三角形章的知识结构与特点
三角形个数规律-概述说明以及解释
三角形个数规律-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形是数学中的一个基本几何形状，它由三条边和三个顶点组成。
三角形在我们的日常生活中随处可见，例如建筑物的屋顶、牛奶盒子的底部等等。
三角形不仅在几何学中有着重要的地位，还在各个学科领域中得到广泛的应用，如物理学、工程学等。
本文的主要目的是探讨三角形个数的规律。
在正文部分，我们将首先介绍三角形的定义和分类，以及它们的基本性质和特点。
接着，我们将重点研究三角形个数的规律，并通过数学方法和图形展示来分析这些规律的特点和变化趋势。
了解三角形个数的规律对于我们理解几何学的发展和应用具有重要意义。
通过探究三角形个数的规律，我们可以更好地理解几何学的基本原理和定理，并在实际问题中灵活运用这些知识。
此外，研究三角形个数的规律还对于提高数学思维能力和解决复杂问题具有启发作用。
总之，本文将系统地介绍三角形个数的规律，通过深入分析和讨论，展示出三角形在几何学中的重要性，并展望未来的研究方向。
通过阅读本文，读者将能够更好地理解三角形的相关概念和性质，扩展数学思维，并在实际问题中应用所学知识。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以从以下角度进行撰写：文章结构文章结构的设计是为了合理地组织和展示文章的内容，使读者能够清晰地理解和接收信息。
本文将按照以下结构进行展开：1. 引言部分1.1 概述在这一部分，我们将介绍三角形个数规律的背景和重要性，引起读者对该主题的兴趣。
1.2 文章结构这一部分旨在概述整篇文章的结构，让读者了解文章的组织方式。
接下来的正文将包括三个主要部分：三角形的定义、分类和性质；三角形个数的规律；以及结论部分。
1.3 目的在这一部分，我们将明确本文的目的，即探讨三角形个数规律的原因和意义，以及进一步研究该规律的动机。
2. 正文部分2.1 三角形的定义这一部分将介绍三角形的定义和基本概念，包括三边和三角形的角度关系等，为后续讨论奠定基础。
2.2 三角形的分类在这一部分，我们将介绍常见的三角形分类方法，如按边长分类（等边三角形、等腰三角形、一般三角形）、按角度分类（锐角三角形、钝角三角形、直角三角形）、按角度和边长综合分类等。
第十一章--三角形教材分析.doc
第十一章三角形教材分析三角形是一种基本的几何图形．本章在线段与角、相交线与平行线的基础上介绍三角形的概念与性质,进而研究多边形的概念与性质．在本章,学生进一步学习通过推理得出数学结论的方法,提高推理能力．本章的有关内容有广泛的实际应用,也是学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）与平行四边形等图形知识的基础．本章教学时间约需8课时,具体分配如下（仅供参考）：11.1 与三角形有关的线段2课时11.2 与三角形有关的角 3课时11.3 多边形及其内角和2课时数学活动小结 1课时一、教科书内容和本章学习目标1.本章知识结构本章知识结构框图如下：2.教科书内容本章首先介绍三角形的有关概念和性质,分为两节．11.1节研究与三角形有关的线段．首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念,进而研究三角形的分类．对于三角形的边,证明了三角形两边的和大于第三边．接下来,给出了三角形的高、中线与角平分线的概念．结合三角形的中线介绍了三角形的重心的概念．最后结合实际例子介绍三角形的稳定性．11.2节研究与三角形有关的角．对于三角形的内角,证明了三角形内角和定理．然后由这个定理推出直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余．最后给出三角形的外角的概念,并由三角形内角和定理推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．以三角形的有关概念和性质为基础,本章11.3节接着介绍多边形的有关概念与多边形的内角和、外角和公式．三角形是多边形的一种,因而可以借助三角形介绍多边形的有关概念,如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来．三角形是最简单的多边形,因而常常将多边形分为几个三角形,利用三角形的性质研究多边形．多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的．将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排,可以加强它们之间的联系,便于学生学习．3.本章学习目标1.理解三角形及与三角形有关的线段（边、高、中线、角平分线）的概念,证明三角形两边的和大于第三边,了解三角形的重心的概念,了解三角形的稳定性．2.理解三角形的内角、外角的概念,探索并证明三角形内角和定理,探索并掌握直角三角形的两个锐角互余,掌握有两个角互余的三角形是直角三角形,掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3.了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形）,探索并掌握多边形的内角和与外角和公式．二、编写时考虑的几个问题1.加强与实际的联系三角形是基本的几何图形之一,在生产和生活中有广泛的应用．教科书通过举出三角形的实际例子让学生认识和感受三角形,形成三角形的概念．多边形概念的引入,也是类似处理的．三角形有很多重要的性质,如稳定性,三角形的内角和等于180°．教科书在介绍三角形的稳定性的同时,顺带介绍了四边形的不稳定性．这些内容是通过如下的实际问题引入的：“盖房子时,在窗框未安装好之前,木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条．为什么要这样做呢？”．然后让学生通过实验得出三角形有稳定性,四边形没有稳定性的结论,进而明白在上述实际问题中“斜钉一根木条”的道理．除此之外,教科书还举出了一些应用三角形的稳定性,四边形的不稳定性的实际例子．对于三角形的内角和等于180°,教科书则安排求视角的实际问题作为例题,加强与实际的联系．在本章的数学活动中,教科书从用地砖铺地引入镶嵌,进而让学生探究一些多边形能否镶嵌成平面图案,并运用通过探究得出的结论进行简单的镶嵌设计．在编写时关注上述从实践到理论,再从理论到实践的全过程,使学生对理论来源于实践又运用于实践的认识进一步加深．2.加强与已学内容的联系学生在前两个学段已学过三角形的一些知识,对三角形的许多重要性质有所了解,在第三学段又学过线段、角以及相交线、平行线等知识,初步了解了一些简单几何体和平面图形及其基本特征,会进行简单的推理．上述内容是学习本章的基础：三角形的高、中线、角平分线分别与已学过的垂线、线段的中点、角的平分线有关；用拼图的方法认识三角形的内角和等于180°可以启发学生得出证明这个结论的方法,而证明的过程中要用到平行线的性质与平角的定义．在编写时关注本章内容与已学内容的联系,帮助学生掌握本章所学内容．另一方面,又注意让学生通过本章内容的学习,温习稳固已学的内容．3.加强推理能力的培养学生在七年级已经通过推理证明了一些图形的性质,如同角（等角）的补角相等,对顶角相等、两直线平行,内错角相等．本章中的许多结论也要通过推理来证明．在本章中加强推理能力的培养,可以提高学生已有的思维水平．也为学习全等三角形、等腰三角形、平行四边形等内容打下基础．在“相交线与平行线”一章已经给出了证明的概念,在本章中进一步借助三角形的内角和等于180°”这个结论的探索与证明让学生体会证明的必要性．教科书首先回顾学生在小学是通过度量与剪拼的方法知道这个结论的．然后指出：测量常常有误差,并且只能对有限个三角形运用上述方法,而形状不同的三角形有无数个,不能通过上述方法得出这个结论,所以需要通过推理的方法去证明．这样通过以上分析让学生明白为什么要证明,提高对推理证明的认识．三角形内角和定理是本章的重点内容．在本章中,由平行线的性质与平角的定义证明了这个定理．由这个定理还证明了“直角三角形的两个锐角互余”“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”以及多边形内角和公式．此外,还由“两点之间,线段最短”证明了“三角形两边的和大于第三边”,由多边形内角和公式证明了多边形外角和公式．安排这些内容有助于提高学生的推理能力．学生在本章仍处于进一步熟悉证明的阶段,学习通过推理的方法证明本章中的有关结论有一定难度．因此,教科书注意分析证明结论的思路,通过多提问题,留给学生足够的思考时间,让学生经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程．例如,对于三角形内角和定理,设计实验操作的探究栏目,并对操作过程进行分析,从而获得证明的思路．注重证明思路的分析有助于学生学好推理证明．三、对教学的几个建议1.把握好教学要求与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度就可以了,进一步的要求可通过后续学习达到．如对于三角形的角平分线,在本章中只要知道它的定义,能够从定义得出角相等就可以了．学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点,可直接肯定这个结论,在下一章“全等三角形”中再证明这个结论．同样,三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明．在本章中,三角形的稳定性是通过实验得出的,待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”,可进一步明白其中的道理．证明三角形的内角和等于180°有一定的难度,只要学生了解得出结论的过程,不要在辅助线上花太多的精力,以免影响对内容本身的理解与掌握,对推理的要求应循序渐进．2.开展好数学活动镶嵌作为数学活动的内容安排在本章的最后,学习这个内容要用到多边形的内角和公式．通过这个数学活动,学生可以经历从实际问题抽象出数学问题,建立数学模型,综合应用已有知识解决问题的过程,从而加深对相关知识的理解,提高思维能力．这个数学活动可以如下展开：（1）背景了解多边形覆盖平面问题来自实际．（2）实验发现有些多边形能覆盖平面,有些则不能．（3）分析讨论多边形能覆盖平面的基本条件,发现问题与多边形的内角大小有密切关系,运用多边形内角和公式对实验结果进行分析．（4）运用进行简单的镶嵌设计．首先引入用地砖铺地,用瓷砖贴墙等问题情境,并把这些实际问题转化为数学问题：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖．然后让学生通过实验探究一些多边形能否镶嵌成平面图案,并记下实验结果：（1）用正三角形、正方形或正六边形可以镶嵌成一个平面图案（图1）．用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．（2）用正三角形与正方形可以镶嵌成一个平面图案．用正三角形与正六边形也可以镶嵌成一个平面图案．（3）用任意三角形可以镶嵌成一个平面图案, 用任意四边形可以镶嵌成一个平面图案(图2)．观察上述实验结果,得出如下结论：如果拼接在同一个点（例如图2中的点O）的各个角的和恰好等于360°（周角）,相邻的多边形有大众边（例如图2中的OA 两侧的多边形有大众边OA）,那么多边形能镶嵌成一个平面图案．运用上述结论解释实验结果,例如,三角形的内角和等于180°,在图2中,∠1+∠2+∠3=180°．因此,把6个全等的三角形适当地拼接在同一个点（如图2）, 一定能使以这点为顶点的6个角的和恰好等于360°,并且使边长相等的两条边贴在一起．于是, 用三角形能镶嵌成一个平面图案．又如,由多边形内角和公式,可以得到五边形的内角和等于(5－2)×180°=540°．因此,正五边形的每个内角等于540°÷5=108°,360°不是108°的整数倍,也就是说用一些108°的角拼不成360°的角．因此,用正五边形不能镶嵌成一个平面图案．最后,让学生进行简单的镶嵌设计,使所学内容得到稳固与运用．知识改变命运。
初中数学八年级上册各章知识点梳理
八年级数学上册 各章知识点汇总第十一章 三角形一、知识结构图边与三角形有关的线段 高中线角平分线三角形的内角和 多边形的内角和三角形的外角和 多边形的外角和二、知识定义三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
中线：在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线。
角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。
多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。
多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。
多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角。
多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。
正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
三、公式与性质三角形的内角和：三角形的内角和为180°三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
多边形对角线的条数：（1）从n 边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分词（n-2）个三角形。
（2）n 边形共有23)-n(n 条对角线。
第十二章 全等三角形一、全等三角形角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”)斜边、直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)4．证明两个三角形全等的基本思路：多边形的角和：多边形的外角和为360°。
多边形内角和公式： n 边形的内角和等于（n-2）·180°角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”)边角边：两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”)边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”)3．全等三角形的判定③全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
湘教版八年数学上册第二章三角形复习课件(共13张PPT)
DC
A
1.如图（1）中是一个五角星，你会求
F
B
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的值吗？
C
（2）图中的点A向下移到BE上时，五个角的和
（即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E ）有无变化？
如图（2）说明你的结论的正确性。
G
E D
（3）把图（2）中的点C向上移动到BD上时，
AE
五个角的和（ 即∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E ）
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月8日星期三2021/9/82021/9/82021/9/8 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/82021/9/8September 8, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/82021/9/82021/9/82021/9/8
B
A C
ED
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/82021/9/82021/9/89/8/2021 6:05:51 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/82021/9/82021/9/8Sep-218-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/82021/9/82021/9/8Wednesday, September 08, 2021
人教版初中八年级数学上册《第十一章 三角形》大单元整体教学设计
人教版八年级数学上册《第十一章三角形》大单元整体教学设计一、内容分析与整合（一）教学内容分析人教版初中数学八年级上册的《第十一章三角形》是几何学习中的一个重要章节，它不仅承载着对三角形基础概念和性质的全面介绍，还扮演着连接学生先前所学与后续几何知识深入探索的桥梁角色。
本章内容丰富多彩，深入浅出地引导学生走进三角形的奇妙世界，为他们构建一个系统而坚实的几何知识体系。
在这一章节中，学生们将首先接触到三角形的各种线段，包括边、高、中线以及角平分线等。
这些看似简单的概念，实则是解锁三角形众多性质的关键。
通过学习，学生们将理解每条线段在三角形中的独特位置和作用，以及它们如何相互关联，共同塑造三角形的形态与特性。
例如，中线不仅将对应的底边平分，还将三角形分为面积相等的两部分，这一性质的学习对于学生后续理解更复杂的几何问题大有裨益。
除了线段，章节还深入探讨了三角形的角，包括内角和外角。
学生将学习如何计算三角形的内角和，这一基础知识是证明许多三角形性质的基础。
外角的概念及其与相邻内角的关系，也将被详尽阐述，帮助学生从多角度审视三角形的角特征，培养他们的空间想象力和逻辑推理能力。
本章还拓展到了多边形及其内角和的内容，进一步丰富了学生的几何视野。
多边形作为三角形的延伸，其内角和的计算方法不仅加深了学生对几何图形内在规律的认识，也为后续学习更复杂几何图形打下了坚实的基础。
更为重要的是，本单元的教学不仅仅局限于理论知识的传授，更注重培养学生的实践操作能力和逻辑推理能力。
通过实际测量、作图、证明等一系列活动，学生被鼓励亲自动手，体验知识的生成过程，从而在实践中深化对三角形性质的理解。
这种“做中学”的方式，极大地提升了学生的学习兴趣和参与度，使他们在探索中发现几何之美，培养解决问题的能力和创新思维。
《第十一章三角形》不仅是初中数学课程中的一个核心章节，更是学生几何思维形成的关键时期。
通过本章的学习，学生不仅能够掌握三角形的基础概念和性质，更能在实践中锻炼几何直觉，学会用数学的眼光观察世界，为后续更深层次的几何学习乃至整个数学学习旅程奠定坚实的基础。
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。
会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和 高。
2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。
3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。
4．了解三角形的稳定性。
知识要点：一、三角形中的边角关系1．三角形有三条内角平分线，三条中线，三条高线，它们都相交于一点。
注意：三角形的中线平分三角形的面积。
2. 三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意：判断三条线段能否构成一个三角形时，就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3．三角形各角之间的关系：①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°。
②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧等边三角形角形底和腰不相等的等腰三等腰三角形不等边三角形三角形②三角形按角的关系可以如下分类：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧∆)()()(形有一个角为钝角的三角钝角三角形形三个角都是锐角的三角锐角三角形斜三角形形有一个角为直角的三角直角三角形三角形Rt5．三角形具有稳定性。
知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题，画法不是命题。
2．命题都可以写成：“如果……，那么……。
”的形式。
为了语句通顺往往要加“字”，但不改变顺序。
3．命题由题设、结论两部分组成。
“如果”后面的是题设，“那么”后面的是结论。
4．命题分为真命题和假命题。
真命题需要证明，假命题只要举出一个反例。
5．将命题的题设和结论交换就得到原命题的逆命题。
帕斯卡三角形全章知识点归纳总结
帕斯卡三角形全章知识点归纳总结
帕斯卡三角形是一种有趣的数学结构，具有许多有用的性质和应用。
以下是该主题的一些关键知识点的归纳总结：
定义和性质
- 帕斯卡三角形是由一系列数字组成的三角形，其中第一行为1，从第二行开始，每个数字都是上一行相邻两个数字之和。
- 三角形中每个数字的左上方和右上方的两个数字之和，等于下一行的数字。
- 帕斯卡三角形是关于中心对称的，即每个数字左右对称。
数字性质
- 三角形的边界上的数字都是1。
- 三角形对称轴上的数字都是相等的。
- 三角形中间的数字是由组合数公式给出的，即第n行第k个数字（从0开始计数）等于C(n, k)，其中C为组合数。
组合数应用
- 由于帕斯卡三角形中的数字表示组合数，它们具有许多应用。
其中一些包括：
- 计算二项式系数，即展开二项式(x + y)^n的各项系数。
- 计算排列组合问题中的组合数，例如从n个元素中选择k个
元素的方法数。
- 计算概率问题，例如投掷硬币n次后出现k次正面的概率。
递推关系
- 帕斯卡三角形的数字可以使用递推关系生成，即第n行的数
字可以通过前一行的数字计算得出：
- C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
帕斯卡三角形是一门重要且有趣的数学课题，它的性质和应用
领域广泛。
通过对其定义、性质、数字性质和应用的学习，我们可
以更好地理解和应用帕斯卡三角形。
4年级数学第三章三角形知识树
A
D B C
3、（2009.黄冈中考）一个多边形的内角和是外角 和的二倍，则这个多边形的边数为（C) A.4 B.5 C.6 D.7
课标解析：本题考查的是多边形内、外和定理的应用。 课标解析：本题考查的是多边形内、外 Nhomakorabea定理的应用。
4、（2009.丽水中考）在下列图案中，是由正三 、（2009.丽水中考）在下列图案中， 2009.丽水中考 角形、正方形、正六边形、 角形、正方形、正六边形、正八边形中的三种镶 嵌而成的是（ 嵌而成的是（D）
课标剖析：几种正多边形进行镶嵌时要注重两点； 课标剖析：几种正多边形进行镶嵌时要注重两点；⑴要满足几种正 多边形的边长相等； 多边形的边长相等；⑵要满足每一个节点处的所有角能够成一个周 角。
a-(b-a)
a+(b-c)
四、教学实践与反思 1、要用好情境素材，为推导运算定律服务。 、要用好情境素材，为推导运算定律服务。 2、要尊重学生差异。 、要尊重学生差异。 3、要关注拓展、变化。 3、要关注拓展、变化。
关注运算定律以外的一些简便方法： 关注运算定律以外的一些简便方法：
补充：856－98 = 856 –100 +2 补充：856－ 100 438＋ 438＋99 = 438 +100 -1
1、了解与三 角形有关 的角（内 角，外角）。
2、会用平行线性质 与平角的定义 三角形的 内角 等 1 。 3、探索了解三角 形的一个外角等 与 的 个内角 。
② 与 三 角 形 有 关 的 角
1、了解多边 形的有关概念 内角、 （边、内角、 外角、对角线、 外角、对角线、 正多边形）。 正多边形）。
八年级上册数学人教版教案《第十一章 三角形》章节复习
四、教学过程设计
（一）回顾与思考
引言：在本章中，我们学习了与三角形有关的线段、角，以及多边形的内角和等内容，下面，我们通过一些具体的问题来梳理一下本章所学知识．
问题1如图，在△ABC中
（1）若AB=5，AC=3，则BC的取值范围是．
追问2：三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论呢？
追问3：直角三角形的两个锐角之间有怎样的关系？
追问4：三角形的一个外角和它不相邻的两个内角之间有怎样的关系？这些结论能由三角形内角和定理得出吗？
师：三角形是最简单的多边形，也是探究多边形内角关系的基础．
问题2如图所示
三角形ABC的内角和为，外角和为；
基于以上分析，确定本节课的教学重点：复习本章内容并运用它们进行有关的计算与证明，构建本章知识结构．
二、目标和目标解析
1．目标
（1）复习本章内容，整理本章知识，形成知识体系，体会研究几何问题的思路和方法．
（2）进一步发展推理能力，能够有条理地思考、解决问题．
2．目标解析
达成目标（1）的标志：通过复习本章的主要内容，理解三角形的有关线段和角，三角形三边之间的关系，三角形内角和定理，三角形的外角的性质，多边形内、外角和公式，能建立这些性质之间的联系，能结合知识体系的构建过程，体会研究几何问题的一般思路和方法．
（二）建构体系
问题3请同学们整理一下本章所学的主要知识，你能发现它们之间的联系吗？你能画出一个本章的知识结构图吗？
师生活动：教师组织学生在纸上画出本章的知识结构图，然后展示部分学生画的知识结构图，并请这些学生简要说明自己所画知识结构图．最后，教师出示教科书中的知识结构图．
市一等奖《第十一章 三角形》教案
本节课是本单元中，对知识的理解和贯彻最重要的一堂课。
在高效课堂模式中，一堂课的紧凑性和教师活动的多少，决定着课堂容量的高低。
但在实际教学中，教师应尽可能少地利用讲授法进行教学，多与学生进行交流，增加学生的实际操练和练习时间，对于一堂课来讲，是至关重要的。
对于课堂环节的布置，应该力求简练，语言应用尽量通俗易懂。
对于一名教师而言，教学质量的高低，与备课的充足与否有很大关系。
而教案作为这一行为的载体，巨大作用是不言而喻的。
本节课的准备环节，就充分地说明了这个道理。
《第十一章 三角形》一、知识结构二、回顾与思考1、什么是三角形？什么是多边形？什么是正多边形？ 三角形是不是多边形？2、什么是三角形的高、中线、角平分线？什么是对角线？ 三角形有对角线吗？n 边形的的对角线有多少条？3、三角形的三条高，三条中线，三条角平分线各有什么特点？4、三角形的内角和是多少？n 边形的内角和是多少？ 你能用三角形的内角和说明n 边形的内角和吗？5、三角形的外角和是多少？n 边形的外角和是多少？ 你能说明为什么多边形的外角和与边数无关吗？ 三、例题导引例1 如图，在△ABC 中，∠A ︰∠B ︰∠C=3︰4︰5，BD 、CE 分别是边AC 、AB 上的高，BD 、CE 相交于点H ，求∠BHC 的度数。
例2 如图，把△ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，探索∠A 与∠1＋∠2有什么数量关系？并说明理由。
AB CDE H 三角形与三角形有关的线段三角形的内角和三角形的外角和 高中线 角平分线多边形的内角和多边形的外角和例3 如图所示,在△ABC 中,△ABC 的内角平分线与外角平分线交于点P,试说明∠P ＝1/2∠A.(2)PCBA四、巩固练习课本29页复习题11（第3题可不做）.[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
汉声数学奇妙的三角形-定义说明解析
汉声数学奇妙的三角形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述三角形作为数学中重要的几何形状之一，具有丰富且奇妙的性质与定理，一直以来都是数学研究的热点之一。
汉声数学奇妙的三角形作为一个主题，是对三角形的独特研究和应用的总结和展望。
在汉声数学中，三角形是一个极具魅力的研究对象。
它不仅是平面几何的基础，也是许多领域重要问题的核心。
三角形的性质与特点在实际生活与理论研究中都扮演着重要的角色，因此汉声数学致力于探索三角形的奥秘，发掘三角形的更多性质与定理。
本文的目的是通过探讨汉声数学中奇妙的三角形，展示其在数学研究和实际应用中的重要性和价值。
通过引入一些经典和未曾涉及的三角形概念和性质，我们希望读者能够对三角形的魅力产生更深的认识和理解。
在本文的结构中，我们将首先介绍三角形的基本概念，包括边与角的定义，面积和周长等基本性质。
接着我们将详细讨论三角形的分类与性质，例如等边三角形、直角三角形等，以及它们的特殊性质和定理。
除了这些常见的三角形，还将介绍一些在汉声数学中的独特研究成果，如高斯三角形、费马三角形等。
在结论部分，我们将总结三角形在数学中的重要性，并展示汉声数学中三角形的研究成果与应用前景。
我们相信，通过了解和研究三角形，我们可以更好地理解数学的本质和应用，也能够更深入地探索到数学中的奇妙之处。
综上所述，本文将探讨汉声数学中奇妙的三角形，展现其在数学研究和实际应用中的重要性和价值。
通过对三角形的基本概念、分类与性质以及特殊性质与定理的介绍，我们希望读者能够对三角形产生更深的认识，并对汉声数学中三角形的研究和应用有更好的了解。
文章结构部分的内容可以描述整篇文章的组织结构和各个章节的主要内容。
这部分应当简洁明了地介绍文章的组织框架，以便读者了解整篇文章的脉络。
以下是文章结构部分的一个可能写法：1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织和展开：第一部分是引言，旨在引入本文所要阐述的主题——汉声数学奇妙的三角形。
第七章三角形复习
3. 确定三角形第三边的取值范围:
两边之差<第三边<两边之和.
4. 三角形的分类
(1) 按角分
三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
(2) 按边分
不等边三角形
等腰三角形
三角形
腰和底不等的等腰三角形
等边三角形
练一练
1、下列条件中能组成三角形的是（ A、 5cm, 13cm, 7cm B、 3cm, 5cm, 9cm C、 14cm, 9cm, 6cm D、 5cm, 6cm, 11cm ）
22、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的 顺序排列。
23、已知等腰三角形 的一个外角为150°, 则它的底角为_____. 24、如图，D是△ABC的BC边上一点，
∠B＝∠BAD，∠ADC=80°, ∠BAC=70°.
70°
A
求：（1）∠B的度数；
（2）∠C的度数.
B D
80°
C
25、如图（1），已知∠A=50°，∠B=40°, ∠C=30°,则∠BDC=_______； 如图（2），已知∠A=70°，则∠BOC=_______； 如图（3），已知∠A=70°，则∠BOC=_______； 如图（4），已知∠A=70°，则∠BOC=_______； A
b c 0 ,那么这个三角形的形状
是______。
5、现有长度分别为1cm、2cm、3cm、4cm、 5cm的5条线段，从中选择3条线段为边，可以 构成________个三角形。
6、已知一个三角形的两边长分别是3cm和5cm， 则第三边x的取值范围是________；若x是奇 数，则x的取值是_____；若x是偶数，则x的 取值是____。
圆上任意一点与弦组成的三角形-概述说明以及解释
圆上任意一点与弦组成的三角形-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述圆是几何中常见的基本图形之一，而与圆相关的三角形性质也是数学中重要的内容之一。
本文主要讨论圆上任意一点与弦组成的三角形，通过对于圆的性质和三角形性质的分析，探讨这种特殊三角形的几何特征和推导过程。
我们将深入研究这种特殊三角形的性质，以期能够更好地理解圆和三角形之间的关系，为进一步的数学学习和应用打下基础。
1.2 文章结构:本文主要分为三个部分：引言、正文和结论。
在引言部分，我们会对本文的主题进行概述，介绍文章的结构和目的。
在正文部分，我们将详细讨论圆上任意一点与弦的关系，探讨三角形的性质，并进行几何推导，以便读者更好地理解这一概念。
在结论部分，我们将总结本文的主要内容，探讨该理论的应用和意义，为读者提供对这一概念的更深入的理解和思考。
1.3 目的:本文的主要目的是探讨圆上任意一点与弦组成的三角形，通过分析这种特殊的几何形状，展示出其中隐藏的数学规律和性质。
通过深入研究这一问题，希望读者能够加深对三角形性质和圆的关系的理解，提升数学思维和推理能力。
同时，本文也旨在引发读者对几何学的兴趣和热爱，激发他们对数学的探索欲望，让读者在探讨几何形状的过程中享受数学的乐趣，并培养他们的数学学习兴趣和自学能力。
通过深入研究这一问题，希望读者能够感受到数学的魅力，发现数学在生活中的应用和意义，从而将理论知识与实际应用相结合，提升数学学习的效果和深度。
2.正文2.1 圆上任意一点与弦的关系在圆上任意选取一点A，并且过这一点A引一条弦BC，我们可以探讨点A与弦BC之间的关系。
首先，我们知道圆是一个闭合的曲线，任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径。
因此，点A到圆心的距离等于点B或点C到圆心的距离，即AO = BO = CO。
根据圆的性质，我们知道相交弦的垂线互相平分对方，并且平分弦的垂线过圆心。
因此，我们可以得出结论：点A到弦BC的距离等于垂直于弦BC并且通过点A的直线段AD的长度，即AD = AO。
人教版八年级数学上册《三角形章起始课》教学设计
《“三角形”章起始课》教学设计人教版《义务教育教科书·数学》（八年级上册第十一章三角形）一、教学内容及其解析1．本章教材内容解析程标准实验教科书——数学》（人教版）八年级上册第十一章《三角形》。
本单元借助之前所学的线段、角、平面图形等知识为铺垫，承前启后，能为今后学习“全等三角形”、“轴对称”打下基础。
本单元主要内容如右图，从知识结构中可以看出，本章的重点内容是三角形的基本性质（边角关系），即三角形的三边关系、三角形内角和定理，其中三角形内角和定理是本章的重中之重。
2．本课教学内容解析本节内容是《义务教育课程标准实验教科书——数学》（人教版）八年级上册第十一章《三角形》章起始课。
主要是让学生在对三角形已有的感性认识的基础上，经历从现实世界中抽象出几何模型的过程，科学的认识三角形的概念，基本要素及表示方法，进一步深化三角形的研究思路和结构体系，加深学生对三角形的认识.本节课的地位和作用：第一，从基础知识方面看,它既是小学三角形三边关系的回顾和延伸,又是后面学习三角形三线、性质、内外角及多边形的基础,具有承上启下的作用;第二，从基本技能方面看,通过本节课的教学，能让学生初步学习、感悟分类讨论和方程等数学思想方法的应用。
对提高学生分析、推理、探究、表达等能力有着重要作用.3.教材的认识和理解“数学知识是一个系统的整体，而教材只能有序静态呈现。
”本节课的问题主要来源于学科重组内容。
本教学设计着力体现数学的整体性、关联性和结构性。
1.整体性本章章节的整体理解。
在以往的教学中，常规教学顺序为“部分——整体”，这样的教学对每一部分的理解较为透彻，但对其来源及它们之间的联系、结构不甚了解，只能达到知其然不知其所以然，而本章教学设计采用“整体——部分——整体”教学方式，让学生通过本课的学习对三角形有一个宏观把握和整体了解。
知识之间的整体理解。
在“研究思路规划”学生通过直觉思维、归纳推理得出“角”和“三角形”的内在联系，让数学知识露出脊梁，变得精干，感悟角、三角形等数学知识的整体统一。
第11章 三角形 单元备课 (2)
单元备课第(十一 )单元年级八学科数学单元名称三角形备课教师单元教学知识结构本章主要内容有三角形的有关线段、角，多边形及内角和。
三角形的高、中线和角平分线是三角形中的主要线段，与三角形有关的角有内角、外角。
教材通过实验让学生了解三角形的稳定性，在知道三角形的内角和等于1800的基础上，进行推理论证，从而得出三角形外角的性质。
接着由推广三角形的有关概念，介绍了多边形的有关概念，利用三角形的有关性质研究了多边形的内角和、外角和公式。
这些知识加深了学生对三角形的认识，既是学习特殊三角形的基础，也是研究其它图形的基础。
最后结合实例研究了镶嵌的有关问题，体现了多边形内角和公式在实际生活中的应用.教学目标1、理解三角形及有关概念，会画任意三角形的高、中线、角平分线；2、了解三角形的稳定性，理解三角形两边的和大于第三边，会根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形；3、会证明三角形内角和等于1800，了解三角形外角的性质。
4、了解多边形的有关概念，会运用多边形的内角和与外角和公式解决问题。
重点难点重点：三角形三边关系、内角和，多边形的外角和与内角和公式难点：三角形内角和等于180°的证明，根据三条线段的长度判断它们能否构成三角形课时安排11.1与三角形有关的线段……………………………………… 2课时11.2 与三角形有关的角………………………………………… 2课时11.3多边形及其内角和………………………………………… 2课时本章小结………………………………………………………… 2课时教学措施1、重视概念的教学2、进一步培养推理论证能力3、注意学生解题过程的正确书写。
4、重视信息技术的应用单元总结1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。
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三角形章的知识结构与特点
1．本章主要内容是研究三角形的基本概念和属性。
主要内容包括：三角形的一些概念和性质；三角形三条边、三个内角之间的关系；全等图形与性质；全等三角形的判定和性质；直角三角形全等的特别判定方法；能根据不同的条件用尺规作图画出三角形，利用三角形全等的知识，探索生活实际中两点之间距离测量的问题，引导学生把所学的数学知识应用于解决生活实际中所遇到的问题。
通过本章的教学，要使学生学会适应日常生活和进一步学习所需的必要知识和基本技能，进一步培养学生的思维能力，促进学生运用所学知识解决简单的实际问题的意识的养成，培养学生创新意识。
2．本章除了容量和深度有了一定的增加外，在内容和方法上也有了较大的变化。
在语言训练上，从前面几个单元以训练文字语言为主，逐步过渡到以符号语言和作图语言为主；在图形的识别上开始识别经过平移旋转、翻折等变换的图形；在画图上，开始从工具画图为主转向以尺规作图为主；尤其在证明训练上，初步开始进行简单的逻辑论证的训练。
特别是本章对图形全等的研究是几何研究图形相等和不等的主要工具。
本章对图形性质的探索是以直观操作和简单推理相结合的的方法进行的，对有关结论的证明将在八年级（下）和九年级（上）进行。