二次函数与a,b,c的关系
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学的领域中，二次函数是一个非常重要的概念。
它的一般形式为＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$（其中＄a$、＄b$、＄c$ 是常数，且＄a ＼neq 0$）。
这三个系数＄a$、＄b$、＄c$ 对于二次函数的性质和图像有着至关重要的影响。
接下来，让我们深入探讨一下二次函数与＄a$、＄b$、＄c$ 之间的关系。
首先，系数＄a$ 决定了二次函数图像的开口方向和开口大小。
当＄a ＞ 0$ 时，二次函数的图像开口向上；当＄a ＜ 0$ 时，图像开口向下。
而且，＄｜a|＄的值越大，图像的开口就越狭窄；＄｜a|＄的值越小，图像的开口就越宽阔。
比如说，函数＄y ＝ 2x^2$ 的图像开口向上，并且比函数＄y ＝＼frac{1}｛2}x^2$ 的开口要狭窄。
这是因为＄2 ＞＼frac{1}｛2}＄，所以＄y ＝ 2x^2$ 的图像开口更窄。
其次，系数＄b$ 与二次函数图像的对称轴位置有关。
二次函数的对称轴公式为＄x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
当＄b ＝ 0$ 时，对称轴为＄y$ 轴，即＄x ＝ 0$ 。
当＄b ＞ 0$ 时，对称轴在＄y$ 轴左侧；当＄b ＜ 0$ 时，对称轴在＄y$ 轴右侧。
例如，对于函数＄y ＝ x^2 2x ＋ 1$，其中＄a ＝ 1$，＄b ＝－2$，则对称轴为＄x ＝＼frac{－2}｛2\times 1} ＝ 1$。
再来看看系数＄c$，它表示二次函数图像与＄y$ 轴的交点纵坐标。
当＄x ＝ 0$ 时，＄y ＝ c$。
例如，函数＄y ＝ 2x^2 ＋ 3x 1$ 与＄y$ 轴的交点为＄（0, －1)＄，这里的＄－1$ 就是＄c$ 的值。
除了上述的基本关系，＄a$、＄b$、＄c$ 之间的组合还能反映出二次函数的一些特殊性质。
当＄a$ 和＄b$ 同号时，对称轴在＄y$ 轴左侧；当＄a$ 和＄b$ 异号时，对称轴在＄y$ 轴右侧。
如果＄b^2 4ac ＞ 0$，二次函数有两个不同的实数根；如果＄b^24ac ＝ 0$，二次函数有一个实数根（或者说两个相同的实数根）；如果＄b^2 4ac ＜ 0$，二次函数没有实数根。
原创二次函数图象与a、b、c之间的关系、平移规则、位置关系
二次函数基本式y=ax²+bx+c（a≠0）二次函数交点式二次函数顶点式y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为（h,k)二次函数顶点坐标（一）二次函数图象与a、b、c之间的关系（二）二次函数的平移规则当函数为基本式y=ax²+bx+c（a≠0）将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c+n将抛物线向下平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y=ax2+bx+c-n将抛物线向左平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c将抛物线向右平移m个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x-m)2+b(x-m)+c将抛物线向左平移m个单位长度后, 再将抛物线向上平移n个单位长度后,得到的新抛物线的解析式为y= a(x+m)2+b(x+m)+c+n当函数为顶点式y=a(x-h)²+k左右平移：在括号里做变化，左加右减如：将y=a(x-h)²+k向左平移m个单位，y=a(x-h+m)²+k将y=a(x-h)²+k向右平移m个单位，y=a(x-h -m)²+k上下平移：K处做变化，下加下减如：将y=a(x-h)²+k向上平移n个单位，y=a(x-h)²+k+n将y=a(x-h)²+k向下平移n个单位，y=a(x-h )²+k-n将y=a(x-h)²+k向左平移m个单位，再向上平移n个单位，y=a(x-h+m)²+k+n注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平移h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平移|h|个单位得到；当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平移h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平移h个单位，再向下移动|k|个单位得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平移|h|个单位，再向上移动k个单位得到y=a(x-h)²+k的图象；当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平移|h|个单位，再向下移动|k|个单位得到y=a(x-h)²+k的图象（三）二次函数图象对称关系对于一般式：①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称③y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx+c-b2/2a关于顶点对称④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中的重要内容之一，它的一般形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c均为常数，且a不为零。
在本文中，我将总结二次函数与abc的关系，进一步深化对二次函数的理解。
1. 关系一：a的取值范围a是二次函数中的一项系数，它决定了抛物线的开口方向。
具体来说：- 当a大于零时，抛物线开口向上；- 当a小于零时，抛物线开口向下；- 当a等于零时，二次函数不再是二次函数，而变为一次函数。
2. 关系二：a的绝对值与抛物线的形状a的绝对值大小决定了抛物线的狭长程度。
具体来说：- 当|a|大于1时，抛物线较为狭长，即纵向压缩；- 当|a|小于1时，抛物线较为扁平，即纵向拉伸。
3. 关系三：b的取值范围b是二次函数中的另一项系数，它对称轴的位置产生影响。
具体来说：- 当b大于零时，抛物线向左平移；- 当b小于零时，抛物线向右平移；- 当b等于零时，抛物线与y轴平行。
4. 关系四：c的取值范围c是二次函数中的常数项，它影响抛物线与y轴的交点。
具体来说：- 当c大于零时，抛物线与y轴的交点在y轴上方；- 当c小于零时，抛物线与y轴的交点在y轴下方；- 当c等于零时，抛物线与y轴相交于原点。
通过对二次函数与abc的关系总结，我们可以更好地理解和应用二次函数。
了解这些关系将有助于我们准确地绘制二次函数的图像，进一步分析和解决与二次函数相关的问题。
除了以上总结的关系，二次函数还有很多其他方面的性质和应用，比如顶点坐标、对称轴等。
这些内容在二次函数的学习中也十分重要，但本文将重点总结了与abc的关系。
在实际应用中，我们需要综合考虑二次函数的各个方面来解决问题，利用图像、方程等方法进行分析和计算。
总结而言，二次函数与abc之间有着密切的关系。
a决定了抛物线的开口方向和形状狭长程度，b影响抛物线的水平平移，c影响抛物线与y轴的交点。
掌握这些关系，可以更准确地理解和应用二次函数，进一步拓展数学知识的应用领域。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一个具有以下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$。
其中，$a$、$b$和$c$是常数。
二次函数在数学分析、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数与$a$、$b$和$c$之间的关系。
关系一：二次函数的图像开口方向与$a$的正负有关。
当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。
这是因为当$a>0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向上；当$a<0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向下。
关系二：二次函数的图像是否与$x$轴相交与$c$的正负有关。
当$c>0$时，二次函数的图像与$x$轴有两个交点；当$c=0$时，二次函数的图像与$x$轴有一个交点（相切）；当$c<0$时，二次函数的图像与$x$轴没有交点。
关系三：二次函数的顶点坐标与$a$和$b$有关。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，它的顶点的$x$坐标为$x =\frac{-b}{2a}$，$y$坐标为$y = f(\frac{-b}{2a})$。
根据$a$和$b$的不同取值，顶点可以位于$y$轴的上方或下方，并且根据$a$的正负可以确定顶点的凹凸性质。
当$a>0$时，顶点位于图像的下方（凹）；当$a<0$时，顶点位于图像的上方（凸）。
综上所述，二次函数与$a$、$b$和$c$之间存在着紧密的关系。
通过对$a$、$b$和$c$的取值进行分析，可以推断出二次函数的图像特征、对称性以及与$x$轴的交点情况等。
这种关系在数学中具有重要的意义，对于解题和应用中的问题分析都起到了重要的作用。
了解和掌握这些关系，有助于提高对二次函数性质的理解和应用能力。
在实际应用中，二次函数与$a$、$b$和$c$的关系也有着重要的应用。
二次函数的图象与系数a,b,c的关系(PPT课件)
与x轴交点的情况 b²-4ac=0，函数图象与x轴有一个交点； b²-4ac>0，函数图象与x轴有两个交点； b²-4ac<0，函数图象与x轴无交点.
有一个交点 b²-4ac=0
无交点 b²-4ac<0
y
x 0
有两个交点 b²-4ac>0
突破练习：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如 图所示，判断下列说法是否正确。
左同右异
∵对称轴在y轴 左侧，a>0
∴b>0
∵对称轴为直线x=0 ∴b=0
x
∵对称轴在y轴右 侧，a>0
∴b<0
练习 判断下列各图中的a、b、c的符号
(1)
y
(2)
y
(3)Oxx Oy xO
(1) a_>__0; b_>__0; c_<__0;
(2)a_<__0; b__>_0; c__=_0;
(3)a_<__0; b__=_0; c__>_0;
y轴交点的位置
c=0，经过原点；
c>0，与y轴正半轴相交；
c<0，与y轴负半轴相交。
c<0
y 抛物线开口 向上，a>0
x 0
c>0
y
0
x
c=0
对称轴的位置 y
①对称轴为直线x=0（y轴）， b 0
2a
b=0；
②对称轴在y轴左侧，
b 2a
0
a，b同号；
0
③对称轴在y轴右侧， b 0
2a
a，b异号.
二次函数的图象与系数a,b,c的关系
安化县思源实验学校 陈雅丽
我们学过， y
二次函数的图像与字母a、b、c的关系
课次教学方案教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号确实定：〔1〕a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，那么a ＞0；否那么a ＜0． 〔2〕b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．〔3〕c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，那么c ＞0；否那么c ＜0．〔4〕b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．〔5〕当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． 〔6〕由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、根底练习1、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕在平面直角坐标系中的位置如下图，那么以下结论中，正确的选项是〔 D 〕 A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出以下结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，那么正确的结论是〔 D 〕 A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号确实定方法课次教学目标掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。
教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。
3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为〔21，1〕，以下结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是〔 C 〕1\2\3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、44、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，对称轴为直线x=1，那么以下结论正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＞0 B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ，b ，c 为常数，a ≠0〕的图象如下图，有以下结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是〔A4 〕 A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、〔如下图的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息： 〔1〕b 2-4ac ＞0；〔2〕c ＞1；〔3〕2a-b ＜0；〔4〕a+b+c ＜0．你认为其中错误的有〔D2〕 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下说法正确的选项是〔C 〕 A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，现有以下结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，那么其中结论正确的个数是〔B 〕1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、二次函数y=ax 2的图象开口向上，那么直线y=ax-1经过的象限是〔D 〕 A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下判断不正确的选项是〔B 〕 A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么a ，b ，c 满足〔A 〕A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0 C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0 D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，有以下4个结论，其中正确的结论是〔B 〕 A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、二次函数y=2ax +bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，那么以下结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0〔a ≠0〕有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有〔C 〕 A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如下图为二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象，在以下选项中错误的选项是〔C 〕 A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大 C 、a+b+c ＞0 D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，以下结论错误的选项是〔B 〕 A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如下图，那么以下结论正确的选项是〔D 〕 A 、a ＞0 B 、c ＜0 C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c 〔a ≠0〕的图象如下图，以下结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有〔 C 〕个．1/2/3 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4三、能力练习c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，那么a 、b 、c 满足〔 〕 A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞02.二次函数c bx ax y ++=2(a≠0〕且a ＜0，a －b+c ＞0，那么一定有〔 〕A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，那么点〔b ，c a〕在〔 〕A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．假设二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么ac_____0〔“＜〞“＞〞或“=〞〕第4题图5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，那么以下关于a 、b 、c 间的关系判断正确的选项是〔 〕 A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：例题．抛物线c bx ax y ++=2过三点〔－1，－1〕、〔0，－2〕、〔1，l 〕．〔1〕求抛物线所对应的二次函数的表达式； 〔2〕写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；〔3〕这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回忆：〔09佛山〕19．〔1〕请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；〔2〕在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； 〔3〕直接写出平移后的图象的解析式. 注：图中小正方形网格的边长为1.〔1〕画图〔略〕注：根本反映图形的特征〔如顶点、对称性、变化趋势、平滑〕给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； 〔2〕画图、写解析式〔略〕注：画图总分值2分，同〔1〕的标准；写解析式2分〔无过程不扣分〕．〔11·佛山〕21.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A 〔－1，－1〕、B 〔0，2〕、C 〔1，3〕； 〔1〕求二次函数的解析式； 〔2〕画出二次函数的图像；【答案】解：〔1〕根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分〔2〕二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑〔各1分〕〔12佛山〕xyO第19题图xyoABC1xyoABC122.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的局部数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③函数c bx ax y ++=2的图象的一局部〔如图〕． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：〔1〕方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ，解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y 〔三种选其一即可〕〔2〕1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点 4、交 y 轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像〔2021•佛山〕24．如图①，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A 〔0，3〕，B 〔3，0〕，C 〔4，3〕．x -1 0 1 2 3 y343〔1〕求抛物线的函数表达式；〔2〕求抛物线的顶点坐标和对称轴；〔3〕把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S〔图②中阴影局部〕．分析：〔1〕把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；〔2〕把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；〔3〕根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影局部的面积等于平行四边形的面积，列式进展计算即可得解．解：〔1〕∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A〔0，3〕，B〔3，0〕，C〔4，3〕，∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；〔2〕∵y=x2﹣4x+3=〔x﹣2〕2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，对称轴为直线x=2；〔3〕如图，∵抛物线的顶点坐标为〔2，﹣1〕，∴PP′=1，阴影局部的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影局部的面积=2．点评：此题考察了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，〔3〕根据平移的性质，把阴影局部的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．【本文档内容可以自由复制内容或自由编辑修改内容期待你的好评和关注，我们将会做得更好】。
中考数学考点14二次函数图像与性质及与a、b、c的关系(解析版)
二次函数图像与性质及与a 、b 、c 的关系【命题趋势】在中考中.二次函数的图像与性质常在选择题和填空题常考；二次函数图像与系数a 、b 、c 的关系常在选择题或填空题的最后一题出现。
【中考考查重点】一、会用描点法画出二次函数的图像.通过图像了解二次函数的性质； 二、会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为k ax +=-)h (2y 的形式.并能由此得到二次函数图像的顶点坐标.说出图像的开口方向.画出图像的对称轴。
考点一：二次函数的概念及三种解析式概念 形如的函数叫二次函数三种解析式 1. 一般式：；2. 顶点式：（a ≠0）其中（h,k ）为二次函数的顶点坐标3. 交点式：.其中为抛物线与x 轴交点的横坐标图像画法列表、描点、连线1．（2021秋•黔西南州期末）下列各式中.y 是关于x 的二次函数的是（ ） A ．y ＝4x +2 B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2 C ．y ＝3x 2+5﹣4x D ．y ＝【答案】C【解答】解：A ．y ＝4x +2.是一次函数.故A 不符合题意； B ．y ＝（x ﹣1）2﹣x 2＝﹣2x +1.是一次函数.故B 不符合题意； C ．y ＝3x 2+5﹣4x ＝3x 2﹣4x +5.是二次函数.故C 符合题意； D ．y ＝等号右边是分式.不是二次函数.故D 不符合题意；故选：C ．考点二：二次函数的图像与性质2．（2021春•岳麓区校级期末）已知二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5.则该二次函数图象的顶点坐标是（ ） A ．（﹣2.1） B ．（2.1）C ．（2.﹣1）D ．（1.2）【答案】B【解答】解：∵二次函数的解析式为y ＝x 2﹣4x +5. ∴x ＝﹣＝﹣＝2.y ＝＝＝1.二次函数图象的顶点坐标为（2.1）. 故选：B ．3．（2020秋•莫旗期末）对于二次函数y ＝（x ﹣1）2+2的图象.下列说法正确的是（ ）A ．开口向下B ．当x ＝﹣1时.y 有最大值是2C ．对称轴是直线x ＝﹣1解析式对称轴直线（还可以利用.其中为y 值相等的两个点对应的横坐标）求解）顶点坐标2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，增减性当时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧.y 随x 的增大而增大 当a ＜0时.在对称轴左侧.y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧.y 随x的增大而减少最值当时.y 有最小值当2bx a =-时.y 有最小值244ac ba-． 当a ＜0时.y 有最大值当时.y 有最大值D．顶点坐标是（1.2）【答案】D【解答】解：二次函数y＝（x﹣1）2+2的图象的开口向上.故A错误；当x＝1时.函数有最小值2.故B错误；对称轴为直线x＝1.故C错误；顶点坐标为（1.2）.故D正确．故选：D．4．（2021秋•越秀区期末）在同一平面直角坐标系xOy中.一次函数y＝ax与二次函数y ＝ax2﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：选项A.直线下降a＜0.抛物线开口向上.a＞0.不符合题意．选项B.直线下降.a＜0.抛物线开口向下a＜0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.不符合题意．选项C.直线上升.a＞0.抛物线开口向上a＞0.抛物线与y轴交点在x轴下方.﹣a＜0.即a＞0.符合题意．选项D.直线上升.a＞0.抛物线开口向下a＜0.不符合题意．故选：C．5．（2021秋•南召县期末）已知（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m 上的点.则（）A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y1＝y2＞y3D．y1＞y2＝y3【答案】C【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+m＝﹣2（x+1）2+2+m.∴抛物线的开口向下.对称轴是直线x＝﹣1.∴当x＞﹣1时.y随x的增大而减小.∵（﹣3.y1）.（1.y2）.（5.y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣4x+m上的点.∴点（﹣3.y1）关于对称轴x＝﹣1的对称点是（1.y3）.∵1＜5.∴y1＝y2＞y3.故选：C6．（2021秋•昭阳区期中）已知二次函数y＝﹣（x﹣k）2+h.当x＞2时.y随x的增大而减小.则函数中k的取值范围是（）A．k≥2B．k≤2C．k＝2D．k≤﹣2【答案】B【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝k.因为a＝﹣1＜0.所以抛物线开口向下.所以当x＞k时.y的值随x值的增大而减小.而x＞2时.y的值随x值的增大而减小.所以k≤2．故选：B．考点三：二次函数图像与a、b、c的关系a、b、c的正负数判断二次函数图像二次项系数a 决定抛物线的开口方向及开口大小⑴当0a>时.抛物线开口向上⑵当0a<时.抛物线开口向下一次项系数b 决定对称轴的位置在二次项系数a确定的前提下.b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为对称轴为y轴）2.根据二次函数图像判断a 、b 、c 关系式与0的关系7．（2021秋•新抚区期末）如图.已知点A （﹣1.0）和点B （1.1）.若抛物线y ＝x 2+c 与线段AB 有公共点.则c 的取值范围是（ ）A ．﹣1≤c ≤0B ．﹣1≤c ≤C ．﹣1≤c ≤D ．0≤c ≤常数项系数c决定抛物线与y 轴的交点的位置⑴ 当0c >时.抛物线与y 轴的交点在x 轴上方⑵ 当0c =时.抛物线与y 轴的交点为坐标原点⑶ 当0c <时.抛物线与y 轴的交点在x 轴下方ac 4b2-决定抛物线与x 轴的交点个数b2－4ac ＞0时.抛物线与x 轴有2个交点;b2－4ac ＝0时.抛物线与x 轴有1个交点; b2－4ac ＜0时.抛物线与x 轴没有交点 决定抛物线与x 轴的交点个数关系式 实质2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与1关系 2a+b实质式结合a 的正负比较a2b-与-1关系 a+b+c 实质是令x=1.看纵坐标正负 a -b+c 实质是令x=-1.看纵坐标正负 4a+2b+c 实质是令x=2.看纵坐标正负 4a -2b+c实质是令x=-2.看纵坐标正负【答案】C【解答】解：设AB所在直线为y＝kx+b.将（﹣1.0）.（1.1）代入y＝kx+b得.∴y＝x+.如图.当抛物线与线段AB相切时.令x+＝x2+c.整理得x2﹣x﹣+c＝0.∴Δ＝（﹣）2﹣4（﹣+c）＝0.解得c＝.c减小.抛物线向下移动.当抛物线经过点A（﹣1.0）时.将（﹣1.0）代入y＝x2+c得0＝1+c.解得c＝﹣1.∴﹣1≤c≤满足题意．故选：C．8．（2021秋•肃州区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示.在下列五个结论中：①2a﹣b＜0；②abc＜0；③a+b+c＜0；④a﹣b+c＞0；⑤4a+2b+c＞0．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵0＜﹣＜1.∴b＜0.2a﹣b＞0.①不正确.不符合题意．∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.②不正确.不符合题意．∵x＝1时.y＜0.∴a+b+c＜0.③正确.符合题意．∵x＝﹣1时.y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确.符合题意．∵x＝2时.y＞0.∴4a+2b+c＞0.⑤正确.符合题意．故选：C1．（2021秋•五常市期末）抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴是直线（）A．x＝﹣2B．x＝﹣1C．x＝1D．x＝2【答案】B【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1.故选：B．2．（2021秋•呼和浩特期末）关于二次函数y＝2x2+4x﹣1.下列说法正确的是（）A．图象与y轴的交点坐标为（0.1）B．当x＜1时.y的值随x值的增大而减小C．图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）D．图象的对称轴在y轴的右侧【答案】C【解答】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3.∴当x＝0时.y＝﹣1.故选项A错误.该函数的对称轴是直线x＝﹣1.当x＜﹣1时.y随x的增大而减小.故选项B错误.图象的顶点坐标为（﹣1.﹣3）.故选项C正确.图象的对称轴在y轴的左侧.故选项D错误.故选：C．3．（2021春•岳麓区校级期末）已知抛物线y＝﹣（x+1）2上的两点A（﹣4.4.y1）和B （﹣3.3.y2）.那么下列结论一定成立的是（）A．0＜y2＜y1B．0＜y1＜y2C．y1＜y2＜0D．y2＜y1＜0【答案】C【解答】解：∵y＝﹣（x+1）2.∴二次函数图象开口向下.对称轴为直线x＝﹣1.顶点为（﹣1.0）.∵A（﹣4.4.y1）和B（﹣3.3.y2）.∴|﹣1+4.4|＞|﹣1+3.3|.∴y1＜y2＜0.故选：C．4．（2021秋•克东县期末）抛物线y＝x2﹣2x﹣4的顶点M关于坐标原点O的对称点为N.则点N的坐标为（）A．（1.﹣5）B．（1.5）C．（﹣1.5）D．（﹣1.﹣5）【答案】C【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣1）2﹣5.∴该抛物线的顶点M的坐标为（1.﹣5）.∴顶点M关于坐标原点O的对称点为N的坐标为（﹣1.5）.故选：C．5．（2021秋•龙江县期末）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数.且a≠0）如图所示.现有结论：①abc＜0.②b2＞4ac.③3a+c＞0.④ac﹣bc+c2＜0．其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解答】解：∵抛物线开口向上.∴a＞0.∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1.∴b＝﹣2a＜0.∵抛物线与y轴交点在x轴下方.∴c＜0.∴abc＞0.①错误．∵抛物线与x轴有2个交点.∴b2﹣4ac＞0.∴b2＞4ac.②正确．∵b＝﹣2a.∴y＝ax2﹣2ax+c.由图象可得x＝﹣1时y＞0.∴a+2a+c＝3a+c＞0.③正确．∵c＜0.∴ac﹣bc+c2＜0可整理为a﹣b+c＞0.∵x＝﹣1时y＞0.∴a﹣b+c＞0.④正确．故选：C．1．（2021•兰州）二次函数y＝x2+4x+1的图象的对称轴是（）A．x＝2B．x＝4C．x＝﹣2D．x＝﹣4【答案】C【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+1.∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣2．故选：C．2．（2021•广州）抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.则当x＝2时.y的值为（）A．﹣5B．﹣3C．﹣1D．5【答案】A【解答】解：如图∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1.0）、（3.0）.且与y轴交于点（0.﹣5）.∴可画出上图.∵抛物线对称轴x＝＝1.∴点（0.﹣5）的对称点是（2.﹣5）.∴当x＝2时.y的值为﹣5．故选：A．3．（2021•常州）已知二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.则实数a 的取值范围是（）A．a＞0B．a＞1C．a≠1D．a＜1【答案】B【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2.当x＞0时.y随x增大而增大.∴a﹣1＞0.∴a＞1.故选：B．4．（2021•阜新）如图.二次函数y＝a（x+2）2+k的图象与x轴交于A.B（﹣1.0）两点.则下列说法正确的是（）A．a＜0B．点A的坐标为（﹣4.0）C．当x＜0时.y随x的增大而减小D．图象的对称轴为直线x＝﹣2【答案】D【解答】解：∵二次函数y＝a（x+2）2+k的图象开口方向向上.∴a＞0.故A错误.∵图象对称轴为直线x＝﹣2.且过B（﹣1.0）.∴A点的坐标为（﹣3.0）.故B错误.D正确.由图象知.当x＜0时.由图象可知y随x的增大先减小后增大.故C错误.故选：D．5．（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】A【解答】解：A、由抛物线可知.a＞0.b＜0.c＝1.对称轴为直线x＝﹣.由直线可知.a ＞0.b＜0.直线经过点（﹣.0）.故本选项符合题意；B、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；C、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；D、由抛物线可知.对称轴为直线x＝﹣.直线不经过点（﹣.0）.故本选项不符合题意；故选：A．6．（2021•阿坝州）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示.下列说法错误的是（）A．a＜0.b＞0B．b2﹣4ac＞0C．方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1D．不等式ax2+bx+c＞0的解集是0＜x＜5【答案】D【解答】解：由图象可知.抛物线开口向下.所以a＜0；对称轴为直线x＝﹣＝2.所以b＝﹣4a.所以b＞0.故A正确．因为抛物线与x轴有两个交点.所以b2﹣4ac＞0.故B正确．由图象和对称轴公式可知.抛物线与x轴交于点（5.0）和（﹣1.0）.所以方程ax2+bx+c ＝0的解是x1＝5.x2＝﹣1.故C正确．由图象可知.不等式ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜5.故D错误．故选：D．7．（2021•雅安）定义：min{a.b}＝.若函数y＝min{x+1.﹣x2+2x+3}.则该函数的最大值为（）A．0B．2C．3D．4【答案】C【解答】解：x+1＝﹣x2+2x+3.解得x＝﹣1或x＝2．∴y＝.把x＝2代入y＝x+1得y＝3.∴函数最大值为y＝3．故选：C．8．（2021•烟台）如图.二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1.0）.B（3.0）.与y 轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时.y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④a+b≥am2+bm．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解答】解：把点A（﹣1.0）.B（3.0）代入二次函数y＝ax2+bx+c.可得二次函数的解析式为：y＝ax2﹣2ax﹣3a.∵该函数图象开口方向向下.∴a＜0.∴b＝﹣2a＞0.c＝﹣3a＞0.∴ac＜0.3a+c＝0.①错误.③正确；∵对称轴为直线：x＝﹣＝1.∴x＜1时.y随x的增大而增大.x＞1时.y随x的增大而减小；②错误；∴当x＝1时.函数取得最大值.即对于任意的m.有a+b+c≥am2+bm+c.∴a+b≥am2+bm.故④正确．综上.正确的个数有2个.故选：B．9．（2021•徐州）如图.点A、B在y＝x2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4.直线AB与y轴交于点C.连接OA、OB．（1）求直线AB的函数表达式；（2）求△AOB的面积；（3）若函数y＝x2的图象上存在点P.使△P AB的面积等于△AOB的面积的一半.则这样的点P共有个．【答案】（1）y＝+2 （2）6 （3）4【解答】解：（1）∵点A、B在y＝x2的图象上.A、B的横坐标分别为﹣2、4.∴A（﹣2.1）.B（4.4）.设直线AB的解析式为y＝kx+b.∴.解得.∴直线AB的解析式为y＝+2；（2）在y＝+2中.令x＝0.则y＝2.∴C的坐标为（0.2）.∴OC＝2.∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝6．（3）过OC的中点.作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2.此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半.作直线P1P2关于直线AB的对称直线.交抛物线两个交点P3、P4.此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半.所以这样的点P共有4个.故答案为4．1．（2021•龙湾区模拟）下列函数中.是二次函数的是（）A．y＝6x2+1B．y＝6x+1C．y＝D．y＝﹣+1【答案】A【解答】解：A．是二次函数.故本选项符合题意；B．是一次函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；C．是反比例函数.不是二次函数.故本选项不符合题意；D．等式的右边是分式.不是整式.不是二次函数.故本选项不符合题意；故选：A．2．（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系中.A的坐标为（1.﹣2）.B的坐标为（﹣1.﹣5）.若y关于x的二次函数y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1在﹣1≤x≤1段的图象始终在线段AB 的下方.则m的取值范围是（）A．m＜﹣3B．m＞2C．m＜﹣2或m＞2D．m＜﹣3或m＞2【答案】D【解答】解：∵y关于x的二次函数为y＝﹣x2+2mx﹣m2﹣1.∴顶点式为y＝﹣（x﹣m）2﹣1.∴抛物线顶点为（m.﹣1）.当﹣1≤m≤1时.∵﹣1＞﹣2＞﹣5.∴顶点在线段AB的上方.不符合题意；当m＜﹣1时.若二次函数的图象与线段AB交于点B.则当x＝﹣1时.y＝﹣（﹣1﹣m）2﹣1＝﹣5.解得：m1＝﹣3.m2＝1（舍去）.∴要使二次函数的图象在线段AB的下方.则需要将图象向左平移.∴m＜﹣3.当m＞1时.若二次函数图象与线段AB交于点A.则当x＝1时.y＝﹣（1﹣m）2﹣1＝﹣2.解得：m1＝2.m2＝0（舍去）.∴而要使二次函数始终在线段AB下方.则需要将图象向右平移.∴m＞2.综上所述：m＜﹣3或m＞2．故选：D．3．（2021•陕西模拟）如图.若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x＝1.与y 轴交于点C．与x轴交于点A、点B（﹣1.0）．则：①二次函数的最大值为1；②4a ﹣2b+c＞0；③b2﹣4ac＞0；④当y＜0时.x＜﹣1或x＞3．其中错误的个数是（）A．I B．2C．3D．4【答案】B【解答】解：∵对称轴为直线x＝1.∴b＝﹣2a.∵B（﹣1.0）.∴A（3.0）.∴a﹣b+c＝0.∴c＝﹣3a.∴y＝ax2﹣2ax﹣3a；①当x＝1时.函数的最大值是a+b+c.故①不正确；②当x＝﹣2时.y＜0.∴4a﹣2b+c＜0.故②不正确；③∵函数与x轴有两个不同的交点.∴Δ＝b2﹣4ac＞0.故③正确；④由图象可知当y＜0时.x＜﹣1或x＞3.故④正确；故选：B．。
二次函数与a,b,c的关系
C.小于０
D.不能确定
4.(201６贵州毕节 3 分)一次函数 y=ａｘ+b(a≠0)与二次函数 y=ax2+bx＋c(ａ≠0)在同一平面直角坐标系中得图象可能就
是( )
A。
Ｂ. Ｃ.
D。
5.(2016·福建龙岩·4 分)已知抛物线 y＝ax2+bx＋ｃ得图象如图所示,则|ａ﹣b+c|+|2a+b|＝( )
(填写序号)ﻩ
５ 。 (201６·四 川 泸 州 )若 二 次 函 数 y=2x 2﹣ 4x ﹣ 1 得 图 象 与 x 轴 交 于 A(x1,0)、 B(x 2,0)两 点 ,则 +得 值 为 ７。(2016·湖北荆州·３分)若函数 y=(a﹣1)ｘ2﹣4x+2a 得图象与 x 轴有且只有一个交点,则 a 得值为
A。0ﻩ
B.1
C.2ﻩ
Ｄ、3
2.(2016·山东省滨州市·3 分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移３个单位长度,然后绕原点选择 180°得到
抛物线 y=ｘ２+5x+6,则原抛物线得解析式就是( )
A.ｙ=﹣(x﹣)2﹣ ﻩB。y=﹣(x＋)2﹣
Ｃ、y=﹣(x﹣)2﹣ ﻩD、y=﹣(x+)2+
３b+2ｃ＜0;③４a＋ｃ〈２b;④m(aｍ+b)＋ｂ<ａ(ｍ≠１),其中结论正确得个数就是( )
A.1 B、2 C.３ D、4
4。(2０17 浙江宁波第 10 题)抛物线(就是常数)得顶点在(
)
A、第一象限ﻩ ﻩ
B。第二象限 ﻩ ﻩ ﻩＣ.第三象限 ﻩ ﻩD、第四象限
1、(20１6·山东省滨州市·３分)抛物线 y＝2x2﹣2ｘ+1 与坐标轴得交点个数就是( )
二次函数与a b c的关系
几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c；x= -1时，y=a - b + c．当x = 1时，①若y > 0，则a + b + c >0；②若y < 时0，则a + b + c < 0当x = -1时，①若y > 0，则a - b + c >0；②若y < 0，则a - b + c < 0．扩：x=2, y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a -2b + c ； x=3, y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b,c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴−b2a ; 判别式b 2−4ac ; y =a +b +c……等等）的符号 4．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①042=-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3其中正确的有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2017四川省眉山市）若一次函数y =（a +1）x +a 的图象过第一、三、四象限，则二次函数2y ax ax =-（ ）A ．有最大值4aB ．有最大值﹣4aC ．有最小值4aD ．有最小值﹣4a1. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴l 如图所示，则下列结论：①abc ＞0；②a ﹣b +c =0；③2a +c ＜0；④a +b ＜0，其中所有正确的结论是（ ）A ．①③B ．②③C ．②④D ．②③④9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的对称轴为直线2x =-，与x 轴的一个交点在(3,0)-和(4,0)-之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①40a b -=；②0c <；③30a c -+>；④242a b at bt ->+（t 为实数）；⑤点19(,)2y -，25(,)2y -，31(,)2y -是该抛物线上的点，则123y y y <<，正确的个数有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．（2017四川省绵阳市）将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．b ＞8B ．b ＞﹣8C ．b ≥8D ．b ≥﹣82．（2017四川省南充市）二次函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（ ）A ．4ac ＜b 2B ．abc ＜0C ．b +c ＞3aD ．a ＜b23. (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+是图象与性质，下列说法正确的是（ ）A ．对称轴是直线1x =，最小值是2B ．对称轴是直线1x =，最大值是2C . 对称轴是直线1x =-，最小值是2D ．对称轴是直线1x =-，最大值是226. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-，且对称轴为直线1x =，有下列结论：①0abc <；②1030a b c ++>；③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -，则12y y >；④无论,,a b c 取何值，抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；⑤20am bm a ++≥，其中所有正确的结论是 ．15.（2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =﹣1，给出下列结论：①b 2=4ac ；②abc ＞0；③a ＞c ；④4a ﹣2b +c ＞0，其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 16.（2017山东烟台第11题）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，对称轴是直线1=x ，下列结论：①0<ab ；②ac b 42>；③0<++c b a ；④03<+c a .其中正确的是（ ）A ．①④ B．②④ C. ①②③ D ．①②③④17.（2017四川泸州第8题）下列曲线中不能表示y 与x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ． 16. (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x =2，与x 轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a +b +c =0；③a﹣b+c＜0；④抛物线的顶点坐标为（2，b）；⑤当x＜2时，y随x增大而增大．其中结论正确的是（）A．①②③B．③④⑤C．①②④D．①④⑤12.（2017江苏盐城第6题）如图，将函数y=12（x－2）2+1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A（1，m），B（4，n）平移后的对应点分别为点A'、B'．若曲线段AB扫过的面积为9（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（）A．y＝12(x?2)2?2 B．y＝12(x?2)2+7 C．y＝12(x?2)2?5 D．y＝12(x?2)2+47.（2017广西贵港第10题）将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度后，得到的抛物线解析式是（）A．()211y x=-+ B．()211y x=++C.()2211y x=-+ D．()2211y x=++8.（2017贵州安顺第10题）二次函数y=ax2+bx+c（≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m≠1），其中结论正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．44.（2017浙江宁波第10题）抛物线22y x x m(m是常数)的顶点在( )22A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1．（2016·山东省滨州市·3分）抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．（2016·山东省滨州市·3分）在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位长度，然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6，则原抛物线的解析式是（）A．y=﹣（x﹣）2﹣B．y=﹣（x+）2﹣ C．y=﹣（x﹣）2﹣D．y=﹣（x+）2+【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数的图象旋转及平移的法则是解答此题的关键．3．（2016广西南宁3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）和正比例函数y=x的图象如图所示，则方程ax2+（b﹣）x+c=0（a≠0）的两根之和（）A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．不能确定4．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．5.（2016·福建龙岩·4分）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则|a﹣b+c|+|2a+b|=（）A．a+b B．a﹣2b C．a﹣b D．3a 10．（2016贵州毕节3分）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C．D．【11. （2016·浙江省绍兴市·4分）抛物线y=x2+bx+c（其中b，c是常数）过点A （2，6），且抛物线的对称轴与线段y=0（1≤x≤3）有交点，则c的值不可能是（）A．4 B．6 C．8 D．1012. （2016·湖北随州·3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论：（1）4a+b=0；（2）9a+c＞3b；（3）8a+7b+2c＞0；（4）若点A（﹣3，y1）、点B（﹣，y2）、点C（，y3）在该函数图象上，则y1＜y3＜y2；（5）若方程a（x+1）（x﹣5）=﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1＜5＜x2．其中正确的结论有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个13.（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（）A．直线x=1 B．直线x=﹣1 C．直线x=﹣2 D．直线x=2 14．（2016·四川泸州）已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2（a≠0）的图象的顶点在第四象限，且过点（﹣1，0），当a﹣b为整数时，ab的值为（）A．或1 B．或1 C．或D．或15．（2016·四川攀枝花）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）图象的顶点为D，其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1和3，则下列结论正确的是（）A．2a﹣b=0B．a+b+c＞0C．3a﹣c=0D．当a=时，△ABD是等腰直角三角形16.（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个17．（2016·湖北黄石·3分）以x为自变量的二次函数y=x2﹣2（b﹣2）x+b2﹣1的图象不经过第三象限，则实数b的取值范围是（）A．b≥B．b≥1或b≤﹣1 C．b≥2D．1≤b≤218．（2016·湖北荆门·3分）若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）A．x1=0，x2=6 B．x1=1，x2=7 C．x1=1，x2=﹣7 D．x1=﹣1，x2=719.（2016·青海西宁·3分）如图，在△ABC中，∠B=90°，tan∠C=，AB=6cm．动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．若P，Q两点分别从A，B两点同时出发，在运动过程中，△PBQ的最大面积是（）A．18cm2 B．12cm2 C．9cm2 D．3cm221. （2016·四川眉山·3分）若抛物线y=x2﹣2x+3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位，再沿铅直方向向上平移三个单位，则原抛物线图象的解析式应变为（）A．y=（x﹣2）2+3 B．y=（x﹣2）2+5 C．y=x2﹣1 D．y=x2+44．（2016·四川南充）已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点（1，1），双曲线y=经过点（a，bc），给出下列结论：①bc＞0；②b+c＞0；③b，c是关于x的一元二次方程x2+（a﹣1）x+=0的两个实数根；④a﹣b﹣c≥3．其中正确结论是（填写序号）5．（2016·四川泸州）若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）两点，则+的值为7.（2016·湖北荆州·3分）若函数y=（a﹣1）x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点，则a的值为8. （2016·辽宁丹东·10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？12．（2016·四川内江）(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边周长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米(如图14所示)，设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米．(1)若苗圃园的面积为72平方米，求x；(2)若平行于墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．16.（2016·黑龙江龙东·6分）如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．21.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．24. （2016·山东潍坊）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x（元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x不超过100元时，观光车能全部租出；当x超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？。
初中数学精品试题：二次函数与系数a,b,c的关系
专题02 二次函数与系数a 、b 、c 的关系【知识梳理】知识梳理一、二次函数2y ax bx c =++中a 、b 、c 的基本认知b 2-4ac =0知识梳理二、关于a 、b 、c 代数式的取值问题．a 、b 、m知识梳理三、图像共存问题．（一般分为以下三类）（1）通过给出的系数系数信息，判断图像共存（2）通过给出的图像判断系数，再判断图像共存（3）不给出任何系数信息，通过题意判断【例题精讲】例1．函数y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常数，且a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．例2．已知a，b是非零实数，|a|＞|b|，在同一平面直角坐标系中，二次函数y1＝ax2+bx与一次函数y2＝ax+b的大致图象不可能是（）A．B．C．D．例3．函数y＝﹣（x﹣m）（x﹣n）（其中m＜n）的图象与一次函数y＝mx+n的图象可能是（）A．B．C．D．例4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A．B．C．D．例5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx﹣与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．例6．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（，0）和（m，y），对称轴为直线x＝﹣1，下列5个结论：其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）①abc＞0；②a+2b+4c＝0；③2a﹣b＞0；④3b+2c＞0；⑤a﹣b≥m（am﹣b），例7．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，经过点（0，1）有以下结论：①a+b+c＜0；②b2﹣4ac＞0；③abc＞0；④4a﹣2b+c＞0；⑤c﹣a＞1．其中所有正确结论的序号是．例8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣1，0），对称轴为直线x＝1，与y轴的交点B在（0，2）和（0，3）之间（不包括这两个点），下列结论：①当﹣1＜x＜3时，y＞0；②﹣1＜a＜﹣．③当m≠1时，a+b＞m（am+b）；④b2﹣4ac＝15a2．其中正确的结论的序号．例9．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣4，0），对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝﹣4，x2＝1；④当y＞0时，﹣4＜x＜2，其中正确的结论有．例10．已知二次函数y＝（m﹣2）x2+2mx+m﹣3的图象与x轴有两个交点（x1，0），（x2，0）．则下列说法正确的有：．（填序号）①该二次函数的图象一定过定点（﹣1，﹣5）；②若该函数图象开口向下，则m的取值范围为：＜m＜2；③当m＞2，且1≤x≤2时，y的最大值为4m﹣5；④当m＞2，且该函数图象与x轴两交点的横坐标x1、x2满足﹣3＜x1＜2，﹣1＜x2＜0时，m的取值范围为：＜m＜11．【专项训练】1．已知a≠0，在同一直角坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是（）A．B．C．D．2．抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝ax+c（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．3．一次函数y＝acx+b与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．4．在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2+bx+b（a≠0）与一次函数y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．5．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．6．如图，一次函数y1＝﹣x与二次函数y2＝ax2+bx+c的图象相交于P，Q两点，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能为（）A．B．C．D．7．函数y＝ax2+bx与y＝ax+b在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．8．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2﹣bx与y＝bx+a的图象可能是（）A．B．C．D．9．如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝6ax+b与y＝ax2﹣bx的图象可能是（）A．B．C．D．11．已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．12．若b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四图之一所示，根据图象分析，则a 的值等于（）A．﹣1B．1C．D．13．已知函数y1＝mx2+n，y2＝nx+m（mn≠0），则两个函数在同一坐标系中的图象可能为（）A．B．C．D．14．在同一坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（）A．B．C．D．15．函数y＝k（x﹣k）与y＝kx2，y＝（k≠0），在同一坐标系上的图象正确的是（）A．B．C．D．16．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如图所示，则一次函数y ＝cx+与反比例函数y＝在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．17．反比例函数的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2﹣4x+k2的图象大致是（）A．B．C．D．18．若ab＞0，则一次函数y＝ax﹣b与反比例函数y＝在同一坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．19．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则﹣次函数y＝﹣bx﹣4ac+b2与反比例函数y＝在同一坐标系内的图象大致为（）A．B．C．D．20．下列图中，反比例函数y＝（a≠0）与二次函数y＝ax2+ax（a≠0）的大致图象在同一坐标系中是（）A．B．C．D．21．二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a﹣b＝0；②b2﹣4ac＞0；③5a﹣2b+c＞0；④4b+3c＞0，其中错误结论的序号是．第21题图第22题图22．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：①ab＞0；②a+b﹣1＝0；③a＞1；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，另一个根为﹣．其中正确结论的序号是．23．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0）．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b；⑤直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x1，x2，则x1+x2+x1x2＝﹣5．其中结论正确是．24．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＜0；②5a﹣b+c＜0；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1＝﹣5，x2＝1；④若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有．25．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①ab c＞0；②2a+b＜0；③a﹣b+c＜0；④a+c＞0；其中正确的说法有（写出正确说法的序号）．26．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有．（写出所有正确结论的番号）27．如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②a+c＝0；③ac+b+1＝0；④2+c 是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根，其中正确的有个．28．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x ＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③，3a+c＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤4a+2b≥am2﹣bm（m为任意实数）．其中正确的结论有．（填序号）29．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a+b+c＜0；③4a+b＝0；④若点（1，y1）和（3，y2）在该图象上，则y1＝y2，其中正确的结论是（填序号）．30．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣，0），对称轴为直线x＝1，下列5个结论：①abc＜0；②a﹣2b+4c＝0；③2a+b＞0；④2c﹣3b＜0；⑤a+b≤m（am+b）．其中正确的结论为．（注：只填写正确结论的序号）。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结关键信息项：1、二次函数的一般式：＄y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$ （＄a ＼neq 0$）2、系数 a 的作用决定抛物线的开口方向影响抛物线的开口大小3、系数 b 的作用与对称轴的位置有关4、系数 c 的作用决定抛物线与 y 轴的交点坐标11 二次函数的一般形式二次函数的一般形式为$y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c$ （＄a ＼neq 0$），其中$a$、＄b$、＄c$是常数。
111 系数$a$的作用＄a$的正负决定了抛物线的开口方向。
当$a ＞ 0$时，抛物线开口向上；当$a ＜ 0$时，抛物线开口向下。
＄a$的大小影响抛物线的开口大小。
＄｜a|＄越大，抛物线的开口越窄；＄｜a|＄越小，抛物线的开口越宽。
112 系数$b$的作用系数$b$与对称轴的位置有关。
二次函数的对称轴方程为$x ＝＼frac{b}｛2a}＄。
当$b ＝ 0$时，对称轴为$y$轴；当$a$、＄b$同号时，对称轴在$y$轴左侧；当$a$、＄b$异号时，对称轴在$y$轴右侧。
113 系数$c$的作用系数$c$决定了抛物线与$y$轴的交点坐标。
当$x ＝ 0$时，＄y ＝c$，所以抛物线与$y$轴的交点坐标为$（0, c)＄。
12 二次函数的图像特征二次函数的图像是一条抛物线。
其顶点坐标为$（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＄。
121 当$a ＞ 0$时抛物线开口向上，函数在对称轴$x ＝＼frac{b}｛2a}＄处取得最小值$＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
122 当$a ＜ 0$时抛物线开口向下，函数在对称轴$x ＝＼frac{b}｛2a}＄处取得最大值$＼frac{4ac b^2}｛4a}＄。
13 系数之间的关系对函数零点的影响判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$用于判断二次函数的零点个数。
131 当$＼Delta ＞ 0$时函数有两个不同的实数零点。
二次函数abc的关系
二次函数abc的关系二次函数是高中数学中常见的一个函数形式，它的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c是常数，且a不等于0。
这篇文章将探讨二次函数abc的关系，通过分析a、b、c的取值对二次函数的图像、性质以及解的情况产生的影响，帮助读者更好地理解二次函数。
我们来讨论a的取值。
当a大于0时，二次函数的图像开口向上，形状类似于一个U型，称为正向开口的二次函数。
当a小于0时，二次函数的图像开口向下，形状类似于一个倒置的U型，称为负向开口的二次函数。
因此，a的取值决定了二次函数图像的开口方向。
接下来，我们来考虑b的取值。
b的正负决定了二次函数图像的对称轴的位置。
当b大于0时，二次函数图像向右平移；当b小于0时，二次函数图像向左平移。
此外，b的绝对值越大，平移的距离越远。
因此，b的取值决定了二次函数图像的位置和平移的程度。
我们来讨论c的取值。
c的正负决定了二次函数图像与y轴的交点位置。
当c大于0时，二次函数图像与y轴的交点在原点的上方；当c小于0时，二次函数图像与y轴的交点在原点的下方。
此外，c 的绝对值越大，交点与原点的距离越远。
因此，c的取值决定了二次函数图像与y轴的交点位置和距离。
通过分析a、b、c的取值对二次函数的影响，我们可以得出一些总结性的结论。
首先，当a不等于0时，二次函数必然存在一个顶点，该顶点的横坐标为-x=b/2a，纵坐标为f(-x)=c-b^2/4a。
其次，当a 的取值相同时，二次函数的图像形状相似，只是整体大小和位置有所不同。
最后，当a、b、c的取值不同时，二次函数的图像、顶点、对称轴和与y轴的交点位置都会有所不同。
二次函数abc的关系是通过分析a、b、c的取值对二次函数的图像、性质以及解的情况产生的影响。
了解二次函数abc的关系可以帮助我们更好地理解二次函数的性质和特点，进而应用到实际问题中。
希望通过本文的介绍，读者能够对二次函数有更深入的理解和应用。
二次函数与a,b,c的关系
几种特殊情况：x=1时，y=a + b + c ;x= -1 时，y=a - b + c .当x = 1 时，① 若y > 0，贝V a + b + c >0 ；® 若y < 时0,贝V a + b + c < 0 当x = -1 时，①若y > 0，贝V a - b + c >0 :②若y < 0，贝V a - b + c < 0 .等）的符号4. （2017四川省广安市）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B （- 1, 3）,与x轴的交点A 在点（-3, 0）和（-2, 0）之间，以下结论：①b2-4ac =0 :②a+b+c>0 :③2 a- b=0；④c- a=3其中正确的有（）A. 1B. 2C. 3D. 45. （2017四川省眉山市）若一次函数y=（ a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数y二ax2 - ax （）A. 有最大值- B .有最大值-- C.有最小值- D.有最小值--4 4 4 41. （2017贵州遵义第11题）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（-1, 0）,对称轴丨如图所示，则下列结论：①abc> 0；②a- b+c=0:③2a+c v0 :④a+b v 0,其中所有正确的结论是（）A.①③ B .②③ C.②④ D.②③④9. （2017黑龙江齐齐哈尔第10题）如图，抛物线y=ax2・bx（a = 0）的对称轴为直线x = -2 , 与x轴的一个交点在（-3,0）和（-4,0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：①4a-b = 0 •，②c ：：： 0 ;9 5 12③-3a0 :④4a -2b at bt （t为实数）；⑤点（-―，yj ,（-一小）,（-一山）是该抛物线上2 2 2的点，则％：：： y2 ：：：y，正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个 D . 1个6 . （2017四川省绵阳市）将二次函数y =x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y=2x+b的图象有公共点，则实数b的取值范围是（）A. b>8 B . b>- 8 C. b>8 D . b>- 8223. （2017浙江金华第6题）对于二次函数y=-[x-1 • 2是图象与性质，下列说法正确的是（）A.对称轴是直线x =1，最小值是2 B .对称轴是直线x = 1，最大值是2C对称轴是直线x = T，最小值是2 D .对称轴是直线x = -1，最大值是22. （2017四川省南充市）二次函数y=ax2，bx < （a、b、c是常数，且a工0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）2A . 4ac v b B. abc v 0 C. b+c >3a D . a v b26. （2017新疆乌鲁木齐第15题）如图，抛物线y=ax 2・bx ・c 过点-1,0，且对称轴为直线x = 1 , 有下列结论：①abc ：：： 0 :②10a 3b c 0 :③抛物线经过点 4, y 1与点_3,y 2，则y i • y 2;④无论a,b,c 取何 值，抛物线都经过同一个点—£,0 :⑤am 2 bm 0，其中所有正确的结论是 ______________________ .I a 丿15. （2017贵州黔东南州第9题）如图，抛物线y =ax 2+bx +c （a 工0）的对称轴为直线 x =- 1，给出下 列结论：①b 2=4ac ；②abc > 0；③a >c ；④4a - 2b +c >0,其中正确的个数有（ ）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个16. （2017山东烟台第11题）二次函数y 二ax 2 • bx • c （a = 0）的图象如图所示，对称轴是直线x = 1 ,① ab ：0 :② b 2 . 4ac :③ a b c ：： 0 :④ 3ac ：： 0 •其中正确的是（ ）A.①④B •②④ C. ①②③ D•①②③④个交点坐标为（4, 0）,其部分图象如图所示，下列结论: ① 抛物线过原点； ② 4a+b+c=0； ③ a - b+c v 0；④ 抛物线的顶点坐标为（2, b ）； ⑤ 当x v 2时，y 随x 增大而增大. 其中结论正确的是（）12题）已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ^0）的对称轴为直线x=2,与x 轴的一 y 与x 的函数的是（17. （ 2017四川泸州第8题）F 列曲线中不能表示16. （2017山东日照第A.①②③B.③④⑤C.①②④D.①④⑤112. （ 2017江苏盐城第6题）如图，将函数y =（x — 2） 2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数2的图象，其中点 A （1 , m , B （ 4, n ）平移后的对应点分别为点 A 、B •若曲线段AB 扫过的面积为 9 （图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（A. 1B. 2C. 3D. 44. （2017浙江宁波第10题）抛物线y =x 2- 2x + m 2+2（ m 是常数）的顶点在（）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3分）抛物线y=2x 2- 2 ~x+1与坐标轴的交点个数是点选择180。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中一个重要的概念，它的一般形式为f(x) =ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a不等于0。
在二次函数中，a、b、c的值与函数的图像特点有着密切的关系。
本文将对二次函数中的abc系数与图像形态、零点以及顶点等方面的关系进行总结，以便更好地理解和应用二次函数。
1. a系数与图像开口方向的关系二次函数的图像开口方向与a系数的正负有关。
当a大于0时，图像开口向上，形状为抛物线的一侧向上开口；当a小于0时，图像开口向下，形状为抛物线的一侧向下开口。
因此，a系数的正负决定了二次函数的图像形态。
2. c系数与图像与y轴的交点关系二次函数的图像与y轴的交点称为y轴截距，可以通过c系数来确定。
当c大于0时，二次函数与y轴有两个交点，一个在上方，一个在下方；当c等于0时，二次函数与y轴只有一个交点，即原点；当c小于0时，二次函数与y轴无交点，图像完全位于y轴的一侧。
3. 二次函数的零点二次函数的零点是函数图像与x轴相交的点，表示函数的根。
要确定二次函数的零点，可以使用求根公式x = (-b±√(b^2-4ac))/(2a)。
通过求解该方程的根，即可得到二次函数的零点。
对于二次函数，它的零点有可能是实数，也有可能是虚数。
4. 顶点与对称轴二次函数的顶点是函数图像的最高点或最低点，其x坐标为-h/2a，其中h = b^2-4ac。
顶点的y坐标可以通过将x坐标代入二次函数中求得。
对称轴是通过顶点的一条直线，该直线将二次函数图像分为两个对称的部分。
总结起来，二次函数中的abc系数与图像的开口方向、与y轴的交点、零点以及顶点与对称轴都有着密切的关系。
熟练掌握这些关系，可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
在解题过程中，我们可以根据题目中给出的abc的具体数值，通过计算和分析来得出二次函数的图像特点和其他相关信息。
通过不断练习和实践，我们可以提升对二次函数的理解和运用能力，为解决实际问题提供有力支持。
二次函数与a,b,c的关系(建议收藏)
a、b、c 及代数式由抛物线的决定具体说明a 由抛物线的开口方向决定〉a开口向上o〈a开口向下b 由对称轴x=－错误!的位置决定对称轴在y轴左侧同号b、a对称轴在y轴右侧异号b、ab=0轴y是对称轴c 由抛物线与y轴交点（0，c)的位置决定与y轴交点在正半轴o〉c上与y轴交点在负半轴c<0上c=0抛物线过原点b2-4ac由抛物与x轴有2个交点线与x轴交点个数决定o〉与x轴有1个交点o=o〈交点没有轴x与2a—b－错误!与-1比较2a+b－错误!与1比较a+b+c令x=1,看纵坐标a—b+c令x=—1，看纵坐标4a+2b+c令x=2,看纵坐标4a-2b+c令x=-2，看纵坐标几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c；x= -1时，y=a - b + c．当x = 1时,①若y〉0，则a + b + c〉0;②若y〈时0,则a + b + c〈0。
.。
文档交流当x = -1时，①若y > 0，则a—b + c>0;②若y < 0,则a - b + c〈0．....。
文档交流扩:x=2，y=4a + 2b + c ；x= -2, y=4a —2b + c ；x=3，y=9a +3 b + c ；x= -3, y=9a -3b + c 。
.。
.。
文档交流反之，给我们相应的二次函数图象，我们可以得到其系数a,b，c以及它们组合成的一些关系结构（例如对称轴; 判别式……等等）的符号。
...。
文档交流4．(2017四川省广安市)如图所示,抛物线的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点(﹣3,0）和(﹣2，0）之间，以下结论：...。
.文档交流①；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3其中正确的有(）A．1B．2C．3D．4 5．（2017四川省眉山市）若一次函数y=(a+1）x+a的图象过第一、三、四象限，则二次函数().。
.。
文档交流A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣1。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数与a、b、c的关系总结二次函数是数学中重要的一种函数形式，在数学和物理等领域都有广泛的应用。
它的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。
本文将总结二次函数与a、b、c之间的关系。
1. a的影响：a是二次函数中x^2的系数，决定了二次函数图像的开口方向和形状。
- 当a>0时，二次函数图像开口向上，形如一个“U”，称为“正抛物线”。
a越大，抛物线越“瘦长”。
- 当a<0时，二次函数图像开口向下，形如一个“∩”，称为“负抛物线”。
a越小（绝对值越大），抛物线越“瘦长”。
2. b的影响：b是二次函数中x的系数，决定了二次函数图像的位置和对称性。
- 当b>0时，二次函数图像向右平移，平移的距离与b的绝对值成正比。
具体而言，平移的距离为2√(a/b)。
- 当b<0时，二次函数图像向左平移，平移的距离与b的绝对值成正比。
3. c的影响：c是二次函数的常数项，决定了二次函数图像与y轴的位置关系。
- 当c>0时，二次函数图像在y轴上方，与y轴的交点为(c,0)。
- 当c<0时，二次函数图像在y轴下方，与y轴的交点为(c,0)。
除了以上的总结，还有一些其他的关系需要注意：- 如果a为正（负），则二次函数的值域为y ≥ (≤) c，其中c为二次函数的最小值（最大值）。
- 二次函数的对称轴为直线x = -b/(2a)，对称轴将二次函数图像分成左右对称的两部分。
- 二次函数的顶点坐标为(-b/(2a), f(-b/(2a)))，即对称轴上的点。
综上所述，二次函数与a、b、c之间有着密切的关系。
通过调整这些系数，我们可以改变二次函数图像的形状、位置和对称性，从而实现特定的数学模型和应用需求。
二次函数中a,b,c个代表什么
⼆次函数中a,b,c个代表什么a,b,c分别是⼆次项系数，⼀次向系数和常数项。
1、a代表⼆次函数开⼝⽅向和开⼝⼤⼩，（1）a⼤于0是开⼝向上，⼩于0时开⼝向下。
（2）a的绝对值越⼤，其开⼝越⼩。
2、a和b代表⼆次函数的对称轴。
初中阶段所学的抛物线，不是开⼝向上就是开⼝向下。
所以它的对称轴x=-b/2a不是y轴（x=0）就是和y轴平⾏的直线x=m,∵x=-b/2a1、 ab>0, x=-b/2a < 0 ，即 m > 0时，对称轴在y轴的左侧，2、 ab=0, x=-b/2a = 0 ，即 m = 0时，对称轴就是y轴3 ab<0, x=-b/2a > 0，即m > 0时，对称轴在y轴的右侧a和b同号时，对称轴在y轴左侧，a和b异号时，对称轴在y轴右侧，b == 0 时，对称轴恰好是y轴。
⼝诀：同左异右零（o）中间3、c代表⼆次函数图像与y轴焦点的纵坐标（0，c） c ＞０，抛物线与y轴正半轴相交 c ＝ ０，抛物线与y轴负半轴相交 c ＜ ０，抛物线过原点（0，0）4、abc同时决定△，即函数图像是否与x轴有焦点和焦点的个数△ > 0 ,函数图像与x轴有焦点和焦点的个数为 2△ = 0 ,函数图像与x轴有焦点和焦点的个数为 1△ < 0 ,函数图像与x轴⽆焦点和焦点的个数为 0因为：抛物线的顶点位置为分为：在x轴的上⽅、x轴的下⽅、和x轴上不管顶点（-b/2a ， 4ac-b2 / 4a ）位置在哪，顶点的横坐标-b/2a 为全体实数,顶点的纵坐标4ac-b2 / 4a为正、负或0 。
当 a > 0 时，（1）顶点位置为在x轴的上⽅，抛物线与x轴⽆焦点（相离）∴ 4ac-b2 / 4a > 0∵ a > 0， 4ac-b2 / 4a > 0∴ 4ac -- b2 >0即 b2-4ac < 0 ,所以当b2-4ac < 0时，抛物线与x轴⽆焦点。
二次函数的图像与字母a、b、c的关系
课次教学计划教学过程：一、知识要点二次函数y=ax 2+bx+c 系数符号的确定：（1）a 由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a ＞0；否则a ＜0． （2）b 由对称轴和a 的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c 由抛物线与y 轴的交点确定：交点在y 轴正半轴，则c ＞0；否则c ＜0．（4）b 2-4ac 的符号由抛物线与x 轴交点的个数确定：2个交点，b 2-4ac ＞0；1个交点，b 2-4ac=0； 没有交点，b 2-4ac ＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c 的符号，当x=-1时，可确定a-b+c 的符号． （6）由对称轴公式x=，可确定2a+b 的符号．二、基础练习1、已知抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（ D ） A 、a ＞0 B 、b ＜0 C 、c ＜0 D 、a+b+c ＞02、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b 2＞4ac ； ②abc ＞0；③2a+b=0； ④a+b+c ＞0；⑤a-b+c ＜0，则正确的结论是（ D ） A 、①②③④ B 、②④⑤ C 、②③④ D 、①④⑤3、如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（21，1），下列结论：①ac ＜0；②a+b=0；③4ac-b 2=4a ；④a+b+c ＜0．其中正确结论的个数是（ C ）1\2\3A 、1B 、2C 、3D 、4任课教师学科 版本 年段 辅导类型 上课时间 学生签名数学北师大初三课题二次函数y=a 2x +bx+c 系数符号的确定方法课次教学目标 掌握二次函数中字母 a 、b 、c 三者与图象之间的关系。
教学策略 教学重点、难点：利用图形的性质与特殊性来确定字母a 、b 、c 三者之间的关系。
4、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（B ）A 、ac ＞0B 、方程ax 2+bx+c=0的两根是x 1=-1，x 2=3 C 、2a-b=0 D 、当x ＞0时，y 随x 的增大而减小5、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）的图象如图所示，有下列结论： ①abc ＞0，②2b -4ac ＜0，③a-b+c ＞0，④4a-2b+c ＜0，其中正确结论的个数是（A4 ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、46、（如图所示的二次函数y=ax 2+bx+c 的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b 2-4ac ＞0；（2）c ＞1；（3）2a-b ＜0；（4）a+b+c ＜0．你认为其中错误的有（D2） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、1个7、抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（C ） A 、b 2-4ac ＜0 B 、abc ＜0 C 、 -a2b＜-1 D 、a-b+c ＜08、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b 2-4ac ＞0 ②a ＞0 ③b ＞0 ④c ＞0 ⑤9a+3b+c ＜0，则其中结论正确的个数是（B ）1/2/5 A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个9、已知二次函数y=ax 2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（D ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限 C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限10、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＞0B 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，b 2-4ac ＜0C 、a ＜0，b ＞0，c ＜0，b 2-4ac ＞0D 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，b 2-4ac ＞011、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（B ） A 、ac ＜0 B 、a-b+c ＞0C 、b=-4aD 、关于x 的方程a 2x +bx+c=0的根是x 1=-1，x 2=512、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a ，b ，c 满足（A ）A 、a ＜0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞0 B 、a ＜0，b ＜0，c ＜0，2b -4ac ＞0C 、a ＜0，b ＞0，c ＞0，2b -4ac ＜0D 、a ＞0，b ＜0，c ＞0，2b -4ac ＞013、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（B ） A 、abc ＞0 B 、b ＞a+c C 、2a-b=0 D 、2b -4ac ＜014、已知二次函数y=2ax +bx+c （a ≠0）的图象如图所示，则下列结论： ①ac ＞0；②a-b+c ＜0；③当x ＜0时，y ＜0；④方程2ax +bx+c=0（a ≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（C ） A 、②③ B 、②④ C 、①③ D 、①④15、如图所示为二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象，在下列选项中错误的是（C ） A 、ac ＜0 B 、x ＞1时，y 随x 的增大而增大C 、a+b+c ＞0D 、方程ax 2+bx+c=0的根是1x =-1，2x =316、二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论错误的是（B ） A 、ab ＜0 B 、ac ＜0C 、当x ＜2时，函数值随x 增大而增大；当x ＞2时，函数值随x 增大而减小D 、二次函数y=2ax +bx+c 的图象与x 轴交点的横坐标就是方程2ax +bx+c=0的根17、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则下列结论正确的是（D ）A 、a ＞0B 、c ＜0C 、b 2-4ac ＜0 D 、a+b+c ＞018、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论①a ，b 异号；②当x=1和x=3时，函数值相等； ③4a+b=0；④当y=4时，x 的取值只能为0，结论正确的个数有（ C ）个．1/2/3A 、1B 、2C 、3D 、4三、能力练习1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 l －2－2所示，则a 、b 、c 满足（ ） A ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＜0C ．a ＜0，b ＞0，c ＞0D ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 2.已知二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0）且a ＜0，a －b+c ＞0，则一定有（ ）A ．b 2－4ac ＞0B ．b 2－4ac ＝0C ．b 2－4ac ＜0D ．b 2－4ac ≤03.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图1－2－10，则点（b ，ca）在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．若二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，则ac_____0（“＜”“＞”或“=”）第4题图 5．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图 1－2－14所示，则下列关于a 、b 、c 间的关系判断正确的是（ ） A ．ab ＜0 B 、bc ＜0 C ．a+b ＋c ＞0 D ．a －b 十c ＜0四、知识小结：函数二次函数)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，图像 a>0a<0y0 xy0 x性质（1）抛物线开口向上，并向上无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<a b2-时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x 的增大而增大，简记左减右增； （4）抛物线有最低点，当x=ab2-时，y 有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=ab2-，顶点坐标是 （a b 2-，ab ac 442-）；（3）在对称轴的左侧，即当x<ab2-时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x>ab2-时，y 随x的增大而减小，简记左增右减； （4）抛物线有最高点，当x=ab2-时，y 有最大值，例题．已知抛物线c bx ax y ++=2过三点（－1，－1）、（0，－2）、（1，l ）． （1）求抛物线所对应的二次函数的表达式； （2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）这个函数有最大值还是最小值？ 这个值是多少？五、中考真题回顾： （09佛山）19．（1）请在坐标系中画出二次函数22y x x =-+的大致图象；（2）在同一个坐标系中画出22y x x =-+的图象向上平移两个单位后的图象； （3）直接写出平移后的图象的解析式.注：图中小正方形网格的边长为1.（1）画图（略）注：基本反映图形的特征（如顶点、对称性、变化趋势、平滑）给2分， 满足其中的两至三项给1分，满足一项以下给0分； （2）画图、写解析式（略）注：画图满分2分，同（1）的标准；写解析式2分（无过程不扣分）．（11·佛山）21.如图，已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像经过A （－1，－1）、B （0，2）、C （1，3）； （1）求二次函数的解析式； （2）画出二次函数的图像；【答案】解：（1）根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝－1c ＝2a ＋b ＋c ＝3 ………………2分解得a ＝－1，b ＝2，c ＝2………………4分ab ac y 442-=最小值ab ac y 442-=最大值xy O第19题图xyoABC1所以二次函数的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋2………………5分（2）二次函数的图象如图………………8分 给分要点：顶点、对称、光滑（各1分）（12佛山）22.(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数c bx ax y ++=2的解析式； ①y 随x 变化的部分数值规律如下表：②有序数对()0,1-、()4,1、()0,3满足c bx ax y ++=2； ③已知函数c bx ax y ++=2的图象的一部分（如图）． (2)直接写出二次函数c bx ax y ++=2的三个性质．解析：（1）方法一：由 可得：C=3，0=+-c b a ，4=++c b a ，所以1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y方法二：由②可得：0=+-c b a ，4=++c b a ，039=++c b a ， 解之得：1-=a ，2=b ，C=3，所以二次函数解析式为：322++-=x x y 方法三：由③可得：C=3，0=+-c b a ，12=-ab，解之得：1-=a ，2=b ，C=3， 所以二次函数解析式为：322++-=x x y （三种选其一即可）（2）1、对称轴为1=x ， 2、开口向下 3、与x 轴有2个交点x -1 0 1 2 3 y343xyoABC14、交y轴正半轴考察知识：待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及图像（2013•佛山）24．如图①，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax2+bx+c利用待定系数法求解即可；（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），∴，解得，所以抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，∴阴影部分的面积=2．点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．。
二次函数图像与abc的关系
3
等于0
抛物线会转移到y轴的位置。
二次函数图像与参数c的关系
大于0
二次函数图像上下平移c个单位。
小于0
二次函数图像下移c个单位。
等于0
不会影响抛物线的位置。
二次函数图像与顶点坐标的关系
向上移动
当抛物线向上移动时，顶点的y 坐标会增加。
向下移动
当抛物线向下移动时，顶点的y 坐标会的x坐标会随之变化。
二次函数图像与弦长的关系
纵坐标高度差
弦长
0
2|a|
2|a|
2
4|a|
2√2
6|a|
4
二次函数图像与参数a的关系
大于1
二次函数图像会变得更加扁宽， 而且始终开口向上。
在0和1之间
二次函数图像会变得更加窄高， 而且始终开口向上。
小于0
二次函数图像始终开口向下，而 且会变得更加窄高。
二次函数图像与参数b的关系
1
大于0
参数b控制了抛物线的位置，而且抛物线上下振动的程度。
2
小于0
虽然抛物线的开口方向不变，但会上下反转。
二次函数图像与abc的关 系
二次函数图像是数学中的重要概念。了解它的形状和性质对于学习和掌握二 次函数至关重要。
二次函数图像的形状和位置
形状
二次函数图像可以是开口向上的 抛物线或开口向下的抛物线。
位置
二次函数图像可以沿着x轴或y轴 移动。
宽度
二次函数图像可以被拉宽或压缩。
二次函数图像的平移和伸缩
平移
当二次函数图像沿x轴移动a个单位，则f(x)=a(xh)^2+k，其中(a≠0)。这将导致整个图像移动到左 或右方。当二次函数图像沿y轴移动k个单位， 则f(x)=a(x-h)^2+k，其中(a≠0)。这将导致整个图 像移动到上或下方。
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a 、b 、c及代数式 由抛物线的 决定具体说明a由抛物线的开口方向决定 开口向上⇔a>0开口向下⇔a<o b由对称轴x=－b2a 的位置决定对称轴在y 轴左侧⇔a 、b 同号 对称轴在y 轴右侧⇔a 、b 异号 对称轴就是y 轴⇔b=0c由抛物线与y 轴交点(0,c) 的位置决定 与y 轴交点在正半轴上⇔c>o与y 轴交点在负半轴上⇔c<0 抛物线过原点⇔c=0 b 2-4ac 由抛物线与x 轴交点个 数决定 与x 轴有2个交点⇔∆>o 与x 轴有1个交点⇔∆=o 与x 轴没有交点⇔∆<o 2a-b －b2a 与-1比较 2a+b －b 2a 与1比较 a+b+c 令x=1,瞧纵坐标 a-b+c令x=-1,瞧纵坐标 4a+2b+c 令x=2,瞧纵坐标 4a-2b+c令x=-2,瞧纵坐标几种特殊情况:x=1时,y=a + b + c ;x= -1时,y=a - b + c .当x = 1时,① 若y > 0,则a + b + c >0;② 若y < 时0,则a + b + c < 0 当x = -1时,① 若y > 0,则a - b + c >0;② 若y < 0,则a - b + c < 0.扩:x=2, y=4a + 2b + c ;x= -2, y=4a -2b + c ; x=3, y=9a +3 b + c ;x= -3, y=9a -3b + c 。
反之,给我们相应的二次函数图象,我们可以得到其系数a,b,c 以及它们组合成的一些关系结构(例如对称轴; 判别式……等等)的符号4.(2017四川省广安市)如图所示,抛物线c bx ax y ++=2的顶点为B (﹣1,3),与x 轴的交点A 在点(﹣3,0)与(﹣2,0)之间,以下结论:①042=-ac b ;②a +b +c ＞0;③2a ﹣b =0;④c ﹣a =3 其中正确的有( )A.1B.2C.3D.45.(2017四川省眉山市)若一次函数y =(a +1)x +a 的图象过第一、三、四象限,则二次函数2y ax ax =-( ) A.有最大值4a B.有最大值﹣4a C.有最小值4a D.有最小值﹣4a 1、 (2017贵州遵义第11题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(﹣1,0),对称轴l 如图所示,则下列结论:①abc ＞0;②a ﹣b +c =0;③2a +c ＜0;④a +b ＜0,其中所有正确的结论就是( )A.①③B.②③C.②④D.②③④9、 (2017黑龙江齐齐哈尔第10题)如图,抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)的对称轴为直线2x =-,与x 轴的一个交点在(3,0)-与(4,0)-之间,其部分图象如图所示,则下列结论:①40a b -=;②0c <;③30a c -+>;④242a b at bt ->+(t 为实数);⑤点19(,)2y -,25(,)2y -,31(,)2y -就是该抛物线上的点,则123y y y <<,正确的个数有( )A.4个B.3个C.2个D.1个6.(2017四川省绵阳市)将二次函数2x y =的图象先向下平移1个单位,再向右平移3个单位,得到的图象与一次函数y =2x +b 的图象有公共点,则实数b 的取值范围就是( )A.b ＞8B.b ＞﹣8C.b ≥8D.b ≥﹣82.(2017四川省南充市)二次函数2y ax bx c =++(a 、b 、c 就是常数,且a ≠0)的图象如图所示,下列结论错误的就是( )A.4ac ＜b 2B.abc ＜0C.b +c ＞3aD.a ＜b23、 (2017浙江金华第6题)对于二次函数()212y x =--+就是图象与性质,下列说法正确的就是( ) A.对称轴就是直线1x =,最小值就是2 B.对称轴就是直线1x =,最大值就是2 C 、 对称轴就是直线1x =-,最小值就是2 D.对称轴就是直线1x =-,最大值就是226、 (2017新疆乌鲁木齐第15题)如图,抛物线2y ax bx c =++过点()1,0-,且对称轴为直线1x =,有下列结论:①0abc <;②1030a b c ++>;③抛物线经过点()14,y 与点()23,y -,则12y y >;④无论,,a b c 取何值,抛物线都经过同一个点,0c a ⎛⎫-⎪⎝⎭;⑤20am bm a ++≥,其中所有正确的结论就是 .15、(2017贵州黔东南州第9题)如图,抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =﹣1,给出下列结论: ①b 2=4ac ;②abc ＞0;③a ＞c ;④4a ﹣2b +c ＞0,其中正确的个数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个16、(2017山东烟台第11题)二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示,对称轴就是直线1=x ,下列结论: ①0<ab ;②ac b 42>;③0<++c b a ;④03<+c a 、其中正确的就是( )A.①④B.②④ C 、 ①②③ D.①②③④17、(2017四川泸州第8题)下列曲线中不能表示y 与x 的函数的就是( )A. B. C. D.16、 (2017山东日照第12题)已知抛物线y =ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴为直线x =2,与x 轴的一个交点坐标为(4,0),其部分图象如图所示,下列结论: ①抛物线过原点; ②4a +b +c =0; ③a ﹣b +c ＜0;④抛物线的顶点坐标为(2,b ); ⑤当x ＜2时,y 随x 增大而增大. 其中结论正确的就是( )A.①②③B.③④⑤C.①②④D.①④⑤12、(2017江苏盐城第6题)如图,将函数y =12(x －2)2+1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象,其中点A (1,m ),B (4,n )平移后的对应点分别为点A '、B '.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分),则新图象的函数表达式就是( ) A.y ＝12 (x −2)2−2 B.y ＝12 (x −2)2+7 C.y ＝12 (x −2)2−5 D.y ＝12(x −2)2+4 7、(2017广西贵港第10题)将如图所示的抛物线向右平移1个单位长度,再向上平移3个单位长度后,得到的抛物线解析式就是 ( )A.()211y x =-+ B.()211y x =++ C 、()2211y x =-+ D.()2211y x =++8、(2017贵州安顺第10题)二次函数y =ax 2+bx +c (≠0)的图象如图,给出下列四个结论:①4ac ﹣b 2＜0;②3b +2c＜0;③4a +c ＜2b ;④m (am +b )+b ＜a (m ≠1),其中结论正确的个数就是( )A.1B.2C.3D.44、(2017浙江宁波第10题)抛物线22y x x m(m就是常数)的顶点在( )22A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限1.(2016·山东省滨州市·3分)抛物线y=2x2﹣2x+1与坐标轴的交点个数就是()A.0B.1C.2D.32.(2016·山东省滨州市·3分)在平面直角坐标系中,把一条抛物线先向上平移3个单位长度,然后绕原点选择180°得到抛物线y=x2+5x+6,则原抛物线的解析式就是()A.y=﹣(x﹣)2﹣B.y=﹣(x+)2﹣C.y=﹣(x﹣)2﹣D.y=﹣(x+)2+【点评】本题考查的就是二次函数的图象与几何变换,熟知二次函数的图象旋转及平移的法则就是解答此题的关键.3.(2016广西南宁3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与正比例函数y=x的图象如图所示,则方程ax2+(b﹣)x+c=0(a≠0)的两根之与()A.大于0B.等于0C.小于0D.不能确定4.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能就是()A. B. C. D.5、(2016·福建龙岩·4分)已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示,则|a﹣b+c|+|2a+b|=()A.a+bB.a﹣2bC.a﹣bD.3a10.(2016贵州毕节3分)一次函数y=ax+b(a≠0)与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能就是()A. B. C. D.【11、(2016·浙江省绍兴市·4分)抛物线y=x2+bx+c(其中b,c就是常数)过点A(2,6),且抛物线的对称轴与线段y=0(1≤x≤3)有交点,则c的值不可能就是()A.4B.6C.8D.1012、(2016·湖北随州·3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:(1)4a+b=0;(2)9a+c＞3b;(3)8a+7b+2c＞0;(4)若点A(﹣3,y1)、点B(﹣,y2)、点C(,y3)在该函数图象上,则y1＜y3＜y2;(5)若方程a(x+1)(x﹣5)=﹣3的两根为x1与x2,且x1＜x2,则x1＜﹣1＜5＜x2.其中正确的结论有()A.2个B.3个C.4个D.5个13、(2016·四川南充)抛物线y=x2+2x+3的对称轴就是()A.直线x=1B.直线x=﹣1C.直线x=﹣2D.直线x=214.(2016·四川泸州)已知二次函数y=ax2﹣bx﹣2(a≠0)的图象的顶点在第四象限,且过点(﹣1,0),当a ﹣b为整数时,ab的值为()A.或1B.或1C.或D.或15.(2016·四川攀枝花)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a＞0)图象的顶点为D,其图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣1与3,则下列结论正确的就是()A.2a﹣b=0B.a+b+c＞0C.3a﹣c=0D.当a=时,△ABD就是等腰直角三角形16、(2016·黑龙江齐齐哈尔·3分)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac＜b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根就是x1=﹣1,x2=3;③3a+c＞0④当y＞0时,x的取值范围就是﹣1≤x＜3⑤当x＜0时,y随x增大而增大其中结论正确的个数就是()A.4个B.3个C.2个D.1个17.(2016·湖北黄石·3分)以x为自变量的二次函数y=x2﹣2(b﹣2)x+b2﹣1的图象不经过第三象限,则实数b的取值范围就是()A.b≥B.b≥1或b≤﹣1C.b≥2D.1≤b≤218.(2016·湖北荆门·3分)若二次函数y=x2+mx的对称轴就是x=3,则关于x的方程x2+mx=7的解为()A.x1=0,x2=6B.x1=1,x2=7C.x1=1,x2=﹣7D.x1=﹣1,x2=719、(2016·青海西宁·3分)如图,在△ABC中,∠B=90°,tan∠C=,AB=6cm.动点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动,动点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动.若P,Q两点分别从A,B两点同时出发,在运动过程中,△PBQ的最大面积就是()A.18cm2B.12cm2C.9cm2D.3cm221、(2016·四川眉山·3分)若抛物线y=x2﹣2x+3不动,将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移一个单位,再沿铅直方向向上平移三个单位,则原抛物线图象的解析式应变为()A.y=(x﹣2)2+3B.y=(x﹣2)2+5C.y=x2﹣1D.y=x2+44.(2016·四川南充)已知抛物线y=ax2+bx+c开口向上且经过点(1,1),双曲线y=经过点(a,bc),给出下列结论:①bc＞0;②b+c＞0;③b,c就是关于x的一元二次方程x2+(a﹣1)x+=0的两个实数根;④a﹣b﹣c≥3.其中正确结论就是(填写序号)5.(2016·四川泸州)若二次函数y=2x2﹣4x﹣1的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,则+的值为7、(2016·湖北荆州·3分)若函数y=(a﹣1)x2﹣4x+2a的图象与x轴有且只有一个交点,则a的值为8、(2016·辽宁丹东·10分)某片果园有果树80棵,现准备多种一些果树提高果园产量,但就是如果多种树,那么树之间的距离与每棵树所受光照就会减少,单棵树的产量随之降低.若该果园每棵果树产果y(千克),增种果树x(棵),它们之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式;(2)在投入成本最低的情况下,增种果树多少棵时,果园可以收获果实6750千克？(3)当增种果树多少棵时,果园的总产量w(千克)最大？最大产量就是多少？12.(2016·四川内江)(12分)某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边周长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图14所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x 米. (1)若苗圃园的面积为72平方米,求x ;(2)若平行于墙的一边长不小于8米,这个苗圃园的面积有最大值与最小值不？如果有,求出最大值与最小值;如果没有,请说明理由;(3)当这个苗圃园的面积不小于100平方米时,直接写出x 的取值范围.16、(2016·黑龙江龙东·6分)如图,二次函数y =(x +2)2+m 的图象与y 轴交于点C ,点B 在抛物线上,且与点C 关于抛物线的对称轴对称,已知一次函数y =kx +b 的图象经过该二次函数图象上的点A (﹣1,0)及点B. (1)求二次函数与一次函数的解析式;(2)根据图象,写出满足(x +2)2+m ≥kx +b 的x 的取值范围.21、(2016·内蒙古包头)一幅长20cm 、宽12cm 的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比为3:2.设竖彩条的宽度为xcm ,图案中三条彩条所占面积为ycm 2. (1)求y 与x 之间的函数关系式;(2)若图案中三条彩条所占面积就是图案面积的,求横、竖彩条的宽度.24、 (2016·山东潍坊)旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用,假定每辆观光车一天内最多只能出租一次,且每辆车的日租金x (元)就是5的倍数.发现每天的营运规律如下:当x 不超过100元时,观光车能全部租出;当x 超过100元时,每辆车的日租金每增加5元,租出去的观光车就会减少1辆.已知所有观光车每天的管理费就是1100元. (1)优惠活动期间,为使观光车全部租出且每天的净收入为正,则每辆车的日租金至少应为多少元？(注:净收入=租车收入﹣管理费)(2)当每辆车的日租金为多少元时,每天的净收入最多？18m 苗圃园图14。