高中数学人教B版选修2-1教案
完整word版,人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案
人教版高中数学选修2-1《椭圆及其标准方程》教案一、课型新授课二、教学内容1、椭圆的定义;2、椭圆的两类标准方程;3、根据椭圆的定义及标准方程的知识解决一些简单的问题。
三、教学目标1、知识与技能:理解并掌握椭圆的定义;明确焦点、焦距的概念;掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程;掌握a、b、c三个量的几何意义及它们之间的关系。
能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用待定系数法求椭圆的标准方程;2、过程与方法:通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力;通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方法,并渗透数形结合和等价转化的思想方法,提高运用坐标法解决几何问题的能力。
让学生感知数学知识与实际生活的普遍联系;3、情感态度与价值观:通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程,激发学生学习数学的积极性,培养学生的学习兴趣和创新意识。
培养学生的探索能力和进取精神,提高学生的数学思维的情趣,给学生以成功的体验,形成学习数学知识的积极态度。
通过椭圆的形成过程培养学生的数学美感,同时培养团队协作的能力。
四、教学重点、难点重点:椭圆的定义及椭圆的标准方程;难点:椭圆标准方程的推导过程。
五、教学方法教师引导为主、学生自主探究为辅。
六、教学媒体幻灯片、黑板。
七、教学过程(一)创设情境,导入新课用多媒体演示神舟飞船绕地球旋转的模型,它运行的轨迹又是什么图形呢?可以看出,它的运行轨迹是椭圆。
此时老师指出:在实际生活中,椭圆随处可见,很多学科也涉及到椭圆的应用,所以学习椭圆的相关知识是十分必要的。
这就是我们这节课所要学习的内容——椭圆及其标准方程。
(二)问题探究老师提问:我们从直观上认识了椭圆,那么椭圆它是如何形成的呢?椭圆满足什么样的条件呢?它的定义又是如何?1、椭圆的形成下面请各小组拿出老师之前让大家准备的工具:一段固定长的细绳、两颗钉子、一块长3分米,宽3分米的硬纸板。
然后将钉子系在细绳的两头,将钉子固定在图板上,使得两个钉子之间的距离小于细绳的长度(请同学们考虑一下,为什么两顶子之间的距离要小于细绳的长度?),我们用笔尖将细绳拉紧,让笔尖在图板上慢慢移动,请同学们观察笔尖运动的轨迹是什么图形呢?如果我们将两个钉子之间的距离变大,使得两个钉子之间的距离恰好等于细绳的长度,同样用笔尖将细绳拉紧,让笔尖在图板上慢慢移动。
新课标人教B版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程教案
第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程 2.1.2求曲线的轨迹方程一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法.(二)能力训练点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍,培养学生综合运用各方面知识的能力.(三)学科渗透点通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍,使学生掌握常用动点的轨迹,为学习物理等学科打下扎实的基础.二、教材分析1.重点:求动点的轨迹方程的常用技巧与方法.(解决办法:对每种方法用例题加以说明,使学生掌握这种方法.)2.难点:作相关点法求动点的轨迹方法.(解决办法:先使学生了解相关点法的思路,再用例题进行讲解.)教具准备:与教材内容相关的资料。
教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取的精神.三、教学过程学生探究过程:(一)复习引入大家知道,平面解析几何研究的主要问题是:(1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程;(2)通过方程,研究平面曲线的性质.我们已经对常见曲线圆、椭圆、双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究,今天在上面已经研究的基础上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析.(二)几种常见求轨迹方程的方法1.直接法由题设所给(或通过分析图形的几何性质而得出)的动点所满足的几何条件列出等式,再用坐标代替这等式,化简得曲线的方程,这种方法叫直接法.例1(1)求和定圆x2+y2=k2的圆周的距离等于k的动点P的轨迹方程;(2)过点A(a,o)作圆O∶x2+y2=R2(a>R>o)的割线,求割线被圆O截得弦的中点的轨迹.对(1)分析:动点P的轨迹是不知道的,不能考查其几何特征,但是给出了动点P的运动规律:|OP|=2R 或|OP|=0.解:设动点P(x,y),则有|OP|=2R或|OP|=0.即x2+y2=4R2或x2+y2=0.故所求动点P的轨迹方程为x2+y2=4R2或x2+y2=0.对(2)分析:题设中没有具体给出动点所满足的几何条件,但可以通过分析图形的几何性质而得出,即圆心与弦的中点连线垂直于弦,它们的斜率互为负倒数.由学生演板完成,解答为:设弦的中点为M(x,y),连结OM,。
高中数学人教B版选修2-1第三章《3.1.2 空间向量的基本定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
高中数学人教B版选修2-1第三章《3.1.2 空间向量的基本定理》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
1.知识与技能
通过本节学习理解向量共线的条件,共面向量定理和空间向量基本定理.
能够判定空间向量是否共面.
了解基向量、基底的概念、空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.
2.过程与方法
通过对空间向量基本定理的学习,让学生体验数学定理的产生、形成过程,体验定理所蕴含的数学思想.
3.情感态度与价值观
事物之间可以相互转化,渗透由特殊到一般的思想,通过对空间向量基本定理的运用,增强学生的应用意识.
2学情分析
立体几何的学习主要在于培养空间抽象能力的基础上,发展学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
立体几何是中学数学的一个难点,学生普遍反映“几何比代数难学”。
但很多学好这部分的同学,又觉得这部分很简单。
立体几何中抓住向量这个重要工具
如点到直线的距离,抓住直线的方向向量;找二面角的平面角而不是二面角,二面角的平面角等于二面角的大小.具体你可以,比如先求平面的法向量,那么两个平面的法向量的夹角的大小就是二面角的大小。
求角先定平面角、三角形去解决,正余弦定理、三角定义常用,若是余弦值为负值,异面、线面取锐角。
对距离可归纳为:距离多是垂线段,放到三角形中去计算,经常用正余弦定理、勾股定理,若是垂线难做出,用等积等高来转换。
不断总结,才能不断高。
3重点难点
重点:共线向量定理、共面向量定理和空间向量分解定理.
难点:空间向量分解定理.。
人教版高中选修2-1数学2.2椭圆教案(1)
2.2 椭 圆2.2.1椭圆及其标准方程◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念,掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题;理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法;了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法.◆ 过程与方法目标 (1)预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时,观察平面截圆锥的截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是什么图形?又是怎么样变化的?特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时,截口曲线是椭圆,再观察或操作了课件后,提出两个问题:第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线;第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子.当学生把上述两个问题回答清楚后,要引导学生一起探究P 41页上的问题(同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条(约10cm 长,两端各结一个套),教师准备无弹性细绳子一条(约60cm ,一端结个套,另一端是活动的),图钉两个).当套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖,画出的图形是椭圆.启发性提问:在这一过程中,你能说出移动的笔小(动点)满足的几何条件是什么?〖板书〗2.1.1椭圆及其标准方程.(2)新课讲授过程(i )由上述探究过程容易得到椭圆的定义.〖板书〗把平面内与两个定点1F ,2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹叫做椭圆(ellipse ).其中这两个定点叫做椭圆的焦点,两定点间的距离叫做椭圆的焦距.即当动点设为M 时,椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=.(ii )椭圆标准方程的推导过程 提问:已知图形,建立直角坐标系的一般性要求是什么?第一、充分利用图形的对称性;第二、注意图形的特殊性和一般性关系.无理方程的化简过程是教学的难点,注意无理方程的两次移项、平方整理. 设参量b 的意义:第一、便于写出椭圆的标准方程;第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义.类比:写出焦点在y 轴上,中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>.(iii )例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-,()2,0,并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭,求它的标准方程.分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出,,a b c .引导学生用其他方法来解.另解:设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>,因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上,则22222591444a a bb a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩. 例2 如图,在圆224x y +=上任取一点P ,过点P 作x 轴的垂线段PD ,D 为垂足.当点P 在圆上运动时,线段PD 的中点M 的轨迹是什么?分析:点P 在圆224x y +=上运动,由点P 移动引起点M 的运动,则称点M 是点P 的伴随点,因点M 为线段PD 的中点,则点M 的坐标可由点P 来表示,从而能求点M 的轨迹方程.引申:设定点()6,2A ,P 是椭圆221259x y +=上动点,求线段AP 中点M 的轨迹方程.解法剖析:①(代入法求伴随轨迹)设(),M x y ,()11,P x y ;②(点与伴随点的关系)∵M 为线段AP 的中点,∴112622x x y y =-⎧⎨=-⎩;③(代入已知轨迹求出伴随轨迹),∵22111259x y +=,∴点M 的轨迹方程为()()223112594x y --+=;④伴随轨迹表示的范围. 例3如图,设A ,B 的坐标分别为()5,0-,()5,0.直线AM ,BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为49-,求点M 的轨迹方程. 分析:若设点(),M x y ,则直线AM ,BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示,由于直线AM ,BM 的斜率之积是49-,因此,可以求出,x y 之间的关系式,即得到点M 的轨迹方程.解法剖析:设点(),M xy ,则()55AM yk x x =≠-+,()55BM yk x x =≠-; 代入点M 的集合有4559y y x x ⨯=-+-,化简即可得点M 的轨迹方程.引申:如图,设△ABC 的两个顶点(),0A a -,(),0B a ,顶点C 在移动,且AC BC k k k ⨯=,且0k <,试求动点C 的轨迹方程.引申目的有两点:①让学生明白题目涉及问题的一般情形;②当k 值在变化时,线段AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴.◆ 情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名;必须让学生认同与体会:椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时,轨迹是线段;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角坐标系的两个原则,及引入参量b =数学的和谐美;让学生认同与领悟:例1使用定义解题是首选的,但也可以用其他方法来解,培养学生从定义的角度思考问题的好习惯;例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹,培养学生的辩证思维方法,会用分析、联系的观点解决问题;通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质.◆能力目标(1) 想象与归纳能力:能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子,能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义,能正确且直观地绘作图形,反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示.(2) 思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问题来思考,培养学生的数形结合的思想方法;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力.(3) 实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力.(4) 数学活动能力:培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力. (5) 创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的一般的思想、方法和途径.练习:第45页1、2、3、4、 作业:第53页2、3、2.1.2 椭圆的简单几何性质◆ 知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性;理解椭圆的范围、对称性及对称轴,对称中心、离心率、顶点的概念;掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题;通过例题了解椭圆的第二定义,准线及焦半径的概念,利用信息技术初步了解椭圆的第二定义.◆ 过程与方法目标 (1)复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点,在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论,研究椭圆的几何性质的理解和应用,而且还注意对这种研究方法的培养.①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围;②由方程的性质得到椭圆的对称性;③先定义圆锥曲线顶点的概念,容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念;④通过P 48的思考问题,探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率.〖板书〗§2.1.2椭圆的简单几何性质.(2)新课讲授过程(i )通过复习和预习,知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质.提问:研究曲线的几何特征有什么意义?从哪些方面来研究?通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论,可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置.要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质. (ii )椭圆的简单几何性质①范围:由椭圆的标准方程可得,222210y x b a=-≥,进一步得:a x a -≤≤,同理可得:b y b -≤≤,即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里;②对称性:由以x -代x ,以y -代y 和x -代x ,且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有,从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴,原点为对称中心; ③顶点:先给出圆锥曲线的顶点的统一定义,即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点.因此椭圆有四个顶点,由于椭圆的对称轴有长短之分,较长的对称轴叫做长轴,较短的叫做短轴;④离心率: 椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率(10<<e ),⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ,,b ,c e ;⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a,b ,c e 00 . (iii )例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.分析:由椭圆的方程化为标准方程,容易求出,,a b c .引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量.扩展:已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为5e =m 的值. 解法剖析:依题意,0,5m m >≠,但椭圆的焦点位置没有确定,应分类讨论:①当焦点在x 轴上,即05m <<时,有a b c ====,得3m =;②当焦点在y 轴上,即5m >时,有,a b c =,∴253m =⇒=. 例5 如图,一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分.过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上,片门位于另一个焦点2F 上,由椭圆一个焦点1F 发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F .已知12BC FF ⊥,1 2.8F B cm =,12 4.5F F cm =.建立适当的坐标系,求截口BAC 所在椭圆的方程.解法剖析:建立适当的直角坐标系,设椭圆的标准方程为22221x y a b+=,算出,,a b c 的值;此题应注意两点:①注意建立直角坐标系的两个原则;②关于,,a b c 的近似值,原则上在没有注意精确度时,看题中其他量给定的有效数字来决定.引申:如图所示, “神舟”截人飞船发射升空,进入预定轨道开始巡天飞行,其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆,近地点A 距地面200km ,远地点B 距地面350km ,已知地球的半径6371R km =.建立适当的直角坐标系,求出椭圆的轨迹方程.例6如图,设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l :254x =的距离的比是常数45,求点M 的轨迹方程.分析:若设点(),M x y ,则MF =,到直线l :254x =的距离254d x =-,则容易得点M 的轨迹方程. 引申:(用《几何画板》探究)若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l :2a x c=的距离比是常数c e a =()0a c >>,则点M 的轨迹方程是椭圆.其中定点(),0F c 是焦点,定直线l :2a x c=相应于F 的准线;由椭圆的对称性,另一焦点(),0F c '-,相应于F '的准线l ':2a x c=-.◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中,通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究,教学相长的教学活动情境,结合教学内容,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观,激励学生创新.必须让学生认同和掌握:椭圆的简单几何性质,能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率;必须让学生认同与理解:已知几何图形建立直角坐标系的两个原则,①充分利用图形对称性,②注意图形的特殊性和一般性;必须让学生认同与熟悉:取近似值的两个原则:①实际问题可以近似计算,也可以不近似计算,②要求近似计算的一定要按要求进行计算,并按精确度要求进行,没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理;让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题,培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能.◆能力目标(1) 分析与解决问题的能力:通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力.(2)思维能力:会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问题来思考;培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究,培养学生的辩证思维能力.(3)实践能力:培养学生实际动手能力,综合利用已有的知识能力.(4)创新意识能力:培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力,探究解决问题的一般的思想、方法和途径.练习:第52页1、2、3、4、5、6、7作业:第53页4、5补充: 1.课题:双曲线第二定义学法指导:以问题为诱导,结合图形,引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.教学目标知识目标:椭圆第二定义、准线方程;能力目标:1使学生了解椭圆第二定义给出的背景;2了解离心率的几何意义;3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义;4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用;5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用;情感与态度目标:通过问题的引入和变式,激发学生学习的兴趣,应用运动变化的观点看待问题,体现数学的美学价值.教学重点:椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程;教学难点:椭圆的第二定义的运用;教具准备:与教材内容相关的资料。
辽宁省大连市高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.5 空间距离教案 新人教B版选修2-1
距离为4的正方形,E,F分别是边AB,AD的中点,CG垂直于正方形ABCD所在的平面,且CG=2,求点B到平面EFG的距离.类型三线面距离与面面距离例3 在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD 且∠ADC=90°,AD=1,CD=3,BC=2,AA1=2,E是CC1的中点,求直线A1B1与平面ABE 的距离.1.评价、总结2.答疑解惑学生展示讲解,其余小组评价。
学生自主探究,培养学生分析问题解决问题的意识3.做议讲评1 如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A′B′C′D′,AB=1,BC=2,AA′=3,求点B到直线A′C的距离.2 在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点,AA1=AB=2.(1)求证:A1C∥平面AB1D;(2)求点C1到平面AB1D的距离.3 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,求平面A1BD与平面B1CD1间的距离.1、组织课堂2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3.要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价,总结。
1)按小组会的人数多少,选小组代表去黑板板演并讲解2)学生用投影仪展示答案3)其余同学质疑、挑错让更多学生主动参与课堂及主动学会知识16分钟4.总结提升1、提问:本节课学习目标是否达成?2、归纳总结解题方法1、抽签小组展示讨论的结果。
2、总结方法培养学生归纳总结习惯,强化知识及方法3分钟5.目标检测检测卷巡视学生作答情况。
以小组为单位组长收齐上交检查学生对本课所学知识的掌握情况。
5分钟6布置下节课自主学习任务1、阅读教材,完成课后习题2、完成优化学案预习测评让学生明确下节课所学,有的放矢进行自主学习。
2分钟7. 板书3.2.5距离一点线距离例1 二点面距离例2 三线面距离与面面距离例38.课后反思学生分类归纳能力有了明显提高,但计算能力和知识的综合运用能力还需提升1.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在α内,则P(-2,1,4)到α的距离为( )A .10B .3 C.83 D.1032.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为2,则A 1A 到平面B 1D 1DB 的距离为( ) A. 2 B .2 C.22 D.3223.若O 为坐标原点,OA →=(1,1,-2),OB →=(3,2,8),OC →=(0,1,0),则线段AB 的中点P 到点C 的距离为( ) A.1652 B .214 C.53 D. 5324.已知正方形ABCD 的边长为4,CG ⊥平面ABCD ,CG =2,E ,F 分别是AB ,AD 的中点,则点C 到平面GEF 的距离为________.5.设A (2,3,1),B (4,1,2),C (6,3,7),D (-5,-4,8),则点D 到平面ABC 的距离为________.。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 2.4.2 抛物线的几何性质》
《抛物线的简单几何性质》第一课时通城一中葛璟一.教学目标(1)抛物线的几何性质、范围、对称性、定点、离心率(2)抛物线的画法二.教学重点掌握抛物线的几何性质,使学生能根据给出的条件求出抛物线的标准方程三.教学难点抛物线各个知识点的灵活应用四.教学方法及手段采用引导式、合作探究、讲练结合法;多媒体课件辅助教学五.教学过程情境引入:Fat射电望远镜接收信号的抛物面轴截面如图,无线电波呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到接收机(焦点)处已知该抛物面的口径直径为300m,深度为60m,试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标复习回顾:填表标准方程图形焦点坐标准线方程焦半径新课讲授:我们根据抛物线的标准方程)0(22 p px y = 来研究它的几何性质 1、范围:0≥x 2、对称性:关于轴对称 3、顶点:(0,0)4、离心率:抛物线上的点M 与焦点的距离和它到准线的距离的比,叫做抛物线的离心率,用e 表示e=1合作探究:在同一坐标系中作出抛物线2=4,2=2,2=的图形观察并回答抛物线的开口大小由什么决定?根据图形比较可知,开口大小由0≥x例1、 (2,22-),求它的标准方程例2:正三角形一个顶点在坐标原点,另外两个顶点在抛物线 2 =2,O 为坐标原点,F 为抛物线的焦点,若三角形OMF 为直角三角形,则满足条件的点M 有_____个练习:72 1习题2.4 A 组3,4小结及课后作业:查找fat 望远镜的资料)0(22>=p pxy )0(22>-=p px y )0(22>=p py x )0(22>-=p py x。
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1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”
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1.2.2 “非”(否定)
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1.3 充分条件、必要条件与命
题的四种形式
1.3.1
推出与充分条件、必要条件
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第一章 常用逻辑用语
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1.1.2 量词
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目录
0002页 0083页 0163页 0188页 0217页 0254页 0277页 0293页 0323页 0365页 0394页 0458页 0508页 0548页 0586页 0676页 0705页
第一章 常用逻辑用语 1.1.2 量词 1.2.2 “非”(否定) 本章小结 第二章 圆锥曲线与方程 2.1.2 由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质 2.2.2 椭圆的几何性质 2.3.2 双曲线的几何性质 2.4.2 抛物线的几何性质 本章小结 第三章 空间向量与立体几何 3.1.2 空间向量的基本定理 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 3.2.2 平面的法向量与平面的向量表示 3.2.4 二面角及其度量 本章小结 附录 部分中英文词汇对照表
辽宁省大连铁路中学人教版B版高中数学选修2-1《命题》教案
(1)面积相等的两个三角形全等。
(2)负数的立方是负数。
(3)对顶角相等。
四.课堂练习
判断下列语句是不是命题;如果是,判断这个命题是真还是假
1.在平面直角坐标系中,任意有序实数对(x,y),都对应一点P;
2.存在一个函数,既是奇函数又是偶函数;
(4)若x2=1,则x=1.
(5)两个全等三角形的面积相等.
(6)3能被2整除.
语句都是陈述句,并且可以判断真假。
一.命题:
一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.
命题的定义的要点:能判断真假的陈述句.
理解:
1)命题定义的核心是判断,切记:判断的标准必须确定,判断的结果可真可假,但真假必是其中的一个。
2)疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。
3)有些语句中含有变量,在不给定变量的值之前,我们无法确定这语句的真假,这样的语句叫开语句。
例1判断下列语句是否为命题?是真命题还是假命题?
(1)空集是任何集合的子集.
(2)若整数a是素数,则是a奇数.
(3)指数函数是增函数吗?
(4)若平面上两条直线不相交,则这两条直线平行.
教学
难点
了解命题的定义,判断命题的真假
教学
重点
判断一个句子是不是命题
知道什么叫做开语句
教具
准备
教材、练习卷
教学过程
教学内容
学习
方法
教师
指导
关键
(重点学生、关键点、规律总结)
下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗?
(1)若直线a∥b,则直线a与直线b没有公共点.
人教B版高中数学选修2-1《平面的法向量与平面的向量表示》课件
【小结归纳】
通过这一节学习,你有哪些收获?
1、平面法向量的定义及性质 2、平面法向量的应用一——平面的向量表示式 3、平面法向量的应用二——证明立体几何问题 4、求平面的法向量
【目标展示】
1.通过生活中的情景再现,能够说出平面法向量的定义,并借 助正方体模型,通过问题探究一的引导,总结出平面法向量的 两条性质 ,并能准确记忆. 2.借助问题探究二的情景设置,通过同桌之间的合作动手操 作,能探究推导出 平面的向量表示式. 3.借助正方体模型,通过对探究题的分析和问题串的引领, 会利用法向量来 证明相关的几何问题(如面面平行、面面垂直).
问题6:在正方体 ABCD ABCD中,你能举出例子来 说明如何利用法向量证明面面平行和面面垂直吗?
D
C
A
B
D
A
C B
【目标四:求平面的法向量】
变式1:已知正方体 ABCD ABCD,说出面 ACD与面
的 ACB 法向量,并利用两面的法向量来判断它们的位置
关系。
变式2:如果改成长方体呢?
4.通过问题探究四和变式训练,能学会 求平面法向量 ,并总 结出求平面法向量的步骤.
【目标一:平面法向量的概念】
平面的法向量概念:已知平面 ,如果向量 n 的基线与平面 垂直,则向量 n 叫做平面 的 法向量或说向量 n 与平面 正交 l
n
【目标一:平面法向量的性质】
观察正方体 ABCD A1B1C1D1,请思考以下问题: 问题3:如图,AA1是平面 ABCD 的一个法向量,与平面 ABCD共面的向量的关系是什么?
思考:你能总结出求平面法向量的步骤吗?
①建系,设出平面的法向量 n (x, y, z)
高中数学选修2-1充分、必要条件 课件 新课标人教B版 .ppt
事例一
音乐欣赏《我是一只鱼》 提问:鱼非常需要水,没了水,鱼就 无法生存,但只有水,够吗? 探究: p:“有水”;q:“鱼能生存”. 判断“若p,则q”和“若q,则p”的真假.
2014-9-23
事例二:
有一位母亲要给女儿做一 件衬衫,母亲带女儿去商店买 布,母亲问营业员:“要做一 件衬衫,应该买多少布料?” 营业员回答:“买三米足够 了!”
C是A的________条件,
A是D的________条件,
D是C的_________条件.
充要条件
A C
D D
必要不充分
C
A
B E
D
2014-9-23
知识小结
1、定义: (1)若p (2)若q (3)若p q,则p是q的充分条件。(p可能会多余浪费) p,则p是q的必要条件(p可能还不足以使q成立) q,则p是q的充要条件。(p不多不少,恰到好处)
2014-9-23
第三组题
1.命题p:“x>3”是命题q:“︱x2︱>2”的 条件 2.命题p:“x=1”是命题q:“x23x+2=0”的 条件
20பைடு நூலகம்4-9-23
3.若A是B的充要条件,B是C和D的必要条件,E是 D的充分条件,E是A的充要条件, 充要条件 E B 则E是B的_______条件, 充分不必要 C A
引导分析:
p:有3米布料
2014-9-23
q:做一件衬衫
二、新课讲授
p q 或q p 1、一般地:若p则q为真,记作: pq 若p则q为假,记作:
例 如
(1)如果两个三形全等,那么两三角形面 积相等。
两个三形全等
高二数学(选修-人教B版)-导数公式表及导数的四则运算法则(2)-1教案
给学生尝试的机会,增强学习的主动性,强化对导数的四则运算法则应用的灵活度.
回顾导数的几何意义,为接下来求曲线的切线斜率、切线方程做准备.
对同一条曲线,从三种不同的角度求切线方程,既减少了重复求导的劳动,又感受了切点在求切线方程中的作用,还能对曲线切线问题有宏观、整体的把握和认识,增强导数的应用意识.
3.通过求导数的过程,提升数学运算的素养;在对曲线切线问题的探究过程中,培养分析问题、解决问题、多角度理解问题的能力.
教学重点:
熟练运用导数公式和导数的四则运算法则.
教学难点:
灵活运用导数的四则运算法则求导数.
教学过程(表格描述)
教学环节
主要教学活动
设置意图
引入
复习基本初等函数求导公式:
为正整数
为有理数
进一步感受将三角函数转化为正弦、余弦函数的四则运算形式再求导的过程,巩固函数的和、差、积的求导法则的应用.
巩固函数和(或差)的求导法则与积的求导法则的应用.感受将三角函数化简后再求导的简便性,进一步体会正弦函数和余弦函数的求导公式在有关三角函数的求导问题的作用.
回顾小结,理清对三角函数求导数的思路,提升方法.
②优先考虑导数运算,保留括号,根据函数积的求导法则求导:
解法1:
解法2:
与解法1结果相同.
例题:求函数 的导数.
分析:
这个函数既可以看成是一次函数与正弦函数的复合函数,也可以转化为 ,由三个函数的乘积构成.求导时,可以先把 与 的乘积看成一个整体进行求导,然后再对 求导.
解:
师:最后一步的化简用到了倍角公式.
问题:你能构造出一个初等函数,并运用求导公式
人教课标版高中数学选修2-1:《空间向量的数量积运算》教案-新版
3.1.3 空间向量的数量积运算一、教学目标(一)核心素养通过本节课的学习,同学们能掌握空间向量数量积运算的法则及运算律,能借助图形进行空间向量的运算,并通过空间几何体加深对运算的理解.会利用数量积的性质求空间向量的夹角和模,并能熟练应用于立体几何证明与求值.(二)学习目标1.了解向量夹角的定义,掌握空间向量数量积的运算法则及运算律.2.掌握利用数量积求空间向量夹角和模的方法.3.培养学生数形结合的思想和空间想象能力,并能解决向量的综合问题.(三)学习重点1.空间向量的数量积运算法则及运算律.2.空间向量的模长公式和夹角公式.3.空间向量数量积在立体几何中的应用.(四)学习难点1.利用空间向量的数量积求模与夹角.2.将立体几何问题转化为空间向量的数量积问题.二、教学设计(一)课前设计1.预习任务(1)读一读:阅读教材第90页至第91页,填空: 已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作a OA =,b OB =,则AOB ∠叫做向量a ,的夹角,记作><,. 如果2,π>=<,那么向量,互相垂直,记作⊥. 已知两个非零向量,,则><b a b a ,cos ||||叫做,的的数量积,记作⋅. 零向量与任何向量数量积为0. 特别地,⋅=><,cos ||||2||=.(2)写一写:和平面向量类似,空间向量的数量积满足哪些运算律? ①数乘结合律:)()(b a b a ⋅=⋅λλ, ②交换律:⋅=⋅, ③分配率:⋅+⋅=+⋅)(.和平面向量类似,空间向量的数量积有哪些性质? ①若为单位向量,则⋅=><,cos ||; ②若,⊥⇔⋅0=; ③==a ||;④若,为非零向量,则>=<,cos ||||a ba b ⋅; ⑤||||||≤⋅(当且仅当a ,b 共线时等号成立). 2.预习自测(1)已知向量,满足:3||=,2||=,⋅6-=,则>=<,( )A .0B .3πC .2πD .π 【知识点】空间向量的夹角公式.【解题过程】∵6cos ,123||||a b a b a b ⋅-<>===-⨯rr r r r r ,∴>=<b a ,π.【思路点拨】理解并熟记空间向量的夹角公式.【答案】D .(2)在正三棱柱111C B A ABC -中,若12BB AB =,则1AB 与B C 1所成角的大小为()A . 60B . 90C . 75D . 105【知识点】空间向量的垂直.【解题过程】设m BB =||1,则m AB 2||=,∴C AB 11⋅)()(11C BB +⋅+=C BB 11⋅+⋅= 180cos 60cos 22⋅⋅+⋅⋅=m m m m 022=-=m m ,故1AB 与B C 1所成角的大小为 90.【思路点拨】空间向量的垂直的充要条件数量积等于0.【答案】B .(3)在平行六面体1111D C B A ABCD -中,4=AB ,3=AD ,51=AA , 90=∠BAD ,6011=∠=∠DAA BAA ,则=||1AC .【知识点】空间向量的模长. 【解题过程】=21||AC 2121)(AA AC ++=112122222AA AA AA ⋅+⋅+⋅+++=21532215420534222⨯⨯⨯+⨯⨯⨯++++=85=,故=||1AC 85.【思路点拨】利用空间向量的模长公式,转化为数量积的运算. 【答案】85.(4)已知线段AB ,BD 在平面α内,AB BD ⊥,线段α⊥AC ,且a AB =,b BD =,c AC =,则C ,D 间的距离为 .【知识点】空间向量的模长. 【解题过程】222)(||++==⋅+⋅+⋅+++=222222000222+++++=c b a 222c b a ++=,故C ,D 间的距离为222c b a ++.【思路点拨】利用空间向量的模长公式,转化为数量积的运算. 【答案】222c b a ++.(二)课堂设计1.知识回顾(1)空间向量线性运算法则和运算律;(2)共线向量定理的两种表达形式;(3)共面向量定理的两种表达形式.2.问题探究探究一 由平面向量类比空间向量的数量积运算★●活动① 类比提炼概念前面我们说过,两个非零向量a r ,b r 一定是共面向量.那在平面向量中,我们是怎样定义两个向量的夹角的呢?(抢答) 已知两个非零向量,,在空间任取一点O ,作OA a =uu r r ,OB b =uu u r r ,则AOB ∠叫做向量,的夹角,记作><,.如果2,π>=<,那么向量,互相垂直,记作⊥.也就是说,两个空间向量夹角的定义与平面向量一致.【设计意图】两个非零向量一定是共面,因此向量夹角的概念自然地从平面到空间,让学生体会概念的类比过程,为数量积的定义作好准备.●活动② 巩固理解,深入探究同样的,那数量积的定义呢?(抢答) 已知两个非零向量a ,b ,则><,cos ||||叫做a ,b 的的数量积(inner product ),记作a b ⋅r r .零向量与任何向量数量积为0.特别地,2=||||cos ,||a a a a a a a ⋅<>=r r r r r r r .【设计意图】通过抢答,使学生深入探究,进而得到数量积定义.●活动③ 深入探究,发现规律和平面向量类似,空间向量的数量积满足哪些运算律?(抢答) ①数乘结合律:)()(⋅=⋅λλ, ②交换律:⋅=⋅, ③分配率:⋅+⋅=+⋅)(.【设计意图】类比平面向量,得出空间向量数量积的运算律,理解更加深入.探究二 探究空间向量数量积的性质★▲●活动① 类比探究,研究性质和平面向量类似,空间向量的数量积有哪些性质?(抢答) ①若为单位向量,则=||cos ,a e a a e ⋅<>r r r r r ;(解释:1||=,转化为投影) ②若,为非零向量,则0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ;(解释:,cos 022a b ππ<>==r r ,)③||==;(解释:,0cos 01a b <>==r r ,) ④若,为非零向量,则||||,cos b a b a >=<;(解释:定义的变形式) ⑤||||||≤⋅(当且仅当,共线时等号成立).(解释:,[0,]cos ,[1,1]a b a b π<>∈<>∈-r r r r ,)【设计意图】通过类比,得到空间向量数量积的各种性质,并给予合理解释,突破难点. ●活动② 巩固理解,深入探究以上五个性质中,大家认为最重要的有哪些,它们有什么作用?(抢答)第②条,0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ,可用于证明空间向量垂直;第③条,||=,是空间向量的模长公式;第④条,||||,cos b a b a >=<,是空间向量的夹角公式.【设计意图】让学生进行思考,在深刻理解性质的同时,指出公式的作用,为后面的计算打好基础.探究三 探究空间向量数量积的具体应用★▲●活动① 归纳梳理、理解提升通过前面的学习,由于两个向量必然共面,所以空间向量数量积的运算法则和运算律和平面向量基本一致.同时,我们理解了数量积的三个重要应用是?(抢答)模长、垂直、夹角.它们都是向量a ,b 的二次运算,是非线性的.【设计意图】通过学生归纳知识点和定理,培养学生数学对比、归类、整理意识. ●活动② 互动交流、初步实践例1 设,,是任意的非零向量,且它们相互不共线,下列命题中:①()()0a b c c a b ⋅-⋅=r r r r r r ;②=||22a b b a =r r r r ; ④22||4||9)23()23(-=-⋅+.正确的是( )A .①②B .②③C .③④D .②④【知识点】空间向量的数量积运算法则和运算律.【数学思想】转化思想.【解题过程】向量的数量积不满足结合律,所以①不正确;由向量的数量积的定义知,②正确;,不一定共线,向量不一定相等,所以③不正确;利用数量积的运算律,④正确.【思路点拨】空间向量数量积运算不满足结合律.【答案】D .同类训练 已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于a ,点E ,F ,G 分别为AB ,AD ,DC 的中点,则以下运算结果为2a 的是( )A .⋅2B .⋅2C .CA FG ⋅2D .CB EF ⋅2【知识点】空间几何体中向量的数量积运算.【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】由已知可得3,π>=<, 所以><=⋅,cos ||||22223cos 2a a ==π. 【思路点拨】在空间几何体中先找出向量的夹角再根据定义计算.【答案】B .【设计意图】通过空间几何体中的向量,让学生对数量积的定义和运算更加熟练. 活动③ 巩固基础、检查反馈例2 已知空间四边形OABC 中,OB =OC ,且3π=∠=∠AOC AOB ,则><BC OA ,cos 的值为( )A .0B .21C .22D .23 【知识点】空间向量的线性表示及夹角公式.【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】设a OA =,b OB =,c OC =,由已知得3,,π>=>=<<,且||||=. 所以()OA BC a c b a c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅uu r uu u r r r r r r r r 3cos ||||3cos ||||ππ-=0|)||(|||21=-=, 所以0||||,cos =>=<BC OA .【思路点拨】求向量夹角的重点就是求数量积和模长.【答案】A .同类训练 已知空间向量,,两两夹角为 60,其模都为1,则|2|+-等于( )A .5B .5C .6D .6【知识点】空间向量的模长公式.【数学思想】转化思想. 【解题过程】∵1||||||===c b a , 60,,,>=>=<>=<<a c c b b a ,∴21=⋅=⋅=⋅, ∴2|2|+-a c c b b a c b a ⋅+⋅-⋅-++=4424222214214212411⨯+⨯-⨯-++=5=, ∴|2|+-5=. 【思路点拨】先计算⋅,⋅,⋅,再利用模长公式展开计算.【答案】A .【设计意图】运用向量的夹角和模长公式,学生对数量积的运算更加熟练,基础更加牢固. ●活动④ 强化提升、灵活应用例3 已知PO ,P A 分别是平面α的垂线、斜线,AO 是P A 在平面α内的射影,α⊂l 且OA l ⊥,求证:PA l ⊥.【知识点】利用空间向量数量积解决直线垂直问题.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】取直线l 的方向向量,同时取向量PA ,,∵OA l ⊥,∴0=⋅.∵α⊥PO ,且α⊂l ,∴PO l ⊥,∴0=⋅. 又∵=⋅)(+⋅0=⋅+⋅=,∴PA l ⊥.【思路点拨】将向量用,来表示,从而利用数量积解决垂直问题.这是三垂线定理的向量证法,同理也可用来证明:若PA l ⊥,则OA l ⊥.【答案】见解题过程.同类训练 已知m ,n 是平面α内的两条相交直线,如果m l ⊥,n l ⊥,求证:α⊥l .【知识点】利用空间向量数量积解决线面垂直问题.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】在α内任作一直线g ,分别在l ,m ,n ,g 上取非零向量l ,m ,,. ∵m 与n 相交,∴向量,不平行,由向量共面的充要条件知,存在唯一的有序实数对),(y x ,使y x +=. ∵0=⋅m l ,0=⋅n l ,∴y x ⋅+⋅=⋅0=,即g l ⊥.∴l 垂直于α内的任意直线,∴α⊥l .【思路点拨】将α内的任意直线的方向向量表示为,的线性组合,从而利用数量积证明0=⋅g l ,再由线面垂直的定义可证.这是线面垂直判定定理的向量证法.【答案】见解题过程.【设计意图】垂直问题的证明是常见题型,通过数量积的计算,避免了立体几何中辅助线的添加,极大地降低了难度.3. 课堂总结知识梳理(1)已知两个非零向量,,在空间任取一点O ,作=,=,则AOB ∠叫做向量,的夹角,记作><,.如果2,π>=<b a ,那么向量,互相垂直,记作⊥. (2)已知两个非零向量,,则><,cos ||||叫做,的的数量积(inner product ),记作⋅.零向量与任何向量数量积为0.特别地,⋅=><,cos ||||2||=.空间向量的数量积满足的运算律有:①数乘结合律:)()(⋅=⋅λλ,②交换律:⋅=⋅,③分配率:⋅+⋅=+⋅)(.(3)空间向量的数量积的性质有:①若e 为单位向量,则a e ⋅=><,cos ||;②若a ,b 为非零向量,则a b ⊥⇔a b ⋅0=;③||==a ,b 为非零向量,则||||,cos b a >=<;⑤||||||≤⋅(当且仅当,共线时等号成立).重难点归纳(1)空间向量的数量积是向量的二维计算,是三个实数的乘积,不满足结合律.(2)空间向量的数量积主要解决向量的垂直,模长和夹角问题,在立体几何中应用非常广泛.(三)课后作业基础型 自主突破1.下列命题中正确的是( )A .222)(⋅=⋅ B .||||||≤⋅C .)()(⋅⋅=⋅⋅D .若)(-⊥,则0=⋅=⋅【知识点】向量数量积的概念和运算.【数学思想】转化思想. 【解题过程】对于A 项,><=⋅,cos )(222222≤,故A 错误;对于C 项,数量积不满足结合律,故C 错误;对于D 项,有0)(=-⋅,所以⋅=⋅,但不一定等于0,故D 错误.B 项是数量积的性质.【思路点拨】深刻理解各种概念和运算.【答案】B . 2.已知,为单位向量,其夹角为 60,则=⋅-)2(( )A .1-B .0C .1D .2【知识点】向量数量积的运算.【数学思想】转化思想. 【解题过程】∵1||||==,>=<, 60, ∴=⋅-)2(22-⋅0||60cos ||||22=-= .【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的运算法则.【答案】B . 3.在三棱锥BCD A -中,2===AD AC AB , 90=∠BAD , 60=∠BAC ,则=⋅( )A .2-B .2C .32-D .32 【知识点】空间向量数量积的运算.【数学思想】数形结合思想. 【解题过程】=⋅)(-⋅⋅-⋅= 60cos 220⨯⨯-=2-=.【思路点拨】在空间几何体中找到夹角再根据定义计算.【答案】A .4.在三棱锥ABC D -中,已知)()2(AC AB DA DC DB -⋅-+0=,则ABC ∆是( )A .直角三角形B .等腰三角形C .等腰直角三角形D .等边三角形 【知识点】空间向量数量积的运算.【数学思想】转化思想. 【解题过程】∵)()2(-⋅-+)()(-⋅-+-=0)()(22=-=-⋅+=AC AB AC AB AC AB ,∴22||||AC AB =,即AC AB =.【思路点拨】熟练掌握空间向量数量积的各种变形.【答案】B .5.已知A ,B ,C 为圆O 上的三点,若+=与的夹角 为 .【知识点】空间向量的夹角.【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵+=,∴点O 是BC 中点,故BC 为直径,根据圆的性质,有 90=∠BAC ,即<AB ,> 90=.【思路点拨】利用几何性质,点O 是BC 中点,BAC ∠是直角所对的圆周角.【答案】 90. 6.已知,,中每两个向量的夹角都是3π,且4||=a ,6||=b ,2||=c ,试求出||++的值.【知识点】向量模长公式.【数学思想】转化思想. 【解题过程】∵2||++⋅+⋅+⋅+++=222222422664264222⨯+⨯+⨯+++=100=,∴||++10=. 【思路点拨】利用模长公式进行数量积的计算.【答案】10.能力型 师生共研7.已知23|=a ,4|=b ,+=,λ+=,43,π>=<,若⊥, 则=λ .【知识点】向量垂直与数量积的关系. 【数学思想】转化思想.【解题过程】∵⊥,∴0=⋅,即⋅+)(0)(=+λ,则0)1(22=⋅+++λλ,即043cos 234)1(4)23(22=⨯⨯⨯+++πλλ,∴064=+λ,23-=λ. 【思路点拨】利用向量垂直的性质,列出方程求解.【答案】23-. 8.直三棱柱111C B A ABC -中, 90=∠BCA ,M ,N 分别是11B A ,11C A 的中点,1CC CA BC ==,则BM 与AN 所成角的余弦值为( )A .101 B .52 C .1030 D .22 【知识点】向量夹角公式求空间几何体中异面直线所成角. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】设=.=,CC =1,1||||||===,∴0=⋅=⋅=⋅,∵BM +=,+=,∴BM ⋅432=+=,又∵26||=BM ,25||=AN ,∴<cos ⋅>||||AN BM =1030252643=⨯=. 【思路点拨】将与用.,表示,再利用向量夹角公式得到所求角的余弦值.【答案】C .探究型 多维突破9.在正三棱柱111C B A ABC -中,若侧面对角线11BC AB ⊥,求证:11AB C A ⊥. 【知识点】在空间几何体中利用数量积解决直线垂直问题. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】设=,=,BB =1,m ==||||,n =||, ∵11BC AB ⊥,且11BB AB AB +=+-=,=1BC +, ∴11BC AB ⋅⋅+-=)()(+2+⋅-=02122=-=m n ,∴222n m =, ∴A AB 11⋅⋅+-=)()(1BC AB A A ++⋅+-=)()(+--b a c a ⋅--=22021222=--=m n m ,∴11AB C A ⊥. 【思路点拨】将1AB ,1BC ,C A 1用,,表示,再把垂直关系与数量积为零进行转化. 【答案】见解题过程.10.三棱柱111 C B A ABC -中,2221===AC AB AA , 6011=∠=∠=∠BAC AC A AB A ,在平行四边形C C BB 11内是否存在一点O ,使得⊥O A 1平面C C BB 11?若存在,试确定O 点的位置;若不存在,说明理由.【知识点】利用数量积运算解决动点存在性问题. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】设a AB =,b AC =,AA =1,假设存在点O ,使得⊥O A 1平面C C BB 11,不妨设n BB m +=1,则)(n m -+=m n n ++-=,而+=m n n ++-=)1(,∴11AA A -=m n n )1()1(-++-=, 要使⊥O A 1平面C C BB 11,只需⊥O A 11BB ,⊥O A 1BC ,即01=⋅A ,0)(1=-⋅A , ∴])1()1[(m n n -++-0=⋅c ,])1()1[(m n n -++-0)(=-⋅,解得43=m ,21=n ,+=O ,使得⊥O A 1平面C C BB 11.【思路点拨】在平面C C BB 11内将表示为n BB m +1,利用垂直条件列式解出m ,n 的值,从而确定点O 的位置.【答案】见解题过程.自助餐1.下列命题中,①a =||m m ⋅=⋅)()(λλ;③⋅+=+⋅)()(;④a b b a 22=. 其中真命题的个数为( )A .1个B .2个C .3个D .4个【知识点】向量数量积的概念和运算. 【数学思想】转化思想.【解题过程】①②③正确,④不正确,因为与的方向不一定相同,故不一定相等. 【思路点拨】深刻理解各种概念和运算. 【答案】C .2.已知向量,满足2||=,2||=,且与-2互相垂直,则>=<, .【知识点】向量数量积的运算,夹角公式. 【数学思想】转化思想.【解题过程】∵与a b -2互相垂直,∴0)2(=-⋅,即022=-⋅,∴2=⋅b a ,∴22||||,cos =>=<b a ,故 45,>=<b a . 【思路点拨】先求出b a ⋅,再利用向量夹角公式.【答案】 45.3.设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足0=⋅,0=⋅,0=⋅,则BCD ∆( )A .是钝角三角形B .是锐角三角形C .是直角三角形D .无形状不确定【知识点】数量积定义的应用.【数学思想】转化思想【解题过程】∵⋅)()(-⋅-=2+⋅-⋅-⋅=02>=,∴0||||,cos >>=<BD BC ,故CBD ∠为锐角,同理BCD ∠与BDC ∠均为锐角. 【思路点拨】锐角、钝角可由数量积的正负进行判定. 【答案】B .4.已知a ,b 是两异面直线,A ,a B ∈,C ,b D ∈,b AC ⊥,b BD ⊥,且2=AB ,1=CD ,则直线a ,b 所成的角为( ) A . 30B . 60C . 90D . 45【知识点】利用向量夹角公式计算异面直线所成角. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵++=,∴⋅++=⋅)(12==,故21||||,cos =>=<CD AB ,即 60,>=<CD AB . 【思路点拨】先求出⋅,再利用向量夹角公式. 【答案】B .5.在一个直二面角βα--l 的棱上有两点A ,B ,AC ,BD 分别是这个二面角的两个面内垂直于l 的线段,且4=AB ,6=AC ,8=BD ,则CD 的长为 . 【知识点】向量模长的计算. 【数学思想】转化思想.【解题过程】∵++=,∴22)(++=⋅+⋅+⋅+++=222222116864222=++=,∴292||=CD .【思路点拨】将拆分成已知长度的向量,再使用向量模长公式. 【答案】292.6.在长方体1111D C B A ABCD -中,设11==AA AD ,2=AB ,P 是11D C 的中点,则C B 1与A 1所成角的大小为 .【知识点】向量夹角公式的运用. 【数学思想】数形结合思想.【解题过程】∵A B 11⋅()(1AA ⋅+-=2=1=,由题意得211==C B PA ,则21||||,cos 1111=>=<P A C B A B ,故 60,11>=<P A C B . 【思路点拨】灵活运用向量夹角公式,关键是计算出A B 11⋅.【答案】 60.。
高中数学选修2一1教案
高中数学选修2一1教案
教学目标:
1. 掌握数列的定义和基本性质,理解数列的概念和实质。
2. 学习并掌握等差数列和等比数列的求和公式,能够熟练应用。
3. 能够解决实际问题中的数列应用题。
教学重点:
1. 等差数列和等比数列的定义和性质。
2. 等差数列和等比数列的求和公式和应用。
3. 实际应用中的数列问题解决。
教学难点:
1. 等差数列和等比数列的应用题目解决。
2. 能够灵活运用求和公式解决问题。
教学过程:
一、导入:
通过一个生活中的例子引入数列的概念,让学生理解数列的定义和基本性质。
二、讲解:
1. 等差数列和等比数列的概念和基本性质。
2. 等差数列的通项公式和求和公式。
3. 等比数列的通项公式和求和公式。
三、练习:
1. 让学生完成一些基础的等差数列和等比数列的题目。
2. 练习应用题目,让学生灵活运用求和公式解决实际问题。
四、拓展:
引导学生思考更复杂的数列问题,如特殊数列、递归数列等,拓展数列应用的范围。
五、总结:
总结本节课的重点内容,强化学生对数列的理解和应用能力。
六、作业:
布置相关的数列练习题作为课后作业,以巩固学生对数列的掌握。
七、反馈:
下节课开始前对上节课的内容进行复习和总结,及时纠正学生的错误和提出问题。
以上为本教案的主要内容,希望老师们在教学过程中能灵活运用,使学生真正理解数列的概念和应用。
人教B版数学选修2-1课件:2.2.1 椭圆的标准方程
的研究方向;分析小说,一般都是从人物、环境、情节三个要素入手;写记叙文,则要从时间、地点、人物和事情发生的起因、经过、结果六个方面进
行叙述。这些都是语文学习中的一些具体方法。其他的科目也有适用的学习方法,如解数学题时,会用到反正法;换元法;待定系数法;配方法;消元
A.2 B.3
C.5 D.7
解析:由椭圆的定义得,点Q到另一个焦点的距离为10-3=7.
答案:D
2.椭圆的标准方程
焦点在 x 轴上
标准方程
x2 y2 a2 + b2 = 1(������ > ������ > 0)
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0)
a,b,c 的关系 a2=b2+c2
焦点在 y 轴上
【做一做1-1】 到两定点F1(-5,0)和F2(5,0)的距离之和为10的点 M的轨迹是( )
A.椭圆
B.线段
C.圆 D.以上都不对
解析:由题意可知,|MF1|+|MF2|=10=|F1F2|,故点M的轨迹是线段
F1F2. 答案:B
【做一做1-2】 已知椭圆上一点P到椭圆两个焦点F1,F2的距离之 和等于10,若椭圆上另一点Q到焦点F1的距离为3,则点Q到焦点F2的 距离为( )
形的三条边,都是正数,a是斜边,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2,其中c是
焦距的一半,叫做半焦距.
名师点拨方程 Ax2+By2=C(A,B,C 均不为 0)可化为
������������2 ������������2
������ + ������ = 1,
即
������2
������
+
辽宁省高级中学高中数学(人教B版)选修2-1教案:3.1.3向量的数量积2
2分钟
(2)设θ=〈a,b〉=120°,|a|=3,|b|=4,求:
①a·b;②(3a-2b)·(a+2b).
跟踪训练1已知a,b均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于()
A. B.
C. D.4
跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1,求:
(1)( + )·( + );(2)| + + |.
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果。
1、小考本上作答。
2、同桌互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况。
5分钟
6
布置下节课自主学习任务
7.
板书
8.课后反思
完成优化学案,整理错题
两个向量的数量积
知识点1例1
2例2
学生分类归纳能力有了明显提高,但计算能力和知识的综合运用能力还需提升
①( + + )2=3 2;
② ·( - )=0;
③ 与 的夹角为60°.
其中真命题的个数为()
A.1 B.2 C.3 D.0
4.已知a,b为两个非零空间向量,若|a|=2 ,|b|= ,a·b=- ,则〈a,b〉=________.
5.已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为________.
2、改正错误
明确本节课听课重点
3分钟
2.承接结果
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1空间向量数量积的基本运算
例1(1)下列命题是否正确?正确的请给出证明,不正确的给予说明.
①p2·q2=(p·q)2;
②|p+q|·|p-q|=|p2-q2|;
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学选修2-1 本章小结》18
主讲人:徐景林时间:2021年5月24日
课题
求圆锥曲线的离心率及取值范围
课时
一课时
课型
专题课
教学
重点
求离心率的取值范围
依据:2021年新课程标准以及考试大纲
教学
难点
建立数学模型
依据:新课程标准及考试大纲
自主
学习
目标
1.能够利用数形结合的思想,及分情况讨论思想,解决问题;
2.能够熟练将直线、曲线联立;建立a,b,c的齐次方程
1典例的例2;
2、重点讲解典例的例3
1、展示课件
2、巡视学生完成情况。
1、展示作业完成成果
2、其余同学补充
3、质疑、答疑
4、说出发现的解题规律
通过具体实例体会韦达定理的意义。
3分钟
3、例4、例5、例6相同的类型题做重点的比较、鉴别。
1、巡视学生的完成情况。
2、对学生的展示和评价要给予及时的反馈。
3.能够熟练应用定义求离心率 ;
理由:本节课的重点与难点。
教具
多媒体课件、教材、教辅、试卷
教学
环节
教学内容
教师行为
学生行为
设计意图
时间
1、 课前3分钟
1、写出离心率两种形式的公式:
2、总结方法:
将之前留的热身训练,呈现在大屏幕上,准备提问和答疑;
点评学生完成的情况;
1.小组可适当讨论;
2.提出自主学习困惑
3要对学生不同的解题过程和答案给出准确的评价,总结。
1、学生先独立完成例题,然后以小组为单位统一答案。
2、小组讨论并展示自己组所写的答案。
3、其他组给予评价(主要是找错,纠错)
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选修2-11.1命题与量词1.1.1命题1.了解命题的概念.(难点)2.理解命题的构成,并能指出命题的条件和结论.(重点)3.能判断一些简单命题的真假.(难点)[基础·初探]教材整理命题阅读教材P3,完成下列问题.1.命题:能判断真假的语句叫命题,命题一般用小写英文字母表示,如:p,q,r,….2.一个命题要么是真,要么是假.判断下列语句是命题的是________(填序号).①求证3是无理数;②x2+2x+1≥0;③你是高二学生吗?④并非所有的人都喜欢苹果;⑤一个正整数不是质数就是合数.【解析】判断一个语句是否为命题,关键符合两点:①陈述句,②能判断真假.【答案】②④⑤[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________ 疑问3:________________________________________________________解惑:________________________________________________________[小组合作型]①一个数不是正数就是负数;②0是自然数吗?③22 016是一个很大的数;④4是集合{2,3,4}的元素;⑤作△ABC≌△A′B′C′.【精彩点拨】判断语句是否为命题,要看是否符合两条:(1)是否为陈述句.(2)能否判断真假.【自主解答】②是疑问句,不是命题;③是陈述句,但“很大”无法说明到底多大,不能判断真假,不是命题;⑤是祈使句,不是命题;①是命题,为假命题,因为0既不是正数,也不是负数;④是命题,为真命题.【答案】①④判断一个语句是不是命题,关键是把握好以下两点:(1)一般来说,陈述句才是命题,祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题.(2)该语句表述的结构可以判断真假,含义模糊不清,无法判断真假的语句不是命题.[再练一题]1.判断下列语句是不是命题,并说明理由.(1)函数f(x)=3x(x∈R)是指数函数;(2)x2-3x+2=0;(3)函数y=cos x是周期函数吗?(4)集合{a,b,c}有3个子集.【解】(1)是命题,满足指数函数的定义,为真命题.(2)不是命题,不能判断真假.(3)不是命题,是疑问句,不能判断真假.(4)是命题.因为集合{a,b,c}有23=8个子集,所以集合{a,b,c}有3个子集为假命题.x2+2x-k =0有实数根;②若a>b>0,c>d>0,则ac>bd;③对角线相等的四边形是矩形;④若xy=0,则x,y中至少有一个为0.其中是真命题的是________.【精彩点拨】【自主解答】①中Δ=4-4(-k)=4+4k>0,所以①为真命题;②由不等式的乘法性质知命题正确,所以②为真命题;③如等腰梯形对角线相等,但不是矩形,所以③是假命题;④由等式性质知命题正确,所以④是真命题.【答案】①②④1.由命题的概念可知,一个命题要么是真的,要么是假的,不存在模棱两可的情况.2.如果要判断一个命题为真命题,需要依据条件进行严格的推理论证,而要判断一个命题为假命题时,只要举出一个反例即可.[再练一题]2.判断下列命题的真假.(1)已知a,b,c,d∈R,若a≠c,b≠d,则a+b≠c+d;(2)若x∈N,则x3>x2成立;(3)若m>1,则方程x2-2x+m=0无实数根;(4)存在一个三角形没有外接圆.【解】(1)假命题.反例:1≠4,5≠2,而1+5=4+2.(2)假命题.反例:当x=0时,x3>x2不成立.(3)真命题.∵m>1⇒Δ=4-4m<0,∴方程x2-2x+m=0无实数根.(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆,即任何三角形都有外接圆.[探究共研型]探究1(1)若整数a能被2整除,则整数a是偶数;(2)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直且平分.【提示】命题由条件和结论两部分组成,其结构形式为“若p,则q”;也可写成“如果p,那么q”,其中p是条件,q是结论.(1)p:“整数a能被2整除”,q:“整数a是偶数”.(2)p:“四边形是菱形”,q:“它的对角线互相垂直且平分”.探究2把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并指出条件与结论.(1)等边三角形的三个内角相等;(2)当a>1时,函数y=a x是增函数;(3)菱形的对角线互相垂直.【提示】(1)若一个三角形是等边三角形,则它的三个内角相等.其中条件p:一个三角形是等边三角形,结论q:它的三个内角相等.(2)若a>1,则函数y=a x是增函数.其中条件p:a>1,结论q:函数y=a x是增函数.(3)若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直.其中条件p:四边形是菱形,结论q:四边形的对角线互相垂直.(2016·南京高二检测)将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)能被3整除的数一定能被6整除;(2)到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.【精彩点拨】(1)上述命题的条件与结论分别是什么?(2)怎样用“若p,则q”的形式改写命题?【自主解答】(1)命题改写成“若p,则q”的形式为:若一个数能被3整除,则这个数一定能被6整除.它是假命题,如:9能被3整除,但不能被6整除.(2)命题改写成“若p,则q”的形式为:若一个点到已知线段两端点的距离相等,则这个点在这条线段的垂直平分线上.由平面几何知识知它是真命题.1.要把一个命题写成“若p,则q”的形式,关键是要分清命题的条件和结论,然后写成“若条件,则结论”的形式,有一些命题虽然不是“若p,则q”的形式,但是把它们的表述作适当的改变,也能写成“若p,则q”的形式,但要注意语言的流畅性.2.当一个命题改写成“若p,则q”的形式之后,判断这种命题真假的办法是:若由“p”经过逻辑推理得出“q”,则可判断“若p,则q”是真;而判定“若p,则q”是假,则只需要举出一个反例即可.[再练一题]3.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)当1a>1b时,a<b;(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行;(3)同弧所对的圆周角不相等.【解】(1)若1a>1b,则a<b,假命题;(2)若两个平面垂直于同一条直线,则这两个平面平行,真命题;(3)若两个角为同弧所对的圆周角,则它们不相等,假命题.[构建·体系]1.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是() A.这个四边形的对角线互相平分B.这个四边形的对角线互相垂直C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直D.这个四边形是平行四边形【解析】把命题改写成“若p,则q”的形式后可知C正确.故选C.【答案】 C2.若M,N是两个集合,则下列命题中的真命题是()A.如果M⊆N,那么M∩N=MB.如果M∩N=N,那么M⊆NC.如果M⊆N,那么M∪N=MD.如果M∪N=N,那么N⊆M【解析】由集合的包含关系知道,若M⊆N,则M∩N=M.【答案】 A3.“常数列是等差数列”是________命题,“常数列是等比数列”是________命题.(填“真”或“假”)【导学号:15460000】【解析】“常数列是等差数列”是真命题,“常数列是等比数列”是假命题.【答案】真假4.命题:若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界),条件p:________,结论q:___________________,是________命题.(填“真”或“假”)【解析】把握命题结构特征分析易得答案.【答案】a>0二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0的右上方区域(包括边界)真5.将命题“a>0时,函数y=ax+b的值随x的增大而增大”写成“若p,则q”的形式,并判断真假.【解】“若p,则q”的形式:若a>0,则函数y=ax+b的值随x的增大而增大.∵a>0.∴函数y=ax+b为增函数,故该命题为真命题.我还有这些不足:(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________我的课下提升方案:(1)________________________________________________________(2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.在空间中,下列命题正确的是()A.平行直线的平行投影重合B.平行于同一直线的两个平面平行C.垂直于同一平面的两个平面平行D.垂直于同一平面的两条直线平行【解析】A中平行投影可能平行,A为假命题.B、C中的两个平面可以平行或相交,为假命题.由线面垂直的性质知,D为真命题.【答案】 D2.下列命题中是假命题的是()A.a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥bB.若|a|=|b|,则a=bC.若ac2>bc2,则a>bD.若α=60°,则cos α=1 2【解析】因为|a|=|b|只能说明a与b的模相等,所以a=b不一定成立,故选B.【答案】 B3.下列四个命题中,真命题是()【导学号:15460001】A.a>b,c>d⇒ac>bdB.a<b⇒a2<b2C.1a<1b⇒a>bD.a>b,c<d⇒a-c>b-d【解析】可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题.【答案】 D4.已知实数a,b,c,d满足a+b=c+d=1,ac+bd>1,则下列四个命题为真命题的是()A.在a,b,c,d中有且仅有一个是负数B.在a,b,c,d中有且仅有两个是负数C.在a,b,c,d中至少有一个是负数D.在a,b,c,d中都是负数【解析】 举例取特殊值,验证可知C 是真命题.【答案】 C5.下面的命题中是真命题的是( )A .y =sin 2x 的最小正周期为2πB .若方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根同号,则c a >0 C .若a =(1,k ),b =(-2,6),a ∥b ,则k =3D .在△ABC 中,若AB →·BC→>0,则B 为锐角 【解析】 A 中,y =sin 2x =1-cos 2x 2,T =2π2=π,故A 为假命题;C 中,∵a ∥b ,∴1-2=k 6,得k =-3,故C 为假命题;D 中,当AB →·BC →>0时,向量AB →与BC→的夹角为锐角,B 为钝角,故D 为假命题. 【答案】 B二、填空题6.下列命题:①若xy =1,则x ,y 互为倒数;②四条边相等的四边形是正方形;③平行四边形是梯形;④若ac 2>bc 2,则a >b .其中真命题的序号是________.【解析】 ②中四条边相等的四边形是菱形,不一定是正方形,③中平行四边形不是梯形,①④正确.【答案】 ①④7.给出下列语句:①空集是任何集合的真子集;②函数y =a x +1是指数函数吗?③老师写的粉笔字真漂亮!④若x ∈R ,则x 2+4x +5>0.其中为命题的序号是________,为真命题的序号是________.【解析】 ①是命题,且是假命题,因为空集是任何非空集合的真子集;②该语句是疑问句,不是命题;③该语句是感叹句,不是命题;④是命题,因为x 2+4x +5=(x +2)2+1>0恒成立,所以是真命题.【答案】①④④8.设α和β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线,则α平行于β;②若α外一条直线l与α内的一条直线平行,则l和α平行;③设α和β相交于直线l,若α内有一条直线垂直于l,则α和β垂直;④直线l与α垂直的等价条件是l与α内的两条直线垂直.上面命题中,真命题的序号为________(写出所有真命题的序号).【导学号:15460002】【解析】由线面平行及面面平行的判定定理可知,①②正确;当两平面斜交时,在α内的直线可以与交线垂直,故③不对;只有直线l与α内的两条相交直线垂直时,直线l与α垂直,故④不对.【答案】①②三、解答题9.判断下列语句中哪些是命题?哪些不是命题?(1)2+22是有理数;(2)1+1>2;(3)2100是个大数;(4)968能被11整除;(5)非典型性肺炎是怎样传播的?【解】(1)(2)(4)均是命题;(3)(5)不是命题.因为(1)(2)(4)都可以判断真假,且为陈述句;(3)中的“大数”是一个模糊的概念,无法判断其真假,所以不是命题;(5)中的语句是疑问句,所以不是命题.10.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断真假.(1)等腰梯形的两条对角线相等;(2)平行四边形的两条对角线互相垂直.【解】(1)若一个梯形是等腰梯形,则它的两条对角线相等.真命题.(2)若一个四边形是平行四边形,则它的两条对角线互相垂直.假命题.[能力提升]1.若a ,b ∈R ,且a 2+b 2≠0,则下列命题:①a ,b 全为0;②a ,b 不全为0;③a ,b 全不为0;④a ,b 至少有一个不为0.其中真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .3【解析】 ②④为真命题.【答案】 C2.给出下列命题:①在△ABC 中,若∠A >∠B ,则sin A >sin B ;②函数y =x 3在R 上既是奇函数又是增函数;③函数y =f (x )的图象与直线x =a 至多有一个交点;④若将函数y =sin 2x 的图象向左平移π4个单位,则得到函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4的图象.其中真命题的序号是( )A .①②B .①②③C .①③④D .①②③④【解析】 ①②③是真命题.【答案】 B3.设a ,b 为正实数.现有下列命题:①若a 2-b 2=1,则a -b <1;②若1b -1a =1,则a -b <1;③若|a -b |=1,则|a -b |<1;④若|a 3-b 3|=1,则|a -b |<1.其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)【解析】 将条件方程变形分析.①中,a 2-b 2=(a +b )(a -b )=1,a ,b 为正实数,若a -b ≥1,则必有a +b >1,不合题意,故①正确.②中,1b -1a =a -b ab =1,只需a -b =ab 即可.如取a =2,b =23满足上式,但a-b=43>1,故②错.③中,a,b为正实数,所以a+b>|a-b|=1,且|a-b|=|(a+b)(a -b)|=|a+b|>1, 故③错.④中,|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=|a-b|·(a2+ab+b2)=1.若|a-b|≥1,不妨取a>b>1,则必有a2+ab+b2>1,不合题意,故④正确.【答案】①④4.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.(1)当m>14时,方程mx2-x+1=0无实根;(2)平行于同一平面的两条直线平行.【解】(1)命题可改写为:若m>14,则mx2-x+1=0无实根.因为当m>14时,Δ=1-4m<0,所以是真命题.(2)命题可改写为:若两条直线平行于同一平面,则它们互相平行.因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,所以是假命题.1.1.2量词1.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和存在性命题的意义.(重点)2.掌握全称命题与存在性命题真假性的判定.(重点)[基础·初探]教材整理1全称量词与全称命题阅读教材P4~P5“思考与讨论”下面第3自然段,完成下列问题.1.全称量词与全称命题短语“所有”在陈述中表示所述事物的全体,逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“∀”表示.含有全称量词的命题,叫做全称命题.2.全称命题的形式设p(x)是某集合M的所有元素都具有的性质,那么全称命题就是形如“对M中的所有x,p(x)”的命题,用符号简记为∀x∈M,p(x).下列命题:①至少有一个x,使x2+2x+1=0成立;②对任意的x,都有x2+2x+1=0成立;③对任意的x,都有x2+2x+1=0不成立;④存在x,使x2+2x+1=0成立.其中是全称命题的为________.【解析】①中的量词“至少有一个”和④中的量词“存在”都不是全称量词,故这两个命题不是全称命题.②③中的量词“任意的”是全称量词,所以这两个命题是全称命题.【答案】②③教材整理2存在量词与存在性命题阅读教材P5“思考与讨论”下面第3自然段以下部分内容,完成下列问题.1.存在量词与存在性命题短语“有一个”“有些”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“∃”表示,含有存在量词的命题,叫做存在性命题.2.存在性命题的形式设q(x)是某集合M的有些元素x具有的某种性质,那么存在性命题就是形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命题,用符号简记为∃x∈M,q(x).判断下列存在性命题的真假:(1)有一个实数x0,使x20+2x0+3=0;(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线;(3)有些整数只有两个正因数.【解】(1)由于∀x∈R,x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使x2+2x+3=0的实数x不存在.所以存在性命题“有一个实数x0,使x20+2x0+3=0”是假命题.(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的,因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线.所以存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是真命题.[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________疑问2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________疑问3:________________________________________________________解惑:________________________________________________________(1)∀x∈N,2x+1是奇数;(2)存在一个x0∈R,使1x0-1=0;(3)对任意向量a,|a|>0;(4)有一个角α,使sin α>1.【精彩点拨】判断一个语句是全称命题还是存在性命题的思路:【自主解答】(1)因为含有“∀”,所以是全称命题.(2)因为含有“存在”,所以是存在性命题.(3)因为含有全称量词“任意”,所以该命题是全称命题.(4)因为含有存在量词“有一个”,所以该命题是存在性命题.判定一个命题是全称命题还是存在性命题时,主要方法是看命题中是否含有全称量词或存在量词.当然有些全称命题中并不含全称量词,这时要根据命题所涉及的意义去判断.[再练一题]1.给出下列四个命题:①所有梯形的对角线相等;②对任意实数x,均有x+2>x;③存在实数x,使x2+x+1<0;④有些三角形不是等腰三角形.其中为全称命题的序号是________,为存在性命题的序号是________.【答案】①②③④判断下列命题的真假:(1)∀x∈R,x2+1>0;(2)∀x∈{3,5,7},3x+1是偶数;(3)∃x∈Q,x2=3;(4)∃x∈R,x2-x+1=0.【精彩点拨】结合全称命题与存在性命题的含义及相关数学知识进行判断.【自主解答】(1)由于∀x∈R,都有x2≥0,所以有x2+1≥1>0,所以“∀x ∈R,x2+1>0”是真命题.(2)因为对集合{3,5,7}中的每一个值,都有3x+1是偶数,所以“∀x∈{3,5,7},3x+1是偶数”是真命题.(3)由于使x2=3成立的实数只有±3,且它们都不是有理数,因此,没有任何一个有理数的平方能等于3,所以“∃x∈Q,x2=3”是假命题.(4)因为对于x2-x+1=0,Δ<0,所以方程x2-x+1=0无实数根,所以“∃x∈R,x2-x+1=0”是假命题.全称命题与存在性命题真假的判断方法1.要判定一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素x证明p(x)成立;但要判定全称命题是假命题,只要能举出集合M中的一个x0,使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).2.要判定一个存在性命题是真命题,只要在限定集合M中,能找到一个x0使p(x0)成立即可;否则,这个存在性命题就是假命题.[再练一题]2.下列命题中的假命题是()【导学号:15460003】A.∃x∈R,lg x=0B.∃x∈R,tan x=1C.∀x∈R,x3>0 D.∀x∈R,2x>0【解析】选项A,lg x=0⇒x=1;选项B,tan x=1⇒x=π4+kπ(k∈Z);选项C,x3>0⇒x>0;选项D,2x>0⇒x∈R.【答案】 C[探究共研型]探究a 的取值范围.【提示】不等式有解问题是存在性命题,只需Δ≥0即可.因此(2a+1)2-4(a2+2)≥0,即a≥7 4.已知函数f(x)=x2-2x+5,是否存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,并说明理由.【精彩点拨】【解】不等式m+f(x)>0可化为m>-f(x),即m>-x2+2x-5=-(x-1)2-4.要使m>-(x-1)2-4对于任意x∈R恒成立,只需m>-4即可.故存在实数m,使不等式m+f(x)>0对于任意x∈R恒成立,此时,只需m>-4.应用全称命题与存在性命题求参数范围的两类题型1.全称命题的常见题型是“恒成立”问题,全称命题为真时,意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质,所以可以利用集合中相应元素的具体性质求解;也可以根据函数等数学知识来解决.2.存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题,一般要先对结论作出肯定存在的假设,然后从肯定的假设出发,结合已知条件进行推理证明,若推出合理的结论,则存在性随之解决;若导致矛盾,则否定了假设.[再练一题]3.若命题“∀x∈R,有x2-mx-m≥0”是真命题,则实数m的取值范围是________.【导学号:15460004】【解析】“∀x∈R,有x2-mx-m≥0”是真命题,即Δ=m2+4m≤0,∴-4≤m≤0.【答案】[-4,0][构建·体系]1.以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是() A.锐角三角形的内角是锐角或钝角B.至少有一个实数x,使x2≤0C.两个无理数的和必是无理数D.存在一个负数x,使1 x>2【解析】A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题;B中x=0时,x2=0,所以B既是存在性命题又是真命题;C中因为3+(-3)=0,所以C是假命题;D中对于任一个负数x,都有1x<0,所以D是假命题.【答案】 B2.下列命题为存在性命题的是()A.偶函数的图象关于y轴对称B.正四棱柱都是平行六面体C.不相交的两条直线是平行直线D.有很多实数不小于3【解析】A,B,C都是全称命题,D命题可以改为“有一些实数不小于3”,是存在性命题.【答案】 D3.下列命题中是真命题的有________.(填序号)①∀x∈R,x2+2x+1>0;②∃x∈R,|x|≤0;③∀x ∈N *,log 2x >0; ④∃x ∈R ,cos x =π2.【解析】 ①∵当x =-1时,x 2+2x +1=0, ∴命题是假命题.②∵当x =0时,|x |≤0成立, ∴命题是真命题. ③∵当x =1时,log 2x =0, ∴命题是假命题.④∵当x ∈R 时,cos x ∈[-1,1],而π2>1, ∴不存在x ∈R ,使cos x =π2, ∴命题是假命题. 【答案】 ②4.命题p :∃x 0∈R ,x 20+2x 0+5<0是________(填“全称命题”或“存在性命题”),它是_____命题(填“真”或“假”).【解析】 命题p :∃x 0∈R ,x 20+2x 0+5<0是存在性命题.因为x 2+2x +5=(x +1)2+4>0恒成立,所以命题p 为假命题.【答案】 存在性命题 假5.已知命题p :ax 2+2x +1>0,若对∀x ∈R ,p 是真命题,求实数a 的取值范围.【解】 由题意可得,∀x ∈R ,ax 2+2x +1>0恒成立.(1)当a =0时,ax 2+2x +1=2x +1>0,显然不恒成立,不合题意. (2)当a ≠0时,要使ax 2+2x +1>0恒成立,则⎩⎪⎨⎪⎧a >0,4-4a <0,解得a >1. 综上可知,所求实数a 的取值范围是(1,+∞).我还有这些不足:(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________ 我的课下提升方案:(1)________________________________________________________ (2)________________________________________________________学业分层测评(建议用时:45分钟)[学业达标]一、选择题1.下列命题为存在性命题的是( ) A .奇函数的图象关于原点对称 B .棱台只有两个面平行 C .棱锥仅有一个底面D .存在大于等于3的实数x ,使x 2-2x -3≥0【解析】 A ,B ,C 中命题都省略了全称量词“所有”,所以A ,B ,C 都是全称命题;D 中命题含有存在量词“存在”,所以D 是存在性命题,故选D.【答案】 D2.下列命题为真命题的是( ) A .∀x ∈R ,cos x <2 B .∃x ∈Z ,log 2(3x -1)<0C.∀x>0,3x>3D.∃x∈Q,方程2x-2=0有解【解析】A中,由于函数y=cos x的最大值是1,又1<2,所以A是真命题;B中,log2(3x-1)<0⇔0<3x-1<1⇔13<x<23,所以B是假命题;C中,当x=1时,31=3,所以C是假命题;D中,2x-2=0⇔x=2∉Q,所以D是假命题.故选A.【答案】 A3.有以下四个关于三角函数的命题:p1:∃x∈R,sin2x2+cos 2x2=12;p2:∃x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y;p3:∀x∈[0,π],1-cos 2x2=sin x;p4:sin x=cos y⇒x+y=π2.其中的假命题是()【导学号:15460005】A.p1,p4B.p2,p4C.p1,p3D.p2,p3【解析】sin2x2+cos 2x2=1恒成立,p1错;当x=y=0时,sin(x-y)=sin x-sin y,p2对;当x∈[0,π]时,sin x≥0,∴1-cos 2x2=sin2x=sin x,p3对;当x=23π,y=π6时,sin x=cos y成立,但x+y≠π2,p4错.【答案】 A4.有下列四个命题:①∀x∈R,2x2-3x+4>0;②∀x∈{1,-1,0},2x+1>0;③∃x∈N,x2≤x;④∃x∈N,x为29的约数.+其中真命题的个数为()A.1 B.2C.3 D.4【解析】对于①,这是全称命题,由于Δ=(-3)2-4×2×4<0,所以2x2-3x+4>0恒成立,故①为真命题;对于②,这是全称命题,由于当x=-1时,2x+1>0不成立,故②为假命题;对于③,这是存在性命题,当x=0或x=1时,有x2≤x成立,故③为真命题;对于④,这是存在性命题,当x=1时,x为29的约数成立,所以④为真命题.【答案】 C5.下列命题不是“∃x∈R,x2>3”的表述方法的是()A.有一个x∈R,使x2>3B.对有些x∈R,使x2>3C.任选一个x∈R,使x2>3D.至少有一个x∈R,使x2>3【解析】选项C中“任选一个”是全称量词,没有“∃”的含义.【答案】 C二、填空题6.给出下列四个命题:①a⊥b⇔a·b=0;②矩形都不是梯形;③∃x,y∈R,x2+y2≤1;④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于-1.其中全称命题是________.【解析】由全称命题的定义可知①②④为全称命题,而③为存在性命题.【答案】①②④7.已知命题:“∃x0∈[1,2],使x20+2x0+a≥0”为真命题,则实数a的取值范围是______.【解析】当x∈[1,2]时,x2+2x=(x+1)2-1是增函数,所以3≤x2+2x≤8,由题意有a+8≥0,∴a≥-8.【答案】[-8,+∞)8.下列命题:①存在x<0,使|x|>x;②对于一切x<0,都有|x|>x;③已知a n=2n,b n=3n,对于任意n∈N*,都有a n≠b n;④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},对于任意n∈N*,都有A∩B=∅.其中,所有正确命题的序号为________.【导学号:15460006】【解析】命题①②显然为真命题;③由于a n-b n=2n-3n=-n<0,对于∀n∈N*,都有a n<b n,即a n≠b n,故为真命题;④已知A={a|a=2n},B={b|b=3n},如n=1,2,3时,A∩B={6},故为假命题.【答案】①②③三、解答题9.判断下列命题是否为全称命题或存在性命题,若是,用符号表示,并判断其真假.(1)有一个实数α,使sin2α+cos2α≠1;(2)任何一条直线都存在斜率;(3)对于任意的实数a,b,方程ax+b=0恰有唯一解;(4)存在实数x0,使得x0≤0.【解】(1)是一个存在性命题,用符号表示为:∃α∈R,使sin2α+cos2α≠1,假命题.(2)是一个全称命题,用符号表示为:∀直线l ,l 都存在斜率,假命题. (3)是一个全称命题,用符号表示为:∀a ,b ∈R ,方程ax +b =0恰有唯一解,假命题.(4)是一个存在性命题,用符号表示为:∃x 0∈R ,使得x 0≤0,真命题. 10.若x ∈[-2,2],关于x 的不等式x 2+ax +3≥a 恒成立,求a 的取值范围. 【解】 设f (x )=x 2+ax +3-a ,则此问题转化为当x ∈[-2,2]时,f (x )的最小值不小于0即可.①当-a2<-2,即a >4时,f (x )在[-2,2]上单调递增, f (x )的最小值为f (-2)=7-3a ≥0,解得a ≤73. 又因为a >4,所以a 不存在. ②当-2≤-a2≤2,即-4≤a ≤4时,f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-a 2=12-4a -a24≥0,解得-6≤a ≤2.又因为-4≤a ≤4,所以-4≤a ≤2. ③当-a2>2,即a <-4时, f (x )在[-2,2]上单调递减, f (x )的最小值为f (2)=7+a ≥0, 解得a ≥-7.又因为a <-4,所以-7≤a <-4.综上所述,a 的取值范围是{a |-7≤a ≤2}.[能力提升]1.已知a >0,函数f (x )=ax 2+bx +c .若x 0满足关于x 的方程2ax +b =0,则下列命题中为假命题的是( )A .∃x ∈R ,f (x )≤f (x 0)B .∃x ∈R ,f (x )≥f (x 0)C .∀x ∈R ,f (x )≤f (x 0)D .∀x ∈R ,f (x )≥f (x 0)【解析】 由题知,x 0=-b2a 为函数f (x )图象的对称轴方程,所以f (x 0)为函数的最小值,即对所有的实数x ,都有f (x )≥f (x 0),因此∀x ∈R ,f (x )≤f (x 0)是错误的,故选C.【答案】 C2.下列命题中,既是真命题又是存在性命题的是( ) A .存在一个α,使tan(90°-α)=tan α B .存在实数x ,使sin x =π2 C .对一切α,sin(180°-α)=sin α D .sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β【解析】 B 是存在性命题,但为假命题,C 是全称命题,D 为全称命题. 【答案】 A3.已知函数f (x )=x 2+m ,g (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12x,若对任意x 1∈[-1,3],存在x 2∈[0,2],使f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是________.【解析】 因为对任意x 1∈[-1,3],f (x 1)∈[m,9+m ],即f (x )的最小值为m .存在x 2∈[0,2],使f (x 1)≥g (x 2)成立,只要满足g (x )的最小值小于等于m 即可,而g (x )是单调递减函数,故g (x )的最小值为g (2)=⎝ ⎛⎭⎪⎫122=14,得m ≥14.【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫14,+∞4.已知a >12且a ≠1,条件p :函数f (x )=log (2a -1)x 在其定义域上是减函数;条件q :函数g (x )=x +|x -a |-2的定义域为R ,如果p ∨q 为真,试求a 的取值范围.【解】 若p 为真,则0<2a -1<1,得12<a <1. 若q 为真,则x +|x -a |-2≥0对∀x ∈R 恒成立. 记f (x )=x +|x -a |-2, 则f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x -a -2,x ≥a ,a -2,x <a ,所以f (x )的最小值为a -2,即q 为真时,a -2≥0,即a ≥2.于是p ∨q 为真时,得12<a <1或a ≥2,故a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1∪[2,+∞).1.2 基本逻辑联结词 1.2.1 “且”与“或”1.能说出逻辑联结词“且”“或”的意义.(重点) 2.能够判断命题“p 且q ”“p 或q ”的真假.(难点)3.会使用联结词“且”“或”联结并改写成某些数学命题,会判断命题 的真假.(易错点)[基础·初探]教材整理1“且”阅读教材P10,完成下列问题.1.定义一般地,用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来,就得到一个新命题,记作“________”,读作“________”.【答案】p∧q p且q2.真假判断当p,q都是真命题时,p∧q是________;当p,q两个命题中有一个命题是假命题时,p∧q是________.【答案】真命题假命题判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若p∧q为真,则p,q中有一个为真即可.()(2)若命题p为假,则p∧q一定为假.()(3)逻辑联结词“且”只能出现在命题的结论中.()【答案】(1)×(2)√(3)×教材整理2“或”阅读教材P11倒数第1自然段~P12部分内容,完成下列问题.1.定义一般地,用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来,就得到一个新命题,记作________.读作“__________________”.【答案】p∨q p或q2.真假判断当p,q两个命题有一个命题是真命题时,p∨q是________________;当p,q两个命题都是假命题时,p∨q是________________________.【答案】真命题假命题判断(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若“p∨q为假命题”,则“p为假命题”.()(2)梯形的对角线相等且互相平分是“p∨q”形式的命题.()(3)若命题p为真,则命题“p∨q”为真命题.()【答案】(1)√(2)×(3)√[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________疑问2:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________疑问3:________________________________________________________ 解惑:________________________________________________________[小组合作型](1)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形;(2)±1是方程x3+x2-x-1=0的根.【自主解答】(1)这个命题是“p且q”形式的命题,其中p:有两个内角是45°的三角形是等腰三角形,q:有两个内角是45°的三角形是直角三角形.(2)这个命题是“p或q”形式的命题,其中p:1是方程x3+x2-x-1=0的根,q:-1是方程x3+x2-x-1=0的根.。