汽车保险的数学模型

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汽车保险的数学模型
邹锐标1 , 廖基定2
(1. 湖南农业大学 理学院 ,湖南 长沙 410128 ; 2. 南华大学 数理学院 , 湖南 衡阳 421001)
摘 要 : 利用某保险公司在开展汽车保险业务中所积累的具体数值资料 , 综合考虑投保者心理 、 保费 、 赔偿 金额 、 返回额以及宣传力度等因素 ,应用数理统计与数学实验的方法 ,建立了一个汽车保险的简单实用的数学 模型 ,并根据相关数据的变动提供了改进模型的思路 ,该模型可为保险公司开展汽车保险业务提供较好的参 考。 关键词 : 汽车保险 ; 费 ; 率 ; 数学模型 中图分类号 : O29 文献标识码 : A
遇、 老顾客自己的情况 、 以及保险费用等有关 , 这 个相关系数比较难以确定 , 只能通过模型调整 , 依 次试验 , 确定最好的数值 。 2. 2 赔偿费的计算 赔偿费包括三个部分 :医药赔偿费 、 死亡赔偿 费和汽车修理费 。交通事故对于个人来说是个随 机问题 , 由统计知识易知 , 在大量的人数基础上 , 交通事故的发生率将趋于一个稳定的值 。
建模假设
保险业务是一个涉及社会心理、 保费 、 赔偿
通过上面的分析 ,可以得出如下的关系 :
I = S - P- B - C
费、 返回额 、 宣传力度以及社会法律法规的十分复 杂的系统 ,为简化问题的讨论 ,提出如下假设 : ( 1 ) 一年内无大的天灾人祸 ( 如战争或洪水 等) ,保险事故不会大幅度变化 。 ( 2) 5 年内的国民经济发展基本稳定 ,无经济 危机 ,不会给保险业带来太大影响 。 ( 3) 注销人数不变 ,该人数不影响所要求的最 佳匹配 。 ( 4) 年交通事故数量无变化 ,交通事故死亡率 恒定 。 ( 5) 忽略保险公司的其他影响保险费的因素 , 如不同保险公司之间的竞争 , 或本公司的人事变 动等 。 ( 6) 汽车保险市场稳定和广阔 ,如汽车的年销 售量不变 。 ( 7) 每辆车的保险费相同 。 ( 8) 假设新法规实行后 ,公司制定的利润分配 制度及相关的医药赔偿 、 退还偿还 、 死亡赔偿同样 适用 。

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40 2. 报 ( 自然科学版) 第 25 卷
) 表1 太平洋保险公司某年营业状况统计表 ( Ⅰ
基本保险费 775 元 级别 没有索赔时补贴比例/ % 续保人数 新投保人数 注销人数 总投保人数 0 0 1 280 708 384 620 18 264 1 665 328 1 25 1 764 897 0 28 240 1 764 897 2 40 1 154 461 0 13 857 1 154 461 3 50 8 760 058 0 324 114 8 760 058 总收入 :6 182 百万元 ;偿还退还 :70 百万元 ;净收入 :6 112 百万元 ;支出 :149 百万元 ;索赔支出 :6 093 百万元 ;超支 :130 百万元
上一年没要求赔偿 ,则可提高一个级别 ,若上一年 要求过赔偿 ,则能降低两级的就降低两个级别 ,否 则降为 0 级 ; 客户退出保险时 , 则不论是自然死 亡 ,还是事故死亡 ,都退还其保险费的适当部分 。 某国准备实施安全带法规 , 如果实施了该法 规 ,虽然每年的事故数量不会减少 ,但事故中受伤 的司机和乘务员数肯定会减少 , 从而医药赔偿费 将会有所减少 ,进而保险赔偿费的数额将会下降 , 这是政府希望出现的结果 。已实施这种法规国家 的统计资料表明 , 死亡的司机将会减少 40 % , 遗 憾的是医疗赔偿费的下降不容易确定下来 , 有人 认为 ,医疗赔偿费会减少 20 %～ 40 % 。假设当前 年度该保险公司的统计资料见表 1 和表 2 。 我们希望为保险公司建立一个较好的数学模 型 ,以表 1 和表 2 的数据为例 ,对所建立的模型加 以验证 ,计算在医疗费下降 20 % 和 40 % 的情况 下 ,公司今后 5 年每年每份保险费应收多少比较 合理 。
表3 人数列表 级别 i 总投保人数 Ni
0 1 2 3 1 665 328 1 764 897 1 154 461 8 760 058
αR N ∑
i
i
式中 : F 为总的修理费 ;α为交通事故率 ; R i 为第 i 级投保者的修理费用 , 可以维持原值 。 2. 2. 3 医疗赔偿费的计算
投保者修理费用 R i
1 020 1 223 947 805
M =
∑
) N iM i ] [ (α - λ
式中 : M 为总的医疗赔偿费 ; M i 为第 i 级投 保者的医疗赔偿费用 , 可以维持原值 。 在新法规实行后 , 由于交通事故数量不会减 少 , 可以将死亡人数转化为受伤人数 , 医疗费在原 来的均值基础上按比例下降 。 2. 3 退还偿还费的计算
- k x e 2 k2 x
α+ α
k2 x
α + n 2 ( t - 1)
- k x e 2 - k2 x
- k x e 2
- k x e 2
(1 - α ) + n 3 ( t - 1) e (1 - α ) (1 - α )
α
N 2 ( t ) = n 1 ( t - 1)
N 3 ( t ) = n 2 ( t - 1) e
式中 : k 1 是每年新增保险人数系数 , 与公司 的广告宣传力度 、 人们对保险的接受程度有关 , 具 有一定的模糊性和统计规律性 , 它可以根据历年 数据 , 利用数学实验的方法 , 由下式确定 :
’ ’ n ( t ) = n ( t - 1) e
k1 x
( 4)
k 2 是老顾客续保系数 , 与公司对老顾客的待
式中 , I 为公司总利润 ; S 表示公司总收入 ; P 为公司赔偿费 ; B 为公司退还偿还费 ; C 为公 司开支用费 。
2. 1 总收入的计算
设 t 表示当前年 , t - 1 表示上一年 , n ’( t ) 表 示当前年新的投保人数 , i 表示投保人的级数 ( i = 0 , 1 , 2 , 3 ) , n i ( t ) 表示当前年第 i 级的续保人 数 , N i ( t ) 表示当前年第 i 级的总投保人数 , x 表 示保险费用 , s i 表示第 i 级顾客的补贴比例 ,α 表 示交通事故率 , 由统计规律有 : ’ ’ - k x n ( t ) = n ( t - 1) e 1 - k2 x n i ( t ) = n i ( t - 1) e 再考虑顾客级别的升降 , 于是 : N 0 ( t ) = n ’( t - 1 ) e - k 1 x + n 0 ( t - 1 ) e n 1 ( t - 1) N 1 ( t ) = n 0 ( t - 1)
0 引 言
随着汽车数量的逐年增加 , 以及汽车普及率 的逐年提高 ,汽车保险市场的前景越来越看好 ,但 是 ,汽车数量的增加也对交通管理与安全带来了 一定的负面影响 ,保险公司希望投保人越多越好 , 但是任何事物都具有两面性 , 若对交通事故不很 好控制 ,投保人的增加也会造成索赔人的增加 ,所 以 ,有的国家提出了安全带法规 ,从而较好地控制 了交通事故的死亡率 , 使得投保人到保险公司索 赔的人数有所减少 。同时 , 政府希望保险公司降 低保费 ,从而更好地体现社会主义保险事业利国 利民的性质 。 例如 ,某保险公司提供一种一年期的综合车 险保单业务 : 公司将所有投保人分为 0 ,1 ,2 ,3 四 级 ,级别越高 , 从保险费中得到的折扣越多 ; 在计 算保险费时 ,新客户属于 0 级 ; 若客户一年内没要 求赔偿 , 则给予额外补助 ; 在客户延续保单时 , 若
平均医疗费/ 元
1 526 1 231 823
平均赔偿费/ 元
3 195 3 886 2 941
3 700 872 7 013 805 814 2 321 总修理费 :1 981 百万元 ; 总医疗费 :2 218 百万元 ; 总死亡赔偿费 :1 894 百万元 ; 总索赔费 :6 093 百万元
1
λ DN ∑
i
i
式中 : D 为总的死亡赔偿费 ; N i 为第 i 级的 总投保人数 ;λ为死亡率 ; D i 为第 i 级投保者的死 亡赔偿费 , 可以维持原值 。 2. 2. 2 汽车修理费的计算
F =
额 ;β i 为第 i 级投保者的注销比例 。 2. 4 公司运营成本的计算 假如在以后的时间里 , 投保人数基本不变化 , 那么公司的运营成本基本维持不变 。但是随着投 保人数的增加 , 成本也随着增加 , 由于没有统计资 料可供咨询 , 为此增加一个纠正系数 γ, 虽然粗糙 了点 , 但是这样能保持事实 。 C = 149γ 万元 ( 0 . 7 ≤γ ≤1 . 2) γ 的估计可通过经验与拟合而得到 , 本模型 采用 1 。其实 , 公司现在每年将近 60 多个亿的保 险费 , 以后规模的扩大和缩小都会很有限 。 2. 5 各项参数列表 人数列表 、 费用列表 、 概率和比例列表分别见 表 3～表 5 。
B =
新投保人数 n’ 继续投保人数 ni
384 620 0 0 0 1 280 708 1 764 897 1 154 461 8 760 058
βL N ∑
i i
i
式中 : L i 为第 i 级投保者注销时的偿还金
级别 i
0 1 2 3
表4 费用列表 ( 单位 :元) 医疗赔偿费用 M i
1 526 1 231 823 814
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收稿日期 : 2004202217 作者简介 : 邹锐标 ( 1965 - ) ,男 ,湖南新化人 ,湖南农业大学高级讲师 ,湖南师范大学硕士研究生 ,主要从事应用数 学研究 . © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.