理论力学中的力矩与力矢量分析
理论力学4-1力系的主矢量和主矩
主矢量是作用点可以不同的各力之矢量和
4/20
例 4-1-1
边长为a的正方体顶点O、F、C和E上作用有 四个大小都等于P的力，方向如图所示。 求：此力系的主矢量。 第 4章
例 4-1-1
Oy，Oz的单位矢量为 i , j , k，则
P1 P ( 2 i 2 j ) 2 2
P2 P ( 2 i 2 j ) 2 2
应用例题
B
圆角柜
z
C
F1 y F2 G x 轴OC位于Oyz平面内、与铅垂轴Oz的夹角为 θ，宽度OA = b的均质板可绕轴OC转动，计 算板的重力G对OC轴之矩。 F1 G sin mOC (G) b F1 Gb sin 2 2 此力矩使柜门自动关闭
O A
13/20
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v P vO ω rOP
例 4-1-3
边长为a的正方体顶点O、F、C和E上作用有 四个大小都等于P的力，方向如图所示。 求：此力系关于O点的主矩。 第 4章
例 4-1-3
M O rOF P2 rOC P3 rOE P4
由几何关系得：
解
P3
F O E
P2 P4
自由矢量：起始点可以任意变化的矢量 （如力系的主矢量） 我们学过的其它矢量分别是哪种矢量？
刚体
F
刚体
F
力的可传性只适用于刚体！
6/32
1
力系的简化
第 4章 力系的简化：用更简单的力系代替原力系。
几个简单力系
力偶
第 4章 力偶 — 大小相等、方向相反、作用线平行 （但不重合）的两个力组成的力系
R
r1 F
几何静力学
MO
理论力学 期末复习知识点
第一章静力学公理与物体的受力分析§1.1 静力学公理✧公理1 二力平衡公理（条件）作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：这两个力大小相等，方向相反，且在同一直线上。
✧公理2 加减平衡力系原理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，不改变原力系对刚体的作用。
（效应不变）✧公理3 力的平行四边形法则作用在物体上的同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力作用点也是该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。
✧公理4 作用和反作用定律作用力与反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反、沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。
✧公理5 刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
✓推论1 力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
✓推理2 三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三力的作用线通过汇交点。
§1.2 约束和约束力一、约束的概念•自由体：位移不受限制的物体。
•非自由体：位移受限制的物体。
•约束：对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。
二、约束反力（约束力）•约束力：约束对物体作用的力。
•在静力学中，约束力和物体受到的其它已知力（主动力）组成平衡力系，可用平衡条件求出未知的约束力。
三、工程常见约束•光滑平面约束•柔索约束•光滑铰链约束•固定铰链支座•止推轴承径向轴承•平面固定端约束§1.3 物体的受力分析和受力图受力分析：确定构件受了几个外力，每个力的作用位置和方向的分析过程。
•步骤：1．取研究对象（画分离体：按原方位画出简图）。
2．画主动力：主动力照搬。
3．画约束反力：根据约束性质确定。
第二章 平面汇交力系与平面力偶系§2–1 平面汇交力系平面汇交力系：各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
理论力学第四章1
Ｚ Ｆ
如力F对Z轴之矩表示为： M z ( F ) M o ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴之矩为零。 方向：右手螺旋法则，与Z轴正方向一致时为正，反之为负。单位：N· m
5
2.力对轴的矩
力对轴之矩合力矩定理：各力对任一轴之矩等于各分力对同一轴之矩的 代数和。 例：将Fxy再分解为Fx、Fy，根据合力矩定理则有：
z
即，力对点的矩矢在过该点的某轴上的投影，等于
力对该轴的矩.
7
空间汇交力系
1、力在直角坐标轴上的投影 直接投影法
Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
8Leabharlann 1.力在直角坐标轴上的投影 二次投影法 Fz Fy Fx
F xy F sin
Fx F sin cos
1、 力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢 三要素： (1）大小:力F与力臂的乘积 (2) 方向:转动方向 (3) 作用面：力矩作用面.
MO ( F ) r F
（4–8）
矢量方向：右手螺旋定则。（将右手四指握拳并以它们的弯曲 方向表示力使物体绕该轴转动的转向，而拇指的指向就是力对 3 点之矩矢量的指向）
3. 空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零
即： R F
F
x 2
i
0
2 2
FR
F
Fy Fz
空间汇交力系的平衡方程
F 0 F 0 Fz 0
x y
11
§4-2
空间力偶系
M mi 代数和
1.平面力偶系：
理论力学课件 第一章力的投影,主矩主矢
•
•
v Fn
=
X niv
•
+ Yn
vj
+
v Znk
z
Fn O x
Fi
F1 y
F2
∑ X1 + X 2 +L+ X n = X
∑ Y1 + Y2 + L + Yn = Y
∑ Z1 + Z2 + L + Zn = Z
v FV
=
(∑
X
)iv
+ (∑Y )vj
+ (∑ Z )kv
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
合力解析表达式Fv形R式= (−153.6iv −170.5 vj )N
合力的大小和方向
∑ ∑ FR = ( X )2 + ( Y )2 = 229.5N
θ
=
arctan
∑Y ∑X
= 47.98°
y
θO x
FR
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力 2、汇交力系合成的几何法
例1-4：边长为a的正方体受到四个大小都等于F的力， 方向如图，求此力系的主矢。
z A
G
F4
O
F1
E x
B
F2
H
F3
C y
D
1.1 力的投影、力系的主矢、汇交力系的合力
z
解
A
B 四力的矢量解析表达式：
G
F2
H
v F1
=
F
⎜⎜⎝⎛
2
v i
+
2
2 2
v j
理论力学受力分析
理论力学受力分析目录一、内容概括 (3)1. 理论力学概述 (3)2. 受力分析的重要性 (4)3. 受力分析的基本方法和步骤 (5)二、基本力学原理 (6)1. 牛顿运动定律 (7)1.1 牛顿第一定律 (8)1.2 牛顿第二定律 (9)1.3 牛顿第三定律 (9)2. 力的分类与性质 (10)2.1 力的种类 (10)2.2 力的性质 (11)三、受力分析方法与技巧 (13)1. 受力图的绘制 (14)1.1 确定研究对象 (15)1.2 力的识别和表示 (15)1.3 力的方向和大小标注 (17)2. 力的分解与合成 (18)2.1 力的分解 (19)2.2 力的合成 (19)3. 受力平衡条件及应用 (21)3.1 受力平衡条件的概述 (22)3.2 受力平衡条件的应用实例 (23)四、复杂系统受力分析 (25)1. 柔体系统的受力分析 (26)1.1 柔体系统的特点 (28)1.2 柔体系统的受力分析方法 (29)2. 多刚体系统的受力分析 (30)2.1 多刚体系统的组成 (32)2.2 多刚体系统的受力分析步骤 (32)五、实践应用与案例分析 (33)1. 工程中的受力分析实例 (35)1.1 桥梁工程中的受力分析 (36)1.2 机械结构中的受力分析 (37)1.3 建筑结构中的受力分析 (38)2. 理论力学在其它领域的应用 (39)2.1 生物力学中的受力分析 (41)2.2 材料力学中的受力分析应用 (42)六、总结与展望 (43)1. 受力分析的总结与回顾 (44)2. 受力分析的发展趋势与展望 (45)一、内容概括理论力学受力分析是研究物体在受到外力作用下所表现出的运动规律和性质的一门学科。
本文档将详细介绍理论力学受力分析的基本原理、方法和应用，包括质点、刚体、平面运动、曲线运动、圆周运动等不同情况下的受力分析。
我们将从牛顿三定律出发，阐述物体在受到外力作用下的加速度与力的关系。
理论力学基本概念和受力分析
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19
（2）二次投影法（间 接投影法）
当力与各轴正向夹 角不易确定时，可先将 F 投影到xy面上，然后 再投影到x、y轴上， 即
FxyFsin
X Fxycojs Fsin cojs YFxysinjFsin sinj Z Fcos
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20
4.若已知力在直角坐标轴上的投影X、Y、Z，则
力的大小： F X2Y2Z2
[例] 吊灯
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13
公理5 刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体 变成刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
公理5告诉我们：处 于平衡状态的变形体， 可用刚体静力学的平 衡理论。
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14
§1-2 力的投影及荷载分类
一、力的投影 1.力F 在任一轴上的投影 （1）F力 与轴共面： 以X表示力F 在x轴上的投影，则 X=±ab。
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约束反力特点： ①大小是未知的。故称为被动力。 ②方向总是与所限制的物体的位移方向相反； ③作用点在物体与约束相接触的那一点。
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34
二、常见约束及约束反力： 1.柔索约束（不计重的绳索、链条或皮带等） 由于柔索只能阻碍物体沿柔索伸长的方向运动，故柔索的约 束力通过柔索与物体的连接点，方位沿柔索而指向背离物体。 即恒为拉力。
大小与力偶臂的乘积：
'
mm(F,F)Fd
规定：逆时针转向为正，反之为负 。
单位：N.m，kN.m
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29
（2）空间问题中的力偶矩是矢量，其对物体的作用决定于力 偶三要素：
●力偶矩的大小 ：m Fd
●力偶作用面在空间的方位
●力偶在作用面内的转向：力偶 矩矢与力偶的转向符合右手螺旋 法则 。 力偶对刚体的作用完全决定于力偶矩矢。
理论力学三大类问题的基本求解方法
理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法理论⼒学三⼤类问题的基本求解⽅法2009-121 求解静⼒平衡问题的基本⽅法（平⾯问题为重点）（1）选取研究对象，进⾏受⼒分析，并画受⼒图。
⼀般针对所求，先对整体进⾏初步的受⼒分析，若所求未知量⼩于或等于独⽴平衡⽅程的个数，则只研究整体即可；反之，若所求未知量个数⼤于独⽴平衡⽅程的个数，则必须取分离体进⾏受⼒分析。
可以采取整体＋分离体的解决⽅案，也可采取分离体＋分离体的解决⽅案；另外，若所求的未知量有系统内⼒，也必须取分离体研究，以暴露出所要求的内⼒；画受⼒图注意将各⼒画在原始的作⽤点处，分布⼒原样画出，待列⽅程计算时，再作简化处理。
再有，注意⼆⼒杆的判别，及摩擦⼒⽅向的判定。
（2）列平衡⽅程求解。
⾸先根据受⼒图，判断是何种⼒系的平衡问题。
再针对所求⽤尽可能少的平衡⽅程得出所求。
（3）结果校核——利⽤多余的平衡⽅程校核所得的结果。
对⽤符号表⽰的结果，可采⽤量纲分析的⽅法进⾏校核。
2 求解运动学问题的基本⽅法（以平⾯运动为重点）⾸先正确判断问题类型，尤其注意正确区分点的合成运动问题与刚体平⾯运动问题。
判断的依据是，点的合成运动的问题中，运动机构的不同构件之间有相对滑动。
⽽刚体平⾯运动理论⽤来分析同⼀平⾯运动刚体上两个不同点间的速度和加速度的关系。
此时，运动机构的不同构件之间有相对转动，却⽆相对滑动。
另外，注意点的合成运动与刚体平⾯运动的综合问题。
2．1 点的运动学问题——注意在⼀般位置建⽴点的运动⽅程；2．2 点的合成运动问题（1）⾸先是机构中各构件的运动分析；（2）再针对所求，正确选择动点、动系和定系。
注意动点相对于动系和定系都要有相对运动，即动点、动系、定系要分属于不同的构件。
同时，尽可能使动点的相对轨迹清楚易判断；求解加速度时，尽量将动系固连在平动的物体上，避免求科⽒加速度；（3）分析三种运动及其相应的三种速度和加速度，正确画出速度⽮量图或加速度⽮量图。
注意速度合成的平⾏四边形关系；（4）利⽤速度或加速度合成定理进⾏求解。
5 理论力学--空间任意力系
O
M (F ) ,k M
z O
结 论
空间任意力系向任一点简化后，一般得到一个 力和一个力偶 。 这个力作用于简化中心，其力矢等于原力系的主矢。 这个力偶的力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。 空间任意力系的主矢与简化中心的位置无关，而 主矩一般随简化中心位置的改变而改变，与简化中心 的位置有关。
z z
F
O
F A
B
d
A x
x
O d
y a F x
y
y
Fy
b
Fx
图5-2
力F对z轴的矩，就等于力F在垂直于z轴的Oxy平面 上的投影Fxy对z轴与该平面的交点O的矩(见图5-2)
M z ( F ) M O (Fxy ) Fxy d 2Oab
力对轴的矩是一个代数量。 正负号规定：右手螺旋规则。
z
任选O点为简化中心,将各力
平行搬移到O点(见图5-4)。 根据力线平移定理，将各力 平行搬移到O点，得到一空间汇 交力系；和一附加力偶系。
F1 ' F1 , F2 ' F2 , , Fn ' Fn ;
M1 M O (F1 ), M 2 M O (F2 ), , M n M O (Fn ) .
x 2 Ax
y 1 Ay
C
F2
x 0
z
1
Az
FAy
1
2
y
x
z
1
2
z
图5-9
解得
FAx 100kN FAy 200kN FAz 400kN M x 600kN m M y 500kN m M z 400kN m
例5-3 如图5-10(a)所示板ABCDEF由六根链杆支承，正方形 ABCD位于水平面内，EF平行于CD。试求沿AD方向作用有力F时， 六根杆的内力。 B 4 C 3 a 解： 取悬臂刚架ABCDEFG为研究 F 5 2 对象，受力如图5-10(b)所示。 D a
理论力学知识点总结
理论力学知识点总结理论力学是一门研究物体机械运动一般规律的学科，它是许多工程技术领域的基础。
以下是对理论力学一些重要知识点的总结。
一、静力学静力学主要研究物体在力系作用下的平衡问题。
1、力的基本概念力是物体之间的相互作用，具有大小、方向和作用点三个要素。
力的表示方法包括矢量表示和解析表示。
2、约束与约束力约束是限制物体运动的条件，约束力则是约束对物体的作用力。
常见的约束类型有柔索约束、光滑接触面约束、光滑圆柱铰链约束等，每种约束对应的约束力具有特定的方向和特点。
3、受力分析对物体进行受力分析是解决静力学问题的关键步骤。
要明确研究对象，画出其隔离体，逐个分析作用在物体上的力，包括主动力和约束力，并画出受力图。
4、力系的简化力系可以通过平移和合成等方法进行简化，得到一个合力或合力偶。
力的平移定理指出，力可以平移到另一点，但必须附加一个力偶。
5、平面力系的平衡方程平面任意力系的平衡方程有三个：∑Fx ＝ 0，∑Fy ＝ 0，∑Mo(F) ＝0。
对于平面汇交力系和平面力偶系，平衡方程分别有所简化。
6、空间力系的平衡方程空间力系的平衡方程数量增多，需要考虑三个方向的力平衡和三个方向的力矩平衡。
二、运动学运动学研究物体的运动而不考虑引起运动的力。
1、点的运动学描述点的运动可以使用矢量法、直角坐标法和自然法。
在自然法中，引入了弧坐标、切向加速度和法向加速度的概念。
2、刚体的基本运动刚体的基本运动包括平动和定轴转动。
平动时，刚体上各点的运动轨迹相同、速度和加速度相同；定轴转动时，刚体上各点的角速度和角加速度相同。
3、点的合成运动点的合成运动是指一个动点相对于两个不同参考系的运动。
通过选取合适的动点、动系和定系，运用速度合成定理和加速度合成定理来求解问题。
4、刚体的平面运动刚体平面运动可以分解为随基点的平动和绕基点的转动。
平面运动刚体上各点的速度可以用基点法、速度投影定理和瞬心法求解，加速度则可以用基点法求解。
三、动力学动力学研究物体的运动与作用力之间的关系。
理论力学4-1力系的主矢量和主矩
零力系（平衡力系） 一个力 力偶 力螺旋
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第 4章
9/32
第 4章
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几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
如果力系等效于一个力，则该力称为力系的 合力 — 合力概念的推广。 伐里农定理：如果力系有合力，则合力的大 小和方向同力系的主矢量，而合力对任意点 O的矩等于力系对O的主矩。
第 4章
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几何静力学
几何静力学
重要公式
力系对不同矩心的主矩之间的关系
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4
力系的等效
第4章 质点的运动状态：位置和速度 力对质点的作用效应：改变质点的瞬时加速度 ，此瞬时之后质点的运动状态将发生改变。 力对物体的作用 内效应：变形和应力（材料力学） 外效应：物体的整体运动状态 外效应 物体的整体运动状态 质系的运动状态：所有质点运动状态的集合 力系对质系的作用效应：改变质系的运动状态
(y F
i i 1 n
n
iz
z i Fiy ) x i Fiz )
MO rPO R
rPO
P
(z F
i i 1 n
或者等价地写成
M P M O R rOP
ix
MO M
2 Ox
M
2 Oy
M
2 Oz
M Oz
(x F
i i 1
iy
y i Fix )
MO 0
R0
几何静力学 几何静力学 几何静力学
几何静力学
2 3 4
R MO 0
MO 0 MO R
求点P的位置： M P MO R rOP 0
力的作用点与力矩分析
力的作用点与力矩分析力是物体与物体之间相互作用的推力或拉力。
它是物体的运动和形变的根本原因。
力的作用点是指力作用的具体位置，力矩则是用来描述力对物体产生的转动效果的物理量。
本文将探讨力的作用点与力矩的分析。
1.力的作用点的影响力的作用点是物体上受力的具体位置。
当一个物体受到多个力的作用时，它们的作用点将对物体产生不同的影响。
例如，考虑一个人在电梯里的情况。
如果一个人站在电梯的正中央，而电梯上方有一个向下的力作用在他的头上，那么他将感到头部受到力的压力。
然而，如果他站在电梯的一侧，那么他将感到身体被推向一侧，而头部则没有受到很大的压力。
这是因为当力的作用点发生变化时，力对物体的作用效果也发生了改变。
2.力矩的概念及计算力矩是用来描述力对物体产生的转动效果的物理量。
它是由力的大小、作用点与旋转轴之间的距离所决定的。
力矩的计算公式为M = F × d，其中M表示力矩，F表示作用力的大小，d表示作用力到旋转轴的距离。
举个例子来说明力矩的概念与计算方法。
假设一个人用力转动一个门把手，门把手与门轴的距离为l，并且他对门把手施加了一个大小为F的力。
在这种情况下，人产生的力矩为M = F × l。
如果力的方向与门把手到门轴的方向垂直，并且力的方向从里向外，那么门将会打开。
然而，如果人对门把手施加的力的方向相反，那么门将会关闭。
这是因为力矩的符号在此情况下发生了改变。
3.力臂与力矩的关系力矩的计算还涉及到一个重要的概念，即力臂。
力臂指的是力的作用点到旋转轴的垂直距离。
在力矩的计算中，力臂的长度对于力的大小的影响很大。
如果力臂越长，那么给定大小的力将产生更大的力矩。
相反，如果力臂越短，那么相同大小的力将产生较小的力矩。
举个例子来说明力臂与力矩的关系。
假设一个人在使用撬棍撬动一个重物。
在此情况下，人产生的力的大小是相同的，但是力矩的大小取决于力臂的长度。
如果人用较长的撬棍撬动重物，力臂将变长，从而产生较大的力矩，这将使得撬动更加容易。
理论力学-2-力矩的概念和力系的等效与简化
在刚体上作用三个相互平行的力，这三个力是等效的，即 它们可以互相替换而不改变刚体的运动状态。
04
CATALOGUE
刚体的转动
刚体的定轴转动
定义
刚体绕某一固定轴线旋转的转动称为定轴转动 。
描述参数
定轴转动的角速度、角加速度和转动惯量。
运动特点
刚体上任意一点到旋转轴的距离保持不变，刚体上各点的线速度大小相等，但 方向不同。
刚体的平面运动
描述参数
刚体的平动和绕某轴的转动。
定义
刚体的运动轨迹位于一个平面内，称为平面 运动。
运动特点
刚体上任意一点的速度方向与平面平行，刚 体上各点的速度大小相等。
刚体的定点运动
定义
刚体绕通过某固定点O的轴线旋转的转动称为定点转动。
描述参数
刚体的角速度、角加速度和转动惯量。
运动特点
刚体上任意一点到定点O的距离保持不变，刚体上各点的线速度 大小相等，但方向不同。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿米（N·m ）。
力矩的几何意义
表示方法
力矩的几何意义可以通过向量点积来 表示，即M=r×F，其中r表示从转动 轴到作用点的矢量，×表示向量点积 。
方向
力矩的方向与力臂的方向垂直，遵循 右手定则，即右手握拳，四指指向转 动方向，大拇指指向即为力矩的方向 。
力矩的物理意义
转动效果
力矩描述了力对物体转动的效应，它决定了物体转动 的角速度和角加速度。
转动平衡
在转动平衡状态下，合外力矩为零，即物体不发生转 动。
转动惯量
力矩和转动惯量共同决定了物体的转动效果，转动惯 量越大，物体对力矩的响应越慢。
02
CATALOGUE
理论力学第11章(动量矩定理)
解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反
力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即
Lz1 Lz2
z
z
Lz1 2(ma0 )a 2ma20
质点系对任一固定点的动量矩 对时间的导数，等于作用在质 点系上所有外力对同一点之矩 的矢量和（外力系的主矩）。
将上式在通过固定点O的三个固定直角坐标轴上投影，得:
dLx dt
Mx(F(e))
,
dLy dt
M y(F(e))
,
dLz dt
Mz(F(e))
上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任 一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有 外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。
理论力学
9
将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得
d dt
M
x
(mv
)
M
x
(F
),
d dt
M
y
(mv )
M
y
( F ),
d dt
M
z
(mv )
M
z
(F
)
上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定 理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数， 等于作用在质点上的力对同一轴之矩。
理论力学
14
[例3] 已知: PA PB ; P ; r 。求 。
解: 取整个系统为研究对象，
受力分析如图示。
运动分析： v =r
理论力学 第3章
• 作业： • 习题 3-6，3-12
§ 3-5 空间任意力系的平衡方程
1. 空间任意力系的平衡方程 空间任意力系平衡的必要和充分条件：
该力系的主矢r 和对于r 任一点的主矩都为零 FR 0, MO 0
Fx 0 Fy 0 Fz 0
Mx 0 My 0 Mz 0
所有各力在三个坐标轴中每一个轴上的投影的 代数和等于零，以及这些力对于每一个坐标轴的 矩的代数和也等于零。
解析法表示:
M M xi M y j M zk
Mx 0 My 0 Mz 0
——空间力偶系的平衡方程
例3-5 已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个 孔所受切削力偶矩均为80N·m.
求：工件所受合力偶矩在 x, y轴, z上的投影.
解：
把力偶用力偶矩 矢表示，平行移到 点A .
Mx Mix M3 M4 cos45 M5 cos45 193.1N m
力螺旋 由一力和一力偶组成的力系，其中
的力垂直于力偶的作用面
（1）FR 0, M O 0, FR // M O
中心轴过简化中心的力螺旋
钻头钻孔时施加的力螺旋
r r rr （2）FR 0, MO 0,既FR不, M平O行也不垂直，成任意夹
角
力螺旋中心轴距简化中心为 d M O sin
FR
F1 F2 3.54kN FA 8.66kN
§ 3-2 力对点的矩和力对轴的矩
1. 力对点的矩以矢量表示——力矩矢
力对点之矩 在平面力系中——代数量 在空间力系中——矢量
MO (F) Fh 2ΔOAB
r MO
r (F
)
rr
r F
三要素：
（1）大小:力 F与力臂的乘积
理论力学-平衡问题矢量法
G3
6m
G1 12 m
G2
A FA B FB
18
2m 2m
解：1.取起重机为研究对象 2.受力分析如图 3.列平衡方程 MB(F)= 0
G3×(6+2)+G1×2–G 2×(12-2) – FA×4 = 0
FA 8G3 2G1 10G2 4
G3
6m
MA(F)= 0 G1
12 m
G3×(6 –2) –G1×2–G 2×(12+2)+FB×4= 0 G2
不失一般性，设力系中各力的作用线汇交点为坐标原点。 则不论该力系是否平衡，力系中各力对x, y, z轴的力矩都为 零。方程(3.1.2)中后三个方程恒成立。此时，方程(3.1.2)退 化为
F
x
0,
F
y
0,
F
z
0
(3.1.6)
5
式(3.1.6)为汇交力系的平衡方程。对于平面汇交力系，力系在 与所在平面垂直的轴上的投影恒为零，记该轴为z轴，则平面 汇交力系的平衡方程为
MA(F)= 0
F1 a P F2 l b FB cos a c FB sin a l 0 2
l
4.联立求解
FB = 12456 N FAx = 11290 N FAy = 4936 N
12
例3 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2 kN，F2=1.5 kN， M =1.2 kN· m，l1=1.5 m，l2=2.5 m。 试求支座A及支座B的约束力。 F1 M A l2 y F1 M B FAy FB F2 B 60º 解： 1. 取梁为研究对象 2. 受力分析如图 3. 选坐标系，列平衡方程
理论力学--力矩-平面力偶系
示位置处于平衡。已知OA=r，DB=2r，α=30°，不计
杆重。试求：M1和M2间的关系。
B
A O
α
M1 M2
D
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 解：（1）先以杆OA为研究对象。
M1 FAB rcos 0 (a)
（2）再取杆DB为研究对象。 A O
FBA FAB
A
B α
M1 M2
M 2 2 FBA rcos 0 (b)
O
O i
Fy
A (x,y)
F
Fx y Fy x yF cos xF sin
(2)合力矩的解析表达式 上式代入 M O FR 得,
Fx
x
M F
M O FR xi Fyi yi Fxi
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 例 2-5 已知：如图 F, Q, α, l , 求： MO (F ) 和 MO (Q)。 解：① 用力对点的矩法
受力分析：主动力— M
约束力— FA , FB 列平衡方程：
D
45
M A B
l
M 0,
M FA l cos 45 0
FA
A
M B
解得： FA FB 2M
l
d
FB
§2-2 平面力对点之矩 · 平面力偶 例 2-10
图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA和
BD上分别作用着矩为M1和M2的力偶，而使机构在图
C
F d x F x Fd M 2 S ABC
理论力学矢量力学与分析力学
牛顿力学的动力学方程都是以矢量形式表现的研究过程中需画矢量图牛顿力学的动力学方程都是以矢量形式表现的研究过程中需画矢量图受力速度
矢量力学与分析力学
一、基点 牛顿动力学基于矢量，称为“矢量力学”。 分析力学是研究非自由质点系，以广义坐标代替 矢径，以对功和能的分析代替对力/力矩及运动的 分析，运用数学分析进行研究的一门学科。 二、主要区别 1.牛顿力学的基础是牛顿三定律。 分析力学的基础是达朗贝尔原理和虚位移原理。
2.牛顿力学适宜于研究不受约ห้องสมุดไป่ตู้的自由体及受简 单约束的非自由质点系力学问题。 分析力学适宜于研究受复杂约束的非自由质点系 力学问题，变形体力学问题。 牛顿力学怎样研究非自由质点系力学问题？ 牛顿力学将全部约束解除，以约束反力代替，使 质点系变换成在力系作用下的“自由体”，再用 牛顿定律进行分析。 约束反力是未知力，当系统受到较多的约束时， 未知力数目较多，增加了问题的复杂性； 当系统受到更复杂的约束时，约束反力的性质可 能都是未知的，则无法建立动力学方程。 分析力学不必解除约束，动力学方程简单。
三、需用的数学工具 1.高等数学的微分及偏微分； 2.泰勒展开式； 3.泛函分析、变分法； 4.矩阵计算，…… 四、发展简史 1760年，拉格朗日推导出动力学普遍方程； 1788年，拉格朗日出版了《分析力学》，全书没 有一幅图； 1834年，汉密尔顿推导出用广义坐标和广义动量 联合表示的正则方程； 1894年，赫兹将约束和系统分成完整和非完整体 系，进一步完善了分析力学基础。……
4.牛顿力学偏重研究质点、力与运动的关系； 对于质点系，牛顿力学研究的方法是：先分割研 究单个质点的力学问题，再求和。 分析力学偏重研究质点系、能量与运动的关系。 5.牛顿力学的动力学方程都是以矢量形式表现的， 研究过程中需画矢量图(受力、速度)。 分析力学研究功和能等标量，不必作图，只需用 数学分析方法。 对于变形体受力问题，由于物体的变形能与外力 作功有关系，分析力学也可研究。
刚体所受合外力矩等于这几个力的合力对刚体的力矩
刚体所受合外力矩等于这几个力的合力对刚体的力矩在物理学中，刚体是一个假设的理想化物体，它不会发生形变或内部变化。
对于刚体的运动和平衡问题，力和力矩是非常重要的概念。
力和力矩的基本概念力力是物体之间相互作用的结果，是导致物体运动和形变的原因。
力的大小通常用标量表示，方向由矢量来描述。
常见的力包括重力、摩擦力、弹簧力等，它们可以是接触力或者远程力。
力矩力矩是力矩对物体的作用状况的一种描述，也叫做力的偶矩。
力矩是力矢量乘以与受力物体上的某一点相对的距离矢量，它的方向由右手螺旋定则来确定。
刚体所受合外力矩的概念当一个刚体受到多个力的作用时，这些力可能会产生一个合外力矩。
合外力矩是各个力矩相加的结果，它描述了所有外力对刚体的作用效果。
刚体力矩平衡条件对于一个平衡的刚体，合外力矩为零。
这意味着刚体所受合外力矩等于零，即各个力矩相互平衡，形成一个力的闭合系统，使得刚体保持静止或匀速转动。
合外力矩与合力对刚体的作用根据力矩平衡条件，合外力矩等于这几个力的合力对刚体的力矩。
这意味着刚体受到的所有合力和合力矩的作用效果是相互平衡的，从而使得刚体保持平衡状态。
示例分析假设一个物体受到三个力的作用：F1、F2、F3，它们作用的点到物体某一参考点的距离分别为r1、r2、r3。
根据力和力矩的定义，这些力对物体产生的力矩分别为M1=F1r1、M2=F2r2、M3=F3r3。
合外力矩为M = M1 + M2 + M3 = F1r1 + F2r2 + F3r3。
然后，我们计算这几个力的合力，合力为F = F1 + F2 + F3。
最后，根据力和力矩的关系，证明合外力矩等于这几个力的合力对刚体的力矩的结论。
结论刚体所受合外力矩等于这几个力的合力对刚体的力矩。
单个力产生的力矩是力和作用点之间的乘积，多个力的合力矩是各个力矩的矢量和。
刚体在受到这些合力和力矩的作用下，保持静止或匀速转动，达到力平衡和力矩平衡的状态。
因此，力和力矩是描述物体运动和平衡的基本概念，对于理解刚体的力学性质和运动规律具有重要意义。
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理论力学中的力矩与力矢量分析理论力学是研究物体运动原理和力学性质的学科，其中力矩和力矢
量是重要的概念。
力矩描述了力对物体的转动效应，而力矢量则描述
了力的方向和大小。
本文将介绍力矩和力矢量的定义、性质和在理论
力学中的应用。
一、力矩的定义与性质
力矩是由力对物体的转动产生的效应。
它的定义为力矩=M=rFsinθ，其中M代表力矩，r代表力对物体转轴的垂直距离，F代表力的大小，θ代表力与转轴之间的夹角。
力矩的单位是牛顿·米(N·m)。
力矩具有以下性质：
1. 力矩的大小与施力点到转轴的距离成正比。
当固定一力的大小和
方向时，力矩随着施力点到转轴的距离增加而增加。
2. 力矩的大小与力的大小成正比。
当施力点到转轴的距离固定时，
力矩随着力的大小增加而增加。
3. 力矩的方向由力和转轴之间的夹角决定。
当转轴可以看作一根轴时，力矩遵循右手定则：将右手的四指放在转轴上，四指的方向与力
的方向相同，然后大拇指的方向即为力矩的方向。
4. 处于平衡状态的物体受到的合力矩为零。
当物体所受力矩的和为
零时，物体处于平衡状态。
二、力矢量的定义与性质
力矢量是用于描述力的方向和大小的物理量。
它可以用箭头表示，箭头的长度代表了力的大小，箭头的方向代表了力的方向。
力矢量具有以下性质：
1. 力矢量的大小由力的大小决定。
力的大小越大，力矢量的长度越长。
2. 力矢量的方向由力的方向决定。
力的方向越变化，力矢量的方向越随之变化。
3. 多个力的合力可以通过力矢量的几何求和得到。
将每个力的力矢量放在同一起点，然后将他们相加，得到的结果即为合力的力矢量。
4. 力矢量满足平行四边形法则。
将两个力的力矢量按照顺序相连，形成一个平行四边形，那么对角线的力矢量就是合力的力矢量。
三、力矩与力矢量在理论力学中的应用
力矩和力矢量在理论力学中被广泛应用，具有重要的意义。
以下是它们在理论力学中的应用：
1. 刚体的平衡条件：根据力矩的定义，刚体处于平衡状态时，合力矩为零。
这一性质被广泛应用于刚体的平衡问题的解决中。
2. 力的分解：通过将力矢量进行分解，可以将一个力分解为多个力的合力。
这种分解方法在复杂力的分析中非常有用。
3. 转动力学的分析：力矩描述了力对物体的转动效应，因此在转动力学的分析中扮演着重要角色。
4. 力的合成与分解：通过力矢量的几何求和，可以得到多个力的合力，或者将一个力分解为多个力。
这对于力的合成与分解的问题有着重要的应用。
总结：
理论力学中的力矩和力矢量是重要的概念。
力矩描述了力对物体的转动效应，而力矢量描述了力的方向和大小。
它们在理论力学中有着广泛的应用，包括刚体平衡、力的分解、转动力学的分析以及力的合成与分解等。
深入理解力矩和力矢量的定义、性质和应用，将对理论力学的学习和应用有所帮助。