北京市海淀区2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题及参考答案
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2018-2019学度北京海淀区高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
一.选择题〔每题4分，共32分，每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的〕1、〔4分〕集合U＝｛1，2，3，4，5，6｝，M＝｛1，5｝，P＝｛2，4｝，那么以下结论正确的选项是〔〕A、1∈∁U 〔M∪P〕B、2∈∁U〔M∪P〕C、3∈∁U〔M∪P〕D、6∉∁U〔M∪P〕2、〔4分〕以下函数在区间〔﹣∞，0〕上是增函数的是〔〕A、f〔x〕＝x2﹣4xB、g〔x〕＝3x＋1C、h〔x〕＝3﹣xD、t〔x〕＝tanx3、〔4分〕向量＝〔1，3〕，＝〔3，t〕，假设∥，那么实数t的值为〔〕A、﹣9B、﹣1C、1D、94、〔4分〕以下函数中，对于任意的x∈R，满足条件f〔x〕＋f〔﹣x〕＝0的函数是〔〕A、f〔x〕＝xB、f〔x〕＝sinxC、f〔x〕＝cosxD、f〔x〕＝log2〔x2＋1〕5、〔4分〕代数式sin〔＋〕＋cos〔﹣〕的值为〔〕A、﹣1B、0C、1D、6、〔4分〕在边长为1的正方形ABCD中，向量＝，＝，那么向量，的夹角为〔〕A、B、C、D、7、〔4分〕如果函数f〔x〕＝3sin〔2x＋φ〕的图象关于点〔，0〕成中心对称〔｜φ｜《〕，那么函数f〔x〕图象的一条对称轴是〔〕A、x＝﹣B、x＝C、x＝D、x＝8、〔4分〕函数f〔x〕＝其中M∪P＝R，那么以下结论中一定正确的选项是〔〕A、函数f〔x〕一定存在最大值B、函数f〔x〕一定存在最小值C、函数f〔x〕一定不存在最大值D、函数f〔x〕一定不存在最小值二.填空题〔本大题6小题，每题4分，共24分〕9、〔4分〕函数y＝的定义域为、4，那么a，b，c从小到大的排列为、10、〔4分〕a＝40.5，b＝0.54，c＝log0.511、〔4分〕角α终边上有一点P〔x，1〕，且cosα＝﹣，那么tanα＝、12、〔4分〕△ABC中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔x，1〕〔i〕假设∠ACB是直角，那么x＝〔ii〕假设△ABC是锐角三角形，那么x的取值范围是、13、〔4分〕燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v＝alog、假设两岁燕子耗氧量2达到40个单位时，其飞行速度为v＝10m／s，那么两岁燕子飞行速度为25m／s 时，耗氧量达到单位、14、〔4分〕函数f〔x〕＝｜ax﹣1｜﹣〔a﹣1〕x〔1〕当a＝时，满足不等式f〔x〕》1的x的取值范围为；〔2〕假设函数f〔x〕的图象与x轴没有交点，那么实数a的取值范围为、三.解答题〔本大题共4小题，共44分〕15、〔12分〕函数f〔x〕＝x2＋bx＋c，其对称轴为y轴〔其中b，c为常数〕〔Ⅰ〕求实数b的值；〔Ⅱ〕记函数g〔x〕＝f〔x〕﹣2，假设函数g〔x〕有两个不同的零点，求实数c的取值范围；〔Ⅲ〕求证：不等式f〔c2＋1〕》f〔c〕对任意c∈R成立、16、〔12分〕如表为“五点法”绘制函数f〔x〕＝Asin〔ωx＋φ〕图象时的五，｜φ｜《π〕〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调递减区间；〔Ⅲ〕求函数f〔x〕在区间【0，】上的取值范围、17、〔10分〕如图，在平面直角坐标系中，点A〔﹣，0〕，B〔，0〕，锐角α的终边与单位圆O交于点P、〔Ⅰ〕用α的三角函数表示点P的坐标；〔Ⅱ〕当•＝﹣时，求α的值；〔Ⅲ〕在x轴上是否存在定点M，使得｜｜＝｜｜恒成立？假设存在，求出点M的横坐标；假设不存在，请说明理由、18、〔10分〕函数f〔x〕的定义域为R，假设存在常数T≠0，使得f〔x〕＝Tf 〔x＋T〕对任意的x∈R成立，那么称函数f〔x〕是Ω函数、〔Ⅰ〕判断函数f〔x〕＝x，g〔x〕＝sinπx是否是Ω函数；〔只需写出结论〕〔Ⅱ〕说明：请在〔i〕、〔ii〕问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择〔i〕计分〔i〕求证：假设函数f〔x〕是Ω函数，且f〔x〕是偶函数，那么f〔x〕是周期函数；〔ii〕求证：假设函数f〔x〕是Ω函数，且f〔x〕是奇函数，那么f〔x〕是周期函数；〔Ⅲ〕求证：当a》1时，函数f〔x〕＝a x一定是Ω函数、选做题〔此题总分值10分〕19、〔10分〕记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V〔，〕＝｜x∈V｜x•＝x•｜〔1〕请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V〔，〕中的三个元素；〔2〕请根据你在〔1〕中写出的三个元素，猜想集合V〔，〕中元素的关系，并试着给出证明；〔3〕假设V〔，〕＝V〔，〕，其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1＋λ2＝1，使得＝λ1＋λ2、2016－2017学年北京市海淀区高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题〔每题4分，共32分，每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的〕1、〔4分〕集合U＝｛1，2，3，4，5，6｝，M＝｛1，5｝，P＝｛2，4｝，那么以下结论正确的选项是〔〕A、1∈∁U 〔M∪P〕B、2∈∁U〔M∪P〕C、3∈∁U〔M∪P〕D、6∉∁U〔M∪P〕【解答】解：由得到M∪P＝｛1，5，2，4｝；所以∁U〔M∪P〕＝｛3，6｝；故A、B、D错误；应选：C、2、〔4分〕以下函数在区间〔﹣∞，0〕上是增函数的是〔〕A、f〔x〕＝x2﹣4xB、g〔x〕＝3x＋1C、h〔x〕＝3﹣xD、t〔x〕＝tanx【解答】解：对于A，f〔x〕＝x2﹣4x＝〔x﹣2〕2﹣4，在〔﹣∞，0〕上是单调减函数，不满足题意；对于B，g〔x〕＝3x＋1在〔﹣∞，0〕上是单调增函数，满足题意；对于C，h〔x〕＝3﹣x＝是〔﹣∞，0〕上的单调减函数，不满足题意；对于D，t〔x〕＝tanx在区间〔﹣∞，0〕上是周期函数，不是单调函数，不满足题意、应选：B、3、〔4分〕向量＝〔1，3〕，＝〔3，t〕，假设∥，那么实数t的值为〔〕A、﹣9B、﹣1C、1D、9【解答】解：向量＝〔1，3〕，＝〔3，t〕，假设∥，可得t＝9、应选：D、4、〔4分〕以下函数中，对于任意的x∈R，满足条件f〔x〕＋f〔﹣x〕＝0的函数是〔〕A、f〔x〕＝xB、f〔x〕＝sinxC、f〔x〕＝cosxD、f〔x〕＝log2〔x2＋1〕【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f〔x〕＋f〔﹣x〕＝0的函数是奇函数、A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，应选B、5、〔4分〕代数式sin〔＋〕＋cos〔﹣〕的值为〔〕A、﹣1B、0C、1D、【解答】解：sin〔＋〕＋cos〔﹣〕＝、应选：C、6、〔4分〕在边长为1的正方形ABCD中，向量＝，＝，那么向量，的夹角为〔〕A、B、C、D、【解答】解：设向量，的夹角为θ，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，∴A〔0，0〕，B〔1.0〕，C〔1，1〕，D〔0，1〕，∵向量＝，＝，∴E〔，1〕，F〔1，〕，∴＝〔，1〕，＝〔1，〕，∴｜｜＝，＝，•＝＋＝，∴cosθ＝＝＝，∴θ＝，应选：B7、〔4分〕如果函数f〔x〕＝3sin〔2x＋φ〕的图象关于点〔，0〕成中心对称〔｜φ｜《〕，那么函数f〔x〕图象的一条对称轴是〔〕A、x＝﹣B、x＝C、x＝D、x＝【解答】解：∵函数f〔x〕＝3sin〔2x＋φ〕的图象关于点〔，0〕成中心对称，∴2×＋φ＝kπ，k∈Z，解得：φ＝kπ﹣，k∈Z，∵｜φ｜《，∴φ＝，可得：f〔x〕＝3sin〔2x＋〕，∴令2x＋＝kπ＋，k∈Z，可得：x＝＋，k∈Z，∴当k＝0时，可得函数的对称轴为x＝、应选：B、8、〔4分〕函数f〔x〕＝其中M∪P＝R，那么以下结论中一定正确的选项是〔〕A、函数f〔x〕一定存在最大值B、函数f〔x〕一定存在最小值C、函数f〔x〕一定不存在最大值D、函数f〔x〕一定不存在最小值【解答】解：由函数y＝2x的值域为〔0，＋∞〕，y＝x2的值域为【0，＋∞〕，且M∪P＝R，假设M＝〔0，＋∞〕，P＝〔﹣∞，0】，那么f〔x〕的最小值为0，故D错；假设M＝〔﹣∞，2〕，P＝【2，＋∞〕，那么f〔x〕无最小值为，故B错；由M∪P＝R，可得图象无限上升，那么f〔x〕无最大值、应选：C、二.填空题〔本大题6小题，每题4分，共24分〕9、〔4分〕函数y＝的定义域为【2，＋∞〕、【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，那么x≥2、∴函数y＝的定义域为【2，＋∞〕、故答案为：【2，＋∞〕、10、〔4分〕a＝40.5，b＝0.54，c＝log0.54，那么a，b，c从小到大的排列为c《b 《a、【解答】解：∵a＝40.5》40＝1，0《b＝0.54《0.50＝1，c＝log0.54《log0.51＝0，∴a，b，c从小到大的排列为c《b《A、故答案为：c《b《A、11、〔4分〕角α终边上有一点P〔x，1〕，且cosα＝﹣，那么tanα＝﹣、【解答】解：∵角α终边上有一点P〔x，1〕，且cosα＝﹣＝，∴x＝﹣，∴tanα＝＝﹣，故答案为：﹣、12、〔4分〕△ABC中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔x，1〕〔i〕假设∠ACB是直角，那么x＝〔ii〕假设△ABC是锐角三角形，那么x的取值范围是〔﹣2，﹣〕∪〔2，＋∞〕、【解答】解：〔i〕∵△ABC中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔x，1〕，∴＝〔﹣2﹣x，﹣1〕，＝〔2﹣x，﹣1〕，∵∠ACB是直角，∴＝〔﹣2﹣x〕〔2﹣x〕＋〔﹣1〕〔﹣1〕＝x2﹣3＝0，解得x＝、〔ii〕∵△ABC中，点A〔﹣2，0〕，B〔2，0〕，C〔x，1〕，∴＝〔﹣2﹣x，﹣1〕，＝〔2﹣x，﹣1〕，＝〔x＋2，1〕，＝〔4，0〕，＝〔x﹣2，1〕，＝〔﹣4，0〕，∵△ABC是锐角三角形，∴，解得﹣2《x《﹣或x》2、∴x的取值范围是〔﹣2，﹣〕∪〔2，＋∞〕、故答案为：，〔﹣2，﹣〕∪〔2，＋∞〕、13、〔4分〕燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v＝alog、假设两岁燕子耗氧量2达到40个单位时，其飞行速度为v＝10m／s，那么两岁燕子飞行速度为25m／s 时，耗氧量达到320单位、【解答】解：由题意，令x＝40，v＝1010＝alog4；所以a＝5；2v＝25m／s，25＝5log，得到x＝320单位、故答案为：320、14、〔4分〕函数f〔x〕＝｜ax﹣1｜﹣〔a﹣1〕x〔1〕当a＝时，满足不等式f〔x〕》1的x的取值范围为〔2，＋∞〕；〔2〕假设函数f〔x〕的图象与x轴没有交点，那么实数a的取值范围为【，1〕、【解答】解：〔1〕a＝时，f〔x〕＝｜x﹣1｜＋x＝，∵f〔x〕》1，∴，解得x》2，故x的取值范围为〔2，＋∞〕，〔2〕函数f〔x〕的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f〔x〕＝｜ax﹣1｜与g〔x〕＝〔a﹣1〕x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0《a《1时，f〔x〕＝｜ax﹣1｜与g〔x〕＝〔a﹣1〕x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a《1③当a≤0时，f〔x〕＝｜ax﹣1｜与g〔x〕＝〔a﹣1〕x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a《1故答案为：〔2，＋∞〕，【，1〕三.解答题〔本大题共4小题，共44分〕15、〔12分〕函数f〔x〕＝x2＋bx＋c，其对称轴为y轴〔其中b，c为常数〕〔Ⅰ〕求实数b的值；〔Ⅱ〕记函数g〔x〕＝f〔x〕﹣2，假设函数g〔x〕有两个不同的零点，求实数c的取值范围；〔Ⅲ〕求证：不等式f〔c2＋1〕》f〔c〕对任意c∈R成立、【解答】解：〔Ⅰ〕∵函数f〔x〕＝x2＋bx＋c，其对称轴为y轴，∴＝0，解得：b＝0；〔Ⅱ〕由〔I〕得：f〔x〕＝x2＋c，那么g〔x〕＝f〔x〕﹣2＝x2＋c﹣2，假设函数g〔x〕有两个不同的零点，那么△＝﹣4〔c﹣2〕》0，解得：c《2；〔Ⅲ〕证明：函数f〔x〕＝x2＋c的开口朝上，∵｜c2＋1｜2﹣｜c｜2＝c4＋c2＋1＝〔c2＋〕2＋》0恒成立，故｜c2＋1｜》｜c｜，故不等式f〔c2＋1〕》f〔c〕对任意c∈R成立、16、〔12分〕如表为“五点法”绘制函数f〔x〕＝Asin〔ωx＋φ〕图象时的五，｜φ｜《π〕〔Ⅱ〕求函数f〔x〕的单调递减区间；〔Ⅲ〕求函数f〔x〕在区间【0，】上的取值范围、【解答】解：〔Ⅰ〕由表格可得A＝2，＝＋，∴ω＝2，结合五点法作图可得2•＋φ＝，∴φ＝，∴f〔x〕＝2sin〔2x＋〕，它的最小正周期为＝π、〔Ⅱ〕令2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋，求得kπ＋≤x≤kπ＋，可得函数f〔x〕的单调递减区间为【kπ＋，kπ＋】，k∈Z、〔Ⅲ〕在区间【0，】上，2x＋∈【，】，sin〔2x＋〕∈【﹣，1】，f〔x〕∈【﹣，2】，即函数f〔x〕的值域为【﹣，2】、17、〔10分〕如图，在平面直角坐标系中，点A〔﹣，0〕，B〔，0〕，锐角α的终边与单位圆O交于点P、〔Ⅰ〕用α的三角函数表示点P的坐标；〔Ⅱ〕当•＝﹣时，求α的值；〔Ⅲ〕在x轴上是否存在定点M，使得｜｜＝｜｜恒成立？假设存在，求出点M的横坐标；假设不存在，请说明理由、【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P、〔Ⅰ〕用α的三角函数表示点P的坐标为〔cosα，sinα〕；〔Ⅱ〕，，•＝﹣时，即〔cos〕〔cos〕＋sin2α＝，整理得到cos，所以锐角α＝60°；〔Ⅲ〕在x轴上假设存在定点M，设M〔x，0〕，，那么由｜｜＝｜｜恒成立，得到＝，整理得2cosα〔2＋x〕＝x2﹣4，所以存在x＝﹣2时等式恒成立，所以存在M〔﹣2，0〕、18、〔10分〕函数f〔x〕的定义域为R，假设存在常数T≠0，使得f〔x〕＝Tf 〔x＋T〕对任意的x∈R成立，那么称函数f〔x〕是Ω函数、〔Ⅰ〕判断函数f〔x〕＝x，g〔x〕＝sinπx是否是Ω函数；〔只需写出结论〕〔Ⅱ〕说明：请在〔i〕、〔ii〕问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择〔i〕计分〔i〕求证：假设函数f〔x〕是Ω函数，且f〔x〕是偶函数，那么f〔x〕是周期函数；〔ii〕求证：假设函数f〔x〕是Ω函数，且f〔x〕是奇函数，那么f〔x〕是周期函数；〔Ⅲ〕求证：当a》1时，函数f〔x〕＝a x一定是Ω函数、【解答】解：〔I〕①对于函数f〔x〕＝x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf〔x ＋T〕＝f〔x〕，那么T〔x＋T〕＝x，取x＝0时，那么T＝0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f〔x〕＝x不是Ω函数、②对于g〔x〕＝sinπx是Ω函数，令T＝﹣1，那么sin〔πx﹣π〕＝﹣sin〔π﹣πx〕＝﹣sinπx、即﹣sin〔π〔x﹣1〕〕＝sinπx、∴Tsin〔πx＋πT〕＝sinπx成立，即函数f〔x〕＝sinπx对任意x∈R，有Tf〔x＋T〕＝f〔x〕成立、〔II〕〔i〕证明：∵函数f〔x〕是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf〔x＋T〕＝f 〔x〕，Tf〔﹣x＋T〕＝f〔﹣x〕、又f〔x〕是偶函数，∴f〔﹣x〕＝f〔x〕，∴Tf〔﹣x＋T〕＝Tf〔x＋T〕，T≠0，化为：f〔x＋T〕＝f〔﹣x＋T〕，令x﹣T＝t，那么x＝T＋t，∴f〔2T＋t〕＝f〔﹣t〕＝f〔t〕，可得：f〔2T＋t〕＝f〔t〕，因此函数f〔x〕是周期为2T的周期函数、〔ii〕证明：∵函数f〔x〕是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf〔x＋T〕＝f〔x〕，Tf〔﹣x＋T〕＝f〔﹣x〕、又f〔x〕是奇函数，∴f〔﹣x〕＝﹣f〔x〕，∴﹣Tf〔x＋T〕＝Tf〔﹣x＋T〕，T ≠0，化为：﹣f〔x＋T〕＝f〔﹣x＋T〕，令x﹣T＝t，那么x＝T＋t，∴﹣f〔2T＋t〕＝f〔﹣t〕＝﹣f〔t〕，可得：f〔2T ＋t〕＝f〔t〕，因此函数f〔x〕是周期为2T的周期函数、〔III〕证明：当a》1时，假设函数f〔x〕＝a x是Ω函数，那么存在非零常数T，Tf〔x＋T〕＝f〔x〕，∴Ta x＋T＝a x，化为：Ta T a x＝a x，∵a x》0，∴Ta T＝1，即a T＝，此方程有非0的实数根，因此T≠0且存在，∴当a》1时，函数f〔x〕＝a x一定是Ω函数、选做题〔此题总分值10分〕19、〔10分〕记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V〔，〕＝｜x∈V｜x•＝x•｜〔1〕请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V〔，〕中的三个元素；〔2〕请根据你在〔1〕中写出的三个元素，猜想集合V〔，〕中元素的关系，并试着给出证明；〔3〕假设V〔，〕＝V〔，〕，其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1＋λ2＝1，使得＝λ1＋λ2、【解答】解：〔1〕比如＝〔1，2〕，＝〔3，4〕，设＝〔x，y〕，由•＝•，可得x＋2y＝3x＋4y，即为x＋y＝0，那么集合V〔，〕中的三个元素为〔1，﹣1〕，〔2，﹣2〕，〔3，﹣3〕；〔2〕由〔1〕可得这些向量共线、理由：设＝〔s，t〕，＝〔a，b〕，＝〔c，d〕，由•＝•，可得as＋bt＝cs＋dt，即有s＝t，即＝〔t，t〕，故集合V〔，〕中元素的关系为共线；〔3〕证明：设＝〔s，t〕，＝〔a，b〕，＝〔c，d〕，＝〔u，v〕，＝〔e，f〕，假设V〔，〕＝V〔，〕，即有as＋bt＝cs＋dt，au＋bv＝ue＋fv，解得a＝•c＋•e＋，可令d＝f，可得λ1＝，λ2＝，那么一定存在实数λ1，λ2，且λ1＋λ2＝1，使得＝λ1＋λ2、。
北京市海淀区2018-2019学年高一数学上学期期末调研测试题
北京市海淀区2018-2019学年高一数学上学期期末调研测试题一、选择题1．5名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有 A ．24种 B ．48种 C ．96种D ．120种2．从某校高二年级随机抽取的5名女同学的身高x (厘米)和体重y (千克)数据如下表：根据上表可得回归直线方程为,则( ) A ．93.5-B ．93.5C ．96.8-D ．96.83．针对我校某次考试有关的命题P ：所有理科学生都会做第1题，那么命题P 的否定是（ ） A ．所有理科学生都不会做第1题 B ．存在一个理科学生不会做第1题 C ．存在一个理科学生会做第1题D ．至少有一个理科学生会做第1题4．设命题甲为：15x -<<，命题乙为：|2|4x -<，那么甲是乙的 A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知数列{}n a 满足：12a =，0n a >，()22*14n n a a n N +-=∈，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ） A.4B.5C.24D.256．命题“若+a b 是偶数，则a ，b 都是偶数”的否命题为A.若+a b 不是偶数，则a ，b 都不是偶数B.若+a b 不是偶数，则a ，b 不都是偶数C.若+a b 是偶数，则a ，b 不都是偶数D.若+a b 是偶数，则a ，b 都不是偶数7．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．设全集U =R ，集合2{|20}A x x x =-≥，22|log 1{()}B x y x ==-，则U BA=ð（ ）A ．[1,2)B ．(1,2)C ．(1,2]D ．(,1)[0,2]-∞-9．设斜率为k 且过点()3,1P 的直线与圆22(3)4x y -+=相交于A ，B 两点已知p ：0k =，q ：AB =p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．直线l 与抛物线2y x =交于A ，C 两点，B 为抛物线上一点，A ，B ，C 三点的横坐标依次成等差数列.若ABC ∆中，AC 边上的中线BP 的长为3，则ABC ∆的面积为（ ）B. C.2D.11．某学校在数学联赛的成绩中抽取100名学生的笔试成绩，统计后得到如图所示的分布直方图，这100名学生成绩的中位数估值为（ ）A.80B.82C.82.5D.8412．已知tan απ2＜α＜π，那么cos α-sin α的值是（ ）A ．BCD 二、填空题13．微信支付诞生于微信红包，早期知识作为社交的一部分“发红包”而诞生的，在发红包之余才发现，原来微信支付不仅可以用来发红包，还可以用来支付，现在微信支付被越来越多的人们所接受，现从某市市民中随机抽取300为对是否使用微信支付进行调查，得到下列22⨯的列联表：其中2(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++ 14．直线是曲线的一条切线，则实数.15．已知ABC ∆中，已知01,2,60b c A ===，则a =______.16．若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>e =_____．三、解答题 17．设命题：函数的定义域为；命题：关于的方程有实根. （1）如果是真命题，求实数的取值范围.（2）如果命题“”为真命题，且“”为假命题，求实数的取值范围.18．某兴趣小组欲研究某地区昼夜温差大小与患感冒就诊人数之间的关系，他们分别到气象局与某医院抄录了1到5月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料：昼夜温差就诊人数选取的一组数据进行检验．（1）若选取的是1月的一组数据，请根据2至5月份的数据．求出关于的线性回归方程．（2）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差不超过2，则认为得到的线性回归方程是理想的，试判断该小组所得的线性回归方程是否理想？如果不理想，请说明理由，如果理想，试预测昼夜温差为时，因感冒而就诊的人数约为多少？参考公式：, .19．如图是某市年月日至日的空气质量指数趋势图，某人随机选择年月日至月日中的某一天到达该市，并停留天.（1）求此人到达当日空气质量指数大于的概率；（2）设是此人停留期间空气质量指数小于的天数，求的分布列与数学期望；（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）20．在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）写出直线的普通方程以及曲线的极坐标方程（2）若直线与曲线的两个交点分别为,直线与轴的交点为,求的值.21．如图，抛物线关于轴对称，顶点在坐标原点，点，，均在抛物线上.(1)求抛物线的标准方程；(2)当直线与的斜率存在且互为相反数时，求的值及直线的斜率.22．已知首项为的等比数列不是递减数列，其前n项和为，且成等差数列。
2019年1月北京市海淀区2018～2019学年度高三年级第一学期期末考文科数学试题及参考答案
北京市海淀区2018～2019学年度高三年级第一学期期末考文科数学试题及参考答案2019.1本试卷共4页,150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.双曲线22122x y -=的左焦点坐标为A.(2,0)-B.(C.(1,0)-D. (4,0)-2.已知向量,a b 满足=((t =)，，1)a 2,0b , 且a⋅=a b ,则,a b 的夹角大小为A.6πB.4πC.3πD.512π3.已知等差数列{}n a 满足1=2a ,公差0d ≠,且125,,a a a 成等比数列,则=dA. 0B.12±C.1±D.4.直线+1y kx =被圆222x y +=截得的弦长为2,则k 的值为 A.6πB.4πC.3πD.5.已正六边形的6个顶点中的三个座位顶点的三角形中,等腰三角形的个数为 A.6B.7C.8D.126.已知函数()=ln af x x x +,则“0a <”是“函数()f x 在区间(1,)+∞上存在零点”的A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件 7.已知函数()sin cos f x x x =-,()g x 是()f x 的导函数,则下列结论中错误的是 A.函数()f x 的值域与()g x 的值域相同B.若0x 是函数()f x 的极值点,则0x 是函数()g x 的零点C.把函数()f x 的图像向右平移2π个单位,就可以得到函数()g x 的图像D.函数()f x 和()g x 在区间(,4π-)4π上都是增函数8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆,且对任意的(,)a b B ∈,(,)x y B ∈,均有()()0a x b y --≤,则集合B 中元素个数的最大值为A.25B.49C.75D.99二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.以抛物线24y x =的焦点F 为圆心,且与其准线相切的圆的方程为 .10.执行如下图所示的程序框图,当输入的M 值为15,n 值为4 时,输出的S 值为.11.某三棱锥的三视图如上图所示,则这个三棱锥中最长的棱与最短的棱的长度分别为 , .12.设关于,x y 的不等式组,4,2,y x x y kx ≤⎧⎪≤⎨⎪≥-⎩表示的平面区域为Ω,若点A(1,-2),B(3,0),C(2,-3)中有且仅有两个点在Ω内,则k 的最大值为 . 13.在 ABC 中,b =,且cos 2cos A B =,则cos A = .14.正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1,动点M 在线段CC 1上,动点P 在平面1111A B C D 上,且AP ⊥平面1MBD .(Ⅰ)当点M 与点C 重合时,线段AP 的长度为 ；(Ⅱ)线段AP 长度的最小值为 .三、解答题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分13分)已知函数()s()cos22f x aco x xπ=--(Ⅰ)比较()6f π和()2f π的大小；(Ⅱ)求函数()f x 在区间[,]22ππ-的最小值.16.(本小题满分13分)为迎接2022年冬奥会,北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动,并在培训结束后对学生进行了考核.记X 表示学生的考核成绩,并规定85X ≥为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果,在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩,并作成如下茎叶图： (Ⅰ)从参加培训的学生中随机选取1人,请根据图中数据,估计这名学生考核优秀的概率； (Ⅱ)从图中考核成绩满足[70,79]X ∈的学生中任取3人,设Y 表示这3人重成绩满足8510X -≤的人数,求Y 的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据以往培训数据,规定当85(1)0.510X P -≤≥时培训有效.请根据图中数据,判断此次中学生冰雪培训活动是否有效,并说明理由.17.(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中,平面ABCD ⊥平面PCD ,底面ABCD 为梯形,//AB CD ,AD PC ⊥且01,2,120AB AD DC DP PDC ====∠=(Ⅰ)求证：AD PDC ⊥平面； (Ⅱ)求二面角B-PD-C 的余弦值；(Ⅲ)若M 是棱PA 的中点,求证：对于棱BC 上任意一点F,MF 与PC 都不平行. 18.(本小题满分14分)椭圆2212x y +=的左焦点为F ,过点(2,0)M -的直线l 与椭圆交于不同两点A,B(Ⅰ)求椭圆的离心率；(Ⅱ)若点B 关于x 轴的对称点为B ’,求'AB 的取值范围. 19. (本小题满分14分)已知函数2()xa x f x e -=. (Ⅰ)当1a =-时,求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；(Ⅱ)当0a >时,求证：2()f x e >-对任意(0,)x ∈+∞成立.20.(本小题满分13分) 设n 为不小于3的正整数,集合{}{}12(,,...)0,1,1,2,...,n n i x x x x i nΩ=∈=,对于集合nΩ中的任意元素12(,,...,)n x x x α=,12(,,...,)n y y y β=记11112222()()...()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++- (Ⅰ)当3n =时,若(1,1,0)α=,请写出满足3αβ*=的所有元素β (Ⅱ)设n αβ∈Ω，且+n ααββ**=,求αβ*的最大值和最小值；(Ⅲ)设S 是n Ω的子集,且满足：对于S 中的任意两个不同元素αβ，,有1n αβ*≥-成立,求集合S 中元素个数的最大值.海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 数学(理科)2019.01一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.A 2.B3.D4.A5.C6.C7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.22(1)4x y -+=10. 2411.212.0 13.2 三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：(Ⅰ)因为π1(),622a f =- π()12f a =+所以ππ13()()(1)()262222a a f f a -=+--=+因为0a >,所以3022a +>,所以ππ()()26f f > (Ⅱ)因为()sin cos2f x a x x =-2sin (12sin )a x x =--22sin sin 1x a x =+-设sin ,t x =ππ[,]22x ∈-,所以[1,1]t ∈- 所以221y t at =+-其对称轴为4a t =-当14at =-<-,即4a >时,在1t =-时函数取得最小值1a - 当14a t =-≥-,即04a <≤时,在4at =-时函数取得最小值218a --16.解：(Ⅰ)设该名学生考核成绩优秀为事件A由茎叶图中的数据可以知道,30名同学中,有7名同学考核优秀所以所求概率()P A 约为730(Ⅱ)Y 的所有可能取值为0,1,2,3因为成绩[70,80]X ∈的学生共有8人,其中满足|75|10X -≤的学生有5人所以33381(0)56C P Y C ===,21353815(1)56C C P Y C === 12353830(2)56C C P Y C ===,353810(3)56C P Y C ===随机变量Y 的分布列为115301015()0123565656568E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=(Ⅲ)根据表格中的数据,满足85110X -≤的成绩有16个所以8516810.5103015X P ⎛-⎫≤==> ⎪⎝⎭ 所以可以认为此次冰雪培训活动有效.17.解：(Ⅰ)在平面PCD 中过点D 作DH DC ⊥,交PC 于H 因为平面ABCD ⊥平面PCDDH ⊂平面PCD平面ABCD I 平面PCD CD = 所以DH ⊥平面ABCD 因为AD ⊂平面ABCD 所以DH AD ⊥又AD PC ⊥,且PC DH H =I 所以AD ⊥平面PCD(Ⅱ)因为AD ⊥平面PCD ,所以AD CD ⊥ 又DH CD ⊥,DH AD ⊥以D 为原点,DA DC DH ，，所在直线分别为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系所以(,,),(,,),(,(,,),(,,)D A P C B -00020001020210,因为AD ⊥平面PCD ,所以取平面PCD 的法向量为(,,)DA =200u u u r 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =r因为(,(,,)DP DB =-=01210u u u r u u u r,所以n DP n DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩00r uu u r r uu u r所以y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩020令2z = ,则y x =-=所以()n =2r所以cos ,||||AD n AD n AD n ⋅<>===uuu r ruuu r r uuu u r r由题知B PD C --为锐角,所以B PD C --的余弦值为19(Ⅲ) 法一：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC ,显然F 与点C 不同 所以,,,P M F C 四点共面于α 所以FC ⊂α,PM ⊂α 所以B FC ∈⊂α,A PM ∈⊂α所以α就是点,,A B C 确定的平面,所以P ∈α这与P ABCD -为四棱锥矛盾,所以假设错误,即问题得证 法二：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC 连接AC ,取其中点N在PAC ∆中,因为,M N 分别为,PA CA 的中点,所以MN PC因为过直线外一点只有一条直线和已知直线平行,所以MF 与MN 重合 所以点F 在线段AC 上,所以F 是AC ,BC 的交点C ,即MF 就是MC 而MC 与PC 相交,矛盾,所以假设错误,问题得证 法三：假设棱BC 上存在点F ,使得MF PC ,设BF BC λ= ,所以3(1,,(2,1,0)2MF MB BF λ=+=+-因为MF PC ,所以(0,3,MF PC μμ==所以有120332λλμ⎧⎪-=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩,这个方程组无解所以假设错误,即问题得证 18.解：(Ⅰ)因为,a b ==2221,所以,a b c ===11所以离心率c e a ==(Ⅱ)法一： 设1122(,),(,)A x y B x y显然直线l 存在斜率,设直线l 的方程为(2)y k x =+所以()x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩22122,所以()k x k x k +++-=2222218820 28160k ∆=->,所以k <212所以k x x k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩212221228218221 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为22212121222816()()4(21)k x x x x x x k --=+-=+12121224(2)(2)()421k y y k x k x k x x k +=+++=++=+所以|'|AB ==因为k ≤<2102,所以|'|AB ∈法二：设1122(,),(,)A x y B x y当直线l 是x 轴时,|'|AB =当直线l 不是x 轴时,设直线l 的方程为2x t y =-所以x y x t y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩22122,所以()t y t y ++=-222420, 28160t ∆=->,所以t >22所以t y y t y y t ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩1221224222 因为22'(,)B x y -所以|'|AB 因为 2222222212121212122216()()()[()4](1)(2)t x x ty ty t y y t y y y y t t -=-=-=+-=++所以|'|AB=22)2t ==-+因为t >22,所以|'|AB ∈综上,|'|AB的取值范围是.19.解：(Ⅰ)因为()x ax x f x -=e 2所以()'()x x a x af x -++=e 22 当a =-1时,'()x x xf x --=e 21所以'()f -=e 11,而()f -=e 21 曲线()yf x =在(1,(1))f 处的切线方程为21()(1)e e y x --=-- 化简得到11e e y x =--(Ⅱ)法一：因为()'()xx a x a f x -++=e 22,令()'()x x a x af x -++==e 220得x x ==12当a >0时,x ,'()f x ,()f x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值,而2(0)0e f =>-,所以只需要证明()f x >-e 22因为()x a x a -++=22220,所以()x x a f x ax x x -=-=e e 22222222 设()x a x F x -=e 2,其中x >0,所以()()'()x x a x x a F x ----+==e e 2222令'()F x =0,得a x +=322,当a >0时,x ,'()F x ,()F x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()F x 在(,)+∞0上的最小值为()a a F ++-=e 12222,而()a a F ++--=>e e 122222注意到x =>20,所以(())f x x F =>-e 222,问题得证 法二：因为“对任意的x >0,22e e x ax x ->-”等价于“对任意的x >0,220e e xax x -+>” 即“x >0,2+12e e()0e x x ax x +->”,故只需证“x >0,22e e()0x ax x +->”设2()2e e()x g x ax x =+-,所以'()2e e(2)x g x a x =+-设()'()h x g x =,'()2e 2e xh x =- 令'()F x =0,得x =31当a >0时,x ,'()h x ,()h x 在区间(0,)+∞的变化情况如下表:所以()h x (,)+∞0上的最小值为()h 1,而(1)2e e(2)e 0h a a =+-=> 所以x >0时,'()2e e(2)0xg x a x =+->,所以()g x 在(,)+∞0上单调递增 所以()(0)g x g >而(0)20g =>,所以()0g x >,问题得证 法三：“对任意的x >0,2()e f x >-”等价于“()f x 在(,)+∞0上的最小值大于2e -”因为()'()x x a x af x -++=e 22,令'()f x =0得x x ==12当a >0时,x ,'()f x ,()f x 在在(,)∞+0上的变化情况如下表:所以()f x 在[,)+∞0上的最小值为(),()f f x 20中较小的值,而2(0)0e f =>-,所以只需要证明()f x >-e 22因为()x a x a -++=22220,所以()x x x ax x x x x a f =---=>e e e 22222222222注意到x 2和a >0,所以x >22设()x xF x -=e 2,其中x >2 所以()()'()x x x x F x --=-=e e 2121当x >2时,'()F x >0,所以()F x 单调递增,所以()()F x F >=-e 242而()--=-->e e e e 2242240 所以()()f x F x >->e 222,问题得证法四：因为a >0,所以当x >0时,()xxax x x f x --=>e e 22设()xx F x -=e 2,其中x >0 所以()'()x x x F x -=e 2所以x ,'()F x ,()F x 的变化情况如下表: 以()F x 在x =2时取得最小值所()F =-e 224,而()--=-->e e e e 224224所以x >0时,2()e F x >-所以()()f x F x >>-e 220.解：(Ⅰ)满足3αβ*=的元素为(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1) (Ⅱ)记12(,,,)n x x x α= ,12(,,,)n y y y β= , 注意到{0,1}i x ∈,所以(1)0i i x x -=,所以11112222()()()n n n n x x x y x x x x x x x x αα*=+-++-+++-12n x x x =+++12n y y y ββ*=+++因为n ααββ*+*=,所以1212n n x x x y y y n +++++++= 所以1212,,,,,,,n n x x x y y y 中有n 个量的值为1,n 个量的值为0. 显然111122220()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ≤*=+-++-+++-1122n n x y x y x y n ≤++++++= ,当(1,1,,1)α= ,(0,0,,0)β= 时,αβ，满足n ααββ*+*=,n αβ*=.所以αβ*的最大值为n又11112222()()()n n n n x y x y x y x y x y x y αβ*=+-++-+++-1122()n n n x y x y x y =-+++注意到只有1i i x y ==时,1i i x y =,否则0i i x y =而1212,,,,,,,n n x x x y y y 中n 个量的值为1,n 个量的值为0所以满足1i i x y =这样的元素i 至多有2n个,当n 为偶数时,22n n n αβ*≥-=.当22(1,1,,1,0,0,,0)nn αβ==个个时,满足n ααββ*+*=,且2n αβ*=.所以αβ*的最小值为2n当n 为奇数时,且1i i x y =,这样的元素i 至多有12n -个,所以1122n n n αβ-+*≥-=.当1122(1,1,,1,0,0,,0)n n α+-= 个个,1122(1,1,,1,0,0,,0)n n β-+=个个时,满足n ααββ*+*=,12n αβ-*=. 所以αβ*的最小值为12n -综上：αβ*的最大值为n ,当n 为偶数时,αβ*的最小值为2n ,当n 为奇数时,12n αβ-*=. (Ⅲ)S 中的元素个数最大值为222n n ++设集合S 是满足条件的集合中元素个数最多的一个记1S ={}1212(,,,)|1,n n x x x x x x n S αα=+++≥-∈ ,{}21212(,,,)|2,n n S x x x x x x n S αα==+++≤-∈显然1212S S S S S ==∅ ，集合1S 中元素个数不超过1n +个,下面我们证明集合2S 中元素个数不超过2n C 个212,(,,,)n S x x x αα∀∈= ,则122n x x x n +++≤- 则12n x x x ，，，中至少存在两个元素0i j x x ==212,(,,,)n S y y y ββ∀∈= ,βα≠因为1n αβ*≥-,所以,i jy y 不能同时为0所以对1i j n ≤<≤中的一组数,i j 而言,在集合2S 中至多有一个元素12(,,,)n x x x α= 满足i j x x，同时为0所以集合2S 中元素个数不超过2n C 个所以集合S 中的元素个数为至多为2211n n C n n ++=++记1T ={}1212(,,,)|1,n n n x x x x x x n αα=+++≥-∈Ω ,则1T 中共1n +个元素,对于任意的1T α∈,n β∈Ω,1n αβ*≥-.对1i j n ≤<≤,记,12(,,,),i j n x x x β= 其中0i j x x ==,1t x =,,t i t j≠≠ 记2,{|1}i j T i j n β=≤<≤,显然2,S αβ∀∈,αβ≠,均有1n αβ*≥-.记12S T T = ,S 中的元素个数为21n n ++,且满足,S αβ∀∈,αβ≠,均有1n αβ*≥-.综上所述,S 中的元素个数最大值为21n n ++.。
北京海淀区2018-2019年高一数学上学期期末试卷及答案
北京海淀2018-2019高一年级期末统一练习数 学2019.01学校 班级 姓名 成绩一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则AB = ( )（A ）{1} （B ）{1,2} （C ）{0,1,2} （D ）{02}x x <≤ （2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且ab ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18- （D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x = （C ）()lg f x x = （D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤-> （C ）22,10x x ∃>-≤ （D ）22,10x x ∃≤-≤ （5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则c o s α= （ ）（A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45- （6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点（ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P .过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α. 则下列关于函数()f α的说法正确的是 （ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z （D ）()f α对定义域内的α均满足(π)()f f αα-= 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.（9）已知()ln f x x =，则2(e )f = .（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______. （11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足S A ¹Ì，SB A =.则一个满足条件的集合S 是 .（12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ³时，()f x x =，则不等式()20f x ->的解集是 .（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，AB 的长为2，则AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是AB 上的一个动点，则当O A O P O B O ⋅-⋅取得最大值时，,O AO P <>= .（14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =.BO在①12-；②12；③1；⑤32中，函数()f x的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）已知函数π()2sin(2)3 f x x=+.（Ⅰ）求()f x的最小正周期T；（Ⅱ）求()f x的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T∈--+的简图，并直接写出函数()f x在区间π2[,π]63上的取值范围.已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=.（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明； （Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)c f 的大小关系.(17)（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=︒，且1BO AD ==. （Ⅰ）用,OA OB 表示CB ； （Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值.PDCBAO设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间.（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间;（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值范围; （Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值范围.附加题：（本题满分5分。
最新版北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}1 C ．{}3 D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．．12- C ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x = 5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ）A ．CD =uu u r u rB ．0CA CE ⋅=u u r u u rC ．AB uu u r 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u r6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位 C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x c < D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++uu r uu r uu u r uu u r的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =r，写出一个与a r 共线的非零向量的坐标 ．10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b r r 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=r r．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨． （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ；（ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可）（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2l o gy x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r， ∴()sin f x a b x k =⋅=+r r.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos α==，tan α=. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=.∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。
20181海淀区高一数学期末试卷(有答案)
海淀区高一年级第一学期期末练习数学2018.1第一部分（选择题共 40分）一、选择题（共 8 小题，每题 4 分，共 32 分。
在每题列出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的）（ 1）已知会合A1,3,5, B x ( x1)(x3）=0，则AIB A. B.1 C.3 D. 1,3（ 2）sin(2)3A.3131B. C. D.2 222（ 3）若幂函数y f ( x) 的图像经过点 ( 2,4)，则在定义域内A. 为增函数B.为减函数C.有最小值D.有最大值（ 4）以下函数为奇函数的是A. y2xB. y sin x, x [0,2 ]C. y x3D.y lg x（ 5）如图，在平面内搁置两个同样的三角板，此中A300，且 B,C , D 三点共线，则以下结论不建立的是uuur uuurB.uuur uuuruuur uuur uuur uuur uuur uuurA. CD 3 BC CA ?CE C. AB与DE D. CA ?CB CE ?CD（ 6）函数 f (x) 的图像以下图，为了获得y 2sin x 函数的图像，能够把函数 f (x) 的图像A. 每个点的横坐标缩短到本来的1（纵坐标不变） ，再向左平移个单位23B. 每个点的横坐标伸长到本来的2 倍（纵坐标不变） ，再向左平移个单位6C. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到本来的2 倍（纵坐标不变） ，61（纵坐标不变）D. 先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到本来的32（ 7）已知 f ( x)log 2 x( 1)x ，若实数 a, b, c 知足 0 p a p b p c ，且 f (a) f (b) f (c) p 0 ，实数 x 0 知足2f (x 0 ) 0 ，那么以下不等式中，必定建立的是A. x 0 p aB. x 0 f aC. x 0 p cD. x 0 f c（ 8 ）如图，以 AB 为直径在正方形内部作半圆O ， P 为半圆上与 A, B 不重合的一动点，下边对于uuur uuur uuur uuurPA PB PC PD 的说法正确的选项是A. 无最大值，但有最小值B. 既有最大值，又有最小值C.有最大值，但无最小值D. 既无最大值，又无最小值第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题（本大题共6 小题，每题4 分，共 24 分，把答案填在题中横线上）（ 9）已知向量a(1,2) ，写出一个与 a 共线的非零向量的坐标.（ 10）已知角的终边经过点(3, 4) ，则 cos.（ 11）已知向量a，在边长为 1 的正方形网格中的地点以下图，则 a ? b.（ 12）函数x2 ,x t(0,) 上的增函数，则t 的取值范围是.f (x)(t f 0) 是区间x,0 p x p t（ 13）相关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2020 学年约为400 万吨， 2020 学年的年增加率为50%.有专家展望，假如不采纳举措，将来包装垃圾还将以此增加率增加，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超出4000 万吨 .（参照数据：lg 2 0.3010,lg30.4771 ）（ 14）函数 f (x) sin x 在区间 (0,) 上是增函数，则以下结论正确的选项是6（将全部切合题意的序号填在横线上）①函数 f ( x)sin x 在区间 (,0) 上是增函数；63；②知足条件的正整数的最大值为③ f ( ) f () .412三、解答题共 4 小题，共44 分 .解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（ 15）（本小题10 分）已知向量 a(sin x,1) ，b(1,k ) ， f ( x) a ?b.（Ⅰ）若对于x 的方程 f ( x) 1 有解，务实数 k 的取值范围；（Ⅱ）若 f ()1(0, ) ，求tan.k 且3（ 16）（本小题 12 分）已知二次函数 f ( x) x 2bx c 知足 f (1) f (3)3 . （Ⅰ）求 b, c 的值；（Ⅱ）若函数g(x) 是奇函数，当 x 0 时， g( x)f (x) ，（ⅰ 1 ）直接写出 g (x)的单一递减区间 :；（2ⅱ）若g (a) fa，求 a的取值范围 .（ 17）（本小题 12 分）某同学用“五点法”画函数f ( x)Asin( x) ( A f 0, f 0,p ) 在某一个周期内的图像时，列表2并填入了部分数据，以下表：x3 2x222 y Asin( x )632 0（Ⅰ）请将上表数据增补完好，函数 f ( x) 的分析式为 f ( x) （直接写出结果即可） ；（Ⅱ）求函数 f (x) 的单一递加区间；（Ⅲ）求函数 f (x) 在区间 [,0] 上的最大值和最小值 . 2（ 18）（本小题 13 分）定义：若函数 f (x) 的定义域为R，且存在非零常数T ，对随意x R ， f ( x T) f ( x)T 恒建立，则称 f (x) 为线周期函数，T 为f ( x)的线周期.（Ⅰ）以下函数，① y2x，② y l o g2 x ，③ y[ x] ，（此中 [ x] 表示不超出x的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若 g( x)为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数 G (x)g( x) x 为线周期函数；（Ⅲ）若 ( x)sin x kx 为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参照答案2018.1数学阅卷须知 :1.评分参照取所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其余正确解法能够参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8 小题，每题 4 分，共 32 分.题号12345678答案D A C C D C B A二、填空题：本大题共 6 小题，每题 4 分，共 24 分.9.答案不独一，纵坐标为横坐标 2 倍即可，比如2,4 等.310.11.312. t 1 13.202114.①②③5注：第 14 题选对一个给 1 分，选对两个给 2 分，选对三个给 4 分 .三、解答题 : 本大题共 4 小题，共 44 分.15.解：（Ⅰ）∵向量 a=(sinx,1) ， b=(1,k) ， f (x) a b ，∴ f (x) a b =sinx+k.-------------------------- 2 分对于 x 的方程f (x)1有解，即对于x 的方程sinx 1k 有解.--------------------------3 分∵ sinx1,1 ，∴当 1 k11, 时，方程有解.--------------------------4分则实数 k 的取值范围为0,2 .--------------------------5 分（Ⅱ）由于 f () 1 k ，因此 sin +k = 1+k ，即 sin = 1 .--------------------------6 分3 3 3(0 , π1 sin22 2 ， tan= sin2 .--------------------- 8 当] 时， cos分23cos4当( π, π) 时， cos 1 sin 222， tan =2.-------------------------10分23416.解：（Ⅰ） b4 ；--------------------------2 分c 0 .--------------------------4分（Ⅱ）（ⅰ）2,2 . --------------------------6 分（ⅱ）由（Ⅰ）知f (x) x 2 4x ，则当 x 0 时， g(x) x 2 4x ；当 x0 时， x 0 ，则 g( x) ( x)2 4( x) x 2 4x由于 g(x) 是奇函数，因此g(x)g( x) x 2 4x .-------------------------8 分若 g(a) a ，则a 0, 或a 0,--------------------------10 分a 24a a 2 4a a;a.解得 a5 或 5 a0 .--------------------------12 分综上， a 的取值范围为a 5 或 5 a 0 .17. 解:（Ⅰ）xπ π3π 2π2 2xπ π 5π 2π 11 π126 12 312yA sin( x)22--------------------------4 分分析式为： f ( x) 2sin(2 xπ分) --------------------------66（Ⅱ）函数 f ( x ) 的单一递加区间为,， k Z.---------------------------8 分πk ππk π36（Ⅲ）由于π0 ，因此5π 2 x π π.x2π 1666得： 1 sin(2 x.)26因此 ,当ππ即π时，f ( x ) 在区间 [,0] 上的最小值为.-----------10分2 xx23226当2 x π π即 x0时，f( x ) 在区间[,0] 上的最大值为1.--------------------12分66218.解：（Ⅰ）③； --------------------------2分（Ⅱ）证明：∵g( x) 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对随意x R ，g ( x T ) g ( x )T恒建立.∵ G ( x)g ( x)x ,∴ G ( x+T ) g ( x T ) ( x T )g ( x) T ( x T )g ( x) x G ( x) .∴ G ( x)g ( x)x 为周期函数.-------------------------- 6 分（Ⅲ）∵( x)sin x kx 为线周期函数，∴存在非零常数T，对随意x R ，sin( x T )k (x T )sin x kx T .∴ sin( x T )kT sin x T．令 x0，得 sinT kT T ；---------------------①令 xπ，得sinT kT T ；---------------②①②两式相加，得 2kT2T .∵ T0，∴ k 1 ．--------------------------8分查验：当 k 1 时，(x)sin x x ．存在非零常数2π，对随意 x R ，( x)2π( x 2π)sin( x2π) x2π sin x x2π，∴ ( x)sin x x 为线周期函数．综上， k 1 .--------------------------10分。
3_2019北京海淀高一(上)期末数学
如图，在四边形 OBCD 中， CD 2BO ， OA 2 AD ， D 90 ，且 BO AD 1 .
（Ⅰ）用 OA,OB 表示 CB ； （Ⅱ）点 P 在线段 AB 上，且 AB 3AP ，求 cos PCB 的值 .
C
B
P
O
A
D
3 / 11
(18) （本小题共 12 分）
2019 北京海淀高一（上）期末 数学
2019.01
学校班级姓名 成绩
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
.
（ 1）已知集合 A {1,2} ， B { x | 0 x 2} ，则 A B
()
（ A） {1}
（ B） {1,2}
OA,OP .
（ 14）已知函数 f ( x)
2x 1,
x a,
x2 2a, x a.
B P
（Ⅰ）若函数 f ( x) 没有零点，则实数 a 的取值范围是
O
A ________；
（Ⅱ）称实数 a 为函数 f ( x) 的包容数，如果函数 f ( x2 ) f ( x1) .
f ( x)0 x 2}
（ 2）已知向量 a (m,6) ， b ( 1,3) ，且 a b ，则 m
()
（ A） 18
（ B） 2
（ C） 18
（D） 2
（ 3）下列函数中，既是奇函数又在 (0, ) 上是增函数的是
（ A） f (x) 2 x
3
（ B） f (x) x （ C） f ( x) lg x
, a) ，都存在 x2 (a,
) ，使得
北京海淀区2018-2019学年高三第一学期期末数学(文)试题及答案
海淀区高三年级第一学期期末练习数 学（文科） 2019.01本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）双曲线x y -=22122的左焦点的坐标为（A ）(,)-20 （B ）()0 （C ） (,)-10 （D ）(,)-40 （2）已知等比数列{}n a 满足12a =，且12,,6a a 成等差数列，则4a =（A ）6 （B ）8 （C ）16 （D ）32 （3）若lg lg a -=221，则a =（A ）4 （B ）10 （C ）20 （D ）40 （4）已知向量(,),(,)t ==201a b ，且||⋅=a b a ，则-=a b（A ）(1,1) （B ）(1,1)- （C ）(1,1)- （D ）(1,1)-- （5）直线y kx =+1被圆x y +=222截得的弦长为2，则k 的值为（A ）0 （B ）12± （C ）1± （D ）（6）已知函数()af x x，则“a <0”是“函数()f x 在区间(,)+∞0上存在零点”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（7）已知函数()sin cos ,()f x x x g x =-为()f x 的导函数，则下列结论中正确的是 （A ）函数()f x 的值域与()g x 的值域不同（B ）存在0x ，使得函数()f x 和g()x 都在0x 处取得最值 （C ）把函数()f x 的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数()g x 的图象 （D ）函数()f x 和g()x 在区间π(0,)2上都是增函数（8）已知集合{1,2,3,4,5,6}I =，{(,)|,}A s t s I t I =∈∈. 若B A ⊆，且对任意的(,),(,)a b B x y B ∈∈，均有()()0a x b y --<，则集合B 中元素个数的最大值为（A ）5 （B ）6 （C ）11 （D ）13n 0,0k S == S S n =+1k k =+S M ≥ 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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海淀区2018－2019高一年级期末统一考试数 学2019.01学校 班级 姓名 成绩 0一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{1,2}A =，{|02}B x x =<<，则AB = ( )（A ）{1} （B ）{1,2}（C ）{0,1,2}（D ）{02}x x <≤（2）已知向量(,6)m =a ，(1,3)=-b ，且ab ，则m = ( )（A ）18 （B ）2 （C ）18-（D ）2-（3）下列函数中，既是奇函数又在(0,)+∞上是增函数的是 （ ）（A ）()2x f x -= （B ）3()f x x =（C ）()lg f x x =（D ）()sin f x x =（4）命题2:2,10p x x ∀>->，则p ⌝是 （ ）（A ）22,10x x ∀>-≤ （B ）22,10x x ∀≤-> （C ）22,10x x ∃>-≤（D ）22,10x x ∃≤-≤（5）已知3tan 4α=，sin 0α<，则cos α= （ ） （A ）35 （B ）35- （C ）45 （D ）45-（6）若角α的终边经过点0(1,)y ，则下列三角函数值恒为正的是（ ）（A ）sin α （B ）cos α（C ）tan α（D ）sin(π)α+（7）为了得到函数πsin()3y x =--的图象，只需把函数sin y x =的图象上的所有点 （ ）（A ） 向左平移2π3个单位长度 （B ） 向左平移π3个单位长度 （C ） 向右平移π3个单位长度 （D ） 向右平移5π3个单位长度（8）如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边与单位圆O 相交于点P ．过点P 的圆O 的切线交x 轴于点T ，点T 的横坐标关于角α的函数记为()f α．则下列关于函数()f α的说法正确的是 （ ）（A ）()f α的定义域是π{|2π,}2k k αα≠+∈Z （B ）()f α的图象的对称中心是π(π,0),2k k +∈Z（C ）()f α的单调递增区间是[2π,2ππ],k k k +∈Z（D ）()f α对定义域内的α均满足(π)()f f αα-=二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上． （9）已知()ln f x x ，则2(e )f ．（10）已知(1,2)=a ，(3,4)=b ，则⋅=a b ______；2-=a b ______． （11）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{3,5}B =，集合S 满足SA ，SB A =．则一个满足条件的集合S 是 ． （12）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x时，()f x x x ，则不等式()20f x 的解集是 ．（13）如图，扇形AOB 中，半径为1，AB 的长为2，则AB 所对的圆心角的大小为 弧度；若点P 是AB 上的一个动点，则当OA OP OB OP ⋅-⋅取得最大值时，,OA OP <>= ．（14）已知函数122, ,()2,.x x a f x x a x a -⎧<=⎨-+≥⎩（Ⅰ）若函数()f x 没有零点，则实数a 的取值范围是________；（Ⅱ）称实数a 为函数()f x 的包容数，如果函数()f x 满足对任意1(,)x a ∈-∞，都存在2(,)x a ∈+∞，使得21()()f x f x =．在①12-； ②12；③1；⑤32中，函数()f x 的包容数是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）BO三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题共11分）已知函数π()2sin(2)3f x x =+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期T ； （Ⅱ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅲ）在给定的坐标系中作出函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图，并直接写出函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围．（16）（本小题共10分）已知函数2()f x x bx c =++，存在不等于1的实数0x 使得00(2)()f x f x -=．（Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）判断函数()f x 在(1,)+∞上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）直接写出(3)c f 与(2)cf 的大小关系．（17）（本小题共11分）如图，在四边形OBCD 中，2CD BO =，2OA AD =，90D ∠=︒，且1BO AD ==．（Ⅰ）用,OA OB 表示CB ；（Ⅱ）点P 在线段AB 上，且3AB AP =，求cos PCB ∠的值．（18）（本小题共12分）设函数()f x 定义域为I ，对于区间D I ⊆，如果存在12,x x D ∈，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=，则称区间D 为函数()f x 的ℱ区间．（Ⅰ）判断(,)-∞+∞是否是函数31xy =+的ℱ区间；（Ⅱ）若1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，求a 的取值范围；（Ⅲ）设ω为正实数，若[π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，求ω的取值范围．附加题：（本题满分5分。
所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）声音靠空气震动传播，靠耳膜震动被人感知．声音可以通过类似于图①和图②的波形曲线来描述，图①和图②是一位未成年女性和一位老年男性在说“我爱中国”四个字时的声波图，其中纵坐标表示音量（单位：50分贝），横坐标代表时间（单位：52.310-⨯秒）．① ②声音的音调由其频率所决定，未成年女性的发声频率大约为老年男性发声频率的2倍．下面的图③和图④依次为上面图①和图②中相同读音处的截取的局部波形曲线，为了简便起见，在截取时局部音量和相位做了调整，使得二者音量相当，且横坐标从0开始．已知点()800,0位于图④中波形曲线上．③ ④（Ⅰ）描述未成年女性声音的声波图是_____；（填写①或②） （Ⅱ）请你选择适当的函数模型()y f x ，[0,2000]x ∈来模仿图④中的波形曲线：()f x ___________________________（函数模型中的参数取值保留小数点后2位）．高一年级期末统一练习数 学参考答案及评分标准 2019.01一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．（9）2 （10）11 （11）{1,2,3,4}（或{1,2,4,5}或{1,2,4}） （12）{|1,x x <-或1}x > （13）2；0 （14）0a <或2a >；②③注：两空的题，每空2分；（12）题对一半（只答出1x <-，或1x > ），给2分；（14）题第一空，答对一半给1分，第二空，有错选，此空得0分，若只少选一个给1分。
三、解答题：本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （15）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）2ππ2T ==． ……………………2分 （Ⅱ）由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z 得 ……………………4分5ππππ1212k x k -+≤≤+， k ∈Z ． 所以函数()f x 的单调递增区间是：5ππ[π,π]1212k k -++，k ∈Z ．……………………6分（Ⅲ）函数ππ()([,])66f x x T ∈--+的简图如图所示． ……………………8分函数()f x 在区间π2[,π]63上的取值范围是[-． ……………………11分注：[-中每一个端点正确给1分，括号正确1分。
（16）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为 实数0x 使得00(2)()f x f x -=，所以 220000(2)(2)x b x c x bx c -+-+=++， ……………………1分即0(24)(1)0b x +-=． 因为 01x ≠，所以 240b +=，即2b =-． ……………………3分 经检验，2b =-满足题意，所以 2b =-．（Ⅱ）函数()f x 在(1,)+∞上单调递增，证明如下： ……………………4分 任取1x ，2x (1,)∈+∞，当12x x <时，12120,20x x x x -<+->．所以 1212()(2)0x x x x -+-<． ……………………6分所以 22121122()()2(2)f x f x x x x x -=--- ……………………7分2212121212(22)()(2)0x x x x x x x x =---=-+-<，即12()()f x f x <．所以 函数()f x 在(1,)+∞上单调递增． ……………………8分（Ⅲ）当0c =时，(3)(2)c cf f =；当0c ≠时，(3)(2)c cf f >． ……………………10分 注：直接答(3)(2)c c f f ≥，给2分；若只有(3)(2)c cf f >，给1分。
（17）（本小题满分11分） （Ⅰ）因为 2OA AD =， 所以 32DO AO =． ……………………1分 因为 2CD BO =，所以 =++CB CD DO OB ……………………3分 322BO AO OB =++32OA OB =--． ……………………5分（Ⅱ）因为 2CD BO =， 所以 OBCD ． ……………………6分因为 2OA AD =，所以 点,,O A D 共线． 因为 90D ∠=︒， 所以 90O ∠=︒．以O 为坐标原点，OA 所在的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．因为 1BO AD ==，2CD BO =，2OA AD =， 所以 (2,0), (0,1), (3,2)A B C ．所以 (1,2)AC =，(2,1)AB =-．……………7分 因为 点P 在线段AB 上，且3AB AP =，所以 121(,)333AP AB ==- ． ……………………8分 所以 55(,)33CP AP AC =-=--． ……………………9分因为 (3,1)CB =--，所以553cos 55CP CB PCB CP CB +⋅∠===⋅． ……………………11分 （18）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）(,)-∞+∞不是函数31xy =+的ℱ区间，理由如下： ……………………1分因为 对(,)x ∀∈-∞+∞，30x>，所以 311x+>． ……………………2分 所以 12,(,)x x ∀∈-∞+∞均有12(31)(31)2xx+++>， 即不存在12,(,)x x ∈-∞+∞，12x x ≠，使得12()()2f x f x +=．所以 (,)-∞+∞不是函数31x y =+的ℱ区间． ………………………3分（Ⅱ）由1[,2]2是函数log a y x =（其中0,1a a >≠）的ℱ区间，可知 存在121,[,2]2x x ∈，12x x ≠，使得12log log 2a a x x +=．所以 212x x a =． ……………………4分因为 121212,212,2,x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪≤≤⎨⎪≠⎪⎪⎩所以12144x x <<，即2144a <<． ……………………5分 又因为 0a >且1a ≠，所以 1(,1)(1,2)2a ∈． ……………………6分（Ⅲ）因为 [π,2π]是函数cos y x ω=的ℱ区间，所以 存在12,[π,2π]x x ∈，12x x ≠，使得12cos cos 2x x ωω+=． 所以 12cos 1,cos 1.x x ωω=⎧⎨=⎩ ……………………7分所以 存在,k l ∈Z ，使得122π,2π.x k x l ωω=⎧⎨=⎩不妨设12π2πx x ≤<≤． 又因为 0ω>，所以 12π2πx x ωωωω≤<≤．所以222k l ωω≤<≤．即在区间[,2]ωω内存在两个不同的偶数． ……………………8分①当4ω≥时，区间[,2]ωω的长度24ωω-≥，所以区间[,2]ωω内必存在两个相邻的偶数，故4ω≥符合题意． ……………………9分 ②当04ω<<时，有02228k l ωω<≤<≤<， 所以 2,2{2,4,6}k l ∈．（i ）当24,26k l =⎧⎨=⎩时，有4,62,ωω≤⎧⎨≤⎩即34ω≤≤．所以 34ω≤<也符合题意． ……………………10分 （ii ）当22,24k l =⎧⎨=⎩时，有2,42,ωω≤⎧⎨≤⎩即2ω=．所以2ω=符合题意．（iii ）当22,26k l =⎧⎨=⎩时，有2,62,ωω≤⎧⎨≤⎩即2,3.ωω≤⎧⎨≥⎩此式无解．综上所述，ω的取值范围是{2}[3,)+∞． ……………………12分附加题（Ⅰ）② ……………………2分 （Ⅱ）cos0.03x （答案不唯一） ……………………5分注：对于其它正确解法，相应给分．。