二次函数所描述的关系

二次函数所描述的关系教案

1.探索并归纳二次函数的定义. 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 3.二次函数是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型. 4.二次函数是某些单变量最优化问题的数学模型. 对二次函数的研究为进一步学习函数,体会函数思想奠定基础,积累=(x+3)(x-2).
3.函数 y=(m-n)x2+mx+n 是关于 x 的二次函数的条件是( ) A.m、n 为常数，且 m≠0 B.m、n 为常数，且 m≠n C.m、n 为常数，且 n≠0 D.m、n 可以为任何常数 4.已知函数 y=ax2+bx+c(其中 a， c 是常数)， b， ____ 是二次函数；____时，是一次函数；____时，是正比例函数. 5.函数 y=(m+2)xm2-2+2x-1 是关于 x 的二次函数，则 m=____. 6.用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，场地面积 S(m2)与矩形一边长 a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？ 7.某商人如果将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 100 件.现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高 1 元，其销售量就要减少 10 件.若他将每件商品售出价提高为 x 元，每天所赚利润为 y 元，请你写出 y 与 x 之间的函数表达式. 五、总结回顾
税)．三、思考归纳 1.二次函数的定义. 四、新知运用 1.下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3(x-1)2+1； (3)s=3-2t2； (5)y=(x+3)2-x2； (2) y=32-2x； (4) y= 1x -2x. (6)v=10π r2. ) 2.二次函数的判断.
2.下列函数中不是二次函数的是( A.y=3x2+4； C.y=-x2+x3-5； B.y=-x2；

二次函数所描述的关系

二次函数所描述的关系引言二次函数是一种常见的数学函数形式，由形如y=ax2+bx+c的方程所描述。

其中a、b和c是实数常数，并且a eq0。

二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的曲线，它在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍二次函数的基本概念，探讨二次函数图像的性质，以及二次函数在现实世界中的应用。

二次函数的基本形式二次函数是一种以x的二次幂为最高次的多项式函数。

其基本形式是y=ax2+bx+c，其中a、b和c分别是函数的系数。

•当a>0时，二次函数的图像开口朝上，称为正向开口的二次函数。

•当a<0时，二次函数的图像开口朝下，称为负向开口的二次函数。

二次函数的图像通常是一条平滑的曲线，关于 $x = -\\frac{b}{2a}$ 对称。

二次函数图像的性质二次函数的图像具有一些重要的性质，包括顶点、对称轴、开口方向和零点等。

1.顶点：二次函数的顶点表示图像的最高点或最低点。

顶点坐标可以通过 $x = -\\frac{b}{2a}$ 计算得出，并且x的值表示对称轴的位置，y的值表示函数的最大值或最小值。

2.对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和垂直于x轴的直线得出的。

对称轴的方程是 $x = -\\frac{b}{2a}$，它将图像分成两个对称的部分。

3.开口方向：二次函数的开口方向由系数a的符号决定。

当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。

4.零点：二次函数的零点是函数曲线与x轴交点的横坐标值。

零点可以通过求解方程ax2+bx+c=0得到。

当方程有两个不同的实数解时，图像与x轴交于两个点；当方程有一个实数解时，图像与x轴相切；当方程无实数解时，图像与x轴没有交点。

二次函数的应用二次函数在现实世界中有着广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域：物理学二次函数的图像可以描述一些物体的运动轨迹。

例如，抛体运动的高度和时间之间的关系可以用二次函数来表示。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一个具有以下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$。

其中，$a$、$b$和$c$是常数。

二次函数在数学分析、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。

本文将总结二次函数与$a$、$b$和$c$之间的关系。

关系一：二次函数的图像开口方向与$a$的正负有关。

当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。

这是因为当$a>0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向上；当$a<0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向下。

关系二：二次函数的图像是否与$x$轴相交与$c$的正负有关。

当$c>0$时，二次函数的图像与$x$轴有两个交点；当$c=0$时，二次函数的图像与$x$轴有一个交点（相切）；当$c<0$时，二次函数的图像与$x$轴没有交点。

关系三：二次函数的顶点坐标与$a$和$b$有关。

对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，它的顶点的$x$坐标为$x =\frac{-b}{2a}$，$y$坐标为$y = f(\frac{-b}{2a})$。

根据$a$和$b$的不同取值，顶点可以位于$y$轴的上方或下方，并且根据$a$的正负可以确定顶点的凹凸性质。

当$a>0$时，顶点位于图像的下方（凹）；当$a<0$时，顶点位于图像的上方（凸）。

综上所述，二次函数与$a$、$b$和$c$之间存在着紧密的关系。

通过对$a$、$b$和$c$的取值进行分析，可以推断出二次函数的图像特征、对称性以及与$x$轴的交点情况等。

这种关系在数学中具有重要的意义，对于解题和应用中的问题分析都起到了重要的作用。

了解和掌握这些关系，有助于提高对二次函数性质的理解和应用能力。

在实际应用中，二次函数与$a$、$b$和$c$的关系也有着重要的应用。

九年级数学下册第2章二次函数讲学稿(无答案) 北师大版

第二章二次函数第1节二次函数所描述的关系本节内容：二次函数的定义列函数关系式（重点）一般地，形如的二次函数。

的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 例如：的二次函数。

等等都是x x y x x y x x y 13,2,32222+-=+=--= 在理解二次函数的定义时，应注意以下几点：（1）任何一个二次函数的关系式都可以化成)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的形式，因此，把)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式，其中c bx ax 、、2分别是二次项、一次项和常数项。

（2）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，y x 、是变量，c b a 、、是常量。

自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，要特别注意a 必须是不等于0的实数。

因为当a =0时，c bx ax y ++=2就是c bx y +=，若0≠b ，则c bx y +=是一次函数；若0=b ，则c y =，就是一个常数函数。

（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程。

■例1下列函数中，y 是x 的二次函数的是（）A ．012=++y x B.2)1()1)(1(---+=x x x y C.242x y ++= D.022=-+y x函数关系式其实是一个等式，左边字母表示的量随右边的字母变化而变化，所以左边的字母（因为右边的的字母变化它才变化）叫因变量，右边的字母是自己不断的变化，所以叫自变量。

（1）在实际问题中，要表示两个变量间的关系，需找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，再按要求化成用含一个变量的式子表示另一个变量的形式。

（2）用尝试求值的方法解决实际问题，可以列出表格，依次对自变量取值，求出它们对应的函数值，然后取得符合题意的值。

二次函数课标细化解读

细化解读课程标准案例设计科目：数学年级：九年级教材版本：北师大版章（节）或单元：九年级下册第二章第二节课题：2.1 二次函数所描述的关系一、教学目标确定依据一：数学课程标准的有关内容：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

课程标准为本节制定的教学目标，目标用含糊的内隐心理活动词语，而不是可观察测量的外显行为动词，不够具体、明晰。

需对课程标准作进一步的细化、分解，以使不同的人在数学上得到不同的发展。

分析课程标准发现：（名词）核心知识是分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

1、确定二次函数的表达式。

细化为：根据具体的问题情境，通过自主探究、合作交流，能找到常量、变量之间的关系，列出二次函数表达式。

达标率为80%。

2、体会二次函数的意义。

体会一词含糊，不够具体，可分解为说出、概述、判断等动词。

因此，可细化为：能根据所列函数表达式，通过观察、交流，能说出它们的共同特征，能概述出二次函数的意义。

能判断所给的函数表达式是否二次函数的。

达标率90%依据二：教学参考书要求：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

2、能过表示简单变量之间的二次函数关系。

3、你能过利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。

依据三：中招考试说明在每年的中招试题中常常二次函数解答题，并且是作为大题、难题出现，有明显的区分度。

所以它是中招的重要知识点。

依据四：教材内容二次函数使描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数还是一种非常基本的初等的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、进而体会函数的思想奠定基础。

依据五：学生情况我校是农村初中，地处边远，学生程度参差不齐。

学生在八、九年级已经学一次函数、反比例函数。

导学法教学模式在我校已全面开展，学生能够通过自主探究、合作交流、教师引领等方式探索新知。

北师大版九年级数学下册2.1二次函数所描述的关系导学案

，c
m
时，是正比例函数. .
3.若 y (m2 1) xm
是二次函数，则 m=
4.下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2＋bx＋c (a≠0)模型的是( ).
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系； B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数随年份的变化关系； C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)； D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
第 1 页 /共 5 页
，它的二次项系数为一次项系数为，常数项为 .
,自我评价：小Fra bibliotek长评价：第 2 页 /共 5 页
合作探究一：
某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，且增加的橙子树最多不得超过 20 棵. (1)问题中的变量是其中是自变量，和 . 是因变量.
2
．
m4
(m 2) x 3 . 当 m
为何值时，y 为二次函数？当 m 为何值时，y 为一次函数？
课后作业：
课本第 39 页，习题 2.1，知识技能，1；问题解决，3.
教师评价：补案：
第 5 页 /共 5 页
3、 (15 分)下列各式中，y 是 x 的二次函数的是(
A. xy=x2-1；B.x2+y-2=0；C. y2-ax=-2；D. x2-y2+1=0. 4、 (15 分)某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出
达标检测：
时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装每提高 1 元售价，销量就减少 5 套.则每天销售利润 y 与售价 x 的函数表达式为 5、 (40 分)已知函数 y (m 3) xm

二次函数课标细化解读

细化解读课程标准案例设计科目：数学年级：九年级教材版本：北师大版章（节）或单元：九年级下册第二章第二节课题：2.1 二次函数所描述的关系一、教学目标确定依据一：数学课程标准的有关内容：通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

课程标准为本节制定的教学目标，目标用含糊的内隐心理活动词语，而不是可观察测量的外显行为动词，不够具体、明晰。

需对课程标准作进一步的细化、分解，以使不同的人在数学上得到不同的发展。

分析课程标准发现：（名词）核心知识是分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义。

1、确定二次函数的表达式。

细化为：根据具体的问题情境，通过自主探究、合作交流，能找到常量、变量之间的关系，列出二次函数表达式。

达标率为80%。

2、体会二次函数的意义。

体会一词含糊，不够具体，可分解为说出、概述、判断等动词。

因此，可细化为：能根据所列函数表达式，通过观察、交流，能说出它们的共同特征，能概述出二次函数的意义。

能判断所给的函数表达式是否二次函数的。

达标率90%依据二：教学参考书要求：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。

2、能过表示简单变量之间的二次函数关系。

3、你能过利用尝试求值的方法解决实际问题，如猜测增种多少棵橙子树可以使橙子的总产量最多的问题。

依据三：中招考试说明在每年的中招试题中常常二次函数解答题，并且是作为大题、难题出现，有明显的区分度。

所以它是中招的重要知识点。

依据四：教材内容二次函数使描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是某些单变量最优化的数学模型，如本章所提及的求最大利润、最大面积等实际问题。

二次函数还是一种非常基本的初等的函数，对二次函数的研究将为学生进一步学习函数、进而体会函数的思想奠定基础。

依据五：学生情况我校是农村初中，地处边远，学生程度参差不齐。

学生在八、九年级已经学一次函数、反比例函数。

导学法教学模式在我校已全面开展，学生能够通过自主探究、合作交流、教师引领等方式探索新知。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学和实际问题中都有广泛应用。

二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。

本文将总结二次函数与a、b、c之间的关系。

1. a的影响：a决定了二次函数的开口方向和大小。

当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的值随着自变量的增大而增大；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的值随着自变量的增大而减小。

a的绝对值越大，抛物线的开口越大。

2. b的影响：b决定了二次函数抛物线的平移方向和程度。

当b>0时，抛物线向右平移；当b<0时，抛物线向左平移。

b的绝对值越大，抛物线平移的水平距离越大。

3. c的影响：c决定了二次函数抛物线的纵向平移。

当c>0时，抛物线向上平移；当c<0时，抛物线向下平移。

c的绝对值越大，抛物线平移的垂直距离越大。

4. a、b、c之间的综合关系：a、b、c之间的关系可以通过顶点坐标来描述。

对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

通过顶点坐标可以判断抛物线的开口方向和顶点的位置。

综上所述，二次函数与a、b、c之间存在着密切的关系。

通过a、b、c的取值可以确定二次函数的形状、平移和开口方向。

理解和掌握这些关系对于解决二次函数相关问题具有重要意义。

二次函数在数学中的应用非常广泛，包括几何、物理和经济等领域。

在几何中，二次函数可以描述抛物线的形状和轨迹；在物理中，二次函数可以描述自由落体运动的轨迹；在经济中，二次函数可以描述成本和收益的关系。

因此，理解二次函数与a、b、c之间的关系，不仅对于学习数学理论，也对于实际问题的分析和解决都有着重要的帮助。

总结一下，二次函数与a、b、c之间的关系可以通过a的正负确定开口方向和大小，通过b的正负确定水平平移方向和程度，通过c的正负确定垂直平移方向和程度。

二次函数-第一讲

第一讲 1.二次函数所描述的关系（教师版）授课时间：授课教师：卢老师教学重点：二次函数的有关概念，表示简单变量之间的二次函数关系；掌握的图像和性质及描点作图法；掌握的图像和性质。

中考提示：利用二次函数解决实际问题教学过程：知识点1；二次函数的概念一般的，形如的函数叫做的二次函数。

【知识拓展】（1）二次函数的形式是关于自变量的二次整式，其中二次项系数不能为0，如果二次项系数为0，那么二次函数就变成一次函数或常函数了。

（2）确定一个函数是不是二次函数，应注意自变量的最高次数是否为二次，再看它是否是一个二次的整式，最后再分析二次项系数是否为0，只有认真判断这三个方面后才能得出正确结论。

【例1】下列函数是二次函数的是( )A: B: C: D:知识点2：二次函数的一般形式任意一个二次函数的解析式都可以化成形式，因此，把叫做二次函数的一般形式，其中，，,分别是二次项、一次项、和常数项，而和分别是二次项系数和一次项系数。

【知识拓展】（1）在一般式中，只有当时，才是二次函数；当时，，若，则它是一次函数；若，则是一个常函数。

（2）在中，的取值范围是全体实数，且按的降幂排列。

（3）二次函数与一元二次方程有着密切的联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就变成一个一元二次方程了。

【例2】如果函数是二次函数，试确定m的值。

【易错点】易忽略二次函数定义中的二次项系数这一隐含条件【例3】已知函数是关于的二次函数，你能确定的值？2. 结识抛物线知识点3：二次函数的图像和性质（1）二次函数的图像是一条抛物线，它关于轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。

（2）当时，抛物线开口向上；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，顶点是抛物线上位置最低的点。

（3）当时，抛物线开口向下；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，顶点是抛物线上位置最高的点。

【知识拓展】a：的符号决定抛物线的开口方向b：的绝对值决定抛物线的开口大小；越大，开口越小，图像上升（或下降）的速度越快；c：如果两条抛物线和中，，那么这两条抛物线的形状相同。

二次函数所描述的关系

结束寄语
有信心的人,可以化渺小为伟大,化平庸为神奇.
结束寄语
有信心的人,可以化渺小为伟大,化平庸为神奇.
知识影响格局，格局决定命运！
知识影响格局，格局决定命运！路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
有何特点？
老师提示: (1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次
项和常数项,但不能没有二次项.
在实践中感悟
1.下列函数中,哪些是二次函数？
(1）y=3(x-1)²+1;
怎么判断
(3) s=3-2t².
?
(5)y=(x+3)²-x². (6) v=10πr².
y(元)的表达式(不考虑利息税).
y=100(x+1)²=100x²+200x+100.
二次函数
y=-5x²+100x+60000,y=100x²+200x+100.
1.y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
2.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做x的二次函数.
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
Y/个
你能根据表格中的数据作出猜想
吗？

二次函数abc的关系

二次函数abc的关系二次函数是高中数学中常见的一个函数形式，它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a不等于0。

这篇文章将探讨二次函数abc的关系，通过分析a、b、c的取值对二次函数的图像、性质以及解的情况产生的影响，帮助读者更好地理解二次函数。

我们来讨论a的取值。

当a大于0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U型，称为正向开口的二次函数。

当a小于0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个倒置的U型，称为负向开口的二次函数。

因此，a的取值决定了二次函数图像的开口方向。

接下来，我们来考虑b的取值。

b的正负决定了二次函数图像的对称轴的位置。

当b大于0时，二次函数图像向右平移；当b小于0时，二次函数图像向左平移。

此外，b的绝对值越大，平移的距离越远。

因此，b的取值决定了二次函数图像的位置和平移的程度。

我们来讨论c的取值。

c的正负决定了二次函数图像与y轴的交点位置。

当c大于0时，二次函数图像与y轴的交点在原点的上方；当c小于0时，二次函数图像与y轴的交点在原点的下方。

此外，c 的绝对值越大，交点与原点的距离越远。

因此，c的取值决定了二次函数图像与y轴的交点位置和距离。

通过分析a、b、c的取值对二次函数的影响，我们可以得出一些总结性的结论。

首先，当a不等于0时，二次函数必然存在一个顶点，该顶点的横坐标为-x=b/2a，纵坐标为f(-x)=c-b^2/4a。

其次，当a 的取值相同时，二次函数的图像形状相似，只是整体大小和位置有所不同。

最后，当a、b、c的取值不同时，二次函数的图像、顶点、对称轴和与y轴的交点位置都会有所不同。

二次函数abc的关系是通过分析a、b、c的取值对二次函数的图像、性质以及解的情况产生的影响。

了解二次函数abc的关系可以帮助我们更好地理解二次函数的性质和特点，进而应用到实际问题中。

希望通过本文的介绍，读者能够对二次函数有更深入的理解和应用。

二次函数关系式的三种形式

二次函数关系式的三种形式1.引言1.1 概述二次函数是数学中的重要概念，在许多领域都有广泛的应用。

它是一个拥有二次项的多项式函数，通常用一般形式表示为f(x) = ax^2 + bx + c。

其中，a、b和c分别代表函数的系数。

二次函数关系式可以通过三种形式来表示：标准形式、顶点形式和描点形式。

本文将对这三种形式进行详细介绍，包括定义和特点，并给出一些示例和应用。

在二次函数关系式的标准形式中，函数表达式会经过整理化简，常见形式为f(x) = ax^2 + bx + c。

标准形式的特点是系数a、b和c可以直接体现函数的性质，例如a决定了函数的开口方向，b决定了函数的对称轴以及接触或穿过x轴的情况，c则是函数在y轴上的截距。

标准形式的示例和应用可帮助读者更好地理解和应用二次函数关系式。

另一种常见的表达形式是二次函数关系式的顶点形式。

顶点形式的函数表达式为f(x) = a(x-h)^2 + k，其中(h,k)代表二次函数的顶点坐标。

顶点形式的特点是可以直观地描述二次函数的顶点位置及函数的凹凸性，方便进行图像的绘制和分析。

顶点形式的示例和应用将帮助读者更深入地理解二次函数的几何性质和图像特点。

此外，二次函数关系式还可以通过描点形式来表示。

描点形式的函数表达式为f(x) = a(x-x_1)(x-x_2)，其中(x_1,y_1)和(x_2,y_2)分别为二次函数的两个描点坐标。

描点形式的特点是可以通过已知点的坐标，直接构造出二次函数的表达式，方便进行函数的推导和计算。

描点形式的示例和应用将帮助读者更好地理解和使用二次函数关系式。

总之，本文将详细介绍二次函数关系式的三种形式：标准形式、顶点形式和描点形式。

通过深入理解这三种形式的定义、特点和应用，读者将能够更好地掌握二次函数的性质和图像特点，进而在实际问题中灵活运用。

文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将分为三个主要部分进行讨论。

首先，在引言部分，我们将简要概述本文的主题和目的，为读者提供一个整体了解的框架。

二次函数所描述的关系教学课件

你能根据表格中的数据作出猜想吗
用心想一想，用心想一想，马到功成
60495 60480 60455 60420 60375 60500 60495 60480 60455 60420 60375
y是随着X的变化而变化，但是随着X直线型的变化它有最大值或最小值。
做一做，看谁最快结束战斗！！！做一做，看谁最快结束战斗！！！
作业设计课本习题2.1 课本习题2.1 第3,4题; 3,4题教后反思：教后反思：
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化也就是说，利率是一个变量.在我国, 的,也就是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x, x,一年到设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后, 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100 100元转存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本息和y( 的表达式(不考虑利息税). y(元本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
2、定义：一般地，形如、定义：一般地， y=ax²+bx+c(a,b,c是常数是常数,a≠ 0)的函数是常数的函数叫做x的二次函数。叫做的二次函数。
注意：注意：（1）关于的代数式一定是整）关于x的代数式一定是整为常数，式,a,b,c为常数，且a≠0. 为常数等式的右边最高次数为最高次数为2，（2 ）等式的右边最高次数为，可以没有一次项和常数项，不能没有二次项。一次项和常数项，但不能没有二次项。
y=100(x+1)²=100x +200x+100 y=100(x+1) =100x²+200x+100 =100x

二次函数所描述的关系

§2.1 二次函数所描述的关系学习目标：1、经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间的关系的体验。

2、理解并掌握二次函数的概念。

3、能够利用尝试求值的方法解决实际问题。

4、能够表示简单变量之间的二次函数关系。

学习重点：理解并掌握二次函数的概念学习难点：表示简单变量之间的二次函数关系学习过程：一、复习旧知，温故知新1、设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应。

那么就说y 是x 的，x 叫做。

2、正比例函数的表达式为，一次函数的表达式为，反比例函数表达式为。

3、08922=+-x x 是方程，化为一元二次方程一般形式为，它的二次项系数为，一次项系数为，常数项为。

二、创设情境，引入新知探究：利用已经学过的知识解决下列问题；探究1、某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子。

(1)问题中有哪些变量？自变量是，因变量是。

(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有棵橙子树,这时平均每棵树结个橙子。

(3)如果果园橙子的总产量为y 个，写出y 与x 之间的关系式。

想一想：在上述问题中，使果园橙子的总产量最多，要增种多少棵橙子树呢？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况。

根据表中的数据作出猜测：探究2、某商场销售一批T 恤衫，在一段时间内，单价15元时，销售量是500件，市场调查发现，单价每降低1元，就多销售出100件。

请你分析：(1)在这一问题中有哪些变量？自变量是，因变量是。

(2)假设单价降低x 元，那么每件T 恤衫的单价是元,这时的销售量为件。

(3)请写出销售额y （元）与x （元）之间的函数关系式。

三、合作探究，发现新知Y/个 1413 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 X/棵【探索发现，同伴交流】（1）从以上两个例子中，你发现这函数关系式有什么共同特征？（2）仿照以前所学知识，你能给它起个合适的名字吗？（3）你能用一个通用的表达式表示它们的共性吗？试试看。

《二次函数》知识点解读

《二次函数》知识点解读二次函数是数学中的一种重要函数类型，它在图形学、物理学、经济学等多个学科中广泛应用。

本文将从定义、性质、图像、最值、应用等几个方面对二次函数进行解读。

一、定义二次函数是一种形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，且a ≠ 0。

函数中的x的最高次数为2，因此称为"二次"函数。

a决定了函数的开口方向和形状，b决定了函数在x轴上的平移，c决定了函数图像在y轴上的平移。

二、性质1.对称性：二次函数的图像关于与顶点的纵轴对称。

2.单调性：当a>0时，二次函数向上开口，凹上凸下；当a<0时，二次函数向下开口，凹下凸上。

3. 零点：二次函数的零点是函数与x轴的交点，即满足ax^2 + bx+ c = 0的解。

4.最值：当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。

三、图像二次函数的图像通常为开口向上或向下的抛物线。

根据函数的a值的正负关系，可以得到不同形状的抛物线。

当a>0时，抛物线开口向上，顶点在最低点；当a<0时，抛物线开口向下，顶点在最高点。

函数的b值影响了抛物线在x轴方向上的平移，c值影响了抛物线在y轴方向上的平移。

四、最值对于二次函数y = ax^2 + bx + c，根据函数的开口方向和抛物线的顶点位置，可以知道函数的极值。

当a > 0时，函数是最小值，即抛物线的顶点是函数的最低点；当a < 0时，函数是最大值，即抛物线的顶点是函数的最高点。

五、应用1.物理学中，二次函数可以用于描述自由落体运动、抛体运动等。

2.经济学中，二次函数可以用于描述成本、利润等与产量的关系。

3.图形学中，二次函数可以用于生成平滑的曲线和曲面。

六、解题技巧1.求二次函数的顶点坐标：二次函数的顶点坐标可以通过公式x=-b/2a和y=c-b^2/4a来求得。

2. 求二次函数的零点：二次函数的零点可以通过求解ax^2 + bx +c = 0的解来得到，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法进行求解。

二次函数与abc的关系总结

二次函数与abc的关系总结二次函数是一种常见的数学函数形式，可以用来描述许多实际问题的变化规律。

在二次函数的一般形式中，包含了三个参数：a、b和c。

这篇文章将总结二次函数与这三个参数的关系，并探讨它们对函数图像的影响。

1. 参数a的影响：参数a决定了二次函数的开口方向。

当a>0时，二次函数开口向上，形状类似于一个U字型；当a<0时，二次函数开口向下，形状类似于一个倒置的U字型。

a的绝对值越大，函数的开口越窄，曲线越陡峭。

当a=0时，函数变为一条水平线，即y=c，其中c为常数。

2. 参数b的影响：参数b决定了二次函数的对称轴位置。

对称轴是函数图像的中心轴线，对称轴方程为x=-b/2a。

当b>0时，对称轴向左平移；当b<0时，对称轴向右平移。

当b=0时，对称轴与y轴重合。

3. 参数c的影响：参数c决定了二次函数的纵向平移。

当c>0时，函数图像上移；当c<0时，函数图像下移。

c的绝对值越大，函数图像上下平移的距离越大。

综上所述，a决定开口方向和形状，b决定对称轴位置，c决定纵向平移。

这些参数的组合决定了二次函数的整体表现，从而可以帮助我们更好地理解和分析问题。

下面通过一个例子来进一步说明二次函数与参数abc的关系。

例子：考虑二次函数y = 2x^2 - 3x + 11. 参数a = 2，表示函数开口向上，形状呈现U字型。

2. 参数b = -3，说明对称轴位于x = 3/4的位置，对称轴与y轴相交于点(3/4, 0)。

3. 参数c = 1，表示函数图像上移1个单位。

根据以上的参数分析，我们可以确定函数图像的大致形状和位置。

进一步地，我们可以通过计算和绘图来展示函数的具体特征。

在这个例子中，我们看到二次函数y = 2x^2 - 3x + 1的图像开口向上，对称轴位于x = 3/4的位置，函数图像上移1个单位。

这些特征是由函数中的参数a、b和c决定的。

总结而言，二次函数的图像特征可以根据参数a、b和c来判断。

第一节：二次函数的描述和关系

2.1 二次函数所描述的关系学习目标:1.探索并归纳二次函数的定义.2.能够表示简单变量之间的二次函数关系. 学习重点:1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数. 学习难点:经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法:讨论探索法.【知识要点】1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数的图像是一条抛物线，抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.（1）开口：a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.（2）对称轴：抛物线式是轴对称图象，有一条平行于y 轴（或重合）的对称轴，对称轴公式为（3）顶点：抛物线的最高（低）点，顶点坐标公式(ab ac a b 4422--，) 3.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,对抛物线的影响（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab. 4.二次函数图像的平移：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.【典型例题】例1在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”).(l ）22x y -= ( ) (2）2x x y -= ( ) (3）3)1(22+-=x y ( ) (4）332--=x y ( )(5) )8(a a S -= ( ) （6）212+=xy （）例2 说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1) 2x y =中 a = , b = , c = ; (2)x x y 252+=中a = , b = , c = ; (3)2)12(-=x y 中a = , b = , c = ;例3 当m 是何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数关系式． (1)y=234mm mx -+,m= ,y= ;(2)y=2(1)mmm x ++,m= ,y= ;(3)y=232(4)m m m x -+-,m= ,y= .例4 函数),,(2是常数c b a c bx ax y ++=问当a ，b ，c 满足什么条件时： (l ）它是二次函数； (2）它是一次函数； (3）它是正比例函数；例5（1）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,若0=x 时1-=y ；1=x 时1=y ；2=x 时1-=y ；求这个二次函数关系式.（2）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ,若1=x 时3=y ；1-=x 时4=y ；2-=x 时3=y .求这个二次函数关系式.例6 （1）已知正方形边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是 .（2）在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系式为 .例7 一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为18元，按定价40元出售，每月可销售20万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，经市场调研，每降价1元，月销售量可增加2万件．（1）求出月销售量y （万件）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）(2 )求出月销售利润z （万元）（利润＝售价－成本价）与销售单价x （元）之间的函数关系式（不必写x 的取值范围）；例8 已知1-<a ，点),1(1y a -、),(2y a 、),1(3y a +都在函数2x y =的图象上，则（）A ．321y y y <<B ．231y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y << 例3 已知抛物线2ax y =经过点()4,1--A ．（1）判断点()4,1-B 是否在此抛物线上；（2）求出此抛物线上纵坐标为-8的点的坐标．例4 已知函数()421-+-=m m x m y 是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件的m 值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？例5 已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y =31x 2的图象经过A 、B 两点.(1)请求出一次函数的表达式;(2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积.例6 影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数.有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度v (km/h)的汽车的刹车距离s (m)可以由公式s =1001v 2确定；雨天行驶时，这一公式为s =501v 2.(1)如果行车速度是70km/h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？(2)如果行车速度分别是60km/h 与80km/h ，那么同在雨天行驶(相同的路面)相比，刹车距离相差多少？(3)根据上述两点分析，你想对司机师傅说些什么？【大展身手】1.下列函数中，哪些是二次函数？(1)2x y = (2) 21xy -= (3) 122--=x x y（4）)1(x x y -= （5）)1)(1()1(2-+--=x x x y 2.分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=x y（2）12732-+=x x y （3）)1(2x x y -=3.若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为。

二次函数所描述的关系

二次函数所描述的关系【教学目标】1.探索并归纳二次函数的定义.2.会根据二次函数的关系式计算一些函数值.3.能用二次函数描述有关实际生活中的变量间的关系.【教学重点】1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.2.能够表示简单变量之间的二次函数.【教学难点】经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.【知识点梳理】一、二次函数的定义1、一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数。

（其中y是x的二次函数，ax2+bx+c 是整式，x是自变量并且自变量x的最高次数是二次）二、在理解二次函数的定义时，应注意以下几点：1、函数y是用关于x的整式表示的，也就是说ax2+bx+c是整式；2、任何一个二次函数的关系式都可以化成y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的形式，因此，把y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)叫做二次函数的一般式，其中ax2、bx、c分别是二次项、一次项、常数项；3、在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中， x、y是变量，a、b、c是常量，自变量x 的取值范围是全休实数，b和c可以是任意实数，要特别注意a必须不等于0的实数，因为a=0时，y=ax2+bx+c就变成了y=bx+c（若b≠0,则y=bx+c是一次函数；若b=0，则y=c就是常数函数）；4、二次函数与一元二次方程有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就变成了一个一元二次方程；三、判断二次函数的依据有三点：1、为整式；2、是自变量x的最高次数是二次；3、二次项系数不为0四、y=kx m(k≠0)与二次函数、一次函数、反比例函数的关系：1、当m=－1时，为反比例函数；2、当m=1时，为一次函数；3、当m=2时，为二次函数；五、建立实际问题中的二次函数关系式（1）审清题意:找出问题中的已知量（定量），未知量（变量）及相互关系.（2）建立函数关系式:根据题意建立函数形式，并指出函数的定义域.（3）判断是否为二次函数解析式:根据二次函数的定义及解析式的形式，判断求出的函数关系式是否为二次函数.3．计算函数值根据二次函数解析式，当x 取某一个值时，代入二次函数解析式中计算出最后结果，即为函数值.【典型例题】题型1 根据二次函数的定义确定字母的取值1．下列函数中，哪些是二次函数？（1）13-=xz y 132-=x y （2）2323x x y += x x y 12+= （3）22)3(x x y -+= （4）322++=x x y2、若y=(a －4) 2a x-+ax+2是二次函数，求a 的值。

第2章二次函数知识点

第二章二次函数第1节二次函数所描述的关系1、二次函数的定义:一般地，形如的二次函数。

的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 2、列函数关系式（重点）:因变量&自变量第2节结识抛物线1、二次函数=y 2ax 的图象的画法（重点）：描点法：列表——描点——连线2、二次函数=y 2ax 的图象的性质（难点）对称图形，对称轴是y 轴，顶点是原点（0，0）——顶点是指对称轴与抛物线的交点。

当a >0时，开口向上，在y 轴左边，下降趋势；在y 轴右边，上升趋势。

顶点处取得最小值0。

当a <0时，开口向下，在y 轴左边，上升趋势；在y 轴右边，下降趋势。

顶点处取得最大值0。

第3节刹车距离与二次函数1、二次函数2ax y =中的a 的作用：（1）a 的符号决定抛物线的开口方向（2）a 的值决定抛物线的形状和开口大小2、比较)0()0(22≠+=≠=a c ax y a ax y 与的图象的异同（难点）二次函数)0(2≠+=a c ax y 的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，c ）。

对于)0(2≠=a ax y 和)0(2≠+=a c ax y 的图象，形状相同，只是位置不同。

)0(2≠+=a c ax y 可以看做是把)0(2≠=a ax y 的图象向上（c>0）或向下（c<0）平移|c|个单位长度得到的。

第4节二次函数c bx ax y ++=2的图象1、二次函数c bx ax y ++=2的图象的平移（1）二次函数k ax y +=2的图象可由抛物线2ax y =向上（或向下）平移而得到。

（2）二次函数2)(h x a y -=的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移而得到。

（3）二次函数k h x a y +-=2)(的图象可由抛物线2ax y =向左（或向右）平移再向上（或向下）平移|k|个单位而得到。

二次函数所描述的关系

二次函数所描述的关系
1.二次函数的一般形式为。

2.当时，函数y=(m2-4)x2+(m+2)x+5是二次函数。

3.当时，函数y=（k+3）x k²+k-4+(k+2)x+3是二次函数。

4.一个长方形的周长为50cm,一边长为xcm，它的面积为ycm2，则y与x的函数关系式为。

5.下列函数中，是二次函数的是
A．y=8x2+1 B.y=8x+1 C.y= 8
x D.y=
8
x²
6.写出下列各函数关系式：
（1）有一个角为60°的直角三角形，面积S（cm2）与斜边长x(cm)之间的函数关系式为。

（2）设圆柱的底面半径为r，高为4，则圆柱体的体积V与半径r间的函数关系式为。

7.请写出一个二次项系数为1，一次项系数为3，常数项为-4的二次函数的解析式，在这个函数中，函数值为6时，自变量值为。

8.y与x2成正比例，且当x=1时，y=-2,则y与x的函数关系式为，当y=-8时，x= .。

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