图论-网络流
数学中的图论与网络知识点
数学中的图论与网络知识点图论是数学中一个重要的分支领域，研究图的结构、性质以及与实际问题的应用。
而网络则是现代社会中的重要组成部分，图论在网络上的应用也日益广泛。
本文将介绍数学中的图论基本概念和网络知识点，以及它们在现实中的应用。
一、图论基本概念1. 图的定义与表示图是由节点（顶点）和边组成的一种数学结构。
节点表示对象，边表示节点之间的连接关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示与存储。
2. 图的分类图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。
根据边是否具有权重，图又可以分为带权图和无权图。
3. 图的性质图具有很多重要的性质，例如连通性、度、路径等。
连通性表示图中任意两个节点之间存在一条路径，度表示节点的相邻节点个数，路径是连接节点的边的序列。
二、图论中的常见算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于边权重为非负的图，而Floyd-Warshall算法适用于任意带权图。
2. 深度优先搜索与广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法。
DFS以深度优先的方式探索图中的节点，BFS以广度优先的方式探索。
这两种算法在解决连通性、拓扑排序等问题中有广泛应用。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于在带权图中找到权重和最小的生成树。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
三、网络中的图论应用1. 社交网络与关系分析社交网络是图的一种应用，其中节点表示人，边表示人与人之间的社交关系。
基于图论的算法可以分析社交网络中的社区结构、关键人物等信息。
2. 网络流与最大流问题网络流是指在图中模拟流动的过程，最大流问题是求解从源节点到汇节点的最大流量。
网络流算法可以用于优化问题的求解，如分配问题、进程调度等。
3. 路由算法与网络优化路由算法是网络中常用的算法之一，用于确定数据从源节点到目的节点的传输路径。
图论中的匹配理论和网络流问题
时间复杂度：最大匹配算法的时间复杂度 较高，为指数级别，因此在实际应用中受 到限制。
应用场景：最大匹配算法在计算机科学、 运筹学、经济学等领域有广泛的应用， 例如在解决指派问题、工作调度问题等 方面。
匹配的应用场景
计算机科学：匹配算法在计算机科学中广泛应用于图算法、数据结构等领域 物理学：在物理学中，匹配理论用于描述粒子相互作用和量子场论中的现象 经济学：匹配理论在经济学中用于研究市场均衡和劳动力市场匹配等问题 社会学：在社会学中，匹配理论用于研究婚姻匹配、教育匹配和职业匹配等现象
电力网络优化： 在网络中合理 分配电力，降 低能耗并提高 电力系统的稳
定性。
通信网络设计： 优化通信网络 的数据传输， 提高网络的吞 吐量和可靠性。
物流配送：通 过优化物流配 送网络，提高 配送效率并降 低运输成本。
网络流算法的分类
最大流算法：寻找从源点到汇点的最大流量 最小割算法：确定将源点划分为两个子集的最小割点集合 最小费用流算法：在满足容量限制和流量平衡的前提下，寻找最小费用流 最短路径算法：寻找从源点到汇点的最短路径
优化目标：最小化 总流量，使得流量 分配均匀，避免拥 堵和瓶颈
算法实现： Dijkstra算法、 Bellman-Ford算 法等
应用场景：交通网 络、通信网络、电 力网络等
多源多汇问题
定义：多个源点和 多个汇点在网络中 同时进行流量的传 输
优化目标：寻找最 优解，使得总流量 传输成本最低或传 输时间最短
最小割问题的应用：在网络流问题中，最 小割问题被广泛应用于解决流量最大化和 容量限制问题。
最小割问题的求解方法：常见的求解最小 割问题的算法有Kruskal算法和Prim算法。
最小割问题的性质：最小割问题具有NP 难解性质，即目前没有已知的多项式时 间复杂度的算法来求解最小割问题。
图论基础知识的名词解释
图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。
图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。
下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。
1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。
节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。
图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。
在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。
2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。
在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。
入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。
3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。
最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。
4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。
如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。
连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。
5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。
在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。
n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。
完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。
6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
图论
• •
解题思路
•
• •
但是这个方法点数是平方级别的，本题明显不足。
想法2： 把边变成点，点变成边，从一条边走向另一条边的代价是这 两条边的权值的较大值。
v1 v2
•
点数变为O(n)级别，但是对于菊花图， 边数仍是n^2级别的。
max(v1,v2)
解题思路
•
•
想法3：
对想法2进行优化，利用边权差来节省边数。具体的是对于连 接某一个点的所有边按边权排序，每条边在新图对应的点向 相邻的较大的边对应的点连一条权值为两条边的权值差的边， 向相邻的较小的边连一条权值为0的边，并且把这条边对应的 点拆成两个点，经过代价为这条边的权值。 这样就把max操作通过差分把边数优化成了O(m)级。
• •
•
Tax
• 给出一个N个点M条边的无向图，经过一个点的代价
是进入和离开这个点的两条边的边权的较大值，求从 起点1到点N的最小代价。起点的代价是离开起点的 边的边权，终点的代价是进入终点的边的边权
• N<=100000 • M<=200000
解题思路
•
•
如果n<=100
可以用分层图的思想，把每个点i拆成n个点，dist[i, j] 表示： 从起点出发，最终到达点i，且到达i的前一个点是j的最短距 离。(j的代价不算在内) [i1,j1]->[i2,i1]的边权为max(v[j1,i1], v[i1, i2]) 最后枚举i取min(dist[final, i] + v[i, final])作为答案
• •
解题思路
•
最开始的想法：
之间把每个点抽象成图中的节点，四联通连边，跑最短路？
不能考虑到起始的速度。
图论讲义第9章-网络流理论
注：网络 N 的一个割 K 称为最小割，如果网络 N 中不存在割 K′使得 CapK ′ < CapK 。 推论 9.1.1 设 f * 是网络 N 的一个最大流，K*是 N 的一个最小割，则 Val f * ≤ CapK * . 证明显然。 推论 9.1.2 设 f 是 N 的一个可行流，K 是 N 的一个割，若 Val f = CapK ，则 f 是最大流而
a∈K
−
(S ) =
a∈( S , S )
∑
f (a ) ≥ 0 。
由引理 9.1.1, Val f = f + ( S ) − f − ( S ) ≤ CapK , 可见第 一个结论成立。另外注意到 f + ( S ) = CapK 当且仅当
S K
S
( S , S ) 中每条弧都是 f 饱和的；而 f − ( S ) = 0 当且仅当 ( S , S ) 中每条弧都是 f 零的，故定理的第二个结论也成立。证毕。
v2 v1 x P Q v3 y v6 v4 v5
定义 9.2.2 设 f 是网络 N = (V , x, y , A, C ) 中的一可行流，P 是 N 中一条 x-y 路。如果对于 P 上任一条弧
a ，都有
(1) 若弧 a 是 P 的正向弧，则 Δf ( a ) (2) 若弧 a 是 P 的反向弧，则 Δf ( a )
Байду номын сангаас
§9.1 网络与网络流的基本概念
定义 9.1.1 一个网络 N=(V,A)是指一个连通无环弧且满足下列条件的有向图： (1) 有一个顶点子集 X，其每个顶点的入度都为 0； (2) 有一个与 X 不相交的顶点子集 Y，其每个顶点的出度都为 0； (3) 每条弧都有一个非负的权，称为弧的容量。 注： 上述网络 N 可写作 N=(V, X, Y, A, C)，X 称为网络的发点集或源点集，Y 称为网络的 收点集或汇点集，C 称为网络的容量函数。 例：
算法学习：图论之网络流问题算法小结
USACO 4.2.1 Ditch 网络最大流问题算法小结通过 USACO 4.2.1 Ditch 学习一下最大流算法。
可惜它给的测试数据几乎没有任何杀伤力，后面测试时我们采用 DD_engi 写的程序生成的加强版数据。
总体上来说，最大流算法分为两大类：增广路 (Augmenting Path) 和预流推进重标号 (Push Relabel) 。
也有算法同时借鉴了两者的长处，如 Improved SAP 。
本篇主要介绍增广路类算法，思想、复杂度及实际运行效率比较，并试图从中选择一种兼顾代码复杂度和运行效率的较好方案。
以下我们将会看到，有时理论分析的时间复杂度并不能很好的反映一种算法的实际效率。
1. Ford - Fulkerson 方法所有增广路算法的基础都是 Ford - Fulkerson 方法。
称之为方法而不是算法是因为 Ford - Fulkerson 只提供了一类思想，在此之上的具体操作可有不同的实现方案。
给定一个有向网络 G(V,E) 以及源点 s 终点 t ，FF 方法描述如下：Ford-Fulkerson 方法(G,s,t)1将各边上流量 f 初始化为02while存在一条增广路径 p3do沿路径 p 增广流量 f4return f假设有向网络 G 中边 (i,j) 的容量为 c(i,j) ，当前流量为 f(i,j) ，则此边的剩余流量即为 r(i,j) = c(i,j) - f(i,j) ，其反向边的剩余流量为 r(j,i) = f(i,j) 。
有向网中所有剩余流量 r(i,j) > 0 ，增广路径p即是残量网络中从源点 s 到终点 t 的路径。
的边构成残量网络 Gf沿路径 p 增广流量 f 的操作基本都是相同的，各算法的区别就在于寻找增广路径 p 的方法不同。
例如可以寻找从 s 到 t 的最短路径，或者流量最大的路径。
2. Edmonds - Karp 算法Shortest Augmenting Path (SAP) 是每次寻找最短增广路的一类算法，Edmonds - Karp 算法以及后来著名的 Dinic 算法都属于此。
网络流ppt
最小割容量=最大流
3 网络流的几个主要研究分支
3.1最大流 3.2最小费用最大流
最大流问题:
在网络上寻求一个使流量 υ(ƒ)达到最大的流ƒ， 称之为网络最大流问题。它是网络流理论中的一 个主要研究课题,已获得一些重要结果： ① 若各弧上的容量都是正整数，则必存在各弧上 的流量都是整数的最大流。 ② 流ƒ是最大流的充分必要条件是,不存在关于ƒ的 增广链。从而将寻求最大流问题化为判断有无增 广链问题。易见，图1中的b不是最大流。福特和 富尔克森提出了一种标号法，即对网络上的点给 以标号，从υs出发沿网络上的弧向υt探寻增广链 的方法。
(0,3)
(0,3)
(6,6)
v0
(2,2)
v5
(4,4)
vn
(5,5)
(0,3)
(0,3)
(4,10)
v3
(0,4)
v4
(3,5)
(4,5)
(6,6) v1
v2
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网络流（最大流-Dinic算法）
⽹络流（最⼤流-Dinic算法）⽹络流定义 在图论中，⽹络流（Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（Capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（Node）⽽边称为弧（Arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（Source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（Sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
————维基百科 最⼤流 正如可以通过将道路交通图模型化为有向图来找到从⼀个城市到另⼀个城市之间的最短路径，我们也可以将⼀个有向图看做是⼀个“流⽹络”并使⽤它来回答关于物料流动⽅⾯的问题。
设想⼀种物料从产⽣它的源结点经过⼀个系统，流向消耗该物料的汇点这样⼀个过程。
源结点以某种稳定的速率⽣成物料，汇点则以同样的速率消耗物料。
从直观上看，物料在系统中任何⼀个点上的“流量”就是物料移动的速率。
这种流⽹络可以⽤来建模很多实际问题，包括液体在管道中的流动、装配线上部件的流动、电⽹中电流的流动和通信⽹络中信息的流动。
我们可以把流⽹络中每条有向边看做是物料的⼀个流通通道。
每条通道有限定的容量，是物料流经该通道时的最⼤速率，如⼀条管道每⼩时可以流过200加仑的液体。
流⽹络中的结点则是通道的连接点。
除了源结点和终结点外，物料在其他结点上只是流过，并不积累或聚集。
换句话说，物料进⼊⼀个结点速率必须与其离开该结点的速率相等。
这个性质称为“流量守恒”，这⾥的流量守恒与Kirchhoff电流定律等价。
在最⼤流问题中，我们希望在不违反任何容量限制的情况下，计算出从源结点运送物料到汇点的最⼤速率。
这是与流⽹络有关的所有问题中最简单的问题之⼀().，这个问题可以由⾼效的算法解决。
⽽且，最⼤流算法中的⼀些基本技巧可以⽤来解决其他⽹络流问题。
图论与网络流算法
图论与网络流算法一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握图的基本概念，包括图的表示方法、顶点与边的性质；2. 使学生理解图论中的关键算法，如最短路径、最小生成树、网络流等；3. 培养学生运用图论知识解决实际问题的能力。
技能目标：1. 培养学生运用图论算法编程解决问题的能力；2. 提高学生分析问题、设计算法和解决问题的能力；3. 培养学生的团队协作和沟通能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对图论和网络流算法的兴趣，培养其主动探索的精神；2. 培养学生面对复杂问题时，保持积极、严谨的态度；3. 引导学生认识到图论在网络科学、运筹学等领域的广泛应用，增强其社会责任感。
本课程针对高中年级学生，课程性质为选修课，旨在帮助学生拓展知识面，提高逻辑思维能力和解决问题的能力。
考虑到学生的年龄特点，课程内容将注重实际应用，结合生活实例，引导学生发现图论在网络流算法中的重要作用。
在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生主动思考、提问，培养其创新意识。
通过本课程的学习，期望学生能够掌握图论基本知识，运用网络流算法解决实际问题，并在此过程中，形成积极的学习态度和价值观。
二、教学内容1. 图的基本概念- 图的表示方法（邻接矩阵、邻接表）- 顶点与边的性质（度、路径、连通性）2. 图论关键算法- 最短路径算法（Dijkstra算法、Floyd算法）- 最小生成树算法（Prim算法、Kruskal算法）- 网络流算法（Ford-Fulkerson算法、Edmonds-Karp算法）3. 图论在实际问题中的应用- 交通网络分析- 电信网络设计- 社交网络分析4. 教学内容安排与进度- 第1周：图的基本概念及表示方法- 第2周：最短路径算法及其应用- 第3周：最小生成树算法及其应用- 第4周：网络流算法及其应用5. 教材章节及内容列举- 教材第3章：图的基本概念- 教材第4章：最短路径与最小生成树算法- 教材第5章：网络流算法及其应用教学内容根据课程目标进行选择和组织，注重科学性和系统性。
《图论与网络流》课件
最ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流最小割定理
总结词
最大流最小割定理是图论中一个重要的定理，它指出在一个有向图中，从源点到汇点的 最大流等于最小割的容量。
详细描述
最大流最小割定理是解决网络流问题的重要理论依据，它提供了一种将最大流问题转化 为最小割问题的思路。通过求解最小割问题，可以找到一个割点集合，使得从源点到汇 点的流量等于该割的容量，从而得到最大流。在实际应用中，最大流最小割定理可以应
感谢您的观看
THANKS
02
图论中的基本问题
欧拉路径与欧拉回路
欧拉路径
一个路径是图中的一条边序列， 使得每条边只经过一次，起点和
终点是同一点。
欧拉回路
一个路径是图中的一条边序列，使 得每条边只经过一次，起点和终点 是同一点，且所有节点均不重复。
总结
欧拉路径和回路是图论中的基本概 念，它们在计算机科学、运筹学、 电子工程等领域有广泛应用。
最小割算法
01
最小割算法是图论中求解最小割问题的算法，旨在将图划分为两个不 相交的子集，使得两个子集之间的边权值之和最小。
02
最小割问题与最大流问题是互补的，一个问题的解可以通过另一个问 题的解得到。
03
最小割算法的实现通常基于最大流算法，通过求解一系列最大流问题 来逼近最小割问题的解。
04
最小割算法的时间复杂度也取决于所选的算法和图的具体结构，一般 在多项式时间内可求解。
最小费用流算法
最小费用流问题考虑了流的代价 ，即每条边的容量和代价，要求 在满足流量限制的前提下，总代 价最小。
最小费用流算法的基本思想是通 过不断优化流的路径和代价来逼 近最小费用流的解。
最小费用流算法是图论中求解最 小费用流问题的算法，旨在找到 从源点到汇点具有最小费用的流 。
网络流
割切：
G = (V, E, C)是已知的网络流图，设 U是V的一个子集，W = V \U，满足Vs W，Vt U。即W、U把V分成两个不相交 的集合，且源点和汇点分属不同的集合。 对于弧尾在U，弧头在W的弧所构成 的集合称之为割切，用（U，W）表示。 把割切（U，W）中所有弧的容量之和叫 做此割切的容量，记为C（U，W）.
例如，在图1b中,p＝{υs,υ2,υ1,υ4,υt}是一个增广链。 (υs,υ2)、(υ4,υt)是前向弧，其上的流量都小于容量； (υ1,υ2),(υ4,υ1)是后向弧，其上的流量都大于零。如 果在此增广链的前向弧上，流量都增加1,后向弧上流 量都减少1，就可从b变到c，从而使流量从4增加到5。
增流值=3
(4,5)
v1 (6,6) (3,3) (2,2) v5 (3,3) (0,4) v4 (3,5) v2
(7,10)
v0
(0,3)
(4,4)
(6,6) vn (7,10)
(5,5)
v0
(0,3)
(0,4)
(6,6) vn (0,10)
(2,5)
v3
(0,3)
(4,5)
v1 (2,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v4 (0,5) v2
(0,10)
v0
(0,3)
(0,4)
(6,6) vn (0,10)
(2,5)
v3
(0,3)
(4,5)
v1 (2,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v4 (0,5) v2
v1 (6,6) (0,3) (2,2) v5 (0,3) (0,4) v4 (3,5) v2
(4,10)
基于图论的网络流优化算法设计
基于图论的网络流优化算法设计随着网络技术的不断发展和应用的扩大，人们对网络的要求也越来越高。
而网络流优化算法作为一种重要的优化方法，在网络设计、通信网络、物流规划等领域发挥着关键作用。
本文将介绍基于图论的网络流优化算法设计。
一、网络流优化算法的基本概念网络流优化算法是指通过对网络结构和网络节点之间的联系进行优化，使得网络中的流量能够在给定限制下实现最优分配的一种算法。
在网络流优化算法中，最重要的概念是流量和容量。
流量：指网络中通过节点或边的流量大小，用于描述网络中的数据传输情况。
容量：指网络中每个节点或边所能承载的最大流量大小。
二、网络流优化算法的基本原理网络流优化算法的基本原理是通过建立网络图模型，将网络中的节点和边表示为图中的节点和边，并定义节点间的关系和边的容量。
然后，通过遍历网络图中的路径，利用路径上各边的容量和流量信息，不断调整流量大小，直至实现最优分配。
三、网络流优化算法的应用1. 路由优化在传统的网络中，数据包的传输需要经过多个路由器，路由优化的目的就是通过调整路由器之间的流量分配，使得网络中的数据包的传输时间最短。
网络流优化算法可以用来实现路由优化，通过计算网络中各条路径的容量和流量，动态调整数据包的传输路径，使得网络的整体性能得到提升。
2. 通信网络优化通信网络是信息传输的重要载体，网络流优化算法可以用来优化通信网络中的传输效率和带宽利用率。
通过建立网络图模型，对网络中的节点和边进行建模，可以分析网络中的数据传输情况，提高通信网络的整体性能。
3. 物流规划优化物流规划是指对物流运输中的路线、分配和配送进行规划和优化。
网络流优化算法可以在物流规划中发挥重要作用，通过建立物流网络图，分析物流中的节点和路径，计算各路径上的流量和容量，优化货物的配送路径和运输效率，降低物流成本。
四、网络流优化算法的设计思路1. 确定网络拓扑结构：根据具体问题，确定网络中各节点和边的关系。
2. 建立网络图模型：将网络中的节点和边表示为图中的节点和边，并定义节点间的关系和边的容量。
图论与网络流问题的LINGO求解技巧
图论与网络流问题的LINGO 求解技巧我们介绍使用LINGO 求解图论与网络问题中的一些典型问题。
如最短路问题、最大流问题、关键路径问题、最优树问题，以及TSP 问题。
这里主要介绍使用LINGO 求解的方法，重在应用和解决问题。
1 最短路问题的Lingo 求解设图共有个节点，其赋权图的邻接矩阵为n n n w ×.ij w p =表示节点i 到j 的权值为.当为有向图时，p ji w w ij =；当为无向图时，和ij w ji w 分别由图得到，通常不一样。
当，表示节点i 与节点0ij w =j 不连通。
令0ii w =。
假设图的所有权值 0ij w ≥现求节点a 到节点b 的最短路，其线性规划模型为：模型一、决策变量：设1ij i j x i j ⎧=⎨⎩节点与节点连通节点与节点不连通目标函数为寻找一条节点到节点的通路，使其上权值和最小，故目标函数为：a b 11min .nnij ij i j Z w x ===∑∑1. 对节点恰有一条路出去，却不能有路回来，故有：a 11najj j ax=≠=∑ 且10nkak k a x=≠=∑2. 对节点恰有一条路到达，却不能有路出去，故有：b 11nkbk k bx=≠=∑ 且10nbjj j bx=≠=∑3. 对除起始点a 和目标点之外，其它点进入和出去的路是一样多（可都为0），则：b 11,nnkiijk j xx i a ===≠∑∑b4. 对不通的路不取，约束为：,1,2,ij ijx w i j ≤=L n总的线性规划模型为：11111111min .,10..10,1,2,,01n nij iji j nnki ijk j naj j j a n ka k k a n kb k k a nbj j j a ij ijijZ w x x x i a b x x s t x x x w i j x =====≠=≠=≠=≠=⎧=≠⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎪⎪≤=⎪⎪=⎪⎪⎪⎩∑∑∑∑∑∑∑∑L 或n示例演示。
朱睿大牛：图论基础与网络流习题集锦
网络流习题集锦：路径覆盖
路径覆盖类题目，主要是指这样一类问题：给定一个 图以及一系列行走规则，问如何使用最小的代价将用 一系列按照行走规则的路径覆盖住。 下面我们就来具体问题具体反分析。
网络流习题集锦：股票走势
小L最近迷恋上了炒股，他拿到了n支股票在0到k-1时 刻的价格表。他想要把每只股票的价格根据时刻依次 连成一个走势折线图，以此观察股票的情况。 但是小L不想铺张浪费，所以在每张纸上他不想只画 一条折线，而是把尽量多的折线画到一张纸上，使用 尽量少的纸。两条折线能够画到一张纸上，是要求它 们不相交，包括在端点处。 数据规模： 1≤n≤100，2≤k≤25
思考：如何找到图中的网络流模型？
提示：发现“折线”这一条件的特殊性。
网络流习题集锦：股票走势
解答： 首先考虑如何建图。 假设我们将每只个股都看做一个点，如果A与B可以放 在一张纸上，就连一条边，这样得到了一个无向图。 但是很不幸，这个无向图没有给我们提供任何信息。 考虑到折线一定是连续的，那么两个可以在同一张纸高于 另一只股票的折线，那么连一条有向边，这样我们得 到了一个拓扑图，问题转化成了用最少的链来覆盖这 个有向图，即最小链覆盖。 使用匹配/网络流解决最小链覆盖，由于链上每个节点 都有一个后继节点，那么将每个点拆成两个点排成两 排，若A能到B则从A左向B右连边，那么答案就是n匹配数。
将无向图改造成有向图若某只股票的折线完全高于另一只股票的折线那么连一条有向边这样我们得到了一个拓扑图问题转化成了用最少的链来覆盖这个有向图即最小链覆盖
图论基础与网络流习题集锦
北京大学 朱睿
大纲
图论部分： 1.图论简介 2.生成树与生成树计数 3.欧拉回路与哈密顿回路 4.割与流，匹配
网络流问题部分： 1.习题 2.习题 3.更多的习题
(课件)图论讲义
3
（8） 完全图(complete graph)
（9） 图的顶点数（图的阶）ν 、边数 ε
（10） 顶点 v 的度(degree)：d(v) = 顶点 v 所关联的边的数目（环边计两次）。
（11） 图 G 的最大度： ∆(G) = max{dG (v) | v ∈V (G)}
图 G 的最小度：δ (G) = min{dG (v) | v ∈V (G)}
这便定义出一个图。
2. 图的图示
通常，图的顶点可用平面上的一个点来表示，边可用平面上的线段来表示（直的或曲的）。 这样画出的平面图形称为图的图示。
例如，例 1.1.1 中图的一个图示为
v1
v2
e1
e6 e5
e2
e4
v5
e7
v3
e3 v4
注：（1）由于表示顶点的平面点的位置的任意性，同一个图可以画出形状迥异的很多图示。
和 Y。
（2）否则，设 u′ 是 P 与 Q 的最后一个公共顶点，因 P 的 (u, u′) 段和 Q 的 (u, u′) 段都是 u 到 u′ 的最短路，故这两段长度相等。
假如 P，Q 的奇偶性相同，则 P 的 (u′, v1) 段和 Q 的 (u′, v2 ) 段奇偶性相同，这两段与边 e 构成一个奇圈，与定理条件矛盾。可见 P，Q 的奇偶性不同，从而 v1, v2 分属于 X 和 Y。
这便证明了 G 是一个二部图。 证毕。
7. 连通性 图中两点的连通：如果在图 G 中 u，v 两点有路相通，则称顶点 u，v 在图 G 中连通。 连通图（connected graph）：图 G 中任二顶点都连通。 图的连通分支（connected branch, component）：若图 G 的顶点集 V(G)可划分为若干非空子集
离散优化中的图论与网络流
离散优化中的图论与网络流离散优化是一种数学分支，旨在通过优化算法和方法找到最优解或者次优解。
在离散优化中，图论和网络流是两个重要的工具和技术。
图论是研究图和图中的节点、边以及它们之间的关系的数学理论。
网络流是研究在网络中物体、信息或者资金等的流动过程的数学理论。
一、图论在离散优化中的应用图论在离散优化中扮演着重要的角色，它可以用来建模和解决很多实际问题。
下面我们将介绍几个图论在离散优化中的应用。
1.1 最短路径问题最短路径问题是图论中的一个经典问题，在离散优化中有着广泛的应用。
最短路径算法可以用来解决路网规划、导航系统和物流路径等实际问题。
常用的最短路径算法包括Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
1.2 最小生成树问题在一些具体场景中，我们需要在连通的无向图中找到一棵子图，使得该子图包含了所有的节点，并且边的权重之和最小。
这个问题被称为最小生成树问题。
最小生成树算法的应用包括电力传输、通信网络的设计和城市规划等。
1.3 最大流最小割问题最大流最小割是图论中一个重要的问题，它被广泛应用于网络设计、网络通信和运输规划等领域。
该问题可以用来找到从源节点到汇节点的最大流量，并且在满足容量限制的情况下，求取最小割。
常用的解决算法有Edmonds-Karp算法和Ford-Fulkerson算法。
二、网络流在离散优化中的应用网络流理论是研究用来描述物体、信息或者资金等在网络中流动的数学理论。
它在离散优化中有着重要的应用。
下面我们将介绍几个网络流在离散优化中的应用。
2.1 最小费用流问题最小费用流问题是求解给定网络中从源节点到汇节点的最小费用流量的问题。
在实际中，最小费用流被广泛应用于通信网络的设计、交通规划和生产调度等领域。
常用的解决算法包括成功标号算法和Zkw算法。
2.2 多源最短路径问题多源最短路径问题是求解图中所有节点对之间的最短路径的问题。
在一些具体的应用场景中，我们需要找到从一组源节点到所有其他节点的最短路径。
图论优化网络流模型
图论优化网络流模型Konigsberg 七桥问题:当Euler在1736年访问Konigsberg时，他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。
Konigsberg城中有一条名叫Pregel 的河流横经其中，在河上建有七座桥如图所示: 这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步，每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
数学模型：Euler把每一块陆地考虑成一个点，连接两块陆地的桥以线表示，便得如下的图形:Euler推出此种走法是不可能的。
他的论点是这样的，除了起点以外，每一次当一个人由一座桥进入一块陆地（或点）时，他（或她）同时也由另一座桥离开此点。
所以每行经一点时，计算两座桥（或线），从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥，因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
七桥所成之图形中，没有一点含有偶数条数，因此上述的任务是不可能实现的。
图的定义：一个有序的二元数组（V，E）称为一个图，记作G =（V，E）。
其中V称为顶点集，E称为边。
若每个边对应一个数F，称（V，E，F）为一个赋权。
如果两点是有序的，则称有向图，否则，无向图。
定义经过G的每条边的迹叫做 G的Euler迹；闭的Euler迹叫做Euler回路或 G回路；含Euler回路的图叫做Euler图。
直观地讲，Euler图就是从一顶点出发每边恰通过一次能回到出发点的那种图，即不重复地行遍所有的边再回到出发点。
定理G是Euler图的充分必要条件是G连通且每顶点皆偶次。
定义包含G的每个顶点的轨叫做Hamilton(哈密顿)轨；闭的Hamilton轨叫做Hamilton圈；含Hamilton圈的图叫做Hamilton图。
直观地讲，Hamilton图就是从一顶点出发每顶点恰通过一次能回到出发点的那种图，即不重复地行遍所有的顶点再回到出发点。
例1 最短路问题（SPP－shortest path problem）一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从甲地运往乙地。
图论和网络流优化概念
华南理工大学数学学院 刘深泉教授
2021/4/6
1
Konigsberg 七桥问题
• 1736年Euler访问Konigsberg时，发现当地市民 正从事一项非常有趣的消遣活动。城中有一条名 叫Pregel的河流横经其中，在河上建有七座桥, 问题是能否作一次散步,走过所有七座桥的，每 座桥只能经过一次,且起点与终点是同一地点。
2021/4/6
8
Hamilton图
• 包含G每个顶点的轨叫做Hamilton轨；
• 闭的Hamilton轨叫Hamilton圈；
• 含Hamilton圈的图叫做Hamilton图。
• 直观地讲，Hamilton图就是从一顶点 出发每顶点恰通过一次能回到出发点 的那种图，即不重复地行遍所有的顶 点再回到出发点。
就是否存在欧拉回路的问题 • (2)若不要求回到出发点，能否在一次散步中，穿过所有的桥各
一次？- 就是否存在欧拉路径的问题 • A和B是通偶数座桥的地方，C和D是通奇数座桥的地方，满足欧
拉给出的判定规则（2），即如果只有两个地方通奇数座桥， 可以从这两个地方之一出发，找到欧拉路径；但不满足规则 （3），即不存在欧拉回路。
2021/4/6
12
指派问题
Assignment problem
• Typically, we have a group of n "applicants" applying for n "jobs," and the non-negative cost Cij of assigning the ith applicant to jth job is known. The objective is to assign one job to each applicant in such a way as to achieve the minimum possible total cost. Define binary variables Xij with value of either 0 or 1. When Xij = 1, it indicates that we should assign applicant i to job j. Otherwise (Xij = 0), we should not assign applicant i to job j.
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网络流网络流1532Drainage DitchesTime Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 9885 Accepted Submission(s): 4695Problem DescriptionEvery time it rains on Farmer John's fields, a pond forms over Bessie's favorite clover patch. This means that the clover is covered by water for awhile and takes quite a long time to regrow. Thus, Farmer John has built a set of drainage ditches so that Bessie's clover patch is never covered in water. Instead, the water is drained to a nearby stream. Being an ace engineer, Farmer John has also installed regulators at the beginning of each ditch, so he can control at what rate water flows into that ditch.Farmer John knows not only how many gallons of water each ditch can transport per minute but also the exact layout of the ditches, which feed out of the pond and into each other and stream in a potentially complex network.Given all this information, determine the maximum rate at which water can be transported out of the pond and into the stream. For any given ditch, water flows in only one direction, but there might be a way that water can flow in a circle.InputThe input includes several cases. For each case, the first line contains two space-separated integers, N (0 <= N <= 200) and M (2 <= M <= 200). N is the number of ditches that Farmer John has dug. M is the number of intersections points for those ditches. Intersection 1 is the pond. Intersection point M is the stream. Each of the following N lines contains three integers, Si, Ei, and Ci. Si and Ei (1 <= Si, Ei <= M) designate the intersections between which this ditch flows. Water will flow through this ditch from Si to Ei. Ci (0 <= Ci <= 10,000,000) is the maximum rate at which water will flow through the ditch.OutputFor each case, output a single integer, the maximum rate at which water may emptied from the pond.Sample Input 5 41 2 401 4 202 4 202 3 303 4 10 Sample Output 50Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 5849 Accepted Submission(s): 2225Problem Description给你一个n*n的格子的棋盘，每个格子里面有一个非负数。
从中取出若干个数，使得任意的两个数所在的格子没有公共边，就是说所取的数所在的2个格子不能相邻，并且取出的数的和最大。
Input包括多个测试实例，每个测试实例包括一个整数n 和n*n个非负数(n<=20)Output对于每个测试实例，输出可能取得的最大的和Sample Input375 15 2175 15 2834 70 5Sample Output188Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 4786 Accepted Submission(s): 1505Problem Description给你一个m*n的格子的棋盘，每个格子里面有一个非负数。
从中取出若干个数，使得任意的两个数所在的格子没有公共边，就是说所取数所在的2个格子不能相邻，并且取出的数的和最大。
Input包括多个测试实例，每个测试实例包括2整数m,n和m*n个非负数(m<=50,n<=50) Output对于每个测试实例，输出可能取得的最大的和Sample Input3 375 15 2175 15 2834 70 5Sample Output1881733EscapeTime Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1175 Accepted Submission(s): 328Problem DescriptionLoneknight hates attending class very much. Every time he is attending class, when he feel tiresome with the class, he start planning the shortest path he can escape from the classroom. Therefore, he can escape from classroom so quickly that he is always the first one escape from the classroom after the class finishes. He is very proud of this fact.One day, loneknight is day dreaming in class, and planning the shortest path for escaping. Suddently, an issue come into his mind, if everyone in the classroom want to escape as soon as possible just as loneknight, what will happend? As a kind man, loneknight want to plan a strategy that will let everyone escape from the classroom with minimum time consume. But after dozens of minutes of consideration, loneknight find this problem so difficult for him.Now, as the best friend of him, please design a algorithm to solve this problem for him. Note that, at every time unit, everyone can move seperately up, down, left, right one unit, or stay in the old position. In addtion, no one can move to a wall or out of the room, the only way to escape is go through a gate. Moreover, at every time unit, a position can only contain a person, including gates. That means if in time t, a person escape thourgh gate g, no one can go into g in time t, but can go into g in t + 1. Now, it's your job to calculate the minimum time required to escape for everyone.InputThe input consists of several test cases. Each test case start with a line containing two number, n, m (1 < n, m <= 16), the rows and the columns of the room. Then n lines follow, each contain exact m characters, representing th type of unitin it. (. for empty place, X for human, # for wall, @ for gate). Input is end with EOF.OutputYou have to print the shortest time needed for everyone escape from the roomin a single line for each case. (-1 if impossible)Sample Input4 4.@...X..........4 4.@...XX..XX...@.4 4.@...#..#X#..#..Sample Output 12-1。