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圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）（1）（2）（3）A．28°B．31°C．38°D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°3．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）（4）（5）（6）（7）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．2B．4C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25°D．20°12．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（）A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）（13）（14）（15）A．75°B．60°C．45°D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（）A．23°B．57°C．67°D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37°B．47°C．45°D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°20.在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°二．填空题21．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．（21）（22）（23）22．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．23．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．24．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是°．25．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为．26．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为．（25）（26）（27）28．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．（28）（29）（30）30．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为cm．三．解答题31．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．32、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．33.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．35．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．36．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．37．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析AC、AF、AB的关系，并说明理由．39.如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，（1）判断△DBC的形状，并说明理由．（2）若∠BAC=60°，判断AD、AB、AC有怎样的关系？并说明理由．40．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？一．选择题（共20小题）1．D；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．C；13．C；14．B；15．B；16．A；17．C；18．D；19．A；20．D；二．填空题（共10小题）21．；22．80°；23．70°；24．60°；25．5；26．40°；27．60；28．65°；29．；30．4；三解答题28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD11。

圆周角习题精选

圆周角习题精选

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圆周角 习题精选一、选择题1．如图,⊙O 的两弦AD ，BC 相交于点E ，连接AC ，BD ，AO,BO 。

若∠ACB=60°，则下列结论正确的是（）A ．∠AOB=60°B ．∠ADB=60°C ．∠AEB=60°D ．∠AEB=30°2．如图⊙O 中弦AB 所对的圆心为40°，那么弦所对的圆周角为（） A ．20° B ．80°C ．20°或160°D ．80°或100°3．在△ABC 中，AC=24,BC=10，AB=26，则圆的半径是（） A ．26 B ．13 C ．8 D ．44．如图,A,B,C,D 是⊙O 上四个点，AB ，DC 的延长线交于E 点，,分别为100°，30°，则∠E 的度数为（)A ．70°B ．35°C ．60°D ．30°A DB C5.如图，A,B ，C,D 是⊙O 上四个点,AB ，DC 的延长线交于E 点，，分别为100°,30°,则∠E 的度数为(）A.70°B.35° C 。

60° D.30°6．如图，在⊙O 中，弦AD=CD ，则图中相等的圆周角的对数是（) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题1．如图，A ，B ，C 为⊙O 上三点，如果∠OAB=46°，则∠ACB=____________．A D BC2．如图，⊙O 上B,D 两点位于弦AC 的两侧，。

圆周角习题精选

圆周角习题精选

圆周角习题精选阶段测试一、选择题1．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．[ ] A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．2．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有___________．[ ]A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．3．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥C D．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．[ ]A．16°；B．32°；C．48°；D．64°．二、计算题4．如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠AB C．求AC的长．5．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，∠BCD=75°（如图）．求∠ABD、∠DBC的度数．6．如图，圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E，EC=8cm．求BE的长．7．如图，等腰三角形ABC的顶角为50°，AB=AC，以AB为直径的圆交AC、BD与点E、D，连接DE，1、求角EDC的度数2、证明：BD=BC8．如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．9．如图，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．10．已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径．22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．24．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，的度数为60°，∠B=105°，⊙O的半径为6cm．求BC的长．25．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD⊥AB于E．求CD的长．26．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦．求∠ACE的度数．27．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求的度数．28．如图，△ABC内接于圆O，AD为BC边上的高．若AB=4cm，AC=3cm，AD=2．5cm，求⊙O的半径．29．设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长．30．如图，在⊙O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm．求BK∶AK的值．31．如图，⊙O 的半径为40cm ，CD 是弦，A 为的中点，弦AB 交CD 于F ．若AF =20cm ，BF =40cm ，求O 点到弦CD 的弦心距．32．如图，四边形ABCD 内接于以AD 为直径的圆O ，且AD =4cm ，AB =CB =1cm ，求CD 的长．三、证明题33．如图，已知△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，A 为锐角． 求证：ABCsin =2R34．已知：如图，在△ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交△ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE =DE ．35．如图，已知D为等边三角形ABC外接圆上的上的一点，AD交BC边于E．求证：AB为AD和AE的比例中项．36．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D．求证：D为BC 的中点．37．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交⊙O于E．求证：AE平分∠OA D．38．已知：如图，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E 两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．求证：DF2=HF·GF．39．已知：如图，圆内接四边形ABCD中，BC=C D．求证：AB·AD+BC2=AC2．40．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F，DB交AC于G．求证：AF=FG．41．如图，AB是⊙O的弦，P是AB所对优弧上一点，直径CD⊥AB，PB交CD于E，延长AP交CD的延长线于F．求证：△EPF∽△EO A．42．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交DC于F．求证：∠AMD=∠FM C．43．已知：如图，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AE D．44．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．45．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．46．已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O 于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．47．已知：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．48．已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．径AC与⊙O2交于点（1）求证：AC⊥BE；（2）求AB的长．49．如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD是⊙O的直径，且D 点在AB上．参考答案一、选择题1．D 2．D 3．D 4．D二、计算题DE⊥直线OB于E，∠DOE=30°，应用勾股定理求出BD的长．8．9 cm或4 cm．提示：连接AC，B C．由AB为直径可知∠ACB=90°．又CD⊥AB 于D，所以CD2=AD·BD，即CD2=AD·（AB－AD）．又AB=13，CD=6，所以36=AD （13－AD），AD2－13AD+36=0，解出AD=9（cm）或AD=4（cm）．11．50°．提示：延长DF，DG分别交⊙O于C'，E'，因为∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB，所以∠CFA=∠C'FA，∠EGB=∠E'G B．因为AB为⊙O的直径，所以根据轴对称图形的性质可知为100°，就有∠FDG=50°．又因为∠DAB=∠ABC=90°．所以AC和BD为⊙O的直径．所以△APC与△BPD为直角三角形．所以PA2+ PC2= AC2，PB2+PD2=BD2，就有PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4．知BC//A D．所以AC=B D．又AD为直径，所以∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2R，AB=a，所以15．提示：根据圆周角度量定理有：（∠A+∠B）的度数=m°，（∠B+∠C）的度数=n°，（∠C+∠A）的度数=p°．由前面三个等式得：16．75°．提示：由BC，DF分别为⊙O的直径，可得∠A=∠DEF=90°．又AB=AC，所以∠ABC=45°．在Rt△DEF中，由EF=是240°，∠DBE=120°．所以∠ABD+∠CBE=120°－45°=75°．17．50°，50°，80°．提示：连接AD，则AD平分∠A．于D，则AD=CD，∠AOD=DO C．由∠B=60°可得∠OAD=30°．所解法二过A作直径AD，连接CD，则∠ACD=90°，∠ADC=∠ABC=60°；又知AC=3，这就容易求出A D．=90°，所以BE2=AB2－AE2=82－22=60．又因为BF∶FC=5∶1，故设BF=5x，FC=x，则BC=6x．因为EF⊥BC，所以BE2=BF·BC，解法二连接BE，则BE⊥AC，所以BE2=82－22=60．在直角三角形BCE中ABC外接圆于E，连接CE，则AD⊥BC，BD=CD=5．由垂径定理知：AE为△ABC外接圆的直径，所以∠ACE=90°．在Rt△ADC中，AD=23．0.8 cm．提示：只需证明△ABE∽△BDE．CE．26．60°．提示：连接OC，B C．只需证明△OCB为等边三角形，则∠ABC=60°，而∠ACB=90°，所以∠CAB=30°，即可求出∠ACE=60°．27．76°．提示：延长BC交⊙C于E，连接DE，只需证明∠28．2.4 cm．提示：连接AO并延长交⊙O于E，则AE为⊙O4.8．所以⊙O的半径为2.4（cm）．30．7∶1．提示：连接H D．只需证明△CKO∽△CDH．所以31．25 cm．提示：连接AO并延长交⊙O于E，则AE为⊙OCD，OM就是CD的弦心距．只需证明△AMF∽△ABE，由此得32．3.5cm．提示：解法一连接OB交弦AC于G．连接B D．只需证明△ABG∽△DA B．由此求出AG，进而求出OG，而CD=2OG．解法二设AB的延长线与DC的延长线相交于点E，在△BCE和△OAB中，∠BCE=∠OAB，∠EBC=∠D=2∠ADB=∠BO A．所以△BCE∽△OAB，从而BC∶CE=OA∶A B．所以CE=三、证明题33．提示：作直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，且∠A=∠D．在34．提示：只需证明∠BDE=∠DBE．证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推论．35．提示：连接B D．只需证明△ABE∽△AD B．36．提示：连接A D．37．提示：证法一延长AO交⊙O于M，延长AD交⊙O于N．连证法二过A作直径AM，连接MB，则∠AMB=∠ACB，又∠ABM=∠ADC=直角，所以∠BAM=∠DAC，从而AE平分∠OA D．·GF=BF·AF．再根据射影定理得DF2=AF·FB，所以DF2=HF·GF．39．提示：连接BD交AC于E．只需证明△BEC∽△ABC∽△AC·AE=AC（AC－EC）=AC2－AC·E C．40．提示：连接A D．由AB为直径得∠ADB=90°．再由DE⊥∠ADE，∴AF=DF．这就容易证出AF=FG．41．提示：∠AEO=（∠BEO）=∠FEP，∠OAE=（∠AOC－∠AEO=∠APB－∠FEP）=∠F．42．提示：连接M B．因为AB是⊙O的直径，所以∠AMB=∠从而∠AMD=∠FM C．43．提示：连接B C．因为AB为⊙O直径，所以∠ACB=90°．因为CD⊥AB于D，所以AC2=AD·A B．又因为AE=AC，所以△ADE，就有∠AED=∠ABE=∠ACF．44．提示：连接AD，AE，应用三角形外角定理，先证明∠AFG=AF·AG=DF·GE，就有AF2=AG2=DF·GE．45．提示：先证明△ABC≌△AED，连接BF，则∠G=∠ADF－∠GAB=∠ACB－∠GFB=∠AFG，所以AF=AG．46．提示：设⊙O的半径长为1．连接M D．显然△CAE∽△OF．47．（1）提示：在△ADE中，∠ADE=60°，∠DEA=∠DCA=60°．所以△ADE是一个等边三角形．48．（1）提示：连接BD，B C．因为⊙O1与⊙O2是等圆，又因为E为DC中点，所以BE⊥A C．所以AD=6，DC=4，所以DE=2，AE=8．因为AC为⊙O1直径，所以∠ABC=90°，又因为BE⊥AC，所以AB2=AE·AC=80，得出AB=49．（1）提示：连接E D．因为AD为直径，所以∠AED=90°．又ACB=90°，CD⊥AB，所以AC2=AD·AB，BC2=AB·BD，由此（2）2∶1．提示：AE∶CE=AD2∶CD2=2∶1．。

圆周角练习题

圆周角练习题

圆周角练习一、填空题:1.如图1,等边三角形ABC的三个顶点都在⊙O上,D是AC上任一点(不与A、C重合),则∠ADC的度数是________.DCBAO(1) (2) (3)2.如图2,四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上,且AD∥BC,对角线AC与BC相交于点E,那么图中有_________对全等三角形，分别是_____________.3.已知,如图3,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.4.如图4,A、B、C为⊙O上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______度.BAA(4) (5) (6)5.如图5,AB是⊙O的直径, BC BD,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.6.如图6,AB是半圆O的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.二、选择题:7.如图7,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的度数是( )A.50°B.100°C.130°D.200°D DCBA(7) (8) (9) (10)8.如图8,A 、B 、C 、D 四个点在同一个圆上,四边形ABCD 的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( ) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对9.如图9,D 是AC 的中点,则图中与∠ABD 相等的角的个数是( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10.如图10,∠AOB=100°,则∠A+∠B 等于( ) A.100° B.80° C.50° D.40°11.在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A.30°B.30°或150°C.60°D.60°或120°12.如图,A 、B 、C 三点都在⊙O 上,点D 是AB 延长线上一点,∠AOC=140°, ∠CBD 的度数是( ) A.40° B.50° C.70° D.110°三、解答题:13.如图,⊙O 的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC 的长.BA14.如图,A 、B 、C 、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且AD=6cm,若∠ABC= ∠CAD,求弦AC 的长.15.如图,在⊙O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD.(1)P是CAD上一点(不与C、D重合),试判断∠CPD与∠COB的大小关系, 并说明理由.(2)点P′在劣弧CD上(不与C、D重合时),∠CP′D与∠COB有什么数量关系?请证明你的结论.16.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅)速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么? (不考虑其他因素要用直径多大的圆钢?。

完整版)圆心角圆周角练习题

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完整版)圆心角圆周角练习题知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1.定义圆心角为顶点在圆心的角。

2.在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等，圆心角所对的弧相等（无论是优弧还是劣弧），圆心角所对的弦相等。

3.一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在圆上；（2）角的两边都与圆有除顶点外的交点。

4.同一条弧所对的圆周角有两个。

5.圆周角定理：圆周角等于圆心角的一半。

6.圆周角定理的推论：（1）同弦或等弦所对的圆周角相等；（2）半圆或直径所对的圆周角相等；（3）90°的圆周角所对的弦是直径。

需要注意的是，“同弦或等弦”改为“同弧或等弧”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。

7.圆内接四边形定义为所有顶点都在圆上的多边形，圆心即为这个圆内接四边形的交点。

圆内接四边形的对角线相互垂直，且交点为对角线的中点。

夯实基础1.如果两个圆心角相等，则它们所对的弧相等，选项B正确。

2.不正确的语句为③，因为圆不一定是轴对称图形，只有圆上的任何一条直径所在直线才是它的对称轴。

3.错误的说法是D，相等圆心角所对的弦不一定相等。

4.根据圆心角的性质，∠A=2∠B，所以∠A=140°。

5.∠BAC与∠BCD互补，∠BCD与∠CBD相等，所以与∠BAC相等的角有2个，即∠CBD和∠ABD。

6.因为∠CAB为30°，所以∠ABC为60°，由正弦定理可得BC=5√3.7.根据圆周角定理，∠ACB=40°。

8.设∠A=3x，∠B=4x，∠C=6x，则∠D=360°-3x-4x-6x=120°。

9.∠DCE=∠A。

1、如图，AB是⊙O的直径，C，D是BE上的三等分点，∠AOE=60°，求证∠COE=80°。

证明：由三等分点的性质可知，BC=CD=DE，又∠AOE=60°，所以∠AOC=120°。

圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦，且AB⊥CD．若∠CDB=62°，则∠ACD的大小为（）（1）（2）（3）A．28°B．31°C．38°D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°3．如图，AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40°B．50°C．60°D．80°4．如图，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°，则∠BAD的度数是（）（4）（5）（6）（7）A．30°B．40°C．50°D．60°5．如图，已知圆心角∠BOC=100°，则圆周角∠BAC的大小是（）A．50°B．55°C．60°D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点，∠APB=45°，则弦AB的长为（）A．2B．4C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点，∠ACB=20°，则∠OAB的度数为（）A．80°B．75°C．70°D．65°8．如图，在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为（）A．25°B．50°C．65°D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中，劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°，点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60°B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆周角的度数是（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25°D．20°12．已知△ABC中，AB=AC，∠A=50°，⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是（）A．50°B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（）（13）（14）（15）A．75°B．60°C．45°D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°15．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A．25°B．30°C．40°D．50°16．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（）A．23°B．57°C．67°D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37°B．47°C．45°D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°，则∠BCD的度数为（）A．25°B．45°C．55°D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（）A．20°B．30°C．40°D．70°20.在⊙O中，点A、B在⊙O上，且∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是（）A．42°B．84°C．42°或138°D．84°或96°二．填空题21．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=．（21）（22）（23）22．如图，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=．23．如图，⊙O的直径CD经过弦EF的中点G，∠DCF=20°，则∠EOD等于．24．如图，在⊙O中，∠CBO=45°，∠CAO=15°，则∠AOB的度数是°．25．如图，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠B=20°，则∠ADC的度数为．26．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为．27．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为．（25）（26）（27）28．如图，在⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上两点，若∠C=25°，则∠ABD=．29．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=60°，弦AD平分∠BAC，若AD=6，那么AC=．（28）（29）（30）30．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于D，若AC：BC=4：3，AB=10cm，则OD的长为cm．三．解答题31．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．32、如图，△ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G，连接BG．求证：HD=GD．33.已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E．∠BAC=40°（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．34．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．35．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；．36．如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC 于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．37．如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．8．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线与AB交于F．试分析AC、AF、AB的关系，并说明理由．39.如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，（1）判断△DBC的形状，并说明理由．（2）若∠BAC=60°，判断AD、AB、AC有怎样的关系？并说明理由．40．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？一．选择题（共20小题）1．D；2．C；3．A；4．C；5．A；6．D；7．A；8．B；9．C；10．A；11．D；12．C；13．C；14．B；15．B；16．A；17．C；18．D；19．A；20．D；二．填空题（共10小题）21．；22．80°；23．70°；24．60°；25．5；26．40°；27．60；28．65°；29．；30．4；三解答题28．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，AC=6cm，BC=8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求AB和BD的长．【解答】解：如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠ADB=90°．∴AB===10（cm）．∵AC=6cm，BC=8cm，∵CD是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠BCD，则=，∴AD=BD，∴BD=AB=5cm．综上所述，AB和BD的长分别是10cm，5cm．29．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=30°，BC=3cm．求⊙O的半径．【解答】解：作直径CD，连结BD，如图，∵CD为直径，∴∠CBD=90°，∵∠D=∠A=30°，∴CD=2BC=2×3=6，∴⊙O的半径为3cm．30．如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点C作CD⊥AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E，连接BC交AF于点G．（1）求证：AE=CE；（2）已知AG=10，ED：AD=3：4，求AC的长．【解答】（1）证明：∵点C是弧AF的中点，∴∠B=∠CAE，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，即∠ACE+∠BCD=90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠B=∠CAE=∠ACE，∴AE=CE …（6分）（2）解：∵∠ACB=90°，∴∠CAE+∠CGA=90°，又∵∠ACE+∠BCD=90°，∴∠CGA=∠BCD，∵AG=10，∴CE=EG=AE=5，∵ED：AD=3：4，∴AD=4，DE=3，∴AC=…（10分）．31．（2015秋•扬中市期中）如图，△ABC中，AB＞AC，∠BAC的平分线交外接圆于D，DE⊥AB于E，DM⊥AC于M．（1）求证：BE=CM．（2）求证：AB﹣AC=2BE．【解答】证明：（1）连接BD，DC，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴弧BD=弧CD，∴BD=CD，∵∠BAD=∠CAD，DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEB=90°，DE=DM，在Rt△DEB和Rt△DMC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DMC（HL），∴BE=CM．（2）∵DE⊥AB，DM⊥AC，∵∠M=∠DEA=90°，在Rt△DEA和Rt△DMA中∴Rt△DEA≌Rt△DMA（HL），∴AE=AM，∴AB﹣AC，=AE+BE﹣AC，=AM+BE﹣AC，=AC+CM+BE﹣AC，=BE+CM，=2BE．34．（2009秋•哈尔滨校级期中）如图，△ABC的三个顶点都在⊙O上，CD是高，D是垂足，CE是直径，求证：∠ACD=∠BCE．【解答】解：连接AE，∵CE为直径，∴∠EAC=90°，∴∠ACE=90°﹣∠AEC，∵CD是高，D是垂足，∴∠BCD=90°﹣∠B，∵∠B=∠AEC（同弧所对的圆周角相等），∴∠ACE=∠BCD，∴∠ACE+∠ECD=∠BCD+∠ECD，∴∠ACD=∠BCE．39．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F．试分析∠ACF与∠ABC是否相等，并说明理由．【解答】解：延长CE交⊙O于M，∵AD是⊙O的直径，作CE⊥AD，∴弧AC=弧AM，∴∠ACF=∠ABC（在同圆中，等弧所对的圆周角相等）．40．如图，△ABC内接于⊙O，AD为△ABC的外角平分线，交⊙O于点D，连接BD，CD，判断△DBC的形状，并说明理由．【解答】解：△DBC为等腰三角形．理由如下：∵AD为△ABC的外角平分线，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAD=∠DCB，∠DBC=∠DAC，∴∠DBC=∠DCB，∴△DBC为等腰三角形．1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，G是上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F，∠FGC与∠AGD的大小有什么关系？为什么？【解答】解：∠FGC与∠AGD相等．理由如下：连接AD，如图，∵CD⊥AB，∴=，∴∠AGD=∠ADC，∵∠FGC=∠ADC，∴∠FGC=∠AGD11。

专题训练：28_3 圆周角(基础篇)

专题训练：28_3 圆周角(基础篇)

28.3 圆周角（基础篇）一、单选题1．如图，在⊙O 中，⊙BOC ＝130°，点A 在BAC 上，则⊙BAC 的度数为（ ）A ．55°B ．65°C ．75°D ．130° 2．如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是⊙O 上的两点，若⊙CAB ＝65°，则⊙ADC 的度数为（）A ．25°B ．35°C ．45°D ．65° 3．如图，图中共有圆周角（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个 4．下列图形中的角是圆周角的是（ ）A ．B ．C ．D ． 5．如图，四边形ABCD 内接于O ，连接OB ，OD ，BD ，若110C ∠=︒，则OBD ∠=（ ）A ．15︒B ．20︒C ．25︒D ．306．如图，AB 是⊙O 的直径，ACD CAB ∠=∠，2AD =，4AC =，则⊙O 的半径为（A ．B ．C ．D 7．如图，在⊙O 中，AB BC =，40AOB ∠=︒，则BDC ∠的度数是（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．40︒8．如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 是圆周上的两点，若38ABC ∠=︒，则锐角⊙BDC 的度数为（ ）A ．57°B ．52°C ．38°D ．26°9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为⊙O 的直径，20ABD ∠=，则BCD ∠的度数是（ ）A ．90°B ．100°C ．110°D ．120° 10．如图，直径为10的A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧A 优弧上一点，30OBC ∠=︒，则点C 的坐标为（ ）A ．()0,10B ．()0,5C ．(D ．( 11．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，⊙CAB ＝55°，则⊙D 的度数是（ ）A ．55°B ．45°C ．35°D ．25°12．如图，直径为10的⊙A 经过点C 和点O ，点B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，30OBC ∠=︒，则点C 的坐标为（ ）A ．(0,10)B ．(0,5)C ．(D ．( 二、填空题 13．如图，⊙O 是⊙ABC 的外接圆，连接OA ，OB ，⊙OBA =68°，则⊙C 的度数为_____．14．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，顺次连接A ，B ，C ，O ．若四边形ABCO 为平行四边形，则AOC ∠=_______________．15．如图，AB 是O 的直径，弦CD 交AB 于点E ，连接AC ，AD ．若28BAC ∠=︒，则D ∠=______°16．如图，ABC 内接于O ，AD 是O 的直径，35ABC ∠=︒，则CAD ∠=______．17．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，边长BC P 为弧AD 上一点且AP =1，则PC =________________．18．如图，ABC 内接于O ，AB BC =，AD 是O 的直径．若60DAB ∠=︒，则DBC ∠=______°．19．如图，四边形ABCD 内接于O ，90B ∠=︒，5AD =，4CD =，则OCD S 的值为________．20．元元同学在数学课上遇到这样一个问题：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，⊙A 经过坐标原点O ，并与两坐标轴分别交于B 、C 两点，点B 的坐标为(2，0)，点D 在⊙A 上，且⊙ODB ＝30°，求⊙A 的半径．元元的做法如下，请你帮忙补全解题过程．解：如图2，连接BC ．⊙⊙BOC ＝90°，⊙BC 是⊙A 的直径（依据是_____）．⊙⊙ODB ＝30°，⊙⊙OCB ＝⊙ODB ＝30°（依据是_____）． ⊙12OB BC =． ⊙OB ＝2，⊙BC ＝4．即⊙A 的半径为2．三、解答题21．已知：如图，在ABC 中，AB AC =，以腰AB 为直径作半圆O ，分别交,BC AC 于点D ，E ．(1)求证：BD DC =．(2)若40BAC ∠=︒，求圆弧,,BD DE AE 所对的圆心角的度数．22．如图，⊙O 的直径CD 分别与弦AB 、AF 交于点E 、H ，连接CF 、AD 、AO ，已知CF =CH 、FB BD =．(1)求证：AB ⊙CD ；(2)若AE =4、OH =1，求AO 的长；23．如图，AB为O的直径，点C在O上．(1)尺规作图：作BAC的平分线，与O交于点D；连接OD，交BC于点E（不写作法，保留作图痕迹）；(2)探究OE与AC的位置和数量关系，并证明你的结论．参考答案1．B【分析】利用圆周角直接可得答案．解：⊙BOC＝130°，点A在BAC上，1BAC BOC65,2故选B【点拨】本题考查的是圆周角定理的应用，掌握“同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键．2．A【分析】首先利用直径所对的圆周角是直角确定⊙ACB=90°，然后根据⊙CAB=65°求得⊙ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等确定答案即可．解：⊙AB是直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙CAB=65°，⊙⊙ABC=90°-⊙CAB=25°，⊙⊙ADC=⊙ABC=25°，故选：A．【点拨】本题考查了圆周角定理的知识，解题的关键是了解直径所对的圆周角为直角，难度不大．3．C【分析】根据圆周角的定义判断即可.解：图中的圆周角有：⊙FAE，⊙AEF，⊙AFE，⊙AED，⊙FED共5个故选C【点拨】本题考查的是找圆周角，熟练掌握圆周角的定义是关键.4．A【分析】根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可．解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角．故选：A．【点拨】本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题．【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，根据圆周角定理可得BOD ∠，再根据OB OD =计算即可．解：⊙四边形ABCD 内接于O ，⊙18070A BCD ∠︒-∠︒== ，由圆周角定理得，2140BOD A ∠=∠=︒ ，⊙OB OD = ⊙180202BOD OBD ODB ︒-∠∠=∠==︒ 故选：B ．【点拨】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．D【分析】连接CO 并延长CO 交⊙于点E ，连接AE ，根据OA =OC ，可得⊙ACD =⊙ACE ，从而得到AE =AD =2，然后根据勾股定理，即可求解．解：如图，连接CO 并延长CO 交⊙于点E ，连接AE ，⊙OA =OC ，⊙⊙ACE =⊙CAB ，⊙ACD CAB ∠=∠，⊙⊙ACD =⊙ACE ，⊙AD AE =，⊙AE =AD =2，⊙CE 是直径，⊙⊙CAE =90°，⊙CE⊙⊙O故选：D ．【点拨】本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，勾股定理是解题的7．B【分析】利用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得BDC ∠的度数．解：AB BC =，40AOB ∠=︒，1202BDC AOB ∴∠=∠=︒． 故选：B ．【点拨】此题考查了圆周角定理,注意数形结合思想的应用，注意在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆周角的一半这个定理的应用．8．B【分析】由AB 是圆O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得⊙ACB =90°，又由⊙ABC =38°，即可求得⊙A 的度数，然后根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙BDC 的度数．解：连接AC ，AB 为⊙O 的直径，90ACB ∴∠=︒，38ABC ∠=︒，52BAC ∴∠=︒，52BDC BAC ∴∠=∠=︒，故选：B ．【点拨】本题考查了圆周角定，难度不大，注意掌握直径所对的圆周角是直角与在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等定理的应用是解题的关键．9．C【分析】因为AB 为⊙O 的直径，可得90ADB ∠=，70DAB ∠=，根据圆内接四边形的对角互补可得BCD ∠的度数，即可选出答案．解：⊙AB 为⊙O 的直径，⊙90∠=，ADB又⊙20ABD∠=，⊙90902070∠==，DAB ABD∠=--又⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙180∠+∠=，BCD DAB⊙0110--=，1801870∠=∠=BCD DAB故答案选：C．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握半圆（或直径）所对圆周角是直角，是解答本题的关键．10．B【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由⊙COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙ODC的度数，继而求得点C的坐标．解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，⊙⊙COD＝90°，⊙CD是⊙A的直径，即CD＝10，⊙⊙OBC＝30°，⊙⊙ODC＝30°，⊙OC＝1CD＝5，2⊙点C的坐标为：（0，5）．故选：B．【点拨】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．11．C【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出⊙ACB=90°，再结合图形由直角三角形的性质得到⊙B=90°-⊙CAB=35°，进而根据同弧所对的圆周角相等推出⊙D=⊙B=35°．解：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙⊙CAB=55°，⊙⊙B=90°-⊙CAB=35°，⊙⊙D=⊙B=35°．故选：C．【点拨】本题考查圆周角定理，解题的关键是结合图形根据圆周角定理推出⊙ACB=90°及⊙D=⊙B，注意运用数形结合的思想方法．12．B【分析】首先设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，由⊙COD＝90°，根据90°的圆周角所对的弦是直径，即可得CD是⊙A的直径，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得⊙ODC的度数，继而求得点C的坐标．解：设⊙A与x轴另一个的交点为点D，连接CD，⊙⊙COD＝90°，⊙CD是⊙A的直径，即CD＝10，⊙⊙OBC＝30°，⊙⊙ODC＝30°，CD＝5，⊙OC＝12⊙点C的坐标为：（0，5）．故选：B．【点拨】此题考查了圆周角定理与含30°角的直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．13．22°【分析】根据OA=OB，可得⊙OAB=⊙OBA=68°，从而得到⊙AOB=44°，再由圆周角定理，即可求解．解：⊙OA=OB，⊙OBA=68°，⊙⊙OAB=⊙OBA=68°，⊙⊙AOB =44°， ⊙1222C AOB ∠=∠=︒． 故答案为：22°【点拨】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题的关键．14．120°【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得到⊙3和⊙1的关系，再结合平行四边形的性质和周角360°即可求出．解：如图，由题有平行四边形ABCO⊙⊙1=⊙2⊙AC AC =⊙2⊙1=⊙3=2⊙2⊙⊙3+⊙2=360°⊙⊙2+2⊙2=360°⊙⊙2=120°故答案为：120°【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．15．62【分析】连接BD ，根据直径所对的圆周角是90°，可得90ADB ∠=︒，由CB CB =，可得BAC BDC ∠=∠，进而可得90ADC BDC ∠=︒-∠．解：连接BD ，⊙AB 是O 的直径，⊙90ADB ∠=︒，CB CB =，∴28BAC BDC ∠==∠︒，∴90ADC BDC ∠=︒-∠62=︒故答案为：62【点拨】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键．16．55°【分析】根据圆周角定理，得⊙ADC ＝⊙ABC ＝35°，再根据AD 是⊙O 的直径，则⊙ACD ＝90°，由三角形的内角和定理即可求得⊙CAD 的度数．解：⊙⊙ABC ＝35°，⊙⊙ADC ＝35°，⊙AD 是⊙O 的直径，⊙⊙ACD ＝90°，⊙⊙CAD ＝90°﹣35°＝55°．故答案为：55°．【点拨】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于90°，以及三角形的内角和定理等知识，解题的关键是：根据圆周角定理，求得⊙ADC ＝⊙ABC ＝35°．17．3【分析】连接AC ，易得AC 为直径，在Rt ABC 中利用勾股定理算出AC ，再在Rt ACP 中利用勾股定理算出PC ．解：连接AC ，四边形ABCD 是正方形， ∴AB AC ==90ABC ∠=︒，∴AC 是直径．∴90APC ∠=︒．在Rt ABC 中，AC ==在Rt APC 中，3PC ．故答案为：3．【点拨】本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运用“直径所对的圆周角是直角”．18．30【分析】根据圆周角定理得到90ABD ∠=︒，求得30C D ∠=∠=︒，根据等腰三角形的性质得到30BAC C ∠=∠=︒，可得到DAC DAB BAC ∠=∠-∠，再利用圆周角定理可得到结论． 解：⊙AD 是O 的直径，⊙90ABD ∠=︒，⊙60DAB ∠=︒，⊙906030C D ∠=∠=︒-︒=︒，⊙AB BC =，⊙30BAC C ∠=∠=︒，⊙603030DAC DAB BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，⊙30DBC DAC ∠=∠=︒．故答案为：30．【点拨】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余等知识，注意数形结合思想的应用．灵活运用圆周角定理是解答本题的关键．19．5【分析】如图，连接,OA 证明AC 为直径，则,,A O C 三点共线，再证明90,ADC ∠=︒结合,OA OC =从而可得答案.解：如图，连接,OA90B ∠=︒AC ∴为直径，则,,A O C 三点共线，90,ADC ∴∠=︒5AD =，4CD =，14510,2ADC S ∴=⨯⨯= ,OA OC = 1 5.2DOC ADC S S ∴==故答案为：5【点拨】本题考查的是90︒的圆周角所对的弦是直径，直径所对的圆周角是直角，熟悉以上两个性质是解题的关键.20． 90°的圆周角所对的弦是直径 同弧或等弧所对的圆周角相等【分析】先利用圆周角定理判断BC 是⊙A 的直径，⊙OCB ＝⊙ODB ＝30°，然后根据含30度的直角三角形三边的关系求出BC 即可．解：如图2，连接BC ，⊙⊙BOC ＝90°，⊙BC 是⊙A 的直径．（90°的圆周角所对的弦是直径），⊙⊙ODB ＝30°，⊙⊙OCB ＝⊙ODB ＝30°（同弧或等弧所对的圆周角相等），⊙12OB BC =． ⊙OB ＝2，⊙BC ＝4．即⊙A 的半径为2．故答案为：90°的圆周角所对的弦是直径；同弧或等弧所对的圆周角相等．【点拨】本题考查圆周角性质，30°角直角三角形性质，推理的依据，掌握基础知识，基本定理是解题关键．21．(1)证明见解析(2)分别为40°、40°、100°【分析】（1）连接BE ，AD ，利用AB 是圆的直径，再根据等腰三角形三线合一的性质证明即可； （2）根据AB 是圆的直径可知90ADB AEB ∠=∠=︒，从而求出1202BAD DAC BAC ∠∠==∠=︒，再根据圆周角定理求解即可； (1)解：连接BE AD 、，⊙AB 是圆的直径，⊙90ADB ∠=︒，⊙AD 是ABC 的高，⊙AB AC =，⊙BD CD =．(2)解：⊙AB 是圆的直径，⊙90ADB AEB ∠=∠=︒，⊙90ADB AEB ∠=∠=︒，⊙,90,40AB AC ADB BAC =∠=︒∠=︒， ⊙1202BAD DAC BAC ∠∠==∠=︒， ⊙由圆周角定理得：BD 所对的圆心角的度数是240DAB ∠=︒，DE 所对的圆心角的度数是240DAE ∠=︒，AE 所对的圆心角的度数是(22900)4010ABE ∠=⨯︒-︒=︒【点拨】本题主要考查了圆的相关知识，掌握直径所对的圆周角是90︒ 、圆周角定理，等腰三角形的性质等知识是解题的关键．22．(1)证明见解析(2)133【分析】（1）先证明AH =AD ，再证明⊙HAE =⊙DAE 即可得到结论；（2）证明HE =DE ，设OE =x ，得HE =DE =x +1，OD =AO =2x +1，再由勾股定理列方程求解即可．解：(1)⊙CF =CH ，⊙⊙F =⊙CHF ．⊙⊙F =⊙D ，⊙CHF =⊙AHD ，⊙⊙D =⊙AHD ，⊙AH =AD ．⊙FB =BD ，⊙⊙HAE =⊙DAE ．⊙AE ⊙HD ，即AB ⊙CD ．(2)⊙AH =AD ，⊙HAE =⊙DAE ，⊙HE =DE ．设OE =x ．⊙OH =1，⊙HE =x +1=DE ，⊙OD =2x +1=AO ．在Rt ⊙OAE 中，⊙OE 2+AE 2=AO 2，AE ＝4，⊙x 2+42=(2x +1)2，解得x 1=-3（舍去），x 2=53． ⊙AO =2×53+1=133， 即AO 的长等于133． 【点拨】可不是主要考查了圆周角定理，勾股定理运用，等腰三角形的性质等知识，会结合题意灵活运用勾股定理和方程思想是解题的关键．23．(1)见解析(2)OE AC ∥，12OE AC =，理由见解析【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可；（2）根据内错角相等两直线平行证明得到OE AC ∥，再根据三角形中位线的性质得到12OE AC =. (1)⊙如图所示为所求．(2)OE AC ∥，12OE AC =． 理由：⊙AB 为O 的直径，⊙90C ∠=︒，⊙OA OD =，⊙ODA OAD ∠=∠，⊙AD 平分BAC ∠，⊙BAD CAD ∠=∠，⊙ODA CAD ∠=∠，⊙OE AC ∥，⊙90OEB C ∠=∠=︒，则点E 为BC 中点，又⊙点O 为AB 中点， ⊙12OE AC =. 【点拨】此题考查了圆周角定理，角平分线的作图，三角形中位线的性质定理，熟记角平分线的作图方法及圆周角定理是解题的关键.。

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析

九年级数学上册《圆周角》练习题及答案解析学校:___________姓名：___________班级：______________一、单选题1．如图，在⊙O中，AB＝AC，⊙AOB＝40°，则⊙ADC的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．15°2．下列说法正确的是（）A．劣弧一定比优弧短B．面积相等的圆是等圆C．长度相等的弧是等弧D．如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧也相等3．如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°4．如图，在⊙O中，点A是BC的中点，⊙ADC＝24°，则⊙AOB的度数是（）A．24°B．26°C．48°D．66°5．如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是O 的内接多边形，则BOM ∠的度数是（ ）A ．36︒B ．45︒C ．48︒D ．60︒6．如图，AB 是⊙O 的直径，P A 与⊙O 相切于点A ，⊙ABC ＝25°，OC 的延长线交P A 于点P ，则⊙P 的度数是( )A ．25°B ．35°C ．40°D ．50°7．如图，AB 是O 的直径，C ，D 是O 上的两点，若54ABD ∠=︒，则BCD ∠的度数是（ ）A ．36°B ．40°C ．46°D ．65°8．下列说法正确的是（ ）A ．顶点在圆上的角是圆周角B ．两边都和圆相交的角是圆周角C ．圆心角是圆周角的2倍D ．圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9．下列命题是真命题的是（ ）A ．相等的两个角是对顶角B ．相等的圆周角所对的弧相等C ．若a b <，则22ac bc <D ．在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是1310．如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AC 是⊙O 的直径，点P 在⊙O 上，若40ACB ∠=︒，则BPC ∠的度数是（ ）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒11．如图，O 的半径OD ⊥弦AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ，连接EB ．若4AB =，1CD =，则EB 的长为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2.512．如图，点A ，B ，C 是O 上的点，连接,,AB AC BC ，且15ACB ∠=︒，过点O 作OD AB ∥交O 于点D ．连接,AD BD ，已知O 半径为2，则图中阴影面积为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．23π 13．如图，ABC ∆中，AB 是O 的直径，AC 交O 于点E ，BC 交O 于点D ，点D 是BC 中点，O 的切线DF 交AC 于点F ，则下列结论中⊙A ABE ∠=∠；⊙BD DE =；⊙AB AC =；⊙F 是EC 中点，正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题14．如图，点A 、B 、C 、D 、E 在O 上，且弧AB 为50︒，则E C ∠+∠=________．15．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，AB ＝2，∠ACB ＝30°，那么⊙O 的半径等于_____．16．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 为弦，AB ⊙CD ，若CD =CB ＝2，则阴影部分的面积是______．17．如图，在半径为1的O 上顺次取点A ，B ，C ，D ，E ，连接AB ，AE ，OB ，OC ，OD ，OE ．若65BAE ∠=︒，70COD ∠=︒，则BC 与DE 的长度之和为__________．（结果保留π）．18．如图，ABC内接于⊙O，AB＝BC，⊙BAC＝30°，AD为⊙O的直径，AD＝2，则BD＝________．19．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么________（只需写一个正确的结论）．20．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，⊙AOC＝120°，则⊙CDB＝_____°．三、解答题21．如图．AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，C是BD的中点，连接BD交AC于点E，延长AC至F，使CE＝CF．(1)求证：BF 是⊙O 的切线．(2)若BF ＝3，1sin 3A =，求BD 的长． 22．如图，在⊙AOB 和⊙COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，若⊙AOB ＝⊙COD ＝60°．(1)求证：AC ＝BD ．(2)求⊙APB 的度数．23．如图，已知ABCD 是某圆的内接四边形，AB BD =，BM AC ⊥于M ，求证：AM DC CM =+．24．已知AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，AB ＝4，BC ＝2，P 是⊙O 上半部分的一个动点，连接OP ，CP ．(1)如图⊙，⊙OPC 的最大面积是________；(2)如图⊙，延长PO 交⊙O 于点D ，连接DB ，当CP ＝DB 时，求证：CP 是⊙O 的切线．25．如图，,,//,//AD DB AE EC FG AB AG BC ==．利用平移或旋转的方法研究图中的线段,,DE BF FC 之间的位置关系和数量关系．参考答案及解析：1．C【详解】先由圆心角、弧、弦的关系求出⊙AOC=⊙AOB=50°，再由圆周角定理即可得出结论．解：⊙在⊙O 中，= ，⊙⊙AOC=⊙AOB ，⊙⊙AOB=40°，⊙⊙AOC=40°， ⊙⊙ADC=12⊙AOC=20°， 故选C ．2．B【分析】根据圆的相关概念、圆周角定理及其推论进行逐一分析判断即可．【详解】解：A.在同圆或等圆中，劣弧一定比优弧短，故本选项说法错误，不符合题意；B.面积相等的圆是等圆，故本选项说法正确，符合题意；C.能完全重合的弧才是等弧，故本选项说法错误，不符合题意；D.必须在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故本选项说法错误，不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理及其推论、等弧、等圆、以及优弧和劣弧等知识，解题关键是理解各定义的前提条件是在同圆或等圆中．3．A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB ⊙CD ，⊙⊙ADC +⊙BAD =90°，⊙⊙ADC =35°，⊙⊙BAD =90°﹣35°=55°，故选：A ．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．4．C【分析】直接利用圆周角求解．【详解】解：⊙点A 是BC 的中点，⊙AC AB =，⊙⊙AOB =2⊙ADC =2×24°=48°．故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．5．C【分析】如图，连接AO ．利用正多边形的性质求出AOM ∠，AOB ∠，可得结论．【详解】解：如图，连接AO ．AMN △是等边三角形，60ANM ∠∴=︒，2120AOM ANM ∠∠∴==︒， ABCDE 是正五边形，360725AOB ∠︒∴==︒，1207248BOM ∠∴=︒-︒=︒．故选：C ．【点睛】本题考查正多边形与圆，等边三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形的性质，属于中考常考题型．6．C【分析】根据圆周角定理可得50AOC ∠=︒，根据切线的性质可得90PAO ∠=︒，根据直角三角形两个锐角互余即可求解．【详解】AC AC =，⊙ABC ＝25°，250AOC ABC ∴∠=∠=︒，AB 是⊙O 的直径，∴90PAO ∠=︒，9040P AOC ∴∠=︒-∠=︒．故选C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的性质，掌握圆周角定理与切线的性质是解题的关键．7．A【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到⊙ADB =90°，⊙C =⊙A ，然后利用余角的性质计算出⊙A ，从而得到⊙C 的度数．【详解】解：如图，连接AD ，⊙AB 为⊙O 的直径，⊙⊙ADB =90°，⊙⊙A =90°−⊙ABD =90°−54°=36°，⊙⊙C =⊙A =36°．故选：A ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．8．D【详解】解：顶点在圆上，且与圆有相交的角是圆周角，则A 和B 是错误的；同弧所对的圆周角的度数等于圆心角度数的一半，故选D ．9．D【分析】分别根据对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式进行判断即可得到答案．【详解】有公共顶点且两条边互为反向延长线的两个角是对顶角，故A 选项错误，不符合题意； 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故B 选项错误，不符合题意；若a b <，则22ac bc ≤，故C 选项错误，不符合题意；在一个不透明的箱子里放有1个白球和2个红球，它们除颜色外其余都相同，从箱子里任意摸出1个球，摸到白球的概率是13，故D 选项正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查了命题的真假，涉及对顶角的定义，圆周角定理，不等式的基本性质及概率公式，熟练掌握知识点是解题的关键．10．C【分析】根据圆周角定理得到90ABC ∠=︒，BPC A ∠=∠，然后利用互余计算出⊙A 的度数，从而得到BPC ∠的度数．【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径，⊙90ABC ∠=︒，⊙90904050A ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，⊙50BPC A ∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．C【分析】设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ，先利用垂径定理得到AC =2，即可利用勾股定理求出半径，从而求出AE 的长，再利用勾股定理即可求出BE ．【详解】解：设圆O 的半径为r ，则OC =OD -CD =r -1，AE =2OA =2r ， 由垂径定理得122AC BC AB ===，在Rt ⊙OAC 中，222OA OC AC =+，⊙()22221r r =+-， ⊙52r =， ⊙AE =5，⊙AE 是圆O 的直径，⊙⊙B =90°，⊙在Rt ⊙ABE 中，3BE ，故选：C ．【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等等，熟知垂径定理是解题的关键．12．B【分析】根据圆周角定理可得⊙AOB =30°，再由OD AB ∥，可得AOB ADB SS =，从而得到阴影面积等于扇形AOB 的面积，即可求解．【详解】解：⊙15ACB ∠=︒，⊙⊙AOB =30°， ⊙23023603AOB S ππ⨯==扇形， ⊙OD AB ∥，⊙AOB ADB S S =，⊙阴影面积等于扇形AOB 的面积，⊙阴影面积等于3π． 故选：B【点睛】本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．13．C【分析】连接连接OD ，AD 、DE ，根据直径所对的圆周角是直角以及等腰三角形的性质可判断结论⊙；根据同圆或等圆中，同弧所对的弦相等可得结论⊙；根据切线的性质以及三角形中位线定理可得结论⊙；因为只有ABE △是等腰直角三角形时，才能满足结论⊙．【详解】解：连接OD，AD、DE．AB是O的直径，∴∠=︒（直径所对的圆周角是直角），ADB90∴⊥，AD BC点D是BC中点，=，故⊙正确；∴∠=∠，AB ACBAD CAD∴BD DE=，∴=，故⊙正确；BD DEDF是O的切线，∴⊥，OD DF=，BD DCAO BO=，∴，OD AC//∴⊥，DF AF∴，DF BE//⊙点D是BC的中点，∴点F是EC的中点，故⊙正确；只有当ABE△是等腰直角三角形时，45∠=∠=︒，BAC ABE故⊙错误，正确的有⊙⊙⊙共3个，故选：C．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆切线的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理的应用，题目难度适中，熟练掌握相关图形的性质定理是解本题的关键．14．155︒【分析】先根据弧的度数与它所对应的圆心角的度数的关系，求得弧AB对应的圆心角的度数，再根据圆周角与圆心角的关系，则可求得E C ∠+∠.【详解】弧的度数等于它所对应的圆心角的度数，由于弧AB 为50︒，所以3=50∠︒ .顶点在圆上且两边都和圆相交的角叫做圆周角，而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以：112E ∠=∠ ,122C ∠=∠ ， ()()()11112360336050155222E C ∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒-︒=︒.【点睛】本题考查弧、圆周角、圆心角的概念，及它们之间的关系.15．2【分析】根据题意和圆周角定理得∠O ＝60°，则△OAB 是等边三角形，根据AB ＝2即可得．【详解】解：∵OA ＝OB ，∠ACB ＝30°，OA =OB ，∴∠O ＝60°，∴△OAB 是等边三角形，∵AB ＝2，∴OA ＝AB ＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆周角定理，解题的关键是掌握这些知识点．16．23π【分析】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，利用垂径定理、勾股定理判定△OBC 是等边三角形，运用扇形的面积减去△OBC 的面积即可．【详解】连接OC ，设CD 与AB 的交点为E ，⊙AB 是⊙O 的直径，AB ⊙CD ，CD =CB ＝2，⊙CE 1BE ==，⊙⊙ECB =30°，⊙CBE =60°，⊙CO =BO ，⊙△OBC 是等边三角形，⊙⊙BOC =60°，OC =OB =2，⊙2602123602S =π⨯⨯-⨯阴影=23π故答案为：23π 【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，扇形的面积公式，等边三角形的判定和性质，熟练掌握垂径定理，扇形的面积公式是解题的关键．17．13π##3π 【分析】由圆周角定理得2130BOE BAE ∠=∠=︒，根据弧长公式分别计算出BE 与DC 的长度，相减即可得到答案．【详解】解：⊙65BAE ∠=︒，⊙2130BOE BAE ∠=∠=︒又O 的半径为1，BE 的长度=130113=18018ππ⨯，又70COD ∠=︒，⊙DC 的长度=7017=18018ππ⨯， ⊙BC 与DE 的长度之和=13761-==1818183ππππ，故答案为：13π． 【点睛】本题主要考查了计算弧长，圆周角定理，熟练掌握弧长计算公式是解答本题的关键．18【分析】根据AB ＝BC ，可得⊙C =⊙BAC =30°，再由圆周角定理，可得⊙D =30°，然后利用锐角三角函数，即可求解．【详解】解：⊙AB ＝BC ，⊙⊙C =⊙BAC =30°，⊙⊙C =⊙D ，⊙⊙D =30°，⊙AD 为⊙O 的直径，⊙⊙ABD =90°，在Rt ABD △ 中，AD ＝2，⊙D =30°，⊙cos302BD AD =⋅︒==．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，锐角三角函数等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．19．AB =CD （答案不唯一）【分析】根据圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理的推论可以直接得到所求的结论．【详解】解：⊙OE =OF ，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，⊙AB =CD ．故答案为：AB =CD （答案不唯一）【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系．熟练掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键． 20．30．【分析】先利用邻补角计算出BOC ∠，然后根据圆心周角定理得到CDB ∠的度数．【详解】⊙⊙BOC ＝180°﹣⊙AOC ＝180°﹣120°＝60°，⊙⊙CDB ＝12⊙BOC ＝30°． 故答案为30．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．(1)见详解(2)BD=16 3【分析】（1）根据直径所对圆周角得出⊙ACB=90°，根据C是BD的中点，得出DC BC=，利用等弧所对圆周角得出⊙CAB=⊙CBD即可（2）连结OC，交BD于G，根据垂径定理得出OC⊙BD，DG=BG=12BD，由三角函数求出AF=9，利用勾股定理求出ABAB BFBCAF⋅===（1）证明：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB=90°，⊙C是BD的中点，⊙DC BC=，⊙⊙CAB=⊙CBD，⊙CE=CF，BC⊙EF，⊙BE=BF，⊙⊙FBC=⊙CBE，⊙⊙FBC=⊙CBE=⊙CAB，⊙⊙CAB+⊙CBA=90°，⊙⊙FBC+⊙CBA=90°，⊙FB⊙AB，AB为直径，⊙BF为⊙O的切线；，（2）解：连结OC，交BD于G，⊙DC BC=，OC为半径，⊙OC⊙BD，DG=BG=12 BD，⊙BF＝3，1 sin3A=，⊙31sin 3BF A AF AF ===， ⊙AF =9，在Rt △ABF 中AB⊙S △ABF =12BC ·AF =12AB ·BF ，⊙AB BF BC AF ⋅=== ⊙sin A =sin⊙CBG =13CG BC ==，⊙3CG =，在Rt ⊙BCG 中83BG ==， ⊙BD =2BG =163．【点睛】本题考查圆的切线判定，等弧所对圆周角性质，线段线段垂直平分线性质，等腰三角形等腰三角形三线合一性质，勾股定理锐角三角函数，面积等积式，本题难度不大，是中考常考试题，掌握好相关知识是解题关键．22．(1)见解析(2)60°【分析】（1）通过证明⊙AOC ⊙⊙BOD ，即可求证；（2）由（1）可得⊙OAC ＝⊙OBD ，从而得到⊙P AB +⊙PBA ＝⊙OAB +⊙OBA ，利用三角形内角和的性质即可求解．（1）证明：⊙⊙AOB ＝⊙COD ，⊙AOB BOC COD BOC ∠+∠∠+∠＝，即⊙AOC ＝⊙BOD ，在⊙AOC 和⊙BOD 中，OA OB AOC BOD OC OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙AOC ⊙⊙BOD （SAS ），⊙AC ＝BD ．（2）解：⊙⊙AOC ⊙⊙BOD ，⊙⊙OAC ＝⊙OBD ，⊙⊙PBA ＝⊙ABO +⊙OBD ，⊙OAB =⊙P AB +⊙OAC ，⊙⊙P AB +⊙PBA ＝⊙P AB +⊙ABO +⊙OBD =⊙P AB +⊙OAC +⊙ABO =⊙OAB +⊙OBA ，⊙OA ＝OB ，⊙AOB ＝60°，⊙⊙AOB 是等边三角形，⊙⊙OAB +⊙OBA ＝120°⊙⊙P AB +⊙PBA ＝120°，⊙()180********APB PAB PBA ∠︒-∠+∠︒-︒︒＝＝＝． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质．23．见解析【分析】在MA 上截取ME MC =，连接BE ，利用圆周角定理易得()ABE DBC AAS ≅，利用三角形的性质得到AE CD =即可求解．【详解】证明：在MA 上截取ME MC =，连接BE ，BM AC ⊥，BE BC ∴=，BEC BCE ∴∠=∠．AB BD =，∴AB BD =，ADB BAD ∴∠=∠，而ADB BCE ∠=∠，BCE BAD ∴∠=∠．又180BCD BAD ∠+∠=︒，180BEA BCE ∠+∠=︒，BEA BCD ∴∠=∠．BAE BDC ∠=∠，()ABE DBC AAS ∴∆≅∆，AE CD ∴=，AM AE EM DC CM ∴=+=+．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构建三角形全等是解答关键．24．(1)4(2)见解析【分析】（1）因为OC 长度确定，所以当点P 到OC 的距离最大时⊙OPC 的面积最大，当OP ⊙OC 时，当点P 到OC 的距离最大，等于圆O 的半径，求出此时的⊙OPC 的面积即可；（2）连接AP ，BP ，利用同圆中，相等的圆心角所对的弦相等，可得AP =DB ，因为CP ＝DB ，所以AP =CP ，可证⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ），得到⊙OPC ＝90°，即可证明CP 是切线．（1）解：⊙AB ＝4，⊙OB ＝2，OC ＝OB +BC ＝4．在⊙OPC 中，设OC 边上的高为h ，⊙S △OPC 12=OC •h ＝2h ， ⊙当h 最大时，S △OPC 取得最大值．作PH ⊙OC ，如图⊙，则PO PH >，当OP ⊙OC 时，PO PH =，此时h 最大，如答图1所示：此时h ＝半径＝2，14242OPC S ⨯⨯＝＝．⊙⊙OPC 的最大面积为4， 故答案为：4．（2）证明：如答图⊙，连接AP ，BP ．⊙⊙AOP ＝⊙BOD ，⊙AP ＝BD ，⊙CP ＝DB ，⊙AP ＝CP ，⊙⊙A ＝⊙C ，在⊙APB 与⊙CPO 中， AP CPA C AB CO=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，⊙⊙APB ⊙⊙CPO （SAS ）， ⊙⊙APB ＝⊙OPC ，⊙AB 是直径，⊙⊙APB ＝90°，⊙⊙OPC＝90°，⊙DP⊙PC，⊙DP经过圆心，⊙PC是⊙O的切线．【点睛】本题考查了圆，熟练掌握圆的半径、切线、弦与圆心角的关系等知识是解题的关键．25．DE与BF平行且相等，DE与FC平行且相等，BF与FC相等且在一条直线上【分析】易知DE是△ABC的中位线，则DE∥BC∥AG；由此可知四边形ADEG和四边形DBFE都是平行四边形，故AG＝DE＝BF；由全等三角形可得AG＝FC，故DE＝BF＝FC．【详解】解：线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，数量关系是DE＝BF＝FC，∵AG∥BC（已知）∴∠G＝∠EFC（两直线平行，内错角相等）∵∠AEG＝∠FEC（对顶角相等），又AE＝EC（已知）∴△AGE≌△CFE（AAS）；∴AG＝FC，FE＝EG（全等三角形的对应边相等），可以看做△AGE绕点E旋转180°得到△CFE，又∵AD＝DB（已知）∴DE为三角形ABC的中位线，BC，∴DE∥BC，DE=12即DE∥BF，DE∥FC，∵FG∥AB，AG∥BC（已知）∴四边形ABFG是平行四边形∴AG＝BF，BC，∴BF＝FC＝12∴DE＝BF＝FC，可以看做⊙ADE沿直线AE平移得到△EFC，故线段DE，BF，FC之间的位置关系是DE∥BF，DE∥FC，BF与FC在一条直线上，数量关系是DE＝BF＝FC．【点睛】题考查的是三角形中位线定理、平行四边形及全等三角形的判定和性质．三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据．第21页共21页。

初三圆周角定理例题

初三圆周角定理例题

圆周角知识梳理圆周角的度数等于，同弧或等弧所对的圆周角推论：1、圆周角的度数等于它所对弧的度数的2、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧3、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角典型例题例1、如图，⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，⊙AOD＝150°，弧BC为70°．求⊙ABD、⊙AED的度数．例2、如图1,⊙ABC的顶点都在⊙O上,若⊙BOC=120°,那么⊙BAC等于（）A．60 º B.90 º C.120 º D.150 º例3、将量角器如图方式放置在三角形直尺上，使点C在半圆上，点A、B在量角器上的示数分别为86°、30°，则⊙ACB=______.例4、如图3，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则⊙DPC = .例5、如图，点A、B、C、D在⊙O中，⊙ADC=⊙BDC=60°，判断ΔABC形状，并说明理由.例6、如图，⊙O是⊙ABC的外接圆，AB＝AC，P是⊙O上一点．（1）请你只用无刻度的直尺．．．．．．，分别画出图⊙和图⊙中⊙P的平分线；（2）结合图⊙，说明你这样画的理由本次课课后练习1、如图，AB是⊙O的直径，点P是半圆上任意一点（不含A，B），点Q是另一半圆上一定点，若⊙POA为x度，⊙PQB为y度，则x与y的函数关系式是.2、如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则⊙OAB= °.3、如图，⊙ABC的顶点都在⊙O上,⊙B=30°，AC=2cm，则⊙O的半径长为.4、如图3，⊙O中，AB为直径，C、D为⊙O上的两点，且C、D在AB的两旁，OD⊙AB,则⊙ACD= ，⊙BCD= ．5、一次兴趣小组活动中，小明利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索下列问题（1）如图⊙，ABC中BC=2，则ABC的外接圆的半径为______。

（2）如图⊙，在矩形ABCD中，请用尺规作图，在矩形ABCD内部作出点P，且BP=PC （不写作法，保留作图痕迹）。

《圆周角和圆心角的关系》典型例题

《圆周角和圆心角的关系》典型例题

《圆周角和圆心角的关系》典型例题1．下列说法：①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角的度数的一半；③90º的圆周角所对的弦是直径；④圆周角相等，则它们所对的弧也相等．其中正确的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个答案：A说明：①圆周角不仅顶点要在圆周上，而且两边都要和圆相交，①错误；②一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，如果不是一条弧上的，则不成立，②错误；③是正确的；④只有在同圆或等圆中才成立，④错误；所以只有③是正确的，答案为A．2．在同圆中，同弦所对的圆周角( )A．相等B．互补C．互余D．相等或互补答案：D说明：如果圆周角在弦的同侧，则相等；如果在弦的两侧，则互补，故选D．3．已知弦AB把圆周分成1：3的两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为( )A．B．C．90º或270ºD．45º或135º答案：D说明：由弦AB把圆周分成1：3的两部分可知，弦AB所分的两条弧的度数分别为90º和270º，因此，所对的圆周角的度数则是90º÷2 = 45º，或者270º÷2 = 135º，答案为D．4．弦MN将⊙O分成两条弧，它们的度数比为4：5，若T为MN的中点，那么∠MOT为( ) A．160ºB．80ºC．100ºD．50º答案：B说明：弦MN将⊙O分成两条弧，知这两条弧的度数之和为360º，又它们的度数比为4：5，则可求出这两条弧的度数分别为160º和200º，即∠MON = 160º，而T为MN的中点，所以2∠MOT =∠MON，即∠MOT = 80º，答案为B．。

第09讲 圆周角(3种题型)(原卷版)

第09讲 圆周角(3种题型)(原卷版)

第09讲圆周角（3种题型）1.理解并掌握圆周角相关概念2.探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．1、顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。

3、圆周角的特点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:解题规律:5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【微点拨】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）一．圆周角定理（共12小题）1．（2023•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．45°D．40°2．（2023•溧阳市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（）A．36°B．40°C．46°D．65°3．（2023•金坛区一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B 的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°4．（2023•天宁区模拟）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（）A．50°B．30°C．25°D．20°5．（2023•盐都区一模）用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为．6．（2023•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交⊙O于点C，D，连接BD．若∠A＝34°，∠AED ＝87°，则∠B＝°．​7．（2022秋•南京期末）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB＝24，则CD的长为．（2）如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB＝EF，求证CD＝GH．8．（2023•南京模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠B＝75°，∠A ＝45°，，则弦CD＝．​9．（2023•苏州模拟）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，直径CD平分∠ACE，∠ACE的一边CE与⊙O和直径AB分别交于点E，F，连接BE，且AC＝AF．​（1）证明：BE∥CD；（2）若CF＝2，求BF的长．10．（2022秋•太仓市期末）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝4，连接BC，以C为圆心，BC长为半径画弧与⊙O交于点D，连接AD，BD，BD与AC交于点E．（1）请直接写出图中与∠CAB相等的所有角；（2）求AD的长．11．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证∠A＝∠D；（2）若的度数为108°，求∠E的度数．12．（2022秋•建邺区期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，，∠CAB ＝32°．求∠ACD的度数．二．圆内接四边形的性质（共14小题）13．（2023•高新区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°14．（2023•兴化市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD 的度数为°．15．（2023•建邺区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝°．16．（2023•沭阳县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是．17．（2022秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧BC上的一点（P 点与C点不重合），则∠CPD的度数是．18．（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°．19．（2022秋•宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．20．（2022秋•宿豫区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的长度．21．（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．求证：BD＝BC．22．（2022秋•建邺区期中）求证：圆内接四边形的对角互补．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．证明：作直径AE，连接BE、DE．所以∠ABE＝∠ADE＝90°．因为∠CBE＝∠CDE，（①）所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．同理∠DAB+∠BCD＝180°．（1）证明过程中依据①是；（2）请给出另一种证明方法．23．（2023•苏州一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝2∠BOD，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°24．（2023•鼓楼区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠BOD的度数为（）A．60°B．70°C．120°D．150°25．（2022秋•栖霞区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）求证：∠BAC＝2∠DAC；（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．26．（2022秋•高新区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．三．相交弦定理（共5小题）27．（2021•盐都区二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB ＝．28．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．29．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．30．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD ⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．31．（2021秋•滨湖区校级期中）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．一．选择题（共10小题）1．（2023•锡山区模拟）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°2．（2023•涟水县一模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，则∠ACB的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．108°3．（2023•南京二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为（）A．152°B．142°C．118°D．108°4．（2023•如皋市一模）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（）A．130°B．125°C．100°D．80°5．（2023•铜山区一模）下列说法中，正确的是（）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．A．①④B．②③C．①③④D．②③④6．（2023•徐州模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，则∠AOB的度数为（）A．78°B．61°C．76°D．51°7．（2023•如东县一模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连接OA，OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．118°C．124°D．130°8．（2023•新华区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，则⊙O的半径为（）A．4B．C．D．9．（2023•连云港二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为（）A．135°B．140°C．145°D．150°10．（2023•鼓楼区校级二模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°二．填空题（共8小题）11．（2023•姑苏区校级二模）如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，点E为⊙O 上一点，连接CE，交⊙O于点D，连接BD、AE，若点D恰为线段CE中点且BD＝2，则△AEC周长为．12．（2023•盐都区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝°．13．（2023•赣榆区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数为．14．（2023•南京一模）如图，在⊙O中，C为上的点，．若∠ACB＝120°，则∠OBC＝．15．（2023•工业园区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，，以AD为直径作⊙O，E为BC的中点，AE交⊙O于F，连CF，则CF的长为．16．（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝°．17．（2023•溧阳市一模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，与以CD为直径的半圆交于点F，连接AF并延长交BC于点P，则的值．18．（2023•武进区一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CF的长为．三．解答题（共7小题）19．（2022秋•淮安区校级期末）如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．20．（2022秋•苏州期末）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠CBD＝∠BAD；（2）求证：BD＝DE；（3）若，，求BC的长．21．（2022秋•高新区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．22．（2022秋•海陵区校级期末）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长．23．（2023•沭阳县模拟）如图，已知AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O中的两条弦，且AB∥CD，连结AD，BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直径为10，求矩形ABCD的面积．24．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．（1）求证：∠AKD＝∠CKF；（2）已知AB＝8，CD＝4，求∠CKF的大小．25．（2023•姑苏区校级一模）我们给出定义：如果三角形存在两个内角α与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．已知△ABC为“准互余三角形”，并且∠A＞∠B＞∠C．（1）如图①，若∠B＝60°且，求边BC的长；（2）如图②，∠B＞45°，以边AC为直径作⊙O，交BC于点D，若BD＝2，BC＝7，试求⊙O的面积．一．选择题1．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，则∠AOC的度数是（）A．45°B．28°C．56°D．60°2．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（）A．16°B．20°C．24°D．32°3．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（）A．B．C．5D．4．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（）A．115°B．116°C．118°D．120°5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（）A．50°B．80°C．100°D．130°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（）A．70°B．55°C．35°D．20°二．填空题7．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．8．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝°．9．如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是．10．如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，BC＝4，则AE＝．11．如图，AB是⊙O的弦，AB＝4，点P是优弧上的动点，∠P＝45°，连接PA、PB，AC是△ABP 的中线，（1）若∠CAB＝∠P，则AC＝；（2）AC的最大值＝．三．解答题（共6小题）12．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，C、D是上两点，过点D作DE∥OC交OB于E点，在OD 上取点F，使OF＝DE，连接CF并延长交OB于G点．（1）求证：△OCF≌△DOE；（2）若C、D是AB的三等分点，：①求∠OGC；②请比较GE和BE的大小．13．如图，已知点C在以AB为直径的半圆O上，点D为弧BC中点，连结AC并延长交BD的延长线于点E，过点E作EG⊥AB，垂足为点F，交AD于点G，连结OG，DG＝1，DB＝2．（1）求证：AE＝AB．（2）求FB的长．（3）求OG的长．14．已知：Rt△ACB中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于E，点F为弧EC的中点，OF的延长线交CB于D．（1）求证：CD＝BD；（2）连接EC交OD于G，若AC＝6，CD＝4，求GF的长．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆分别交AC，BC于点D、E，过点A作AF∥BC交圆于点F，连接DE、EF．求证：（1）四边形ACEF是平行四边形；（2）EF平分∠BED．16．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，BD，交点为F．（1）证明：AF＝BC；（2）当点F是BD中点时，求BE：EC值．17．如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于点E，过点C作DB的垂线，交AB的延长线于点G，垂足为点F，连结AC，其中∠A＝∠D．（1）求证：AC＝CG；（2）若CD＝EG＝8，求⊙O的半径．。

2.4 圆周角（解析版)

2.4 圆周角（解析版)

2.4圆周角知识点一：圆周角概念1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．题型一：圆周角的概念【例题1】（2021·全国九年级课时练习）如图，其中圆周角有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】根据圆周角的定义进行判断，即可得到答案．【详解】解：根据题意，AEP，CPE∠是圆周角，共2个．故选：B．【点睛】本题考查了圆周角的定义，解题的关键是掌握圆周角的定义进行判断．变式训练【变式1-1】（2021·全国九年级课时练习）下列四个图形的角是圆周角的是（）A．B．C．D．知识点管理归类探究【答案】A【分析】根据圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．即可求得答案．【详解】解：A、图中的角是圆周角，故本选项符合题意；B、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；C、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；D、图中的角不是圆周角，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了圆周角的定义，能熟记圆周角定义的内容是解此题的关键．【变式1-2】（2021·浙江温州·）如图，⊙O的两条弦AB⊙CD，已知⊙ADC＝35°，则⊙BAD的度数为（）A．55°B．70°C．110°D．130°【答案】A【分析】根据垂直定义和三角形的两锐角互余进行解答即可．【详解】解：⊙AB⊙CD，⊙⊙ADC+⊙BAD=90°，⊙⊙ADC=35°，⊙⊙BAD=90°﹣35°=55°，故选：A．【点睛】本题考查垂直定义、直角三角形的两锐角互余，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解答的关键．【变式1-3】（2021·江西九年级期末）如图，AB是O的直径，C为圆内一点，则下列说法中正确的是（）A．AC是O的弦B．BOC是圆心角+<C．C∠是圆周角D．AC OC AB【答案】B【分析】根据弦、圆心角、圆周角的概念可直接进行排除选项．【详解】解：A、点C不在O上，所以AC不是O的弦，故错误，不符合题意；B、因为点O是圆心，所以⊙BOC是圆心角，故正确，符合题意；C、点C不在O上，所以⊙C不是圆周角，故错误，故不符合题意；+<成立，则AC+OC＜OA+OB，D、当点C在圆上时，则OC=OA=OB，若AC OC AB⊙AC＜OA，与题干矛盾，⊙D选项错误，不符合题意；故选B．【点睛】本题主要考查弦、圆心角、圆周角的概念，熟练掌握弦、圆心角、圆周角的概念是解题的关键．【变式1-4】（2021·全国）顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做____________．圆周角的特征：⊙顶点在_____上；⊙两边都和圆_________．【答案】圆周角圆相交圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．题型二：同弧所对圆周角等于圆心角一半【例题2】（2021·湖南长沙市·明德华兴中学九年级开学考试）如图，圆周角⊙ACB的度数为48°，则圆心角⊙AOB的度数为（）A．48°B．24°C．36°D．96°【答案】D【分析】同圆中，同弧所对的圆周角=圆心角的一半．【详解】解：由题意得，圆周角⊙ACB的度数为48°，⨯=︒，圆心角⊙AOB的度数为48°296故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 变式训练【变式2-1】（2021·全国九年级课时练习）如图，已知CD 是O 的直径，过点D 的弦DE 平行于半径OA ，若D ∠的度数是50︒，则C ∠的度数是（ ）A ．25︒B ．30C ．40︒D ．50︒【答案】A【分析】根据平行线的性质和圆周角定理计算即可； 【详解】⊙//OA DE ，50D ∠=︒， ⊙50AOD ∠=︒，⊙12C AOD ∠=∠，⊙150225C ︒∠=⨯=︒． 故选A ．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、平行线的性质，准确计算是解题的关键．【变式2-2】（2021·黑龙江九年级期末）如图，O 是ABC 的外心，42ABC ∠=︒，72ACB ∠=︒，则BOC ∠=______．【答案】132°【分析】先利用三角形内角和计算出⊙BAC =66°，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到⊙BOC 的度数． 【详解】解：⊙⊙ABC =42°，⊙ACB =72°， ⊙⊙BAC =180°-42°-72°=66°，⊙O 是⊙ABC 的外心，⊙以O 为圆心，OB 为半径的圆是⊙ABC 的外接圆， ⊙⊙BOC =2⊙BAC =132°． 故答案为：132°．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．【变式2-3】（2021·全国九年级课时练习）如图，BC 是O 的弦，D 是BC 上一点，DO 交O 于点A ，连接AB ，OC ，若20A ∠=︒，30C ∠=︒，则AOC ∠的度数为________．【答案】100︒【分析】设⊙AOC =x °，根据圆周角定理得到⊙B 的度数，根据三角形的外角的性质列出方程，解方程得到答案．【详解】解：设⊙AOC =x °，则⊙B =12x °， ⊙⊙AOC =⊙ODC +⊙C ，⊙ODC =⊙B +⊙A ， ⊙x =20°+30°+12x ， 解得x =100°．故选A ．【点睛】本题主要考查的是圆周角定理和三角形的外角的性质，掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 题型三：同弧所对圆周角【例题3】（2021·江苏盐城·景山中学九年级月考）如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 相交于点E ，⊙C ＝40°，⊙AED ＝100°，则⊙D ＝______．【答案】60°【分析】首先根据圆周角定理的推论，得⊙C =⊙ABD ，再根据三角形外角的性质即可求得⊙D 的度数． 【详解】解：⊙⊙C =40°， ⊙⊙C =⊙B =40°． ⊙⊙AED =100°，⊙⊙D =⊙AED -⊙B =100°-40°=60°．故答案是：60°．【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟记圆周角定理是解题的关键． 变式训练【变式3-1】（2021·全国九年级课时练习）如图，O 是ABC 的外接圆，65CAB ∠=︒，P 是O 上的一点，则CPB ∠等于________．【答案】65°【分析】根据圆周角定理（同弧所对在圆周角相等）进行解答． 【详解】解：根据同弧所对的圆周角相等，得CPB CAB ∠=∠．⊙65CAB ∠=︒， ⊙65CPB ∠=︒． 故答案为：65°【点睛】本题考查了圆周角定理．注意：圆周角必须满足两个条件：⊙定点在圆上．⊙角的两条边都与圆相交，二者缺一不可．【变式3-2】（2021·北京市陈经纶中学分校九年级月考）如图，点A，B，C，D在⊙O上，CB CD=，⊙CAD ＝30°，⊙ACD＝50°，则⊙ADB＝_____．【答案】70°【分析】直接利用圆周角定理以及结合三角形内角和定理得出⊙ACB=⊙ADB=180°-⊙CAB-⊙ABC，进而得出答案．【详解】解：⊙CB CD=，⊙CAD=30°，⊙⊙CAD=⊙CAB=30°，⊙⊙DBC=⊙DAC=30°，⊙⊙ACD=50°，⊙⊙ABD=50°，⊙⊙ADB=⊙ACB=180°-⊙CAB-⊙ABC=180°-50°-30°-30°=70°．故答案为：70°．【点睛】此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理，正确得出⊙ABD度数是解题关键．【变式3-3】（2021·江苏淮安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，⊙CAB＝55°，则⊙D的度数是___．【答案】35°【分析】根据直径所对的圆周角是直角推出⊙ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到⊙B＝90°﹣⊙CAB ＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出⊙D ＝⊙B ＝35°． 【详解】解：⊙AB 是⊙O 的直径， ⊙⊙ACB ＝90°， ⊙⊙CAB ＝55°，⊙⊙B ＝90°﹣⊙CAB ＝35°， ⊙⊙D ＝⊙B ＝35°． 故答案为：35°．【点睛】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.圆周角定理推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 题型四：直径所对圆周角是直角【例题4】（2021·江苏九年级期末）如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的弦，40BAC ∠=︒，则ADC ∠=________°．【答案】50【分析】连接BC ，则由圆周角定理可以得到⊙ADC =⊙ABC ，再根据直径所对的圆周角是90度，得到⊙ACB =90°，再根据⊙BAC =40°即可求解. 【详解】解：如图所示，连接BC ⊙⊙ADC =⊙ABC ⊙AB 是直径 ⊙⊙ACB =90° ⊙⊙BAC =40°⊙⊙ABC =180°-90°-40°=50° ⊙⊙ADC =⊙ABC =50° 故答案为：50.【点睛】本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.变式训练【变式4-1】（2021·湖南九年级期末）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD BC于点D，8cmAC，BD=，则AB的长为________cm．3cm【答案】10AC＝4cm．然后利用勾股定理求解．【分析】利用圆周角定理和三角形中位线定理求得OD＝12【详解】解：⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ACB＝90°，又⊙OD⊙BC，即⊙ODB＝90°，⊙AC⊙OD，⊙点O是AB的中点，⊙OD是⊙ABC的中位线，AC＝4cm，⊙OD＝12⊙BD＝3cm，⊙OB22+5cm，BD OD⊙AB＝2OB＝10cm．故答案为：10．【点睛】本题主要考查了勾股定理和圆周角定理，根据题意推知OD是⊙ABC的中位线是解题的关键．【变式4-2】（2021·四川九年级期末）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝1，AB＝3，点D在圆O 上且平分BC，则DC的长为__．5【分析】先利用圆周角定理得到⊙A＝⊙D＝90°，再利用勾股定理计算出BC10接着证明⊙BCD为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求DC的长．【详解】解：⊙BC是直径，⊙⊙A＝⊙D＝90°，在Rt⊙ACB中，⊙AC＝1，AB＝3，⊙BC22+10，13⊙点D平分BC，即BD＝BC，⊙⊙BCD＝⊙CBD，⊙⊙BCD为等腰直角三角形，⊙DC221055【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．BC OA，连接BO并延【变式4-3】（2021·苏州市立达中学校九年级二模）如图，点A、B、C在O上，//长，交O于点D，连接AC、DC．若24∠的大小为________︒．∠=︒，则DA【答案】42【分析】利用平行线的性质求出⊙ACB ＝24°，再利用圆周角定理求出⊙AOB ＝48°，利用平行线的性质可得⊙CBO ＝48°，再证明⊙DCB ＝90°可得结论． 【详解】解：⊙//BC OA ， ⊙⊙ACB ＝⊙A ＝24°， ⊙⊙AOB ＝2⊙ACB ＝48°， ⊙//BC OA ，⊙⊙CBO ＝⊙AOB ＝48°， ⊙BD 是直径， ⊙⊙DCB ＝90°， ⊙⊙D ＝90°﹣48°＝42°， 故答案为：42．【点睛】本题考查圆周角定理，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式4-4】（2021·宁夏九年级一模）如图，AB 为O 的直径，CD 为O 的弦，40ACD ∠=︒，则BAD ∠的度数为_______．【答案】50°【分析】由同弧所对的圆周角相等可知40ABD ACD ∠=∠=︒，再由直径所对的圆周角为直角即可得到答案． 【详解】解：连接BD ，⊙40ACD ∠=︒， ⊙40ABD ∠=︒， ⊙AB 为O 的直径， ⊙90ADB ∠=︒， ⊙90BAD ABD ∠+∠=︒， ⊙904050BAD =︒-︒=︒∠， 故答案为：50︒．【点睛】本题考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角，掌握基础知识是解题的关键． 题型五：90°圆周角所对弦是直径【例题5】（2021·科尔沁左翼中旗教研室）如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度OE ＝8cm ，OF ＝6cm ，则圆的直径为__________【答案】10cm【分析】由题意可知OE OF ⊥，利用90º圆周角所对的弦为直径，确定EF 是该圆的直径，利用勾股定理求该圆的直径即可． 【详解】连结EF ，⊙OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直， ⊙OE⊙OF ，即⊙EOF=90º， ⊙EF 为直径，在Rt⊙EOF 中，由勾股定理2222OE +OF =6810EF +=， ⊙圆的直径为10． 故答案为：10．【点睛】本题考查圆周角的性质与勾股定理的应用，掌握圆周角的定理，通过构造直角三角形用勾股定理是解题关键． 变式训练【变式5-1】（2020·山东烟台芝罘中学九年级月考）如图，Rt ABC 中，6AC =，8BC =，点E 是ABC 外接圆上任意一点，点M 是弦AE 的中点，当点E 在ABC 外接圆上运动一周时，点M 运动的路径长为______．【答案】5π【分析】作AB 的中点O ，连接OE 、OM ，M 是弦AE 的中点，可证O 为ABC 外接圆的圆心，OM⊙AE ，可证点M 在以AO 为直径的圆上运动，求出AO 的长度，进而求出点M 的运动路径长度． 【详解】解：作AB 的中点O ，连接OE 、OM ，如图：⊙ABC 是直角三角形，点E 是ABC 外接圆上任意一点， ⊙AB 为ABC 外接圆的直径，（90°圆周角所对的弦是直径）， 点O 为ABC 外接圆的圆心，AE 为ABC 外接圆上的弦， ⊙点M 是弦AE 的中点，⊙OM⊙AE （平分弦的直径垂直于这条弦，注：该弦不是直径）， ⊙点M 在以AO 为直径的圆上运动（90°圆周角所对的弦是直径）， ⊙在Rt ABC 中，6AC =，8BC =， ⊙22226810ABAC BC ，⊙AO＝5，⊙点M运动的路径长为5π．故答案为：5π．【点睛】本题考查了垂径定理、圆周角定理的运用及勾股定理，灵活运用垂径定理的推论是解题关键．【变式5-2】（2018·山东济南·中考真题）如图，⊙O的半径为1，⊙ABC是⊙O的内接等边三角形，点D，E在圆上，四边形BCDE为矩形，这个矩形的面积是（）A．2B．32C3D3【答案】C【分析】连接BD、OC，根据矩形的性质得⊙BCD=90°，再根据圆周角定理得BD为⊙O的直径，则BD=2；由ABC为等边三角形得⊙A=60°，于是利用圆周角定理得到⊙BOC=2⊙A=120°，易得⊙CBD=30°，在Rt⊙BCD中，根据含30°的直角三角形三边的关系得到CD=12BD=1，33解．【详解】连结BD、OC，如图，⊙四边形BCDE为矩形，⊙⊙BCD=90°，⊙BD为⊙O的直径，⊙BD=2，⊙⊙ABC为等边三角形，⊙⊙A=60°，⊙⊙BOC=2⊙A=120°，而OB=OC，⊙⊙CBD=30°，在Rt⊙BCD 中，CD=12BD=1，33 ⊙矩形BCDE 的面积3C ．【点睛】本题考查了圆周角定理、等边三角形的性质和矩形的性质，综合性比较强．合理利用圆的基本性质是解题的关键．【变式5-3】（2021·江苏苏州市·九年级开学考试）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，4AC =，P 是ABC 所在平面内一点，且满足PA PC ⊥，则PB 的最大值为________．221【分析】由于⊙APC=90°，则根据圆周角定理可判断点P 在以AC 为直径的圆上，取AC 的中点O ，连接BO ，然后根据点与圆的位置关系确定PB 的最大值． 【详解】解：⊙⊙ACB=90°,⊙BAC=30°, ⊙AB=2BC ，又AC=4， ⊙()22242BC BC +=， 解得：43⊙PA⊙PC ，即⊙APC=90°， ⊙点P 在以AC 为直径的圆O 上， 如图，当P 、O 、B 三点共线时，PB 最大， 43，OC=12AC=2， 22BC OC +221221，221．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，利用90°的圆周角所对的弦是直径构造圆O是解题的关键．知识点四：圆内接四边形圆内接四边形：（1）定义: 圆内接四边形：顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形．（2）性质：圆内接四边形对角互补，外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角）．题型六：圆内接四边形【例题6】（2020·温州市实验中学九年级期末）如图，在⊙O中，点B是弧AC上的一点，⊙AOC=140°，则⊙ABC的度数为（）A．70°B．110°C．120°D．140°【答案】B【分析】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，由⊙AOC=140︒求出⊙ADC=1702AOC∠=︒，根据四边形ABCD是圆内接四边形，得到⊙ADC+⊙ABC=180︒，即可求出⊙ABC的度数．【详解】在优弧AC上取点D，连接AD、CD，⊙⊙AOC=140︒，⊙⊙ADC=1702AOC∠=︒，⊙四边形ABCD是圆内接四边形，⊙⊙ADC+⊙ABC=180︒，⊙⊙ABC=110 ，故选：B．【点睛】此题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．变式训练【变式6-1】（2021·科尔沁左翼中旗教研室）如图，四边形ABCD内接于⊙O，⊙A＝115°，则⊙BOD＝_______．【答案】130°【分析】先根据圆内接四边形的性质求出⊙C的度数，再由圆周角定理即可得出结论．【详解】解：⊙四边形ABCD内接于⊙O，⊙A=115°，⊙⊙C=180°-⊙A=180°-115°=65°，⊙⊙BOD=2⊙C=130°．故答案为：130°．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．【变式6-2】（2021·江苏南京·）如图，点A、B、C、D在⊙O上，B是AC的中点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若⊙AEC＝87°，则⊙ADC＝__°．【答案】62【分析】连接BD 、BC ，由圆周角定理可得⊙BDC=⊙ADB=12⊙ADC ，再根据圆內接四边形的性质可得⊙EBC=⊙ADC ，由切线的性质得出⊙BCE=⊙BDC=12⊙ADC ，最后根据三角形内角和定理解答即可．【详解】解：连接BD 、BC ， ⊙B 是AC 的中点， ⊙AB BC =⊙⊙BDC=⊙ADB=12⊙ADC ， ⊙四边形ABCD 是圆内接四边形， ⊙⊙EBC=⊙ADC, ⊙EC 是⊙O 的切线， ⊙⊙BCE=⊙BDC=12⊙ADC⊙⊙AEC=87°，⊙AEC+⊙BCE+⊙EBC=180°， ⊙87°+12⊙ADC+⊙ADC=180°，解得⊙ADC=62°．故答案为62°．．【点睛】本题主要考査了圆的切线性质、圆內接四边形的性质、圆周角的定理等知识点，灵活运用圆的相关性质定理是解答本题的关键．【变式6-3】（2020·云梦县实验外国语学校九年级月考）如图，四边形A BCD 是⊙O 的内接四边形，AB AD = ，若72C ∠=︒，则ABD ∠的度数是______．【答案】36°【分析】根据圆内接四边形的性质求出⊙A ，根据等边对等角的性质得到⊙ABD=⊙ADB ，根据三角形内角和定理计算即可．【详解】解：⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙⊙A ＝180°﹣⊙C ＝108°， ⊙AB ＝AD ， ⊙∠ABD=∠ADB ，⊙⊙ABD ＝()()113180180108622A ⨯=⨯∠︒︒︒=︒--故答案为36°．【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，等边对等角的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．【真题1】（2021·江苏南京·）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，若⊙BOD ＝130°，则⊙A 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．115°D ．130°【答案】C【分析】先根据圆周角定理求出BCD ∠的度数，再根据圆的内接四边形对角互补的性质求出结果． 【详解】解：⊙130BOD ∠=︒，链接中考⊙1652BCD BOD ∠=∠=︒，⊙四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ⊙180A BCD ∠+∠=︒， ⊙115A ∠=︒． 故选：C ．【点睛】本题考查圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补的性质．【真题2】（2021·西藏中考真题）如图，⊙BCD 内接于⊙O ，⊙D ＝70°，OA ⊙BC 交⊙O 于点A ，连接AC ，则⊙OAC 的度数为（ ）A ．40°B ．55°C ．70°D ．110°【答案】B【分析】连接OB ，OC ，根据圆周角定理得到⊙BOC ＝2⊙D ＝140°，根据垂径定理得到⊙COA 1702BOC =∠=︒，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：连接OB ，OC ， ⊙⊙D ＝70°，⊙⊙BOC ＝2⊙D ＝140°， ⊙OA ⊙BC ，⊙⊙COA 1702BOC =∠=︒，⊙OA ＝OC ， ⊙⊙OAC ＝⊙OCA 12=（180°﹣70°）＝55°， 故选：B ．【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，等腰三角形性质，三角形的内角和定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【真题3】（2021·辽宁鞍山·）如图，AB 为O 的直径，C ，D 为O 上的两点，若54ABD ∠︒＝，则C ∠的度数为（ ）A ．34︒B ．36︒C ．46︒D ．54︒【答案】B 【分析】连接AD ，如图，根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，C A ∠=∠，然后利用互余计算出A ∠，从而得到C ∠的度数．【详解】解：连接AD ，如图，AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90905436A ABD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，36C A ∴∠=∠=︒．故选B ．【点睛】本题主要考查了同弦所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.【真题4】（2021·四川德阳·中考真题）如图，在圆内接五边形ABCDE中，⊙EAB⊙+⊙C+⊙CDE+⊙E＝430°，则⊙CDA＝_____度．【答案】70【分析】先利用多边的内角和得到⊙EAB+⊙B+⊙C+⊙CDE+⊙E=540°，则可计算出⊙B=110°，然后根据圆内接四边形的性质求⊙CDA的度数．【详解】解：⊙五边形ABCDE的内角和为（5-2）×180°=540°，⊙⊙EAB+⊙B+⊙C+⊙CDE+⊙E=540°，⊙⊙EAB+⊙C+⊙CDE+⊙E=430°，⊙⊙B=540°-430°=110°，⊙四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙⊙B+⊙CDA=180°，⊙⊙CDA=180°-110°=70°．故答案为70．【点睛】本题考查了多边形的内角和与圆内接四边形的性质，运用圆内接四边形的性质是解决问题的关键．【拓展1】（2020·浙江绍兴市·）如图，一块三角尺ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是46°，则ACD的度数为__________．【答案】67°【分析】首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是46°，利用圆周角定理求解即可求得⊙BCD的度数，继而求得答案．【详解】解：连接OD，满分冲刺⊙直角三角板ABC 的斜边AB 与量角器的直径恰好重合，⊙点A ，B ，C ，D 共圆，⊙点D 对应的刻度是46°，⊙⊙BOD ＝46°，⊙⊙BCD ＝12⊙BOD ＝23°，⊙⊙ACD ＝90°-⊙BCD ＝67°，故答案为：67°．【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．【拓展2】（2020·山东烟台芝罘中学九年级月考）如图．在⊙ABC 中，⊙A ＝60°，BC ＝5cm ．能够将⊙ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是__________cm ．103 【分析】根据题意作出ABC 的外接圆，然后根据圆的相关知识即可求得⊙ABC 外接圆的直径，本题得以解决．【详解】解：将ABC 完全覆盖的最小覆盖圆就是ABC 的外接圆，如解图，作ABC 的外接圆，作直径BD ，连接CD ，则60D A ∠=∠=︒，BD 是O 的直径，90BCD ∴∠=︒，30DBC ∴∠=︒，⊙BD=2CD ，在Rt BDC 中，2225BD CD -=，⊙22354BD =， ⊙103BD =（取正值）．所以能够将⊙ABC 103cm ． 103 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆周角定理的推论，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．【拓展3】（2017·湖北十堰·中考真题）如图，⊙ABC 内接于⊙O ，⊙ACB =90°，⊙ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC =6，BD 2，则BC 的长为_____．【答案】8【分析】连接AD ，根据CD 是⊙ACB 的平分线可知⊙ACD=⊙BCD=45°，故可得出AD=BD ，再由AB 是⊙O 的直径可知⊙ABD 是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AB 的长，在Rt⊙ABC 中，利用勾股定理可得出BC 的长．【详解】连接AD ，⊙⊙ACB=90°，⊙AB 是⊙O 的直径．⊙⊙ACB 的角平分线交⊙O 于D ，⊙⊙ACD=⊙BCD=45°，2．⊙AB是⊙O的直径，⊙⊙ABD是等腰直角三角形，22+．AD BD⊙AC=6，2222AB AC-=-．106故答案为：8．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．备考无忧系列26。

专题3.5 圆周角、圆内接四边形【十大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)

专题3.5 圆周角、圆内接四边形【十大题型】(举一反三)(浙教版)(原卷版)

专题3.5 圆周角、圆内接四边形【十大题型】【浙教版】【题型1 圆周角的运用】........................................................................................................................................2【题型2 圆内接四边形的运用】............................................................................................................................3【题型3 利用圆的有关性质求值】........................................................................................................................4【题型4 利用圆的有关性质进行证明】................................................................................................................5【题型5 翻折中的圆的有关性质的运用】............................................................................................................7【题型6 利用圆的有关性质求最值】....................................................................................................................9【题型7 利用圆的有关性质求取值范围】..........................................................................................................10【题型8 利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】......................................................................................11【题型9 利用圆的有关性质判断多结论问题】..................................................................................................13【题型10 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】.. (14)【知识点1圆周角定理及其推论】【题型1 圆周角的运用】【例1】（2023春·山东泰安·九年级东平县实验中学校考期末）如图，⊙O 的直径是AB ，∠BPQ =45°，圆的半径是4，则弦BQ 的长是（ ）．A ．B ．C ．D ．【变式1-1】（2023春·广西玉林·九年级统考期末）如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，已知AB =4，CD =1，∠B =55°，∠C =65°，则BC = ．【变式1-2】（2023春·江西九江·九年级校考期中）如图，△ABC 内接于☉O ，AC =BC ，连接OB ，若∠C =52°，则∠OBC 的度数为．【变式1-3】（2023春·湖北省直辖县级单位·九年级统考期末）如图，AB 为半圆的直径，AB =10，点O 到弦AC 的距离为4，点P 从出发沿BA 方向向点A 以每秒1个单位长度的速度运动，连接CP ，当△APC 为等腰三角形时，点P 运动的时间是( )A ．145或4B ．145或5C ．4或5D ．145，4或5【知识点2 圆内接四边形】【题型2 圆内接四边形的运用】【例2】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在△ABC 中，AB =AC ．⊙O 是△ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点，E 为BA 延长线上一点．(1)求证：∠B =2∠ACD ；(2)若∠ACD =35°，求∠DAE 的度数．【变式2-1】（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，BE 是⊙O 的直径，连接AE ，若∠BCD =2∠BAD ，若连接OD ，则∠DOE 的度数是（ ）A ．30°B ．35°C ．45°D ．60°【变式2-2】（2023春·浙江·九年级期中）如图，⊙O 的内接四边形ABCD 两组对边的延长线分别交于点E 、F ，若∠E =α，∠F =β，且α≠β，则∠A =（用含有a 、β的代数式表示）．【变式2-3】（2023春·辽宁大连·九年级统考期末）如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O交AC于D且OD∥BC，⊙O交BC于点E．(1)求证：CD=DE；(2)若AB=12，AD=4，求CE的长度．【题型3利用圆的有关性质求值】【例3】（2023春·四川德阳·九年级四川省德阳中学校校考期中）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，过B，C两点的⊙O交AC于点D，交AB于点E，连接EO并延长交⊙O于点F．连接BF，CF，若∠EDC=135°，AE=2，BE=4，则CF的值为（）．A B．C．D．3【变式3-1】（2023春·湖南长沙·九年级统考期末）如图，⊙O中，OA⊥BC，∠B=50°，则∠D的度数为（）A．20°B．50°C．40°D．25°【变式3-2】（2023春·山东滨州·九年级统考期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，AD⊥BC，垂足为点D，直径AE平分∠BAD，交BC于点F，连接BE．(1)求证：BE=BF；(2)若AB=10，BF=5，求EF:AF的值．【变式3-3】（2023春·广东汕头·九年级汕头市龙湖实验中学校考期中）如图1，四边形ADBC内接于⊙O，E为BD延长线上一点，AD平分∠EDC.(1)求证：AB=AC；(2)若△ABC为等边三角形，则∠EDA=度；（直接写答案）(3)如图2，若CD为直径，过A点作AE⊥BD于E，且DB=AE=2，求⊙O的半径.【题型4利用圆的有关性质进行证明】【例4】（2023春·广东广州·九年级广东广雅中学校考期末）如图，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D，∠ECB=120°．(1)求AB所对圆心角的度数；(2)连DB，DA，求证：DA=DB；(3)探究线段CD，CA，CB之间的数量关系，并证明你的结论．【变式4-1】（2023春·浙江金华·九年级校考期中）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．证明：E是OB的中点．【变式4-2】（2023春·山西长治·九年级统考期末）阅读材料，解答问题：关于圆的引理古希腊数学家、物理学家阿基米德流传于世的数学著作有10余种，下面是《阿基米德全集》的《引理集》中记载的一个命题：如图1，AB是⊙O的弦，点C在⊙O上，CD⊥AB于点D，在弦AB上取点E，使DE=AD，点F是BC上的一点，且CF=CA，连接BF，则BF=BE．小颖对这个问题很感兴趣，经过思考，写出了下面的证明过程：证明：如图2，连接CA，CE，CF，BC，∵CD⊥AB于点D，DE=AD，∴CA=CE．∴∠CAE=∠CEA．∵CF=CA，∴CF=CA（依据1），∠CBF=∠CBA．∵四边形ABFC内接于⊙O，∴∠CAB+∠CFB=180°．（依据2）……(1)上述证明过程中的依据1为 ，依据2为　；(2)将上述证明过程补充完整．【变式4-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考期末）已知⊙O为△ACD的外接圆，AD=CD．(1)如图1，延长AD至点B，使BD=AD，连接CB．①求证：△ABC为直角三角形；②若⊙O的半径为4，AD=5，求BC的值；(2)如图2，若∠ADC=90°，E为⊙O上的一点，且点D，E位于AC两侧，作△ADE关于AD对称的图形△ADQ，连接QC，试猜想QA,QC,QD三者之间的数量关系并给予证明．【题型5翻折中的圆的有关性质的运用】【例5】（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，将⊙O上的BC沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将BD沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则DE的值为（）ABA B C D【变式5-1】（2023春·湖北恩施·九年级期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（ ）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【变式5-2】（2023春·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，C为圆上一点，将劣弧AC 沿弦AC翻折，交AB于点D，连接CD，若点D与圆心O不重合，∠BAC=25°，则∠DCA=．【变式5-3】（2023春·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考期中）在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．(1)如图1，若点D与圆心O重合，AC⊙O的半径r；(2)如图2，若点D与圆心O不重合，∠BAC=20∘，请求出∠DCA的度数．(3)如图2，如果AD=6，DB=2，求AC的长．【题型6利用圆的有关性质求最值】【例6】（2023春·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，△ABC中，AB=∠ACB=75°，∠ABC=60°，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB，AC于E，F，连接EF，则∠BAC=；EF的最小值为．【变式6-1】（2023春·北京密云·九年级统考期末）如图，⊙O的弦AB长为2，CD是⊙O的直径，∠ADB=30°,∠ADC=15°．①⊙O的半径长为．②P是CD上的动点，则PA+PB的最小值是．【变式6-2】（2023春·湖南湘西·九年级统考期末）如图，在正方形ABCD中，AB=4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF=x，EP=y（）A．B．C．D．【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·九年级沈阳市第七中学校考期末）如图，已知以BC为直径的⊙O，A为弧BC 中点，P为弧AC上任意一点，AD⊥AP交BP于D，连CD．若BC=6，则CD的最小值为．【题型7利用圆的有关性质求取值范围】【例7】（2023春·湖北武汉·九年级校考期末）如图，△ABC的两个顶点A、B在⊙O上，⊙O的半径为2，∠BAC=90°，AB=AC，若动点B在⊙O上运动，OC=m，则m的取值范围是．圆周，C点是BE 【变式7-1】（2023春·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）如图，弧BE是半径为6的圆D的14上的任意一点，△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（ ）A．12＜P≤18B．18＜P≤24C．18＜P≤18＋D．12＜P≤12＋【变式7-2】（2023春·福建福州·九年级校考期中）如图，⊙O的直径为10，A、B、C、D是⊙O上的四个动点，且AB＝6，CD＝8，若点E、F分别是弦AB、CD的中点，则线段EF长度的取值范围是（）A．1≤EF≤7B．2≤EF≤5C．1＜EF＜7D．1≤EF≤6【变式7-3】（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1．过⊙O 上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是．【题型8利用圆的有关性质探究角或线段间的关系】【例8】（2023·河北石家庄·统考一模）如图，AB是半圆O的直径，C、D、E三点依次在半圆O上，若∠C=α，∠E=β，则α与β之间的关系是（）α+90°A．α+β=270°B．α+β=180°C．β=α+90°D．β=12【变式8-1】（2023·湖北襄阳·九年级校考阶段练习）如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM//BP交PA的延长线于点M.（1）求∠APC和∠BPC的度数（2）探究PA、PB、PM之间的关系（3）若PA=1，PB=2，求四边形PBCM的面积．【变式8-2】（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AB=BC，延长DA到点E，使得BE=BD．(1)若AF平分∠CAD，求证：BA=BF；(2)试探究线段AD，CD与BD之间的数量关系．【变式8-3】（2023·江苏·九年级假期作业）小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究．(1)更换定理的题设和结论可以得到许多真命题．如图1，在⊙O中，C是劣弧AB的中点，直线CD⊥AB于点E，则AE=BE．请证明此结论；(2)从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦．如图2，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是劣弧AB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE=PE+PB．可以通过延长DB、AP相交于点F，再连接AD证明结论成立．请写出证明过程；(3)如图3，PA，PB组成⊙O的一条折弦．C是优弧ACB的中点，直线CD⊥PA于点E，则AE，PE与PB之间存在怎样的数量关系？写出结论，不必证明．【题型9利用圆的有关性质判断多结论问题】【例9】（2023春·江苏镇江·九年级统考期中）如图，点A、B、C是⊙O上的点，且∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∠ACB的平分线交⊙O于D，下列4个判断：①⊙O的半径为5；②CD的长为③在BC弦所在直线上存在3个不同的点E，使得△CDE是等腰三角形；④在BC弦所在直线上存在2个不同的点F，使得△CDF是直角三角形；正确判断的个数有（）A．1B．2C．3D．4【变式9-1】（2023春·广东湛江·九年级统考期末）如图所示，MN是⊙O的直径，作AB⊥MN，垂足为点D，连接AM，AN，点C为AN上一点，且AC=AM，连接CM，交AB于点E，交AN于点F，现给出以下MF．结论：①AD=BD；②∠MAN=90°；③AM=BM；④∠ACM+∠ANM=∠MOB；⑤AE=12其中正确结论的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5【变式9-2】（2023春·全国·九年级统考期末）已知如图，点O为△ABD的外心，点C为直径BD下方弧BCD上一点，且不与点B，D重合，∠ACB=∠ABD=45°，则下列对AC，BC，CD之间的数量关系判断正确的是（）A．AC=BC+CD B AC=BC+CD C AC=BC+CD D．2AC=BC+CD 【变式9-3】（2023春·浙江·九年级期末）在一次探究活动中，方方完成了如下的尺规画图过程：第一步：在半径为1的⊙O上任取一点A，连续以1为半径在⊙O上截取AB=BC=CD；第二步：分别以A、D为圆心A到C的距离为半径画弧，两弧交于E，以A为圆心O到E的距离为半径画弧，交⊙O于F．画图后，他得出两个结论：①AF②△ACF）A．①正确，②正确B．①正确，②错误C．①错误，②正确D．①错误，②错误【题型10构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例10】（2023春·安徽六安·九年级校考期末）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，连接PC，且满足∠PAB=∠PBC，过点P作PD⊥BC于点D，则∠APB=；当线段CP最短时，△BCP的面积为【变式10-1】（2023春·福建厦门·九年级厦门市第五中学校考期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC绕点B顺时针旋转得到△DBE（点A与D对应）．(1)如图，若点E落在边AB上，连接AD，求AE的长；(2)如图，若旋转角度为60°，连接AE．求AE的长；(3)如图，若旋转角度为α(45°≤α≤90°)，连接AD，BF⊥AD，垂足为F．求证：C，E，F三点在同一直线上．【变式10-2】（2023春·重庆开州·九年级统考期末）如图，以直角三角形ABC的斜边AB为边在三角形ABC的同侧作正方形ABDE，正方形的对角线AD，BE相交于点O，连接CO，如果AC=1，CO=ABDE的面积为（）A．20B．22C．24D．26【变式10-3】（2023春·吉林长春·九年级校考期末）如图，菱形ABCD的边长为8，∠A=60°，E是AD中点，动点P从点A出发，沿折线AB−BD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动，连结PE，作A关于直线PE 的对称点A′，连结A′E、A′P．设P的运动时间为t秒．(1)点D到AB的距离是．(2)直接写出A′B的最小值．(3)当A′落在菱形ABCD的边上时，求△A′PE的面积．(4)当A′P垂直于菱形ABCD的一边时，直接写出t的值．。

第09讲 圆周角(3种题型)(解析版)

第09讲 圆周角(3种题型)(解析版)

第09讲圆周角（3种题型）1.理解并掌握圆周角相关概念2.探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．1、顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.2、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

3、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。

3、圆周角的特点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:解题规律:5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【微点拨】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）一．圆周角定理（共12小题）1．（2023•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．45°D．40°【分析】由圆周角定理得到∠ADB＝90°，∠BAD＝∠BCD＝40°，由直角三角形的性质，即可求出∠ABD 的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠BAD＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣∠BAD＝50°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键．2．（2023•溧阳市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（）A．36°B．40°C．46°D．65°【分析】连接AD，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余可求出∠DAB＝36°，从而利用同弧所对的圆周角相等，即可解答．【解答】解：连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝54°，∴∠DAB＝90°﹣∠ABD＝36°，∴∠DAB＝∠BCD＝36°，故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．3．（2023•金坛区一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B 的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【分析】由三角形外角的性质求出∠C＝30°，由圆周角定理得到∠B＝∠C＝30°．【解答】解：∵∠APD＝∠C+∠A，∠A＝40°，∠APD＝70°，∴∠C＝∠APD﹣∠A＝70°﹣40°＝30°，∴∠B＝∠C＝30°．故选：B．【点评】本题考查圆周角定理，三角形外角的性质，关键是掌握圆周角定理，三角形外角的性质．4．（2023•天宁区模拟）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（）A．50°B．30°C．25°D．20°【分析】先利用平行线的性质可得∠COB＝∠OBA＝40°，然后再利用圆周角定理，进行计算即可解答．【解答】解：∵AB∥OC，∠OBA＝40°，∴∠COB＝∠OBA＝40°，∴∠BAC＝∠COB＝20°，故选：D．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．5．（2023•盐都区一模）用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为140°．【分析】先图形抽象出来，然后应用圆周角定理和圆内接四边形的性质即可解答．【解答】解：连接OA、OC、DA、DC，设⊙O的直径为EF，如图：由题意可知，∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴∠ADC＝∠AOC＝40°，∵∠ABC+∠AOC＝180°，∴∠ABC＝140°，故答案为：140°．【点评】本题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质，根据题意抽象出图形是解题关键．6．（2023•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交⊙O于点C，D，连接BD．若∠A＝34°，∠AED ＝87°，则∠B＝53°．​【分析】先根据三角形的外角性质可得∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，然后利用同弧所对的圆周角相等可得∠C ＝∠B＝53°，即可解答．【解答】解：∵∠AED是△ACE的一个外角，∠A＝34°，∠AED＝87°，∴∠C＝∠AED﹣∠A＝53°，∴∠C＝∠B＝53°，故答案为：53．【点评】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．（2022秋•南京期末）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB＝24，则CD的长为4．（2）如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB＝EF，求证CD＝GH．【分析】（1）根据垂径定理和勾股定理即可求出答案；（2）利用弦，弧、圆心角、弦心距之间的关系进行解答即可．【解答】解：（1）如图①，过点O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE＝AB＝12，CE＝DE，连接OA，OC，在Rt△AOE中，OE2＝OA2﹣AE2，在Rt△COE中，OE2＝OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2＝OC2﹣CE2，即132﹣122＝72﹣CE2，解得CE＝2，∴CD＝2CE＝4，故答案为：4；（2）如图②，过点O作OM⊥AB，ON⊥EF，垂足分别为M、N．∵AB＝EF，∴OM＝ON，∴CD＝GH．【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系，掌握垂径定理，圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系是正确解答的前提．8．（2023•南京模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠B＝75°，∠A ＝45°，，则弦CD＝2．​【分析】连接OC，过点O作OH⊥CD，垂足为H，根据垂径定理可得CD＝2CH，再根据等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACO＝45°，从而可得∠AOC＝90°，然后利用等腰直角三角形的性质可得OA＝OC＝2，再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ACD＝∠B＝75°，从而可得∠OCD＝30°，最后在Rt△OCH中，利用含30度角的直角三角形的性质可得OH＝1，CH＝，从而可得CD＝2CH＝2，即可解答．【解答】解：连接OC，过点O作OH⊥CD，垂足为H，∴CD＝2CH，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝45°，∴∠AOC＝180°﹣∠A﹣∠ACO＝90°，∵，∴OA＝OC＝＝＝2，∵∠B＝75°，∴∠ACD＝∠B＝75°，∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝30°，在Rt△OCH中，OH＝OC＝1，CH＝OH＝，∴CD＝2CH＝2，故答案为：2．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．9．（2023•苏州模拟）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，直径CD平分∠ACE，∠ACE的一边CE与⊙O和直径AB分别交于点E，F，连接BE，且AC＝AF．​（1）证明：BE∥CD；（2）若CF＝2，求BF的长．【分析】（1）先利用∠OCA＝∠A和∠OCA＝∠OCF得到∠A＝∠OCF，再根据圆周角定理得到∠E＝∠A，所以∠E＝∠OCF，然后根据平行线的判定方法得到结论；（2）先证明∠FOC＝∠OFC得到CF＝CO＝2，再证明△FCO∽△FAC，接着利用相似三角形的性质得到即2：（2+OF）＝OF：2，然后解方程求出OF，最后计算OB﹣OF即可．【解答】（1）证明：∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∵CD平分∠ACE，∴∠OCA＝∠OCF，∴∠A＝∠OCF，∵∠E＝∠A，∴∠E＝∠OCF，∴BE∥CD；（2）解：∵∠FOC＝2∠A，∠ACF＝2∠OCA，∴∠FOC＝∠ACF，∵AC＝AF，∴∠ACF＝∠OFC，∴∠FOC＝∠OFC，∴CF＝CO＝2，∵∠OFC＝∠CFA，∠OCF＝∠A，∴△FCO∽△FAC，∴CF：AF＝OF：CF，即2：（2+OF）＝OF：2，解得OF＝﹣1或OF＝﹣﹣1（舍去），∴BF＝OB﹣OF＝2﹣（﹣1）＝3﹣．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．10．（2022秋•太仓市期末）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝4，连接BC，以C为圆心，BC长为半径画弧与⊙O交于点D，连接AD，BD，BD与AC交于点E．（1）请直接写出图中与∠CAB相等的所有角∠CBD，∠CAD；（2）求AD的长．【分析】（1）根据圆心角、弧、弦的关系，由CB＝CD得到＝，然后根据圆周角定理得到∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；（2）先公交卡圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，则利用勾股定理可计算出BC＝3，再证明△CBE∽△CAB，利用相似比可求出CE＝，所以AE＝，利用勾股定理可计算出BE＝，然后证明△ADE∽△BCE，则利用相似比可求出AD的长．【解答】解：（1）∵CB＝CD，∴＝，∴∠CAB＝∠CBD＝∠CAD；故答案为：∠CBD，∠CAD；（2）∵AB为直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△ACB中，BC＝＝＝3，∵∠CBE＝∠CAB，∠BCE＝∠ACB，∴△CBE∽△CAB，∴CE：CB＝CB：CA，即CE：3＝3：4，解得CE＝，∴AE＝AC﹣CE＝4﹣＝，在Rt△BCE中，BE＝＝＝，∵∠DAE＝∠CBE，∠D＝∠C，∴△ADE∽△BCE，∴AD：BC＝AE：BE，即AD：3＝：，解得AD＝，即AD的长为．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．11．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证∠A＝∠D；（2）若的度数为108°，求∠E的度数．【分析】（1）连接BC，首先证明BA＝BD，即可解决问题；（2）根据的度数为108°，可得∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，所以，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴即AD⊥BC，又AC＝CD，∴AB＝BD，∴∠A＝∠D；（2）解：∵的度数为108°，∴∠EBA＝54°，又∠EBA＝∠A+∠D，∠A＝∠D，∴，∴∠E＝∠A＝27°．【点评】本题考查圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．（2022秋•建邺区期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，，∠CAB ＝32°．求∠ACD的度数．【分析】由圆周角定理得到∠ABC＝90°，∠ADB＝58°，由三角形内角和定理求出∠DBA的度数，由圆周角定理即可求出∠ACD的度数．【解答】解：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CAB＝90°﹣32°＝58°，∴∠ADB＝∠ACB＝58°，∵＝，∴∠DAB＝∠DBA＝（180°﹣58°）＝61°，∴∠ACD＝∠DBA＝61°．∴∠ACD的度数是61°．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角，弧，弦的关系，掌握以上知识点是解题的关键．二．圆内接四边形的性质（共14小题）13．（2023•高新区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（）A．20°B．30°C．40°D．45°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠BAD＝60°，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直径，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠BAD＝90°﹣60°＝30°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14．（2023•兴化市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD 的度数为110°．【分析】根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，进而求出∠A，根据圆内接四边形的性质计算，得到答案．【解答】解：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝20°，∴∠A＝90°﹣∠ABD＝70°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠BCD＝180°﹣70°＝110°，故答案为：110．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．15．（2023•建邺区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝75°．【分析】根据同弧或等弧所对的圆周角相等求解即可．【解答】解：如图：连接AD，∵∠O＝130°，OA＝OD，∴∠OAD＝（180°﹣130°）＝25°，∵∠C＝130°，∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，∴∠BAO＝∠BAD+∠OAD＝25°+50°＝75°．故答案为：75．【点评】考查了圆的内接四边形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．16．（2023•沭阳县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是124°．【分析】首先利用圆周角定理求的∠ADC的度数，然后利用圆内接四边形的对角互补求的答案即可．【解答】解：∵∠AOC＝112°，∴∠ADC＝∠AOC＝×112°＝56°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180﹣56°＝124°，故答案为：124°．【点评】本题考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理的知识，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补，难度较小．17．（2022秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧BC上的一点（P 点与C点不重合），则∠CPD的度数是45°．【分析】连接BD，根据正方形的性质求出∠DBC＝45°，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：连接BD，∵四边形ABCD为正方形，∴∠DBC＝45°，由圆周角定理得：∠CPD＝∠DBC＝45°，故答案为：45°．【点评】本题考查的是正方形的性质、圆周角定理，根据正方形的性质求出∠DBC＝45°是解题的关键．18．（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°．【分析】连接OB、OD，根据圆周角定理得到∠A＝∠2，∠C＝∠1，进而证明结论．【解答】证明：如图，连接OB、OD，由圆周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠2+∠1＝360°，∴∠A+∠C＝180°．【点评】本题考查的是圆周角定理、圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．19．（2022秋•宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠DCB＝180°，根据同角的补角相等证明结论；（2）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠ACB＝70°，根据三角形内角和定理计算即可．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于圆，∴∠DAB+∠DCB＝180°，∵∠DCE+∠DCB＝180°，∴∠DAB＝∠DCE；（2）解：∵∠ACB＝70°，∴∠ADB＝∠ACB＝70°，∴∠ABD＝180°﹣60°﹣70°＝50°．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．20．（2022秋•宿豫区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的长度．【分析】根据AC为⊙O的直径，可得∠ABC＝∠ADC＝90°，然后根据同弧所对的圆周角相等可得∠ACB ＝∠CAB＝45°，然后根据勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∵∠ADB＝∠CDB，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴△ABC为等腰直角三角形，在Rt△ABC中，，在Rt△ADC中，．【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，熟知直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等是解本题的关键．21．（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．求证：BD＝BC．【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠BCD+∠BAD＝180°，进而证明∠BCD＝∠EAD，根据圆周角定理得到∠BDC＝∠BAC，等量代换得到∠BCD＝∠BDC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．【解答】证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠BCD+∠BAD＝180°，∵∠EAD+∠BAD＝180°，∴∠BCD＝∠EAD，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BAC，∵∠BDC＝∠BAC，∴∠BCD＝∠BDC，∴BD＝BC．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理、等腰三角形的判定，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．22．（2022秋•建邺区期中）求证：圆内接四边形的对角互补．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．证明：作直径AE，连接BE、DE．所以∠ABE＝∠ADE＝90°．因为∠CBE＝∠CDE，（①）所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．同理∠DAB+∠BCD＝180°．（1）证明过程中依据①是在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；（2）请给出另一种证明方法．【分析】（1）根据圆周角定理可得答案；（2）连接BO，DO，根据圆周角定理证得∠A＝∠2，∠C＝∠1，进而根据∠1+∠2＝360°，证得∠A+∠C＝180°即可证得结论．【解答】证明：连接BO，DO，由圆周角定理得：∠A＝∠2，∠C＝∠1，∵∠1+∠2＝360°，∴∠A+∠C＝180°，同理∠B+∠D＝180°．即圆内接四边形的对角互补．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握运用在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．23．（2023•苏州一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝2∠BOD，则∠A的度数是（）A．30°B．36°C．45°D．60°【分析】根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠BCD＝180°，根据圆周角定理得出∠BOD＝2∠A，再求出答案即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝2∠BOD，∠BOD＝2∠A，∴∠BCD＝4∠A，∴4∠A+∠A＝180°，解得：∠A＝36°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质和圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．24．（2023•鼓楼区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠BOD的度数为（）A．60°B．70°C．120°D．150°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠C，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠C＝180°﹣∠A＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝120°，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．25．（2022秋•栖霞区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）求证：∠BAC＝2∠DAC；（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到∠BAH＝∠CAH＝∠CAB，CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到AG＝AH，CG＝CH，根据相似三角形的性质得到＝，设BH＝k，AH＝2k，根据勾股定理即可得到结论．【解答】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC＝90°，∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，∵∠DAC＝∠CBD，∴∠BAC＝2∠DAC；（2）解：过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC，∴∠BAH＝∠CAH＝CAB，CH＝BH，∵∠BAC＝2∠DAC，∴∠CAG＝∠CAH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，∴∠G＝∠AHC＝90°，∵AC＝AC，∴△AGC≌△AHC（AAS），∴AG＝AH，CG＝CH，∵∠CDG＝∠ABC，∴△CDG∽△ABH，∴，∴＝，设BH＝k，AH＝2k，∴AB＝＝k＝10，∴k＝2，∴BC＝2k＝4．【点评】本题考查了圆内接四边形，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．26．（2022秋•高新区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质可得∠A+∠BCD＝180°，根据邻补角互补可得∠DCE+∠BCD＝180°，进而得到∠A＝∠DCE，然后利用等边对等角可得∠DCE＝∠AEB，进而可得∠A＝∠AEB；（2）首先证明△DCE是等边三角形，进而可得∠AEB＝60°，再根据∠A＝∠AEB，可得△ABE是等腰三角形，进而可得△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∵∠DCE+∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE，∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB，∴∠A＝∠AEB；（2）∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形，∵EO⊥CD，∴CF＝DF，∴EO是CD的垂直平分线，∴ED＝EC，∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC，∴△DCE是等边三角形，∴∠AEB＝60°，∴△ABE是等边三角形，∴∠A＝60°．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，以及圆内接四边形的性质，关键是掌握圆内接四边形对角互补．三．相交弦定理（共5小题）27．（2021•盐都区二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB＝2．【分析】直接利用相交弦定理得出CE×DE＝AE×BE，求出即可．【解答】解：∵弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，∴CE•DE＝AE•BE，∴1×3＝AE2，解得：AE＝，∴弦AB的长为：AB＝2AE＝2，故答案为：2．【点评】此题主要考查了相交弦定理，正确记忆相交弦定理是解题关键．28．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．【分析】（1）根据圆周角定理得出∠A＝∠C，∠D＝∠B，再根据相似三角形的判定推出即可；（2）根据相似得出比例式，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵∠A＝∠C，∠D＝∠B（在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等），∴△PAD∽△PCB；（2）解：∵△PAD∽△PCB，∴＝，∵PA＝3，PB＝8，CD＝10，∴＝，解得：PD＝4或6，当PD＝4时，PC＝6，当PD＝6时，PC＝4，∵PD＜PC，∴PD＝4．【点评】本题考查了相交弦定理，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能正确运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．29．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．【分析】设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据相交弦定理x（4﹣x）＝5•1，然后解一元二次方程即可．【解答】解：设EC＝x，则ED＝CD﹣CE＝4﹣x，根据题意得AE•BE＝CE•DE，所以x（4﹣x）＝5•1，整理得x2﹣4x+5＝0，解得x＝2±，即EC的长为2+或2﹣．【点评】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．30．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD ⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．【分析】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．【解答】（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点评】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．31．（2021秋•滨湖区校级期中）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；（2）连接OM、OC，由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．【解答】解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴△ADM∽△CBM∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM 的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．一．选择题（共10小题）1．（2023•锡山区模拟）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC的度数为（）A．90°B．80°C．70°D．60°【分析】根据等弧所对的圆心角相等以及圆周角定理，得∠BCD＝100°÷4＝25°．再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得∠OEC＝55°+25°＝80°．【解答】解：连接OD，∵点D是弧AB的中点，∴，∵∠AOB＝100°，∴∠BOD＝∠AOB＝50°，∴∠BCD＝∠BOD＝25°，∴∠OEC＝∠OBC+∠C＝55°+25°＝80°．故选：B．【点评】本题考查了圆心角、弦、弧之间的关系定理、圆周角定理以及三角形的内角和定理的推论，解题的关键是掌握并熟练运用相关的性质和定理．2．（2023•涟水县一模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，则∠ACB的度数是（）A．54°B．27°C．36°D．108°【分析】根据圆周角定理解答即可，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．【解答】解：∵∠AOB＝108°，∴∠ACB＝∠AOB＝54°．故选：A．【点评】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理并灵活运用．3．（2023•南京二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为（）A．152°B．142°C．118°D．108°【分析】先用直径所对的圆周角是直角求出∠ABC，再用圆的内接四边形对角互补，求出∠ADC即可．【解答】解：连接BC，∵AB是圆的直径，∴∠BAC+∠ABC＝90°，∵∠CAB＝28°，∴∠ABC＝62°，∵点A，B，C，D四点共圆，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°﹣62°＝118°，故选：C．【点评】此题是圆周角定理，主要考查了直径所对的圆周角是直角，圆的内接四边形对角互补，解本题的关键是圆的内接四边形的对角互补的应用．4．（2023•如皋市一模）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（）A．130°B．125°C．100°D．80°【分析】首先在上取点D，连接AD，CD，由圆周角定理即可求得∠D的度数，然后由圆的内接四边形的性质，求得∠ABC的度数．【解答】解：如图，在优弧上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝50°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝130°．故选：A．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．5．（2023•铜山区一模）下列说法中，正确的是（）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．A．①④B．②③C．①③④D．②③④【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，弧分为优弧、劣弧、半圆弧分别判断即可．【解答】解：①、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形为菱形，故该项正确；②、对角线相等的平行四边形为矩形，故该选项错误；③、同弧或等弧所对的圆周角相等，故该选项正确；④、弧分为优弧、劣弧、半圆弧，则半圆是弧，但弧不一定是半圆，故该项正确；故选：C．【点评】本题考查基本概念，熟记知识点是解题关键．6．（2023•徐州模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，则∠AOB的度数为（）A．78°B．61°C．76°D．51°【分析】根据圆周角定理即可得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝∠AOB，∠ACB＝39°，∴∠AOB＝2∠ACB＝2×39°＝78°．故选：A．【点评】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．（2023•如东县一模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连接OA，OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（）A．100°B．118°C．124°D．130°【分析】根据∠CBD的度数可先求出弧AC所对应的圆周角的度数，进而可得答案．【解答】解：如图，在优弧AC上取点P，连接PA，PC，∵∠CBD＝62°，∴∠CPA＝62°，∴∠AOC＝2∠APC＝124°，故选：C．【点评】本题考查圆内接四边形的性质与圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键．8．（2023•新华区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，则⊙O的半径为（）A．4B．C．D．【分析】先根据圆内接四边形对角互补得出∠ADC＝45°，由圆周角定理得出∠AOC＝90°，根据OA＝OC 可得出答案．【解答】解：连接OA，OC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，∴∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°，由勾股定理得：OA2+OC2＝AC2，∵OA＝OC，AC＝1，∴OA2+OC2＝12，∴2OA2＝1，∴OA＝，∴⊙O的半径为．故选：D．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角与圆心角的关系，解题的关键是熟练运用相关定理．9．（2023•连云港二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为（）A．135°B．140°C．145°D．150°【分析】如图，连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，可求出∠AOC＝80°，即可得∠ADC＝40°，进一步可求出∠ABC＝140°．【解答】解：连接OA，OC，DA，DC，设⊙O的直径为EF，如图，∵∠AOE＝55°，∠EOC＝135°，∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE＝135°﹣55°＝80°，∴，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝180°﹣40°＝140°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理，从实际问题中抽象出圆周角定理模型是解题的关键．10．（2023•鼓楼区校级二模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．20°B．40°C．60°D．80°【分析】根据圆周角定理的含义可得答案．【解答】解：∵∠C＝40°，∴∠AOB＝2∠C＝80°，故选：D．【点评】本题考查的是圆周角定理的应用，熟记在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角是其所对的圆心角的一半．二．填空题（共8小题）11．（2023•姑苏区校级二模）如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，点E为⊙O 上一点，连接CE，交⊙O于点D，连接BD、AE，若点D恰为线段CE中点且BD＝2，则△AEC周长为12+6．【分析】连接AD，交OE于F，如图，先证明BD为△OCE的中位线，则OE＝2BD＝4，再根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则∠AFO＝90°，OF为△ABD的中位线，OF＝BD＝1，则EF＝OE﹣OF＝3，再利用勾股定理计算出AD＝2，则AF＝，再利用勾股定理求出AE，ED，即可求解．【解答】解：连接OE、AD，如图，设⊙O的半径为r，∵O、B两点是线段AC的三等分点，∴OB＝CB，∵点D恰为线段CE中点，∴BD为△OCE的中位线，∴OE＝2BD＝4，OE∥BD，∵AB为直径，O、B两点是线段AC的三等分点，∴∠ADB＝90°，AB＝2OE＝8，AC＝12，在Rt△ABD中，AD＝＝＝2，∵OA＝OB，OE∥BD，∴∠AFO＝90°，OF为△ABD的中位线，OF＝BD＝1，AF＝DF＝AF＝，∴EF＝OE﹣OF＝3，∴AE＝ED＝＝＝2，∴CE＝2DE＝4，∴△AEC周长为AE+CE+AC＝2+4+12＝12+6，故答案为：12+6．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了勾股定理和三角形的中位线定理．12．（2023•盐都区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝115°．【分析】先作出弧AC所对的圆周角∠D，如图，根据圆周角定理得到∠D＝∠AOC＝65°，然后根据圆内接四边形的性质求∠ABC的度数．【解答】解：∵∠D为弧AC所对的圆周角，∴∠D＝∠AOC＝＝65°，∵∠D+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝180°﹣65°＝115°．故答案为：115．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆内接四边形的性质．13．（2023•赣榆区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数为52°．【分析】连接AC．由直径所对圆周角为直角可得出∠ACB＝90°，从而可求出∠BAC＝52°．再结合同弧所对圆周角相等即得出∠BDC＝∠BAC＝52°．【解答】解：如图，连接AC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．∵∠ABC＝38°，∴∠BAC＝90°﹣38°＝52°．∵，∴∠BDC＝∠BAC＝52°．故答案为：52°．。

专题11 圆周角压轴题七种模型全攻略(解析版)

专题11 圆周角压轴题七种模型全攻略(解析版)

专题11圆周角压轴题七种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一圆周角的概念辨析】 (1)【考点二圆周角定理】 (2)【考点三同弧或等弧所对的圆周角相等】 (5)【考点四半圆(直径)所对的圆周角是直角】 (7)【考点五90度的圆周角所对的弦是直径】 (10)【考点六已知圆内接四边形求角度】 (12)【考点七求四边形外接圆的直径】 (15)【过关检测】 (18)【典型例题】【考点一圆周角的概念辨析】例题：（2023秋·广西河池·九年级统考期末）下列图形中的角是圆周角的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆周角的定义判断即可．【详解】解：选项A和选项B中的角的顶点没有在圆上，选项D中的角的一边没有与圆相交，均不是圆周角，选项C中的角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交，是圆周角．故选C．【点睛】本题考查圆周角的识别，解题的关键是掌握圆周角的定义，即：角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角．【变式训练】∠是圆周角的是（）1．（2023秋·河北唐山·九年级统考期末）下列图形中，BACA．B．C．D．【答案】B【分析】由圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，即可求得答案．∠是圆周角的有：B，不是圆周角的有：A，C，D．【详解】解：根据圆周角定义：可得BAC故选B．【点睛】此题考查了圆周角定义．此题比较简单，解题的关键是理解圆周角的定义．2．（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（）．A．B．C．D．【答案】C【分析】根据圆周角和圆心角的定义解答即可．【详解】解：A．图中只有圆周角，没有圆心角，选项不符合题意；B．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；C．图中既有圆心角，也有圆周角，选项符合题意；D．图中只有圆心角，没有圆周角，选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查了圆周角与圆心角的识别，掌握圆周角和圆心角的定义是解答本题的关键．顶点在圆周上，角的两边与圆相交的角是圆周角；圆心角的定义：顶点在圆的角是圆心角．【考点二圆周角定理】【答案】52︒【分析】由圆周角定理即可得到答案．【详解】解：26ABC ∠=︒ ，252AOC ABC ∴∠=∠=︒，故答案为：52︒．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，是解题的关键．【变式训练】【答案】20【分析】连接OD ，由圆周角定理可得25ODC OCD ∠=∠=︒，再由【详解】解：连接OD ，如图，，【答案】1【分析】连接OB 角三角形中30︒角对的直角边等于斜边的一半即可求得答案．【详解】解：如图，连接∵60ACB ∠=︒，∴2AOB ACB ∠=∠∵OD AB ⊥，∴ AD BD=，∠【考点三同弧或等弧所对的圆周角相等】【变式训练】【答案】40︒/40度【分析】连接CD，根据圆周角定理的推论得出【详解】解：连接CD的直径，∵AD为O【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键．2．（2023春·江西上饶的延长线与CB的延长线交于点【答案】43︒/43度【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠=∠=︒，再根据等边对等角得出BAC BAD23.5∵47BOC ∠=︒，∴123.52BAC BOC ∠=∠=︒，∵ BCBD =，∴23.5BAC BAD ∠=∠=︒，【考点四半圆(直径)所对的圆周角是直角】【答案】61︒/61度【分析】如图，连接BC【详解】解：如图，连接BC ．∵AB 是直径，∴90ACB ∠=︒，∴9061ABC CAB ∠=︒-∠=︒，∴61D ABC ∠=∠=︒，故答案为：61︒．【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．【变式训练】(1)求BAD ∠的度数．(2)若2AD =，求DB 【答案】(1)60︒(2)23(1)求证：点D为弧AC的中点；AC=，求(2)若4DF=，16【答案】(1)见解析(2)20【分析】（1）根据圆周角定理可得∴()22=64OA OD DF+-，∴()22=644OA OA +-，∴10OA =，∴O 的直径为20．【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．【考点五90度的圆周角所对的弦是直径】【答案】132-/213-+【分析】由90APB ∠= ，可知勾股定理求OC 的长，根据P C '【详解】解：∵90APB ∠= ，∴P 在以AB 为直径的O 上运动，如图，∴当O P C 、、三点共线时，∵222313OC =+=，∴132P C '=-，【变式训练】【答案】733-/3-+【分析】根据BE CD ⊥交O 于点F ，连接OE F 重合时，AE 取得最小值，进行求解即可．【详解】解：∵BE CD ⊥∴当且仅当,,O A E 三点共线时，∵90ABC ∠=︒，AB ∴3OF BO ==，AO ∴AE 的最小值为：【答案】2102-/2210-+【分析】根据题意可得点G的运动轨迹为以取最小值，根据勾股定理进行计算即可．=-=∴CG最小值为：CG CH r故答案为：2102-．【考点六已知圆内接四边形求角度】【答案】70【分析】根据圆周角定理得到【详解】解：∵140AOC ∠=∴7201B AOC ∠∠=︒=，ABCD O 【变式训练】【答案】140︒【分析】根据同弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半求出补求出，BCD ∠的度数．【详解】解∶12A ∠=∠【答案】34︒【分析】利用等腰三角形的性质可得然后根据圆内接四边形对角互补求出求出DAB ∠的度数．【详解】解：AC CD = 28CAD CDA ∴∠=∠=︒，180ACD CAD ∴∠=︒-∠-∠【考点七求四边形外接圆的直径】A．3【答案】D【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠性质得出OD=OA=AD=∵四边形ABCD是⊙O∴∠A+∠C=180°，∵∠C=120°，∴∠A=60°，【变式训练】A．2πA ．πB ．2πC ．3πD ．4π【答案】D 【分析】连接BD ，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D ＝∠CBE ＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE ＝60°，可得∠A ＝60°，点C 为 BD的中点，可得出∠BDC ＝∠CBD ＝30°，进而得出∠ABD =90°，AD 为直径，可得出AD =2AB =4，再根据面积公式计算得出结论；【详解】解：连接BD ，∵ABCD 是⊙O 的内接四边形，∴∠CBE ＝∠ADC ，∠BCE ＝∠A∵:2:1ABC ADC ∠∠=∴:2:1ABC CBE ∠∠=∴∠CBE ＝∠ADC=60°，∠CBA ＝120°∵60E ∠=o∴△CBE 为等边三角形∴∠BCE ＝∠A=60°，∵点C 为 BD的中点，∴∠CDB ＝∠DBC=30°∴∠ABD =90°，∠ADB =30°∴AD 为直径∵AB =2∴AD =2AB =4∴O 的面积是=224ππ⨯=故答案选：D【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，APB ∠是圆周角的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】根据圆周角的概念：顶点在圆周上，且两边都与圆相交的角叫圆周角就可判断．【详解】解：A 、B 顶点没在圆上，C 虽然顶点在圆上，但一条边没有与圆相交，D 符合圆周角的概念，故选：D ．【点睛】此题考查了圆周角的概念，解题的关键是熟练掌握圆周角的概念．2．（2023春·吉林松原·九年级校联考期中）如图，已知AB 为O 的直径，点P 、点C 在圆上，且位于AB 异侧．若40POA ∠=︒，则C ∠的度数是（）A ．90︒B ．80︒C ．70︒D ．60︒【答案】C 【分析】根据邻补角得出140POB ∠=︒，进而根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵40POA ∠=︒，∴140POB ∠=︒，∵ PBPB =，∴2701P C OB ∠∠==︒，A．160︒【答案】A【分析】根据圆内接四边形的性质证得∠【详解】解：∵DCE∠=∠A DCEA．43【答案】B【分析】如图：连接【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．5．（2023秋·山西吕梁示的位置放置，其中锐角顶点A．2B．【答案】B【分析】连接OD，根据圆周角定理得出二、填空题【答案】90︒/90度【分析】根据圆周角定理即可求解．【详解】解：∵ BC∴2BOC A ∠=∠=∵30C ∠=︒，∴根据圆周角定理可知∵OB OA =，∴AOB 是等边三角形，【答案】26【分析】连接AC 理求出AD ，继而求出结果．【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋·湖北十堰一点，EC 交O 于点【答案】20︒【分析】连接AD ,则ADB ∠【详解】如图所示：连接AD ,∵AB 是O 的直径,∴90ADB ∠=︒,【答案】1266+【分析】连接AD ，交OE 周角定理得出90ADB ∠=O B 、两点是线段AC 的三等分点，OB CB ∴=，点D 恰为线段CE 中点，BD ∴为OCE △的中位线，三、解答题11．（2022秋·浙江衢州·九年级校联考期中）如图，在ABC 中，AB AC =．O 是ABC 的外接圆，D 为弧AC 的中点，E 为BA 延长线上一点．(1)求证：AE BC=；(2)若AE23=，求 【答案】(1)见解析∵AB ，CD 为O 的直径，∴90AEB ABD ∠=∠=∵点B 是 DE的中点，∴ BEBD =，∵点B 是 DE的中点，∴ BEBD =，∴DOB EOB ∠=∠∵AE 垂直于直径CD【答案】（1）110︒，35︒；（2）43【分析】（1）①根据圆周角定理得到∠ADC ∠；②根据 AD DC =得到AD DC =（2）连接OA ，根据弦AB 垂直平分半径【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．14．（2023·江苏泰州知识回顾(1)如图①，O 中，B 、C 位于直线AO 异侧，AOB ∠+∠①求C ∠的度数；②若O 的半径为5，8AC =，求BC 的长；逆向思考AC=45，8∠=︒C∴ 是等腰直角三角形，且ACM∠=∠=AOB C290∴ 是等腰直角三角形，AOB∴==AB OA252在直角三角形ABM∴=+=BC CM BM（2）证明：延长AP，∠=∠APB C2∴∠=∠，2APB N，APB N PBN∠=∠+∠∴∠=∠，N PBN∴=，PN PB，PA PB=∴==，PA PB PN∴为该圆的圆心．P（3）证明：过B作BC的垂线交CA的延长线于点E，连接AB，延长AP交圆于点F，连接CF，FB，∠=︒，APB90∴∠=︒，45C∴△是等腰直角三角形，BCE∴=，BE BC=，，PA PFBP AF⊥∴=，BA BF是直径，AF∴∠=︒，90ABF∴∠=∠=︒，EBC ABF90∴∠=∠，EBA CBF△△，∴≌(SAS)EBA CBF【答案】（1）120，332；（2）2AM AB AC =+，理由见解析；【分析】（1）由AB 是O 的直径，得到90BAD ∠=︒，求出接四边形对角互补求出BDC ∠，根据直角三角形30度角的性质求出点（2）如图，连接DB DC 、，过点D 作DN AC ⊥，垂足为N ．由角平分线性质定理得到22故答案为：120，332；（2）如图，连接DB 、∵AD 平分BAC ∠．∴BAD CAD ∠=∠，∴DM DN AM ==，∵BAD CAD ∠=∠．由（2）可知2AM ∴2155AM x =-+∵AC 平分BAD ∠。

专题2.4 圆周角定理【十大题型】(举一反三)(苏科版)(解析版)

专题2.4 圆周角定理【十大题型】(举一反三)(苏科版)(解析版)

专题2.4 圆周角定理【十大题型】【苏科版】【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】 (2)【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】 (4)【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】 (8)【题型4 翻折中的圆周角的运用】 (12)【题型5 利用圆周角求最值】 (17)【题型6 圆周角中的证明】 (21)【题型7 圆周角中的多结论问题】 (28)【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】 (32)【题型9 圆周角与量角器的综合运用】 (36)【题型10 利用圆周角求取值范围】 (39)【题型1 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半的运用】【例1】（2022•鼓楼区校级模拟）如图，CD是⊙O的直径，⊙O上的两点A，B分别在直径CD的两侧，且∠ABC＝78°，则∠AOD的度数为（ ）A．12°B．22°C．24°D．44°【分析】利用圆周角定理求出∠AOC＝156°，可得结论．【解答】解：∵∠AOC＝2∠ABC，∠ABC＝78°，∴∠AOC＝156°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝24°，故选：C．【变式1-1】（2022•温州）如图，AB，AC是⊙O的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，连结OB，OC．若∠DOE＝130°，则∠BOC的度数为（ ）A．95°B．100°C．105°D．130°【分析】根据四边形的内角和等于360°计算可得∠BAC＝50°，再根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC，进而可以得到答案．【解答】解：∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ADO＝90°，∠AEO＝90°，∵∠DOE＝130°，∴∠BAC＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，故选：B．【变式1-2】（2022•蓝山县一模）如图，点A，B，C在⊙O上，∠1＝40°，∠C＝25°，则∠B＝（ ）A．100°B．70°C．55°D．65°【分析】根据圆周角定理得出∠BOC＝2∠1＝80°，根据三角形内角和定理得出∠1+∠B+∠ADB＝180°，∠C+∠BOC+∠ODC＝180°，求出∠1+∠B＝∠BOC+∠C即可．【解答】解：设OB交AC于D，∵∠1＝40°，∴∠BOC＝2∠1＝80°，∵∠1+∠B+∠ADB＝180°，∠C+∠BOC+∠ODC＝180°，∠ADB＝∠ODC，∴∠1+∠B＝∠BOC+∠C，∵∠C＝25°，∴40°+∠B＝80°+25°，∴∠B＝65°，故选：D．【变式1-3】（2022春•汉阳区校级月考）如图，AB，CD为⊙O的两条弦，若∠A+∠C＝120°，AB＝2，CD＝4，则⊙O的半径为（ ）A．B．C D【分析】连接OB，OA，OC，OD，证明∠AOB+∠COD＝90°，在⊙O上点D的右侧取一点E，使得DE＝AB，过点E作ET⊥CD交CD的延长线于点T，则AB=DE，利用勾股定理求解即可．【解答】解：如图，连接OB，OA，OC，OD，∵∠BOC＝2∠CAB，∠AOD＝2∠ACD，∠CAB+∠ACD＝120°，∴∠BOC+∠AOD＝240°，∴∠AOB+∠COD＝120°，在⊙O上点D的右侧取一点E，使得DE＝AB，过点E作ET⊥CD交CD的延长线于点T，则AB=DE，∴∠AOB＝∠DOE，∴∠COE＝120°，∴∠CDE＝120°，∴∠EDT＝60°，∵DE＝AB＝2，∴DT＝1，ET∴CT＝CD+DT＝4+1＝5，∴CE===作OF⊥CE，则∠COF＝60°，CF=∴OC＝OE=故选：D．【题型2 同弧或等弧所对的圆周角相等的运用】【例2】（2022•保亭县二模）如图，AB为⊙O的直径，点C、D在圆上，CE⊥AB于点E，若∠D＝48°，则∠1＝（ ）A．42°B．45°C．48°D．52°【分析】连接AC，根据圆周角定理得出∠A＝∠D＝48°，∠ACB＝90°，求出∠ABC，根据垂直求出∠CEB，再求出∠1即可．【解答】解：连接AC，由圆周角定理得：∠A＝∠D，∵∠D＝48°，∴∠A＝48°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝42°，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∴∠1＝90°﹣∠ABC＝48°，故选：C．【变式2-1】（2022•南充）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，∠BOF＝65°，则∠AOD为（ ）A．70°B．65°C．50°D．45°【分析】先根据三角形的内角和定理可得∠B＝25°，由垂径定理得：AC=AD，最后由圆周角定理可得结论．【解答】解：∵OF⊥BC，∴∠BFO＝90°，∵∠BOF＝65°，∴∠B＝90°﹣65°＝25°，∵弦CD⊥AB，AB为⊙O的直径，∴AC=AD，∴∠AOD＝2∠B＝50°．故选：C．【变式2-2】（2022•十堰二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝54°，以BC为直径的⊙O交AB于点D．E是⊙O上一点，且CE=CD，连接OE．过点E作EF⊥OE，交AC的延长线于点F，则∠F 的度数为（ ）A．92°B．108°C．112°D．124°【分析】连接OD，根据圆心角、弧、弦之间的关系得出∠DOC＝∠EOC，根据直角三角形的两锐角互余得出∠B＝90°﹣∠A＝36°，根据圆周角定理求出∠DOC＝2∠B＝72°，求出∠EOC＝∠DOC＝72°，再根据四边形的内角和等于360°求出即可．【解答】解：解法一、连接OD，∵CD=CE，∴∠DOC＝∠EOC，∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝90°﹣∠A＝36°，∴∠DOC＝2∠B＝72°，∴∠EOC＝∠DOC＝72°，∵OE⊥EF，∴∠OEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，∴∠F＝360°﹣∠OEF﹣∠BCF﹣∠EOC＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°；解法二、∵∠ACB＝90°，∠A＝54°，∴∠B＝90°﹣∠A＝36°，∵DC=CE，∴∠COE＝2∠B＝72°，∵OE⊥EF，∴∠OEF＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCF＝90°，∴∠F＝360°﹣∠OEF﹣∠BCF﹣∠EOC＝360°﹣90°﹣90°﹣72°＝108°；故选：B．【变式2-3】（2022•本溪模拟）如图，在⊙O中，AB=BC，直径CD⊥AB于点N，P是AC上一点，则∠BPD的度数是　30°　．【分析】连接OA、OB，如图，先根据垂径定理得到AC=BC，所以AB=BC=AC，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝120°，所以∠BOD＝60°，然后根据圆周角定理求解．【解答】解：连接OA、OB，如图，∵CD⊥AB，∴AC=BC，∵AB=BC，∴AB=BC=AC，×360°＝120°，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB=13∴∠BOD＝180°﹣120°＝60°，∠BOD＝30°．∴∠BPD=12故答案为：30°．【题型3 直径所对的圆周角是90°的运用】【例3】（2022•中山市三模）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，∠D＝60°，则BC长等于（ ）A．4B．5C D．【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠D＝60°，求出∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB＝2AC＝4，再根据勾股定理求出BC即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠D＝60°，∴∠CAB＝∠D＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AC＝4，∴BC==故选：D．【变式3-1】（2022•潍坊二模）如图，已知以△ABC的边AB为直径的⊙O经过点C，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD．若∠BAC＝36°，则∠ODB的度数为（ ）A．32°B．27°C．24°D．18°【分析】设AC与OD相交于点E，根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB＝90°，从而求出∠ABC＝54°，再根据垂直定义可得∠AEO＝90°，从而可得OD∥BC，然后利用等腰三角形和平行线的性质可得BD平分∠ABC，即可解答．【解答】解：设AC与OD相交于点E，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝36°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝54°，∵OD⊥AC，∴∠AEO＝90°，∴∠AEO＝∠ACB＝90°，∴OD∥BC，∴∠ODB ＝∠DBC ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∴∠OBD ＝∠DBC =12∠ABC ＝27°，∴∠ODB ＝∠OBD ＝27°，故选：B ．【变式3-2】（2022•江夏区校级开学）如图，⊙O 的直径AB 为8，D 为AC 上的一点，DE ⊥AC 于点E ，若CE ＝3AE ，∠BAC ＝30°，则DE 的长是（ ）A ．85B 2CD ．32【分析】在30°的直角三角形ABC 中求出AC ＝CE ＝3AE 得到AE =DF 、ME 、MF 的长度即可得解．【解答】解：如图，连接连接BC 、OD ，作OF ⊥DE ，交DE 的延长线于点F ，DF 、AB 交于点M ∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，又∵∠BAC ＝30°，∴BC ＝4，AC ＝∵CE ＝3AE ，∴AE =∵DE ⊥AC ，∠BAC ＝30°，∴EM ＝1，AM ＝2，∴OM ＝OA ﹣AM ＝4﹣2＝2，在Rt △OMF 中，∵∠OFM ＝90°，∠OMF ＝∠AME ＝90°﹣30°＝60°，OM ＝2，∴MF ＝1，OF =∵∠F ＝90°，∴DF∴DE ＝DF ﹣ME ﹣MF =2．故选：B ．【变式3-3】（2022秋•如皋市校级期中）在⊙O 中，AB 为直径，点C 为圆上一点，将劣弧沿弦AC 翻折交AB 于点D ，连接CD ．（1）如图1，若点D 与圆心O 重合，AC ＝2，求⊙O 的半径r ；（2）如图2，若点D 与圆心O 不重合，∠BAC ＝25°，求∠DCA 的度数．【分析】（1）过点O 作OE ⊥AC 于E ，由垂径定理可知AE =12AC =12×2＝1，根据翻折后点D 与圆心O 重合，可知OE =12r ，在Rt △AOE 中，根据勾股定理可得出r 的值；（2）连接BC ，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB ，根据直角三角形两锐角互余求出∠B ，再根据翻折的性质得到ADC 所对的圆周角，然后根据∠ACD 等于ADC 所对的圆周角减去CD 所对的圆周角，计算即可得解．【解答】解：（1）如图1，过点O 作OE ⊥AC 于E则AE =12AC =12×2＝1，∵翻折后点D与圆心O重合，r，∴OE=12在Rt△AOE中，AO2＝AE2+OE2，r）2，解得r即r2＝12+（12（2）连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵∠BAC＝25°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣25°＝65°，根据翻折的性质，AC所对的圆周角为∠B，ABC所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∴∠B＝∠CDB＝65°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣25°＝40°．【题型4 翻折中的圆周角的运用】【例4】（2022春•福田区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，先将BC沿BC翻折交AB 于点D，再将BD沿AB翻折交BC于点E．若BE=DE，则∠BCD的度数是（ ）A．22.5°B．30°C．45°D．60°【分析】证明∠CAB＝3α，利用三角形内角和定理求出α，可得结论．【解答】解：设∠ABC＝α，则DE，CD，AC的度数都为2α，∴BD的度数＝4α，∵翻折，∴BD的度数＝4α，∴CB的度数＝2α+4α＝6α，∵CB的度数+AC的度数＝180°，∴2α+6α＝180°，∴α＝22.5°．∴BD的度数＝90°∴∠BCD＝45°．故选：C．【变式4-1】（2022秋•萧山区期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC 翻折交AB于点D，连结CD，若∠BAC＝25°，则∠BDC的度数为（ ）A．45°B．55°C．65°D．70°【分析】解法一、补齐翻折后的弧为圆⊙P，根据圆周角定理得出BC=DC，求出∠BDC＝∠DBC，根据圆周角定理求出∠ACB＝90°，再求出∠ABC即可；解法二、过D作DE⊥AC于E，延长DE交⊙O于F，连接AF、CF、BC，根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，根据翻折变换得出∠FAC＝∠BAC＝25°，∠DCA＝∠FCA，根据圆内接四边形的性质得出∠BAF+∠BCF＝180°，求出∠ACF＝40°，求出∠ACD ＝∠ACF＝40°，再根据三角形的外角性质求出即可．【解答】解：解法一、补齐翻折后的弧为圆⊙P则⊙O和⊙P为等圆，∵∠BAC在⊙O和⊙P中分别对应弧BC和弧DC，∴BC=DC（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等），∴BC＝DC，∴∠BDC＝∠DBC，∵AB为⊙O直径，∴∠DBC＝90°﹣∠BAC＝65°，∴∠BDC＝65°；解法二、过D作DE⊥AC于E，延长DE交⊙O于F，连接AF、CF、BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD，∠BAC＝25°，∴∠FAC＝∠BAC＝25°，∠DCA＝∠FCA，∵点A、F、C、B四点共圆，∴∠BAF+∠BCF＝180°，∴25°+25°+90°+∠ACF＝180°，解得：∠ACF＝40°，即∠ACD＝∠ACF＝40°，∵∠BAC＝25°，∴∠BDC＝∠BAC+∠ACD＝25°+40°＝65°，故选：C．【变式4-2】（2022秋•硚口区期末）如图，AB为⊙O的一条弦，C为⊙O上一点，OC∥AB．将劣弧AB 沿弦AB翻折，交翻折后的弧AB交AC于点D．若D为翻折后弧AB的中点，则∠ABC＝（ ）A．110°B．112.5°C．115°D．117.5°【分析】如图，连接OA，OB，BD．设∠DAB＝x．用x表示出∠BDC，∠BCD，∠DBC，利用三角形内角和定理，构建方程求解．【解答】解：如图，连接OA，OB，BD．设∠DAB＝x．∵AD=BD，∴DA＝DB，∵BD=BC，∴BD＝CD，∴∠DAB＝∠DBA＝x，∠BDC＝∠BCD＝∠DAB+∠ABD＝2x，∵OC∥AB，∴∠OCA＝∠DAB＝x，∵OA＝OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC＝3x，∠OAD＝∠OCA＝x，∠OAB＝∠OBA＝2x，∴∠OBD＝x，∴∠CBD＝4x，在△BDC中，∠BDC+∠DCB+∠DBC＝180°，∴2x+2x+4x＝180°，∴x＝22.5°，∴∠ABC＝5x＝112.5°，故选：B．【变式4-3】（2022秋•丹江口市期中）已知⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（ ）A．B．C．D．【分析】分点B'在线段AB上，点B'在BA延长线上两种情况讨论，根据勾股定理可求MB'的长度．【解答】解：①如图1中：当点B'在线段AB上，连接OC．∵AB＝10，AB'＝6，∴AO＝BO＝5＝OC，BB'＝4，∴B'O＝1，∵B，B′关于CD对称，∴BE＝B'E＝2，∴OE＝OB′+EB′＝3，在Rt△OCE中，CE2＝OC2﹣OE2＝25﹣9＝16，在Rt△B'CE中，B'C===②若点B'在BA的延长线上，连接OC，∵AB'＝6，AB＝10，∴B'B＝16，AO＝BO＝OC＝5，∵B，B′关于CD对称，∴B'E＝BE＝8，∴OE＝BE﹣BO＝3，在Rt△CEO，CE2＝CO2﹣OE2＝25﹣9＝16，在Rt△B'CE中，B'C==综上所述B'C＝故选：B．【题型5 利用圆周角求最值】【例5】（2022•瑶海区三模）如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，若MN＝2，则△PMN周长的最小值为（ ）A．4B．5C．6D．7【分析】根据轴对称的性质得到：点N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于P，此时PM+PN最小，即△PMN周长的最小，利用圆心角、弧、弦的关系以及轴对称的性质进行计算即可．【解答】解：如图，作点N关于AB的对称点N′，则点N′在⊙O上，连接MN′交AB于P，此时PM+PN 最小，即PM+PN＝MN′，∵点N是BM的中点，∠BAM＝20°，∴MN=NB=BN′，∴∠BAN′＝10°，∴∠MAN′＝20°+10°＝30°，∴∠MON′＝60°，∴△MON′是正三角形，AB＝4，∴OM＝ON′＝MN′=12又∵MN＝2，∴△PMN周长的最小值为2+4＝6，故选：C．【变式5-1】（2022•陈仓区一模）如图，△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，AB＝4，D是边BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O，分别交AB、AC于点E、F，连接EF，则线段EF长度的最小值为　【分析】如图，由题意当AD⊥BC时，⊙O的半径最小，因为∠EAF＝60°，是定值，所以此时EF的值最小．【解答】解：如图，∵∠ABC＝45°，∠ACB＝75°，∴BAC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由题意当AD⊥BC时，⊙O的半径最小，∵∠EAF＝60°，是定值，∴此时EF的值最小，过OD的中点K作MN⊥AD交⊙O于M、N，连接ON、AN、AM，则△AMN是等边三角形，在Rt△ABD中，∠ABC＝45°，AB＝4，∴AD＝BD＝∴OK＝KD=ON=在Rt△ONK中，NK＝KM∴MN=∴∠EAF＝∠MAN＝60°，∴EF=MN，∴EF＝MN=∴EF【变式5-2】（2022秋•大连期末）如图，AB是⊙O的直径，AB＝2，点C在⊙O上，∠CAB＝30°，D为BC 的中点，E是直径AB上一动点，则CE+DE最小值为（ ）A．1B C D．2【分析】作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，则CE+DE的最小值就是CD′的长度，根据已知易证∠COD′＝90°，然后利用勾股定理进行计算即可解答．【解答】解：作点D关于AB的对称点为D′，连接OC，OD，OD′，CD′，交AB于点E，∴DE＝D′E，∴CE+DE＝CE+D′E＝CD′，∵∠CAB＝30°，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∵D为BC的中点，∴CD=DB，∵DB=BD′，∴CD=DB=DB′，∴∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，∴∠COD′＝90°，∵AB＝2，∴OC＝OD′＝1，∴CD′=∴CE+DE故选：B．，BC＝AB2，E为射线BA上一动点，【变式5-3】（2022•杏花岭区校级三模）如图，矩形ABCD中，AB=32连接CE交以BE为直径的圆于点H，则线段DH长度的最小值为　3　．4【分析】取BC的中点G，连接BH，HG，DG．解直角三角形求出GH，DG，根据DH≥DG﹣GH即可判断．【解答】解：取BC 的中点G ，连接BH ，HG ，DG ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD =32，BC ＝AB 2=94，∠DCG ＝90°，∵CG ＝BG =98，∴DG =158，∵BE 是直径，∴∠BHE ＝∠BHC ＝90°，∵BG ＝GC ，∴HG =12BC =98，∵DH ≥DG ﹣HG ，∴DH ≥158―98=34，∴DH 的最小值为34．故答案为34．【题型6 圆周角中的证明】【例6】（2022秋•定陶区期末）如图1．在⊙O 中AB ＝AC ，∠ACB ＝70°，点E 在劣弧AC 上运动，连接EC ，BE ，交AC 于点F ．（1）求∠E 的度数；（2）当点E 运动到使BE ⊥AC 时，连接AO 并延长，交BE 于点D ，交BC 于点G ，交⊙O 于点M ，依据题意在备用图中画出图形．并证明：G 为DM 的中点．【分析】（1）求出∠A＝40°，利用圆周角定理解决问题即可；（2）证明BD＝BM，BG⊥DM，利用等腰三角形的三线合一的性质证明即可．【解答】（1）解：如图1中，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣2×70°＝40°，∵弧BC＝弧BC，∴∠BEC＝∠BAC＝40°；（2）证明：依据题意画图如下：连接BM，CM．∵AB＝AC，∴AB=AC，又∵AM=AM，∴BM=CM，∴BM＝CM，AM⊥BC，∠BAM＝∠CAM＝20°，∴∠MBC＝∠CAM＝20°，∵BE⊥AC，AM⊥BC，∴∠BGD＝∠AFD＝90°，∴∠BDG＝∠ADF＝70°，∵AB=AB，∴∠BMA＝∠ACB＝70°，∴∠BMA＝∠BDG＝70°，∴BD＝BM，又∵BG⊥DM，∴GD＝GM，即点G为DM的中点．【变式6-1】（2022春•金山区校级月考）已知CD为⊙O的直径，A、B为⊙O上两点，点C为劣弧AB中点，连接DA、BA、AC，且∠B＝30°．（1）求证：∠D＝30°；（2）F、G分别为线段CD、AC上两点，满足DF＝AG，连接AF、OG，取OG中点H，连接CH，请猜测AF与CH之间的数量关系，并证明．【分析】（1）利用圆周角定理证明即可；（2）结论：AF＝2CH．延长DC到T，使得CT＝CO，证明△CGT≌△OFA（SAS），推出AF＝GT，再利用三角形中位线定理证明．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝30°，又∵∠D＝∠ABC，∴∠D＝30°；（2）解：结论：AF＝2CH．理由：延长DC到T，使得CT＝CO．∵∠AOC＝2∠ABC＝60°，OA＝OC，∴△AOC是等边三角形，∴∠ACO＝∠AOC＝60°，AC＝OA＝OC，∴CT＝OC＝OA，∠AOF＝∠GCT＝120°，∵OA＝AC，DF＝AG，∴OF＝CG，在△CGT和△OFA中，CG=OF∠GCT=∠AOF，CT=OA∴△CGT≌△OFA（SAS），∴AF＝GT，∵OH＝HG，OC＝CT，∴GT＝2CH，∴AF＝2CH．【变式6-2】（2022•武汉）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；（2）若AB＝10，BE＝BC的长．【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝BD＝OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．【解答】解：（1）△BDE为等腰直角三角形．理由如下：∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，∴∠BED＝∠DBE．∴BD＝ED．∵AB为直径，∴∠ADB＝90°∴△BDE是等腰直角三角形．另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．∴BD＝DC．∵OB＝OC．∴OD垂直平分BC．∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝∴BD＝∵AB＝10，∴OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2﹣（5﹣t）2，解得t＝3，∴BF＝4．∴BC＝8．另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△MBG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝AD＝BC．【变式6-3】（2022•南召县四模）阅读下面材料，完成相应的任务：阿基米德是有史以来最伟大的数学家之一、《阿基米德全集》收集了已发现的阿基米德著作，它对于了解古希腊数学，研究古希腊数学思想以及整个科技史都是十分宝贵的．其中论述了阿基米德折弦定理：从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，称之为该圆的一条折弦．一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点．如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即ABC是圆的一条折弦），BC＞AB．M是弧ABC的中点，则从M 向BC所作垂线之垂足D是折弦ABC的中点，即CD＝AB+BD．小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段CB上从C点截取一段线段CN＝AB，连接MA，MB，MC，MN．小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M作MH⊥AB于点H，连接MA，MB，MC．任务：（1）请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程．（2）就图3证明：MC2﹣MB2＝BC•AB．【分析】（1）截长法：首先证明△MBA≌△MNC（SAS），进而得出MB＝MN，再利用等腰三角形的性质得出BD＝ND，即可得出答案；垂线法：证明△AHM≌△CDM（AAS），推出MH＝DM，AH＝CD，再证明Rt△BMH≌△BMD（HL），推出BH＝BD，可得结论；（2）由（1）可知，AC＝AM，BH＝BD，AH＝CD，整理等式即可证得结论．【解答】（1）截长法：证明：如图2，在CB上截取CN＝AB，连接MA，MB，MC和MN．∵M是ABC的中点，∴MA＝MC，在△MBA和△MGC中，BA=NC∠A=∠C，MA=MC∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵MD⊥BC∴BD＝GD，∴CD＝GC+GD＝AB+BD；垂线法：证明：如图3，过点M作MH⊥AB于点H，连接MA，MB，MC，∵M是ABC的中点，∴AM＝CM，∵MH⊥AH，MD⊥BC，∴∠H＝∠CDM＝90°，∵∠A＝∠C，在△AHM和△CDM中，∠H=∠CDM∠A=∠C，AM=CM∴△AHM≌△CDM（AAS），∴MH＝DM，AH＝CD，∵∠H＝∠BDM＝90°，BM＝BM，∴Rt△BMH≌△BMD（HL），∴BH＝BD，∴CD＝AH＝AB+BH＝AB+BD；（2）在Rt△AHM中，AM2＝AH2+MH2，在Rt△BHM中，BM2＝BH2+MH2，由（1）可知，AC＝AM，BH＝BD，AH＝CD，∴MC2﹣MB2＝AM2﹣MB2＝AH2+HM2﹣BH【题型7 圆周角中的多结论问题】【例7】（2022•兰陵县二模）如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝10，AC=CD=DB，点E是点D 关于AB的对称点，M是AB上的一动点，下列结论：①∠BOE＝30°；②∠DOB＝2∠CED；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述结论中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【分析】①错误，证明∠EOB＝∠BOD＝60°即可；②正确．证明∠CED＝30°，可得结论；③错误，M是动点，DM不一定垂直CE；④正确，连接EM，证明ME＝MD，推出MC+MD＝MC+ME≥CE＝10，可得结论．【解答】解：∵AC=CD=DB，∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，∵E，D关于AB对称，∴∠EOB＝∠BOD＝60°，故①错误，∠COD＝30°，∵∠CED=12∴∠DOB＝2∠CED，故②正确，∵M是动点，∴DM不一定垂直CE，故③错误，连接EM．则ME＝MD，∴CM+DM＝MC+ME≥CE＝10，故④正确，故选：B．【变式7-1】（2022秋•淅川县期末）如图，已知：点A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD，下列结论：①∠AOC＝∠BOD；②∠BOD＝2∠BAD；③AC＝BD；④∠CAB＝∠BDC；⑤∠CAO+∠CDO＝180°．其中正确的个数为（ ）A．2B．3C．4D．5【分析】根据圆内接四边形的性质、圆周角定理和圆心角、弧、弦之间的关系逐个判断即可．【解答】解：∵AB＝CD，∴CBD=BCA，∴AC=BD，∴∠AOC＝∠BOD，故①正确；∵圆周角∠BAD和圆心角∠BOD都对着BD，∴∠BOD＝2∠BAD，故②正确；∵AC=BD，∴AC＝BD，故③正确；∵圆周角∠CAB和∠BDC都对着BC，∴∠CAB＝∠BDC，故④正确；延长DO 交⊙O 于M ，连接AM ，∵D 、C 、A 、M 四点共圆，∴∠CDO +∠CAM ＝180°（圆内接四边形对角互补），∵∠CAM ＞∠CAO ，∴∠CAO +∠CDO ＜180°，故⑤错误；即正确的个数是4个，故选：C ．【变式7-2】（2022秋•厦门期末）在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 边于点D ．要使得⊙O 与AC 边的交点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上（不与端点重合），需满足的条件可以是 ②④　．（写出所有正确答案的序号）①∠BAC ＞60°；②45°＜∠ABC ＜60°；③BD ＞12AB ；④12AB ＜DE ．【分析】结合等腰三角形的性质及圆周角定理对所给条件逐个进行分析判断．【解答】解：在△ABC 中，AB ＝AC ，①当∠BAC ＞60°时，若∠BAC ＝90°时，此时点E 与点A 重合，不符合题意，故①不满足；②当∠ABC ≤45°时，点E 与点A 重合，不符合题意，当∠ABC ≥60°时，点E 与点O 不关于AD 对称，当45°＜∠ABC ＜60°时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故②满足条件；③当12AB ≤BD 时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故③不满足条件；④12AB ＜DE 时，点E 关于直线AD 的对称点在线段OA 上，故④满足条件；故答案为：②④．【变式7-3】（2022秋•东台市月考）如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，且OC ∥BD ，AD 与BC ，OC 分别相交于点E ，F ，则下列结论：①AD ⊥BD ；②∠AOC ＝∠AEC ；③CB 平分∠ABD ；④AF ＝DF ；⑤△CEF ≌△BED ．其中一定成立的结论是　①③④　．（填序号）【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角，③由平行线得到∠OCB＝∠DBC，再由同圆的半径相等得到结论判断出∠OBC＝∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，故①正确；②∵∠AEC＝∠ABC+∠A，∠AOC＝∠ABC+∠C，根据图形及已知不能推出∠C＝∠A，∴∠AOC≠∠AEC，故②不正确；③∵OC∥BD，∴∠OCB＝∠DBC，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠OBC＝∠DBC，∴BC平分∠ABD，故③正确；④∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO＝90°，∵点O为圆心，∴AF＝DF，故④正确；⑤∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF 与△BED 不全等，故⑤不正确；综上可知：其中一定成立的有①③④，故答案为：①③④．【题型8 构造圆利用圆周角解决三角形或四边形中的问题】【例8】（2022春•杏花岭区校级月考）如图，A ，B 两点的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），点C 在y 轴正半轴上，且∠ACB ＝45°，则点C 的坐标为（ ）A ．（0，7）B ．（0，C ．（0，6）D ．（0，【分析】在x 轴的上方作等腰直角△ABF ，FB ＝FA ，∠BAF ＝90°，以F 为圆心，FA 为半径作⊙F 交y轴于M ，首先证明点C 即为点M ，根据FC =【解答】解：在x 轴的上方作等腰直角△ABF ，FB ＝FA ，∠BAF ＝90°，以F 为圆心，FA 为半径作⊙F 交y 轴于M ，∵∠ACB =12∠AFB ＝45°，∴点C 即为点M ，∵A （﹣2，0），B （3，0），△ABF 是等腰直角三角形，∴F （12，52），FA ＝FB ＝FC C （0，m ），则（12）2+（52―m ）22，解得m＝6或﹣1（舍弃），∴C（0，6），故选：C．【变式8-1】（2022秋•秦淮区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝BD．若∠ABC＝112°，则∠ADC ＝　124　°．【分析】根据AB＝BD＝BC得出A、D、C在以B为圆心，以AB为半径的圆上，作圆周角∠AEC，根据∠ABC＝56°，根据圆内接四边形的性质得出∠ADC+∠E＝180°，再求出答案即圆周角定理得出∠E=12可．【解答】解：∵AB＝BD＝BC，∴A、D、C在以B为圆心，以AB为半径的圆上，如图，作圆周角∠AEC，∵∠ABC＝112°，∠ABC＝56°，∴∠E=12∵四边形ADCE是⊙B的圆内接四边形，∴∠ADC+∠E＝180°，∴∠ADC＝180°﹣56°＝124°，故答案为：124．【变式8-2】（2022•北京模拟）已知三角形ABC是锐角三角形，其中∠A＝30°，BC＝4，设BC边上的高为h，则h的取值范围是【分析】做出三角形的外接圆，根据h≤AO+OP求解即可．【解答】解：如图1，作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过O作OP⊥BC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∵BC＝4，∴OA＝BC＝4，PO＝∴h≤AO+OP＝如图2，A1B⊥BC，A2C⊥BC，则A1B＝∵三角形ABC是锐角三角形，∴点A在A1A2之间，∴h的取值范围是：h≤故答案为：h≤【变式8-3】（2022春•西湖区校级月考）已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝4，∠B＝60°，∠C＝105°，点E为BC的中点，以CE为弦作圆，设该圆与四边形ABCD的一边的交点为P，若∠CPE＝30°，则EP+【分析】如图，连接AC，AE，根据已知条件得到△ABC是等边三角形，求得BE＝CE＝2，AE⊥BC，∠EAC＝30°，推出AC是以CE为弦的圆的直径，设圆心为O，当⊙O与CD边交于P1，则∠EP1C＝30°，过C作CH⊥P1E于H，解直角三角形得到P1E+⊙O与AD交于P2，A（P3），由AD∥CE，推出四边形AECP2是矩形，得到P2E＝AC＝4，P3E＝1E＝⊙O与AB交于P4，得到△BP4E 是等边三角形，求得P4E＝BE＝2，于是得到结论．【解答】解：如图，连接AC，AE，∵AB＝BC＝4，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵点E为BC的中点，∴BE＝CE＝2，AE⊥BC，∠EAC＝30°，∴AC是以CE为弦的圆的直径，设圆心为O，当⊙O与CD边交于P1，则∠EP1C＝30°，∵∠ECP1＝105°，∴∠P1EC＝45°，过C作CH⊥P1E于H，∴EH＝CH=∴P1H=∴P1E=当⊙O与AD交于P2，A（P3），∵AD∥CE，∴∠ECP2＝∠AP2C＝90°，∴四边形AECP2是矩形，∴P2E＝AC＝4，P3E＝P2C＝当⊙O与AB交于P4，∵∠AP4C＝90°，∠EP4C＝30°，∴∠BP4E＝60°，∴△BP4E是等边三角形，∴P4E＝BE＝2，综上所述，若∠CPE＝30°，则EP4或2，4或2．【题型9 圆周角与量角器的综合运用】【例9】（2022•南召县模拟）以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图方式摆放，量角器的0刻度线与斜边AB重合．点D为斜边AB上一点，作射线CD交弧AB于点E，如果点E所对应的读数为50°，那么∠BDE的大小为（ ）A．100°B．110°C．115°D．130°【分析】由圆周角定理得出∠ACE＝25°，进而得出∠BCE＝65°，再由外角的性质得出∠BDE＝∠BCE+∠CBD，代入计算即可得出答案．【解答】解：如图，连接OE，∵点E 所对应的读数为50°，∴∠AOE ＝50°，∵AB 为直径，∠ACB ＝90°，∴点C 在⊙O 上，∴∠ACE =12∠AOE =12×50°＝25°，∴∠BCE ＝90°﹣25°＝65°，∵∠BDE 是△BDC 的外角，∴∠BDE ＝∠BCE +∠DBC ＝65°+45°＝110°，故选：B ．【变式9-1】（2022秋•南京期中）将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸片上，使点O 在半圆圆心上，点B 在半圆上，边AB ，AO 分别交半圆于点C ，D ，点B ，C ，D 对应的读数分别为160°、72°、50°，则∠A ＝　24°　．【分析】以EF 为直径作半圆，延长BO 交圆于M ，连接OC ，根据已知度数求出∠BOA 、∠BOF 、∠AOB 的度数，根据圆周角定理求出∠B ，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：如图，以EF 为直径作半圆，延长BO 交圆于M ，连接OC ，∵点B，C，D对应的读数分别为160°、72°、50°，∴∠BOA＝160°﹣50°＝110°，∠BOF＝180°﹣160°＝20°，∠COE＝72°，∴∠COM＝72°+20°＝92°，∠COM＝46°，∴∠B=12∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠AOB＝180°﹣110°﹣46°＝24°．故答案为：24°．【变式9-2】（2022秋•高港区期中）如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为50°，则∠BCD的度数为　65°　．【分析】根据圆周角定理分别求出∠ACB、∠ACD，计算即可．×50°＝25°，∠ACB＝90°，【解答】解：由圆周角定理可知，∠ACD=12∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝65°，故答案为：65°．【变式9-3】（2022秋•北京期末）如图，量角器的直径与直角三角尺ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3°的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，则第20秒点E在量角器上对应的读数是　120　°．【分析】首先连接OE，由∠ACB＝90°，易得点E，A，B，C共圆，然后由圆周角定理，求得点E在量角器上对应的读数．【解答】解：连接OE，∵∠ACB＝90°，AB为半圆的直径，∴E、A、C、B四点共圆，∴∠ACP＝3°×20＝60°，∴∠AOE＝2∠ACP＝120°，即第20秒点E在量角器上对应的读数是120°，故答案为：120．【题型10 利用圆周角求取值范围】【例10】（2022•观山湖区模拟）如图，OB是⊙O的半径，弦AB＝OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD 上的动点，点P不与O，D重合，连接PA．设∠PAB＝β，则β的取值范围是　60°＜β＜75°　．【分析】当P点与D点重合是∠DAB＝75°，与O重合则OAB＝60°，∠OAB＜∠PAB＜∠DAB，即可得出结果．【解答】解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，∴∠OAB＝∠AOB＝60°，∵DC是直径，DC⊥AB，∴∠AOC=1∠AOB＝30°，2∴∠ADC＝15°，∴∠DAB＝75°，∵∠OAB＜∠PAB＜∠DAB，∴60°＜β＜75°；故答案为：60°＜β＜75°．【变式10-1】（2022•河南三模）如图，点O是以AC为直径的半圆的圆心，点B在AC上，∠ACB＝30°，AC＝2．点D是直径AC上一动点（与点A，C不重合），记OD的长为m．连接BD，点A关于BD的对称点为点A′，当点A′落在由直径AC，弦AB，BC围成的封闭图形内部时（不包含边界），m的取　．值范围是　0＜m＜12【分析】直径所对的圆周角是直角，在直角三角形中，30°所对的直角边是斜边的一半，根据点A关于BD的对称点为点A′，得到DA＝DA′，考虑点A′进入该区域和离开该区域的两个m的值即可得出答案．【解答】解：如图，∵AC是半圆的直径，∴∠ABC＝90°，∵∠ACB＝30°，AC＝2，∴AB＝1，∵点A关于BD的对称点为点A′，∴DA＝DA′，当点D与点O重合时，DA＝DA′＝r，点A′在BC上，m＝0；，当点D在AO中点时，点A′在直径AC上，m=12．∴m的取值范围为：0＜m＜12故答案为：0＜m＜12．【变式10-2】（2022秋•台州期中）如图，已知AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O的优弧ACB上的一个动点（不与A，B不重合），（1）设∠ACB的平分线与劣弧AB交于点P，试猜想点P劣弧AB上的位置是否会随点C的运动而变化？请说明理由（2）如图②，设AB＝8，⊙O的半径为5，在（1）的条件下，四边形ACBP的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请求出ACBP的面积的取值范围．【分析】（1）点P位置不会随点C的运动而变化，根据角平分线的定义得到∠ACP＝∠BCP，于是得到AP=BD，即P是劣弧AB的中点．即可得到点P位置不会变化．（2）如图，连接OP，交AB于E，根据垂径定理得到OP⊥AB，AE=12AB＝4．根据勾股定理得到OE==3，PE＝2．求得S△ABP =12×8×2．于是得到当CP经过圆心O时，如图，C到AB距离最大，即△ABC的AB边上的最大高线是CE＝8．求得四边形ACBP的最大面积是40．即可得到结论．【解答】解：（1）点P位置不会随点C的运动而变化，理由：如图1，∵CP平分∠ACB，∴∠ACP＝∠BCP，∴AP=BD，即P是劣弧AB的中点．∴点P位置不会变化．（2）∵△ABC的面积不是定值，△ABP的面积为定值∴四边形ACBP的面积不是定值．如图，连接OP，交AB于E，∵AP=PB，OP是半径．∴OP⊥AB，AE=12AB＝4．∵OA＝5．∴OE3，PE＝2．∴S△ABP =12×8×2．∴当CP经过圆心O时，如图，C到AB距离最大，即△ABC的AB边上的最大高线是CE＝8．∵AB＝8，∴△ABC的最大面积是32．∴四边形ACBP的最大面积是40．综上，四边形ACBP的面积不是定值，它的取值范围是8＜S四边形ACBP≤40．【变式10-3】（2022秋•高新区校级期末）如图，A、B为⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点（P不与A、B重合），我们称∠APB是⊙O上关于A、B的滑动角．若⊙O的半径是1≤AB≤APB的取值范围为　45°≤∠APB≤60°或120°≤∠APB≤135°　．【分析】首先连接OA，OB，AB，先假设AB APB的度数，同理得出当AB=APB 的度数即可．【解答】解：连接OA，OB，AB，假设AB=∵圆O半径为1，AB∴OA2+OB2＝AB2，∴∠AOB＝90°，∠AOB＝45°，若点P在优弧AB上，则∠APB=12若点P在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣∠APB＝135°．∴∠APB的度数为45°或135°．假设AB∵圆O半径为1，∴∠OAB＝30°，∴∠AOB＝120°，∠AOB＝60°，∴若点P在优弧AB上，则∠APB=12若点P在劣弧AB上，则∠AP′B＝180°﹣∠APB＝120°．故∠APB的取值范围为：45°≤∠APB≤60°或120°≤∠APB≤135°．故答案为：45°≤∠APB≤60°或120°≤∠APB≤135°．。

圆周角经典证明题

圆周角经典证明题

1.（2010，山东济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD．
（1）求证：BD＝CD；
（2）请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．
2. 如图所示，已知⊙O中，AB为直径，AB＝10cm，弦AC＝6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
3.同学们知道，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角．因为一条弧所对的圆心角等于它所对的弧的度数，所以圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．类似地，我们定义：顶点在圆外，并且两边都和圆相交的角叫圆外角．如图所示，∠DPB是圆外角，那么∠DPB的度数与它所夹的两段弧BD和AC的度数有什么关系？
（1）你的结论用文字表述为（不能出现字母和数学符号）：________；
（2）证明你的结论．
1 / 2
4.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC ＝BC ，D 为⊙O 中
上一点，延长DA 至点E ，使CE ＝CD ．（1）求证：AE ＝BD ；（2）若AC ⊥BC ，求证：
．
5.
如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AC=BC ，D 为弧AB 上一点，延长DA 至点E ，使CE=CD. 若
ACB=60°
（1）求证:△CED 为正三角形；
（2）求证：AD+BD=CD.
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初中数学-圆周角典型例题

初中数学-圆周角典型例题

例 在半径等于5cm 的圆内有长为53cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（ ）． （A ）60°或120° （B ）30°或120° （C ）60° （D ）120° 解：如图， OA ＝OB ＝5cm ，AB ＝53cm ．过O 作OC 上AB 于C ，则AC=325AB 21 cm ．∵sin α= 235/325OA AC ∵α为锐角，∴α=60°． ∴∠AOB=120°．当圆周角的顶点在优弧上时，得∠ADB=60°；当圆周角的顶点在劣弧上时．得∠AD’B ＝120°．∴此弦所对的圆周角为60°或120°．说明：此题为基础题，求一条弦所对的圆周角．圆周角的顶点可以在这条弦所对的优孤上，也可以这这条弦所对的劣弧上．例 （河南省，2002）已知：如图，以△ABC 的BC 边为直径的半圆交AB 于D ，交AC 于E ，过E 作EF ⊥BC ，垂足为F ，且BF :FC =5:1，AB=8，AE=2．求EC 的长．分析：连结BE ，构造直角三角形，并出现典型的双垂直图形，通过解直角三角形解得． 解：如图，连结BE ，则BE ⊥AC ， ∴6028AE AB BE 22222，设BF=5x ，BC=6x ．∵EF ⊥BC ，∠EBF=∠CBE ，∴△BEF ∽△BCE ，∴BC BF BE 2．即60=5x ·6x ，∵FC>0，∴2x．∴26x 6BC ，∵126072BE BC EC 222，∴22EC ．说明：①添加辅助线，构造直角三角形；②构成典型的双垂直图形，非常重要．例 （陕西省，2002）已知：如图，BC 为半圆O 的直径，F 是半圆上异于B 、C 的一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于点D ，BF 交AD 于点E ．（1）求证：BE ·BF=BD ·BC ；（2）试比较线段BD 与AE 的大小，并说明道理． 分析：（1）连结FC ，证△BDE ∽△BCF 即可；（2）要比较两条线段的大小，通常是把两条线段转移到一个三角形内，利用大角对大边来判断． 证明：（1）连结FC ，则BF ⊥FC ． 在△BDE 和△BCF 中，∵∠BEC=∠EDB=90°，∠EBC=∠EBD ，∴△BDE ∽△BCF ．∴BFBD BC BE ，即BE ·BF=BD ·BC ． 解：（2）AE>BD ，连结AC 、AB ，则∠BAC=90°，∵=，∴∠1=∠2．又∵∠2+∠ABC=90°，∠3+∠ABD=90°，∴∠2=∠3，∴AE=BE ． 在Rt △EBD 中，BE>BD ，∴AE>BD ．B说明：①训练学生添加辅助线；②第（2）小问是教材P102中3题的拓展．例 （太原市，2002）如图，已知BC 为⊙O 的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF 交AD 于E ，且AE=BF ． （1）求证：=；（2）如果sin ∠FBC=53，AB 54 ，求AD 的长．解：（1）连结AC ．∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BAC=90°， 又AD ⊥BC ，垂足为D ，∴∠1=∠3．在△AEB 中，AE=BE ，∴∠1=∠2．∴∠2=∠3，=．（2）设DE=3x ，∵AD ⊥BC ，sin ∠FBC=53，∴BE=5x ，BD=4x ． ∵AE=BE ，∴AE=5x ，AD=8x ．在Rt △ADB 中，∠ADB=90°，AB 54 ，∴222)54()x 4()x 8( ．解这个方程，得 x=1，∴AD=8．说明：①此题是教材P102中3题的变形；②训练学生求线段长度的方法：直接求和列方程求解．典型例题五例 如图，等腰三角形中，AC AB ，顶角为 40，以其一腰AB 为直径作半圆分别交AC 、BC 于E 、D ，求的度数.分析：一般在圆或半圆中要作出一些辅助线构成直角.本题若连结AD ，则AB 为直径，AD 和BC 互相垂直，再应用等腰三角形三线合一的性质，问题就解决了.解 连结AD ，AB 为直径， BC AD又AC AB ，2021BAC BAD ，40，同理， 40，1004040180说明：弧的度数等于它所对的圆心角的度数，也等于它所对的圆周角的度数的2倍.已知中有关于直径的条件时，常添辅助线使之构成直角三角形.典型例题六例 （辽宁省试题，2002）已知：如图，AB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点，连结AC ，过点C 作直线AB CD 于D （DB AD ），点E 是DB 上任意一点（点D 、B 除外），直线CE 交⊙O 于点F ，连结AF 与直线CD 交于点G .（1）求证：AF AG AC 2；（2）若点E 是AD （点A 除外）上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明，若不成立，请说明理由.（1）证明： 证法一：延长CG 交⊙O 于HAB CD ，∴∴CFA ACG 又FAC CAG ， ∴ACG ∽AFC ∴ACAF AG AC 即AF AG AC 2证法二：连结CBAB 是直径， 90,ADC ACB AB CD∴Rt CAD ∽Rt BAC ∴ABC ACD 又AFC ABC ， ∴AFC ACD 又FAC CAG ， ∴ACG ∽AFC ∴ACAFAG AC 即AF AG AC 2（2）当点E 是AD （点A 除外）上任意一点时，上述结论仍成立. ⅰ）如图（1），当点E 是AD （点A 除外）上任意一点（不包括点D ）时.证法一：设CG 与⊙O 交于HAB CD ，∴∴ACG AFC 又GAC CAF ∴AFC ∽ACG ∴AGAC AC AF 即AF AG AC 2证法二：如图（2），连结CB ∵Rt CAD ∽Rt BAC ∴ABC ACD 又AFC ABC ， ∴AFC ACD ∴FAC CAG ， ∴ACG ∽FAC ∴ACAFAG AC 即AF AG AC 2ⅱ）如图（3），当点E 与点D 重合时，F 与G 也重合，有AF AG ， AB CD ，∴ ∴AF AG 因此AF AG AC 2.典型例题七例 如图，已知：在⊙O 中，弦CD AB ，BC OE 于E ，求证：AD OE 21.分析：设法找出长为OE 2的线段，由E 为BC 的中点，联想到中位线定理，进而构造出有关的基本图形，作直径BF ，连CF ，则OE 是BCF 的中位线，下面再设法证明AD CF .证明作直径BF ，连结FC 、FABC OE 于E 点， E 为BC 的中点， OE 为BCF 的中位线，CF OE 21BF 为⊙O 的直径，FAB 为直角，即：AB CD AB FA ,有CD FA //，AB CFCF OE 21AD OE 21说明：在圆的问题里，作直径是常见的辅助线，由此可得到很多结果；利用与圆有关的角的性质，将圆内线段相等的问题转化为角的相等问题，也是一种重要的证题思路.典型例题八例 已知以ABC 的一边BC 为直径作圆交另一边AC 于D ，过A 引BC AE 于E ，AE 交圆于G .交BD 于F ，如图，求证：EG AE EF EG :: .分析：本题重在考查灵活运用圆周角变换构造相似三角形创建比例线段的能力，要证明的线段共线，怎样“非线性化”呢？咋一看，有一筹莫展之感，但转化为乘积式EF AE EG 2就有了“柳暗花明”由 90BGC 可创造EC BE EG 2，于是转证EC BE EF AE ，再转化为证比例式：EFECBE AF . 证明 连结GB 、GC ，则 90BGC BC GE ， EC BE GE 2.下面证明：EC BE EF AE ，即EFECBE AE . CEF CDF 90 ， C 、D 、E 、F 共圆 EDF ECF ，又BEA BDA 90，EAB ECF ，ECF t R ∽EAB t R ， 故AEBE EC EF AE EF EC BE ，EF AE EG 2 EG AE EF EG :: .说明：把“共线比例式非线性化”的途径因题而异，本题运用射影定理以EC BE 取代2EG 来完成，射影定理也是创建比例式的重要依据.典型例题九例 如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，P 为AC 延长线上一点，且PC AC ，PB 的延长线交⊙O 于D ，求证：DC AC分析：要证DC AC 而AC CP ，也就是证DC CP AC ，转证 90ADP ，由AB 为直径可得，故证出结论.证明 连结AD AB 为⊙O 的直径， 90ADP CP ACAP AC CD 21说明：这是证斜边中线的问题.典型例题十例 如图，已知：ABC 内接于⊙O ，D 、E 在BC 边上，且CE BD ，21 ，求证：AC AB分析：要证AC AB ，由题知，不能直接证出，故需添加辅助线，而由圆周角21 ，想到了作1 、2 的对弧，构造弦等、弧等的条件.证明 分别延长AD 、AE ，它们分别交⊙O 于F 、G ，连结BF 、CG说明：在圆中有相等的圆周角时常作它们所对的弧和弦，利用在圆周或等圆中相等的圆周角所对的弧等以及圆心角、弦、弦心距之间关系定理证题.典型例题十一例 如图，ABC 中，,AC AB AC 是⊙O 的弦，BC 交⊙O 于D ，作BAC 的外角平分线AE 交⊙O 于E ，连DE .求证：AB DE . 证明 ∵ ,AC AB ∴ .C B 又C B FAC ， AE 平分FAC ， ∴ B FAE EAC .∴ AE ∥BC . 又 ∵ ,EDC EAC ∴ .EDC B∴ AB ∥DE .∴ 四边形ABDE 是平行四边形.说明：本题考查圆周角定理的推论的应用，解题关键是找到同弧所对的圆周角.典型例题十二例 求证：三角形两边之积等于其外接圆直径与第三边的高的积.已知 如图，⊙O 是ABC 的外接圆，AD 是ABC 的高，AE 是⊙O 的直径. 求证：AE AD AC AB .证明 连结BE .∵ AE 是直径，∴ 090 ABE . ∵ BC AD ，∴ 090 ADC . ∵ E C ，∴ ADC ∽ABE . ∴ABADAE AC .∴ AE AD AC AB . 说明：本题考查圆周角定理的应用，题目的结论告诉我们一个求三角形外接圆直径的方法.解题关键是连BE ，构造ABE ，易错点是忽视先写已知，求证.典型例题十三例 如图，AB 为⊙O 的弦，过A O ,两点任作一⊙1O ，交AB 于C ，交⊙O 于D .求证：.CD CB 证明 连.,,,BD OD OB OA则ODC OAB OAB OBA ,.∴ ODC OBC .∵ ODB OBD ，∴ CDB CBD .∴ CD CB .说明：本题考查圆周角定理的应用，解题关键是作出辅助线，易错点是作错或作不出正确的辅助线，使解题思路受阻.典型例题十四例 如图，ABC 内接于⊙O ，AB 的垂直平分线OD 与AB 、AC 分别相交于M 、N ，与BC 的延长线相交于P ，与相交于D.求证：OP ON OA 2证明连结OB 、OC ，OD 垂直平分AB ， ，BOD AODAOB ACB 21， ACB AOD ，ACP AON又PNC ANO ，AON ∽PCN ，P OAC又OAC OCA P OCA 又POC CON CON ∽POC OP OC OC ON OP ON OC 2即：OP ON OA 2说明：由于本题的结论可转化为OP ON OC 2，所以需要证明CON ∽POC ，而证这两个三角形相似的关键在于证P OCA ；为此又需要证明AON ∽PCN ，要证这两个三角形相似，关键又在于证得ACP AON .观察图形特征，可发现这两个角的补角有如下关系：AOD 是所对圆心角AOB 的一半，ACB 是所对的圆周角.它也等于AOB 的一半.这个关键问题一解决，本题便能顺利获证.这种图形具有一定的普遍意义，同学们应重点注意.选择题1．下列命题中，正确的个数为（） （1）相等的圆周角所对的弧相等（2）同圆或等圆中，同弦或等弦所对的圆周角相等（3）一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形 （4）等弧所对的圆周角相等 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．一条弦分圆周为7:5，这条弦所对的两个圆周角为（） A ． 150， 210 B ． 75， 105 C ． 60， 120 D ． 120， 240 3、⊙O 的弦AB 等于半径，那么弦AB 所对的圆周角一定是（ ）． （A ）30° （B ）150° （C ）30°或150° （D ）)60° 4、△ABC 中，∠B ＝90°，以BC 为直径作圆交AC 于E ，若BC=12，AB=123，则的度数为（ ）．（A ）60° （B ）80° （C ）100° （D ）)120°5、如图，△ABC 是⊙O 的内接等边三角形，D 是AB 上一点，AB 与CD 交于E 点，则图中60°的角共有( )个．（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）66、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠OBC=25°，则∠A 的度数为（ ）（A ）70° （B ）65° （C ）60° （D ）)50° 7．如图，A ，B ，C 均为⊙O 上的点， 55ABO ，则BCA 等于（） A ． 35 B ． 45 C ． 50 D ． 708．如图，正方形CDEF ，C ，F 在半圆的直径AB 上，D ，E 在半圆上，正方形的边长为1，a AC ，b BC ，则下列式子中不正确的是（ ）.A ．1 b aB ．1 b aC ．5b aD ．522b a9．已知下列四个命题：①过原点O 的直线的解析式为)0( k kx y .②有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.③有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等.④在同圆或等圆中，若圆周角不等，则所对的弦也不等，其中正确的命题是（ ）A ．只有①②B ．①②③C ．①②④D ．②③④A10．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ， 80BOD ，则 80BCD 的度数是（ ）A ．80°B ．100°C ．140°D ．160°11．如图，已知AB 和CD 是⊙O 的两条直径，弦AB DE //，如果为40°的弧，那么BOC的度数为（ ）A ．110°B ．80°C ．40°D ．70°12．如图，A 、B 、C 、D 是圆上四点，AB 、DC 延长线交于点E ，分别为120°、40°，则E 等于（ ）A ．40°B ．35°C ．60°D ．30°13．使用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆形的凹面，成半圆形的为合格，如图所示的四种情况中的合格的是（ ）14．已知，经过⊙O 上的点A 的切线和弦BC 的延长线相交于点P ，若100,40ACP CAP ，则BAC 所对的弧的度数为（ ）A ． 40°B ．100°C ．120°D ．30°15．如图，A 、B 、C 三点都在⊙O 上，点D 是AB 延长线上一点，CBD AOC ,140的度数为（ ）A ．40°B ．100°C ．120°D ．30°16．如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，角,140 那么A 等于（ ）A ．70°B ．110°C ．140°D ．220°17．如图，BC 为半圆O 直径，A 、D 为半圆O 上两点，2,3 BC AB ，则D 的度数是（ ）A ．60°B ．120°C ．135°D ．150°18．如图所示，AD 是Rt ABC 的斜边BC 上的高，AC AB ，过A 、D 两点的圆与AB 、AC 分别相交于点E 、F ，弦EF 与AD 相交于点G ，则图中与GDE 相似的三角形的个数为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．219．如图，图中圆周角的个数是（ ）．A ．9个B ．12个C ．8个D ．14个 20．如图，D 是的中点，与ABD 相等的角的个数是（ ）．A ．7个B ．3个C ．2个D ．1个21．已知：如图，AB 是⊙O 直径，弦AC ，BD 交于P ．则ABDC（ ）．A ．APD sinB ．APD cosC ．APD tg D ．APD ctg22．如图，A 点是半圆上一个三等分点，B 点是的中点，P 点是直径MN 上一动点，⊙O 的半径为1，则BP AP 的最小值为（ ）．（荆门市，2000）A ．1B ．22C ．2D ．13答案与提示：1．B 2. B 3、C ； 4、A ； 5、B ； 6、B ； 7. A 8. D.9．C 10．C 11．A 12．B 13．C 14．C 15．C 16．C 17．C 18．C. 19．B ；20．B 21．B ；22．C ，提示：作A 关于MN 的对称点'A ，连B A '，交MN 于P ．则PB PA 最小，PB PA 的最小值为2'BA ；填空题1.如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，的度数为 60，度数为 100，则AEC =2.如图，已知AB 是⊙O 直径，D 是圆上任意一点（不与A 点重合），连结BD ，并延长到C ，使DB DC ，连结AC ，则ABC 的形状是 三角形。

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《圆周角》典型例题
第一部分
题一：
题面：如图，A、B、C、D是⊙O上的四点．找出图中相等的圆周角.
题一：
题面：已知：如图，AB，BC，AC是⊙O的三条弦，∠OBC＝50°，则
∠A＝()
A.25°
B.40°
C.80°
D.100°
题二：
题面：如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=55º，则∠BCD的度数为（）
A、35º
B、45º
C、55º
D、75º
题一：
答案：∠BAC=∠BDC，∠ABD=∠ACD.
详解：根据圆周角的性质判断，相等的圆周角为∠BAC=∠BDC，∠ABD=∠ACD 题一：
答案：B
详解：因为∠OBC＝50°，所以∠OCB＝50°，可求∠BOC＝80°，则∠A＝40°. 题二：
答案：A
详解：连接AD，AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABD=55º，∴∠BAD=35º，∴∠BCD=35º.
第二部分
例1
题面：顶点在__ _，并且两边_____________的角叫做圆周角.
金题精讲
题一：
题面：如图，∠AOB是⊙O的圆心角，∠AOB=80°，则弧
AB所对圆周角∠ACB的度数是( )
A．30°B．40°C．50°D．80°
题二：
题面：如图，已知∠OCB=20°，则∠A= 度
例1
答案：顶点在圆上、两边分别和圆相交.
详解：注意两点：①顶点在圆上，②两边分别和圆相交.
金题精讲
题一：
答案：B.
详解：根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以由∠AOB=80°
得∠ACB=40°.
题二：
答案：70.
详解：因为∠OCB＝20°，所以∠OBC＝20°，可求∠BOC＝140°，则∠A＝70°. （六）化学工业有毒有害作业工种范围表。

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