为2a的平行直导线与电 源组成闭合回路如图。已知导线中的电流强度为I，则 在两导线正中间某点P处的磁能密度为多少？
0 L
0
v lcos30
a
3B L 3 2 ldl BL 0 4 8 L 3 2 ca l cos 30 B dl cos(180 30) BL 0 8
l cos 30 B dl cos 30
dl v B c dl b l vB
a
L 顺时针
o a a+b
I t
b L dS
y
v
x
d m B dS BdS 0 I B dS x dy 2 y
取dS,其内的磁通量为
I t
v
(7)
在t时刻,矩形线框内的磁通量: m t
m t

S
d m B dS
d d d( BS ) dB (B S ) S dt dt dt dt
2 1 L dB 2 L R 2 4 dt
负号表示棒上电动势方向: a b
b点电势高
(5)
例5: 在圆柱形空间内有均匀磁场 B , 且dB / dt 0 ,
S
I t I 0e
t
ab
a
0 I 0 I ab x dy x ln 2 y 2 a
0 a b dI d m dx i x I ln dt 2 a dt dt 0 a b t 1 t v ln I0 e 2 a
其中 x = vt
(8)
0 ab t i v I 0 e t 1 ln 2 a
i 的方向
o

当t1时, i为顺时针方向 当t1时, i为逆时针方向 x
o
I t
I t
x
a
i
y
v
a
i
y
v
a+b
a+b
(9)
例7：在垂直图面的圆形空间内，有一随时间均匀变 化的匀强磁场, 其方向如图。在图面内有两条相交于 O点夹角为 60 的直导线Oa和Ob。此外, 在图面内另 有一半径为r的半圆环形导线在上述两条直导线上以 速度 v 匀速滑行，其方向如图。在时刻t，半圆环的 圆心正好与O点重合, 此时磁感应强度的大小为B, B 随时间的变化率为k（k > 0的常数）。求此时闭合回 路OcdO中的感应电动势 。 a 解：设顺时针方向为闭合回路 c r B OcdO的绕行正向
半圆环导线处于 t 时刻所在位置静止不 动时，回路OcdO 中的感生电动势为
B 2 dS S t 2 B πr dS k t S 6
方向: OdcO
2
B

30
r
“1”
“2”
di1 互感电动势 21 M dt
21
i1
21
例8: 面积为 S 和 2S 的两圆线圈1、2如图放置，通有 相同的电流 I 。线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁 通用 21 表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁 通用 12 表示，则 21 和 12 的大小关系如何？ 解：
全电流：
I I0 Id
总是连续的
全电流 H的环路定理：
H dr I 0int I d int
L
(16)
例11: 充了电的由半径为r的两块圆板组成的平板电容器, 在放电时两板间的电场强度的大小为 E E0e t / RC 式中t 为时间，E0、R、C 均为常数，则两板间的位移电流的大 小为__________，其方向与场强方向________。
S2为扇形OAB面积
S2 S1
| 2 || 1 |
(6)
d m 解： i dt
建立坐标 xoy
例6: 如图,真空中一长直导线通有电流 I t I 0e t 有一带滑动边的矩形导线框与其平行共面, 二者相 距a, 滑动边长为b,以匀速 v 滑动。若忽略线框中的 自感电动势, 并设开始时滑动边与对边重合。 求: 任意时刻t 在矩形线框内的感应电动势i 并讨论 i 的方向.
M

21
I

12
I
I
I
1 S
2S
2
21＝ 12
(12)
六、自感系数 L

i
取决于回路的大小、形状、线圈的匝数以及周围磁 介质的分布。对非铁磁介质与电流无关。
di 自感电动势 L L dt 1 2 自感磁能 Wm LI 2 2 1B 1 1 2 七、磁能密度 wm BH H 2 2 2
t
O x
(18)
例13: 如图所示, 平板电容器(忽略边缘效应)充电时, 沿环路L1、L2的磁场强度H的环流中，必有（ C ）
(A) H dr H dr L1 L2 (B) H dr H dr
L1 L2
L1
(C) H dr H dr L1 L2 (D) H dr 0
dl
d (v B ) dl vB 与 成 角 a v v B B dl α dε vBdlcosα 注意到 dlcosα dx b ( v B ) dl
v
b
B
x
vBdx Bvxab
B
abca 0
(3)
四、 感生电动势和感生电场
B Ei dr dS L S t
Ei：感生电场强度
例 3 ：一段导线被弯成圆心在 o 点 , 半径为 R 的三段圆弧 ab、bc、ca, 它们构成了一个闭合回路, ab位于xoy 平面 内, bc和ca分别位于另两个坐标面中。均匀磁场 B 沿x 轴正方向穿过圆弧 bc 与坐标轴所围成的平面。设磁感 应强度随时间的变化率为 K(K>0) ，则闭合回路中感应 2 π R K / 4 ；圆弧bc中感应电流的方向 电动势的数值为_________ cb 。 是_________ z c
L1
L2
(19)
九、麦克斯韦方程组中各方程的物理意义(记住) 例14: 反映电磁场基本性质和规律的麦克斯韦方程组为
D dS q0 int S B dS 0 S d m B E dr dS L S t dt


vB dl
v

B( r )
ab 0 ，a为负极，b为正极，b点电势高。 ab 0，a为正极，b为负极，a点电势高。
(1)
例1: 均匀磁场中有一弯曲的导线 ab，以速度 v 竖直向
上匀速移动，求此段导线的动生电动势。 解: 导体元dl上的动生电动势为
解：O点的场强为
q
q [(sin t ) j (cos t )i ] 2 4π 0 R 又 D 0 E q D [(sin t ) j (cos t )i ] 2 4πR D q J [(sin t )i (cos t ) j ] 2 t 4πR E
a
(2)
a b
例 2: 等边三角形金属框边长为 L ，放在平行于 ab 边 转动，则bc边 的匀强磁场 B 中，绕ab边以角速度 的电动势为_________，ca边的电动势为_______ ， 金属框总电动势为________(规定abca 为 正方向)。
L 解: bc (v B ) dl
第10章 电磁感应和电磁场知识点复习
二、楞次定律：闭合回路中感应电流的方向,总是使它所 激发的磁场来阻止引起感应电流的原磁通量的变化。 三、动生电动势
b
dΨ 一、法拉第电磁感应定律 dt
ab (v B ) dl a d v B dl vB sin cos dl
d d 解： I d 0 E dS 0 EdS dt dt
+
E
-
Id dE 2 d t / RC 0S 0 πr ( E 0e ) dt dt πr 2 0 E0 t / RC 方向与场强方向相反。 e RC
(17)
例12：如图所示，一电量为q的点电荷，以匀角速度 作半径为R的圆周运动。设 t = 0时, q所在点的坐标为 (R, 0)，以 i , j 分别表示x，y轴上的单位矢量, 则圆心 y 处O点的位移电流密度为___________。
2 B K π R 解： S t dS - K SdS - 4
B
o
y b
(4)
x a
例 4： 在半径为R的圆柱形体积内存在着均匀磁场， dB / dt 为已知。有长为 L的金属棒放在磁场中，求棒 中感生电动势，设 dB / dt 0 。 解：考虑闭合回路 obao，因为ob o 和ao上 Ei dl，所以 ob和ao上无 R h 感生电动势，棒上的电动势即为 a b L 整个回路的电动势。
磁场能量
Wm wmdV
(13)
例9: 在一自感线圈中通过的电流 I 随时间 t 的变化规律 如图(a)所示，若以 I 的正流向作为 的正方向，则代 表线圈内自感电动势 随时间 t 变化规律的曲线应为图 (b)中的( D )
I
解：
dI 根据 L 判断 dt 当 I > 0 时， 图(b) 0 若dI > 0, 则 < 0 若dI < 0, 则 > 0
解：左边导线产生 B 0 I 1
2a
I
0 I 右边导线产生 B2 2a 0 I P处的磁场 B B1 B2 a
2
2a P I
P处的磁能密度
1B 1 0 I wm 2 0 20 a
2
(15)
八、位移电流
d d d e d 位移电流： I d E dS dt dt dt S D E 位移电流密度： J d t t