研究生数值分析试卷
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1
I(a,b) 2
ax
2
b x dx
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（A 卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： ________ 学号： ________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、 （15分）设求方程12 3x 2cosx 0根的迭代法
/ 2
X ki 4 cosx k
3
（1） 证明对X o R ,均有lim X k x *,其中X *为方程的根.
k
（2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.
二、 （12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
x 1 2x 2 2x 3 1, X 1 X 2 X 3 1, 2x 1 2x 2 x 3
0.
0 0a
非病态的。（范数用HI ）
求f （X ）的Hermite 插值多项式H 3（x ），并给出截断误差R （x ） f （x ） H 3（x ） 五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x （T ）的试验数据为
已知经验公式的形式为 y ax bx 2，试用最小二乘法求出
a ， b
、（8分）若矩阵A 2a a 0
0 a 0，说明对任意实数a
0，方程组AX b 都是
四、（15六、（12分）确定常数 a ，b 的值，使积分
、（15分）设求方程 12 3x 2cosx 0根的迭代法
取得最小值。
七、（14分）已知Legendre 勒让德）正交多项式L n （x ）有递推关系式:
L o (x) 1, L i (x) x (n 1, 2,)
试确定两点的咼斯一勒让德（G — L ）求积公式
1
1 f （x ）dx 入仁花）A 2f （x 2）
的求积系数和节点，并用此公式近似计算积分
1
2 一
e x dx
1
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值冋题
dx f （x,y ）的单步法: y （x 。） y 。
1
1 y n 1 y n h(?k 1 - k 2)
k 1 f(X n ,y n )
k 2
f(X n h, y n hkj
（1） 验证它是二阶方法； （2） 确定此单步法的绝对稳定域。
2005~2006学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
X 1 2x 2 2x 3 1, X 1 X 2 X 3
1, 2x 1 2x 2 x 3
0.
L n 1(X )
2n 1
n 1
xL n (x) L n 1（X ）
2 x k1 4 cosx k 3
（1）
证明对 x o
R ,均有lim X k x ，其中x 为方程的根.
k
（2） 此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论.
求f （x ）的Hermite 插值多项式H s （x ），并给出截断误差R （x ） f （x ） H 3（x ）
五、（10分）在某个低温过程中，函数 y 依赖于温度x 「C ）的试验数据为
取得最小值
七、（14分）对于求积公式： b
n
(x)f (x)dx
A k f (X k ),其中：(x)是区间(a,b)
a
上的权函数。
（1） 证明此求积公式的代数精度不超过 2n-1次; （2） 若此公式为Gauss 型求积公式，试证明
y ax bx 2，试用最小二乘法求出
a ,
b 。
六、（12
分）确定常数 a , b 的值，使积分
2
2
A k
k 1
(x)dx
y n i y n h (2 k i - k 2) k i f(X n 』n ) k 2
f (X n h, y n
hk i )
（3） 验证它是二阶方法； （4） 确定此单步法的绝对稳定域。
2006~2007学年第一学期硕士研究生期末考试试题（B 卷）
科目名称：数值分析 学生所在院： _______ 学号： _________ 姓名： ______ 注意：所有的答题内容必须答在答题纸上，凡答在试题或草稿纸上的一律无效。 一、（12分）讨论分别用Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法求解下列方程组的 收敛性。
、（15分）设（X ）导数连续，迭代格式X k 1 （X k ） 一阶局部收敛到点x *。构
造新的迭代格式：
X k 1 X k
（X k ）
问如何选取常数 及，使新迭代格式有更高的收敛阶，并问是几阶收敛 四、（15分）已知y f （x ）的数据如下：
八、（14分）对于下面求解常微分方程初值冋题
dx f （x,y ）的单步法: y （x 。） y 。
X 1 2x 2 2x 3 、（8 分） X 1 2x 1 X 2 X 3 2X 2
X 3
1, 1, 0.
若矩阵A
2a
0 0
0，说明对任意实数a 0，方程组AX b 都是 非病态的。 （范数用|| ||