实数一对一辅导讲义

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初中数学实数部分复习及例题讲解

初中数学实数部分复习及例题讲解实数的复习学习目标：1. 了解数集概念及实数在代数部分所体现的基础性与重要性，会用数轴。

2. 巩固实数概念，平方根的广泛应用，正确使用科学记数法、近似数及有效数字。

3. 实数范围内，掌握多则运算，因式分解受数集大小的影响。

二. 重点、难点1. 实数及其分类①②③小数(即实数)④无理数不可化成分数。

无理数有两种形式，一种类似于的形式，另一种开不尽的数。

2. 数轴：是初中阶段数形结合的基础。

①三要素：原点、正方向、单位长度②实数与数轴上的点一一对应③距离公式3. 相反数①a的相反数是-a，0的相反数是0，成对出现;②a，b互为相反数③数轴上看，分居在原点两边，到原点距离相等4. 倒数①非零数a的倒数是，0没有倒数，也成对出现，的倒数是它本身;②a，b互为倒数;③数轴上看“三点四段”④实数范围内认识倒数5和，和，和，和，和和⑤负倒数5. 绝对值非负数①②数轴上看，a的绝对值就是数a所表示点到原点的距离。

③性质：<1><2><3>且<4>，特别地<5>6. 实数比大小①利用数轴;②利用绝对值比负数大小;③利用差④利用商比两正数大小a>0 b>0⑤利用平方比两正数大小a>0 b>0⑥利用被开方数⑦利用幂的性质比幂的大小或数的大小7. 平方根①叫a的平方根，记作;②正数有两个平方根算术平方根和负的平方根;0的平方根是0;负数没有平方根;③算术平方根非负数;④8. 立方根9. 非负数，正数和零统称非负数①;三种非负数②非负数之和仍为非负数，特别地，分别为零时和为零;③非负数之积为非负数，特别地，至少有一个为零时积为零;10. 完全平方数如果一个正数恰好是另一个有理数的平方，那么这个正数叫完全平方数，0也是完全平方数。

11. 科学记数法中，n整数，当N>1时，n等于N的整数位数减1，当时，n为负整数。

实数的概念-学生版初三人教版数学讲义一对一

B．2019
C．﹣
4、（济南 2019，第 1 题，4 分）﹣7 的相反数是（）
A．﹣7
B．﹣
C．7
5、（聊城 2019，第 1 题，4 分）﹣ 的相反数是（）
A．﹣
B．
C．﹣
6、（青岛第 1 题，3 分）- 3 的相反数是（）
A. - 3
B. - 3 3
C. 3
D． D．1 D．
D. 3
3
A．2019
B．﹣2019
C．
D．（﹣2）0 D．﹣
6、（济南 2019，第 5 题，4 分）实数 a、b 在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是（）
A．a﹣5＞b﹣5
B．6a＞6b
C．﹣a＞﹣b
D．a﹣b＞0
7、（德州 2019，第 13 题，4 分）|x﹣3|＝3﹣x，则 x 的取值范围是
1、（2016 湖南怀化第 1 题） 22 的平方根是（）
根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意： 3 a 3 a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
经典例题
例 1(2017 德州，1,3 分)-2 的倒数（）
A、 1 2
B 、1 2
C、-2
D、2
例 2(2016 湖北襄阳第 3 题)-8 的立方根是（）
4
A、2
B. 2
C. 2
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
考点典例二、绝对值
1、（2016 黑龙江哈尔滨第 1 题）﹣6 的绝对值是（）
A．﹣6
B．6
C． 1 6
D． 1 6
2、（2016 威海，8,3 分）实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则 a b 可化简为（）

数学一对一辅导方案

数学一对一辅导方案一、具体辅导计划：1.辅导科目问题分析：懒：学习被动，对学习没有兴趣，基础知识掌握不扎实，需要梳理。

需要加强心态调整，需要鼓励和自信。

没有学习目标，需要根据其考试内容，制定相应的学习目标。

家里家长没有办法给孩子进行答疑。

2.辅导思路：采取教师“一对一精讲”+“陪读答疑解惑”+“心理辅导”相结合的教学模式。

整个教学思路以查漏补缺、同步教学、巩固提高、归纳总结、强化冲刺为目标，细分如下（具体根据学生实际情况进行灵活调整）：辅导方案为：心态、学科、习惯三方面同步跟踪3.授课要点：1)前期：主要是针对初中内容查漏补缺，把整个学科漏下的各个知识点补上。

这段时期需要激发学生高度的学习兴趣，调动学生积极良好的学习情绪，适应高强度规范化学习模式，为后面学习打好基础铺垫。

教师通过对该学生进行综合试卷测评和交流沟通，进一步深入了解她在学习方面的问题，掌握该学生的思维特点，制订符合该学生学习特性的个性化学科辅导方案。

教师除按时完成教学内容外，还要有针对性地在教学中解决现存的细节问题。

在此阶段主要以启发、鼓励、表扬、引导为主，师生双方建立起良好的教学关系，营造一个严谨而宽松的学习氛围。

主要措施：旧课程按实际情况查漏补缺，新课程学习内容分解，为该学生制定合理的近期目标；教师在安排学习任务时从易到难，让逐步获得成功感，提高学习兴趣；教师教学重点在于激发该学生的学习兴趣，掌握正确的数学学习方法，养成良好的学习习惯，把一些概念性的东西理解清楚了，该记的记，该背的背，把知识点抓起来；及时与家长沟通反馈，使家长充分了解该学生的具体学习情况，作好配合工作。

2)后期：在前期的基础上，对考试前期补习进行重点查漏补缺，根据该学生的实际情况适时进行合理指导。

把之前复习中遗留的问题再次进行针对性查漏补缺；完成一次教学评估，并进行指导补充；及时与家长沟通反馈，使家长随时充分了解该学生的具体学习情况，作好配合工作；3)备注：假期是一个学科体统地查漏补缺的黄金时间段，根据目前该学生的实际情况，必须加强强化训练，题量也要上去，并作一定要求地陪读答疑，以配合一对一教师精讲，及时做到内化。

北师大版八年级数学上册第二章实数 2.6 实数的运算讲义

实数的运算讲义【知识要点精讲】1、无理数—无限不循环小数常见无理数有三类：（1（2）π；（3）无限不循环小数，如： 3.010010001（两个1之间依次多个0） 2、实数---有理数、无理数统称为实数。

实数与数轴上的点一一对应。

实数⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数循环小数；分数：有限小数或无限负整数正整数整数有理数0若把实数按正负分可分为：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负分数负整数负有理数负实数正无理数正分数正整数正有理数正实数实数03、二次根式的分母有理化：把一个代数式的分母中的根号化去，叫分母有理化。

（1）最简二次根式2(0)a a =≥ （2）最简二次根式【知识要点及典型例题解析】【知识要点1】--无理数的概念与判别【例1】在数4.0,064.0,49,010010001.0,,722,1427.03--- π，33中，无理数有；分数有；点拨：带根号的数不一定是无理数、无理数也不一定带根号；判断数要看结果。

◆目标训练11、下列叙述中正确的是（）A 、有理数和数轴上的点是一一对应的；B 、最大的实数与最小的实数都是存在的；C 、最小的实数是0；D 、任意一个实数都可以用数轴上的点来表示；2、在31,1415926.3,32,09.01,216,414.1---，38-中无理数有（）个 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、下列说法中正确的为（）A 、带根号的数都是无理数；B 、无理数都是无限小数；C 、不带根号的数都是有理数；D 、小数都是分数；【知识要点2】----相反数、倒数、绝对值【例2】=-==-x x ，则若13_____;25 ；一个数的倒数是23-，这个数是；【例3】若x 1互为相反数，y 1互为倒数，则_______xy =；【例4】概念理解辨析 1、两个无理数的和、差仍然是无理数（） 2、两个无理数的积、商仍然是无理数（） 3、任意有理数与无理数的和、差仍然是无理数（） 4、一个有理数与无理数的积一定是无理数（）【知识要点3】----分母有理化（乘积中不含根号的两个式子互为有理化因式）如：1)12)(12(=-+，所以)12(+与)12(-互为有理化因式；【例5】把下列各式分母有理化： ①、121 ②、181 ③、251- ④、3232-+目标训练21、已知实数x 满足x x -=，则（）A 、0>xB 、0≥xC 、0<xD 、0≤x2、21-的相反数是；倒数是；绝对值是；3、绝对值大于0而又小于π的整数有个；4、一个负数a 的倒数等于它本身，则_______2=+a ；若一个数a 的相反数等于它本身，则_______82125332=-++-a a a ；5、把下列各式分母有理化：（1（2（3【知识要点4】---实数的运算【例6】计算：①、61211÷②、)672()2447(-∙- ③、2)323(-④、)278(18⨯÷ ⑤、（济宁）计算：011(1)()52π--++【知识要点5】---实数的大小比较【例7】比较下列每组两个实数的大小： ①、62553与 ②、5665--与 ③、2556--与方法感悟：比较两个实数大小的方法：（1）逐位比较法；（2）平方比较法；（3）分子有理化比较法目标训练31、计算：200720082)2)______________⋅=； 2、比较大小：①、15______13+-+-；②、72______33；③、71___21--π；3、计算下列各题：（1）21(2013)--- （2）2)521(4521251---+（3（4）62)321825(+⋅-【创新运用与思维拓展】【例8】实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简2a b a --的结果是（）A 、b a -2B 、bC 、b -D 、b a +-2【例9】已知：33+=y x ，求y xy y x x --++222的值；【例10】已知3=xy ，求yxyx y x +的值；【例11】观察下列算式：1121==-32==-= ；你能得到什么规律？n +++++n为正整数）。

第2讲实数

师航教育一对一个性化辅导讲义第2讲实数【学习目标】1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化.4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.重难点；数是中学数学重要的基础知识，中考中多以选择题、填空题的形式出现，实数的运算主要是由二次根式、三角函数、幂等组成的混合算式的计算，常以计算或化简题型出现．另外，命题者也会利用分析归纳总结规律等题型考查考生发现问题、解决问题的能力第2讲实数考点一实数的分类有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类按定义分：按与0的大小关系分：实数⎧⎨⎩有理数：有限小数或无限循环小数无理数：无限不循环小数实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如5，32等；②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质：在实数范围内，正数和零统称为非负数。

我们已经学习过的非负数有如下三种形式：（1）任何一个实数a 的绝对值是非负数，即|a |≥0；（2）任何一个实数a 的平方是非负数，即2a ≥0；（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即0a ≥ (0a ≥).非负数具有以下性质：（1）非负数有最小值零；（2）有限个非负数之和仍是非负数；（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算：(1)运算法则、运算律有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用．值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方．(2)运算顺序在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 5.实数的大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 考点二平方根、算术平方根、立方根 1、平方根、立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示a ±3a性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论⎩⎨⎧<-≥==≥=)0()0()0()(22a a a a a a a a a333333)(aa a a aa -=-==2．算术平方根(1)如果一个正数x 的平方等于a ，即x 2＝a ，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根，a 的算术平方根记作a .零的算术平方根是零，即0＝0.(2)算术平方根都是非负数，即a ≥0(a ≥0)． (3)(a )2＝a (a ≥0)，a 2＝|a |.(4)ab ＝a ·b (a ≥0，b ≥0)；a b ＝ab(a ≥0，b ＞0)．【名师提醒：平方根等于本身的数有个，算术平方根等于本身的数有，立方根等于本身的数有。

七年级下册实数以及实数的运算讲义

环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数：学员姓名：辅导科目：学科教师：课题课型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课授课日期及时段教学内容【基础知识网络总结与新课讲解】6.2 实数知识点一无理数的概念定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=3.1415926…，2 1.414213=，－1.010010001…，都是无理数。

注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。

例1 332278,3, 3.141,,,,2,0.1010010001,1.414,0.020202,7378π-----有理数{ } 无理数{ }想一想：有理数与无理数的区别？注意：判断一个数是否为无理数，不能只从形式上看，带根号的不一定是无理数，只有开方开不尽的数是无理数。

练习：下列说法正确的是（）A.分数是无理数B.无限小数是无理数C.不能写成分数形式的数是无理数D.不能再数轴上表示的数是无理数知识点二实数1. 实数：有理数和无理数统称为实数实数的分类：① 按定义分类： ② 按大小分类例2.判断下面的语句对不对？并说明判断的理由。

①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④有理数都是实数，实数不都是有理数；⑤实数都是无理数，无理数都是实数；⑥实数的绝对值都是非负实数；⑦有理数都可以表示成分数的形式。

2. 实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。

a+b=0⇔a、b互为相反数。

②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。

1ab a=⇔、b互为倒数。

③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

高中数学必修一全册讲义教师学生双用带答案一对一班课通用

集合的含义与表示__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。

2、掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“∉”来表示。

3、掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。

一、集合与元素的概念：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。

集合中每一个对象称为该集合的元素。

如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。

1，2，3，4就是这个集合的元素。

类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。

特别提醒：1、集合是一个“整体”。

一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。

2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。

3、集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。

二、集合中元素的特性：1、确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．2、互异性：对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。

集合中相同的元素只能算是一个。

如方程0122=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能记为{}1,1。

3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{},a b 和{},b a 表示同一个集合．特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。

一对一辅导方案初中数学

2、勾股定理及逆定理；
3、直角三角形旳鉴定；
4、勾股定理及逆定理旳综合运用；
5、重点题型及中考真题演习。
2
1、理解并掌握直角三角形旳性质；
2、掌握直角三角形旳鉴定；
3、能将直角三角形旳性质应用到实际生活中。
12、图形旳平移与旋转
1、生活中旳平移；
2、简朴旳平移作图；
3、生活中旳旋转作图；
4、简朴旳旋转作图；
5、比较线段旳长短；
6、角旳度量、表达、比较；
7、平行、垂直；
2
1、掌握长方体、圆锥、圆柱等立体图形旳性质；
2、会应用三视图解题；
3、理解线段、直线和射线旳区别与联络，会比较线段旳大小；
4、理解角旳概念，会比较角旳大小，会进行角旳度数旳计算；
5、理解互余、互补旳概念。
7、平行线与相交线
1、台球桌面上旳角；
7、平面图形旳密铺；
8、中心对称图形；
4
1、理解并掌握平等四边形旳性质；
2、掌握平等四边形旳鉴别；
3、理解并掌握菱形旳概念及性质；
4、理解并掌握矩形、正方形旳概念及性质；
5、理解梯形旳概念及等腰梯形旳性质；
6、理解多边形旳内角和与外角和；
7、理解平面图形旳密铺；
8、理解中心对称图形旳概念及性质；
21、相似图形
5、理解有理数旳运算律，并能灵活使用运算律简化运算。
2、整式旳运算
1、整式旳加减；
2、同底数幂旳乘法；
3、幂旳乘方与积旳乘方；
4、同底数幂旳除法；
5、整式旳乘法；
6、平方差公式；
7、完全平方公式；
8、整流器式旳除法。
4
1、理解单项式、多项式、同类项和整式旳概念；

数学分析第一册讲义

3，…。“严格”的定义可以用枚举的办法，也就是说 i 1, 2,3, ，但这省略号表示什
么呢？事实上，自然数的定义是和加法联系在一起的，换言之，自然数可以用第一个数 1，和后继这两个说清楚。自然数集合的严格定义如下（皮亚诺 Peano）：
（P1）有数 1；（P2）每一个数 m 都有一个后继，记为 m+1；（P3）1 不是任何数的后继；（P4）若 m+1=n+1，则 m=n；（P5）（归纳公理）若一个子集合满足（P1）（P2），则它就是自然数集。其实这里定义了一个以 1 为首的一列“数字”队伍，我们依次称它们为 2，3，4，…。这就解释了省略号的意思。加法来自于我们解释后继为加 1，具体地说，n 的后继为 n+1，而 m+n 可以定义为 ( ((m 1) 1) ) 1；或者递归定义 m+(n+1)=(m+n)+1。可以证明（试一试！）这样定义的加法满足：交换率 m n n m ；结合率 (m n) p m (n p) 。因为自然数集合通过后继来定义，我们就得到了数与数之间的一种“序”的关系，大于、等于和小于的意思于是就知道了。任给两个自然数 m 和 n，必有 m n, m n, m n 三种关系中的一种出现，而且只有一种。这就是说，自然数可以比较大小。一会儿我们将看到，实数比较大小要困难许多。自然数这个定义对于微积分来说，非常重要的是第一次清晰、准确地刻画了一个无穷的概念。我们没有定义任何一个数是无穷大，事实上，任给一个自然数 n，都存在比它更大的数，如 n+1；但是，自然数逐渐加大的这样一个无穷的过程，定义了一个无穷。我们今后会不断看到，这样一个作为过程的“无穷”。
说到这里，上面所有的内容并不涉及自然数的记法。有了乘法，就可以有数的进制。

《实数》讲义

《实数》讲义一、实数的定义实数，是数学中的一个基本概念。

简单来说，实数就是有理数和无理数的总称。

有理数，大家应该比较熟悉，像整数（正整数、零、负整数）以及分数（正分数、负分数），都属于有理数。

例如3、－5、0、1/2 等等。

而无理数呢，则是无限不循环小数。

比如大家熟知的圆周率π，约等于 31415926，还有像根号 2 ，约等于 141421356 这些数都是无理数。

二、实数的分类实数可以按照不同的标准进行分类。

如果按照符号来分，可以分为正实数、零、负实数。

正实数，就是大于 0 的实数，包括正有理数和正无理数。

负实数，是小于 0 的实数，包括负有理数和负无理数。

零，既不是正实数，也不是负实数。

从另一个角度，如果按照是否为有理数来分，实数就分为有理数和无理数。

有理数又可以进一步细分为整数和分数。

整数包括正整数、零和负整数；分数包括正分数和负分数。

三、实数的性质1、实数的有序性对于任意两个实数 a 和 b，在三种关系中，有且仅有一种成立：a ＜ b，a ＝ b，a ＞ b。

2、实数的稠密性实数在数轴上的分布是稠密的，也就是说，在任意两个不同的实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。

3、实数的四则运算实数的加法、减法、乘法和除法运算（除数不为 0），其结果仍然是实数。

加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)乘法交换律：a × b ＝ b × a乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)乘法分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c4、实数的绝对值实数 a 的绝对值记作｜a|，其定义为：当a ≥ 0 时，｜a| ＝ a；当 a ＜ 0 时，｜a| ＝ a 。

绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0 。

四、实数与数轴数轴是一条规定了原点、正方向和单位长度的直线。

一对一个性化辅导方案

个性化指导方案一、学生个性剖析1、基础不全面、不扎实，知识的破绽比许多；知识点的系统性不足，有待概括完美。

2、答题时的书写格式不规范、逻辑不清楚。

3、惧怕做大题，做大题时没有仔细思虑，且对题目的剖析能力有待提升。

4、知识的综合运用能力较差，当多个知识点一同使用时，学生常常只好想到一到两个知识点。

5、性格内向，不爱说话，不喜爱交流。

二、教课指导欲达目标1、查漏补缺，稳固基础，梳理知识系统，使数学知识系统化。

2、规范书写格式，培育逻辑思想能力，使答题时条理清楚。

3、除去对大题的惧怕心理，建立学生数学学习的信心。

4、经过知识的回首和例题的解说、练习及数学学习方法和技巧的指导，提升学生数学知识的综合运用能力，学会贯通融会，推理概括。

5、调调换学生的感情，尊敬学生，关心学生，认识学生的学习心理，使学生感觉教师的暖和，培育学生与教师的感情。

三、拟采纳的方法或举措1、对学生各个知识点进行全面的排查和稳固，经过经典例题和典型练习加深对基础知识的理解和运用。

2、增强书写格式的练习，规范书写格式，仔细教育答题时的因果关系，使答题时条理清楚3、坚持发展学生的自主学习，充足发挥学习学生的主动踊跃性，根据学生学习数学的特色，热忱关心，谆谆教育。

4、精心设计练习，讲究练习方式，提升练习效率，对练习中的错误实时找出原由，要修业生仔细更正，培育学生独立达成学习任务的良好习惯。

5、教课中，增强学生思想能力的培育和非智力要素的培育。

多设计数学活动，扩大学生的视线，拓宽知识面，培育学习数学的兴趣，发展数学才能，发挥学生的主动性，独立性和创建性。

四、教课指导进度计划模块内容课时阶段目标数全等三全等三角形的性质及判断4娴熟掌握全等三角形角形的性质和各样判断条件运用。

轴对称轴对称的性质及画法2掌握轴对称的性质和画轴对称图形。

实数平方根和立方根及相应运2掌握平方根和立方根算的运算一次函一次函数的性质和图像及4认识一次函数的性质数地点关系，一次函数的解和图像及位性质和图法像及位性质和图像及位性质和图像及地点关系，娴熟掌握一次函数的解法。

一对一辅导数学辅导教案教学内容

一对一辅导教案
日期：2015年1月26日上课时段：8:00----------10:00 辅导科目：数学课次：第1次课时：（2）小时上课地点：
教学目标1.理解任意角的概念(包括正角、负角、零角) 与区间角的概念.
2.会建立直角坐标系讨论任意角,能判断象限角,会书写终边相同角的集合；掌握区间角
教学内容
任意角
教学重难点重点：任意角概念的理解；区间角的集合的书写．
难点：终边相同角的集合的表示；区间角的集合的书写
教学过程一、引入：
1．回顾角的定义
①角的第一种定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角.
②角的第二种定义是角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
二、新课：
1．角的有关概念：
①角的定义：
角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
②角的名称：
③角的分类：
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”可以简化成“α”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α=0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
例1．如图⑴⑵中的角分别属于第几象限角？
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
始边
终边
顶点 A
O
B
教学信息反馈表
日期年月日。

实数

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；，小数部分是。
5
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3 3 8、若 15.625＝2.5， x＝25，则 x＝
2 2
个性教育一对一辅导；9、若 x ＝(－3) ，y＝(－2) ，则 x＋y＝；。；；。
3
；
10、如果 1.0167 是 a 的一个平方根，那么 a 的另一个平方根是 11、4－ 5在数轴上对应点在整数 a 和 b 之间，且 a－b＝1，则 a＋b＝ 12、数轴上到数 2对应点的距离为 3 的点所对应的数是 13、当 x＝ 15、已知 A= ，y＝
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（1）概念：一般地，一个数的立方等于 a，这个数叫做 a 的立方根，也叫做 a 的三次方根。（2）表示：读作“三次根号” 。（3）性质：由一个正数的立方还是一个正数；0 的立方乃是 0；负数的立方还是一个负数。（4）开立方：求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方。注意：（1）任意实数都有立方根，(2)开立方与立方互为逆运算。（3）√a 的根指数 2 可以省略，即写成√a,但√ a 中的根指数 3 不能省略，要写在根号的左上角。（4）立方根等于它本身的数有三个,它们分别是 1，0，-1.（5）开立方的结果是唯一的。剖析：（1）求一个数的立方根，实质是利用立方运算来求得，因此熟记常见简单数的立方。便于快速解决此类题目。（2）任何数的立方根有且只有一个。（3）一个数 a 的立方根 √a 与 a 的符号相同。例 1、求下列各数的立方根：；；1；0；－1；－343；－0．729
169 13 ＝－ 64 8 ）
2
169 13 ＝ 64 8 1 3
2
D、±
169 13 ＝± 64 8

著名机构初中数学培优讲义实数.第01讲(A).教师版

内容基本要求略高要求较高要求平方根、算数平方根了解开方与乘方互为你运算，了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示非负数的平方根及算术平方根会用平方运算的方法，求某些非负数的平方根立方根了解立方根的概念，会用根号表示数的立方根会用立方运算的方法，求某些数的立方根能运用圆的性质解决有关问题实数了解实数的概念会进行简单的实数运算1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.会求一个数的平方根和立方根并了解其限定条件3.能进行实数的运算无理数的发现 ── 第一次数学危机大约公元前5世纪，不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论．当时的毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究，把几何、算术、天文、音乐称为"四艺"，在其中追求宇宙的和谐规律性．他们认为：宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比，毕达哥拉斯学派的一项重大贡献是证明了勾股定理，但由此也发现了一些直角三角形的斜边不能表示成整数或整数之比（不可通约）的情形，如直角边长均为１的直角三角形就是如此．这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条，导致了当时认识上的"危机"，从而产生了第一次数学危机．到了公元前370年，这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了．他的处理不可通约量的方法，出现在欧几里得《原本》第5卷中．欧多克斯和狄德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致．今天中学几何课本中对相似三角形的处理，仍然反映出由不可通约量而带来的某些中考要求重难点课前预习实数困难和微妙之处．第一次数学危机对古希腊的数学观点有极大冲击．这表明，几何学的某些真理与算术无关，几何量不能完全由整数及其比来表示，反之却可以由几何量来表示出来，整数的权威地位开始动摇，而几何学的身份升高了．危机也表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演译推理，并由此建立了几何公理体系，这不能不说是数学思想上的一次巨大革命！模块一平方根、算术平方根平方根:如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．也就是说，若2x a =，则x 就叫做a 的平方根．一个非负数a 的平方根可用符号表示为“a ±”．算术平方根：一个正数a 有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做a 的算术平方根，可用符号表示为“a ”；0有一个平方根，就是0，0的算术平方根也是0，负数没有平方根，当然也没有算术平方根．（负数的平方根在实数域内不存在，具体内容高中将进学习研究）一个非负数的平方根不一定是非负数，但它的算术平方根一定是非负数，即若0a ≥，则0a ≥．平方根的计算：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．对定义和性质的考察【例1】判断题：（1）a 一定是正数． ( ) （2）2a 的算术平方根是a ． ( ) （3）若2()6a -=，则6a =-．( )（4）若264x =，则648x =±=±． ( ) （5）64的平方根是8±． ( ) （6）若两个数平方后相等，则这两个数也一定相等． ( ) （7）如果一个数的平方根存在，那么必有两个，且互为相反数． ( ) （8）2a -没有平方根． ( ) （9）如果两个非负数相等，那么他们各自的算术平方根也相等． ( )【难度】1星【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×；（6）×；（7）×；（8）×；（9）√．【巩固】若()4216A a=+，则A 的算术平方根是_________．例题精讲【难度】2星【解析】A 22(16)a +，故A 的算术平方根为216a +．【答案】216a +【巩固】设a a 的值是________．【难度】2星【解析】a 48a 必须是完全平方数，因为24843=⨯整数的整数a 为3．【答案】3【例2】 x 为何值时，下列各式有意义？（1；（2 （3（4）；（5）；（6；【难度】1星【解析】略【答案】（1）0x ≥；（2）x =0；（3）2x ≤；（4）x 为任意数；（5）x >1；（6）112x -≤≤．对计算的考察【例3】求下列等式中的x ：（1）若x 2＝1．21，则x ＝______；（2）x 2＝169，则x ＝______；（3）若294x =，则x ＝______；（4）若x 2＝2(2)-，则x ＝______．【难度】1星【解析】一个正数的平方根有两个，且互为相反数．【答案】（1） 1.1x =±；（2）x =±13；（3）32x =±；（4）x 2=±．【例4】求下列各式的值（1）（2（3 （4（5 （6【难度】1星（1）2612⨯=；（27512=+=；（30.30.80.5-=-；（4290.91365=⨯=；（520===；（6110.8250.25 5.245=⨯+⨯=+=；【答案】（1）12；（2）12；（3）0.5-；（4）965；（5）20；（6）5.2．【巩固】求下列各式中x 的值．（1）29x =；（2）22500x -=（3）21(51)303x --= （4）2(100.2)0.64x -=【难度】1星【解析】本题考察的是平方根，正数的平方根有两个，且互为相反数．（1）3x =±；（2）225,5x x ==±；（3）221(51)3,(51)9,513,5133x x x x -=-=-=±=+；或513x =-，解得45x =或25x =-．（4）100.20.8,0.2100.8,0.210.8x x x -=±=±=或0.29.2x =解得54x =或x =46．【答案】（1）3x =±；（2）5x =±；（3）45x =或25x =-；（4）54x =或x =46．对非负性的考察【例5】如果3a b -+【难度】2星【解析】由绝对值和算术平方根的非负性及相反数的定义解题．有题可知30220a b a b -+=⎧⎨+-=⎩解得4353a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩3==．【答案】3【例6】已知2b =，求11a b+的平方根．【难度】2星【解析】由题可知940490a a -≥⎧⎨-≥⎩，49a ∴=，b =2，=【答案】【巩固】已知x ，y ，z满足21441()02x y z -+-=，求()x z y -的值．【难度】2星【解析】由题可知441020102x y y z z ⎧⎪-+=⎪+=⎨⎪⎪-=⎩，解得121412x y z ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，()x z y -1111()()22416=--⨯-=．【答案】116总结：（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)．（2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：①若0a ≥，则2a =；②不管a(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩注意二者之间的区别及联系．（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<的算术平方根的大致范围．模块二立方根如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也就是说，若3,x a =则x 就叫做a 的立方根，一个数a 的立方根可用符号表，其中“3”叫做根指数，不能省略．前面学习的其实省略了根指数“2”“三次根号a ”“二次根号a ”“根号a ”．任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0．立方根的计算：求一个数的立方根的运算，叫做开立方，开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．对立方根定义和性质的考察【例7】（1）下列说法中，不正确的是（）A ． 8的立方根是2B ． 8-的立方根是2-C ． 0的立方根是0D ．a（2）61164-的立方根是（）A ．- B ．114± C ． 114 D ．114-（3）某数的立方根是它本身，这样的数有（） A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个（4）下列说法正确的是（）① 正数都有平方根；② 负数都有平方根， ③ 正数都有立方根；④ 负数都有立方根；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（5）若a 立方比a 大，则a 满足（）A ． a <0B ． 0< a <1C ． a >1D ．以上都不对（6）下列运算中不正确的是（）A ．= B ．3C 1-D ．4【难度】1星【解析】略【答案】（1）D ；（2）D ；（3）C ；（4）C ；（5）D ；（6）B ．【巩固】（1）若x 的立方根是4，则x 的平方根是______．（2）3311-+-x x 中的x 的取值范围是______，11-+-x x 中的x 的取值范围是______．（3）－27______．（40=则x 与y 的关系是______．（54那么(66)2a -⋅的值是______．（6则x ＝______．（7）若m ＜0，则m ．（8）若59x +的立方根是4，则34x +的平方根是______．【难度】2星【解析】略【答案】（1）8±；（2）任意数； x =1；（3）1-或5-；（4）互为相反数；（5）-12；（6）x =1；（7）0；（8）对计算的考察【例8】求下列等式中的x ：（1）若x 3＝0．729，则x ＝______；（2）x 3＝6427-，则x ＝______；（3）若52，则x ＝______；（4）若x 3＝3(2)--，则x ＝______．【难度】1星【解析】略【答案】（1）0.9；（2）43-；（3）1258；（4）2．【例9】求下列各式的值（1 （2（3）（4）3（5 （6（7【难度】1星【解析】略【答案】（1）0.4；（2）2-；（3）25-；（4）64；（5）43；（6）9；（7）6．【巩固】（1）填表：（2（3）根据你发现的规律填空：① 1.442== ，= ；② 7.696=，= ．【难度】2星【解析】略【答案】（1）0.01； 0.1； 1； 10； 100．（2）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍（3） ①14.42； 0.01442； ②0.7696．总结：（1）当被开方数(大于0)扩大(或缩小)3n 倍，它的立方根相应地扩大(或缩小)n 倍．（2）a =，3a =（3）若一个数a 介于另外两个数1a 、2a 之间，即12a a a <<<综合应用【例10】 2(27)b +的立方根．【难度】2星【解析】由题可知80270a b +=⎧⎨+=⎩，解得827a b =-⎧⎨=-⎩，235,+=．【答案】1【例11】已知2x -的平方根是±2，27x y ++的立方根是3，求22x y +的平方根．【难度】2星【解析】Q2(2)=±，6x ∴=；Q 3=，8y ∴=，10==±．【答案】10±总结：平方根与立方根的区别与联系：区别：（1）根指数不同：平方根的根指数是2，通常省略不写；立方根的根指数是3，却不能省略．（2）被开方数取值范围不同：平方根中被开方数必须是非负数；而立方根中被开方数可以为任何数．（3）平方的结果不同：平方根的结果除0之外，还有两个互为相反数的结果；而立方根的结果只有一个．（4）平方根等于本身的数是0，算术平方根等于它本身的数是0，1，立方根等于它本身的数是0，1，1-；联系：（5）平方根与立方根相等的数是0．（6）平方根与立方根都是与乘方运算互为逆运算．模块三实数1 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数． 2 无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数； 3 实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数４实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．５实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．对实数定义的考察【例12】判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是±1．（）（5）若x =则x =（）【难度】2星【解析】略【答案】（1）×；（2）×；（3）√；（4）×；（5）√．【例13】下列说法错误的是（）A ．实数都可以表示在数轴上B ．数轴上的点不全是有理数C ．坐标系中的点的坐标都是实数对 D【难度】1星【解析】略【答案】D【例14】下列说法正确的是（）A ．无理数都是无限不循环小数B ．无限小数都是无理数C ．有理数都是有限小数D ．带根号的数都是无理数【难度】1星【解析】略【答案】A对实数性质的考察【例15】的相反数是________；的倒数是________；35-的绝对值是________．【难度】1星【解析】略【答案】【例16】 3.141π-＝______；=-|2332|______．【难度】1星【解析】略【答案】-3.141π；【例17】若||x =x ＝______；若||1x =，则x ＝______．【难度】1星【解析】略【答案】1或1-实数的分类【例18】把下列各数填入相应的集合：－1、π、 3.14-、127.0&、0（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．【难度】1星【解析】略【答案】（1）－1 3.14-、1、7.0&、0；（2、π（3）－10（4π、1、7.0&；（5）－1、 3.14-、比较大小【例19】估）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【难度】1星【解析】略【答案】C【例20】实数2.6 （）A ．2.6<<B ．2.6C 2.6<D 2.6< 【难度】２星【解析】略【答案】B【例21】一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在（）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【难度】1星【解析】略【答案】A【巩固】把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4-，153-，1．414，π，0.6， 34-，【难度】1星【解析】略【答案】314 1.4140.64543π>>>>>>->-．对计算的考察【例22】计算题（1）32716949+- （2）233)32(1000216-++ 【难度】1星【解析】（1）32716949+-71333=-+=-；（2）233)32(1000216-++226101633=++=．【答案】（1）3-；（2）2163．综合应用【例23】写出符合条件的数．（1）小于25的所有正整数；（2）绝对值小于22的所有整数．【难度】2星【解析】略【答案】（1）1，2，3，4；（2）1-，2-，0，1，2．【例24】一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【难度】1星【解析】设这个水底的底边长为x ，则有2143150x =，解得15x =．【答案】15【例25】已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b -++的值．【难度】2星【解析】91116<<Q ，∴3114<<，11∴的整数部分为3，小数部分为113-，3,113a b ∴==-，32()(3)a b -++32(3)(1133)271116=-+-+=-+=-．【答案】16-总结：没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；带根号的数不一定是无理数；一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b >；若2()a ＜2()b ，则a b <；若2()a ＝2()b ＞，则a b =．（2）比较被开方数的大小：a ＞0，b ＞0，若a ＞b ，则a b >；若a ＜b ，则a b <；若a ＝b ，则a b =．（3）作差法：若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，则a ＜b ．（4）作商法：a ＞0，b ＞0，若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ．【练习1】下列说法正确是（）A ．有理数都是实数B ．实数都是有理数C ．带根号的数都是无理数D ．无理数包含0【难度】1星课堂检测【解析】略【答案】A【练习2】下列命题中，真命题是（）A ．22011的平方根是2011B ．64-的平方根是8±C6=± D ．若22a b =【难度】1星【解析】略【答案】D【练习3】有一个数值转换器原理如图所示，则当输入x 为36时，输出的y 是（）输出y输入xA ．6 BCD．【难度】２星【解析】略【答案】B【练习4】数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是．【难度】1星【解析】略【答案】2π【练习5】计算：（1（2【难度】1星【解析】（1585355245420+=-+=-；（2340.60.4-+=-．【答案】（1）3220-；（2）0.4-．【练习6】已知()0328322=+-+-+y x y x ，求yx xy +3的值．【难度】2星【解析】利用非负性建立二元一次方程组，解出x ，y 的值，代入即可解决问题．【答案】21.通过本堂课你学会了．2.通过本节课，你复习的知识点．3.掌握的不太好的部分．4.老师点评：① ．② ．③ ．1. 下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a -没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10100=±（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【难度】1星【解析】错误的有（1），（2），（4）．【答案】C2. 若22b a =，则下列等式成立的是（）A ．33b a =B ．b a =C ．b a =D ． ||||b a =【难度】1星【解析】略【答案】D3. 已知坐标平面内一点A(2-，3)，将点A 先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到，则A′的坐标为．【难度】2星【解析】在坐标平面内点的平移是左减右加，上加下减．【答案】(22,33)-+-4.已知10<<x ，则21x x x x 、、、的大小关系是__________________________（用“>”连接）．【难度】1星课后作业总结复习【解析】可以采用特殊值法解题，如14x =．【答案】21x x x>>>5.计算:（1 （2）2(2)-【难度】1星【解析】（111213333=-=- ；（2）2(2)-11433231423=⨯+-⨯=+-=．【答案】（1） 13- ；（2）4．6.已知一个长方体封闭水箱的容积是1620立方分米，它的长、宽、高的比试5:4:3，则水箱的长、宽、高各是多少分米？做这个水箱要用多少平方分米的板材？【难度】1星【解析】在列方程解应用题时，要注意见比设k 的应用．【答案】长、宽、高各是15分米，12分米，9分米；846平方分米．7.已知实数a ，满足0a +，求11a a -++的值．【难度】2星【解析】Q 0a +，0a a a ∴++=，20a a +=，0a ∴=，112a a -++=【答案】28.先阅读理解，再回答下列问题：=，且12<的整数部分为1；=23<2；34<3；n 为正整数）的整数部分为＿＿＿＿＿＿，请说明理由．【难度】2星【解析】nQ 2(1)n n n n +=+，又22(1)(1)n n n n <+<+Q ，1n n ∴<<+（n 为正整数），∴整数部分为n ．【答案】n9. 计算下列各组算式，观察各组之间有什么关系，请你把这个规律总结出来，然后完成后面的填空．（1；（2（3（4（5= ；（6= (0,0)a b ≥≥．【难度】2星【解析】（5=（6=【答案】（5；（610.若a 为217-的整数部分，1-b 是9的平方根，且a b b a -=-||，求b a +的算术平方根．【难度】3星【解析】161725,45,223,2a <<∴<∴<<∴=Q ，14b b -==或2b =-．又a b b a -=-Q ，b a ∴≥，2,4a b ∴==，==。

高等数学一对一辅导教材

高等数学一对一辅导教材第一章推导与证明1.1 推理与直觉在学习高等数学过程中，我们经常会遇到一些公式和定理，这些公式和定理通常是通过推导和证明得出的。

本章将介绍一些常见的推导和证明方法，帮助学生培养推理和直觉能力。

1.2 数学归纳法数学归纳法是一种非常重要的证明方法，它常常用来证明一些数学结论成立。

本节将介绍数学归纳法的基本原理和应用，帮助学生掌握这种证明方法。

1.3 逻辑与命题逻辑是数学推理的基础，而命题是逻辑推理的基本单位。

本节将介绍逻辑的基本概念和方法，以及命题的性质和运算规则，帮助学生理解数学推理的基本原理。

第二章函数与极限2.1 函数的概念与性质函数是高等数学中一个非常重要的概念，它描述了自变量和因变量之间的关系。

本节将介绍函数的基本概念、性质和分类，帮助学生建立对函数的准确理解。

2.2 极限的定义与性质极限是函数研究的核心概念之一，它描述了函数在某一点趋于的值。

本节将介绍极限的定义、性质和计算方法，帮助学生掌握极限的概念和应用。

2.3 无穷小量与无穷大量无穷小量和无穷大量是极限研究中的重要概念，它们描述了函数在某一点的趋势。

本节将介绍无穷小量和无穷大量的定义和性质，帮助学生理解它们在函数研究中的作用。

第三章导数与微分3.1 导数的定义与性质导数是微积分中的基本概念，它描述了函数在某一点的变化率。

本节将介绍导数的定义、性质和计算方法，帮助学生掌握导数的概念和应用。

3.2 高阶导数与导数的几何应用高阶导数是导数的推广，它描述了函数变化的更高阶特性。

本节将介绍高阶导数的定义和计算方法，以及导数在几何中的应用，帮助学生深入理解导数的几何意义。

3.3 泰勒公式与导数的应用泰勒公式是函数在某一点展开的一种表示形式，它在函数近似计算和优化问题中有广泛应用。

本节将介绍泰勒公式的原理和应用，帮助学生掌握泰勒公式的使用方法。

第四章积分与微积分基本定理4.1 不定积分与定积分积分是导数的逆运算，它描述了函数在一定区间上的累积效应。

著名机构七年级数学春季班讲义01-实数的概念及数的开方-马秋燕

知识点1：实数的概念1、无限不循环的小数叫做无理数．注意：1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．π、0.101001000100001等这样的数叫做正无理数；π-、0.101001000100001-这样的数叫做负无理数；π与π-，称它们互为相反数．实数、数的开方知识结构模块一实数的概念和分类知识精讲3、有理数和无理数统称为实数．（1）按定义分类⎧⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎨⎪⎩⎭⎪→⎩整数有理数有限小数或无限循环小数实数分数无理数无限不循环小数（2）按性质符号分类0⎧⎧⎪⎨⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数【例1】写出下列各数中的无理数：3.1415926，2π，.0.5，0，23-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），0.2121121112．【难度】★ 【答案】【解析】【例2】判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．（1）无限小数都是无理数．（）（2）无理数都是无限小数．（）（3）带根号的数都是无理数．（）（4）不带根号的数一定不是无理数．（）【难度】★ 【答案】【解析】例题解析【例3】a是正无理数与a是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．【难度】★【答案】【解析】【例4】若a+bx=c+dx（其中a、b、c、d为有理数，x为无理数），则a=c，b=d，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．【难度】★★【答案】【解析】【例5】?请说明理由．【难度】★★★【答案】【解析】一、开平方：1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方．2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数．如21x =，1x =±，1的平方根是1±．说明：1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 3、算术平方根：正数a的两个平方根可以用“a 的正平方根（又叫算术平方根），读作“根号a”；a 的负平方根，读作“负根号a ”． ★注意：1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；22是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0．二、开立方：1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根号aa 叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意：1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1．三、开n 次方：1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根． ★注意：模块二：数的开方知识精讲1）实数aa是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“”表示，负n次方根用“0a>，根指数n是正偶数（当2n=时，在中省略n）；3）负数的偶次方根不存在；4）零的n0．【例6】写出下列各数的平方根：（1）9121；（2【难度】★【答案】【解析】【例7】写出下列各数正的平方根：（1）225；（2．【难度】★【答案】【解析】【例8】下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；（2）9是2(9)-的算术平方根；（3）π-是2π-的平方根；（49±．【难度】★【答案】【解析】例题解析【例9】写出下列各数的立方根：（1）216；（2）0；（3）-1；（4）3438-；（5）27．【难度】★【答案】【解析】【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）一个数的偶次方根总有两个；（）（2）1的奇次方根是1±；（）（3）7=±；（）（4）2±是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【难度】★★【答案】【解析】【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：（1（2（3）9【难度】★★【答案】【解析】【例12】求值：（1（2）；（3）2；（4）2(．【难度】★★【答案】【解析】【例13】求值：（1（2；（3；（4【难度】★★【答案】【解析】【例14】求值：（1（2（3；（4【难度】★★【答案】【解析】【例15】求值：（1；；（2）；（3．【难度】★★【答案】【解析】【例16】小明的房间面积为17.62m，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少?【难度】★★【答案】【解析】【例17】已知2a-1的平方根是3±，3a+b-1的算术平方根是4【难度】★★【答案】【解析】【例18】若a的平方根恰好是方程3x+2y=2的一组解，求x y+的值．a a【难度】★★【答案】【解析】【例19】3，3x y+的值．()nx y+=-，求2(43)8【难度】★★【答案】【解析】【例20】用“>”把下列各式连接起来：【难度】★★【答案】【解析】【例21】 1.732 5.477≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．（1≈_______；（2≈____________；（3≈_________；（4≈______________；（5≈___________；（6_____________．【难度】★★★【答案】【解析】（1）数a?（2）0.1738 1.738=，求a的值．【难度】★★★【答案】【解析】【例23】阅读下面材料并完成填空：你能比较两个数20162017和2001720016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；⑥67______76；⑦78______87．对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____2001720016．【难度】★★★【答案】【解析】数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围；应用：与整式、分式的综合应用．【例24】当x 取何值时，下列各式有意义：（1；（2（3（4（5）（6【难度】★★ 【答案】【解析】【例25】．【难度】★★ 【答案】【解析】【例26互为相反数，求2x -5y 的值．【难度】★★ 【答案】【解析】知识精讲例题解析模块三：数的方根的非负性【例27】已知10a b -++，求2017()a b -的值．【难度】★★ 【答案】【解析】【例28】已知y 1，求xy 的平方根．【难度】★★ 【答案】【解析】【例29】已知24|2|41a b c a +=- 【难度】★★★ 【答案】【解析】【例30】当x <0时，求||x 【难度】★★★ 【答案】【解析】【例31】设=a 、x 、y 是两两不相等的实数，求22223x xy y x xy y +--+的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【例32】已知20172(4a x a -=+，求x 的个位数字.【难度】★★★ 【答案】【解析】一、填空题：【习题1】）A . x 一定是0 B. x 是任意一个负数 C. x 是一个有理数的平方 D. -x 是一个有理数的平方【难度】★ 【答案】【解析】【习题2】填空：（1）()23-的算术平方根是，的平方根是；（2的立方根是，的立方是；（3___________．【难度】★ 【答案】【解析】随堂检测【习题3】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由．（1）无理数都是无限小数 ( ) （2）无理数的平方是有理数 ( ) （3）有理数都是有限小数() （4）实数可分为正实数和负实数 ( ) （5）2π是分数()【难度】★ 【答案】【解析】【习题4】求值：（1）（2）（3（4）【难度】★ 【答案】【解析】【习题5】求值：（1）（2 （3【难度】★★ 【答案】【解析】【习题6】比较下列各式的大小：（1和89；（2【难度】★★ 【答案】【解析】【习题7】写出下列各数的整数部分和小数部分（1（2；（34．【难度】★★【答案】【解析】【习题8】根据开n次方根的意义，求下列x的值．（1）3(2)64x+=．8(2)270x+-=；（2）4【难度】★★【答案】【解析】【习题9】0.6127≈ 2.844≈≈ 1.320【难度】★★【答案】【解析】【习题10】已知y=x+y的值．【难度】★★【答案】【解析】【习题11】已知实数a满足2-=-，求的值．a a a|2016|2016【难度】★★【答案】【解析】【习题12】已知00x y >>，，且150x y --=的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【习题13】若x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++-，求x y +的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业1】在数2π、3.1010010001、3.1415926、2.1234567891011理数的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．4【难度】★ 【答案】【解析】【作业2】估计68的立方根的大小在（）A ．2与3之间B .3与4之间C .4与5之间D .5与6之间【难度】★ 【答案】【解析】【作业3】（1）如果2180a-=，那么a的算术平方根是___________；（2）如果6-是某数的平方根，那么这个数是_______．【难度】★【答案】【解析】【作业4】若，则估计的值所在的范围是（）A．B．C．D．【难度】★【答案】【解析】【作业5】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0；（）（2）如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0；（）（3）6a的立方根是2a；（）（4）6a的平方根是3a．（）【难度】★★【答案】【解析】【作业6】（1）已知：｜x|＝4，y2＝149且x>0，y<0，求x－y的值；（2）4a，小数部分为b，求ba的值.【难度】★★【答案】【解析】440-=m m 21<<m32<<m43<<m54<<m【作业7】求值：（1）（2 【难度】★★ 【答案】【解析】【作业8】填空：（1）1236-=，=；（2）81625的四次方根是，的六次方根是；（3）奇次方根是本身的实数有．【难度】★★ 【答案】【解析】【作业9】已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-. 【难度】★★ 【答案】【解析】【作业10】计算：已知：a b =，求2221a ab b +++的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业11】已知|2|a b +-=236a b +的算术平方根．【难度】★★★ 【答案】【解析】【作业12】设x 、y 都是有理数，且满足方程11+(402332x y πππ++--=（），求x y -的值．【难度】★★★ 【答案】【解析】。

高一数学同步辅导教材(第1讲)

高一数学同步辅导教材(第1讲)高一数学同步辅导教材(第1讲)1.1 实数在数学中，实数是指所有实数构成的集合，实数包括有理数和无理数。

有理数是可以表示为两个整数的比例（例如注：2/3），而无理数是不能用有限或重复的小数表示的数字，例如圆周率π。

实数有不同的性质，其中一个重要的性质就是实数可以相互比较大小。

实数可以在数轴上表示，可以用一个点表示。

例如，0就是一个实数，可以用数轴上的一个点来表示。

1.2 代数式与方程代数式是由数、字母和运算符号组成的表达式。

例如，3x+4就是一个代数式。

方程是等式，其中包括未知数和已知量，等式左右两边相等。

例如，3x+4=10就是一个方程。

方程的解是满足该方程的未知数的值，对于方程3x+4=10，x=2就是方程的解。

方程的解可以通过变形或代数上的计算求出。

变形是指将方程变形成另一个等价的方程，而不改变方程的解。

代数计算是指使用代数式的运算规则，对方程进行运算来求解它的未知数。

1.3 函数函数是将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素的一种数学关系。

简单地说，函数将输入数据（自变量）映射到输出数据（因变量）。

在函数中，通常用f(x)表示函数，其中f是函数名，而x则是自变量。

在函数解题中，重要的是求出函数的域和值域。

域是指自变量的所有可能取值，值域是指函数的输出值的所有可能值。

函数的定义域和值域可以使用集合的符号表示。

1.4 三角函数三角函数是三角形内角的函数。

三角函数很广泛应用于物理学、工程学、建筑学和数学等领域。

三角函数的三个基本函数是正弦、余弦和正切，它们分别表示三角形中的对边、邻边和斜边的比率。

正弦函数(sin)、余弦函数(cos)和正切函数(tan)的定义都涉及到三角形中的角度。

三角函数可以用函数图像或三角表表示。

在三角函数的解题中，常常需要使用三角函数的性质和公式。

常用的三角函数公式包括勾股定理、余弦定理和正弦定理等。

1.5 指数和对数指数和对数是数学中的两个重要概念。

实数讲义

第十二章实数【知识点说明】1、掌握实数的概念、数的开方。

2、掌握实数的运算、分数指数幂、熟练运用有理数指数幂的公式。

【知识梳理】一、实数的概念1、定义：有理数和无理数统称为实数。

2、实数的分类：正有理数有理数零----有限小数或无无限循环小数负无理数实数正无理数无理数----无限不循环小数负无理数二、数的开方1、平方根和开平方：①定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。

，其中______表示a的正平方根（又叫______________），读作“根号a”。

②表示：正数a的两个平方根记作a③性质：正数的平方根有两个，且互为_________；0的平方根为________；负数没有平方根。

④2a=_______=⑤一个数a的算术平方根具有_________，即：____________________。

2、立方根和开立方：① 定义：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用3a 表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做___________；求一个数a 的立方根的运算叫做开立方。

② 任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根。

3、n 次方根：定义：如果一个数的n 次方（n 是大于1的正数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根。

当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根。

求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方，a 叫做被开方数，n 叫做根指数。

【热身练习】1、与数轴上的点一一对应的是（） A.全体有理数B.全体无理数C.全体实数D.全体整数2、如果一个实数的平方根与它的立方根相等，那么这个数是（）.A.0B.正实数C.0和1D.13、如果y =0.25，那么y 的值是（） A 0.0625 B ．-0.5C ．0.5D ． 0.6254、如果x 是a 的立方根，那么下列说法中正确的是（）A -x 也是a 的立方根B ．-x 是-a 的立方根C ．x 是-a 的立方根D ． x 等于a 的立方3 5、若式子x-31的平方根只有一个，则x 的值是__________ 6、若一个正数的平方根是2a-1和 -a+2，则这个正数是__________ 7、已知1-2a + （b + 3）2 = 0，则=332ab__________ 8、已知y =191x -91+-+x ，则xy=_________ 9、有理数x 经过四舍五入得到的近似数是3.142，则x 的范围是__________ 10、若22x =+，则（x + 2）2的平方根为___________ 11、设x ，y 为实数，且y = 5x -54-++x ，则 | x – y | =__________【课堂练习】一、选择题1. 实数38、2π、34、310、25其中无理数有（） A 、 1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、 4个 2. 如果162=x ，则x 的值是（）A 、 4B 、 -4C 、4±D 、2± 3．下列说法正确的是（）A 、25的平方根是5B 、22-的算术平方根是2 C 、8.0的立方根是 D 、65 是3625 的一个平方根 5．下列说法⑴无限小数都是无理数 ⑵无理数都是无限小数 ⑶带根号的数都是无理数 ⑷两个无理数的和还是无理数其中错误的有（）个A 、 3B 、 1C 、 4D 、 2 6．如果x x -=2 成立的条件是（）A 、x ≥0B 、 x ≤0C 、 x>0D 、x <07.设面积为3的正方形的边长为x ，那么关于 x 的说法正确的是（） A 、x 是有理数 B 、3±=x C 、不存在 D 、取1和2之间的实数 8．下列说法错误的是（）A 、2a 与2)(a -相等 B 、a 与a - 互为相反数 C 、3a 与3a -是互为相反数 D 、a 与a -互为相反数三、实数的运算1、掌握用数轴上的点表示实数，在数轴上，如果点A 、点B 所对应的数分别为a 、b ，那么A 、B 两点的距离为____2、有理数的额运算法则、运算性质以及运算顺序的规定，在实数范围内仍旧适用，开方和乘方是同级运算。

第7讲实数;新人教版数学同步复习讲义

1、了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数；2、掌握有理数的运算法则在实数运算法则中仍适用；3、了解实数绝对值的意义，了解实数与数轴上的点一一对应的关系。

重点：正确理解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应的关系。

难点：无理数意义的理解；通过实数与数轴上的点一一对应关系，使学生了解数形结合思想。

【知识点1】无理数：无限不循环小数叫做无理数．常见无理数：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率π及一些含π的数是无理数．（3）无限不循环的小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；例1、在-1.732，，π， 3.12，2+，3.212212221…，3.14这些数中，无理数为【课堂练习】1、下列各数：12、、、－227、、0.01020304…中是无理数的有___________.2、下列实数中，属于无理数的是( )A 、√4B 、√93C 、3.14D 、13 3、在实数√4，√3，- 175，π，0.9，1.010010001…（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个【知识点2】实数及其分类实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：2•430.32π5经典例题剖析知识重难点梳理教学目标实数0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数与数轴上的点的对应关系：数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．例1、把下列各数填入相应的集合：－1、√4、√5、π、-3.14、12、√3−√2、0.7、0（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．例2、如图，数轴上点P 表示的数可能是（）A 、B 、C 、D 、﹣2【课堂练习】1、把下列各数分别填入相应的集合里：3250,,0.2020020002,100.6,9π•-有理数集合：｛｝；无理数集合：｛｝；2、实数a 在数轴上的位置如图所示，化简：|2-a|+2=3、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|a-b|-√（a +b ）2【知识点3】实数的性质（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ；（2）任何非0实数a ，都有倒数1a ；若a 与b 互为倒数，则ab=1；若ab=1，则a 与b 互为倒数。

实数的整数部分与小数部分讲义

实数的整数部分与小数部分讲义⑴对于正实数，即实数＞0时，整数部分直接取与其最接近的两个整数中最小的正整数，小数部分=原数－整数部分．如实数9.23，在整数9—10之间，则整数部分为9，小数部分为9.23-9=0.23．⑵对于负实数，即实数＜0时，整数部分则取与其最接近的两个整数中最小的负整数，小数部分=原数－整数部分．如实数-9.23，在整数-10—-9之间，则整数部分为-10，小数部分为-9.23-（-10）=0.77．例1．已知+1的整数部分为a，小数部分为b，求a、b的值．解：∵2＜＜3 ∴3＜+1＜4 ∴a=3，b=+1－3=－2例2．若x、y分别是8－的整数部分与小数部分，求2xy－y2的值．解：∵3＜＜4 ∴4＜8－＜5 ∴x=4，y=8－－4=4－2xy－y2=y（2x－y）=（4－）（4+）=5例3．已知的整数部分为a，小数部分为b，求a2+b2的值．解：∵==+1 又2＜＜3 ∴3＜+1＜4∴a=3，b=+1－3=－2∴a2+b2=32+（－2）2=18－4例4．设x=，a是x的小数部分，b是-x的小数部分．则a3+b3+3ab=．解：由x==+1 而1＜＜2 ∴2＜+1＜3∴x的整数部分为2，小数部分a=+1-2=-1又∵-x=－－1 ∴-3＜－－1＜-2∴－x的整数部分为－3，小数部分b=－－1―（―3）=2－∴a+b=1∴a3+b3+3ab=（a+b）（a2-ab+b2）+3ab= a2+2ab+b2=（a+b）2=1估算1.估计是几位数.2.确定最高位上的数字(如百位).3.确定下一位上的数字.(如十位)4.依次类推，直到确定出个位上的数，或者按要求精确到小数点后的某一位.1.。

A ．7.0～7.5之间B ．6.5～7.0之间C ．7.5～8.0之间D ．8.0～8.5之间2. 化简2)521(-的结果为（） A.21－5B.5－21C.－21－5D.不能确定二、填空题1. |2－1|=______,|3－2|=______.2. 与110-最接近的整数是。