矩阵直积

_矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。

那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。

本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。

之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。

此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。

矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。

本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。

关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 .................................................................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................................................... II 第一章矩阵的Kronecker 积 (1)1.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 1 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 6 第三章矩阵的拉直 . (9)3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 9 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 9 第四章矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 11 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 13 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 14 参考文献......................................................................................................................................... 16 致谢 (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章矩阵的Kronecker 积1.1 矩阵的Kronecker 积的定义定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例1.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.1.2 矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质：性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(，即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a C b aC b a C b a Cb a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111(1.1)*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 (1.4)*，由(1.1)*，(1.4)*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆，且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)，故111)(---⊗=⊗B A B A .性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O OO I P P Q Q O O O I O OO I P P Q O O O I P Q O OO I P B A rssrsr所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ，由推论2.2.4可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则)(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA )(=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则AXB →⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以AXB T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.XB →⊗=X B I Tm )(.3(AX +XB )→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章矩阵的Kronecker 积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，，解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：∑=→→=⊗rk T kkF X B A1)][(. (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. (4.3)*设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入(4.3)*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ，所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→0)0()()()(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.6)已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。

,t )nt，B=(1,
,
s
)则 ps
A B=(1 1,
,1 s ,
,t 1,
,t
s
) npts
.
注：由1）2）即可得3），下面只证1）和2）.
证明：1)由定义得
(aij )
(cij
)
(bij ) (dij )
F
(aij )
(cij
)
F F
(bij (dij
) )
F F
)
(A
B
2
2
)
(AkBk );
范数有以下性质：
命题：1)x 时，x 是范数为一的向量（单位化）;
x 2) -x = x ; 3)x，y V,有 x y x y .
证明：只证3）我们有 x x-y+y x-y y 和 y y-x+x x-y x , 所以 - x-y x - y x-y ，也就是
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种
范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x
x
k2
x
，
称 x 与 x 是等价的.
定理1：有限维线性空间中的任何两种范数等价.
证明：设V是n维线性空间，e1, , en是V的一组基，则x V，
有唯一表达式： x=1e1 nen (e1, , en ) , 其中 =(1, ,n )T为x的坐标向量.
A C
F F
BF
D
F
2)设 =(a1, ,an )T ,则
a1
a1 B a1 (1, ,s )
B
an
an B an (1, ,s )
a1 1,a1 2

Kronecker积及其应用

矩阵的Kronecker 积及其应用陈蔚（集美大学理学院数学系2005届，厦门 361021）[摘要] 本文主要介绍了矩阵理论中的Kronecker 积，通过对概念的引入，性质、定理的推导，简单地体现出矩阵的Kronecker 积在求解几类矩阵方程中的应用。

[关键词]Kronecker 积，特征值，拉直，矩阵方程，＋1ti i i A XB F ==∑AX 矩阵方程，－矩阵方程，矩阵微分方程F XB =X F AXB =0、引言众所周知，我们学习到的矩阵运算中，普遍提及的均是乘积问题，两矩阵可以相乘的条件是：前面矩阵的列数必须等于后面矩阵的行数，如果不满足这个条件，则我们就无法求解这两个矩阵的乘积，但我们却可以求它们的Kronecker 积.对于矩阵的Kronecker 积问题，绝大多数人是陌生的.本文主要介绍了Kronecker 积的定义、性质、应用，让大家一起来领略这个新知识点的风采.文中所用到的符号均可从参考文献[1-11]中找到.一、矩阵的Kronecker 积的概念　设，，则称如下的分块矩阵[1]1.1定义()m n ij A a C ⨯=∈C b B qp ij ⨯∈=)(为与的Kronecker 积（也称为直积111212122212n n mp nq m m mn B B a a a B a a a BB BA B C a a a BBB⨯⎛⎫ ⎪⎪⊗=∈ ⎪⎪⎝⎭A B 或张量积）.是一个块的分块矩阵，所以上式还可以简写为=.B A ⊗n m ⨯B A ⊗()ij a B例1.1 设, ，求和.),,(321a a a TA =),(21b bB T =B A ⊗A B ⊗解 =，B A ⊗()111221223132123T a B a a b a b a b a b a b a b Ba B ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，=.A B ⊗()11121321222312T b A b a b a b a b a b a b a b A ⎛⎫=⎪⎝⎭，，，，，这个例子表明，矩阵的Kronecker 积与乘积一样不满足交换律，即≠ .B A ⊗A B ⊗二、矩阵的Kronecker 积的性质、定理及推论由定义1.1，容易证明性质2.1 .)()()(kB A B kA B A k ⊗=⊗=⊗性质2.2 设与为同阶矩阵，则（1）.A 1A 21212()A AB A B A B +=+⊗⊗⊗ （2）.1212()B A A B A B A +=+⊗⊗⊗性质2.3 （）=（）.A ⊗B ⊗C A ⊗B ⊗C 性质2.4 设=，=，=，=，则A )(a ij n m ⨯B )(b ij r l ⨯C )(c ij p n ⨯D )(d ij s r ⨯（）（）=.B A ⊗DC ⊗AC ⊗BD 证　（）（）=B A ⊗D C ⊗()ij a B ()ij c D =1112112n m m mn a a a B BBa a a BBB⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1112112p n n np c c c D DDc c c D DD⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=1112111112111nnnk k k k k kp k k k nnn mk k mk k mk kp k k k a c a c a c B D B DB D a c a c a c B D B DB D ======⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑==.1112111112111n n n k k k k k kp k k k nn nmk k mk k mk kp k k k a c a c a c BD BD BD a c a c a c BD BD BD ======⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑BD AC ⊗推论2.1 （1）()()1212l l A A A B B B ⊗⊗⊗⊗⊗⊗ =.1122l l A B A B A B ⊗⊗⊗ （2）=.()()()1122l l A B A B A B ⊗⊗⊗ ()()1212l l A A A B B B ⊗ 上面两个式子只要等号右边有意义，则左边也有意义，而且两边相等.推论2.2 若为阶矩阵，为阶矩阵，则A mB n =.A B ⊗()()()()n m m n A E E B E BA E =⊗⊗⊗⊗利用性质2.1—2.4及推论2.1，可以得到以下常用到的性质.设是阶矩阵，是阶矩阵.A mB n 性质2.5 若、都可逆，则也可逆，且.A B B A ⊗()111A BA B ---=⊗⊗证根据性质2.4，，　1111()()m n mn A B A B AA BB E E E ----===⊗⊗⊗⊗，1111()()m n mn A A B A B A B B E E E ----===⊗⊗⊗⊗∴.()111A BA B ---=⊗⊗推论2.3 若均为方阵，且均可逆（=1，2，…）,则A i A i i .()12121111ii A A A A A A ----=⊗⊗⊗⊗⊗⊗ 证运用归纳法. 当=2时，由性质2.5知：等式成立.i 设当=时，成立.i k ()12111112k k A A A A A A ----=⊗⊗⊗⊗⊗⊗ 则当=+1时，根据性质2.5，有：i k =()1211k k A A A A +-⊗⊗⊗⊗ ()12111k k A A A A --+⊗⊗⊗⊗ =，1111121k k A A A A ----+⊗⊗⊗⊗ 从而，等式成立.推论2.4 .()()()()DB CA D C B A 1111----⊗=⊗⊗证由性质2.4、2.5知： 111111()()()()C A B D C A B D ------=⊗⊗⊗⊗ =.()()DB CA D B C A 111111------⊗=⊗性质2.6 若、均为上（下）三角矩阵，则也是上（下）三角矩阵.A B B A ⊗性质2.7 若、均为对角阵，则也是对角阵.A B B A ⊗性质2.8 若、均为对称矩阵，则也是对称矩阵.A B B A ⊗定义2.1 酉变换在酉空间的标准正交基下的矩阵称为酉矩阵，即满足：A A .H HA A A A E ==性质2.9 若、均为酉矩阵，则也为酉矩阵.A B B A ⊗定义2.2 Hermite 变换在酉空间的标准正交基下的矩阵称为Hermite 矩A 阵，即满足： .A H A A =性质2.10 若、均为Hermite 矩阵，则也为Hermite 矩阵.AB B A ⊗性质2.11　设=，=，则A )(a ij n m ⨯B )(b ij q p ⨯，.()TT T A B A B =⊗⊗()HH H A BA B =⊗⊗性质2.12 设=，=，则rank()=rank rank .A )(a ij n m ⨯B )(b ij q p ⨯B A ⊗)(A )(B 证设rank =，rank =.)(A r 1)(B r 2对矩阵，必存在可逆矩阵、，使得，其中=.A M N 1N A MA =A 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛0001E r 对矩阵，必存在可逆矩阵、，使得，其中=.B P Q 1Q B PB =B 1⎪⎪⎭⎫⎝⎛0002E r 则由性质2.4知：= =.A B ⊗1)(MA N ⊗1)(PB Q ()M P ⊗11()B A ⊗()N Q ⊗由性质2.5知：、仍为可逆矩阵.∵矩阵乘以可逆矩阵后，其秩不变. M P ⊗Q N ⊗∴rank()=rank （）== rank rank .B A ⊗A 1⊗B 1r 1r 2)(A )(B 设是个线性无关的维列向量，是个[2]定理2.1x x x n ,,,21 n m y y y q ,,,21 q 线性无关的维列向量，则个维列向量(=1,2,…,;=1,2,…, )p nq mp i y x ⊗i n j q线性无关.反之，若向量组（=1,2,…,;=1,2,…,)线性无关，则i j y x ⊗i n j q 和均线性无关.x x x n ,,,21 y y y q ,,,21 证令，=（）),,,(),,,(2121b b b y a a a x pj j j mj j j Tj Tj ==，A x x x n ,,,21 =，==，则有rank =， rank =.)(a ij n m ⨯B ),,,21(y y y q )(b ij q p ⨯)(A n )(B q ∵=，B A ⊗()1111212,,,,,,,,n n n q q y y y y y y x x x x x x ⊗⊗⊗⊗⊗⊗ ∴()= =.rank B A ⊗)(A rank )(B rank nq 又∵是×矩阵，∴是列满秩矩阵，即的列向量组B A ⊗mp nq B A ⊗B A ⊗是线性无关的.(1,2,,;1,2,,)i j i n j q y x ==⊗ 反之，若列向量组是线性无关的，则是(1,2,,;1,2,,)i j i n j q y x ==⊗ B A ⊗列满秩的，∴rank()==rank rank .B A ⊗nq )(A )(B 下证rank =，rank =.()A n )(B q 假设rank ＜，则rank 必＞，矛盾.∴有rank =.()A n )(B q ()A n 同理，得：rank =.即、为列满秩的矩阵.)(B q A B ∴和是线性无关的.x x x n ,,,21 y y y q ,,,21 性质2.13 设为阶矩阵，为阶矩阵，则有相似于.A mB n B A ⊗A B ⊗三、矩阵的Kronecker 积的特征值考虑由变量、组成的复系数多项式和阶矩阵x y (),0,lji ij i j f x y y c x ==∑mn 其中，为阶矩阵，为阶矩阵.(),0,li j ij i j f A B c A B ==∑⊗A m B n 例3.1 设,把写成：=,于是，y x x y x f 2),(+=),(y x f ),(y x f y x y x 2101+.2(,)n f A B A E A B =+⊗⊗特别地，若=,则有.),(y x f xy B A B A f ⊗=),(定理3.1 设是阶矩阵的特征值，为的对应,,, m A ,,, A于的特征向量；是阶矩阵的特征值，是λλλm ,,,21 μμμn ,,,21 n B y y y n ,,,21 的对应于的特征向量，则个数B μμμn ,,,21 mn ),(μλs r f (1,2,,;1,r m j == 2,…,为的特征值，是对应于的特征向量.)n ),(B A f r s y x ⊗),(μλs r f 证由知：.y y x x s s s r r r B A μλ==,y y B x x A s is s i r i r r i μλ==, ∴==),(B A f )(r s x y ⊗,0()li j ij i j c A B =⊗∑)(r s x y ⊗()B A c j i lj i ij ⊗∑=0,)(r s x y ⊗ =())(0,0,y x c y B x A c s js r i r lj i ij s jr i l j i ij μλ⊗=⊗∑∑== =.),(μλs r f )(r s x y ⊗推论3.1 的特征值是个值,B A ⊗mn μλs r ),,2,1;,,2,1(n j m r ==对应的特征向量是 .μλs r r s y x ⊗),,2,1;,,2,1(n j m r ==推论3.2 的特征值是，其对应的特征向量是m n A E B E +⊗⊗μλs r + .r s y x ⊗),,2,1;,,2,1(n j m r ==推论3.3(推论3.2的推广) 的特征值为()()n m A E E B αβ+⊗⊗，其对应的特征向量为.μλβαs r +x y r s ⊗),,2,1;,,2,1(n j m r == 类似的，的特征值为，其对应的特征向()()m n A E B E αβ+⊗⊗μλβαs r +量为.r s y x ⊗),,2,1;,,2,1(n j m r ==注意：对矩阵，我们将其称为矩阵和的Kronecker 和（或m n A E B E +⊗⊗A B 称为直和），记作.B A ⊕性质3.1 设为阶矩阵，特征值为；为阶矩阵，特征A m λλλm ,,,21B n 值为，则.μμμn ,,,21 det()(det )(det )n m A B A B ⊗=证一由推论3.1知：=⊗)det(B A ⎪⎭⎫⎝⎛∏=∏⎪⎭⎫ ⎝⎛∏=∏∏∏======n j j mm i n i mi n j j n i j mi nj i 111111μλμλμλ =.()()()()B A mnmn mmnm n n det det 2121=μμμλλλ证二由性质2.4知：，且()()()m n A B A E B E =⊗⊗⊗，()()det det mm B BE =⊗又由性质2.13知：相似于，即n A E ⊗n E A ⊗，()()()det det det nn n A E A E A ==⊗⊗∴.()()det()det det nmA B A B ⊗=性质3.2 设为阶矩阵，特征值为；为阶矩阵，特征A m λλλm ,,,21B n 值，则tr tr tr .μμμn ,,,21 ()A B ⊗=()A ()B 证 ∵tr =tr tr .⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==⊗∑∑∑∑====n j j mi i j m i n j i B A 1111)(μλμλ)(A )(B 对于矩阵的Kronecker 积也存在幂的定义.定义3.1 记，称为Kronecker 积的幂.[]k A A A A =⊗⊗⊗ 设=，=，则.A )(a ij n m ⨯B )(b ij q p ⨯()B A AB k k k ][][][=四、矩阵的Kronecker 积的应用定义4.1 设=，记，令=,A ()a ij n m ⨯()12,,,(1,2,,)i i mi T i i n a a a a == vec()A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a n 21则称为矩阵A 的列拉直（列展开）.vec()A 定义4.2 设=，记A ()a ij nm ⨯()),,2,1(,,,,21m i a a a a in i i Ti ==令，则称为矩阵的行拉直（行展开）.)(vec _____A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a m 21)(vec _____A 定理4.1 设，则C C C q p p n n m B X A ⨯⨯⨯∈∈∈,,（1）.（2）.vec()AXB =()TB A ⊗vec()X __________vec()()vec()TAXB A B X =⊗证（1）记，；()12,,,p x x x X = (1,2,,)n i i p x C ∈= ，，则()12,,,q b b b B = (1,2,,)pj j q b C ∈= .vec()AXB =1212vec(,,,)q q AXb AXb AXb AXb AXb AXb ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭而，121212(,,,)p i i i pi i i pi AXb b b b b b b AX AX AX A A A =+++= vec()X ∴.112111222212vec()vec()()vec()p p Tqq pq A A A A A A AXB X X A A A b b b b b b A B b b b ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⊗ （2）设=，，A ()a ij n m ⨯()112212,,,,,vec T T T n T n n X X x x x x x x x X x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则=)(XB A AXB =111121121212T j n T i i ijin Tj m m mjmn T n x Ba a a a x B a a a a x B aa a a x B⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭=，()()11111111()T j T j T j n n T T j j j j j n n T T ij j ij j j n n T T mj j mj j j Ba x a x B B a x a x B B a x a x B ======⎛⎫⎛⎫⎡⎤∑∑ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤=∑∑ ⎪ ⎪⎣⎦ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡⎤ ⎪ ⎪∑∑⎣⎦⎝⎭⎝⎭即.11__________11vec()(vec()nTj j j n T Tij j j n Tmj j j a x B AXB X a x B A B a x B ===⎛⎫∑ ⎪ ⎪⎪⎪==∑⊗ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪∑⎝⎭）推论4.1 +.αβα=+)vec(B A )vec(A β)vec(B 推论4.2 .)(vec vec((vec )vec(__________A A A A TT ==））；推论4.3 设为阶矩阵，为阶矩阵，,则A mB n ∈C M n m ⨯ （1）.__________vec()()vec()vec()()vec()n n AX X AX X A A E E ==⊗⊗，（2）.)(vec ()(vec )vec()()vec(__________X XB X XB B E E B Tm n T），⊗=⊗=（3），vec()()vec()T n m AX XB X A E B E +=+⊗⊗.__________vec()(vec()T m n AX XB X A E B E +=+⊗⊗）证（1）vec()vec()n AX AXE = ∴根据定理4.1知：vec()()vec()()vec()T n n AX X X A A E E ==⊗⊗ 同理可证.)(vec _____AX （2）仿（1）可证得.（3）∵，)vec()vec()vec(XB AX XB AX +=+∴根据（1）、（2）知：=)vec(XB AX +()vec()n X A E ⊗()vec()T n X B E ⊗ =.()vec()T n m X A E E B +⊗⊗ 同理可证.)(vec _____XB AX +推论4.4 设，则C C q p n m B A ⨯⨯∈∈,.__________vec()vec(),vec()vec()A B A B A B A B ⊗=⊗=接下来，我们就用矩阵Kronecker 积和拉直概念相结合，看看它们在其它领域的运用.在系统控制等工程领域，经常遇到两类特殊的线性矩阵方程：＋AX 和－.它们在系统稳定性、控制性问题中有着基本的作用，广泛F XB =X F AXB =的应用.而这两个方程又是型矩阵方程的特殊情况.1ti i i A XB F ==∑4.1 型矩阵方程1ti i i A XB F ==∑一般的线性矩阵方程可表示为：（1）其中，1122t t F A XB A XB A XB +++= 为阶矩阵，为阶矩阵（=1,2,…,）均是已知矩阵，A i mB i n i t FC n m ⨯∈是未知矩阵.X C n m ⨯∈ 利用矩阵的Kronecker 积和拉直，可以给出该线性矩阵方程的可解性及其解法.矩阵是矩阵方程（1）的解的充分必要条件为=vec()[3]定理4.2X C nm ⨯∈x X 是该线性方程组的解.()1vec()i t T i i x F A B =⎡⎤=∑⊗⎢⎥⎣⎦证对（1）两边同时列拉直，得：()=.vec F 11vec()vec()tti i i i i i A XB A XB ===∑∑又根据定理4.1知：，1vec()()vec()tT i i F X A B ==∑⊗∴该矩阵方程组与矩阵方程（1）等价，即解相同.定理4.3 矩阵是矩阵方程（1）的解的充分必要条件为=X Cnm ⨯∈x _____vec()X 是该线性方程组的解.1[()]t T i ii B A =∑⊗)(vec _____F x =例4.1求解矩阵方程.其中1122A XB A XB F +=122201,2121A A ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭.12100246,,111336B B F -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭解设，则根据定理4.2知：.1234x x X x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭()1vec()vec()i t T i i X F A B =⎡⎤=∑⊗⎢⎥⎣⎦ .121101,0123T T B B --⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12122222000121210021,0022020300214263T T A A B B ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⊗⊗∴.则12122223210202254244T T A A B B --⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪ ⎪----⎝⎭⊗⊗+132422234210230225642446x x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭得：∴.,,,1234.0121x x x x ===-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=0121X 推论4.5 由定理4.2和线性方程组的可解性条件知：矩阵方程（1）有解的充分必要条件为：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即：rank()=rank[vec()]G G F 有唯一解的充分必要条件为（=）可逆.G G 1tT i i i A B =∑⊗4.2 ＋矩阵方程AX F XB = 矩阵方程＋中为阶矩阵，为阶矩阵，.下面运AX F XB =A m B n F C n m ⨯∈用矩阵的Kronecker 积和拉直来给出该方程的求解过程及其解.首先，对方程的两边列拉直，得：vec(＋)=vec().AX XB F 由推论4.3（3）知：有. （2） vec()()vec()T n m F X A E E B =+⊗⊗再由推论4.5知：方程有解的充分必要条件为:rank =rank .()T n m A E E B +⊗⊗[()vec()]T n m F A E E B +⊗⊗ 且方程有唯一解的充分必要条件为：矩阵可逆.()T n m A E E B +⊗⊗类似的，若是对方程两边行拉直，则方程有解的充分必要条件为：rank =rank[].(Tm n A E B E +⊗⊗）_____(vec()Tm n F A E B E +⊗⊗ 注意到：即为矩阵和的Kronecker 和，所以上式也可(T m n A E B E +⊗⊗）A T B 以写为：rank =rank[]且方程有唯一解的充分必要条件为：(T A B ⊕）_____(vec()TF A B ⊕ ）矩阵可逆.(T A B ⊕）例4.2 求解矩阵方程＋AX FXB =其中，.113405,,020129A B F --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭解设.1234x x X x x ⎛⎫=⎪⎝⎭1100300002000300,00114010T n m A E E B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⊗⊗∴，则.2100010040010401Tn m A E E B --⎛⎫⎪- ⎪= ⎪-⎪⎝⎭⊗+⊗⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----952010401004001000124231x x x x 得：∴.,,,.12341221x x x x ==-=-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1221X 定理4.4 设是阶矩阵的特征值，是阶矩阵λλλm ,,,21 m A μμμn ,,,21 n 的特征值，则＋矩阵方程有唯一解的充分必要条件为：B AX F XB =0≠+μλj i ,即和-没有共同的特征值.),,2,1;,,2,1(n j m i ==A B 证 ∵＋矩阵方程等价于线性方程组（2），则由推论3.2知：AX F XB =矩阵的特征值是.()T n m A E E B +⊗⊗μλj i +),,2,1;,,2,1(n j m i ==又∵＋矩阵方程有唯一解的充分必要条件为矩阵AX F XB =()T n m A E E B +⊗⊗可逆，∴其特征值均非零，即.0≠+μλj i 定理4.5设为阶矩阵，为阶矩阵，且、为稳定矩阵，即、A m B n A B A B的特征值均具有负实部，则＋矩阵方程有唯一解，且解可表示AX F XB =X C n m ⨯∈成：=.X dt F e e Bt At ⎰+∞-0推广（1）设是阶矩阵的特征值，是阶矩阵λλλm ,,,21 m A μμμn ,,,21 n 的特征值，则齐次方程＋0有非零解的充分必要条件为：存在，B AX =XB j i 00,使得=0.j i o μλ+0 （2）设为阶矩阵, 则齐次方程－一定有非零解.A m AX 0=XB 4.3 －矩阵方程X F AXB =－矩阵方程常出现在系统稳定性研究中，对于它的求解我们同X F AXB =样可以运用矩阵的Kronecker 积和拉直来解决.设为阶矩阵，为阶矩阵，.首先对方程两边进行列拉直，A m B n F C n m ⨯∈得：.则根据推论4.5知：－矩阵方)vec()vec()(T mn X F E A B -=⊗X F AXB =程有解的充分必要条件为rank =rank[],且)(T mn E A B -⊗)vec()(T mn F E A B -⊗ 有唯一解的充分必要条件为：矩阵可逆.)(T mn E A B -⊗定理4.6 设是阶矩阵的特征值，是阶矩阵λλλm ,,,21 m A μμμn ,,,21 n 的特征值，则－矩阵方程有唯一解的充分必要条件为：B X F AXB =1≠μλj i .1,i =（2,,;1,2,,)m j n = 证明同定理4.4，此略.4.4矩阵微分方程运用Kronecker 积性质和拉直定义，可将矩阵微分方程的求解转化为常系数齐次线性微分方程组初值问题的求解，从而变为我们所熟悉的解法.再进一步求出矩阵微分方程的初值问题.矩阵微分方程的解为[5]定理4.7⎪⎩⎪⎨⎧=+=X X Bt X t AX dtt dX 0)0()()()(e X e Bt At t X 0)(=其中，为阶矩阵，为阶矩阵，.A mB n XC n m ⨯∈证对矩阵微分方程的两边进行行拉直，得：，____________________0(vec ())(vec()vec((0))vec()T m n d X t X A E B E dt X X ⎧⎪=+⎪⊗⊗⎨⎪=⎪⎩）则问题就转化为求解常系数齐次线性微分方程组初值问题.再根据满足初始条件的矩阵微分方程解的定理及定理4.1（2）知：))((vec _____t X (00vec()()vec()TTm n A E B E B At t e e e X X ⊗⊗+=⋅=⊗⋅），00vec[]vec()()T t B TAt At Bt e e e X X e ==∴矩阵微分方程初值问题的解为.e X e Bt At t X 0)(=例4.3 求解矩阵微分方程的初值问题.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1102)0(1001)()(2011)(X t X t X dt t dX 解令=，=，=.A ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2011B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1001X 0⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1102∵A 的特征值为1，2.其中，特征值1的基础解系为，特征值2的基础解系为⎪⎪⎭⎫⎝⎛01，∴存在可逆矩阵=，使得：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-11M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1011=.Me At=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛e t e t 200M1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ee e e e t t tt t e t 22201011001011又∵是对角矩阵，∴.B =e Bt⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-e e t t00则由定理4.7知：=e X e BtAt t X 0)(=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-e e e e t t t t 220⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1102⎪⎪⎭⎫⎝⎛-e e t t 00=.⎪⎪⎭⎫⎝⎛---e e e e e t t t t t 3321致谢语本文在撰写过程中得到黄朝霞副教授的悉心指导，在此表示衷心的感谢！参考文献[1] 程云鹏.《矩阵论》[M].西北工业大学出版社，1999[2] 史荣昌.《矩阵分析》[M].北京理工大学出版社，1996[3] 戴华.《矩阵论》[M].科学出版社，2001[4] 陈公宁.《矩阵理论与应用》[M].高等教育出版社，1990[5] 董增福.《矩阵分析教程》[M].哈尔滨工业大学出版社，2003[6] 李乔.《矩阵论八讲》[M].上海科学技术出版社，1988[7] 李俊杰.《矩阵分析》[M].机械工业出版社，1995[8] 张凯院.《矩阵论导教.导学.导考》[M].西北工业大学出版社，2004[9] 张凯院.《矩阵论典型例题解析及自测试题》[M].西北工业大学出版社，2001[10]黄廷祝.《矩阵理论》[M].高等教育出版社，2003[11]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.《高等代数》[M]. 高等教育出版社，2001The Kronecker Product Of A Matrix And Its ApplicationsChen wei(Mathematics Department, Science school, Jimei University, Xiamen 361021)Abstract: In this paper,the Kronecker product about matrix theories is introduced.By the introduction of the concept and the deduction of the properties and the theorems,the application of the Kronecker product in matrix equation is given.Keywords: Kronecker product 、characteristic value 、straight-line method 、matrix1ti i i A XB F ==∑equation 、＋ matrix equation 、－matrix equation 、matrix differential AX F XB =X F AXB =equation。

-矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。

那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。

本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker积进行介绍和必要的说明。

之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。

此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。

矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。

本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。

关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product doThis article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 ........................................................................ I Abstract ................................................................... II 第一章矩阵的Kronecker 积 . (1)矩阵的Kronecker 积的定义 ................................................ 1 矩阵的Kronecker 积的性质 ................................................ 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 .......................................... 6 第三章矩阵的拉直 (9)矩阵的拉直的定义 ......................................................... 9 矩阵的拉直的性质 ......................................................... 9 第四章矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................... 11 矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................... 13 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 ........................................ 14 参考文献.................................................................... 16 致谢 .. (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积的定义定义设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质：性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(，即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 *， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 *，由*，*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 *，由*，*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f Df D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质设矩阵m m C A ⨯∈可逆，且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)，故111)(---⊗=⊗B A B A .性质设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质和性质可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A=r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质和可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质和性质可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质，性质可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质和性质可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ，由推论可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章矩阵的拉直矩阵的拉直的定义定义设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵nm CB ⨯∈，k 和l 是常数，则(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA (=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T=[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质设矩阵nm C A ⨯∈，矩阵pn CX ⨯∈，矩阵qp CB ⨯∈，则→⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.→⊗=X B I Tm )(.3(AX +)→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章矩阵的Kronecker 积与矩阵方程矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程：AX+XB=F.第一步：将方程两边拉直，由推论可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，，解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(.设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质可以得到：∑=→→=⊗rk T kk F X B A 1)][(.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. *设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ，所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX 引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程两边拉直，由推论可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→00(()()(X X t X B I I A dt t X d T m n 由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= 这就是微分方程的解.例求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社..[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社..[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社..[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社..[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.（重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社..[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社..[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社..[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社..[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社..[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社..[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社..[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社..（重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社..[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社..[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社..[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社..[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社..[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.（重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社..[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社..[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社..[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.（重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社..[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社..[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社..[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社..[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社..[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社..[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社..[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社..致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。

【VIP专享】第8讲矩阵的直积及其应用

1 0
01 .
1.2 矩阵直积的性质定理 1.1 矩阵的直积具有如下基本性质：（1） k(A B) (kA) B A (kB) ；（2） (A B) C A (B C) ；（3） A (B C) A B A C ， (B C) A B A C A ；（4） ( A B)T AT BT ；（5） ( A B)H AH BH ；（6）若 A C mn , B C pq ,C C ns , D C qt , 则 ( A B)(C D) ( AC) (BD) ，若 B Eg ， C En ，则 ( A Eg )(En D) A D ；（7）若 A ， B 均可逆，则 A B 可逆，且 (A B)1 A1 B1；
阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有 Em En En Em Emn .
例 1.1
定义 1.2
A
设
B
A
1 0
xyT x yT ，称 xyT 为向量 x 与 y 的外积.
1 0
1 0
0 1
0 1
，01Leabharlann B，A(1,1)
B
与
B
，则
A
的直积（Krionecker
1 0
0 1
若 x (x1, x2,, xn )T , y ( y1, y2,, yn )T C n ，则
（8）若 A 和 B 都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实
对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则 A B 也分
别是这种类型的矩阵.
l
定义 1.3 二元复系数多项式为 f (x, y) cij xi y j ，若矩阵 i, j0
6.培养学生观察、思考、对比及分析综合的能力。过程与方法1.通过观察蚯蚓教的学实难验点，线培形养动观物察和能环力节和动实物验的能主力要；特2征.通。过教对学观方察法到与的教现学象手分段析观与察讨法论、，实对验线法形、动分物组和讨环论节法动教特学征准的备概多括媒，体继课续件培、养活分蚯析蚓、、归硬纳纸、板综、合平的面思玻维璃能、力镊。子情、感烧态杯度、价水值教观1和.通过学理解的蛔1虫.过观适1、察于程3观阅六蛔寄.内列察读、虫生出蚯材让标容生3根常蚓料学本教活.了据见身：生，师的2、解问的体巩鸟总看活形作用蛔题线的固类结雌动态业手虫自形练与本雄学、三：摸对学动状习人节蛔生结4、、收一人后物和同类课虫活构请一蚯集摸体回并颜步关重的动、学、蚓鸟蚯的答归色学系点形教生生让在类蚓危问纳。习从并状学理列学平的害题线蚯四线人归、意特出四生面体以形蚓、形类纳大图点常、五观玻存表及动的鸟请动文本小引以见引、察璃现，预物身类 3学物明节有言及的、导巩蚯上状是防的体之生和历课什根蚯环怎学固蚓和，干感主是所列环史学么据蚓节二样生练引牛鸟燥染要否以举节揭到不上适动、区回习导皮类还的特分分蚯动晓的同节于物让分答。学纸减是方征节布蚓物起一，课穴并学蚯课生上少湿法。?广的教，些体所居归在生蚓前回运的润；4泛益学鸟色生纳.靠物完的问答动原的4蛔，处目类习和活环.近在成前题蚯的因？了虫以。标就生体的节身其实端并蚓快及触解寄上知同物表内特动体结验和总利的慢我摸蚯生适识人学有容点物前构并后结用生一国蚯蚓在于与类的什，的端中思端线问活样的蚓人飞技有基么引进主的的考?形题环吗十体生行能着本特出要几变以动，境？大节活的1密方征本“特节化下物.让并为珍近习会形理切法。课生征有以问的小学引什稀腹性态解的。2课物。什游题主.结生出么鸟面和起结蛔关观题体么戏：要利明蚯？类处适哪构虫系察：的特的特用确蚓等，于些特适。蛔章形殊形征板，这资是穴疾点于可虫我态结式。书生种料光居病是寄的们结构，五小物典，滑生？重生鸟内学构，学、结的型以还活5要生类部习与.其习巩鸟结的爱是如原活生结了功颜消固类构线鸟粗形何因的存构腔能色化练适特形护糙态预之结的，肠相是系习于点动鸟？、防一构现你动适否统。飞都物为结蛔。和状认物应与的行是。主构虫课生却为和”其结的与题、病本理不蛔扁的他构特环以生？8特乐虫形观部特8征境小理三页点观的动位点梳相组等、这；，哪物教相，理适为方引些2鸟，育同师.知应单面导鸟掌类结了；？生识的位学你握日构解2互.。办特生认线益特了通动手征观识形减点它过，抄；察吗动少是们理生报5蛔？物，与的解.参一了虫它和有寄主蛔与份解结们环些生要虫其。蚯构都节已生特对中爱蚓。会动经活征人培鸟与飞物灭相。类养护人吗的绝适这造兴鸟类？主或应节成趣的为要濒的课情关什特临？就危感系么征灭来害教；？；绝学，育，习使。我比学们它生可们理以更解做高养些等成什的良么两好。类卫动生物习。惯根的据重学要生意回义答；的3.情通况过，了给解出蚯课蚓课与题人。类回的答关：系线，形进动行物生和命环科节学动价环值节观动的物教一育、。根教据学蛔重虫点病1.引蛔出虫蛔适虫于这寄种生典生型活的线结形构动和物生。理二特、点设；置2.问蚯题蚓让的学生生活思习考性预和习适。于穴居生活的形态、结构、生理等方面的特征；3.线形动物和环节动物的主要特征。

基于矩阵直积的膨胀图构造

数之积、度之积和特征值之积，并将这些性质应用于由两个膨胀图构造一个新的膨胀图，分别
从矩阵的角度和图的角度给出了构造算法。
关键词：正则图；直积；膨胀图
中图分类号：Ｏ１８Ｔ３１５５；Ｐ０．文献标识码：Ａ
但是，由于膨胀图才出现三十多年，与其有关的许多问题尚未解决。比如有关构造的问题：如何有效地
构造一个具有指定参数的膨胀图，对应用尤其重要。几年在研究膨胀图的构造方面有了显著进这近
展引，儿但大都是基于代数中的有限域理论加；儿有关算法的问题：给定一个图，如何验证它是不是具有
定理１的逆命题也成立：定理２任一满足上述三条性质的矩阵Ａ唯一地确定一个ｄ一正则无向图Ｇ，Ａ为其规范邻接矩阵。以证明由０≤ ≤ １可设。，＝ｎ／ｎ素，０≤ ｎｏｍ（ｍ互且 ≤ ｍ）取ｄ为所有ｍ，的最小公倍数，构
２基础知识
本节介绍一些基本概念及相关结论。
定义１（正则图的规范邻接矩阵）设图Ｇ＝（，）ｌＩ，ｄ一正则无向图，ＶＥ，＝ｎ为矩阵Ａ＝（ … ，ａ）其中ａ＝ｄ．（ｏｄ１≤ ｉ／，ｎ且ｄ是连接结点ｖ和的边数）则称为图Ｇ的规范邻接矩阵。Ｊ≤ ｉ，由这个定义我们可以得到正则图的规范邻接矩阵的三条性质：定理１设Ａ＝（ … 是ｄ一正则无向图Ｇ＝（，）的规范邻接矩阵，ａ）ＶＥＩＶＩ＿ｎ则Ａ具有如下性质：，

6-3_矩阵Kronecker积

n a1i bi 1 B1 B2 i 1 n a= 2 i bi 1 B1 B2 i 1 n a b BB mi i 1 1 2 i 1
n i 1 n
B1 , B2 可乘，则
b1 s B2 b2 s B2 bns B2
a1n B1 b11 B2 b12 B2 a2 n B1 b21 B2 b22 B2 amn B1 bn1 B2 bn 2 B2
a b B B 1 i is 1 2 i 1 n a 2 i bis B1 B2 i 1 n ami bis B1 B2 i 1
mm nn A C , B C 定理3：设，则
（ 1）
| A B || A | | B |
n
m
（ 2）
tr ( A B) tr ( A) tr ( B)
Department of Mathematics
证明：设 1 , 2 ,...,m 是的特征值，
J 是 A 的约当标准型。则存在非奇异阵 P
矩阵论电子教程
哈尔滨工程大学理学院应用数学系
Department of Mathematics, College of Sciences
第六章
矩阵分析
Department of Mathematics
§6.3 矩阵Kronecker积
矩阵的Kronecker积（直积）是一种重要的矩阵乘积，它不仅在矩阵理论的研究中有着广泛的应用，而且在诸如信号处理与系统理论中
Department of Mathematics
证明：我们仅证明（5），

_矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。

那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。

本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。

之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。

此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。

矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。

本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。

关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 .................................................................................................................................................. I Abstract ........................................................................................................................................... II 第一章矩阵的Kronecker 积 (1)1.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 1 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 1 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 6 第三章矩阵的拉直 . (9)3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 9 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 9 第四章矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (11)4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 11 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 13 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 14 参考文献......................................................................................................................................... 16 致谢 (18)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章矩阵的Kronecker 积1.1 矩阵的Kronecker 积的定义定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例1.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.1.2 矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质：性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(，即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a C b aC b a C b a Cb a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111(1.1)*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 (1.4)*，由(1.1)*，(1.4)*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆，且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)，故111)(---⊗=⊗B A B A .性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O OO I P P Q Q O O O I O OO I P P Q O O O I P Q O OO I P B A rssrsr所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ，由推论2.2.4可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则)(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA )(=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则AXB →⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以AXB T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.XB →⊗=X B I Tm )(.3(AX +XB )→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章矩阵的Kronecker 积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，，解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：∑=→→=⊗rk T kkF X B A1)][(. (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. (4.3)*设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入(4.3)*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ，所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→0)0()()()(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.6)已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。

矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

矩阵Kronecker乘积的性质与应用/ 摘要\按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB,就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。

那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积A B，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。

本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。

之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。

此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。

矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。

本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。

关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applicati ons of matrix Kron eckerproduct/ Abstract \According to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product A B, the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or ten sor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are in troduced and the n ecessary in structi ons. Thereafter, the operati on rules Kron ecker product, the n ature of reversibility, rank, eige nv alues, eige nvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its n ature have bee n described and the n ecessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applicati ons such as image process ing aspects of in formati on process ing, also play an importa nt role. After the article discusses the n ature of the matrix Kron ecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation.Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equatio ns目录摘要....................................................................................................................................................................................... Abstract............................................................................................................................................................................... 第一章矩阵的Kronecker 积............................................................................................................................................矩阵的Kronecker 积的定义.................................................................................................................................矩阵的 Kronecker 积的性质 0第二章Kronecker 积的有关定理及推论 (5)第三章矩阵的拉直 (8)矩阵的拉直的定义 (8)矩阵的拉直的性质 (8)第四章矩阵的 Kronecker 积与矩阵方程 (10)矩阵的 Kronecker 积与 Lyapunov矩阵方程................................................................... 】 (10)矩阵的Kronecker积与一般线性矩阵方程 (12)矩阵的Kronecker积与矩阵微分方程 (13)参考文献 (15)致谢 (16)符号说明a W 元素a属于集合WA (a ij)m n 以玄耳为i行j列兀素的m n矩阵的记法(A)j 矩阵A的i行j列的元素A矩阵A的转置'、\A H/ 矩阵A的共轭转置A 1矩阵A的逆矩阵A 矩阵A按行拉直得到的列向量det A 方阵A的行列式trA 方阵A的迹，A的主对角元素之和rank (A) 矩阵A的秩(A) 方阵A的特征值I n n阶单位矩阵R实数域复数域CC n n维复向量的全体c m n m n复矩阵全体O 零矩阵A B 矩阵A和B的Kronecker积第一章矩阵的Kronecker 积矩阵的Kronecker 积的定义C m n ，矩阵B C p q ，定义A 和B 的Kronecker 积(或直积, 张量积)A B 为:矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质：性质设矩阵A C m n ，矩阵0 C p q ，则O A A O O (这个 O 为(mp) (nq)矩阵).证明：略.性质设k 为任一常数，矩阵A C mn ，矩阵B C pq ，则(kA) B A (kB) k(A B).定义设矩阵 A a 11B a 21Ba 12B a 22Ba^B a 2n Ba m1 Ba m 2Ba mn B可以看出，其结果是(mp) (nq)矩阵，同时也是一个以a ij B 为子块的分块矩3，则B 2B3A由此可见，Kronecker 积不满足交换律.A 具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说,a11 a12a22 a1 n证明：不失一般性，设A a21 a2n ，则:a m1 a m2 a mnka〔1 ka〔2 kam/ kA ka?1 ka?2 ka2n，\ ka m1 ka m2 ka mn根据Kronecker积的定义可以得到:(kan)B (kaQB (kam)B kan B ka12B kamB (kA) B(ka21)B (ka22) B (ka2n)B ka21 B ka22 B ka2n B(ka mJ B (ka m2)B (ka mn)B ka m1B ka m2B ka mn Ban(kB) aHkB) am(kB) ka11 B ka12B ka1n BA (kB)a21 (kB) a22(kB) a2n(kB) ka21B ka22B ka2n Ba m1 (kB) a m2(kB) a mn(kB) ka m1B ka m2B ka mn B即kA B k(A B) , A (kB) k(A B).所以(kA) B A (kB) k(A B).性质设A, B为同阶矩阵(同阶是为了可以做加法)，则(A B) C A C B C，C (A B) C A C B .ana12 a1n bn b12 b in证明设A a21 a22 a2n B b21 b22 b2n : 不失般a m1 a m2 a mnb m1 b m2 b mn则：a11 b11 a12 ^12 a1 nA B a21 b21 a22 b22 a2n b2na m1b m1 a m2 b m2 a mn b mn 根据Kronecker积的定义可以得到：(a11 bjJC (a12 5 )C(a1n b1n )C(A B) C (a21 b21)C (a22 b22)C (a2nb2n)C *(a m1 b m1)C (a m2b m2 )C(a mnb mn)Ca n C 812 C a1n Ca21C a?2 C a2n CA C *a m1 C a m2C a mn Cb11C b i2C b]n Cb21 C b22C b2n CB C *b m1C b m2C b mn C由* , *得：3ii C 5 C812 C b t2 C a1n C b1n Ca21C b21C 822 C b?2C a2n C b2n CA C *a m1Cb m1C a m2C b m2C a mn Cb mn C由*, *可得：(A B) C A C B C.C11 C12 C1 n同理设C C21 C22 C2n 可证: C (A B) C A C BC m1 C m2 C mn性质设矩阵A C m n，矩阵B C pq, 矩阵F C rs，则(A B) F A (B F)a11 a12 a1 n证明 :不失一般性，设A a21 a22 a2na m1 a m2 a mna11 (B F) a12 ( B F) am(B F) ryr r r a21 (B F) a22 ( B F) a2n(B F)贝U: (A B) Fa m1(B F) a m2(B F) a mn(B F)a m1 B a m2Ba mn B性质设矩阵A C mn ，矩阵 B C pq ，矩阵F C n s ,矩阵D C q t ，则(AB)(FD)(AF)(BD)a 11 a 12a 1 n f 11 f 12f 1s证明：不失- 一般性, 设Aa 21 a 22a 2nF ，厂f 21 f 22f 2sa m1a m2a mnf n1 f n2、f ns则:a^B a^BamBf 11 D f 12 D f 1s Da 21 Ba 22B a 2n Bf 21Df 22Df 2s D(AB)(F D)a m1 Ba m2Ba m n B f n1D f n2Df ns Dnnn(k 1 a 1k f k1)BD(k 1a 1k f k2)BD ( k 1a 1k f ks )BDnnn(k 1 a 2k f k1 )BD(k 1a 2k f k2 )BD(k 1a 1k C ks )BDnnn(k 1a mkfkJBD (k 1a mkf k2)BD ( k 1a mk f ks )BD(AF) (BD)得证•性质设矩阵A C m m 可逆，且矩阵B C n n 可逆，则A B 可逆，且(A B) 1 A 1 B 1.证明：(A B)(A 1 B 1) (AA 1) (BB 1) I m I n I mn (这里 I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)，故(A B) 1 A 1 B 1 .性质设矩阵A C mn ，矩阵B C pq ，则(A B)T A T B T(A B)H A HB H证明：[(A B)T ]j a ji B T [A T B T ]j 得证.a^ B a i2 B a ?i B a ?2 BamB a 2n BF A (B F)得证.同理可证：（A B）H A H B H .性质两个正交（酉）矩阵的Kronecker积还是正交（酉）矩阵证明：设矩阵A C mm，矩阵B C nn.因为A，B都是正交（酉）矩阵，所以有AA T A T A I m，BB T B T B 由性质和性质可得：(A B)(A B)T (A B)(A T B T) AA T BB T I m I n I mn.(A B)T(A B) (A T B T)(A B) A T A B T B I n I m I mn. 故(A B)(A B)T (A B)T(A B) 1 mn・得证.第二章Kronecker 积的有关定理及推论定理设矩阵A C mn ，矩阵B C pq ，则ran k (A B) ran k(A)ra nk(B).证明：设rank A=r , rank B=s , A , B 的标准形分别为:y 1 I rA P 1 1 r / 1OO 11 I s O 1Q 11，BP 21 s Q 21其中 P i ，Q i (i 1, 2）均为非奇异矩阵，则由性质和可以得：定理设矩阵A C mm ，矩阵B C nn ，对于向量x C m 和y C n ，若x 是 A 关于特征值的一个特征向量，y 是A 关于特征值的一个特征向量，则x y 是A B 对应特征值的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x y 也是非零向量，由性质和性质可得：(A B)(x y) (Ax) (By) ( x) ( y)(x y).所以，x y 是AB 对应特征值的一个特征向量.推论设矩阵 A C mm ，矩阵B C n n ，对于向量xC m 和yC n ，若 A 的特征值是1， 2， …，m ； B 的特征值是1， 2，…， n，则AB 的特征值为st ， 1 s m ，1 t n （k 重根算k 个）定理设矩阵A C mm ，矩阵B C n n ，对于向量x C m 和y C n ，若x 是A 关于特征值的一个特征向量，y 是A 关于特征值的一个特征向量，则x y 是A I n I mB 对O 1OQ 1F 211s O Q 21O O (R 111I r R 2)O O I s O O (Q 11Q 21)(RP 2)1OO O(Q 1Q 2)1'所以 rank (A B)rank(A)rank(B)得证.应特征值的一个特征向量.证明：由性质，性质可以得到：(A I n)(x y) (Ax) (I n y)( X) y (x y)，(I m B)(x y) (I m X) (By) x ( y) (x y)，故(A I n I m B)(X y) (A I n)(X y) (I m B)(x y)( )(x y)所以，x y是A I n I m B对应特征值的一个特征向量.推论设矩阵A C mm，矩阵B C nn，对于向量X s C m和y C n，若X i, X2，…，X m是A关于特征值1，2，…，m的特征向量，丫1，丫2，…，\n是B关于特征值i，2，…，n的特征向量，则A I n I m B的m?n个特征值为{ s t}.(s=1，2，…，m；t=1，2，…，n).例设矩阵A C mm，矩阵B C nn，对于向量X i C m和y j C n，若X i，X2，…，X m是A关于特征值i，2，…，m的特征向量，丫1，丫2，…，Yn是B关于特征值1，2，…，n的特征向量，证明：矩阵(I m I n) (A B)的特征值是1 i j，对应的特征向量为X i y j .(i= 1，2，…，m；j= 1，2，…，n).证明：由性质和性质可得：(A B)(X i y j) (AX i) (By j)( i x i)(j y j) (i j)(x i y j)，故有：[(I m I n) (A B)](X i y j) (I m I n)(X i y j) (A B)(X i y j) (X y j) ( i j)(X i y j) (X y j) (i j )(X i y j)I mn(1 i j )(X i y j)所以，矩阵(I m I n) (A B)的特征值是1 i j，对应的特征向量X i y j.定理设矩阵A C mm，矩阵B C n n，贝Utr(A B) trA ?trB证明：由Kronecker积和迹的定义可得:tr(A B) tr(a11 B) tr(a22B) tr(a nn B) a11trB a22trB a nn trBtrA ? trB得证•定理设矩阵A C mm，矩阵B C nn，贝U/ det(A B) (detA)n(detB)m证明：设A的特征值为i , 2，…，m，B的特征值为由推论可得：mn n det(A B) i j ( inj)( 2j)n(m j)(11) ( 1 n)( 2 1 ) ( 2n)( m 1 )( m n ) (1 2 m)n( 1 2 n)m(det A)n(detB)m得证.第三章矩阵的拉直矩阵的拉直的定义定义设A (a j)m n，定义矩阵A的按行拉直为:即矩阵A的拉直是一个mn元的列向量, 成一列得到的•它是由矩阵A所有元素按行顺序依次排a b例如：A ，则矩阵A的拉直为A (a，b, c，d)T.c d矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质设矩阵A C m n，矩阵B C m n，k和I是常数，则(kA lB)= kA IB. 证明：略.性质设A(t) (a ij (t)) m n，贝U = — A(t).j dt dt证明：左边=vet(dA(t)) vet((a j ' (t))m n)dt=[(a il ' (t)，…,a in' (t)，a2i ' (t)，…,a?n ' (t)，…,a mi ' (t)，…,a mn' (t)]T= [(a ii(t),…，a in (t), a2i(t),…,a2n(t),…,a mi (t)，…,a mn(t))]-J=[vet(A(t))] ' = 一[vec(A(t))]=右边，得证.dt性质设矩阵A C m n,矩阵X C n p,矩阵B C p q，则AXB (A B T)X.a ii a i2 a in证明：设A a2i a22 a2n,X (X i, ,X n)T，其中，X T是X的第vec( A) A (a ii, ，a1n，a21, ，a2n，，a m1, a mna mi a m2 a mn i 行(i i, 2，…，n), 则(a 11 X 1a in X ：)BX i1. AX (A I n )X2. XB (I m B T )XT3. (AX + XB) (A I n I m B )X .所以AXB [(a 11B T (anX iJ zB (a mi X 1AXB(a m1 X 1a mn X n) BX na 1n X n )B , ，(a m1X 1a mn XT)B]Ta in X n )a mn X n ) 推论设矩阵A C m(a 11 B(a m1B矩阵 amB T )X 1T 、a mn B ) X nC mn ，矩阵B (A B)X 得证.c nn ，则有第四章矩阵的Kronecker积与矩阵方程矩阵的Kronecker积与Lyapunov矩阵方程/ \设矩阵A C m m，矩阵B C n n，矩阵F C，解Lyapunov矩阵方程：/ AX+XB=F. \第一步：将方程两边拉直，由推论可得：/ \/ (A I n I m B T)X C.第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：T，T \ran k(A I n I m B : C) ran k(A I n I m B )，有唯一解的充要条件是：\det(A I n+ I m B T)旳，即A和(-B)没有公共的特征值或者说A和B无互为相反数的特征值解: (1)首先计算A和B的特征值，解\得: 1 2， 2 5.AX+XB=C.10 178 103 53 11I A 0 得：1 2 1，解I B 0观察有无互为相反数的特征值发现,矩阵方程有唯一解•将矩阵方程两边拉直A和B没有互为相反数的特征值，所以，得到：(A I n I m B T)X C.2 13 -1(1) A c，B c ，C1 0 ■2 41 02 5⑵ A ，B ，C2 3 0 1例分别在下2列条件下解矩阵方程x-i x2，计算B T 3 2 X3 X4 1 42 1 1 0 1 01 0 0 1 0 1 将A，B'，X，C代入得:// X1 103 2 x2171 4 X3 8 ，X4 10计算得到:5 2 1 0 X 110 1 6 0 1 X 2 17 1 0 3 2 X 3 8 0 114X 410X i根据矩阵的乘法的定义可以求得: 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为:(2)同样先计算A 和B 的特征值, 23，I A 0 得:1, X 23,解 I B 0 得:2， 2通过观察可知: 0. 所以矩阵方程的解不唯即存在通解.将矩阵方程两边拉直,得到：(A I n I mB T )X5 X-] 设X1X 2 计算B T2 0，将 A ，B T，X， X 3X 451X 11 0 1 0 1 02 0 X 22 30 10 151X 3X 43 00 0 X 1 3计算得到：5 0 0 0 X 2 52 0 50 X 330 25 2 X 411根据矩阵的乘法的定义可以求得： x 1 1，x 2c ，x 3C .故矩阵方程AX+XB=C 的通解为:C 代入得:3 5 3， 113 c.c3 (c 为任意常数).矩阵的Kronecker积与一般线性矩阵方程设矩阵A k C mn，矩阵B C p q，矩阵F C mq,解一般线性矩阵方程：rA k XB k F (r = 1, 2,…).k 1第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质可以得到：r/ [(A k B：)]X F .k 1第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程有解的充要条件是：rrank((人B：)丨F) rank ( (A k B：)).k 1r \即(A k B T)的所有特征值均不为0.k 1例设A和C都是n n矩阵，A的特征值入(i=0，1, 2,…，n) R (实数)，求证：矩阵方程2 2X AXA A2 XA2 C有唯一解•证明：将两边方程拉直得到：T 2 T 2\ [(I n I n A A A (A ) ]X C，化简得到：\\ [In2 (A A T) (A A T)2]X C.由定义可知：A A T的n2个特征值是i j(i，j 0，1, 2,…，n).故：l n2 (A A T) (A A T)2的n2个特征值是：3 1 221 ( i j) ( i j)2 4 (- i j)2> 0(i, j 0, 1, 2,…，n).即l n2 (A A T) (A A T)2是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程X AXA A XA C 有唯一解•例在下列条件下解矩阵方程A.XB1 A2XB2 C.已知:1 3 0 12 03 2 13 2 Ac C，B1 °，A2 B2 ，C c0 2 3 1 1 1 1 0 8 4解：将矩阵方程两边拉直得到：(A1 B1T A2 B；)X C. * 设 X X1 X2，计算B；r 0 3 和B； 3 1 代入* 得到：X3 X4 1 1 2 0X1 131 3 0 32 03 1 X2 20 2 1 1 1 1 2 0 X3 8 .X4 4计算化简得：6 5 0 9 X1 133 1 3 3 X2 23 1 3 7 X3 82 0 0 2 X4 4根据矩阵的乘法的定义可以求得：: X1 1 X2 2 X3 0，X 41.计算rank (A B T A2B；j C) ran k( A, B；A B；) 4，所以方程有唯一解：\ 1 2X\ 0 1矩阵的Kronecker积与矩阵微分方程设矩阵A C mm,矩阵B C n n, X(t) C m n，求下列矩阵微分方程初值问题的解：dX(t) dtX(0)AX(t)X0X(t)B引理:设矩阵A C m m A，矩阵 B C m n，则e A In e A I n，e Im B I m e B. 证明：因为性质可得：A I n 1 k 1 k ・ k、e k#(A I)k1k!(A 1 )同理可证：e Im B I m e B .将矩阵微分方程两边拉直，由推论可以得到:/ B Tt、T / 1 T 、k & k 、T1k. k Bt(e ) ( (B ) t )B t e ，ik! kik!故 X(t)e At X o e Bt这就是微分方程的解.例求解下列矩阵微分方程的初值问题:X(0) X o作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题警(A 引理可得：X(0) X 。

第8讲矩阵的直积及其应用

第8讲矩阵的直积及其应用内容：1. 矩阵直积的定义与性质2. 矩阵直积在解矩阵方程中的应用矩阵直积（Kronecker 积）在矩阵论及系统控制等工程研究领域有十分重要的应用．运用矩阵直积运算，能够将线性矩阵方程转化为线性代数方程组．§1 矩阵直积的定义与性质 1.1 矩阵直积定义1.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，q p ij C b B ⨯∈=)(，称如下的分块矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n212222111211为A 与B 的直积（Krionecker 积，张量积），记为B A ⊗．B A ⊗是一个n m ⨯个块的分块矩阵，简写为nq mp ij C B a B A ⨯∈=⊗)(．显然，B A ⊗与A B ⊗为同阶矩阵，但一般A B B A ⊗≠⊗，即矩阵的直积不满足交换律. 对单位矩阵，有m n n m mn E E E E E ⊗=⊗=.例1.1 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1001A ，)11(-=B ，则 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⊗11000011B A ，⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=⊗10100101A B . 定义 1.2 若nT n T n C y y y y x x x x ∈==),,,(,),,,(2121 ，则T T y x xy ⊗=，称T xy 为向量x 与y 的外积.1.2 矩阵直积的性质定理1.1 矩阵的直积具有如下基本性质（1）)()()(kB A B kA B A k ⊗=⊗=⊗；（2）)()(C B A C B A ⊗⊗=⊗⊗；（3）C A B A C B A ⊗+⊗=+⊗)(，A C A B A C B ⊗+⊗=⊗+)(；（4）T T T B A B A ⊗=⊗)(；（5）H H HB A B A ⊗=⊗)(；（6）若n m C A ⨯∈，q p C B ⨯∈，s n C C ⨯∈，t q C D ⨯∈，则)()())((BD AC D C B A ⊗=⊗⊗，若g E B =，n E C =，则D A D E E A n g ⊗=⊗⊗))((；（7）若A ，B 均可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A ；（8）若A 和B 都是对角矩阵、上（下）三角矩阵、实对称矩阵、Hermite 矩阵、正交矩阵、酉矩阵，则B A ⊗也分别是这种类型的矩阵.定义 1.3 若矩阵m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，二元复系数多项式为∑==lj i jiijy x c y x f 0,),(，则mn 阶矩阵为∑=⊗=lj i ji ijB A cB A f 0,),(，其中m E A =0，n E B =0.定理1.2 设∑==l j i jiij y x c y x f 0,),(，∑=⊗=lj i j i ij B A c B A f 0,),(，m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则),(B A f 的全体特征值为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．证明由Schur 定理知存在酉矩阵Q P ,使得121*A AP P m H =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλ ，121*B AQ Q n H=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=μμμ，其中，1A ，1B 为上三角矩阵，由定理1.1知，Q P ⊗ 为酉矩阵，j i B A 11⊗为上三角矩阵，则))(,()(1Q P B A f Q P ⊗⊗-)())((0,Q P B A Q Pc lj i j i H Hij⊗⊗⊗=∑=),()()(110,110,B A f B A cQ B Q P A Pc lj i j i ijlj i jH i Hij=⊗=⊗=∑∑==也是上三角矩阵，且),(B A f 与)(11，B A f 有相同的特征值，)(11，B A f 的对角元即为),(B A f 的全部特征值. 因为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⊗j i m ji j i j i B B B B A 1121111*λλλ ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=j n i k ji k j i k j i k B μλμλμλλ 211*．因此，),(11B A f 的对角元为),(j i f μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．推论1.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则（1）B A ⊗的特征值为j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==；（2）B E E A m n ⊗+⊗的mn 个特征值为j i μλ+，m i ,,2,1 =，n j ,,2,1 =；（3）m n B A B A ))(det())(det()det(⋅=⊗；（4）))(()(trB trA B A tr =⊗.定理1.3 设q p n m C B C A ⨯⨯∈∈,，则)()()(B rank A rank B A rank ⋅=⊗．证明记A r A rank =)(，B r B rank =)(，有相应阶数的可逆矩阵T S Q P ,,,，使得1000A EPAQ Ar =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，1000B E SBT Br =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=，则有 )()(111111----⊗=⊗T B S Q A P B A ))()((111111----⊗⊗⊗=T Q B A S P ，由11--⊗S P ，11--⊗T Q 可逆，则)()()()(11B rank A rank r r B A rank B A rank B A ⋅==⊗=⊗．§2 矩阵直积在解矩阵方程中的应用 2.1 矩阵的拉直定义2.1 设n m ij C a A ⨯∈=)(，T ni i i i a a a ),,,(21 =α，),,2,1(n i =，令 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n A ααα 21)(vec ，称)(vec A 为矩阵A 的列拉直．矩阵A 也可以按行拉直为行向量，记作)(rvec A ，有T T A A ))(vec ()(rvec =, T T A r A ))(vec ()(vec =．定理2.1 设q p p n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则)(vec )()(vec B A C ABC T ⊗=．证明记),,,(),,,,(2121q p c c c C b b b B ==，则),,,()(vec 21q ABc ABc ABc ABC =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=q ABc ABc ABc 21，而 p pi i i i Ab c Ab c Ab c ABc ++=2211)(vec ),,,(21B A c A c A c pi i i =故 )(vec )()(vec )(vec 212221212111B A C B A c A c A c A c A c A c A c A c A c ABC Tpq q qp p ⊗=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=．推论2.1 设n m n n m m C X C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，则（1）)(vec )()(vec X A E AX n ⊗=；（2）)(vec )()(vec X E B XB m T ⊗=；（3）)(vec )()(vec X E B A E XB AX m T n ⊗+⊗=+. 2.2 线性矩阵方程在系统控制等工程领域，经常遇到矩阵方程（Lyapunov 型方程）F XB AX =+的求解问题，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵. 利用矩阵的直积和拉直，可以给出线性矩阵方程的可解性及解法.一般的线性矩阵方程可表示为C XB A XB A XB A p p =+++ 2211，其中n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.定理2.2 线性矩阵方程C XB A XB A XB A p p =+++ 2211有解的充分必要条件是)()(b A rank A rank =，其中∑=⊗=pi i T i A B A 1，)(vec C b =，n m n n i m m i C C p i C B C A ⨯⨯⨯∈=∈∈),,,2,1(, 为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈未知矩阵.证明 ∑==pi i i C XB A 1有解)()(1∑==⇔pi i i C vec XB A vec 有解)()(1∑==⇔p i i i C vec XB A vec 有解)()()(1∑==⊗⇔pi i T i C vec X vec A B 有解)()(b A rank A rank =⇔定理 2.3 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程F XB AX =+有唯一解的充分必要条件是0≠+j i μλ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，nm C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未矩阵．证明 F XB AX =+有唯一解)(vec )(vec F XB AX =+⇔有唯一解)()()(F vec X vec E B A E m T n =⊗+⊗⇔有唯一解)(m T n E B A E ⊗+⊗⇔的特征值不为零),,2,1,,,2,1(,0n j m i u j i ==≠+⇔λ．推论2.1 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程0=+XB AX 有非零解的充分必要条件是存在i 与j ，使0=+j i u λ，)1,1(n j m i ≤≤≤≤．推论 2.2 设n n C A ⨯∈，则矩阵方程F XA AX H =+有唯一解的充分必要条件是)(A λλ∈时必有)(A λλ∉-，其中)(A λ为A 的谱，λ为λ的共轭复数.定理 2.4 设m m A ⨯的特征值为m λλλ,,,21 ，n n B ⨯的特征值为n μμμ,,,21 ，则矩阵方程∑==li i i F XB A 1有唯一解的充分必要条件是0)(1≠+++l j i j i μλμλ ，),,2,1,,,2,1(n j m i ==．其中F为已知常数矩阵，X 为未知矩阵．定理2.5 若矩阵方程F XB AX =+中矩阵B A ,的所有特征值具有负实部（称这类矩阵为稳定矩阵），则该矩阵方程有唯一解 ⎰+∞-=0dt Fe e X Bt At ，其中m m C A ⨯∈，n n C B ⨯∈，n m C F ⨯∈为已知常数矩阵，n m C X ⨯∈为未知矩阵．证明设A 的特征值为m λλλ,,,21 ，存在可逆矩阵m m C P ⨯∈，使⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---m m m AP P λδλδλ11111 ，其中，i δ取0或1．则11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=P T e e P e A t t At m λλ ，这里，A T 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R a m k at k ∈≤≤.设B 的特征值为n μμμ,,,21 ，类似可得出，存在可逆矩阵Q ，11-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Q T e e Q e B t t Bt n μμ ，其中，BT 为单位上三角矩阵，它的非零元素的形式为),0(,R b n k bt k ∈≤≤．因 1111--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=QT e e FQ P T e e P Fe e B t t A t t Bt At n m μμλλ 的右端乘积矩阵的元素都是因子t jie )(μλ+的关于t 的多项式倍数的组合，且积分⎰+∞dt Fe e Bt At 存在．令Bt At Fe e t Y =)(，则F t Y t ==0|)(，B t Y t AY dtt dY )()()(+=．可得 000()|()(())Y t A Y t dt Y t dt B∞+∞+∞=+⎰⎰，因积分⎰+∞)(dt t Y 存在，且B A ,的所有特征值实部为负，则0lim =+∞→At t e ，0lim =+∞→Bt t e ．即 F B dt t Y dt t Y A =-+-⎰⎰+∞+∞))(())((0．也就是F XB AX =+的解，唯一性可由定理2.3得出.推论2.3 设m m C A ⨯∈的特征值满足),,2,1(,0)Re(m i i =<λ，则方程F XA X AH-=+的唯一解为⎰+∞=0dt Fe eX At tA H ．如果F 为Hermite正定矩阵，则解矩阵X 也是Hermite 正定矩阵．证明只需证明后一结论即可. 当FF H =时，有X X H =．且对m C x ∈≠0，由于At e 可逆，则0≠x e At ，于是当F正定时，有0)()(>x e F x eAtHAt，从而有0)()(0>=⎰+∞dt x e F x e Xx x At H At H，故X为正定矩阵．。

直积的计算公式

直积的计算公式在数学中，直积是两个或多个集合的笛卡尔积的一个广义形式，它是一种很重要的基础概念。

直积在各种数学分支的表现都不相同，因此，它被广泛用于数学的各个领域，包括组合数学、代数学、几何学、拓扑学等。

直积的计算公式：设A={a1,a2,...,an}、B={b1,b2,...,bm}是两个非空集合，其直积为A×B={(a,b) | a∈A，b∈B}。

同理，设R={(x,y) | x∈A，y∈B}为A和B的直积，则R是一个由有序二元组(x,y)组成的集合。

R中的元素的个数n(A) ×n(B)，其中，n(A)和n(B)分别为集合A和B的元素个数。

例如，当A={1,2,3}，B={a,b}时，A与B的直积为{(1,a),(1,b)，(2,a),(2,b)，(3,a),(3,b)}。

直积的另一种表示形式是使用向量或矩阵的形式。

例如，若集合A和B都是有限域GF(p)上的向量空间，则A和B的直积可以表示为A⊗B={a⊗b | a∈A，b∈B}，其中⊗表示向量空间的张量积。

直积的此种表示形式在代数学、线性代数和量子力学等领域中应用广泛。

直积的计算公式可以用来计算两个或多个集合间的关系，例如可以使用直积计算关系的乘积或笛卡尔积，或者可以利用直积来计算不同集合间的同构关系。

同样地，直积也被用于计算拓扑空间和流形之间的笛卡尔积，以及多项式环和双线性映射之间的张量积。

在数学中，直积是一个非常基础的概念，在各个领域都有着广泛的应用。

因此，对于直积的基本定义和计算公式的理解，是数学学习的必要基础。

当我们能够熟练地应用直积的计算公式，我们就能更深入地理解和掌握数学中的各种概念和定理。

矩阵直积

x( ) V,设 x 1e1 L nen , 将x单位化得
x '

n
1 1/2 e1 L
i
2

n
n 1/2 en ,则x'S.所以
i
2

i1

i1

k1
x'
x'
k2.而此时
x' =
x'
x x

，故
k1
i 1
则 x 是Cn中的范数.称为p-范数. p
p=1时，为1-范数；p=2时，为2-范数；令p ,得-范数.这三种范数为常见范数.
定义2：设V是有限维线性空间，x , x 是V中任意两种

范数，若存在正数k1及k2，使得x V,都有：
k1
x

x
k2
x
，

称 x 与 x 是等价的.
第五章矩阵的直积
第一节直积的定义与性质
定义：设A=(aij )mn , B=(bij ) pq , 称分块矩阵
a11B

a
21B
a12B L a22B L
M M
am1B am2B L
a12B
a
2
nB

M
a mnB mpnq
为A与B的直积(张量积或Kronecker积).记为A B=(aijB)mpnq .
推论：
1)(A B)k =Ak Bk,k=1,2,L ；
2)(A

I n
)(I m

B)
(Im

B)(A

直积的本征值

直积的本征值
（实用版）
目录
1.直积的本征值的概念
2.直积的本征值的性质
3.直积的本征值的求解方法
4.直积的本征值在实际问题中的应用
正文
一、直积的本征值的概念
直积的本征值是线性代数中一个重要的概念，它涉及到矩阵的特征值和特征向量的求解。

在矩阵理论中，一个矩阵的特征值和特征向量是矩阵的一种特殊性质，可以用来描述矩阵的结构和性质。

二、直积的本征值的性质
直积的本征值具有以下性质：
1.直积的本征值是矩阵特征值问题的解，它满足矩阵方程。

2.直积的本征值是矩阵特征值问题的基础，所有的特征值都可以通过直积的本征值来表示。

3.直积的本征值是矩阵特征值问题的关键，它可以用来求解矩阵的特征值和特征向量。

三、直积的本征值的求解方法
直积的本征值的求解方法可以分为以下几步：
1.求解矩阵的特征方程。

2.求解特征方程的根。

3.求解特征方程的根对应的特征向量。

四、直积的本征值在实际问题中的应用
直积的本征值在实际问题中有广泛的应用，例如在量子力学中，直积的本征值可以用来描述原子的能级结构；在信号处理中，直积的本征值可以用来求解信号的频谱；在图像处理中，直积的本征值可以用来求解图像的特征值和特征向量，从而实现图像的特征提取和匹配。

矩阵Kronecker乘积性质及应用

矩阵Kronecker乘积的性质与应用摘要按照矩阵乘法的定义，我们知道要计算矩阵的乘积AB，就要求矩阵A的列数和矩阵B的行数相等，否则乘积AB是没有意义的。

那是不是两个矩阵不满足这个条件就不能计算它们的乘积呢？本文将介绍矩阵的一种特殊乘积BA ，它对矩阵的行数和列数的并没有具体的要求，它叫做矩阵的Kronecker积（也叫直积或张量积）。

本文将从矩阵的Kronecker积的定义出发，对矩阵的Kronecker 积进行介绍和必要的说明。

之后，对Kronecker积的运算规律，可逆性，秩，特征值，特征向量等性质进行了具体的探究，得出结论并加以证明。

此外，还对矩阵的拉直以及矩阵的拉直的性质进行了说明和必要的证明。

矩阵的Kronecker积是一种非常重要的矩阵乘积，它应用很广，理论方面在诸如矩阵方程的求解，矩阵微分方程的求解等矩阵理论的研究中有着广泛的应用，实际应用方面在诸如图像处理，信息处理等方面也起到重要的作用。

本文讨论矩阵的Kronecker积的性质之后还会具体介绍它在矩阵方程中的一些应用。

关键词：矩阵；Kronecker积；矩阵的拉直；矩阵方程；矩阵微分方程Properties and Applications of matrix KroneckerproductAbstractAccording to the definition of matrix multiplication, we know that to calculate the matrix product AB, requires the number of columns of the matrix A and matrix B is equal to the number of rows, otherwise the product AB makes no sense.That is not two matrices not satisfy this condition will not be able to calculate their product do?This article will describe a special matrix product BA , the number of rows and columns of a matrix and its no specific requirements, it is called the matrix Kronecker product (also called direct product or tensor product).This paper will define the matrix Kronecker product of view, the Kronecker product matrix are introduced and the necessary instructions. Thereafter, the operation rules Kronecker product, the nature of reversibility, rank, eigenvalues, eigenvectors, etc. specific inquiry, draw conclusions and to prove it. In addition, the properties of the stretch of matrix and its nature have been described and the necessary proof.Kronecker product matrix is a very important matrix product, its use is very broad, theoretical research, and other matrix solving differential equations, such as solving the matrix equation matrix theory has been widely applied in practical applications such as image processing aspects of information processing, also play an important role. After the article discusses the nature of the matrix Kronecker product it will introduce a number of specific applications in the matrix equation. Keywords:Matrix; Kronecker product; Stretch of matrix; Matrix equation; Matrix Differential Equations目录摘要 .................................................................................................................................................... Abstract ............................................................................................................................................ I 第一章矩阵的Kronecker 积 01.1 矩阵的Kronecker 积的定义 ........................................................................................... 0 1.2 矩阵的Kronecker 积的性质 ........................................................................................... 0 第二章 Kronecker 积的有关定理及推论 ...................................................................................... 5 第三章矩阵的拉直 . (8)3.1矩阵的拉直的定义 ............................................................................................................ 8 3.2矩阵的拉直的性质 ............................................................................................................ 8 第四章矩阵的Kronecker 积与矩阵方程 .. (10)4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程 ................................................................ 10 4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程 .................................................................. 12 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程 .......................................................................... 13 参考文献......................................................................................................................................... 15 致谢 (17)符号说明W a W a 属于集合元素nm ij a A ⨯=)( 矩阵的记法列元素的行为以n m j i a ij⨯ij A )( 列的元素行的矩阵j i AT A 的转置矩阵A H A 的共轭转置矩阵A 1-A 的逆矩阵矩阵A→A 按行拉直得到的列向量矩阵AA det 的行列式方阵AtrA 的主对角元素之和的迹，方阵A A)(A rank 的秩矩阵A)(A λ 的特征值方阵An I 阶单位矩阵nR 实数域 C 复数域n C 维复向量的全体n n m C ⨯ 复矩阵全体n m ⨯O 零矩阵B A ⊗ 的和矩阵B A Kronecker 积第一章矩阵的Kronecker 积1.1 矩阵的Kronecker 积的定义定义1.1设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，定义A 和B 的Kronecker 积（或直积，张量积）B A ⊗为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B a B a B a B a B a B a B a B a B a B A mn m m n n 212222111211 可以看出，其结果是一个)()(nq mp ⨯矩阵，同时也是一个以B a ij 为子块的分块矩阵.例1.1 设⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1201A ，[]31-=B ，则 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⊗316200312B B O BB A []⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=⊗361203013A A A B 由此可见，B A ⊗与A B ⊗具有相同的阶数，但是它们并不相等，也就是说，Kronecker 积不满足交换律.1.2 矩阵的Kronecker 积的性质虽然Kronecker 积不满足交换律，但是具有以下一些性质：性质1.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C O ⨯∈，则O O A A O =⊗=⊗（这个O 为)()(nq mp ⨯矩阵）.证明：略.性质1.2.2 设k 为任一常数，矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka kA 212222111211，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B kA mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka B ka kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB a kB A mn m m n n mn m m n n 212222111211212222111211)()()()()()()()()()(，即)(B A k B kA ⊗=⊗，)()(B A k kB A ⊗=⊗. 所以)()()(B A k kB A B kA ⊗=⊗=⊗.性质1.2.3 设A ，B 为同阶矩阵（同阶是为了可以做加法），则C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(，B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n b b b b b b b b b B 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+mn mn m m m m n n n n b a b a b a b a b a ba b a b a b a B A221122222221211112121111，根据Kronecker 积的定义可以得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗+C b a C b a C b a C b a Cb aC b a C b a C b a C b a C B A mn mn m m m m n n n n )()()()()()()()()()(221122222221211112121111(1.1)*，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C a C a C a C a C a C a C a C a C a C A mn m m n n 212222111211 (1.2)*， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗C b C b C b C b C b C b C b C b C b C B mn m m n n 212222111211 (1.3)*，由(1.2)*，(1.3)*得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=⊗C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C b C a C A mn mn m m m m n n n n 221122222221211112121111 (1.4)*，由(1.1)*，(1.4)*可得：C B C A C B A ⊗+⊗=⊗+)(.同理设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n c c c c c cc c c C 212222111211可证：B C A C B A C ⊗+⊗=+⊗)(.性质1.2.4 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s r C F ⨯∈，则)()(F B A F B A ⊗⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗⊗=⊗⊗)()()()()()()()()()(212222111211F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B a F B A mn m m n n)(212222111211F B A F B a B a B a B a B a B a B a B a B a mn m m n n ⊗⊗=⊗⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 得证.性质1.2.5设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵s n C F ⨯∈,矩阵t q C D ⨯∈，则)()())((BD AF D F B A ⊗=⊗⊗证明：不失一般性，设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=ns n n s s f f f f f f f f f F212222111211，则：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⊗⊗D f D f D f D f D f Df D f D f D f B a B a B a B a B a B a B a B a B a D F B A ns n n s s mn m m n n212222111211212222111211))(()()()()()()()()()()()(112111112211211121111BD AF BD f a BD f a BD f a BD c a BD f a BD f a BD f a BD f a BD f a nk ks mk n k k mk n k k mk nk ks k n k k k n k k k n k ks k n k k k n k k k ⊗=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑∑∑∑∑∑∑∑∑=========得证.性质1.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈可逆，且矩阵n n C B ⨯∈可逆，则B A ⊗可逆，且111)(---⊗=⊗B A B A .证明：mn n m I I I BB AA B A B A =⊗=⊗=⊗⊗----)()())((1111(这里I n 与数的乘法中的1起到相同的作用)，故111)(---⊗=⊗B A B A .性质1.2.7 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则T T T B A B A ⊗=⊗)(H H H B A B A ⊗=⊗)(证明： ij T T T ji ij T B A B a B A ][])[(⊗==⊗ 得证.同理可证：H H H B A B A ⊗=⊗)(.性质1.2.8 两个正交（酉）矩阵的Kronecker 积还是正交（酉）矩阵. 证明：设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈.因为A ，B 都是正交（酉）矩阵，所以有m T T I A A AA ==，n T T I B B BB ==. 由性质1.2.7和性质1.2.5可得：mn n m T T T T T I I I BB AA B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(())((. mn m n T T T T T I I I B B A A B A B A B A B A =⊗=⊗=⊗⊗=⊗⊗))(()()(.故mn T T I B A B A B A B A =⊗⊗=⊗⊗)()())((. 得证.第二章 Kronecker 积的有关定理及推论定理2.2.2 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则)()()(B rank A rank B A rank =⊗.证明：设rank A =r ，rank B=s ，A ，B 的标准形分别为：1111--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P A r ，1212--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=Q O O O I P B s其中i P ，i Q =i (1，2)均为非奇异矩阵，则由性质1.2.5和1.2.6可以得：`1211211211121112121111)()()()(----------⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⊗Q Q O O O I P P Q Q O O O I O O O I P P Q O O O I P Q O O O I P B A rss r s r 所以)()()(B rank A rank s r B A rank =•=⊗ 得证.定理2.2.3 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.证明：因为x ，y 都是非零向量，所以x ⊗y 也是非零向量，由性质1.2.2和性质1.2.5可得：)()()()()())((y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λμμλ.所以，y x ⊗是B A ⊗对应特征值λμ的一个特征向量.推论2.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若A 的特征值是1λ，2λ，…，m λ；B 的特征值是1μ，2μ，…，n μ，则B A ⊗的特征值为t s μλ，m s ≤≤1，n t ≤≤1（k 重根算k 个）.定理2.2.5 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m C x ∈和n C y ∈，若x 是A 关于特征值λ的一个特征向量，y 是A 关于特征值μ的一个特征向量，则y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.证明：由性质1.2.3，性质1.2.5可以得到：)()()()())((y x y x y I Ax y x I A n n ⊗=⊗=⊗=⊗⊗λλ， )()()()())((y x y x By x I y x B I m m ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μμ，故))(())(())(())((y x y x B I y x I A y x B I I A m n m n ⊗+=⊗⊗+⊗⊗=⊗⊗+⊗μλ.所以，y x ⊗是B I I A m n ⊗+⊗对应特征值μλ+的一个特征向量.推论2.2.6 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m s C x ∈和n t C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ，2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，则B I I A m n ⊗+⊗的n m •个特征值为{t s μλ+}.(s=1，2，…，m ；t=1，2，…，n ).例2.2 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，对于向量m i C x ∈和n j C y ∈，若1x ，2x ，…，m x 是A 关于特征值1λ，2λ，…，m λ的特征向量，1y ， 2y ，…，n y 是B 关于特征值1μ，2μ，…，n μ的特征向量，证明：矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量为j i y x ⊗.(i=1，2，…，m ；j=1，2，…，n ).证明：由性质1.2.3和性质1.2.5可得：))(()()()()())((j i j i j j i i j i j i y x y x By Ax y x B A ⊗=⊗=⊗=⊗⊗μλμλ，故有：))(1())(()())(()())(())(())](()[(j i j i j i j i j i j i j i j i mn j i j i n m j i n m y x y x y x y x y x I y x B A y x I I y x B A I I ⊗-=⊗-⊗=⊗-⊗=⊗⊗-⊗⊗=⊗⊗-⊗μλμλμλ所以，矩阵)()(B A I I n m ⊗-⊗的特征值是j i μλ-1，对应的特征向量j i y x ⊗. 定理2.2.7 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则trB trA B A tr •=⊗)(证明：由Kronecker 积和迹的定义可得：trBtrA trB a trB a trB a B a tr B a tr B a tr B A tr nn nn •=+++=+++=⊗ 22112211)()()()(得证.定理2.2.8 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则m n B A B A )(det )(det )det(=⊗证明：设A 的特征值为1λ，2λ，…，m λ，B 的特征值为1μ，2μ，…，n μ，由推论2.2.4可得：mn m n n m n m m n n nj j m nj j mnji nj j j i B A B A )(det )(det )()()())(())(()()()()()det(21211212111112,11=====⊗∏∏∏∏===μμμλλλμλμλμλμλμλμλμλμλμλμλ得证.第三章矩阵的拉直3.1矩阵的拉直的定义定义3.1 设n m ij a A ⨯=)(，定义矩阵A 的按行拉直为：T mn m n n a a a a a a A A vec )()(1221111，，，，，，，，， ==→即矩阵A 的拉直是一个mn 元的列向量，它是由矩阵A 所有元素按行顺序依次排成一列得到的.例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=d c b a A ，则矩阵A 的拉直为T d c b a A )(，，，=→.3.2矩阵的拉直的性质矩阵的拉直具有以下性质：性质 3.2.1 设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵n m C B ⨯∈，k 和l 是常数，则)(lB kA +=→→+B l A k .证明：略.性质3.2.2 设n m ij t a t A ⨯=))(()(，则dtt dA )(=dt d)(t A . 证明：左边==))((dtt dA vet ij a vet ((′)))(n m t ⨯ = [(a 11′(t )，…，a n 1′(t )，a 21′(t )，…，a n 2′(t )，…，a 1m ′(t )，…，a mn ′(t ) ]T =[(a 11(t )，…，a n 1(t )，a 21(t )，…，a n 2(t )，…，a 1m (t )，…，a mn (t ) )T ]′ = ))](([t A vet ′=))](([t A vec dtd=右边，得证. 性质 3.2.3设矩阵n m C A ⨯∈，矩阵p n C X ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，则AXB →⊗=X B A T)(.证明：设⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a aa a a A 212222111211，T n x x X )(1，， =→，其中，T i x 是X 的第i 行=i (1，2，…，)n ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=B x a x a B x a x a AXB T n mn T m Tn n T )()(111111 ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=→n x x X 1 所以AXB T Tn mn T m T n n T B x a x a B x a x a ])()[(111111++++= ，， →⊗=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++=X B A x x B a B a B a B a x a x a B x a x a B n T mn T m T n T n mn m T n n T )()()()()(11111111111 得证. 推论3.2.4 设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n m C X ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，则有1.AX →⊗=X I A n )( 2.XB →⊗=X B I Tm )(.3(AX +XB )→⊗+⊗=X B I I A Tm n )(.第四章矩阵的Kronecker 积与矩阵方程4.1矩阵的Kronecker 积与Lyapunov 矩阵方程设矩阵m m C A ⨯∈，矩阵n n C B ⨯∈，矩阵n m C F ⨯∈，解Lyapunov 矩阵方程： AX+XB=F .第一步：将方程两边拉直，由推论3.2.4可得：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1) 第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.1)有解的充要条件是：Tm n B I I A rank ⊗+⊗(┊)()T m n B I I A rank C ⊗+⊗=→，：有唯一解的充要条件是det(A ⊗I n + I m ⊗B T )≠0，即A 和(-B )没有公共的特征值或者说A 和B 无互为相反数的特征值.例4.1 分别在下2列条件下解矩阵方程AX+XB=C.(1) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0112A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=42-1-3B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1081710C (2) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3201A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1052B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=11353C 解：(1) 首先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：121==λλ，解0=-B I μ得：5221==μμ，.观察有无互为相反数的特征值发现，A 和B 没有互为相反数的特征值，所以矩阵方程有唯一解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x x X ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=4123TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-108171041231001100101124321x x x x ，计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------108171041102301106101254321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：21314321-===-=x x x x ，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的唯一解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2131X . (2) 同样先计算A 和B 的特征值，解0=-A I λ得：3121==λλ，，解0=-B I μ得：1221-==μμ，.通过观察可知：021=+μλ. 一所以矩阵方程的解不唯，即存在通解. 将矩阵方程两边拉直，得到：→→=⊗+⊗C X B I I A Tm n )(. (4.1)设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1502TB ，将A ，T B ，X ，C 代入(4.1)得： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡1135315021001100132014321x x x x ， - 计算得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--113532520050200050034321x x x x ，根据矩阵的乘法的定义可以求得：c x x c x x -=-===3114321，，，. 故矩阵方程AX+XB=C 的通解为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=c c X 311(c 为任意常数).4.2矩阵的Kronecker 积与一般线性矩阵方程设矩阵n m k C A ⨯∈，矩阵q p C B ⨯∈，矩阵q m C F ⨯=，解一般线性矩阵方程：F XB Ark k k=∑=1(r = 1，2，…).第一步，将矩阵方程两边拉直，由性质3.2.3可以得到：∑=→→=⊗rk T kkF X B A1)][(. (4.2)第二步：判断是否有解，根据线性方程组是否有解的判别条件可得：矩阵方程(4.2)有解的充要条件是：∑⊗)((Tkk B A rank ┊))(()1∑=→⊗=rk Tkk B A rank F . 即∑=⊗rk Tkk B A 1)(的所有特征值均不为0. 例4.2 设A 和C 都是n ⨯n 矩阵，A 的特征值λi （i=0，1，2，…，n ）R ∈（实数），求证：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.证明：将两边方程拉直得到：→→=⊗+⊗+⊗C X A A A A I I T T n n ])([(22，化简得到：→→=⊗+⊗+C X A A A A I TTn ])()([22.由定义3.1可知：T A A ⊗的2n 个特征值是=j i j i ，(λλ0，1，2，…，n ). 故：2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+的2n 个特征值是：22)21(43)()(1j i j i j i λλλλλλ++=++＞00(=j i ，，1，2，…，n ). 即2)()(2T T n A A A A I ⊗+⊗+是可逆的，由唯一解的判断方法可知：矩阵方程C XA A AXA X =++22有唯一解.例4.3 在下列条件下解矩阵方程C XB A XB A =+2211.已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=20311A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=13101B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11022A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=01232B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=48213C . 解：将矩阵方程两边拉直得到：→→=⊗+⊗C X B A B A T T)(2211. (4.3)*设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=4321x x x xX ，计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11301T B 和 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=02132TB 代入(4.3)*得到：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⊗⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4821302131102113020314321x x x x .计算化简得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------4821320027313331390564321x x x x . 根据矩阵的乘法的定义可以求得：10214321===-=x x x x ，，，.计算T T B A B A rank 2211(⊗+⊗┊4)()2211=⊗+⊗=TT B A B A rank C ，所以方程有唯一解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1021X . 4.3矩阵的Kronecker 积与矩阵微分方程设m m C A ⨯∈矩阵，n n C B ⨯∈矩阵，n m C t X ⨯∈)(，求下列矩阵微分方程初值问题的解：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.3)引理：设m m C A ⨯∈矩阵A ，矩阵n m C B ⨯∈，则n A I A I e e n ⊗=⊗，B m B I e I e m ⊗=⊗. 证明：因为性质1.2.5可得：∑∑∞=∞=⊗⊗=⊗=11)(!1)(!1k k k k kI A I A k I A k enn A k kI e I A k ⊗=⊗=∑∞=1)!1(. 同理可证：B m B I e I e m ⊗=⊗.将矩阵微分方程(4.3)两边拉直，由推论3.2.4可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧=⊗+⊗=→0)0()()()(X X t X B I I A dt t X d T m n (4.4)由引理可得：T t B At tB AtB I I A t TT m n e X e X ee X et X )()()(000)(=⊗==→→⊗+⊗，又因为∑∑∞=∞====11!1))(!1()(k Bt k k T k k k T Tt B e t B k t B k eT ，故Bt At e X e t X 0)(= (4.5) 这就是微分方程(4.3)的解.例4.4 求解下列矩阵微分方程的初值问题：⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0()()()(X X B t X t AX dt t dX (4.6)已知：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0011A ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0011B ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10010X . 解：可计算得到：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t tAte e e，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=101t t Bte e e .由(4.5)式可以得到： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==10)1()(220t tBtAt e e eX e t X . 即(4.6)的解为⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=10)1()(22t te e t X . 通过本章的学习，我们知道矩阵的Kronecker 积在解矩阵方程领域有很大的作用，利用Kronecker 积的性质，我们可以解决Lyapunov 矩阵方程，一般矩阵方程，矩阵微分方程的初值问题等问题.参考文献[1]矩阵论简明教程（第三版）.徐仲等编.北京：科学出版社.2014.1.[2]矩阵论教程（第2版）.张绍飞，赵迪编.北京：机械工业出版社.2012.5.[3]矩阵论引论（第2版）.陈祖明，周家胜编.北京：北京航空航天大学出版社.2012.10.[4]矩阵论十讲.李乔，张晓东编.合肥：中国科学技术大学出版社.2015.3.[5]矩阵理论及方法.谢冬秀，雷纪刚，陈桂芝编.北京：科学出版社.2012.[6]H-矩阵类的理论及应用.徐仲等编.北京：科学出版社.2013.[7]高等代数教程（上）.王萼芳编.北京：清华大学出版社.1997（2008重印）.[8]常微分方程（第二版）.东北师范大学微分方程教研室.北京：高等教育出版社.2005.4（2012.12重印）.[9]矩阵分析与应用（第2版）.张贤达编.北京：清华大学出版社.2013（2014.6重印）.[10]线性代数及其应用.毛立新，咸美新编.北京：高等教育出版社.2015.8.[11]线性代数（第2版）.钟玉泉，周建编.北京：科学出版社.2015.1.[12]矩阵理论与方法（第2版）.吴昌悫，魏洪增编.北京：电子工业出版社.2013.8.[13]线性代数学习指导.赵春燕，单净，王麟编.哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社.2012.2.[14]矩阵论.张凯院等编.北京：科学出版社.2013.[15]矩阵论导教·导学·导考.张凯院，徐仲编.西安：西北工业大学出版社.2014.8.[16]矩阵函数与矩阵方程.柏兆俊，高卫国，苏仰锋编.北京：高等教育出版社.2015.5.[17]矩阵分析.姜志侠，孟品超，李延忠编.北京：清华大学出版社.2015.[18]矩阵论札论.梁昌洪编.北京：科学出版社.2014.[19]线性代数及其应用.马新顺，王涛，郭燕编.北京：高等教育出版社.2014.7.[20]矩阵论引论.田振际，王永铎，吴德军编.北京：科学出版社.2013.[21]线性代数及其应用（第2版）.河北农业大学理学院编.北京：高等教育出版社.2006.11.（2015.2重印）.[22]线性代数及其应用.王坤龙编.北京：电子工业出版社.2014.10.[23]线性代数（第2版）.许峰，范爱华编.合肥：中国科学技术大学出版社.2013.4.[24]线性代数及其应用.俞方元编.上海：同济大学出版社.2014.8.[25]线性代数学习指导.谢政，陈挚编.北京：清华大学出版社.2012.10.[26]高等线性代数学.黎景辉，白正简，周国晖编.北京：高等教育出版社.2014.9.[27]线性代数讲义.江惠坤，邵荣，范红军编.北京：科学出版社.2013.[28]线性代数.贾屹峰编.上海：上海交通大学出版社.2012.[29]线性代数.侯亚君，艾玲，沙萍，林洪娟编.北京：机械工业出版社.2012.1（2012.7重印）.[30]线性代数.郝秀敏，姜庆华编.北京：经济科学出版社.2013.7.[31]线性代数.韩旸，王静宇，周莉编.北京：化学工业出版社.2013.8.[32]线性代数重点难点考点辅导与精析.高淑萍，张剑湖编.西安：西北工业大学出版社.2014.5.[33]线性代数.傅媛编.武汉：武汉大学出版社.2013.2（2013.11重印）.[34]跟我学线性代数：导学与习题精解.董晓波编.北京：机械工业出版社.2014.1.[35]线性代数同步学习辅导.陈绍林，唐道远编.北京：科学出版社，2014.7.[36]线性代数及应用.刘三明编.南京：南京大学出版社.2012.8.[37]线性代数.谭福锦，黎进香编.北京.人民邮电出版社.2012.8.[38]工程数学.线性代数（第6版）.同济大学数学系编.北京：高等教育出版社.2014.6.[39]矩阵分析与计算.李继根，张新发编.武汉：武汉大学出版社.2013.10.[40]矩阵计算的理论与方法.徐树方编.北京：北京大学出版社.1995.8.[41]矩阵分析及其应用.曾祥金，吴华安编.武汉：武汉大学出版社.2007.8.[42]矩阵理论与应用.张跃辉编.北京：科学出版社.2011.8.致谢通过一个月来不断的努力，终于完成了这篇毕业论文。

克罗内克积的特征值

克罗内克积的特征值引言克罗内克积是一种重要的矩阵运算，广泛应用于线性代数、图论、信号处理等领域。

在研究克罗内克积时，我们常常关注其特征值及其性质。

本文将深入讨论克罗内克积的特征值及相关概念，并通过例子解释其应用。

克罗内克积简介克罗内克积，又称为直积或张量积，是两个矩阵的一种运算方式。

给定两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为p×q，则它们的克罗内克积记作A ⊗ B，维度为mp × nq。

具体而言，A ⊗ B可以表示为：A ⊗B = [a11B, a12B, ..., a1nB][a21B, a22B, ..., a2nB][..., ..., ..., ...][am1B, am2B, ..., amnB]其中aij表示A中第i行第j列的元素。

克罗内克积的特征值对于给定矩阵C = A ⊗ B，我们希望求解其特征值。

特征值是矩阵运算中的重要概念，它描述了矩阵变换后向量的伸缩情况。

设C的特征值为λ，对应的特征向量为v。

则有以下关系成立：(C - λI)v = 0其中，I为单位矩阵。

由上式可以得到：(A ⊗ B - λI)v = 0进一步展开可得：(A ⊗ B - λI)(v1 ⊗ v2) = 0其中，v1和v2分别是A和B的特征向量。

我们可以将上式展开为：(A - λI)⊗B(v1 ⊗ v2) + A⊗(B - λI)(v1 ⊗ v2) = 0继续展开可得：(A - λI)Bv1 ⊗ v2 + Av1 ⊗ (B - λI)v2 = 0根据克罗内克积的性质，上式可以简化为：(A - λI)Bv1 = (λI - B)v2Av1 = (λI - B)v2由此可见，求解克罗内克积C的特征值与求解矩阵A和B的特征值有关。

克罗内克积特征值的性质克罗内克积的特征值具有以下性质：1.克罗内克积的特征值为A和B的特征值的乘积。

设A和B分别具有特征值λ1和λ2，对应的特征向量分别为v1和v2。

直积空间密度矩阵

直积空间密度矩阵直积空间密度矩阵是量子力学中用于描述多体系统的一种数学工具。

在量子力学中，直积空间是指将多个量子系统的希尔伯特空间直积起来得到的一个新的空间。

而密度矩阵则是用来描述量子态的一个矩阵，它包含了关于系统的所有可观测信息。

直积空间密度矩阵的概念将这两个概念结合起来，用来描述多体系统的量子态。

在量子力学中，一个量子态可以用一个向量表示，这个向量属于系统的希尔伯特空间。

对于多体系统来说，它的希尔伯特空间就是各个子系统希尔伯特空间的直积。

例如，对于两个子系统A和B，它们的希尔伯特空间分别是H_A和H_B，那么整个系统的希尔伯特空间就是H = H_A ⊗ H_B。

直积空间的维数等于各个子系统维数的乘积。

在直积空间中，一个多体系统的量子态可以用一个向量表示，这个向量的维度等于直积空间的维数。

然而，当我们考虑到多体系统中可能存在的纠缠现象时，用向量表示量子态就不太方便了。

这时，我们可以使用密度矩阵来描述量子态。

密度矩阵是一个厄米矩阵，它的本征值代表了系统的能级，而本征向量则对应于相应能级的量子态。

对于一个纯态而言，密度矩阵只有一个非零本征值，其余本征值都为零，对应于一个纯粹的量子态。

然而，对于混合态而言，密度矩阵有多个非零本征值，对应于不同的量子态的叠加。

在直积空间中，一个多体系统的密度矩阵可以表示为各个子系统密度矩阵的直积。

例如，对于两个子系统A和B，它们的密度矩阵分别是ρ_A和ρ_B，那么整个系统的密度矩阵就是ρ = ρ_A ⊗ρ_B。

这样一来，我们就可以用密度矩阵来描述多体系统的量子态了。

直积空间密度矩阵的概念在量子信息科学中有着重要的应用。

例如，在量子计算中，直积空间密度矩阵可以用来描述多个量子比特之间的纠缠关系。

在量子通信中，直积空间密度矩阵可以用来描述多个量子信道之间的耦合效应。

在量子模拟中，直积空间密度矩阵可以用来描述多个量子系统之间的相互作用。

直积空间密度矩阵是一种用来描述多体量子系统的数学工具，它将直积空间和密度矩阵的概念结合起来，用来描述多体系统的量子态。

mathematica矩阵直积

Mathematica矩阵直积引言矩阵直积是线性代数中一个重要的运算，它可以用于研究多个向量空间之间的关系。

Mathematica是一种功能强大的数学软件，它提供了许多用于操作矩阵的函数。

在本文中，我们将介绍如何在Mathematica中计算和应用矩阵直积。

矩阵直积的定义矩阵直积，也称为克罗内克积，是指两个矩阵的对应元素之间的乘积。

假设我们有两个矩阵A和B，矩阵直积的结果记为A ⊗ B。

如果A是一个m×n的矩阵，B是一个p×q的矩阵，那么A ⊗ B是一个mp × nq的矩阵。

矩阵直积的定义可以用公式表示如下：其中a_ij和b_kl分别表示矩阵A和B的元素。

Mathematica中计算矩阵直积的方法在Mathematica中，我们可以使用KroneckerProduct函数来计算矩阵的直积。

KroneckerProduct函数的语法如下：KroneckerProduct[A, B]其中A和B分别表示要计算直积的两个矩阵。

需要注意的是，A和B的维度可以是任意的。

下面是一个简单的示例，展示了如何使用KroneckerProduct函数计算矩阵直积：A = {{1, 2}, {3, 4}};B = {{5, 6}, {7, 8}};C = KroneckerProduct[A, B];C // MatrixForm输出结果为：(561012 781416 15182024 21242832)矩阵直积的性质矩阵直积具有以下几个重要的性质：1.交换性：A ⊗ B = B ⊗ A2.结合性：A ⊗ (B ⊗ C) = (A ⊗ B) ⊗ C3.分配律：(A + B) ⊗ C = A ⊗ C + B ⊗ C这些性质使得矩阵直积在各种数学和工程应用中非常有用。

矩阵直积的应用矩阵直积在各种数学和工程应用中都有广泛的应用。

下面是一些常见的应用示例：1. 向量空间的扩充矩阵直积可以用于将一个向量空间扩充为更大的向量空间。

矩阵直积

_矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

矩阵直积

Kronecker积及其应用

-矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

【VIP专享】第8讲 矩阵的直积及其应用

基于矩阵直积的膨胀图构造

6-3_矩阵Kronecker积

_矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

矩阵的Kronecker乘积的性质与应用

第8讲 矩阵的直积及其应用

直积的计算公式

矩阵直积

直积的本征值

矩阵Kronecker乘积性质及应用

克罗内克积的特征值

直积空间密度矩阵

mathematica矩阵直积

【VIP专享】第8讲矩阵的直积及其应用

第8讲矩阵的直积及其应用