(完整版)数学分析知识点总结第二章

第二章
1数列极限的概念
定义（1）；设{n a }为数列，a 为定数。

若对任给的的正数，
总存在正整数n.使得当n N 时，有|a n -a|<ℑ,则称数列{a n }的极限，记作lim x →∞
a n =a.(∀ ℑ>0.∃N,当n ≥N 时，有|a n -a|<ℑ成立，则lim n x a a →∞
=)。

注意：1：ℑ为任意正数，ℑ可以随意小，但一经给出，就被确定下来，有时还用2/2,s ℑℑ+表示。

2：N 的依赖性但不唯一性，N 是依赖于ℑ，但不由ℑ唯一确定。

比如n>N 时，N=100，自然N=|0|也成立，所以，N 不是唯一确定的。

1. 定义（1）；0.a;){a }n ℑℑ任给若在（之外数列中的项至多有有限个。

则称数列{a }n 收敛于a 。

定义1的否定：存在00ℑ，若在N a;){a }{a } a.n ℑ（之外的数列中的项有无穷多个，则称数列不收敛于，而不能说明N {}a 无极限。

注意：定义1 通常用来说明数列无极限，而定义1 的否定只说明{a }a {a }n n 不收敛于，而不能说明无极限。

定义（2）：若lima 0,{a }n n x →∞
=则称为无穷小数列。

定理2.1；数列{a n }收敛于a 的充要条件是：
{}n a a -为无穷小数列。

定义{a }0N n N a |n n ∀M M 满足：对，总存在正整数，始得当时，有|成立 则称数列{a }lima n n x →∞
=∞发散与无穷大，记坐。

注意：无穷大数列只是无极限的一种。

随记坐n lim ,{a }n x a →∞=∞但仍为发散数列，无极限给定数列，得到数列{b }n 。

则数列{}n a 与
{b n }同时收敛或发散，且在收敛时两者的极限相同。

2收敛的性质
定理2.2：唯一性，若数列n {}a 收敛，则他只有一个极限。

定理2.3：有界性，若数列n {}a 收敛，则{a n }为有界数列，则存
在正数M ，使得对一切正整数n 有|n a |M ≤
收敛数列一定有界，而有界数列不一定收敛。

定理2.4:若lim=a 0(a 0),a '(0,)x a →∞
><∀∈∈或则对（或a"(a,0))，都存在N ，使得（保号性）当n >N 时，有'(a ')n n a a a ><或成立。

摧论：设lim ,lim ,n n x x a a b b a b →∞→∞
==<，则存在N ，使得当n>N 时有a n n b <。

证明：a ()/2,()/2a b a b b a b <∴<+>+有
由定理2.4，保号性知：,n a ()/2n N N a b ∃><+当时，有
22,n>N b ()/2n N a b ∃>+当时，有 1,2N=max{}n N N N >取当时，a n N b < 定理2.5（保不等式性），设{a }{b }n n 与均为收敛性，若存在正数
0N ，使得当n>N 0时有,.lima lim n n n n x x a b b →∞→∞
≤≤则 证明
设lim ,lim n n x x a a b b →∞→∞
== 10,,n>N |a |.a 22
n n N a a a ℑℑ∴∀ℑ>∃--<<+当时，有即有
22|b |,b 222n n N b b b ℑℑℑ∃-<
-<<+当n>N 时，有即有 取N=max 0,12{,},n a 22n n N N N N a b b ℑℑ>-<≤<+当时，
lima lim n x x a b a b b →∞→∞
∴<+ℑ∴≤≤即 定理 2.6（迫敛性）设收敛数列
{0},{}a {c }N n n n a b 都已为极限，数列满足；存在数，当n>0N 时有
,a {c }limc n n n n n x c b a →∞
≤≤=则数列收敛，且 {}{}{}{1,12,2012lim lim .
0,.
0,.
=max ,,,,
,.
lim .2.7n n n n n n n n n n n n n n n n
n n a b a N a a a a a N n N b a a b a N N N N n N c b a a c a c a c a a b a εεεεεεεεεεεεε→∞→∞→∞
==∀>∃-<-<<+∀>∃>-<-<<+>≤≤<+∴-<<+-<∴=+证明：设则有当n>N 时，有成立，即
当时，有成立，即
取当时，有a-<a 即定理（四则运算）若与为收敛数列，则}{}{}{}{}}{}{}{}{}{121212,,*0,lim 0,,,,
.1,2,,
2.8n n n n n n n n n n n k k n n nk n nk k k n n n n b a b a b a b b b a n n n a a a a a k n a a a a a a a →∞-⎧⎫⎪≠≠⎨⎬⎪⎭
⎩<<<<≤也都是收敛数列。

假设及则有为收敛数列。

定义：设为数列，为正整数集，
且n 则数列称为数列的一个子列，记作注意：、、也为的子列。

定理：数列的充要条件是：的任何子列都收敛。

}{2.91lim 1.2.102.110,,.n n n n m e n a N n m N a a εε→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭>>-<第三节：数列极限存在的条件
定理：单调有界定理：单调有界数列一定有极限。

证明过程见课本37页。

结论：定理：致密性定理：任何有界数列都有收敛的子列。

定理：柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：
对任给的存在正整数，使得当时，
有。