2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)教学设计
北师大版九年级数学下册件 2.2 第3课时 二次函数y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k课
A．（-3，-2） B．（-2，0） C．（-5，0） D．（-3，0）
C
）
三、即学即练，应用知识
1
5.抛物线 y ( x 2)2 7 的对称轴是________
直线x=2，顶点坐标是________；
（2，7）
3
减小
当x＞2时，y随x的增大而_______；当x＜2时，y随x的增大而_______；
顶点(0,− ）
顶点(-3，− ）
二、自主合作，探究新知
议一议：二次函数y=a（x-h）2+k与y=ax2的图象有什么关系？
一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a (x-h)2+k的
图象.因此，二次函数y=a (x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的开口方
向、对称轴和顶点坐标与a，h， k的值有关.
北师大版 数学 九年级下册
第二章 二次函数
2
二次函数的图象与性质
第3课时
学习目标
1.能够画出函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2＋k的图象，并能
理解它们与y＝ax2的图象的关系，理解a，h和k对二次函数图象
的影响．(重点)2.能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、
对称轴和顶点坐标．3.探索函数y＝a(x－h)2和函数y＝a(x－h)2
而减小；当x>0时，y
随x增大而增大.
最值
x=0时，y最小值=k
向下
y轴（直线x=0）
（0,k）
当x<0时，y随x增大
而增大；当x>0时，
y随x增大而减小.
x=0时，y最大值=k
一、创设情境，引入新知
苏科版九年级数学下册 二次函数的图像和性质3教案
《二次函数的图像和性质》教案1教学目标1.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质．2.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴．重点难点重点：二次函数的图象与性质. 难点：二次函数的图象与性质.教学过程由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？实践与探索1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．221x y =，2)1(21-=x y ，2)1(212--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．解:列表．描点、连线，画出这三个函数的图象，如图所示．它们的开口方向都向，对称轴分别为____，顶点坐标分别为____．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．回顾与反思二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．探索你能说出函数2)(h x a y -=+k (a 、h 、k 是常数，a ≠0)的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？试填写下表．2)(h x a y -=+k 开口方向对称轴顶点坐标 0>a0<a2．把抛物线c bx x y ++=向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．分析抛物线2x y =的顶点为(0，0)，只要求出抛物线c bx x y ++=2的顶点，根据顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b 、c 的值．解c bx x y ++=2c b b bx x +-++=442224)2(22b c b x -++=． 向上平移2个单位，得到24)2(22+-++=b c b x y ，再向左平移4个单位，得到24)42(22+-+++=b c b x y ，其顶点坐标是)24,42(2+---b c b ，而抛物线2x y =的顶点为(0，0)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=--0240422b c b解得⎩⎨⎧=-=148c b探索把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，也就意味着把抛物线2x y =向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线c bx x y ++=2．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试．巩固练习1．将抛物线1)4(22--=x y 如何平移可得到抛物线22x y =( ) A ．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B ．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C ．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线223x y -=向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数关系式为_____．3．抛物线22121x x y -+=可由抛物线221x y -=向平移个单位，再向平移个单位而得到．本课小结1．通过本课的学习，你有什么收获？ 2．你对本节课还有什么不明白的？ 布置作业教材第18页练习第1题，20页第6题．《二次函数的图像和性质》教案2教学目标1．通过探究、归纳、类比，用配方法把二次函数化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；2．使学生掌握用图象或配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； 3．体会先确定顶点坐标再对称取值画出的抛物线的对称美．重点难点重点用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．难点利用配方法将二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化成ab ac a b x a y 44)2(22-++=． 教学设计 (一)情境引入1．你能说出二次函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性吗？2．不画图象，你能直接说出函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ (二)实践探索1问题通过配方，确定抛物线的开口、对称轴、顶点坐标和增减性，再描点画图． 解6422++-=x x y []8)1(261)1(26)112(26)2(22222+--=+---=+-+--=+--=x x x x x x因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x =1，顶点坐标为(1，8)．当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝1时，函数取得最大值，最大值y ＝8由对称性列表：回顾与反思(1)列表时选值，应以对称轴x =1为中心，函数值可由对称性得到．(2)描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．(三)实践探索2问题为了方便找到对称轴、顶点坐标，我们面对形如c bx ax y ++=2的函数该如何处理？x … -2-10 1 2 3 4…y… -10 0 686-10 …y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋bax )＋c ＝a [x 2＋bax ＋(2b a )2－(2b a )2]＋c＝a [x 2＋b a x ＋(2b a )2]＋c －24b a ＝a (x ＋2b a )2＋244ac b a-当a ＞0时，开口向上，当a ＜0时，开口向下．对称轴是x ＝－2b a ，顶点坐标是(－2b a ，244ac b a-)变式训练1．x 为任意实数，求二次函数y =x 2+2x +3取值范围． 2．如何画出美观的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象？ 本课小结1．通过本课的学习，你有什么收获？2．二次函数的三种表达形式：(还有一种暂时未学) 一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：k h x a y +-=2)(3．形如y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴如何确定？增减性如何判断？4．你对本节课还有什么不明白的？ 布置作业教材第20页7、8、9题．。
2 二次函数的图象与性质2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第3课时PPT课件(华师大版)
减”的平移规律,确定平移后的抛物线对应的函数关系式.
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
目标三 理解二次函数y=a(x-h)2+k的性质
例 3 [高频考题]
已知函数 y=3 - +9.
(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
知识点二 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
二次
a的
图象的开 图象的 图象的顶
函数值的
图象
函数
符号
最值
口方向
对称轴 点坐标
变化情况
当x>h时,y随x的
y=
a(x-
a>0
向上
直线
( h , 增大而 增大 ;
图象有最 低点,
当x=h时,y有最
x=h
2
称轴分别为 y 轴,直线 x=1,直线 x=1;顶点坐标分别为
(0,0),(1,0),(1,-2).
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
【归纳总结】画二次函数 y=a(x-h)2+k 的图象的技巧:
(1)找到对称轴直线 x=h(即顶点的横坐标 h);
(2)列表时选取的 x 值中把 h 放在中间,比 h 小和比 h 大的数各取若干个
k
)
当x<h时,y随x的
h)2+k
增大而
增大
大值
k
第3课时
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
反思
2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)优秀教学设计
《二次函数的图象与性质（第3课时）》教学设计说明一、教学目标1、学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解h a ,对二次函数图象的影响.2、培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.二、教学重点：二次函数2)(h x a y -=的图象与性质.教学难点：二次函数2)(h x a y -=图象与图象2ax y =之间的关系，h a ,对二次函数图象的影响.三、教学过程分析第一环节: 回顾，引入新课1、问题1 说说二次函数y=ax2+c(a ≠0)的图象的特征.问题2 说一说二次函数 y=ax2+c （a ≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 图象的平移关系？思考 函数的图象与函数 的图象有什么关系呢？（完成书37页的做一做）设计意图：复习前两节课内容，唤醒学生记忆，提出问题，为下面的教学作准备.第二环节: 合作探究,发现和验证探究：2)(h x a y -=的图象和性质学生独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流.()212-=x y 22x y =观察上表，比较22x 与2)1(2-x 的值，它们有什么样的关系？2、在同一坐标系中作出22x y =与2)1(2-=x y 的图象.同伴交流：你是怎样作的?3、结合图象，议一议二次函数2)1(2-=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？4、结合初二图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象之间的关系呢?5、猜一猜：2)1(2+=x y 的图象是怎么样的？它的图象与22x y =的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！得出结论：二次函数22x y =、2)1(2-=x y 、2)1(2+=x y 的图象都是抛物线，并且形状相同，位置不同.将22x y =的图象向右平移一个单位,就得到2)1(2-=x y 的图象; 将22x y =的图象向左平移一个单位,就得到2)1(2+=x y 的图象. 设计意图：通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论.先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程.第三环节：巩固新知：1、将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位2.把抛物线y = -x 2沿着x 轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .3.二次函数y =2(x - )2图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标5. 若（- ，y 1）（- ，y 2）（，y 3）为二次函数y =(x -2)2图象上的三点，则y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系为_______________. 第四环节：典例解析：例1 抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．第五环节：课堂小结比较y=ax2 ， y=ax ²+k ， y=a(x-h)² 的图像的不同拓展探究二：k h x a y +-=2)(的图象和性质想一想：由二次函数y=2x ²的图象你能得到y=2(x+3)²的图象吗？由y=2(x+3)²的图象你能得到y=2(x+3)²- 的图象吗？设计意图:经过前期的探索,学生完全有能力推测出表达式的变化会引起图象的何种变化.因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力， 有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质,可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后,总结规律, 有效地让学生从感性认识上升到了理性认识, 并形成自己对本节课重点内容的理解.23445421小结：学生交流后得出结论:当k>0时，向上平移|k| 个单位长度当k<0时，向下平移|k| 个单位长度2.练一练： 1）若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________ 2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x23) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-14) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x 轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______ 小结:本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 的性质:(1)a 的符号决定抛物线的开口方向(2)对称轴是直线x=h。
2.2 二次函数的图象与性质 第3课时 教案
一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度．问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S 梯形ABOD －S △ACD －S △BOC ＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB－12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 【类型五】 二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象； (2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B . ①求线段AB 的长及直线AB 的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C 点的坐标为C 4(－2，174)． 综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质。
二次函数图像和性质教学设计(3篇)
二次函数图像和性质教学设计（3篇）二次函数的图像和性质3教学设计篇一22.1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计知识与技能：会用描点法画出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象；过程与方法：结合图象确定抛物线y＝a(x－h)2＋k的开口方向、对称轴与顶点坐标及性质；情感态度与价值观：通过比较抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的关系，培养学生的观察、分析、总结的能力。
学情分析学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上，重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点教学重点：画出形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象，能指出开口方向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2及其图象的相互关系。
4教学过程一、复习导入新课师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察y＝－x2、y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条抛物线。
（指名学生回答）。
师：同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物线能否经过怎样的平移得到抛物线y＝－(x＋1)2－1 生：向左平移一个单位，再向下平移一个单位。
师：这个猜想是否正确呢？这节课我们一起来验证一下。
（板书课题）二、探究探究一（大屏幕出示）（自探问题部分）1.画出函数y＝－(x＋1)2－1的图象，指出它的开口方向、对称轴及顶点、最值、增减性．x y＝－(x＋1)2－1 函数… …－4－3－2－10 1 2 ……开口方向顶点对称轴最值增减性y＝－(x＋1)2－1（学生口头展示以上问题）2．师：（结合课件）把抛物线y＝－x2向_______平移______个单位，再向_______平移_______个单位，就得到抛物线y＝－(x＋1)2－1．所以抛物线y＝－x2 与抛物线y＝－(x＋1)2－1 形状___________，位置________________．通过刚才的演示，可以证明我们前面的猜想是正确的。
2.2 二次函数的图象与性质 第3课时湘教版九年级下册
1.（成都·中考）把抛物线 y x 2 向右平移1个单位，所得 抛物线的函数表达式为（ A. y x 1
2
）
B.
y ( x 1)
2
C. y x 1
2
D. y
( x 1)
2
【答案】D
2.（哈尔滨·中考）在抛物线y＝x2-4上的一个点 是（ ）． B．（1，一4）
抛物线 2 y=x 2 y=X +1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 向上 向上
X=0 X=0 X=0
（０,０） (0，1) (0，-1)
y=x2-1
（4)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线 y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物 线y=x2-1.
（5）它们的位置是由+1、-1决定的.
2
的开口方
向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 y
2
x
2
有什么关系？
画出二次函数 y x 1 , y x 1 的图象，并
2 2
1
1
2
2
考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
y y 1 2 1 2
·· · ·· ·
－3
－2
1 2
－1
0
1 2
1
2
3
·· · ·· · ·· ·
2.2
二次函数的图象与性质
第3课时
1.经历探索二次函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0) 的图象作法和性质的过程. 2.能够理解函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0)与 y＝ax2的图象的关系，理解a,m,k对二次函数图象的影响. 3.能正确说出函数y＝ax2＋k,y＝a(x+m)2的图象的开口方 向，顶点坐标和对称轴.
第三课时：二次函数(3)教学案
第三课时：二次函数（3）教学案
教学目标：
1、能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋b的图象。
2、经历二次函数y＝ax2＋b性质探究的过程，理解二次函数
y＝ax2＋b的性质及它与函数y＝ax2的关系。
教学重点：会用描点法画出二次函数y＝ax2＋b的图象，理解二次函数y＝ax2＋b的性质及y＝ax2＋b与函数y＝ax2的相互关系。
教学难点：正确理解二次函数y＝ax2＋b的性质，理解抛物线
y＝ax2＋b与抛物线y＝ax2的关系。
教学过程：
一、提出问题,导入新课
1、二次函数y＝2x2的图象具有哪些性质？
2、猜想二次函数y＝2x2＋1的图象与二次函数y＝2x2的图象开
口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?
二、类比探究，学习新知
1、问题1：画出函数y＝2x2和函数y＝2x2＋1的图象，并比较
2、同学试一试，教师点评
3、问题2：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值（y）
之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?
4、你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的性质吗?
三、做一做
在同一直角坐标系中画出函数y＝2x2－2与函数y＝2x2的图象，再作比较，说说它们有什么联系和区别?
四、小结
五、作业：
在同一直角坐标系中，画出y＝－2x2与y＝－2x2－2的图像
课后反思：。
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计
二次函数y=ax2图象的描绘和图像特征的归纳
学习难点
选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像.
学习方法
合作——探究、讨论——交流．
学具准备
投影片、单页网格纸
学习内容及过程
备注
一、学习准备
问题：1.正比例函数y=kx（k ≠ 0）其图象是什么？
2.一次函数y=kx+b（k ≠ 0）其图象又是什么？
《二次函数的性质》导学设计
（鲁教版九年级上册第二章二次函数第三节）
课题
二次函数y=ax2的图像性质
课型
新授课
备课人
内容分析
二次函数y=ax2的图像和性质，是本章二次函数概念之后首次接触二次函数的性质，前面有一次函数、正（反）比例函数性质的基础，学生有了储备知识，它是一类最特殊的二次函数，为后续学习奠定基础，从某种意义上说起着承上启下的作用。教材中性质的推导与获得利用了“从特殊到一般”的认识方法。同学们应注意学习和运用。本节学习中最难理解的是增减性，这一点同学们学习时要特别注意。
画函数y=x2,y= -x2,图象。
生列表，描点，连线，得到函数的图像，抽2生到黑板完成。
师通过订正黑板上两同学的图象，指出图象的正确做法。
探究二：观察图象，探索性质。
(完成教材P46)函数 的图像、顶点坐标、对称轴有关概念
通过填写下表二次函数y=x2图象来概括归纳性质。
（一）列表
x
…
-3
-2
-1
0
例1已知二次函数y=ax2(a≠0)的图像经过点(1,-9).
(1)求a的值，并写出这个二次函数的解析式.
(2)说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.
《二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2》教案 (公开课)2022年北师大版数学
2.2 二次函数的图象与性质第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质教学目标：1．使学生能利用描点法画出二次函数y＝a(+h)2的图象。
2．让学生经历二次函数y＝a(x+h)2性质探究的过程，理解函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系。
重点难点：重点：会用描点法画出二次函数y＝a(x+h)2的图象，理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的关系是教学的重点。
难点：理解二次函数y＝a(x+h)2的性质，理解二次函数y＝a(x+h)2的图象与二次函数y＝ax2的图象的相互关系是教学的难点。
教学过程：一、提出问题1．在同一直角坐标系内，画出二次函数y＝－12x2，y＝－12x2－1的图象，并答复：(1)两条抛物线的位置关系、对称轴、开口方向和顶点坐标。
(2)说出它们所具有的公共性质。
2．二次函数y＝2(x－1)2的图象与二次函数y＝2x2的图象的开口方向、对称轴以及顶点坐标相同吗这两个函数的图象之间有什么关系二、分析问题，解决问题问题1：你将用什么方法来研究上面提出的问题(画出二次函数y＝2(x－1)2和二次函数y＝2x2的图象，并加以观察)问题2：你能在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝2x2与y＝2(x－1)2的图象吗2．让学生在直角坐标系中画出图来：3．教师巡视、指导。
问题3：现在你能答复前面提出的问题吗2．让学生分组讨论，交流合作，各组选派代表发表意见，达成共识：函数y＝2(x－1)2与y＝2x2的图象、开口方向相同、对称轴和顶点坐标不同；函数y＝2(x一1)2的图象可以看作是函数y＝2x2的图象向右平移1个单位得到的，它的对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)。
问题4：你可以由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2(x－1)2的性质吗三、做一做问题5：你能在同一直角坐标系中画出函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象，并比较它们的联系和区别吗教学要点1．让学生发表不同的意见，归结为：函数y＝2(x＋1)2与函数y＝2x2的图象开口方向相同，但顶点坐标和对称轴不同；函数y＝2(x＋1)2的图象可以看作是将函数y＝2x2的图象向左平移1个单位得到的。
第三课时 27.2 二次函数的图象与性质(2)(第3课时)
第三课时 27．2 二次函数的图象与性质（2）(第3课时)一、衔接知识回顾：1.一次函数x y 2=的图象 移动 单位，可得12+=x y 的图象。
2.你能由此推测二次函数2x y =与12+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系？1．会画二次函数y ＝ax 2＋k 的图象；2．掌握二次函数y ＝ax 2＋k 的性质，并会应用； 3．知道二次函数y ＝ax 2与y ＝的ax 2＋k 的联系． 二、新知自习探究：（学生先独立完成下列题目）例1．在同一直角坐标系中，画出函数22x y =与222+=x y 的图象． 解列表．描点、连线，画出这两个函数的图象．反思 1. 当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？2.反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？ 探索 1.观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？2.你能由此说出函数22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？ 例2、在同一直角坐标系中，画出二次函数y ＝x 2＋1，y ＝x 2－1的图象． 解：先列表x … －3 －2 －1 0 1 23 … y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2－1 ……描点并画图x... -3 -2 -1 0 1 2 3 (2)2x y =... 18 8 2 0 2 8 18 (2)22+=x y…20104241020…观察图象得：1．开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值y＝x2y＝x2－1y＝x2＋12．可以发现，把抛物线y＝x2向______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2＋1；把抛物线y＝x2向_______平移______个单位，就得到抛物线y＝x2－1．3．抛物线y＝x2，y＝x2－1与y＝x2＋1的形状_____________．三、理一理知识点1．y＝ax2y＝ax2＋k开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值a＞0时，当x＝______时，y有最____值为________；a＜0时，当x＝______时，y有最____值为________．增减性2．抛物线y＝2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；抛物线y＝2x2向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．因此，把抛物线y＝ax2向上平移k（k＞0）个单位，就得到抛物线_______________；把抛物线y＝ax2向下平移m（m＞0）个单位，就得到抛物线_______________．3．抛物线y＝－3x2与y＝－3x2＋1是通过平移得到的，从而它们的形状__________，由此可得二次函数y ＝ax 2与y ＝ax 2＋k 的形状__________________．四、课堂巩固训练1．填表函数草图开口方向 顶点对称轴 最值对称轴右侧的增减性y ＝3x 2y ＝－3x 2＋1y ＝－4x 2－52．将二次函数y ＝5x 2－3向上平移7个单位后所得到的抛物线解析式为_________________．3．写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________． 五．方法归纳：k axy +=2（a 、k 是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标归纳如下：k axy +=2开口方向对称轴顶点坐标>a<a六、作业：A1．填表函数开口方向顶点 对称轴最值 对称轴左侧的增减性y ＝－5x 2＋3 y ＝7x 2－12．抛物线y ＝－13 x 2－2可由抛物线y ＝－13x 2＋3向___________平移_________个单位得到的．3．抛物线y ＝－x 2＋h 的顶点坐标为（0，2），则h ＝_______________．4．抛物线y ＝4x 2－1与y 轴的交点坐标为_____________，与x 轴的交点坐标为_________． 5．抛物线9412-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线241x y =向 平移 个单位得到的．6．函数332+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．7.已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值. B 、1．在同一直角坐标系中b ax y +=2与)0,0(≠≠+=b a b ax y 的图象的大致位置是( )2．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式．3．二次函数c ax y +=2()0≠a 中，若当x 取x 1、x 2（x 1≠x 2）时，函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值等于 。
九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿
九年级下册《二次函数的图像和性质》第三课时说课稿一、教材及学情分析《二次函数的图像与性质》是北师大版九年级下册第二章第二节的内容，在学生已经学习过一次函数（包括正比例函数）、反比例函数的图像与性质，以及会建立二次函数模型和理解二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，是对前面所学一次函数、反比例函数图像与性质的一次升华，又是今后学习《确定二次函数的表达式》《二次函数的应用》、《二次函数与一元二次方程》的预备知识，又是学生高中阶段数学学习的基础知识，它在教材中起着非常重要的作用。
另外，本节课最大特点，是结合图形来研究二次函数的性质，这充分体现了一个很重要的数学思想——数形结合数学思想。
因此，这一节课，无论是在知识上，还是对学生动手能力培养上都有着十分重要的作用。
二、教学目标及重、难点分析通过分析，我们知道，《二次函数的图像与性质》在整个教材体系中，起着承上启下的作用，有着广泛的应用。
我认为这节课的重点是：作出函数y=ax2+c的图象，比较函数y=ax2和函数y=ax2+c的异同，了解它们的性质；函数y=ax2+c的图象与性质的理解，掌握抛物线的上下平移规律是本节课的难点。
知识与技能目标（1）会做函数y=ax2和y=ax2+c的图象，并能比较它们的异同；理解a,c对二次函数图象的影响，能正确说出两函数的开口方向，对称轴和顶点坐标；（2）了解抛物线y=ax2上下平移规律。
过程与方法目标本节课，过程是由抽象到直观，再由直观到抽象（既二次函数y=ax2+c的关系式——作出图像——说出二次函数y=ax2+c的图像与性质），培养学生分析问题、解决问题的能力，培养学生观察、探讨、分析、分类讨论的能力。
情感、态度与价值观引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性。
三、教学结构设计建立以“实施主体性教学，培养学生自主探究的能力”为主的课堂教学结构模式——学教结合式。
二次函数的图象与性质（3）教案
湘教版数学九年级1.2二次函数的图象与性质（3）教学设计课题 1.2二次函数的图象与性质（3） 单元 第一章二次函数 学科 数学年级九年级学习 目标 1、经历用描点法画二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的过程，并通过图象认识函数的性质．2、经历函数y =a (x -h )2+k 与y =ax 2（a ≠0）图象平移规律的探究过程．3、会运用二次函数的知识解决简单的问题.重点 会用描点法画出二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与性质．难点理解二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与抛物线y =ax 2的图象的关系．教学过程教学环节 教师活动学生活动设计意图 导入新课1、二次函数y=ax 2与y=a (x-h )2的关系2、二次函数y=a (x -h )2的性质 抛物线y=a (x -h )2的对称轴 ，顶点坐标 ，开口方向 ，最大值（最小值）___．学生凭借已有的知识经验对提出的问题以个别回答的方式一一作答，教师给予评价． 从学生已经研究过的问题出发，一方面对前面所学的知识起到复习巩固的作用，另一方面为探究新问题提供研究方式和方法，激发学生探究的欲望． 讲授新课一、探究y =a (x -h )2+k 的图象与性质 1、画出二次函数212y x =，21(1)2y x =- ，21(1)32y x =-+的图象，并探究它们的图象特征和性质．列表：自变量x 从顶点的横坐标向右开始取值．描点和连线：画出图象在对称轴右边的部分．利用对称性，画出图象在对称轴左边的部分．学生在教师指导下填写表格中相应的函数值并画图，然后画函数图象，让学生对比分析． 让学生亲身经历列表、描点画图的过程，从列表过程中体会二次函数数量间的关系，从画图中体会位置关系 ．观察上表，对于每一个给定的x 值，函数 21(1)32y x =-+的值与函数21(1)2y x =-的值有何关系？ 从上表看出：对于每一个给定的x 值，函数 21(1)32y x =-+的值都要比函数21(1)2y x =-的值大3． 由此你可以得到什么结论？请与同桌交流你发现的结论． 函数21(1)32y x =-+的图象可由二次函数21(1)2y x =-的图象向上平移3个单位而得到．因此，二次函数21(1)2y x =-的图象也是抛物线，它的对称轴为直线x =1（与抛物线 21(1)2y x =- 的对称轴一样），顶点坐标为（1，3）（它是由抛物21(1)2y x =-的顶点（1，0）向上平移3个单位得到的），它的开口向上．2、问题：1、212y x =的图象经过怎样的平移得到21(1)32y x =-+的图像？ 212y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位即可得到21(1)32y x =-+的图象．3、若将抛物线21(1)2y x =-向下平移2个单位，得到的函数解析式是什么？将抛物线21(1)2y x =-向下平移2个单位，得到的函数解析式是21(1)22y x =--．二、二次函数y =a (x -h )2+k 的性质二次函数y =a (x -h )2+k 的图象是抛物线，它具有下述性质：三、二次函数y =a (x -h )2+k 的画法1、画y =a (x -h )2+k 的图象的步骤如下：第一步：写出对称轴和顶点坐标，并且在平面直角坐标系内画出对称轴，描出顶点；第二步：列表(自变量x 从顶点的横坐标开始取值)，描点和连线，画出图象在对称轴右边的部分；第三步 利用对称性，画出图象在对称轴左边学生独立完成再小组合作交流．完成例4、例5．让学生从大量实例中，总结得出一般规律，进一步体会特殊到一般的解决数学问题的方法，提高学生抽象概括能力．培养学生应用数学知识解决问题的能力．2、结论：一般地抛物线y=a（x-h）2+k与y=ax2的形状相同，位置不同．。
数学九年级上册《二次函数-第三课时》教案
板书设计：22.1.3 二次函数y=ax2+k的图象和性质
二次函数y=ax2+k的性质
教学后记（反思成败、总结经验）：
3、二次函数y=ax2+k（a，k是常数），当x取值x1、x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视
五、能力提升：（7分钟）
独立完成学思练巩固提升
六、课堂小结(2分钟，学生回答)
二次函数y=ax2+k的性质及平移规律
七、作业布置
教材习题22.1第5（1）题
（1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7 （3）y=2x2-1
5.完成学思练自学检测部分
学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视
四、巩固练习（8分钟）
1、二次函数y=ax2+k的图象经过点A（2，3）， B（3，5），求这个函数的解析式。
2、已知二次函数y=2x2+3，当x取何值时，y随x的增大而增大；当x取何值时，y随x的增大而减小？
会作函数的图象．
教学难点
能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
教学方法与手段
自主学习——合作交流——当堂训练
教学准备
课件、教材、三角板
第 一 课时
课时数
1 课时
教学流程
二次备课(标、增、改、删、调)
一、旧知回顾：（3分钟）
二次函数y=ax2有什么性
二、自主探究：（12分钟）
探究：
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：y=x2，y=x2+2 , y=x2-2
初中20-20学年度第一学期教学设计
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
2-2二次函数的图象与性质(第三课时)课件
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b , 4ac 2a 4a 直线x
b2 b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
当x b 时,最小值为 4ac b2
400 9
0.0225 x 202 1.
这条抛物线的顶点坐标 是 20,1.
由此可知钢缆的最低点到桥面的距离是1m。
⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的 ？与同伴交流.
想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x 20 2 1.
2a
4a
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
当x b 时,最大值为 4ac b2
2a
4a
小结 拓展 回味无穷
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与=ax²的关系
1.相同点: (1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).
(2)都是轴对称图形.
(3)都有最(大或小)值.
而获得钢缆的最低点到桥面的距离;
y 0.0225 x2 0.9x 10
y 0.0225 x2 0.9x 10
0.0225 x2 40 x 4000
9
Y/m 10
0.0225 x2 40 x 20 2 20 2 4000 桥面 -5 0 5
x/m9Βιβλιοθήκη 0.0225x20 2
2.2二次函数的图象与性质(3)
当 x＝h 时，y 最大值＝0
2 二次函数的图象与性质
知识点二 二次函数 y＝ax2 与 y＝a(x－h)2 的图象的关系 二次函数 y＝a(x－h)2 的图象与 y＝ax2 的图象的形状完全相 同，开口方向也相同，但 y＝a(x－h)2 的图象的对称轴是直 线 x＝h，顶点坐标为(h，0)．实际上，只要把 y＝ax2 的图象 向左(h＜0)或右(h＞0)平移|h|个单位长度，就可以得到 y ＝a(x－h)2 的图象．
2－2－15 所示．
❖9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021 ❖10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 11:44:30 PM ❖11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/172021/9/172021/9/17Sep-2117-Sep-21 ❖12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/172021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021
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第二章 二次函数《二次函数的图象与性质（第3课时）》教学设计说明深圳市翠园中学初中部 黄缨 梁成一、学生知识状况分析学生的知识技能基础学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质.学生活动经验基础在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质.二、教学任务分析根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下： 知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响.过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质.教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响.三、教学过程分析学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性.第一环节: 提出问题,引入新课1、回忆一下：二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到.2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．设计意图：复习前两节课内容，唤醒学生的记忆，并提出问题，为下面的教学作准备. 第二环节: 合作探究,发现和验证探究一：2)(h x a y -=的图象和性质学生独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流.1、 完成下表：观察上表，比较22x 与2)1(2-x 的值，它们有什么样的关系？2、在同一坐标系中作出22x y =与2)1(2-=x y 的图象.同伴交流：你是怎样作的?3、结合图象，议一议交流：二次函数2)1(2-=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？4、结合初二图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象之间的关系呢?5、猜一猜：2)1(2+=x y 的图象是怎么样的？它的图象与22x y =的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！讨论交流后得出结论：二次函数22x y =、2)1(2-=x y 、2)1(2+=x y 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将22x y =的图象向右平移一个单位,就得到2)1(2-=x y 的图象; 将22x y =的图象向左平移一个单位,就得到2)1(2+=x y 的图象.设计意图：通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论.先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程.注意事项：小组合作探究，让学生先独立完成图象，再交流探讨作法和探讨性质，教师注意学生画二次函数图象的规范性.同伴交流时,教师注意让学生多角度地观察图象特点,同时注意小组内辅导有困难的学生.要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系.探究二：k h x a y +-=2)(的图象和性质1、小组活动：（1）合情推理：由二次函数22x y =的图象，你能得到2122-=x y ，2)3(2+=x y ，21)3(22-+=x y 的图象吗？你是怎么样得到的？ （2）画图验证后寻找规律，说一说图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化.（3）议一议：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与2ax y =有什么关系？2、总结规律,填写表格:k h x a y +-=2)((1)a 的符号决定抛物线的开口方向(2)对称轴是直线x=h(3)顶点坐标是(h,k)设计意图:经过前期的探索,学生完全有能力推测出表达式的变化会引起图象的何种变化.因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力， 有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质,可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后,总结规律, 有效地让学生从感性认识上升到了理性认识, 并形成自己对本节课重点内容的理解.注意事项:在学生自觅知识、自悟性质的过程中，教师要关注学生是否能建立二次函数图象与表达式之间的联系，是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化.第三环节: 启发引导,形成结论总结:目前为止，二次函数图象我们共研究了哪些类型？从解析式来看，它们之间的关系是什么？从图象来看，它们有什么关系？学生交流后得出结论:当k>0时，向上平移|k| 个单位长度当k<0时，向下平移|k| 个单位长度 第四环节: 巩固提高,拓展延伸随堂练习：1、 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：⑴5)3(22--=x y ⑵2)1(5.0+-=x y⑶1432--=x y ⑷5)2(22+-=x y2、对于二次函数2)21(3--=x y ，它的图象与二次函数23x y -=的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？3、 怎样由22x y =的图象得到函数3)1(22+-=x y 的图象？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？拓展提高：1)若抛物线y=-x 2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________ 2)如何将抛物线y=2(x-1)2 +3经过平移得到抛物线y=2x 2？3) 将抛 物线y=2(x -1) 2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2) 2-1？4)若抛物线y=2(x-1) 2+3沿x 轴方向平移后,经过(3,5),平移后的抛物线的解析式是______ _.设计意图: 练习基础题，及时对全班同学进行巩固，帮助学生对所学的知识进行理解. 由于学生层次不一，练习的设计充分考虑到学生的个体差异，满足不同层次学生的学习需求，第五环节: 当堂检测就本节课的学习内容对学生进行八分钟的当堂测试.设计意图: 进一步巩固学生所学内容，根据学生的检测情况调整下一步的教学.四、教学反思分析三维目标分析本课是《二次函数的图象与性质》的第三课时，学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生要在这节课中，在二次函数2ax y =和c ax y +=2的图象的基础上，进一步研究2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质．这是对前面所学知识的应用和提高，又是高中进一步学习函数的基础.同时, 二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力.由此, 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，特制定以下三维目标：第一个层面是基础知识与能力目标：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响；第二个层面是过程和方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力；第三个层面是情感、态度和价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．学法分析要想根据图象对二次函数的性质进行分析,积累研究函数性质的经验,必须有动手做的过程.这个做的过程，不仅是一个实践的过程，更是尝试、想象、推理、验证、思考的过程，只有在这样的过程中，学生才能把握二次函数图象和性质的本质，建立函数观念.虽然本课内容多，学生要列表、画图，归纳性质，但一定要让学生充分地活动，一定要在学生经历画图、观察、概括的基础上，让学生自觅知识、自悟性质.另外,为使学生能够从多个角度看问题,进而比较准确地理解二次函数的性质,要尽可能多地运用小组活动的形式,因此,这节课采用的学法是小组合作学习,让学生画图、图象观察、列表对比、自己发现结论的学习方法，使学生通过本节课的学习，进一步理解数形结合,从特殊到一般的思想方法.教法分析学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性.由此，本节课采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式.本课时还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！课堂教学中的几个注意学生在猜一猜的环节中,可能猜想的结果或许很多，老师不要急于表态，而是要引导学生画图验证，从而使学生经历猜想、验证等数学活动，形成自己对本节课重点内容的理解和有效的学习策略，有利于培养学生的数学直觉和感悟能力，加深对数学学习的体验，进一步突破重难点.在学生的探究过程中,教师要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系, 是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化. 要引导学生从感性认识上升到理性认识.。