三角函数的单调性,奇偶性,周期性
三角函数的图象与性质(解析版)
三角函数的图象与性质一、 考情分析1.能画出三角函数y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的性质.二、 知识梳理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 周期性 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无[微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.三、 经典例题考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ） (2)不等式3＋2cos x ≥0的解集是________.(3)函数f (x )＝64－x 2＋log 2(2sin x －1)的定义域是________. 【解析】 (1)由2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，得x ≠k π2＋π6(k ∈Z ).(2)由3＋2cos x ≥0，得cos x ≥－32，由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，不等式cosx ≥－32的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－5π6≤x ≤56π，故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－56π＋2k π≤x ≤56π＋2k π，k ∈Z .(3)由题意，得⎩⎨⎧64－x 2≥0，①2sin x －1>0，②由①得－8≤x ≤8，由②得sin x >12，由正弦曲线得π6＋2k π<x <56π＋2k π(k ∈Z ).所以不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－116π，－76π∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，56π∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13π6，8.规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域转化为求解简单的三角不等式.(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式. 2.简单三角不等式的解法(1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解. 考点二 三角函数的值域与最值【例2】 (1)y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是________.(2)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 【解析】 (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3， 即y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.(2)由题意可得f (x )＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－(cos x －32)2＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0，1].∴当cos x ＝32，即x ＝π6时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，所以y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.所以函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见三种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间【例3－1】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π12－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________. 【解析】 (1)由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，它的减区间是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的增区间.令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .角度2 利用单调性比较大小【例3－2】 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c【解析】 令2k π≤x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z ， 解得2k π－π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ，∴函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上是减函数，∵－π6<π7<π6<π4<5π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4. 角度3 利用单调性求参数【例3－3】 (2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A.π4B.π2C.3π4D.π【解析】 f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，由题意得a >0，故－a ＋π4<π4，因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在[－a ，a ]是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，a >0，解得0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4.规律方法 1.已知三角函数解析式求单调区间：(1)求函数的单调区间应遵循简单化原则，将解析式先化简，并注意复合函数单调性规律“同增异减”；(2)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 考点四 三角函数的周期性、奇偶性、对称性 角度1 三角函数奇偶性、周期性【例4－1】 (1)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A.f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B.f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C.f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D.f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( )A.－π6B.π6C.－π3D.π3【解析】 (1)易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝3cos 2x ＋12＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当2x ＝2k π，即x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )取得最大值，最大值为4. (2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z ).∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝－π6.规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T＝π|ω|.角度2 三角函数图象的对称性【例4－2】 (1)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称 (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.5【解析】 (1)因为函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称， 所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33， 所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，函数g (x )的对称轴方程为x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，即x ＝k π＋π3(k ∈Z )，当k ＝0时，对称轴为直线x ＝π3，所以g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝π3对称.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T 4＋kT 2，即π2＝2k ＋14T＝2k ＋14·2πω(k ∈Z )，所以ω＝2k ＋1(k ∈Z ).又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12，ω＝11验证不成立(此时求得f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减)，ω＝9满足条件，由此得ω的最大值为9.规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可. 2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可. [方法技巧]1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式.2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t (或y ＝cos t )的性质.3.数形结合是本节的重要数学思想.4.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.5.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.6.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k ∈Z .四、 课时作业1．（2021·宝鸡中学高一期中）函数π()tan 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ） A ．πππ2π,()2623k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ZB ．πππ5π,()212212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z D ．π2ππ,π()63k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 【答案】C 【解析】()π2232k x k k Z ππππ-<-<+∈得：5212212k k x ππππ-<<+，所以函数π()tan 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调递增区间为π5ππ,π()1212k k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z . 2．（2021·陕西省西安中学高一期中）设函数12sin y x =-，则函数的最大值及取到最大值时的x 取值集合分别为（ ） A ．3，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭B ．1，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭C ．3，3|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭D ．1，|2,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C【解析】由于22sin 2,22sin 2,112sin 3x x x -≤≤-≤-≤-≤-≤， 所以当32,2x k k Z ππ=+∈时，函数12sin y x =-有最大值为3. 3．（2021·吉林省高三其他（文））下列函数中，是奇函数且在其定义域上是增函数的是( ) A ．1y x=B ．y tanx =C ．x x y e e -=-D ．2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩【答案】C【解析】对于A 选项，反比例函数1y x=，它有两个减区间， 对于B 选项，由正切函数y tanx =的图像可知不符合题意； 对于C 选项，令()x x f x e e -=-知()x x f x e e --=-， 所以()()0f x f x +-=所以()x x f x e e -=-为奇函数， 又x y e =在定义内单调递增，所以x y e -=-单调递增， 所以函数x x y e e -=-在定义域内单调递增；对于D ，令2,0()2,0x x g x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则2,0()2,0x x g x x x -+≤⎧-=⎨-->⎩，所以()()0g x g x +-≠，所以函数2,02,0x x y x x +≥⎧=⎨-<⎩不是奇函数.4．（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数y =）A ．()2,266k k k Z ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦π-π+∈ B ．()22,333k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈ D ．()2,233k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】由2cos 10x +≥得：2222,33k x k k πππ-≤≤π+∈Z . 所以函数2cos 1y x =+的定义域是()2,233k k k Z 2π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ-π+∈.5．（2021·武功县普集高级中学高一月考）函数sin y x x =的部分图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】:因为sin y x x =，所以()f x 为偶函数，其图象关于y 轴对称，故可以排除B ，D.又因为函数()f x 在()0,π上函数值为正，故排除C.6．（2019·呼玛县高级中学高一月考）若函数()sin()(0,0,)2πωϕωϕ=+>><f x A x A 的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin(2)6f x x π=+ B ．()cos(2)6f x x π=+ C ．()cos(2)3f x x π=+D ．()sin(2)3f x x π=+【答案】D【解析】由函数的部分图像可知1A =，22T π=，故T π=，所以2ππω=即2ω=.由函数图像的对称轴为12x π=，所以22,122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 因2πϕ<，故3πϕ=，所以()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，故选D . 7．（2019·呼玛县高级中学高一月考）设cos 12a π=，41sin6b π=，7cos 4c π=，则（ ） A ．a c b >> B ．c b a >> C ．c a b >> D ．b c a >>【答案】A 【解析】4155b sinsin 6sin sin cos 66663ππππππ⎛⎫==+=== ⎪⎝⎭,7c cos cos 44ππ== 因为3412πππ>>，且y cos 0,2x π=在（，）是单调递减函数，所以a c b >>，故选A8．（2019·延安市第一中学高三月考（理））已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ）A ．关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．关于直线12x π=-对称D ．关于直线12x π=对称 【答案】B【解析】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±， 所以2sin 13πφ⎛⎫+=±⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确．9．（2021·河北省故城县高级中学高一期中）关于函数sin(),2y x π=+在以下说法中正确的是（ ）A ．[,]22ππ-上是增函数 B ．[0,]π上是减函数 C ．[,0]π-上是减函数 D ．[,]-ππ上是减函数【答案】B【解析】sin()cos 2y x x π=+=，它在[0,]π上是减函数．10．（2021·上海高一课时练习）下列命题中正确的是（ ） A ．cos y x =在第一象限和第四象限内是减函数 B ．sin y x =在第一象限和第三象限内是增函数C ．cos y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数 D ．sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数 【答案】D【解析】对于cos y x =，该函数的单调递减区间为：[]2,2,k k k Z πππ+∈，故A 错，C 错. 对于sin y x =，该函数的单调递增区间为：2,2,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错，D 对.11．（2021·陕西省西安中学高三其他（理））关于函数()2sin sin 222x x f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭有下述四个结论： ①函数()f x 的图象把圆221x y +=的面积两等分 ②()f x 是周期为π的函数③函数()f x 在区间(,)-∞+∞上有3个零点④函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①③④ B ．②④C ．①④D ．①③【答案】C【解析】f （x ）＝2sin2x sin （2π+2x ）﹣x ＝2sin 2x cos 2x﹣x ＝sin x ﹣x ， 对于①，因为f （﹣x ）＝sin （﹣x ）﹣（﹣x ）＝﹣sin x +x ＝﹣f （x ），所以函数f （x ）为奇函数，关于原点对称，且过圆心，而圆x 2+y 2＝1也是关于原点对称，所以①正确；对于②，因为f （x +π）＝sin （x +π）﹣（x +π）＝﹣sin x ﹣x ﹣π≠f （x ），所以f （x ）的周期不是π，即②错误；对于③，因为()'f x ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，所以f （x ）在区间（﹣∞，+∞）上至多有1个零点， 即③错误； 对于④，()'fx ＝cos x ﹣1≤0，所以f （x ）单调递减，即④正确．12．（2021·山西省高三其他（文））已知()()cos 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象关于直线524x π=对称，把()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】因为()f x 的图象向左平移4π个单位后所得的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 所以()f x 关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称， 又()f x 的图象既关于直线524x π=对称， 设()f x 的最小正周期为T ，则()()2153244k T k N ππ+-=∈， 即()21284k k N ππω+⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭，所以()84k k N ω=+∈，取0k =，得4ω=，13．（2021·上海高二课时练习）设直线的斜率(,1][1,)k ∈-∞-⋃+∞，则该直线的倾斜角α满足（ ）. A ．44ππα-B ．42ππα<或324ππα< C ．04πα或34παπ<D ．04πα或34παπ【答案】B【解析】因为tan k α=， 所以当1k ≤-时，324ππα<≤， 当1k时，42ππα≤<，即直线的倾斜角α满足42ππα<或324ππα<， 14．（2021·调兵山市第一高级中学高一月考）方程10sin x x =的根的个数是（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】分别作函数,10sin y x y x ==图象，如图，由图可得交点个数为7，所以方程10sin x x =的根的个数是715．（2021·福建省高三其他（文））图数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，[)(],00,x ππ∈-的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知：()()11cos cos ()f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=---=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()f x 为奇函数，故排除B ，D. 又因为02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，故排除C.16．（2021·上海高一期中）函数sin cos y x x =⋅的最小正周期和最大值分别为（ ） A ．π，1 B ．π，12C ．2π，1D ．2π，12【答案】B【解析】1sin cos =sin 22y x x x =⋅， 函数sin cos y x x =⋅的最小正周期22T ππ==， 1sin 21x -≤≤，∴111sin 2222x -≤≤， ∴函数sin cos y x x =⋅的最大值为12. 17．（2021·山西省高三其他（文））对于函数()()1122f x sinx cosx sinx cosx =+--.有下列说法：①()f x 的值城为[]1,1-；②当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值；③函数()f x 的最小正周期是π；④当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时,()0f x >.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】因为()()1122cosx sinx cosx f x sinx cosx sinx cosx sinx sinx cosx≥⎧=+--=⎨<⎩，，，作出函数()f x 的图象，如图所示：所以，()f x 的值城为22⎡-⎢⎣⎦，①错误； 函数()f x 的最小正周期是2π，③错误； 当且仅当()24x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 取得最大值，②正确；当且仅当()222x k k k Z πππ⎛⎫∈+∈ ⎪⎝⎭，时，()0f x >，④正确. 18．（多选题）（2021·海南省海南中学高三月考）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0,0A ω>>）在1x =处取得最大值，且最小正周期为2，则下列说法正确的有( ). A ．函数()1f x -是奇函数B ．函数()1f x +是偶函数C ．函数()2f x +在[]0,1上单调递增D ．函数()3f x +是周期函数【答案】BCD【解析】因为()()sin f x A x =+ωϕ在1x =处取得最大值， 所以有2()2k k Z πωϕπ+=+∈，又因为()()sin f x A x =+ωϕ的最小正周期为2， 所以有22,0πωωπω=>∴=，因此()()sin sin 2cos 2f x A x A x k A x πωϕπππ⎛⎫=+=+-=- ⎪⎝⎭.选项A ：设()()1cos[(1)]cos g x f x A x A x ππ=-=--=， 因为()cos[()]cos ()g x A x A x g x ππ-=-==， 所以()()1g x f x =-是偶函数，故本选项说法不正确； 选项B ：设()()1cos[(1)]cos h x f x A x A x ππ=+=-+= 因为()cos[()]cos ()h x A x A x h x ππ-=-==， 所以()()1h x f x =+是偶函数，故本选项说法正确；选项C ：设()()2cos[(2)]cos m x f x A x A x ππ=+=-+=-，因为[]0,1x ∈，所以[]0,x ππ∈，又因为0A >，所以函数()()2m x f x =+在[]0,1上单调递增，故本选项说法正确；选项D ：设()()3cos[(3)]cos n x f x A x A x ππ=+=-+=， 函数()n x 最小正周期为：22ππ=，所以本选项说法正确.19．（2021·山东省微山县第一中学高一月考）已知函数()cos 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．2π为()f x 的一个周期B ．()y f x =的图象关于直线43x π=对称 C ．()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x π+的一个零点为3π【答案】AD【解析】根据函数()6f x cos x π⎛⎫=+⎪⎝⎭知最小正周期为2π，A 正确.当43x π=时，443cos cos 03362f ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由余弦函数的对称性知，B 错误；函数()6f x cos x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在5,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故C 错误； ()76f x cos x ππ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，73cos cos 03632f πππππ⎛⎫⎛⎫∴+=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.20．（2021·山东省高一期中）将函数()2sin 2f x x x =+12π个单位，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()g x 的图象，则下列说法中正确的是（ ）A ．()f xB ．()g x 是奇函数C ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称 D ．()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】CD【解析】函数2()sin 2sin 22sin(2)3f x x x x x x π=+=+，把函数图象向左平移12π个单位，得到2sin[2()]2sin(2)2cos 21232y x x x πππ=++=+=， 再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到()2cos g x x =． ①故()f x 函数的最大值为2，故选项A 错误． ②函数()2cos g x x =为偶函数，故选项B 错误． ③当6x π=-时，2sin 20663f πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选项C 正确．④由于()2cos g x x =，在[]2,2k k πππ+，()k Z ∈上单调递减，故函数()g x 在2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减．故选项D 正确．21．（2021·上海高一期中）函数()tan 6f x x π=的单调递增区间为________【答案】(63,63)k k -+，k ∈Z 【解析】由622x k k πππππ-+<<+，k Z ∈，解得6363k x k -<<+，k Z ∈，故函数的单调增区间为()63,63k k -+，k Z ∈，22．（2021·河北省故城县高级中学高一期中）已知函数()sin()f x x π=-，()cos()g x x π=+，有以下结论：①函数()()y f x g x =的最小正周期为π； ②函数()()y f x g x =的最大值为2；③将函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象； ④将函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数()y g x =的图象.其中正确结论的序号是____________. 【答案】①④【解析】()sin()sin f x x x π=-=-，()cos()cos g x x x π=+=-. 因为1()()(sin )(cos )sin cos sin 22y f x g x x x x x x ==-⋅-=⋅=， 所以1()()sin 22y f x g x x ==的最小正周期为：22ππ=，故结论①正确； 因为1()()sin 22y f x g x x ==的最大值为12，所以结论②不正确；因为函数()y f x =的图象向右平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos 22y f x x x ππ=-=--=，所以结论③不正确；因为函数()y f x =的图象向左平移2π个单位后得到函数的解析式为： ()sin()cos ()22y f x x x g x ππ=+=-+=-=，所以结论④正确.23．（2021·宝鸡中学高一期中）函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象如图所示，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<.（1）求函数()y f x =解析式；（2）求[0,π]x ∈时，函数()y f x =的值域； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递减区间.【解析】（1）根据函数()sin()f x A x B ωϕ=++的一部分图象，其中0A >，0>ω，π||2ϕ<， ∵40A B A B +=⎧⎨-+=⎩，∴22A B =⎧⎨=⎩；∵12π5ππ44126T ω=⋅=-，∴2ω=， 再根据π46f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得ππ22π62k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，∴π2π6k ϕ=+，k ∈Z ，∵π||2ϕ<，∴π6ϕ=，∴函数()y f x =的解析式为π()2sin 226f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭； （2）∵[]0,πx ∈，∴ππ13π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴πsin 2[1,1]6x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭， ∴函数()y f x =的值域为[]0,4； （3）将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度， 得到函数πππ()2sin 222sin 22463g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象，对于函数π()2sin 223g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+，k ∈Z ， 求得5π11πππ1212k x k +≤≤+，k ∈Z ， 故函数()g x 的单调减区间为5π11ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .24．（2021·山西省平遥中学校高一月考）已知函数()4sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）求函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域和取得最大值时相应的x 的值.【解析】（1）()4sin cos cos sin sin 33f x x x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =-)sin 21cos 2x x =-+sin 2x x =2sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.∴22T ππ==. 由222232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈得：51212k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈ ∴单调增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.（2）∵46x ππ-≤≤，∴22633x πππ-≤+≤. ∴1sin 2123x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，即12sin 223x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭.∴函数()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]1,2- 且当232x ππ+=，即12x π=时，()max 2f x =. 25．（2021·武功县普集高级中学高一月考）在已知函数()sin(),f x A x x R ωϕ=+∈（其中0,0,02A πωϕ>><<）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,23M π⎛⎫- ⎪⎝⎭. (1)求()f x 的解析式；(2)当,122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的值域． 【解析】（1）依题意,由最低点为2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭,得2A =,又周期T π=,∴2ω=． 由点2,23M π⎛⎫-⎪⎝⎭在图象上,得42sin 23πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭, ∴4232k ππϕπ+=-+，k Z ∈,1126k k Z πϕπ∴=-+∈，． ∵0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴6πϕ=,∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． 由222262k x k πππππ-≤+≤+,k Z ∈，得36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，．∴函数()f x 的单调增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦． (2),122x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴72,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦． 当262x ππ+=,即6x π=时,()f x 取得最大值2； 当7266x ππ+=,即2x π=时,()f x 取得最小值1-,故()f x 的值域为[]1,2-．。
专题24 三角函数的图象与性质-2025年高考数学一轮复习讲义(知识梳理+真题)(新高考专用)解析版
专题24三角函数的图象与性质（新高考专用）【知识梳理】 (2)【真题自测】 (3)【考点突破】 (10)【考点1】三角函数的定义域和值域 (10)【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性 (15)【考点3】三角函数的单调性 (22)【分层检测】 (27)【基础篇】 (27)【能力篇】 (34)【培优篇】 (38)考试要求：1.能画出三角函数的图象.2.了解三角函数的周期性、奇偶性、最大(小)值.3.借助图象理解正弦函数、余弦函数、正切函数的性质.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)(π，0)(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，(π，－1)，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )π1.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期.正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，π－π2，k πk ∈Z )内为增函数.一、单选题1．（2023·全国·高考真题）函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2023·全国·高考真题）已知函数()()()sin ,0f x x ωϕω=+>在区间π2π,63⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，直线π6x =和2π3x =为函数()y f x =的图像的两条相邻对称轴，则5π12f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D ．23．（2022·全国·高考真题）设函数π()sin 3f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间(0,π)恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是（）A ．513,36⎫⎡⎪⎢⎣⎭B ．519,36⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．138,63⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦4．（2022·全国·高考真题）函数()33cos x xy x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．5．（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．3二、多选题6．（2022·全国·高考真题）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像关于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，则（）A ．()f x 在区间5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减B ．()f x 在区间π11π,1212⎛⎫- ⎪⎝⎭有两个极值点C ．直线7π6x =是曲线()y f x =的对称轴D ．直线2y x =-是曲线()y f x =的切线三、填空题7．（2023·全国·高考真题）已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点，则ω的取值范围是．8．（2023·全国·高考真题）已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图A ，B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则()πf =．9．（2022·全国·高考真题）记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为．10．（2021·全国·高考真题）已知函数()2cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则满足条件74()()043f x f f x f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最小正整数x 为．参考答案：1．C【分析】先利用三角函数平移的性质求得()sin 2f x x =-，再作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像，考虑特殊点处()f x 与1122y x =-的大小关系，从而精确图像，由此得解.【详解】因为πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移π6个单位所得函数为πππcos 2cos 2sin 2662y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()sin 2f x x =-，而1122y x =-显然过10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭与()1,0两点，作出()f x 与1122y x =-的部分大致图像如下，考虑3π3π7π2,2,2222x x x =-==，即3π3π7π,,444x x x =-==处()f x 与1122y x =-的大小关系，当3π4x =-时，3π3πsin 142f ⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13π1π4284312y +⎛⎫=⨯--=-<- ⎪⎝⎭；当3π4x =时，3π3πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，13π13π412428y -=⨯-=<；当7π4x =时，7π7πsin 142f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，17π17π412428y -=⨯-=>；所以由图可知，()f x 与1122y x =-的交点个数为3.故选：C.2．D【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入5π12x =-即可得到答案.【详解】因为()sin()f x x ωϕ=+在区间π2π,63⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，所以2πππ2362T =-=，且0ω>，则πT =，2π2T ω==，当π6x =时，()f x 取得最小值，则ππ22π62k ϕ⋅+=-，Z k ∈，则5π2π6k ϕ=-，Z k ∈，不妨取0k =，则()5πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则5π5πsin 123f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：D.3．C【分析】由x 的取值范围得到3x ω+【详解】解：依题意可得0ω>，因为()0,x π∈，所以,333x πππωωπ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，要使函数在区间()0,π恰有三个极值点、两个零点，又sin y x =，,33x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭的图象如下所示：则5323ππωππ<+≤，解得13863ω<≤，即138,63ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．故选：C ．4．A【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令()()33cos ,,22x xf x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦，则()()()()()33cos 33cos x x x xf x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A.5．A【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<，又因为函数图象关于点3,22π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3,24k k Z ππωπ+=∈，且2b =，所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A6．AD【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出．【详解】由题意得：2π4πsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以4ππ3k ϕ+=，k ∈Z ，即4ππ,3k k ϕ=-+∈Z ，又0πϕ<<，所以2k =时，2π3ϕ=，故2π()sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．对A ，当5π0,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2π2π3π2,332x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =在5π0,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递减；对B ，当π11π,1212x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2ππ5π2,322x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，由正弦函数sin y u =图象知()y f x =只有1个极值点，由2π3π232x +=，解得5π12x =，即5π12x =为函数的唯一极值点；对C ，当7π6x =时，2π23π3x +=，7π(06f =，直线7π6x =不是对称轴；对D ，由2π2cos 213y x ⎛⎫'=+=- ⎪⎝⎭得：2π1cos 232x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得2π2π22π33x k +=+或2π4π22π,33x k k +=+∈Z ,从而得：πx k =或ππ,3x k k =+∈Z ,所以函数()y f x =在点0,2⎛ ⎝⎭处的切线斜率为02π2cos 13x k y =='==-，切线方程为：(0)y x -=--即2y x =-．故选：AD ．7．[2,3)【分析】令()0f x =，得cos 1x ω=有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.【详解】因为02x π≤≤，所以02x πωω≤≤，令()cos 10f x x ω=-=，则cos 1x ω=有3个根，令t x ω=，则cos 1t =有3个根，其中[0,2π]t ω∈，结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<，故23ω≤<，故答案为：[2,3).8．【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x -=，结合1sin 2x =的解可得，()212π3x x ω-=，从而得到ω的值，再根据2π03f ⎛⎫= ⎪⎝⎭以及()00f <，即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，进而求得()πf ．【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x -=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+-+=-=，即()212π3x x ω-=，4ω∴=．因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=-+，Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：【点睛】本题主要考查根据图象求出ω以及函数()f x 的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键．9．3【分析】首先表示出T ，根据()2f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解：因为()()cos f x x ωϕ=+，（0ω>，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos 2f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈，因为0ω>，所以当0k =时min 3ω=；故答案为：310．2【分析】先根据图象求出函数()f x 的解析式，再求出7((43f f π4π-的值，然后求解三角不等式可得最小正整数或验证数值可得.【详解】由图可知313341234T πππ=-=，即2T ππω==，所以2ω=；由五点法可得232ππϕ⨯+=，即6πϕ=-；所以()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为7()2cos 143f π11π⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，(2cos 032f 4π5π⎛⎫== ⎪⎝⎭；所以由74(()())(()())043f x f f x f ππ--->可得()1f x >或()0f x <；因为()12cos 22cos 1626f πππ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以，方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，即cos 206x π⎛⎫-< ⎪⎝⎭，解得,36k x k k π5ππ+<<π+∈Z ，令0k =，可得536x <<ππ，可得x 的最小正整数为2.方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足()0f x <，又(2)2cos 406f π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，符合题意，可得x 的最小正整数为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据图象求解函数的解析式是本题求解的关键，根据周期求解ω，根据特殊点求解ϕ.【考点1】三角函数的定义域和值域一、单选题1．（23-24高一上·河北邢台·阶段练习）函数()f x =）A ．()ππ2π,2π36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z B ．()5ππ2π,2π66k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()π2π2π,2π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z D ．()π7π2π,2π66k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z 2．（23-24高一上·北京朝阳·期末）函数()|sin |cos f x x x =+是（）A ．奇函数，且最小值为BC ．偶函数，且最小值为D二、多选题3．（23-24高三下·江苏南通·开学考试）已知函数()cos 22sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 关于直线π2x =对称C ．()f x 关于点π,02⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 的最小值为3-4．（2024·贵州贵阳·二模）函数()tan()(0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A ．2π3ωϕ⋅=B ．()f x在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为(,)∞∞-⋃+C ．函数|()|y f x =的图象关于直线5π3x =对称D ．若函数|()|()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[1,1]-三、填空题5．（2024·辽宁·二模）如图，在矩形ABCD 中，4,2AB BC ==，点,E F 分别在线段,BC CD 上，且π4EAF ∠=，则AE AF ⋅的最小值为．6．（2021·河南郑州·二模）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1a =，34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是．参考答案：1．A【分析】首先求出定义域，再根据复合函数单调性即可得到单调增区间.【详解】令sin 03x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，可得22,3k x k k ππππ≤+≤+∈Z ．当22,232k x k k πππππ-≤+≤+∈Z 时，函数sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增．所以当22,32k x k k ππππ≤+≤+∈Z 时，()f x 单调递增．故()f x 在()2,236k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 上单调递增．故选：A.2．D【分析】根据题意，结合函数的奇偶性，判定A 、B 不正确；再结合三角函数的图象与性质，求得函数()f x 的最大值和最小值，即可求解.【详解】由函数()|sin |cos f x x x =+，可得其定义域x ∈R ，关于原点对称，且()|sin()|cos()|sin |cos ()f x x x x x f x -=-+-=+=，所以函数()f x 为偶函数，因为()()()()2πsin 2πcos 2πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，所以2π为()y f x =的一个周期，不妨设[0,2π]x ∈，若[0,π]x ∈时，可得π()sin cos )4f x x x x =++，因为[0,π]x ∈，可得ππ5π[,444x +∈，当ππ42x +=时，即π4x =时，可得max ()f x =当π5π44x +=时，即πx =时，可得min ()1f x =-；若[]π,2πx ∈，可得π()sin cos )4f x x x x =-+=+，因为[π,2π]x ∈，可得π5π9π[,]444x +∈，当π2π4x +=时，即7π4x =时，可得max ()f x =当π5π44x +=时，即πx =时，可得()min 1f x =-，综上可得，函数()f x ，最小值为1-.故选：D.3．ABD【分析】将函数()cos 22sin f x x x =+可变形为213()2sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，结合函数性质逐项分析计算即可得.【详解】2213()cos 22sin 12sin 2sin 2sin 22f x x x x x x ⎛⎫=+=-+=--+ ⎪⎝⎭，由sin y x =的最小正周期为2π，故()f x 的最小正周期为2π，故A 正确；()()221313(π)2sin π2sin 2222f x x x f x ⎡⎤⎛⎫-=---+=--+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，且()(π)f x f x -≠-，故()f x 关于直线π2x =，不关于点π,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，故B 正确，C 错误；由213()2sin 22f x x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，且[]sin 1,1x ∈-，故2min13()21322f x ⎛⎫=-⨯--+=- ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：ABD.4．CD【分析】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得ω的值，再根据函数特殊点求得,A ϕ的值，从而可得解析式，再由正切型三角函数的性质逐项判断即可.【详解】函数的最小正周期为T ，则有ππ5π166T ωω⎛⎫==--⇒= ⎪⎝⎭，即()tan()f x A x ϕ=+，由函数的图象可知：πππ623ϕϕ+=⇒=，即π()tan 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：π(0)tan23f A A ===，所以π3ωϕ⋅=，因此A 不正确；关于πB,()2tan 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π6x =时，ππ32x +=，故()f x 在π6x =处无定义，故B 错误.因为55ππ5π5ππ2tan 2tan ,2tan 2tan 333333f x x x f x x x π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=++=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以5533f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数|()|y f x =的图象关于直线5π3x =对称，C 正确；ππ()()2tan 2tan 33y f x f x x x λλ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，|()|()y f x f x λ=+=ππππ2tan 2tan 2tan 2tan (22)tan 33333x x x x x πλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当5,63x ππ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦时，()()2tan 2tan 2tan 333y f x f x x x x πππλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππ2tan (22)tan 33x x λλ⎛⎫⎛⎫++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当函数|()|()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调时，则有(22)(22)011λλλ+-+≤⇒-≤≤，故D 正确.故选：CD ．5．)161【分析】根据锐角三角函数可得,πcos cos 4ABAD AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，即可由数量积的定义求解，结合和差角公式以及三角函数的性质即可求解最值.【详解】设π02BAE θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则π4DAF θ∠=-，故,πcos cos 4ABAD AE AF θθ==⎛⎫- ⎪⎝⎭，故π42cos π42cos cos 4AE AF AE AF θθ=⎛⎫- ⎪⋅⋅⎝⎭ππcos cos 44θθθθ=⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+-- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦=⎝⎭当π2π,Z 4k k θ-=∈时，πcos 214θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即π8θ=时，此时AE AF ⋅)1612=-.故答案为：)161．【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是将所求转化为关于θ的表达式，从而得解，6．2⎛ ⎝【分析】由正弦定理可得sinB sin b cC=b c λ+sin()B θ=+且tan θ=0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，可知b c λ+存在最大值即2B πθ+=，进而可求λ的范围.【详解】∵1a =，34A π=，由正弦定理得：sinB sin 2b c C =∴)sin sin sin sin cos sin 422b c B C B B B B B πλλ⎫⎛⎫+=+=-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭1)sin cos sin()B B B θ=-+⋅+，其中tan θ=0,4B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴b c λ+存在最大值，即2B πθ+=有解，即,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10->，解得2λ>1>，解得λ<，故λ的范围是2⎛ ⎝．故答案为：2⎛ ⎝．【点睛】关键点点睛：应用正弦定理边角关系、辅助角公式，结合三角形内角和、三角函数的性质列不等式组求参数范围.反思提升：1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【考点2】三角函数的周期性、奇偶性、对称性一、单选题1．（2024·重庆·模拟预测）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位后，所得图象关于坐标原点对称，则ϕ的值可以为（）A ．2π3B ．π3C ．π6D ．π42．（2024·湖北武汉·模拟预测）若函数()()ππ3cos 022f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<-<< ⎪⎝⎭，的最小正周期为π，在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，且在区间π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在零点，则ϕ的取值范围是（）A ．ππ,62⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3π,2π⎛⎤-- ⎥⎝⎦C ．ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．π0,3⎛⎤⎥⎝⎦3．（2024·北京西城·二模）将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得图象再关于y 轴对称，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A ．1tan -xB ．1tan --xC ．tan (1)--x D ．tan (1)-+x 二、多选题4．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知函数3ππsin ,2π2π44()()π5πcos ,2π2π44x k x k f x k x k x k ⎧-≤≤+⎪⎪=∈⎨⎪+<<+⎪⎩Z ，则（）A ．()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈B ．()f x 的最小正周期为4πC ．()f x 的最大值为1，最小值为2-D ．()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增5．（2024·辽宁·二模）已知函数π()cos()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭满足πππ(),263f x f x f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0，且在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则（）A ．函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．ϕ可以等于π4-C ．ω可以等于5D ．ω可以等于36．（23-24高三上·山西运城·期末）已知函数()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则（）A ．()f x 的一个周期为2B ．()f x 的定义域是1,Z 2x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭C ．()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．()f x 在区间[]1,2上单调递增三、填空题7．（2024·全国·模拟预测）已知函数()()21cos cos 02f x x x x ωωωω=->，若()f x 的图象在[]0,π上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是．8．（2024·四川雅安·三模）已知函数()e cos2e x x a f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是偶函数，则实数=a .9．（2023·四川达州·一模）函数()2lntan 32x f x m x x -=+++，且()6f t =，则()f t -的值为.参考答案：1．B【分析】由三角函数的平移变化结合奇函数的性质可得π2π3k k ϕ+=∈Z ，，解方程即可得出答案.【详解】因为()f x 向右平移ϕ个单位后解析式为π=sin 223y x ϕ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又图象关于原点对称，πππ2π,01362k k k k k ϕϕϕ∴+=∈∴=-+∈>∴=Z Z ，，，，时，π3ϕ=，故选：B.2．B【分析】根据给定周期求得2ω=-，再结合余弦函数的单调区间、单调性及零点所在区间列出不等式组，然后结合已知求出范围.【详解】由函数()f x 的最小正周期为π，得2ππ||ω=，而0ω<，解得2ω=-，则()3cos(2)3cos(2)f x x x ϕϕ=-+=-，由2π22ππ,Z k x k k ϕ≤-≤+∈，得2π+22ππ,Z k x k k ϕϕ≤≤++∈，又()f x 在ππ(,)66-上单调递减，因此π2π+3k ϕ≤-，且π2ππ,Z 3k k ϕ≤++∈，解得2ππ2π2π,Z 33k k k ϕ--≤≤--∈①，由余弦函数的零点，得π2π,Z 2x n n ϕ-=+∈，即π2π,Z 2x n n ϕ=++∈，而()f x 在(0,)6π上存在零点，则ππ0π,Z 23n n ϕ<++<∈，于是ππππ,Z 26n n n ϕ--<<--∈②，又ππ22ϕ-<<，联立①②解得ππ23ϕ-<≤-，所以ϕ的取值范围是ππ(,]23--.故选：B 3．D【分析】根据正切函数图象的平移变换、对称变换即可得变换后的函数()g x 的解析式.【详解】将函数()tan f x x =的图象向右平移1个单位长度，所得函数为()(1)tan 1f x x -=-，则函数()(1)tan 1f x x -=-的图象再关于y 轴对称得函数()()()()1tan 1tan 1g x f x x x =--=--=-+.故选：D.4．AD【分析】作出函数()f x 的图象，对于A ，验算()π2π2f k x f x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭是否成立即可；对于B ，由(),(2π)x f x f x ∈+=R 即可判断；对于CD ，借助函数单调性，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值验算即可判断CD.【详解】作出函数()f x 的图象如图中实线所示．对于A ，由图可知，函数()f x 的图象关于直线3ππ5π,,444x x x =-==对称，对任意的k ∈Z ，π1ππ1ππ2πsin 2πcos 2πsin 2πcos 2π2222222f k x k x k x k x k x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-++--+--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111(cos sin )cos sin |(sin cos )|sin cos |()2222x x x x x x x x f x =+--=+--=，所以函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈，A 正确；对于B ，对任意的11,(2π)[sin(2π)cos(2π)]sin(2π)cos(2π)22x f x x x x x ∈+=+++-+-+R 11(sin cos )|sin cos |()22x x x x f x =+--=，结合图象可知，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为2π，故B 错误；对于C ，由A 选项可知，函数()f x 的对称轴为()ππ,Z 4x k k =+∈，且该函数的最小正周期为2π，要求函数()f x 的最大值和最小值，只需求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，因为函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以当π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，min ()(π)cos πf x f ==1=-，因为ππ5π5ππsin sin sin 4424442f f ⎛⎫⎛⎫====-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以max π()42f x f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因此()f x ，最小值为-1，故C 错误；对于D ，由C 选项可知，函数()f x 在π,π4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5ππ,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，D 正确，故选：AD ．【点睛】关键点点睛：判断C 选项的关键是求出函数()f x 在π5π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值即可，由此即可顺利得解.5．ABD【分析】根据题意，可得函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，由三角函数的对称性性质可得π4ϕ=±，从而判断选项A 、B ；再根据函数的单调性，可求出ω的值，从而判定选项C 、D.【详解】由π()2f x f x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则ππππ(4424f x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，又πππ5π126312<<<，且ππ063f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则1πππ02634f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 正确；根据函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，得11ππ,Z 4k k ωϕ-+=∈，根据函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，22πππ,Z 42k k ωϕ+=+∈，可得，()()2121ππ,1242k k k k ϕω-=+=+-，由于π||2ϕ<，所以π4ϕ=±，故B 正确；当π4ϕ=时，由π5π1212x <<，得πππ5ππ1244124x ωωω+<+<+，根据函数()y f x =在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得ππ2π1245πππ2π124k k ωω⎧+≥⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，即92424355k ω-≤≤+，又0ω>，所以90,05k ω=<<，又()2112k k ω=+-，所以1ω=，当π4ϕ=-时，由π5π1212x <<，得πππ5ππ1244124x ωωω-<-<-，根据函数()y f x =在π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，可得ππ2π1245πππ2π124k k ωω⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，即2424335k k ω+≤≤+，又0ω>，所以0,3k ω==，故C 错误，D 正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据函数()y f x =的图象关于π4x =-对称，得11ππ,Z 4k k ωϕ-+=∈，根据函数()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，22πππ,Z 42k k ωϕ+=+∈，从而()()2121ππ,1242k k k k ϕω-=+=+-.6．ACD 【分析】利用正切函数的图象与性质一一判定选项即可.【详解】对于A ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知其最小正周期π2π2T ==，故A 正确；对于B ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知πππ1π2,Z 2422x k x k k +≠+⇒≠+∈，故B 错误；对于C ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知1πππ2242x x =⇒+=，此时()f x 的图象关于点1,12⎛⎫⎪⎝⎭对称，故C 正确；对于D ，由()ππtan 124f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭可知[]ππ3π5π1,2,2444x x ⎡⎤∈⇒+⎢⎥⎣⎦，又tan y x =在π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，显然3π5π,44⎡⎤⊂⎢⎥⎣⎦π3π,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：ACD 7．54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】运用正余弦二倍角公式及辅助角公式化简()f x ，由已知条件结合正弦函数性质可得结果.【详解】因为()211πcos cos sin2cos2sin 22226f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭，因为()f x 的图象在[]0,π上有且仅有两条对称轴，所以3ππ5π2π262ω≤-<，解得5463ω≤<，所以ω的取值范围是54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故答案为：54,63⎡⎫⎪⎢⎣⎭.8．1-【分析】根据偶函数的定义，即可列关系式求解.【详解】()f x 定义域为R ，()()()1e cos 2e cos2e cos2e e e x xx xx xa af x x a x f x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-+==- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()1111e e e e 1e 0e e e e e xxx xx x x x xx a a a a ⎛⎫⎛⎫-+=-⇒-=-⇒+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1a =-，故答案为：1-9．0【分析】构造()()3g x f x =-，得到()g x 为奇函数，从而根据()6f t =得到()3g t =，由()3g t -=-求出()f t -.【详解】令()()23lntan 2x g x f x m x x -=-=++，定义域为{|2x x <-或2x >且ππ,Z}2x k k ≠+∈，关于原点对称，则()()()222lntan ln tan ln tan 222x x x g x m x m x m x g x x x x --+--=+-=-=--=--+-+，故()g x 为奇函数，又()()3633g t t f =-=-=，故()()33t g t f -=--=-，解得()0f t -=.故答案为：0反思提升：(1)三角函数周期的一般求法①公式法；②不能用公式求周期的函数时，可考虑用图象法或定义法求周期.(2)对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(或f (x )＝A cos(ωx ＋φ))形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )(或令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ))，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z ωx ＋φ＝π2＋k π（k ∈Z x 即可.(3)对于可化为f (x )＝A tan(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x 即可.(4)三角函数型奇偶性的判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，在y ＝A sin(ωx ＋φ)中代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z ).【考点3】三角函数的单调性一、单选题1．（2024·云南·模拟预测）已知函数()f x 为R 上的偶函数，且当()1212,,0,x x x x ∞∈-≠时，()()12120f x f x x x ->-，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()0.20.5,sin1b f c f ==，则下列选项正确的是（）A ．c b a <<B ．b<c<aC ．a b c<<D ．c<a<b2．（2024·陕西榆林·三模）已知()0,2πα∈，若当[]0,1x ∈时，关于x 的不等式()()2sin cos 12sin 1sin 0x x αααα++-++>恒成立，则α的取值范围为（）A ．π5π,1212⎛⎫⎪⎝⎭B ．π5π,66⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．ππ,63⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π5π,36⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题3．（2022·湖北武汉·三模）已知函数()2cos f x x x =-的零点为0x ，则（）A ．012x <B ．013>xC ．0tan 2x >D ．001<sin 4x x -4．（2024·湖南长沙·一模）已知函数()()tan (0,0π)f x A x ωϕωϕ=+><<的部分图象如图所示，则（）A ．π6A ωϕ⋅⋅=B ．()f x 的图象过点11π6⎛ ⎝⎭C ．函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称D ．若函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，则实数λ的取值范围是[]1,1-三、填空题5．（2023·陕西西安·模拟预测）已知函数()()cos f x A x b ωϕ=++，（0A >，0ω>，π2ϕ<）的大致图象如图所示，将函数()f x 的图象上点的横坐标拉伸为原来的3倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的一个单调递增区间为.6．（2022·上海闵行·模拟预测）已知[0,π]∈，若sin cos 0αα->，则α的取值范围是.参考答案：1．C【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.【详解】当()12,,0x x ∞∈-时，()()12120f x f x x x ->-，所以()f x 在(),0∞-上单调递增；又有()f x 为R 上的偶函数，所以()f x 在()0,∞+上单调递减.由于我们有()11100.2555522πlog 3log 210.50.50.50.4984210.870.87sin sin 1023>==>=>==>=>>，即0.22sin10log 30.5>>>，故()()()0.22log 30.5sin1f f f <<.而()()1222log 3log 3log 3a f f f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，()0.20.5b f =，()sin1c f =，故a b c <<.故选：C.2．A【分析】令()()()2sin cos 12sin 1sin f x x x αααα=++-++，易得()f x 的对称轴为()1sin 20,1sin cos 1x ααα+=∈++，则()()00101sin 20sin cos 1f f f ααα⎧⎪⎪⎪>⎪⎪>⎨⎪⎛⎫⎪+ ⎪⎪> ⎪⎪++ ⎪⎪⎝⎭⎩，进而可得出答案.【详解】令()()()2sin cos 12sin 1sin f x x x αααα=++-++，由题意可得()()0010f f ⎧>⎪⎨>⎪⎩，则sin 0cos 0αα>⎧⎨>⎩，又因为()0,2πα∈，所以π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，函数()f x 的对称轴为()1sin 20,1sin cos 1x ααα+=++，则()()2sin 0cos 011sin sin 22sin cos 12sin 1sin 0sin cos 1sin cos 1αααααααααααα⎧⎪⎪⎪>⎪⎪>⎨⎪⎛⎫⎪++ ⎪⎪++-+⋅+> ⎪⎪++++ ⎪⎪⎝⎭⎩，即()2sin 0cos 0(2sin 1)4sin sin cos 10αααααα⎧>⎪>⎨⎪+-++<⎩，即sin 0cos 01sin22ααα⎧⎪>⎪>⎨⎪⎪>⎩，结合π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，解得π5π1212α<<.故选：A.3．ABD【分析】对AB ，求导分析可得()f x 为增函数，再根据零点存在性定理可判断；对C ，根据AB 得出的01132x <<结合正切函数的单调性可判断；对D ，构造函数()111sin ,432g x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，再根据零点存在性定理，放缩判断()g x 的正负判断即可【详解】对AB ，由题()2sin 0f x x '=+>，故()f x 为增函数.又111cos 022f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，12122cos cos 03333632f π⎛⎫=-<-=-< ⎪⎝⎭，故01132x <<，故AB 正确；对C ，因为01132x <<，所以01tan tan 2t n 14a x π<=<1>，故C 错误；对D ，构造函数()111sin ,432g x x x x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0g x x '=->，故()g x 为增函数.故()111111sin sin sin2424124344g x g πππ⎛⎫⎛⎫<=-<-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为(2130-=<，故1<，故104<，即()0g x <，故111sin 0,,432x x x ⎛⎫--<∈ ⎪⎝⎭，故001<sin 4x x -，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数零点的问题，一般需要用零点存在性定理判断零点所在的区间，同时在判断区间端点正负时，需要适当放缩，根据能够确定取值大小的三角函数值进行判断，属于难题4．BCD【分析】根据函数图象所经过的点，结合正切型函数的对称性、单调性逐一判断即可.【详解】对于A ：设该函数的最小正周期为T ，则有ππ5π166T ωω⎛⎫==--⇒= ⎪⎝⎭，即()()tan f x A x ϕ=+，由函数的图象可知：πππππ623k k ϕϕ+=+⇒=++，又0πϕ<<，所以π3ϕ=，即()πtan 3f x A x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由图象可知：()π0tan 23f A A ===，所以2π3A ωϕ⋅⋅=，因此A 不正确；对于B ：11π11ππ13ππ2tan 2tan 2tan 26636633f ⎛⎫⎛⎫=+===⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以B 正确；对于C ：因为5π5ππ2tan 2tan 333f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，5π5ππ2tan 2tan 333f x x x ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5π5π33f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()y f x =的图象关于直线5π3x =对称，因此C 正确；对于D ：()()ππ2tan 2tan 33y f x f x x x λλ⎛⎫⎛⎫=+=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当ππ,36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()ππππ2tan 2tan 2tan 2tan 3333y f x f x x x x x λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()π22tan 3x λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当5ππ,63x ⎛⎤∈-- ⎥⎝⎦，()()ππππ2tan 2tan 2tan 2tan 3333y f x f x x x x x λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+++=-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()π22tan 3x λ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，当函数()()y f x f x λ=+在区间5ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调时，则有()()2222011λλλ+-+≤⇒-≤≤，D 正确.故选：BCD【点睛】关键点睛：运用函数对称性、函数单调性的性质是解题的关键.5．7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【分析】先根据()f x 的部分图象得到函数的周期、振幅、初相，进而求出()f x 的解析式，再根据函数图象的伸缩变换和平移变换得到()g x 的解析式，后可求()g x 的单调递增区间.【详解】由图可知πππ==43124T -，得=πT ，所以2π==2Tω，()112A =--=，1b =-，所以()()2cos 21f x x ϕ=+-，由图ππ2cos 2111212f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2π6k ϕ=-+，Z k ∈，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，故()π2cos 216f x x ⎛⎫ -⎪⎝⎭=-，由题意()1ππ2π2cos 212cos 132636g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯+--=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，令2ππ2π2π36k x k -+≤+≤，Z k ∈，得7ππ3π3π44k x k -+≤≤-+，Z k ∈故函数()g x 的单调递增区间为7ππ3π,3π44k k ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，当0k =时，函数()g x 的一个单调递增区间为7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，故答案为：7ππ,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）6．π3π(,)44【分析】根据角的范围分区间讨论，去掉绝对值号，转化为不含绝对值的三角不等式，求解即可.【详解】由题，当π[0,]2α∈时，原不等式可化为sin cos αα>，解得ππ42α<≤，当ππ2α<≤时，由原不等式可得tan 1α<-，解得π3π24α<<，综上π3π(,44α∈.故答案为：π3π(,)44反思提升：1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题，利用特值验证排除法求解更为简捷.【基础篇】一、单选题1．（2024·福建·模拟预测）若函数()sin23f x A x =-在3π5π,812⎛⎫ ⎪⎝⎭上有零点，则整数A 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2024·贵州黔南·二模）若函数()πcos 3f x x ϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数，则ϕ的值可以是（）A ．5π6B ．4π3C ．πD ．π23．（2024·安徽·三模）“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（22-23高一下·湖北武汉·期中）若函数()sin 0y x x ωωω=->在区间π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（）A ．17,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．17,36⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．17,22⎛⎤ ⎥⎝⎦二、多选题5．（2024·云南·模拟预测）已知函数()()()sin ,0,0,πf x x ωϕωϕ=+>∈，如图，图象经过点π,112A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π,03B ⎛⎫⎪⎝⎭，则（）A ．2ω=B ．π6ϕ=C ．11π12x =是函数()f x 的一条对称轴D ．函数()f x 在区间7π13π,1212⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增6．（2023·辽宁·模拟预测）已知定义域为I 的偶函数0(),f x x I ∃∈，使()00f x <，则下列函数中符合上述条件的是（）A ．2()3f x x =-B ．()22x xf x -=+C ．2()log||f x x =D ．()cos 1f x x =+7．（23-24高一上·广东肇庆·期末）关于函数πtan 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A ．是奇函数B ．在区间ππ,66⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增C ．5π,06⎛⎫⎪⎝⎭为其图象的一个对称中心D ．最小正周期为π三、填空题8．（2022·江西·模拟预测）将函数()tan2f x x =的图像向左平移t （0t >）个单位长度，得到函数g (x )的图像，若12g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则t 的最小值是．9．（2022·重庆沙坪坝·模拟预测）若函数cos y x ω=在,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，则实数ω的取值范围是．10．（21-22高三上·河南·阶段练习）已知函数()3cos 2n f x x x p ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为偶函数，且当()0,x π∈时，()0f x >，则n 的值可能为.四、解答题11．（2022·北京门头沟·一模）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，6x π=是函数()f x 的对称轴，且()f x 在区间2,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调．(1)从条件①、条件②、条件③中选一个作为已知，使得()f x 的解析式存在，并求出其解析式；条件①：函数()f x 的图象经过点10,2A ⎛⎫⎪⎝⎭；条件②：,03π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心；条件③：5,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的对称中心.(2)根据（1）中确定的()f x ，求函数()0,2y f x x π⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的值域．12．（2021·浙江·模拟预测）已知函数()22sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间．（2）若对任意的()2,2m ∈-，方程()f x m =（其中[)0,x a ∈）始终有两个不同的根1x ，2x ．①求实数a 的值；②求12x x +的值．参考答案：1．C【分析】将函数的零点问题转化为sin2y x =与3y A =在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上的交点问题，求出sin2y x =的值域即可.【详解】由于函数()sin23f x A x =-在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上有零点，所以方程sin230A x -=在3π5π812⎛⎫⎪⎝⎭，上有实数根，即sin2y x =与3y A =在3π5π,812⎛⎫⎪⎝⎭上有交点，令2t x =，则3π5π46t <<，当3π5π46t <<，sin y t =单调递减，故在区间上最多只有1个零点，又1sin 2t ⎛∈ ⎝⎭，即312A ⎛∈ ⎝⎭，解得()6A ∈，由于A 是整数，所以5A =.故选：C.2．B【分析】由题意可知：0x =为函数()f x 的对称轴，结合余弦函数对称性分析求解.【详解】由题意可知：0x =为函数()f x 的对称轴，则ππ,3k k ϕ-+=∈Z ，则ππ,3k k ϕ=+∈Z ，对于选项A ：令π5ππ36k ϕ=+=，解得12k =∉Z ，不合题意；对于选项B ：令π4ππ33k ϕ=+=，解得1k =∈Z ，符合题意；对于选项C ：令πππ3k ϕ=+=，解得23k =∉Z ，不合题意；对于选项D ：令πππ32k ϕ=+=，解得16k =∉Z ，不合题意；故选：B.3．A【分析】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，根据正切函数的对称性可得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解.【详解】若函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ππ,42k k ϕ+=∈Z ，解得ππ,42k k ϕ=-+∈Z ，因为π|π,4k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 是ππ|,42k k ϕϕ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭Z 的真子集，所以“ππ,4k k ϕ=-+∈Z ”是“函数()tan y x ϕ=+的图象关于π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称”的充分不必要条件.故选：A.4．D【分析】利用辅助角公式化简得到π2cos 6y x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求出ππππ,6366x ωω⎛⎫ ⎪⎝+∈-⎭+，结合对称轴条数得到不等式，求出答案.【详解】πsin 2cos 6y x x x ωωω⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，。
三角函数的周期性、奇偶性、单调性知识点和练习
知识要求：1、能正确画出sin y x =，cos y x =，tan y x =的图象及变换的图像。
1、给定条件，能够求sin y x =，cos y x =，tan y x =及变换的函数的周期、奇偶性、定义域、值域、单调区间、最大值和最小值；知识点一：周期性例题分析例1.函数sin()y A x ωϕ=+，它的最小正周期T = ；例2.函数cos()y A x ωϕ=+，它的最小正周期T = ；例3.函数tan()y A x ωϕ=+，它的最小正周期T = ；针对练习1、 12sin 2y x =的最小正周期为____________；2、f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期为________．3、2cos()32y x π=-+的最小正周期为____________；4、tan()23y x ππ=-的最小正周期为___________； 5、函数2tan 34y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的最小正周期是 ； 6、函数)sin(π+=ax y 的周期为知识点二：单调性Z k k k ∈++]321253212[ππππ，针对练习1、函数))(2sin(R x x y ∈+=π在 （ ） A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ上是增函数 B []π,0上是减函数 C []0,π-上是减函数 D []ππ,-上是减函数2、 函数x y 2sin 2=的单调递增区间为_____________________；3、函数y=sin （23x π-）的单调增区间为_______________________；4、函数)32cos(2π-=x y 的单调增区间是________________________； 5、函数2tan()33x y π=+的单调减区间是________________________； 6、求函数)43cos(log 21π+=x y 的单调递增区间知识点三：单调性的应用例1.比较sin 250︒和sin 260︒的大小；例2.已知]23,2[ππ-∈x ，解不等式23sin -≥x ；针对练习1、 比较大小 tan100︒ tan 200︒；15cos 8π 14cos 9π ③sin 18π⎛⎫- ⎪⎝⎭ sin 10π⎛⎫- ⎪⎝⎭ ④17cos()4π- 23cos()5π- ⑤7cos 5π 16cos 5π ⑥11tan()4π- 13tan()5π- 2．在［0，2π］上满足sin x ≥21的x 的取值范围是（ ） A ．［0，6π］ B ．［6π，65π］ C ．［6π，32π］ D ．［65π，π］ 3、在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是（ ）A )45,()2,4(ππππYB ),4(ππC )45,4(ππD )23,45(),4(ππππY知识点四：奇偶性1、判断函数的奇偶性。
三角函数的奇偶性、周期性、对称性
三角函数的奇偶性、周期性、对称性角度1 三角函数的周期性函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( B )A.π2B ．π C.3π2D ．2π解析：f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3(cos 2x －sin 2x )＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 由T ＝2π2＝π，知函数f (x )的最小正周期为π. 角度2 三角函数的奇偶性(2019·武汉调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象关于y 轴对称，则θ＝( A )A ．－π6 B.π6 C ．－π3 D.π3解析：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3， 由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )， ∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|＜π2， ∴k ＝－1时，θ＝－π6.角度3 三角函数的对称性(2019·安徽江南十校联考)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为4π，且∀x ∈R ，有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的一个对称中心坐标是( A )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0 解析：由f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周期为4π， 得ω＝12.因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 由|φ|＜π2，得φ＝π3， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π3.令12x ＋π3＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π－2π3(k ∈Z )， 故f (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，0(k ∈Z )，当k ＝0时，f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3，0. 三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．(2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心．提醒：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．(1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( C )A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数， 所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ， 又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6.(2)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期为4π，则该函数的图象( B )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π3，0对称C ．关于直线x ＝π3对称 D ．关于直线x ＝5π3对称解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期是4π，而T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，即f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6.函数f (x )的对称轴为x 2＋π6＝π2＋k π，解得x ＝23π＋2k π(k ∈Z )； 函数f (x )的对称中心的横坐标为x 2＋π6＝k π，解得x ＝2k π－13π(k ∈Z ).。
§101 三角函数的性质
横向平移|φ|个单位
和谐函数是代表 运算主体纯字母 常用结论要熟知 复杂变换用参量
横坐标变为原来的 倍 | |
1
f ( x) f ( x)
f (x ) f (x)
f (x ) f (x )
(2)先伸缩后平移
横坐标变为原来的
倍 | |
1
横向平移 个单位
(4)余角公式
同名补角正弦等
同名补角其他反
sin(
2
) cos
互余异名值相等
cos( ) sin 2 tan( ) cot 2
诱导公式——总公式
符号看象限 奇变偶不变
k f ( ) f ( ) f ( ) 2
和角与差角公式(加法公式) 1.公式：
2.课本P：46 Ex6 3.资料P：27 左下 Ex2
4.已知函数y=sinx的定义域为[a,b],值域为[-1,1/2]
则b-a不可能是 A.
3
2 B. 3
C.
D. 4
3
和谐函数的性质 预习：
参资料P：32 知识点三
练习1.定义域
①课本P：45 练习2.值域 ②课本P：40 练习2 ③(2013年上海春)函数y=4sinx+3cosx的最大值是____
4 ④若 x , ，则函数y=sinx的值域是________ 6 3
Ex2
练习3.周期性 ⑤课本P：47 练习5.单调性 ⑥课本P：40 ⑦课本P：45 练习4 练习5 B组 Ex3（1）
θ (x0,y0)
P(x,y)
r
x x0 r cos (为参数 ) y y0 r sin
高考数学复习知识点讲解教案第25讲 三角函数的图象与性质
π
− 或0
2
<<
π
，
2
∴ 函数 = lg sin 2 + 9 −
π
2 的定义域为[−3, − )
2
∪
π
0,
2
.
探究点二 三角函数的值域或最值
例2（1）
[2024·天津和平区期中] 函数 = sin + 3cos
最小值为(
C
π
在区间[0, ]上的
2
)
A. 3
B. 2
C.1
D.2
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
（1）
π
,
1
在函数 = sin ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,0 ，_______,
2
3π
,
−1
π, 0 ,___________，
2π, 0 .
2
（2）
π
,
0
在函数 = cos ， ∈ [0,2π]的图象中，五个关键点是： 0,1 ，_______，
π
2
所以 = − + 2π , ∈ ，
所以cos = cos
π
2
− + 2π = sin =
2 5
，
5
∈ ,故选A.
（2） 已知函数
3
+
2
___________.
= sin + cos + 2sin cos + 2，则 的最大值为A.π ቚπ−
6
C.
π
ቚ2π−
6
< < π +
5π
,∈
三角函数的图象与性质各考点
第1讲 三角函数的图象与性质[考情分析] 1.高考对此部分的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换、函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性，常与三角恒等变换交汇命题.2.主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等或偏下．考点一 三角函数的运算核心提炼1．同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．诱导公式：在k π2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．例1 (1)(2022·菏泽检测)已知角α的终边经过点(－1,2)，则cos 2α等于( ) A ．－45B ．－35C ．－15D.35答案 B解析 因为角α的终边经过点(－1,2)， 所以sin α＝2(－1)2＋22＝25，cos α＝－1(－1)2＋22＝－15， 所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝15－45＝－35.(2)已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cos α＝______. 答案 35 45解析 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－αcos ⎝⎛⎭⎫－7π2＋α ＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.∵0<α<π4，∴0<sin α<cos α.又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin α＝35，cos α＝45.二级结论 (1)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则sin α<α<tan α. (2)由(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α知，sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α知一可求二．跟踪演练1 (1)(2022·山西联考)若sin 10°＝a sin 100°，则sin 20°等于( ) A.aa 2＋1 B ．－aa 2＋1C.2a a 2＋1 D ．－2aa 2＋1 答案 C解析 由题可知a >0，sin 10°＝a sin 100°＝a sin(90°＋10°)＝a cos 10°， 又因为sin 210°＋cos 210°＝1， 解得sin 10°＝a a 2＋1，cos 10°＝1a 2＋1， 所以sin 20°＝2sin 10°cos 10° ＝2·a a 2＋1·1a 2＋1＝2aa 2＋1. (2)已知2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos(α－π)，则sin 2α＋cos 2α＝________. 答案 －15解析 ∵2cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π2＝cos(α－π)， ∴2sin α＝－cos α， ∴tan α＝－12，∴sin 2α＋cos 2α＝2sin αcos α＋cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝2tan α＋1－tan 2α1＋tan 2α＝－15.考点二 三角函数的图象与解析式核心提炼由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)图象的步骤例2 (1)(2021·全国乙卷)把函数y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象，则f (x )等于( ) A ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2－7π12 B ．sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12 C ．sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π12 D ．sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π12 答案 B解析 依题意，将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象向左平移π3个单位长度，再将所得曲线上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，得到f (x )的图象，所以y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4――――――――――――――→将其图象向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12的图象―――――――――――――→所有点的横坐标扩大到原来的2倍 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π12的图象．(2)(多选)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0)的部分图象如图所示，则f (x )等于( )A ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 B ．2sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π3C ．2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6D ．2cos ⎝⎛⎭⎫x －7π6 答案 BC解析 根据图象，可得A ＝2，设f (x )的最小正周期为T ， 则34T ＝7π12－⎝⎛⎭⎫－π6＝3π4， 解得T ＝π，所以ω＝2πT ＝2.将最低点的坐标⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入 f (x )＝2sin(2x ＋φ)中， 得2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ＝－2， 则7π6＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， 解得φ＝2k π－5π3(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2k π－5π3(k ∈Z )． 令k ＝0，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －5π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －7π6－π2＝－2cos ⎝⎛⎭⎫2x －7π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 规律方法 由三角函数的图象求解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)中参数的值(1)最值定A ，B ：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M ，最小值为m ，则M ＝A ＋B ，m ＝－A ＋B ，解得B ＝M ＋m 2，A ＝M －m2.(2)T 定ω：由周期的求解公式T ＝2πω，可得ω＝2πT.(3)特殊点定φ：代入特殊点求φ，一般代最高点或最低点，代入中心点时应注意是上升趋势还是下降趋势．跟踪演练2 (1)(2022·安康模拟)已知函数f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(A >0，ω>0)的图象向左平移3π4个单位长度后与原图象重合，则实数ω的最小值是( ) A.43 B.83 C.163 D ．8 答案 A解析 由题可知，3π4是该函数周期的整数倍，即3π4＝πω×k ，k ∈Z ，解得ω＝4k3，k ∈Z ， 又ω>0，故其最小值为43.(2)(2022·黄山模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，为了得到y ＝f (x )的图象，需将函数g (x )＝A cos ωx 的图象至少向右平移( )A.π3个单位长度 B.π4个单位长度 C.π6个单位长度 D.2π3个单位长度 答案 A解析 由图象可知A ＝2，f (x )的最小正周期 T ＝2×⎝⎛⎭⎫π3＋π6＝2πω，解得ω＝2， ∴f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝2， ∴2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )， 解得φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，∴φ＝－π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π12. ∵g (x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴将g (x )的图象至少向右平移π4＋π12＝π3个单位长度可得f (x )的图象．考点三 三角函数的性质核心提炼函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)单调性：由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递增区间，由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )可得单调递减区间．(2)对称性：由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )可得对称中心；由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )可得对称轴．(3)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．例3 (1)(2022·赣州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离为2π，若f (x )在(－m ，m )上单调递增，则m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，π4 B.⎝⎛⎦⎤0，π2 C.⎝⎛⎦⎤0，3π4 D.⎝⎛⎦⎤0，3π2 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)相邻两条对称轴之间的距离2π， 则12T ＝2π，即T ＝4π，则ω＝2π4π＝12， 则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4， 由2k π－π2≤12x ＋π4≤2k π＋π2，得4k π－3π2≤x ≤4k π＋π2(k ∈Z )，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤－3π2，π2上单调递增， 由(－m ，m )⊆⎣⎡⎦⎤－3π2，π2得0<m ≤π2， 所以m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π2. (2)(2022·新高考全国Ⅰ)记函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＋b (ω>0)的最小正周期为T .若2π3<T <π，且y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称，则f ⎝⎛⎭⎫π2等于( )A ．1 B.32 C.52 D ．3答案 A解析 因为2π3<T <π，所以2π3<2πω<π，解得2<ω<3.因为y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π2，2中心对称， 所以b ＝2，且sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＋b ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫3π2ω＋π4＝0，所以3π2ω＋π4＝k π(k ∈Z )， 又2<ω<3，所以13π4<3π2ω＋π4<19π4，所以3π2ω＋π4＝4π，解得ω＝52，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫52x ＋π4＋2，所以f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin ⎝⎛⎭⎫52×π2＋π4＋2＝sin 3π2＋2＝1.故选A. 规律方法 研究三角函数的性质，首先化函数为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋h 的形式，然后结合正弦函数y ＝sin x 的性质求f (x )的性质，此时有两种思路：一种是根据y ＝sin x 的性质求出f (x )的性质，然后判断各选项；另一种是由x 的值或范围求得t ＝ωx ＋φ的范围，然后由y ＝sin t 的性质判断各选项．跟踪演练3 (1)(多选)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，则( ) A ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减 B ．f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上有两个极值点 C ．直线x ＝7π6是曲线y ＝f (x )的对称轴D ．直线y ＝32－x 是曲线y ＝f (x )的切线 答案 AD解析 因为函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0中心对称，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝0，可得4π3＋φ＝k π(k ∈Z )，φ＝－4π3＋k π(k ∈Z )，结合0<φ<π，得φ＝2π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 对于A ，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，5π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫2π3，3π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，5π12上单调递减，故A 正确；对于B ，当x ∈⎝⎛⎭⎫－π12，11π12时，2x ＋2π3∈⎝⎛⎭⎫π2，5π2，所以函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，11π12上只有一个极值点，故B 不正确；对于C ，因为f ⎝⎛⎭⎫7π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×7π6＋2π3＝sin 3π＝0，所以x ＝7π6不是曲线y ＝f (x )的对称轴，故C 不正确；对于D ，因为f ′(x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，若直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线， 则由2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝－1，得2x ＋2π3＝2k π＋2π3或2x ＋2π3＝2k π＋4π3(k ∈Z )， 所以x ＝k π或x ＝k π＋π3(k ∈Z )．当x ＝k π(k ∈Z )时，f (x )＝32， 则由32＝32－k π(k ∈Z )，解得k ＝0； 当x ＝k π＋π3(k ∈Z )时，f (x )＝－32，方程－32＝32－k π－π3(k ∈Z )无解． 综上所述，直线y ＝32－x 为曲线y ＝f (x )的切线，故D 正确． (2)(2022·广州联考)若函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递减，且在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的最大值为3，则ω＝________. 答案 －14解析 因为函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上单调递减， 所以ω<0，π|ω|≥2π3，则－32≤ω<0，又因为函数在⎣⎡⎦⎤－π3，π3上的最大值为3， 所以－π3ω＋π4＝π3＋k π，k ∈Z ，即ω＝－14－3k ，k ∈Z ，所以ω＝－14.专题强化练一、单项选择题1．(2022·日照模拟)已知角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，则角θ可以为( )A.5π6B.2π3C.11π6D.5π3 答案 D解析 ∵角θ的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32，∴θ是第四象限角，且cos θ＝12，sin θ＝－32，则θ＝5π3＋2k π，k ∈Z ，结合选项知角θ可以为5π3.2．(2022·惠州模拟)已知tan α＝2，π<α<3π2，则cos α－sin α等于( )A.55 B ．－55 C.355 D ．－355答案 A解析 由tan α＝sin αcos α＝2，且sin 2α＋cos 2α＝1，π<α<3π2，得sin α＝－255，cos α＝－55，所以cos α－sin α＝－55－⎝⎛⎭⎫－255＝55. 3.(2022·济宁模拟)如图，某时钟显示的时刻为9：45，此时时针与分针的夹角为θ，则(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)等于( )A.22 B ．－22 C.32 D ．－32答案 B解析 时针指向9时，分针指向12，当分针转到指向9时，旋转了圆周的34，因此时针旋转了1个小时⎝⎛⎭⎫即2π12的34，所以θ＝2π12×34＝π8， 所以(sin θ＋cos θ)(sin θ－cos θ)＝sin 2θ－cos 2θ ＝－cos 2θ＝－cos π4＝－22.4．(2022·全国甲卷)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω＞0)的图象向左平移π2个单位长度后得到曲线C ，若C 关于y 轴对称，则ω的最小值是( ) A.16 B.14 C.13 D.12答案 C解析 记曲线C 的函数解析式为g (x )，则g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤ω⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤ωx ＋⎝⎛⎭⎫π2ω＋π3.因为函数g (x )的图象关于y 轴对称，所以π2ω＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得ω＝2k ＋13(k ∈Z )．因为ω＞0，所以ωmin ＝13.故选C.5.(2022·福州质检)已知函数f (x )＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤k π－16，k π＋56，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π－16，2k π＋56，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k －16，k ＋56，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z 答案 D解析 由图象可知，函数y ＝f (x )的最小正周期T 满足T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，ω＝2π2＝π， ∴f (x )＝sin(πx －φ)，由f ⎝⎛⎭⎫13＝sin ⎝⎛⎭⎫π3－φ＝0， 得π3－φ＝k π，得φ＝π3－k π，k ∈Z ， ∵－π2<φ<π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx －π3， 由2k π－π2≤πx －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得2k －16≤x ≤2k ＋56，k ∈Z ， 因此，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k －16，2k ＋56，k ∈Z . 6．(2022·云南师大附中模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x (a >0)的最大值为2，若方程f (x )＝b在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内有三个实数根x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，则x 1＋2x 2＋x 3等于( ) A.8π3 B.10π3 C ．4π D.25π6答案 A解析 f (x )＝sin x ＋a cos x ＝1＋a 2sin(x ＋φ)，由题知1＋a 2＝2，且a >0，解得a ＝3，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方程f (x )＝b 在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内的实数根，即为在区间⎝⎛⎭⎫0，13π6内y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 的交点的横坐标，如图所示，由f (x )图象的对称性可知，x 1＋x 22＝π6，x 2＋x 32＝7π6， 即x 1＋x 2＝π3，x 2＋x 3＝7π3， 所以x 1＋2x 2＋x 3＝(x 1＋x 2)＋(x 2＋x 3)＝8π3. 7.(2022·全国甲卷)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，AB ︵是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在AB ︵上，CD ⊥AB .“会圆术”给出AB ︵的弧长的近似值s 的计算公式：s ＝AB ＋CD 2OA.当OA ＝2，∠AOB ＝60°时，s 等于( )A.11－332B.11－432C.9－332D.9－432 答案 B解析 由题意知，△OAB 是等边三角形，所以AB ＝OA ＝2.连接OC (图略)，因为C 是AB 的中点，所以OC ⊥AB ，OC ＝OA 2－AC 2＝ 3.又CD ⊥AB ，所以O ，C ，D 三点共线，所以CD ＝OD －OC ＝2－3， 所以s ＝AB ＋CD 2OA ＝2＋(2－3)22＝11－432. 8．(2022·潍坊模拟)设函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )，则g 1(t )－g 2(t )的最小值为( )A ．1B.22C.2－12D.2－22答案 D 解析 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的最小正周期为T ＝2π2＝π， 所以区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4的区间长度是该函数的最小正周期的14， 因为函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上的最大值为g 1(t )，最小值为g 2(t )， 所以当区间⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4关于它的图象的对称轴对称，即对称轴为t ＋t ＋π42＝t ＋π8时，g 1(t )－g 2(t )取得最小值，且此时函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上有最值±1，不妨设y 在⎣⎡⎦⎤t ，t ＋π4上有最大值g 1(t )＝1，则有sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫t ＋π8＋π3＝1，所以sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋7π12＝1，即2t ＋7π12＝π2＋2k π，k ∈Z ，得t ＝k π－π24，k ∈Z ，所以g 2(t )＝sin ⎝⎛⎭⎫2t ＋π3＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫k π－π24＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2k π＋π4＝22，所以g 1(t )－g 2(t )的最小值为2－22.二、多项选择题9．(2022·武汉质检)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－2x 在下列区间上单调递增的是( )A.⎝⎛⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎭⎫π3，π2C.⎝⎛⎭⎫－2π3，－π6 D.⎝⎛⎭⎫π3，π答案 BC解析 f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，有x ∈⎣⎡⎦⎤π3，5π6；当k ＝－1时，有x ∈⎣⎡⎦⎤－2π3，－π6，只有B ，C 符合．10．(2022·山东联考)已知曲线C 1：y ＝cos 2x ，C 2：y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，则下面结论正确的是()A ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到曲线C 2D ．把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，得到曲线C 2答案 ACD解析 对于选项A ，把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移5π6个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－3π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故A 正确； 对于选项B ，把曲线C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为 y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－5π6≠－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3， 故B 错误；对于选项C ，把曲线C 1向左平移7π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得曲线对应的函数解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋7π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3＋π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故C 正确； 对于选项D ，把曲线C 1向左平移π12个单位长度，再把得到的曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，最后把得到的曲线向右平移π个单位长度，所得曲线对应的函数解析式为y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －5π6＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3－3π2 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2π3，故D 正确．11．(2022·衡水模拟)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<ω<4，|φ|<π2满足f ⎝⎛⎭⎫13π12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋13π12，且f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，则下列说法正确的有( )A ．ω＝2B ．φ＝π6C ．直线x ＝13π12是f (x )图象的一条对称轴 D ．点⎝⎛⎭⎫7π3，0是f (x )图象的一个对称中心答案 ACD解析 由f ⎝⎛⎭⎫13π12－x ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋13π12 可知直线x ＝13π12是函数f (x )的图象的一条对称轴，故C 选项正确； 又f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，所以⎝⎛⎭⎫4π3，0是函数f (x )的图象的一个对称中心， 所以4π3－13π12＝T 4＋kT 2(k ∈Z )， 即T ＝π2k ＋1(k ∈Z )， 又因为T ＝2πω， 所以ω＝4k ＋2(k ∈Z )，因为0<ω<4，所以当k ＝0时，ω＝2符合，故A 选项正确；所以13π12×2＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－13π6(k ∈Z )， 因为|φ|<π2，所以当k ＝2时，φ＝－π6符合条件，故B 选项错误； 从而f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， f ⎝⎛⎭⎫7π3＝cos ⎝⎛⎭⎫14π3－π6＝cos 9π2＝0，故点⎝⎛⎭⎫7π3，0是f (x )图象的一个对称中心，故D 选项正确． 12．(2022·德州联考)声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数y ＝A sin ωt ，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数f (x )＝|cos x |＋3|sin x |，则下列结论不正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )的最小正周期为2πC ．f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 D ．f (x )的最小值为1答案 BC解析 因为x ∈R ，f (－x )＝f (x )，所以f (x )是偶函数，A 正确；f (x )显然是周期函数，因为f (x ＋π)＝|cos(x ＋π)|＋3|sin(x ＋π)|＝|cos x |＋3|sin x |＝f (x )，B 错误；因为当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时， f (x )＝|cos x |＋3|sin x |＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6， 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增， 在区间⎝⎛⎦⎤π3，π2上单调递减，C 错误；因为当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，f (x )＝|cos x |＋3|sin x |＝－cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 所以f (x )＝⎩⎨⎧ 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，设t ＝x ＋π6， 则t ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以sin t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，所以f (x )∈[1,2]，同理，当x ∈⎝⎛⎦⎤π2，π时，f (x )∈[1,2]，由B 中解答知，π是f (x )的周期，所以f (x )的最小值为1，D 正确．三、填空题13．(2022·黄山模拟)已知tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，则sin x ＝________.答案 5－12解析 由tan ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ，得sin ⎝⎛⎭⎫3π2－x cos ⎝⎛⎭⎫3π2－x ＝1cos x ， 即－cos x －sin x ＝1cos x ，即cos 2x ＝sin x ， 整理得sin 2x ＋sin x －1＝0，而－1≤sin x ≤1，解得sin x ＝5－12. 14．(2022·石家庄模拟)已知角α的终边经过点P (8,3cos α)．则sin α＝________.答案 13解析 ∵|OP |＝82＋(3cos α)2＝64＋9cos 2α，∴sin α＝3cos α64＋9cos 2α， cos α＝864＋9cos 2α， ∴sin α·64＋9cos 2α＝3cos α，即sin 2α(64＋9cos 2α)＝9cos 2α，∴sin 2α[64＋9(1－sin 2α)]＝9(1－sin 2α)，即9sin 4α－82sin 2α＋9＝0，解得sin 2α＝9(舍去)或sin 2α＝19， ∵cos α>0 ∴sin α>0，∴sin α＝13. 15．(2022·全国乙卷)记函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为T .若f (T )＝32，x ＝π9为f (x )的零点，则ω的最小值为________． 答案 3解析 因为T ＝2πω，f ⎝⎛⎭⎫2πω＝32， 所以cos ()2π＋φ＝32，即cos φ＝32.又0<φ<π，所以φ＝π6. 所以f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6. 因为x ＝π9为f (x )的零点， 所以π9ω＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )， 解得ω＝9k ＋3(k ∈Z )． 又ω>0，所以当k ＝0时，ω取得最小值，且最小值为3.16．(2021·全国甲卷)已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则满足条件⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0的最小正整数x 为________．答案 2解析 由题图可知，34T ＝13π12－π3＝3π4(T 为f (x )的最小正周期)，得T ＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝2cos(2x ＋φ)．点⎝⎛⎭⎫π3，0可看作“五点作图法”中的第二个点，则2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6， 所以f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 所以f ⎝⎛⎭⎫－7π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤2×⎝⎛⎭⎫－7π4－π6 ＝2cos ⎝⎛⎭⎫－11π3＝2cos π3＝1， f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2cos ⎝⎛⎭⎫2×4π3－π6＝2cos 5π2＝0， 所以⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫－7π4⎣⎡⎦⎤f (x )－f ⎝⎛⎭⎫4π3>0， 即[f (x )－1]·f (x )>0，可得f (x )>1或f (x )<0，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6>12或cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0.当x ＝1时，2x －π6＝2－π6∈⎝⎛⎭⎫π3，π2， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎝⎛⎭⎫0，12，不符合题意； 当x ＝2时，2x －π6＝4－π6∈⎝⎛⎭⎫π，7π6， cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6<0，符合题意． 所以满足题意的最小正整数x 为2.。
专题33 三角函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性题2021高中数学必做黄金100题(解析版
一．题源探究·黄金母题
（求函数 的单调递增区间．
【解析】设 ，函数 的单调递增区间为 ．由 ，得 ．易知 ．
【试题来源】人教版A版必修4第39页例5．
【母题评析】本题考查三角函数单调区间的求法，是历年来高考的一个常考点．
【思路方法】限定区间上三角函数单调区间的求法：先用整体思想求
【技能方法】解决三角函数的单调性有关的问题，要结合函数的图象及其性质。
考向6已知三角函数的奇偶性、对称性或周期求参数的值
已知函数 （ ， ），其图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，若 对于任意的 恒成立，则 的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ，可得 ，
∵函数 （ ， ）的图像与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的图象与直线 相邻两个交点的距离为 ，
∴函数 的周期为 ，故 ，∴ ．∴ ．
由题意得“ 对于任意的 恒成立”等价于“ 对于任意的 恒成立”．∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
故结合所给选项可得C正确．选C．
【技能方法】本题难度较大，解题时根据题意得 在 上的取值范围是 的子集去处理，由此通过不等式可得 的范围，结合选项得解．
④将 的图象向右平移 个单位可得到图像 ．
【答案】①②③
【解析】对于 ，
令 ，求得f(x)=−1，为函数的最小值，故它的图象C关于直线 对称故①正确．
令x= ，求得f(x)=0，可得它的图象C关于点( ，0)对称，故②正确．
令 ，可得 ，故函数f(x)在区间 是增函数，故③正确，
由 的图象向右平移 个单位长度可以得到 故排除④，
【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，难度中等．
三角函数复习教案
三角函数复习教案整理一、教学目标1. 知识与技能：（1）掌握三角函数的定义及性质；（2）了解三角函数在各象限的符号；（3）熟练运用三角函数公式进行计算。
2. 过程与方法：（1）通过复习，巩固三角函数的基本概念；（2）通过例题解析，提高学生解决实际问题的能力；（3）培养学生运用三角函数解决几何问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对三角函数的学习兴趣；（2）培养学生的团队合作精神；（3）鼓励学生勇于探索，提高自主学习能力。
二、教学内容1. 三角函数的定义及性质（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的定义；（2）三角函数的周期性；（3）三角函数的奇偶性；（4）三角函数的单调性。
2. 三角函数在各象限的符号（1）第一象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为正；（2）第二象限：正弦函数为正，余弦函数、正切函数为负；（3）第三象限：正弦函数、余弦函数、正切函数均为负；（4）第四象限：正弦函数为负，余弦函数、正切函数为正。
3. 三角函数公式（1）和角公式；（2）差角公式；（3）积化和差公式；（4）和差化积公式；（5）二倍角公式；（6）半角公式。
三、教学重点与难点1. 教学重点：（1）三角函数的定义及性质；（2）三角函数在各象限的符号；（3）三角函数公式的运用。
2. 教学难点：（1）三角函数公式的灵活运用；（2）解决复杂三角函数问题。
四、教学方法1. 采用讲解法，系统讲解三角函数的基本概念、性质和公式；2. 利用例题解析，让学生掌握三角函数公式的运用；3. 运用分组讨论法，引导学生合作探究，解决实际问题；4. 采用问答法，激发学生的思维，巩固所学知识。
五、教学过程1. 导入新课：回顾上节课的内容，引导学生进入本节课的学习。
2. 讲解三角函数的定义及性质：通过PPT展示，讲解三角函数的基本概念，让学生理解并掌握三角函数的性质。
3. 讲解三角函数在各象限的符号：引导学生通过绘制函数图像，观察并总结三角函数在各象限的符号。
三角函数的单调性、奇偶性、周期性
(A)f(x+2)是奇函数
(C)f(x-2)是奇函数
(B)f(x+2)是偶函数
(D)f(x-2)是偶函数
3 .已知 函 数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4， 当 f(2001)=5 时 ， f(2002)=( )B (A)1 (B)3 (C)5 (D)7
4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数 5.下列命题中正确的是( D ) (A)若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ (B)函数y=sinx· cotx的单调递增区间是(2kπ-π/2，2kπ+ π/2)，k∈Z (C)函数y=(1-cos2x)/sin2x的最小正周期是2π (D) 函 数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 则 φ=kπ/2+π/4，k∈Z
2.判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：
1 ①y sin 4 x 1 ②y sin x 3 3 x ③y tan 4 6 ④y 2
【 解 题 回 顾 】 若 三 角 函 数 y=f(x)的 最 小 正 周 期 为 T， 则 f(ωx+φ)的最小正周期就是T|ω|；另外，周期函数的图像必 然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判 断函数的周期性的一个有效方法是作图
5 3.已知函数 f x 5 sin x cos x 5 3 cos x 3 x R 2
2
三角函数的图象与性质6大题型(解析版)--2024高考数学常考题型精华版
三角函数的图象与性质6大题型【题型目录】题型一：三角函数的周期性题型二：三角函数对称性题型三：三角函数的奇偶性题型四：三角函数的单调性题型五：三角函数的值域题型六：三角函数的图像【典例例题】题型一：三角函数的周期性【例1】（2022·全国·兴国中学高三阶段练习（文））下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）．A ．tan y x =B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．sin y x=【例2】（2022江西景德镇一中高一期中（文））下列函数中①sin y x =；②sin y x =；③tan y x =；④12cos y x =+，其中是偶函数，且最小正周期为π的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】①的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，但不是周期函数，∴排除①；②的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，sin y x =是偶函数，最小正周期是π，∴②正确；③的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，tan y x =是偶函数，最小正周期为π，∴③正确；④的图象如下，根据图象可知，图象关于y 轴对称，12cos y x =+是偶函数，最小正周期为2π，∴排除④.故选：B.【例3】（2022·全国·高三专题练习）函数ππ()sin 2cos 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小正周期是（）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π【例4】设函数()c x b x x f ++=sin 2cos ，则()x f 的最小正周期()A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关【答案】B【解析】因x y 2cos =的最小正周期为ππ==22T ，x y sin =的最小正周期为ππ212==T 所以当0≠b 时，()x f 的最小正周期为π2；当0=b 时，()x f 的最小正周期为π；【例5】（2022·全国·高一课时练习）函数22cos 14y x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π【例6】（2022·广西桂林·模拟预测（文））函数()2sin6cos6f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．3πC ．32πD ．6π【例7】（2022·全国·高一专题练习）()|sin ||cos |f x x x =+的最小正周期是（）A ．2πB ．πC ．2πD ．3π【题型专练】1.（2023全国高三题型专练）在函数①cos |2|y x =，②|cos |y x =，③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭中，最小正周期为π的所有函数为（）A ．②④B ．①③④C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】∵cos |2|y x ==cos2x ，∴T =22π=π；|cos |y x =图象是将y =cos x 在x 轴下方的图象对称翻折到x 轴上方得到，所以周期为π，由周期公式知，cos(2)6y x π=+为π，tan(2)4y x π=-为2π，故选：C .2.（2022·河北深州市中学高三阶段练习）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()()sin cos y x x ππ=+-C ．22cos cos 2y x x π⎛⎫=-+ ⎪D ．sin 2y x=3.（2022·北京昌平·高一期末）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 2y x =C ．sin cos y x x =D ．22cos sin y x x=-4.（2022·陕西渭南·高二期末（理））函数()2sin cos f x x x x =+的最小正周期是________．5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()cos f x x x ωω=-(0)ω>的最小正周期为π，则ω=___．6．（2022·浙江·杭十四中高一期末）函数2cos cos cos 2y x x x π⎛⎫=+- ⎪的最小正周期为__________．题型二：三角函数对称性【例1】（江西省“红色十校”2023届高三上学期第一联考数学（文）试题）已知函数π()sin()0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的两个相邻的零点为12,33-，则()f x 的一条对称轴是（）A ．16x =-B ．56x =-C ．13x =D ．23x =，【例2】（2022全国高一课时练习）函数cos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象（）A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称D ．关于直线3x π=对称【答案】D【解析】由题设，由余弦函数的对称中心为,2)0(k ππ+，令232x k πππ+=+，得212k x ππ=+，k Z ∈，易知A 、B 错误；由余弦函数的对称轴为x k π=，令23x k ππ+=，得26k x ππ=-，k Z ∈，当1k =时，3x π=，易知C 错误，D 正确；故选：D 【例3】（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（）A ．5π6B ．2π3C ．5π12D ．π6【例4】（2023福建省福州屏东中学高三开学考试多选题）已知函数()()3sin 222f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，则（）A ．函数12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数B ．函数()f x 在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图像向右平移()0a a >个单位长度得到的函数图像关于6x π=对称，则a 的最小值是3πD ．若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥上有2个不同实根12,x x ，则12x x -的最大值为2π故结合正弦函数的性质可知，若方程()f x a =在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不同实根12,x x ，不妨设12x x <，则12x x -取得最大值时满足1266x ππ-=且25266x ππ-=，所以，12x x -的最大值为3π，故错误.故选：AC【例5】(2023江西省高三月考)若函数y cos 6x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(ω∈N +)图象的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭，则ω的最小值为()A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】B 【解析】当6x π=时，0y =，即cos 066πωπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，()662k k Z πωπππ∴+=+∈，解得62k ω=+，N ω*∈ ，故当0k =时，ω取最小值2.【例6】【2016高考新课标2理数】若将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）（A ）()26k x k Z ππ=-∈（B ）()26k x k Z ππ=+∈（C ）()212k x k Z ππ=-∈（D ）()212k x k Z ππ=+∈【答案】B【解析】由题意，将函数2sin 2y x =的图像向左平移12π个单位得2sin 2()2sin(2)126y x x ππ=+=+，则平移后函数的对称轴为2,62x k k Z πππ+=+∈，即,62k x k Z ππ=+∈，故选B.【题型专练】1.(2020·四川省泸县第四中学高三开学考试)已知函数()sin 22f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则函数()f x 的图象的对称轴方程为()A ．,4x k k Z ππ=-∈B ．+,4x k k Z ππ=∈C ．1,2x k k Z π=∈D ．1+,24x k k Zππ=∈【答案】C【解析】由已知，()cos 2f x x =，令2,π=∈x k k Z ，得1,2x k k Z π=∈.故选：C.2.【2017·天津卷】设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π．若5(28f π=，(08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A ．23ω=，12ϕπ=B ．23ω=，12ϕ11π=-C ．13ω=，24ϕ11π=-D ．13ω=，24ϕ7π=【答案】A【解析】由题意得125282118k k ωϕωϕππ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ωπ=>π，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕ<π得12ϕπ=，故选A ．3．（2023·全国·高三专题练习）将函数sin 22y x x =的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（）A ．712πB ．4πC ．12πD ．6π4.【2018·江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ5．（2022·广西南宁·高二开学考试多选题）把函数()sin f x x =的图像向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数()g x 的图像，下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A ．最小正周期为πB ．单调递增区间5πππ,π()1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．图像的一个对移中心为π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．图像的一条对称轴为直线π12x =题型三：三角函数的奇偶性【例1】（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）已知函数()sin 2sin 23f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭向左平移θ个单位后为偶函数，其中0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦.则θ的值为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π【例2】（2022·广东·执信中学高一期中）对于四个函数sin y x =，cos y x =，sin y x =，tan y x =，下列说法错误的是（）A ．sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心B ．cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴C ．sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴D ．tan y x =是偶函数，最小正周期是π，没有对称中心由图可知，函数sin y x =不是奇函数，最小正周期是π，没有对称中心，A 对；对于B 选项，如下图所示：由图可知，cos y x =是偶函数，最小正周期是π，有无数多条对称轴，B 对；对于C 选项，如下图所示：由图可知，sin y x =不是奇函数，没有周期，只有一条对称轴，C 对；对于D 选项，如下图所示：由图可知，函数tan y x =是偶函数，不是周期函数，没有对称中心，D 错.故选：D.【例3】（2022·陕西师大附中高一期中）已知函数2π()sin ()24f x x =++，若(lg5)a f =，1(lg 5b f =，则（）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．5a b +=D ．5a b -=【例4】（2022·江西省铜鼓中学高二开学考试）将函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移()0ϕϕ>个单位长度得到一个偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．56π【例5】（2022·四川成都·模拟预测（理））函数2()ln(2)sin(1)211f x x x x x x -=+--+++在[0,2]上的最大值与最小值的和为（）A ．-2B ．2C ．4D ．6【例6】（2022·贵州贵阳·高三开学考试（理））已知函数()2cos(2)02f x x πϕϕ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图象向右平移3π个单位长度后，得到函数()g x 的图象，若()g x 的图象关于原点对称，则ϕ=（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．12π【例7】（2022·陕西·定边县第四中学高三阶段练习（理））已知函数()sin cos f x a x b x =-在4x π=处取到最大值，则4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（）A ．奇函数B ．偶函数C ．关于点(),0π中心对称D ．关于2x π=轴对称【例8】（2023·全国·高三专题练习）写出一个最小正周期为3的偶函数()f x =___________.【题型专练】1．（2022·全国·高一课时练习）下列函数中，既为偶函数又在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增的是（）A ．cos y x =B ．cos y x=C ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪D ．tan cos y x x=-2.（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（文））已知函数()e e sin x xf x x a -=-++，若()1ln 1,ln 3f m f m ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则=a （）A ．1B ．2C ．1-D ．2-3.（2022·湖南·周南中学高二期末）函数为()sin 23f x x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭偶函数的一个充分条件是（）A ．6π=ϕB ．3πϕ=C ．2ϕπ=D ．()3k k πϕπ=+∈Z故选：A4．（2022·贵州黔东南·高二期末（理））已知函数()πcos 2(0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将其图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 为偶函数，则ϕ的最小值为（）A ．6πB ．π4C ．π3D ．π25.（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)sin(1)1f x x x x x =--+-在[1,1)-(1,3]⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（）A ．1B ．2C ．3D ．4可得()h t 的最大值与最小值之和为0，那么()g t 的最大值与最小值之和为2．故选：B ．6.（2022辽宁丹东·高一期末）写出一个最小正周期为1的偶函数()f x =______．【答案】cos2πx【解析】因为函数cos y x ω=的周期为2π||ω，所以函数cos 2πy x =的周期为1.故答案为：cos2πx .（答案不唯一）7.（2022·全国·高三专题练习）已知()2sin()cos f x x x α=++是奇函数，则sin α的值为______．8．（2022·河南·高二开学考试）将函数()()cos 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图像向左平移4π个单位长度后得到偶函数()g x 的图像，则ω的最小值是______．【答案】1039.（2022·全国·高一单元测试）写出一个同时具有性质①()02f =；②()()πf x f x +=的函数()f x =______（注：()f x 不是常数函数）．题型四：三角函数的单调性【例1】（湖南省永州市2023届高三上学期第一次高考适应性考试数学试题）将函数2()cos cos 1f x x x x =+-的图象向右平移6π个单位长度，然后将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则()g x 的单调递增区间是（）A ．ππππ,(Z)12262k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦B ．ππ5ππ,(Z)242242k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦C ．π2π2π,2π(Z)33k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥D ．π5π2π,2π(Z)66k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥故选：A【例2】（2022·陕西师大附中高一期中）sin1,sin 2,sin 3按从小到大排列的顺序为（）A ．sin3sin2sin1＜＜B ．sin3sin1sin2＜＜C ．sin1sin2sin3＜＜D ．sin2sin1sin3＜＜【例3】（2022·全国·高一单元测试）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x=也是以【例4】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()cos 02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭＞，，4x π=-为f （x ）的零点，4x π=为y ＝f （x ）图象的对称轴，且f （x ）在186ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调，则ω的最大值为（）A ．3B ．4C ．5D ．6当ππ,π2u k k ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈时，函数sin y u =递增．即πππ,π42x k k ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，解得：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，所以函数sin()4πy x =+的单调递增区间是πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.故答案为：πππ,π44x k k ⎡⎤∈-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【例6】（2023·全国·高三专题练习）函数πsin(2)3y x =-+的单调递减区间是（）A ．π5π[π,π],Z 1212k k k -+∈B ．π5π[2π,2π],Z 1212k k k -+∈C ．π5π[π,πZ66k k k -+∈D ．π5π[2π,2πZ66k k k -+∈【题型专练】1．（2022·辽宁·新民市第一高级中学高一阶段练习）已知函数2sin()y x ωθ=+为偶函数(0)θπ<<，其图像与直线2y =的两个交点的横坐标分别为12x x 、，若21||x x -的最小值为π，则该函数的一个单调递增区间为（）A ．ππ,24⎛⎫-- ⎪B ．ππ,44⎛⎫- ⎪C ．π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π,44⎛⎫⎪⎝⎭2.（2022·四川省成都市新都一中高二开学考试（理））已知函数()sin(),022f x x ππωϕϕω⎛⎫=+-<<> ⎪⎝⎭，若()00166f x f x ππ⎛⎫⎛⎫==≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0min6x ππ-=，则函数()f x 的单调递减区间为（）A ．2,()63k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．22,2()63Z k k k ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭C ．,()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪D ．2,2()36Z k k k ππππ⎛⎫-++∈ ⎪3.（2022六盘山高级中学）函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为（）A ．5,()212212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦B ．5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭C ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．5,()1212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】因为函数tan y x =的单调递增区间为,()22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，所以2()223,k k k x Z πππππ-<-<+∈，解得5,()212212k k x k Z ππππ-<<+∈，所以函数tan 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的单调增区间为5,()212212k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭.故选：B 4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 2f x x ϕ=+，其中()0,2πϕ∈，若()6f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于一切R x ∈恒成立，则()f x 的单调递增区间是（）A ．,2k k πππ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z B ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z C ．2,63k k ππππ⎡⎤++⎢⎥()k ∈Z D ．,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥()k ∈Z 5.（2022·全国·高二单元测试）已知函数()cos f x x x =，()()g x f x '=，则（）．A ．()g x 的图像关于点π,06⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()g x 图像的一条对称轴是π6x =C ．()g x 在5π5π,66⎛⎫- ⎪上递减D ．()g x 在ππ,33⎛⎫- ⎪的值域为(0,1)6．(2022天津市静海区大邱庄中学高三月考)设函数()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，给出下列结论：①()f x 的一个周期为π②()y f x =的图象关于直线12x π=对称③()y f x =的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称④()f x 在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．②③④【答案】C【解析】对于①，2T ππω==，故①正确；对于②，12x π=时，(112f π=，函数取得最大值，故②正确；对于③，6x π=-时，()06f π-=，故③正确；对于④，2,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，当712x π=时，7112f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，函数取得最小值，()f x ∴在2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有增有减，故④不正确.故选：C ．7．（2022·全国·高一课时练习）关于函数1()sin sin f x x x=+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的一个周期是πB ．()f x 的最小值为2C ．()f x 在π(0,2上单调递增D ．()f x 的图象关于直线π2x =对称上单调递减，而8．（2022·内蒙古包头·高三开学考试（文））若()sin cos f x x x =+在[]0,a 是增函数，则a 的最大值是（）A ．4πB ．2πC ．34πD ．π9．（2022·全国·高一专题练习）若函数()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()cos 4g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭都在区间()(),0πa b a b <<<上单调递减，则b a -的最大值为（）A ．π3B ．π2C ．6πD ．π10．（2022·全国·高三专题练习）将函数()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,64ππ-上为增函数，则ω最大值为（）A ．32B ．2C ．3D ．11．（2022·全国·高一课时练习多选题）已知直线8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值题型五：三角函数的值域【例1】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））下列函数中，最大值是1的函数是（）A ．|sin ||cos |=+y x xB ．2cos 4sin 4y x x =+-C ．cos tan y x x =⋅D ．y =【例2】（2022·全国·高三专题练习）函数1ππ()sin()cos()363f x x x =++-的最大值是（）A ．43B ．23C ．1D ．13【答案】8【解析】【分析】由题意可得()22sin sin 1f x x x =-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]221,0,1y t t t =-++∈,利用二次函数的性质可求f (x )的最大值．【详解】解:()22cos 2sin 2sin sin 12sin sin 1f x x x x x x x =+=-++=-++,令[]sin 0,1x t ∈＝,可得[]2219212,0,148y t t t t ⎛⎫=-++=--+∈ ⎪⎝⎭,当14t =时,y 取得最大值为98,故答案为:98．【例4】（2022·江西·高三开学考试（文））已知函数()()2πsin sin 022f x x x x ωωωω⎛⎫+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．22⎡-⎢⎥⎣⎦C ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎡-⎢⎣⎦【例5】（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知函数()sin()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在区间,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且对任意实数x 均有4()33f f x f ππ⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则ϕ=（）A ．12πB ．6πC ．4πD ．3π【例6】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22sin s ()3in f x x x π+=+，则()f x 的最小值为（）A ．12B ．14C ．D ．2【例7】（2022·全国·高三专题练习）函数2()cos 2f x x x =+-0,2x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________．【答案】14-##-0.25【解析】【详解】22()1sin 2sin 1f x x x x x =--=--=21sin24x ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以当sin x =时，有最大值14-．故答案为14-.【例8】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin cos 2sin cos 2f x x x x x =+++，则（）A ．()f x 的最大值为3，最小值为1B ．()f x 的最大值为3，最小值为-1C ．()f x的最大值为3，最小值为34D ．()f x的最大值为33【例9】（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程2cos sin 20x x a -+=在02π⎛⎤⎥⎝⎦，内有解，那么实数a 的取值范围（）A ．58a -≤B ．102a -≤≤C ．1122a -＜≤D ．12a -＜≤0【题型专练】1．（2022·江西九江·高一期末）函数()193sin cos 2R 24y x x x =+-∈的最小值是（）A ．14B ．12C ．234-D ．414-2．（2022·河南焦作·高一期末）函数2cos22cos y x x =+的最小值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】C【分析】利用二倍角的降幂公式化简函数解析式，利用余弦型函数的有界性可求得结果.【详解】2cos 22cos cos 2cos 212cos 21y x x x x x =+=++=+ ，min 211y ∴=-+=-.故选：C.3.【2018·北京卷】设函数f （x ）=πcos(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．【答案】23【解析】因为()π4f x f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对任意的实数x 都成立，所以π4f ⎛⎫⎪⎝⎭取最大值，所以()()ππ22π 8463k k k k -=∈∴=+∈Z Z ，ωω，因为0>ω，所以当0k =时，ω取最小值为23.4．（2022·广西南宁·高二开学考试）已知函数ππ()sin ,0,36f x x x ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢，则函数()f x 的最大值为__________．5．（2022·全国·高一课时练习）函数()1sin cos =++f x x x的值域为_____________．6．（2022·全国·高一专题练习）若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的R x ∈，不等式2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤恒成立，则a 取值范围是_________.【答案】(,2]-∞-【分析】根据给定条件，脱去法则“f ”，再利用含sin x 的二次函数求解作答.【详解】因奇函数()f x 在R 上单调递减，则R x ∀∈，2(cos 3sin )(sin )0f x x f x a -+-≤2(cos 3sin )(sin )f x x f a x ⇔-≤-22cos 3sin sin cos 2sin x x a x a x x ⇔-≥-⇔≤-，令222cos 2sin sin 2sin 1(sin 1)2y x x x x x =-=--+=-++，而1sin 1x -≤≤，因此当sin 1x =时，min 2y =-，即有2a ≤-，所以a 取值范围是(,2]-∞-.故答案为：(,2]-∞-【点睛】思路点睛：涉及求含正(余)的二次式的最值问题，可以换元或整体思想转化为二次函数在区间[-1,1]或其子区间上的最值求解.7.【2018·全国Ⅲ】函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3【解析】0πx ≤≤ ，ππ19π3666x ∴≤+≤，由题可知πππ3π336262x x +=+=，或π5π362x +=，解得π4π,99x =，或7π9，故有3个零点.8.（2022·上海市第十中学高一期末）已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =+-（R x ∈）.求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥上的最大值和最小值.9．（2022·湖南·雅礼中学高一期末）已知函数()2cos sin 4f x x a x a =-++-，[]0,x π∈．(1)求()f x 的最小值()g a ；(2)若()f x 在[]0,π上有零点，求a 的取值范围，并求所有零点之和．题型六：三角函数的图像【例1】（2022·陕西师大附中高三开学考试（理））函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<的部分图象如图所示，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需将函数()y f x =的图象（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移12π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度【例2】（2022·陕西·延安市第一中学高一期中）函数()()sin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()2f π的值为（）A ．B ．C ．D ．1-的部分图象知，【例3】（2022·湖南·宁乡市教育研究中心模拟预测）如图表示电流强度I 与时间t 的关系()()()sin 0,0I A x A ωϕω=+>>在一个周期内的图像，则下列说法正确得是（）A ．50πω=B ．π6ϕ=C ．0=t 时，I =D ．1300100t I ==时，【例4】（2022·江苏·沭阳如东中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，则（）A ．2ω=B ．()f x 的图象关于直线23x π=对称C ．()2cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．()f x 在5[,63ππ--上的值域为[2,1]-【例5】（2022·河北·沧县风化店中学高二开学考试多选题）函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，且满足223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，现将()f x 图象沿x 轴向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象.下列说法正确的是（）A ．()g x 在,126ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数B ．()g x 的图象关于56x π=对称C ．()g x 是奇函数D ．()g x 的最小正周期为23π【例6】（2022·福建·高三阶段练习多选题）函数()sin()(0,0,02π)f x A x A ωϕωϕ=+>><<的部分图像如图所示，则（）A ．3π2ωϕ+=B ．(2)2f -=-C ．()f x 在区间()0,2022上存在506个零点D ．将()f x 的图像向右平移3个单位长度后，得到函数π()cos 4g x x ⎛⎫=- ⎪的图像【例7】（2022·江苏南通·高三开学考试多选题）已知函数()()sin 20,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移π12个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间π,2π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递増D ．π6f x ⎛⎫+ ⎪为偶函数【例8】（2022·全国·高一单元测试多选题）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示，下列说法错误的是（）A ．()f x 的图象关于直线23x π=-对称B ．()f x 的图象关于点5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C ．将函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移2π个单位长度得到函数()f x 的图象D ．若方程()f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【题型专练】1．（2022·广东·仲元中学高三阶段练习多选题）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.将函数()f x 的图象向右平移316π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，则（）A ．()2sin 24x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()g x 的图象关于直线8x π=-对称C ．()g x 的图象关于点,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称D ．函数()()f x g x +的最小值为4-2．（2022·湖北·襄阳市襄州区第一高级中学高二阶段练习多选题）函数()()()2sin 0,f x x ωϕωϕπ=+><的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 33f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图像上的所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，则函数()g x 在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位长度，得到函数()h x 的图像，则函数()h x 是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪恒成立，则a 的取值范围为)2,+∞3．（2022·安徽·高三开学考试）已知函数π()2sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中ππ,2,,0123A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法错误的是（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．将()f x 的图象向右平移6π个单位长度后关于原点对称C ．()f x 在2ππ,3⎡⎤--⎢⎣⎦上单调递减D ．直线7π12x =为()f x 图象的一条对称轴4．（2022·天津·南开中学高三阶段练习）已知函数π()sin()(R,0,0,)2f x A x x A ωϕωϕ=+∈>><的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．直线πx =是()f x 图象的一条对称轴B ．()f x 图象的对称中心为π(π,0)12k -+，Z k ∈C ．()f x 在区间ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后，可得到一个奇函数的图象5．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试多选题）函数()()sin 0,0,0πy A x A ωϕωϕ=+>><<在一个周期内的图象如图所示，则（）．A ．该函数的解析式为2π2sin 33y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．该函数图象的对称中心为ππ,03k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，Zk ∈C ．该函数的单调递增区间是5ππ3π,3π44k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Zk ∈D ．把函数π2sin 3y x ⎛⎫=+ ⎪的图象上所有点的横坐标伸长为原来的32倍，纵坐标不变，可得到该函数图象6．（2021·福建·福州十八中高三开学考试多选题）已知函数()sin()(010f x x ωϕω=+<<，0π)ϕ<<的部分图象。
三角函数的图像与性质复习教案
三角函数的图像与性质复习教案一、教学目标：1. 回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 提高学生对三角函数图像与性质的理解和运用能力。
3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容：1. 三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 三角函数的周期性及其图像。
3. 三角函数的奇偶性及其图像。
4. 三角函数的单调性及其图像。
5. 三角函数的极值及其图像。
三、教学重点与难点：1. 三角函数的周期性及其图像。
2. 三角函数的奇偶性及其图像。
3. 三角函数的单调性及其图像。
4. 三角函数的极值及其图像。
四、教学方法：1. 采用讲解法，引导学生回顾和巩固三角函数的图像与性质的基本概念和公式。
2. 采用案例分析法，分析三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的图像特点。
3. 采用练习法，让学生通过练习题目的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学过程：1. 导入：通过复习三角函数的图像与性质的基本概念和公式，激发学生的学习兴趣。
2. 讲解：讲解三角函数的周期性及其图像，引导学生理解周期性的含义和周期函数的图像特点。
3. 分析：分析三角函数的奇偶性及其图像，引导学生理解奇偶性的含义和奇偶函数的图像特点。
4. 讲解：讲解三角函数的单调性及其图像，引导学生理解单调性的含义和单调函数的图像特点。
5. 分析：分析三角函数的极值及其图像，引导学生理解极值的含义和极值函数的图像特点。
6. 练习：布置练习题目，让学生通过练习的形式，巩固所学知识，提高解决问题的能力。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调三角函数的图像与性质的重要性。
教学反思：在教学过程中，要注意引导学生理解和掌握三角函数的图像与性质的基本概念和公式，提高他们对三角函数图像与性质的理解和运用能力。
要关注学生的学习情况，及时进行反馈和指导，帮助他们解决学习中的问题。
六、教学评价：1. 通过课堂讲解和练习，评价学生对三角函数图像与性质的基本概念和公式的掌握程度。
高考数学一轮复习 三角函数的图象及性质教案 理 教案
某某省东北师X大学附属中学2015届高考数学一轮复习三角函数的图象及性质教案理知识梳理：(阅读教材必修4第30页—第72页)1、三角函数的图象及性质函数正弦函数余弦函数正切函数图象定义域值域单调性奇偶性周期性对称中心对称轴2、周期函数：对于函数如果存在一个非零常数T，使得当x取定义内的每一个值时，都有=，那么函数就叫做周期函数，非零常数T叫做函数的周期；最小正周期：对于周期函数，如果在它的所有周期中，存在一个最小正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期，常把最小正周期叫做函数的周期。
3、三角函数的图象的画法：（1）、利用三角函数线的几何画法；（2）、利用变换法（3）、五点法作图4、三角函数方程与三角不等式的解法主要根据三角函数的图象，先找出在一个周期内的方程或不等式的解，再写出和它们终边相同的角的集合。
探究一：三角函数的定义域问题例1：（1）、求函数的定义域；（2）、求函数的定义域；（3）、求函数的定义域。
探究二：三角函数的最值问题例2：(2014某某)（本小题满分13分）已知函数()23cos sin 3cos 34f x x x x π⎛⎫=⋅+-+ ⎪⎝⎭，x R ∈. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 【答案】 （1） π（2）41,21-本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角公式与余弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识. 考查基本运算能力. 满分13分.（Ⅰ）解：由已知，有cosx(sinxcos +cosxsin )-= sinxcosx-cos 2x+=+=(1+cos2) +==所以，f x 的最小正周期T==例3：（2014新课标2 理科）.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.探究三：三角函数的图象与性质例4：设函数f(x)的图角的一条对称轴是(1): 求；(2): 求函数的单调区增区间例5：函数在区间[]上的最大值为1，求探究四：三角函数的值域例6：+)例7：sinx+cosx+sinxcosx+1 ，x]例8：一、方法提升1、求三角函数的定义域常用的方法：通过解不等式最后化成一个三角函数值的X围，再利用三角函数的图象或三角函数线求解，若需要解三角不等式组，要注意运用数轴取交集；2、求三角函数的值域或最值常用方法：（1）将三角函数关系式化成一角一函数的形式，利用三角函数的有界性或三角函数的单调性来解；（2）将三角函数关系式化成一个角的三角函数式的二次函数式，利用配方或二次函数的图象求解，要注意变量的X围；（3）数形结合法、换元法。
高考数学三角函数的图像与性质
课堂考点探究
[-1,1]
[思路点拨]设t=sin x-cos x,先将原函数化为关于t的二次函数,注意t的取值范围,再求值域;[解析]设t=sin x-cos x,-1≤t≤,则t2=sin2x+cos2x-2sin xcos x,即sin xcos x=,所以原函数等价于y=-+t+=-(t-1)2+1.当t=1时,ymax=1;当t=-1时,ymin=-1.所以函数f(x)的值域为[-1,1].
D
(2)函数y=lg(2sin x+1)的定义域为( )A. B.C. D.
课堂考点探究
[思路点拨] 根据对数函数的定义域可得2sin x+1>0,求解即可;[解析]由2sin x+1>0,得sin x>-,即2kπ-<x<2kπ+,k∈Z,∴函数y=lg(2sin x+1)的定义域为.故选D.
D
B
[总结反思](1)对于函数f(x)=Asin(ωx+φ),其图像的对称轴一定经过函数图像的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点,因此在判断直线x=x0或点(x0,0)是否是函数图像的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断.(2)函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像的对称性与最小正周期T之间有如下结论:①若函数图像的相邻两条对称轴分别为直线x=a与直线x=b,则最小正周期T=2|b-a|; ②若函数图像相邻的两个对称中心分别为点(a,0)与点(b,0),则最小正周期T=2|b-a|;③若函数图像相邻的对称中心与对称轴分别为点(a,0)与直线x=b,则最小正周期T=4|b-a|.
三角函数的性质
(2)T = 2π
2π (3)T = |ω |
师生互动
使 y = sin ω x(ω > 0) 在 [ 0,1] 内至少出现2次最大值，则
ω 的最小值为（ A ） 5π A、 A、 2
C、 、
B、 B、
π
5π 4 3π D、 、 2
题型五： 题型五：三角函数的单调性 例5、求下列函数的单调递增区间
π
3 (1)[kπ − , kπ + π ](k ∈ Z ) 8 8
(2)整理得y = −3sin( − ) 3 6 所以单调递增区间为 x ∈ [6kπ + 2π , 6kπ + 5π ](k ∈ Z )
（3）y = sin 2 x + 3 cos 2 x ）
(3)原式 = 2sin(2 x + ) 3 所以函数的单调递增区间为 5 π x ∈ [kπ − π , kπ + ](k ∈ Z ) 12 12
π
互动探究
求下列函数的定义域
（1） y = sin x + 25 − x 2 （2） y = 2 sin x − 2 + 2 cos x − 1
互动探究
求25 − x 2 （1）
[−5, −π ] U [0, π ]
（2） y = 2 sin x − 2 + 2 cos x − 1
A.
x=−
2
B.
x=−
4
C.
x=
π
8
D.
5π x= 4
A ）
题型四： 题型四：三角函数的周期性 例4、求下列函数的周期
（1）
范例解析
y = sin 2 x
π
三角函数的图像与性质教案
三角函数的图像与性质优秀教案一、教学目标：1. 知识与技能：使学生掌握三角函数的图像与性质，能够运用三角函数解决实际问题。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生探索三角函数的图像与性质。
3. 情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和团队协作能力。
二、教学内容：1. 三角函数的定义与图像2. 三角函数的周期性3. 三角函数的奇偶性4. 三角函数的单调性5. 三角函数的极值三、教学重点与难点：1. 教学重点：三角函数的图像与性质的掌握。
2. 教学难点：三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数的图像与性质。
2. 利用多媒体手段，展示三角函数的图像，增强学生的直观感受。
3. 组织小组讨论，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程：1. 导入新课：通过复习初中阶段学习的三角函数知识，引导学生进入高中阶段的学习。
2. 探究三角函数的图像与性质：引导学生观察三角函数的图像，分析其特点，归纳出性质。
3. 讲解与示范：教师讲解三角函数的周期性、奇偶性、单调性和极值的判断方法，并进行示范。
4. 练习与反馈：学生进行课堂练习，教师及时给予反馈，巩固所学知识。
5. 总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业：布置相关作业，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。
教案编写完毕，仅供参考。
如有需要，请根据实际情况进行调整。
六、教学评价：1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，以及小组讨论的表现，评价学生的学习态度和团队协作能力。
2. 作业评价：对学生的课后作业进行批改，评价学生对课堂所学知识的掌握程度。
3. 单元测试评价：在单元结束后进行测试，评价学生对三角函数图像与性质的掌握情况。
七、教学策略：1. 针对不同学生的学习基础，采取分层教学，使所有学生都能跟上教学进度。
六种三角函数性质
六种三角函数性质、公式三角函数包括。
它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx.反三角函数：arcsinx arccosxarctanx arccotx函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx定义域R R ｛x｜x∈R且x≠kπ+2π,k∈Z｝｛x｜x∈R且x≠kπ,k∈Z｝值域［-1，1］x=2kπ+2π时y max=1x=2kπ-2π时y min=-1［-1,1］x=2kπ时y max=1x=2kπ+π时y min=-1R无最大值无最小值R无最大值无最小值周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数单调性在［2kπ-2π,2kπ+2π］上都是增函数；在在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数；在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数在(kπ-2π，在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k∈Z)y=secx的性质：(1)定义域,{x|x≠π/2+kπ,k∈Z}(2)值域,｜secx｜≥1．即secx≥1或secx≤－1;(3)y=secx是偶函数，即sec(－x)=secx．图像对称于y轴;(4)y=secx是周期函数．周期为2kπ(k∈Z，且k≠0)，最小正周期T=2π．（5）正割与余弦互为倒数；余割与正弦互为倒数；（6）正割函数无限趋于直线x=π/2+Kπ；(7) 正割函数是无界函数；（8）正割函数的导数：（secx）′=secx×tarx；（9正割函数的不定积分：∫secxdx=ln∣secx+tanx∣+Cy=cscx的性1、定义域：{x|x≠kπ，k∈Z}2、值域：{y|y≤-1或y≥1}3、奇偶性：奇函数4、周期性：最小正周期为2π5、图像：图像渐近线为：x=kπ ，k∈Z 余割函数与正弦函数互为倒数第一部分三角函数公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式·两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)=sinα/(1-cosα) ·和差化积[/url]公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·积化和差[/url]公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·倍角公式[/url]：sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2tan(2α)=2tanα/(1-tan^2α)cot(2α)=(cot^2α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec^2α/(1-tan^2α)csc(2α)=1/2*secα·cscα·三倍角公式：sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot^3α-3cotα)/(3cot^2α-1)·n倍角公式：sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…·半角公式[/url]：sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinαsec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))·辅助角公式：Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)sin(α+φ）（tanφ=B/A）Asinα+Bcosα=√(A^2+B^2)cos(α-φ）（tanφ=A/B）·万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))·降幂公式sin^2α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos^2α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan^2α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))·三角和的三角函数：sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·si nγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·co sγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)·其它公式1+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot21+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^21+sin(a)=(sin(a/2)+cos(a/2))^2 1-sin(a)=(sin(a/2)-cos(a/2))^2 csc(a)=1/sin(a) sec(a)=1/cos(a)cos30=sin60sin30=cos60·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα-cotα=-2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=[sin(α/2)+cos(α/2)]^2。
高考数学复习 三角函数的单调性、奇偶性、周期性 新人教A版
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延伸·拓展
5.设f(x)是(-∞，+∞)上的函数，且f(x+2)=-f(x)对任意x∈R 成立．若x∈[-1，1]时，f(x)=x3； ①求x∈[1，5]时，f(x)的解析式； ②求f(-5)的值
【解题回顾】若要求求出x∈R时，f(x)的解析式，又该怎样 做?
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误解分析
1.判断三角函数的奇偶性，若不先关注定义域是否关于原 点对称，常常会得出错误的结论
φ=kπ/2+π/4，k∈Z
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能力·思维·方法
1.判断下列函数的奇偶性：
(1)ysinxcoxt 1coxs
( 2 ) y ls g x i n 1 s2 i xn
(3)y1sinxcoxs 1sinxcoxs
【解题回顾】判断函数的奇偶性时，有些学生往往只注 意：f(-x)=-f(x)，或f(-x)=f(x).而不考虑该函数定义域是否 关于原点对称，这是造成解题错误的重要原因.
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4.已知函数f(x)=log(1/2)(sinx-cosx)， (1)求它的定义域和值域； (2)求它的单调区间； (3)判定它的奇偶性； (4)判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期
【解题回顾】函数的单调性， 复合函数的增减性，可按增减为减、增增为增、减减为增 的法则判断．
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3.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4，当f(2001)=5时，
f(2002)=( ) B
(A)1
(B)3
(C)5
(D)7
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4.函数y=2sin2x+sin2x是( D ) (A)以2π为周期的奇函数 (B)以2π为周期的非奇非偶函数 (C)以π为周期的奇函数 (D)以π为周期的非奇非偶函数
三角函数的周期性、奇偶性、对称性-高考数学复习
π
直线 x ＝ 对称，则函数 g ( x )＝
6
sin x ＋ a cos x 的图象(
C )
(1)因为函数 f ( x )＝ a sin x ＋ cos x ( a 为常数， x ∈R)的图象关于直线 x
π
π
＝ 对称，所以 f (0)＝ f
6
3
＝ sin x ＋
3
2 3
cos x ＝
sin
3
3
，所以1＝
π
＝ k π， k ∈Z，即φ＝ k π－ ， k ∈Z.
4
π
＋＋
4
π
为奇函数，所以φ＋
4
因此，选项D正确.
3.
π
(2024·河北衡水模拟)已知 x 0＝ 是函数 f ( x )＝
6
cos
π
2
− 3 cos φ＋
cos 3 x sin φ的一个极小值点，则 f ( x )的一个单调递增区间是(
＋
则f
π
−
4
＝－ 2 sin 2 −
π
4
＝ 2 cos 2 x ，为偶函数，A正确.
π
π
令2 x ＝ ＋ k π， k ∈Z，则 x ＝ ＋ π， k ∈Z，
2
4
2
π
即 f ( x )的对称轴为 x ＝ ＋ π， k ∈Z，B错误.
4
2
因为 x ∈
π
π
，
3
2
，所以2 x ∈
所以 f ( x )单调递增，C正确.
(1)(2024·江苏苏州模拟)已知函数 f ( x )＝ cos (π－ x )－ cos
C. π
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1.会判断三角函数的单调性，并能求岀其单调区间•会应用单调性比较两个函
数值的大小.
2•能运用奇偶性定义判断三角函数的奇偶性.
3.了解周期函数和最小正周期，会求一些简单函数的最小正周期.
二、知能达标:
5
1.函数 y sin(- 2
姓名 课题 三角函数的单调性，奇偶性，周期性
一、方法点拨: 2x)是
A 奇函数
C 非奇非偶函数
D 以上都不对 2.下列命题正确的个数是 (1) y sin x 在第一象限单调递增 (2) y tan x 在定义域内单调递增
(3) y sin x 是周期函数. (4) y sin x -的最小正周期是 2
3函数y
sin( 2x —)的递减区间是
(x 1)
sin ------ 的单调递增区间是
2
4.求下列函数的最小正周期.
2 (2) y 2 3sinxcosx 2cos x 1 T
函数y 2
(1)y sin x O T
sin (x (x) 7.若函数 f (x)有最大 z)，且, f(x) 8设函数 值4，且 f(6) 是 f (x) 0的根，求tan(。