第一章矢量分析
大学物理第一章矢量分析 ppt课件
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（2）标量乘矢量
（3）矢量的标积（点积）
两矢量的标量积也称为点积(本书称为标积)。
定义一个矢量在另一矢量上的投影与另一矢 B
量模的乘积，结果为标量。
θ
A
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
7
（4）矢量的矢积（叉积）
亦称叉积，结果仍为一个矢量，用矢量C表示，C的大小 为A和B组成的平行四边形的面积，方向垂直与矢量A和B构成 的平面且A、B和C三者符合右手螺旋法则。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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4. 坐标单位矢量之间的关系
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
17
1.3 标量场的梯度
标量场和矢量场 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在
该区域上定义了一个场。 如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
梯度在该方向上的投影。 • 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）
梯度运算的基本公式：
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
24
例1.3.1 设一标量函数 ( x, y, z ) = x2＋y2－z 描述了空间标量
场。试求：
(1) 该函数 在点 P(1,1,1) 处的梯度，以及表示该梯度方向
的单位矢量。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
33
同理，分析穿出另两组侧面的净通量，并合成之，即得由点P 穿出该六面体的净通量为
根据定义，则得到直角坐标系中的散度 表达式为
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
34
散度的表达式： 直角坐标系
圆柱坐标系
球坐标系
矢量分析报告
第一章 矢量分析
静电场的基本方程是
(1-52) 对于各向同性的媒质, 电通量密度和电场强度的关系为
D=εE, 因而式(1-52)可改写为
假设在无限空间中有两个矢量函数F和G，它们具有相同的散 度和旋度。但这两个矢量函数不等，可令
第一章 矢量分析
由于矢量F和矢量G具有相同的散度和旋度, 根据矢量场由其 散度和旋度唯一确定, 那么矢量g应该为零矢量, 也就是矢量 F 与矢量G是同一个矢量。
因为▽·F= ▽ ·G, 所 以
同样由于▽ ×G= ▽ ×F, 所 以
拉普拉斯微分算子▽ 2的表示式为
第一章 矢量分析
例1-14 在一对相距为l的点电荷+q和-q的静电场中, 当距 r>>l离时, 其空间电位的表达式 为
求其电场强度E(r, θ, φ)。 解: 在球面坐标系中，哈密顿微分算子▽的表达式为
第一章 矢量分析
因为
第一章 矢量分析
1.6 亥姆霍兹定理
亥姆霍兹定理的简单表达是: 若矢量场F在无限空间中处处单 值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场 由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度 和一个矢量函数的旋度之和， 即
图 1-6 例 1-11 图
第一章 矢量分析
解: 由于在曲线l上z=0，所以dz=0。
第一章 矢量分析
例1-12 求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在点 M(1，0 1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez方向的环量面密度。
解: 矢量场A的旋度
第一章 矢量分析
u 沿 方向无变化。 = 0 —— u(M)沿l 方向无变化。 l
方向导数的概念
方向有关。 方向有关。 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？ 问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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证明：根据复合函数求导法则， ，
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
A
A 矢量的大小或模： 矢量的大小或模： = A 矢量的单位矢量： 矢量的单位矢量：e = A A A 常矢量：大小和方向均不变的矢量。 常矢量：大小和方向均不变的矢量。
注意：单位矢量不一定是常矢量。 注意：单位矢量不一定是常矢量。
矢量的几何表示
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
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矢量用坐标分量表示 z
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
1
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
2
本章内容
1.1 矢量代数 1.2 常用正交曲线坐标系 1.3 标量场的梯度 1.4 矢量场的通量与散度 1.5 矢量场的环流和旋度 1.6 无旋场与无散场 1.7 拉普拉斯运算与格林定理 1.8 亥姆霍兹定理
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析 1.1 矢量代数
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 如果物理量是矢量，称该场为矢量场。 矢量场
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。 例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场 反之为时变场 静态场， 时变场。 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 从数学上看，场是定义在空间区域上的函数： 静态标量场和矢量场可分别表示为： 静态标量场和矢量场可分别表示为：u(x, y, z)、F(x, y, z) 时变标量场和矢量场可分别表示为： 时变标量场和矢量场可分别表示为： (x, y, z, t) 、 F(x, y, z, t) u
第1章-矢量分析
⎝
2⎠
⎝
2⎠
Ay
⎜⎛ x,y+Δy,z ⎟⎞ ⎝ 2⎠
=
Ay
(x,y,z)
+
∂Ay ∂y
(x,y,z)
Δy 2
+
1 2!
∂2 Ay ∂y2
( Δy )2 2
+ ...
得
ΔΨr
=
( Ay
+
∂Ay ∂y
Δy 2
+ .........) ΔxΔz
divA 直角坐标表示式的推导
11
§1.2通量、散度、散度定理
8
§1.2通量、散度、散度定理
作业：1.1-1,1.1-3,1.1-5
S为封闭面时： 若Ψ > 0， 有净通量流出，说明S内有源； 若Ψ < 0， 有净通量流入，说明S内有洞(负源); 若Ψ = 0， 则净通量为零，说明S内无源。
举例：
由《大学物理》知，电通量 Ψe = ∫sD ⋅ ds = Q（高斯定理） 水流的单位时间流量（米3/秒）＝ v ⋅ d s
A 矢量的模：
γ
β o
Ay
α Ax
y
A = A = Ax2 + Ay 2 + Az 2
x
A 的单位矢量：
Aˆ = A = xˆ Ax + yˆ A y + zˆ Az AA AA
= xˆ cosα + yˆ cos β + zˆ cosγ
2
§1.1矢量代数
二、标量积和矢量积
a) 标量积（点乘）
加减乘除
∂y 4π r 5
∂Dz = q r 2 − 3z 2
∂z 4π r 5
电磁场与电磁波—矢量分析
两个矢量的点积：写成
A B
其值为： A B AB cos
A
点积的性质：
θ
交换律 分配律 按乘数比例
A B C A B A C k A B kA B A kB
A B B A
若该物理量为矢量，则称矢量场, 可用矢性函数表示F(x,y,z)； F(x,y,z,t) f(x,y,z,t)
若该物理量与时间无关，则该场称为静态场； 若该物理量与时间有关，则该场称为动态场或称为时变场。
第一章
矢量分析
笛卡尔坐标系
我们的标量函数（标量场）通常用笛卡 尔坐标系表示，我们的矢性函数也可以 用笛卡尔坐标系来表示 根据矢量的运算规则，多个矢量可以进 行矢量相加，反过来，一个矢量以可以 分解为多个矢量的和
B
第一章
矢量分析
两个矢量的叉积：写成 r F M 其值为： r F rF sin e n
M
r
F
第一章
矢量分析
叉积的性质：
不服从交换律 但服从分配 按乘数比例
A B C A B A C kA B k A B A kB
0
第一章
矢量分析
△z
z
若函数φ=φ(x, y, z)在点M0(x0, y0, z0)处可 微， cosα 、 cosβ 、 cosγ 为 l 方向的方向余弦， 则函数 φ在点M0处沿l方向的方向导数必定存 在，且为
γ M0 α
△x
ρ
β
M
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析在这门课程中，我们几乎从头到尾和场打交道。
实际上，人们周围的空间也确实存在着各种各样的场，例如自由落体现象，说明存在一个重力场；人们能感觉到室内外的冷暖，说明我们周围分布着一个温度场，等等。
那么到底什么是场呢？从物理意义上理解，场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。
从数学意义上理解，场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。
例如温度场就由T 描述，只要知道了场中各点T 的大小，该温度场就被确定了，这种只有数值大小的物理量称为标量，该场称为标量场；还有一种场，例如本书中讨论的电磁场，电场强度E 是描述电场的物理量之一，人们不仅需要知道它的数值大小，还要知道它的方向，这样才能完全确定它，这样的物理量称为矢量，该场称为矢量场。
在电磁场和电磁波的学习中，我们始终要用到矢量运算，因此掌握矢量分析是十分必要的。
§1.1 矢量的概念1.1.1 标量在电磁场中遇到的特征量可区分为标量和矢量两类。
一个仅用大小就能够完整描述的物理量称为标量。
如电荷、电位和能量等。
这些量中的每一个量，用单纯的一个数就可以完整地描述。
电荷0.5库伦（C ），电位220伏特（V ）等都是标量的例子。
1.1.2 矢量一个不仅有大小而且有方向的物理量称为矢量。
力、速度、力矩、电场强度和加速度都是矢量。
一个矢量常用一个带箭头的线段来图示，其长度按适当比例表示它的大小，方向则用箭头指示，如图 1.1(a)所示。
其中，R 代表一个从O 点指向P 点的矢量。
图1.1(b)表示几个平行矢量有同样的大小和方向，它们都代表同一个矢量。
一个大小为零的矢量称为空矢或零矢。
一个大小为1的矢量称为单位矢量。
一个矢量A 可以表示为A Aa = (1.1)其中A 是A的大小，称为模，由式(1.2)表示||A A = (1.2)a 是A 的单位矢量，即方向与A 的方向相同，大小为1的矢量，由式(1.3)表示||A a A =(1.3)§1.2 矢量运算1.2.1 矢量加法矢量加法是矢量的几何和，两个矢量的几何和服从平行四边形规则，如图1.2(a)所示。
第一章 矢量分析
e1 =
∂r ∂ u1
∂r ∂ u1
∂r 若记 hi = ，则单位矢量为 ∂ui
∂r
ei =
∂ ui
hi
(i = 1 , 2 , 3 )
hi称为拉梅系数（Lame'）或度量因子 3、求解拉梅系数 直角坐标系 正交坐标系 根据定义式 hi
ˆ ˆ ˆ r = xx + y y + z z
dl = dr = r ( M ′) − r ( M )
z
M ( u1 , u 2 , u 3 )
ห้องสมุดไป่ตู้
M ′( u 1 + d u1 , u 2 + du2 , u 3 + d u3 )
dl (dr )
r (M )
o x 图 1－ 7
r (M )
根据全微分运算法则
dl = d r =
∂r ∂r ∂r du1 + du 2 + du 3 ∂ u1 ∂ u2 ∂ u3
则称，当 t → t0 时矢性函数F (t ) 有极限，记作
lim F ( t ) = F0
t → t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且
lim F ( t ) = F ( t0 )
t → t0
则称F (t ) 在 t = t0 处连续。
2、导数与微分
⑴导数：设矢性函数 F (t ) 在
②矢端曲线
★矢径
r (t ) 或 r (M )
二、基本运算 1、极限和连续 ⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 都存在一个正数δ，使得满足
1第一章 矢量分析
∂u ∂n
∂u 可得 ∂x = grad u ⋅ e x ∂u ∂u = grad u ⋅ e l ⇒ = grad u ⋅ e y ∂l ∂y ∂u = grad u ⋅ e z ∂z
在直角坐标系中梯度的计算#43; ey + ez =∇ ϕ ∂x ∂y ∂z
d iv A = lim
计算公式
∆v→ 0
1 ∆v
∫
s
A ⋅ dS
divA=∇⋅ A=
∂A x ∂x
+
∂A y ∂y
+
∂A z ∂z
三、散度的物理意义 • 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； 矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数； • 散度代表矢量场的通量源的分布特性
∇• A = 0 (无源） 无源）
v 1 ∂ ( ρ Fρ ) 1 ∂Fϕ ∂Fz ∇⋅F = + + ρ ∂ρ ρ ∂ϕ ∂z
ˆ eρ 1 ∂ ∇× A = ρ ∂ρ Aρ ˆ ρ eϕ ˆ ez
∂ ∂ ∂ϕ ∂z ρ Aϕ Az
3、在球坐标系
ˆ ∇ = er ∂ 1 ∂ 1 ∂ ˆ ˆ + eθ + eϕ r ∂θ r sin θ ∂ϕ ∂r
2）在柱面坐标系中： ）
∂u 1 ∂u ∂u ˆ ˆ ˆ gradu = eρ + eϕ + ez ∂ρ ∂z r ∂ϕ
3）在球面坐标系中： ）在球面坐标系中：
∂u 1 ∂u 1 ∂u ˆ ˆ ˆ g ra d u = er + eθ + eϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ ϕ
【例题】 例题】
斯托克斯定理
∫l A⋅dl = ∫
第1章矢量分析
F dS S
S1 F dS1
S2 F dS2
S3 F dS3
S4 F dS4
S5 F dS5
S6 F dS6
aˆx aˆz 0, aˆy aˆy 1,
aˆy aˆz 0 aˆz aˆz 1
A B (Axaˆx Ayaˆy Azaˆz ) (Bxaˆx Byaˆy Bzaˆz )
Ax Bx Ay By Az Bz
•结论: 两矢量点积等于对应分量的乘积之和。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
其中：dl ,dS 和 dV 称为微分元。
dS
dl
1. 直角坐标系
在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。
线元：dlx dxaˆx
dly dyaˆy
面元： dSx dydzaˆx dSy dxdzaˆy
dlz dzaˆz dl dxaˆx dyaˆy dzaˆz
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
3.乘法：
（1）标量与矢量的乘积：
k 0 方向不变，大小为|k|倍
kA k | A | aˆ
k
0
k 0 方向相反，大小为|k|倍
（2）矢量与矢量乘积分两种定义
a. 标量积（点积）：
B
A B | A| | B | cos
A
两矢量的点积含义： 一矢量在另一矢量方向上的投影与另一矢量模的乘积，
定义： A BC | A|| B || C | sin cos
含义： 标量三重积结果为三矢量构成
的平行六面体的体积 。
h BC
A C
B
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
V A (BC) C (A B) B (C A)
第一章矢量分析
r u ( x, y , z , t ) 、 F ( x , y , z , t )
r u ( x, y, z )、 F ( x, y, z )
第一章 矢量分析
1.1.1 标量场的等值面
标量场空间中，由所有场值相等的点所构成的面，即为等值面。 即若标量函数为 u u( x, y, z) ，则等值面方程为：
第一章 矢量分析
第一章
主 要
矢量分析
内 容
梯度、散度、旋度、亥姆霍兹定理 1. 标量场的方向导数与梯度
2. 矢量场的通量与散度 3. 矢量场的环量与旋度 4. 无散场和无旋场 5. 格林定理
6. 矢量场的惟一性定理
7. 亥姆霍兹定理 8. 正交曲面坐标系
第一章 矢量分析
1.1 矢量代数
1.1.1 标量和矢量
空间中存在任意曲面S，则定义：
v v S A(r ) dS
为矢量 A(r ) 沿有向曲面 S 的通量。
矢量场的通量
第一章 矢量分析
若S 为闭合曲面
s
v v v Ñ A ( r ) dS
物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的通量的代数和。 说明：1) 面元矢量 dS 定义：面积很小的有向曲面。
s
第一章 矢量分析
通过闭合面S的通量的物理意义：
0
0
若 0 ，通过闭合曲面有净的矢量线穿出，闭合面内有发 出矢量线的正源； 若 0 ，有净的矢量线进入，闭合面内有汇集矢量线的负源； 若 0 ，进入与穿出闭合曲面的矢量线相等，闭合面内无 源，或正源负源代数和为0。 局限：只能判断闭合曲面中源的正负特性，不能显示源的特 性。如果令包围某点的闭合面无限收缩，那么该点就可以通量 可以表示源的特性。
电磁场与电磁波第1章矢量分析
例：已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：
（1） 该矢量场的旋度;
（2） 该矢量沿半径为3的四分 之一圆盘的线积分， 如图所 示， 验证斯托克斯定理。
y B
r＝ 3
O
Ax
四分之一圆盘
第 7、8 学时 1.4 标量的方向导数和梯度
1.4.1标量的方向导数和梯度
一个标量场u可以用一个标量函数来表示。在直角坐标 系中， 可将u表示为
lim l A dl
SP S
称固定矢量R为矢量A的 旋度，记作
rotA=R
上式为旋度矢量在n方 向的投影，如图所示， 即
A dl
lim l
SP S
rotn A
ro tA
n
旋涡面
P l
旋度及其投影
矢量场的旋度仍为矢量。在直角坐标系中，旋度的表达式为
rotA
ax
Az y
Ay z
a
y
Ax z
Az x
z
l
式 中 ， 当 Δl→0 时 δ→0 。 将 上 式 两 边 同 除 以 Δl 并 取 极限得到方向导数的计算公式：
u u cos u cos u cos
l x
y
z
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其中，cosα, cosβ, cosγ为l方向的方向余弦。
1.4.4 标量场的梯度
1. 梯度的定义
方向导数为我们解决了函数u(P)在给定点处沿某个方向的 变化率问题。然而从场中的给定点P出发，标量场u在不 同方向上的变化率一般说来是不同的，那么，可以设想，
▽ ·(▽ ×A)≡0
即如果有一个矢量场B的散度等于零，则该矢量B就可 以用另一个矢量A的旋度来表示，即当 ▽ ·B=0 则有
第1章 矢量分析
体积元
dV dxdydz
z
z
z0
（ 平面） ez
P
ey
ex
o
点P(x0,y0,z0)
y
y y0（平面） x x x0 （平面）
直角坐标系
z dSz ezdxdy
dz
dSy eydxdz
o
dy
dx dSx exdydz
y
x
直角坐标系的长度元、面积元、体积元
第一章 矢量分析
A Axex Ayey Azez
sin cos
0
0 ex
0
e y
1 ez
ex cos
ey
sin
ez 0
sin cos
0
0 e
0
e
1 ez
第一章 矢量分析
2、直角坐标系与球坐标系的关系
er ex sin cos ey sin sin ez cos e cos cos ex cos sin ey sin ez e ex sin ey cos
坐标变量 坐标单位矢量 位置矢量 线元矢量 面元矢量
x, y, z,( x, y, z )
ex , ey , ez
r ex x ey y ez z
dl
exdx
ey
dy
ezdz
dSx exdlydlz exdydz
dSy eydlxdlz eydxdz
dSz ezdlxdly ezdxdy
A B AxBx Ay By Az Bz
ex ey ez
A B Ax Ay Az Bx By Bz
ex
Ay By
Az Bz
ey
Ax Bx
第一章 矢量分析
第一章 矢量分析§1 场的概念 一. 矢量与标量1.概念标量 实数域内只有大小的量。
如：电压、温度、时间、电荷等。
矢量 实数域内既有大小又有方向的量，且加法运算遵循平行四边形法则。
如：力F 、电场强度E 、磁场强度H、速度等。
常矢：矢量的模和方向都不变。
如：x e 、y e 、z e。
变矢：模和方向或两者之一变化的矢量(在实际问题中遇到的更多)。
如：r e 、θe 、ϕe 、ρe。
物理量 标量或矢量被赋予物理单位，成为有物理意义的量。
2.矢量的表示印刷 黑体 A ；A(白体)表示A的模。
手写 模和方向均表示出。
表示A 的方向(模为1)。
A 表示矢量A 的模。
▪ 零矢（空矢）：模为零的矢量。
0▪单位矢量：模为1的矢量。
如直角坐标系坐标轴方向x e 、y e 、z e （参考书）。
也有用x a、y a 、z a或i 、j 、k 或 x ˆ、y ˆ、z ˆ 等表示。
若三个相互垂直的坐标轴上的分量已知，一个矢量就确定了。
如直角坐标系中，矢量A的三个分量模值分别是A x , A y , A z ，则直角坐标系： A的模为 A的单位矢量为判断以下手写表示是否正确：（矢量≠标量） （标量≠矢量） ☹ 常见手写表示错误： Aa A 0=A A a=0zz y y x x A e A e A e A ++=222z y x A A A A ++=γβcos cos cos ˆ0z y x zz y y x x A e e a e A A e A A e A A e A A a A++=++===5=E 5x e E=5x e E =765zy x e e e E ++= 765z y x e e e E++=二. 矢量的代数运算1.矢量的加减法2.矢量的乘法a.标量积(点乘) 结果为标量！b.矢量积(叉乘) 结果为矢量！直角坐标系：∙ 点乘 垂直 平行点乘符合交换律： ∙ 叉乘平行 垂直注意：z x y e e e-=⨯ 叉乘不符合交换律： 三.矢量场与标量场1.场在某一空间区域内的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的值，则称在此区域内确定了该物理量的一个场。
第一章 矢量分析
1
电磁场与波
1.1 矢量代数
1.2 矢量场的通量与散度，散度定理
1.3 矢量场的环流和旋度，斯托克斯定理
1.4 标量场的方向导数与梯度，格林定理 1.5 亥姆霍兹定理 1.6 曲面坐标系 1.7 场函数的二阶微分运算
2
电磁场与波
教学基本要求： 理解标量场与矢量场的概念，了解标量场的等值面和 矢量场的矢量线的概念 深刻理解矢量场的散度和旋度，标量场的梯度，掌握 相关计算公式和方法 熟练掌握散度定理和斯托克斯定理 理解亥姆霍茨定理的重要意义
—— 标量三重积 A ( B C ) B ( C A ) C ( A B )
—— 矢量三重积 A ( B C )( A C ) B ( A B ) C
10
电磁场与波
z x y 9, z B x 243 y , 求 ( 1 ) A B , A B , A B 例1.1：设 A ( 2 ) 求 A 和 B 的 夹 角
用坐标分量表示为 A B ( x A y A z A )( x B y B z B ) x y z x y z A B A B A B x x y y z z
矢量的标积符合交换律: AB BA
8
电磁场与波
（4）矢量的矢量积（叉积）
ˆ ˆ ˆ B = x ( 12 ) y [9(4 ) ] z (13 ) 解：（1） A ˆ ˆ ˆ x y 5 z 4
ˆ ˆ ˆ ˆ(3 ˆ A B = xx ˆ 2 y 9 (y 4 ) z z ) 23 63 3 5 ˆ y ˆ z ˆ x
掌握曲面坐标系及其相互转换关系
第一章 矢量分析
(
)
( )
( )
(
)
(
)
16
导矢的物理意义 M0
z
s
M
dr dr ds 导矢： 导矢： = ⋅ l dt ds dt o y dr : 点M 处的单位切向矢量τ x ds ds 处质点的速度大小， : 点M 处质点的速度大小，用v 表示 dt dr 质点M 质点M 的速度矢量 = vτ = v dt dv d 2 r w= = 2 质点M 质点M 的加速度矢量 dt dt
d dA dB d A± B = ± C = 0, C为常矢 dt dt dt dt d dA d du dA kA = k , k为常数 uA = A+u dt dt dt dt dt d dB dA d 2 dA A⋅ B = A⋅ + ⋅B 特例： A = 2 A ⋅ dt dt dt dt dt d dB dA A× B = A× + ×B dt dt dt dA dA du = ⋅ 若有复合函数 A＝A ( u ) dt du dt
7
第一章
第二节 矢性函数的导数与微分
1. 矢性函数的导数 定义 设矢性函数 A ( t )在点 t的某一邻 的某一邻 域内有定义， 域内有定义，并设 t +△t 也在这邻域内。 △ 也在这邻域内。 若
M
A (t ) A′ ( t )
∆A
N l
其极限存在， 在 ∆t → 0 时，其极限存在，则称此极限 ∆A=A ( t +∆t ) -A ( t ) 为矢性函数 A ( t ) 在点 处的导数（简称 导数（ 在点t 处的导数 导矢）， ），记作 导矢），记作 dA/dt 或 A′ ( t ) 。
13
第一章 矢量分析习题解答
第一章 矢量分析一、基本概念与公式1.标量与矢量矢量：一个既有大小又有方向的量。
标量：一个仅用大小就能够完整描述的物理量。
2.矢量运算1.加法矢量的加法符合交换律和结合律A B B A +=+ ()A B C A B A C ⋅+=⋅+⋅2．矢量的乘法 1） 数乘一个标量k 与一个矢量A 的乘积kA 仍为一个矢量，即x y z x y z k A kA e kA e kA e =++ 若0k >，则kA 与A 同方向；若0k <，则kA 与A 与反方向。
2） 标量积AB cos A B AB θ⋅=x x y y z z A B A B A B =++3）矢量积||||sin n AB A B A B e θ⨯=xy zxy z xyzxe e e A A A B B B = ()()()x y z y z z y z x x z x y y x e A B A B e A B A B e A B A B =-+-+-4）三个矢量的乘积标量三重积：()A B C ⋅⨯ 的结果为一标量。
有如下循环互换规律：()()()A B C B C A C A B ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯ 矢量三重积：)(C B A⨯⨯的结果为一矢量。
可展成下述两矢量之差：()()()A B C B A C C A B ⨯⨯=⋅-⋅3.三种常用的正交坐标系 1）直角坐标系在直角坐标系内的任一矢量A 可以表示为(,,)(,,)(,,)(,,)x y z x y z A x y z A x y z e A x y z e A x y z e =++式中，,,x y z A A A 分别为矢量A 在,,x y z e e e 方向上的分量。
位置矢量： x y z r xe ye ze =++ ( 位置矢量的微分为 x yzd r d x ed ye d z e =++ 与三个坐标面单位矢量相垂直的三个面积元分别为 x d S d y d z =，y dS dxdz =，z dS dxdy =体积元为 dV dxdydz =2）柱坐标系任一矢量场A 在圆柱坐标系中可表示为z z A A e A e A e ρρϕϕ=++ 式中,,z A A A ρϕ称为圆柱坐标分量，是矢量A 在三个垂直坐标轴上的投影。
矢量分析-PPT
0
2 2 2 2
x2 y2 z2
1 .4 .2 格林定理
将散度定理中矢量A表示为某标量函数的梯度 ψ与另一标 量函数 φ的乘积, 则有
A ( ) 2
取上式在体积V内的积分, 并应用散度定理, 得
(2 )dv
V
s( ) nˆds
s
n
ds
(1 -49)
式中S是包围体积V的封闭面, nˆ 是封闭面S的外法线方向单位矢
量。此式对于在体积V内具有连续二阶偏导数的标量函数φ和ψ都 成立, 称为格林( G .Green)第一定理。
divA A
A
xˆ
x
yˆ
y
zˆ
z
(xˆAx
yˆAy
zˆAz
)
Ax Ay Az x y z
利用哈密顿算子, 读者可以证明, 散度运算符合下列规则:
(A B) A B
(A) A A
1 .2 .3 散度定理
既然矢量的散度代表的是其通量的体密度, 因此直观地可知, 矢量场散度的体积分等于该矢量穿过包围该体积的封闭面的总 通量, 即
ds nˆds
nˆ 是面元的法线方向单位矢量。nˆ 的取法(指向)有两种情形: 对
开曲面上的面元, 设这个开曲面是由封闭曲线l所围成的, 则当选
定绕行l的方向后, 沿绕行方向按右手螺旋的姆指方向就是 nˆ 的方 向, 如图1 -4所示; 对封闭曲面上的面元, nˆ 取为封闭面的外法线方
向。
图 1 -4 开曲面上的面元
为A , B崐所在平面的右手法向 n:ˆ
A B nˆAB sin aAB
它不符合交换律。 由定义知,
A B (B A)
并有
xˆ xˆ yˆ yˆ zˆ zˆ 0 xˆ yˆ zˆ, yˆ zˆ xˆ, zˆ xˆ yˆ
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1矢量分析1.在球面坐标系中，当ϕ与φ无关时，拉普拉斯方程的通解为：（）。
2.我们讨论的电磁场是具有确定物理意义的（），这些矢量场在一定的区域内具有一定的分布规律，除有限个点或面以外，它们都是空间坐标的连续函数。
3. 矢量场在闭合面的通量定义为，它是一个标量；矢量场的（）也是一个标量，定义为。
4. 矢量场在闭合路径的环流定义为，它是一个标量；矢量场的旋度是一个（），它定义为。
5.标量场u（r）中，（）的定义为，其中n为变化最快的方向上的单位矢量。
6. 矢量分析中重要的恒等式有任一标量的梯度的旋度恒为（）。
任一矢量的旋度的散度恒为（）。
7. 算符▽是一个矢量算符，在直角坐标内，，所以是个（），而是个（），是个（）。
8. 亥姆霍兹定理总结了矢量场的基本性质，分析矢量场总要从它的散度和旋度开始着手，（）方程和（）方程组成了矢量场的基本微分方程。
9. （）坐标、（）坐标和球坐标是电磁理论中常用的坐标10. 标量：（）。
如电压U、电荷量Q、电流I、面积S 等。
11. 矢量：（）。
如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。
12. 标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量（）地描述，则该标量函数定出标量场。
例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。
13. 矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量（）地描述，则该矢量函数定出矢量场。
例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。
14. 旋度为零的矢量场叫做（）15. 标量函数的梯度是（），如静电场16．无旋场的（）不能处处为零17. 散度为零的矢量场叫做（）18. 矢量的旋度是（），如恒定磁场19．无散场的（）不能处处为零20．一般场：既有（），又有（）21．任一标量的梯度的旋度恒为（）22．任一矢量的旋度的散度恒为（）。
23．给定三个矢量和：求：(1)； (2)；(3)； (4)；(5)在上的分量：(6)； (7)；(8)和。
24．三角形的三个顶点为(0，1，－2)、(4，1，－3)和(6，2，5)。
(1) 判断是否为一直角三角形。
(2) 求三角形的面积。
25．求(－3，1，4)点到P(2，－2，3)点的距离矢量及的方向。
26．给定两矢量和，求在上的分量。
27．如果给定一未知矢量与已知矢量的矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设为一矢量，，而，和已知，试求。
28．在圆柱坐标中，一点的位置由定出，求该点在(1)直角坐标中；(2)球坐标中的坐标。
29．用球坐标表示的场，(1) 求在直角坐标系中点(－3，4，5)处的和；(2) 求与矢量构成的夹角。
30．球坐标中两个点()和()定出两个位置矢量和。
证明和间夹角的余弦为提示：，在直角坐标中计算。
31．一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。
32．在由r=5,z=0和z=4围成的圆柱形区域，对矢量验证散度定理。
33．求(1)矢量的散度；(2)求对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求对此立方体表面的积分，验证散度定理。
34．计算矢量对一个球心在原点，半径为a的球表面的积分，并求对球体积的部分。
35．求矢量沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。
再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
36．求矢量沿圆周的线积分，再计算对此圆面积的积分。
37．证明：（1），（2），（3），其中为一常矢量。
38．一径向矢量场用，表示，如果，那么函数会有什么特点呢？39．给定矢量函数，试：（1）沿抛物线；（2）沿连接该两点的直线分别计算从点到的线积分的值，这个是保守场吗？40．求标量函数的梯度及再一个指定方向的方向导数。
此方向由单位矢量定出；求（2，3，1）点的导数值。
41．试采用与推导式（1，3，8）相似的方法计算圆柱坐标下的计算式。
42．方程给出一椭球族。
求椭球表面上任意一点的单位法向矢量。
43．现有三个矢量场问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以用一个矢量的旋度表示？（2）求出这些矢量的源分布。
44．利用直角坐标证明：45． 证明：46． 利用直角坐标证明：47． 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明及，试证明之。
48．求数量场φ =(x+y)2-z 通过点M(1, 0, 1)的等值面方程。
49．求矢量场A=xy2ex+x2yey+zy2ez 的矢量线方程 50．求数量场22x y u z +=在点M(1, 1, 2)处沿l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数。
51．设标量函数r 是动点M(x, y, z)的矢量r=xex+yey+zez 的模， 即r =， 证明：.r gradr r r ==︒52．求r 在M(1，0，1)处沿l=ex+2ey+2ez 方向的方向导数53．已知位于原点处的点电荷q 在点M(x, y, z)处产生的电位为4qr ϕπε=，其中矢径r 为r=xex+yey+zey ，且已知电场强度与电位的关系是E=-▽φ，求电场强度E 。
54．已知矢量场r=xex+yey+zez ，求由内向外穿过圆锥面x2+y2=z2与平面z=H 所围封闭曲面的通量。
55．在坐标原点处点电荷产生电场，在此电场中任一点处的电位移矢量为 2(,,)4y z q r D r r ye ze r r r r r π=︒===︒=求穿过原点为球心、R 为半径的球面的电通量56．原点处点电荷q 产生的电位移矢量2344q q D r r r r ππ=︒=，试求电位移矢量D 的散度。
57．球面S 上任意点的位置矢量为r=xex+yey+zez ，求 S r dS ⋅⎰⎰58．求矢量A=-yex+xey+cez(c 是常数)沿曲线(x-2)2+y2=R2, z=0的环量59．求矢量场A=x(z-y) ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez 在点M(1，0，1)处的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez 方向的环量面密度。
60．在坐标原点处放置一点电荷q ，在自由空间产生的电场强度为33()44x y z q q E r xe ye ze r r πεπε==++求自由空间任意点(r ≠0)电场强度的旋度▽×E 。
61．在一对相距为l 的点电荷+q 和-q 的静电场中，当距离r>>l 时，其空间电位的表达式为20(,,)cos 4ql r r ϕθφθπε=求其电场强度E(r, θ, φ)。
62．已知一矢量场F=axxy-ayzx, 试求：（1） 该矢量场的旋度;（2） 该矢量沿半径为3的四分之一圆盘的线积分，如图所示， 验证斯托克斯定理。
63．如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。
设A 为一已知矢量p A X =⋅P A X =⨯p 和P 已知，试求XB64．点电荷q 在离其r 处产生的电通量密度为2221/23ˆˆˆ,,()4==++=++q D r r xx yy zz r x y x r π求任意点处电通量密度的散度▽·D ，并求穿出r 为半径的球面的电通量65．1(())()(2)(())()(3)(())()d f r f r df dA A f r f r dfdA A f r f r df ϕϕ∇=∇∇=∇∇⨯=-⨯∇证明（）66．证明：标量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面 67．)(2))A A A A A A ϕϕϕϕϕϕ∇=∇+∇∇⨯=∇⨯+∇⨯求证：（1）((68．2)()())()()A A A A A A A ϕϕϕϕϕϕϕ∇⨯∇⨯=∇⨯∇⨯-∇+∇∇+∇⨯∇⨯+∇∇-∇∇（（69．ˆ()S l n AdS A dl ⨯∇⨯=-⨯⎰⎰证明： 70. 证明: 其中：A 为一常矢量71. 现有三个矢量场 A, B, C问：（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示；（2）哪些矢量可以由一个矢量的旋度表示；（3）求出这些矢量的源分布。
72. (1) 求矢量 的散度；（2）求 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的积分，验证散度定理。
73. 求矢量 沿平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x 轴和y 轴相重合。
再求对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。
74. 给定矢量函数 ，试计算(1) 沿抛物线x ＝2y2；（2）沿连接该两点的直线从点P1(2,1,1)到P2(8,2,-1)的线积分的值，这个E 是保守场吗？75．已知A 、B 和C 为任意矢量，若C A B A ⋅=⋅，则是否意味着B 总等于C 呢？试讨论之；试证明：()()()B A C A C B C B A ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅。
76． 给定三个矢量A 、B 和C 如下：z y x a a a A 32-+=z y a a B +-=4z x a a C 25-=求（1）矢量A 的单位矢量A a ；（2）矢量A 和B 的夹角AB θ；（3）B A ⋅和B A ⨯（4）()C B A ⨯⋅和()C B A ⋅⨯；（5）()C B A ⨯⨯和()C B A ⨯⨯。
77． 有一个二维矢量场()()()x y y x a a r F +-=，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图形。
78． 直角坐标系中的点()4,1,31-P 和()3,2,22-P ，直角坐标系中写出点1P 、2P 的位置矢量1r 和2r ；求点1P 到2P 的距离矢量的大小和方向，求矢量1r 在2r 的投影。
79． 写出空间任一点在直角坐标系的位置矢量表达式，并将此位置矢量分别变换成在圆柱坐标系中和球坐标系中的位置矢量。
80． 求数量场()222ln z y x ++=ψ通过点()1,2,3P 的等值面方程。
81． 用球坐标表示的场225r r a E =，求（1）在直角坐标系中的点()5,4,3--处的E 和z E ； （2）E 与矢量z y x a a a B +-=22之间的夹角。
82． 试计算⎰⋅S S r d 的值，式中的闭合曲面S 是以原点为顶点的单位立方体，r 为立方体表面上任一点的位置矢量。
83． 求标量场()z e y x z y x +=326,,ψ在点()0,1,2-P 的梯度。
84． 在圆柱体922=+y x 和平面0=x 、0=y 、0=z 及2=z 所包围的区域，设此区域的表面为S ，求（1）矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，矢量场A 的表达式为()()x z z y x z y x -+++=3332a a a A（2）验证散度定理。
85．计算⎰⋅C l A d 从()0,0,0P 到()0,1,1Q ，其中矢量场A 的表达式为2144y x y x a a A -= 曲线C 沿下列路径：（1）t x =，2t y =；（2）沿直线从()0,0,0沿x 轴到()0,0,1，再沿1=x 到()0,1,1；（3）此矢量场为保守场吗？86． （1）若矢量场()z r a A 2162+=，在半径为2和20πθ≤≤的半球面上计算⎰⋅S SA d 的值； （2）若矢量场z a A ϕ2cos 10=，求穿过xy 平面上半径为2的圆面的通量⎰⋅S S A d 。