对鲁棒控制的认识

对鲁棒控制的认识

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学号： *********

专业：双控

鲁棒控制（RobustControl）方面的研究始于20世纪50年代。在过去的20年中，鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点。所谓“鲁棒性”，是指控制系统在一定（结构、大小）的参数摄动下，维持某些性能的特性。根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁棒性。如果所关心的是系统的稳定性，那么就称该系统具有鲁棒稳定性；如果所关心的是用干扰抑制性能或用其他性能准则来描述的品质，那么就称该系统具有鲁棒性能。以闭环系统的鲁棒性作为目标设计得到的固定控制器称为鲁棒控制器。

鲁棒控制的早期研究，主要针对单变量系统（SISO）的在微小摄动下的不确定性，具有代表性的是Zames提出的微分灵敏度分析。然而，实际工业过程中故障导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动，因此产生了以讨论参数在有界摄动下系统性能保持和控制为内容的现代鲁棒控制。现代鲁棒控制是一个着重控制算法可靠性研究的控制器设计方法，其设计目标是找到在实际环境中为保证安全要求控制系统最小必须满足的要求。一旦设计好这个控制器，它的参数不能改变而且控制性能能够保证。

鲁棒控制方法，是对时间域或频率域来说，一般要假设过程动态特性的信息和它的变化范围,一些算法不需要精确的过程模型，但需要一些离线辨识。鲁棒控制理论是分析和处理具有不确定性系统的控制理论，包括两大类问题：鲁棒性分析及鲁棒性综合问题。鲁棒性分析是根据给定的标称系统和不确定性集合，找出保证系统鲁棒性所需的条件；而鲁棒性综合（鲁棒控制器设计问题）就是根据给定的标称模型和不确定性集合，基于鲁棒性分析得到的结果来设计一个控制器，使得闭环系统满足期望的性能要求。主要的鲁棒控制理论有：

（1）Kharitonov区间理论；

控制理论；

（2）H

∞

（3）结构奇异值理论μ理论。

下面就这三种理论做简单的介绍。

1 Kharitonov区间理论

1.1参数不确定性系统的研究概况

对参数不确定性系统的研究源于20世纪20年代。Black采用大回路增益的反馈控制技术来抑制真空管放大器中存在的严重不确定性，由于采用大回路增益,所以设计的系

统常常不稳定；1932年,Nyquist给出了判断系统稳定性的频域判据,在控制系统设计时,用来在系统稳定性和回路增益之间进行折衷；1945年,Bode首次提出灵敏度函数的概念,对系统的参数不确定性进行定量的描述。在此基础上,Horowitz在1962年提出一种参数不灵敏系统的频域设计方法，此后,基于灵敏度分析的方法成为控制理论中对付系统参数不确定性的主要工具。不过,这种方法是基于无穷小分析的,在实际系统的设计中并不总是能收到良好效果。因为系统的参数不确定性通并不能看作无穷小扰动；另外,灵敏度分析法一般要求知道对象的标称值,这在实际中往往也难以做到。于是,人们开始研究用有界扰动来刻画参数的不确定性,出现了鲁棒辨识方法。此法给出的辨识结果不是一个确定值,而是参数空间中的一个域(如超矩形、凸多面体、椭球等)。相应地,不确定系统的参数空间设计方法也得到广泛而深入的研究。1984年,Barmish将前苏联学者Kharitonov的区间多项式鲁棒稳定性的著名结果——四多项式定理。引入控制界,掀起了在参数空间中研究系统鲁棒性的热潮。

1.2 关于区间多项式的几个重要定理

参数摄动通常表现为独立摄动、线性相关摄动和多线性相关摄动3种模式。判断在相应的参数摄动模式下系统鲁棒稳定性的主要定理分别是:四多项式定理、棱边定理和映射定理。

2 结构奇异值理论(理论)

2. 1 结构奇异值理论的产生和L定义

当系统中的不确定性可以用一个范数有界的摄动块来刻画时,系统对确定性的最大容限(鲁棒性)可以用小增益定理来描述。若只考虑定的传递函数和稳定摄动时,小增益定理用矩阵奇异值给出的系统鲁棒性估计是无保守性的。但在许多实际问题中,仅用一个范数有界的摄动块来刻画系统的未建模动态是不够精细的。因为我们常常可以获得未建模动态中的部分内部结构信息,若此时仍用小增益定理来估计系统的鲁棒性,所得结论的保守性可能会很大。于是Doyle于1982年首次提出了结构奇异值——SSV(StructuredSingularValue)的概念,再经Doyle自己及Packard等的进一步研究及整理便上升为研究动态不确定性鲁棒控制的结构奇异值理论(亦称L理论)。这一理论的基本思想是:将一个具有回路多点独立的有界范数摄动化为块对角摄动结构,然后给出判断系统鲁棒稳定的充要条件。这一理论同时兼顾了系统的稳定鲁棒性和性能鲁棒性,是鲁棒控制理论中的一个重要分支。

2. 2 几个重要定理及L综合

小L定理、主环定理和L综合问题。L综合的任务就是寻找正则控制器K，使得式得到满足。著名的L综合算法是Doyle在1985年提出的K-D迭代算法,它将L综合问题转化为标准的H

∞

优化问题及标准的凸优化问题。

2. 3 混合L问题

求取相应系统的结构奇异值就是所谓的混合L问题。对于混合L,似乎可以将其中的实参数摄动当作复摄动来处理,但具体数值计算表明:随着$中实参数数目的增多,复L 与混合L之间的比值可以任意大。因此,必须采取新的方法来求解混合L问题。Doyle于1985年首先用L方法考虑了实参数不确定性问题，找到了计算混合L上界的有效方法；田玉平、冯纯伯将popov判据进行推广,来判断系统的鲁棒绝对稳定性，并利用popov 乘子的思想和回路变换的方法来研究混合L的上界问题。另外,混合L的上界问题可以转化成LMI的求解问题。

2. 4 回路成形法(LoopShaping)

回路成形法也是一种处理动态不确定性的有效方法。其基本思想是:通过选择权函数来改善开环奇异值频率特性,以实现系统的闭环性能,并在鲁棒性能指标和鲁棒稳定性之间进行折衷。在因此,回路成形控制器的设计就是要寻找一个正则控制器K，使L 满足低频高增益,高频低增益。McFarlane等在1992年给出了具体的设计步骤。

2. 5 尚待解决的两个问题

(1)对于多项式族的鲁棒稳定性问题,当参数摄动超出凸多面体摄动的范围时,目前尚无十分有效的手段来检验多项式族的鲁棒稳定性。在实际问题中,参数摄动常以多线性和多项式映射的形式出现。虽然通过映射定理可以将参数空间中的满足一定条件的超矩形映射为复平面上的凸多边形,利用剔零算法给出多项式族鲁棒稳定的充要条件,但我们尚不清楚满足条件的超矩形是否包括了所有此类多线性映射。

(2)对于L问题,min K

‖F1(G,K)‖L算法的完善及坏条件数系统的L分析方法都是尚需研究的问题。目前有效的综合方法是K-D迭代法。该算法复杂,收敛性也难以保证。因此,有必要寻找更有

效的L综合方法。参H

∞鲁棒控制理论是在H

∞

空间(即Hardy空间)通过某些反映性能指

标的无穷范数优化而获得具有鲁棒性能的控制器的一种控制理论，H

∞

空间是在开右半