第9讲 共点力的平衡 - 教师版

第9讲共点力的平衡姓名学校日期知识点共点力的平衡一、共点力：如果几个力都作用在物体的上，或者几个力的作用线相交于，这几个力就称为二、平衡状态物体处于或者保持的状态叫做。

三、共点力的平衡如果物体受到共点力的作用且处于，就叫。

四、共点力的平衡条件，建立平面直角坐标系，平衡条件变为、。

五、对共点力及平衡条件的理解1.二力平衡：同体、等值、反向、共线。

2.三力汇交原理：物体在三个互不平行的力的作用下处于平衡状态时，这三个力必定共面共点。

3.三力平衡：①物体在三个共点力作用下处于平衡状态时，这三个力要么平行（或共线）要么互不平行，其中任意两个力的合力与第三个力等大反向；②物体在三个互不平行的共点力作用下处于平衡状态时这三个力的有向线段必构成封闭三角形，即表示这三个力的矢量首尾相接，恰能组成一个封闭三角形。

4.物体在多个共点力作用下处于平衡状态，则其中的一个力与余下的力的合力等大反向.六、共点力平衡的几种解法1.力的合成、分解法2.矢量三角形法3.正交分解法：1.选好研究对象→正确受力分析→合理巧建坐标系→根据平衡条件列方程→求解（必要时讨论02.处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。

【例1】图中重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的．平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角θ．AO解法（一）合成法解法（二）分解法 总结：[例2]质量为m 的物体，用水平细绳AB 拉住，静止在倾角为θ的固定斜面上，求物体对斜面压力的大小，如图1（甲）。

[分析] 本题主要考察，物体受力分析与平衡条件，物体在斜面上受力如图1乙，以作用点为原点建立直角坐标系，据平衡条件∑F ＝0，即找准边角关系，列方程求解。

[解]解法一：以物体m 为研究对象建立图1乙所示坐标系，由平衡条件得：Tcos θ-mgsin θ＝0 （1）N-Tsin θ-mgcoo θ＝0 （2） 联立式（1）（2）解得N ＝mg ／cos θ据牛顿第三定律可知，物体对斜面压力的大小为N ′＝mg ／cos θ解法二：以物体为研究对象，建立如图2所示坐标系，据物体受共点力的平衡条件知：Ncos θ-mg=0∴ N ＝mg ／coc θ同理 N′=mg／cosθ[说明]（1）由上面解法可知：虽然两种情况下建立坐标系的方法不同，但结果相同，因此，如何建立坐标系与解答的结果无关，从两种解法繁简不同，可以得到启示：处理物体受力，巧建坐标系可简化运算，而巧建坐标系的原则是在坐标系上分解的力越少越佳。

（2）用正交分解法解共点力平衡时解题步骤：选好研究对象→正确受力分析→合理巧建坐标系→根据平衡条件（3）不管用哪种解法，找准力线之间的角度关系是正确解题的前提，角度一错全盘皆错，这是非常可惜的。

（4）由本题我们还可得到共点力作用平衡时的力图特点，题目中物体受重力G，斜面支持N，水平细绳拉力T三个共点力作用而平衡，这三个力必然构成如图3所示的封闭三角形力图。

这一点在解物理题时有时很方便。

【例3】如图1所示，挡板AB和竖直墙之间夹有小球，球的质量为m，问当挡板与竖直墙壁之间夹角θ缓慢增加时，AB板及墙对球压力如何变化。

[分析]本题考察当θ角连续变化时，小球平衡问题，此题可以用正交分解法。

选定某特定状态，然后，通过θ角变化情况，分析压力变化，我们用上题中第四条结论解答此题。

[解]由图2知，G，N2（挡板对球作用力），N1墙壁对球作用力，构成一个封闭三角形，且θ↑封闭三角形在变化，当增加到θ’时，由三角形边角关系知N1↓，N2↓。

[说明]封闭三角形解法对平面共点三力平衡的定性讨论，简捷直观。

本题是一种动态变化题目，这种题目在求解时，还可用一种极限法判断，如把AB板与竖直墙壁夹角θ增到90°时，可知N1=0，过程中N1一直减小，N2=mg，N2也一直在减小。

[例4]如图1所示，用一个三角支架悬挂重物，已知AB杆所受的最大压力为2000N，AC绳所受最大拉力为1000N，∠α=30°，为不使支架断裂，求悬挂物的重力应满足的条件？[分析]悬绳A点受到竖直向下的拉力F＝G，这个拉力将压紧水平杆AB并拉引绳索AC，所以应把拉力F沿AB、CA两方向分解，设两分力为F1、F2，画出的平行四边形如图2所示。

[解]由图2可知：因为AB、AC能承受的最大作用力之比为当悬挂物重力增加时，对AC绳的拉力将先达到最大值，所以为不使三角架断裂，计算中应以AC绳中拉力达最大值为依据，即取F2=F2m=1000N，于是得悬挂物的重力应满足的条件为G m≤F2sin30°＝500N，[说明]也可取A点为研究对象，由A点受力，用共点平衡条件求解。

A点受三个力：悬挂物的拉力F=G，杆的推力F B，绳的拉力F C，如图4所示。

根据共点力平衡条件，由F C sinα=G，F C cosα=F B，即得共点力平衡条件可以适用于多个力同时作用的情况，具有更普遍的意义。

[例5]如图所示，细绳CO与竖直方向成30°角，A、B两物体用跨过滑轮的细绳相连，已知物体B所受到的重力为100N，地面对物体B的支持力为80N，试求（1）物体A所受到的重力；（2）物体B与地面间的摩擦力；（3）细绳CO受到的拉力。

[分析]此题是在共点力作用下的物体平衡问题，据平衡条件∑F x=0，∑F y=0，分别取物体B和定滑轮为研究对象，进行受力情况分析，建立方程。

[解]如图2所示，选取直角坐标系。

据平衡条件得f-T1sinα=0，N＋T1cosα-m B g=0。

对于定滑轮的轴心O点有T1sinα-T2sin30°=0，T2cos30°-T1cosα-m A g=0。

因为T1=m A g，得α=60°，解方程组得（1）T1=40N，物体A所受到的重力为40N；（2）物体B与地面间的摩擦力f＝T1sinα=40sin60°≈34.6N；（3）细绳CO受到的拉力[说明]在本题中，我们选取定滑轮的轴心为研究对象，并认定T1与m A g作用在这点上，即构成共点力，使问题得以简化。

【例6】如图1所示，质量为m＝5kg的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数求当物体做匀速直线运动时，牵引力F的最小值和方向角θ。

[分析]本题考察物体受力分析：由于求摩擦力f时，N受F制约，而求F最小值，即转化为在物理问题中应用数学方法解决的实际问题。

我们可以先通过物体受力分析。

据平衡条件，找出F与θ关系。

进一步应用数学知识求解极值。

[解]作出物体m受力分析如图2，由平衡条件。

∑F x=Fcosθ-μN=0 （1）∑F y=Fsinθ+N-G=0 （2）由 cos（θ-Ф）=1 即θ—Ф=0时∴Ф=30°，θ=30°[说明]本题中我们应用了数学上极值方法，来求解物理实际问题，这是在高考中考察的一项重要能力。

在以后解题中我们还会遇到用如：几何法、三角形法等数学方法解物理问题，所以，在我们学习物理时，逐步渗透数学思想，对解决物理问题是很方便的。

但要注意，求解结果和物理事实的统一性。

【例7】如图1所示，支杆BC一端用铰链固定于B，另一端连接滑轮C，重物P上系一轻绳经C固定于墙上A点。

若杆BC、滑轮C及绳子的质量、摩擦均不计，将绳端A点沿墙稍向下移，再使之平衡时，绳的拉力和BC杆受到的压力如何变化？[误解一]滑轮C点受杆BC的支持力F、绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q（其中Q大小等于G），如图2所示。

由平衡条件可得F＝G·sinα， T＝G·cosα当绳的A点下移后，α增大，所以F增大，而T减小。

[误解二]滑轮C点受到杆BC支持力F，绳AC的拉力T和绳CP的拉力Q（其中Q的大小等于G），如图3，T与F的合力与Q等值反向。

当 A点下移后，T与竖直方向的夹角要增大，滑轮C也要下降，使BC与墙间的夹角θ增大，但因这两力的合力始终与Q等值反向，所以这两个分力均要增大。

[正确解答]滑轮C点受到F、T、Q三力作用而平衡，三力组成封闭三角形，如图4，注意到同一条绳上各处张力都相同，则有T=Q=G，以杆受到压力增大，而绳子拉力仍不变，大小为G。

[错因分析与解题指导]当不计绳子的质量时，绳子各处张力都相等，两个[误解]都未认识这个事实。

另外，[误解一]自设T与 F垂直作为讨论依据并将它扩展到一般情况，是毫无道理的。

[误解二]则臆断A点下移时，滑轮C也要下降，BC与墙间的夹角θ增大，与事实不符。

值得一提的是：本题BC杆对滑轮C点的作用力是沿着杆子的，而这是有条件的，仅当BC杆重力不计且只受两个力作用而平衡时，上述结论才成立。

1．明确研究对象，对它进行受力分析，画出受力图；2．根据平衡条件列方程；3．统一单位，代入数字、解方程、求答案。

由题讲话由题讲话，促使学生积极思维，获得更加全面的知识，加深对物理现象和规律的理解。

现举一、二例加以说明。

如图1，OA是一根横梁，一端安在轴O上，另一端用钢索AB拉着，在B处安装一小滑轮，可以改变钢索的长度，OB＝OA，在A端挂一重物G。

（横梁重不计）试求钢索BA的拉力？学生不感到困难。

根据∑M=0，解得：这时教师向学生发问：若将钢索BA加长（即缓慢下放），钢索的拉力F如何变化？学生根据上面的结果自然会想到，θ角将逐渐变小，力F必将逐渐增大。

当θ角趋近于零时，F将变得无限大！？F逐渐变大，与感性认识不太相符；无限大，显然不符合实际情况，感到疑惑不解。

毛病出在哪里呢？让学生去思索结症在哪里。

教师可以启发学生，在缓慢下放的过程中，θ角变小，但F的力臂也随着变小，（注意表达式Lsinθ不变），尤其G的力臂也在变小，不再是OA的长，显然图1不能反映一般的情况，应该重新作图分析，如图2。

为说明解题的方法是多种的，可以用共点力平衡法去解。

根据正弦定理：可见，下放时，θ角逐渐变小，力F1逐渐变大。

这个结果与上面的“一致”。

应该指出表达式（2）在形式上与表达式（1）显然不同，但（2）却包括了（1）式的结果。

再看，若θ角趋近零时，力F1又如何？学生自然会得出，F1趋近2G？！又会感到不解。

在学生的思维里，应为F1=G或F1=G/2才有理。

这时教师可以让学生求一下F2=？计算结果F2=G。

又看到在下放的过程中F2却始终不变，也是出乎意料。

这两个意外的结果有助于揭开谜底。

这时应指出在这个三角架装置中，OA必须是杆，不能用绳来代替，它起着支撑的作用。

通过计算已知，在下放的过程中，OA杆的支撑力始终不变，为G。

所以当θ角趋近于零时，力F1将趋近G＋G=2G。

必须指出θ趋近于零，并不是等于零。

若等于零后，那么钢索的拉力F1就是不定的了，已经越过本题所讨论的范围。

还可以让学生研究一下逐渐上拉时的变化情况化？此题属共点力平衡问题，一般可采用正交分解法，三角形法则，或是作图法求解，过程并非简单．若换用转动平衡条件∑M=0，只要支点选得适当，会使问题一目了然．先考查BC绳的张力F1，以A为支点，将绳AB与小球视为一刚体，平衡时应有：M F1-M G=0 即 M F1=M G．由于θ角保持不变，则重力的力矩M G将保持恒定，因而F1的大小变化主要依赖它对A点的力臂的变化，当BC垂直于AB时，F1的力臂等于绳长AB，其它位置的力臂均小于AB，故由此可知在C点上移的过程中，BC绳的张力F1先变小后变大．再考虑AB绳的张力F2：以移动的C点为支点（设BC绳能满足长度的需要），由于C点始终在竖直墙壁上，重力G的力矩仍保持不变，而AB绳的张力F2的力臂逐渐变长，如图2所示．故F2将逐渐变小．运用∑M=0求解决共点力的平衡问题，往往是将研究对象扩大化，将质点向外延伸为非质点．加上合适的支点选取，使力矩的个数减少，方程简捷，物理过程简单明了．同时又能培养学生的思维能力，变定势思维为发散思维．【例8】如图7，半径为R的光滑半球的正上方，离球面顶端距离为h的O点，用一根长为l的细线悬挂质量为m的小球，小球靠在半球面上．试求小球对球面压力的大小．析：取小球为研究对象，小球受到重力mg，绳的拉力T和半球面的支持力N三个力的作用，如图8所示．将T和N合成，得到合力F，由平衡条件知：F=mg．由图8可以看出，力的三角形ACD与空间三角形OAB相似，则：（4）三力的动态平衡问题即三个力中，有一个力为恒力，另一个力方向不变，大小可变，第三个力大小方向均可变，分析第三个力的方向变化引起的物体受力的动态变化问题．这种类型的问题不需要通过具体的运算来得出结论，因而障碍常出现在受力分析和画受力分析图上．在分析这类问题时，要注意物体“变中有不变”的平衡特点，在变中寻找不变量．即将两个发生变化的力进行合成，利用它们的合力为恒力的特点进行分析．在解决这类问题时，正确画出物体在不同状态时的受力图和平行四边形关系尤为重要．【例9】如图所示，用竖直档板将小球夹在档板和光滑斜面之间，若缓慢转动挡板，使其由竖直转至水平的过程中，分析球对挡板的压力和对斜面的压力如何变化．析：取小球为研究对象，小球受到重力G，档板给小球的支持力N1和斜面给小球的支持力N2三个力作用，如图10所示，将N1和N2合成，得到合力F，由平衡条件知，F=G为一定值．由于N2总垂直接触面（斜面），方向不变，则N1方向改变时，其大小（箭头）只能沿PQ线变动，如图示．显然在档板移动过程中，N1先变小后变大，N2一直减小．由牛顿第三定律，小球对档板的压力先变小后变大，小球对斜面的压力逐渐减小．【巩固训练】1.一个光滑的圆球搁在光滑的斜面和竖直的档板之间（图1），斜面和档板对圆球的弹力随斜面倾角α变化而变化的范围是（）A．斜面弹力N1变化范围是（mg，＋∞）B．斜面弹力N1变化范围是（0，＋∞）C．档板的弹力N2变化范围是（0， +∞）D．档板的弹力N2变化范围是（mg，＋∞）答：[A、C]解：圆球受三个力，其中重力的大小和方向均为确定的，档板对圆球的弹力N2的方向始终是水平的，亦为确定的。