计算数组a中最长递增子序列的长度

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下半年软件设计师下午真题试卷

2014年下半年软件设计师下午试卷试题一阅读下列说明和图，回答问题1至问题3,将解答填入答题纸的对应栏内。

【说明】某大型披萨加工和销售商为了有效管理生产和销售情况，欲开发一披萨信息系统，其主要功能如下：（1）销售。

处理客户的订单信息，生成销售订单，并将其记录在销售订单表中。

销售订单记录了订购者、所订购的披萨、期望的交付日期等信息。

（2）生产控制。

根据销售订单以及库存的披萨数量，制定披萨生产计划（包括生产哪些披萨、生产顺序和生产量等），并将其保存在生产计划表中。

（3）生产。

根据生产计划和配方表中的披萨配方，向库存发出原材料申领单，将制作好的披萨的信息存入库存表中，以便及时进行交付。

（4）采购。

根据所需原材料及库存量，确定采购数量，向供应商发送采购订单，并将其记录在采购订单表中；得到供应商的供应量，将原材料数量记录在库存表中，在采购订单表中标记已完成采购的订单。

（5）运送。

根据销售订单将披萨交付给客户，并记录在交付记录表中。

（6）财务管理。

在披萨交付后，为客户开具费用清单，收款并出具收据；依据完成的采购订单给供应商支付原材料费用并出具支付细节；将收款和支付记录存入收支记录表中。

（7）存储。

检查库存的原材料、拔萨和未完成订单，确定所需原材料。

现采用结构化方法对披萨信息系统进行分析与设计，获得如图1-1所示的上下文数据流图和图1-2所示的0层数据流图。

问题：根据说明中的词语，给出图1-1中的实体E1～E2的名称。

问题：根据说明中的词语，给出图1-2中的数据存储D1～D5的名称。

问题：根据说明和图中词语，补充图1-2中缺失的数据流及其起点和终点。

参考答案：【问题1】E1：客户；E2：供应商【问题2】D1：销售订单表；D2：库存表；D3：生产计划表；D4：配方表；D5：采购订单表【问题3】（1）数据流名称：支付细节；起点：财务管理；终点：E2。

（2）数据流名称：销售订单；起点：销售订单表；终点：5运送。

（3）数据流名称：生产计划；起点：D3；终点：3生产。

严格递增子序列

严格递增子序列概述严格递增子序列是指在一个序列中，选取若干个元素，使它们的值按照严格递增的顺序排列。

这个问题可以用于求解一些实际问题，例如最长递增子序列问题和最长上升子序列问题。

本文将详细介绍严格递增子序列的定义、性质、求解方法以及应用。

定义给定一个序列，例如 [1, 3, 2, 4, 5, 1, 6]，我们可以选取其中的若干个元素形成一个子序列。

如果选取的子序列中的元素按照严格递增的顺序排列，那么这个子序列就是严格递增子序列。

在上述例子中，[1, 2, 4, 5, 6] 就是一个严格递增子序列。

性质严格递增子序列具有以下性质：1.长度最长：在一个序列中，可能存在多个严格递增子序列，但长度最长的严格递增子序列只有一个。

2.元素唯一：严格递增子序列中的元素是唯一的，即不能包含重复的元素。

3.子序列位置：严格递增子序列中的元素在原序列中的位置是不连续的，可以跳过一些元素。

求解方法求解严格递增子序列的问题有多种方法，下面介绍两种常用的方法：动态规划和贪心算法。

动态规划动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法。

对于严格递增子序列的问题，可以使用动态规划来求解最长递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）。

动态规划的思想是将原问题分解为若干个子问题，通过求解子问题的最优解来求解原问题的最优解。

对于求解最长递增子序列的问题，可以定义一个状态数组 dp，其中 dp[i] 表示以第 i 个元素结尾的最长递增子序列的长度。

具体的动态规划算法如下：1.初始化状态数组 dp，将所有元素初始化为 1。

2.对于每个元素 nums[i]，遍历它前面的所有元素 nums[j]（0 <= j < i），如果 nums[i] 大于 nums[j]，则更新 dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)。

3.遍历状态数组 dp，找到最大的 dp[i]，即为最长递增子序列的长度。

动态规划之最长递增子序列（LIS）

动态规划之最长递增⼦序列（LIS）在⼀个已知的序列{ a1,a2,……am}中，取出若⼲数组成新的序列{ ai1, ai2,…… aim},其中下标 i1,i2, ……im保持递增，即新数列中的各个数之间依旧保持原数列中的先后顺序，那么称{ ai1, ai2,……aim}为原序列的⼀个⼦序列。

若在⼦序列中，当下标 ix > iy时，aix > aiy，那么称其为原序列的⼀个递增⼦序列。

最长递增⼦序列问题就是在⼀个给定的原序列中，求得其最长递增⼦序列的长度。

求最长递增⼦序列的递推公式为：F(1) = 1;F(i) = max{ 1, F[j]+1 | aj<ai && j<i}拦截导弹题⽬描述某国为了防御敌国的导弹袭击，开发出⼀种导弹拦截系统。

但是这种导弹拦截系统有⼀个缺陷：虽然它的第⼀发炮弹能够到达任意的⾼度，但是以后每⼀发炮弹都不能⾼于前⼀发的⾼度。

某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭，并观测到导弹依次飞来的⾼度，请计算这套系统最多能拦截多少导弹。

拦截来袭导弹时，必须按来袭导弹袭击的时间顺序，不允许先拦截后⾯的导弹，再拦截前⾯的导弹。

输⼊描述:每组输⼊有两⾏，第⼀⾏，输⼊雷达捕捉到的敌国导弹的数量k（k<=25），第⼆⾏，输⼊k个正整数，表⽰k枚导弹的⾼度，按来袭导弹的袭击时间顺序给出，以空格分隔。

输出描述:每组输出只有⼀⾏，包含⼀个整数，表⽰最多能拦截多少枚导弹。

⽰例1输⼊8300 207 155 300 299 170 158 65输出6解题思路：要求最多能拦截多少枚导弹，即在按照袭击顺序排列的导弹⾼度中求其最长不增⼦序列。

其中F(1) = 1;F(i) = max{ 1, F[j]+1 | aj>=ai && j<i}1 #include<stdio.h>2 #include<stdlib.h>34int list[26]; //按顺序保存导弹⾼度5int dp[26]; //保存以第i个导弹结尾的最长不增长序列长度6int max( int a,int b)7 {8//选取最⼤值9return a>b? a:b;10 }11int main()12 {13int n;14int tmax,ans;15int i,j;16while( scanf("%d",&n)!=EOF)17 {18for( i=1; i<=n; i++)19 {20 scanf("%d",&list[i]);21 dp[i] = 0;22 }23for( i=1; i<=n; i++)24 {25 tmax = 1; //最长不增长⼦序列长度⾄少为126for( j=1; j<i; j++) //遍历其前所有导弹⾼度27 {28if( list[j]>=list[i]) //若j号导弹不⽐当前导弹低29 {30 tmax = max( tmax,dp[j]+1);31 }32 }33 dp[i] = tmax;34 }35 ans = 1;36for( i=1; i<=n; i++)37 ans = max( ans, dp[i]);38 printf("%d\n",ans);39 }4041return0;42 }。

算法设计与分析习题与实验题(12.18)

《算法设计与分析》习题第一章引论习题1-1 写一个通用方法用于判定给定数组是否已排好序。

解答：Algorithm compare(a,n)BeginJ=1;While (j<n and a[j]<=a[j+1]) do j=j+1;If j=n then return trueElseWhile (j<n and a[j]>=a[j+1]) do j=j+1;If j=n then return true else return false end ifEnd ifend习题1-2 写一个算法交换两个变量的值不使用第三个变量。

解答：x=x+y; y=x-y; x=x-y;习题1-3 已知m,n为自然数，其上限为k（由键盘输入，1<=k<=109）,找出满足条件(n2-mn-m2)2=1 且使n2+m2达到最大的m、n。

解答：m:=k; flag:=0;repeatn:=m;repeatl:=n*n-m*n-m*n;if (l*l=1) then flag:=1 else n:=n-1;until (flag=1) or (n=0)if n=0 then m:=m-1until (flag=1) or (m=0);第二章基础知识习题2-1 求下列函数的渐进表达式：3n 2+10n ; n 2/10+2n ; 21+1/n ; log n 3; 10 log3n 。

解答： 3n 2+10n=O （n 2）， n 2/10+2n =O （2n ）， 21+1/n=O （1）， log n 3=O （log n ），10 log3n =O （n ）。

习题2-2 说明O (1)和 O (2)的区别。

习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式：!n ，3/22,2,20,3,log ,4n n n n n 。

解答：照渐进阶从低到高的顺序为：!n 、 3n、 24n 、23n 、20n 、log n 、2习题2-4（1）假设某算法在输入规模为n 时的计算时间为n n T 23)(⨯=。

python经典算法100例

python经典算法100例Python是一种简单易学的编程语言，它具有丰富的库和模块，可以实现各种算法。

下面将介绍100个经典的Python算法例子，帮助读者更好地理解和掌握Python编程。

1. 二分查找算法：在有序数组中查找指定元素的位置。

2. 冒泡排序算法：对数组进行排序，每次比较相邻的两个元素并交换位置。

3. 快速排序算法：通过选择一个基准元素，将数组分为两部分，递归地对两部分进行排序。

4. 插入排序算法：将数组分为已排序和未排序两部分，每次从未排序部分选择一个元素插入到已排序部分的正确位置。

5. 选择排序算法：每次从未排序部分选择最小的元素放到已排序部分的末尾。

6. 归并排序算法：将数组分为两部分，递归地对两部分进行排序，然后将两部分合并。

7. 堆排序算法：通过构建最大堆或最小堆，将数组进行排序。

8. 计数排序算法：统计数组中每个元素的出现次数，然后按照次数进行排序。

9. 桶排序算法：将数组分为多个桶，每个桶内部进行排序，然后将桶中的元素按照顺序合并。

10. 基数排序算法：按照元素的位数进行排序，从低位到高位依次进行。

11. 斐波那契数列算法：计算斐波那契数列的第n个数。

12. 阶乘算法：计算一个数的阶乘。

13. 最大公约数算法：计算两个数的最大公约数。

14. 最小公倍数算法：计算两个数的最小公倍数。

15. 素数判断算法：判断一个数是否为素数。

16. 矩阵相加算法：计算两个矩阵的和。

17. 矩阵相乘算法：计算两个矩阵的乘积。

18. 斐波那契堆算法：实现斐波那契堆的插入、删除和合并操作。

19. 最短路径算法：计算图中两个节点之间的最短路径。

20. 最小生成树算法：计算图中的最小生成树。

21. 拓扑排序算法：对有向无环图进行拓扑排序。

22. 最大流算法：计算网络中的最大流。

23. 最小费用流算法：计算网络中的最小费用流。

24. 最大子序列和算法：计算数组中连续子序列的最大和。

25. 最长递增子序列算法：计算数组中最长递增子序列的长度。

最长严格递增子序列长度

最长严格递增子序列最长严格递增子序列（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是序列的一个重要特性，它在算法和数据结构中都有广泛的应用。

在给出最长严格递增子序列的长度时，我们首先需要了解这个序列的特性。

定义：设A 是一个有限序列，如果存在一个索引集合I，使得对于所有的i∈I，都有A[i]>A[j]，其中j∈I 且j<i，那么我们称A[I] 是A 的一个最长严格递增子序列。

为了求解最长严格递增子序列的长度，我们可以使用动态规划的方法。

假设A 是一个长度为n 的序列，我们定义一个数组dp，其中dp[i] 表示以A[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度。

显然，如果A[i] 是序列中的最小值，那么以A[i] 结尾的最长严格递增子序列的长度就是1。

否则，我们可以考虑在A[i] 之前的所有元素中，哪些元素的严格递增子序列可以以A[i] 结尾。

对于每一个这样的元素A[j]，如果dp[j]+1>dp[i]，那么我们就更新dp[i] 为dp[j]+1。

最终，最长严格递增子序列的长度就是所有dp[i] 中的最大值。

下面是一个简单的Python 实现：pythondef length_of_LIS(A):n = len(A)if n == 0:return 0dp = [1] * nfor i in range(1, n):for j in range(i):if A[j] < A[i] and dp[j] + 1 > dp[i]:dp[i] = dp[j] + 1return max(dp)在最坏情况下，这个算法的时间复杂度是O(n2)。

然而，如果序列是有序的，那么最长严格递增子序列的长度就是序列的长度，而我们可以通过线性扫描来求解。

因此，在最好情况下，时间复杂度是O(n)。

最长子序列算法

最长子序列算法最长子序列（Longest Common Subsequence，LCS）算法是一种常见的动态规划算法，用于解决字符串匹配问题。

它的主要目的是找到两个字符串中最长的公共子序列。

在介绍该算法之前，我们需要先了解什么是子序列。

一个字符串的子序列是指从该字符串中删除某些字符而不改变其相对顺序后得到的新字符串。

例如，对于字符串“abcdefg”，“abc”、“ace”、“bdf”都是它的子序列。

那么，最长公共子序列就是指两个字符串中都存在的最长子序列。

例如，对于字符串“abcdefg”和“acdfg”，它们的最长公共子序列为“adf”。

接下来，我们将介绍如何使用动态规划求解最长公共子序列。

1. 状态定义我们可以使用一个二维数组dp[i][j]来表示第一个字符串前i个字符和第二个字符串前j个字符之间的最长公共子序列长度。

其中dp[0][j]和dp[i][0]表示空串与另一个串之间的LCS长度均为0。

2. 状态转移方程当第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符相同时，则该字符必然属于LCS中，并且LCS长度加一：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1。

当第一个字符串的第i个字符与第二个字符串的第j个字符不同时，则该字符不能同时属于LCS中，此时需要考虑两种情况：（1）第一个字符串的前i-1个字符与第二个字符串的前j个字符之间的LCS长度大于等于第一个字符串的前i个字符与第二个字符串的前j-1个字符之间的LCS长度，即dp[i][j] = dp[i-1][j]。

（2）第一个字符串的前i-1个字符与第二个字符串的前j个字符之间的LCS长度小于第一个字符串的前i个字符与第二个字符串的前j-1个字符之间的LCS长度，即dp[i][j] = dp[i][j-1]。

综上所述，状态转移方程可以表示为：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1, if str1[i]==str2[j]dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]), if str1[i]!=str2[j]3. 最终结果最终结果即为dp[m][n]，其中m和n分别为两个字符串的长度。

2014年下半年软件设计师考试下午真题答案解析

2014年下半年软件设计师考试下午真题1 、阅读下列说明和图，回答问题1至问题3，将解答填入答题纸的对应栏内。

【说明】某大型披萨加工和销售商为了有效管理生产和销售情况，欲开发一披萨信息系统，其主要功能如下：（1）销售。

处理客户的订单信息，生成销售订单，并将其记录在销售订单表中。

销售订单记录了订购者、所订购的披萨、期望的交付日期等信息。

（2）生产控制。

根据销售订单以及库存的披萨数量，制定披萨生产计划（包括生产哪些披萨、生产顺序和生产量等），并将其保存在生产计划表中。

（3）生产。

根据生产计划和配方表中的披萨配方，向库存发出原材料申领单，将制作好的披萨的信息存入库存表中，以便及时进行交付。

（4）采购。

（5）运送。

根据销售订单将披萨交付给客户，并记录在交付记录表中。

（6）财务管理。

（7）存储。

检查库存的原材料、拔萨和未完成订单，确定所需原材料。

现采用结构化方法对披萨信息系统进行分析与设计，获得如图1-1所示的上下文数据流图和图1-2所示的0层数据流图。

图1-1 上下文数据流图图1-2 0层数数据流图【问题1】（4分）根据说明中的词语，给出图1-1中的实体E1～E2的名称。

【问题2】（5分）根据说明中的词语，给出图1-2中的数据存储D1～D5的名称。

【问题3】（6分）根据说明和图中词语，补充图1-2中缺失的数据流及其起点和终点。

根据需求分析阶段收集的信息，设计的实体联系图和关系模式（不完整）如下：图1-1 实体联系图超市（超市名称，经理，地址，电话）【问题1】【问题2】（a）超市名称，部门名称主键：（超市名称，部门名称）外键：超市名称，部门经理现采用面向对象方法对该系统进行分析与设计，得到如图1-1所示的初始类图。

高中信息奥赛试题及答案

高中信息奥赛试题及答案试题一：算法设计题目：给定一个整数数组，找出其中最长的连续递增子序列的长度。

要求：1. 编写一个函数，输入为整数数组，输出为最长连续递增子序列的长度。

2. 考虑时间复杂度和空间复杂度。

答案：```pythondef find_longest_increasing_subsequence(arr):if not arr:return 0n = len(arr)dp = [1] * n # dp[i] 表示以 arr[i] 结尾的最长递增子序列长度max_length = 1 # 至少包含一个元素for i in range(1, n):for j in range(i):if arr[j] < arr[i]:dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)max_length = max(max_length, dp[i])return max_length```试题二：数据结构题目：设计一个队列，支持以下操作：1. 入队（enqueue）2. 出队（dequeue）3. 获取队列大小（size）4. 判断队列是否为空（is_empty）要求：1. 使用链表实现队列。

2. 确保所有操作的时间复杂度为 O(1)。

答案：```pythonclass Node:def __init__(self, value):self.value = valueself.next = Noneclass Queue:def __init__(self):self.head = Noneself.tail = Noneself.size = 0def enqueue(self, value):new_node = Node(value)if self.is_empty():self.head = new_nodeelse:self.tail.next = new_node self.tail = new_nodeself.size += 1def dequeue(self):if self.is_empty():raise Exception("Queue is empty")value = self.head.valueself.head = self.head.nextif self.head is None:self.tail = Noneself.size -= 1return valuedef size(self):return self.sizedef is_empty(self):return self.size == 0```试题三：编程语言特性题目：请解释以下C++代码片段的功能，并指出可能的问题。

动态规划问题-经典模型的状态转移方程

动态规划问题-经典模型的状态转移⽅程状态转移⽅程动态规划中当前的状态往往依赖于前⼀阶段的状态和前⼀阶段的决策结果。

例如我们知道了第i个阶段的状态Si以及决策Ui，那么第i+1阶段的状态Si+1也就确定了。

所以解决动态规划问题的关键就是确定状态转移⽅程，⼀旦状态转移⽅程确定了，那么我们就可以根据⽅程式进⾏编码。

在前⾯的⽂章讲到了如何设计⼀个动态规划算法，有以下四个步骤：1、刻画⼀个最优解的结构特征。

2、递归地定义最优解的值。

3、计算最优解的值，通常采⽤⾃底向上的⽅法。

4、利⽤计算出的信息构造⼀个最优解。

对于确定状态转移⽅程就在第⼀步和第⼆步中，⾸先要确定问题的决策对象，接着对决策对象划分阶段并确定各个阶段的状态变量，最后建⽴各阶段的状态变量的转移⽅程。

例如⽤dp[i]表⽰以序列中第i个数字结尾的最长递增⼦序列长度和最长公共⼦序列中⽤dp[i][j]表⽰的两个字符串中前 i、 j 个字符的最长公共⼦序列，我们就是通过对这两个数字量的不断求解最终得到答案的。

这个数字量就被我们称为状态。

状态是描述问题当前状况的⼀个数字量。

⾸先，它是数字的，是可以被抽象出来保存在内存中的。

其次，它可以完全的表⽰⼀个状态的特征，⽽不需要其他任何的辅助信息。

最后，也是状态最重要的特点，状态间的转移完全依赖于各个状态本⾝，如最长递增⼦序列中，dp[x]的值由 dp[i](i < x)的值确定。

若我们在分析动态规划问题的时候能够找到这样⼀个符合以上所有条件的状态，那么多半这个问题是可以被正确解出的。

所以说，解动态规划问题的关键，就是寻找⼀个好的状态。

总结下⾯对这⼏天的学习总结⼀下，将我遇到的各种模型的状态转移⽅程汇总如下：1、最长公共⼦串假设两个字符串为str1和str2，它们的长度分别为n和m。

d[i][j]表⽰str1中前i个字符与str2中前j个字符分别组成的两个前缀字符串的最长公共长度。

这样就把长度为n的str1和长度为m的str2划分成长度为i和长度为j的⼦问题进⾏求解。

动态规划经典问题

动态规划经典问题动态规划（Dynamic Programming）是一种常用的求解最优化问题的方法，它通过将问题分解成若干子问题，并保存子问题的解，从而避免重复计算，提高计算效率。

在动态规划中，经典问题有不少，其中包括背包问题、最长公共子序列问题、最长递增子序列问题等。

本文将介绍其中的两个经典问题：背包问题和最长递增子序列问题。

一、背包问题背包问题是动态规划中的经典问题之一，它描述了一个给定容量的背包和一系列物品，每一个物品有自己的分量和价值，在限定的容量下，如何选择物品使得背包中的总价值最大化。

假设有一个背包，容量为W，有n个物品，每一个物品的分量分别为w1,w2, ..., wn，对应的价值分别为v1, v2, ..., vn。

要求在限定的背包容量下，选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。

解决背包问题的一种常用方法是使用动态规划。

我们可以定义一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在前i个物品中，背包容量为j时的最大价值。

根据动态规划的思想，我们可以得到如下的状态转移方程：dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-wi] + vi)其中，dp[i-1][j]表示不选择第i个物品时的最大价值，dp[i-1][j-wi] + vi表示选择第i个物品时的最大价值。

具体求解背包问题的步骤如下：1. 初始化dp数组，将dp[0][j]和dp[i][0]均设为0，表示背包容量为0时和没有物品可选时的最大价值均为0。

2. 逐个计算dp[i][j]的值，根据状态转移方程更新dp数组。

3. 最终得到dp[n][W]的值，即为所求的最大价值。

例如，假设背包容量为10，有4个物品，它们的分量和价值分别如下：物品1：分量2，价值6物品2：分量2，价值3物品3：分量3，价值5物品4：分量4，价值8根据上述步骤，可以得到如下的dp数组：0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 01 0 0 6 6 6 6 6 6 6 6 62 0 0 6 6 9 9 9 9 9 9 93 0 0 6 6 9 9 11 11 14 14 144 0 0 6 6 9 9 11 11 14 14 17可以看到，dp[4][10]的值为17，表示在背包容量为10时，选择物品1、物品3和物品4可以得到的最大价值为17。

双端diff算法和最长递增子序列-概述说明以及解释

双端diff算法和最长递增子序列-概述说明以及解释1.引言文章1.1 概述：双端diff算法和最长递增子序列是两种常用的算法，在软件开发和数据处理领域有着广泛的应用。

双端diff算法用于比较两个文本之间的差异，可以用于版本控制系统、代码审查工具等场景。

最长递增子序列是一个经典的动态规划问题，用于求解给定序列中最长的递增子序列，可以应用于任务调度、DNA序列分析等领域。

本文首先介绍了双端diff算法的原理和实现步骤。

双端diff算法通过将两个文本同时从头和尾部进行比较，以便更准确地找到差异部分。

该算法分为两个主要步骤：首先，通过计算输入文本的行号和内容的哈希值，构建两个文本的哈希字典。

然后，通过比较哈希字典的方式，快速找到两个文本之间的差异部分。

通过引入双端比较的思想，双端diff算法在效率和准确性方面都有着良好的表现。

接下来，本文介绍了最长递增子序列的定义与性质以及求解方法。

最长递增子序列是指在给定序列中找到最长的递增数字序列，该子序列中的元素保持原序列中的相对顺序。

本文介绍了通过动态规划算法来解决最长递增子序列问题的基本思想和步骤。

该算法通过定义状态和状态转移方程，可以高效地求解给定序列的最长递增子序列。

最后，本文总结了双端diff算法和最长递增子序列的主要内容，并展望了它们在未来的应用前景。

双端diff算法可以进一步改进以提高比较效率和准确性，为软件开发和数据处理提供更好的支持。

最长递增子序列算法可以应用于更多领域，如机器学习、自然语言处理等，为解决实际问题提供更多可能性。

通过本文的介绍，读者将对双端diff算法和最长递增子序列有更全面的了解，并能够在实际应用中灵活运用它们来解决相应的问题。

对于软件开发人员和数据处理工程师来说，掌握这两种算法将有助于提高工作效率和质量。

文章结构部分的内容可以描述整篇文章的组织和内容安排。

以下是文章结构部分的可能内容：1.2 文章结构本文将会介绍双端diff算法和最长递增子序列两个重要的算法。

最长上升子序列

最长上升子序列问题是各类信息学竞赛中的常见题型，也常常用来做介绍动态规划算法的引例，笔者接下来将会对POJ上出现过的这类题目做一个总结，并介绍解决LIS问题的两个常用
算法(n^2)和(nlogn).
问题描述:给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7....an,求它的一个子序列（设为s1,s2,...sn），使得这个子序列满足这样的性质，s1<s2<s3<...<sn并且这个子序列的长度最长。输出这个最长的长度。（为了简化该类问题，我们将诸如最长下降子序列及最长不上升子序列等问题都看成同一个问题，其实仔细思考就会发现，这其实只是<符号定义上的问题，并不影响问题的实质）
int main()
{
int testcase;
int n;
scanf("%d",&testcase);
int i,j;
for(i=1;i<=testcase;i++)
{
scanf("%d",&n);
for(j=1;j<=n;j++)
dp[i]=m+1;
if(dp[i]>ans)
ans=dp[i];
}
return ans;
}
算法2(nlogn):维护一个一维数组c，并且这个数组是动态扩展的，初始大小为1，c[i]表示最长上升子序列长度是i的所有子串中末尾最小的那个数，根据这个数字，我们可以比较知道
下面是模板：
//最长上升子序列(n^2)模板
//入口参数：1.数组名称 2.数组长度（注意从1号位置开始）
template<class T>

最长上升子序列的长度和最长上升子序列的长度之和。

最长上升子序列的长度和最长上升子序列的长度之和随着数字化时代的到来，数据结构和算法已经成为计算机领域中必不可少的知识点。

在这些知识中，最长上升子序列(LIS)是一个非常实用的算法。

它在许多问题中都有着广泛的应用，例如计算机视觉、信号处理和金融分析等领域。

在这篇文章中，我们将会介绍最长上升子序列的长度和最长上升子序列的长度之和，并探索它们的应用。

在计算机科学中，最长上升子序列是给定一个序列的子序列中最长的一个。

例如，在序列{5，2，8，6，3，6，9，7}中，最长上升子序列是{2，3，6，9}，其长度为4。

寻找这个子序列的算法有多种，并且时间复杂度也不同。

其中一种较为简单且高效的算法是使用动态规划。

最长上升子序列的计算是通过递推完成的。

我们使用一个数组LIS来保存到目前为止的最长子序列长度。

对于数组中的每个数，我们扫描该数字之前的数字，找到比它小的数字的LIS值，然后把其值加1。

具体的算法步骤为：1. 初始化长度为n的LIS数组为1，因为每个数字都可以单独成为一个子序列；2. 从第二个数字开始，扫描数组中的每个数字；3. 对于每个数字，扫描这个数字之前的数字，寻找比它小的数字，并更新LIS数组中的值；4. 扫描完整个数组后，LIS数组中的最大值即为最长上升子序列的长度。

这个算法的时间复杂度为O(n²)。

可以使用二分法来优化这个算法，将时间复杂度降到O(nlogn)。

除了最长上升子序列的长度外，我们还可以考虑两个序列的长度之和。

例如，对于序列{5，2，8，6，3，6，9，7}和序列{4，1，10，7，6，5，2}，两个序列的最长上升子序列分别是{2，3，6，9}和{1，6，7}。

它们的长度之和为7。

计算两个序列最长上升子序列长度之和的算法通常使用动态规划来完成。

假设两个序列分别为X和Y，我们使用一个二维数组dp来保存计算结果。

dp[i][j]表示X中前i个数字和Y中前j个数字的最长上升子序列长度之和。

最长上升子序列算法

最长上升子序列算法最长上升子序列算法（Longest Increasing Subsequence，简称LIS）是用于求解一个给定的序列中最长上升子序列的算法。

它的基本思想是：假设当前位置的元素已经可以确定，那么如何求出最长上升子序列呢？首先，使用动态规划来解决这个问题，即：将原问题拆解成若干个子问题，每个子问题仅涉及当前位置的元素。

然后，在这些子问题之间建立一个递推关系，用来解决最终的正确答案。

例如，对于一个数组A，可以用动态规划求解最长上升子序列。

令 f[i] 表示以 A[i] 作为末尾的最大上升子序列的长度，那么有如下的递推关系：f[i] = max{1, f[j] + 1 | j < i 且 A[j] < A[i]}即，以 A[i] 结尾的最长上升子序列的长度，可以由以 A[j] (j<i) 结尾的最长上升子序列的长度+1 得到，其中A[j] < A[i]。

根据这个递推关系，可以很容易地编写出一个 O(n^2) 的算法来解决最长上升子序列的问题：//求最长上升子序列的长度 int LIS(int A[], int n){ int f[n]; for(int i=0;i<n;i++) f[i]=1; for(int i=1;i<n;i++){ for(intj=0;j<i;j++){ if(A[j]<A[i]) f[i]=max(f[i],f[j]+1); } } intmax=0; for(inti=0;i<n;i++){ if(f[i]>max)max=f[i]; } return max; }上述算法的时间复杂度为 O(n^2)，空间复杂度为O(n)。

但是，可以进一步优化上述算法，使得它只需要O(nlogn) 的时间复杂度就能求解出最长上升子序列。

该优化方法是基于二分查找的，即在查找每个当前位置的最长上升子序列时，利用二分查找来快速查找出当前位置之前的最长上升子序列中最长的一个。

动态规划-最长单调递增子序列（dp）

动态规划-最长单调递增⼦序列（dp）解题思想：动态规划1.解法1(n2)　状态：d[i] = 长度为i+1的递增⼦序列的长度　状态转移⽅程：dp[i] = max(dp[j]+1, dp[i]);分析：最开始把dp数组初始化为1，然后从前往后考虑数列的元素，对于每个aj，如果a[i] > a[j]，就⽤dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)进⾏更新，再从dp数组中找出最⼤值即为结果举例：abklmncdefg dp[0] = 1; dp[1] = 2; dp[2] = 3; dp[3] = 4; dp[4] = 5; dp[5] = 6; dp[7] = 3; dp[8] = 4; dp[9] = 5; dp[10] = 6; dp[11] = 7; 最⼤值为7　代码：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4using namespace std;5const int MAX_N = 10005;6int n;7char a[MAX_N];8int dp[MAX_N];9int main() {10int n;11 cin >> n;12while(n--) {13int ans = 0;14 fill(dp, dp+MAX_N, 1);15 cin >> a;16int len = strlen(a);17for(int i = 0; i < len; i++) {18for(int j = 0; j < i; j++) {19if(a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);20 }21 ans = max(ans, dp[i]);22 }23 cout << ans << endl;24 }25return0;26 }View Code2.解法2(n2)　状态：d[i] = 长度为i+1的递增⼦序列中末尾的最⼩值(不存在就是INF)　分析：最开始⽤INF初始化dp数组的值，然后从前往后考虑数列的元素，对于每个aj，如果i = 0或者a[j] >= a[i]，使得a[j] = a[i]并且break出来，最后第⼀个dp数组中值为INF的下标即为结果　举例：abklmncdefg a; ab; abk; abkl; abklm; abklmn; abclmn; abcdmn; abcden; abcdef; abcdefg; 第⼀个INF的下标为7　　代码：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4using namespace std;5const int MAX_N = 10005;6const int INF = 127;7int n;8char a[MAX_N];9char dp[MAX_N];10int main() {11int n;12 cin >> n;13while(n--) {14 fill(dp, dp+MAX_N, INF);15 cin >> a;16int len = strlen(a);17for(int i = 0; i < len; i++) {18for(int j = 0; j < len; j++) {19if(!i || dp[j] >= a[i]) {20 dp[j] = a[i]; break;21 }22 }23 }24int ans = 0;25while(dp[ans] != INF) ans++;26 cout << ans << endl;27 }28return0;29 }View Code3.解法3(nlogn)　分析：思路与解法2⼀样，但是解法2可以进⼀步优化，在解法2中dp数组是单调递增的，每次要从头到尾找到第⼀个⼤于等于a[i]的值，这是o(n2)的，既然是顺序的可以使⽤⼆分查找进⾏改进，这样可以在o(nlogn)时间内求出结果，这⾥利⽤到了STL中的lower_bound(dp, dp + n, a[i])，找出dp数组中⼤于等于a[i]的最⼩的指针，upper_boundlower_bound(dp, dp + n, a[i])，找出dp数组中⼤于a[i]的最⼤的指针代码：1 #include<iostream>2 #include<cstdio>3 #include<cstring>4 #include<algorithm>5using namespace std;6const int MAX_N = 10005;7const int INF = 127;8int n;9char a[MAX_N];10char dp[MAX_N];11int main() {12int n;13 cin >> n;14while(n--) {15 fill(dp, dp+MAX_N, INF);16 cin >> a;17int len = strlen(a);18for(int i = 0; i < len; i++) {19 *lower_bound(dp, dp+len, a[i]) = a[i];20 }21 cout << lower_bound(dp, dp+len, INF) - dp << endl;22 }23return0;24 }View Code。

最长单调递增子序列问题

最长单调递增子序列问题最长单调递增子序列问题是一个经典的动态规划问题，它需要找出给定序列中最长的单调递增子序列的长度。

在解决这个问题之前，我们首先来了解一下什么是单调递增子序列。

单调递增子序列是指在给定序列中，选取若干元素组成新的序列，使得新序列中的元素逐个递增。

例如，对于序列[1, 3, 2, 5, 4, 6]，其最长的单调递增子序列为[1, 2, 4, 6]，长度为4。

解决最长单调递增子序列问题的一个常用方法是动态规划。

我们可以定义一个长度与给定序列相同的数组dp，其中dp[i]表示以第i 个元素结尾的最长单调递增子序列的长度。

初始时，所有元素的最长单调递增子序列长度都为1，即dp[i]=1。

然后，我们可以通过遍历给定序列的每个元素，计算dp[i]的值。

具体的计算方法是，对于给定序列中的第i个元素，我们可以从第1个元素到第i-1个元素中选择一个小于第i个元素的元素，将其加入到以第i个元素结尾的最长单调递增子序列中，从而得到一个长度加1的递增子序列。

我们选择其中长度最长的递增子序列，将其长度加1作为dp[i]的值。

通过这种方法，我们可以依次计算出dp[1]、dp[2]、...、dp[n]的值，其中n为给定序列的长度。

最终，最长单调递增子序列的长度即为dp数组中的最大值。

下面，我们以一个具体的例子来说明这个算法的过程。

假设给定序列为[1, 3, 2, 5, 4, 6]。

初始化dp数组为[1, 1, 1, 1, 1, 1]，因为每个元素本身就构成一个长度为1的递增子序列。

然后，从第2个元素开始遍历给定序列。

对于第2个元素3，我们可以选择第1个元素1作为它的前一个元素，得到长度为2的递增子序列[1, 3]。

因此，更新dp[2]的值为2。

接下来，对于第3个元素2，我们可以选择第1个元素1作为它的前一个元素，得到长度为2的递增子序列[1, 2]。

因此，更新dp[3]的值为2。

对于第4个元素5，我们可以选择第1个元素1或者第3个元素2作为它的前一个元素，得到长度为2的递增子序列[1, 5]或者[2, 5]。

算法作业讲解

算法习题讲解
Sch1-1:设n个不同的整数排好序后存于T[1..n]中，若存在一个下标i（1≤ i ≤ n），使得T[i]=i。试设计一个有效算法找到这个下标，要求算法在最坏情形下的计算时间为O(log n)。
解答要点：采用二分查找，当T[mid]>mid时，在前半部分寻找，当T[mid]<mid时，在后半部分需找，相等时即找到。ຫໍສະໝຸດ c[i][j]
min
x[i] y[ j 1] and x[i1] y[j]
c[i 1][ j] cost(delete) c[i][ j 1] cost(insert)
always always
(b):
(1)如果x[j]==y[j]，1分；对应的是copy操作； (2)如果x[i]!=y[j]并且两者都不是空格，-1分；对应的是 replace操作； (3)如果x[j]或者y[j]是空格，-2分，对应的是insert和delete 操作。
解答要点：设法将ac、bd、ad和bc四次乘法变为只用3次乘法。保留ac、bd，于是
(ad+bc)= (a+b)(c+d)-ac-bd 只需计算ac、bd和(a+b)(c+d)三次乘法即可。
15.2-1：对矩阵规模序列<5,10,3,12,5,50,6>，求矩阵链最优括号化方案。
解答要点：递归求解公式为：
16.2-5：设计一个高效算法，对实数线上给定的一个点集{x1,x2 … xn}，求一个单位长度闭区间集合，包含所有给定的点，并要求此集合最小。证明你的算法是正确的。
解答要点：对点集进行排序得到{y1,y2, … yn}，贪心的从左到右进行选择，比如选择[ y1,y1 +1]区间，则属于此区间内的点均可消去。

vue3最长递增子序列

vue3最长递增子序列Vue3最长递增子序列是什么？它是一种算法，用于在给定序列中查找最长的递增子序列。

在Vue3中，使用动态规划算法实现这个问题。

动态规划是一种解决问题的方法，它将问题分解为子问题，并在解决子问题的过程中构建最终解决方案。

在这个问题中，我们将使用动态规划来查找最长的递增子序列。

首先，我们定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素结尾的最长递增子序列的长度。

初始状态下，所有元素的最长递增子序列都为1，即dp[i]=1。

然后，我们遍历序列中的每个元素。

对于每个元素i，我们再次遍历序列中的每个元素j，其中j<i。

如果序列中的元素j小于元素i，并且dp[j]+1大于dp[i]，则我们将dp[i]设置为dp[j]+1。

最后，我们返回dp中的最大值，即为最长递增子序列的长度。

使用Vue3实现这个算法非常简单。

我们只需要在Vue3组件中定义一个函数来计算最长递增子序列的长度，然后将其绑定到模板中即可。

下面是一个示例：<template><div><p>序列: {{ sequence }}</p><p>最长递增子序列长度：{{ length }}</p></div></template><script>export default {data() {return {sequence: [1, 3, 5, 4, 7, 6],length: 0};},mounted() {this.length = this.LIS(this.sequence);},methods: {LIS(sequence) {const dp = Array(sequence.length).fill(1);for (let i = 1; i < sequence.length; i++) {for (let j = 0; j < i; j++) {if (sequence[j] < sequence[i] && dp[j] + 1 > dp[i]) { dp[i] = dp[j] + 1;}}}return Math.max(...dp);}}};</script>在上面的示例中，我们定义了一个包含六个元素的序列[1, 3, 5, 4, 7, 6]。