热学教案(第二章)

dN m 4 N 2kT
32
e

mv 2 2 kT
v 2 dv
得：
m f v 4 2kT
32
e

mv 2 2 kT
v2
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
（2）利用概率统计的方法； （3）研究和预言大量粒子组成的物体的物理性质
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.2 概率论的基本知识 2.2.1伽尔顿板实验 伽尔顿板实验表明：在小球数量足够多的情况下， 相同间隔内所获得的小球数量满足正态分布（较稳 定的） 2.2.2 等概率性与概率的基本性质 1.概率的定义： (1)随机事件：在一定条件下，如果某一现象或某一 事件可能发生也可能不发生。
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.速度分布： 速度分布函数为：
f v x ,v y ,v z


dN v x , v y , v z Ndvx dv y dvz


f v
dN Ndv
各速度分量的分布函数为：
NL PL lim N N
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
3.概率的基本性质： （1）n个相互排斥事件发生的总概率是每个事件发 生概率之和，简称概率相加法则； （2）同时或依次发生的、互不相关的（或统计相关 的）事件发生的概率等于各个事件概率之乘积，简 称概率相乘法则； 2.2.3 平均值及其运算 1.平均值:某个随机变量的平均值可有两种方法求得： （1）先求出这N个统计单位的随机变量之和，然后 除以N个单位数
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.分子动理学发展过程：
1783年：伯努利提出气体压强是由分子碰撞器壁产生的； 1744年：罗蒙诺索夫提出热是分子运动的表现； 1857年：克劳修斯从分子运动理论到处压强公式； 1859年：麦克斯韦用数理统计方法导出了分子按速率分布 规律，由此导出了能量均分定理； 1884年：波尔兹曼导出了分子按速度分布的规律； 1902年：吉布斯完善了分布规律并推出了平衡态统计理论。


m f v i 2kT
12
mv i2 exp 2kT
12
m f v i dv i 2kT
mv i2 exp 2kT dv i
求某一方向（如x方向）分量在vx—vx+dvx的速度分 布，可由 dN v , v , v
f u gu f ui gui Pi f ui Pi gui Pi f u gu
i 1 i 1 i 1 n n n
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
（3）若c为常数，则 n c f u cf ui Pi
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
f v x ,v y ,v z


dN v x , v y , v z Ndvx dv y dvz


m 2kT
32
2 m v x v 2 v z2 y exp 2kT



dv 此处， x dv y dvz 为体积空间 2.麦克斯韦速率分布 dvx dv y dvz 4v 2 dv 体积空间
dN m f v 4 N 2kT
32
2 v 2 v x v 2 v z2 y
mv 2 2 exp 2kT v dv
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热学教案
物理学与电子工程学院 张可言 2010年3月
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.1 分子动理学理论与统计物理学 1.分子动理学理论建立的代表人物：
伯努利：瑞士数学家、物理学家； 罗蒙洛索夫：俄罗斯自然科学家； 麦克斯韦：英国物理学家； 吉布斯：美国物理学家； 爱因斯坦：德国、美国物理学家； 玻色：萨特延德拉· 纳特· 玻色,印度物理学家 费米：美籍意大利物理学家； 狄拉克：英国物理学家。
2
N
1
表示速率在v1—v2间隔内的分子数占总分子数的比率。 当v在0到无穷大的范围内时
N
N


0
f v dv
N 1 N
称为归一化条件。
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
2.麦克斯韦速率分布律： （1）麦克斯韦根据平衡态下大量分子的无规运动所 满足的统计规律以及概率论推得： 气体系统平衡时，分布在任意速率间隔v—v+dv内 的分子数比率为
（2）讨论：
A、dN/N与dv成正比，与v2有关； B、当v=0时，f（v）=0，dN/N=0 当v→∞时，f（v）=0，dN/N=0,即成正态分布。
C、平均速率：
v vf v dv v
0 0
dN N
8kT 8 RT m M m
D、均方根速率：
v2


0
v 2 f v dv
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
N u N 2 u2 u 1 1 Ni
i
N u
i
i
N
（2）利用概率分布球随机变量的平均值
u P1 u1 P2 u2 Pi ui
i
2.平均值的计算公式： （1）设f（u）是随机变量u的函数，则 n f u f ui Pi i 1 （2） f u gu f u gu
n
n
因为：
u 2 0
所以：
u2 u 2
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
定义相对均方根偏差为：
u 2 u
12

u
2
1 2
u

urms
u
当u的所有值都等于相同值时，（Δu）rms=0，由此 可见相对均方根偏差表示了随机变量在平均值附近 分散分布的程度，也称为涨落、散度或散差。 2.2.5 概率分布函数
2 mv x exp 2kT dv x
说明：麦克斯韦在导出麦克斯韦速度分布律时，没 有考虑到气体分子之间的相互作用，因此，这一速 度分布率只适用于处于平衡态的理想气体。 2.4.4 从麦克斯韦速度分布导出速率分布 1.麦克斯韦速度分布
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
f v x dN v x Ndvx
f vy

dN v y Ndvy

f v z
dN v z Ndvz
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
总分布率为：
dN v x , v y , v z N

f v dv f v dv f v dv
x x y y z
z
2.4.2 麦克斯韦速度分布 麦克斯韦利用概率统计方法导出了理想气体分子的 速度分布，即：
m f v x , v y , v z dv x dv y dvz 2kT


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2 m v x v 2 v z2 y exp 2kT
v L
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
这就是能够到达接收点的分子必须所具有的速率。 通过对频上沉积厚度的测量，可得到相应速率的分 子数。这里要注意，对分子速率的选择不是单一速 率的选择，而是一个相对较小的速率范围。 3.实验结果： 2.3.2 麦克斯韦速率分布 1.分布函数： 从实验结果可以看出ΔN/N与分子速率及其间隔有 关，因此分布函数定义为 v dN f
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第2章分子动理学理论的平衡态理论
3.分子动理学理论的主要特点：
（1）考虑分子之间、分子与器壁之间的频繁碰撞； （2）考虑分子间相互作用力； （3）利用力学定律和概率论； （4）讨论分子运动及碰撞； （5）目标是描述气体由非平衡态转入平衡态的过程。
4.统计物理学：
（1）从物质微观结构和相互作用的模型出发；
f v x ,v y ,v z


x
y
z
Ndvx dv y dvz
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得：
dN v x Nf v x dv x


f v y dv y
12



f v z dvz
Hale Waihona Puke m f v x dv x 2kT
i 1
cf u
2.2.4 均方差 1.定义：随机变量偏离平均值的平方。 2.均方差与平均值的关系：
u
2
u Pr ur u Pr u 2 2uu u u 2 2u u u 2 u 2 u 2
2 2 2 r 1 r 1
略。
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2.3 麦克斯韦速率分布 2.3.1 分子射线束实验 1.实验装置：