--西城区高三数学理科期末试题及答案

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷

高三数学（理科） 2015.1

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项．

1．设集合1,0,1{}A -=，2

{|2}B x x x =-<，则集合A B =（ ）

（A ）{1,0,1}-

（B ）{1,0}-

（C ）{0,1}

（D ）{1,1}-

3．在锐角∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若2a b =

，sin B =

，则（ ） （A ）3

A π= （

B ）6

A π=

（C

）sin 3

A =

（D ）2sin 3

A =

4．执行如图所示的程序框图，输出的x 值为（

（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7

2．设命题p ：∀平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b ，则p ⌝为（ ）

（A ）∀平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b （B ）∃平面向量a 和b ，||||||-<+a b a b （C ）∃平面向量a 和b ，||||||->+a b a b （D ）∃平面向量a 和b ，||||||-+≥a b a b

5．设函数()3cos f x x b x =+，x ∈R ，则“0b =”是“函数()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件

8. 设D 为不等式组1,

21,21x y x y x y ---+⎧⎪⎨⎪⎩≤≥≤表示的平面区域，点(,)B a b 为坐标平面xOy 内一点，若对于

区域D 内的任一点(,)A x y ，都有1OA OB ⋅≤成立，则a b +的最大值等于（ ） （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）3

6．一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ） （A

（B ）最长棱的棱长为3

（C ）侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 （D ）侧面四个三角形都是直角三角形

7. 已知抛物线2

:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得

90OQP ，则实数m 的取值范围是（ ）

（A ）(4,8) （B ）(4,) （C ）(0,4) （D ）(8,

)

侧(左)视图

正(主)视图

俯视图

第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9. 复数2i

12i

z -=+，则||z = _____．

10．设12,F F 为双曲线C ：22

21(0)16x y a a -

=>的左、右焦点，点P 为双曲线C 上一点，如果12||||4PF PF -=，那么双曲线C 的方程为____；离心率为____.

11．在右侧的表格中，各数均为正数，且每行中的各数从左到右成等差数列，每列中的各数从上到下成等比数列，那么

x y z ++=______．

12． 如图，在ABC ∆中，以BC 为直径的半圆分别交AB ，AC 于点

E ，

F ，且2AC AE =，那么

AF

AB

=____；A ∠= _____．

13．现要给4个唱歌节目和2个小品节目排列演出顺序，要求2个小品节目之间恰好有3个唱歌节目，那么演出顺序的排列种数是______. （用数字作答）

14. 设P ，Q 为一个正方体表面上的两点，已知此正方体绕着直线PQ 旋转（）

角后能与自身重合，那么符合条件的直线PQ 有_____条.

2 x

3

y

a

32

12

58

z

E F

C

B A

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）

已知函数()cos cos 442

x x x

f x =+, x ∈R 的部分图象如图所示. （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；

（Ⅱ） 设点B 是图象上的最高点，点A 是图象与x 轴的交点，求BAO ∠tan 的值.

16．（本小题满分13分）

现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下： （1）投资股市：

（2）购买基金：

（Ⅰ）当4

p

时，求q 的值； （Ⅱ）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于

4

5

，求p 的取值范围； （Ⅲ）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12

p

，1

6

q ，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？给出结果并说明理由．

17．（本小题满分14分）

如图，在四棱柱1111D C B A ABCD -中，A A 1⊥底面ABCD ，90BAD ∠=，BC AD //，且122A A AB AD BC ==== ，点E 在棱AB 上，平面1A EC 与棱11C D 相交于点F .

（Ⅰ）证明：1A F ∥平面1B CE ；

（Ⅱ）若E 是棱AB 的中点，求二面角1A EC D --的余弦值； （Ⅲ）求三棱锥11B A EF -的体积的最大值.

18．（本小题满分13分）

已知函数2

()(0)f x ax bx a =->和()ln g x x =的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同.

（Ⅰ）若点P 的坐标为1

(,1)e

-，求,a b 的值； （Ⅱ）已知a b =，求切点P 的坐标.

19．（本小题满分14分）

已知椭圆C ：22

11612

x y +

=的右焦点为F ，右顶点为A ，离心率为e ，点(,0)(4)P m m >满足条件

||

||

FA e AP =. （Ⅰ）求m 的值；

（Ⅱ）设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，记PMF ∆和PNF ∆的面积分别为1S ，2S ，求证：

12||||

S PM S PN =.

B C

D

A B 1

C 1

E F

A 1 D 1