直线与圆锥曲线的位置关系(2) 教学设计-人教B版高中数学选择性必修第一册
高中数学(人教B版)选择性必修一：直线与圆锥曲线的位置关系【精品课件】
Q1：检查每一步推导的逻辑是否正确. Q2：反思.
思路简单顺畅，计算量较大 思考是否还有其他方案？
【分析】
第四步：检验解决过程 —— 其他解法？
设 A (x1，y1) ，B (x2，y2 ) ，则 AB (x2 x1)2 ( y2 y1)2 因为 y1 x1 2 ，y2 x2 2 ，所以 y2 y1 x2 x1
①
解:
②
消去 得
例1判断直线
与椭圆
是否有公共点，如有，
求出公共点的坐标，如公共点有两个，求出以这两个公共点
为端点的线段长.
或
公共点的坐标为 所求线段长为
例2已知直线
与椭圆
，分别求该直线
与椭圆有两个公共点、只有一个公共点和没有公共点时 的
取值范围.
公共点的个数
解:
方程组的解的个数
消去 得
方程①不同 ① 实数解的个数
（1）则 AB 2(x2 x1)2 2 x2 x1
由
y x 2
x
2
6 y
① ②
x2 6x 12 0
所以 x2 x1 (x1 x2 )2 4x1x2 = 84
x1 x1
x2 6 x2 12
解：（方法二） “设而不求”
设 A (x1，y1) ，B (x2，y2 ) （1）即 AB 2 x2 x1 2 (x1 x2 )2 4x1x2 = 2 42
则 AB 2(x2 x1)2 2 x2 x1
【分析】
第四步：检验解决过程 —— 其他解法？
（1） AB 2(x2 x1)2 2 x2 x1 = 2 (x1 x2 )2 4x1x2 （2）OA OB x1x2 y1 y2 x1x2 (x1 2)(x2 2)
人教B版高中数学选择性必修第一册2-8直线与圆锥曲线的位置关系课件
+k
2
,
2k
∴Q到直线MN的距离为
k
1 2k
k 2
=
1 k2 22
,
1 k2
1 k2
∴S△MNQ= 1
疑难 情境破
疑难 1 圆锥曲线中的弦长问题
讲解分析
1.求相交弦的弦长的两种方法 (1)求出直线与圆锥曲线的两交点坐标,用两点间的距离公式求弦长. (2)联立直线与圆锥曲线的方程,消元,得到关于一个未知数的一元二次方程,再结合弦长公式 求解.
2.与圆锥曲线中点弦有关的三种题型及解法 (1)利用根与系数的关系求中点坐标:联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组,消去一个未 知数得到一元二次方程,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决. (2)利用点差法求直线斜率或方程:弦的端点在曲线上,端点坐标满足圆锥曲线方程,将端点坐 标分别代入圆锥曲线方程,然后作差,得到中点坐标和斜率的关系,从而使问题得以解决. (3)利用共线法求直线方程:如果弦的中点为P(x0,y0),设弦的一个端点为A(x1,y1),则另一个端点 为B(2x0-x1,2y0-y1),由A,B两点都在圆锥曲线上,满足圆锥曲线方程,可将其坐标代入方程后作差 即可得所求直线方程.
知识点 2 弦长公式
设斜率为k的直线被圆锥曲线截得的弦为AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
1 k 2 |x1-x2|= (1 k 2 )[(x1 x2 )2 4x1x2 ]
或|AB|=
1
1 k2
|y1-y2|
=
1
1 k2
[(
y1
y2
)2
4
y1 y2
]
(k≠0).
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ✕” .
人教B版选择性必修第一册2-8直线与圆锥曲线的位置关系课件(50张)
所以有 x1＋x2＝－2，y1＋y2＝2. ③ 把③代入②得 kAB＝12， 故 AB 的直线方程是 y－1＝12(x＋1)，即 x－2y＋3＝0.
x－2y＋3＝0， 由x42＋y22＝1， 消去 y 得 3x2＋6x＋1＝0.
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝13，
|AB|＝ x1－x22＋y1－y22 ＝ x1－x22＋[kx1－x2]2 ＝ 1＋k2 x1－x22 ＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2
应用.
01 课前精梳理 自主学习固基础
[笔记教材]
知识点 1 直线与圆锥曲线的位置关系
联立直线方程与圆锥曲线方程，消去 y 得 ax2＋bx＋c＝0，则直线与圆锥曲线的位置
关系如下表.
方程特征
交点个数
位置关系
直线与椭圆
a≠0，Δ>0 a≠0，Δ＝0
____2____ ___1_____
___相__交___ __相__切____
[练习 2] 动点 P 到定点 D(1,0)的距离与到直线 l：x＝－1 的距离相等，动点 P 形成 的曲线记作 C.
(1)求动点 P 的轨迹方程； (2)过点 Q(4,1)作曲线 C 的弦 AB，恰被 Q 平分，求 AB 所在直线的方程．
解：(1)由题意可知动点 P 的轨迹为开口向右的抛物线，设方程为 y2＝2px(p>0)． 因为p2＝1，p＝2， 故动点 P 的轨迹方程为 y2＝4x.
(2)方法一：由题意知，当 AB 垂直于 x 轴时，不满足题意，故弦 AB 所在的直线斜率 存在．
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 所在直线的方程为 y＝k(x－4)＋1(k≠0)． 由yy2＝＝k4xx－，4＋1， 消去 x，得 ky2－4y－16k＋4＝0，则 y1＋y2＝4k. 又 y1＋y2＝2，所以 k＝2. 故所求弦 AB 所在直线的方程为 2x－y－7＝0.
高中数学选修一第2章 2.8 直线与圆锥曲线的位置关系人教B版讲义
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系学习目标核心素养位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、逻辑推理、数学运算素养．激光武器是一种利用激光束攻击目标的定向能武器．目前我国的高能激光武器完全有能力击毁或致盲国外的间谍卫星(在以地球为焦点的椭圆形轨道上运行的低空卫星)，假如有一天我们要用激光武器对付间谍卫星就需要用到我们本节课要学习的直线与圆锥曲线的位置关系的知识，因为激光是直线光而卫星轨道是椭圆，激光击毁卫星实际上是直线与椭圆的相交问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线联立，消元得方程ax2＋bx＋c＝0．方程特征交点个数位置关系直线与椭圆a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与双曲线a＝01直线与双曲线的渐近线平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离直线与抛物线a＝01直线与抛物线的对称轴重合或平行且两者相交a≠0，Δ＞02相交a≠0，Δ＝01相切a≠0，Δ＜00相离思考：直线与抛物线、双曲线只有一个公共点时，是否一定相切？[提示]不一定，当直线与双曲线的渐近线平行或与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线、抛物线只有一个公共点，但此时直线与双曲线、抛物线相交．2．弦长公式当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线l的斜率为k，与圆锥曲线C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝错误!＝1＋1k2|y1－y2|＝错误!．1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面上到定点A(1,0)和到定直线l：x＋2y＋3＝0的距离相等的点的轨迹为抛物线．( )(2)一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条．( )(3)抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件．( ) [答案](1)√(2)√(3)×[提示](1)√(2)√(3)×必要不充分条件．2．抛物线y2＝12x截直线y＝2x＋1所得弦长等于( )A．15B．13C．215D．213A[令直线与抛物线交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由⎩⎨⎧y ＝2x ＋1y2＝12x得4x 2－8x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝14，∴|AB |＝错误!＝错误!＝错误!．] 3．直线y ＝x ＋1与椭圆x 2＋y22＝1的位置关系为 ． 相交[联立⎩⎨⎧y ＝x ＋1x2＋y22＝1消去y 得3x 2＋2x －1＝0，Δ＝22＋12＝16＞0∴直线与椭圆相交．]4．直线y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －72与双曲线x29－y 2＝1交点个数为 个．1 [直线与渐近线平行因此只有一个交点．] 5．过椭圆x213＋y212＝1的右焦点与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则|AB |＝ ．241313 [椭圆的右焦点为(1,0)，把x ＝1代入x213＋y212＝1中得：y 2＝12213，∴y ＝±121313，∴|AB |＝241313．]直线与圆锥曲线的位置关系[直线与圆锥曲线相交时，能用两点间距离公式求弦长吗？[提示] 可以．当直线与圆锥曲线相交，两交点坐标好求时，可先求出两交点坐标，用两点间距离公式求弦长；当两交点坐标不便求出时，最好不用此法．【例1】 对不同的实数值m ，讨论直线y ＝x ＋m 与椭圆x24＋y 2＝1的位置关系．[解]由⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，①x24＋y2＝1，②得x24＋(x ＋m )2＝1， 整理得5x 2＋8mx ＋4m 2－4＝0．③此方程的实数根的个数由根的判别式Δ决定， Δ＝(8m )2－4×5(4m 2－4)＝16(5－m 2)． 当－5＜m ＜5时，Δ＞0，方程③有两个不同的实数根，代入①可得到两个不同的公共点坐标，此时直线与椭圆相交．当m ＝－5或m ＝5时，Δ＝0， 方程③有两个相等的实数根，代入①可得到一个公共点坐标，此时直线与椭圆相切． 当m ＜－5或m ＞5时，Δ＜0， 方程③没有实数根，直线与椭圆相离．1．(变条件，变设问)已知双曲线C ：x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为233，且过点(6，1)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线恒有两个不同的交点A ，B ，求k 的取值范围． [解] (1)由e ＝233可得c2a2＝43，所以a 2＝3b 2，故双曲线方程可化为x23b2－y2b2＝1，将点P (6，1)代入双曲线C 的方程，可解得b 2＝1．所以双曲线C 的方程为x23－y 2＝1．(2)联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x2－3y2－3＝0⇒(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0，由题意得错误! 解得－1＜k ＜1且k ≠±33． 所以k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1．2．(改变条件)已知直线l ：y ＝k (x ＋1)与抛物线C ：y 2＝4x ．问：k 为何值时，直线l 与抛物线C 有两个交点，一个交点，无交点？[解] 由方程组错误!消去y 得 k 2x 2＋(2k 2－4)x ＋k 2＝0，记Δ＝(2k 2－4)2－4k 4＝16(1－k 2)， (1)若直线与抛物线有两个交点，则k 2≠0且Δ＞0，即k 2≠0，且16(1－k 2)＞0， 解得k ∈(－1,0)∪(0,1)．所以当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，直线l 和抛物线C 有两个交点． (2)若直线与抛物线有一个交点， 则k 2＝0或k 2≠0时，Δ＝0． 解得k ＝0或k ＝±1．所以当k ＝0或k ＝±1时，直线l 和抛物线C 有一个交点． (3)若直线与抛物线无交点， 则k 2≠0且Δ＜0． 解得k ＞1或k ＜－1． 所以当k ＞1或k ＜－1时， 直线l 和抛物线C 无交点．直线与圆锥曲线位置关系的判断方法提醒：过椭圆内一点的直线均与椭圆相交．弦长问题及中点弦问题【】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． [思路探究] 本题有两种解法．一是利用设点、代入、作差，借助斜率解题的方法，可称为“点差法”．二是利用圆锥曲线弦长的基本求法，先利用两点间距离公式求出含a ，b 的关系式，再借助弦所在直线的斜率求解．[解] 法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0．而y1－y2x1－x2＝－1，y1＋y2x1＋x2＝k OC ＝22， 代入上式可得b ＝2a ．∵|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，即(x 2－x 1)2＝4，其中x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，又∵(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(x 2－x 1)2＝4， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4．将b ＝2a 代入，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x23＋23y 2＝1．法二：由⎩⎨⎧ax2＋by2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB |＝错误! ＝2·错误!． ∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1．①设C (x ，y )，则x ＝x1＋x22＝ba ＋b， y ＝1－x ＝a a ＋b ．∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22， 代入①，解得a ＝13，b ＝23，∴所求椭圆的方程是x23＋23y 2＝1．直线和圆锥曲线相交问题的通法就是利用两个方程联立得到的一元二次方程，利用弦长公式和根与系数的关系解决(要考虑特殊情形)；对于中点弦问题可采用点差法，但要验证得到的直线适合题意.[跟进训练]1．已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|．[解] 法一：设弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ∵P 1，P 2在抛物线上， ∴y 21＝6x 1，y 2＝6x 2．两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)．∵y 1＋y 2＝2，∴k ＝y1－y2x1－x2＝6y1＋y2＝3， ∴直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0． 由⎩⎨⎧y2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0，∴y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22， ∴|P 1P 2|＝1＋19·错误!＝错误!． 法二：由题意设所求方程为y －1＝k (x －4)．由⎩⎨⎧y2＝6x ，y ＝kx －4k ＋1，得ky 2－6y －24k ＋6＝0．设弦的两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， ∴y 1＋y 2＝6k ，y 1y 2＝6－24kk，∵P 1P 2的中点为(4,1)，∴6k ＝2，∴k ＝3，∴所求直线方程为y －1＝3(x －4)． 由y 1＋y 2＝2，y 1·y 2＝－22， 得|P 1P 2|＝1＋19·22－4×（－22）＝22303． 圆锥曲线中的最值及范围问题【例3】已知双曲线C ：a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0．以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围． [解] (1)由双曲线x2a2－y2b2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92．① 由题意知b a ＝22，②由①②解得a 2＝3，b 2＝32，∴椭圆E 的方程为x23＋23y 2＝1． (2)由(1)知P (－3，0)． 设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)． 即⎩⎨⎧x0＋3＝－2x0，y0＝－2y0，解得⎩⎨⎧x0＝－33，y0＝0，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0．设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x1＋332＋y 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x1－332＋y 21＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113． 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0,3]， ∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤113，203．1．求参数范围的方法据已知条件建立等式或不等式的函数关系，再求参数范围． 2．求最值问题的方法 (1)几何法题目中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用图象来解决． (2)代数法题目中给出的条件和结论几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值，求最值的常见方法是均值不等式法，单调性法等．[跟进训练] 2．已知椭圆C ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，C 过点M ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，离心率e ＝12．(1)求椭圆C 的方程；(2)若PQ 为椭圆C 过F 1的弦，R 为PF 2的中点，O 为坐标原点，求△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和的最大值．[解] (1)由e ＝c a ＝12，设a ＝2t ，c ＝t ，t ＞0，可得b ＝3t ，椭圆方程为x24t2＋y23t2＝1，代入M ，可得14t2＋34t2＝1，可得t ＝1，则a ＝2，b ＝3，c ＝1， 可得椭圆方程为x24＋y23＝1．(2)由O ，R 分别为F 1F 2，PF 2的中点，可得△RF 1F 2的面积为△PF 1F 2的面积的一半，即为△PF 1O 的面积，△RF 1F 2、△OF 1Q 面积之和设为S ，则S ＝S △PQO ，当直线PQ 的斜率不存在时，其方程为x ＝－1，此时S △PQO ＝12×1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝32， 当直线PQ 的斜率存在时，设其方程为：y ＝k (x ＋1)，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，显然直线PQ 不与x 轴重合，即k ≠0，联立错误!，消去y 得(3＋4k 2)x 2＋8k 2x ＋4k 2－12＝0，Δ＝144(k 2＋1)＞0，故x 1＋x 2＝－8k23＋4k2，x 1x 2＝4k2－123＋4k2， 故|PQ |＝1＋k2|x 1－x 2|＝1＋k2错误!＝错误!，点O 到直线PQ 的距离d ＝|k|1＋k2， S ＝12|PQ |d ＝6错误!，令u ＝3＋4k 2∈(3，＋∞)， 故S ＝6u －34·u ＋14u2＝32－3u2－2u ＋1＝ 32－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1u ＋132＋43∈⎝⎛⎭⎪⎫0，32， 故S 的最大值为32．1．解决直线与圆锥曲线的交点问题时，主要方法是构建一元二次方程，判断其解的个数．确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切．2．与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：(1)一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差构造出中点坐标和斜率的关系．3．在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解．同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件．1．椭圆x225＋y24＝1的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AB |＝8，则|AF 1|＋|BF 1|的值为( )A ．10B ．12C ．16D ．18B [∵|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝4a ，∴|AF 1|＋|BF 1|＝4×5－8＝12．]2．在抛物线y 2＝8x 中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是( )A ．x －4y －3＝0B ．x ＋4y ＋3＝0C ．4x ＋y －3＝0D ．4x ＋y ＋3＝0 C [设弦两端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－2．∵A 、B 在抛物线上，∴y 21＝8x 1，y 2＝8x 2，两式相减得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)，∴y1－y2x1－x2＝－4， ∴直线AB 方程为y ＋1＝－4(x －1)，即4x ＋y －3＝0．]3．已知双曲线C ：x 2－y24＝1，过点P (1,2)的直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条B [因为双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，点P 在一条渐近线上，又由于双曲线的顶点为(±1,0)，所以过点P 且与双曲线相切的切线只有一条．过点P 平行于渐近线的直线只有一条，所以与双曲线只有一个公共点的直线有两条．]4．若直线x －y ＝2与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，则线段AB 的中点坐标是 ． (4,2) [设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立直线与抛物线得方程组⎩⎨⎧ x －y ＝2，y2＝4x.整理得x 2－8x ＋4＝0，所以x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝x 1＋x 2－4＝4，所以中点坐标为(4,2)．]5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x22＋y 2＝1交于M 、N 两点， 且|MN |＝423．求直线l 的方程． [解] 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x22＋y2＝1，消去y 并化简，得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，∴x 1＋x 2＝－4k 1＋2k2，x 1x 2＝0． 由|MN |＝423，得 (x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， ∴(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， ∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 1＋2k22＝329，化简得：k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1．∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1．。
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2．中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中 含有 x1＋x2，y1＋y2，yx11－－yx22 三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率， 借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系法：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解．
y＝kx－k＋1， 即 y＝kx－k＋1，联立方程x2－y42＝1，
消去 y 得：(4－k2)x2－2k(1－k)x－[(1－k)2＋4]＝0， 因为直线 l 和双曲线 Γ 有且仅有一个公共点， 所以 Δ＝4k2(1－k)2＋4(4－k2)[(1－k)2＋4]＝0， 化简得：80－32k＝0，所以 k＝25 ， 所以直线 l 的方程为：y＝52 x－23 ，即 5x－2y－3＝0.
(2)由A→P ＝3P→B 可得 y1＝－3y2.
由y＝32x＋t， 可得 y2－2y＋2t＝0. y2＝3x，
所以 y1＋y2＝2.从而－3y2＋y2＝2，故 y2＝－1，y1＝3.
代入 C 的方程得 x1＝3，x2＝31 .
故|AB|＝4
13 3
.
角度 2 中点弦问题 【典例】已知 P(1，1)为椭圆x42 ＋y22 ＝1 内一定点，经过 P 引一条弦，使此弦被 P 点平分，则此弦所在的直线方程为________．
1．斜率为 1 的直线 l 与椭圆x42 ＋y2＝1 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为(
)
A．2 B．45 5
C．4
10 5
D．8
10 5
【解析】选 C.设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 y＝x＋t， 由xy＝2＋x4＋y2t＝，4， 消去 y，得 5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0， 则 x1＋x2＝－85 t，x1x2＝4（t25－1） . 所以|AB|＝ 1＋k2 |x1－x2|
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系，掌握相关概念和性质。
2. 能够运用直线与圆锥曲线的位置关系解决实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容1. 直线与圆锥曲线的基本概念和性质。
2. 直线与圆锥曲线的相切、相离和相交情况。
3. 直线与圆锥曲线的交点个数与判别式。
4. 直线与圆锥曲线的应用问题。
三、教学方法1. 采用讲解、案例分析、练习相结合的教学方法。
2. 通过图形演示和实际例子，引导学生直观理解直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 鼓励学生进行自主学习和合作学习，提高解决问题的能力。
四、教学准备1. 教学课件和教学素材。
2. 直尺、圆规等绘图工具。
3. 练习题和答案。
五、教学过程1. 引入：通过简单的例子，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 讲解：讲解直线与圆锥曲线的基本概念和性质，解释相切、相离和相交情况的定义。
3. 案例分析：分析具体的直线与圆锥曲线的位置关系案例，引导学生通过判别式判断交点个数。
4. 练习：让学生进行相关的练习题，巩固所学知识。
6. 作业布置：布置相关的练习题，巩固所学知识。
六、教学拓展1. 探讨直线与圆锥曲线的位置关系在实际问题中的应用，如光学、工程等领域。
2. 介绍直线与圆锥曲线位置关系在现代数学中的研究进展和应用。
七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，直线与圆锥曲线的位置关系及其应用。
2. 强调重点概念和性质，提醒学生注意在实际问题中的应用。
八、作业布置1. 完成课后练习题，巩固所学知识。
2. 选择一道与直线与圆锥曲线位置关系相关的综合应用题，进行练习。
九、课后反思1. 学生对本节课内容的掌握程度，哪些方面需要加强。
2. 教学方法的适用性，是否达到预期教学效果。
十、教学评价1. 学生作业、练习题和课堂表现的评价。
2. 对学生掌握直线与圆锥曲线位置关系知识的程度的评价。
3. 教学反馈，了解学生对教学内容的满意度和建议。
高中数学_直线与圆锥曲线的位置关系教学设计学情分析教材分析课后反思
菏泽第一中学《直线与圆锥曲线的位置关系》教学设计设计人：直线与圆锥曲线的位置关系教学设计设计人：【教材分析】圆锥曲线是解析几何的核心内容，在整章的复习中，主要以课本知识系统为线索，全面、深刻地复习基础知识、基本技能和其中蕴涵的基本的数学思想方法．本章内容主要突出了解析几何中的数形结合思想，方程思想，函数思想，对应和运动变化思想等数学思想及定义法，待定系数法，参数法等常用的基本方法．其中，直线与圆锥曲线的位置关系是考查的重点内容之一，主要涉及的问题有直线与圆锥曲线的位置关系的判断，求相交弦长，焦点弦长及中点弦等问题，主要考查数形结合，等价转化，函数与方程等数学思想．【学情分析】《直线与圆锥曲线的位置关系》．学生在高二解析几何的学习中已经基本掌握了圆锥曲线的定义、方程、性质以及直线与圆的位置关系等，具备了一定的知识基础和分析问题、解决问题的能力．通过对方程组解的讨论，巩固用代数的方法来研究直线与圆锥曲线公共点的问题，掌握直线与圆锥曲线之间的位置关系的判断，进一步领会用代数方法研究几何问题的数学本质．同时，借助几何画板，运用运动变化的观念，让学生在直接观察、运动变化的过程中实现自主探究，数形结合，以形助数．【教学目标】1.知识与技能：了解直线与圆锥曲线的位置关系，能利用对方程组解的的讨论来研究直线与圆锥曲线的位置关系2.过程与方法：在探究过程中,运用数形结合和方程的思想,以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生解决问题的能力3.情感、态度与价值观：让学生欣赏圆锥曲线曲线之美，体会数形结合和方程的思想在解决几何问题中的价值，体验探索的乐趣，增强学习数学的乐趣。
【教学重点】重点：用代数的方法（对方程组解的讨论）来研究直线与圆锥曲线的公共点问题，对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究。
难点：对直线与圆锥曲线仅有一个公共点时位置关系的应用探究，直线与圆锥曲线的综合应用。
【教学程序与设计环节】——与以前所学知识类比，引起认知上的冲突——通过对一个讨论题组的研究，巩固研究问题的基本方法——在讨论和探索中，进一步巩固基本的研究方法，发现容易出错之处并引起重视——师生交流共同小结，归纳一般方法及易错点，解决课前提出的疑问——巩固本节课的知识及方法【教学过程与操作设计】【情景一】 问题1：直线与圆位置关系有相离，相切，相交三种．如果把圆换成椭圆、双曲线、抛物线，又有怎样的位置关系呢？如何判定？【设计意图】与直线和圆的位置关系进行类比，引起学生认知上的冲突．【情景二】讨论题组1题型一：直线与圆锥曲线的公共点问题1.直线y=kx-k+1与椭圆 14922=+y x 的位置关系为( ) (A) 相交 (B) 相切 (C) 相离 (D) 不确定2.已知双曲线方程x 2-y 2=1，过P (0，1)点的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为( )(A) 4 (B) 3 (C) 2 (D) 13.直线2+=kx y 与抛物线x y 82=有且只有一个公共点，则k 的值为4（A ） 1 (B) 1或3 （C ）0 (D) 1或04.已知双曲线141222=-y x 的右焦点为F ，若过点F 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围问题2：浏览之后想一想，你打算用什么方法来解决这几个问题呢？【设计意图】复习巩固直线与圆锥曲线位置关系判断的两种方法，几何法和代数法，注意利用数形结合。
02 教学设计_直线与圆锥曲线的位置关系(第1课时)(2)
2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（1）本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习直线与圆锥曲线的位置关系本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系的基础上，研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用。
本节内容也是高考的重点与热点内容。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”运动变化和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学.重点：直线与圆锥曲线的三种位置关系难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题多媒体从学生的认知基础看，学生已学过椭圆及其几何性质，对椭圆性质比较熟悉，对直线与圆位置关系也比较熟悉，并且对图像也有所了解，但还不能做到熟练综合运用椭圆的方程性质解决相关问题,特别对含参数的性质研究还是力不从心的。
从学生的思维发展(1)求△ABF 2的周长;(2)若l 的倾斜角是45°,求△ABF 2的面积. 解:(1)由x 216+y 27=1,知a=4,△ABF 2的周长=(|AF 1|+|AF 2|)+(|BF 1|+|BF 2|)=2a+2a=4a=16. (2)由椭圆方程x 216+y 27=1,可得F 1(-3,0),F 2(3,0),又l 的倾斜角是45°,故斜率k=1,∴l 的方程为y=x+3.将直线方程代入椭圆方程,整理得23x 2+96x+32=0, ∴x 1+x 2=-9623,x 1x 2=3223,|AB|=√(1+1)×[(-9623)2-4×3223]=11223. 设点F 2到直线l 的距离为d ,则d=|3-0+3|√2=3√2.∴S △ABF 2=12|AB|·d=12×11223×3√2=16823√2.四、小结五、课时练看,高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,思维的独立性和批判性相比高一有明显提高。
人教版数学选择性必修第一册综合复习：直线与圆锥曲线的位置关系课件
到关于y的一元二次方程)，通过一元二次方程解的情况判断关系，见下表：
方程ax2＋bx＋c＝0的解
l与P的关系
b＝0
无解(含l是双曲线的渐近线)
无公共点
b≠0
有一解(含l与抛物线的对称轴或
与双曲线的渐近线平行)
一个交点
关系是( A )
A．相交
B．相切
C．相离
D．以上均有可能
基础点二
圆锥曲线的弦长
• 连接圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦．
• 设直线l的方程为f(x，y)＝0，圆锥曲线C的方程为F(x，y)＝0，直线l与圆锥曲线
C的两个不同交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立f(x，y)＝0， F(x，y)＝0消去y得
证明：| |，| |，| |成等差数列，并求该数列的公差．
处理中点弦问题常用的求解方法方 Nhomakorabea法
总
结
(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方
程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，
1 −2
1 −2
三个
未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点
公式即可求得斜率．
(1)求椭圆C的方程；
4
3
(2)若|AB|＝ ，求直线l的倾斜角．
2
2
，过左顶点A的直
考点三
中点弦问题(高考热度：)
[例3] 已知斜率为k的直线l与椭圆C：
2
4
+
2
3
＝1交于A，B
两点，线段AB的中点为M(1，m)(m>0)．
直线和圆锥曲线位置关系教学设计
教学过程设计
教学步骤
教学内容
教师活动
学生活动
设计意图
复习
引入
通过复习直线与圆的位置关系的回答，类比得出直线 与圆锥曲线 的位置关系为：相交、相切、相离。
多媒体展示通过观察图形：直观判断直线与圆的位置关系类比判断直线与圆锥曲线 的位置关系。
例1如图当直线分别过点A、B、C、D时，分别能做几条与抛物线y2=4x有一个公共点的直线。
展示几何画板
学生观察并归纳
数形结合的能力的培养
合作探究
例1变式1：直线过定点（0，1）且与抛物线y2=4x只有一个公共点，求直线的方程。
指导学生数形结合，展示学生的成果，并点评，总结。
学生解答并展示
培养学生分类讨论的思想
考查椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系，突出考查韦达定理的应用，考查待定系数法及综合分析与运算能力。
课堂检测
1、如果椭圆被 的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆 恒有公共点，则m的范围（）
教材
分析
本节课是平面解析几何的核心内容之一。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课,着重是学会如何判断直线与圆锥曲线的位置关系,体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法,优化解题思维,提高解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。这节复习课还是培养数学能力的良好题材,所以说是解析几何的核心内容之一。
复习回顾
例1例1变式1
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案教学目标：1. 理解直线与圆锥曲线的位置关系；2. 学会运用直线与圆锥曲线的性质解决问题；3. 提高推理能力和解决问题的能力。
教学重点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质及应用。
教学难点：1. 直线与圆锥曲线的位置关系的判定；2. 直线与圆锥曲线的性质的灵活运用。
教学准备：1. 教材或教学资源；2. 投影仪或白板；3. 粉笔或教学板书。
教学过程：第一章：直线与圆锥曲线的位置关系简介1.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系，例如：在平面直角坐标系中，给定一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何判断一条给定的直线与该圆锥曲线的位置关系（相交、切线、平行、远离）？1.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，包括：（1）相交：直线与圆锥曲线有两个不同的交点；（2）切线：直线与圆锥曲线有一个交点，且该交点为切点；（3）平行：直线与圆锥曲线没有交点；（4）远离：直线与圆锥曲线相离，没有交点。
1.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识判断直线与圆锥曲线的位置关系，并解释原因。
1.4 小结总结本章内容，强调直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法及应用。
第二章：直线与圆锥曲线的性质2.1 引入通过展示一些实际问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的性质，例如：在平面直角坐标系中，给定一条直线和一个圆锥曲线（如椭圆、双曲线、抛物线），如何描述它们的交点、切点等特征？2.2 讲解讲解直线与圆锥曲线的性质，包括：（1）交点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的交点坐标；（2）切点的坐标：根据直线和圆锥曲线的方程，求出它们的切点坐标；（3）斜率：直线与圆锥曲线相交时，交点的切线斜率与直线的斜率的关系；（4）距离：直线与圆锥曲线的距离公式。
2.3 练习给出一些练习题，让学生运用所学知识描述直线与圆锥曲线的交点、切点等特征，并计算相关距离和斜率。
直线与圆锥曲线的位置关系教案
直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解直线与圆锥曲线的位置关系；（2）学会运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、推理等方法，探索直线与圆锥曲线的位置关系；（2）培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生的团队合作精神，提高学生的表达沟通能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系；（2）运用直线与圆锥曲线的性质解决相关问题。
2. 教学难点：（1）直线与圆锥曲线的位置关系的判断；（2）灵活运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
三、教学过程1. 导入：（1）复习相关知识点，如直线、圆锥曲线的定义及性质；（2）提出问题，引导学生思考直线与圆锥曲线的位置关系。
2. 探究：（1）分组讨论，让学生观察直线与圆锥曲线的位置关系，总结规律；（2）每组派代表分享探究成果，师生共同总结直线与圆锥曲线的位置关系。
3. 讲解：（1）讲解直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法；（2）举例说明如何运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题。
4. 练习：（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）挑选部分练习题进行讲解，解答学生疑问。
5. 总结：（1）回顾本节课所学内容，让学生梳理知识体系；（2）强调直线与圆锥曲线位置关系在实际问题中的应用。
四、课后作业1. 完成课堂练习题；2. 选取一个实际问题，运用直线与圆锥曲线的性质进行解答；3. 预习下一节课内容。
五、教学反思1. 反思教学效果：（1）学生对直线与圆锥曲线的位置关系的掌握程度；（2）学生运用直线与圆锥曲线的性质解决实际问题的能力。
2. 改进措施：（1）针对学生掌握不足的地方，进行有针对性的讲解和练习；（2）提供更多实际问题，让学生锻炼运用所学知识解决问题的能力。
六、教学评价1. 学生自评：（1）评价自己在课堂学习中的表现，如参与度、理解程度等；（2）反思自己在课后作业中的表现，如完成情况、解决问题能力等。
直线与圆锥曲线的位置关系 教学课件(共51张PPT) 高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
3
A.
B.2
C.4
D.6
2
解析：由题意得抛物线的焦点为 F(1,0) ，准线方程为 x 1 ，由| BF | 3 及抛物 2
线的定义知点
B
的横坐标为
1 2
，代入抛物线方程得
B
1 2
,
2
.
根据抛物线的对称性，不妨取
B
1 2
,
2
，则直线
l
的方程为
y
2
2 3
(
x
2)
.
联立
y
2
2 3
(x
2),
例 3 判断直线 : = + 1 与双曲线 : 2 − 2 = 1 是否有公共点. 如果有， 求出公共点的坐标.
解：联立直线与双曲线的方程，可得方程组
= +1， 2 − 2 = 1，
消去 ，可得 2 − ( + 1 )2 = 1 ，由此可解得 =− 1. 此时， = 0 .
因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为 (-1,0) .
y1 ， B x2, y2
，则
x12
x22
y12 3 y22 3
1, 两式相减得直线
1,
l
的斜率为
y1 y2 3 x1 x2 3 2 6 .又直线 l 过点 P(2,1) ，所以直线 l 的方程为
x1 x2
y1 y2
1
y 1 6(x 2) ，即 6x y 11 0 ，经检验直线 l 与双曲线有两个交点.故选 A.
得
A(8,
4
y2 4x,
2) ，于是 | AM | 4 .故选 C. | BM |
6.不过原点的直线 l :
课时2+直线与圆锥曲线的位置关系+课件-2024-2025学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册
则直线l的方程为( B )
A.y＝x＋ 21
作者编号：、32200
B.2条
B.y＝x－ 21
3 5
＝
－
C.y x
5
3 5
＝
＋
D.y x
5
课后小结
弦长问题
直线与圆锥曲线
弦的中点及相关问题
作者编号：、32200
课题探究
归纳总结
解决椭圆中点弦问题的方法
方法一
联立方程，消元后利用根与系数的关系和中点坐标公式求解．
方法二
点差法
设弦的两端点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用弦长公式求解．
作者编号：、32200
课题探究
x2 y2
例3 如图，椭圆
1 的左、右焦点为F1，F2，一条直线l经过F1且与
代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.
又设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
8 2k2 −k
则x1＋x2＝
4k2 +1
.
x1 +x2 4 2k2 −k
又M为AB的中点，∴
＝ 2
2
4k +1
故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.
作者编号：、32200
|AB|＝
x1 − x2
2
+ y1 − y2
＝ 1 + k 2 |x1－x2|＝
或|AB|＝ 1 +
2
1 + k 2 [ x1 + x2
1
|y －y2|＝
k2 1
1+
1
k2
2
− 4x1 x2 ]
高二数学人教B版选择性必修第一册第二章2.8直线与圆锥曲线的位置关系(2)课件(共28张PPT)
问题1:已知直线
回顾
与椭圆
圆相交、相切和相离时 的取值范围.
，求该直线与椭
高二数学 人教B版 选择性 必修第 一册第 二章2. 8直线 与圆锥 曲线的 位置关 系（2） 课件（ 共28张 PPT）
问题1:已知直线 圆相交、相切和相离时
解:
回顾
与椭圆 的取值范围.
，求该直线与椭
高二数学 人教B版 选择性 必修第 一册第 二章2. 8直线 与圆锥 曲线的 位置关 系（2） 课件（ 共28张 PPT）
高二数学 人教B版 选择性 必修第 一册第 二章2. 8直线 与圆锥 曲线的 位置关 系（2） 课件（ 共28张 PPT）
例2 已知直线
与抛物线
线只有一个公共点，求 的值.
，若直线与抛物
思考：过点 直线有几条？
且与抛物线
y
只有一个公共点的
O
x
高二数学 人教B版 选择性 必修第 一册第 二章2. 8直线 与圆锥 曲线的 位置关 系（2） 课件（ 共28张 PPT）
高二数学 人教B版 选择性 必修第 一册第 二章2. 8直线 与圆锥 曲线的 位置关 系（2） 课件（ 共28张 PPT）
消去 得 ①
高二数学 人教B版 选择性 必修第 一册第 二章2. 8直线 与圆锥 曲线的 位置关 系（2） 课件（ 共28张 PPT）
高二数学 人教B版 选择性 必修第 一册第 二章2. 8直线 与圆锥 曲线的 位置关 系（2） 课件（ 共28张 PPT）
判别式
范围 或
①
方程①
直线与椭圆 直线与椭圆
高二数学 人教B版 选择性 必修第 一册第 二章2. 8直线 与圆锥 曲线的 位置关 系（2） 课件（ 共28张 PPT）
高二数学人教B版选择性必修第一册第二章直线与圆锥曲线的位置关系课件1
x2 )
p2 ]
4
k 2[
p2 4
p 2
p(k 2 2) k2
p2 ] 4
p2
综上，由（1）（2）可知 y1 y2 p2 为定值.
【分析】
第四步：检验解决过程.
Q1：检查每一步推导的逻辑是否正确? Q2：反思.
是否还有其他解决方案？ 优化：直接得到关于 y 的方程
另解1：可知焦点为 F ( p , 0)
y2
2 pmy
p2
0
所以，y1 y2 p2
【小结】
1、解题的思维方式；“设而不求”的解题方法
第一步 分析清楚问题
第二步 拟定解决方案
第三步 实施解决方案
第四步 检验解决过程
【小结】
1、解题的思维方式; “设而不求”的解题方法 2、关于“消元”的方向与方式
在确定“消元对象”时，需要根据求解问题的方向来决定； 在使用“消元手段”时，需要通过观察式子的结构特点而定. 目的 —— 减少未知数的个数，使运算简化.
（1）若直线 AB 斜率不存在，则 AB 方程为：
【作业】人教B版教材 P169-复习题B第11、13题 在使用“设而不求”的方法寻找已知与未知的衔接点时，经常会面临“消元”的处理，消元目标的确定需要根据实际情况来决定.
点坐标，求参数.
Q1：检查每一步推导的逻辑是否正确?
Q1：是否解过一样或类似问题？有关弦的问题.
所以
x1 y1
2 2
x2 y2
2 1
x1 y1
x2 y2
4 2
（2）联立直线与椭圆方程，
x2 y2 1 16 4 x my (2 m)
(m2 4) y2 2m(m 2) y (m 2)2 16 0
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2.8 直线与圆锥曲线的位置关系（2）
本节课选自《2019人教B 版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习直线与圆锥曲线的位置关系
本节课是学生在学习了直线与圆的位置关系的基础上，研究直线与圆锥曲线的位置关系，进一步让学生感悟数形结合及方程思想的运用。
本节内容也是高考的重点与热点内容。
坐标法的教学贯穿了整个“圆锥曲线方程”
运动变化
和对立统一的思想观点在这节知识中得到了突出体现，我们必须充分利用好这部分教材进行教学
.
重点：中点弦问题
难点：会用坐标法求解直线与圆锥曲线的有关问题
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（Ⅰ）如图，设(
)(
)2
2
1122
,2,,2A x x B x x .
把2y kx =+代入22y x =得2220x kx --=，由韦达定理得
1212,12
k
x x x x +=
=-. ∴1224N M x x k
x x +===，∴N 点的坐标为2,48k k ⎛⎫
⎪⎝⎭
. 设抛物线在点N 处得切线l 的方程为284k k y m x ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，
将2
2y x =代入上式得2
2
2048
mk k x mx -+-=，
∵直线l 与抛物线C 相切，
∴()22
2
804
8mk k m m k ⎛⎫∆=--=-=
⎪⎝⎭，∴m k =，即//l AB . （Ⅱ）假设存在实数k ，使0NA NB ⋅=，则NA NB ⊥. 又∵M 是AB 的中点，∴1
2
MN AB =. 由（Ⅰ）知
()()()2
2121212111122442222224
M k k y y y kx kx k x x ⎛⎫⎡⎤=+=+++=++=+=+ ⎪⎣⎦⎝⎭.∵
MN x ⊥轴，∴22216
2488
M N k k k MN y y +=-=+-=
. 又()
2
22
121212=114AB k x x k x x x x +-=++-
()2
2
22
114111622k k
k k ⎛⎫=+-⨯-=++ ⎪
⎝⎭
.
给双曲线交于点Q
交于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，设直线l 的斜率为k 1
，直线
OP 的斜率为k 2
，则k 1k 2
等于
A.12
B.－1
2 C.2 D.
－2
解析 设M (x 1
，y 1
)，N (x 2
，y 2
)，P (x 0
，y 0
)，
则
y 21－x 212
＝1，y 2
2－x 222
＝1，根据点差法可得(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝
x 1－x 2
x 1＋x 22
，
所以直线l 的斜率为k 1＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22y 1＋y 2＝x 0
2y 0，
直线OP 的斜率为k 2＝y 0x 0，k 1k 2＝x 02y 0×y 0x 0＝1
2
，故选A.
3．（2019·全国高考）已知点A ，B 关于坐标原点O 对称，│AB │ =4，⊙M 过点A ，B 且与直线x +2=0相切． （1）若A 在直线x +y =0上，求⊙M 的半径．
（2）是否存在定点P ，使得当A 运动时，│MA │－│MP │为定值？并说明理由． 【解析】（1）
A 在直线0x y +=上
∴设(),A t t -，则(),B t t - 又
AB 4= 2816t ∴=，解得：2t =
M 过点A ，B ∴圆心M 必在直线y x =上
设(),M a a ，圆的半径为r
M 与20x +=相切 2r a ∴=+
又
MA MB r ==，即()()2
2
2
22
a a r -++=
()(
)()2
2
2
2
22a a a ∴-++
=+，解得：0a =或4a =
当0a =时，2r ；当4a =时，6r =
M ∴的半径为：2或6
AB斜率存在时，设(,
-
M km m
M与0
x+相切∴又22 =+
r MA OA OM
∴-+
km
2
MA
1
MF+，∴
与F重合，即
五、课时练
从学生的思维发展看,高二学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,思维的独立性和批判性相比高一有明显提高。
他们求知欲强,观察事物更富有目的性,更加全面和深刻。
直线与椭圆位置关系这节课习题课蕴含着丰富的思维方法和策略，利用数形结合联系代数性质解决几何问题的策略不仅有助于学生掌握高中数学解题的基本思维方法,而且有助于他们自身问题解决能力和数学素质的提高。