2016-2017年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷及答案
2016-2017年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷及答案(理科)
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．32．（5分）在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．3．（5分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．94．（5分）已知向量，满足，（）=2，则=（）A．﹣ B．C．﹣2 D．25．（5分）已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）A．y=﹣B．y=C．y=2x﹣D．y=﹣2x+6．（5分）设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）A．1 B．C．5 D．97．（5分）在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．208．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2，则z=．10．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）11．（5分）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．（5分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为．13．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．14．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．16．（13分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O 是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．18．（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直径的圆经过点A，求直线l的方程．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．（13分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．（5分）抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．3【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．2．（5分）在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．【解答】解：点（1，）与点（1，）的距离，即点（，）与点（﹣，）的距离为，故选B．3．（5分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（）【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．4．（5分）已知向量，满足，（）=2，则=（）A．﹣ B．C．﹣2 D．2【解答】解：向量，满足+2=，即++=，∴+=﹣，又（）=2，∴﹣•=2，∴=﹣2．故选：C．5．（5分）已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）A．y=﹣B．y=C．y=2x﹣D．y=﹣2x+【解答】解：直线l经过双曲线的焦点（，0），渐近线方程为：y=，选项C、D错误；焦点坐标代入选项A正确，选项B错误．故选：A．6．（5分）设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，0）的距离的平方，由图象知A到直线x+y﹣2=0的距离最小，此时距离d==，则距离的平方d2=（）2=，故选：B．7．（5分）在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．20【解答】解：红色用1次，有6种方法，红色用2次，有10种方法，红色用3次，有4种方法，共20种，故选D．8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选C．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2，则z=1﹣i．【解答】解：由（1+i）z=2，得，故答案为：1﹣i．10．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是15．（用数字作答）【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．11．（5分）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，正方体的体积为：2×2×2=8，四棱锥的体积为：×2×2×2=，故组合体的体积V=8﹣=，故答案为：12．（5分）已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为（1，0）；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为y=±（x+1）．【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），设直线l的方程为y﹣0=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=±，∴直线l的方程为y=±（x+1），故答案为（1，0），y=±（x+1）13．（5分）已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．【解答】解：①∵由已知可得2sinφ=1，可得：sinφ=，∴可得：φ=2kπ+，或φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=．②∵∃x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]﹣2sin（ωx+φ）=4成立，即：sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，∴∃x∈R，使ωx+2ω+φ=2k1π+，ωx+φ=2k2π+，k∈Z，∴解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1，k2∈Z，又∵ω＞0，|∴ω的最小值是．故答案为：，．14．（5分）已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是①②③．【解答】解：由→0，故当x=0时，f（x）的最大值为2，故①正确；函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；其零点关于原点对称，故f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0，故②正确；当cosπx取极大值1时，函数f（x）=e﹣|x|+cosπx取极大值，但均大于1，故③正确；故答案为：①②③三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．【解答】（本题满分为13分）解：（1）∵c=2a，B=120°，△ABC面积为=acsinB=．∴解得：a=1，c=2，∴由余弦定理可得：b===．（2）∵a=1，c=2，b=，∴cosA==，∴tanA==．16．（13分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．【解答】解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：=×=91%．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：EX==2．（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．17．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O 是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵DC∥OB，DC⊄平面A1OB，OB⊂平面A1OB∴DC∥平面A1OB，∵m为平面A1DC与平面A1OB的交线，∴DC∥m；（2）由题意，A1D在平面A1OB中的射影为A1O，∴OG⊥A1O，∴A1G=2A1O=4；（3）△A1OB中，A1B==2，∵A 1D=DB=2，∴==，设O到平面A1DB的距离为h，则，∴h=，∵A1O=2，∴直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值=．18．（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直径的圆经过点A，求直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1），∴，解得，则=，∴椭圆G的离心率e==；（2）由（1）得，椭圆G的方程是，①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，代入椭圆G的方程得，C（3，﹣1），不符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1），则直线BC的方程为y=k（x﹣3）+1，由得，（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+27k2﹣18k﹣3=0，∴3+x1=，3x1=，则x1=，∵以BC为直径圆经过点A，∴AB⊥AC，则，即（3，﹣1）•（x1，y1﹣2）=0，∴3x1﹣y1+2=0，即3x1﹣[k（x1﹣3）+1]=0，∴（3﹣k）x1+3k+1=0，（3﹣k）•+3k+1=0，化简得，18k2﹣7k﹣1=0，解得k=或k=，∴直线BC的方程为y=（x﹣3）+1或y=（x﹣3）+1，即直线BC的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0，综上得，直线l的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣﹣1得：f′（x）=，（x＞0），由已知曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）=﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a=0存在大于0的实数根，∵y=x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）=，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）=及题设得：g′（x）==，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）=﹣a﹣1＜0，取x=e，显然e＞1，f（e）=﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）=0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．20．（13分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．【解答】解：（1）由a n=2n+1可得{ a n}为递增数列，所以b n=max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}=a n﹣a1=2n+1﹣3=2n﹣2，故{ b n}的前n项和为（2n﹣2）n=n（n﹣1）（2）因为max{ a1，a2，…，a n}≤max{ a1，a2，…，a n+1}，因为min{ a1，a2，…，a n}≥min{ a1，a2，…，a n+1}，所以max{ a1，a2，…，a n+1}﹣min{ a1，a2，…，a n+1}≥max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}，所以b n+1≥b n，又因为b n=a1﹣a1=0，所以max{ b1，b2，…，b n}﹣min{ b1，b2，…，b n}=b n﹣b1=b n，所以{ b n}的“收缩数列”仍是{ b n}，（3）由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，则b3=a2﹣a1，所以由（*）可得a3=a2与a3＜a2矛盾，若a3＜a1≤a2，则b3=a2﹣a3，所以由（*）可得a3﹣a2=3（a1﹣a3），所以a3﹣a2与a1﹣a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；若a3≥a2，则b3=a3﹣a2，由（*）可得a3=a2，猜想：满足S 1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1的数列{ a n}是，a n=，a2≥a1，经验证：左式=S1+S2+…+S n=na1+[1+2+…+（n﹣1）]=na1+n（n﹣1）a2，右式=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1=n（n+1）a1+n（n﹣1）（a2﹣na1）=na1+n （n﹣1）a2下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述n≤3的情况可知，n≤3，a n=，a2≥a1是成立的，假设a k=是首次不符合a n=，a2≥a1的项，则a1≤a2=a3=…=a k﹣1≠a k由题设条件可得（k2﹣k﹣2）a2+a k=k（k﹣1）a1+k（k﹣1）b k（*），若a1＜a k＜a2，则由（*）可得a k=a2与a k＜a2矛盾，若a k＜a1≤a2，则b k=a2﹣a k，所以由（*）可得a k﹣a2=k（k﹣1）（a1﹣a k），所以a k﹣a2与a1﹣a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k=a k﹣a1，所以由（*）化简可得a k=a2，这与假设a k≠a2相矛盾，所以不存在数列不满足a n=，a2≥a1的{a n}符合题设条件。
北京市海淀区2016届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】
EA BCD输出输入开始结束北京市海淀区2015-2016学年度第一学期高三期末理科数学2016．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知()()11bi i i b R +=-+∈，则b 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i - 2．抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为（ ） A ．10,2⎛⎫-⎪⎝⎭B ．()0,1-C ．()0,2-D ．()0,4- 3．如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE =+λμ，则-λμ的值为（ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．3-4．某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 5．已知数列12345:,,,,A a a a a a ，其中{}1,0,1,1,2,3,4,5i a i ∈-=， 则满足123453a a a a a ++++=的不同数列A 一共有（ ）A ．15个B ．25个C ．30个D ．356．已知圆()22:24C x y -+=，直线1:l y =，2:1l y kx =-若12l l ，被圆C 所截得的弦的长度之比为1:2，则k 的值为（ ） A B．1 C ．12D7．若x y ，满足+20400x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2||z y x =-的最大值为（ ）A ．8-B ．4-C ．1D ．28．已知正方体''''ABCD A B C D -，记过点A 与三条直线'AB AD AA 、、所成角都相等的直线条数为m ，过点A 与三个平面．．''AB AC AD 、、所成角都相等的直线的条数为n ，则下面结论正确的是（ ） A ．11m n ==， B ．41m n ==， C ．34m n ==， D ．44m n ==，主视图左视图俯视图二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市海淀区-学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
2015-2０16学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题:本大题共8小题,共３2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合A={x|﹣1≤ｘ＜2｝，B＝{ｘ｜x≥1｝,则A∩Ｂ＝（）A．(1,2） B.[﹣1，２]ﻩC.[﹣1，１]ﻩＤ.[1,２）2．sｉn(﹣）的值为（）A.1ﻩB．﹣1 C．0 D.３.若α是第二象限的角,P(x，6)为其终边上的一点，且ｓiｎα=,则x=(）A．﹣4ﻩB.±4ﻩC.﹣8 D．±８4．化简＝( )A.cos20°ﻩB．﹣ｃos2０° C.±cos2０°ﻩD.±｜ｃｏｓ20°｜5．已知A（1,２）,B(3，7），＝（ｘ,﹣1)，∥,则( ）A.x=,且与方向相同ﻩB．x=﹣,且与方向相同C.x=,且与方向相反Ｄ.x＝﹣,且与方向相反6.已知函数:①y＝tanｘ，②y=ｓin|ｘ｜,③ｙ=|sinｘ|，④y=|cosx｜,其中周期为π，且在(0,）上单调递增的是（）A.①②ﻩB．①③ﻩC.①②③Ｄ．①③④7．先把函数y=ｃosｘ的图象上所有点向右平移个单位,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,得到的函数图象的解析式为()A．y＝coｓ（2x+）B．y=cｏs(2x﹣)ﻩＣ．ｙ＝ｃos（x＋）ﻩD．y=cos(x﹣）8.若ｍ是函数f(x）＝﹣２x+2的一个零点，且x1∈（０,m）,x2∈(m,+∞），则f(x1),ｆ（ｘ2），f （m）的大小关系为（)Ａ．f（x1）<f(m）＜f（x2） B.f（m)＜f(x2）<f(x1)ﻩC．f（m)<f（x1）<f（ｘ2) D．ｆ（x2)＜f(m)＜f（x1）二．填空题：本大题共6小题,每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上．9．若y=loｇ2ｘ>1，则x的取值范围是.1０．若函数f(ｘ)=x２+3x﹣４在x∈［﹣1,3]上的最大值和最小值分别为Ｍ,N,则M＋Ｎ＝.11.若向量＝（2,1）,=(1,﹣２）,且m+n＝(５,﹣5）(ｍ，n∈Ｒ)，则m﹣n的值为 .１2．如图，在平面四边形ＡBCＤ中,AＣ，BD相交于点Ｏ，E为线段AO的中点,若(λ，μ∈R），则λ+μ＝．1３.若函数f(x）=sin(ωx+φ）(其中ω＞0）在（0，)上单调递增，且f（）+ｆ()=０,f(0)=﹣1,则ω= ．14．已知函数y=f(ｘ),若对于任意ｘ∈R，f（2x)＝2f(x)恒成立，则称函数y=f（x)具有性质P，(1)若函数f（x)具有性质Ｐ,且f(4）=8，则f(1)= ；(2）若函数f(x）具有性质P，且在(1,2]上的解析式为ｙ=ｃｏsx，那么y=f（ｘ)在（1，8］上有且仅有个零点．三．解答题:本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知二次函数f（x）＝x2+mx﹣３的两个零点为﹣1和n,(Ⅰ)求m，n的值；（Ⅱ)若f（3)=ｆ(2a﹣3）,求ａ的值．１６.已知函数f（x)是定义在R上的奇函数,当ｘ≥0时，函数f(x)＝2x﹣１（Ⅰ)求当x<０时，f(x)的解析式；(Ⅱ)若f（a)≤3,求ａ的取值范围．17.已知函数ｆ(x)=2siｎ(2x﹣).（Ⅰ）求函数f（x)的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ)当x∈[0,]时，求函数f（x)的最大值与最小值．1８.如果f(x)是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f(﹣x）≠﹣ｆ（x)，则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数:①ｙ=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“Ｘ﹣函数”？（直接写出结论)（Ⅱ)若函数ｆ(ｘ）=ｓiｎx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；(Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”,且在Ｒ上单调递增，求所有可能的集合A与Ｂ.２０1５－2０16学年北京市海淀区高一(上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题:本大题共８小题，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合A＝{ｘ|﹣１≤x<2｝，B={ｘ｜ｘ≥１}，则A∩B＝(）Ａ.（1,2) B.[﹣1,2］ﻩC．[﹣１,1]ﻩＤ.[1，2）【考点】交集及其运算.【专题】计算题;方程思想;综合法；集合.【分析】利用交集定义求解.【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x<2｝，B＝{x|x≥1}，∴Ａ∩Ｂ={ｘ|1≤x<2｝=［1，2）．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题,注意交集性质的合理运用.2.sin(﹣）的值为( )A．1ﻩB.﹣1ﻩC．０ﻩD．【考点】运用诱导公式化简求值．【专题】计算题；三角函数的求值．【分析】根据正弦函数为奇函数，利用奇函数的性质化简原式，变形后利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果.【解答】解:ｓiｎ（﹣)=﹣ｓin＝﹣sin(４π+)=﹣sin=﹣1，故选：Ｂ.【点评】此题考查了运用诱导公式化简求值,熟练掌握诱导公式是解本题的关键．3.若α是第二象限的角，P（x，6)为其终边上的一点，且sｉnα=，则ｘ=()Ａ．﹣4 Ｂ.±4 C．﹣８ D.±8【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值.【分析】由题意与三角函数的定义可得：=,ｘ<０，解出即可得出．【解答】解:∵α是第二象限的角,Ｐ（x，6）为其终边上的一点，且sinα＝，∴=，x＜0,解得x=﹣8．故选:Ｃ．【点评】本题考查了三角函数的定义,考查了推理能力与计算能力，属于基础题．４．化简=（）A．cos２０°Ｂ.﹣cos20°ﻩＣ．±ｃoｓ20°D．±｜cos20°|【考点】同角三角函数基本关系的运用．【专题】计算题;三角函数的求值．【分析】被开方数第二项利用诱导公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系变形，利用二次根式的性质化简即可得到结果．【解答】解:∵ｃoｓ２0°＞０，∴原式＝=＝｜coｓ２0°|=cos２0°,故选：A.【点评】此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键.５.已知A（1,2），Ｂ（3，７)，=（x，﹣1）,∥，则（)A.x=，且与方向相同ﻩB.ｘ=﹣,且与方向相同C．ｘ=，且与方向相反ﻩD．x=﹣,且与方向相反【考点】平面向量共线（平行)的坐标表示．【专题】计算题；规律型；函数思想；平面向量及应用．【分析】求出AＢ向量，利用斜率平行求出ｘ，然后判断两个向量的方向即可.【解答】解：A（1,２），B(3，7),可得=(2,5）＝(x，﹣１），∥，可得５x=﹣2，解得x＝﹣.=（﹣，﹣1）,与方向相反．故选：Ｄ.【点评】本题考查斜率共线，向量的坐标运算，是基础题.6．已知函数:①ｙ=ｔanx,②y=ｓin|ｘ|，③y＝｜sinx|,④y=|ｃosx|，其中周期为π,且在(0，）上单调递增的是（）A.①②ﻩB．①③ﻩＣ．①②③Ｄ.①③④【考点】三角函数的周期性及其求法．【专题】计算题;数形结合；数形结合法；三角函数的图像与性质.【分析】利用三角函数的周期性，和三角函数的图象和性质对选项逐个分析即可．【解答】解:①函数y=tanx中ω=1，故周期T==π；因为利用正切函数的图象可得在(0，）上单调递增，所以A正确;③y=ｓｉn|x｜为偶函数，根据图象判断它不是周期函数，所以Ｂ不正确;③由于函数y=|sinｘ|周期为•2π=π,利用正弦函数的图象可得在（０,)上单调递增,故正确；④y=|ｃoｓx|是周期为π的三角函数,利用余弦函数的图象可得在（0,)上单调递减,故不正确；故选：B.【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法,考查了三角函数的图象和性质,熟练掌握各类三角函数的周期情况及求法是解决问题的关键,属于中档题.7.先把函数y＝coｓx的图象上所有点向右平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变),得到的函数图象的解析式为( ）A．y=cos(２x+)ﻩB.y=cos(2ｘ﹣）ﻩC．y＝cos（x+) D.y=cｏs（x﹣)【考点】函数y=Asｉn(ωx+φ）的图象变换.【专题】计算题;转化思想；分析法；三角函数的图像与性质.【分析】利用导公式以及函数y＝Asin（ωx＋φ)的图象变换规律,可以求得变换后的函数的解析式．【解答】解：将函数y＝ｃosｘ的图象向右平移个单位长度,可得函数y=2ｃos（x﹣）的图象；再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变），可得到的函数y=2cｏs（2ｘ﹣)的图象,故选:B.【点评】本题主要考查诱导公式的应用，函数y＝Asｉn（ωｘ+φ)的图象变换规律,属于中档题．8．若m是函数f(x）=﹣２ｘ＋2的一个零点,且x1∈（0，ｍ），x2∈(ｍ，+∞)，则f(ｘ1)，f(x2）,f （m)的大小关系为（)Ａ．ｆ(x1）＜f(ｍ）＜f(x2）ﻩB.ｆ（m)＜f（x2）＜ｆ（x１)ﻩＣ．f(ｍ)<ｆ（x1）＜ｆ(x2) D.f（x2)＜f （m)＜f(x1）【考点】函数零点的判定定理.【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用.【分析】由已知得m是函数g(x)=与ｈ（x）=2ｘ﹣2图象的一个交点的横坐标,由此利用数形结合思想能比较ｆ(x1），ｆ（x２）,ｆ（m)的大小关系．【解答】解:∵ｍ是f(x)=﹣2ｘ+2的一个零点，∴m是方程的一个解，即ｍ是方程的一个解，∴m是函数g（x）=与h（ｘ)=２x﹣2图象的一个交点的横坐标，如图所示，若x1∈（0，ｍ）,x2∈(m,+∞）,则f（ｘ2）=g（x2)﹣ｈ(x2）＜0=f(m），f（x1）＝g（ｘ1）﹣h(x1）>0=f(ｍ）,∴ｆ（x２）<f(m）＜f（x１)．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断,是基础题,解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用.二.填空题：本大题共６小题,每空4分，共24分.把答案填写在题中横线上．x>１，则x的取值范围是(2,+∞)．９．若y＝ｌog２【考点】指、对数不等式的解法.【专题】计算题；函数思想；数学模型法；不等式的解法及应用.【分析】直接利用对数函数的单调性求得x的取值范围.【解答】解：由y=log2x>１=loｇ22，得ｘ＞２．∴x的取值范围是（2,+∞)．故答案为：（2，+∞）.【点评】本题考查对数不等式的解法，考查了对数函数的单调性,是基础题.1０.若函数f（x)=ｘ2+3x﹣4在ｘ∈[﹣1,3］上的最大值和最小值分别为M,N，则M+Ｎ＝８. 【考点】二次函数的性质．【专题】函数思想；分析法；函数的性质及应用.【分析】求出f(x)的对称轴,可得区间［﹣１,3]为增区间，可得最值，即可得到M+m的值．【解答】解:函数f（ｘ)=x2+3ｘ﹣4的对称轴为x＝﹣,区间[﹣1，３]在对称轴的右边,即有f(ｘ)在区间[﹣1，3]递增，可得最小值ｍ=f(﹣1)=﹣６;最大Ｍ=f（３)=14，可得M＋m=8．故答案为:8.【点评】本题考查二次函数的最值的求法，注意讨论对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于基础题．１1.若向量＝（2，１),=（1,﹣2)，且m＋ｎ＝（5，﹣５)（m，ｎ∈R）,则ｍ﹣ｎ的值为﹣2. 【考点】平面向量的坐标运算．【专题】计算题;转化思想；综合法；平面向量及应用.【分析】由已知得(2m，ｍ)+(n,﹣２ｎ)=（2m＋n，m﹣2n)=(5，﹣5）,由此能求出m﹣n的值.【解答】解：∵向量＝（2，1），＝（１，﹣2)，且ｍ＋n＝（5,﹣5）（m,n∈Ｒ),∴(2m,ｍ)+（n,﹣2ｎ）＝(2m+n，ｍ﹣２n）=（5,﹣５）,∴,解得ｍ=１,n＝3,∴m﹣n=﹣2．故答案为：﹣2.【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题,解题时要认真审题,注意向量的坐标运算法则的合理运用.１2.如图，在平面四边形ＡBCD中,AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点,若(λ，μ∈R)，则λ+μ= ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】平面向量及应用．【分析】,,可得．由E为线段AO的中点,可得，再利用平面向量基本定理即可得出.【解答】解:∵，，∴,∵E为线段AＯ的中点，∴,∴,2μ=,解得μ=，∴λ＋μ=.故答案为:．【点评】本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13．若函数f（x)＝sin（ωx+φ）(其中ω>０）在（０,）上单调递增，且ｆ()+f（)=0，f（0)＝﹣1,则ω= 2 .【考点】y=Asｉn(ωｘ+φ）中参数的物理意义；三角函数的化简求值．【专题】计算题;转化思想；分析法;三角函数的图像与性质.【分析】由题意可得：φ≥﹣,ω•＋φ≤，由f(0）=﹣1,解得φ=﹣,ω≤3，由f（)＋ｆ()=0,解得：cｏs(π﹣ω)=ｃosω,即可解得ω的值．【解答】解:由函数f（ｘ)=sin（ωx+φ）（ω＞0)在区间（０，)上单调递增，可得：φ≥﹣，ω•+φ≤, ∵f（0）=﹣1，解得:sinφ=﹣1,可得：φ＝2kπ,ｋ∈Z，∴φ＝﹣，ω≤3，∵由f（）+ｆ()=0，∴可得：siｎ（ω﹣)+sｉn（ω﹣)＝0，∴解得：cｏｓ(π﹣ω）=coｓω，∴π﹣ω=ω，或π﹣ω=2π﹣ω,解得：ω＝2或６（舍去)．故答案为:２．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，由函数y=Ａｓin（ωx+φ）的部分图象求解析式,属于中档题.1４.已知函数y=f(x)，若对于任意x∈R,f（2x）=2f(x)恒成立,则称函数y=f(x)具有性质Ｐ,（１)若函数f(x)具有性质Ｐ，且ｆ(4)=８，则f(１)=2；(2)若函数f(x）具有性质Ｐ，且在（1,2]上的解析式为y=coｓx,那么y＝f（x）在(1，8]上有且仅有 3 个零点.【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；转化法;函数的性质及应用.【分析】（1）根据性质P的条件，利用方程关系进行递推即可．(2)根据性质P的条件,分别求出函数的解析式，利用函数零点的定义解方程即可.【解答】解:(1)因为函数y=f(ｘ）,具有性质P，所以对于任意x∈R,f（２x)＝２f(x)恒成立，所以f（４）=f（2×2）=2f(2)=2f(2×１)=4ｆ（1）=8,所以f（1）=2.（2)若函数y＝f（x）具有性质Ｐ,且在（１，2］上的解析式为y＝coｓx,由y=cosx=０，则ｘ＝，由ｆ(2x)＝2ｆ（x）得f(x)=２f（）,若2<x≤4，则１＜≤2，则f(ｘ)=２f()=２ｃoｓ，则函数ｆ（x）在（２,4]上的解析式为y＝2cos，由2ｃos=0,得ｘ=π，若4<x≤8，则2＜≤４，则f（x)=2f(）＝4cos，在（４，８]上的解析式为y=４cos，由ｙ=4coｓ=０得x＝2π,所以ｙ=f（x）在（1,8］上有且仅有3个零点,分别是,π,2π．故y=f（ｘ)在（1，8］上有且仅有3个零点，故答案为：２，３【点评】本题主要考查抽象函数的应用,利用定义进行递推以及求出函数的解析式是解决本题的关键.考查学生的运算和推理能力.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.１5．已知二次函数f(x）=x2＋mx﹣3的两个零点为﹣1和n，（Ⅰ)求m，n的值；（Ⅱ）若f(3)=f（2a﹣3），求ａ的值．【考点】二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系．【专题】计算题；规律型；函数思想；方程思想;函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ）利用函数的零点与方程根的关系，列出方程求解即可得到ｍ，ｎ的值；(Ⅱ）通过f（3）=f（2a﹣3),利用二次函数的对称性即可求ａ的值．【解答】解：(Ⅰ)因为二次函数二次函数ｆ(x）＝x2＋mx﹣3的两个零点为﹣1和n,所以,﹣１和n是方程x2+mx﹣３＝0的两个根．则﹣１+ｎ=﹣m,﹣1×n＝﹣３，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以ｍ=﹣２,ｎ=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(Ⅱ）因为函数f(x）=ｘ2﹣2x﹣3的对称轴为x=1.若ｆ（3）＝f（2a﹣3),则＝1或2a﹣３＝3﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣得a=1或a=3．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣综上，a=1或a=３.【点评】本题考查二次函数的性质的应用，考查计算能力.16．已知函数f（ｘ)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,函数ｆ（x)=２ｘ﹣１(Ⅰ）求当x＜0时，ｆ(ｘ）的解析式;(Ⅱ)若f(a)≤３,求a的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数解析式的求解及常用方法．【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用.【分析】(Ⅰ）当ｘ<0时,﹣x＞0,利用条件,即可f（ｘ）的解析式;(Ⅱ)若f（ａ)≤3,f（2）=3,根据f（x）在R上是单调递增函数求ａ的取值范围．【解答】解：(Ⅰ）当x＜0时,﹣x>０，则f（﹣ｘ)=２﹣x﹣1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣因为ｆ(ｘ)是奇函数,所以f(﹣x)＝﹣f（ｘ)．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以当x<0时,ｆ（ｘ)=﹣f(﹣ｘ）=﹣2﹣x＋１.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）因为f(a)≤3,f(2)=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以f(ｘ)≤ｆ(２）.又因为f（ｘ）在R上是单调递增函数,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以a≤2.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣【点评】本题考查函数的奇偶性、单调性,考查学生的计算能力，属于中档题．17．已知函数f(x）＝２sin（２x﹣).(Ⅰ)求函数ｆ(x）的单调递增区间与对称轴方程；(Ⅱ)当x∈[0，]时,求函数f(ｘ)的最大值与最小值.【考点】三角函数的最值;正弦函数的奇偶性;正弦函数的对称性.【专题】函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】(Ⅰ）解2kπ﹣≤2x﹣≤２kπ+可得单调递增区间，解２x﹣=2kπ+可得对称轴方程；（Ⅱ）由x的范围可得﹣≤2x﹣≤，可得三角函数的最值.【解答】解：(Ⅰ)∵f(x）=２ｓin（２x﹣)，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ＋可得ｋπ﹣≤x≤kπ＋，∴函数f(ｘ)的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，ｋ∈Z，由２x﹣=2kπ+可得ｘ＝ｋπ+,ｋ∈Z，∴ｆ(x)的对称轴方程为x=kπ＋，k∈Z;（Ⅱ）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤,∴﹣≤sin(2x﹣）≤1，∴当2x﹣=﹣即ｘ＝0时,f（x)的最小值为﹣1,当２x﹣=即x=时,f(ｘ)的最大值为2.【点评】本题考查三角函数的最值,涉及三角函数的单调性和对称性,属基础题．1８.如果f(x)是定义在R上的函数，且对任意的ｘ∈R,均有f（﹣x)≠﹣f（x)，则称该函数是“X﹣函数”．(Ⅰ）分别判断下列函数：①y＝2ｘ;②y=ｘ＋1; ③y=ｘ2+2x﹣３是否为“X﹣函数”？（直接写出结论)(Ⅱ)若函数ｆ（x）=sｉnｘ+coｓｘ+a是“Ｘ﹣函数”,求实数a的取值范围;（Ⅲ）已知ｆ（x)=是“Ｘ﹣函数”,且在Ｒ上单调递增,求所有可能的集合Ａ与B．【考点】函数单调性的判断与证明.【专题】新定义;分类讨论；反证法；函数的性质及应用．【分析】(Ⅰ）根据“X﹣函数”的定义即可判断所给的3个函数是否为“Ｘ﹣函数”；(Ⅱ）由题意,对任意x∈R，f(﹣x）≠﹣f(x），利用不等式求出a的取值范围；(Ⅲ）（1）根据题意，判断对任意的x≠０，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B;（2)用反证法说明（﹣∞，0）⊆B,（0，+∞）⊆A；(3）用反证法说明0∈A，即得A、B．【解答】解:(Ⅰ）①、②是“X﹣函数”,③不是“X﹣函数”;﹣﹣﹣﹣(说明：判断正确一个或两个函数给1分)（Ⅱ)由题意，对任意的ｘ∈Ｒ,ｆ（﹣x）≠﹣ｆ（x），即f(﹣ｘ）+ｆ(x)≠0;因为f（ｘ)=sinx＋cosx+ａ,所以f（﹣x)=﹣ｓｉnｘ+cosx＋a，故f(x)+f（﹣x)＝2ｃosx+２ａ;由题意,对任意的x∈R，2cosx+2a≠0,即a≠﹣ｃoｓｘ;﹣﹣﹣又ｃosｘ∈［﹣1，1]，所以实数a的取值范围为(﹣∞，﹣1）∪(1,+∞);﹣﹣﹣(Ⅲ）（1）对任意的ｘ≠０，（i)若x∈A且﹣ｘ∈A，则﹣ｘ≠x，ｆ（﹣x）=f(x)，这与y=f（ｘ)在R上单调递增矛盾,(舍去),（ii)若x∈Ｂ且﹣x∈Ｂ，则f(﹣ｘ)=﹣x=﹣ｆ(ｘ),这与y＝f(x)是“Ｘ﹣函数”矛盾，(舍去）；此时，由y=f(x)的定义域为Ｒ，故对任意的x≠0,x与﹣ｘ恰有一个属于Ａ，另一个属于B;(２)假设存在ｘ<0，使得x0∈A，则由x０<,故f（x0）＜f（）;０(i）若∈Ａ,则f（)=+１<+1=f（ｘ），矛盾,０(ii)若∈B,则f（）＝＜０<+1＝f(x0),矛盾；综上,对任意的x<0,ｘ∉A,故x∈B，即(﹣∞，0）⊆B,则（0,+∞）⊆A；（３)假设0∈B，则f(﹣0)=﹣f（0)=０,矛盾,故０∈A；故A=[０，+∞)，Ｂ=(﹣∞，0]；经检验A=[0,+∞）,B=(﹣∞,0)，符合题意．﹣﹣﹣【点评】本题考查了新定义的函数的应用问题,也考查了反证法与分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．。
2016-2017年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷(文科)和答案
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2016-2017 学年北京市海淀区高三 （上） 期末数学试卷 （文 科）
参考答案与试题解析
一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项． 1． （5 分）复数 i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（ A． （﹣2，1） B． （2，﹣1） C． （1，2） D． （﹣1，2） 【解答】解：复数 i（2﹣i）=2i+1 在复平面内对应的点的坐标为（1，2） ， 故选：C． ）
3． （5 分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ A． B．y=﹣x2 C．y=log2x D．y=|x|+1 =0， （ ）• =2，则| |=（ ）
4． （5 分）已知向量 ， 满足 A． B．1 C． D．2
5． （5 分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》 ，若输入 a 的值为 16，b 的值为 24，则执行该程序框图的结果为（ ）
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15． （13 分）已知数列{an} 是各项均为正数的等比数列，且 a2=1，a3+a4=6 （Ⅰ）求数列{an} 的通项公式； （Ⅱ）设数列{an﹣n} 的前 n 项和为 Sn，比较 S4 和 S5 的大小，并说明理由． 16． （13 分）已知函数 （Ⅰ）求 f（x） 的定义域及 （Ⅱ）求 f（x） 在 的值； 上的单调递增区间．
19． （13 分）已知椭圆 的右顶点 A（2，0） ，且交椭圆 G 于另一点 C （Ⅰ）求椭圆 G 的标准方程；
的离心率为
，直线 l 过椭圆 G
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（Ⅱ）若以 AC 为直径的圆经过椭圆 G 的上顶点 B，求直线 l 的方程． 20． （14 分）已知函数 ．
北京市海淀区2015-2016高中一年级年级第一学期期末练习数学带有答案
海淀区高一年级第一学期期末练习数 学 2016.1学校 班级 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.题号一二三1516 17 18 分数一．选择题：本大题共8小题，共32分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合A ＝{x |－1≤x <2 } ，B ＝{x |x ≥1 }，则A ∩B= ( ) A. (1，2) B. [－1，2) C. [－1，1] D. [－1，2) 2. 的值为 ( )A. 1B. －1C. 0D.3. 若α 是第二象限的角，P(x ，6)为其终边上的一点，且，则x = ( )A. －4B. ±4C. －8D. ±84. 化简( )A. cos200B. －cos200C. ±cos200D.±|cos200|5. 已知A (1，2)，B (3，7)，a =（x ，－1），∥a ，则 ( )A.x = ，且与a 方向相同B. x =，且与a 方向相同C. x = ，且与a 方向相反D. x = ，且与a 方向相反 6. 已知函数：① y = tan x ，② y = sin| x |，③ y = | sin x |，④ y = | cos x |，其中周期为π，且在(0，2)上单调递增的是 ( ) A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①③④7．先把函数y = cos x 的图像上所有点向右平移 个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍 (纵坐标不变)，得到的函数图象的解析式为 ( ) A. y = cos( 2x +) B. y = cos( 2x －) C. y = cos(x +) D. y = cos(x －)8. 若m 是函数f (x) = 的一个零点，且x 1∈(0，m )，x 2∈(m ，+∞)，则f (x 1)，f (x 2)， f (m )的大小关系为 ( )A. f (x 1) ＜ f (m ) ＜ f (x 2)B. f (m ) ＜ f (x 2) ＜ f (x 1)C. f (m ) ＜ f (x 1) ＜ f (x 2)D. f (x 2) ＜ f (m ) ＜ f (x 1)二．填空题：本大题共6小题，每空4分，共24分. 把答案填写在题中横线上. 9. 若2log y x ＞1，则x 的取值围是_____________.10. 若函数f (x) = x 2+3x －4在x ∈[－1，3]上的最大值和最小值分别为M ，N ，则M+N= .11. 若向量a = (2，1)，b = (1，－2)，且m a + n b = (5，－5) (m ，n ∈R )，则m －n 的值为 .12. 如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，E 为线段AO 的中点， 若 (λ，μ∈R)，则λ+μ= .13.若函数f (x ) = sin(ωx +φ) (其中ω＞0) 在(0，)上单调递增，且f () + f () = 0，f (0) = －1，则ω= _______.14. 已知函数y = f (x )，若对于任意x ∈R ，f (2x ) = 2f (x )恒成立，则称函数y = f (x )具有性质P ，(1) 若函数f (x ) 具有性质P ，且f (4) = 8，则f (1) = _____________；(2) 若函数f (x ) 具有性质P ，且在 (1，2]上的解析式为y = cos x ，那么y = f (x )在(1，8]上有且仅有___________个零点.三．解答题：本大题共4小题，共44分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. (本题满分12分)已知二次函数f (x) = x 2+mx －3的两个零点为－1和n ， (Ⅰ) 求m ，n 的值；(Ⅱ) 若f (3) = f (2a －3)，求a 的值.16. (本题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，函数f (x ) =2x－1 (Ⅰ) 求当x ＜0时，f (x)的解析式； (Ⅱ) 若f (a ) ≤3，求a 的取值围.17. (本题满分12分）已知函数f (x ) = 2sin(2x －).(Ⅰ) 求函数f (x )的单调递增区间与对称轴方程； (Ⅱ) 当x ∈[0，2π]时，求函数f (x ) 的最大值与最小值.18. (本题满分8分）如果f (x )是定义在R 上的函数，且对任意的x ∈R ，均有f (－x ) ≠－f (x )， 则称该函数是“X-函数”. (Ⅰ) 分别判断下列函数：①2x y =；②y = x +1； ③y = x 2+2x －3是否为“X-函数”？(直接写出结论)(Ⅱ) 若函数f (x ) = sin x + cos x + a 是“X-函数”，数a 的取值围；(Ⅲ) 已知f (x ) =是“X-函数”，且在R 上单调递增，求所有可能的集合A 与B海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案 2016.1数 学阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1.D2.B3. C4.A5.D6.B7.B8.D8.分析:因为m 是()22x f x x =-+的一个零点,则m 是方程220xx -+=的一个解, 即m 是方程22xx =-的一个解, 所以m 是函数()g x x =与()22x h x =-图象的一个交点的横坐标,如图所示,若()()120,,,x m x m ∈∈+∞, 则222()g()h()0(m)f x x x f =-<=, 111()g()h()0(m)f x x x f =->=, 所以2()f x <()f m <1()f x .二、填空题:本大题共6小题，每小题4分，共24分, 第14题每空2分.9. (2,)+∞ 10.39411. 2- 12. 34 13. 2 14. 2；314.分析: （1）（2分）因为函数()y f x =具有性质P ， 所以对于任意x R ∈，(2)2()f x f x =恒成立，所以(4)(22)2(2)2(21)4(1)f f f f f =⨯==⨯=,因为(4)8f =，所以(1)2f =. （2）（2分）若函数()y f x =具有性质P ，且在(1,2]上的解析式为cos y x =， 则函数()y f x =在(2,4]上的解析式为2cos2x y =，在(4,8]上的解析式为4cos 4x y =， 所以()y f x =在(1,8]上有且仅有3个零点,分别是,,22πππ．三、解答题: 本大题共4小题，共44分.15．解：（Ⅰ）因为二次函数2()3f x x mx =+-的两个零点为1-和n ，所以，1-和n 是方程23=0x mx +-的两个根.则1,13n mn -+=--⨯=-（）， --------------------------4分 所以2m =-，3n =. --------------------------6分 （Ⅱ）因为函数2()23f x x x =--的对称轴为1x =. 若(3)(23)f f a =-，则32312a +-= 或233a -= --------------------------9分 得 1a =或3a =. --------------------------12分 综上, 1a =或3a =.16. 解：（Ⅰ）当0<x 时, 0x ->,则()21xf x --=-. --------------------------2分因为)(x f 是奇函数，所以()()f x f x -=-. --------------------------4分 所以()21xf x --=-,即当0<x 时,12)(+-=-x x f . -------------------6分（Ⅱ）因为()3f a ≤,(2)3f =， --------------------------8分 所以()(2)f a f ≤. 又因为)(x f 在R 上是单调递增函数， -----------------10分所以2a ≤. --------------------------12分说明：若学生分0a ≥和0a <两种情况计算，每种情况计算正确，分别给3分. 17．解：(Ⅰ) 因为()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 由222,262k x k k Z πππππ-+≤-≤+∈， --------------------------2分得ππ63k x k ππ-+≤≤+，所以函数()f x 的单调递增区间为ππ,63k k ππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. -------------3分由2,62x k k Z πππ-=+∈， ---------------5分得π32k x π=+.所以()f x 的对称轴方程为π32k x π=+，其中k Z ∈. -----------------------6分(Ⅱ) 因为π02x ≤≤，所以52666x πππ-≤-≤. --------------------------8分得：1sin(2)126x π-≤-≤ . --------------------------10分 所以,当266x ππ-=-即0x =时，()f x 的最小值为1-，当262x ππ-=即3x π=时，()f x 的最大值为2. --------------------------12分18．解:（Ⅰ）①、②是“X - 函数”，③不是“X - 函数”. -------------------2分 (说明:判断正确一个或两个函数给1分)（Ⅱ）由题意，对任意的x ∈R ，()()f x f x -≠-，即()()0f x f x -+≠. 因为()sin cos f x x x a =++，所以()sin cos f x x x a -=-++. 故()()2cos 2f x f x x a +-=+. 由题意,对任意的x ∈R ，2cos 20x a +≠，即cos a x ≠-. --------------------4分故实数a 的取值围为(,1)(1,)-∞-+∞. ---------------------------5分（Ⅲ）（1）对任意的0x ≠（a ）若x A ∈且x A -∈，则x x -≠，()()f x f x -=， 这与()y f x =在R 上单调递增矛盾，（舍）， （b ）若x B ∈且x B -∈，则()()f x x f x -=-=-， 这与()y f x =是“X -函数”矛盾，（舍）.此时，由()y f x =的定义域为R ，故对任意的0x ≠，x 与x -恰有一个属于A ，另一个属于B . （2） 假设存在00x <，使得0x A ∈，则由002x x <，故00()2x f x f ⎛⎫< ⎪⎝⎭.（a ）若02x A ∈，则220000()11()24x x f x f x =+<+=，矛盾， （b ）若02x B ∈，则20000()01()22x x f x f x =<<+=，矛盾.综上，对任意的0x <，x A ∉，故x B ∈，即(,0)B -∞⊆，则(0,)A +∞⊆.（3）假设0B ∈，则(0)(0)0f f -=-=，矛盾. 故0A ∈故[0,)A =+∞，(,0)B =-∞. 经检验[0,)A =+∞，(,0)B =-∞.符合题意------------------------------------8分。
海淀区2017高三第一学期期末数学(理)试卷
2 3 ⎨ ⎩海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）学校 班级 姓名 成绩2017．1本试卷共 4 液，150 分．考试时长 120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 抛物线 y 2 = 2x 的焦点到准线的距离为（）A ． 1 2B ．1C ． 2D ． 3⎛1 π ⎫ ⎛ 3π ⎫ 2. 在极坐标系中，点， ⎪ 与点 1， ⎪ 的距离为（ ） ⎝ 4 ⎭ ⎝ 4 ⎭A ．1B ．C ．D ． 3. 右侧程序图所示的算法来自于《九章算术》．若输入 a 的值为16 ， b 的值为24 ，则执行该程序框图输出的结果为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 94．已知向量a ，b 满足a + 2b = 0 ，(a + b ) ⋅ a = 2 ，则a ⋅ b = （ ）A. - 12B.1 2x 2 2C. -2D. 25．已知直线l 经过双曲线 - y 4= 1的一个焦点且与其一他渐近线平行，则直线l 的方程可以是（）A ． y = - 1 x + 5B ． y = 1x - 2 2 2C. y = 2x -32⎧x - y ≤0 D. y = -2x + 6．设 x ，y 满足⎪x + y - 2 ≥ 0 ，则( x + 1)2 + y 2 的最小值为（）⎪x ≤ 2 553A ．1B ． 92C. 5 D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6 条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂．成．红．色．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数 为 （ ） A ．14B ．16C ．18D ． 208 ． 如图， 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 1 ， E ，F 分别是棱 AD ，B 1C 1 上的动点， 设AE = x ，B 1F = y ．若棱 DD 1 与平面 BEF 有公共点，则 x + y 的取值范围是（）⎡ 1 3 ⎤⎡ 3 ⎤A ． [0 ，1]B ． ⎢ ， ⎥C ． [1，2] D. ⎢ ，2⎥⎣ 2 2 ⎦二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．已知复数 z 满足(1+ i ) z = 2 ，则 z = ．⎣ 2 ⎦10．在⎛x 2 + ⎝1 ⎫6⎪ 的展开式中，常数项为．（用数字作答）⎭11. 若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12. 已知圆C : x 2 - 2x + y 2= 0 ，则圆心坐标为；若直线l 过点(-1，0) 且与圆C 相切，则直线l 的方程为 ．13．已知函数 y = 2sin (ω x + ϕ )⎛ω > 0 ，ϕ < π ⎫ ．2 ⎪ ⎝ ⎭①若 f (0) = 1，则ϕ = ；②若∃x ∈ R ，使 f (x + 2) - f (x ) = 4 成立，则ω 的最小值是．14. 已知函数 f ( x ) = e - x + cos πx ，给出下列命题：x① f ( x ) 的最大值为2 ；② f ( x ) 在(-10 ，10)内的零点之和为0 ； ③ f ( x ) 的任何一个极大值都大于1 ．其中，所有正确命题的序号是 ．三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分 13 分）在△ABC 中， c = 2a ，B = 120︒ ，且△ABC 面积为 3．2（I ） 求b 的值；（II ） 求 tan A 的值．16．（本小题满分 13 分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“ 周实际回收水费”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期，下表周投入成本．．．．为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期85%92%95%96%（I ） 计算表中十二周“水站诚信度”的平均数 x ；（I I ） 分别从上表每个周期的 4 个数据中随机抽取1 个数据，设随机变量 X 表示取出的3 个数据中“水站诚信度”超过91% 的数据的个数，求随时变量 X 的分布列和期望；（I I I ） 已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分 14 分）如图 1，在梯形 ABCD 中， AB ∥ DC ，∠ABC = 90︒，AB = 2DC = 2BC = 4 ，O 是边 AB 的中点．将三角形 AOD 绕边OD 所在直线旋转到 A 1OD 位置，使得∠A 1OB = 120︒ ，如图 2，设m 为平面 A 1DC 与平面 A 1OB 的交线．图 1图 2（I ） 判断直线 DC 与直线m 的位置关系并证明；+ 2（I I ） 若在直线m 上的点G 满足OG ⊥ A 1D ，求出 A 1G 的长；（I I I ）求直线 A 1 D 与平面 A 1 BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分 13 分）、已知 A (0，2)，B (3，1)是椭圆G : x 2 2 = 1(a > b > 0) 上的两点． a b（I ） 求椭圆G 的离心率；（II ） 已知直线l 过点 B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点 A ），若以 BC 为直径的圆经过点 A ，求直线l 的方程． 19．（本小题满分 14 分）已知函数 f ( x ) = ln x - a- 1．x（I ） 若曲线 y = f (x )存在斜率为-1 的切线，求实数a 的取值范围； （I I ） 求 f ( x ) 的单调区间； （I I I ）设函数 g ( x ) =x + a ，求证：当-1 < a < 0 时， g (x ) 在(1，+ ∞) 上存在极小值．ln x20．（本小题满分 13 分）对于无穷数列{a n }，{b n } ，若b k = max {a 1 ，a 2 ， ，a k } - min {a 1 ，a 2 ， ，a k }(k =1，2，3， )则称{b n } 是{a n } 的“ 收缩数列”． 其中， max {a 1 ，a 2 ， a k }，min {a 1 ，a 2 ， ，a k } 分别表示a 1 ，a 2 ， ，a k 中的最大数和最小数．已知{a n } 为无穷数列，其前n 项和为 S n ，数列{b n } 是{a n } 的“收缩数列”．（I ） 若 a n = 2n + 1，求{b n } 的前n 项和； （I ）证明： {b n } 的“收缩数列”仍是{b n } ；（I ）若 S 1 + S 2 + + S n = n (n + 1)a 1 + n (n -1)b n (n = 1，2 ，3，) ，求所有满足该条件2 2y 2。
最新版北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题Word版含答案
海淀区高一年级第一学期期末练习数学一、选择题：本大题共8个小题,每小题4分,共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}1,3,5A =，()(){}130B x x x =--=，则A B =I （ ） A ．∅ B ．{}1 C ．{}3 D ．{}1,3 2．2sin 3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．．12- C ．123．若幂函数()y f x =的图象经过点()2,4-，则()f x 在定义域内（ ） A ．为增函数 B ．为减函数 C ．有最小值 D ．有最大值 4．下列函数为奇函数的是（ ）A ．2x y =B ．[]sin ,0,2y x x π=∈ C ．3y x = D ．lg y x = 5．如图，在平面内放置两个相同的直角三角板，其中30A ∠=︒，且,,B C D 三点共线，则下列结论不成立的是（ ）A ．CD =uu u r u rB ．0CA CE ⋅=u u r u u rC ．AB uu u r 与DE 共线D ．CA CB CE CD ⋅=⋅u u r u u r u u r u u u r6．函数()f x 的图象如图所示，为了得到函数2sin y x =的图象，可以把函数()f x 的图象（ ）A ．每个点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位 B ．每个点的横坐标缩短到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位 C ．先向左平移6π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变） D ．先向左平移3π个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的12（纵坐标不变）7．已知()21log 2xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若实数,,a b c 满足0a b c <<<，且()()()0f a f b f c <，实数0x 满足()00f x =，那么下列不等式中，一定成立的是（ ） A ．0x a < B ．0x a > C ．0x c < D ．0x c >8．如图，以AB 为直径在正方形ABCD 内部作半圆O ，P 为半圆上与,A B 不重合的一动点，下面关于PA PB PC PD +++uu r uu r uu u r uu u r的说法正确的是（ ）A ．无最大值，但有最小值B ．既有最大值，又有最小值C ．有最大值，但无最小值D ．既无最大值，又无最小值二、填空题（每题4分，满分24分，将答案填在答题纸上）9．已知向量()1,2a =r，写出一个与a r 共线的非零向量的坐标 ．10．已知角θ的终边过点()3,4-，则cos θ= ．11．向量,a b r r 在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，则a b ⋅=r r．12．函数()2,,,0.x x t f x x x t ⎧≥=⎨<<⎩()0t >是区间()0,+∞上的增函数，则t 的取值范围是 ．13．有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%，有专家预测，如果不采取措施，未来包装垃圾还将以此增长率增长，从 年开始，快递业产生的包装垃圾超过4000万吨． （参考数据：lg 20.3010≈，lg30.4771≈） 14．已知函数()sin f x x ω=在区间0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上是增函数，则下列结论正确的是 （将所有符合题意的序号填在横线上）． ①函数()sin f x x ω=在区间,06π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数； ②满足条件的正整数ω的最大值为3； ③412f f ππ⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 三、解答题 （本大题共4小题，共44分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r .（Ⅰ）若关于x 的方程()1f x =有解，求实数k 的取值范围； （Ⅱ）若()13f k α=+且()0,απ∈，求tan α. 16．已知二次函数()2f x x bx c =++满足()()133f f ==-. （Ⅰ）求,b c 的值；（Ⅱ）若函数()g x 是奇函数，当0x ≥时，()()g x f x =， （ⅰ）直接写出()g x 的单调递减区间： ；（ⅱ）若()g a a >，求a 的取值范围.17．某同学用“五点法”画函数()sin y A x ωϕ=+0,0,2A πωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数()f x 的解析式()f x = （直接写出结果即可）（Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅲ）求函数()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值. 18．定义：若函数()f x 的定义域为R ，且存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()f x T f x T +=+恒成立，则称()f x 为线周期函数，T 为()f x 的线周期.（Ⅰ）下列函数①2xy =，②2l o gy x =，③[]y x =（其中[]x 表示不超过x 的最大整数），是线周期函数的是 （直接填写序号）；（Ⅱ）若()g x 为线周期函数，其线周期为T ，求证：函数()()G x g x x =-为周期函数； （Ⅲ）若()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，求k 的值.海淀区高一年级第一学期期末练习参考答案数学一、选择题1-4:DACC 5-8:DCBA 二、填空题9．答案不唯一，纵坐标为横坐标2倍即可，例如()2,4等 10．3511．3 12．1t ≥ 13．2021 14．①②③ 三、解答题15．解：（Ⅰ）∵向量()sin ,1a x =r ，()1,b k =r ，()f x a b =⋅r r， ∴()sin f x a b x k =⋅=+r r.关于x 的方程()1f x =有解，即关于x 的方程sin 1x k =-有解. ∵[]sin 1,1x ∈-，∴当[]11,1k -∈-时，方程有解. 则实数k 的取值范围为[]0,2. （Ⅱ）因为()13f k α=+，所以1sin 3k k α+=+，即1sin 3α=.当0,2πα⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，cos 3α==，sin tan cos 4ααα==.当,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，cos α==，tan α=. 16．解：（Ⅰ）4b =-；0c =.（Ⅱ）（ⅰ）[]2,2-.（ⅱ）由（Ⅰ）知()24f x x x =-，则当0x ≥时，()24g x x x =-；当0x <时，0x ->，则()()()2244g x x x x x -=---=+因为()g x 是奇函数，所以()()24g x g x x x =--=--.若()g a a >，则20,4,a a a a >⎧⎨->⎩或20,4,a a a a ≤⎧⎨-->⎩ 解得5a >或50a -<<.综上，a 的取值范围为5a >或50a -<<. 17．解：（Ⅰ）解析式为：()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（Ⅱ）函数()f x 的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（Ⅲ）因为02x π-≤≤，所以52666x πππ-≤+≤. 得：11sin 262x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭. 所以，当262x ππ+=-即3x π=-时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为-2. 当266x ππ+=即0x =时，()f x 在区间,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1. 18．解：（Ⅰ）③（Ⅱ）证明：∵()g x 为线周期函数，其线周期为T ，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()g x T g x T -=+恒成立. ∵()()G x g x x =-，∴()()()G x T g x T x T +=+-+=()()()()g x T x T g x x G x +-+=-=.∴()()G x g x x =-为周期函数.（Ⅲ）∵()sin x x kx ϕ=+为线周期函数，∴存在非零常数T ，对任意x ∈R ，()()sin sin x T k x T x kx T +++=++. ∴()sin sin x T kT x T ++=+.令0x =，得sin T kT T +=；…………① 令x π=，得sin T kT T -+=；…………② ①②两式相加，得22kT T =. ∵0T ≠， ∴1k =. 检验：当2k =时，()sin x x x ϕ=+. 存在非零常数2π，对任意x ∈R ，()()2sin 22x x x ϕπππ+=+++=()sin 22x x x πϕπ++=+，∴()sin x x x ϕ=+为线周期函数. 综上，1k =.。
2016-2017学年北京市海淀区高一(上)期末数学试卷-普含详细解析
2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）1. 已知集合U ={1，2，3，4，5，6}，M ={1，5}，P ={2，4}，则下列结论正确的是（ ）A. 1∈∁U (M ∪P )B. 2∈∁U (M ∪P )C. 3∈∁U (M ∪P )D. 6∉∁U (M ∪P ) 2. 下列函数在区间（-∞，0）上是增函数的是（ ）A. f (x )=x 2−4xB. g (x )=3x +1C. ℎ(x )=3−xD. t (x )=tan x3. 已知向量a =（1，3），b =（3，t ），若a ∥b ，则实数t 的值为（ ）A. −9B. −1C. 1D. 94. 下列函数中，对于任意的x ∈R ，满足条件f （x ）+f （-x ）=0的函数是（ ）A. f (x )=x 13 B. f (x )=sin x C. f (x )=cos xD. f (x )=log 2(x 2+1)5. 代数式sin （π2+π3）+cos （π2-π6）的值为（ ）A. −1B. 0C. 1D. 326. 在边长为1的正方形ABCD 中，向量DE =12DC ，BF =13BC ，则向量AE ，AF 的夹角为（ ）A. π6B. π4 C. π3D. 5π127. 如果函数f （x ）=3sin （2x +φ）的图象关于点（π3，0）成中心对称（|φ|＜π2），那么函数f （x ）图象的一条对称轴是（ ）A. x =−π6B. x =π12C. x =π6D. x =π38. 已知函数f （x ）= x 2,x ∈P 2x ,x∈M其中M ∪P =R ，则下列结论中一定正确的是（ ）A. 函数f (x )一定存在最大值B. 函数f (x )一定存在最小值C. 函数f (x )一定不存在最大值D. 函数f (x )一定不存在最小值二、填空题（本大题共6小题，共24.0分） 9. 函数y = 2x −4的定义域为______．10. 已知a =40.5，b =0.54，c =log 0.54，则a ，b ，c 从小到大的排列为______ ． 11. 已知角α终边上有一点P （x ，1），且cosα=-12，则tanα=______． 12. 已知△ABC 中，点A （-2，0），B （2，0），C （x ，1）.（i ）若∠ACB 是直角，则x = ________ .（ii ）若△ABC 是锐角三角形，则x 的取值范围是________________ ．13. 燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 与耗氧量x 之间满足函数关系v =a log 2x10．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v =10m /s ，则两岁燕子飞行速度为25m /s 时，耗氧量达到______ 单位． 14. 已知函数f （x ）=|ax -1|-（a -1）x（1）当a =12时，满足不等式f （x ）＞1的x 的取值范围为______ ；（2）若函数f （x ）的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为______ ． 三、解答题（本大题共5小题，共54.0分）15. 已知函数f （x ）=x 2+bx +c ，其对称轴为y 轴（其中b ，c 为常数）（Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）记函数g （x ）=f （x ）-2，若函数g （x ）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f （c 2+1）＞f （c ）对任意c ∈R 成立．16. 已知如表为“五点法”绘制函数f （x ）=A sin （ωx +φ）图象时的五个关键点的坐标（其A 0ω0|φ|π（Ⅰ）请写出函数f （x ）的最小正周期和解析式； （Ⅱ）求函数f （x ）的单调递减区间；（Ⅲ）求函数f （x ）在区间[0，π2]上的取值范围．17. 如图，在平面直角坐标系中，点A （-12，0），B （32，0），锐角α的终边与单位圆O 交于点P ．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P 的坐标； （Ⅱ）当AP •BP =-14时，求α的值； （Ⅲ）在x 轴上是否存在定点M ，使得|AP |=12|MP |恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．18.已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf（x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．19.记所有非零向量构成的集合为V，对于a，b∈V，a≠b，定义V（a，b）=|x∈V|x•a=x•b|（1）请你任意写出两个平面向量a，b，并写出集合V（a，b）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（a，b）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（a，b）=V（a，c），其中b≠c，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；故选：C．首先计算M∪P，并求其补集，然后判断元素与集合的关系．本题考查了集合的运算以及元素与集合关系的判定；属于基础题．2.【答案】B【解析】解：对于A，f（x）=x2-4x=（x-2）2-4，在（-∞，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（-∞，0）上是单调增函数，满足题意；对于C，h（x）=3-x=是（-∞，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（-∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．故选：B．分别判断选项中的函数在区间（-∞，0）上的单调性即可．本题考查了常见的基本初等函数的单调性问题，是基础题目．3.【答案】D【解析】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，可得t=9．故选：D．利用向量共线列出方程求解即可．本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．4.【答案】B【解析】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（-x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B．对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（-x）=0的函数是奇函数，分析选项，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．5.【答案】C【解析】解：sin（+）+cos（-）=．故选：C．原式利用诱导公式化简，再利用特殊角的三角函数值计算即可得答案．本题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键，是基础题．6.【答案】B【解析】【分析】以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，根据向量的夹角的公式计算即可本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，属于中档题．【解答】解：设向量，的夹角为θ，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），∵向量=，=，∴E（，1），F（1，），∴=（，1），=（1，），∴||=，=，•=+=，∴cosθ===，∴θ=，故选：B7.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，∴2×+φ=kπ，k∈Z，解得：φ=kπ-，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．故选：B．由正弦函数的对称性可得2×+φ=kπ，k∈Z，结合范围|φ|＜，可求φ，令2x+=kπ+，k∈Z，可求函数的对称轴方程，对比选项即可得解．本题主要考查正弦函数的对称性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），y=x2的值域为[0，+∞），且M∪P=R，若M=（0，+∞），P=（-∞，0]，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（-∞，2），P=[2，+∞），则f（x）无最小值为，故B错；由M∪P=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值．故选：C．分别根据指数函数和二次函数的图象和性质，结合条件M∪P=R，讨论M，P，即可得到结论．不同考查函数的最值的存在，注意指数函数和二次函数的图象和性质，属于基础题．9.【答案】[2，+∞）【解析】解：由2x-4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．由根式内部的代数式大于等于0，然后求解指数不等式．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题．10.【答案】c＜b＜a【解析】解：∵a=40.5＞40=1，0＜b=0.54＜0.50=1，c=log0.54＜log0.51=0，∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．利用指数函数、对数函数的单调性求解．本题考查三个数的大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数的单调性的合理运用．11.【答案】-3【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，利用任意角的三角函数的定义，求得tanα的值,属于基础题.【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=-=，∴x=-，∴tanα==-，故答案为-．12.【答案】（i）±（ii）（-2，-3）∪（3，2）【解析】解：（i）∵△ABC中，点A（-2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（-2-x，-1），=（2-x，-1），∵∠ACB是直角，∴=（-2-x）（2-x）+（-1）（-1）=x2-3=0，解得x=．（ii）∵△ABC中，点A（-2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（-2-x，-1），=（2-x，-1），=（x+2，1），=（4，0），=（x-2，1），=（-4，0），∵△ABC是锐角三角形，∴，解得-2＜x＜-或．∴x的取值范围是（-2，-）∪（，2）．故答案为：（i）；（ii）（-2，-）∪（，2）.（i）求出=（-2-x，-1），=（2-x，-1），由∠ACB是直角，则=0，由此能求出x．（ii）分别求出，，，，，，由△ABC是锐角三角形，得，由此能求出x的取值范围．本题考查向量的运算，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．13.【答案】320【解析】解：由题意，令x=40，v=1010=alog24；所以a=5；v=25 m/s，25=5log，得到x=320单位．故答案为：320．由题意，令x=4，y=10代入解析式得到a；求得解析式，然后将v=25代入解析式求x本题主要考查对数函数的图象和性质的应用，属于中档题．14.【答案】（2，+∞）；[1，1）2【解析】解：（1）a=时，f（x）=|x-1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax-1|与g（x）=（a-1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax-1|与g（x）=（a-1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a-1≥-a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax-1|与g（x）=（a-1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）（1）化为分段函数，再解不等式即可，（2）①）当a≥1②当0＜a＜1③当a≤0三种情况，画出f（x）=|ax-1|与g（x）=（a-1）x的图象，利用图象确定有无交点．本题主要考查函数图象的运用，如果函数的图象能画出，结合图象解题形象而直观，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，∴−b=0，2解得：b=0；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，则g（x）=f（x）-2=x2+c-2，若函数g（x）有两个不同的零点，则△=-4（c-2）＞0，解得：c＜2；（Ⅲ）证明：函数f（x）=x2+c的开口朝上，∵|c2+1|2-|c|2=c4+c2+1=（c2+12）2+34＞0恒成立，故|c2+1|＞|c|，故不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．【解析】（Ⅰ）若函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，则=0，解得b值；（Ⅱ）由（I）得g（x）=f（x）-2=x2+c-2，若函数g（x）有两个不同的零点，则△=-4（c-2）＞0，解得c的范围；（Ⅲ）函数f（x）=x2+c的开口朝上，证得|c2+1|2-|c|2＞0恒成立，可得不等式f （c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．16.【答案】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，12⋅2πω=π3+π6，∴ω=2，结合五点法作图可得2•π12+φ=π2，∴φ=π3，∴f（x）=2sin（2x+π3），它的最小正周期为2π2=π．（Ⅱ）令2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2，求得kπ-5π12≤x≤kπ+π12，可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ-5π12，kπ+π12]，k∈Z．（Ⅲ）在区间[0，π2]上，2x+π3∈[π3，4π3]，sin（2x+π3）∈[-32，1]，f（x）∈[-3，2]，即函数f（x）的值域为[-3，2]．【解析】（Ⅰ）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式，从而求得它的周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．（Ⅲ）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值；正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．17.【答案】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ）AP=(cosα+12，sinα)，BP=(cosα−32，sinα)，AP•BP=-14时，即（cosα+12）（cosα−32）+sin2α=−14，整理得到cosα=12，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），MP=(cosα−x，sinα)，则由|AP|=12|MP|恒成立，得到54+cosα=14(1−2xcosα+x2)，整理得2cosα（2+x）=x2-4，所以存在x=-2时等式恒成立，所以存在M（-2，0）．【解析】（Ⅰ）用α的三角函数的坐标法定义得到P 坐标；（Ⅱ）首先写成两个向量的坐标根据•=-，得到关于α的三角函数等式，求α的值；（Ⅲ）假设存在M（x，0），进行向量的模长运算，得到三角等式，求得成立的x 值．本题考查了三角函数的坐标法定义的运用以及平面向量的运算；关键是正确利用坐标表示各向量，并正确化简运算．18.【答案】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=-1，则sin（πx-π）=-sin（π-πx）=-sinπx．即-sin （π（x-1））=sinπx．∴T sin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴Tf（-x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（-x+T），令x-T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（-t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f （x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．又f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），∴-Tf（x+T）=Tf（-x+T），T≠0，化为：-f（x+T）=f（-x+T），令x-T=t，则x=T+t，∴-f（2T+t）=f（-t）=-f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=1T，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解析】（I）①利用Ω对于即可判断出函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=-1，对任意x∈R，有Tf（x+T）=f（x）成立．（II）（i）函数f（x）是Ω函数，可得存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（-x+T）=f（-x）．又f（x）是偶函数，可得Tf（-x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（-x+T），通过换元进而得出：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）同（i）可以证明．（III）当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），可得Ta x+T=a x，化为：Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，即可证明．本题考查了新定义、函数的奇偶性周期性、方程思想方法、换元方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．19.【答案】解：（1）比如a=（1，2），b=（3，4），设x=（x，y），由x•a=x•b，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（a，b）中的三个元素为（1，-1），（2，-2），（3，-3）；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设x=（s，t），a=（a，b），b=（c，d），由x•a=x•b，可得as+bt=cs+dt，即有s=d−ba−ct，即x=（d−ba−ct，t），故集合V（a，b）中元素的关系为共线；（3）证明：设x=（s，t），a=（a，b），b=（c，d），y=（u，v），c=（e，f），若V（a，b）=V（a，c），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=svsv−ut •c+−utsv−ut•e+(d−f)vtsv−ut，可令d=f，可得λ1=sv，sv−utλ2=−ut，sv−ut则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得a=λ1b+λ2c．【解析】（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），运用数量积的坐标表示，即可得到所求元素；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），运用数量积的坐标表示，以及共线定理即可得到；（3）设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），运用新定义和数量积的坐标表示，解方程可得a，即可得证．本题考查新定义的理解和运用，以及平面向量的数量积的坐标表示，考查化简整理运算和推理能力，属于中档题．。
北京市海淀区2016届高三上学期期末考试数学(理)试题(扫描版)
海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案数学（理科） 2016.1阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.说明：第9，14题第一空3分，第二空2分 三、解答题: 本大题共6小题，共80分.15．解：（Ⅰ）因为π()sin()14f x x x =-+[cos )]12x x x =-+ …………………………….1分2cos (sin cos )1x x x =-+22cos sin 2cos 1x x x =-+ …………………………….5分（两个倍角公式，每个各2分）sin2cos2x x =-π)4x =- …………………………….6分 所以函数()f x 的最小正周期2ππ||T ω==. …………………………….7分（Ⅱ）因为ππ[]126x ∈，，所以ππ2[]63x ∈，，所以πππ(2)[]41212x -∈-，. ………………………….8分 当ππ2412x -=-时，函数()f x 取得最小值π)12-; …………………………….10分 当ππ2412x -=时，函数()f x 取得最大值π12, …………………………….12分ππ))01212-+=,所以函数()f x 在区间ππ[]126，上的最大值与最小值的和为0. …………………………….13分16.解：（Ⅰ）设持续i 天为事件,1,2,3,4i A i =，用药持续最多一个周期为事件B ， …………………………….1分所以2312341121212()()()()()()3333333P A P A P A P A ==⋅=⋅=⋅，，，， …………………………….5分则123465()(()()()81P B P A P A P A P A =+++=）. …………………………….6分 法二：设用药持续最多一个周期为事件B ，则B 为用药超过一个周期， …………………………….1分 所以4216()()381P B ==, …………………………….3分所以4265()1()381P B =-=. …………………………….6分 （Ⅱ）随机变量η可以取1,2， …………………………….7分所以33441211(1)()()3339P C η==+=,18(2)199P η==-=, …………………………….11分 所以181712999E η=⋅+⋅=. (13)分17．解：（Ⅰ）过点F 作FH AD P ，交PA 于H ,连接BH , 因为13PF PD=，所以13HF AD BC ==. …………………………….1分又FH AD P ，AD BC P ，所以HF BC P . …………………………….2分 所以BCFH 为平行四边形, 所以CF BH P . …………………………….3分又BH ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB , ………………….4分（一个都没写的，则这1分不给）所以CF P 平面PAD . …………………………….5分（Ⅱ）因为梯形ABCD 中，AD BC P ，AD AB ⊥, 所以BC AB ⊥.因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB PB BC ⊥⊥，, 如图，以B 为原点，,,BC BA BP所在直线为,,x y z轴建立空间直角坐标系, …………………………….6分 所以(1,0,0),(3,3,0),(0,3,0),(0,0,3)C D A P .设平面BPD 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，平面APD 的一个法向量为(,,)m a b c =u r, 因为(3,3,3),(0,0,3),PD BP =-=u u u r u u u r所以00PD n BP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，即333030x y z z +-=⎧⎨=⎩， …………………………….7分 取1x =得到(1,1,0)n =-r, …………………………….8分同理可得(0,1,1)m =u r, …………………………….9分所以HFA DCBPPBCDAF y zx1cos ,2||||n m n m n m ⋅<>==-r u rr u r r ur , …………………………….10分因为二面角B PD A --为锐角， 所以二面角B PD A --为π3. …………………………….11分 （Ⅲ）假设存在点M ，设(3,3,3)PM PD λλλλ==-u u u u r u u u r，所以(13,3,33)CM CP PM λλλλ=+=-+-u u u u r u u u r u u u u r, (12)分 所以93(33)0PA CM λλ⋅=-+-=u u u r u u u u r，解得12λ=, …………………………….13分 所以存在点M ，且12PM PD ==. …………………………….14分18．解：（Ⅰ）因为1()(1)ln f x kx k x x=-+-, 所以22211(1)1'()k kx k x f x k x x x+-++=-+=， …………………………….1分 当12k =时，21(2)(1)2'()x x f x x --=. …………………………….2分 令21(2)(1)2'()0x x f x x --== ， 得 121,2x x ==， …………………………….3分所以'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：…………………………….6分所以()f x 在1x =处取得极大值1(1)2f =-， 在2x =处取得极小值13(2)ln 222f =-. …………………………….7分 函数()f x 的单调递增区间为(0,1)，(2,)+∞,()f x 的单调递减区间为(1,2).…………………………….8分（Ⅱ）证明：不等式()1f x >在区间[1,e]上无解，等价于()1f x ≤在区间[1,e]上恒成立， 即函数()f x 在区间[1,e]上的最大值小于等于1.因为21()(1)'()k x x k f x x --=， 令'()0f x =，得121,1x x k ==. …………………………….9分因为01k <<时，所以11k >. 当1e k≥时，'()0f x ≤对[1,e]x ∈成立，函数()f x 在区间[1,e]上单调递减，……………………….10分所以函数()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)11f k =-<,所以不等式()1f x >在区间[1,e]上无解； …………………………….11分 当1e k<时，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：所以函数()f x 在区间[1,e]上的最大值为(1)f 或(e)f . ……………………………….12分此时(1)11f k =-<, 1(e)e (1)e f k k =-+-， 所以1(e)1e (1)1ef k k -=-+-- 111(e 1)2(e 1)2e 30e e ek =---<---=--< . 综上，当01k <<时，关于x的不等式()1f x >在区间[1,e]上无解. …………………………….13分19．解：（Ⅰ）因为椭圆W 的左顶点A 在圆22:16O x y +=上，令0y =，得4x =±，所以4a =.…………………………….1分 又离心率为，所以e c a ==，所以c = …………………………….2分所以2224b a c =-=, …………………………….3分所以W 的方程为221164x y +=. …………………………….4分（Ⅱ）法一：设点1122(,),(,)P x y Q x y ，设直线AP 的方程为(4)y k x =+， …………………………….5分 与椭圆方程联立得22(4)1164y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩, 化简得到2222(14)3264160k x k x k +++-=,…………………………….6分因为4-为上面方程的一个根，所以21232(4)14k x k -+-=+，所以21241614k x k -=+. …………………………….7分所以||AP =…………………………….8分 因为圆心到直线AP 的距离为d=，…………………………….9分所以||AQ===, (10)分因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQAP AP AP-==-， (11)分代入得到22222||1433113||111PQ k kAP k k k+==-==-+++. …………………………….13分显然23331k-≠+，所以不存在直线AP，使得||3||PQAP=. …………………………….14分法二：设点1122(,),(,)P x y Q x y，设直线AP的方程为4x my=-，…………………………….5分与椭圆方程联立得2241164x myx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩化简得到22(4)80m y my+-=, 由2640m∆=>得0m≠. …………………………….6分显然0是上面方程的一个根，所以另一个根，即1284mym=+. …………………………….7分由1||0|AP y=-=，…………………………….8分因为圆心到直线AP的距离为d=，…………………………….9分所以||AQ=== (1)0分因为||||||||1||||||PQ AQ AP AQAP AP AP-==-， (11)分代入得到222||4311||11PQ mAP m m+=-=-=++, …………………………….13分若2331m=+，则0m=，与0m≠矛盾，矛盾，所以不存在直线AP，使得||3||PQAP=. …………………………….14分法三：假设存在点P，使得||3||PQAP=，则||4||AQAP=，得||4||QPyy=. (5)分显然直线AP的斜率不为零，设直线AP的方程为4x my=-，…………………………….6分由2241164x myx y=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(4)80m y my+-=,由2640m ∆=>得0m ≠， …………………………….7分所以284P m y m =+. …………………………….9分同理可得281Q my m =+，…………………………….11分 所以由||4||Q P y y =得22441m m +=+，…………………………….13分 则0m =，与0m ≠矛盾，所以不存在直线AP ，使得||3||PQ AP =.…………………………….14分20.解：（Ⅰ）因为{}n a 是P 数列，且10a =，所以3202||||a a a a =-=， 所以43222a a a a a =-=-,所以221a a -=，解得212a =-, …………………………….1分 所以354311,||22a a a a ==-=. …………………………….3分 (Ⅱ) 假设P 数列{}n a 的项都是正数，即120,0,0n n n a a a ++>>>，所以21n n n a a a ++=-，3210n n n n a a a a +++=-=-<，与假设矛盾.故P 数列{}n a 的项不可能全是正数, …………………………….5分 假设P 数列{}n a 的项都是负数，则0,n a <而210n n n a a a ++=->,与假设矛盾, …………………………….7分故P 数列{}n a 的项不可能全是负数.(Ⅲ)由(Ⅱ)可知P 数列{}n a 中项既有负数也有正数，且最多连续两项都是负数，最多连续三项都是正数.因此存在最小的正整数k 满足10,0k k a a +<>（5k ≤）.设1,(,0)k k a a a b a b +=-=>，则2345,,,k k k k a b a a a a b a b a ++++=+==-=-.678910,,,,k k k k k a b a b a b a a a a b a a a b +++++=-+=-+=-=-=,故有9k k a a +=, 即数列{}n a 是周期为9的数列 …………………………….9分由上可知18,,,k k k a a a ++⋅⋅⋅这9项中4,k k a a +为负数，5,8k k a a ++这两项中一个为正数，另一个为负数，其余项都是正数.因为20169224=⨯,所以当1k =时，2243672m =⨯=;当25k ≤≤时，121,,,k a a a -⋅⋅⋅这1k -项中至多有一项为负数，而且负数项只能是1k a -, 记12016,,,k k a a a +⋅⋅⋅这2007k -项中负数项的个数为t ，当2,3,4k =时，若10,k a -< 则11k k k k b a a a a a +-==->=，故8k a +为负数， 此时671t =，671+1=672m =；若10,k a ->则11k k k k b a a a a a +-==-<=，故5k a +为负数.此时672t =，672m =，当5k =时，1k a -必须为负数，671t =，672m =, …………………………….12分综上可知m 的取值集合为{672}. …………………………….13分说明：1. 正确给出m 的值，给1分2. 证明中正确合理地求出数列{}n a 的周期给2分，但是通过特例说明的不给分3. 正确合理说明m 取值情况给2分。
北京市海淀区2016届高三上学期期末考试理数试题及参考答案
绝密★启用前北京市海淀区2016届高三上学期期末考试理数试题注意事项：1．本试卷满分150分。
考试时长120分钟。
2．答题前考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔填写好自己的姓名、班级、考号等信息3．考试作答时，请将答案正确填写在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知(1i)i 1i(b b +=-+∈R)，则b 的值为A.1B.1-C. iD.i - 2. 抛物线24x y =的准线与y 轴的交点的坐标为A. 1(0,)2- B.(0,1)- C.(0,2)- D.(0,4)- 3. 如图，正方形ABCD 中，E 为DC 的中点，若AD AC AE λμ=+， 则λμ-的值为A. 3B.2C. 1D.3-4. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的a 值为1，则输出的a 值为EA BCDA.1B.2C.3D.55. 已知数列1234:,,,,A a a a a a，其中{1,0,1},1,ia i∈-=, 则满足123453a a a a a++++=的不同数列A一共有A. 15个B.25个C.30个D.35个6. 已知圆, 直线1:l y=，2:1l y kx=-若12,l l被圆所截得的弦的长度之比为，则k的值为127. 若,x y满足+20,40,0,x yx yy-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2||z y x=-的最大值为A.8- B.4- C.1 D.28. 已知正方体''''ABCD A B C D-，记过点A与三条直线,,'AB AD AA所成角都相等的直线条数为m, 过点A与三个平面．．',,'AB AC AD所成角都相等的直线的条数为n，则下面结论正确的是A. 1,1m n== B. 4,1m n==C. 3,4m n== D. 4,4m n==二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2016-2017学年北京市海淀区高三(上)期末数学试卷(理科)
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）
A．B．1 C．2 D．3
2．（5分）在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．
3．（5分）如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图的结果为（）
A．6 B．7 C．8 D．9
4．（5分）已知向量，满足，（）=2，则=（）
A．﹣ B．C．﹣2 D．2
5．（5分）已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）
A．y=﹣B．y=C．y=2x﹣D．y=﹣2x+
6．（5分）设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）
A．1 B．C．5 D．9
7．（5分）在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）
A．14 B．16 C．18 D．20
8．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）
A．[0，1]B．[，]C．[1，2]D．[，2]
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．（5分）已知复数z满足（1+i）z=2，则z=．
10．（5分）（x2+）6的展开式中常数项是．（用数字作答）
11．（5分）若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该
几何体的体积为．。
2015-2016学年北京市海淀区高一上学期期末数学
2015-2016学年北京市海淀区高一上学期期末数学一、选择题（共8小题；共40分）1. 若集合A＝x−1≤x<2，B＝x x≥1，则A∩B= A. 1,2B. −1,2C. −1,1D. 1,22. sin −9π2的值为 A. 1B. −1C. 0D. 223. 若α是第二象限的角，P x,6为其终边上的一点，且sinα=35，则x= A. −4B. ±4C. −8D. ±84. 化简1−sin2160∘= A. cos20∘B. −cos20∘C. ±cos20∘D. ±cos20∘5. 已知A1,2，B3,7，a=x,−1，AB∥a，则 A. x=25，且AB与a方向相同 B. x=−25，且AB与a方向相同C. x=25，且AB与a方向相反 D. x=−25，且AB与a方向相反6. 已知函数：①y=tan x，②y=sin x ，③y=sin x ，④y=cos x ，其中周期为π，且在0,π2上单调递增的是 A. ①②B. ①③C. ①②③D. ①③④7. 先把函数y=cos x的图象上所有点向右平移π3个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的函数图象的解析式为 A. y=cos2x+π3B. y=cos2x−π3C. y=cos12x+π3D. y=cos12x−π38. 若m是函数f x=x−2x+2的一个零点，且x1∈0,m，x2∈m,+∞，则f x1，f x2，f m的大小关系为 A. f x1<f m<f x2B. f m<f x2<f x1C. f m<f x1<f x2D. f x2<f m<f x1二、填空题（共6小题；共30分）9. 若y=log2x>1，则x的取值范围是．10. 若函数f x=x2+3x−4在x∈−1,3上的最大值和最小值分别为M，N，则M+N=．11. 若向量a=2,1，b=1,−2，且ma+nb=5,−5m,n∈R，则m−n的值为．12. 如图，在平行四边形ABCD中，AC,BD相交于点O，E为线段AO的中点，若BE=λBA+μBDλ,μ∈R，则λ+μ=．13. 若函数f x=sinωx+φ（其中ω>0）在0,π3上单调递增，且fπ6+fπ3=0,f0=−1，则ω=．14. 已知函数y=f x，若对于任意x∈R，f2x=2f x恒成立，则称函数y=f x具有性质P .（1）若函数f x具有性质P，且f4=8，则f1=；（2）若函数f x具有性质P，且在1,2上的解析式为y=cos x，那么y=f x在1,8上有且仅有个零点．三、解答题（共4小题；共52分）15. 已知二次函数f x=x2+mx−3的两个零点为−1和n .（1）求m，n的值；（2）若f3=f2a−3，求a的值．16. 已知函数f x是定义在R上的奇函数，当x≥0时，函数f x=2x−1．（1）求当x<0时，f x的解析式；（2）若f a≤3，求a的取值范围．17. 已知函数f x=2sin2x−π6．（1）求函数f x的单调递增区间与对称轴方程；（2）当x∈0,π2时，求函数f x的最大值与最小值．18. 如果f x是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f−x≠−f x，则称该函数是“X−函数”．（1）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x−3是否为“X−函数”?（直接写出结论）（2）若函数f x=sin x+cos x+a是“X−函数”，求实数a的取值范围；（3）已知f x=x2+1,x∈Ax,x∈B是“X−函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．答案第一部分1. D2. B3. C4. A5. D6. B7. B8. D 【解析】因为m是f x=x−2x+2的一个零点，则m是方程x−2x+2=0的一个解，即m是方程x=2x−2的一个解，所以m是函数g x=x与 x=2x−2图象的一个交点的横坐标，如图所示，若x1∈0,m，x2∈m,+∞，则f x2=g x2− x2<0=f m，f x1=g x1− x1>0=f m，所以f x2<f m<f x1．第二部分9. 2,+∞10. 811. −212. 34【解析】由已知，BE=12BA+12BO=12BA+14BD，根据平面向量基本定理，可得λ=12，μ=14．所以λ+μ=34．13. 2【解析】由fπ6+fπ3=0,f0=−1，根据正弦函数的图象与性质可知，π6+π32=π4,即π4,0为函数f x=sinωx+φ图象的对称中心，而又π4∈0,π3，且f0=−1，所以T4=π4，T=π，所以ω=2 .14. 2;3【解析】（1）因为函数y=f x具有性质P，所以对于任意x∈R，f2x=2f x恒成立，所以f4=f2×2=2f2=2f2×1=4f1，因为f4=8，所以f1=2．（2）若函数y=f x具有性质P，且在1,2上的解析式为y=cos x，则函数y=f x在2,4上的解析式为y=2cos x2，在4,8上的解析式为y=4cos x4，所以y=f x在1,8上有且仅有3个零点，分别是π2，π，2π．第三部分15. （1）因为二次函数f x=x2+mx−3的两个零点为−1和n，所以，−1和n是方程x2+mx−3=0的两个根．则−1+n=−m，−1×n=−3，所以m=−2，n=3．（2）因为函数f x=x2−2x−3的对称轴为x=1．若f3=f2a−3，则3+2a−32=1或2a−3=3，得a=1或a=3．综上，a=1或a=3．16. （1）当x<0时，−x>0，则f−x=2−x−1．因为f x是奇函数，所以f−x=−f x．所以−f x=2−x−1，即当x<0时，f x=−2−x+1．（2）因为f a≤3，f2=3，所以f a≤f2．又因为f x在R上是单调递增函数，所以a≤2．17. （1）因为f x=2sin2x−π6，由−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ，k∈Z，得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，所以函数f x的单调递增区间为 −π6+kπ,π3+kπ ，k∈Z．由2x−π6=π2+kπ，k∈Z，得x=π3+kπ2．所以f x的对称轴方程为x=π3+kπ2，其中k∈Z．（2）因为0≤x≤π2，所以−π6≤2x−π6≤5π6．得：−12≤sin2x−π6≤1．所以，当2x−π6=−π6即x=0时，f x的最小值为−1，当2x−π6=π2即x=π3时，f x的最大值为2．18. （1）①、②是“X−函数”，③不是“X−函数”．（2）由题意，对任意的x∈R，f−x≠−f x，即f−x+f x≠0．因为f x=sin x+cos x+a，所以f−x=−sin x+cos x+a．故f x+f−x=2cos x+2a．由题意，对任意的x∈R，2cos x+2a≠0，即a≠−cos x．故实数a的取值范围为−∞,−1∪1,+∞．（3）（1）对任意的x≠0（a）若x∈A且−x∈A，则−x≠x，f−x=f x，这与y=f x在R上单调递增矛盾，（舍），（b）若x∈B且−x∈B，则f−x=−x=−f x，这与y=f x是“X−函数”矛盾，（舍）．此时，由y=f x的定义域为R，故对任意的x≠0，x与−x恰有一个属于A，另一个属于B．（2）假设存在x0<0，使得x0∈A，则由x0<x02，故f x0<f x02．（a）若x02∈A，则f x02=x024+1<x02+1=f x0，矛盾，（b）若x02∈B，则f x02=x02<0<x02+1=f x0，矛盾．综上，对任意的x<0，x∉A，故x∈B，即−∞,0⊆B，则0,+∞⊆A．（3）假设0∈B，则f−0=−f0=0，矛盾．故0∈A，故A=0,+∞，B=−∞,0．经检验A=0,+∞，B=−∞,0符合题意．。
北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学(理)试题【含答案】
1D 1A 1B 1C F北京市海淀区2016-2017学年度第一学期高三期末理科数学2017．1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为（ ） A ．12B ．1 C．2D ．32．在极坐标系中，点14π⎛⎫⎪⎝⎭，与点314π⎛⎫⎪⎝⎭，的距离为（ ） A ．1 B C D 3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》．若输入a 的值为16，b 的值为24则执行该程序框图输出的结果为（ ） A ．6 B ．7 C ．8D ．94．已知向量，a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a b （ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2 5．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是（ ） A．12y x =-B ．12y x =C ．2y x =-D ．2y x =-6．设x y ，满足0202x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则()221x y ++的最小值为（ ）A ．1B ．92C ．5D ．5 7．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂．成红色．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．208．如图，已知正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，E F ，分别是棱11ADB C ，上的动点，设俯视图主视图1AE x B F y ==，．若棱1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]01，B ．1322⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]12，D ．322⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知复数z 满足()12i z +=，则z =_________．10．在621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为_________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为_________． 12．已知圆22:20C x x y -+=，则圆心坐标为_________；若直线l 过点()10-， 且与圆C 相切，则直线l 的方程为_________．13．已知函数()2sin 02y x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，． ①若()01f =，则ϕ=_________；②若x R ∃∈，使()()24f x f x +-=成立，则ω的最小值是_________． 14．已知函数()||cos x f x e x π-=+，给出下列命题： ①()f x 的最大值为2；②()f x 在()1010-，内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1． 其中所有正确命题的序号是_________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在ABC ∆中，2c a =，120B =，且ABC ∆． （Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基． 某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”． 为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计：（Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望；（Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠=，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1AOD 位置，使得1120AOB ∠=；如图2，设m 为平面1A DC 与平面1AOB 的交线． （Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明；（Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1AG 的长； （Ⅲ）求直线1AO 与平面1A BD 所成角的正弦值．18．（本小题满分13分）已知()()0231A B ， ，， 是椭圆()2222:10x y G a b a b+=>>上的两点．AOBCD1图ODCB2图1A（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19．（本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间； （Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在()1+∞，上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a 、{}n b ，若{}{}()1212max min k k k b a a a a a a k N *=-∈，，，，，，，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． 其中，{}12max k a a a ，，，，{}12min k a a a ，，，分别表示12k a a a ，，，中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． （Ⅰ）若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； （Ⅱ）证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； （Ⅲ）若()()1211122n n n n n n S S S a b +-+++=+()n N *∈，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）答案及评分标准 2017.1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
海淀区学年第一学期期末高一数学试题及答案
海淀区高一年级第一学期期末考试数 学2017.1学校 班级 姓名 成绩本试卷共100分.考试时间90分钟.一.选择题：本大题共8小题, 每小题4分,共32分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{1,5}M =，{24},P =，则下列结论正确的是 ( ) A ．1()U M P ∈U ð B ．2()U M P ∈U ð C ．3()U M P ∈U ð D ．6()U M P ∉U ð 2．下列函数在区间(,0)-∞上是增函数的是 ( ) A. 2()4f x x x =- B. ()31g x x =+C. ()3xh x -= D. ()tan t x x =3. 已知向量(1,3), (3,),t ==a b 若a b P , 则实数t 的值为 ( ) A. 9- B. 1- C. 1 D. 94. 下列函数中，对于任意的x ∈R ，满足条件()()0f x f x +-=的函数是 ( ) A. 13()f x x = B. si ()n 1f x x =+C. 2()f x x =D. 22()log (1)f x x =+5. 代数式ππππsin()cos()2326++-的值为 ( )A. 1-B. 0C. 1D.26. 在边长为1的正方形ABCD 中，向量11,23DE DC BF BC ==u u u r u u u r u u u r u u u r，则向量,AE AF u u u r u u u r 的夹角为( ) A.π6 B. π4 C. π3 D. 5π2１ 7. 如果函数()3sin(2)f x x ϕ=+的图象关于点π(,0)3成中心对称(π||2ϕ<)，那么函数()f x 的一条对称轴是 ( ) A.π6x =-B.π12x =C. π6x =D. π3x = 8. 已知函数22() xx M f x x x P ⎧∈⎪=⎨∈⎪⎩，，，，其中M P =R U ，则下列结论中一定正确的是 ( )A. 函数()f x 一定存在最大值B. 函数()f x 一定存在最小值C. 函数()f x 一定不存在最大值D. 函数()f x 一定不存在最小值 二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分, 共24分. 把答案填在题中横线上. 9．函数()f x =的定义域为_____________.10. 已知0.540.540.5,log 4，a b c ===，则,,a b c 从小到大的排列为_____________.11. 已知角α终边上有一点(,1)P x ,且21cos -=α,则_________ta _n ___α=. 12. 已知ABC ∆中，点(20), (2,0)A B -，, (,1)C x . (i) 若ACB ∠是直角，则_____________x =；(ii) 若ABC ∆是锐角三角形，则x 的取值范围是_____________.13. 燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬. 鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v 可以表示为耗氧量x 的函数2log 10xv a =. 若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为10/v m s =，则两岁燕子飞行速度为25/m s 时，耗氧量达到_____________单位. 14. 已知函数()|1|(1)f x ax a x =---.(i) 当１２a =时，满足不等式()1f x >的x 的取值范围为_____________； (ii) 若函数()f x 的图象与x 轴没有交点，则实数a 的取值范围为_____________.三.解答题: 本大题共4小题, 共44分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分12分）已知函数2()f x x bx c =++，其对称轴为y 轴(其中,b c 为常数) . (Ⅰ) 求实数b 的值；(Ⅱ) 记函数()()2g x f x =-，若函数()g x 有两个不同的零点，求实数c 的取值范围； (Ⅲ) 求证：不等式2(1)()f c f c +> 对任意c ∈R 成立. 16．（本小题满分12分）已知下表为“五点法”绘制函数()sin()f x A x ωϕ=+图象时的五个关键点的坐标(其中0,0,πA ωϕ>><).(Ⅰ) 请写出函数)(x f 的最小正周期和解析式；(Ⅱ) 求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅲ) 求函数)(x f 在区间π[0,]2上的取值范围.17．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，点1(,0)2A -，3(,0)2B ，锐角α的终边与单位圆O 交于点P . (Ⅰ) 用角α的三角函数表示点P 的坐标；(Ⅱ) 当14AP BP ⋅=-u u u r u u u r 时，求α的值；(Ⅲ) 在x 轴上是否存在定点M ，使得1||||2AP MP =u u u r u u u r恒成立若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，说明理由.18．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为R ，若存在常数0T ≠，使得()()f x Tf x T =+对任意的x ∈R 成立，则称函数()f x 是Ω函数.（Ⅰ）判断函数()f x x =，()sin πg x x =是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（ⅰ）、（ⅱ）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（ⅰ）计分.（ⅰ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是偶函数，则()f x 是周期函数； （ⅱ）若函数()f x 是Ω函数，且()f x 是奇函数，则()f x 是周期函数； (Ⅲ) 求证：当1a >时，函数 ()x f x a =一定是Ω函数.α选作题：（本小题满分10分）记所有非零平面向量构成的集合为V ，对于∈V a,b ，≠a b ，定义(){|}=∈⋅⋅V V a,b m m a =m b .(Ⅰ) 请你任意写出两个平面向量a,b ，并写出集合()V a,b 中的三个元素；（Ⅱ）请根据你在(Ⅰ)中写出的三个元素，猜想集合()V a,b 中元素的关系，并试着给出证明； (Ⅲ) 若()()=V V a,b a,c ，其中≠b c ，求证：一定存在实数12λλ,，121λλ=+，使得12λλ+a =b c .海淀区高一年级第一学期期末考试数 学参考答案及评分标准2017.1一. 选择题:本大题共8小题, 每小题4分,共32分.二.填空题：本大题共6小题, 每小题4分,共24分.9. [2,)+∞ 10. <<c b a 11.12. (2,-U 13. 320 14. 1(2,), [,1)2+∞ 说明：12，14题每个答案两分，丢掉一个减2分 三.解答题:本大题共4小题, 共44分. 15. （本小题满分12分）解: （I ）因为()f x 的对称轴为y 轴，所以()()-=f x f x 对任意的x ∈R 成立，即22++=-+x bx c x bx c 对任意的x ∈R 成立，整理有20=bx 对任意的x ∈R 成立，所以0=b . ………………………4分法二：因为()f x 的对称轴为y 轴， 而()f x 的对称轴为2b x =-， 所以有 02b-=，所以0=b . ………………………4分 （II ）依题意2()2=+-g x x c 有两个不同的零点，即关于x 的方程220x c +-=有两个不相等的实数根， 所以0>V ,即20c -<，2c <为所求. ………………………8分(Ⅲ) 因为2222(1)()[(1)]()+-=++-+f c f c c c c c 4222131()024c c c =++=++>恒成立， 所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分 法二：因为()f x 的对称轴为y 轴, 其开口向上 且22131||(||)024c c c +-=-+>， 即21c +到对称轴的距离大于||c 到对称轴的距离， 根据二次函数的性质，所以2(1)()+>f c f c 对c ∈R 恒成立. ………………………12分16．（本小题满分12分） 解: （I ）5ππ()π66T =--=, ………………………2分 即2ππT ω==, 所以2ω=.又2=A , ()2sin(2)=+f x x ϕ,将π(,2)12代入()f x , 有π2sin()26ϕ+=，即πsin()16ϕ+=. 因为||π,ϕ< 所以π57(π,π)666ϕ+∈-，因此ππ62ϕ+=，即π3ϕ=.故π()2sin(2)3f x x =+. ………………………4分说明：这里只要结果正确，就给分，不用考虑过程. （II ） 因为函数sin y x =的单调区间为ππ2π2π22k x k -<<+， 所以令πππ2π22π232k x k -<+<+， 即 5ππ2π22π66k x k -<<+， 解得 5ππππ1212k x k -<<+， 所以()f x 的增区间为5ππ(ππ),()1212k k k -+∈Z ，. ………………………8分(Ⅲ) 因为π[0,]2x ∈，所以有ππ4π2[,]333x +∈， 所以当 π12x =时 ，函数()f x 取得最大值2， 当 π2x =时， 函数()f x取得最小值，所以函数()f x 在 π[0,]2上的取值范围为[2] ………………………12分17.（本小题满分10分）解: （I ）(cos ,sin )P αα. ………………………2分（II ）13(cos ,sin ) (cos ,sin )22AP BP αααα=+=-u u u r u u u r ，213(cos )(cos )sin 22AP BP ααα⋅=+-+u u u r u u u r ，因为14AP BP ⋅=-u u u r u u u r ，所以11cos 44α-=-，即1cos 2α=，因为α为锐角，所以π3α=. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+u u u r ，2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+u u u r ， 因为1||||2=u u u r u u u r AP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，所以2(1)cos (1)024m m α++-=对任意π(0,)2α∈成立， 所以2102104m m ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 所以2m =-. M 点的横坐标为2-. ………………………10分法二：设(,0)M m ，则222115||(cos )sin 1cos cos 244AP αααα=++=++=+u u u r ，2222||(cos )sin 12cos MP m m m ααα=-+=-+u u u r ，因为1||||2=u u u r u u u rAP AP ，所以251cos (12cos )44m m αα+=-+，即22cos 4cos 40m m αα---=，(2)[(2)2cos ]0m m α+--=，因为α可以为任意的锐角，(2)2cos 0m α--=不能总成立，所以20m +=，即2m =-，M 点的横坐标为2-. ………………………10分18．（本小题满分10分）解: （I ）函数()f x 不是Ω函数，函数()g x 是Ω函数. ………………………2分 （II ）(i)因为()f x 是Ω函数，所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是偶函数，所以()()f x f x =-，所以()()Tf x T Tf x T +=-+，即()()f x T f x T +=-+， 所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分 (ii) 因为()f x 是Ω函数， 所以()()f x Tf x T =+， 所以()()f x Tf x T -=-+，又因为()f x 是奇函数， ()()f x f x -=- 所以()()f x Tf x T -=--， 即 ()()f x Tf x T =-， 所以()()Tf x T Tf x T +=-，所以()()f x T f x T +=-，所以()(2)=+f x f x T ，所以()f x 是以2T 为周期的周期函数. ………………………6分(Ⅲ) 法一：设()1xg x xa =-， 所以(0)1g =-，(1)10g a =->所以至少存在一个(0,1)T ∈，满足()0=g T ，即1TTa =， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 法二：设1()=-x g x a x， 因为1a >，所以(1)10g a =-<，11()0=->ag a a a，所以至少存在一个1(,1)∈T a，满足()0=g T ，即1T a T=， 所以()()x T x T Tf x T Ta Ta a f x ++==⋅=，所以函数()f x 是Ω函数. ………………………10分 选作题：（I ）例如(1,0),(0,1),a a ==r r则(,)a b r r V 中的三个元素可以为(1,1),x =r (1,1),y =--u r (2,2)z =r .……………3分 （II ）猜想：(,)a b r rV 中的所有向量都是共线向量.证明如下：不妨设1212(,),(,),a a a b b b ==r r因为a b ≠r r，所以1122a b a b --，中至少有一个不为0， 若220a b -≠，记1122(1)a be a b -=--r ，, 显然()0e a b ⋅-=r r r ，即e a e b ⋅=⋅r r r r ，所以e ∈r (,)a b r rV .任取(,)v x y =∈r (,)a b r rV ，因为v a v b ⋅=⋅r r r r ，所以()0v a b ⋅-=r r r，所以1122()()0x a b y a b -+-=，则有1122a b y x a b -=--，所以(,)v x y xe ==r r ，所以(,){|,}a b v v e λλ==∈r r r r rV R ，问题得证；若220a b -=，110a b -≠时，可证明(,){|,}a b v v e λλ==∈r r r r r V R ，其中2211(1)a b e a b -=--r ，. 所以(,)a b r rV 中的所有向量都是共线向量. ………………………6分 (Ⅲ) 因为(,)a b r r V (,)a c r r =V ，不妨设12v v ∈u r u u r ，(,)a b r r V ，12v v ≠u r u u r.则由(,)a b r r V 的定义知道，11v a v b ⋅=⋅u r r u r r ，即1()0v a b ⋅-=u r r r , 同理2()0v a b ⋅-=u u r r r, 所以1()v a b ⋅-u r r r 2()v a b =⋅-u u r r r ，所以()a b -∈r r 12(,)v v u r u u rV ， 同理得到()a c -∈r r 12(,)v v u r u u rV 由（II ）得，(),()a b a c --r r r r共线，所以()()a c a b λ-=-r r r r ，所以(1)a b c λλ-=-+r r r .因为b c ≠r r，所以1λ≠，所以11)1)a b c λλλ=-+--r r r（（ 记1211)1)λλλλλ=-=--，（（，则12+1λλ=，问题得证. ………………………10分。
北京市海淀区高一上册期末数学试卷(有答案)-精品.doc
北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}2．（4分）=（）A．B．C．D．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3D．y=lg||5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f （c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：=（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f（）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）已知集合A={1，3，5}，B={|（﹣1）（﹣3）=0}，则A∩B=（）A．ΦB．{1}C．{3}D．{1，3}【解答】解：∵B={|（﹣1）（﹣3）=0}={1，3}，∴A∩B={1，3}，故选：D2．（4分）=（）A．B．C．D．【解答】解：=﹣sin=﹣．故选：A．3．（4分）若幂函数y=f（）的图象经过点（﹣2，4），则在定义域内（）A．为增函数B．为减函数C．有最小值D．有最大值【解答】解：设幂函数f（）=α，由f（﹣2）=4，得（﹣2）α=4=（﹣2）2，在α=2，即f（）=2，则在定义域内有最小值0，故选：C．4．（4分）下列函数为奇函数的是（）A．y=2 B．y=sin，∈[0，2π]C．y=3D．y=lg||【解答】解：y=2为指数函数，没有奇偶性；y=sin，∈[0，2π]，定义域不关于原点对称，没有奇偶性；y=3定义域为R，f（﹣）=﹣f（），为奇函数；y=lg||的定义域为{|≠0}，且f（﹣）=f（），为偶函数．故选：C．5．（4分）如图，在平面内放置两个相同的三角板，其中∠A=30°，且B，C，D三点共线，则下列结论不成立的是（）A．B．C．与共线 D．=【解答】解：设BC=DE=m，∵∠A=30°，且B，C，D三点共线，则CD═AB=，AC=EC=2m，∴∠ACB=∠CED=60°，∠ACE=90°，∴，，故A、B、C成立；故选：D6．（4分）函数f（）的图象如图所示，为了得到y=2sin函数的图象，可以把函数f（）的图象（）A．每个点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变），再向左平移个单位B．每个点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位C．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变）D．先向左平移个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原的（纵坐标不变）【解答】解：根据函数f（）的图象，设f（）=Asin（ω+φ），可得A=2，=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=0，∴φ=﹣，f（）=2sin（2﹣），故可以把函数f（）的图象先向左平移个单位，得到y=2sin（2+﹣）=2sin2的图象，再把所得各点的横坐标伸长到原的2倍（纵坐标不变），即可得到y=2sin函数的图象，故选：C．7．（4分）已知，若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f （c）＜0，实数0满足f（0）=0，那么下列不等式中，一定成立的是（）A．0＜a B．0＞a C．0＜c D．0＞c【解答】解：∵f（）=log2﹣（）在（0，+∞）上是增函数，0＜a＜b＜c，且f（a）f（b）f（c）＜0，∴f（a）、f（b）、f（c）中一项为负，两项为正数；或者三项均为负数；即：f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）；或f（a）＜f（b）＜f（c）＜0；由于实数0是函数y=f（）的一个零点，当f（a）＜0，0＜f（b）＜f（c）时，a＜0＜b，当f（a）＜f（b）＜f（c）＜0时，0＞a，故选：B．8．（4分）如图，以AB为直径在正方形内部作半圆O，P为半圆上与A，B不重合的一动点，下面关于的说法正确的是（）A．无最大值，但有最小值B．既有最大值，又有最小值C．有最大值，但无最小值D．既无最大值，又无最小值【解答】解：设正方形的边长为2，如图建立平面直角坐标系，则D（﹣1，2），P（cosθ，sinθ），（其中0＜θ＜π）=2+=（﹣2cosθ，﹣2sinθ）+（﹣1﹣cosθ，2﹣sinθ）=（﹣1﹣3cosθ，﹣3sinθ）∴==∵cosθ∈（﹣1，1），∴∈（4，16）故选：D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上）9．（4分）已知向量=（1，2），写出一个与共线的非零向量的坐标（2，4）．【解答】解：向量=（1，2），与共线的非零向量的坐标纵坐标为横坐标2倍，例如（2，4）．故答案为：（2，4）．10．（4分）已知角θ的终边经过点（3，﹣4），则cosθ=．【解答】解：∵角θ的终边经过点（3，﹣4），∴=3，y=﹣4，r=5，则cosθ==．故答案为：．11．（4分）已知向量，在边长为1 的正方形网格中的位置如图所示，则=3．【解答】解：由题意可知：=（3，0），=（1，1），则=3×1+1×0=3．故答案为：3．12．（4分）函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，则t的取值范围是[1，+∞）．【解答】解：函数（t＞0）的图象如图：函数（t＞0）是区间（0，+∞）上的增函数，所以t≥1．故答案为：[1，+∞）．13．（4分）有关数据显示，中国快递行业产生的包装垃圾在2015年约为400万吨，2016年的年增长率为50%．有专家预测，如果不采取措施，未包装垃圾还将以此增长率增长，从2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨．（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）【解答】解：设快递行业产生的包装垃圾为y万吨，n表示从2015年开始增加的年份的数量，由题意可得y=400×（1+50%）n=400×（）n，由于第n年快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，∴4000=400×（）n，∴（）n=10，两边取对数可得n（lg3﹣lg2）=1，∴n（0.4771﹣0.3010）=1，解得0.176n=1，解得n≈6，∴从2015+6=2021年开始，快递行业产生的包装垃圾超过4000万吨，故答案为：2021．14．（4分）函数f（）=sinω在区间上是增函数，则下列结论正确的是①②③（将所有符合题意的序号填在横线上）①函数f（）=sinω在区间上是增函数；②满足条件的正整数ω的最大值为3；③．【解答】解：函数f（）=sinω在区间上是增函数，由f（﹣）=sin（﹣ω）=﹣si nω=﹣f（），可得f（）为奇函数，则①函数f（）=sinω在区间上是增函数，正确；由ω≤，可得∅≤3，即有满足条件的正整数ω的最大值为3，故②正确；由于+==2×，由题意可得对称轴≥，即有f（）≤f（），故③正确．故答案为：①②③．三、解答题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（10分）已知向量=（sin，1），=（1，），f（）=．（Ⅰ）若关于的方程f（）=1有解，求实数的取值范围；（Ⅱ）若且α∈（0，π），求tanα．【解答】解：（Ⅰ）∵向量a=（sin，1），b=（1，），f（）=，∴f（）==sin+．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）关于的方程f（）=1有解，即关于的方程sin=1﹣有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∵sin∈[﹣1，1]，∴当1﹣∈[﹣1，1]时，方程有解．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）则实数的取值范围为[0，2]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）因为，所以，即．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当时，，．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）16．（12分）已知二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）若函数g（）是奇函数，当≥0时，g（）=f（），（ⅰ）直接写出g（）的单调递减区间：[﹣2，2] ；（ⅱ）若g（a）＞a，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（）=2+b+c满足f（1）=f（3）=﹣3，∴解的b=﹣4；c=0．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（）=2﹣4，∵函数g（）是奇函数，∴g（﹣）=﹣g（），假设＜0，则﹣＞0，则g（﹣）=f（﹣）=2+4，∴g（）=﹣2﹣4，∴g（）=，（i）g（）的单调减区间为[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．（ⅱ）若g（a）＞a，则或解得a＞5或﹣5＜a＜0．综上，a的取值范围为a＞5或﹣5＜a＜0．17．（12分）某同学用“五点法”画函数f（）=Asin（ω+φ）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（Ⅰ）请将上表数据补充完整，函数f（）的解析式为f（）=f（）=2sin（2+）（直接写出结果即可）；（Ⅱ）求函数f（）的单调递增区间；（Ⅲ）求函数f（）在区间上的最大值和最小值．【解答】解：（Ⅰ）把表格填完整：根据表格可得=﹣，∴ω=2．再根据五点法作图可得2×+φ=，∴φ=，故函数的解析式为：．（Ⅱ）令2π﹣≤2+≤2π+，求得π﹣≤≤π+，可得函数f（）的单调递增区间为，∈．（Ⅲ）因为，所以，故有．所以，当即时，f（）在区间上的最小值为﹣2．当即=0时，f（）在区间上的最大值为1．18．（10分）定义：若函数f（）的定义域为R，且存在非零常数T，对任意∈R，f（+T）=f（）+T恒成立，则称f（）为线周期函数，T为f（）的线周期．（Ⅰ）下列函数，①y=2，②y=log2，③y=，（其中表示不超过的最大整数），是线周期函数的是③（直接填写序号）；（Ⅱ）若g（）为线周期函数，其线周期为T，求证：函数G（）=g（）﹣为线周期函数；（Ⅲ）若φ（）=sin+为线周期函数，求的值．【解答】解：（Ⅰ）对于①f（+T）=2+T=22T=f（）2T，故不是线周期函数对于②f（+T）=log2（+T）≠f（）+T，故不是线周期函数对于③f（+T）=[+T]=+T=f（）+T，故是线周期函数故答案为：③（Ⅱ）证明：∵g（）为线周期函数，其线周期为T，∴存在非零常数T，对任意∈R，g（+T）=g（）+T恒成立．∵G（）=g（）﹣，∴G（+T）=g（+T）﹣（+T）=g（）+T﹣（+T）=g（）﹣=G（）．∴G（）=g（）﹣为周期函数．（Ⅲ）∵φ（）=sin+为线周期函数，∴存在非零常数T，对任意∈R，sin（+T）+（+T）=sin++T．∴sin（+T）+T=sin+T．令=0，得sinT+T=T；令=π，得﹣sinT+T=T；①②两式相加，得2T=2T．∵T≠0，∴=1检验：当=1时，φ（）=sin+．存在非零常数2π，对任意∈R，φ（+2π）=sin（+2π）++2π=sin++2π=φ（）+2π，∴φ（）=sin+为线周期函数．综上，=1．。
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2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．94．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog 2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到单位．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为．三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．2016-2017学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题（每小题4分，共32分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．（4分）已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈∁U（M∪P）B．2∈∁U（M∪P）C．3∈∁U（M∪P）D．6∉∁U（M∪P）【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以∁U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；故选：C．2．（4分）下列函数在区间（﹣∞，0）上是增函数的是（）A．f（x）=x2﹣4x B．g（x）=3x+1 C．h（x）=3﹣x D．t（x）=tanx【解答】解：对于A，f（x）=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，在（﹣∞，0）上是单调减函数，不满足题意；对于B，g（x）=3x+1在（﹣∞，0）上是单调增函数，满足题意；对于C，h（x）=3﹣x=是（﹣∞，0）上的单调减函数，不满足题意；对于D，t（x）=tanx在区间（﹣∞，0）上是周期函数，不是单调函数，不满足题意．故选：B．3．（4分）已知向量=（1，3），=（3，t），若∥，则实数t的值为（）A．﹣9 B．﹣1 C．1 D．9【解答】解：向量=（1，3），=（3，t），若∥，可得t=9．故选：D．4．（4分）下列函数中，对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是（）A．f（x）=x B．f（x）=sinx C．f（x）=cosx D．f（x）=log2（x2+1）【解答】解：对于任意的x∈R，满足条件f（x）+f（﹣x）=0的函数是奇函数．A，非奇非偶函数；B奇函数，C，D是偶函数，故选B．5．（4分）代数式sin（+）+cos（﹣）的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【解答】解：sin（+）+cos（﹣）=．故选：C．6．（4分）在边长为1的正方形ABCD中，向量=，=，则向量，的夹角为（）A．B．C．D．【解答】解：设向量，的夹角为θ，以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为x轴，建立直角坐标系，∴A（0，0），B（1.0），C（1，1），D（0，1），∵向量=，=，∴E（，1），F（1，），∴=（，1），=（1，），∴||=，=，•=+=，∴cosθ===，∴θ=，故选：B7．（4分）如果函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称（|φ|＜），那么函数f（x）图象的一条对称轴是（）A．x=﹣B．x=C．x=D．x=【解答】解：∵函数f（x）=3sin（2x+φ）的图象关于点（，0）成中心对称，∴2×+φ=kπ，k∈Z，解得：φ=kπ﹣，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ=，可得：f（x）=3sin（2x+），∴令2x+=kπ+，k∈Z，可得：x=+，k∈Z，∴当k=0时，可得函数的对称轴为x=．故选：B．8．（4分）已知函数f（x）=其中M∪P=R，则下列结论中一定正确的是（）A．函数f（x）一定存在最大值B．函数f（x）一定存在最小值C．函数f（x）一定不存在最大值D．函数f（x）一定不存在最小值【解答】解：由函数y=2x的值域为（0，+∞），y=x2的值域为[0，+∞），且M∪P=R，若M=（0，+∞），P=（﹣∞，0]，则f（x）的最小值为0，故D错；若M=（﹣∞，2），P=[2，+∞），则f（x）无最小值为，故B错；由M∪P=R，可得图象无限上升，则f（x）无最大值．故选：C．二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）9．（4分）函数y=的定义域为[2，+∞）．【解答】解：由2x﹣4≥0，得2x≥4，则x≥2．∴函数y=的定义域为[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．10．（4分）已知a=40.5，b=0.54，c=log0.54，则a，b，c从小到大的排列为c＜b ＜a．【解答】解：∵a=40.5＞40=1，0＜b=0.54＜0.50=1，c=log0.54＜log0.51=0，∴a，b，c从小到大的排列为c＜b＜a．故答案为：c＜b＜a．11．（4分）已知角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣，则tanα=﹣．【解答】解：∵角α终边上有一点P（x，1），且cosα=﹣=，∴x=﹣，∴tanα==﹣，故答案为：﹣．12．（4分）已知△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1）（i）若∠ACB是直角，则x=（ii）若△ABC是锐角三角形，则x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．【解答】解：（i）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），∵∠ACB是直角，∴=（﹣2﹣x）（2﹣x）+（﹣1）（﹣1）=x2﹣3=0，解得x=．（ii）∵△ABC中，点A（﹣2，0），B（2，0），C（x，1），∴=（﹣2﹣x，﹣1），=（2﹣x，﹣1），=（x+2，1），=（4，0），=（x﹣2，1），=（﹣4，0），∵△ABC是锐角三角形，∴，解得﹣2＜x＜﹣或x＞2．∴x的取值范围是（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．故答案为：，（﹣2，﹣）∪（2，+∞）．13．（4分）燕子每年秋天都要从北方到南方过冬，鸟类科学家发现，两岁燕子的飞行速度v与耗氧量x之间满足函数关系v=alog2．若两岁燕子耗氧量达到40个单位时，其飞行速度为v=10m/s，则两岁燕子飞行速度为25m/s时，耗氧量达到320单位．【解答】解：由题意，令x=40，v=1010=alog24；所以a=5；v=25 m/s，25=5 log，得到x=320单位．故答案为：320．14．（4分）已知函数f（x）=|ax﹣1|﹣（a﹣1）x（1）当a=时，满足不等式f（x）＞1的x的取值范围为（2，+∞）；（2）若函数f（x）的图象与x轴没有交点，则实数a的取值范围为[，1）．【解答】解：（1）a=时，f（x）=|x﹣1|+x=，∵f（x）＞1，∴，解得x＞2，故x的取值范围为（2，+∞），（2）函数f（x）的图象与x轴没有交点，①当a≥1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，②当0＜a＜1时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：要使两个图象无交点，斜率满足：a﹣1≥﹣a，∴a≥，故≤≤a＜1③当a≤0时，f（x）=|ax﹣1|与g（x）=（a﹣1）x的图象：两函数的图象恒有交点，综上①②③知：≤a＜1故答案为：（2，+∞），[，1）三.解答题（本大题共4小题，共44分）15．（12分）已知函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴（其中b，c为常数）（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）记函数g（x）=f（x）﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，求实数c 的取值范围；（Ⅲ）求证：不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2+bx+c，其对称轴为y轴，∴=0，解得：b=0；（Ⅱ）由（I）得：f（x）=x2+c，则g（x）=f（x）﹣2=x2+c﹣2，若函数g（x）有两个不同的零点，则△=﹣4（c﹣2）＞0，解得：c＜2；（Ⅲ）证明：函数f（x）=x2+c的开口朝上，∵|c2+1|2﹣|c|2=c4+c2+1=（c2+）2+＞0恒成立，故|c2+1|＞|c|，故不等式f（c2+1）＞f（c）对任意c∈R成立．16．（12分）已知如表为“五点法”绘制函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象时的五个关键点的坐标（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）（Ⅰ）请写出函数f（x）的最小正周期和解析式；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；（Ⅲ）求函数f（x）在区间[0，]上的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由表格可得A=2，=+，∴ω=2，结合五点法作图可得2•+φ=，∴φ=，∴f（x）=2sin（2x+），它的最小正周期为=π．（Ⅱ）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递减区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅲ）在区间[0，]上，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f （x）∈[﹣，2]，即函数f（x）的值域为[﹣，2]．17．（10分）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣，0），B（，0），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当•=﹣时，求α的值；（Ⅲ）在x轴上是否存在定点M，使得||=||恒成立？若存在，求出点M 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用α的三角函数表示点P的坐标为（cosα，sinα）；（Ⅱ），，•=﹣时，即（cos）（cos）+sin2α=，整理得到cos，所以锐角α=60°；（Ⅲ）在x轴上假设存在定点M，设M（x，0），，则由||=||恒成立，得到=，整理得2cosα（2+x）=x2﹣4，所以存在x=﹣2时等式恒成立，所以存在M（﹣2，0）．18．（10分）已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x）=Tf （x+T）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）是Ω函数．（Ⅰ）判断函数f（x）=x，g（x）=sinπx是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）说明：请在（i）、（ii）问中选择一问解答即可，两问都作答的按选择（i）计分（i）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是偶函数，则f（x）是周期函数；（ii）求证：若函数f（x）是Ω函数，且f（x）是奇函数，则f（x）是周期函数；（Ⅲ）求证：当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．【解答】解：（I）①对于函数f（x）=x是Ω函数，假设存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），则T（x+T）=x，取x=0时，则T=0，与T≠0矛盾，因此假设不成立，即函数f（x）=x不是Ω函数．②对于g（x）=sinπx是Ω函数，令T=﹣1，则sin（πx﹣π）=﹣sin（π﹣πx）=﹣sinπx．即﹣sin（π（x﹣1））=sinπx．∴Tsin（πx+πT）=sinπx成立，即函数f（x）=sinπx对任意x∈R，有Tf（x+T）=f （x）成立．（II）（i）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf（﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x），∴Tf（﹣x+T）=Tf（x+T），T≠0，化为：f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴f（2T+t）=f（﹣t）=f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（ii）证明：∵函数f（x）是Ω函数，∴存在非零常数T，Tf（x+T）=f（x），Tf （﹣x+T）=f（﹣x）．又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣Tf（x+T）=Tf（﹣x+T），T≠0，化为：﹣f（x+T）=f（﹣x+T），令x﹣T=t，则x=T+t，∴﹣f（2T+t）=f（﹣t）=﹣f（t），可得：f（2T+t）=f（t），因此函数f（x）是周期为2T的周期函数．（III）证明：当a＞1时，假设函数f（x）=a x是Ω函数，则存在非零常数T，Tf （x+T）=f（x），∴Ta x+T=a x，化为：Ta T a x=a x，∵a x＞0，∴Ta T=1，即a T=，此方程有非0 的实数根，因此T≠0且存在，∴当a＞1时，函数f（x）=a x一定是Ω函数．选做题（本题满分10分）19．（10分）记所有非零向量构成的集合为V，对于，∈V，≠，定义V（，）=|x∈V|x•=x•|（1）请你任意写出两个平面向量，，并写出集合V（，）中的三个元素；（2）请根据你在（1）中写出的三个元素，猜想集合V（，）中元素的关系，并试着给出证明；（3）若V（，）=V（，），其中≠，求证：一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．【解答】解：（1）比如=（1，2），=（3，4），设=（x，y），由•=•，可得x+2y=3x+4y，即为x+y=0，则集合V（，）中的三个元素为（1，﹣1），（2，﹣2），（3，﹣3）；（2）由（1）可得这些向量共线．理由：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），由•=•，可得as+bt=cs+dt，即有s=t，即=（t，t），故集合V（，）中元素的关系为共线；（3）证明：设=（s，t），=（a，b），=（c，d），=（u，v），=（e，f），若V（，）=V（，），即有as+bt=cs+dt，au+bv=ue+fv，解得a=•c+•e+，可令d=f，可得λ1=，λ2=，则一定存在实数λ1，λ2，且λ1+λ2=1，使得=λ1+λ2．。