青岛二中2020-2021学年高二上学期数学周考十(文A+)

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2020-2021学年山东省新高考测评联盟上学期高二10月联考数学试题(解析版)

2020-2021学年山东省新高考测评联盟上学期高二10月联考数学试题一、单选题1．点()3,4,5P -关于xOz 平面对称的点的坐标是（）A ．()3,4,5B ．()3,4,5--C ．()3,4,5--D ．()3,4,5--【答案】B【解析】本题根据关于坐标平面对称的点的坐标直接求解即可.【详解】解：因为点(,,)x y z 关于xOz 平面对称的点的坐标是(,,)x y z -，所以点()3,4,5P -关于xOz 平面对称的点的坐标是()3,4,5--，故选：B.【点睛】本题考查求点关于坐标平面对称的点的坐标，是基础题.2．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为（）A 2B ．42C ．82D ．22【答案】C 【解析】由原图的面积是直观图面积的22.【详解】已知直观图OA B C '''的面积为4, 所以原图的面积为22482=，故选：C【点睛】本题主要考查了斜二测画法，切要掌握原图的面积是直观图面积的22倍，属于基础题.3．如图所示，在三棱锥A BCD -中，点F 在棱AD 上，且3AF FD =，E 为BC 中点，则FE 等于（）A ．113224AC AB AD --+ B ．113224AC AB AD +- C ．112223AC AB AD -+- D ．112223AC AB AD -+ 【答案】B【解析】根据空间向量的线性运算求解即可.【详解】 ()1311324224EF EB BA AF AB AC AB AD AC AB AD =++=--+=--+，所以，113224FE EF AC AB AD =-=+- 故选：B【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算,属于基础题.4．已知αβ⊥且l αβ=，m α⊂则“m β⊥”是“m l ⊥”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题先判断充分性满足，再判断必要性满足，最后给出答案.【详解】解：充分性：因为l β⊂，m β⊥，所以m l ⊥，所以充分性满足；必要性：因为αβ⊥且l αβ=，m α⊂，m l ⊥，所以m β⊥，所以必要性满足.所以“m β⊥”是“m l ⊥”的充要条件故选：C【点睛】本题考查充要条件的判断、线面垂直与线线垂直的判断，是基础题5．现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（） A ．3πB ．3π2C ．5π2D ．5π 【答案】D【解析】由已知条件知，圆锥的高h 和底面直径2r 都为2，即可求圆锥的母线长l ，利用圆锥侧面积公式S rl π=求面积即可.【详解】同底等高的圆锥和圆柱，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，知：圆锥的高h 和底面直径2r 都为2， ∴圆锥的母线长为：225l h r =+=，有侧面积5S rl ππ==.故选：D【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求法，结合圆柱、正方形的性质，并应用了圆锥侧面积公式S rl π=，属于简单题.6．在我们身边，随处都可以看到各种物体的影子.现有一边长为5米的正方形遮阳布，要用它搭建一个简易遮阳棚，正方形遮阳布所在平面与东西方向的某一条直线平行.设正南方向射出的太阳光线与地面成60°角，若要使所遮阴影面的面积最大，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【答案】A【解析】由题意画出图像，虚线表示光线，AB 边表示遮阳布，5AB c ==，设,,ABC BC a AC b θ∠===，在ABC 中，求出53sin 5cos 3a θθ=+，再利用辅助角公式得到()103sin 60a θ=+︒，要使面积最大，则a 最大即可得出结果. 【详解】如图，虚线表示光线，AB 边表示遮阳布，即5AB c ==，设,,ABC BC a AC b θ∠===，那么遮阳布所在平面与阴影面所成角的大小为θ，则60C ∠=°，作AD BC ⊥交BC 于点D ，那么如图构成的ABC 中有：则1sin 53cos 5cos 2sin 603c a c θθθθ=+⨯=+︒，由辅助角公式得：()10360a θ=+︒，要使面积最大，则a 最大，当6090θ+︒=︒，即30θ=︒.故选：A.【点睛】本题主要考查了辅助角公式以及解三角形的问题.属于中档题. 72ABCD 沿对角线AC 折起，使得2BD =，则异面直线AB 和CD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．2C ．32D 6【答案】A【解析】分别取AC ，BD ，BC 中点为E ，F ，G ，则有//FG CD ，//EG AB ，得到FGE ∠为异面直线AB 与CD 所成的角，然后根据正方形的边长和BD 的长度，利用中位线及直角三角形中线定理求得EF ，FG ，EG 的长度求解.【详解】如图所示：分别取AC ，BD ，BC 中点为E ，F ，G ，连接BD ，EF ，EG ，FG ，DE ，EB ，则//FG CD ，//EG AB ，所以FGE ∠为异面直线AB 与CD 所成的角， 22FG =，2EG =，在等腰直角三角形ABC 中，因为2AB BC ==所以2AC =.因为点E 为AC 的中点，所以112BE AC ==，同理可得，1DE =.因为2222BE DE BD +==，所以BED 是等腰直角三角形.又因为点F 为BD 的中点，所以1222EF BD ==在EFG 中，2FG EG EF ===，所以EFG 是等边三角形，所以 60FGE ∠=，所以 1cos cos602FGE ∠==. 故选：A .【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，还考查了转化化归的思想和空间想象，运算求解的能力，属于中档题.8．如图所示，在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAC ，PA AB ⊥，4PA AB ==，且E 为PB 的中点，AF PC ⊥于F ，当AC 变化时，则三棱锥P AEF -体积的最大值是（）A ．23B ．2C 42D ．523【答案】C【解析】由题意知P AEF E PAF V V --=且216||||316||E PAF AC BC V AC -⋅=⋅+，令||AC a =，结合换元法、二次函数最值求P AEF -体积的最大值即可.【详解】在三棱锥P ABC -中，BC ⊥平面PAC ，4PA AB ==知：222||||||16AC BC AB +==，而1||||2||2PAC SAC PA AC =⋅⋅=，而P AEF E PAF V V --=且1||32E PAF PAF BC V S -=⋅⋅，又222||||||PAF PAC PA S S PA AC =⋅+∵E 为PB 的中点，知：21||16||||32316||E PAF PAF BC AC BC V S AC -⋅=⋅⋅=⋅+∴设||AC a =，则||BC =216316E PAF V a -=⋅+，令21616m a =+≥，有161633E PAF V -==令11(0,]16x m =∈，163E PAF V -=而由二次函数2()512481f x x x =-+-的性质知：364x =时有最大值为18，∴E PAF V -最大值为1633=，故选：C【点睛】本题考查三棱锥的体积计算，结合换元法、二次函数最值求三棱锥体积最值，注意换元过程中定义域的等价变化.二、多选题9．下面关于空间几何体叙述不正确的是（）A ．底面是正多边形的棱锥是正棱锥B ．棱柱的侧面都是平行四边形C ．直平行六面体是长方体D ．直角三角形以其一边所在直线为轴旋转一周形成的几何体是圆锥【答案】ACD【解析】在A 中，棱锥顶点在底面投影必须是底面正多边形的中心，即可判断A ；在B 中，棱柱的侧面都是平行四边形是正确的；在C 中，直平行六面体底面是平行四边形侧棱垂直于底面即可，即可判断C ；在D 中，以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体不是圆锥，即可判断D【详解】对于A ：底面是正多边形且棱锥顶点在底面投影必须是底面正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故选项A 不正确；对于B ：棱柱的侧面都是平行四边形是正确的，故选项B 正确；对于C ：直平行六面体底面是平行四边形侧棱垂直于底面，不一定是长方体，故选项C 不正确；对于D ：以直角三角形斜边所在的直线为旋转轴时，所形成的几何体是两个同底的圆锥，故选项D 不正确；故选：ACD【点睛】本题主要考查了棱锥、棱柱、和和圆锥的结构特征，属于基础题.10．设{},,a b c 是空间的一组基底，则下列结论正确的是（）A ．a ，b ，c 可以为任意向量B ．对空间任一向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++C ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥D ．{}2,2,2a b b c c a +++可以作为构成空间的一组基底【答案】BD【解析】根据可作为基底的一组向量的性质，结合向量垂直、共线的判定，判断各选项的正误即可.【详解】A 选项：a ，b ，c 为不共线的非零向量；B 选项：由向量的基本定理知，空间任一向量p ，存在唯一有序实数组(),,x y z ，使p xa yb zc =++；C 选项：a b ⊥，b c ⊥，则,a c 不一定垂直；D 选项：{}2,2,2a b b c c a +++中三个向量间无法找到实数λ使得它们之间有λ=m n 的等式形式成立，即可以构成基底.故选：BD【点睛】本题考查了向量的基本定理，理解作为基底向量的非零、不共线性质，应用向量垂直、共线判定正误. 11．如图所示，有一正四面体形状的木块，其棱长为a ，点P 是ACD △的中心.劳动课上，需过点P 将该木块锯开，并使得截面平行于棱AB 和CD ，则下列关于截面的说法中正确的是（）A ．截面与侧面ABC 的交线平行于侧面ABDB ．截面是一个三角形C ．截面是一个四边形D ．截面的面积为24a 【答案】AC【解析】先作出符合题意的截面，分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点），四边形EMNF 是平行四边形，即为所作截面，即可逐一判断四个选项的正误.【详解】因为正四面体的四个面都是等边三角形，点P 是ACD △的中心，所以P 位于CD 中线的23处，分别取BC 、AC 、BD 、AD 的三等分点E 、M （靠近C 点），F 、N （靠近D 点），则//EM AB ，//EF CD ，且截面EMNF 经过点P ，满足题意，因为//EM FN 且=EM FN ，所以四边形EMNF 是平行四边形，平面EMNF ⋂平面ABC EM =，//EM FN ，NF ⊂平面ABD ，所以//EM 平面ABD ，所以选项A 正确；截面是一个四边形，故选项B 不正确；选项C 正确；四边形EMNF 是边长为23a 的菱形，所以面积不是24a ，故选项D 不正确，故选：AC【点睛】本题主要考查了线面平行判断的应用以及空间几何体的截面图形，属于中档题12．如图所示，已知二面角A BD C --的大小为π3，G ，H 分别是BC ，CD 的中点，E ，F 分别在AD ，AB 上，13AE AF AD AB ==，且AC ⊥平面BCD ，则以下说法正确的是（）A ．E ，F ，G ，H 四点共面B ．//FG 平面ADCC ．若直线FG ，HE 交于点P ，则P ，A ，C 三点共线D ．若ABD △的面积为6，则BCD 的面积为3【答案】ACD【解析】A 选项：先证明得到//EF BD ，再证明得到//GH BD ，最后证明//EF GH 并判断A 选项正确；B 选项：先假设//FG 平面ADC 成立得到F 是AB 的中点，再与13AF AB =产生矛盾，判断B 选项错误；C 选项：先得到P ∈平面ABC 和P ∈平面DAC ，再证明P AC ∈，判断C 选项正确；D 选项：因为二面角A BD C --的大小为π3，AC ⊥平面BCD ，所以点A 到直线BD 的距离是点C 到直线BD 的距离的2倍，故ABD CBD SS =，故D 选项正确；【详解】解：A 选项：在ABD △中，因为13AE AF AD AB ==，所以//EF BD ，在BCD 中，因为G ，H 分别是BC ，CD 的中点，所以//GH BD ，所以//EF GH ，所以E ，F ，G ，H 四点共面，故A 选项正确； B 选项：假设//FG 平面ADC 成立，因为平面ABC 平面DAC AC =，所以//FG AC ，又G 是BC 的中点，所以F 是AB 的中点，与13AF AB =矛盾，故B 选项错误； C 选项：因为FG ⊂平面ABC ，P FG ∈，所以P ∈平面ABC ，同理P ∈平面DAC ，因为平面ABC平面DAC AC =，所以P AC ∈，所以P ，A ，C 三点共线，故C 选项正确；D 选项：因为二面角A BD C --的大小为π3，AC ⊥平面BCD ，所以点A 到直线BD 的距离是点C 到直线BD 的距离的2倍，故ABD CBD SS =，故D 选项正确；故选：ACD【点睛】本题考查证明空间四点共面、证明线面平行、证明三点共线，是中档题.三、填空题13．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，45PBA ∠=，60PBC ∠=，则ABC ∠为______. 【答案】45【解析】作出图形，设2AB =，过点A 在平面ABC 内作AD BC ⊥，连接PD ，计算出BD ，进而可求得ABC ∠的值. 【详解】①当ABC ∠为锐角时，如下图所示：设2AB =，过点A 在平面ABC 内作AD BC ⊥，垂足为点D ，连接PD ，PA ⊥平面ABC ，BC 、AB 平面ABC ，PA AB ∴⊥，PA BC ⊥，45PBA ∠=，所以，PAB △为等腰直角三角形，且2PA AB ==，2222PB PA AB ∴=+=，AD BC ⊥，PA BC ⊥，AD PA A ⋂=，BC ∴⊥平面PAD ， PD ⊂平面PAD ，PD BC ∴⊥，60PBC ∠=，cos 22cos602BD PB PBC ∴=∠==AD BC ⊥，所以，2cos 2BD ABC AB ∠==，则45ABC ∠=； ②若ABC ∠为直角，则BC AB ⊥，又PA BC ⊥，PAAB A =，BC ∴⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，BC PB ∴⊥，这与60PBC ∠=矛盾；③若ABC ∠为钝角，过点A 在平面ABC 内作AD BC ⊥，垂足为点D ，如下图所示：则点D 在射线CB 上，由①同理可知PD BC ⊥，进而可知PBD ∠为锐角，则PBC ∠为钝角，这与60PBC ∠=矛盾，不合乎题意.综上所述，45ABC ∠=. 故答案为：45. 【点睛】本题考查三棱锥中角的计算，考查计算能力，属于中等题.14．如图所示，已知平行六面体1111ABCD A BC D -中，2AB AD ==，14AA =，1160BAA DAA BAD ∠=∠=∠=︒.M 为1CC 的中点，则AM 长度为______.【答案】26【解析】利用空间向量的加法得到11112AM AC C M AB AD AA =+=++，然后再由22112AMAB AD AA ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，利用空间向量的数量积求解.【详解】因为11112AM AC C M AB AD AA =+=++，所以22222111111224AMAB AD AA ABADAA AB AD AA AB AD AA ⎛⎫=++=+++⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭，222111122422242424222=++⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯， 24=，所以26AM =故答案为： 26 【点睛】本题主要考查空间两点间距离的向量的求法，还考查空间想象和运算求解的能力，属于中档题.15．如图所示，在四面体A BCD -中，ABC 为正三角形，四面体的高3AH =，若二面角A BC D --的大小为π3，则ABC 的面积为______.【答案】43【解析】利用正三角形的性质，结合二面角的定义、线面垂直的判定定理和性质、三角形面积公式进行求解即可【详解】取BC 的中点E ，连接,EA EH ，设正三角形ABC 的边长为a ，由正三角形的性质可得AE BC ⊥，由勾股定理可得：2213()22AE AB BC a =-=，因为AH 是四面体A BCD -的高，所以AH ⊥平面BCD ，而BC ⊂平面BCD ，所以AH BC ⊥，而AHAE A =，,AH AE ⊂平面AHE ，因此BC ⊥平面AHE ，因为HE ⊂平面AHE ，所以有BC HE ⊥，因此AEH ∠是二面角A BC D --的平面角，所以3AEH π∠=，在RtAEH 中，sin sin 433AH AEH a AE a π∠=⇒=⇒=，因此ABC 的面积为：13344432a a ⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：43 【点睛】本题考查了二面角的定义，考查了线面垂直的判定定理和性质应用，考查了数学运算能力和推理论证能力. 16．《九章算术》是西汉张苍等辑撰的一部数学巨著，被誉为人类数学史上的“算经之首”.书中“商功”一节记录了一种特殊的锥体，称为鳖臑（biēnào ）.如图所示，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，则该三棱锥即为鳖臑.若2AB =且三棱锥外接球的体积为36π，则PB AC +长度的最大值是______.【答案】45【解析】由三棱锥外接球体积求半径为3R =，根据已知条件知PA 与AC 构成平面一定是外接球过球心的截面，即可得222||||44PA AC R =+而222||||||PB PA AB =+，结合基本不等式求PB AC +最大值即可. 【详解】设三棱锥外接球的半径为R ，由体积为36π，知：34363R ππ=，即3R =，又∵PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，知：面ABC 的外接圆半径为2AC r =，即有：222||||944PA AC R =+=，有22||||36PA AC +=，而在Rt PAB 中2AB =，2222||||||||4PB PA AB PA =+=+，∴22||||40PB AC +=，而222(||||)2(||||)80PB AC PB AC +≤+=，当且仅当||||PB AC =时等号成立，∴||||PB AC +≤故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥外接球问题、以及应用基本不等式求最值，注意理解当三棱锥中有一条棱垂直于底面时底面外接圆半径、球半径与这条棱之间的关系. 四、解答题17．已知(),1,3a x =-，()1,2,1b =-，()1,0,1c =，()//2c a b +. （1）求实数x 的值；（2）若()()a b a b λ-⊥+，求实数λ的值. 【答案】（1）2；（2）917λ=. 【解析】（1）根据,2c a b +共线，设()2c a b λ=+，再根据对应坐标相等求解出x 的值；（2）先用坐标表示出,a b a b λ-+，然后根据向量垂直对应的数量积为0求解出λ的值. 【详解】（1）()()()22,1,31,2,121,0,5a b x x +=-+-=+. ∵ ()//2c a b +， ∴ 设()()20c a b λλ=+≠，∴ ()()()1,0,121,0,5x λλ=+，∴ ()211,51,x λλ⎧+=⎨=⎩即1,52,x λ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴x 的值为2.（2）()()()2,1,31,2,11,3,4a b -=---=-，()()()2,1,31,2,121,2,31a b λλλλλ+=-+-=+-+-.∵ ()()a b a b λ-⊥+，∴ ()()21324310λλλ+--++-=， ∴ 917λ=. 【点睛】本题考查根据空间向量的共线与垂直求解参数值，主要考查学生对坐标形式下空间向量的平行与垂直关系的理解，难度较易.18．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，P 为对角线1BD 的中点，E 为11C D的中点.（1）求异面直线DP 与1BC 所成角的大小；（2）若平面1PB E ⋂平面11BCC B m =，求证：//PE m . 【答案】（1）90°；（2）证明见解析.【解析】（1）以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，写出各点的坐标表示,求出向量DP ，1BC 的坐标,再用向量的的余弦值公式111cos ,DP BC DP BC DP BC ⋅=⋅，即可得出异面直线DP 与1BC 所成角的大小.（2）根据三角形的中位先定理得出1//PE BC ，从而证得//PE 平面11BCC B .又PE ⊂平面1PB E ，平面1PB E ⋂平面11BCC B m =，最后可得//PE m .【详解】解:（1）如图所示，以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体棱长为a ，则()0,0,0D ，(),,0B a a ，()10,,C a a ，()10,0,D a ，,,222a a a P ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴,,222a a a DP ⎛⎫=⎪⎝⎭，()1,0,BC a a =-，则DP ，1BC 所成角的余弦值为111cos ,0DP BC DP BC DP BC ⋅==⋅，∴异面直线DP 与1BC 所成角为90°.（2）证明：在11BD C △中，P ，E 分别为1BD ，11C D 的中点， ∴1//PE BC ，∵PE ⊄平面11BCC B ，1BC ⊂平面11BCC B . ∴//PE 平面11BCC B .∵PE ⊂平面1PB E ，平面1PB E ⋂平面11BCC B m =， ∴//PE m . 【点睛】本题考查异面直线所成角的大小,考查线线平行的证明,考查学生的空间思维能力,属于中档题. 19．如图所示，在三棱锥P ABC -中，点M ，N 分别在棱PC ，AC 上，且N 为AC 的中点.（1）当M 为PC 的中点，求证：//MN 平面PAB ；（2）若平面PAB ⊥平面ABC ，BC PA ⊥，求证：12BN CA =. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）先证明//MN PA ，再结合MN ⊄平面PAB 和PA ⊂平面PAB 证明//MN 平面PAB . （2）先证明PH BC ⊥，再证明BC AB ⊥说明ABC 是直角三角形，最后证明12BN CA =. 【详解】证明：（1）∵N 为AC 的中点，M 为PC 的中点， ∴MN 为PAC 的中位线， ∴//MN PA .∵MN ⊄平面PAB ，PA ⊂平面PAB ， ∴//MN 平面PAB .（2）如图所示，作PH AB ⊥于H .∵平面PAB ⊥平面ABC 且平面PAB ⋂平面ABC AB =， ∴PH ⊥平面ABC ， ∴PH BC ⊥. ∵BC PA ⊥且PAPH P =，PA ⊂平面PAB ，PH ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，∴BC AB ⊥.在直角三角形ABC 中，N 为斜边AC 的中点， ∴12BN CA =. 【点睛】本题考查利用线线平行证明线面平行、利用面面垂直证明线面垂直、利用线面垂直证明线线垂直，还考查了直角三角形中的长度关系，是中档题20．如图所示，平行四边形ABCD 的边AD 所在的直线与菱形ABEF 所在的平面垂直，且GB GE =，AE AF =.（1）求证：平面ACG ⊥平面ADF ；（2）若2AF =，______，求二面角C AG F --的余弦值，从①2BC AB ，②BC AG =这两个条件中任选一个填入上面的横线上，并解答问题. 【答案】（1）证明见解析；（2）选①2BCAB ，二面角C AG F --的余弦值为13-，选②BC AG =，二面角C AG F --的余弦值为12-，【解析】（1）利用AD ⊥平面ABEF ，可得AD AG ⊥，由AG BE ⊥，可得AG AF ⊥，即证AG ⊥平面ADF ，从而得证；（2）选①2BCAB ，可证平面//BCE 平面ADF ，又AG ⊥平面BCE ，可知CGE ∠即为二面角C AG F --的平面角，求解即可；选②BC AG =，由（1）知AG ⊥平面ADF ，可知平面//BCE 平面ADF ，所以AG ⊥平面BCE ，可证明CGE ∠即为二面角C AG F --的平面角，利用余弦定理解之即可. 【详解】（1）∵AE AF =，∴AE AB EB ==，即ABE △为等边三角形.∵GB GE =，∴G 为BE 中点，故AG BE ⊥， ∴AG AF ⊥.∵AD ⊥平面ABEF ， ∴AD AG ⊥. ∵AFA AD =，∴AG ⊥平面ADF ， ∵AG ⊂平面ACG ， ∴平面ACG ⊥平面ADF . （2）选①由（1）知AG ⊥平面ADF ， ∵//BC AD ，//BE AF ，BC BE B =，∴平面//BCE 平面ADF ， ∴AG ⊥平面BCE . ∵CG ⊂平面BCE ，GE平面BCE ，∴AG CG ⊥，AG GE ⊥，∴CGE ∠即为二面角C AG F --的平面角.∵BC ==1BG =，∴3CG =，∴1cos 3CGB ∠=， ∴1cos 3CGE ∠=-，即二面角C AG F --的余弦值为13-.选②由（1）知AG ⊥平面ADF ， ∵//BC AD ，//BE AF ，BC BE B =，∴平面//BCE 平面ADF ， ∴AG ⊥平面BCE . ∵CG ⊂平面BCE ，GE平面BCE ，∴AG CG ⊥，AG GE ⊥，∴CGE ∠即为二面角C AG F --的平面角，∵BC AG ==1BG =，∴2CG =， ∴1cos 2CGB ∠=∴1cos 2CGE ∠=-，即二面角C AG F --的余弦值为12-. 【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定，以及二面角的平面角的求解，属于中档题.21．如图所示，已知三棱台111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，ABC 是正三角形，侧面11BCC B 是等腰梯形，111224AB BB B C ===，E 为AC 的中点.（1）求证：1AA BC ⊥；（2）求直线1EB 与平面11ABB A 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）65. 【解析】（1）作出辅助线，根据线面垂直的判定定理先证明BC ⊥平面11AOO A ，由此可证明1AA BC ⊥；（2）建立合适空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面法向量夹角的余弦值求解出线面角的正弦值.【详解】（1）证明：如图所示，分别取BC ，11B C 的中点O ，1O ，连接11AO ，1OO，AO ，∵ABC 为正三角形∴AO BC ⊥∵侧面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AO ⊂平面ABC ， ∴AO ⊥平面11BCC B ，同理，11AO ⊥平面11BCC B ，∴11//AO AO ，∴1A ，1O ，O ，A 四点共面.∵等腰梯形11BCC B 中，O ，1O 是BC ，11B C 的中点，∴1OO BC ⊥.又AO BC ⊥，1AO OO O ⋂=，∴BC ⊥平面11AOO A ，∵1AA ⊂平面11AOO A ，∴1AA BC ⊥.（2）解：由（1）知AO ⊥平面11BCC B∵1OO ⊂平面11BCC B ，∴1AO OO ⊥，∴1OO ，OA ，OB 两两互相垂直，∴以O 为坐标原点，OA ，OB ，1OO 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则由题意知()23,0,0A ，()0,2,0B ，()10,1,3B ，()0,2,0C -，()3,1,0E -，∴()13,2,3EB =-，()23,2,0AB =-，()10,1,3BB =-.设平面11ABB A 的一个法向量(),,n x y z =，则 12320,30.n AB x y n BB y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令1x =得3y =，1z =，此时()1,3,1n =.∴111236cos ,105EB nEB n EB n ⋅===⋅⋅. 设所求线面角为θ，则16sin cos ,EB n θ==， ∴直线1EB 与平面11ABB A 所成角的正弦值为6. 【点睛】本题考查立体几何的综合，其中涉及到空间中线线垂直关系的证明、线面角的向量求法，难度一般.利用向量方法求解线面角的正弦值时，要注意：直线方向向量与平面法向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值.22．如图所示，正方形ABCD 和矩形ADEF 所在的平面互相垂直，动点P 在线段EF （包含端点E ，F ）上，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，22AB DE ==.（1）若P 为EF 的中点，求点N 到平面PDM 的距离；（2）设平面PDM 与平面ABCD 所以的锐角为θ，求cos θ的最大值并求出此时点P 的位置.【答案】（16（2）cos θ的最大值23，此时P 点与F 点重合. 【解析】（1）以A 点为坐标原点，以AB ，AD ，AF 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系，设平面PDM 的一个法向量为()1111,,y z =n ，求出法向量，设点N 到平面PDM 的距离为d ，利用公式即可求得，1NM d ⋅=n n .（2）因为动点P 在线段EF （包含端点E ，F ）上，可设()()0,,102P t t ≤≤，设平面PDM 的一个法向量为()2221,,y z =n ，平面ABCD 的一个法向量()00,0,1=n ，利用公式2020cos n n n n θ⋅=⋅求解即可【详解】解：以A 点为坐标原点，以AB ，AD ，AF 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系.（1）由图可得()0,2,0D ，()2,1,0N ，()1,0,0M ，()0,1,1P ，则()1,1,1PM =--，()0,1,1PD =-，()1,1,0NM =--.设平面PDM 的一个法向量为()1111,,y z =n ，由11111110,0n PM y z n PD y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩可得1111,,22⎛⎫= ⎪⎝⎭n . 设点N 到平面PDM 的距离为d ，则16NM d ⋅==n n . （2）因为动点P 在线段EF （包含端点E ，F ）上，可设()()0,,102P t t ≤≤，则()1,,1PM t =--，()1,2,0MD =-.设平面PDM 的一个法向量为()2221,,y z =n ，由2222210,120n PM ty z n MD y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩可得2121,,22t -⎛⎫= ⎪⎝⎭n . ∵平面ABCD 的一个法向量()00,0,1=n ，∴)cos 02t θ===≤≤∴当0t =时，cos θ取得最大值23，此时P 点与F 点重合. 【点睛】本题考查利用法向量求点到面的距离，以及法向量求面面角公式的运用，主要考查学生的运算能力，属于中档题.。

青岛二中2020-2021学年高二上学期数学周考五(文AB理B)

2020届高二上学期数学第五次周考试卷命题人：审题人：一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②2、设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( )A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥βB ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 3、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.223C.423D.4334、如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a ＝( )A ．2 3 B. 6 C. 3D ．2 65、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.586、已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．2π B.43π C.53πD ．3π7、正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°8、在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 9、已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是________． 10、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________． 11、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，PA 垂直于⊙O 所在的平面，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)．12、已知三棱锥P ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为________．第10题第11题第12题三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13、（本小题满分10分)如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1)求证：SA∥平面PCD；(2)求异面直线SA与PD所成角的正切值．14、(本小题满分10分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：EF⊥B1C；(3)求三棱锥B1EFC的体积．2020届高二上学期数学第五次周考试卷命题人：审题人：一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、一个简单几何体的主视图、左视图如图所示，则其俯视图不可能为：①长方形；②正方形；③圆．其中正确的是( )A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②解析：选B2、设l 是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是( ) A ．若l ∥α，l ∥β，则α∥β B ．若l ∥α，l ⊥β，则α⊥βC ．若α⊥β，l ⊥α，则l ⊥βD ．若α⊥β，l ∥α，则l ⊥β 选B 3、已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于( )A ．2 2 B.223C.423D.433 选D4、如图是一个几何体的三视图．若它的体积是33，则a ＝( )A ．2 3 B. 6C. 3D ．2 6 选C.5、过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积是球的表面积的( )A.316B.916C.38D.58 选A6、已知一个空间几何体的三视图如图所示，其中主视图、左视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是( )A ．2π B.43πC.53πD ．3π 选C7、正四棱锥的体积为12，底面对角线的长为26，则侧面与底面所成的二面角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 选C8、在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离为( )A.83B.38C.43D.34 选C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上) 9、已知各面均为等边三角形的四面体的棱长为2，则它的表面积是________．答案：4 310、一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为________．答案：3611、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是圆周上不同于A ，B 的点，PA 垂直于⊙O 所在的平面，AE ⊥PB 于E ，AF ⊥PC 于F ，因此，________⊥平面PBC.(填图中的一条直线)．答案：AF12、已知三棱锥P ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为________．答案：132S 1S 2S 3第10题第11题第12题三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13、（本小题满分10分)如图，圆锥SO中，AB，CD为底面圆的两条直径，AB∩CD ＝O，且AB⊥CD，SO＝OB＝2，P为SB的中点．(1)求证：SA∥平面PCD；(2)求异面直线SA与PD所成角的正切值．解：(1)证明：连接PO，因为P，O分别为SB，AB的中点，所以PO∥SA.因为PO平面PCD，SA平面PCD，所以SA∥平面PCD.(2)因为PO∥SA，所以∠DPO为异面直线SA与PD所成的角．因为AB⊥CD，SO⊥CD，AB∩SO＝O，所以CD⊥平面SOB.因为PO平面SOB，所以OD⊥PO.在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝12SA＝12SB＝2，所以tan∠DPO＝ODOP＝22＝2，所以异面直线SA与PD所成角的正切值为 2.14、(本小题满分10分)如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．(1)求证：EF ∥平面ABC 1D 1； (2)求证：EF ⊥B 1C ；(3)求三棱锥B 1EFC 的体积．解：(1)证明：连接BD 1，在△DD 1B 中，E ，F 分别为D 1D ，DB 的中点，则EF ∥D 1B. 因为EF ∥D 1B ，D 1B 平面ABC 1D 1，EF 平面ABC 1D 1，所以EF ∥平面ABC 1D 1.(2)证明：因为B 1C ⊥AB ，B 1C ⊥BC 1，AB ，BC 1平面ABC 1D 1，AB ∩BC 1＝B ，所以B 1C ⊥平面ABC 1D 1.又BD 1平面ABC 1D 1，所以B 1C ⊥BD 1.又因为EF ∥BD 1，所以EF ⊥B 1C.(3)因为CF ⊥平面BDD 1B 1，所以CF ⊥平面EFB 1且CF ＝BF ＝2，因为EF ＝12BD 1＝3，B 1F ＝BF 2＋BB 21＝（2）2＋22＝6，B 1E ＝B 1D 21＋D 1E 2＝（22）2＋12＝3，所以EF 2＋B 1F 2＝B 1E 2，即∠EFB 1＝90°，所以VB 1EFC ＝VC B 1EF ＝13·S △B 1EF ·CF ＝13×12·EF ·B 1F ·CF ＝13×12×3×6×2＝1.。

山东省青岛市2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测高二数学试题答案

2020-2021学年度第一学期期末学业水平检测高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1-8:CCDB BADA 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9.BCD ;10.ABD ;11.AB ;12.BD ;三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分。

13.22(1)(2)1x y ++-=；14.12y x =±；15.5；222n n -+；16.2；四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（10分）解：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系·····················································································1分设AE x =，则1(1,2,1)B ，(0,2,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,,0)E x ，(1,2,0)B ．···········2分（1）因为11(1,0,1)(1,,1)0CB D E x ⋅=⋅-= ·······················································4分所以11D E B C ⊥．························································································5分（2）因为E 为AB 的中点，则()1,1,0E ，从而1(1,1,1)D E =- ，(1,1,0)EC =- ，(1,0,0)BC =- ，设平面1D EC 的法向量为(,,)n a b c = ，则100n D E n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，也即00a b c a b +-=⎧⎨-+=⎩，取1a =，从而(1,1,2)n = ，···········································································8分所以点B 到平面1D EC 的距离为6||6||n BC h n ⋅=== ．·······························10分18.（12分）解：（1）由题知：12123224,36,a a a a a a +=++==所以：121,2,1,n a a d a n ====····································································2分因为111(`1)1n n n n =-++···············································································3分所以111111111......122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++·······················6分（2）因为22n a n n b ==，所以1122n n n n b b +=+················································8分所以111(1)2(12)111222*********(1)2n n n n n n nW ++--=+⨯=-+-=----······················12分19.（12分）解：（1）因为122n n S a +=-，所以122n n S a -=-(2)n ≥两式相减得122n n n a a a +=-，即112n n a a +=(2)n ≥··············································3分A D C B 1C 1D 1A 1B E y xz因为当1n =时，1222a a =-，11a =，所以212a =，2112a a =·····························4分所以数列{}n a 是首项为1，公比为12的等比数列所以112n n a -=·····························································································5分（2）由（1）知，112n n a -=，所以当122n n m -≤<时，m b n =所以，当1n =时，11b =当2n =时，232b b ==当3n =时，4573b b b ==== 当4n =时，89154b b b ==== 当5n =时，1617315b b b ==== ·······················································11分所以301223448515106W =+⨯+⨯+⨯+⨯=················································12分20.（12分）解：（1）由题知：圆2211(24x y +-=的最高点恰为椭圆C 的上顶点所以，1b =·································································································1分又因为2e a==，解得a 2分所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=·······························································3分在PFQ ∆中，332(242P p p y --==-+，所以33||242P p p PF y =-=+······················4分又因为||(3)322p p FQ =---=-·······································································5分所以3353||||()(3)142242p p p PF FQ -=+--=-=，解得2p =所以，抛物线D 的标准方程为24x y =-···························································6分（2）设),(),,(2211y x B y x A ，则12,1222222121=+=+y x y x ······································7分做差可得：12122212122()222()4(4nn AB n n x y y x x k x x x y y x n -+==-=-==-+-····························8分解得：212n n n x -=···························································································9分因为2221(1)22122n n n n n n n n x x ++----==-···················································10分当12n ≤≤时，22102n n n --->；当3n ≥时，22102n n n ---<；·····················11分所以123x x x <<且345x x x >>> 所以394n x x ≤=··························································································12分21．（12分）解：（1）由题知：AO ⊥平面BOC ，所以AO OC ⊥·········································1分所以在三棱锥O ABC -中，222AC AO OC =+···············································2分所以在直角梯形12AO O C 中，取1AO 的中点E ，则ACE ∆是直角三角形所以，22212AC O O AE =+，解得124O O =······················································3分所以，118363O ABC BOC V S OA OC OB OA -∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=·······································4分（2）由（1）知：AO OC ⊥，AO OB ⊥，又BO OC ⊥；以O 为坐标原点，以OC ，OB ，OA 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图空间直角坐标系O xyz -，································································6分所以(0,0,4),(0,2,0),(2,0,0),(0,0,2)A B C F ，(2,0,2)CF =- ，(0,2,4)AB =- ···································································7分设异面直线OC 与AB 所成角为α所以cos 5CF AB OC AB α⋅== （3）由题知：002020400(,,333G ++++++················································8分所以224(,,333OG = ，(2,0,0)OC = 设(,,)n x y z = 为平面OGC 的法向量，由00n OG n OC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得：224020x y z x ++=⎧⎨=⎩，令2y =得：(0,2,1)n =- ············································································10分OB 为平面OAC 的法向量，·········································································11分设平面GOC 和平面AOC 夹角为θ，所以||cos =5||||OB n OB n θ⋅== ，所以平面GOC 和平面AOC 夹角的余弦值为255············································12分22．（12分）解：（1）由题知：||2W p FW x p =+=，所以,2W W p x y p ==所以：525||==p OW ，解得2=p ···························································1分所以抛物线D 的标准方程为24y x =，)0,1(F ···················································2分设动圆Z 的半径为r ，由题意知：ZF r '=，4ZF r=-所以42ZF ZF FF ''+=>=····································································3分所以Z 点的轨迹是以,F F '为焦点的椭圆.························································4分其长轴长24,a =焦距为22c =，b ==所以曲线E 的标准方程为：22143x y +=···························································5分（2）（ⅰ）设点(,)G x y ，z y x O A B C因为1(2)y k x =-，所以12y k x =-；因为2y k x =+，所以2y k x-=因为1234k k =，所以33()(24y y xx =-··························································7分整理得，(2)(20y y +-=因为ABCD 为四边形，所以20y +-≠所以点G 20y -=上···································································8分（ⅱ）由题知：)1,0(),0,2(B A ，直线323:+-=x y AB ·································9分设1122(,),(,)C x y D x y ，直线m kx y CD +=:将m kx y +=代入22143x y +=得：222(34)84120k x kmx m +++-=所以21212228412,3434km m x x x x k k-+=-=++························································10分所以22121211212112121212233()3()2(2)2yy y y k x x km x x m kx m k k x x x x x x x ++++=⨯==---222222222241288()()()343434412234m km km k km m x k k k m x k -+-+---+++=--所以2223222231243333(34)34122(34)4m k m k k x m k x -+-+=--+所以322222418)(43)36480k x k k ++++-+-=所以322224180(43)36480k k k ⎧+++=⎪⎨-+-=⎪⎩····························································11分解得32k =-，所以CD AB //······································································12分。

山东省青岛市第二中学高二数学上学期第一次月考试题(含解析)

山东省青岛市第二中学2019-2020学年高二数学上学期第一次月考试题（含解析）一、选择题(本大题共13小题，每小题4分，共52分。

题1-10为单选题,题11—13为多选题，多选题错选得0分，漏选得2分。

)1.椭圆229225x ky +=的一个焦点是()4,0，那么k =（） A 。

5 B 。

25C 。

-5D 。

-25【答案】B 【解析】【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据焦点坐标求得c ,由此列方程求得k 的值。

【详解】椭圆的标准方程为22122525x y k+=，由于椭圆焦点为()4,0,故焦点在x 轴上,且4c =。

所以2225254k=+，解得25k =。

故选：B【点睛】本小题主要考查根据椭圆的焦点坐标求参数的值，属于基础题. 2。

双曲线22412mx y -=20y -=,则m =（） A 。

3 B 。

C. 4D 。

16【答案】A 【解析】【分析】写出双曲线的标准方程，根据渐近线方程即可得解.【详解】双曲线22412mx y -=20y -=,即双曲线221213m x y -=的一条渐近线的方程为y =, 所以124,3m m==。

故选：A【点睛】此题考查根据双曲线的渐近线方程求双曲线标准方程，关键在于准确掌握双曲线的概念，找准其中的a ，b 。

3。

命题“x R ∃∈,2440x x -+≤”的否定是( ） A 。

x R ∀∈，2440x x -+> B. x R ∀∈，2440x x -+≥ C 。

x R ∃∈，2440x x -+> D 。

x R ∃∈，2440x x -+≥【答案】A 【解析】【分析】根据特称命题的否定是全称命题的知识选出正确选项。

【详解】原命题为特称命题，其否定是全称命题，注意到要否定结论,所以A 选项正确。

故选:A【点睛】本小题主要考查特称命题的否定是全称命题，属于基础题。

4.下列语句中,是命题的是( ） A. 2230x x -->， B. π不是无限不循环小数 C. 直线与平面相交 D. 在线段AB 上任取一点【答案】B 【解析】【分析】ACD 三个选项不能判断真假,不是命题，B 能够判断真假,是命题。

山东省青岛市开发区第二中学2020-2021学年高二数学理联考试题含解析

山东省青岛市开发区第二中学2020-2021学年高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数在区间上递减且有最小值1，则ω的值为（）A．2 B． C．3 D．参考答案：B略2. 函数的单调递减区间是A． B． C． D．参考答案：A试题分析：由函数导数可得得，所以减区间为考点：函数导数与单调性3. 在△ABC中，三内角分别是A、B、C，若，则此三角形一定是（）A．直角三角形 B．正三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形参考答案：C4. 已知平面与两条直线，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要参考答案：C根据线面垂直的性质定理可知，为充要条件，故选C.5. 命题“对任意，总有”的否定是A. “对任意，总有”B. “对任意，总有”C. “存在，使得”D. “存在，使得”参考答案：D6. 命题“?x∈R，2x＞0”的否定是（）A．?x0∈R，2＞0 B．?x0∈R，2≤0C．?x∈R，2x＜0 D．?x∈R，2x≤0参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“?x∈R，2x＞0”的否定是?x0∈R，2≤0．故选：B7. 将甲,乙,丙,丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲,乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的种数有（）A.18B.24C.30D.36参考答案：C8. 函数y=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤）的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为（）A．y=﹣4sin（x+）B．y=4sin（x﹣）C．y=﹣4sin（x﹣）D．y=4sin（x+）参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】观察函数的图象可得A，由图可得周期T=16，代入周期公式T=可求ω，再把函数图象上的最值点代入结合已知φ的范围可得φ的值，即可得解．【解答】解：由函数的图象可得最大值为4，且在一周期内先出现最小值，所以A=﹣4，观察图象可得函数的周期T=16，ω==，又函数的图象过（2，﹣4）代入可得sin（+φ）=1，∴φ+=2kπ+，∵|φ|＜，∴φ=，∴函数的表达式y=﹣4sin（x+）．故选：A．9. 函数在点处的导数是(A) (B) (C) ( D)参考答案：D10. 曲线的极坐标方程ρ=4sinθ化为直角坐标为（）A．x2+（y+2）2=4 B．x2+（y﹣2）2=4 C．（x﹣2）2+y2=4 D．（x+2）2+y2=4参考答案：B【考点】极坐标系和平面直角坐标系的区别；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】曲线的极坐标方称即ρ2=4ρsinθ，即 x2+y2=4y，化简可得结论．【解答】解：曲线的极坐标方程ρ=4sinθ即ρ2=4ρsinθ，即 x2+y2=4y，化简为x2+（y﹣2）2=4，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若过点P（5，﹣2）的双曲线的两条渐近线方程为x﹣2y=0和x+2y=0，则该双曲线的实轴长为．参考答案：6【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】利用共渐近线双曲线系方程设为x2﹣4y2=λ（λ≠0），求得λ，再求2a．【解答】解：设所求的双曲线方程为x2﹣4y2=λ（λ≠0），将P（5，﹣2）代入，得λ=9，∴x2﹣4y2=9，∴a=3，实轴长2a=6，故答案为：6．【点评】利用共渐近线双曲线系方程可为解题避免分类讨论．12. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程.模糊看不清，请你推断出该数据的值为.参考答案：73略13. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________.参考答案：14. 如图所示，函数的图象在点处的切线方程是，则_____.参考答案：15. 已知实数满足，则=；=。

山东省青岛市第二高级中学2020-2021学年高二数学文模拟试卷含解析

山东省青岛市第二高级中学2020-2021学年高二数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 数列的前n项和为S n，且满足a1=1，a n=a n﹣1+n，（n≥2），则S n等于（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】8E：数列的求和．【分析】由a n=a n﹣1+n（n≥2）得a n﹣a n﹣1=n，利用累加法求出a n，代入化简后，由等差数列的前n项和公式求出则数列的前n项和为S n．【解答】解：由题意得，a n=a n﹣1+n（n≥2），则a n﹣a n﹣1=n，所以a2﹣a1=2，a3﹣a2=3，…，a n﹣a n﹣1=n，以上（n﹣1）个式子相加得，a n﹣a1=2+3+…+n，又a1=1，则a n=1+2+3+…+n=，所以=，则数列的前n项和为S n= = =，故选：B．2. 命题是命题的条件（）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要参考答案：B3. 设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，5}，则A∩（?U B）等于（）A．{2}B．{2，3}C．{3}D．{1，3}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出集合B在全集中的补集，然后与集合A取交集．【解答】解：因为集合U={1，2，3，4，5}，B={2，5}，所以C U B={1，3，4}，又A={1，3，5}，所以A∩（C U B）={1，3，5}∩{1，3，4}={1，3}．故选D．4. 已知α、β、γ是三个互不重合的平面，l是一条直线，下列命题中正确命题是（）A．若α⊥β，l⊥β，则l∥αB．若l上有两个点到α的距离相等，则l∥αC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α⊥β，α⊥γ，则γ⊥β参考答案：C【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】阅读型．【分析】由线面平行的判定方法，我们可以判断A的真假；根据直线与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断B的真假；根据线面垂直的判定定理，我们可以判断C的真假；根据空间平面与平面位置关系的定义及几何特征，我们可以判断D的真假．进而得到答案．【解答】解：A中，若α⊥β，l⊥β，则l∥α或l?α，故A错误；B中，若l上有两个点到α的距离相等，则l与α平行或相交，故B错误；C中，若l⊥α，l∥β，则存在直线a?β，使a∥l，则a⊥α，由面面垂直的判定定理可得α⊥β，故C正确；D中，若α⊥β，α⊥γ，则γ与β可能平行也可能相交，故D错误；故选C【点评】本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，其中熟练掌握空间直线与平面，平面与平面位置关系的定义及判定方法，是解答本题的关键．5. 某几何体的三视图如右图所示，它的体积为( )A.B.C.D.参考答案：A略6. 袋中有大小完全相同的2个白球和3个黄球，逐个不放回地摸出两球，设“第一次摸得白球”为事件，“摸得的两球同色”为事件，则为（）A．B．C．D．参考答案：C7. 函数的最小值为A．2 B． C．4D．6参考答案：A略8. 如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出（）A．性别与喜欢理科无关B．女生中喜欢理科的比为80%C．男生比女生喜欢理科的可能性大些D．男生不喜欢理科的比为60%参考答案：C本题考查学生的识图能力，从图中可以分析，男生喜欢理科的可能性比女生大一些．9. 给定两个命题p，q．若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定．【分析】根据互为逆否命题真假性相同，可将已知转化为q是?p的充分不必要条件，进而根据逆否命题及充要条件的定义得到答案．【解答】解：∵?p是q的必要而不充分条件，∴q是?p的充分不必要条件，即q??p，但?p不能?q，其逆否命题为p??q，但?q不能?p，则p是?q的充分不必要条件．故选A．10. 设是将函数向左平移个单位得到的，则等于A. B. C. D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 某汽车交易市场最近成交了一批新款轿车，共有辆国产车和辆进口车，国产车的交易价格为每辆万元，进口车的交易价格为每辆万元．我们把叫交易向量，叫价格向量，则的实际意义是参考答案：.该批轿车的交易总金额12. 我们知道：在长方形ABCD 中，如果设AB=a ，BC=b，那么长方形ABCD的外接圆的半径R满足：4R2=a2+b2，类比上述结论回答：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是________．参考答案：4R2=a2+b2+c2【考点】类比推理【解析】【解答】解：从平面图形类比空间图形，模型不变．可得如下结论：在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，如果设AB=a，AD=b，AA1=c，那么长方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球的半径R满足的关系式是4R2=a2+b2+c2，故答案为：4R2=a2+b2+c2．【分析】从平面图形类比空间图形，从二维类比到三维模型不变．13. 若直线l的倾斜角是直线2x﹣y+4=0的倾斜角的两倍，则直线l的斜率为．参考答案：【考点】直线的倾斜角．【分析】设直线y=2x+4倾斜角为θ，则tanθ=2，直线l的倾斜角是2θ，利用斜率计算公式、倍角公式即可得出．【解答】解：设直线y=2x+4倾斜角为θ，则tanθ=2，直线l的倾斜角是2θ，则直线l的斜率=tan2θ===，故答案为：．14. 朝露润物新苗壮，四中学子读书忙.天蒙蒙亮，值日老师站在边长为100米的正方形运动场正中间，环顾四周.但老师视力不好，只能看清周围10米内的同学.郑鲁力同学随机站在运动场上朗读.郑鲁力同学被该老师看清的概率为 .参考答案：15. 设函数的导函数为，若，则＝▲．参考答案：105结合导数的运算法则可得：，则，导函数的解析式为：，据此可得：.16. 若直线⊥平面，直线，有下面四个命题：①; ②; ③; ④，其中正确的命题是参考答案：①③17. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1，则c=________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

山东省青岛市青岛第二中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题(无答案)

青岛二中2024-2025学年第一学期10月份阶段练习一高二数学试题时间：90分钟满分：120分一、选择题：本题共8小题；每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，且，则（）A.-16B.16C.4D.-42.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.3.已知空间向量，，若与垂直，则等于（）4.设，为两个随机事件，以下命题正确的为（）A.若，是对立事件，则B.若，是互斥事件，，，则C.若，，且，则，是独立事件D.若，是独立事件，，，则5.已知点关于直线-对称的点在圆上，则（）A.4B.5C.-4D.-56.连掷两次骰子得到的点数分别为和，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）A.B.CD.7.边长为1的正方形沿对角线折叠，使，则三棱锥的体积为（）()1,3,5a =-()2,,b x y = a b ∥x y -=()2,3A -()3,2B --()1,1P -AB 32,,43⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭][43,,32⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭34,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦43,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()1,,2a n = ()2,1,2b =- 3a b - b aA B A B ()1P AB =A B ()13P A =()12P B =()16P A B +=()13P A =()12P B ≡()13P AB =A B A B ()13P A =()23P B =()19P A B ⋂=()0,1P -10x y -+=Q 22:50C x y mx +++=m =m n (),a m n =()1,1b =- θ0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦5121271256ABCD AC 14AD BC ⋅= D ABC -8.已知空间向量，，两两的夹角均为，且，.若向量，满足，，则的最大值是（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.8个数据的平均数为5，另3个数据的平均数为7，则这11个数据的平均数是B.若样本数据，，，的平均数为2，则数据，，，的平均数为3C 一组数据，，，，，的分位数为6D.某班男生30人、女生20人，按照分层抽样的方法从该班共抽取10人答题.若男生答对题目的平均数为10，方差为1；女生答对题目的平均数为15，方差为0.5，则这10人答对题目的方差为6.810.已知，若过定点的动直线和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（）A.B 点的坐标为B.为定值C.最大值为D.的最大值为11.在棱长为1的正方体中，，，，，，若直线与的夹角为，则下列说法正确的是（）A.线段的最小值为1C.对任意点，总存在点，使得D.存在点，使得直线与平面所成的角为三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.12.已知，，，若不能构成空间的一个基底，则_________.13.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最大值为_______.a b c 602a b == 4c = x y ()x x a x b ⋅+=⋅ ()y y a y c ⋅+=⋅ x y -1+1+261111x 2x ⋯10x 121x -221x -⋯1021x -43265860%m ∈R A 1:20l x my m -+-=B 2l 240mx y m ++-=P P A B ()2,4-22PA PB +PAB S △2522PA PB +1111ABCD A B C D -1BP xBB yBC =+ x ()0,1y ∈11A Q z A C = []0,1z ∈1A P 11A B 45 1A P 1A Q PQ +P Q 1D Q CP⊥P 1A P 11ADD A 60()11,0,1n =- ()2,3,2n m =- ()30,1,1n =- {}123,,n n nm =()3,43430x y --=14.在长方体中，已知异面直线与，与所成角的大小分别为和，为中点，则点到平面的距离为_______.15.平面直角坐标系中，矩形的四个顶点为，，，，，光线从边上一点沿与轴正方向成角的方向发射到边上的点，被反射到上的点，再被反射到上的点，最后被反射到轴上的点，若，则的取值范围是_______.四、解答题：本题共3小题，共42分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本题满分10分）已知直线，，且满足，垂足为.（I ）求的值及点的坐标.（II ）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程.17.（本题满分15分）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为1，若依次收到，，，则译码为1）.（I ）已知，，（1）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；（2）若采用单次传输方案，依次发送，，，判断事件“第三次收到的信号为”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并说明理由；（II ）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率不大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围.18.（本题满分17分）1111ABCD A B C D -1AC 11B C 1AC 11C D 6045 E 1CC E 1A BC ()0,0O ()8,0A ()8,6B ()0,6C OA ()04,0P x θAB 1P AB BC 2P BC OC 3P OC x ()4,0P t ()4,6t ∈tan θ()1:220l x m y +-=2:220l mx y +-=12l l ⊥C m C 1l x A 2l x B ABC △()1101p p <<11p -1()2201p p <<21p -101111134p =223p =00112p如图，四面体中，为等边三角形，且，为等腰直角三角形，且.第（I ）问图（I ）当时，（1）求二面角的正弦值；第（II ）问图（2）当为线段中点时，求直线与平面所成角正弦值；（II ）当时，若，且平面，为垂足，中点为，中点为；直线与平面的交点为，当三棱锥体积最大时，求的值.ABCD ABC △2AB =ADC △90ADC ∠= BD =D AC B --P BD AD APC 2BD =()01DP DB λλ=<<PH ⊥ABC H CD M AB N MN APC G P ACH -MGGN。

2020-2021学年山东省青岛市第二实验初级中学高二数学文期末试卷含解析

2020-2021学年山东省青岛市第二实验初级中学高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若在区间[0，2]中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】先根据几何概型的概率公式求出在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于，利用几何概型求出概率即可．【解答】解：∵在区间[0，2]中随机地取一个数，这两个数中较小的数大于的概率为=，故选：C．【点评】本题主要考查了几何概型，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．属于基础题．2. 在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）A．B．C．D．参考答案：C3. 复数是纯虚数，则=A． B．1 C． D．参考答案：D略4. 若函数在区间（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围为（）A．[1，+∞） B．（1，+∞）C．（﹣∞，1] D．（﹣∞，1）参考答案：C【考点】函数的单调性与导数的关系．【专题】计算题．【分析】求出f（x）的导函数，令导函数小于等于0在区间（1，+∞）上恒成立，分离出a，求出函数的最大值，求出a的范围．【解答】解：∵∵f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，∴在区间（1，+∞）上恒成立∴a≤x2在区间（1，+∞）上恒成立∵x2＞1∴a≤1故选C．【点评】解决函数的单调性已知求参数范围问题常转化为导函数大于等于（或小于等于）0恒成立；解决不等式恒成立求参数范围问题常分离参数转化为求函数的最值．5. 样本（）的平均数为，样本（）的平均数为，若样本（，）的平均数，其中，则n,m的大小关系为( )A． B． C． D．不能确定参考答案：A略6. 如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）A．1﹣B．C．D．1﹣参考答案：A【考点】几何概型．【分析】由题意，直接看顶部形状，及正方形内切一个圆，正方形面积为4，圆为π，即可求出“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率．【解答】解：由题意，正方形的面积为22=4．圆的面积为π．所以“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1﹣，故选：A．7. 已知=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1），则cos＜，＞最大值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】【解法一】利用作图法，构造正方体，考虑极端情况，可快速得出答案；【解法二】根据两向量的数量积求出夹角的余弦值cos＜，＞，再利用换元法求出它的最大值即可．【解答】解：【解法一】利用作图法，构造正方体，设正方体的边长为1，如图所示；则==（1，1，1），==（0，y，1），且E在线段D′C′上移动，当E在D′位置时，cos＜，＞===；当E在C′位置时，cos＜，＞===为最大值．【解法二】∵=（1，1，1），=（0，y，1）（0≤y≤1），∴?=y+1，||=，||=，∴cos＜，＞==；设t=，则t2﹣1=y2，∴y=（1≤t≤），∴f（t）=?=（+）；设sinα=，则1≥sinα≥，即≤α≤，∴g（α）=（+sinα）=（cosα+sinα）=sin（α+），∴当α=时，g（α）取得最大值为=．故选：D．8. 已知双曲线与圆交于A、B、C、D四点，若四边形ABCD是正方形，则双曲线的离心率是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】联立双曲线方程和圆方程，求得交点，由于四边形ABCD是正方形，则有x2=y2，运用双曲线的a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．【解答】解：联立双曲线方程和圆x2+y2=c2，解得，x2=c2﹣，y2=，由于四边形ABCD是正方形，则有x2=y2，即为c2﹣=，即c4=2b4，即c2=b2=（c2﹣a2），则e===．故选：A．9. 某学校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程各至少选一门，则不同的选法共有（）．A. 30种B. 31种C. 35种D. 60种参考答案：A由题意，7门课程选3门有种方法，若选择的课程均为A课程，有种方法，选择的课程均为B课程，有种方法，满足题意的选择方法有：种.本题选择A选项.10. 已知S={x|x=2n,n∈Z}, T={x|x=4k±1,k∈Z},则（）A.S TB.T SC.S≠TD.S=T参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，则曲线在点处的切线方程_________ ．参考答案：3X+Y-4=012. 如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则四面体的体积 .参考答案：13. 不等式对于任意恒成立的实数的集合为___________.参考答案：略14. 已知平面上三点、、满足，，，则的值等于_______．参考答案：略15. 在中，所对的边分别是，若，则__________．参考答案：略16. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是______参考答案：略17. 求圆心在直线3x+y﹣5=0上，并且经过原点和点（4，0）的圆的方程．参考答案：【考点】直线与圆相交的性质．【分析】由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点A（4，0）的中垂线x=2上，再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上，可得圆心C的坐标和半径r=|OC|的值，从而得到所求的圆的方程．【解答】解：由直线和圆相交的性质可得，圆心在点O（0，0）和点A（4，0）的中垂线x=2上，再根据圆心在直线3x+y﹣5=0上，可得圆心C的坐标为（2，﹣1），故半径r=|OC|=，故所求的圆的方程为（x﹣2）2+（y+1）2=5．三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020-2021学年山东青岛高二上数学月考试卷

∴ ，
∴
.
∵ ，，，的方差为，
∴ ，，，的方差是，
∴ ，，，的标准差为．
故选 .
6.
【答案】
D
【考点】
求的长；
证明：平面；
证明：平面 .
溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队人，每人回答一个问题，答对得分，答错得分.在竞赛中，甲、乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为，乙队每人回答问题正确的概率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响.
求直方图中的值；并估计出月平均用水量的众数．
求月平均用水量的中位数及平均数；
在月平均用水量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则应在这一组的用户中抽取多少户？
在第问抽取的样本中，从，这两组中再随机抽取户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？
在边长是的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题.
A. B. C. D.
3.若是空间的一个基底，则下列各组中不能构成空间一个基底的是( )
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
4.以下数据为参加数学竞赛决赛的人的成绩：（单位：分），，，，，，，，，，，，，，，则这人成绩的第百分位数是( )
A. B. C. D.
A.从折线统计图能看出世界人口的变化情况
B. 年非洲人口将达到大约亿
C. 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D.从年到年各洲中北美洲人口增长速度最慢

山东省青岛市中心中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析

山东省青岛市中心中学2020-2021学年高二数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2，b2，c2成等差数列，则sinB最大值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由等差数列的定义和性质可得2b2=a2 +c2 ，再由余弦定理可得cosB=，利用基本不等式可得cosB≥，从而求得角B的取值范围，进而利用正弦函数的单调性即可得解．【解答】解：由题意可得2b2=a2 +c2 ，由余弦定理可得cosB==≥，当且仅当a=c时，等号成立．又0＜B＜π，∴0＜B≤，∵sinB在（0，]单调递增，∴可得sinB的最大值是sin=．故选：D．【点评】本题主要考查余弦定理、等差数列的定义和性质，以及基本不等式的应用，求得cosB≥，是解题的关键，属于基础题．2. 在参数方程（t为参数）所表示的曲线上有B、C两点，它们对应的参数值分别为t1、t2，则线段BC的中点M对应的参数值是（）A. B. C. D.参考答案：B3. 已知点到和到的距离相等，则的最小值为A. B. C. D.参考答案：D4. 一组数据中的每一个数都减去90得到一组新的数据，如果求得新数据的平均数为1.2，方差为4.4，则原来数据的平均数和方差分别为()A．91.2，4.4 B．91.2，94.4 C． 88.8，4.4 D．88.8，75.6参考答案：A5. 给定三个向量，，，其中是一个实数，若存在非零向量同时垂直这三个向量，则的取值为 ( )A． B． C． D．参考答案：B6. 有20件产品,其中15件合格品,5件次品.现从中任意选取10件产品,用X表示这10件产品中的次品的件数,下列概率中等于的是（）A．B． C. D．参考答案：B7. 若集合，则集合A∩B的元素个数为( ) A．0 B．2 C．5 D．8参考答案：B8. 函数在上的单调情况是（）A. 单调递增；B. 单调递减；C. 在上单调递增，在上单调递减；D. 在上单调递减，在上单调递增；参考答案：A【分析】通过求导来判断的单调性。

2020-2021年山东省青岛市高二(上)期末考试数学试卷人教A版(2019)

2020-2021年山东省青岛市高二（上）期末考试数学试卷一、选择题1. 若直线l 1：3x −4y −1=0与l 2：3x −ay +2=0(a ∈R )平行，则l 1与l 2间的距离是( ) A.15 B.25C.35D.452. 数列{(−1)n (3n −1)}的前2021项和为( )A.3034B.−3034C.−3032D.30323. 已知相距1400m 的A ，B 两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，则炮弹爆炸点在( )上. A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线4. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n =n −5，n ∈N ∗，则S n 的最小值为( ) A.S 3 B.S 5 C.S 9 D.S 20205. 已知曲线mx 2+2y 2=1表示焦点在y 轴的椭圆，则实数m 的取值范围是( ) A.0<m <1 B.m >2C.0<m <12D.m >126. 将数列{2n +1}与{3n }的公共项从小到大排列得到数列{a n }，若a n =2019，则n =( ) A.337 B.520 C.360 D.20207. 已知O 为坐标原点，垂直抛物线C ：y 2=2px (p >0)的轴的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，OA →⋅OB →=0，若|AB|=4，则p =( ) A.4 B.3C.2D.18. 在空间直角坐标系O −xyz 中，经过点P(x 0, y 0, z 0)，且法向量为m →=(A,B,C)的平面方程为A(x −x 0)+B(y −y 0)+C(z −z 0)=0，经过点P(x 0, y 0, z 0)且一个方向向量为n →=(μ,υ,ω)(μυω≠0)的直线l 的方程为x−x 0μ=y−y 0υ=z−z 0ω，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面α的方程为3x −5y +z −7=0，经过(0,0,0)直线l 的方程为x3=y 2=z−1，则直线l 与平面α所成角的正弦值为( )A.√1035B.√1010C.√105D.√57二、多选题直线a 的方向向量为a →，平面α，β的法向量分别为n →，m →，则下列命题为真命题的是( )A.若a →⊥n →，则直线a//平面α B.若a →//n →，则直线a ⊥平面αC.若cos ⟨a →,n →⟩=12，则直线a 与平面α所成角的大小为π6 D.若cos ⟨m →,n →⟩=12，则平面α，β的相交所成的锐角为π3已知抛物线E:x 2=2py (p >0)的焦点恰为圆C:x 2+(y −1)2=r 2(r >0)的圆心，抛物线E 的准线与圆C 相切，则下列结论正确的是( ) A.抛物线E 的标准方程为x 2=4y B.圆C 的标准方程为x 2+(y −1)2=4 C.圆C 与抛物线E 有三个交点D.圆C 与抛物线E 在第一象限的交点坐标为(2,1)数列{a n }满足：a 1=1, a n+1−3a n −1=0，n ∈N ∗，下列说法正确的是( )A.数列{a n +12}为等比数列B.a n =12×3n −12C.数列{a n }是递减数列D.{a n }的前n 项和S n =14×3n+1−54如图所示，在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，则下列命题中正确的是( )A.平面ACC 1A 1⊥平面B 1CDA 1B.直线AC 1与平面ADD 1A 1所成角的正弦值等于√33C.若P 在线段B 1C 上，则∠A 1PB 的最大值为90∘D.若点P 在侧面BCC 1B 1所在的平面上运动，点P 到直线AB 的距离与到直线CC 1的距离相等，则动点P 的轨迹是抛物线三、填空题圆C ：x 2+y 2−2x =0关于(0,1)对称的圆的标准方程为________.双曲线C ：x 24−y 2=1的渐近线方程为________.已知数列{a n }满足：a 1=1，a n+1−a n =2n −1，n ∈N ∗，则a 3=________； a n =________.已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 与圆x 2+y 2=a 2相切于点T ，且直线l 与双曲线C 的右支交于点P ，若F 1P →=3F 1T →，则双曲线C 的离心率为________. 四、解答题如图，在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中， AD =AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明：D 1E ⊥B 1C ；(2)当E 为AB 的中点时，求点B 到平面D 1EC 的距离．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1+S 2=4，S 3=6，n ∈N ∗ . (1)求数列{1a n (a n +1)}的前n 项和T n ；(2)若数列{b n }满足log 2b n =a n ，求数列{b n +1b n}的前n 项和W n .已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，S n =2−2a n+1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b m 为{1a n}在区间(0,m](m ∈N ∗)的个数，求数列{b m }的前30项和W 30.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，离心率为√22的椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)与圆x 2+(y −12)2=14只有一个公共点，抛物线D:x 2=−2py (0<p <6)的焦点为F ，点P 在抛物线D 上，点Q (0,−3)，|PF|=|PQ|，|PF|−|FQ|=1. (1)求椭圆C 和抛物线D 的标准方程；(2)已知n ∈N ∗，若斜率为2nn 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且AB 中点W 恰在抛物线D 上．记W 的横坐标为x n ，求x n 的最大值．如图，在直角梯形AO 1O 2C 中，AO 1//CO 2，AO 1⊥O 1O 2，CO 2=2，AO 1=4，点B 是线段O 1O 2的中点．将△ABO 1，△BCO 2分别沿AB ，BC 向上折起，使O 1，O 2重合于点O ，得到三棱锥O −ABC ，且AO ⊥平面BOC ．在三棱锥O −ABC 中解答下列问题．(1)求三棱锥O −ABC 的体积；(2)记OA 的中点为F ，求异面直线CF 与AB 所成角的余弦值；(3)记△ABC 的重心为G ，求平面GOC 和平面AOC 夹角的余弦值．平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，抛物线C:y 2=2px (p >0)的焦点为F ，点W 在抛物线C 上，且|FW|=2|OF|，|OW|=√5．F 关于原点的对称点为F ′，圆F 的半径等于4，以Z 为圆心的动圆过F ′且与圆F 相切． (1)求动点Z 的轨迹曲线E 的标准方程；(2)四边形ABCD 内接于曲线E ，点A ，B 分别在x 轴正半轴和y 轴正半轴上，设直线AC ，BD 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1k 2=34.①记直线AC ，BD 的交点为G ，证明：点G 在定直线上； ②证明：AB//CD.参考答案与试题解析2020-2021年山东省青岛市高二（上）期末考试数学试卷一、选择题1.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】先利用两直线平行求出a，再利用两平行线之间的距离进行求解即可.【解答】解：因为l1：3x−4y−1=0与l2：3x−ay+2=0(a∈R)平行，所以a=4，所以这两条平行线之间的距离d=22=35.故选C.2.【答案】C【考点】数列的求和【解析】利用并向求和法进行求解即可.【解答】解：数列{(−1)n(3n−1)}的前2021项和为：(−2+5)+(−8+11)+⋯+(−6056+6059)−(3×2021−1)=3×20202−6062=−3032. 故选C. 3.【答案】D【考点】轨迹方程双曲线的定义【解析】设A(−700,0)，B(700,0)，M(x,y)为曲线上任一点，根据|MA|−|MB|为常数，推断M 点轨迹为双曲线．【解答】解：设A(−700,0)，B(700,0)，M(x,y)为曲线上任一点，则||MA|−|MB||=340×3=1020<1400，所以M点轨迹为双曲线.故选D.4.【答案】B【考点】数列的函数特性数列与函数最值问题【解析】找出数列正负分界点，即可求解.【解答】解：因为数列{a n}的通项为a n=n−5，所以a5=5−5=0，a6=6−1=5>0，所以S n的最小值为S5.故选B.5.【答案】B【考点】椭圆的定义【解析】利用椭圆定义列式即可.【解答】解：因为曲线mx2+2y2=1，即x21m+y212=1表示焦点在y轴上的椭圆，所以12>1m>0，解得m>2.故选B．6.【答案】 A【考点】等差数列的通项公式【解析】首先判断出数列{2n +1}与{3n}项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果．【解答】解：因为数列{2n +1}是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列{3n}是以3首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列{a n }是以3为首项，以6为公差的等差数列，所以{a n }的通项公式为a n =3+6(n −1)=6n −3，令6n −3=2019，解得n =337. 故选A . 7. 【答案】 D【考点】抛物线的标准方程【解析】利用直线与抛物线的关系求解即可. 【解答】解：由题可得示意图如图，∵OA →⋅OB →=0，∴|OA →|⋅|OB →|⋅cos ∠AOB =0， ∴∠AOB =90∘. ∵|AB|=4 且AB ⊥x ，∴AD =BD =2，∴∠AOD =∠BOD =45∘， ∴A (2,2).将A (2,2)其代入y 2=2px ，即4=4p ，解得p =1. 故选D . 8.【答案】 A【考点】用空间向量求直线与平面的夹角【解析】由题可知，平面α的一个法向量m →和直线l 的一个方向向量n →，设直线1与平面α所成角为θ，由sin θ=|cos <m →，n →>|=||m →|⋅|n →|˙|，即可得解．【解答】解：∵ 平面α的方程为3x −5y +z −7=0， ∴ 平面α的一个法向量为m →=(3, −5, 1). ∵ 经过(0, 0, 0)直线l 的方程为x3=y 2=z−1，∴ 直线l 的一个方向向量为n →=(3, 2, −1). 设直线l 与平面α所成角为θ，则sin θ=|cos <m →,n →>|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√32+(−5)2+12×√32+22+(−1)2=√1035， ∴ 直线l 与平面α所成角的正弦值为√1035．故选A .二、多选题【答案】 B,C,D 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系命题的真假判断与应用平面的法向量直线与平面所成的角【解析】根据直线的方向向量与平面的法向量之间的关系，逐一判断线面、面面关系即可得结论．【解答】解：A ，若a →⊥n →，则直线a 与平面α平行或在平面α内，是假命题； B ，若a →//n →，则a →也是平面α的法向量，所以直线a ⊥平面α，是真命题；C ，直线与平面的夹角的正弦值等于直线与平面法向量所成的锐角的余弦值，是真命题；D ，两个平面的夹角与它们的法向量所成的不大于90∘的角相等，是真命题. 故选BCD . 【答案】 A,B,D 【考点】抛物线的性质圆的标准方程圆与圆锥曲线的综合问题【解析】利用抛物线的相关性质求圆的标准方程，进而求解圆与抛物线的相关问题. 【解答】解：A ，∵抛物线E: x 2=2py (p >0) ， ∴焦点(0,p2)，准线y =−p2.∵圆x 2+(y −1)2=r 2的圆心(0,1)， ∴p2=1，∴ p =2，∴E:x 2=4y ，故A 正确；B ，∵E 的准线方程为y =−1，其准线与圆相切， ∴圆心到准线的距离为r =1−(−1)=2， ∴圆的方程为x 2+(y −1)2=4，故B 正确；C ，联立{x 2=4y ，x 2+(y −1)2=4得y 2+2y −3=0，解得y =1或y =−3（不符合题意，舍去），∴ 当y =1时，x =±2，∴圆与抛物线有2个交点，故C 错误；D ，在第一象限交点坐标为(2,1)，故D 正确. 故选ABD . 【答案】 A,B【考点】等比数列的性质等比数列的通项公式等比数列的前n 项和等比关系的确定【解析】利用递推公式变形求解，逐项判定即可. 【解答】解：A ， ∵a n+1−3a n −1=0， ∴a n+1+12=3(a n +12)，即a n+1+12a n +12=3，∴ 数列{a n +12}为以首项为32，公比为3的等比数列，A 正确； B ，由A 得a n +12=32×3n−1，∴a n =12×3n −12 ，B 正确； C ，∵a n =12×3n −12 ， ∴数列{a n }是递增数列，C 错误； D ，S n =12×3(1−3n )1−3−12n=−14×3n+1−34−n2 ，D 错误. 故选AB . 【答案】 B,D【考点】直线与平面所成的角异面直线及其所成的角平面与平面垂直的判定轨迹方程余弦定理【解析】利用空间向量判断平面与平面垂直、直线与平面的夹角，求动点的轨迹. 【解答】解：以A 为原点，AB →为x 轴，AD →为y 轴，AA 1→为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0) A 1(0,0,1)，B 1(1,0,1)，C 1(1,1,1)，D 1(0,1,1), ∴ AA 1→=(0,0,1)，AC →=(1,1,0)，设平面ACC 1A 1的法向量为m →=(x 1,y 1,z 1)，则{AA 1→⋅m →=0，AC →⋅m →=0，即{z 1=0，x 1+y 1=0，令x 1=1，y 1=−1， ∴ m →=(1,−1,0).A 1B 1→=(1,0,0)，B 1C →=(0,1,−1)，设平面B 1CDA 1法向量为n →=(x 2,y 2,z 2)，则{A 1B 1→⋅n →=0，B 1C →⋅n →=0，即{x 2=0，y 2−z 2=0，令y 2=1，z 2=1， ∴ n →=(0,1,1)，∴m →⋅n →=−1≠0 ，故A 错误；∵ C 1D 1⊥平面ADD 1A 1，∴∠C 1AD 1即为直线AC 1与平面ADD 1A 1所成的角. ∵ C 1D ⊥AD 1，C 1D 1=1，AC 1=√3， sin ∠C 1AD 1=3=√33，故B 正确； P 在B 1C 上，设P (1,x,1−x )(0≤x ≤1)，A 1P 2+BP 2−A 1B 2=1+2x 2+1+2x 2−2x −2 =4x 2−2x ，当0<x <12时，A 1P 2+BP 2−A 1B 2<0，则cos ∠A 1PB =A 1P 2+BP 2−A 1B 22A 1P⋅BP<0，即∠A 1PB >90∘，故C 错误；P 在侧面BCC 1B 1 上，设P (1,y,z )(0≤y ≤1，0≤z ≤1) ， ∵ AB ⊥平面BCC 1B 1， ∴ AB ⊥BP ，∴ P 到直线AB 距离即BP =√y 2+z 2，P 到CC 1距离为1−y ， |BP|=√y 2+z 2=1−y ，即z 2=1−2y ，为抛物线，故D 正确. 故选BD . 三、填空题【答案】(x +1)2+(y −2)2=1 【考点】关于点、直线对称的圆的方程【解析】先求出圆心C(1,0)关于(0,1)的对称点(−1,2)，所求圆的半径为1，即可得到圆的标准方程. 【解答】解：圆x 2+y 2−2x =0的标准方程为(x −1)2+y 2=1，圆心坐标为C(1,0)，半径为1，设圆心C(1,0)关于(0,1)的对称点为D(m,n)，所以m +1=0，n +0=2，解得m=−1，n=2，所以圆C关于(0,1)对称的圆的圆心为D(−1,2)，所以圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=1. 故答案为：(x+1)2+(y−2)2=1.【答案】y=±1 x【考点】双曲线的渐近线【解析】利用双曲线的渐近线方程y=±bax得到答案. 【解答】解：在双曲线C：x 24−y2=1中，a=2，b=1，所以双曲线的渐近线方程为y=±ba x=±12x.故答案为：y=±12x.【答案】5,n2−2n+2【考点】数列递推式数列的求和【解析】利用累加法进行求通项即可.【解答】解：∵a1=1，a n+1−a n=2n−1，∴当n≥2时，a n=(a n−a n−1)+(a n−1−a n−2)+⋯+(a2−a1)+a1 =1+(1+3+5+⋯+2n−3)=1+(n−1)(1+2n−3)2=n2−2n+2，当n=1时也成立，∴a n=n2−2n+2(n∈N∗)，∴a3=32−2×3+2=5. 故答案为：5；n2−2n+2. 【答案】√132【考点】双曲线的标准方程双曲线的离心率【解析】由题意可得|OF1|=|OF2|=c，|OT|=a，则|F1T|=√c2−a2=b，由向量共线定理可得|TP|=2b，|F1P|=3b，运用双曲线的定义，作F2M//OT，结合中位线定理和直角三角形的勾股定理可得2b=3a，再由离心率公式可得所求值．【解答】解：由题可得如图，因为|OF1|=|OF2|=c，|OT|=a，且OT⊥F1P，所以|F1T|=√c2−a2=b，因为F1P→=3F1T→，所以|TP→|=2b，|F1P→|=3b，由双曲线的定义可得|PF1|−|PF2|=2a，所以|PF2|=3b−2a，作F2M//OT交F1P于点M，则OT为△F1F2M的中位线，所以|F2M|=2|OT|=2a，|F1M|=2|F1T|=2b，|TM|=b，|PM|=b，在Rt△MPF2中，|MP|2+|MF2|2=|PF2|2，即b2+(2a)2=(3b−2a)2，整理可得ba=32，则e=ca=√1+b2a2=√1+94=√132.故答案为：√132.四、解答题【答案】(1)证明：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AE =x ，则B 1(1,2,1)，C (0,2,0)，D 1(0,0,1)，E (1,x,0)，B (1,2,0)，所以D 1E →=(1,x,−1)，B 1C →=(−1,0,−1). 因为D 1E →⋅B 1C →=(1,x,−1)⋅(−1,0,−1)=0，所以D 1E ⊥B 1C .(2)解：因为E 为AB 的中点，所以E (1,1,0)，所以D 1E →=(1,1,−1)，EC →=(−1,1,0)，BC →=(−1,0,0)，设平面D 1EC 的法向量为n →=(a,b,c )，则{n →⋅D 1E →=0，n →⋅EC →=0，即{a +b −c =0，−a +b =0，令a =1，则b =1，c =2，所以n →=(1,1,2)，所以点B 到平面D 1EC 的距离为ℎ=|BC →⋅n →||n →|=√6=√66. 【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】(1)证明：以D 为坐标原点，直线DA ，DC ，DD 1分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.设AE =x ，则B 1(1,2,1)，C (0,2,0)，D 1(0,0,1)，E (1,x,0)，B (1,2,0)，所以D 1E →=(1,x,−1)，B 1C →=(−1,0,−1). 因为D 1E →⋅B 1C →=(1,x,−1)⋅(−1,0,−1)=0，所以D 1E ⊥B 1C .(2)解：因为E 为AB 的中点，所以E (1,1,0)，所以D 1E →=(1,1,−1)，EC →=(−1,1,0)，BC →=(−1,0,0)，设平面D 1EC 的法向量为n →=(a,b,c )，则{n →⋅D 1E →=0，n →⋅EC →=0，即{a +b −c =0，−a +b =0，令a =1，则b =1，c =2，所以n →=(1,1,2)，所以点B 到平面D 1EC 的距离为ℎ=|BC →⋅n →||n →|=6=√66.【答案】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，因为2a1+a2=4，a1+a2+a3=3a2=6，所以a1=1，a2=2，d=1，所以{a n}的通项公式为a n=n，所以1a n(a n+1)=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1 n+1=nn+1.(2)因为log2b n=a n，所以b n=2a n=2n，所以b n+1b n =2n+12，所以W n=2(1−2n)1−2+12×(1−12n)1−12=2n+1−2+1−1 2n=2n+1−12n−1.【考点】数列的求和等差数列的通项公式等比数列的前n项和【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)设等差数列{a n}的公差为d，因为2a1+a2=4，a1+a2+a3=3a2=6，所以a1=1，a2=2，d=1，所以{a n}的通项公式为a n=n，所以1a n(a n+1)=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+13−14+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1.(2)因为log2b n=a n，所以b n=2a n=2n，所以b n+1b n=2n+12n，所以W n=2(1−2n)1−2+12×(1−12n)1−12=2n+1−2+1−12n=2n+1−12n−1.【答案】解：(1)因为S n=2−2a n+1，所以S n−1=2−2a n(n≥2)，两式相减得a n=2a n−2a n+1，即a n+1a n=12(n≥2).因为当n=1时，a1=2−2a2=1，所以a2=12，所以q=a2a1=12，所以数列{a n}是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n=12n−1.(2)由(1)知，1a n=2n−1，所以当2n−1≤m<2n时，b m=n，所以当n=1时，b1=1，当n=2时，b2=b3=2，当n=3时，b4=b5=⋯=b7=3，当n=4时，b8=b9=⋯=b15=4，当n=5时，b16=b17=⋯=b30=5，所以W30=1+2×2+3×4+4×8+5×15=124 .【考点】等比数列的通项公式数列递推式数列的求和【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为S n =2−2a n+1，所以S n−1=2−2a n (n ≥2)，两式相减得a n =2a n −2a n+1，即a n+1a n=12(n ≥2).因为当n =1时，a 1=2−2a 2=1，所以a 2=12，所以q =a 2a 1=12，所以数列{a n }是以1为首项，12为公比的等比数列，所以a n =12n−1.(2)由(1)知， 1a n=2n−1，所以当2n−1≤m <2n 时，b m =n ，所以当n =1时， b 1=1，当n =2时， b 2=b 3=2，当n =3时，b 4=b 5=⋯=b 7=3，当n =4时， b 8=b 9=⋯=b 15=4，当n =5时，b 16=b 17=⋯=b 30=5，所以W 30=1+2×2+3×4+4×8+5×15=124 . 【答案】解：(1)由题知圆x 2+(y −12)2=14的最高点恰为椭圆C 的上顶点，所以b =1，因为e =√a 2−b 2a=√22，所以a =√2，所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；在△PFQ 中，因为|PF|=|PQ|，所以y P =−p 2−32=−(p 4+32) ，所以|PF|=p2−y p =3p 4+32.又因为|FQ|=−p 2−(−3)=3−p 2，所以|PF|−|FQ|=(3p 4+32)−(3−p 2)=5p 4−32=1，解得p =2，所以抛物线D 的标准方程为x 2=−4y . (2)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，做差可得k AB =y 1−y2x 1−x 2=−(x 1+x 2)2(y 1+y 2)=−2x n 4(−x n 24)=2x n=2nn 2，解得x n =n 22n−1. 因为x n+1−x n =(n+1)2−2n 22n =−n 2−2n−12n，当1≤n ≤2时， −n 2−2n−12n>0；当n ≥3时， −n 2−2n−12n<0；所以x 1<x 2<x 3且x 3>x 4>x 5>⋯，所以x n ≤x 3=94.联立 {x 2=−4y ，x 22+y 2=1得y 2−2y −1=0，得y =1−√2或y =1+√2 （舍），所以x 2=4(√2−1)，即x n 2<4(√2−1)，所以x 2，x 3，x 4，x 5都不满足条件，所以(x n )max =x 6=98 .【考点】椭圆的标准方程椭圆的定义和性质直线与椭圆结合的最值问题椭圆的离心率圆锥曲线的综合问题【解析】【解答】解：(1)由题知圆x 2+(y −12)2=14的最高点恰为椭圆C 的上顶点，所以b =1，因为e =√a 2−b 2a=√22，所以a =√2，所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1；在△PFQ 中，因为|PF|=|PQ|，所以y P =−p 2−32=−(p 4+32) ，所以|PF|=p2−y p =3p 4+32.又因为|FQ|=−p2−(−3)=3−p2，所以|PF|−|FQ|=(3p 4+32)−(3−p2)=5p 4−32=1，解得p =2，所以抛物线D 的标准方程为x 2=−4y . (2)设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，则x 122+y 12=1，x 222+y 22=1，做差可得k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−(x 1+x 2)2y 1+y 2=−2x n4(−x n 24)=2x n=2n n2，解得x n =n 22n−1.因为x n+1−x n =(n+1)2−2n 22n =−n 2−2n−12n，当1≤n ≤2时， −n 2−2n−12>0；当n ≥3时， −n 2−2n−12n<0；所以x 1<x 2<x 3且x 3>x 4>x 5>⋯，所以x n ≤x 3=94.联立 {x 2=−4y ，x 22+y 2=1 得y 2−2y −1=0，得y =1−√2或y =1+√2 （舍），所以x 2=4(√2−1)，即x n 2<4(√2−1)，所以x 2，x 3，x 4，x 5都不满足条件，所以(x n )max =x 6=98.【答案】解：(1)因为AO ⊥平面BOC ，所以AO ⊥OC ，所以在三棱锥O −ABC 中，AC 2=AO 2+OC 2=20，取AO 1的中点E ，则△ACE 是直角三角形，所以AC 2=O 1O 22+AE 2，解得O 1O 2=4，所以V O−ABC =13S △BOC ⋅OA=13×12×OC ⋅OB ⋅OA =16×2×2×4=83.(2)由(1)知AO ⊥OC ，AO ⊥OB ，又BO ⊥OC ，以O 为坐标原点，以OC →，OB →，OA →的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，所以A (0,0,4)，B (0,2,0)，C (2,0,0)，F (0,0,2)， CF →=(−2,0,2)，AB →=(0,2,−4)，设异面直线CF 与AB 所成角为α，所以cos α=|CF →⋅AB →||CF →||AB →|=2√2×2√5=√105，异面直线CF 与AB 所成角的余弦值为√105.(3)因为G (0+0+23,0+2+03,4+0+03)，所以OG →=(23,23,43)，OC →=(2,0,0). 设n →=(x,y,z)为平面OGC 的法向量，则{n →⋅OG →=0,n →⋅OC →=0, 即{2x +2y +4z =0，2x =0，令y =2得n →=(0,2,−1)，OB →=(0,2,0)为平面OAC 的法向量，设平面GOC 和平面AOC 夹角为θ，所以cos θ=|OB →⋅n →||OB →||n →|=25=2√55，所以平面GOC 和平面AOC 夹角的余弦值为2√55. 【考点】柱体、锥体、台体的体积计算异面直线及其所成的角用空间向量求平面间的夹角【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为AO ⊥平面BOC ，所以AO ⊥OC ，所以在三棱锥O −ABC 中，AC 2=AO 2+OC 2=20，取AO 1的中点E ，则△ACE 是直角三角形，所以AC 2=O 1O 22+AE 2，解得O 1O 2=4，所以V O−ABC =13S △BOC ⋅OA=13×12×OC ⋅OB ⋅OA =16×2×2×4=83.(2)由(1)知AO ⊥OC ，AO ⊥OB ，又BO ⊥OC ，以O 为坐标原点，以OC →，OB →，OA →的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，所以A (0,0,4)，B (0,2,0)，C (2,0,0)，F (0,0,2)， CF →=(−2,0,2)，AB →=(0,2,−4)，设异面直线CF 与AB 所成角为α，所以cos α=|CF →⋅AB →||CF →||AB →|=2√2×2√5=√105，异面直线CF 与AB 所成角的余弦值为√105.(3)因为G (0+0+23,0+2+03,4+0+03)，所以OG →=(23,23,43)，OC →=(2,0,0). 设n →=(x,y,z)为平面OGC 的法向量，则{n →⋅OG →=0,n →⋅OC →=0, 即{2x +2y +4z =0，2x =0，令y =2得n →=(0,2,−1)，OB →=(0,2,0)为平面OAC 的法向量，设平面GOC 和平面AOC 夹角为θ，所以cos θ=|OB →⋅n →||OB →||n →|=2√5=2√55，所以平面GOC 和平面AOC 夹角的余弦值为2√55. 【答案】(1)解：由题知|FW|=p2+x w =p ，所以x w =p2，y w =p ，所以|OW|=√(p2)2+p 2=√52p =√5，解得p =2，所以抛物线C 的标准方程为y 2=4x ，F (1,0)，设动圆Z 的半径为r ，则|ZF ′|=r ，因为以Z 为圆心的动圆过F ′且与圆F 相切．所以|ZF|=4−r ，所以|ZF|+|ZF ′|=4>|FF ′|=2，所以Z 点的轨迹是以F ，F ′为焦点的椭圆，其长轴长2a =4，焦距为2c =2，b =√a 2−c 2=√3，所以曲线E 的标准方程为x 24+y 23=1 .(2)证明：①设点G (x,y )，因为A(2,0)，所以直线AC ：y =k 1(x −2)，所以k 1=y x−2，因为B(0,√3)，所以直线BD ：y =k 2x +√3，所以k 2=y−√3x ，因为k 1k 2=34，所以yx−2⋅y−√3x=34，整理得(2y −√3x)(2y +√3x −2√3)=0，因为ABCD 为四边形，所以2y +√3x −2√3≠0，所以点G 在定直线√3x −2y =0上； ②因为 A (2,0)，B(0,√3)，所以直线AB:y =−√32x +√3 ，设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，直线CD:y =kx +m ，将y =kx +m 代入x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，所以 x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，所以k 1k 2=y 1x1−2⋅y 2−√3x 2=y 1y 2−√3y 1(x 1−2)x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2−√3(kx 1+m)x 1x 2−2x 2=k 2(4m 2−123+4k 2)+km(−8km 3+4k 2)+m 2−√3k(−8km3+4k 2−x 2)−√3m 4m 2−123+4k 2−2x 2，所以3m 2−12k 2+4√3k 2m−3√3m+√3(3k+4k 3)x 24m 2−12−2(3+4k 2)x 2=34，所以{16√3k 3+24k 2+12√3k +18=0，4√3m (4k 2−3)+36−48k 2=0，解得k =−√32，所以AB//CD . 【考点】抛物线的性质圆锥曲线的综合问题抛物线的标准方程椭圆的定义圆锥曲线中的定点与定值问题【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：由题知|FW|=p2+x w =p ，所以x w =p2，y w =p ，所以|OW|=√(p2)2+p 2=√52p =√5，解得p =2，所以抛物线C 的标准方程为y 2=4x ，F (1,0)，设动圆Z 的半径为r ，则|ZF ′|=r ，因为以Z 为圆心的动圆过F ′且与圆F 相切．所以|ZF|=4−r ，所以|ZF|+|ZF ′|=4>|FF ′|=2，所以Z 点的轨迹是以F ，F ′为焦点的椭圆，其长轴长2a =4，焦距为2c =2，b =√a 2−c 2=√3，所以曲线E 的标准方程为：x 24+y 23=1 .(2)证明：①设点G (x,y )，因为A(2,0)，所以直线AC ：y =k 1(x −2)，所以k 1=y x−2，因为B(0,√3)，所以直线BD ：y =k 2x +√3，所以k 2=y−√3x ，因为k 1k 2=34，所以yx−2⋅y−√3x=34，整理得(2y −√3x)(2y +√3x −2√3)=0，因为ABCD 为四边形，所以2y +√3x −2√3≠0，所以点G 在定直线√3x −2y =0上； ②因为A (2,0)，B(0,√3)，所以直线AB:y =−√32x +√3 ，设C (x 1,y 1)，D (x 2,y 2)，直线CD:y =kx +m ，将y =kx +m 代入x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−12=0，所以x 1+x 2=−8km3+4k 2，x 1x 2=4m 2−123+4k 2，所以k 1k 2=y 1x1−2⋅y 2−√3x 2=y 1y 2−√3y 1(x 1−2)x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2−√3(kx 1+m)x 1x 2−2x 2=k 2(4m 2−123+4k 2)+km(−8km 3+4k 2)+m 2−√3k(−8km3+4k 2−x 2)−√3m 4m 2−123+4k 2−2x 2，所以3m 2−12k 2+4√3k 2m−3√3m+√3(3k+4k 3)x 24m 2−12−2(3+4k 2)x 2=34，所以{16√3k 3+24k 2+12√3k +18=0，4√3m (4k 2−3)+36−48k 2=0，解得k =−√32，所以AB//CD .。

青岛二中2020-2021学年高二上学期数学周考十二(理A)

信丰中学2017级高二上学期数学周考十二（理A）命题人：审题人：一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)1.已知焦点在轴上的椭圆的离心率为，则（）A. 6B.C. 4D. 22．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A．1 B.2 C．2 D．223．已知P为椭圆2212516x y+=上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x－3)2＋y2＝4上的点，则|PM|＋|PN|的最小值为（）．A.5B.6C.7D.84.设椭圆的左右焦点为，过作轴的垂线与交于两点，与轴交于点，若，则椭圆的离心率等于（）A． B． C． D．5.已知椭圆的离心率为，四个顶点构成的四边形的面积为12，直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，则直线的斜率为（）A． B． C． D．16.设、是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于两点，若，且轴，则（）A． B． C． D．7.椭圆的左、右焦点为，过作直线交C于A，B两点，若是等腰直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（）A． B． C． D．8.若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（）A． B．至多有一个 C． D．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)9.设椭圆的两个焦点为，，一个顶点是，则的方程为 .10.已知焦点在轴上，中心在原点的椭圆上一点到两焦点的距离之和为6，若该椭圆的离心率为，则椭圆的方程是__________．11.已知椭圆的两个焦点分别为，，为椭圆上一点，且，则此椭圆离心率的取值范围是__________．12.点是椭圆：的左焦点，过点且倾斜角是锐角的直线与椭圆交于、两点，若的面积为，则直线的斜率是．三．解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算13.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，经过点且倾斜角为的直线交椭圆于两点．（1）若的周长为16，求直线的方程；（2）若，求椭圆的方程．14.已知点A ,椭圆E: 的离心率为；F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点（I）求E的方程；（II）设过点A的动直线与E 相交于P,Q两点。

山东省青岛市开发区第二中学2020-2021学年高二数学文联考试卷含解析

山东省青岛市开发区第二中学2020-2021学年高二数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知集合，则（）A. B. C.D．参考答案：C2. 函数的定义域为（）A．B．C．D．（﹣∞，2）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【专题】计算题．【分析】题目给出的函数既有分式又有对数式，函数的定义域是保证分式、根式及对数式都有意义的自变量x的取值范围．【解答】解：要使原函数有意义，则需，解得：，所以原函数的定义域为（，2）．故选B．【点评】本题考查了函数定义域的求法，解答此题的关键是使构成函数的各个部分都有意义，属基础题．3. 双曲线x2﹣y2=﹣2的离心率为（）A．B．C．2 D．参考答案：A【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出a，c的值即可得到结论．【解答】解：双曲线的标准方程是，则a2=2，b2=2，则c2=2+2=4，即a=，c=2，则离心率e==，故选：A【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据条件求出a，c的值是解决本题的关键．比较基础．4. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°参考答案：C【考点】异面直线及其所成的角．【专题】常规题型．【分析】连接C1B，D1A，AC，D1C，将MN平移到D1A，根据异面直线所成角的定义可知∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角，而三角形D1AC为等边三角形，即可求出此角．【解答】解：连接C1B，D1A，AC，D1C，MN∥C1B∥D1A∴∠D1AC为异面直线AC和MN所成的角而三角形D1AC为等边三角形∴∠D1AC=60°故选C．【点评】本小题主要考查异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查转化思想，属于基础题．5. 偶函数满足=，且在时，，则关于的方程，在上解的个数是( )A.1B.2C.3D.4参考答案：D6. 阅读如图所示的程序框图，若输入的a、b、c分别是1、2、7，则输出的a、b、c分别是（）A．7、2、1 B．1、2、7 C．2、1、7 D．7、1、2参考答案：D【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是按顺序交换变量a，b，c的值．模拟程序的执行过程，易得答案．【解答】解：由流程图知，a赋给x，x赋给b，所以a的值赋给b，即输出b为1，c的值赋给a，即输出a为7．b的值赋给c，即输出c为2．故输出的a，b，c的值为7，1，2故选：D．7. 下列命题错误的是A、命题“若，则方程有实数根”的逆否命题为“若方程无实数根，则”B、“”是“”的充分不必要条件C、对于命题,使得，则，均有D、若为假命题，则均为假命题参考答案：D8. 如图所示，空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c, 点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于 ( )参考答案：B9. （5分）（2014秋?郑州期末）已知点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（）A．﹣4＜a＜9 B．﹣9＜a＜4 C． a＜﹣4或a＞9 D． a＜﹣9或a＞4参考答案：A【考点】：直线的斜率．【专题】：直线与圆．【分析】：由点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，把两点的坐标代入3x ﹣2y+a所得的值异号，由此列不等式求得a的范围．解：∵点（2，1）和（﹣1，3）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，∴（3×2﹣2×1+a）（﹣1×3﹣2×3+a）＜0，即（a+4）（a﹣9）＜0．解得﹣4＜a＜9．故选：A．【点评】：本题考查了简单的线性规划，考查了二元一次不等式所表示的平面区域，是基础题．10. 设S n=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）（n∈N*），则S n等于( )A．n B．﹣n C．（﹣1）n n D．（﹣1）n﹣1n参考答案：D【考点】数列的求和．【专题】计算题；函数思想；等差数列与等比数列．【分析】利用n=1，2，3验证即可得到选项．【解答】解：当n=1时，选项BC不成立；当n=2时，选项A不成立，故选：D．【点评】本题考查数列求和，选择题的解题，灵活应用解题方法，是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作圆的切线，切点为E，若切线FE交轴于点，则双曲线的离心率为 __参考答案：12. 若两个非零向量,满足,则与的夹角为▲．参考答案：【知识点】向量加法与减法运算的几何意义【答案解析】解析：解：因为，所以以向量为邻边的平行四边形为矩形，且构成对应的角为30°的直角三角形，则则与的夹角为60°.【思路点拨】求向量的夹角可以用向量的夹角公式计算，也可利用向量运算的几何意义直接判断.13. 若向量，，，满足条件，则．参考答案：．14. 在 (x－1)11的展开式中，系数最小的项的系数为 ________(结果用数值表示)。

2020-2021学年山东青岛高二上数学月考试卷

2020-2021学年山东青岛高二上数学月考试卷一、选择题1. 若直线l 1：y =2x +1与l 2：(3m +1)x −2y +5=0平行，则m =( ) A.2 B.1 C.−2 D.−12. 过A (2,6)，B (1,−6)两点的直线的斜率为( ) A.112 B.−12 C.12D.−1123. 已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,6)，B (1,−6)，C(5,2)，M 为BC 的中点，则中线AM 所在直线的方程为( )A.8x +y −26=0B.10x +y −26=0C.10x −y −34=0D.8x +y −22=04. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，设AB →=a →，AD →=b →，AA →1=c →，且|a →|=2，则(a →+b →)⋅(a →−c →)=( ) A.3 B.1 C.4 D.25. 直四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的各棱长均为2，且∠BAD =π3，则|AC 1→|=( )A.4B.2√3C.3√3D.√106. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =4，若点P 在侧面BCC 1B 1（不含边界）内运动，AP ⊥BD 1，且点P 到底面ABCD 的距离为3，则异面直线BD 与AP 所成角的余弦值是( )A.3√1313B.√1326C.3√1326D.√13137. 已知P ，A ，B ，C 四点满足PA →=(1,1,−3)，PB →=(2,−1,1)，PC →=(3,4,m )，且P ，A ，B ，C 四点共面，则m =( ) A.−343 B.113C.343D.−138. 已知在四面体ABCD 中，AB =CD =√10，AC =BD =√13，AD =BC =√5，M 为棱AB 的中点，DN →=13DC →，连接MN ，则点A 到MN 所在直线的距离的平方为( )A.1011 B.6977C.6577D.369154二、多选题以下关于向量的说法中正确的是( ) A.若a →与b →共线，b →与c →共线，则a →与c →共线B.若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则终点围成一个圆C.若a →=−b →且b →=−c →，则a →=c →D.若a →=b →，则|a →|=|b →|在四面体ABCD 中，E ，F 分别是BC ，BD 上的点，且BEEC =BFFD =2，则EF →−AC →+AD →=( ) A.89CD →B.52EF →C.53CD →D.43EF →已知直线l 与函数y =log 2x 的图象有两个交点P (a,b )，Q (c,d )，且PQ 的中点在x 轴上，则下列说法正确的是( ) A.a +c =1B.l 的斜率大于0C.l 在x 轴的截距大于1D.ac =1在三棱锥P −ABC 中，以下说法正确的有( )A.若PA =PB =PC =2，AB =AC =BC =2√2，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，则|MN →|=2 B.若2AD →=AB →+AP →，则BP →=3BD →C.若T 为△ABC 的重心，则2PT →+AT →=PB →+PC →D.若PA →⋅AC →=0，PA →⋅AB →=0，则PA →⋅BC →=0 三、填空题已知直线l 的方向向量m →=(1,−2,3)，平面α的法向量n →=(t,t +1,−1)，若l//α，则t =________.已知直线l:x 2+y6=1与x 轴和y 轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△AOB 的面积为________.设A (1,1)，B (3,5)，C (5,3)，D (0,−7)，E (2,−3)，F (8,−6)，若直线l 分别与△ABC 及△DEF 各恰有一个交点，则直线l 的斜率的最小值为________.如图，已知四棱柱ABCD −A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1为平行四边形，E 为棱AB 的中点，AF →=13AD →，AG →=2GA 1→，AC 1与平面EFG 交于点M ，则AMAC 1=________.四、解答题在①它的倾斜角比直线y =√3x −1的倾斜角小π12，②与直线x +y −1=0垂直，③在y 轴上的截距为−1，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：已知直线l 过点(2,1)，且________，求直线l 的方程．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．如图，在多面体ABC −A 1B 1C 1中，平面AA 1B 1B ⊥平面A 1B 1C 1，四边形AA 1B 1B 是菱形，AA 1//CC 1，AA 1=2CC 1=4，∠AA 1B 1=60∘.C 1A 1=C 1B 1=√5.(1)若点G 是AB 1的中点，证明：CG//平面A 1B 1C 1；(2)求点C 1到平面ABC 的距离．如图，三棱锥P −ABC 中的三条棱AP ，AB ，AC 两两互相垂直，∠PBA =π6，点D 满足PB →=4PD →.(1)证明：PB ⊥平面ACD ；(2)若AP =AC ，求异面直线CD 与AB 所成角的余弦值．如图，在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，B 1C 1⊥平面AA 1C 1C ，D 是AA 1的中点，△ACD 是边长为1的等边三角形．(1)证明：CD ⊥B 1D ；(2)若BC =√3，求二面角B −C 1D −B 1的余弦值．如图，圆柱上、下底面圆的圆心分别为O ，O 1，该圆柱的轴截面为正方形，三棱柱ABC −A 1B 1C 1的三条侧棱均为圆柱的母线，且AB =AC=√306OO 1，点P 在轴OO 1上运动．(1)证明：不论P 在何处，总有BC ⊥PA 1；(2)当点P 为OO 1的中点时，求PB 1与平面A 1PB 所成角的正弦值．如图，已知菱形ABCD 的边长为1,∠BAD =π3，将菱形ABCD 沿着AD 翻折到AEFD 的位置，连接CF ，BE ，CE ．(1)证明：BE//平面FCD ．(2)在翻折的过程中，能否使得BE 与平面ECD 所成的角的正弦值为2√1313？若能，求出二面角B −AD −E 的大小；若不能，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年山东青岛高二上数学月考试卷一、选择题1.【答案】此题暂无答案【考点】两条直根平行与亮斜角感斜哪的关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】此题暂无答案【考点】斜率三州算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答3.【答案】此题暂无答案【考点】直线的三般式方疫直线的验我式方程中点较标公洗【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】此题暂无答案【考点】空间向量射数量象运算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5. 【答案】此题暂无答案【考点】空间向射的数乘放算向使的之【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】此题暂无答案【考点】用空明向研求提线你的夹角、距离【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答7.【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答8.【答案】此题暂无答案【考点】空间因印的每角与泡离求解公式点于虫、练板的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、多选题【答案】此题暂无答案【考点】命题的真三判断州应用向量水较线定理单体向白【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】相似三来形的循质向量三减弧合引算及码几何意义【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】对数函数表础象与性质函验立零点中点较标公洗【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】平面向量三量积州运算向量三减弧合引算及码几何意义数量积常断换个平只存量的垂直关系向使的之【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答三、填空题【答案】此题暂无答案【考点】数量积常断换个平只存量的垂直关系【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】三角形射面积公放直线的都特式方程【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】斜率三州算公式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】共线向验流共面向量空间向来的加获法【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答四、解答题【答案】此题暂无答案【考点】直线的都特式方程直线的都特式方程两条直因垂直滤倾斜汉措斜率的关系直线于倾斜落【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】直线与平三平行定判定用空射向空求直式与夏面的夹角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用向体证决垂直异面直线表烧所成的角【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】二面角的使面角及爱法直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用空射向空求直式与夏面的夹角直线与平正垂直的判然【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答【答案】此题暂无答案【考点】用空根冬条求才面间的夹角直线与平三平行定判定【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答。

【精准解析】山东省青岛胶州市2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷

2020-2021学年度第一学期期中学业水平检测高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 直线2021x =的倾斜角为（） A. 90︒ B. 0︒C. 180︒D. 45︒【答案】A 【解析】【分析】由直线与x 轴垂直可得倾斜角．【详解】直线2021x =与x 轴垂直，∴倾斜角为90︒．故选：A ．2. 已知向量(1,2,),(,1,2)a t b t ==，且a b ⊥，则实数t =（） A. 1 B. 1-C. 23-D.23【答案】C 【解析】【分析】由0a b ⋅=计算可得．【详解】∵a b ⊥，∴220a b t t ⋅=++=，解得23t =-．故选：C ．3. 若直线1:10l ax y ++=与直线2:210l x ay a ++-=平行，则实数a =（） A. 1 B. 1-C. 0D. ±1【答案】B 【解析】【分析】根据两直线平行可得到各项系数所满足的关系式，进而求得结果.【详解】由两直线平行知：21021a a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得：1a =-.故选：B.【点睛】结论点睛：若直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，则12210A B A B -=，12210B C B C -≠或12210AC A C -≠.4. 已知三棱柱111ABC A B C -，点P 为线段11B C 的中点，则AP =（）A. 11122AB AC AA ++ B. 11122AB AC AA ++ C. 11122AB AC AA +-D. 11122AB AC AA ++【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算求解即可【详解】解：在三棱柱111ABC A B C -，点P 为线段11B C 的中点，则111111111,,2AB A B BC B C B P PC B C ====，所以111111112AP AA A P AA A B B C =+=++11()2AA AB BA AC =+++11122AB AC AA =++，故选：D5. 已知二面角l αβ--的大小为60︒，,A B 为棱l 上不同两点，,C D 分别在半平面, αβ内，,AC BD 均垂直于棱l ，22AC BD AB ===，则异面直线CD 与AB 所成角的余弦值为A.15B.5 C.13D.12【答案】B 【解析】【分析】在平面β内作//AE BD ，且AE BD =，得//DE AB ，CDE ∠（或其补角）是异面直线CD 与AB 所成角．在CED 中求解即可得．【详解】如图，在平面β内作//AE BD ，且AE BD =，连接ED ，则AEDB 是平行四边形，所以1DE AB ==，//DE AB ，CDE ∠（或其补角）是异面直线CD 与AB 所成角．因为AB BD ⊥，所以AB AE ⊥，又AB AC ⊥，所以EAC ∠是二面角l αβ--的平面角，即60EAC ∠=︒，2AC AE ==，所以2EC =，又AC AE A ⋂=，所以AB ⊥平面AEC ，EC ⊂平面AEC ，所以AB EC ⊥，由//DE AB 得DE EC ⊥，所以2222215CD EC ED =+=+=．5cos 5DE CDE CD ∠===．故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查求异面直线所成的角，解题关键是作出异面直线所成的角．作平行线构造三角形，得出异面直线所成的角（并证明）．然后计算．6. 若过原点的直线l 与圆22430x x y -++=有两个交点，则l 的倾斜角的取值范围为（） A. ,33ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ B. ,66ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ C. 50,,66πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭D. 20,,33πππ⎡⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭【答案】C 【解析】先由圆的方程确定圆心和半径，得到直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx =，根据直线与圆的位置关系列出不等式求解，得出斜率的范围，进而可得倾斜角的范围. 【详解】由22430x x y -++=得()2221x y -+=，所以圆()2221x y -+=的圆心为()2,0，半径为1r =，因此为使过原点的直线l 与圆22430x x y -++=有两个交点，直线l 的斜率必然存在，不妨设直线l 的方程为：y kx =，即0kxy0k r 21k ，整理得213k <，解得33k -<<，记l 的倾斜角为θ，则33tan θ，又[)0,θπ∈，所以50,,66ππθπ⎡⎫⎛⎫∈⋃⎪⎪⎢⎣⎭⎝⎭. 故选：C.7. 已知椭圆22:14x C y +=上两点,A B ，若AB 的中点为D ，直线OD 的斜率等于1，则直线AB 的斜率等于（） A. 1- B. 1C. 12-D. 14-【答案】D 【解析】【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)D x y ，把,A B 两点坐标代入椭圆方程相减后可得AB k 与OD k 的关系，从而得出结论．【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，00(,)D x y ，1201202,2x x x y y y +=+=，则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2222121204x x y y -+-=，整理得01212121201144xy y x x x x y y y -+=-⋅=-⋅-+，即11144AB OD k k =-⋅=-．故选：D ．【点睛】方法点睛：在遇到椭圆的弦中点时，常常用点差法求解．即设弦两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，弦中点00(,)D x y ，两端点坐标代入椭圆方程相减珀可得AB k 与OD k 的关系．双曲线的弦中点也可这样求解．8. 已知圆222:()0O x y r r +=>1=交于, A B两点，且AB =O 与函数()ln(1)f x x =-的图象交点个数为（）个A. 2B. 1C. 0D. 3【答案】A 【解析】【分析】由弦长求得半径r ，确定圆过点(2,0)，而函数()f x 是增函数，也过点(2,0)，从而可得结论．【详解】圆心O 到直线AB 的距离为1d ==，又AB =，所以2r ==，所以圆O 过点(2,0)，而函数()ln(1)f x x =-在(1,)+∞上是增函数，且过点(2,0)，因此它们有2个交点．故选：A ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知直线:10l x my m -+-=，则下述正确的是（） A. 直线l 的斜率可以等于0 B. 直线l 的斜率有可能不存在 C. 直线l 可能过点(2,1)D. 若直线l 的横纵截距相等，则1m =± 【答案】BD 【解析】【分析】根据直线方程判断斜率AB ，代入点的坐标可判断直线是否过一点判断C ，求出横纵截距可判断D ．【详解】0m =时，斜率不存在，0m ≠时，斜率不等于0，A 错；B 正确；2110m m -+-=≠，(2,1)不在直线上，C 错；0m =时，纵截距不存在，0m ≠时，令0x =得1m y m-=，令0y =，1x m =-，由11m m m-=-得1m =±，D 正确．故选：BD ．10. 已知椭圆C ：221625400x y +=，关于椭圆C 下述正确的是（） A. 椭圆C 的长轴长为10B. 椭圆C 的两个焦点分别为(0,3)-和(0,3)C. 椭圆C 的离心率等于35D. 若过椭圆C 的焦点且与长轴垂直的直线l 与椭圆C 交于,P Q ，则32||5PQ = 【答案】ACD 【解析】【分析】椭圆方程化为标准方程，求出,,a b c ，然后判断各选项．【详解】由已知椭圆标准方程为2212516x y +=，则5,4a b ==，∴3c =．长轴长为210a =，A 正确；两焦点为(3,0),(3,0)-，B 错误；离心率为35c e a ==，C 正确； 3x =代入椭圆方程得2216325400y ⨯+=，解得165y =±，∴325PQ =，D 正确．故选：ACD ．11. 已知点()11,0F -，()21,0F ，动点P 到直线2x =的距离为d ，2PF d =，则（） A. 点P 的轨迹是椭圆B. 点P 的轨迹曲线的离心率等于12C. 点P 的轨迹方程为2212x y +=D. 12PF F △的周长为定值【答案】AC 【解析】【分析】设(),P x y ，根据22PF d =整理可得轨迹方程，利用轨迹方程依次判断各个选项即可得到结果.【详解】设(),P x y ，则2PF =2d x =-，22PF d =，()()2221122x y x -+∴=-，整理可得：2212x y +=，即P 点轨迹方程为2212x y +=，C 正确；由方程知P 点轨迹为椭圆，A 正确；由方程得：a =1c =，∴离心率2c e a ==，B 错误；由椭圆定义知：12PF F △周长为222a c +=，D 错误. 故选：AC.12. 已知四面体ABCD所有棱长均为2，则下列结论正确的是（）A. 异面直线AC 与BD 所成角为60︒B. 点A 到平面BCDC. 四面体ABCDD. 动点P 在平面BCD 上，且AP 与AC 所成角为60︒，则点P 的轨迹是椭圆【答案】BC 【解析】【分析】在正四面体中通过线面垂直可证得AC ⊥BD ，通过计算可验证BC,通过轨迹法可求得P 的轨迹为双曲线方程即可得D 错误.【详解】取BD 中点E ,连接,AE CE ,可得BD ⊥面ACE ,则AC ⊥BD ,故A 错误；在四面体ABCD 中，过点A 作AF ⊥面BCD 于点F ,则F 为为底面正三角形BCD 的重心，因为所有棱长均为2,AF ==即点A 到平面BCD 的距离为3,故B正确；设O 为正四面体的中心则OF 为内切球的半径，OA 我外接球的半径，因为11433A BCD BCD BCD V S AF S OF -=⋅=⨯⋅△△，所以4AF OF =，即OF AO =所以四面体ABCD 的外接球体积334433V R OA ππ===,故C 正确；建系如图：,A C ⎛⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,设(,,0)P x y ，则,,0,333AP x y AC →→⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为cos 60AP AC AP AC →→→→⋅=，所以241392y +=，83y +，平方化简可得：22400399y x y ----，可知点P 的轨迹为双曲线,故D 错误. 故选：BC ．【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹的求解问题，解决此类问题可采用空间向量法，利用空间向量法表示出已知的角度或距离的等量关系，从而得到轨迹方程.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 圆221:40C x y x ++=与圆222:(2)(1)9C x y -+-=的位置关系为___________.【答案】相交【解析】【分析】根据两圆的方程，分别求得两圆的圆心坐标和半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由圆221:(2)4C x y ++=和圆222:(2)(1)9C x y -+-=，可得两圆的圆心分别为12(2,0),(2,1)C O -，半径分别为122,3r r ==，所以()()2212121220117C C r r <--+-=<+，所以两圆相交.故答案为：相交.14. 已知椭圆2219x y m +=的离心率等于13，则实数m =__________. 【答案】8或818【解析】【分析】讨论椭圆焦点的位置，分两种情况求椭圆的离心率，再求实数m 的值. 【详解】当椭圆的焦点在x 轴时，2a m =，29b =，29c m =-，所以919m m -=，解得：818m =，当椭圆的焦点在y 轴时，29a =，2b m =，29c m =-，所以9199m -=，解得：8m =. 故答案为：8或81815. 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 为线段1AC 上一点，1PA =，则点P 到平面ABCD 的距离为______________. 【答案】33【解析】【分析】作1//PE CC 交AC 于E ，可得PE ⊥平面ABCD ，由平行线的性质求得PE 即可．【详解】作1//PE CC 交AC 于E ，因为1CC ⊥平面ABCD ，所以PE ⊥平面ABCD ，13AC =，由1//PE CC 得11PE AP CC AC =，所以11333AP CC PE AC ⋅===．故答案为：33．16. 在平面直角坐标系中，()1,2A ，()2,1D ，点,B C 分别在x 轴、y 轴上，则（1）AB BD +的最小值是_________；（2）AC CB BD ++的最小值是_________.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）求得A 关于x 轴的对称点A '后，由AB BD A D '+≥可求得结果；（2）求得A 关于y 轴的对称点A ''和D 关于x 轴的对称点D 后，由AC CB BD ++A D '''≥可求得结果.【详解】（1）点A 关于x 轴的对称点A '的坐标为()1,2-，则AB BD A B BD A D ''+=+≥（当且仅当,,A B D '三点共线时取等号），()min AB BD A D ∴+==='（2）点A 关于y 轴的对称点A ''的坐标为()1,2-；点D 关于x 轴的对称点D 的坐标为()2,1-，则AC CB BD A C CB BD A D ''''''++=++≥（当且仅当,,,A C B D '''四点共线时取等号），()min AC CB BD A D '''∴++===；【点睛】思路点睛：本题考查两定点到动点的距离之和的最值问题的求解，求解此类问题的基本思路是求得某点关于动点所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，确定三点共线时取最值.四、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知O 为坐标原点，直线:10+--=l ax y a （R a ∈），圆22:1O x y +=.（1）若l 的倾斜角为120︒，求a ；（2）若l 与直线0:20l x y -=的倾斜角互补，求直线l 上的点到圆O 上的点的最小距离；（3）求点O 到l 的最大距离及此时a 的值. 【答案】（1）3；（2）351-；（3）2；1. 【解析】【分析】（1）由题意可知tan1203a =-=-，从而可求出a 的值；（2）由题意可知两直线的斜率互为相反数，可得2a =，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d ，可得直线与圆相离，从而可得直线l 上的点到圆O 上的点的最小距离为1d -，（3）直线l 恒过定点(1,1)W ，所以O 到l 的距离小于等于||2OW =OW l ⊥时，距离最大，从而可得结果【详解】（1）由题知：直线l 的斜率等于tan1203a =-=-，解得3a =（2）因为l 与直线0:20l x y -=的倾斜角互补，所以两者斜率互为相反数，所以2a -=-，即2a =，所以:230l x y +-=，则圆心O 到直线l 的距离3515d => ，所以直线l 上的点到圆O 上的点的最小距离为3515- ，（3）直线l 恒过定点(1,1)W ，所以O 到l 的距离小于等于||2OW =，所以当OW l ⊥时，点O 到l 的最大距离为||2OW =1OW l k k ⋅=-，解得1a =18. 在平面直角坐标系中，圆C 过点()1,0E 和点()0,1F ，圆心C 到直线0x y +=的距离等2.（1）求圆C 的标准方程；（2）若圆心C 在第一象限，M 为圆C 外一点，过点M 作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ，四边形MACB 的面积为3，求点M 的轨迹方程.【答案】（1）()()22111x y -+-=或()()22115x y +++=；（2）()()22114x y -+-=. 【解析】【分析】（1）由题意可知，圆心C 在线段EF 的垂直平分线y x =，可设圆心(),C a a ，由圆心C 到直线0x y +=的距离等于2可求得实数a 的值，进而可求得圆C 的标准方程；（2）推导出Rt CAM Rt CBM ≅△△，可得出四边形MACB 的面积23CAMS SCA AM ==⋅=，进一步可求出2CM =，可得出点M 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆，进而可求得点M 的轨迹方程. 【详解】（1）直线EF 的斜率为01110EF k -==--，线段EF 的中点为11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，所以，线段EF 的垂直平分线的方程为1122y x -=-，即y x =，因为圆C 过点()1,0E 和点()0,1F ，所以圆心C 在线段EF 的垂直平分线y x =上，所以可设圆心为(),C a a ，因为圆心C 到直线0x y +=的距离等于2，所以222a =，解得1a =±，当1a =时，圆心为()1,1，半径1r EC ==，圆C 的方程为：()()22111x y -+-=；当1a =-时，圆心为()1,1--，半径5r EC ==，圆C 的方程为：()()22115x y +++=.所以圆C 的标准方程为()()22111x y -+-=或()()22115x y +++=；（2）由题知CA MA ⊥，CB MB ⊥，CA CB =，CM CM =，90CAM CBM ∠=∠=，所以，Rt CAM Rt CBM ≅△△，所以四边形MACB 的面积23CAMS SCA AM ==⋅=，因为1CA =，所以3AM =，所以2224CMCA AM =+=，所以2CM =，点M 的轨迹是以C 为圆心，半径为2的圆，所以点M 的轨迹方程为：()()22114x y -+-=. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.19. 在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点.（1）如果4PD =，求证：PC ⊥平面MAD ；（2）当BP 与平面MBD 所成角的正弦值最大时，求三棱锥D MBC -的体积V . 【答案】（1）证明见解析；（2）163. 【解析】【分析】（1）结合PCD为等腰三角形可证PC DM⊥，再由线面垂直判定定理可证AD⊥平面PCD，得到AD PC⊥，进而得证；（2）设PD t=，以D为坐标原点，分别以,,DA DC DP所在方向为,,x y z轴正方向，建立空间直角坐标系，结合向量表示出线面角的正弦值，结合基本不等式求得t值，再由体积公式计算即可【详解】证明：（1）在PDC△中，PD DC=，M为PC中点，所以PC DM⊥，因为PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以PD AD⊥，又因为AD CD⊥，PD CD D⋂=，所以AD⊥平面PCD，因为PC⊂平面PCD，所以AD PC⊥，因为AD DM D=，所以PC⊥平面MAD；（2）设PD t=，以D为坐标原点，分别以,,DA DC DP所在方向为,,x y z轴正方向，建立O xyz-空间直角坐标系，则()()0,0,0,4,4,0,0,2,2tD B M⎛⎫⎪⎝⎭,()0,0,P t，设平面MBD的法向量为(),,n x y z=，所以()0,2,,4,4,02DtDBM⎛⎫==⎪⎝⎭，()4,4,BP t=--所以n DMn DB⎧⋅=⎨⋅=⎩，得202440ty zx y⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令1y=，可得41,1,nt⎛⎫=--⎪⎝⎭，所以BP与平面MBD的法向量n所成角的正弦值为1cos,3BP n ==≤（当且仅当22256tt=，即4t=时等号成立），所以三棱锥D MBC-的体积11111644424433D MBC M DBC P DBC P ABCDV V V V----====⨯⨯⨯⨯=【点睛】方法点睛：本题考查线面垂直的证明，由线面角的关系求解具体线段长度，锥体体积公式的应用，具体用到以下方法：（1）线面垂直的证明：常通过证线线垂直证线面垂直，线线垂直常通过几何性质（等腰、等边三角形、矩形、正方形）或勾股定理证明，也可通过线面垂直的性质证线线垂直；（2）已知二面角大小求解具体线段长度或确定动点位置问题常通过建系法求解，合理建系和正确求解点坐标与法向量是解题关键20.在平面直角坐标系中，(10,C，圆(222:12C x y+=，动圆P过1C且与圆2C 相切.（1）求动点P的轨迹C的标准方程；（2）若直线l过点()0,1，且与曲线C交于A、B，已知AB的中点在直线14x=-上，求直线l的方程.【答案】（1）2213yx+=；（2）1y x=+或31y x.【解析】【分析】（1）由题意可知，圆P内切于圆2C，根据椭圆的定义可知，P点的轨迹是以1C、2C为焦点的椭圆，计算出a、b的值，结合焦点的位置可求得轨迹C的标准方程；（2）由题意可知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为1y kx=+，设点()11,A x y、()22,B x y，将直线l的方程与曲线C的方程联立，列出韦达定理，根据12124x x+=-可得出关于k的方程，求出k的值，即可求得直线l的方程.【详解】（1）设动圆P的半径为r ，由于1C 在圆2C 内，所以，圆P 内切于圆2C ，由题意知：1PC r =，223PC r =-所以12122322PC PC C C +=>=，所以P 点的轨迹是以1C 、2C 为焦点的椭圆.其长轴长223a =，焦距为222c =，221b a c -=，所以曲线C 的标准方程为：2213y x +=；（2）若直线l 的斜率不存在，则A 、B 关于x 轴对称，不合题意；若直线l 的斜率存在，设其方程为1y kx =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，将1y kx =+代入2213y x +=得：()223220k x kx ++-=，()()2224831220k k k ∆=++=+>，所以12223kx x k +=-+，所以1221=234x x k k +=--+ 所以2430k k -+=，解得1k =或3k =，所以，直线l 的方程为：1y x =+或31yx .【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y 、()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x 的形式；（5）代入韦达定理求解.21. 如图，在几何体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，BCF △为等边三角形，60ABC ∠=︒，2,//AB EF CD =，平面BCF ⊥平面ABCD .（1）证明：在线段BC 上存在点O ，使得平面ABCD ⊥平面AOF ；（2）求二面角B AF C --的余弦值；（3）若//ED 平面AOF ，求线段EF 的长度. 【答案】（1）证明见解析；（2）15；（3）4 【解析】【分析】（1）取线段BC 的中点O ，先证明BC ⊥平面AOF ，再根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABCD ⊥平面AOF ；（2分别求出平面ABF 和平面ACF 的法向量，利用向量法即可求得二面角B AF C --的余弦值；（3）由////EF CD AB ，可得FE tBA =，进而写出3,3)E t t -，求出(33,23)DE t t =--，再根据//ED 平面AOF ，即DE 与平面AOF 的法向量OB 的数量积为0，解出t ，即可求得线段EF 的长度. 【详解】解：（1）如图所示：取线段BC 的中点O ，连接,OA OF ，BCF 、ABC 均为等边三角形，,,BC OA BC OF OA OF O ∴⊥⊥⋂=，BC ∴⊥平面AOF ，又BC ⊂平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面AOF∴在线段BC 存在中点O ，使得平面ABCD ⊥平面AOF ；（2）平面BCF ⊥平面ABCD ，平面BCF ⋂平面ABCD BC =，FO BC ⊥FO ∴⊥平面ABCD ，即,,OA OB OF 两两垂直，以OA OB OF 、、为x y 、、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(3,0,0,),(0,1,0),3),(0,1,0),3,2,0)A B F C D --，设平面ABF 的一个法向量()111,,m x y z =，(3,1,0)AB =-， (3,0,3)AF =-，00m AB m AF ⎧⋅=∴⎨⋅=⎩，得：111130330x y x z ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则()1,3,1m =，设平面ACF 的一个法向量()222,,n x y z =，因为(3,1,0)CA =，CF =由.0.0m CA m CF ⎧=⎨=⎩，得：22220y y +=+=⎪⎩，令21x =，则1,3,1)n =-（，设二面角B AF C --的平面角为θ，1cos 51m n m nθ⋅∴===-+，又二面角B AF C --为锐二面角，∴二面角B AF C --的余弦值为15；(3)////EF CD AB，设(3,0)zFE tBA t t ==-，F ，,E t ∴-，则(32DE t t =--，又//ED 平面AOF ，且平面AOF 的一个法向量为(0,1,0)OB =， (32(0,1,0)20DE OB t t ⋅=-⋅=-=，2t ∴=，||2||4FE BA ∴==.【点睛】方法点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错，（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量，（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.22. 已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，12||2F F =，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过12,F F 的圆与直线x =.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于,M N 两点.（ⅰ）若直线l 的斜率等于1，求OMN 面积的最大值；（ⅱ）若1OM ON ⋅=-，点D 在l 上，OD l ⊥.证明：存在定点W ，使得||DW 为定值.【答案】（1）2212x y +=；（2）（ⅰ）2；（ⅱ）6【解析】【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的标准方程.（2）（ⅰ）设直线l 的方程为：y kx t =+，()()1122,,,M x y N x y ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.（ⅱ）利用韦达定理化简1OM ON ⋅=-可得t =D 的轨迹为圆，故可证存在定点W ，使得||DW 为定值.【详解】（1）由题意知：1(1,0)F -，2(1,0)F ，又()0,P b ，则以P 为圆心且过12,F F 的圆的半径为a =故1,1a b c ===，所以椭圆C 的标准方程为：2212x y +=.（2）（ⅰ）设直线l 的方程为：y x t =+，()()1122,,,M x y N x y将y x t =+代入2212xy +=得：2234220x tx t ++-=，所以21212422,33t t x x x x -+=-=且()2221612222480t t t ∆=--=->，故t <<又12|||AB x x =-==，点O 到直线l 的距离d ==，所以2213()23322AOBt tS+-==≤=，等号当仅当223t t=-时取，即当2t=±时，OMN的面积取最大值为2. （ⅱ）显然直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为：y kx t=+，()()1122,,,M x y N x y，由（ⅰ）知：2121222422,,1212kt tx x x xk k-+=-=++所以22221212121222()()()12t ky y kx t kx t k x x kt x x tk-=++=+++=+，所以2212122322112t kOM ON x x y yk--⋅=+==-+，解得213t=，t=Z⎛⎝⎭或(0,，所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为0,6W⎛⎫⎪⎪⎝⎭或0,6⎛⎫-⎪⎪⎝⎭所以存在定点0,6W⎛⎫⎪⎪⎝⎭或0,6⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，使得||DW.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等. 直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。

2024届山东省青岛市二中高二上学期12月月考试题数学及答案

青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.122. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（）A. 7B. 12C. 15D. 314. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34132160a a a ++=，则1165S a -=（）A. 240B. 180C. 120D. 606. 若数列{}n a 满足()()()1112n n n a n a n --=+≥，12a =，则满足不等式930n a <的最大正整数n 为（）A. 28B. 29C. 30D. 317. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C 左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（）AB.C. 2D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为404711. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1.的的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nn ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于3212. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M 的频率为m ，音分值为k ，音N 的频率为n ，音分值为l .若m =，则k l -=_________16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.为.（1）求直线AC 的方程：（2）求ABC 的面积.18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为NAB λ，求实数λ的取值范围.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，求λ的取值范围.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .的（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.青岛二中2023-2024学年第一学期12月份阶段练习高二试题（数学）时间：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若直线1l ：210x my ++=与直线2l：2102m x y -+=垂直，则实数m 的值为（）A. 0B. 12-或0 C. 0或12D.12【答案】C 【解析】【分析】根据直线垂直列方程，从而求得m 的值.【详解】由于12l l ⊥，所以()()22212210m m m m m m ⨯+⨯-=-=-=，解得0m =或12m =.故选：C2. 与椭圆C ：221156x y +=共焦点且过点(P 的双曲线的标准方程为（）A. 221167x y -=B. 22163x y -=C. 22136x y -= D. 221916x y -=【答案】C 【解析】【分析】首先设出双曲线方程，求出c 的值即焦点坐标，然后根据双曲线的定义、平方关系求出,a b 的值即可求解.【详解】由题意不妨设所求双曲线的标准方程为22221x y a b-=，则3c ==，即椭圆与所求双曲线的公共焦点为()()12,,,0330F F -，由双曲线的定义可知12226a c F F==<==，所以3,a c b ====，所以所求双曲线的标准方程为22136x y -=.故选：C.3. 设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，且2a ，3a ，42a -成等差数列，则5S =（）A. 7 B. 12C. 15D. 31【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列，等差中项等知识求得等比数列{}n a 的首项和公比，从而求得5S .【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，0q ≠，依题意2324222a a a a =⎧⎨=+-⎩，则123111222a q a q a q a q =⎧⎨=+-⎩，()()211122a q q a q a q q ⋅=+⋅-，224222,240q q q q ⋅=+⋅--=，解得2q =，则11a =，所以()551123112S ⨯-==-.故选：D4. 求圆心在直线210x y +-=上，且与直线20x y ++=相切于点(0,2)-的圆的方程是（）A. ()()22112x y -++= B. ()2212x y +-=C. ()()22114x y -++= D. ()2214x y +-=【答案】A 【解析】【分析】首先由题意可知圆心也在直线20x y --=上，联立即可得圆心坐标，进而得半径，从而即可得解.【详解】由题意圆心也在过点(0,2)-且与直线20x y ++=垂直的直线上，而该直线方程为()()020x y ----=⎡⎤⎣⎦，即20x y --=，联立20210x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得1,1x y==-，即圆心坐标为()1,1-，半径为点(0,2)-与圆心()1,1-的距离=，故所求圆的方程为()()22112x y-++=.故选：A.5. 已知等差数列{}n a的前n项和为n S，34132160a a a++=，则1165S a-=（）A. 240B. 180C. 120D. 60【答案】A【解析】【分析】根据等差数列通项公式以及前n项和公式的基本量计算来求得正确答案.【详解】设等差数列{}n a的公差为d，311143422160,540a a a da d a++=+==+，()()1161111511555563065640240S a a d a d a d a d-=+-+=+=+=⨯=.故选：A6. 若数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，则满足不等式930na<的最大正整数n为（）A. 28B. 29C. 30D. 31【答案】B【解析】【分析】利用累乘法求得n a，由此解不等式930na<,求得正确答案.【详解】依题意，数列{}n a满足()()()1112n nn a n a n--=+≥，12a=，()1121nna nna n-+=≥-，所以3211213451212321nnna aa n na aa a a n n-+=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯--()1n n=+，1a也符合，所以()1na n n=+，{}n a是单调递增数列，由()()()930,301310na nn n n<+-=<+，解得3130n-<<，所以n的最大值为29.故选：B7. 细心的观众发现，2023亚运会开幕式运动员出场的地屏展示的是8副团扇，分别是梅兰竹菊松柳荷桂．“梅兰竹菊，迎八方君子；松柳荷桂，展大国风范“．团扇是中国传统文化中的一个重要组成部分，象征着团结友善．花瓣型团扇，造型别致，扇作十二葵瓣形，即有12个相同形状的弧形花瓣组成，花瓣的圆心角为120︒，花瓣端点也在同一圆上，12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，圆心记为O ，若其中一片花瓣所在圆圆心记为C ，两个花瓣端点记为A 、B ，切点记为D ，则不正确的是（）A. ,,O C D 在同一直线上B. 12个弧形所在圆的圆心落在同一圆上C. 30AOB ∠=︒D. 弧形所在圆的半径BC 变化时，存在OC BC=【答案】D 【解析】【分析】根据两个圆的位置关系逐个判断即可.【详解】已知外圈两个圆的圆心都为O ，令最外面圆半径为R ，花瓣所在圆半径为r ，对于A ：因为大圆与小圆内切且切点为D ，所以切点与两个圆心共线，即,,O C D 在同一条直线上，A 正确；对于B ：由两圆内切可知OC R r =-为定值，所以12个弧形的圆心在同一圆上，B 正确；对于C ：因为12个弧形花瓣也内切于同一个大圆，所以3603012AOB ︒∠==︒，C 正确；对于D ：由CA CB OC OC OA OB =⎧⎪=⎨⎪=⎩得OAC OAB ≅△△，所以130152COB ∠=⨯︒=︒，又120ACB ∠=︒，所以()13601201202OCB ∠=︒-︒=︒，所以45OBC COB ∠=︒≠∠，所以OC BC ≠恒成立，D 错误，故选：D8. 双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l 过2F 且与双曲线C左支交于点P ，原点O 到直线l 的距离为a ，且122F PO S a =△，则双曲线C 的离心率为（）A.B.C. 2D.【答案】D 【解析】【分析】由题意首先根据对称性得出2122F PO F PO S S a ==△△，又OA a =，所以可依次求得12,PF PF ，又2OF c =，再由平方关系可得2AF b =，又122FF c =，所以结合直角三角形中锐角三角函数的定义以及余弦定理可得方程()()()222422242a c a b a cc+-=⨯⨯，结合平方关系离心率公式运算即可求解.【详解】如图所示：2OA PF ⊥，垂足为点A ，由题意OA a =，又2OF c =，所以2AF b ==，21cos b PF F c∠=，又因为原点O 是12F F 的中点，所以212221222F PO F PO aPF OA PF S S a ⋅====△△，解得2124,2422PF a PF PF a a a a ==-=-=，又122FF c =，所以由余弦定理()()()22221422cos 242a c a b PF F a cc+-∠==⨯⨯，整理得2234a c ab +=，又222c a b =+，所以22440a b ab +-=，即2440b b a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得2b a =，从而所求离心率为e ==故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是画出图形，通过数学结合、双曲线的定义以及解三角形知识即可顺利求解，综合性比较强.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线:n C 2211++=n n x y a a ，则下列叙述正确的有（）A. 若n C 为圆，则1q =B. 若1q =-，则n C 离心率为2C. 01,n q C <<D. 0,n q C <是双曲线且其渐近线方程为y =【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，若n C 为圆，则11n n a a a +==，求出q 得出结果；对于B ，n C 为等轴双曲线，求其离心率即可；对于C ，当01q <<时，曲线n C 是焦点在x 轴上的椭圆，求其离心率即可；对于D ，故曲线n C 为双曲线，求其渐近线方程.【详解】对于A ，首项为正数的等比数列{}n a 的公比为q ，曲线221:1n n n x y C a a ++=，若n C 为圆，则11n n a a a +==，所以221:0n C x y a +=>，所以1q =，即曲线n C 为圆心为()0,0A 正确；对于B ，当1q =-时，11(1)n n a a -=-，所以n a 与1n a +互为相反数且不为0，故221:1n n n x y C a a ++=为等轴双曲线，故曲线n C，故B 错误；对于C ，01q <<，数列为递减数列，10n n a a +<<，所以曲线221:1n n n x y C a a ++=焦点在x 轴上的椭圆，.=，故C 正确；对于D ，当0q <时，n a 与1n a +异号，故曲线221:1n n n x y C a a ++=为双曲线，其渐近线为2210n n x y a a ++=，即=y ，故D 错误.故选：AC .10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项积为n T ，且满足101a <<，202320242a a +<，()()20232024110a a --<，则（）A. 01q << B. 202320251a a >C. 对任意的正整数n ，有4047n T T ≥ D. 使得1n T >的最小正整数n 为4047【答案】BD 【解析】【分析】根据等比数列的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，10,0,01n a q a >><<，由于()()20232024110a a --<，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩或20242023011a a <<⎧⎨>⎩.若20242023011a a <<⎧⎨>⎩，则01q <<，则202212023011a qa <<⇒<矛盾，所以20232024011a a <<⎧⎨>⎩，则1q >，所以A 选项错误.()20232025220241a a a =>，B 选项正确.由于20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以n T 的最小值为2023T ，即2023n T T ≥，所以C 选项错误.()()()()40474047140472404620232025202420241T a a a a a a a a =⨯⋅⨯⋅⋅⨯⋅=> ，由于202320242a a +<，所以202320242a a +>>，所以202320241a a <⋅，所以()()20232023404614046202320241T a a a a =⨯=⨯<，由于1q >，且20232024011a a <<⎧⎨>⎩，所以当4046n ≤时，40461n T T ≤<，综上所述，使得1n T >的最小正整数n 为4047，所以D 选项正确.故选：BD11. 欧拉函数()()*n n ϕ∈N的函数值等于所有不超过正整数n ，且与n 互质的正整数的个数（公约数只有1的两个正整数称为互质整数），例如：()32ϕ=，()42ϕ=，则（）A. ()()()4610ϕϕϕ⋅= B. 当n 为奇数时，()1n n ϕ=-C. 数列(){}2nϕ为等比数列D. 数列()()23nnϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭的前n 项和小于32【答案】ACD 【解析】【分析】根据“欧拉函数()()*n n ϕ∈N ”的定义对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】n不超过正整数n ，且与n 互质的正整数()n ϕ21131,2241,3251,2,3,4461,5271,2,3,4,5,6681,3,5,7491,2,4,5,7,86101,3,7,94161,3,5,7,9,11,13,158271,2,4,5,7,8,10,11,13,14,16,17,19,20,22,23,25,2618A 选项，()()()4622410ϕϕϕ⋅=⨯==，A 选项正确.B 选项，()9691ϕ=≠-，B 选项错误.C 选项，由列表分析可知，对于2n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：不超过2n的奇数，则()12222n nn ϕ-==，则()112222n n n ϕ++==，()()1222n nϕϕ+=，所以(){}2nϕ 是等比数列，所以C 选项正确.D 选项，有列表分析可知，对于3n ，“不超过正整数2n ，且与2n 互质的正整数”为：从1到3n中，除掉3的倍数，则()1333233nn nn ϕ-=-=⨯，则()()111221223233n n n n n ϕϕ---⎛⎫==⨯ ⎪⨯⎝⎭，12312231223nn -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫⨯⎪⎭= ⎝，所以()()23n n ϕϕ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭是等比数列，前n 项和为112123332323222323213nn n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=-⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-，所以D 选项正确.故选：ACD12. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，过F 的一条直线与C 交于A ，B 两点，若点M 在l 上运动，则（）A. 当AM AF =时，AM l⊥B. 当AM AF MF ==时，2AF BF =C. 当M A M B ⊥时，,,A M B 三点的纵坐标成等差数列D. 当M A M B ⊥时，2AM BM AF BF⋅⋅≥【答案】ACD 【解析】【分析】由抛物线的定义可判断A 项，联立直线AB 方程与抛物线方程求得1y 、2y ，进而可求得12AF y BFy =可判断B 项，由直角三角形性质及抛物线的定义可判断C 项，设出点M 坐标，计算可得1MF AB k k ⨯=-，可得MF AB ⊥，运用等面积法、直角三角形性质及基本不等式可判断D 项.【详解】对于选项A ：如图所示，由抛物线定义可知，若AM AF =，则AM l ⊥，故选项A 正确；对于选项B ：如图所示，当AM AF MF ==时，AMF 为正三角形，所以直线AB 的倾斜角为π3，设直线AB的方程为()()1122,,,,2p y x A x y B x y ⎫=-⎪⎭，由222p y x y px⎧⎫=-⎪⎪⎭⎨⎪=⎩可得220y y p --=，12,y y ==，所以123AF yBF y ==，故选项B 错误；对于选项C ：过点,A B 作直线垂直于l ，垂足分别为,A B ''，作AB 的中点N ，如图所示，由选项B 可知12,,,22p p A y B y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭'，又因为M A M B ⊥，所以12MN AB =，由抛物线定义可知AB AF BF AA BB '=++'=，所以()12MN AA BB =+''，所以M 为A B ''的中点，所以,,A M B 三点的纵坐标成等差数列，故选项C 正确；对于选项D ：如图所示，设0,2p M y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线MF 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，则00122y yk p p p ==---，由B 项可知1212222121212222y y y y pk y y x x y y p p--===-+-，由选项C 可知1202y y y +=，所以21202p pk y y y ==+，所以01201y pk k p y =-⋅=-，所以MF AB ⊥，又因M A M B ⊥，所以AM BM MF AB ⋅=⋅，且2||MF AF BF =⋅，由基本不等式可得()2AM BM MF AB AF BF AF BF ⋅=⋅=+⋅⋅，当且仅当||||AF BF =时等号成立.故选项D 正确.故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 在数列{}n a 中，若12a =，11n n a a n +=++，则{}n a 的通项公式为______．【答案】222n n n a ++=【解析】【分析】将11n n a a n +=++变为11n n a a n +-=+，利用累加法即可求得答案.【详解】由题意可知数列{}n a 中，12a =，11n n a a n +=++，故11n n a a n +-=+，所以()()()121321n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2(1)(222)22322n n n n n -+=++=+=++++ ，为故答案为：222n n n a ++=14. 已知圆C ：()()221225x y ++-=，直线()():311420l m x m y m +++--=，直线l 与圆C 交于,A B 两点，最短弦长AB =______________.【答案】【解析】【分析】先求得直线l 所过定点，然后根据圆的几何性质求得最短弦长.【详解】直线()():311420l m x m y m +++--=，即()3420x y m x y +-++-=，由34020x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解得1x y ==，设()1,1D ，由于()()221112525++-=<，所以D 在圆C 内，圆()()22:1225C x y ++-=的圆心为()1,2C -，半径=5r ，当CD AB ⊥时，AB 最短，CD ==，所以AB 的最小值为=.故答案为：15. 英国数学家亚历山大·艾利斯提出用音分来精确度量音程，音分是度量不同乐音频率比的单位，也可以称为度量音程的对数标度单位.一个八度音程为1200音分，它们的频率值构成一个等比数列.八度音程的冠音与根音的频率比为2，因此这1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列.已知音M的频率为m，音分值为k，音N的频率为n，音分值为l.若m=，则k l-=_________【答案】400【解析】【分析】根据等比数列的通项即可由指数运算求解.【详解】由题意可知，1200个音的频率值构成一个公比为的等比数列，设第一个音频率为1a，所以(11nna a-=，故((1111,k lm a n a--==，因为m=，所以(31120022kk llmn--====，所以112003k l -=，解得400k l -=.故答案为：400.16. 已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点，过点1F 且斜率存在的直线l 与双曲线C 的渐近线相交于,A B 两点，且点A 、B 在x 轴的上方，A 、B 两个点到x 轴的距离之和为85c，若22AF BF =，则双曲线的渐近线方程是_____________________.【答案】y x =【解析】【分析】设()0,Mx y 是AB 的中点，先求得M 点的坐标，然后利用点差法求得b a，进而求得正确答案.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，依题意120,0y y >>，设AB 的中点为()000,,0M x y y >，由于22AF BF =，所以2⊥MF AB ，所以1212OM F F c ==，22OM c =，由于12y y +=，所以120425y y c y +==，所以035c x ==，所以34,55c c M ⎛⎫ ⎪⎝⎭或34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由于()()1122,,,A x y B x y 在双曲线的渐近线上，所以22112222222200x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，两式相减并化简得22012122121201AB OM MFy y y y y b k k a x x x x x k ⎛⎫+-=⋅=⋅=⋅- ⎪ ⎪+-⎝⎭，()2,0F c ，若34,55c c M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则224184330535b c a cc ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=-⋅-=- ⎪- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭不符合题意，舍去.若34,55c c M ⎛⎫⎪⎝⎭，则224124330535b c a cc ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅-= ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，所以b a =，所以渐近线方程为y x =.故答案为：y x =±【点睛】本题解题的关键点有两个，一个是22AF BF =，则2F 在线段AB 的垂直平分线上，由此可以构建中点和斜率的关系式；另一个关键点是点差法，利用点差法可以减少运算量，可以快速求得问题的答案.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知ABC 顶点()3,3A ，边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，边AB 上的中线CM 所在的直线方程为53140x y --=.（1）求直线AC 方程：（2）求ABC 的面积.【答案】（1）60x y +-= （2）20【解析】【分析】（1）利用点斜式求得直线AC 的方程.（2）先求得,C B 两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形ABC 的面积.【小问1详解】边AC 上的高BH 所在直线方程为60x y -+=，的直线60x y -+=的斜率为1，所以直线AC 的斜率为1-，所以直线AC 的方程为()33,60y x x y -=--+-=.【小问2详解】边AB 上中线CM 所在的直线方程为53140x y --=，由6053140x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2C .设(),B a b ，则33,22a b M ++⎛⎫⎪⎝⎭，所以60335314022a b a b -+=⎧⎪⎨++⨯-⨯-=⎪⎩，解得2026a b =⎧⎨=⎩，即()20,26B.AC ==B 到60x y +-==，所以三角形ABC的面积为1202=.的18. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，490S =-，1015a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值，并指出n 取何时n S 取得最小值.【答案】（1）535n a n =-（2）n S 的最小值为105-，对应6n =或7【解析】【分析】（1）根据已知条件求得等差数列{}n a 的首项和公差，从而求得n a .（2）利用0n a ≤，求得n S 取得最小值时对应n 的值，进而求得n S 的最小值.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意，4109015S a =-⎧⎨=⎩，114690915a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得130,5a d =-=，所以()3015535n a n n =-+-⨯=-.【小问2详解】由5350n a n =-≤，解得*17,≤≤∈n n N ，所以当6n =或7n =时n S 取得最小值，且n S 的最小值为6161518075105S a d =+=-+=-.19. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，1323n n S n +=+-.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）()()*2N 2n n n a c n -=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）()*22N ,3nn a n ⋅∈=+（2）()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅【解析】【分析】（1）由题意直接由11a S =以及*2,N n n ≥∈时，1n n n a S S -=-即可求解.（2）发现数列{}n c 是“差比数列之积”的形式，所以直接选择用错位相减法、等边数列求和公式法运算即可求解.【小问1详解】由题意111132138a S +==+⨯-=，当*2,N n n ≥∈时，()()11323322523n n n n n n a S S n n +-=+-+-=-=⋅+-，当1n =时，也有118322a ⨯=+=成立，综上所述，数列{}n a 的通项公式为()*22N,3nn a n ⋅∈=+.【小问2详解】由（1）可知()*22N,3nn a n ⋅∈=+，所以由题意()()*23N 2n n nn a cn n -==⋅∈，所以1213233nn T n =⨯+⨯++⨯ ，231313233n n T n +=⨯+⨯++⨯ ，两式相减得()121131323333313n n n n n T n n ++⨯--=+++-⋅=-⋅- ，所以数列{}n c 的前n 项和为()*6333,44N n n n T n =+∈-⋅.20. 已知抛物线()2:20C y px p =>上的一点()2,M a 到抛物线的焦点F 的距离是3.（1）求抛物线C 的方程；（2）已知过点F 的直线与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与C 的准线l 交于点D ，且线段AB 的中点为N ，设DN AB λ=，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24y x = （2）12λ≥【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义求得p ，进而求得抛物线的方程.（2）设出直线AB 的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，求得直线DN 的方程并与准线方程求得D ，根据两点间的距离公式、弦长公式、对钩函数等知识来求得实数λ的取值范围.【小问1详解】根据抛物线的定义有23,22pMF p =+==，所以抛物线C 的方程为24y x =.【小问2详解】()1,0F ，抛物线准线为=1x -，依题意可知直线AB 与x 轴不重合，设直线AB 的方程为1x my =+，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并化简得2440y my --=，216160m ∆=+>，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121212124,4,242y y m y y x x m y y m +==-+=++=+，()21212116y y x x ==，所以()221,2N m m +，由于DN 垂直平分AB ，所以直线DN 的方程为()23221,230y m m x m mx y m m -=---+--=，令=1x -得33230,24m y m m y m m -+--==+，则()31,24D m m -+，DN AB λ=，()()()22223222122222m m m DN x x p ABλ+++==++()()()()()()22222322222222222414144161m m m m m m m m ++++++==++()22111114444m m =+=+≥，所以12λ≥.21. 已知数列{}n a 中，15a =，且122n n a a +=+.（1）求证：数列{}2n a -是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（2）设()223m b m λ=-+，12433n n n a c n λ--⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，其中0λ>，若对任意*,m n ∈N ，总有的73m n b c ->成立，求λ的取值范围.【答案】（1）证明详见解析，11232n n a -⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭（2）7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）利用构造法，结合等比数列的定义证得数列{}2n a -是等比数列，先求得2n a -，进而求得n a .（2）利用二次函数的性质求得m b 的最小值，利用商比较法求得n c 的最大值，从而列不等式来求得λ的取值范围.【小问1详解】依题意，15a =，且122n n a a +=+，所以1112n n a a +=+，则()11121222n n n a a a +-=-=-，所以12122n n a a +-=-，所以数列{}2n a -是首项为123a -=，公比为12的等比数列，所以111123,2322n n n n a a --⎛⎫⎛⎫-=⨯=+⨯ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.【小问2详解】1111244331323323n n n n n n a c n n n λλλ-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭⨯= ⎪⎝⎭，依题意，0λ>，且对任意*,m n ∈N ，总有73m n b c ->成立，所以()()min max 73m n b c ->，()()222min ,3m m b m b λλ-+==，当3m =时取得最小值.12344,,33c c c λλλ===，当2n ≥时，()11223223121332n n n n c n n n n c n n n λλ---⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭==⨯=-+-，当2n =时，2143c c =，当3n ≥时，11n n c c -≤，所以()max 43n c λ=，则24733λλ->，解得73λ>或1λ<-（舍去），综上所述，λ的取值范围是7,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭.【点睛】本题的关键点在于“转化”，将不等式恒成立问题，转化为()()min max 73m n b c ->来进行求解.要求数列的最大值，可以根据数列的单调性、函数的性质、商比较法等知识来进行求解.根据递推关系式求数列的通项公式，可考虑利用构造法来进行求解.22. 设椭圆()222210x y a b a b+=>>的上顶点()0,2K ，左焦点()12,0F -，右焦点()22,0F ，左、右顶点分别为1A 、2A .（1）求椭圆方程；（2）已知点P 是椭圆上一动点（不与顶点重合），直线2A P 交y 轴于点Q ，若1A PQ △的面积是22A F P △面积的(2倍，求直线2A P 的方程；（3）如图过椭圆的上顶点K 作动圆1F 的切线分别交椭圆于M 、N 两点，是否存在圆1F 使得KMN △为直角三角形?若存在，求出圆1F 的半径r ；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22184x y +=（2）0x y +-=（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意求,,a b c ，进而可得方程；（2）由题意结合面积关系分析可知：22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，可得23m P ⎫⎪⎪⎭，代入椭圆方程运算求解即可；（3）分别设切线方程求点,M N 的坐标，进而根据垂直关系整理可得21211⋅-=k k k ，结合直线与圆的位置关系可得121k k ⋅=，解方程分析判断即可.【小问1详解】设椭圆的半焦距为0c >，由题意可得：2c b ==，则a ==，所以椭圆方程为22184x y +=.【小问2详解】由题意可知：1222==-A A F ，可知点12,A F 到直线2A P 的距离之比122221=A A A h F h ，由题意可知：2211122222212212⋅===⋅△A PQ A F Ph PQ S A A PQ S A F A P h A P △，可得22=A P PQ ，设()()0,0Q m m >，且()2A，则23m P ⎫⎪⎪⎭，可得28499184m +=，解得m =(0,Q ，所以直线2A P1+=，即0x y +-=.【小问3详解】由题意可知切线KM KN ,的斜率存在且均不为0，且MKN ∠不是直角，设切线1:2=+KM y k x ，联立方程1222184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()22111280k x k x ++=，解得0x =或121812=-+k x k ，当121812=-+k x k 时，2111221182421212⎛⎫-=-+= ⎪++⎝⎭k k y k k k ，即2112211824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k M k k ，同理可设切线2:2=+KN y k x ，可得2222222824,1212⎛⎫-- ⎪++⎝⎭k k N k k ，则直线MN 的斜率2212221212121222122424121288121212---+++==-⋅-+++MNk k k k k k k k k k k k k ，不妨设MN PM ⊥，则121112112+⋅=⋅=--⋅MN k k k k k k k ，整理得21211⋅-=k k k ，设圆()()2221:20++=>F x y r r ，若过K 的直线20kx y -+=与圆1F2r ，整理得()2224840r k k r -++-=，可知12,k k 即为方程()2224840r k k r -++-=的两根，则121k k ⋅=，可得2111-=k ，即10k =，与题意相矛盾，所以不存在.【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在；（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．。

山东省青岛市崂山区青岛第二中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题

【详解】
由可得，
即有为直角三角形，且，
因为的面积为，
所以
又因为，
所以，
由双曲线定义可得，
可得，
，
∴双曲线的离心率为，故选A．
【点睛】
本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出 ;②构造的齐次式，求出 ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．
A．“ ”是“ ”的充要条件
B．“ ”是“ ”的充分条件
C．“ ”是“ ”的必要条件
D．“ 是无理数”是“ 是无理数”的充要条件
12．已知椭圆的左，右焦点是是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率可以是（）
A． B． C． D．
三、填空题
13．当复数（为虚数单位）的实部与虚部的差最小时， ________.
若，可取，则，中至少有一个数不小于1不成立，
所以“ ，中至少有一个数不小于1”是“ ”成立的既不充分又不必要条件.
故选：D
【点睛】
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，同时考查了不等式的性质，属于基础题.
6．B
【分析】
根据函数表达式,把分母设为新函数,首先计算函数定义域,然后求导,根据导函数的正负判断函数单调性,对应函数图像得到答案.
14．已知抛物线的焦点和准线，过点的直线交于点，与抛物线的一个交点为，且，则 ________.
15．《九章算术》第五卷中涉及到一种几何体——羡除，它下广六尺，上广一丈.深三尺，末广八尺，袤七尺.该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形，的高分别为，，且，，，则 ________.

2023-2024学年山东省青岛第二中学高二上学期期中考试数学试卷+答案解析(附后)

2023-2024学年山东省青岛第二中学高二上学期期中考试数学试卷✽一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.直线关于x轴对称的直线方程为( )A. B. C. D.2.两条平行直线与之间的距离是( )A. 2B.C. 1D. 03.若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则m的值为( )A. 4B.C.D. 24.已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则( )A. B. C. D.5.如果直线与曲线有两个不同的公共点，那么实数m的取值范围是( )A. B. C. D.6.已知椭圆的右焦点为，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若AB 的中点坐标为，则椭圆C的方程为( )A. B. C. D.7.已知直线与抛物线为焦点相交于A，B两点，若，则( )A. 2B.C.D.8.已知椭圆的左、右焦点分别是，，P是椭圆上的动点，I和G分别是的内心和重心，若IG与x轴平行，则椭圆的离心率为( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知方程，则下列说法中正确的有( )A. 方程C可表示圆B. 当时，方程C表示焦点在x轴上的椭圆C. 当时，方程C表示焦点在x轴上的双曲线D. 当方程C表示椭圆或双曲线时，焦距均为1010.已知圆与圆，下列说法正确的是( )A. 与的公切线恰有4条B.与相交弦的方程为C. 与相交弦的弦长为D. 若P，Q分别是圆，上的动点，则11.已知双曲线的左右顶点为，，左右焦点为，，直线l与双曲线的左右两支分别交于P，Q两点，则( )A. 若，则的面积为B. 直线l与双曲线的两条渐近线分别交于M，N两点，则C.若的斜率的范围为，则的斜率的范围为D. 存在直线l的方程为，使得弦PQ的中点坐标为12.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，过焦点F作直线l与抛物线C交于P，Q 两点，与y轴交于点过点P作抛物线的切线与准线交于点M，连接若，则( )A. B.C. 为钝角D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期10月月考数学试题(解析版)

2022-2023学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期10月月考数学试题一、单选题130y +-=的倾斜角是（） A ．30︒ B ．60︒ C ．120︒ D ．150︒【答案】C【分析】先得到直线方程的斜率，然后根据tan k α=的关系，以及α的范围，求出答案. 【详解】30y +-=，所以该直线的斜率k =所以可得tan α=而)0,180α︒︒⎡∈⎣所以该直线的倾斜角是120︒. 故选C【点睛】本题考查根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题. 2．已知ABC中，a =1b =，3A π=，则B =（）A ．4π或34πB ．4π C ．3π或23πD ．3π【答案】B【分析】根据正弦定理，结合大边对大角求解即可. 【详解】解：因为ABC △中，a =1b =，3A π=，所以，由正弦定理sin sin a bA B =得sin sin b A B a ===，因为()0,B π∈，所以4B π=或34B π=因为，1a b >=，3A π=，所以3B A π<=，所以4B π=.故选：B3．设R a ∈，则“12a =”是“直线230x ay ++=与直线210ax y +-=平行”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先求出两直线平行时的a 值，然后再根据充分必要条件的概念判断．【详解】解：当直线230x ay ++=与直线210ax y +-=平行时，满足2140a -=，解得12a =±，所以，当12a =时，直线230x ay ++=即为30x y ++=，210ax y +-=即为10x y +-=，显然满足平行关系；当12a =-时，直线230x ay ++=即为30x y -+=，210ax y +-=即为10x y -+=，显然也满足平行关系；所以，“12a =”是“直线230x ay ++=与直线210ax y +-=平行”的充分不必要条件. 故选：A4．已知4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．35± B ．35 C ．35 D ．45【答案】D【分析】结合632πππαα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据诱导公式求解即可.【详解】解：因为632πππαα⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4cos 65πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以4sin sin cos 32665ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：D5．已知非零向量a ，b 满足2b a =，且()a b a -⊥，则a b -与b 的夹角为（） A ．23π B ．3π C ．56π D ．6π 【答案】C【分析】根据向量垂直关系得2a b a ⋅=，再计算3a b a -=，()23b a a b =-⋅-，并结合向量夹角公式求解即可.【详解】解：因为()a b a -⊥，2b a =，所以2()0a b a a a b -⋅=-⋅=，即2a b a ⋅=，所以()222243b a b a b b a a a =⋅-=⋅---=，()2222222342a a b b a a a a ba b a -=-=-⋅=+=+-所以()23c 32os ,23a b a b a b abb ba a-⋅-===---⋅⋅ 因为[],0,b a b π-∈，所以5,6b a b π-=. 故选：C63，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为（）A B ．C ．4 D ．6【答案】D【分析】过此圆锥顶点的最大截面面积为母线垂直对应的直角三角形，故可求面积的最大值.【详解】3，故圆锥的母线长为过此圆锥顶点的轴截面对应的等腰三角形的顶角大小为120︒，则过此圆锥顶点的截面面积的最大值为162⨯故选：D.7．在空间直角坐标系O xyz -中，正四面体-P ABC 的顶点A 、B 分别在x 轴，y 轴上移动．若该正四面体的棱长是4，则OP 的取值范围是（）A ．[]2,6B ．2⎡⎤⎣⎦C ．2,4⎡⎤⎣⎦D ．2,2⎡⎤⎣⎦【答案】B【分析】固定正四面体-P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球M 的球面上运动，进而转化为PM 减去球M 的半径和PM 加上球M 的半径问题求解即可. 【详解】解：如图所示，若固定正四面体-P ABC 的位置，则原点O 在以AB 为直径的球面上运动，设AB 的中点为M ，则PM所以原点O 到点P 的最近距离等于PM 减去球M 的半径，最大距离是PM 加上球M 的半径，所以232232OP -≤≤+，即||OP 的取值范围是232,232⎡⎤-+⎣⎦．故选：B ．8．如图，在ABC △中，已知AB 4=，2AC =，120A ∠=︒，,E F 分别是边,AB AC 上的点，且AE AB λ=，AF AC μ=，其中λ，R μ∈，且21λμ+=，若线段,EF BC 的中点分别为,M N ，则MN 的最小值是（）A ．1B 7C 21D 7【答案】A【分析】根据几何图形中线段对应向量的线性关系，可得1()2AM AC AB μλ=+，1()2AN AB AC =+，再根据MN AN AM =-并结合λ，[]0,1μ∈且21λμ+=，可得2MN关于λ的函数式，由二次函数的性质即可求MN 的最小值.【详解】解：在ABC 中，o4,2,120AB AC A ==∠=，则cos 4AB AC AB AC A ⋅==-，∵,E F 分别是边,AB AC 的点，线段,EF BC 的中点分别为,M N∴11()()22AM AF AE AC AB μλ=+=+，1()2AN AB AC =+，∴1(1)(1)2MN AN AM AB AC λμ⎡⎤=-=-+-⎣⎦，∴两边平方得： 222221(1)2(1)(1)(1)4MN AB AB AC AC λλμμ⎡⎤=-+--⋅+-⎢⎥⎣⎦ 22116(1)8(1)(1)4(1)4λλμμ⎡⎤=----+-⎣⎦224(1)2(1)(1)(1)λλμμ=----+-， ∵21λμ+=，∴2221121241212MN λλλ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，又∵λ，[]0,1μ∈， ∴当12λ=时，2MN 最小值为1，即MN 的最小值为1. 故选：A二、多选题9．“堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术•商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”．一个长方体沿对角面斜解（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）．若长方体的体积为V ，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为1V ，2V ，3V ，则下列选项正确的是（）A ．123V V V V ++=B ．122V V =C ．232V V =D ．234VV V -=【答案】AC【分析】根据题意确定堑堵、阳马和鳖臑的体积与长方体的体积V 的数量关系，即可得答案.【详解】解：由题意，堑堵的体积12VV =，阳马的体积23V V =，鳖臑的体积31136V V V ==，所以123V V V V ++=，1223V V =，3263V V V ==，即232V V =，所以2336VV V V -==，所以，AC 选项正确，BD 选项错误. 故选：AC10．下列关于空间向量的命题中，正确的是（） A ．若非零向量a ，b ，c 满足//a b ，//c b ，则有//a cB ．若OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，且2CD OA OB OD =+-，则,,,A B C D 四点共面C ．任意向量a ，b ，c 满足()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅D ．已知向量(1,1,)a x =，(3,,8)b x =-，若13x >，则,a b <>为锐角【答案】ABD【分析】根据向量共线定理判断A ；根据CD DA DB =+判断B ；根据数量积的运算律判断C ；根据向量夹角公式求解判断D.【详解】解：对于A 选项，因为a ，b ，c 是非零向量，且满足//a b ，//c b ，故存在实数,λμ使得,a b b c λμ==，故a c λμ=，所以//a c ，故正确；对于B 选项，OA ，OB ，OC 是空间的一组基底，故,,A B C 三点不共线，CD OA OD OB OD DA DB =-+-=+，所以，,,,A B C D 四点共面，故B 选项正确；对于C 选项，因为a ，c 不一定共线，故()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅不一定成立，故C 选项错误；对于D 选项，当a 与b 共线且同向时，有()0b a λλ=>，即38x x λλλ-=⎧⎪=⎨⎪=⎩，该方程组无解，即a 与b 不能共线且同向，故2cos ,0a b a b a bx ⋅-==>⋅+时，,a b 为锐角，即13x >时,a b 为锐角，故D 选项正确.故选：ABD11．已知函数π()sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则（）A ．函数()f x 的零点是2ππ(Z)318k x k =+∈B ．函数π9f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称C ．将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位后与原函数的图象重合D ．函数()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】BC【分析】求得函数()f x 的零点判断选项A ；求得π9f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的解析式进而判断选项B ；求得将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位后得到的解析式进而判断选项C ；求得函数()f x 在区间π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调性判断选项D.【详解】选项A ：由π3π6x k -=，可得ππ(Z)318k x k =+∈，则函数()f x 的零点是ππ(Z)318k x k =+∈.判断错误；选项B ：πππsin 3cos3996f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦则由()cos3cos3x x --=-，可得函数π9f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图像关于y 轴对称.判断正确；选项C ：2π2πππsin 3sin 3()3366f x x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦则将函数()f x 的图象向右平移2π3个单位后与原函数的图象重合. 判断正确；选项D ：由πππ2π32π262k x k -≤-≤+，可得2π22πππ3939k x k -≤≤+,Z k ∈ 又π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数()f x 在区间2π0,9⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间2ππ,93⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减.判断错误.故选：BC12．如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1边长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BP 的最小值为62B ．PA PC + 22-C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1A B PC - 的体积不变 D ．以点B 21AB C 6【答案】ACD【分析】当1BP A D ⊥时，BP 最小,结合正三角形性质，求得B 到直线1A D 的距离，判断A;建立空间直角坐标系，利用空间向量，设11A P A D λ=求得点()1,,1P λλ-，结合两点间的距离公式，求得P A +PC 的最小值，判断B;根据当P 在直线A 1D 1A D 上运动时，三棱锥1A B PC -的底面积以及高的变化情况，可确定体积不变没判断C;根据题意确定以点B 21AB C 的交线即为1AB C 的内切圆，即可求得交线长，判断D.【详解】对于A ，当1BP A D ⊥时，BP 最小，由于112,A B BD A D B ==到直线1A D 的距离362A d =对．对于B,解法一：以B 为坐标原点建系，以1,,BA BC BB 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则()()1,0,0,0,1,0A C ,设()11,1,,1A P A D P λλλ=∴-,22222(1)12(1)221243PA PC λλλλλλλ+=+-++-=-++-+222213111222(1)22242λλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-++-+=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 21124λ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭表示平面上()11,0,,22M N λ⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的距离， 21(1)2λ-+表示平面上()2,0,1,2M Q λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭之间的距离， 22min 112()22(1)()22,B 222PA PC NQ ∴+==⋅-++=+错解法二：将平面11DCB A 翻折到平面1ADA 上，如图，连接AC ，与1A D 的交点即为点P ，此时PA PC +取最小值AC ，在三角形ADC 中，135ADC ∠=,cos1352AC =B 错误；对于C,11//A D B C ,1A D ⊄平面1AB C ，1//A D ∴平面1,AB C P ∴到平面1AB C 的距离为定值, 1BB C S △为定值，则1P AB C V -为定值，C 对．对于D ，由于1BD ⊥平面1AB C ，设1BD 与平面1AB C 交于Q 点，113BQ BD ∴==，设以B 为半径的球与面1AB C 交线上任一点为G ，2BG QG G ∴=∴==∴在以M于1AB C 13=，故此圆恰好为1AB C 的内切圆，完全落在面1AB C 内，∴交线长为2π,D =正确．故选：ACD【点睛】本题考查了空间几何中的距离以及距离和的最值问题，以及三棱锥体积和几何体中的轨迹问题，综合性强，要求充分发挥空间想象能力，解答时要能借助于几何体的直观图，明确空间的点线面的位置关系，灵活应用空间向量以及相关相关知识解决问题.三、填空题13．向量(1,1,2)a =-，且向量a 与非零向量2a b -方向相反，则a b ⋅的取值范围是______．【答案】()12,+∞【分析】由题知，存在实数0k <，使得2a b ka -=，进而得()2,2,42b k k k =---，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.【详解】解：因为向量a 与非零向量2a b -方向相反向量，所以，存在实数0k <，使得2a b ka -=，所以，()22,2,42b a ka k k k =-=---，所以，228412612a b k k k k ⋅=-+-+-=->所以，a b ⋅的取值范围是()12,+∞ 故答案为：()12,+∞14．若直线1:20l x y b ++=与直线2:550l ax y -+=垂直于点(1,)c ，则a b c ++=______．【答案】6【分析】根据12l l ⊥，可求得a ，将()1,c 代入直线2l ，即可求得c ，再代入直线1l ，即可求得b ，从而可得答案.【详解】直线1:20l x y b ++=与直线2:550l ax y -+=且12l l ⊥，可得()1250a ⨯+⨯-=，解得=10a ，所以直线2:210l x y -+=．由题意，可知()1,c 是两条直线的交点，将()1,c 代入直线2l 得210c -+=，解得3c =．将()1,3代入直线1l ，得1230b +⨯+=，解得7b =-，所以10736a b c ++=-+=．故答案为：6.15．法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对ABC 而言，若其内部的点P 满足120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒，则称P 为ABC 的费马点.如图所示，在ABC 中，已知45BAC ∠=︒，设P 为ABC 的费马点，且满足45PBA ∠=︒，4PA =.则ABC 的外接圆直径长为______.【答案】43【分析】由已知利用三角形的内角和定理可得15PAB ∠=︒，30PAC ∠=︒，可得在PAC△中，30∠=︒PCA ，可得4PC PA ==，在PAB 中，由正弦定理可得PB 的值，在PBC 中，利用余弦定理求出BC ，在ABC 中，利用正弦定理即可求出外接圆的直径. 【详解】由已知1801204515PAB ∠=︒-︒-︒=︒，所以451530PAC ∠=︒-︒=︒. 在PAC △中，1801203030PCA ∠=︒-︒-︒=︒，故4PC PA ==. 在PAB 中，由正弦定理sin15sin 45PB PA=︒︒得4sin15sin 45PB ︒=︒，而()232162sin15sin 453022224-︒=-=⨯-⨯=︒︒，2sin 452=°，故624423222PB -⨯==-，在PBC 中，利用余弦定理2222cos120BC PB PC PB PC =+-⋅︒()()221232422324242⎛⎫=-+-⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即26BC =，在ABC 中，利用正弦定理26243sin 4522BC R ===︒，故ABC 的外接圆直径长为43. 故答案为：43.16．已知2OA OB ==，若存在m ，R n ∈，使得mAB OA +与nAB OB +夹角为60°，且()()1mAB OA nAB OB +-+=，则AB 的最小值为______．【答案】132【分析】由已知，可设1a OA mAB OA ==+，1b OB nAB OB ==+，先通过()()1mAB OA nAB OB +-+=可知，11,,,A A B B 共线，然后在11AOB △中，利用余弦定理结合基本不等式，求得11AOB △的面积取到最大值，则O 到AB 的距离最远，从而根据等号成立的条件得到11111A B AO B O ===，使用勾股定理即可求得AB . 【详解】由已知，=AB OB OA -，令1()(1)a OA mAB OA m OB OA OA m OA mOB ==+=-+=-+，1()(1)b OB nAB OB n OB OA OB n OB nOA ==+=-+=+-，故有11,,,A A B B 共线，因为11()()1mAB OA nAB OB a b B A +-+=-==,在11AOB △中，mAB OA +与nAB OB +夹角为60°，即a 与b 夹角为60°，由余弦定理可知：2222π12cos 3a b a b a b a b a b =+-=+-≥，当且仅当1ab时等号成立，此时a b 取得最大值为1，此时11AOB △的面积取到最大值，则O 到AB 的距离最远，即当且仅当11,A B 关于y 轴对称时，AB 最小，此时，11111A B AO B O ===，所以DO ,所以AB =四、解答题17．已知ABC 的顶点(1,2)A ，(3,2)B -，直线AC (1)求过点A ，且在两坐标轴上截距相等的直线的一般式方程； (2)求角A 的角平分线所在直线的一般式方程．【答案】(1)20x y -=或30x y +-=(2)10x +=20y +-=【分析】（1）分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可；（2）根据题意，分点C 位于直线AB 上方和点C 位于直线AB 下方两种情况讨论求解即可.【详解】(1)解：当所求直线过原点时，设直线方程为=y kx ，因为直线过点A ，所以2k =，故方程为20x y -=，当所求直线不过原点时，因为所求直线在两坐标轴上截距相等，所以，设所求直线方程为1x ya a+=，因为直线过点A ，所以121a a+=，解得=3a ，所以所求直线方程为+3=0x y -综上，满足条件的直线方程为20x y -=或+3=0x y -.(2)解：因为ABC △的顶点(1,2)A ，(3,2)B -，直线AC 的斜率为3，所以，直线AB 方程为=2y ，直线AC 的倾斜角为60，根据题意，作出其图形，如图，当点C 位于直线AB 下方时，60BAC ∠=，此时其角平分线为AE ，角平分线AE 的倾斜角为30AEO BAE ∠=∠=，所以，角平分线AE 方程为()3213y x -=-，即32310x y -+-=；当点C 位于直线AB 上方时，120BAC ∠=，此时其角平分线为AD ，角平分线AD 的倾斜角为180180120AFx AFO DAB ∠=-∠=-∠=，所以，角平分线AD 方程为()231y x -=--，即3230x y +--=. 所以，角A 的角平分线所在直线的一般式方程为32310x y -+-=或3230x y +--=18．如图所示，在ABC 中，1,,3AQ QC AR AB BQ ==与CR 相交于点I .(1)用AB 和AC 分别表示BQ 和CR ； (2)若AI mAB nAC =+，求实数m 和n 的值. 【答案】(1)12BQ AB AC =-+，13CR AC AB =-+ (2)12,55m n ==【分析】（1）由平面向量的数乘与加法，可得答案；（2）根据平面向量共线定理的推论，由（1）代入，得到方程，可得答案. 【详解】(1)由12AQ AC =，可得12BQ BA AQ AB AC =+=-+. 11,33AR AB CR CA AR AC AB =∴=+=-+ (2)（2）设AI AB BQ AC CR λμ=+=+，将11,23BQ AB AC CR AC AB =-+=-+ 代入AB BQ AC CR λμ+=+，则有1123AB AB AC AC AC AB λμ⎛⎫⎛⎫+-+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()111123AB AC AB AC λλμμ-+=+-，11,311,2λμλμ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪=-⎪⎩解得4535λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故41125255AI AB AB AC AB AC ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，即12,55m n ==.19．如图，在四边形ABCD 中，63CD =，27BC =，7cos 14CBD ∠=-．(1)求BDC ∠；(2)若π3A ∠=，163ABD S =△ABD △的周长．【答案】(1)π6BDC ∠= (2)24【分析】（1）在BCD △中，由同角三角函数关系和正弦定理即可求解，（2）在BCD △中根据余弦定理可求BD ,进而在ABD △中中，根据三角形面积公式以及余弦定理即可求解.【详解】(1)在BCD △中，7cos 14CBD ∠=-，∴27321sin 11414CBD ⎛⎫∠=--= ⎪ ⎪⎝⎭ ∵sin sin CD BC CBD BDC=∠∠，∴32127sin 114sin 263BC CBD BDC CD ⨯∠∠===又∵CBD ∠为钝角，∴BDC ∠为锐角，∴π6BDC ∠=(2)在BCD △中，2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠ ∴()()2227632722714BD BD ⎛⎫=+-⨯⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭∴22800BD BD +-=解得8BD =(负根舍去) 在ABD △中，π3A ∠=，∴13sin 16324ABD S AB AD A AB AD =⋅=⋅=△ ∴64AB AD ⋅=又22222641cos 222AB AD BD AB AD A AB AD AB AD +-+-===⋅⋅，整理得，22128AB AD +=，∴()2256AB AD += ∴16AB AD +=∴81624AB AD BD ++=+=， ∴ABD △的周长为24.20．如图，在三棱锥S ABC -中，2AB AC ==，32SA SB SC ===，22BC =，D 为BC 的中点．(1)证明：SD ⊥平面ABC ；(2)若点E 在棱AC 上，且2AE EC =，求点C 到平面SDE 的距离．【答案】(1)证明见解析； 10【分析】（1）由三线合一得到AD BC ⊥，再利用勾股定理逆定理求出SD AD ⊥，从而证明出线面垂直；（2）结合(1)，根据S DCE C SDE V V --=计算即可.【详解】(1)证明：因为32SB SC ==，D 为BC 的中点，所以SD BC ⊥，且224=-=SD SB BD ，连接AD ，因为22AB AC BC ==，所以ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥ 所以，AD BC ⊥，122AD BC == 所以，222+=AD SD SA ，即SD AD ⊥，因为SD AD ⊥，SD BC ⊥，AD BC D =，,AD BC ⊂平面ABC ，所以SD ⊥平面ABC ．(2)解：因为ABC 为等腰直角三角形，2AE EC =，2AB AC ==，122DC BC ==所以1221sin 22433CDESCD CE π=⋅⋅⋅== 由（1）知SD ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，所以111443339S DCE CDEV SSD -=⋅=⨯⨯=，⊥SD DE 所以，在CDE 中，由余弦定理得22422102cos 45222932DE DC CE DC CE +-⋅︒+-⨯⨯⨯，所以，11021042SDES=⨯=，设点C 到平面SDE 的距离为d ，因为S DCE C SDE V V --=，即411210933S DCE SDEV Sd -==⋅⋅=，解得10d = 所以，点C 到平面SDE 1021．已知函数()=sin(+)(>0,>0,<)f x A x A ωϕωϕπ的部分图像如图所示．(1)求()f x 的解析式及对称中心；(2)若423f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭值；(3)先将()f x 的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得到函数()g x 图像，再将()g x 图像右平移12π个单位后得到()h x 的图像，求函数()y h x =在3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间．【答案】(1)()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；对称中心为,0,Z 62k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ (2)19-(3)3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据函数图像得2A =，3344T π=，2ω=，进而根据ϕπ<，再将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入求解得3πϕ=-，最后求解对称中心即可；（2）结合（1）得sin 233πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，再根据2233ππααπ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合二倍角公式求解即可；（3）由函数图像平移变换得c (2)os h x x =-，进而得32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，再解不等式322x ππ≤≤即可得答案.【详解】(1)解：由图可知，2A =，35341234T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，即2T ππω==，解得2ω=，所以()2sin(2)f x x =+ϕ，再将点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭代入得522sin 6πϕ⎛⎫=+⎪⎝⎭，即52,Z 62k k ππϕπ+=+∈，因为ϕπ<，所以3πϕ=-，所以()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令2,Z 3x k k ππ-=∈，解得,Z 62k x k ππ=+∈，所以，()f x 的对称中心为,0,Z 62k k ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭(2)解：由（1）知()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以42sin 233f απα⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 233πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为2233ππααπ⎛⎫⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以21cos 2cos 2cos 22sin 133339ππππαπααα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=--=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦.(3)解：将()f x 的图像横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍得()sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将()g x 图像右平移12π个单位后得到()h x 的图像，故sin 2cos 26(3)x x h x ππ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，因为3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以32,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以令322x ππ≤≤，解得324x ππ≤≤，所以，函数()y h x =在3,124x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的单调减区间为3,24ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦22．如图，四边形ABCD 为梯形，AB CD ∥，60C ∠=︒，244CD CB AB ===，点E 在线段CD 上，且BE CD ⊥．现将ADE 沿AE 翻折到PAE △的位置，使得10PC =．(1)取PC 中点为,G AE 中点为N ，证明：//EG 平面PBN ； (2)证明：AE PB ⊥；(3)点M 是线段PE 上的一点（不包含端点），是否存在点M ，使得二面角P BC M --的6ME PE ；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，13ME PE =【分析】（1）取PB 中点H ，连接,GH NH ，进而证明四边形GHNE 是平行四边形即可证明//GE HN ，再根据判定定理即可证明；（2）在PEA 中，过P 作PF AE ⊥，垂足为F ，连接BF ，进而证明BF EA ⊥，再根据线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；（3）利用线面垂直的判定定理证得PB ⊥平面CAE ，进而证明,,PB BE AB 两两垂直，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法即可求解.【详解】(1)证明：因为四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，60C ∠=，244CD CB AB ===，所以1CE =，3BE =，即//,AB CE AB CE =，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以//,BC AE BC AE =，取PB 中点H ，连接,GH NH ，如图，因为PC 中点为,G AE 中点为N ，所以，1//,2GH BC GH BC =，1//,2EN BC EN BC =，所以//,GH EN GH EN =，所以四边形GHNE 是平行四边形，所以//GE HN ，因为GE ⊄平面PBN ，HN ⊂平面PBN ，所以，//EG 平面PBN .(2)证明：因为四边形ABCD 为梯形，//AB CD ，60C ∠=，244CD CB AB ===，所以1CE =，3BE =//,AB CE AB CE =，所以四边形ABCE 是平行四边形，所以2AE =，3ED =，60AED ∠=，30AEB ∠=，即3PE =，60AEP ∠=，在PEA 中，过P 作PF AE ⊥，垂足为F ，连接BF ．在PEF 中，3PE =，60AEP ∠=，所以32EF =．在BEF △中，32EF =，3BE =，30AEB ∠=，由余弦定理得22232cos304BF BE EF BE EF =+-⋅⋅=，即32BF =，所以222BF EF BE +=，所以BF EF ⊥，即BF EA ⊥．又BF PF F =，,BF PF ⊂平面BFP ，所以⊥AE 平面BFP ．又 PB ⊂平面BFP ，所以AE PB ⊥．(3)解：在FCE △中，10PC =3PE =，1CE =， 222PC CE PE ∴=+，即CE PE ⊥．∵1CE =，3BE =2BC =，222CE BE BC +=∴CE BE ⊥，∵PE BE E ⋂=，,PE BE ⊂平面PBE ，CE ∴⊥平面PBE ．又PB ⊂平面PBE ，//CE AB ，CE PB ∴⊥，AB ⊥平面PBE ．又AE PB ⊥，CE AE E =，,CE AE ⊂平面CAE ，,PB BE ⊂平面PBE ． PB ∴⊥平面CAE ，,AB PB AB BE ⊥⊥∵BE ⊂平面CAE ，∴PB BE ⊥∴以B 为原点，,,BE BA BP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0B ，)3,0,0E ，(6P ，()3,1,0C -，所以(3,1,0)BC =-，(0,0,6)BP =，(3,0,0)BE =，(3,0,6)EP =-．设(3,0,6)(3,0,6),(0,1)EM EP λλλλλ==-=-∈，则BM BE EM =+=(33,0,6)λλ-．设平面BCP 的一个法向量为()111,,x n y z =，则00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1113060x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令11x =，则(1,3,0)n =．设平面BCM 的一个法向量为()222,,m x y z =，则00m BC m BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222230(33)60x y x z λλ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令21x =，则11,3,2m λλ-⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为二面角P BC M --的余弦值为63，所以246cos ,31242n m λλ==-⎛⎫⨯+- ⎪⎝⎭，解得13λ=或1λ=-（舍），所以存在点M ，使得二面角P BC M --的余弦值为63，此时13ME PE =．。

2021学年山东省青岛市某校高二(上)10月月考数学试卷(有答案)

2021学年山东省青岛市某校高二（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 抛物线y=2x2的焦点坐标为( )A.(18, 0) B.(0, 18) C.(12, 0) D.(0, 12)2. 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程为( )A.x2 36+y224=1 B.x236+y220=1 C.x232+y236=1 D.x236+y232=13. 圆心为(0, 1)且与直线y=−2相切的圆的方程为( )A.(x−1)2+y2=9B.(x+1)2+y2=9C.x2+(y−1)2=9D.x2+(y+1)2=94. 已知圆C:x2+y2−2x−6y+9=0，过x轴上的点P(1,0)向圆C引切线，则切线长为( )A.3B.2√2C.2√3D.3√25. 若圆C:x2+(y−4)2=18与圆D:(x−1)2+(y−1)2=R2公共弦长为6√2，则圆D 的半径R为( )A.2√7B.2√5或2√6C.2√5D.56. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线与圆(x−√3)2+(y−1)2=1相切，则此双曲线的离心率为()A.√2B.√3C.√5D.27. 已知F1(−√2,0)，F2(√2,0)分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若△ABF2周长是4√3，则该椭圆方程是( )A.x23+y2=1 B.x23+y22=1 C.x212+y210=1 D.x24+y23=18. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1，a>b>0，F1，F2分别为椭圆的左右焦点，若椭圆C上存在点P(x0,y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60∘，则椭圆的离心率的取值范围为()A.[√22, 1) B.(0, √22] C.[12, 1) D.(0, 12]9. 已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，点M在C的右支上，坐标原点为O，若|FM|=2|OF|，且∠OFM=120∘，则C的离心率为( )A.3 2B.√5−12C.2D.√3+1210. 已知椭圆x2a +y2b=1(a>b>0)与双曲线x2m−y2n=1(m>0，n>0)有共同的焦点F1，F2，且在第一象限内相交于点P，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2. 若∠F1PF2=π3，则e1⋅e2的最小值是()A.1 2B.√22C.√32D.32二、多选题若直线y=√3x+b与圆x2+y2=1相切，则b=( )A.±√2B.2C.−2D.±√5设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2，若曲线上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|= 4:3:2，则曲线的离心率等于()A.1 2B.2C.32D.23已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2√33，右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点，则有( )A.渐近线方程为y=±√3xB.渐近线方程为y=±√33xC.∠MAN=60∘D.∠MAN=120∘三、填空题已知P为直线l：x+3y−12=0上一点，过P作圆C：(x−2)2+y2=1的切线，则切线长最短时的切线长为_______.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(−4, 0)，C(4, 0)，顶点B在椭圆x225+y 29=1上，sin A+sin C sin B=________．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a2−y 216=1(a >0)的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为125，则双曲线C 的方程为________．双曲线C:x 22−y 23=1的左、右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围是[1, 2]，那么直线PA 1斜率的取值范围是________. 四、解答题求过点P(−1,5)的圆(x −1)2+(y −2)2=4的切线方程.已知以点A(−1, 2)为圆心的圆与直线l 1:x +2y +7=0相切，过点B(−2, 0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点. (1)求圆A 的方程；(2)当|MN|=2√19时，求直线l 的方程．已知F 1,F 2分别为椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，上顶点为M ，且△F 1MF 2的周长为 4+2√3，且长轴长为4. (1)求椭圆C 的方程；(2)已知P(0,3) ，若直线 y =2x −2 与椭圆C 交于A ，B 两点，求PA →⋅PB →.已知椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为√32，过左焦点F 1且斜率为k 的直线l 交椭圆E 于A,B 两点，△ABF 2周长为8.线段AB 的中点为M ，直线OM 交椭圆E 于C,D 两点(点A,C 均在x 轴上方). (1)求椭圆E 的方程；(2)是否存在实数k ，使得S △BDM =3S △ACM ？若存在，求出k 的值，若不存在，说明理由.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且短轴长为2，离心率等于2√55.(1)求椭圆C 的方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A,B 两点，交y 轴于M 点，若MA →=λ1AF →，MB →=λ2BF →，求证：λ1+λ2为定值.已知点M(−1,0),N(1,0)，若点 P(x,y) 满足 |PM|+|PN|=4.(1)求点P 的轨迹方程；(2)过点 Q(−√3,0) 的直线l 与(1)中曲线相交于 A ,B 两点，O 为坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程.参考答案与试题解析2021学年山东省青岛市某校高二（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】抛物线的性质【解析】把抛物线y＝2x2化为标准方程，求出p值，确定开口方向，从而得到焦点的坐标．【解答】解：抛物线y=2x2的标准方程为x2=12y，∴p=14，抛物线开口向上，焦点在y轴的正半轴上，故焦点坐标为(0, 18 ).故选B.2.【答案】D【考点】椭圆的定义椭圆的标准方程【解析】依题意可知c，进而根据离心率求得a，进而根据b2=a2−c2求得b20，则椭圆方程可得．【解答】解：由题意知，2a=12，a=6，∴e=ca =c6=13，∴c=2，从而b2=a2−c2=32，∴方程是x236+y232=1．故选D．3.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据题意设圆方程为x2+(y−1)2＝r2，由圆心到直线的距离得到半径r，代入即可得到所求圆的方程【解答】解：设圆方程为x2+(y−1)2=r2，∵直线y=−2与圆相切，∴圆心到直线的距离等于半径r，∴r=3，故圆的方程为：x2+(y−1)2=9.故选C.4.【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】根据圆的方程求出圆心和半径，求出PC的值，根据切线的长为√PC2−R2，运算求得结果．【解答】解：圆x2+y2−2x−6y+9=0，即(x−1)2+(y−3)2=1，表示以C(1, 3)为圆心，半径R=1的圆．PC=√(1−1)2+(3−0)2=3，故切线的长为√PC2−R2=√8=2√2.故选B.5.【答案】A【考点】相交弦所在直线的方程点到直线的距离公式【解析】将两圆的方程相减，可得两圆的公共弦所在直线方程，再由两圆的公共弦长6√2，根据垂径定理建立关于R的等式，解之即可得到R的值．【解答】解：由题可得，圆C的圆心坐标为C(0,4),半径为√18=3√2,将圆C与圆D相减，可得2x−6y−4+R2=0,即得两圆的公共弦所在直线方程为2x−6y−4+R2=0,圆心C到2x−6y−4+R2=0的距离d=222=2√40,设两圆交于点A,B，根据垂径定理可得(R 2−28)240+18=18,所以R2−28=0,即R=2√7或R=−2√7(舍去). 故选A.6.【答案】D双曲线的渐近线双曲线的离心率圆的切线方程【解析】双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的渐近线与与圆C：(x−√2)2+y2=1相切⇔圆心(√2, 0)到渐近线的距离等于半径r=1，利用点到直线的距离公式和离心率的计算公式即可得出．【解答】解：取双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的一条渐近线bx−ay=0．圆(x−√3)2+(y−1)2=1的圆心(√3, 1)，半径r=1．∵渐近线与圆(x−√3)2+(y−1)2=1相切，∴√3b−a|√a2+b2=1，化为b2=3a2．∴该双曲线的离心率e=ca =√a2+b2a=2．故选D．7.【答案】A【考点】椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：∵F1(−√2,0)，F2(√2,0)分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，∴c=√2.∵过F1的直线l交椭圆C于A，B两点，若△ABF2周长是4√3，∴4a=4√3，∴a=√3，∴b=1.故所求椭圆方程为：x 23+y2=1. 故选A.8.【答案】D【考点】椭圆的离心率椭圆的定义由题意，问题等价于椭圆上存在四个点P使得直线PF1与直线PF2垂直，可得|OP|=c> b，从而可求椭圆离心率e的取值范围．【解答】解：由已知可得：当点P在椭圆的上（下）顶点处时，∠PF1F2最大，要满足椭圆C上存在点P(x0，y0)(x0≥0)使得∠PF1F2=60∘，则90∘>(∠PF1F2)max≥60∘，所以tan(∠PF1F2)max≥tan60∘=√3，即bc≥√3，整理得b≥√3c，又a2=b2+c2≥3c2+c2=4c2，即a2≥4c2，所以e=ca =√c2a2≤√14=12，所以椭圆的离心率的取值范围为0<e≤12.故选D.9.【答案】D【考点】双曲线的离心率双曲线的定义余弦定理的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：设双曲线的左焦点为F1，由题意可得|MF|=|F1F|=2c，∠MFF1=120∘，即有|MF1|2=|MF|2+|F1F|2−2|MF|⋅|F1F|⋅cos∠MFF1=4c2+4c2−2⋅4c2⋅(−12)=12c2，即有|MF1|=2√3c，由双曲线的定义可得|MF1|−|MF|=2a，即为2√3c−2c=2a，即有c=√3+12a，可得e=ca =√3+12.故选D.10.【答案】C【考点】圆锥曲线的综合问题双曲线的离心率椭圆的离心率双曲线的标准方程余弦定理的应用【解析】如图所示，设|F1M|=m，|F2M|=n，m+n=2a1，m−n=2a2，m2+n2=4c2，化简即可得出．【解答】解：设共同的焦点为(−c,0),(c,0)，设|PF1|=s，|PF2|=t，由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a，s−t=2m，解得s=a+m，t=a−m.在△PF1F2中，∠F1PF2=π3，可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2−2|PF1|⋅|PF2|⋅cos∠F1PF2，即为4c2=(a+m)2+(a−m)2−(a+m)(a−m)=a2+3m2，即有a 2c2+3m2c2=4，即为1e12+3e22=4，由1e12+3e22≥2√3e12e22，可得e1⋅e2≥√32，当且仅当e2=√3e1时成立.故选C.二、多选题【答案】B,C【考点】直线与圆的位置关系点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：∵直线y=√3x+b与圆x2+y2=1相切，∴d=1+3=1，∴b=±2.故选BC.【答案】A,C【考点】双曲线的离心率椭圆的离心率双曲线的定义椭圆的定义【解析】由已知可令|PF1|=4k，|F1F2|=3k，|PF2|=2k，结合椭圆的性质，可得椭圆的离心率．【解答】解：∵圆锥曲线上存在点P满足|PF1|:|F1F2|:|PF2|=4:3:2，则不妨令|PF1|=4k，|F1F2|=3k，|PF2|=2k，当曲线为椭圆时，有2a=|PF1|+|PF2|=6k，2c=3k，故e=ca =12.当曲线为双曲线时，有2a=|PF1|−|PF2|=2k，2c=3k，故e=ca =32.故选AC.【答案】B,C【考点】双曲线的渐近线双曲线的离心率双曲线的标准方程直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：双曲线C：x 2a2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bax，离心率为ca =2√33，，则c 2a2=a2+b2a2=1+b2a2=43，则b 2a2=13，ba=±√33.故渐近线方程为y=±√33x，故A错误，B正确；点A到渐近线的距离为：d=abc =√32b，可得△MAN为等边三角形，则∠MAN=60∘，故C正确，D错误.故选BC.三、填空题【答案】3【考点】圆的切线方程点到直线的距离公式【解析】此题暂无解析【解答】解：直线l：x+3y−12=0上的点到圆C：(x−2)2+y2=1的圆心(2,0)的最近距离为22=√10，则切线长的最小值为√(√10)2−1=3.故答案为：3 .【答案】54【考点】椭圆的定义正弦定理【解析】先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．【解答】解：利用椭圆定义得a=5，b=3，则其焦点坐标为(−4,0)，(4,0)，恰好是A，C两点，则AC=2c=8，BC+BA=2a=10，由正弦定理得sin A+sin Csin B =BC+ABAC=108=54.故答案为：54. 【答案】x2 9−y216=1【考点】双曲线的渐近线点到直线的距离公式【解析】设右焦点为(c, 0)，一条渐近线为bx−ay=0，根据点到直线的距离公式√a2+b2=1，求出b，再根据离心率以及c2=a2+b2，求出c，即可求出结果【解答】解：设右顶点为(a, 0)，一条渐近线为bx−ay=0，根据点到直线的距离公式√a2+b2=125，∵ b=4，∴ a=3，∴ 双曲线的方程为x29−y216=1.故答案为：x 29−y216=1.【答案】[34，32]【考点】双曲线的渐近线双曲线的特性【解析】由曲线C:x 24−y26=1可知k PA1⋅k PA2=−√62，利用直线PA2斜率的取值范围是[−2, −1]，可得直线PA1斜率的取值范围．【解答】解：双曲线C：x 22−y23=1，得A1(−√2，0)，A2(√2，0).设点P(x0，y0)，则x022−y023=1，即y02=32(x02−2)，k PA1=0x+√2k PA2=0x−√2，∴k PA1⋅k PA2=y02x02−2=32(x02−2)x02−2=32，∵k PA2∈[1,2]，所以k PA1∈[34，32].故答案为：[34，32].四、解答题【答案】解：①当斜率k存在时，设切线方程为y−5=k(x+1)，即kx−y+k+5=0.由圆心(1,2)到切线的距离等于半径2，得√k2+1=2，解得k=−512.∴切线方程为5x+12y−55=0.②当斜率k不存在时，切线方程为x=−1，此时直线与圆相切，符合题意.综上，圆的切线方程为x=−1或5x+12y−55=0.【考点】圆的切线方程【解析】此题暂无解析【解答】解：①当斜率k存在时，设切线方程为y−5=k(x+1)，即kx−y+k+5=0.由圆心(1,2)到切线的距离等于半径2，得√k2+1=2，解得k=−512.∴切线方程为5x+12y−55=0.②当斜率k不存在时，切线方程为x=−1，此时直线与圆相切，符合题意.综上，圆的切线方程为x=−1或5x+12y−55=0.【答案】解：(1)已知A(−1, 2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴r=√5=2√5，∴圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20;(2)根据题意画图如下：垂径定理可知∠MQA=90∘，且MQ=√19，在Rt△AMQ中由勾股定理易知AQ=√AM2−MQ2=1，设动直线l方程为：y=k(x+2)或x=−2，显然x=−2合题意．由A(−1, 2)到l距离为1，知√1+k2=1，得k=34．∴3x−4y+6=0或x=−2为所求l方程．【考点】圆的综合应用直线与圆相交的性质点到直线的距离公式【解析】（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程．【解答】解：(1)已知A(−1, 2)到直线x+2y+7=0的距离为圆A半径r，∴r=√5=2√5，∴圆A的方程为(x+1)2+(y−2)2=20;(2)根据题意画图如下：垂径定理可知∠MQA=90∘，且MQ=√19，在Rt △AMQ 中由勾股定理易知AQ =√AM 2−MQ 2=1，设动直线l 方程为：y =k(x +2)或x =−2，显然x =−2合题意．由A(−1, 2)到l 距离为1，知√1+k 2=1，得k =34．∴ 3x −4y +6=0或x =−2为所求l 方程．【答案】解：(1)由题可知， 2a +2c =4+2√3, 2a =4，得a =2,，c =√3，又a 2=b 2+c 2，解得b =1 ，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2) 由{y =2x −2，x 24+y 2=1，得17x 2−32x +12=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3217，x 1x 2=1217， ∵ PA →=(x 1,y 1−3),PB →=(x 2,y 2−3)， ∴ PA →⋅PB →=x 1x 2+(y 1−3)(y 2−3) =x 1x 2+(2x 1−5)(2x 2−5) =5x 1x 2−10(x 1+x 2)+25. 将x 1+x 2=3217, x 1x 2=1217代入，得PA →⋅PB →=5×1217−10×3217+25=16517.【考点】椭圆中的平面几何问题圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题可知， 2a +2c =4+2√3, 2a =4，得a =2,，c =√3，又a 2=b 2+c 2，解得b =1 ，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1； (2) 由{y =2x −2，x 24+y 2=1，得17x 2−32x +12=0，设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=3217，x 1x 2=1217，∵ PA →=(x 1,y 1−3),PB →=(x 2,y 2−3)， ∴ PA →⋅PB →=x 1x 2+(y 1−3)(y 2−3) =x 1x 2+(2x 1−5)(2x 2−5) =5x 1x 2−10(x 1+x 2)+25. 将x 1+x 2=3217, x 1x 2=1217代入，得PA →⋅PB →=5×1217−10×3217+25=16517.【答案】解：(1)因为离心率为√32，所以√3a =2c ， ∵ a 2=b 2+c 2，∴ a =2b ，c =√3b ， ∵ △ABF 2周长为4a ，所以4a =8, ∴ a =2，b =1，因此椭圆E 的方程为x 24+y 2=1； (2)若S ΔBDM =3S △ACM ，得12⋅BM ⋅DM ⋅sin ∠BMD =3⋅12⋅CM ⋅AM ⋅sin ∠AMC ，因为线段AB 的中点为M ，所以DM =3CM , ∴ OM =CM ，即M 为OC 中点，设M(x 0,y 0)，则C(2x 0,2y 0). 因此{ y 0x 0⋅k =−14，(2x 0)24+(2y 0)2=1,k =0x +√3所以 −4ky 0=x 0，√3k =(4k 2+1)y 0， 4(4k 2+1)3k 2(4k 2+1)2=1， ∴ k 2=18，因为 k >0 ,所以 k =√24. 【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题圆锥曲线的综合问题椭圆的标准方程【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)因为离心率为√32，所以√3a =2c ， ∵ a 2=b 2+c 2，∴ a =2b ，c =√3b ， ∵ △ABF 2周长为4a ，所以4a =8, ∴ a =2，b =1，因此椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；(2)若S ΔBDM =3S △ACM ，得12⋅BM ⋅DM ⋅sin ∠BMD =3⋅12⋅CM ⋅AM ⋅sin ∠AMC ，因为线段AB 的中点为M ，所以DM =3CM , ∴ OM =CM ，即M 为OC 中点，设M(x 0,y 0)，则C(2x 0,2y 0). 因此{ y 0x 0⋅k =−14，(2x 0)24+(2y 0)2=1,k =0x +√3所以 −4ky 0=x 0，√3k =(4k 2+1)y 0， 4(4k 2+1)3k 2(4k 2+1)2=1， ∴ k 2=18，因为 k >0 ,所以 k =√24. 【答案】(1)解：设椭圆C 的方程为x 2a+y 2b =1(a >b >0)，则由题意知2b =2，所以b =1. ∵ e =c a=√a 2−b 2a 2=2√55⇒√1−1a 2=2√55，解得a 2=5，所以椭圆C 的方程为x 25+y 2=1；(2)证明：设A ,B ,M 的点的坐标分别为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(0,y 0)，易知F 点的坐标(2,0) ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则设直线l 的方程为 y =k(x −2)，将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得， (1+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−5=0， ∴ x 1+x 2=20k 21+5k 2，x 1⋅x 2=20k 2−51+5k 2，又∵ MA →=λ1AF →,MB →=λ2BF →，将各点坐标代入得 λ1=x 12−x 1,λ2=x 22−x 2.∴ λ1+λ2=x 12−x 1+x 22−x 2=2(x 1+x 2)−2x 1x 24−2(x 1+x 2)+x 1x 2=40k 21+5k 2−40k 2−101+5k 24−40k 21+5k 2+20k 2−51+5k 2=−10.【考点】圆锥曲线中的定点与定值问题椭圆的离心率向量的线性运算性质及几何意义椭圆的标准方程平面向量数量积【解析】此题暂无解析【解答】(1)解：设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，则由题意知2b =2所以b =1. ∵ e =ca=√a 2−b 2a 2=2√55⇒√1−1a 2=2√55，解得a 2=5，所以椭圆C 的方程为x 25+y 2=1；(2)证明：设A ,B ,M 的点的坐标分别为 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(0,y 0)，易知F 点的坐标(2,0) ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，则设直线l 的方程为 y =k(x −2)，将直线l 的方程代入到椭圆C 的方程中，消去y 并整理得， (1+5k 2)x 2−20k 2x +20k 2−5=0， ∴ x 1+x 2=20k 21+5k ，x 1⋅x 2=20k 2−51+5k ，又∵ MA →=λ1AF →,MB →=λ2BF →，将各点坐标代入得 λ1=x 12−x 1,λ2=x 22−x 2.∴ λ1+λ2=x 12−x 1+x 22−x 2=2(x 1+x 2)−2x 1x 24−2(x 1+x 2)+x 1x 2=40k 21+5k 2−40k 2−101+5k 24−40k 21+5k 2+20k 2−51+5k 2=−10.【答案】解：(1)由定义可得，P 点的轨迹为椭圆且 2a =4, c =1， ∵ a 2=b 2+c 2， ∴ b =√3，因此椭圆的方程为x 24+y 23=1；(2)设直线l 的方程为 x =ty −√3 ，与椭圆 x 24+y 23=1交于点 A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程消去x 可得 (3t 2+4)y 2−6√3ty −3=0，即y 1+y 2=6√3t3t 2+4,y 1y 2=−33t 2+4.△AOB 面积可表示为 S △AOB =12|OQ|⋅|y 1−y 2|=12⋅√3⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2，=12⋅√3⋅√(6√3t3t2+4)2−4×−33t2+4=63t2+4⋅√3t2+1，令√3t2+1=u，则u≥1 ,上式可化为6uu2+3=6u+3u≤√3，当且仅当u=√3，t=±√63时等号成立，因此△AOB面积的最大值为√3，此时直线的方程为x=±√63y−√3.【考点】直线与椭圆结合的最值问题椭圆的标准方程基本不等式在最值问题中的应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由定义可得，P点的轨迹为椭圆且2a=4, c=1，∵a2=b2+c2，∴ b=√3，因此椭圆的方程为x 24+y23=1；(2)设直线l的方程为x=ty−√3，与椭圆x24+y23=1交于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立直线与椭圆的方程消去x可得(3t2+4)y2−6√3ty−3=0，即y1+y2=6√3t3t+4,y1y2=−33t+4.△AOB面积可表示为S△AOB=12|OQ|⋅|y1−y2|=12⋅√3⋅√(y1+y2)2−4y1y2，=12⋅√3⋅√(6√3t3t2+4)2−4×−33t2+4=63t2+4⋅√3t2+1，令2+1=u，则u≥1 ,上式可化为6uu2+3=6u+3u≤√3，当且仅当u=√3，t=±√63时等号成立，因此△AOB面积的最大值为√3，此时直线的方程为x=±√63y−√3.。

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信丰中学2017级高二上学期周考十（文A+）数学试卷
命题人：审题人：
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1、设F
1，F
2
为定点，|F
1
F
2
|＝6，动点M满足|MF
1
|＋|MF
2
|＝6，则动点M的轨迹是( )
A．椭圆 B．直线 C．圆 D．线段2、命题“2
2530
x x
--<”的一个必要不充分条件是（）
A．
1
3
2
x
-<<B．
1
3
2
x
-<< C．
1
4
2
x
-<<D．12
x
-<<
3．过椭圆4x2＋y2＝1的一个焦点F
1
的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的
另一个焦点F
2构成的△ABF
2
的周长为( )
A．2 B．4 C．8 D．2 2
4．下列说法正确的是( )
A．命题“任意x∈R，e x>0”的否定是“存在x∈R，e x>0”
B．命题“已知x，y∈R，若x＋y≠3，则x≠2或y≠1”的逆否命题是真命题
C．“x2＋2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”⇔“(x2＋2x)
min ≥(ax)
max
在x∈[1,2]上恒
成立”
D．命题“若a＝－1，则函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的逆命题为真命题
5．已知焦点在x轴上的椭圆C：x2
a2＋y2＝1(a＞0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭
圆于A，B两点，且|AB|＝1，则该椭圆的离心率为( )
A.
3
2 B.
1
2 C.
15
4 D.
5
3
6．已知F
1，F
2
为椭圆C：
x2
9＋
y2
8＝1的左、右焦点，点E是椭圆C上的动点，1
EF·
2
EF
的最大值、最小值分别为( )
A．9,7 B．8,7 C．9,8 D．17,8
7．已知直线l
1：4x－3y＋6＝0和直线l
2
：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线
l 1和直线l
2
的距离之和的最小值是( )
A．
35
5 B．
11
5 C．2 D．3
8．已知椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的右焦点为(3,0)F ,过点F 的直线交椭圆于,A B 两
点.若AB
的中点坐标为(1,1)-,则E 的方程为（）
A ．2214536x y +=
B ．2213627x y +=
C ．2212718x y +=
D ．22
1189
x y +=
二、填空题：（本大题共4个小题，每题5分，共20分）
9．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2
a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________. 10．点(,)P x y 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为________．
11．已知椭圆的方程是x 2＋2y 2－4＝0，则以M(1,1)为中点的弦所在直线方程是______． 12．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值是________．
三、解答题：（本大题共2个小题，共20分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
13．设命题p ：函数f(x)＝lg(ax 2
－x ＋1
4a)的定义域为R ；命题q ：不等式3x －9x ＜a
对一切正实数均成立．如果命题“p ∨q ”为真命题，“p ∧q ”为假命题，求实数a 的取值范围．
14．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率为12，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)当△F 2AB 的面积为122
7时，求直线的方程．
信丰中学2017级高二上学期周考十（文A+）数学试卷参考答案一、选择题：DCBB ABCD
二、填空题：9．4或8 10 11．x ＋2y －3＝0 12．5 三、解答题：13.解析若命题p 为真，即ax 2
－x ＋1
4a ＞0恒成立，
则⎩⎨⎧
a ＞0，Δ＜0，
有⎩⎨⎧
a ＞0，
1－a 2＜0，
∴a ＞1.
令y ＝3x
－9x
＝－(3x
－12)2
＋14，由x ＞0，得3x ＞1.∴y ＝3x －9x 的值域为(－∞，0)． ∴若命题q 为真，则a ≥0.
由命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，得命题p 、q 一真一假．当p 真q 假时，a 不存在；当p 假q 真时，0≤a ≤1.
14.解：(1)因为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，32，所以1a 2＋94b 2＝1.①
又因为离心率为12，所以c a ＝12，所以b 2a 2＝3
4.②解①②得a 2＝4，b 2＝3. 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)当直线的倾斜角为π2时，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－32，
S △ABF 2＝12|AB |·|F 1F 2|＝12×3×2＝3≠122
7.
当直线的倾斜角不为π
2时，设直线方程为y ＝k(x ＋1)，代入x 24＋y 2
3＝1得(4k 2＋3)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0.
设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4k 2－12
4k 2＋3，所以S △ABF 2＝1
2|y 1－y 2|×|F 1F 2|＝|k|(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝|k|
⎝ ⎛
⎭
⎪⎫－8k 24k 2＋32－4·4k 2－124k 2
＋3＝12|k|k 2＋14k 2＋3＝1227，所以17k 4＋k 2－18＝0，
解得k 2
＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2＝－1817舍去，所以k ＝±1，
所以所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0.。