七下实数辅导讲义终极版
最新人教版七下数学 第六章 实数 单元解读课件
算术平方根，被开方数，平方根（二次方根），开平方，立方根 （三次方根），开立方，根指数，无理数，实数
平方根的性质，立方根的性质，实数的性质
2种运算
无理数大小的估算，实数的运算
2个应用
算术平方根的应用，立方根的应用
5个比较实数大小 的常用方法
估算法，分析法，作差法，平方法，特殊值法
5种思想方法
数形结合思想，分类讨论思想，整体思想，方程思想，类比思想
核心素养
01 模型观念
——构建方程模型解决问题
本章中，当已知两 式为一正数的平方根时， 常借助这两式相等或互为 相反数构建方程求解.
02 运算能力
——运用整体思想解方程
运算能力主要是指根 据法则和运算律进行正确 运算的能力.它有助于形成 规范化思考问题的品质， 养成一丝不苟、严谨求实 的科学态度.
数
系 的 扩 充 负数
虚数
分数
无理数 有理数
实
数
复
数
整数
自然数
1. 了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术 平方根、立方根.
2. 了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，
课
会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算
器计算平方根和立方根.
教材分析
实数的纵向联系
1
七年级上册
第一章 有理数 第二章 整式的加减
七年级下册 第六章 实数
第十六章 二次根式 第十七章 勾股定理
八年级下册
3
4
5
八年级上册
第十四章 整式的乘法 与因式分解
第十五章 分式
九年级上册
第二十一章 一元二次方程 第二十二章 二次函数
第03讲实数(教案)
突破方法：分类讲解实数运算的规则，给出具体的例题，引导学生逐步掌握运算方法。
（4）实数与实际问题的联系：学生可能难以相关的题目，引导学生运用实数知识解决问题，提高学生的实际应用能力。
四、教学流程
举例：讲解实数定义时，可通过具体的数（如3、2/3、π等）来说明实数的涵盖范围。
（2）实数的大小比较：使学生掌握实数的大小比较法则，并能熟练运用。
举例：比较两个实数（如有理数和无理数）的大小，解释大小比较的原理。
（3）实数的运算：包括实数的加减乘除、乘方和开方运算，使学生能够熟练进行实数运算。
举例：给出具体的实数运算题目，如（2+π）×3、√2+√3等，指导学生按照运算规则进行计算。
首先，我发现通过日常生活中的例子来导入新课，确实能够激发学生的兴趣和好奇心。比如，通过讨论圆周率π这个无理数，学生们对实数的概念有了更加直观的认识。这种联系实际的教学方法有助于提高学生的学习积极性。
然而，我也注意到在讲解实数的大小比较时，部分学生仍然感到困惑，特别是涉及到无理数的大小比较。这可能是因为这个概念比较抽象，需要更多的实例和练习来巩固。在今后的教学中，我需要设计更多的对比练习，让学生在实践中掌握大小比较的方法。
5.实数的运算：实数的加减乘除运算，以及乘方和开方运算。
二、核心素养目标
《数学》七年级下册第五章第一节实数教学，核心素养目标如下：
1.理解实数的概念及其分类，培养学生的抽象思维能力。
2.通过对无理数的探索，激发学生的探究精神，提高发现问题、分析问题的能力。
3.培养学生掌握实数大小比较的方法，增强学生的逻辑思维能力。
另外，实数的运算部分，学生们普遍对无理数的运算感到不太适应。这可能是因为他们在之前的数学学习中，主要接触的是有理数的运算。针对这一点，我计划在下一节课中，通过分类讲解和举例，让学生逐步熟悉无理数的运算规则。
第6章 实数 全章复习与巩固 人教版数学七年级下册知识讲解
专题6.10 实数（全章复习与巩固）（知识讲解）【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.【要点梳理】要点一：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论要点二：实数有理数和无理数统称为实数.1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数特别说明：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质： 在实数范围内，正数和零统称为非负数。
我们已经学习过的非负数有如下三种形式： （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； （2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； （3）任何非负数的算术平方根是非负数，即(). 非负数具有以下性质： （1）非负数有最小值零； （2）有限个非负数之和仍是非负数； （3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较： 有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.【典型例题】类型一、实数➽➼平方根✬✬立方根1．（1）计算：．（2）求的值：．【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根据算术平方根，立方根，化简绝对值进行计算即可求解；（2）根据平方根的定义解方程即可求解．解：（1）；；（2）开平方得，解得或．【点拨】本题考查了求一个数的算术平方根，立方根，根据平方根的定义解方程，正确的计算是解题的关键．平方根：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫的平方根，其中属于非负数的平方根称之为算术平方根．立方根：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根．举一反三：【变式1】求下列各式中的．(1) ；（2）．【答案】(1) (2)【分析】（1）利用求平方根的方法解方程即可；（2）利用求立方根的方法解方程即可．（1）解：∵，∴，∴，解得；（2）解；∵，∴，∴．【点拨】本题主要考查了求平方根和求立方根的方法解方程，熟知求平方根和求立方根的方法是解题的关键．【变式2】“”就是一个著名的数学“诡辩”，有人用下述方法“说明”这一结果是“正确”的．因为，所以，，，，所以．“2＝3”这个结果显然是不正确的，但问题出现在哪里呢？请你找一找，并与同学交流．【答案】错在由得这一步【分析】由可得出，但不能得出，所以错在由得这一步．解：错在由得这一步，显然，，所以．【点拨】此题主要考查了利用平方根、平方运算法则解决阅读题目的问题，特别注意可得出，但不能得出，这是学生开平方时常犯的错误．2．已知的平方根是，的立方根是2．(1) 求a，b的值；(2) 求的算术平方根．【答案】(1) ，；(2) 的算术平方根为．【分析】（1）由平方根的定义和列方程的定义可求得，，从而可求得a、b的值；（2）把a、b的值代入求得代数式的值，最后再求其算术平方根即可．（1）解：∵的平方根是，的立方根是2，∴，，解得：，；（2）解：∵，，∴，∴的算术平方根为．【点拨】本题主要考查的是平方根、算术平方根和立方根的定义，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．举一反三：【变式1】已知的算术平方根为3，的一个平方根为，求的立方根．【答案】的立方根为2【分析】分别根据的算术平方根为3，的一个平方根为，求出的值，再求出的值，最后求出其立方根即可．解：的算术平方根为3，，即，的一个平方根为，，即，，的立方根为．故答案为：的立方根为2．【点拨】本题考查了立方根、平方根、算术平方根的定义，根据题意求出的值是解题的关键．【变式2】已知某正数的两个平方根分别是和，b的立方根是，求(1) 该正数是多少？(2) 的算术平方根．【答案】(1) 49(2) 4【分析】（1）根据正数的两个平方根互为相反数，求出的值，进而求出这个正数即可；（1）先求出，代入代数式求出，再求出算术平方根即可．（1）解：由题意，得：，解得：；∴；∴该正数是：49；（2）解：∵b的立方根是，∴；∴，∴．【点拨】本题考查平方根的性质，以及算术平方根和立方根的定义．熟练掌握正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键．类型二、实数➽➼性质➽➼相关概念✬✬化简3．把下列各数填入相应的集合中：－3.1415926，0，，，，，，1.414，，（每两个2之间依次多一个1）（1）有理数集合：{}；（2）无理数集合：{}；（3）负实数集合：{}．【答案】（1）；（2）（每两个2之间依次多一个1）；（3）（每两个2之间依次多一个1）【分析】实数包括有理数和无理数，根据概念逐一进行填空即可．解：有理数集合：；无理数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}；负实数集合：{（每两个2之间依次多一个1）}；故答案为：；（每两个2之间依次多一个1）；（每两个2之间依次多一个1）．【点拨】本题主要考查了实数的定义，要求掌握实数的范围以及分类方法．举一反三：【变式1】一组实数按如下规律排列：，___，_____．(1) 两条横线上的实数分别____；(2) 第11、12个实数分别是_____．【答案】(1) ；(2) ；【分析】（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，据此即可求解；（2）按照（1）中的方法即可求解．解：（1）观察实数发现的系数分别为1，1，2，3，5，8……，从第三个数起，后一个数等于前面两个数的和，∴横线上的实数，的系数为5+8=13，8+13=21，所以横线上的实数分别为，（2）由（1）可知第8个数为，∴第9个数为，第10个数为，第11个数为，第12个数为，故答案为：，．【点拨】本题考查了实数的规律问题，观察数字中的系数，找到规律是解题的关键．【变式2】已知：a，b均为有理数，且满足．化简．【答案】当x＜-2时，；当-2≤x≤1时，；当x＞1时，【分析】根据已知等式可得关于a和b的方程，求出a，b的值，再代入，根据x的范围分类讨论，去绝对值化简即可．解：，a，b均为有理数，∴，∴，，∴a=-4，b=1，∴=，当x＜-2时，==；当-2≤x≤1时，==；当x＞1时，==．【点拨】本题考查了实数的运算，化简绝对值，解题的关键是根据实数的对应形式得到a和b的值．4．如图，已知BC⊥OA，BC＝3，点A在数轴上，OA＝OB．(1) 求出数轴上点A所表示的数；(2) 比较点A所表示的数与﹣3.5的大小．【答案】(1) (2) 点A所表示的数小于﹣3.5【分析】（1）用勾股定理求出OB的长，进而得到OA的长度，即可写出数轴上点A 所表示的数；（2）先计算两数的绝对值，再得到＞3.5，再根据两个负数比较大小，绝对值越大的负数反而小，即可得到答案．（1）解：∵BC⊥OA，∴∠BCO＝90°，∵BC＝3，OC＝2，∴，∵OA＝OB，∴OA＝，∵点A在数轴上原点O的左侧，∴数轴上点A所表示的数是﹣．（2）解：｜﹣｜＝，｜﹣3.5｜＝3.5，∵，，∴＞3.5，∴﹣＜﹣3.5，∴点A所表示的数小于﹣3.5．【点拨】此题考查了勾股定理、比较实数的大小、利用数轴表示无理数等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．举一反三：【变式1】实数的整数部分是x，小数部分是y．(1) 求x与y的值；(2) 求的值．【答案】(1) (2) 0【分析】（1）先确定的取值范围，再求x、y；（2）把x与y的值代入，化简绝对值，再加减．（1）解：∵，即，∴；（2）∵，∴．【点拨】此题考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．【变式2】观察下列等式，并回答问题：①；②；③；④；……(1) 请写出第⑤个等式：______，化简：______；(2) 写出你猜想的第n个等式：______；（用含n的式子表示）(3) 比较与1的大小．【答案】(1) ；(2)(3)【分析】（1）根据已知等式的规律可以得到第⑤个等式，由于，可以根据规律得到结果；（2）由前4个等式可以猜想第n个等式为；（3）利用作差法比较大小．（1）解：根据前4个式子可得第⑤个等式为：，，故答案为：；．（2）解：由前4个等式可以猜想第n个等式为，故答案为：．（3）解：∵，∴．【点拨】本题属于探究规律类试题，主要考查绝对值的性质、实数大小比较，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．类型四、实数➽➼实数的混合运算➼运算✬✬化简5．实数的计算：(1) ；(2) ．【答案】(1) (2)【分析】（1）先计算平方根和立方根，再计算加减；（2）先计算平方根、立方根和绝对值，再计算加减；（1）解：（2）．【点拨】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．举一反三：【变式1】计算下列各题(1) ；（2）【答案】(1) (2)【分析】（1）先化简二次根式和绝对值，再合并同类二次根式，即可得到答案；（2）先根据立方根，二次根式，负整数指数幂和零指数幂进行化简，再进行乘法运算，最后合并同类项，即可得到答案．（1）解：===（2）解：===【点拨】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．【变式2】已知的整数部分为a，的小数部分为b，(1) 求的值；(2) 求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）先估算出，进而得到，由此求出a、b的值即可得到答案；（2）根据（1）所求进行求解即可．（1）解：∵，∴，∴，，∴，∴，∴；（2）解：由（1）得．【点拨】本题主要考查了无理数的估算，实数的混合计算，代数式求值，正确求出a、b的值是解题的关键．6．计算：(1)(2)【答案】(1) (2)【分析】（1）根据二次根式，三次根式的性质化简，再根据实数的混合运算即可求解；（2）根据乘方运算，绝对值性质，二次根式的性质，三次根式的性质化简，再根据实数的运算即可求解．（1）解：，故答案为：．（2）解：，故答案为：．【点拨】本题主要考查二次根式，三次根式的性质，绝对值的性质，幂的运算，实数的混合运算，掌握二次根式，三次根式的性质，实数的混合运算是解题的关键．举一反三：【变式1】计算(1) (2)【答案】(1) (2)【分析】（1）先计算乘方与开方，并去绝对值符号，再计算加减即可．（2）先计算开方与乘方，再计算加减即可．（1）解：原式；（2）解：原式．【点拨】本题考查实数的混合运算，求绝对值，平方根和立方根，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．【变式2】计算(1) ；（2）已知，求的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）先逐项化简，再算加减即可；（2）先移项，再两边都除以8，然后根据立方根的定义求解即可．解：（1）．（2），，，．【点拨】本题考查了实数的混合运算，利用立方根的定义解方程，熟练掌握算术平方根的定义和立方根的定义是解答本题的关键．类型五、实数➽➼实数的运算✬✬应用7．已知，其中是整数，，求的值．【答案】试题分析：可以先估算出整数部分，再计算出的值,最后作差.解：，，=．举一反三：【变式1】若整数的两个平方根为，，为的整数部分．(1) 由题意得， ， ， ．(2) 求的平方根；(3) 现规定一种新运算※，满足※，求※的值．【答案】(1)4，36，3(2)的平方根为(3)※的值为12【分析】（1）根据平方根的概念列出方程求出a和m的值，根据无理数估算的方法求出b的值；（2）将m和a的值代入求解即可；（3）根据新定义的运算法则求解即可．解：（1）由题意得：，，，，，的整数部分为3，，，，，故答案为：4，36，3；（2）当，时，，的平方根为；（3）当时，※，※的值为12．【点拨】本题主要考查立方根、平方根及无理数的估算，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的定义．【变式2】探究题：(1) 计算下列各式，完成填空：＝6，＝，＝，＝(2) 通过上面的计算，比较左右两边的等式，你发现了什么？请用字母表示你发现的规律是；请用这一规律计算：．【答案】(1)6，，(2)（a≥0，b≥0），【分析】（1）根据算术平方根的定义进行计算；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根，根据此规律得到，然后约分后根据算术平方根定义计算．解：（1），，；故答案为：6，，；（2）比较得到的等式发现两个非负数的算术平方根的积等于这两个数的积的算术平方根.用字母表示为：（a≥0，b≥0）．故答案为：（a≥0，b≥0），【点拨】本题考查了实数的运算：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．。
七年级数学下《实数》课件
七年级数学下《实数》课件
幻灯片1：封面
•标题：《实数》课件
•副标题：七年级数学下册
•（此处可添加授课教师的姓名、日期等）
幻灯片2：课程目标
•掌握实数的概念和性质。
•理解实数的运算方法。
•培养数学思维能力和解决问题的能力。
幻灯片3：实数的基本概念
•有理数和无理数的总称。
•与数轴上的点一一对应。
幻灯片4：实数的分类
•正数、负数、零的定义与例子。
幻灯片5：实数的运算规则
•加法、减法、乘法、除法的规则与例子。
幻灯片6：实数的性质
•有序性、四则运算性质、绝对值的性质等。
幻灯片7：实数的应用
•生活中的实例，如长度、质量、时间的测量。
•数学中的定理和公式，如勾股定理等。
幻灯片8：总结与回顾
•实数的主要知识点总结。
•课堂互动与答疑。
幻灯片9：作业与预习
•布置相关练习题。
•预习下一节内容，了解无理数的基本概念。
七年级下册实数以及实数的运算讲义
环 球 雅 思 教 育 学 科 教 师 讲 义年 级 ： 上 课 次 数 ：学 员 姓 名 ： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段教 学 内 容【基础知识网络总结与新课讲解】6.2 实 数知识点一 无理数的概念定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
例1 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----有理数{ } 无理数{ }想一想：有理数与无理数的区别？注意：判断一个数是否为无理数，不能只从形式上看，带根号的不一定是无理数，只有开方开不尽的数是无理数。
练习：下列说法正确的是（ ）A.分数是无理数B.无限小数是无理数C.不能写成分数形式的数是无理数D.不能再数轴上表示的数是无理数知识点二 实数1. 实数：有理数和无理数统称为实数 实数的分类：① 按定义分类： ② 按大小分类例2.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。
①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。
2. 实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a、b互为相反数。
②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。
1ab a=⇔、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
初中数学七年级下册第六章：实数知识讲解
举一反三：
【变式】已知 x、y 是实数，且 3x 4 +（y2－6y+9）=0，若 axy－3x=y，则实数 a 的值是（ ）
1
A．
4
1
B．－
4
7
C．
4
7
D．－
4
【答案】A. ∵ 3x 4 +（y－3）2=0，
3, 4
a3
1 1 3
.
4,
a4
1 . 1 4
1, 3
3
4
a5
1. 1 ( 1)
3, 4
a6
1 1 3
.
4, ……..三个一循环，因此 a2009
a2
1 1 ( 1)
3 .
4
3
4
3
类型三、实数大小的比较
3．若 a 2007 ， b 2008 ，试不用将分数化小数的方法比较 a、b 的大小．
2008
要点诠释：
若 a a, 则 a 0、 a -a, 则 a 0、 a-b 表示的几何意义就是在数轴上表示数 a 与数 b 的点之间
的距离.
考点三、实数与数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可． 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．
C．3 个
D．4 个
【答案】C；
【解析】在上面所给的实数中，只有 3 ， ，－0.1010010001…这三个数是无理数，其它五个数都是
2
有理数，故选 C. 【点评】对实数分类，不能只为表面形式迷惑，而应从最后结果去判断．首先明确无理数的概念，即
“无限不循环小数叫做无理数”.一般来说，用根号表示的数不一定就是无理数，如 4 =2 是
人教版七年级数学下册全册第六章《实数》PPT课件
规律：被开方数的小数点向右每移动 2 位,它的 算术平方根的小数点就向右移动 1 位;被开方数 的小数点向左每移动 2 位,它的算术平方根的小 数点就向左移动 1 位.
(2)用计算器计算 3(精确到0.001),并利用你在(1) 中发现的规律说出 0.03, 300, 30 000 的近似值,你 能根据 3 的值说出 30 是多少吗?
2.会求非负数的算术平方根，掌握算术平方根的非负 性．（重点、难点）
导入新课
历史感悟
毕达哥拉斯(公元前570年～公元前500年) 公元前500多年古希腊的哲学家、数学家、天文学家。
导入新课
万物皆数
导入新课
情境引入 学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想
裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得 意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？ 你能帮小明算一算吗？
所以这个数是3或-3. 会不会是巧合呢?
解:设每块地板砖的边长为x m.由题意得
240x2 60, x2 1 . 4
x 1 1 0.5 42
故每块地板砖的边长是0.5 m.
拓展提升
已知：｜x+2y|+ 3x 7 (5y z)2 0
求x-3y+4z的值. 解：由题意得：
3x 7 0, x 2y 0,5y z 0,
所以正数 t 4 2 (秒). 即铁球到达地面需要2秒.
当堂练习
1.填空：（看谁算得又对又快） (1) 一个数的算术平方根是3，则这个数是 9 . (2) 一个自然数的算术平方根为a，则这个自然数 是_a_2_；和这个自然数相邻的下一个自然数是 a2+1 .
人教版七年级数学下册第六章实数复习课ppt精品课件
的 值 是 (C )
(A ) 6
(B) 10
(C ) 10
(D ) 不 能 确 定
4、下列运算正确的是（ ） A
(A) 3636
(C) -132 13
(B) 3.60.6 (D) 366
三、知识点应用
选择题：
5、在下列各数 0.51525354、 0 、 3 、
131 、 27 、 0 .2 、 6.10100100 01 11
2 、 计 算 ： 1 x x 1 x 2 1 。
三、知识点应用
计算题：
3、 计 算 ：5 52 5。 33
4 、 记 23的 整 数 部 分 为 a， 小 数 部 分 为 b, 求 代 数 式 b (a b ) 的 值 .
三、知识点应用
计算题：
5、若 3a4(4b3 求)20,
(
)2
a =a
(a ³ 0)
3 a3 a
( ) 3 a
3
=
a
(a为任何数) (a为任何数)
二、知识点分解－－数轴
每个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的 个点都表示一个实数。即实数和数轴上点是一一对应的。
数轴上每一个点
唯一一对应个实数
即点 数
每一个实数
唯一对数应 轴上一个点
即数 点
1、(－3)2的算术平方根是（ ） D
（A）无意义 （C）－3
（B）±3 （D） 3
2 、 已 知 |x 3|y20 ,则 x2 2 x yy
的 值 是 （ C ）
(A) 1 (C) 25
(B) 5 (D) 不 能 确 定
三、知识点应用
选择题：
3 、 已 知 x 2y 80 ,则x2 2 x yy2
人教版七年级数学下册 实数 讲义
实数知识点一、平方根我们学过的加法和减法互为逆运算，乘法和除法也互为逆运算，看着它们成双成对滴～那平方呢？ 谁和“平方”互为逆运算呢？好寂寞啊～让我们帮它找到人生中的另一半吧！例1、探究填空（ ）2=4 （ ）2=25 （ ）2=81 （ ）2=2 （ ）2=0 （ ）2=4 （ ）2=25 （ ）2=81 （ ）2=2 （ ）2=0 总结：1、我们把“平方”的逆运算叫做“开平方”，所得的结果叫做平方根2、正数的平方根有___个，它们互为_________；0的平方根是___；负数______平方根大神心得：怎么找平方根？当然是优先想乘法口诀喽～还要注意±号例2、下列各数有平方根吗？如果有，求出它们的平方根（1）9 （2）49 （3）81 （4）64 （5）121（6）-4 （7）-22 （8）（-2）2 （9）0 （10）3625（11）121144（12）0.01 （13）0.16 （14）1.21 （15）1.44知识点二、算术平方根刚才我们讲了平方根的概念，但生活中有些情况是不能用负数的。
于是我们要引入“算术平方根”的概念例1、正方形的边长为9，则它的边长为______。
于是我们就说9的算术平方根是_______，记为______=______例2、下列说法正确的是（）A、±4是16的算术平方根B、-6是（-6）2的算术平方根C、0.01是0.1的算术平方根D、5是25的算术平方根例3、16的算术平方根是________1、（-3）2的平方根是（）A、9B、±9C、3D、±32、数字3的平方根是（）A、3B、±3C、3D、±33、已知x是169的平方根，且2x+3y=x2，则y的值是（）143A、11B、±11C、±15D、65或34、下列各式表示正确的是（ ） A ．525±= B ．525=± C ．525±=± D ．552-=-±）（5，则（x +3）2的值是（ ）A ．81B ．27C ．9D ．36、某数的绝对值的算术平方根等于它本身，这个数是（ ）A ．-1或1B ．1或0C ．-1或0D ．1，-1或0 7、一个数的算术平方根是a ） A ．22a + B 2C D8、下列说法中正确的是( )A 、4是8的算术平方根B 、16的平方根是4C 、6是6的平方根D 、-3没有平方根9、（-6）2的算术平方根是_________知识点三、根式的运算法则经过刚才的学习，我们知道“平方”和“开平方”互为逆运算。
最新七下实数辅导讲义(一)终极版资料
)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数； ② 0只有一个平方根，它就是0本身； ③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求. 3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致； 4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
人教版七年级数学下册第六章实数复习ppt精品课件
4.立方根的定义：
一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数就
叫做a的立方根，也叫做a的三次方根．记作 .
3a
其中a是被开方数，３是根指数，符号“ “３三次根号”．
”读做
5.立方根的性质：
一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零。
区别
你知道算术平方根、平方根、立方根联系和区别
特殊：0的算术平方根 是0。
记作： 0 0
2. 平方根的定义：
一般地，如果一个数的平方等于a ，那么这个数就叫做a
平方根（或二次方根）．
这就是说，如果x 2 = a ，那么 x 就叫做 a 的
平方根．a的平方根记为
3.平方根的性质：
正数有2个平方根，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根。
中，无理数的个数是（ ） B
(A) 2 ( B) 3 (C) 4 (D) 5
选择题： 6、已知一个正方形的边长为a，面积为S， 则（ C）
(A) S a (B ) S的 平 方 根 是 a (C) a是S的平方根 (D)a S
计算题：
1 、 已 知a 2b 3 0 ,求 （ a b )2
的 值 。 2 、 计 算 ： 1 x x 1 x 2
1.
64 3 64 9
(1) 2. 2
2007
92
3
3.
2 3
4. 3 222323
解答
1.如果一个数的平方根为a+1和2a-7, 求这个数
2.已知y=
1 2x1求12 （2xx+y）的平方根
表示方法
a的取值
性 正数
0
质
负数
《实数》 讲义
《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。
简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。
有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。
例如3、－5、0、1/2 等等。
而无理数呢，则是无限不循环小数。
比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。
二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。
如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。
正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。
负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。
零，既不是正实数，也不是负实数。
从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。
有理数又可以进一步细分为整数和分数。
整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。
三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。
2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。
绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。
四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。
七年级数学下册第六章实数6.3实数讲义新人教版本-完结
B．－5与 25 D．︱－6︱与－6
课后巩固
13．化简︱2－ 3︱＋ 3 ＝
(A )
A．2
B. 3
C．2 3－2
D．2－2 3
14．化简 3 8 ＋ 16 的结果为
(A )
A．2
B．－2
C．±2
D．2 2 ＋4
课后巩固
15．下列运算正确的是 A． (13)2 13 C． 3 5 2 5 5
6.3 实 数 (二)
1 …核…心…目…标…..
…
2…课…前…预…习…..
…
3 …课…堂…导…学…..
…
4 …课…后…巩…固…..
…
5 …培…优…学…案…..
…
核心目标
能熟练进行实数运算，会比较两个实数的大小，了 解实数与数轴上的点一一对应的关系．
课前预习
1．实数与数轴上的点是_一___一__对__应__关系，即每一个实 数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的 每一个点都表示___一__个__实__数_____．
6
B． 1
6
C．－6
(A) D．6
4．3 64 的绝对值是
A．－4
B．4
C． 1
4
(B ) D. 1
4
5．下列各数中，互为相反数的是
(C )
A．－2与
1 2
B．︱ 2︱与 2
C． (2)2 与 3 8
D． 3 8 与 3 8
课堂导学
知识点2：实数的有关计算 【例2】 计算：︱ 2－ 3 ︱＋2 2 ＝________． 【解析】 先去掉绝对值符号，再进行运算． 【答案】 3 ＋ 2 . 【点拔】实数的运算法则、运算律与有理数的运算法
七下实数辅导讲义(一)终极版
七下实数辅导讲义(一)终极版-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1)(无限不循环小数负有理数正有理数无理数⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧--⎩⎨⎧---)()32,21()32,21()()3,2,1()3,2,1,0(无限循环小数有限小数负分数正分数小数分数负整数自然数整数有理数、 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧实数第六章 实数 辅导讲义【知识要点】 1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a 的平方根,也叫做a 的二次方根。
即：如果x 2=a ，则x 叫做a的平方根，记作“a 称为被开方数）。
（2）平方根的性质：① 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；② 0只有一个平方根，它就是0本身；③ 负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a（5有意义的条件是a ≥0。
（6）公式：2=a （a ≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a ，这个数就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x 3=a,把x 叫做a 的立方根。
数a 的立方根用符号表示，读作“三次根号a ”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、 平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身，②一个负数的绝对值是它的相反数，③零的绝对值是零。
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第六章实数辅导讲义【知识要点】1、平方根（1）定义：一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫做a的二次方根。
即：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“a称为被开方数）。
（2）平方根的性质：①一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；② 0只有一个平方根，它就是0本身；③负数没有平方根.（3）开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方.（4）算术平方根：正数a的正的平方根叫做a（5a≥0。
（6）公式：2=a（a≥0）；2、立方根（1）定义：一般地，如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根(也叫做三次方根)。
即：如果x3=a,把x叫做a的立方根。
数aa”。
（2）立方根的性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
（3）开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
求一个数的立方根可以通过立方运算来求.3、平方根与立方根与区别：只有正数和0有平方根，负数没有平方根，正数的平方根有2个，并且互为相反数，0的平方根只有一个且为 0. 一个数只有一个立方根，并且符号与这个数一致；4、.识记常用平方表：（自行完成）5、实数的分类（1）按实数的定义分类：（2）按实数的正负分类：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数负数）零（既不是正数也不是正无理数正分数正整数正有理数正实数实数（3）实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反之，数轴上每一个点都表示一个实数，即数轴上的点与实数是一一对应关系．（4）、绝对值①一个正数的绝对值是它本身， ②一个负数的绝对值是它的相反数， ③零的绝对值是零。
一个数的绝对值表示这个数的点离开原点的距离。
注意：题型规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3有意义的条件是a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0（a 取任何数）。
5、区分2=a （a ≥0），与 2a =a6.非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
7.一般来说，被开放数扩大（或缩小）倍，算术平方根扩大（或缩小）倍，例如 8、.识记常用平方表：（自行完成）9.易混淆的三个数（自行分析它们）： （1）（2）（3） 10、识记下列各式的值，结果保留4个有效数字：2≈___________ 3≈___________ 5≈___________ 6≈___________ 7≈___________【典型例题】题型一、平方根定义的运用例1、一个正数的平方根为a -3和32+a ，求这个数变式1、已知12-a 和2+-a 是m 的平方根，求m 的值变式2、已知某个数的平方根分别为3+a 和152-a ，求a 和这个数例2、（1）下列各数是否有平方根，请说明理由 ① （-3）2② 0 2③ 2（2） 下列说法对不对为什么① 4有一个平方根 ② 只有正数有平方根③ 任何数都有平方根 ④ 若 a ＞0，a 有两个平方根，它们互为相反数 例3、求下列各数的平方根：(1) 9 (2) (3) (4)变式3、.下列语句中，正确的是（ ）A ．一个实数的平方根有两个，它们互为相反数B ．负数没有立方根C ．一个实数的立方根不是正数就是负数D ．立方根是这个数本身的数共有三个 变式4. 下列说法正确的是（ ）A ．-2是（-2）2的算术平方根B ．3是-9的算术平方根C ．16的平方根是±4D ．27的立方根是±3题型三、化简求值例1、已知30<<x ，化简：5)12(2--+x x 变式1、若21,011）（化简：x x x +=+++例2已知,,a b c 实数在数轴上的对应点如图所示，化简22()a a b c a b c --+-+-变式2、实数a 在数轴上的位置如图所示,化简:2)2(1-+-a a =变式3如图所示,数轴上A 、B 两点分别表示实数1，5，点B 关于点A的对称点为C ，则点C 所表示的实数为（ ）A. 5－2 B. 2－5 C. 5－3 －5例3、当a<0时，化简 的结果是( ) A 0 B -1 C 1 D ½例4、化简下列各式：(1) || (2) |π| (3) |-|【变式1】化简：题型四、利用非负数的性质求代数式三种常见的非负数：注意：(1)任何非负数的和仍是非负数；(2)若几个非负数的和是0，那么这几个非负数均为0.例1、已知实数x ，y 满足 2=0，则x-y 等于【变式1】 已知a 、b 是有理数，且满足（a －2）2+3-b =0，则a b 的值为【变式2】已知那么a+b-c 的值为___________【变式3】已知(x-6)2++|y+2z|=0，求(x-y)3-z 3的值。
求被开方数中的未知数的值例2若y=++2017，则x+y= 变式1、若，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3变式2、若x 、y 都是实数，且y=4x 233x 2+-+-，求xy 的值变式3、已知2322234+-+-=a a b ,求ba 11+的值题型五、解方程(1) 04)2(2=-+x (2) 027)3(3=++x(3) 0125273=+x (4) 25)12(2=-x题型六、整数部分和小数部分的探讨例1、已知x 是10 的整数部分，y 是10 的小数部分，求 1x y --（的平方根。
变式1设m 是137+的小数部分，n 为137-的小数部分，求2017)(n m +的值题型六 关于平方根、立方根的求值例1、求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(- 解（1）因为8192=，所以±81=±9.例2（1）64的立方根是（2）下列说法中：①3±都是27的立方根，②y y =33，③64的立方根是2，④()4832±=±。
正确的有 （ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个题型八、探索找规律1 （盐城市）现规定一种新的运算“※”：a ※b =a b，如3※2=32=9，则12※3＝（ ） 2 (资阳市)若“！”是一种数学运算符号，并且1！=1，2！=2×1=2，3！=3×2×1=6，4！＝4×3×2×1，…，则100!98!的值为( ) A ．5049 B ．99! C ．9900 D ．2！3．如果有理数a ,b 满足∣ab －2∣+∣1－b ∣=0，试求)2)(2(1)1)(1(11++++++b a b a ab +…+)2016)(2016(1++b a 的值．4.观察思考下列计算过程：∵ 112=121，∴ 121=11；同样：∵ 1112=12321，∴ 12321=111；…由此猜想：76543211234567898=题型八实数比较大小的方法1、方法一：差值比较法差值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个实数，先求出a 与b 的差，再根据当a-b ﹥0时，得到a ﹥b 。
当a-b ﹤0时，得到a ﹤b 。
当a-b ＝0，得到a=b 。
例1、比较1-与1-的大小。
3、方法二：商值比较法商值比较法的基本思路是设a ，b 为任意两个正实数，先求出a 与b 得商。
当＜1时，a ＜b ；当＞1时，a ＞b ；当=1时，a=b 。
来比较a 与b 的大小。
例2、比较与的大小。
4、方法三：平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a ＞0，b ＞0时，可由＞得到a ＞b 来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。
例3、比较2与3的大小 5、方法四：估算法估算法的基本是思路是设a ，b 为任意两个正实数，先估算出a ，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。
例4、比较与的大小。
综合演练一、填空题1、（）2的平方根是 2、若=25,=3,则a+b= 3、已知一个正数的两个平方根分别是2a ﹣2和a ﹣4，则a 的值是 4、ππ-+-43＝ ____________5、若m 、n 互为相反数，则n m +-5＝_________6、若 a a -=2，则a______07、若73-x 有意义，则x 的取值范围是8、16的平方根是±4”用数学式子表示为9、大于-2，小于10的整数有______个。
10、一个正数x 的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=__ ___，x=___ __。
11、当_______x 时，3x -有意义。
12、当_______x 时，32-x 有意义。
13、当_______x 时，x -11有意义。
14、当________x 时，式子21--x x 有意义。
15、若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为 二、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 2．下列计算正确的是（ ）A±2 B C.636=± D.992-=- 3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3 B22 4． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（ ）A 6)6(2-=--B 9)3(2=-C 16)16(2±=-D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--7．以下语句及写成式子正确的是（ ）A 、7是49的算术平方根，即749±=B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=-C 、7±是49的平方根，即749=±D 、7±是49的平方根，即±749±=8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、 9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（ ）A 、任意算术平方根是正数B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根 三、利用平方根解下列方程．（1）（2x-1）2-169=0； （2）4（3x+1）2-1=0；四、解答题 1、求972的平方根和算术平方根。