区间dp知识点总结

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区间动态规划

区间动态规划区间 DP是指在⼀段区间上进⾏的⼀系列动态规划。

对于区间 DP 这⼀类问题，我们需要计算区间 [1,n] 的答案，通常⽤⼀个⼆维数组 dp 表⽰，其中 dp[x][y] 表⽰区间 [x,y]。

有些题⽬，dp[l][r] 由 dp[l][r−1] 与 dp[l+1][r] 推得；也有些题⽬，我们需要枚举区间 [l,r] 内的中间点，由两个⼦问题合并得到，也可以说 dp[l][r] 由 dp[l][k] 与 dp[k+1][r] 推得，其中 l≤k<r。

对于长度为 n 的区间 DP，我们可以先计算 [1,1],[2,2]…[n,n] 的答案，再计算 [1,2],[2,3]…[n−1,n]，以此类推，直到得到原问题的答案。

⼀道经典例题：NOI 1995 ⽯⼦合并题⽬描述在⼀个圆形操场的四周摆放N堆⽯⼦,现要将⽯⼦有次序地合并成⼀堆.规定每次只能选相邻的2堆合并成新的⼀堆，并将新的⼀堆的⽯⼦数，记为该次合并的得分。

试设计出1个算法,计算出将N堆⽯⼦合并成1堆的最⼩得分和最⼤得分.输⼊输出格式输⼊格式：数据的第1⾏试正整数N,1≤N≤100,表⽰有N堆⽯⼦.第2⾏有N个数,分别表⽰每堆⽯⼦的个数.输出格式：输出共2⾏,第1⾏为最⼩得分,第2⾏为最⼤得分.输⼊输出样例输⼊样例#1：44 5 9 4输出样例#1：4354分析我们利⽤动态规划的思想，将问题不断分为⼦问题，为了求出最终最⼩的代价，我们只要求两堆的最⼩代价，再求出三堆的最⼩代价，以此类推得出最终的最⼩代价。

我们⽤ dp[i][j] 来表⽰合并 i 到 j 区间⾥的⽯⼦的最⼩代价。

然后我们写出下⾯的公式：dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j])+sum[j]−sum[i−1]显然通过这个式⼦，我们可以按区间长度从⼩到⼤的顺序进⾏枚举来不断让⽯⼦进⾏合并，最终就能获得合并成⼀堆⽯⼦的最⼩代价。

1 #include <bits/stdc++.h>2using namespace std;3const int MAXN = 500 + 10;4int n, stone[2*MAXN], mi[2*MAXN][2*MAXN], mx[2*MAXN][2*MAXN], s[2*MAXN];5int main()6 {7 cin >> n;8for (int i = 1; i <= n; i++)9 cin >> stone[i], stone[i+n] = stone[i];10for (int i = 1; i <= 2*n; i++)11 s[i] = s[i-1] + stone[i];12for (int i = 2*n-1; i >= 1; i--)13 {14for (int j = i+1; j < n+i; j++)15 {16 mi[i][j] = 0x3F3F3F3F;17for (int k = i; k < j; k++)18 {19 mi[i][j] = min(mi[i][j], mi[i][k]+mi[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);20 mx[i][j] = max(mx[i][j], mx[i][k]+mx[k+1][j]+s[j]-s[i-1]);21 }22 }23 }24int ans1 = 0x3F3F3F3f, ans2 = 0;25for (int i = 1; i <= n; i++)26 ans1 = min(ans1, mi[i][i+n-1]), ans2 = max(ans2,mx[i][i+n-1]);27 cout << ans1 << endl << ans2 << endl;28return0;29 }。

dp入门

dp[j] = max(dp[j], dp[j - c[i]] + v[i]);
}
}
i\j
j=0
i=0
0
j=1 j=2 j=3 j=4 j=5 j=6
0
00000i=10
3
6
9
12 15 18
i=2
0
3
6
10
13 16 20
17
多重背包
有n种物品，每种最多可以取x[i]个，每个物品有大小和价值，问总大小不超过m的情况下能取到最大的价值是多少代码如下： for (int i = 1; i <= n; ++i) {
} } 注意此时j一定是倒序产生
16
完全背包
有n种物品，每种最多可以取无数个，每个物品有大小和价值，问总大小不超过m的情况下能取到最大的价值是多少
01背包中第二维改成正向即可：
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
for (int j = c[i]; j <= m; ++j) {
}
10
数字三角形
线性DP解法 for(int i=m-1;i>0;i--) {
for(int j=0;j<=i;j++) { a[i-1][j]+=max(a[i][j],a[i][j+1]);
} }
11
数字三角形
暴力递归搜索解法： int dfs(int i, int j) {
if (i == n) return a[i][j]; return max(dfs(i+1,j), dfs(i+1,j+1)) + a[i][j]; }

区间知识点总结

区间知识点总结一、区间的概念区间是数轴上的一段连续的数的集合，通常用两个数来表示，这两个数分别称为区间的端点，通常含左不含右，即端点本身不属于区间。

区间又可以分为闭区间和开区间。

闭区间：包含端点的区间称为闭区间，用[ ]表示，例如[1, 5]表示从1到5的区间，包含1和5；开区间：不包含端点的区间称为开区间，用( )表示，例如(1, 5)表示从1到5的区间，不包含1和5。

二、区间的表示方法1. 集合表示法：用{}来表示，例如区间(3, 7) 可以写成{ x | 3 < x < 7}，表示x是大于3小于7的实数；2. 不等式表示法：用不等式符号来表示，例如对于闭区间[3, 7] 可以表示为3 ≤ x ≤ 7；3. 坐标表示法：对于二维平面上的区间，可以用坐标轴上的两个点坐标来表示，例如(3, 7)表示x轴上从3到7的区间。

三、区间的运算1. 包含关系：一个区间包含另一个区间的情况可以分为以下几种情况：- 若两个区间的交集为空，则称它们是不相交的；- 若两个区间的交集不为空，且其中一个区间的端点属于另一个区间，则称它们是相交的； - 若一个区间包含另一个区间的所有元素，则称后者是前者的子集。

2. 并集和交集：- 两个区间的并集就是包含这两个区间的所有元素；- 两个区间的交集就是同时属于这两个区间的所有元素。

3. 补集：对于给定的全集U，U中减去区间A中的所有元素所得到的区间称为A的补集，用U-A表示。

四、区间的性质1. 区间的长度：对于区间[a, b]，其长度等于b-a；2. 区间的包含关系：如果区间A包含区间B，那么A的端点肯定在B内，即A的左端点小于等于B的左端点，A的右端点大于等于B的右端点；3. 无穷区间：当一个区间的端点为无穷大时，则称该区间为无穷区间，例如[1, +∞)表示从1开始一直到正无穷的区间。

五、常用的区间集合1. 实数集合R：实数集合R是指所有的实数所构成的集合，通常用R表示；2. 自然数集合N：自然数集合N是指大于0的整数所构成的集合，通常用N表示；3. 整数集合Z：整数集合Z是指包括正整数、零和负整数所构成的集合，通常用Z表示；4. 分数集合Q：分数集合Q是指所有可表示为分数形式的实数所构成的集合，通常用Q表示；5. 有理数集合：有理数是指所有可以表示为有理分数形式的实数，通常用Q表示；6. 无理数集合：无理数是指不能表示为有理分数形式的实数。

新高一数学区间知识点汇总

新高一数学区间知识点汇总数学是一门需要逻辑思维和推理能力的学科，而区间则是数学中一个重要的概念。

新高一学生将接触到更多深入的数学知识，包括区间。

本文将汇总新高一数学中与区间相关的知识点，帮助学生更好地理解和掌握这一内容。

一、区间的定义区间是数学中一个基础而重要的概念。

在数轴上，一个区间可以表示为一个连续的线段，其中包含了无限个实数。

在数学中，常见的区间有闭区间和开区间两种形式。

闭区间包含了区间的两个端点，用方括号表示；开区间则不包含端点，用圆括号表示。

例如，[a, b]表示一个闭区间，其中a是左端点，b是右端点；(a, b)表示一个开区间，不包含a和b。

二、区间的运算除了基本的区间定义，我们还需要了解区间的运算。

常见的区间运算有并集、交集和补集。

1. 并集：两个区间的并集是这两个区间中所有元素的集合。

例如，[a, b] ∪ [c, d]表示区间[a, b]和区间[c, d]的并集，包含了[a, b]和[c, d]中的所有元素。

2. 交集：两个区间的交集是这两个区间中共有的元素组成的集合。

例如，[a, b] ∩ [c, d]表示区间[a, b]和区间[c, d]的交集，包含了[a, b]和[c,d]中共有的元素。

3. 补集：一个区间的补集是指该区间在全集中的补集，即全集中不属于该区间的元素所组成的集合。

例如，[a, b]的补集是指不属于[a, b]的所有元素所组成的集合。

三、不等式表示的区间除了用区间表示法表示区间，我们还可以使用不等式表示法表示区间。

1. 大于或等于：表示一个数大于或等于某个数。

例如，x ≥ a表示x 大于或等于a。

2. 小于或等于：表示一个数小于或等于某个数。

例如，x ≤ b表示x 小于或等于b。

3. 大于：表示一个数大于某个数。

例如，x > a表示x大于a。

4. 小于：表示一个数小于某个数。

例如，x < b表示x小于b。

通过不等式表示法，我们可以表示出一个数的取值范围，从而描述区间。

Dp状态设计与方程总结

Dp状态设计与方程总结1. 不完全状态记录 (2)<1>青蛙过河问题： (2)<2>利用区间dp (3)2.背包类问题 (4)<1> 0-1背包，经典问题 (4)<2>无限背包，经典问题 (4)<3>判定性背包问题 (4)<4>带附属关系的背包问题 (5)<5> + -1背包问题 (5)<6>双背包求最优值 (7)<7>构造三角形问题 (9)<8>带上下界限制的背包问题 (10)3.线性的动态规划问题 (13)<1>积木游戏问题 (13)<2>决斗（判定性问题） (13)<3>圆的最大多边形问题 (14)<4>统计单词个数问题 (14)<5>棋盘分割 (14)<6>日程安排问题 (15)<7>最小逼近问题(求出两数之比最接近某数/两数之和等于某数等等) (15)<8>方块消除游戏(某区间可以连续消去求最大效益) (15)<9>资源分配问题 (15)<10>数字三角形问题 (16)<11>漂亮的打印 (16)<12>邮局问题与构造答案 (17)<12>最高积木问题 (19)<13>两段连续和最大 (19)<14>2次幂和问题 (20)<15>N个数的最大M段子段和 (20)<16>交叉最大数问题 (20)4.判定性问题的dp(如判定整除、判定可达性等) (22)<1>模K问题的dp (22)<2>特殊的模K问题，求最大(最小)模K的数 (22)<3>变换数问题 (24)5.单调性优化的动态规划 (25)<1>1-SUM问题 (25)<2>2-SUM问题 (26)<3>序列划分问题(单调队列优化) (27)6.剖分问题(多边形剖分/石子合并/圆的剖分/乘积最大) (28)<1>凸多边形的三角剖分问题 (28)<2>乘积最大问题 (28)<3>多边形游戏(多边形边上是操作符,顶点有权值) (29)<4>石子合并(N^3/N^2/NLogN各种优化) (29)7.贪心的动态规划 (31)8.状态dp (33)<1>牛仔射击问题(博弈类) (33)<2>哈密顿路径的状态dp (35)<3>两支点天平平衡问题 (35)<4>一个有向图的最接近二部图 (36)9.树型dp (38)<1>完美服务器问题(每个节点有3种状态) (38)<2>小胖守皇宫问题 (40)<4>树中漫游问题 (41)<5>树上的博弈 (42)<6>树的最大独立集问题 (42)<7>树的最大平衡值问题 (42)<8>树的限制节点数坎边问题 (43)1.不完全状态记录<1>青蛙过河问题：由于河的长度十分长，达到10^9，所以不可能用dp[i]表示在坐标i时踩到的最少石头数，需要换种状态记录方式来压缩。

括号序列（区间dp）

括号序列（区间dp）括号序列（区间dp）输⼊⼀个长度不超过100的，由"("，")"，"["，")"组成的序列，请添加尽量少的括号，得到⼀个规则的括号序列。

如有多解，输出任意⼀个序列即可。

括号序列是这样定义⽽成的：空序列是括号序列如果S是括号序列，那么(S)和[S]也是正规括号序列如果A和B都是正规括号序列，那么AB也是正规括号序列。

所以，只要⼀个括号序列不是空序列，我们⼀定可以把它从两端剥开，或者把它划分成两个⼩括号序列。

设f[i][j]表⽰字串s[i][j]⾄少要添加⼏个括号，那么f[i][j]⼀定可以转移到f[i][k]+f[k][j]。

如果s[i]=s[j]，那么也可以转移到f[i+1][j-1]。

由此可见，区间dp的必要条件是划分后解会不同。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;const int maxn=105;int T, f[maxn][maxn], n;char s[maxn];//函数能使语义更清晰bool match(int x, int y){ return s[y]-s[x]>0&&s[y]-s[x]<=2; }void print(int l, int r){ //[l,r]if (l>r) return;if (l==r){if (s[l]=='('||s[l]==')') printf("()");else printf("[]"); return; }int ans=f[l][r];if (match(l, r)&&f[l+1][r-1]==ans){putchar(s[l]); print(l+1, r-1); putchar(s[r]);return; }for (int k=l; k<r; ++k)if (f[l][k]+f[k+1][r]==ans){print(l, k); print(k+1, r); return; }}int main(){scanf("%d", &T);while (T--){fgets(s, maxn, stdin);fgets(s, maxn, stdin);n=strlen(s)-1;for (int i=0; i<n; ++i) f[i+1][i]=0, f[i][i]=1;for (int i=n-2; i>=0; --i)for (int j=i+1; j<n; ++j){f[i][j]=n;if (match(i, j)) f[i][j]=f[i+1][j-1]; //[i,j]for (int k=i; k<j; ++k)f[i][j]=min(f[i][j], f[i][k]+f[k+1][j]);}print(0, n-1); puts("");}return 0; //忘记return 0了！！}Processing math: 0%。

区间的知识点总结

区间的知识点总结区间是数学中重要的概念，它是一段连续的数轴上的某些数的集合。

在数学分析、代数、几何以及其他数学领域中，区间都有着重要的应用。

本文将从区间的定义、性质、加法、乘法、补集等方面进行详细的总结。

一、区间的定义区间的定义是指在数轴上，某一段连续的区域所包含的所有实数。

在数学中，根据区间的长度和端点的性质，区间可以被分为以下几种类型：1. 闭区间：包含了区间的两个端点，用[a, b]表示，表示所有大于等于a且小于等于b的实数。

2. 开区间：不包含区间的两个端点，用(a, b)表示，表示所有大于a且小于b的实数。

3. 半开区间：一个端点包含在区间内，一个端点不包含在区间内，如[a, b)或(a, b]。

4. 无界区间：包含正无穷或负无穷的区间，如[a, +∞)或(-∞, b)。

二、区间的性质区间的性质是指对于区间中的元素，其满足的一些基本条件和规律。

区间的性质主要包括以下几点：1. 存在性：任意两个实数a、b，都可以构成一个区间。

2. 传递性：如果x属于区间I，且区间I包含在区间J中，则x也属于区间J。

3. 交集和并集：区间之间可以进行交集和并集的运算，得到新的区间。

4. 包含关系：对于两个区间，可以判断它们之间的包含关系。

三、区间的加法和乘法在数学运算中，区间之间存在着加法和乘法的运算规则。

具体来说，对于相同类型的区间，可以进行如下的加法和乘法运算：1. 加法：对于[a, b]和[c, d]两个闭区间，在数轴上就是两个区间[a, b]和[c, d]之间的并集。

2. 乘法：对于[a, b]和[c, d]两个闭区间，在数轴上就是两个区间[a, b]和[c, d]之间的交集。

这些运算规则对于区间之间进行运算提供了便利，使得我们可以在数学分析、代数等领域更方便地进行计算和推导。

四、区间的补集区间的补集是指给定一个区间，找出其对应的补集。

在数学中，补集是指和原集合不相交的所有元素的集合。

区间的补集可以通过以下几种方式给出：1. 对于闭区间[a, b]，其补集为两个开区间(-∞, a)和(b, +∞)的并集。

区间dp

存储输入的数据，有
：

#include <iostream> using namespace std; int a, b; int q[101][101], p[101][101]; int DBS(int x, int y){ int t = 1; if(p[x][y]) return p[x][y]; if(q[x][y] > q[x-1][y] && x <= a && y <= b && x > 1 && y >= 1 && t < DBS(x-1, y) + 1){ t = DBS(x-1, y) + 1;} if(q[x][y] > q[x+1][y] && x < a && y <= b && x >= 1 && y >= 1 && t < DBS(x+1, y) + 1){ t = DBS(x+1, y) + 1;} if(q[x][y] > q[x][y+1] && x <= a && y < b && x >= 1 && y >= 1 && t < DBS(x, y+1) + 1){ t = DBS(x, y+1) + 1;} if(q[x][y] > q[x][y-1] && x <= a && y <= b && x >= 1 && y > 1 && t < DBS(x, y-1) + 1){ t = DBS(x, y-1) + 1;} p[x][y] = t; return t; } int main(){ int i, j; while (cin >> a >> b){ for(i=1; i<=a; i++){ for(j=1; j<=b; j++) { cin >> q[i][j]; p[i][j] = 0; } } int t = -1; for(i=1; i<=a; i++) { for(j=1; j<=b; j++) { if(DBS(i, j) > t) t = DBS(i, j); } } cout << t << endl; }

Leetcode算法题总结之区间dp

Leetcode算法题总结之区间dp Leetcode算法题总结之区间dp1. 312 戳⽓球class Solution {public:int maxCoins(vector<int>& nums) {nums.insert(nums.begin(), 1);nums.push_back(1);int size = nums.size();vector<vector<int>> dp(size, vector<int>(size, 0));dp[0][0] = 1;for(int i = size - 2; i >= 0; i--){for(int j = i + 2; j < size; j ++){for(int k = i + 1; k < j; k ++){dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + nums[i] * nums[j] * nums[k] );}}}return dp[0][size-1];}};2. 1547 切棍⼦的最⼩成本class Solution {public:int minCost(int n, vector<int>& cuts) {cuts.push_back(0);cuts.push_back(n);sort(cuts.begin(), cuts.end());int size = cuts.size();vector<vector<int>> dp(size, vector<int>(size, 0x3f3f3f3f));dp[0][0] = 0;for(int i = 1; i < size; i++){dp[i][i] = 0; dp[i-1][i] = 0;}for(int i = size - 2; i >= 0; i--){for(int j = i + 2; j < size; j++){for(int k = i + 1; k < j; k++){dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k][j] + cuts[j]-cuts[i]);}}}return dp[0][size-1];}};3. 1000 合并⽯头的最低成本class Solution {public:int mergeStones(vector<int>& stones, int K) {int size = stones.size();if(size == 1) return 0;if((size - 1) % (K - 1)) return -1;vector<int> sums(size+1, 0);vector<vector<int>> dp(size, vector<int>(size, 0));sums[1] = stones[0];for(int i = 2; i <= size; i++)sums[i] = sums[i-1] + stones[i-1];for(int i = size - K + 1; i >= 0; i--){for(int j = i + K - 1; j < size; j++){dp[i][j] = 0x3f3f3f3f;for(int k = i; k < j; k += (K-1))dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j]);if((j - i) % (K - 1) == 0) dp[i][j] += sums[j+1] - sums[i];}}return dp[0][size - 1];}};4. 813 最⼤平均值和的分组class Solution {public:double largestSumOfAverages(vector<int>& A, int K) {int size = A.size();vector<vector<double>> dp(size+1, vector<double>(K+1, 0));vector<int> sums(size + 1, 0);for(int i = 1; i <= size; i ++){sums[i] = sums[i-1] + A[i-1];dp[i][1] = sums[i] * 1.0 / i;}for(int k = 2; k <= K; k ++){for(int i = k; i <= size; i ++){for(int j = k-1; j < i; j++){dp[i][k] = max(dp[i][k], dp[j][k-1] + (sums[i] - sums[j]) * 1.0 / (i - j)); }}}return dp[size][K];}};5. 647 回⽂⼦串class Solution {public:bool dp[1000][1000];int countSubstrings(string s) {int size = s.size();dp[0][0] = true;for(int i = 1; i < size; i++){dp[i][i] = true;if(s[i-1] == s[i]){dp[i-1][i] = true;}}for(int len = 2; len < size; len ++){for(int i = 0; i < size - len; i++){int j = i + len;dp[i][j] = dp[i+1][j-1] && s[i] == s[j];}}int sum = 0; //⽤ accumulate 函数计算总和for(const auto & v : dp)sum = accumulate(v, v + size, sum);return sum;}};6. 730 统计不同回⽂⼦序列class Solution {public:int dp[1000][1000];int countPalindromicSubsequences(string S) {int size = S.size();dp[0][0] = 1;for(int i = 1; i < size; i++){dp[i][i] = 1;dp[i-1][i] = 2;}for(int len = 2; len < size; len++){for(int i = 0; i < size - len; i ++){int j = i + len;if(S[i] != S[j])dp[i][j] = dp[i+1][j] + dp[i][j-1] - dp[i+1][j-1];else{dp[i][j] = 2 * dp[i+1][j-1];int left = i + 1, right = j - 1;while(left <= right && S[left] != S[i]) left ++;while(left <= right && S[right] != S[i]) right --;if(left == right) dp[i][j] += 1;else if(left > right) dp[i][j] += 2;elsedp[i][j] -= dp[left+1][right-1];}dp[i][j] = dp[i][j] < 0 ? dp[i][j] + 1000000007 : dp[i][j] % 1000000007;}}return dp[0][size-1];}};7. 87 扰乱字符串class Solution {public:bool dp[100][100][101];bool isScramble(string s1, string s2) {int size = s1.size();// vector<vector<vector<bool>>> dp(size, vector<vector<bool>>(size, vector<bool>(size+1, false))); for(int i = 0; i < size; i++)for(int j = 0; j < size; j++)dp[i][j][1] = (s1[i] == s2[j]);for(int len = 2; len <= size; len++){for(int i = 0; i <= size - len; i++){for(int j = 0; j <= size-len; j++){for(int k = 1; !dp[i][j][len] && k < len; k ++){dp[i][j][len] = (dp[i][j][k] && dp[i+k][j+k][len-k]) || (dp[i][j+len-k][k] && dp[i+k][j][len-k]);// if(dp[i][j][len]) break;}}}}return dp[0][0][size];}};8. 5 最长回⽂串class Solution {public:bool dp[1001][1001];string longestPalindrome(string s) {int size = s.size();string res = s.substr(0,1);dp[0][0] = true;// for(int i = 1; i < size; i++){// dp[i][i] = true;// dp[i-1][i] = (s[i-1] == s[i]);// if(dp[i-1][i]) res = s.substr(i-1, 2);// }for(int len = 0; len < s.size(); len++){for(int start = 0; start < s.size() - len; start ++){int end = start + len;if(len == 0) dp[start][end] = 1;else if(len == 1) dp[start][end] = (s[start] == s[end]);else dp[start][end] = (dp[start+1][end-1] && (s[start] == s[end])); if(dp[start][end] && len + 1 > res.size())res = s.substr(start, len + 1);}}return res;}};9. 516 最长回⽂⼦序列class Solution {public:int dp[1000][1000];int longestPalindromeSubseq(string s) {int size = s.size();for(int i = size - 1; i >= 0; i--){dp[i][i] = 1;for(int j = i + 1; j < size; j++){if(s[i] == s[j]) dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;else dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-1]);}}return dp[0][size-1];}};10. 1246 删除回⽂⼦数组class Solution {public:int dp[100][100];int minimumMoves(vector<int>& arr) {memset(dp, 0x3f3f3f3f, sizeof(dp));int size = arr.size();dp[0][0] = 1;for(int i = 1; i < size; i++){dp[i][i] = 1;dp[i-1][i] = (arr[i-1] == arr[i] ? 1 : 2);}// for(int len = 2; len < size; len++){// for(int i = 0; i < size - len; i++){// int j = i + len;// for(int k = i; k < j; k++){// dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j]);// }// if(arr[i] == arr[j]) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][j-1]);// }// }for(int i = size - 2; i >= 0; i--){for(int j = i + 1; j < size; j++){for(int k = i; k < j; k++)dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i][k] + dp[k+1][j]);if(arr[i] == arr[j]) dp[i][j] = min(dp[i][j], dp[i+1][j-1]); }}return dp[0][size-1];}};。

NOIP的DP总结之DP类型

代码：
procedure MultiplePack(cost,weight,amount)
if cost*amount>=V
CompletePack(cost,weight)
return
integer k=1
while k<amount
ZeroOnePack(k*cost,k*weight)
amount=amount-k
f[j*v+k]:=b[l]+j*w; //用队列头的值更新f[j*v+k]
end;
end;
end;
writeln(f[m]);
end.
题目：砝码秤重，tyvj1086，zoj2156，poj2392，hdu1085
Poj1014，divide（见dp2）
二维费用背包
就是限制条件多了一个，变成了二维容量，从而状态多了一维而已。
题目：hdu3236，打包（见dpset）poj2184
分组背包
有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。这些物品被划分为若干组，每组中的物品互相冲突，最多选一件。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。
这个问题变成了每组物品有若干种策略：是选择本组的某一件，还是一件都不选。也就是说设f[k][v]表示前k组物品花费费用v能取得的最大权值，则有:f[k][v]
for i:=1 to n do
begin
read(v,w,c); //读入当前物品：v为物品体积、w为物品价值、c为物品可用次数
if m div v<c k:=0 to v-1 do //把所有的体积按除以v的余数划分为0~v-1

力扣位运算区间dp

位运算是二进制数的一种操作，主要包括一元操作如取反(!)、按位或(||)、按位异或(^)、按位与(&&)等，以及二元操作如移位等。

力扣（LeetCode）是一个在线编程题目平台，DP （动态规划）是一种常用的算法思想，用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。

区间DP则是动态规划中的一种特殊类型，主要是处理数组的区间问题。

例如，"LeetCode 300. 最长上升子序列(LIS)" 就是典型的线性DP问题。

再如"LeetCode 354. 俄罗斯套娃信封问题" 则隐晦地考察了LIS，也属于区间DP的范畴。

而"LeetCode 338. 比特位计数"则是考察了位运算的应用。

如何应用位运算于区间DP，需要具体问题具体分析。

一种可能的方式是利用位运算进行状态压缩，降低DP的时间复杂度。

总的来说，理解和掌握位运算以及DP的基本概念和技巧，对于解决力扣上的问题会有很大的帮助。

动态规划 —— 区间 DP

【概述】区间型动态规划，又称为合并类动态规划，是线性动态规划的扩展，它在分阶段地划分问题时，与阶段中元素出现的顺序和由前一阶段的区间中哪些元素合并而来有很大的关系。

【思想】区间 DP 实质上就是在一个区间上进行的动态规划，不仅要满足 DP 问题的最优子结构，还要符合在区间上操作的特点。

其主要思想就是在小区间进行 DP 得到最优解，然后再利用小区间的最优解合并求大区间的最优解。

往往会枚举区间，将区间分成左右两部分，再求出左右区间进行合并操作。

这样一来，如果要得知一个大区间的情况，由于它必定是由从多个长度不一的小区间转移而来，那么可以通过求得多个小区间的情况，从而合并信息，得到大区间。

即：已知区间长度为 len-1 的所有状态，然后可以通过小于 len 的状态转移到区间长度为 len 的状态，一般是在外层循环遍历 len，内层循环遍历起点来解决。

for k:=1 to n-1 do //区间长度for i:=1 to n-k do //区间起点for j:=i to i+k-1 do //区间中任意点dp[i,i+k]:=max{dp[i,j] + dp[j+1,i+k] + a[i,j] + a[j+1,i+k]};状态转移方程：寻找区间 dp[i,i+k] 的一种合并方式 dp[i,j] + dp[j+1,i+k]，使得其值最大或最小区间长度 k 必须要放到第一层循环，来保证方程中状态 dp[i,j]、dp[j+1,i+k] 值在 dp[i,i+k] 之前就已计算出来其中 a[i,j]+a[j+1,i+k] 可以灵活多变，其指的是合并区间时产生的附加值【模板】区间 DP 中常见的题型，其基本都可以按照以下的套路来解决，只是不同的题设对应的状态转移方程不同。

此外，石子合并问题是区间 DP 中的经典模型，具体内容见：石子合并三讲int dp[N][N];for(int i=1;i<=n;i++)dp[i][i]=初始值for(int len=2;len<=n;len++){ //区间长度for(int i=1;i<=n;i++){ //枚举起点int j=i+len-1; //区间终点if(j>n) //越界结束break;for(int k=i;k<j;k++) //枚举分割点，构造状态转移方程dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]);}}【例题】1.简单区间 DP1. Multiplication Puzzle（POJ-1651）：点击这里2. 传球游戏（洛谷-P1057）：点击这里3. 释放囚犯（洛谷-P1622）：点击这里4. Halloween Costumes（LightOJ-1422）：点击这里2.石子合并1. 合并石子（信息学奥赛一本通-T1274）(直线合并求最大)：点击这里2. 石子合并问题--直线版（Hrbust-1818）(直线合并求最小)：点击这里3. 石子合并（洛谷-P1880）(环形合并)：点击这里4. 能量项链（NOIP-2006 提高组）(环形合并)：点击这里3.其他1. Running（POJ-3661）(分治+区间DP)：点击这里2. You Are the One（HDU-4283）(前缀和+区间DP)：点击这里3. String painter（HDU-2476）(线性DP+区间DP)：点击这里4. Cheapest Palindrome（POJ-3280）(递推+区间DP)：点击这里5. Brackets（POJ-2955）(匹配个数+区间DP)：点击这里6. Brackets Sequence（POJ-1141）(递归输出+区间DP)：点击这里7. Palindrome subsequence（HDU-4632）(回文串子序列)：点击这里8. Two Rabbits（HDU-4757）(非连续最长回文子序列)：点击这里。

区间DP（超详细！！！）

区间DP（超详细）⼀、问题给定长为n的序列a[i]，每次可以将连续⼀段回⽂序列消去，消去后左右两边会接到⼀起，求最少消⼏次能消完整个序列，n≤500。

f[i][j]表⽰消去区间[i,j]需要的最少次数。

则;若a[i]=a[j]，则还有。

这⾥实际上是以区间长度为阶段的，这种DP我们通常称为区间DP。

区间DP的做法较为固定，即枚举区间长度，再枚举左端点，之后枚举区间的断点进⾏转移。

⼆、概念区间类型动态规划是线性动态规划的拓展，它在分阶段划分问题时，与阶段中元素出现的顺序和由前⼀阶段的哪些元素合并⽽来有很⼤的关系。

（例：f[i][j]=f[i][k]+f[k+1][j]）区间类动态规划的特点：合并：即将两个或多个部分进⾏整合。

特征：能将问题分解成为两两合并的形式。

求解：对整个问题设最优值，枚举合并点，将问题分解成为左右两个部分，最后将左右两个部分的最优值进⾏合并得到原问题的最优值。

三、例题【例题⼀】⽯⼦合并：【问题描述】将n(1≤n≤200)堆⽯⼦绕圆形操场摆放，现要将⽯⼦有次序地合并成⼀堆。

规定每次只能选相邻的两堆⽯⼦合并成新的⼀堆，并将新的⼀堆的⽯⼦数，记为该次合并的得分。

(1)选择⼀种合并⽯⼦的⽅案，使得做n-1次合并，得分的总和最⼩。

(2)选择⼀种合并⽯⼦的⽅案，使得做n-1次合并，得分的总和最⼤。

【样例输⼊】44 5 9 4【样例输出】4354贪⼼解法：贪⼼共62分☝正解共61分☟【思路点拨】⽆环正解：对应到动态规划中,就是两个长度较⼩的区间上的信息向⼀个更长的区间发⽣了转移,划分点k就是转移的决策，区间长度len就是DP的阶段。

根据动态规划“选择最⼩的能覆盖状态空间的维度集合”的思想,可以只⽤左、右端点表⽰DP的状态。

sum[i]：从第1堆到第i堆⽯⼦数总和。

Fmax[i][j]：将从第i堆⽯⼦合并到第j堆⽯⼦的最⼤得分；Fmin[i][j]：将从第i堆⽯⼦合并到第j堆⽯⼦的最⼩得分；初始条件：Fmax[i][i]=0，Fmin[i][i]=INF则状态转移⽅程为：（其中i<=k<j）时间复杂度为。

凸多边形的划分区间dp

凸多边形的划分区间dp
对于凸多边形的划分和区间动态规划（Interval Dynamic Programming）之间的关联，有一种经典的应用场景是矩阵链乘法问题。

矩阵链乘法问题中，给定一组矩阵，我们需要对它们进行一系列乘法运算，求解乘法的最少次数。

这涉及到在已知的矩阵顺序中，找到最优的划分点以进行乘法操作。

该问题可以转化为对凸多边形的划分进行区间动态规划。

具体而言，凸多边形划分问题可以看作是将多边形分成多个三角形的问题，而区间动态规划可以用来寻找最优的划分点。

通过定义状态转移方程和初始条件，可以使用区间动态规划方法来解决凸多边形的划分问题。

然而，请注意凸多边形的划分和区间动态规划并不是直接相关的问题。

区间动态规划方法广泛应用于解决各种具有区间结构的问题，如序列、子串、区间等，而凸多边形的划分是在几何学领域中针对多边形结构的问题。

因此，如果需要更具体的关于凸多边形划分和区间动态
规划的应用细节或算法实现，建议参考相关的几何学和动态规划算法的教材、论文或专业资料。

区间知识点总结大全

区间知识点总结大全一、基本概念1. 区间的定义区间是实数集的一个子集，它包括了一些实数，并且在这些实数之间没有缺口。

也就是说，对于任何两个属于该区间的实数，这两个实数之间的所有实数也都属于该区间。

2. 区间的表示区间的表示可以用数轴上的有向线段来表示，也可以使用以下符号表示：- 闭区间[a,b]：包含a和b两个端点的区间，即a≤x≤b- 开区间(a,b)：不包含a和b两个端点的区间，即a<x<b- 半开半闭区间[a,b)：包含a而不包含b的区间，即a≤x<b- 半闭半开区间(a,b]：包含b而不包含a的区间，即a<x≤b3. 区间的运算实数集合的并、交、差与补可以对应到区间上的并、交、差与补。

对于两个区间[a,b]和[c,d]，它们的并集、交集、差集和补集的表示如下：- 并集[a,b]∪[c,d]：包含a和b之间的所有数以及c和d之间的所有数- 交集[a,b]∩[c,d]：包含既属于[a,b]又属于[c,d]的数- 差集[a,b]-[c,d]：包含属于[a,b]但不属于[c,d]的数- 补集[a,b]的补：不属于[a,b]的所有数二、基本性质1. 包含关系区间的包含关系可以通过数轴上的位置关系来理解。

如果一个区间包含另一个区间，那么被包含的区间的端点一定在包含的区间的内部或边界上。

2. 无限区间无限区间是指其中至少一个端点是无限大或负无限大的区间。

无限区间的数轴表示可以用箭头表示一端未尽头，例如(0,∞)表示从0开始一直到正无穷大。

3. 区间长度区间的长度是指区间包含的实数的个数。

对于闭区间[a,b]，它的长度等于b-a；对于开区间(a,b)，它的长度等于b-a；对于其他类型的区间也有类似的定义。

4. 区间的分割区间的分割是指将一个区间分成若干个不相交的子区间。

分割可以通过找出区间的端点以及其中的分割点来实现。

5. 区间的稠密性区间的稠密性是指对于任意两个不相等的数x和y，如果x<y，则在区间内一定可以找到一个数z，使得x<z<y。

新高一数学区间知识点总结

新高一数学区间知识点总结数学是一门重要的学科，其中也包括了许多不同的概念和知识点。

在高一数学中，区间是一个非常关键的概念，它在函数、不等式和数列等内容中经常出现。

本文将针对新高一数学中的区间知识点进行总结和归纳。

一、区间的定义和表示方法区间是数学中一个重要的概念，它表示了某个数集中的一段连续的数值范围。

一般来说，一个区间由两个数值端点所确定，并包含这两个端点之间的所有数值。

在数学中，区间可以用不同的表示方法来呈现。

1. 闭区间：一个闭区间是指端点被包含在区间内的情况。

例如，[a, b]表示一个从 a 到 b 的闭区间，其中 a 和 b 都是区间的端点。

2. 开区间：一个开区间则是指端点不被包含在区间内的情况。

例如，(a, b)表示一个从 a 到 b 的开区间，其中 a 和 b 都不是区间的端点。

3. 半开半闭区间：在一个半开半闭区间中，只有一个端点被包含在区间内。

例如，(a, b]表示一个从 a 到 b 的半开半闭区间，其中 a 是区间的左端点，b 是区间的右端点但不属于区间。

4. 单点区间：一个单点区间表示只包含一个数值的区间。

例如，[a, a]表示只包含数值 a 的区间。

二、区间的运算和性质区间之间可以进行一些基本的运算，这些运算可以帮助我们更好地理解和处理区间相关的问题。

1. 区间的加法：两个区间相加，即将这两个区间的端点逐个相加。

例如，[a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]。

2. 区间的交集：两个区间的交集是指同时属于这两个区间的所有数值。

例如，[a, b] ∩ [c, d]表示同时属于区间 [a, b] 和区间 [c, d]的数值。

3. 区间的并集：两个区间的并集是指包含了这两个区间中所有数值的区间。

例如，[a, b] ∪ [c, d]表示同时包含了区间 [a, b] 和区间 [c, d] 的所有数值的区间。

4. 区间的包含关系：一个区间是否包含另一个区间，取决于其端点的位置关系。

动态规划 —— 区间 DP —— 石子合并三讲

2.分析：
我们熟悉矩阵连乘，知道矩阵连乘也是每次合并相邻的两个矩阵，那么石子合并可以用矩阵连乘的方式来解决。
设 dp[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子合并的最优值，sum[i][j] 表示第 i 到第 j 堆石子的总数量。
那么就有状态转移方程：
3.实现
int dp[N][N]; int sum[N]; int a[N]; int getMinval(int a[],int n) {
dp[i][i] = 0; p[i][i] = i; } for(int len=1; len<n; len++) { for(int i=1; i+len<=n; i++) {
int end = i+len; int tmp = INF; int k = 0; for(int j=p[i][end-1]; j<=p[i+1][end]; j++) {
for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%d", &a[i]);
for(int i = 0; i < n; i++) { qsort(&a[i], n - i, sizeof(a[0]), Compare);
for(int j = 0; j < n; j++) printf("%d ", a[j]);
if(i+j >= n) return getsum(i,n-i-1) + getsum(0,(i+j)%n);
else return sum[i+j] - (i>0 ? sum[i-1]:0);

高考数学区间知识点汇总

高考数学区间知识点汇总在高考数学中，区间是一个重要的概念。

掌握好区间的性质和应用，不仅有助于解题，还能够帮助我们更好地理解数学知识。

本文将对高考数学中常见的区间知识点进行汇总和总结。

一、区间的定义与表示区间是数学中一个重要的概念，它是由数轴上的一段连续的点构成的。

区间的表示有三种常见的方式：1. 闭区间：闭区间表示一个由两个数端点所构成的区间，端点包括在区间内。

例如 [a, b] 表示从数轴上的点 a 到点 b 的区间，包括 a 和 b 这两个端点。

2. 开区间：开区间表示一个由两个数端点所构成的区间，端点不包括在区间内。

例如 (a, b) 表示从数轴上的点 a 到点 b 的区间，不包括 a 和 b 这两个端点。

3. 半开半闭区间：半开半闭区间表示一个由两个数端点所构成的区间，前一个端点包括在区间内，而后一个端点不包括在区间内。

例如 [a, b) 表示从数轴上的点 a 到点 b 的区间，包括 a 这个端点但不包括 b 这个端点。

二、区间的性质1. 区间的长度：区间的长度等于两个端点之间的距离，可以通过计算两个端点之差来得到。

2. 区间的包含关系：一个区间是否包含另一个区间可以通过比较它们的端点来判断。

如果一个区间的所有点都在另一个区间内，则前一个区间包含后一个区间。

3. 区间的连续性：一个区间是连续的，即数轴上的任意两点都在这个区间内。

如果一个区间的端点被去掉之后，区间仍然是连续的，则称该区间为开区间。

4. 区间的无穷性：区间的端点可以是有限数，也可以是无限大。

如果一个区间的端点是无限大，则称该区间为无界区间。

三、区间的运算1. 区间的并集：两个区间的并集是包含这两个区间所有元素的区间。

例如[a, b] ∪ [c, d] 表示从数轴上的点 a 到点 b 和从数轴上的点 c 到点 d 的并集区间。

2. 区间的交集：两个区间的交集是同时属于这两个区间的元素组成的区间。

例如[a, b] ∩ [c, d] 表示从数轴上的点 a 到点 b和从数轴上的点 c 到点 d 的交集区间。