多个字符串的最长公共子序列

详解Python最长公共子串和最长公共子序列的实现

详解Python最长公共⼦串和最长公共⼦序列的实现最长公共⼦串(The Longest Common Substring)LCS问题就是求两个字符串最长公共⼦串的问题。

解法就是⽤⼀个矩阵来记录两个字符串中所有位置的两个字符之间的匹配情况，若是匹配则为1,否则为0。

然后求出对⾓线最长的1的序列，其对应的位置就是最长匹配⼦串的位置。

def find_lcsubstr(s1, s2):m=[[0 for i in range(len(s2)+1)] for j in range(len(s1)+1)] #⽣成0矩阵，为⽅便后续计算，⽐字符串长度多了⼀列mmax=0 #最长匹配的长度p=0 #最长匹配对应在s1中的最后⼀位for i in range(len(s1)):for j in range(len(s2)):if s1[i]==s2[j]:m[i+1][j+1]=m[i][j]+1if m[i+1][j+1]>mmax:mmax=m[i+1][j+1]p=i+1return s1[p-mmax:p],mmax #返回最长⼦串及其长度print find_lcsubstr('abcdfg','abdfg')运⾏得到输出：('dfg',3)最长公共⼦序列 (The Longest Common Subsequence)⼦串要求字符必须是连续的，但是⼦序列就不是这样。

最长公共⼦序列是⼀个⼗分实⽤的问题，它可以描述两段⽂字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从⽽能够⽤来辨别抄袭。

对⼀段⽂字进⾏修改之后，计算改动前后⽂字的最长公共⼦序列，将除此⼦序列外的部分提取出来，这种⽅法判断修改的部分，往往⼗分准确。

解法就是⽤动态回归的思想，⼀个矩阵记录两个字符串中匹配情况，若是匹配则为左上⽅的值加1，否则为左⽅和上⽅的最⼤值。

⼀个矩阵记录转移⽅向，然后根据转移⽅向，回溯找到最长⼦序列。

算法,最长公共子序列

最长公共子序列（LCS）问题（非连续子序列）的两种解法最长公共子序列也称作最长公共子串，英文缩写是LCS（Longest Common Subsequence）。

其定义是：一个序列S，如果分别是两个或多个已知序列的子序列，且是符合此条件的子序列中最长的，则称S为已知序列的最长公共子序列。

关于子序列的定义通常有两种方式，一种是对子序列没有连续的要求，其子序列的定义就是原序列中删除若干元素后得到的序列。

另一种是对子序列有连续的要求，其子序列的定义是原序列中连续出现的若干个元素组成的序列。

求解子序列是非连续的最长公共子序列问题是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。

本文将介绍对子序列没有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题，对子序列有连续性要求的情况下如何用计算机解决最长公共子序列问题将在后续的文章中介绍。

一、动态规划法（Dynamic Programming）最长公共子序列问题应该是属于多阶段决策问题中求最优解一类的问题，凡此类问题在编制计算机程序时应优先考虑动态规划法，如果不能用动态规划法，而且也找不到其它解决方法，还可以考虑穷举法。

对于这个问题，只要能找到描述最长公共子序列的最优子结构和最优解的堆叠方式，并且保证最优子结构中的每一次最优决策都满足“无后效性”，就可以考虑用动态规划法。

使用动态规划法的关键是对问题进行分解，按照一定的规律分解成子问题（分解后的子问题还可以再分解，这是个递归的过程），通过对子问题的定义找出最优子结构中最优决策序列（对于子问题就是最有决策序列的子序列）以及最优决策序列子序列的递推关系（当然还包括递推关系的边界值）。

如果一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列，也就意味着子序列在原序列中的位置索引（下标）保持严格递增的顺序。

例如,序列S = <B,C,D,B>是序列K = <A，B，C，B，D，A，B>的一个子序列（非连续），序列S的元素在在K中的位置索引I = [2,3,5,7]，I是一个严格递增序列。

关于输出多个LCS（最长公共子序列）的简单技巧

关于输出多个LCS（最长公共⼦序列）的简单技巧百度百科：⼀个序列 S ，如果分别是两个或多个已知序列的⼦序列，且是所有符合此条件序列中最长的，则 S 称为已知序列的最长公共⼦序列。

注意：S在已知序列中可以不连续；⽐如ABCBDAB和BDCABA的LCS为BCBA，BCBA不连续出现。

LCS通常利⽤动态规划算法求解，最简单的求解⽅式如《算法导论》所述： 1.设输⼊为X1X2…X m，Y1Y2…Y n，构造⼆维数组B、C；其中B[i][j]存储C[i][j]的最优解指向，C[i][j]存储X[1…i]和Y[1…j]的LCS长度； 2.B、C数组同时更新： 2.1.令B[0][k]、C[0][k]（k=0…n）和B[k][0]、C[k][0]（k=0…m）为0； 2.2.按下标从⼩到⼤的顺序依次计算每⾏的B[i][j]和C[i][j]，规则如下： ①.若X[i]=Y[j]，则C[i][j]=C[i-1][j-1]+1，B[i][j]=0； ②.若X[i]！=Y[j]，则C[i][j]=Max(C[i][j-1],C[i-1][j])，B[i][j]=1或2； 3.更新完B、C后，从C[m][n]开始递归输出，根据B[i][j]的指向打印LCS；相信⼤家都明⽩这个原理，简单的⽤⼀张图来说明⼀下： 1.箭头代表B[i][j]的值，其中⽤指向左上⽅的箭头代表0，←和↑代表1和2(或2和1)； 2.箭头下⽅的数字为C[i][j]的值，即⼦问题X[1…i]和Y[1…j]的LCS长度；可是这样的构造只能输出⼀个LCS，但是我们发现BCBA、BCAB、BDAB都是该序列集的LCS。

为什么呢？因为该算法在C[i-1][j]=C[i][j-1]时，只记录了⼀种情况！即没有保存分⽀！如何简单的修改算法，以求得多个LCS呢？下⾯介绍⼀种改进的⽅法。

还是利⽤数组B、C，并且C的计算规则不变，下⾯修改B的计算规则： 1.若X[i]=Y[j]，B[i][j]=0； 2.若X[i]!=Y[j]，有以下判断： ①.若C[i-1][j]>C[i][j-1]，则C[i][j]=C[i-1][j]，B[i][j]=1； ②.若C[i-1][j]<C[i][j-1]，则C[i][j]=C[i][j-1]，B[i][j]=2； ③.若C[i-1][j]=C[i][j-1]，则C[i][j]的长度任取，B[i][j]=3；此时⽤另⼀张图表⽰该算法： 1.⽤四种箭头表⽰B[i][j]的值，其中←和↑都存在时，表⽰C[i-1][j]=C[i][j-1]； 2.输出的时候采⽤正则表达式的思想：遇到B[i][j]=3时，同时对两种情况进⾏递归；形式为“（←+↑）”，其中←和↑分别表⽰两个⼦问题的LCS；补充：（A+B），在正则表达式中意义为A或B，即“+”表⽰⼆选⼀的关系。

[DataStructure]LCSs——最长公共子序列和最长公共子串

[DataStructure]LCSs——最长公共⼦序列和最长公共⼦串1. 什么是 LCSs？什么是 LCSs? 好多博友看到这⼏个字母可能⽐较困惑，因为这是我⾃⼰对两个常见问题的统称，它们分别为最长公共⼦序列问题（Longest-Common-Subsequence）和最长公共⼦串（Longest-Common-Substring）问题。

这两个问题⾮常的相似，所以对不熟悉的同学来说，有时候很容易被混淆。

下⾯让我们去好好地理解⼀下两者的区别吧。

1.1 ⼦序列 vs ⼦串⼦序列是有序的，但不⼀定是连续，作⽤对象是序列。

例如：序列 X = <B, C, D, B> 是序列 Y = <A, B, C, B, D, A, B> 的⼦序列，对应的下标序列为 <2, 3, 5, 7>。

⼦串是有序且连续的，左右对象是字符串。

例如 a = abcd 是 c = aaabcdddd 的⼀个⼦串；但是 b = acdddd 就不是 c 的⼦串。

1.2 最长公共⼦序列 vs 最长公共⼦串最长公共⼦序列和最长公共⼦串是常见的两种问题，虽然两者问题很相似，也均可以根据动态规划进⾏求解，但是两者的本质是不同的。

最长公共⼦序列问题是针对给出的两个序列，求两个序列最长的公共⼦序列。

最长公共⼦串问题是针对给出的两个字符串，求两个字符串最长的公共⼦串（有关字符串匹配相关算法可以转⾄博客《》）。

2. 动态规划⽅法求解LCSs 前⾯提到，动态规划⽅法均可以⽤到最长公共⼦序列和最长公共⼦串问题当中，在这⾥我们就不⼀⼀进⾏求解了。

我们以最长公共⼦序列为例，介绍⼀下如何利⽤动态规划的思想来解决 LCSs。

给定两个序列，找出在两个序列中同时出现的最长⼦序列的长度。

对于每⼀个序列⽽⾔，其均具有a m中⼦序列，因此采⽤暴⼒算法的时间复杂度是指数级的，这显然不是⼀种好的解决⽅案。

下⾯我们看⼀下，如何使⽤动态规划的思想来解决最⼤公共⼦序列问题。

最长公共子序列代码

最长公共子序列代码最长公共子序列是指两个或多个字符串中，所有最长的公共子序列中，最长的一个。

求解最长公共子序列是经典的计算机科学问题，通常用于比较文件的差异，DNA序列的比较等领域。

以下是基于动态规划思想的最长公共子序列代码：```pythondef longest_common_subsequence(str1, str2):m = len(str1)n = len(str2)# 初始化二维数组dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]for i in range(1, m + 1):for j in range(1, n + 1):if str1[i - 1] == str2[j - 1]:dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1else:dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1])# 构造最长公共子序列lcs = ''i = mj = nwhile i > 0 and j > 0:if str1[i - 1] == str2[j - 1]:lcs = str1[i - 1] + lcsi -= 1j -= 1elif dp[i - 1][j] > dp[i][j - 1]:i -= 1else:j -= 1return lcs```以上代码以两个字符串str1和str2为输入，返回它们的最长公共子序列。

在代码中，首先定义了一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示str1前i个字符和str2前j个字符的最长公共子序列的长度。

然后通过嵌套循环遍历两个字符串，更新dp数组。

如果str1第i个字符等于str2第j个字符，则dp[i][j]等于dp[i-1][j-1]+1，表示当前字符可以添加到最长公共子序列中；否则，dp[i][j]等于dp[i-1][j]和dp[i][j-1]的最大值，表示当前字符不能添加到最长公共子序列中，需要继续比较下一个字符。

[Python]最长公共子序列VS最长公共子串[动态规划]

[Python]最长公共⼦序列VS最长公共⼦串[动态规划]前⾔由于原微软开源的基于古⽼的perl语⾔的Rouge依赖环境实在难以搭建，遂跟着Rouge论⽂的描述⾃⾏实现。

Rouge存在N、L、S、W、SU等⼏⼤⼦评估指标。

在复现Rouge-L的函数时，便遇到了本博⽂的问题：求两串的最长公共⼦序列。

⼀参考⽂献全⽂参考均如下博⽂。

⼆最长公共⼦序列 & 最长公共⼦串的区别1、最长公共⼦序列(Longest Common Subsequence,LCS)：在字符串A和字符串B中都出现的序列，且顺序与母串保持⼀致最长的那个序列。

2、最长公共⼦串(Longest Common Substring)：相⽐LCS更加严格，序列必须连续出现，即公共的⼦字符串。

eg: csdnblog与belong，最长公共⼦序列为blog，最长公共⼦串为lo。

三程序设计与实现3.1 最长公共⼦序列def longestCommonSubsequence(seqA, seqB):"""最长公共⼦序列-----------[reference] 最长公共⼦序列与最长公共⼦串【动态规划】 https:///a515557595_xzb/article/details/88296989:param seqA::param seqB::return:"""m = len(seqA);n = len(seqB);init_unit={"len":0,"lcs":[]}dp = [[ init_unit ]*(n+1) for i in range(m+1)]; # m+1⾏, n+1列for i in range(0, m+1):for j in range(0, n+1):if i==0 or j==0:dp[i][j] = init_unit;elif seqA[i-1] == seqB[j-1]:tmp_str = copy.copy((dp[i-1][j-1])["lcs"]);tmp_str.append(seqA[i-1]);unit = {"len": (dp[i-1][j-1])["len"] + 1,"lcs": tmp_str}dp[i][j] = unit;elif seqA[i-1] != seqB[j-1]:if (dp[i-1][j])["len"] > (dp[i][j-1])["len"]: # 存储最长的信息dp[i][j] = dp[i-1][j];else:dp[i][j] = dp[i][j-1];else:pass;pass; # end inner for looppass; # end outer for loopreturn dp[m][n];print( longestCommonSubsequence("GM%$ABG", "gbndGFMABG") ) # {'len': 5, 'lcs': ['G', 'M', 'A', 'B', 'G']}print( longestCommonSubsequence(["G", "M", "%", "$", "A", "B", "G"], ["g","b", "n", "d", "G", "F", "M", "A", "B","G"] ) ); # {'len': 5, 'lcs': ['G', 'M', 'A', 'B', 'G']}3.2 最长公共⼦串def longestCommonSubstring(strA, strB):"""最长公共⼦串-----------[reference] 最长公共⼦序列与最长公共⼦串【动态规划】 https:///a515557595_xzb/article/details/88296989:param strA::param strB::return:"""m = len(strA);n = len(strB);init_unit={"len":0,"lcs":[]}dp = [[ init_unit ]*(n+1) for i in range(m+1)]; # m+1⾏, n+1列result ={"len":0, # 记录最长公共⼦串的长度"lcs": []};for i in range(0, m+1): # 考虑i为0或j为0的情况for j in range(0, n+1):if i==0 or j==0 or ( strA[i-1] != strB[j-1] ):dp[i][j] = init_unit;elif strA[i-1] == strB[j-1]:tmp_str = copy.copy((dp[i-1][j-1])["lcs"]);tmp_str.append(strA[i-1]);unit = {"len": (dp[i-1][j-1])["len"] + 1,"lcs": tmp_str}dp[i][j] = unit;if (dp[i][j])["len"] > result["len"]: # 存储最长的信息result = copy.copy( dp[i][j] );else:pass;pass; # end inner for looppass; # end outer for loopreturn result;print( longestCommonSubstring("GM%$ABG", "gbndGFMABG") ) # {'len': 3, 'lcs': ['A', 'B', 'G']}print( longestCommonSubstring(["G", "M", "%", "$", "A", "B", "G"], ["g","b", "n", "d", "G", "F", "M", "A", "B","G"] ) ); # {'len': 3, 'lcs': ['A', 'B', 'G']}四应⽤领域4.1 机器学习 > ⾃动⽂本摘要 / 机器翻译 / 机器阅读理解等任务中 > 评估指标 > Rouge-LRouge-L分类：句⼦级: 最长公共⼦序列⽂摘级: Union[多条句⼦] 最长公共⼦序列推荐博⽂:推荐论⽂: 《ROUGE: A Package for Automatic Evaluation of Summaries》。

用Python计算最长公共子序列和最长公共子串（转）

⽤Python计算最长公共⼦序列和最长公共⼦串（转）1. 什么是最长公共⼦序列？什么是最长公共⼦串？1.1. 最长公共⼦序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）最长公共⼦序列（Longest-Common-Subsequences，LCS）是⼀个在⼀个序列集合中（通常为两个序列）⽤来查找所有序列中最长⼦序列的问题。

这与查找最长公共⼦串的问题不同的地⽅是：⼦序列不需要在原序列中占⽤连续的位置。

最长公共⼦序列问题是⼀个经典的计算机科学问题，也是数据⽐较程序，⽐如Diff⼯具，和⽣物信息学应⽤的基础。

它也被⼴泛地应⽤在版本控制，⽐如Git⽤来调和⽂件之间的改变。

1.2 最长公共⼦串（Longest-Common-Substring，LCS）最长公共⼦串（Longest-Common-Substring，LCS）问题是寻找两个或多个已知字符串最长的⼦串。

此问题与最长公共⼦序列问题的区别在于⼦序列不必是连续的，⽽⼦串却必须是连续的。

2. 如何求解最长公共⼦序列?例如序列str_a=world，str_b=wordl。

序列wo是str_a和str_b的⼀个公共⼦序列，但是不是str_a和str_b的最长公共⼦序列，⼦序列word是str_a和str_b的⼀个LCS，序列worl也是。

暴⼒查找？寻找LCS的⼀种⽅法是枚举X所有的⼦序列，然后注意检查是否是Y的⼦序列，并随时记录发现的最长⼦序列。

假设X有m个元素，则X有2^m个⼦序列，指数级的时间，对长序列不实际。

分析问题，设str_a=<x1,x2,…,xm>和str_b=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(str_a,str_b)表⽰str_a和str_b的⼀个最长公共⼦序列，可以看出如果str_a[m] == str_b[n]，则LCS (str_a, str_b) = str_a[m] + LCS(str_a[1:m-1],str_b[1:n-1])如果str_a[m] != str_b[n]，则LCS(str_a,str_b)= max{LCS(str_a[1:m-1], str_b), LCS (str_a, str_b[n-1])}LCS问题也具有重叠⼦问题性质：为找出LCS(str_a,str_b)，可能需要找LCS(str_a[1:m-1], str_b)以及LCS (str_a, str_b[n-1])。

动态规划经典——最长公共子序列问题（LCS）和最长公共子串问题

动态规划经典——最长公共⼦序列问题（LCS）和最长公共⼦串问题⼀.最长公共⼦序列问题(LCS问题)给定两个字符串A和B，长度分别为m和n，要求找出它们最长的公共⼦序列，并返回其长度。

例如： A = "Hel lo W o rld" B = "loo p"则A与B的最长公共⼦序列为 "loo",返回的长度为3。

此处只给出动态规划的解法：定义⼦问题dp[i][j]为字符串A的第⼀个字符到第 i 个字符串和字符串B 的第⼀个字符到第 j 个字符的最长公共⼦序列，如A为“app”,B为“apple”，dp[2][3]表⽰ “ap” 和 “app” 的最长公共字串。

注意到代码中 dp 的⼤⼩为 (n + 1) x (m + 1) ，这多出来的⼀⾏和⼀列是第 0 ⾏和第 0 列，初始化为 0，表⽰空字符串和另⼀字符串的⼦串的最长公共⼦序列，例如dp[0][3]表⽰ "" 和“app” 的最长公共⼦串。

当我们要求dp[i][j]，我们要先判断A的第i个元素B的第j个元素是否相同即判断A[i - 1]和 B[j -1]是否相同，如果相同它就是dp[i-1][j-1]+ 1，相当于在两个字符串都去掉⼀个字符时的最长公共⼦序列再加 1；否则最长公共⼦序列取dp[i][j - 1] 和dp[i - 1][j]中⼤者。

所以整个问题的初始状态为：dp[i][0]=0,dp[0][j]=0相应的状态转移⽅程为：dp[i][j]=max{dp[i−1][j],dp[i][j−1]},A[i−1]!=B[j−1] dp[i−1][j−1]+1,A[i−1]==B[j−1]代码的实现如下：class LCS{public:int findLCS(string A, int n, string B, int m){if(n == 0 || m == 0)//特殊输⼊return 0;int dp[n + 1][m + 1];//定义状态数组for(int i = 0 ; i <= n; i++)//初始状态dp[i][0] = 0;for(int i = 0; i <= m; i++)dp[0][i] = 0;for(int i = 1; i <= n; i++)for(int j = 1; j<= m; j++){if(A[i - 1] == B[j - 1])//判断A的第i个字符和B的第j个字符是否相同dp[i][j] = dp[i -1][j - 1] + 1;elsedp[i][j] = max(dp[i - 1][j],dp[i][j - 1]);}return dp[n][m];//最终的返回结果就是dp[n][m]}};该算法的时间复杂度为O(n*m)，空间复杂度为O(n*m)。

最长公共子串算法

最长公共子串算法最长公共子串算法是一种用于寻找两个字符串中最长公共子串的算法。

在计算机科学中，字符串是一种非常常见的数据类型，因此寻找最长公共子串的算法也是非常重要的。

最长公共子串算法的基本思想是，将两个字符串分别以行和列的形式表示出来，然后通过比较每个单元格中的字符来确定它们是否匹配。

如果匹配，则将该单元格的值设置为前一个单元格的值加1，否则将其设置为0。

最后，找到值最大的单元格，并从该单元格开始向左和向上遍历，直到找到最长公共子串。

例如，对于字符串“ABCD”和“ABCE”，最长公共子串是“ABC”。

下面是一个简单的实现：```def longest_common_substring(s1, s2):m = [[0] * (1 + len(s2)) for i in range(1 + len(s1))]longest, x_longest = 0, 0for x in range(1, 1 + len(s1)):for y in range(1, 1 + len(s2)):if s1[x - 1] == s2[y - 1]:m[x][y] = m[x - 1][y - 1] + 1if m[x][y] > longest:longest = m[x][y]x_longest = xelse:m[x][y] = 0return s1[x_longest - longest: x_longest]```在这个实现中，我们使用了一个二维数组来存储每个单元格的值。

我们还使用了两个变量来跟踪最长公共子串的长度和起始位置。

最后，我们返回从起始位置开始的最长公共子串。

最长公共子串算法的时间复杂度为O(mn)，其中m和n分别是两个字符串的长度。

这是因为我们需要比较每个单元格中的字符，并在每个单元格中存储一个值。

因此，对于非常长的字符串，最长公共子串算法可能会变得非常慢。

最长公共子串算法是一种非常有用的算法，可以帮助我们寻找两个字符串中的最长公共子串。

最长公共子串

最长公共子序列问题的改进快速算法李欣舒风笛摘要现在几个最常用的解决最长公共子序列(LCS)问题的算法的时间复杂度分别是O(pn)，O(n(m-p))。

这里m、n为两个待比较字符串的长度，p是最长公共子串的长度。

给出一种时间复杂度为O(p(m-p))，空间复杂度为O(m+n)的算法。

与以前的算法相比，不管在p<<m的情况下，还是在p接近m时，这种算法都有更快的速度。

关键词最长公共子序列 LCS1 问题介绍与基本定义最长公共子序列(Longest Common Subsequence，LCS)是将两个给定字符串分别删去零个或多个字符后得到的长度最长的相同字符序列。

例如，字符串abcabcabb与bcacacbb的最长公共子序列为bcacabb。

LCS问题就是要求两个给定字符串的最长公共子序列。

本文给出了一种比较有效的求解LCS问题的算法，它是对Nakatsu的时间复杂度为O(n(m-p))算法的改进。

它的时间复杂度是O(p(m-p))，空间复杂度为O(m+n)。

LCS问题的算法有着广泛的应用。

最初对LCS问题的研究是将它作为一种差分压缩算法来研究的。

例如，在版本管理系统中，一个文件经过不断地修改产生不同的版本，新产生的版本相对老版本变化并不大。

为了节省存储空间，我们可以将老文件版本与修改后新版本进行比较，找出它们的相同部分和不同部分。

这样就不必将原始文件和修改文件都独立存储，而只需存储老文件版本以及新老版本的不同部分即可。

这种增量式存储方法在文件版本较多的情况下能够大大提高存储效率。

两个文件版本的比较就类似于LCS问题。

LCS算法的时间复杂度与其它差分压缩算法(如Vdelta算法[4])比较相对较高，它也不是压缩比例最高的差分压缩算法，所以现在它已经基本退出了这方面的应用。

但在版本管理系统中，对同一文件的不同版本进行比较与合并时，LCS算法还是有重要作用的。

LCS算法还可用在基因工程领域。

python经典算法100例

python经典算法100例Python是一种简单易学的编程语言，它具有丰富的库和模块，可以实现各种算法。

下面将介绍100个经典的Python算法例子，帮助读者更好地理解和掌握Python编程。

1. 二分查找算法：在有序数组中查找指定元素的位置。

2. 冒泡排序算法：对数组进行排序，每次比较相邻的两个元素并交换位置。

3. 快速排序算法：通过选择一个基准元素，将数组分为两部分，递归地对两部分进行排序。

4. 插入排序算法：将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分选择一个元素插入到已排序部分的正确位置。

5. 选择排序算法：每次从未排序部分选择最小的元素放到已排序部分的末尾。

6. 归并排序算法：将数组分为两部分，递归地对两部分进行排序，然后将两部分合并。

7. 堆排序算法：通过构建最大堆或最小堆，将数组进行排序。

8. 计数排序算法：统计数组中每个元素的出现次数，然后按照次数进行排序。

9. 桶排序算法：将数组分为多个桶，每个桶内部进行排序，然后将桶中的元素按照顺序合并。

10. 基数排序算法：按照元素的位数进行排序，从低位到高位依次进行。

11. 斐波那契数列算法：计算斐波那契数列的第n个数。

12. 阶乘算法：计算一个数的阶乘。

13. 最大公约数算法：计算两个数的最大公约数。

14. 最小公倍数算法：计算两个数的最小公倍数。

15. 素数判断算法：判断一个数是否为素数。

16. 矩阵相加算法：计算两个矩阵的和。

17. 矩阵相乘算法：计算两个矩阵的乘积。

18. 斐波那契堆算法：实现斐波那契堆的插入、删除和合并操作。

19. 最短路径算法：计算图中两个节点之间的最短路径。

20. 最小生成树算法：计算图中的最小生成树。

21. 拓扑排序算法：对有向无环图进行拓扑排序。

22. 最大流算法：计算网络中的最大流。

23. 最小费用流算法：计算网络中的最小费用流。

24. 最大子序列和算法：计算数组中连续子序列的最大和。

25. 最长递增子序列算法：计算数组中最长递增子序列的长度。

最长公共子串问题的后缀数组解法

最长公共⼦串问题的后缀数组解法[最长公共⼦串]最长公共⼦串(Longest Common Substring ,简称LCS)问题，是指求给定的⼀组字符串长度最⼤的共有的⼦串的问题。

例如字符串”abcb”,”bca”,”acbc”的LCS就是”bc”。

求多串的LCS，显然穷举法是极端低效的算法。

改进⼀些的算法是⽤⼀个串的每个后缀对其他所有串进⾏部分匹配，⽤KMP算法，时间复杂度为O(N*L^2)，其中N为字符串个数，L为每个串的长度。

更优秀的有⼴义后缀树的⽅法，时间可以达到 O(N*L)。

本⽂介绍⼀种基于后缀数组的LCS解法，利⽤⼆分查找技术，时间复杂度可以达到O(N*L*logL)。

[最长公共⼦串问题的后缀数组解法]关于后缀数组的构建⽅法以及Height数组的性质，本⽂不再具体介绍，可以参阅IOI国家集训队2004年论⽂《后缀数组》(许智磊)和IOI国家集训队2009年论⽂《后缀数组——处理字符串的有⼒⼯具》(罗穗骞)。

回顾⼀下后缀数组，SA[i]表⽰排名第i的后缀的位置，Height[i]表⽰后缀SA[i]和SA[i-1]的最长公共前缀(Longest Common Prefix,LCP)，简记为Height[i]=LCP(SA[i],SA[i-1])。

连续的⼀段后缀SA[i..j]的最长公共前缀，就是H[i-1..j]的最⼩值，即LCP(SA[i..j])=Min(H[i-1..j])。

求N个串的最长公共⼦串，可以转化为求⼀些后缀的最长公共前缀的最⼤值，这些后缀应分属于N个串。

具体⽅法如下：设N个串分别为S1,S2,S3,…,SN，⾸先建⽴⼀个串S，把这N个串⽤不同的分隔符连接起来。

S=S1[P1]S2[P2]S3…SN-1[PN-1]SN，P1,P2,…PN-1应为不同的N-1个不在字符集中的字符，作为分隔符(后⾯会解释为什么)。

接下来，求出字符串S的后缀数组和Height数组，可以⽤倍增算法，或DC3算法。

2 最长公共子序列

不用递归的情况下计算lcs(i, j). 不用递归的情况下计算 . 算法Lcs的时间复杂性显然是的时间复杂性显然是O(nm) 算法的时间复杂性显然是
int String::Lcs ( String y ) { int n = Length( ), m = y.Length( ); int lcs[MaxN][MaxM]; // MaxN和MaxM 是已定义的常数 int i, j; for ( i = 0; i <= n; i++) lcs[i][0] = 0; // 初始值 for ( j = 0; j <= m; j++) lcs[0][j] = 0; // 初始值 for ( i = 1; i <= n; i++) for ( j = 1; j <= m; j++) if ( str[i] ==y.str[j] ) lcs[i][j] = lcs[i-1][j-1] + 1; else lcs[i][j] = max(lcs[i-1][j], lcs[i][j-1]); return lcs[n][m]; }
穷举法
对于每一个X 的子序列,验证它是否是验证它是否是Y 对于每一个 m的子序列验证它是否是 n的子序列. Xm有2m个子序列每个子序列需要o(n)的时间来验证它是否是 n的的时间来验证它是否是Y 每个子序列需要的时间来验证它是否是子序列. 子序列的第一个字母开始扫描下去,如果不是则从从Yn的第一个字母开始扫描下去如果不是则从第二个开始运行时间: 运行时间 o(n2m)
作业
String String::Lcs ( String x, String y );

穷举法求解最长公共子序列

穷举法求解最长公共子序列啥是最长公共子序列呢？简单来说，就是在两个序列中找到一个共同的部分，而且这个部分的顺序不能乱。

想象一下，你跟小伙伴一块玩拼图，虽然每块拼图都不一样，但拼出来的图案得跟朋友那一块拼出来的图案一模一样，这可不是件容易的事儿。

说白了，就是要在一堆字符里找到那些相同的，而且顺序得对，真是个考脑筋的活儿！咱们先来想象一个场景，假设你有两个字符串，一个是“abcde”，另一个是“ace”。

从这两个字符串里，咱们要找出最长的公共子序列。

嘿，这个时候就像是在找宝藏一样，得一个个地去翻找。

你会发现，“a”、“c”、“e”都在这两个字符串里。

哇，这可真是个小惊喜，找到了！但要注意哦，它们的顺序不能变。

所以，最长公共子序列就是“ace”了。

这样一想，是不是感觉有点意思呢？好啦，现在咱们来谈谈穷举法。

听起来高大上，其实就是一个个试，试到你觉得“哎呀，我真是个天才”才行。

咱们得列出所有可能的子序列。

这可不是随便说说，你得有耐心。

比如说，从“abcde”中，咱们能列出“a”、“b”、“c”、“d”、“e”，还有“ab”、“ac”、“ad”，甚至“abc”、“abd”，直到“abcde”都得试试，直到没什么好试的为止。

听上去是不是有点让人心累，但一想到最后的结果，心里就乐开了花。

继续深入想想，穷举法可真是个老办法，但就是简单有效。

想想就像家里大扫除，把所有角落都翻遍，终于找到那个丢失已久的遥控器。

每个可能的组合都得看一遍，有些看起来毫无关系的组合，搞不好就能是答案呢！所以，穷举法就是个“捡漏”的过程，得慢慢来，着急可没用。

就像那句老话说得好，磨刀不误砍柴工，先找出所有的子序列，才能确定哪个是最长的。

说到这里，可能有人会问，这样做是不是太慢了？当然了，穷举法的时间复杂度就像在爬一座大山，越往上走越累。

为了找到答案，你可能得经历无数次的“失败”，但是一旦找到了，成就感简直爆棚。

就像考试前那种紧张，最后交卷时的轻松感，啊，真是太棒了。

多个字符串间的最长公共子串

多个字符串间的最长公共子串《多个字符串间的最长公共子串探讨》一、引言在我们的日常生活和工作中，经常会遇到需要比较多个字符串之间的相似性或者寻找它们之间的共同部分的情况。

在这篇文章中，我将深入探讨多个字符串间的最长公共子串这一概念，以帮助大家更好地理解和应用这一技术。

二、多个字符串间的最长公共子串概述让我们来了解一下什么是最长公共子串。

最长公共子串是指在多个字符串中找到的最长的公共部分。

举个例子，对于字符串"abcdefg"和"bcdeft"，它们之间的最长公共子串是"bcde"。

那么，如果有多个字符串呢？要找到这些字符串之间的最长公共子串，我们就需要运用一些高级的算法和技巧。

三、多个字符串间的最长公共子串算法在实际编程和处理数据的过程中，我们可能会遇到需要找到多个字符串间的最长公共子串的情况。

这时，我们可以使用动态规划算法来解决这个问题。

动态规划算法通常用于处理具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，正好符合多个字符串间的最长公共子串的情况。

简单来说，动态规划算法可以帮助我们将原问题分解成更小的子问题，并通过寻找最优子结构来解决原问题。

在找到最长公共子串的过程中，我们可以借助动态规划算法来逐步计算每个子字符串的最长公共部分，从而快速找到多个字符串间的最长公共子串。

四、多个字符串间的最长公共子串实际案例接下来，我将通过一个实际案例来说明如何利用动态规划算法找出多个字符串间的最长公共子串。

假设我们有三个字符串："abcdefg"、"bcdeft"和"aghijk"，我们要找出它们之间的最长公共子串。

我们可以利用动态规划算法来建立一个二维的表格来记录每个子问题的最长公共子串长度。

我们可以逐步填充表格，直到找到所有字符串的最长公共子串长度。

经过计算，我们得到了这三个字符串之间的最长公共子串是"de"。

算法系列之六：最长公共子序列(LCS)问题(连续子序列)的三种解法

算法系列之六：最长公共子序列（LCS）问题（连续子序列）的三种解法最长公共子序列（LCS）问题有两种方式定义子序列，一种是子序列不要求不连续，一种是子序列必须连续。

上一章介绍了用两种算法解决子序列不要求连续的最终公共子序列问题，本章将介绍要求子序列必须是连续的情况下如何用算法解决最长公共子序列问题。

仍以上一章的两个字符串“abcdea”和“aebcda”为例，如果子序列不要求连续，其最长公共子序列为“abcda”，如果子序列要求是连续，则其最长公共子序列应为“bcd”。

在这种情况下，有可能两个字符串出现多个长度相同的公共子串，比如“askdfiryetd”和“trkdffirey”两个字符串就存在两个长度为3的公共子串，分别是“kdf”和“fir”，因此问题的性质发生了变化，需要找出两个字符串所有可能存在公共子串的情况，然后取最长的一个，如果有多个最长的公共子串，只取其中一个即可。

字符串“abcdea”和“aebcda”如果都以最左端的a字符对齐，则能够匹配的最长公共子串就是“a”。

但是如果用第二个字符串的e字符对齐第一个字符串的a 字符，则能够匹配的最长公共子串就是“bcd”。

可见，从两个字符串的不同位置开始对齐匹配，可以得到不同的结果，因此，本文采用的算法就是穷举两个字符串所有可能的对齐方式，对每种对齐方式进行字符的逐个匹配，找出最长的匹配子串。

一、递归方法首先看看递归方法。

递归的方法比较简单，就是比较两个字符串的首字符是否相等，如果相等则将其添加到已知的公共子串结尾，然后对两个字符串去掉首字符后剩下的子串继续递归匹配。

如果两个字符串的首字符不相等，则用三种对齐策略分别计算可能的最长公共子串，然后取最长的一个与当前已知的最长公共子串比较，如果比当前已知的最长公共子串长就用计算出的最长公共子串代替当前已知的最长公共子串。

第一种策略是将第一个字符串的首字符删除，将剩下的子串与第二个字符串继续匹配；第二种策略是将第二个字符串的首字符删除，将剩下的子串与第一个字符串继续匹配；第三种策略是将两个字符串的首字符都删除，然后继续匹配两个字符串剩下的子串。

C++笔试之基础08求两个字符串的最长公共子串，最长公共子序列，编辑距离

C++笔试之基础08求两个字符串的最长公共子串，最长公共子序列，编辑距离(1) 找出两个字符串的最长公共子串题目：输入两个字符串，找出两个字符串中最长的公共子串。

找两个字符串的最长公共子串，这个子串要求在原字符串中是连续的。

因此我们采用一个二维矩阵来存储中间结果，下面我们看这个二维数组如何构造？假设两个字符串分别是：”bab”和”caba”。

如果str[i] == str[j] 则matrix[i][j] = 1，否则matrix[i][j] = 0然后我们从矩阵中找出斜对角线最长的那个子字符串，就是最长公共子串。

即”ab”和”ba”分别为2。

我们可以简化一下，在当我们计算matrix[i][j]时，我们判断str[i] == str[j] 和matrix[i-1][j-1]。

如果str[i] == str[j]，则matrix[i][j] = matrix[i-1][j-1] + 1；否则matrix[i][j] = 0。

如下图所示：所以此时，我们只是将matrix[M][N]中，找到最大的值，即为最长公共子串。

然后我们还可以简化一下空间复杂度。

因为我们每判断一个matrix[i][j]时，实际上它只与matrix[i-1][j-1]相关。

故所以我们可以使用一维数组来保存上一次的结果。

实现代码如下：[cpp] view plain copy1.#include <cstring>2.#include <iostream>ing namespace std;4.5.int GetLongestCommonSubString(const char *pStr1, cons t char *pStr2)6.{7./* 判断参数合法性 */8.if (pStr1 == NULL || pStr2 == NULL)9.{10.return -1;11.}12.13.int n = strlen(pStr1);14.int m = strlen(pStr2);15.int longestCommonSubString = 0;16.17./* 申请辅助空间，并初始化为0 */18.int *LCS = new int[m];19.for (int i = 0; i < m; i++)20.{21.LCS[i] = 0;22.}23.24./* 不断判断pStr[i] ?= pStr[j]，然后根据不同情况来更新LCS */25.for (int i = 0; i < n; i++)26.{27.for (int j = m - 1; j >= 0; j--)28.{29.if (pStr1[i] == pStr2[j]) /* 如果pStr1[i] == pStr2[j]，LCS[j] = LCS[j-1] + 1 */30.{31.if (j == 0)32.{33.LCS[j] = 1;34.}35.else36.{37.LCS[j] = LCS[j-1] + 1;38.}39.}40.else /* 如果pStr1[i] != pStr2[j]，LCS[j] = 0 */41.{42.LCS[j] = 0;43.}44.45./* 更新最长子串的长度 */46.if (LCS[j] > longestCommonSubString)47.{48.longestCommonSubString = LCS[j];49.}50.}51.}52.53.delete LCS;54.LCS = NULL;55.56.return longestCommonSubString;57.}58.59.void Test(const char *testName, const char *pStr1, con st char *pStr2, int expectedLongestCommonSubString)60.{61.cout << testName << " : ";62.if (GetLongestCommonSubString(pStr1, pStr2) == exp ectedLongestCommonSubString)63.{64.cout << "Passed." << endl;65.}66.else67.{68.cout << "Failed." << endl;69.}70.}71.72.int main()73.{74.Test("Test1", "caba", "bab", 2);75.Test("Test2", "abcd", "efg", 0);76.Test("Test3", "abcde", "abcde", 5);77.}(2) 找出两个字符串的最长公共子序列题目：输入两个字符串，求两个字符串的最长公共子序列。

最长公共子串和最长公共子序列

最长公共⼦串和最长公共⼦序列1.两个字符串的最长公共⼦串与最长公共⼦序列的区别：最长公共⼦串要求在原字符串中是连续的，⽽⼦序列只需要保持相对顺序⼀致，并不要求连续。

下⾯分别讲讲怎么求它们。

2.最长公共⼦串：（1）暴⼒解法：要求最长公共⼦串，可以⽤暴⼒的解法：int longestSubstring(string x, string y) {int max = 0;string str = "";for (int i = 0; i < x.size(); i++) {int len = 0;int j = i;while (j < x.size()) {str += x[j];if (y.find(str) == y.npos) break;len++;j++;if (len > max) max = len;}str = "";}return max;}或者：int longestSubstring(string x, string y) {int xlen = x.size();int ylen = y.size();if (xlen == 0 || ylen == 0) {return0;}int max = -1;for (int i = 0; i < xlen; i++) {for (int j = 0; j < ylen; j++) {int m = i, n = j;int len = 0;while (m < xlen && n < ylen) {if (x[m] != y[n]) {break;}m++;n++;len++;}if (len > max) {max = len;}}}return max;}这种暴⼒解法唯⼀值得学习的地⽅，就是怎么求⼀个字符串的所有⼦字符串。

⽤⼀个⼆层循环即可，外⾯⼀层循环从字符串的头遍历到尾，⾥⾯的循环就从当前的位置开始，每个字符地加，这样就可以得到所有的⼦字符串了。

最长公共子序列、最长递增子序列、最长递增公共子序列、最长子序列（leetcode524）

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最长子序列（leetcode 524）
用每个字符串同当前字符串进行匹配，看当前字符串是否是要匹配字符串的子串。
if(s_len < i_len && i_len < len_now) {
continue; } if(isValid(s, (*it)) && i_len > len_now) {
tmp = (*it); len_now = i_len; } } return tmp; }
bool isValid(string& s1, string& s2) {
int len1 = s1.length(), len2 = s2.length(); int i=0,j=0; for(; i<len1 && j < len2;) {
if(s1.at(i) == s2.at(j)) {
j++; } i++; }
return j == len2; } };
int main() {
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最长公共子序列、最长递增子序列、最长递增公共子序列、最长子序列（ leetcode524）
参考：https:///sasuke-/p/5396843.html
https:///someone_and_anyone/article/details/81044153
对所有字符串先排字典序，然后依次同要匹配的字符串匹配。