第一章矢量分析

1矢量分析

1.在球面坐标系中，当ϕ与φ无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。

2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。

3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的

（）也是一个标量，定义为。

4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋

度是一个（），它定义为。

5.标量场u（r）中，（）的定义为，

其中n为变化最快的方向上的单位矢量。

6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。

任一矢量的旋度的散度恒为（）。

7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以

是个（），而是个（），是个（）。

8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。

9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标

10. 标量：（）。如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。

11. 矢量：（）。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。

12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。

13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。

14. 旋度为零的矢量场叫做（）

15. 标量函数的梯度是（），如静电场

16．无旋场的（）不能处处为零

17. 散度为零的矢量场叫做（）

18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场

19．无散场的（）不能处处为零

20．一般场：既有（），又有（）

21．任一标量的梯度的旋度恒为（）

22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。

23．给定三个矢量和：

求：(1)； (2)；

(3)； (4)；

(5)在上的分量：

(6)； (7)；

(8)和。

24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。

(1) 判断是否为一直角三角形。

(2) 求三角形的面积。

25．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。

26．给定两矢量和，求在

上的分量。

27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设为一矢量，，而，和已知，试求。

28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，

求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。

29．用球坐标表示的场，

(1) 求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和；

(2) 求与矢量构成的夹角。

30．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。证明和间夹角的余弦为提示：

，在直角坐标中计算。

31．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。

32．在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。

33．求(1)矢量的散度；

(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；

(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。

34．计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求对球体积的部分。

35．求矢量沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。

36．求矢量沿圆周的线积分，再计算

对此圆面积的积分。

37．证明：（1），（2），（3），其中为一常矢量。

38．一径向矢量场用，表示，如果，那么函数会有什么特点呢？

39．给定矢量函数，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线分别计算从点到的线积分的值，这个是保守场吗？

40．求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。此方向由单

位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。

41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。

42．方程给出一椭球族。求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。

43．现有三个矢量场

问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。

44．利用直角坐标证明：

45． 证明：

46． 利用直角坐标证明：

47． 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及

，试证明之。

48．求数量场φ =(x+y)2-z 通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。

49．求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez 的矢量线方程 50．求数量场22

x y u z +=在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数。

51．设标量函数r 是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez 的模， 即

r =， 证明：.r gradr r r ==︒

52．求r 在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数

53．已知位于原点处的点电荷q 在点M(x, y, z)处产生的电位为4q

r ϕπε=

，其中矢径r 为r=xex+yey+zey ，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强度E 。

54．已知矢量场r=xex+yey+zez ，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H 所围封闭曲面的通量。

55．在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 2(,,)4y z q r D r r ye ze r r r r r π=︒===︒=求穿过原点为球心、R 为半径的球面的电通量