第三章 整式加减

整式的加减问题1 列代数式及求代数式的值什么叫代数式？单独的一个数或字母是代数式吗？怎样列代数式？怎样求代数式的值？ 例1 列代数式：(1)某班有学生m 人，其中参加暑假社会实践活动的有85%，那么没有参加社会实践活动的有________人；(2)甲班有学生a 人，其中数学测试得优秀的占12；乙班有学生b 人，其中数学测试得优秀的占13，这两个班在此次数学测试中得优秀的共有________人； (3)若某种水果每千克2元，则4m 可理解为________千克这种水果的总价；(4)a 与b 的差的立方可表示为________；(5)比x 与y 两数的积小3的数为__________；(6)如图3－T －1所示，边长为a 的正方形中阴影部分的面积为( )图3－T －1A ．a 2－π(a 2)2 B ．a 2－πa 2C ．a 2－πaD ．a 2－2πa【归纳总结】解答这类题时，首先理解题目中的数量关系，然后写出含有字母的式子． 例2 当x ＝1时，代数式px 3＋qx ＋1的值为2019，当x ＝－1时，求代数式px 3＋qx ＋1的值．【归纳总结】求代数式的值的两种题型一种是把某几个代数式看成整体，先把要求值的式子转化成含这几个代数式的形式，然后整体代入求值；另一种是求得代数式里每一个字母的值，再分别代入所求代数式化简后的式子里求值．问题2 整式中的相关概念试比较你所学过的各种式子，哪些是表示数或字母的积的式子？哪些是几个单项式的和的形式？你能举出一些用单项式、多项式表示数量关系的实际例子吗？例3 已知多项式6a 2b 2－3ab 3＋4a 4b －8b 5＋7a 3，回答下列问题：(1)该式是几次几项式？(2)字母b 的最高指数是多少？字母a 的最高指数是多少？(3)把多项式按字母a 的降幂重新排列．【归纳总结】此类题主要考查单项式的定义、多项式的次数及多项式的项等内容．解答这类题时必须严格按定义去判断．问题3 整式的加减整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用，举例说明合并同类项和去括号法则的依据是什么？在整式加减的运算过程中，应注意些什么问题？例4 化简：(1)3x ＋2x 2－2－15x 2＋1－5x ；(2)－7x 2＋(6x 2－5xy )－2(3y 2＋xy －x 2)．【归纳总结】 有括号先去括号，再合并同类项．例5 (1)已知一个多项式加上－3＋x －2x 2得到x 2－1，求这个多项式；(2)已知A ＝2x 2＋y 2＋2z ，B ＝x 2－y 2＋z ，求2A －B .【归纳总结】求整式的和或差时，应先用括号将每一个整式括起来，再用加减运算符号连接起来，具体运算时，应先去括号，再合并同类项．解题时别出现符号上的错误．例6 先化简，再求值：4x 2y －[6xy －2(4xy －2)＋2x 2y ]＋1，其中x ＝－12，y ＝1. 【归纳总结】求多项式的值的常用方法一是先化简，再求值(如本例)；二是挖掘隐含条件，求出字母的值，再代入求值；三是整体代入求值．问题4 整式加减的应用结合实际问题说明如何利用整式的加减解决实际问题.例7 晓晨乘公共汽车到图书城去买书，上车时发现车上已有(3a －b ＋1)人，车到中途站时，下车(2a －3)人，但又上来若干人，这时公共汽车上共有(8a －5b )人，问中途上车多少人？当a ＝5，b ＝3时，中途上车多少人？【归纳总结】利用整式的加减解决实际问题的方法是，先根据题意列出关系式，然后利用去括号法则，以及合并同类项法则进行化简，最后将已知数代入计算即可．问题5 探索规律数字类规律问题一般有哪些寻找规律的方法？图形类规律问题一般有哪些寻找规律的方法？例8 如图3－T －2是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n (n 为正整数)个图案由________个▲组成．图3－T －2【整合提升】例1 (1)15%m (2)⎝⎛⎭⎫12a ＋13b (3)2m(4)(a －b)3 (5)xy －3(6)A例2 解：当x ＝1时，px 3＋qx ＋1＝p ＋q ＋1＝2019，所以p ＋q ＝2019.当x ＝－1时，px 3＋qx ＋1＝－p －q ＋1＝－(p ＋q)＋1＝－2019＋1 ＝－2019.例3 [解析] 只要把多项式的项数和指数概念弄清楚，(1)题是不难回答的．对于(2)题回答时注意只看题目所要求的字母的指数即可．例如因为多项式6a 2b 2－3ab 3＋4a 4b －8b 5＋7a 3含有字母a 的各项中，a 的指数最大的是4，所以字母a 的最高指数是4.同样道理可知字母b 的最高指数是5.解：(1)五次五项式．(2)字母b 的最高指数是5，字母a 的最高指数是4.(3)4a 4b ＋7a 3＋6a 2b 2－3ab 3－8b 5.例4 解：(1)原式＝(2x 2－15x 2)＋(3x －5x)＋(－2＋1)＝－13x 2－2x －1.(2)原式＝－7x 2＋6x 2－5xy －6y 2－2xy ＋2x 2＝(－7x 2＋6x 2＋2x 2)＋(－5xy －2xy)－6y 2＝x 2－7xy －6y 2.例5 [解析] (1)根据题意列出关系式，去括号、合并同类项即可得到结果；(2)将A 与B 代入2A －B 中，去括号、合并同类项即可得到结果．解：(1)设这个多项式为A ，则A ＝(x 2－1)－(－3＋x －2x 2)＝x 2－1＋3－x ＋2x 2＝3x 2－x ＋2.(2)∵A ＝2x 2＋y 2＋2z ，B ＝x 2－y 2＋z ，∴2A －B ＝2(2x 2＋y 2＋2z)－(x 2－y 2＋z)＝4x 2＋2y 2＋4z －x 2＋y 2－z＝3x 2＋3y 2＋3z.例6 [解析] 先去括号，然后合并同类项，最后代入计算即可．解：原式＝4x 2y －(6xy －8xy ＋4＋2x 2y)＋1＝4x 2y ＋2xy －4－2x 2y ＋1＝2x 2y ＋2xy －3，当x ＝－12，y ＝1时， 原式＝2×(－12)2×1＋2×(－12)×1－3＝－72. 例7 [解析] 根据题意列出关系式，去括号、合并同类项得到中途上车的人数，将a 与b 的值代入计算即可得到结果．解：中途上车人数为(8a －5b)－[(3a －b ＋1)－(2a －3)]＝8a －5b －a ＋b －4＝7a －4b －4， 当a ＝5，b ＝3时，中途上车7a －4b －4＝7×5－4×3－4＝19(人)．则中途上车(7a －4b －4)人，当a ＝5，b ＝3时，中途上车19人．例8 (3n ＋1) [解析] 观察图案可以发现：因为第n 个图案每一条边上的小三角形的个数为(n ＋1)，所以三条边上的小三角形的个数为3(n ＋1)－3，再加上最中间的一个小三角形就是第n 个图案中小三角形的总个数，即[3(n ＋1)－3]＋1＝3n ＋1，故答案为(3n ＋1)．【专题阅读】求代数式的值的方法求代数式的值，需要掌握多种数学技巧与方法．许多较复杂的问题都与代数式的变形方法密切相关，在解题过程中要注意对技巧方法的灵活应用．一、先化简后求值整式是代数式中最基本的式子，可分为单项式和多项式．整式的加减运算，实质上就是合并同类项，其结果仍为整式．合并同类项的方法是字母和字母的指数不变，将系数相加减．有理数的运算律同样适用于整式运算．在求代数式的值的过程中，由于去括号、合并同类项不会改变代数式的值，因此，先去括号、合并同类项化简代数式后，再代入求值，这是求代数式的值的简便方法，也是常规的解题方法．例1 若(3a ＋2)2＋(12－b)2＋⎪⎪⎪⎪2a －1b ＋c ＝0，求4abc －{3a 2b －[－abc －(3a 2b 2－3a 2b)]＋[2abc －(3a 2b 2－5a 2b)]}的值．解：因为(3a ＋2)2≥0，(12－b)2≥0，⎪⎪⎪⎪2a －1b ＋c ≥0，且(3a ＋2)2＋⎝⎛⎭⎫12－b 2＋⎪⎪⎪⎪2a －1b ＋c ＝0， 所以⎩⎨⎧3a ＋2＝0，12－b ＝0，2a －1b ＋c ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－23，b ＝12，c ＝103.又因为原式＝4abc －3a 2b ＋[－abc －(3a 2b 2－3a 2b)]－[2abc －(3a 2b 2－5a 2b)]＝4abc －3a 2b －abc －3a 2b 2＋3a 2b －2abc ＋3a 2b 2－5a 2b ＝abc －5a 2b.当a ＝－23，b ＝12，c ＝103时， 原式＝⎝⎛⎭⎫－23×12×103－5×⎝⎛⎭⎫－232×12＝－109－109＝－229. 二、代入消元法如果代数式中有两个或两个以上不同的字母，且条件中没有给出这几个字母各自确定的值，直接代入计算会有一定的困难．但由于条件中已给出了这几个字母的和、差、倍关系，那么，可设法用其中一个字母来表示其他字母，然后代入计算，这种求代数式的值的方法，叫做代入消元法．例2 已知a ＝3b ，c ＝a 2，求a ＋b ＋c a ＋b －c的值． [解析] 已知条件给出了三个字母a 与b ，c 与a 之间的倍数关系，而问题是求a ＋b ＋c 与a ＋b －c 的比值，所以设法用其中一个字母来表示其他两个字母，然后代入计算．解：用a 分别表示b ，c.因为a ＝3b ，所以b ＝a 3，而c ＝a 2， 所以a ＋b ＋c a ＋b －c ＝a ＋a 3＋a 2a ＋a 3－a 2＝215. 三、整体代入法通过已知条件求出各个未知数的值行不通时，可先将所求的代数式适当变形，再将已知代数式的值整体代入，这种方法叫做整体代入法．例3 已知当x ＝7时，代数式ax 3＋bx －5的值是7.求当x ＝7时，代数式ax 3＋bx ＋5的值．[解析] 根据当x ＝7时，ax 3＋bx －5＝7，得到343a ＋7b ＝12，把343a ＋7b 看作一个整体代入到ax 3＋bx ＋5即可．解：当x ＝7时，ax 3＋bx －5＝7，即343a ＋7b ＝12.当x ＝7时，ax 3＋bx ＋5＝343a ＋7b ＋5＝12＋5＝17.四、特殊值法根据题目条件，选择允许的特殊值代替字母，从而巧妙、快速地解决问题，这种方法叫做特殊值法．例4 已知ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝(x －2)4，求a ＋b ＋c ＋d ＋e 的值．[解析] 因为无论x 取什么值，代数式ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 与(x －2)4的值都是相等的，所以我们可以根据题目的需要，选择适当的x 的值代入从而达到目的．解：令x ＝1，则a ×14＋b ×13＋c ×12＋d ×1＋e ＝a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝(1－2)4＝1，即a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝1.五、比例系数法对于比例式，可设定一个比例系数，并将比例式中各字母都转化为用比例系数表示的代数式，再代入所求代数式中化简求值，这种方法叫做比例系数法．例5 若x ∶y ∶z ＝2∶3∶4，求3x ＋2y －z 2x －2y ＋z的值． [解析] 将题设条件中的比例式设一个比例系数，将x ，y ，z 都转化为用比例系数表示的代数式，再代入求值.解：设x ＝2k(k ≠0)，则y ＝3k ，z ＝4k ，代入原式，得3x ＋2y －z 2x －2y ＋z ＝3×2k ＋2×3k －4k 2×2k －2×3k ＋4k ＝8k 2k＝4.。