不动点理论及其应用
不动点的性质与应用(教师版)
不动点的性质与应用一、不动点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程()f x x =的解x 称为函数()f x 的不动点，即()y f x =与y x =图像交点的横坐标.例1：求函数12)(-=x x f 的不动点. 解：有一个不动点为1例2：求函数12)(2-=x x g 的不动点. 解：有两个不动点121、- 二、稳定点：对于函数()()f x x D ∈，我们把方程[()]f f x x =的解x 称为函数()f x 的稳定点，即[()]y f f x =与y x =图像交点的横坐标.很显然，若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点.证明：因为00)(x x f =，所以000)())((x x f x f f ==，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点. 例3：求函数12)(-=x x f 的稳定点.解：设12)(-=x x f ，令x x =--1)12(2，解得1=x 故函数12-=x y 有一个稳定点1【提问】有没有不是不动点的稳定点呢？答：当然有 例4：求函数12)(2-=x x g 的稳定点.解：令[()]g g x x =，则018801)144(21)12(2242422=+--⇒=--+-⇒=--x x x x x x x x ， 因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解1,2121=-=x x⇒18824+--x x x 必有因式12)12)(1(2--=+-x x x x可得0)124)(12)(1(2=-++-x x x x ⇒另外两解4514,3±-=x ， 故函数12)(2-=x x g 的稳定点是1、21-、451451--+-、，其中451±-是稳定点，但不是不动点 下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.由此可见，不动点是函数图像与直线x y =的交点的横坐标，稳定点是函数))((D x x f y ∈=图像与曲线))((D y y f x ∈=图像交点的横坐标（特别，若函数有反函数时，则稳定点是函数图像与其反函数图像交点的横坐标）.由图1和图3，我们猜测命题：若函数))((D x x f y ∈=单调递增，则它的不动点与稳定点或者相同，或者都没有.证明：（1）ο1若函数))((D x x f y ∈=有不动点0x ，即00)(x x f =000)())((x x f x f f ==⇒，故0x 也是函数)(x f y =的稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=有稳定点0x ，即00))((x x f f =，假设0x 不是函数的不动点，即00)(x x f ≠①若f （x 0）>x 0，则 f （f （x 0））>f （x 0），即x 0>f （x 0）与f （x 0）>x 0矛盾，故不存在这种情况； ②若f （x 0）<x 0，则f （f （x 0））<f （x 0），即x 0<f （x 0）与f （x 0）<x 0矛盾，故不存在这种情况； 综上，f （x 0）=x 0⇒x 0是f （x ）的不动点．（2）ο1若函数))((D x x f y ∈=无不动点，由（1）知若函数有稳定点，则函数必有不动点，矛盾，故函数无稳定点；ο2若函数))((D x x f y ∈=无稳定点，由（1）知若函数有不动点，则函数必有稳定点，矛盾，故函数无不动点；121例5、对于函数f (x )，我们把使得f (x )=x 成立的x 称为函数f (x )的不动点。
不动点定理
不动点定理不动点定理（Fixed Point Theorem）是数学中的一项重要定理，它在现代数学的许多领域中都有广泛的应用。
该定理的推导和证明过程相对复杂，但是可以通过举例来更直观地理解。
不动点定理最基本的形式是：对于一个连续函数f，如果存在一个数a使得f(a) = a，那么这个数a就被称为函数f的不动点。
假设有一个长度为1的线段，你可以将它折叠成任何形状的折线。
对于一条折线上的每一点，你都可以轻松地找到一个它的对应点，使得折线的对折后这两个点重合。
这个过程中，不动点就是指那些折线上的点，对折后依然保持不动。
我们先来看一个简单的例子，假设有一条直线y = x，我们希望找到这条直线上的一个不动点。
我们可以将其代入方程中，得到x = x，即x满足这个等式。
很明显，所有的实数都满足这个等式，所以直线y = x上的所有点都是它的不动点。
现在我们将问题扩展到更一般的函数。
假设有一个函数f(x) =x^2，我们可以将其图像绘制出来，并找到它的不动点。
通过描点，我们可以发现这个函数的图像在x = 0和x = 1处都与直线y = x有交点，也就是不动点。
这两个点分别是函数f(x)= x^2的两个不动点。
不动点定理告诉我们，如果一个函数在某个区间上满足某些条件，那么它一定存在一个不动点。
这个定理有着广泛的应用，例如在经济学中的均衡问题、微积分中的方程求解、组合数学中的图像理论等等。
不动点定理的推导和证明过程相对较为复杂，需要利用到现代数学中的许多高级概念和理论。
例如，需要使用到连续性、紧致性、度量空间等概念，以及开集、闭集、紧集等性质。
这些都是数学中非常重要的概念，它们为不动点定理提供了坚实的理论基础。
总结起来，不动点定理是数学中的一项重要定理，它有着广泛的应用。
通过找到函数中的某个不动点，我们可以解决一些实际问题或者推导出一些有意义的结论。
不动点定理的证明过程相对复杂，但通过举例可以更加直观地理解。
在日常生活中，我们也可以通过不动点定理来理解一些问题，例如折纸和折线、函数的交点问题等等。
泛函分析中不动点理论及其应用
泛函分析与微分方程有着密切的联系，泛函分析的算子半群理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论，不动点原理等在常微分方程中都有重要的应用。
首先，算子半群最简单的原型在线性常微分方程的初值问题，且由Hille Yosida -定理表明：当稠定闭算子A 满足定理条件时，是下列方程的解，且解是唯一的。
设A 是一个n n ⨯实矩阵，方程组()()()00ndx t Ax t dt x x R ⎧=⎪⎨⎪=∈⎩在空间中解存在唯一。
设0t ≥，考察映射 ()()0:.T t x x t →则(){}0T t t ≥是强连续算子半群。
在常微分方程中把算子半群(){0T t t ≥通过矩阵写出来：()0!n ntAN t A T t e n ∞===∑.且不动点在常微分方程中有很多应用。
例如，应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理微分方程解的存在性与唯一性定理 若常微分方程0,,xdyF x y y y dx满足以下条件：（1）,F x y 在整个平面上连续；（2）()()11,,F x y F x y K y y -≤-，其中K >0； 那么存在唯一的连续函数y x 满足()(),d x F x y dxϕ=且()00x y ϕ=。
证明：用0,XC U x 表示所有定义在0,U x 上取值于R 的连续函数全体，其中满足1K 。
,f g X ，用0,,maxx U x f gf xg x 表示,f g 间的距离，同样由泛函分析的知识知X 为完备度量空间。
上述常微分方程等价于等价于积分方程0,x x y xy f t y t dt ，定义映射0,xx Tfy F t f t dt ，由F 的连续性知TfX ，,f gX 0,,max x U x Tf TgTf xTg x()()()()()00,max,,xx U x x F x f x F x g x dt δ∈⎡⎤=-⎣⎦⎰()()()00,maxxx U x x K f t g t dt δ∈≤-⎰()()()0,max x U x K f t g t δδ∈≤-,K f g因为1K，故存在唯一的连续函数0,,yx x U x ，使得()()()00,xx x y f t t dt ϕϕ=+⎰，显然()y x ϕ=可微，所以()()0,,y x x U x ϕδ=∈满足()(),d x F x y dxϕ=且()00x y ϕ=，然后在延拓到整个R 上即得。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用不动点定理及其应用1 引言大家都知道，在微分方程、积分方程以及其它各类方程的理论中，解的存在性、唯一性以及近似解的收敛性等都是相当重要的课题，为了讨论这些方程解的存在性，我们可以将它们转化成求某一映射的不动点问题．本文就这一问题作一下详细阐述．2 背景介绍把一些方程的求解问题化归到求映射的不动点，并用逐次逼近法求出不动点，这是分析中和代数中常用的一种方法．这种方法的基本思想可以追溯到牛顿求代数方程的根时所用的切线法，19世纪Picard 运用逐次逼近法解常微分方程．后来，1922年，波兰数学家巴拿赫（Banach ）将这个方法加以抽象，得到了著名的压缩映射原理，也称为巴拿赫不动点定理．3 基本的定义及定理定义1[1](P4) 设X 为一非空集合，如果对于X 中的任何两个元素x ，y ，均有一确定的实数，记为),,(y x ρ与它们对应且满足下面三个条件：①非负性：0),(≥y x ρ，而且0),(=y x ρ的充分必要条件是x =y ；②对称性：),(y x ρ=),(x y ρ；③三角不等式：),(y x ρ),(),(y z z x ρρ+≤，这里z 也是X 中任意一个元素．则称ρ是X 上的一个距离，而称X 是以ρ为距离的距离空间，记为()ρ,X ．注距离概念是欧氏空间中两点间距离的抽象，事实上，如果对任意的,),,,(),,,,(2121n n n R y y y y x x x x ∈==ΛΛ2/12211])()[(),(n n y x y x y x -++-=Λρ容易看到①、②、③都满足．定义2[1](P23) 距离空间X 中的点列}{n x 叫做柯西点列或基本点列，是指对任给的,0>ε存在,0>N 使得当N n m >,时，ερ<),(n m x x ．如果X 中的任一基本点列必收敛于X 中的某一点，则称X 为完备的距离空间．定义3[2](P16) 设X 是距离空间，T 是X 到X 中的映射．如果存在一数,10,<≤a a 使得对所有的X y x ∈,，不等式),(),(y x a y x ρρ≤T T （1）成立，则称T 是压缩映射．压缩映射必是连续映射，因为当x x n →时，有0),(),(→≤x x a Tx Tx n n ρρ．例设[]10，X =，Tx 是[]10，上的一个可微函数，满足条件：()[][]()1,01,0∈?∈x x T ，以及()[]()1,01∈?<≤'x a x T ，则映射X X T →:是一个压缩映射．证()()[]()()y x a y x a y x y x T Ty Tx Ty Tx ,1,ρθθρ=-≤--+'=-=()10,,<<="">定义4 设X 为一集合，X X T →:为X 到自身的映射（称为自映射），如果存在,0X x ∈使得00x Tx =，则称0x 为映射T 的一个不动点．例如平面上的旋转有一个不动点，即其旋转中心，空间中绕一轴的旋转则有无穷多个不动点，即其旋转轴上的点均是不动点，而平移映射a x Tx +=没有不动点．如果要解方程(),0=x f 其中f 为线性空间X 到自身的映射（一般为非线性的），令,I f T +=其中I 为恒等映射：,x Ix =则方程()0=x f 的解恰好是映射T 的一个不动点．因此可以把解方程的问题转化为求不动点的问题．下面就来介绍关于不动点的定理中最简单而又应用广泛的压缩映射原理：定理1[3](P36) 设X 是完备的距离空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点．证任取,0X x ∈并令ΛΛ,,,,11201n n Tx x Tx x Tx x ===+ （2）下证()2的迭代序列是收敛的，因T 是压缩映射，所以存在,10<≤a 使得()()y x a Ty Tx ,,ρρ≤，因此 ()()()();,,,,00101021Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=()()()();,,,,002212132Tx x a x x a Tx Tx x x ρρρρ=≤=…………一般地，可以证明()()()();,,,,00111Tx x a x x a Tx Tx x x nn n n n n n ρρρρ≤≤≤=--+Λ于是对任意自然数p n ,，有()()()+++≤++++Λ211,,,n n n n p n n x x x x x x ρρρ()p n p n x x +-+,1ρ≤()0011,)(Tx x a a a p n n n ρ-++++Λ()()()0000,1,11Tx x aa Tx x a a a n p n ρρ-≤--= （3）由于10<≤a ，因此，当n 充分大时，(),,ερ<+p n n x x 故}{n x 是X 中的基本点列，而X 是完备的，所以存在_0_0,x x X x n →∈使得成立．再证_0x 是T 的不动点．易证，若T 是压缩映射，则T 是连续映射，而,lim _0x x n n =∞→因此,lim _0x T Tx n n =∞→所以_0_0_0,x x x T 即=是T 的一个不动点．最后，我们证明不动点的唯一性，若存在X x ∈*，使得,**x Tx =则,,,,*_0*_0*_0??≤??? ??=??? ??x x a Tx x T x x ρρρ 而_0*_0*,0,,1x x x x a ==??<即所以ρ．证毕．注（i ）由（2）定义的序列收敛，且收敛到T 的唯一不动点，且迭代与初始值0x 的取法无关．（ii ）误差估计式方程x Tx =的不动点*x 在大多数情况下不易求得，用迭代程序,1n n Tx x =+即得到不动点*x 的近似解，在（3）式中令()()00*,1,,Tx x aa x x p nn ρρ-≤∞→得（4）此即误差的先验估计，它指出近似解n x 与精确解* x 之间的误差．如果事先要求精确度为(),,*ερ≤x x n 则由()ερ≤-00,1x Tx aa n，可计算出选代次数n ，在（4）式中取01,1Tx x n ==代入得()()0*0,1,x Tx aTx ρρ-≤．上式对任意初始值均成立，取10-=n x x ，即得()()1*,1,--≤n n n x x aax x ρρ，此式称为后验估计，可从n x 与其前一步迭代结果1-n x 的距离来估计近似解与精确解*x 之间的误差．所以，压缩映射原理，不仅给出了不动点的存在性，而且给出求解方法，同时还指明了收敛速度及误差．（iii ）a 值越小迭代收敛的速度越快．（iv ）在T 满足()()()y x y x Ty Tx ≠<,,ρρ （5）的条件下，T 在X 上不一定存在不动点．如令[)[)()+∞∈++=+∞=,011,,0x xx Tx X ，我们容易证明对一切[)y x y x ≠+∞∈,,0,时，有()()[)∞+<，但0,,,T y x Ty Tx ρρ中没有不动点．又如，若令x arctgx Tx R X +-==2π，，则T 满足条件（5），因任取,,,y x R y x ≠∈则由中值公式()()y x T y x Ty Tx ,,'在ξξ-=-之间，由于()，故得11'22<+=ξξξT ()()y x Ty Tx y x Ty Tx ,,,ρρ<-<-即， Tx 但没有不动点，因任何一个使x Tx =的x 须满足,2=arctgx 在R 内这样的x 不存在．（v ）压缩映射的完备性不能少．如设(]1,0=X ，定义T 如下：2 xTx =，则T 是压缩映射，但T 没有不动点．这是由于(]1,0空间的不完备性导致的．（vi ）压缩映射条件是充分非必要条件．如()[]b a x f ,映为自身，且 ()()y x y f x f -≤- ，（6）任取[],,1b a x ∈令()[]n n n x f x x +=+211 ，（7）该数列有极限**,x x 满足方程()**xxf =，但由（6），（7）可得11-+-≤-n n n n x x a x x ，相当于,1=a 不是10<定理1从应用观点上看还有一个缺点，因为映射T 常常不是定义在整个空间X 上的，而仅定义在X 的子集E 上，而其像可能不在E ，因此要对初值加以限制，有以下结果：定理2 [4]（P193-194）设T 在Banach 空间的闭球()(){}r x x X x r x B B ≤∈==00_,:,ρ上有定义，在X 中取值，即T ：()X r x B →,0_又设[),1,0∈?a 使得()()(),,,,,0_y x a Ty Tx r x B y x ρρ≤∈?有()(),1,00r a Tx x -≤ρ且则迭代序列（2）收敛于T 在B 中的唯一不动点．证只需证明(),,B x B B T ∈?? ()Tx x ,0ρ()()Tx Tx Tx x ,,000ρρ+≤()r a -≤1()x x a ,0ρ+()r ar r a =+-≤1，因此()B ，B T B Tx ?∈所以,由定理1B 在知T 中有唯一的不动点，证毕．有时T 不是压缩映射，但T 的n 次复合映射nT 是压缩映射，为了讨论更多方程解的存在性、唯一性问题，又对定理1进行了推广．定理3[5]（P21）设T 是由完备距离空间X 到自身的映射，如果存在常数10,<≤a a 以及自然0n ，使得()()()X y x y x y T x Tn n ∈≤,,,00ρρ，（8）那么T 在X 中存在唯一的不动点．证由不等式（8），0n T 满足定理1的条件，故0n T存在唯一的不动点，我们证明0x 也是映射T唯一的不动点．其实，由()()()000100Tx x T T x T Tx Tnn n ===+，可知0Tx 是映射0n T 的不动点．由0n T 不动点的唯一性，可得00x Tx =，故0x 是映射T 的不动点，若T 另有不动点1x ，则由,1111100x Tx Tx T x T n n ====-Λ可知1x 也是0n T 的不动点，再由0n T 的不动点的之唯一性，得到,01x x =证毕．4 不动点定理的应用4.1 不动点定理在数学分析中的应用该定理在数学分析中主要用于证明数列的收敛性、方程解的存在性和唯一性及求数列极限．定理4.1.1 ① 对任一数列{}n x 而言，若存在常数r ，使得10,,11<<-≤-∈?-+r x x r x x N n n n n n 恒有 ()A ，则数列{}n x 收敛．② 特别，若数列{}n x 利用递推公式给出：()n n x f x =+1 (),,2,1Λ=n 其中f 为某一可微函数，且()()(),1',B R x r x f R r ∈?<≤∈?使得则{}n x 收敛．证①此时rr x x r r r x x x x rx xx x np n n pn n k k pn n k k kn p n --≤---=-≤-≤-+++=-++=-+∑∑11.0101011111应用Cauchy 准则，知{}n x 收敛，或利用D ，Alenber 判别法，可知级数()1--∑n n x x 绝对收敛，从而数列()()ΛΛ,2,1011=+-=∑=-n x x xx nk k kn 收敛．② 若()B 式成立，利用微分中值定理：()()()()Λ,3,2,1111=-≤-'≤-=----+n x x r x x f x f x f x x n n n n n n n n ξ即此时()A 式亦成立，故由①知{}n x 收敛．注若()B 式只在某区间I 上成立，则必须验证，{}n x 是否保持在区间I 中．例1 设数列{}n x 满足压缩性条件，,,3,2,10,11Λ=<<-≤--+n k x x k x x n n n n 则{}n x 收敛．证只要证明{}n x 是基本点列即可，首先对一切n ，我们有11-+-≤-n n n n x x k x x ,121212x x k x x k n n n -<<-<---Λn m >设，则 n n m m m m n m x x x x x x x x -++-+-≤-+---1211Λ123122x x k x x k m m -+-<--121x x k n -++-Λ()01121∞→→--<-n x x kk n ，证毕．注该题体现了不动点定理证明数列的收敛性．例2 证明若()x f 在区间[]r a r a I +-≡,上可微，()1<≤'αx f ，且()()r a a f α-≤-1 , （9）任取()()(),,,,,,112010ΛΛ-===∈n n x f x x f x x f x I x 令则**,lim x x x n n =∞-为方程()x f x =的根（即*x 为f 的不动点）证已知I x ∈0，今设I x n ∈，则()()()a a f a f x f a x n n -+-=-+1()()a a f a x f n -+-'≤ξ ()之间与在a x n ξ[由（9）](),1r r r =-+≤ααI x n ∈+1即这就证明了：一切I x n ∈应用微分中值定理，1,+?n n x x 在ξ之间（从而I ∈ξ）()()()()111--+-'=-=-n n n n n n x x f x f x f x x ξ 1--≤n n x x α ()10<<α，这表明()1-=n n x f x 是压缩映射，所以{}n x 收敛．因f 连续，在()1-=n n x f x 里取极限知{}n x 的极限为()x f x =的根．注该题体现了不动点定理证明方程解的存在性．例 3 ()x f 满足()()(),10<<-≤-k y x k y f x f (),,10n n x f x R x =∈?+令取则{}n x 收敛，且此极限为方程()x x f =的唯一解．证① 因为()()01212111x x k x x k x x k x f x f x x nn n n n n n n n -≤≤-≤-≤-=-----+Λ所以 n n p n p n p n p n n p n x x x x x x x x -++-+-≤-+-+-+-+++1211Λ()01121x x k k k k n n p n p n -++++≤+-+-+Λ()10101<<--<="" p="" x="">k n因为01lim01=--∞→x x k k n n ，所以εε<--<->>?+011,,,,0x x kk x x N n p N nn p n 有，由Cauchy 准则，知{}n x 收敛．② 设,lim *x x n n =∞→已知()n n x f x =+1，所以()()**lim x f f x f x n n 连续∞→=，所以()x f x x =是*的解．若另有解*y 是()x f x =的解，即()**yf y =，而()()()10******<<-≤-=-k x y k x f y f x y ．所以**x y =，所以()x f x x =是*的唯一解．注该题既体现了不动点定理证明数列的收敛性又体现了方程解的存在唯一性．定理4.1.2 已知数列{}n x 在区间I 上由()()Λ,2,11==+n x f x n n 给出，f 是I 上连续函数，若f 在I 上有不动点()()***xf x x =即满足()()()()*0*111≥--x x x f x，则此时数列{}n x 必收敛，且极限A 满足()A f A =,若()*式"""">≥改为对任意I ∈1x 成立，则意味着*x 是唯一不动点，并且,*x A =特别，若f 可导，且()(),10I x x f ∈<'<当则f 严增，且不等式()() """"*>≥可该为会自动满足()I x ∈?1，这时f 的不动点存在必唯一从而*x A =，证（分三种情况进行讨论）：① 若*1x x >，则()()**12x x f x f x =≥=，一般地，若已证到*x x n ≥，则()()**1x x f x f x n n =≥=+．根据数学归纳法，这就证明了，一切*:x x n n ≥（即*x 是n x 之下界）另一方面，由()*式条件，已有()112x x f x ≤=，由f 单调增，知()()2123x x f x f x =≤=，…．一般地若已证到1-≤n n x x ，由f 单调增，知()()n n n n x x f x f x =≤=-+11，这就证明了n x 单调减，再由单调有界原理，知{}n x 收敛．在()n n x f x =+1里取极限，因()x f 连续，可知{}n x 的极限A 适合方程()A f A =．② *1x x <的情况，类似可证．③ *1x x =若，则一切n ，*x x n =结论自明．最后，假若()(),10I x x f ∈?<'<由压缩映射原理可知{}n x 收敛．事实上，这时也不难验证()*条件成立，如：对函数()()x f x x F -≡应用微分中值定理，（注意到()()0,0*>'=x F x F ），知*x在ξ?与x 之间，使得()()()()()()(),***x x F x x F xF x F x f x -'=-'+=≡-ξξ可见()()(),0*>--xx x f x 即条件()*严格成立，故*lim x xnn =∞→．例4 设()nn n x c x c x x ++=>+1,011（1>c 为常数），求n n x ∞→lim ．解法一（利用压缩映射）因0>n x ，且0>x 时，0))(()1()1()('2'>-=++=x f c c x c x c x f x ，又由1>c 知111)1()()1()('022<-=-≤+-=x ，故)(1n n x f x =+为压缩映射，{}n x 收敛，在nn n x c x c x ++=+)1(1中取极限，可得c x n n =∞→lim ．法二（利用不动点）显然一切0>n x ，令()()x xc x c x f =++=1，知不动点c x =*，而f 单调增加且0)()()()1(22>-++=-+---=-++-c x x c c x c x x c cx c x cx c x x c xc x ．表明()()()0*111≥--xx x f x 成立，根据不动点方法原理c xnn =∞→lim ．注该题体现了不动点定理用于求数列极限．定理4.1.3 （不动点方法的推广）设),(y x f z =为二元函数，我们约定，将),(x x f z =的不动点，称为f 的不动点（或二元不动点），已知),(y x f z =为0,0>>y x 上定义的正连续函数，z 分别对x ，对y 单调递增，假若：（1）存在点b 是),(x x f 的不动点；（2）当且仅当b x >时有()x x f x ,>，令()()()()()ΛΛ,4,3,,0,,,21121==>==--n a a f a a a a f a a a f a n n n ，（10）则{}n a 单调有界有极限，且其极限A 是f 的不动点．证只需证明{}n a 收敛，因为这样就可在（10）式中取极限，知A 是f 的不动点，下面分两种情况进行讨论：① 若1a a ≤，由f 对x ，对y 的单增性知112),(),(a a a f a a f a =≥=，进而2111123),(),(),(a a a f a a f a a f a =≥≥=，类似：若已推得121,---≥≥n n n n a a a a ，则),4,3(),(),(2111Λ==≥=---+n a a a f a a f a n n n n n n ，如此得{}n a 单调递增．又因a a a f a ≥=),(1，按已知条件这时只能b a ≤（否则b a >按已知条件（2），应有1),(a a a f a =>，产生矛盾），进而),(),(,),(),(121a b f a a f a b b b f a a f a ≤==≤= Λ,),(b b b f =≤，用数学归纳法可得一切b a n ≤，总之n a 单调递增有上界，故{}n a 收敛．② 若a a ≤1，类似可证{}n a 单调递减有下界b ，故{}n a 收敛．注按b 的条件可知b 是f 的最大不动点，b x >时不可能再有不动点，情况②时极限b A ≥是不动点，表明此时b A =．例5 若ΛΛ,)(,,)(,)(,031312131311231311--+=+=+=>n n n a a a a a a a a a a ，试证（1）数列{}n a 为单调有界数列；（2）数列{}n a 收敛于方程313x x x +=的一个正根．证（利用定理 4.1.3）设3131)(),(y x y x f z +==，显然f 当0,0>>y x 是正值连续函数，对y x ,单增，只需证明①b ?使得),(b b f b =；②),(x x f x >当且仅当b x >① 注意到 f 的不动点，亦即是方程0313=--x x x 的根，分析函数313)(x x x x g --=，因0926)(",3113)('35322>+=--=xx x g xx x g （0>x 时），0)1(',)00('>-∞=+g g ，可知g 在（0，1）内有唯一极小点c x c >,时g x g ,0)('>严增，0)2(,0)1(><="" （即f="" ，故g="">② b x >时0)()(=>b g x g ，即),(x x f x >；事实上，在0>x 的范围也只有在b x >时才有),(x x f x >，因为0)(,0)0(==b g g ，在),0(c 上)(x g 严减，),(b c 上)(x g 严增，所以),0(b 上0)(<．证毕．<="" bdsfid="663" f="" g="" p="" x="" ，即),(x="">4．2 不动点定理在积分方程中的应用该定理在积分方程用于证明方程解的存在性、唯一性及连续性．例6 第二类Fredholm 积分方程的解，设有线性积分方程τττμ?d x t k t t x b a )(),()()(?+=，（11）其中[]b a L ,2∈?为一给定的函数，λ为参数，),(τt k 是定义在矩形区域b a b t a ≤≤≤≤τ,内的可测函数，满足+∞a b a 2),(．那么当参数λ的绝对值充分小时，方程（11）有唯一的解[]b a L x ,2∈．证令τττμ?d x t k t t Tx ba )(),()()(?+=．由 []d t d x d t k d x t k ba b a b a ba b a τττττττ222)(),()(),(≤??ττττd x dt d t k ba ba b a 22)(),(=及T 的定义可知，T 是由[]b a L ,2到其自身的映射，取μ充分小，使[]1),(2/12d t k a ba b a ττμ，于是 2/12))()()(,(),(??-??=dt ds s y s x t k Ty Tx b a b a τμρ()()2/122/12)()(),(ds s y s x dtd t k b a b ab a -≤ττμ()),(),(2/12y x dtd t k b a b aρττμ??=),(y x a ρ=故T 为压缩映射，由定理1可知，方程（11）在[]b a L ,2内存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明第二类Fredholm 积分方程解的存在唯一性．例7 设),(τt k 是定义在三角形区域t a b t a ≤≤≤≤τ,上的连续函数，则沃尔泰拉积分方程)()(),()(t d x t k t x t a ?τττμ+?= （12）对任何[]b a C ,∈?以及任何常数μ存在唯一的解[]b a C x ,0∈．证作[]b a C ,到自身的映射()()()()(),,:t f d x t k t Tx T ta+=?τττμ则对任意的[],,,21b a C x x ∈有 ()()()()()()()[]?-=-tad x x t k t Tx t Tx ττττμ2121,()()()t x t x a t M bt a 21max --≤≤≤μ()(),,21x x a t M ρμ-=其中M 表示),(τt k 在t a b t a ≤≤≤≤τ,上的最大值，ρ表示[]b a C ,中的距离，今用归纳法证明),()!/)(()()(21221x x n a t M t x T t x T nnnnρλ-≤- （13）当1=n 时，不等式（13）已经证明，现设当k n =时，不等式（13）成立，则当1+=k n 时，有[]ττττμd x T x T t k t x T t x T k k t a k k )()(),()()(212111-?= -++[]),()(!/2111x x ds a s k M k t a k k ρμ-?≤++[]),()!1/()(21111x x k a t M k k k ρμ+-=+++，故不等式（13）对1+=k n 也成立，从而对一切自然数n 成立．由（13）()!/)()()(m ax ),(2121n a b M t x T t x T x T x T n n nn n bt a n n -≤-=≤≤μρ ),(21x x ρ对任何给定的参数μ，总可以选取足够大的n ，使得1!/)(<-n a b M n n nμ，因此n T 满足定理3的条件，故方程在[]b a C ,中存在唯一的解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在三角形区域上解的存在唯一性．例8 设),(τt k 是[][]b a b a ,,?上的连续函数，()[]b a C t f ,∈，λ是参数，方程)()(),()(t f d x t k t x b a +?=τττλ，（14）当λ充分小时对每一个取定的)(t f 有唯一解．证在[]b a C ,内规定距离)()(max ),(t y t x y x bt a -=≤≤ρ．考虑映射())(),())((t f d x t k t Tx b a +?=τττλ （15）当λ充分小时T 是[][]b a C b a C ,,→的压缩映射．因为()()()()()()()()()?-=-=≤≤≤≤ba bt a bt a d y x t k t Ty t Tx Ty Tx ττττλρ,m ax max ,τττλd t y x t k b a bt a )()(),(max -≤≤≤),(y x M ρλ?≤此处ττd t k M ba bt a ),(max ?=≤≤．故当λ1<="">[]b a C t f ,)(∈解存在唯一，任取初始值逼近，令()()()()t f d x t k t x b a+=?τττλ01,，则),(1)*,(01x x MM x x nnn ρλλρ?-≤，)(t x n 是第n 次的近似，)(*t x 是精确解．注该题体现了不动点定理证明沃尔泰拉积分方程在矩形区域上解的存在唯一性．例9 设[]1,0C f ∈，求出积分方程ds s x t f t x to )()()(?+=λ []()1,0∈t 的连续解．解法一据例7方程对一切λ存在唯一解[]1,0)(∈t x ，改写方程))(()(),()()(10t kx ds s x s t k t f t x =?+=λ，其中??≥<=.,1,,0),(s t s t s t k 由逐次逼近法，取0)(0=t x ，得002201,,,x k x x k x kx x nn ===Λ，则)(lim )(t x t x n n ∞→=在[]1,0C 中收敛，即为原方程之解，容易看出,,)(),()()(),()(1021Λds s f s t k t f t x t f t x ?+==λ)(1t x n +()()()∑?=+=nk k k ds s f s t k t f 11,λ，其中),,(),(1s t k s t k =du s u k u t k s t k n t n ),(),(),(10-?= )2(≥n ，从而 ??≥--<=-,,)()!1(10),(1s t s t n s t s t k n n ()()()()()()()ds s f n s t s t s t t f t x tn n n--++-+-++=--+011221!1!21λλλλΛ，故.)()()(lim )()(01ds s f et f t x t x s t t n n -+∞→?+==λλ法二令ds s x t y t)()(0?=，则)()('t x t y =，如果)(t x 满足原方程，则)(t y 必满足方程=+=0)0()()()('y t y t f t y λ （16）易知方程（16）的解为 ds s f e t y s t t )()()(0-?=λ再令 ()()()()()()?-+=+=ts t ds s f et f t y t f t x 0λλλ （17）下面证明)(t x 为原方程之解，事实上，因为()t y 满足（16），则)()()()('t x t y t f t y =+=λ 所以ds s x t y t )()(0?=，由（17）知ds s x t f t x t )()()(0?+=λ，故ds s f e t f t x s t t )()()()(0-?+=λλ为原方程的连续解．4.3 不动点定理在线性代数方程组中的应用该定理在线性代数方程组用于证明方程解的存在性、唯一性．例10 设有线性方程组()n i b x ax i nj j iji ,2,11Λ==-∑=， (18)如对每个1,1<≤∑=a ai nj ij(19)则该方程组有唯一解．证在空间n R 中定义距离()i i ni y x y x -=≤≤11max ,ρ (其中i x 与i y 分别是x 与y 的第i 分量)，则n R 按照1ρ是一个距离空间，且是完备的．在这个空间中，定义Tx y R R T nn =→,:由下式确定()∑==+=nj i j iji n i b x ay 1,,2,1Λ ，如令 ()()()()2211,y Tx y Tx==，则有()()()()()()()()()()()21112112121max max ,,j j nj ij ni iini x x a y yyyTxTx -=-==∑=≤≤≤≤ρρ()()2111max jj nj ij ni x x a -≤∑=≤≤()()∑-≤=≤≤≤≤nj ij n i j j nj a x x 11211max max由条件（19）可得()()()()()()2121,,x x a TxTx ρρ≤，即T 是压缩映射，从而它有唯一的不动点，即方程有唯一解且可用迭代法求得．上述结果可用于方程组(),,,,,21n n R x x x x b Ax ∈==Λ()()'21,,,n nn ijb b b b a A Λ==? （20）可知，当n i a aii nj,2,1,,1Λ=<∑≠=时（19）存在唯一的解x ，且用如下的Jacobi 法求出x ，将（20）改写成+----=+--+-=+---=nn n n nn n nn n nnn n n a b a a a a a b a a a a a b a a a a ξξξξξξξξξξξξ000221122222221222121111112111211ΛΛΛΛΛΛΛ记=------=nn n nnn nnn n n a b ab a b b a a a a a a aa a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛ2221112122222211111112000 即为b x A x +=，任取()()()(),,,,002010nRx ∈'=ξξξΛ用迭代法，令n n b x A x n n ,,2,1,1Λ=+=-，则x x n n =∞→lim ．4.4 不动点定理在微分方程中的应用该定理在微分方程用于证明方程解的存在性、唯一性．例11 考察微分方程()y x f dxdy,=，00y y x =，（21）其中()y x f ,在整个平面上连续，此外还设()y x f ,关于y 满足利普希茨（R ．Lipschtz ）条件：()(),,,,,,2'''R y y x y y k y x f y x f ∈-≤-其中0>k 为常数，那么通过点()00,y x ，微分方程（21）有一条且只有一条积分曲线．证微分方程（21）加上初值条件00 y yx =，等价于下面的积分方程()()()dt t y t f y x y xx ,00?+=．我们取0>δ，使1<δk ，在连续函数空间[]δδ+-00,x x C 内定义映射:T()()()()[]()δδ+-∈+=?000,,0x x x dt t y t f y x Ty xx ，则有()()(()()[]?-=≤-xx x x dt t y t f t y t f Ty Ty 002121,,max,δρ()()?-≤≤-xx x x dt t y t y k 0021max δ()()().,m ax 21210y y k t y t y k x t δρδδ=-≤≤-因,1<δk 由定理1，存在唯一的连续函数()[]()δδ+-∈000,x x x x y 使()()()dt t y t f y x y xx ?+=0000,，由这个等式可以看出，()x y 0是连续可微函数，且()x y y 0=就是微分方程（21）通过点()00,y x 的积分曲线，但只定义在[]δδ+-00,x x 上，考虑初值条件(),000δδ±=±x y yx 并再次应用定理1，使可将解延拓到[]δδ2,200+-x x 上，依次类推，于是可将解延拓到整个直线上．通过上文的论述，我们加深了对不动点定理的理解，了解了求不动点的方法以及相应例题的证明技巧，知道了此定理应用的广泛性，而随着理论和实践的蓬勃发展对不动点定理的研究也将不断深化，所以我们研究的脚步不能停下．。
不动点定理及其应用(高考)
摘要本文首先介绍Banach空间中的不动点定理、在其他线性拓扑空间中不动点定理的一维推广形式、在一般完备度量空间上的推广形式. 其次,通过分析近几年全国各地高考数学卷中一些试题特点,总结了利用不动点定理求解有关数列的问题.其中包括数列通项、数列的有界性问题.最后介绍了不动点定理中的吸引不动点和排斥不动点在讨论数列的单调性及收敛性方面的应用.关键词：Banach不动点定理,数列通项，有界性，单调性，收敛性.AbstractThis article firstly introduced the Fixpoint Theorem in Banach space, the one-dimensional extended form of the Fixpoint Theorem in other linear topological space and the extended form in general complete metric space. Then, we summarized the problem on sequence of number using Fixpoint Theorem, analyzing the characteristics of tests emerged on math papers of all parts of our country recent years, including the problem of general term and boundedness of a sequence of number. At last, attractive fix point and rejection fix point in Fixpoint Theorem were introduced which can solve the problem about the monotonicity and astringency of sequence of number.Keywords:Banach fixed point theorem,Sequence, Boundedness, Monotonicity Convergence.目录第1章绪论 (3)1.1导论 (3)1.1.1 选题背景 (3)1.1.2 选题意义 (2)1.1.3 课题研究内容 (4)1.2 研究现状 (2)1.3本章小结 (3)第2章不动点定理 (4)2.1 有关概念 (4)2.2 不动点定理和几种推广形式 (4)2.3 本章小结 (7)第3章不动点定理在数列中的应用 (8)3.1 求数列的通项公式 (8)3.2 数列的有界性 (9)3.3 数列的单调性及收敛性 (11)3.3.1数列的单调性、收敛性的重要结论 (11)3.3.2数列的单调性、收敛性的证明 (14)3.4 本章小结 (17)第6章结束语 (18)参考文献 (19)第1章绪论1.1导论不动点理论的研究兴起于20世纪初,荷兰数学家布劳维在1909年创立了不动点理论[1]．在此基础上，不动点定理有了进一步的发展，并产生了用迭代法求不动点的迭代思想．美国数学家莱布尼茨在1923年发现了更为深刻的不动点理论，称为莱布尼茨不动点理论[2]．1927年，丹麦数学家尼尔森研究不动点个数问题，并提出了尼尔森数的概念[3]．我国数学家江泽涵、姜伯驹、石根华等人则大大推广了可计算尼森数的情形，并得出了莱布尼茨不动点理论的逆定理[4]．不动点理论一个发展方向是只限于欧氏空间多面体[5]上的映射,不动点理论的另一个发展方向是不限于欧氏空间中多面体上的映射，而考察一般的距离空间或线性拓扑空间上的不动点问题．最后给出结果的是波兰数学家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的压缩映像原理发展了迭代思想，并给出了Banach 不动点定理[6]．这一定理有着及其广泛的应用，像代数方程、微分方程、积分方程、隐函数理论等中的许多存在性与唯一性问题均可以归结为此定理的推论．1.1.1 选题背景不动点定理在微分方程、函数方程、动力系统理论等中有极为广泛的应用.函数的"不动点"理论虽然不是中学教材的必修内容，但是它的存在确实使一些数学问题在无法想象中得到了解决.已知递推公式求其数列通项，数列有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．因此，它就自然成为各类数学竞赛和选择性考试必选的内容之一，尤其在近年的高考中对该定理的应用越来越频繁.1.1.2 选题意义利用“不动点”法巧解高考题，递推公式求数列的通项，证明数列的有界性、数列的单调性及收敛性等，历来是高考的重点和热点题型，那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键．与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此本文对函数“不动点”问题的研究结果，来简化求数列的通项公式、数列的有界性、数列的单调性及收敛性等问题具有指导意义和理论意义.1.1.3 课题研究内容本文通过介绍不动点定理的证明，不动点定理的迭代思想和不动点定理的推论，研究了以下的内容：①利用不动点定理的迭代思想，简化求递推数列的通项问题.②以不动点定理为指导思想，证明数列的有界性.③利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．1.2研究现状不动点理论一直是一个既比较古老的问题，又比较有新生命力的领域，它的历史悠久，却又是近现代一个发展较快的理论定理.自不动点理论问世以来，特别是最近的二三十年来，由于学术上的不断发展和数学工作者的不懈努力，这门学科的理论及应用的研究已经取得了重要的进展，不断有新的不动点理论研究成果涌现，并日臻完善.不动点的有关理论是泛函分析中最重要的原理之一，它依据于著名的巴拿赫（Banach ）压缩映射定理，如今已广泛应用于数学分析的各个方面.许多著名的数学家为不动点理论的证明及应用作出了贡献.例如，荷兰数学家布劳威尔在1910年发表的《关于流形的映射》[2]一文中就证明了经典的不动点定理的一维形式.即,设连续函数()f x ()f x 把单位闭区间[0,1]映到[0,1][0,1]中，则有0[0,1]x ∈，使00()f x x =.波利亚曾经说过：“在问题解决中，如果你不能解答所提的问题，那么就去考虑一个适当的与之相关联的辅助问题”.“不动点”就是一个有效的可供选择的辅助问题.近年来，有不少人研究中学数学中所涉及到的不动点问题，将拓扑学不动点定理的一些基本思想，采用通俗易懂的语言和形象生动的例子运用到初等数学中去，扩大中学生的知识领域，加深中学生对数学基础知识的掌握.在中学中，不动点有关知识常常用来解决一些初等数学中的问题，例如以“不动点”为载体、将函数、数列、不等式、方程以及解析几何等知识有机地交汇在一起的数学问题，从而体现了用不动点有关知识来求解这些问题有时是非常简单和巧妙的.1.3 本章小结本章介绍了选题的背景和意义，并对课题的要求和研究内容作了分析，对不动点定理的现况作了概要性的说明，是不动点定理及其应用的前期研究基础.第2章 不动点定理2.1 有关概念函数的不动点，在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点，即函数()f x 的取值过程中，如果有0x ,使0()f x x =.就称0x 为()f x 的一个不动点．对此定义，有两方面的理解：⑴代数意义：若方程00()f x x =有实数根0x ，则00)(x x f =有不动点0x ． ⑵几何意义：若函数)(x f y =与x y =有交点),(00y x ，则0x 为()y f x =的不动点．为了介绍不动点的一般概念，本文先介绍以下相关概念.定义1[7] 度量空间: 设X 是一个集合，R X X →⨯:ρ.如果对于任何X z y x ∈,,，有 ⑴（正定性）(,)0x y ρ≥,并且(,)0x y ρ=当且仅当y x =；⑵（对称性）(,)(,)x y y x ρρ=；⑶（三角不等式）(,)(,)(,)x z x y y z ρρρ≤+，则称ρ是集合X 的一个度量,偶对()ρ,X 是一个度量空间.定义2[7] 压缩映射：给定()ρ,X 如果对于映射T :X X →存在常数K ,10<<K 使得(,)(,)Tx Ty K x y ρρ≤，(,)x y X ∀∈则称T 是一个压缩映射.定义3[7] Cauchy 列 ：给定(,)X ρ,{}n x X ⊂,若对任取的0>ε,有自然数N 使对εN n m >∀,,都成立(,)m n x x ρε<则称序列{}n x 是Cauchy 列.定义4[7] 完备度量空间：给定(,)X ρ，若X 中任一Cauchy 列都收敛,则称它是完备的.定义5[8] 不动点：给定度量空间(,)T ρ及X X → 的映射T 如果存在X x ∈*使**x Tx = 则称*x 为映射T 的不动点.定义6[9] 凸集：设X 是维欧式空间的一点集，若任意的两点X x X x ∈∈21,的连线上的所有的点)10(,)1(21≤∂≤∈∂-+∂X x x ;则称X 为凸集.2.2 不动点定理和几种推广形式不动点理论是关于方程的一种一般理论.数学里到处要解方程，诸如代数方程、微分方程、函数方程等，种类繁多，形式各异，但是它们常能改写成()f x x =的形状这里的x 是某个适当的空间X 中的点，f 是X 到X 的一个映射，把每个x 移到()f x .方程()f x x =的解恰好就是在f 这个映射下被留在原地不动的点，故称不动点，于是解方程的问题就是化成了找不动点的这个几何问题，不动点理论就是研究不动点的有无、个数性质与方法.首先,本文介绍Banach 不动点定理的证明定理l （Banach 不动点定理 ——压缩映射原理[10]）设(,)X ρ是一个完备的度量空间T 是(,)X ρ到其自身的一个压缩映射,则T 在X 中存在惟一的不动点.证明 首先,证明T 存在不动点取定X x ∈0以递推形式n n Tx x =+1 确定一序列{}n x 是Cauchy 列.事实上，由1111221210(,)(,)(,)(,)(,)(,)m m m m m m m m m m m x x Tx Tx K x x K Tx Tx K x x K x x ρρρρρρ+------=≤=≤≤≤任取自然数n m ,,不妨设n m <那么 1111101010(,)(,)(,)()(,)1()(,)(,)11m m n m n m m n n n m mm x x x x x x K K K x x K K K x x x x K Kρρρρρρ-----≤++≤+++-=≤-- 从而知{}n x 是一Canchy 列,故存在X x ∈*使*x x n →且*x 是T 的不动点,因为******1(,)(,)(,)(,)(,)()n n n n x Tx x x x Tx x x K x x n ρρρρρ-≤+=+→→∞故**(,)0x Tx ρ=,即**x Tx =,所以*x 是T 的不动点.其次,下证不动点的惟一性设T 有两个不动点*1*,x x ,那么由**x Tx =及*1*1x Tx =有 ******111(,)(,)(,)x x Tx Tx K x x ρρρ=≤设*1*x x ≠,则**1(,)0x x ρ>,得到矛盾，从而*1*x x =，唯一性证毕. 作为Brouwer 不动点定理从有限维到无穷维空间的推广，1927年Schauder 证明了下面不动点定理，我们称其为Sehauder 不动点定理I ：定理2 设E 是Banach 空间，X 为E 中非空紧凸集，X X f →:是连续自映射，则f 在X 中必有不动点.Sehauder 不动点定理的另一表述形式是将映射的条件加强为紧映射(即对任意X x ∈，()x f 是紧的)，这时映射的定义域可不必是紧集，甚至不必是闭集，有下面定理，我们称其为Schauder 不动点定理II ：定理3 设E 是Banach 空间，X 为E 中非空凸集，X X f →:是紧的连续自映射，则f 在X 中必有不动点.定义6 设E 是线性拓扑空间，如果E 中存在由凸集组成的零邻域基，则称E 是局部凸的线性拓扑空间，简称局部凸空间.1935年，Tyehonoff 进一步将Sehauder 不动点定理I 推广到局部凸线性拓扑空间，得到了下面的不动点定理，我们称其为Tyehonoff 不动点定理：定理4 设E 是局部凸线性拓扑空间，X 是其中的非空紧凸集，X X f →:是连续自映射，则f 必有不动点，即存在X x ∈0，使得00()f x x =.1950年，Hukuhara 将Schauder 不动点定理II 与Tyehonoff 不动点定理结合起来得到下面的定理，我们称其为Sehauder--Tychonoff 不动点定理：定理5 设E 是局部凸线性拓扑空间，X 是其中的非空凸集，X X f →:是紧连续自映射，则f 必有不动点，即存在X x ∈0，使得00()f x x =.从20世纪30年代起，人们开始关注集值映射的不动点问题.所谓集值映射的不动点， 定义如下：定义7 设X 是拓扑空间，X X T 2:→是集值映射，其中X 2表示X 的所有非空子集的集合.若存在X x ∈0，使00()x T x ∈，则称0x 是T 的不动点.1941年，kllcIltani 把Bmuwer 不动点定理推广到集值映射的情形，得到下面的不动点定理，我们称其为Kakutani 不动点定理：定理6 设m R X →是凸紧集，且X X T 2:→是具闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.1950年，Botmenblust ，Karlin 把Sehauder 不动点定理I 推广到集值映射的情形：定理7 设E 是Banach 空间，X 是E 中的非空紧凸集，X X T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.1952年，Fan ，Glicksberg 分别把Tyehonoff 不动点定理推广到集值映射的情形，成为Kakutani-Fan-Glicksberg 不动点定理或K-F —G 不动点定理.即：定理8 设E 是局部凸的Hausdorff 线性拓扑空间，X 是E 中的非空紧凸集，X X T 2:→是具有闭凸值的上半连续集值映射，则T 必有不动点.1968年，Browder 又证明了另一种形式的关于集值映射的不动点定理，本文称此定理为Fan-Browder 不动点定理：定理9 设X 是Hausdorff 线性拓扑空间E 中的非空凸紧子集，集值映射XX S 2:→满足：(1)对任意X x ∈，()S x 是X 中的非空凸集(2)对任意{}1,():()y X S y x X y S x -∈=∈∈是Z 中的开集则存在X x ∈0，使00()x S x ∈.本章小结本章详细介绍了Banach 不动点定理及其证明，概况了对不动点定理的几种推广形式. 第3章 不动点定理在数列中的应用在高考试题中，数列向所对应函数的不动点收敛的问题，常可以用单调性结合数学归纳法的方法来解决．“不动点”问题虽不是高考大纲的要求，但在函数迭代、力程、数列、解析几何中都有重要的价值和应用，在历年的高考中也经常看到“不动点”的影子以全国卷I 为例，2007年，2008年、2010年高考的压轴题都是可以用“不动点”的方法比较容易地去解决．用“不动点”的方法在学生平时解题中主要是求数列的通项公式、数列的单调性、有界性及收敛性等.3.1求数列的通项公式定理10 已知数列{}n x 满足()()dcx b ax x f x f x n n ++==-,1 ,其中0,0≠-≠bc ad c ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 证明 因为p 是()x f 唯一的不动点，所以p 是方程d cx b ax x ++=，亦即p 是一元二次方程()02=--+b x a d cx 的唯一解.得 ap cp pd b cd a p -=--=2,2 所以()()()()d cx p x pc a dcx ap cp x pc a d cx pd b x pc a p d cx b ax p x n n n n n n n n n +--=+-+-=+-+-=-++=---------111211111()()()()p x cp a cp d pc a c px cp d p x c pc a p x pc a d cx p x n n n n n n --++-=-++--=--+=------11111111把 cd a p 2-=代入上式，得: px d a c p x n n -++=--1121 令 d a c k +=2，可得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p x n 1是一个等差数列. 在初等数学中经常会遇到求这类问题，已知数列{}n x 的首项，数列的递推关系，求数列的通项，这类问题往往难度很大，通过不定点定理，大大降低了此类问题的难度.例1 若1121,1--=-=n n a a a （*N n ∈，且2≥n ）求数列{}n a 的通项公式. 解 根据迭代数列121--=n n a a ，构造函数()x x f -=21，易知()x f 有唯一的不动点1=p ，根据定理 可知2,1,1,0=-===d c b a ，则 111111-+-=--n n a a 即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项21-，公差为1-的等差数列.则对应的通项公式为()()n n a n -=--+-=-21112111 解得nn a n 2123--= 又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为nn a n 2123--=. 对于此类形式的数列，已知数列{}n x 满足()()dcx b ax x f x f x n n ++==-,1 ,其中0,0≠-≠bc ad c ，求其通项.运用不动点定理，可以简单快捷地解答.即数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以首项1a ，公差为da c +2的等差数列. 推论 已知数列{}n x 满足()()b ax x f x f x n n +==-,1 ,其中0≠a ，设p 是()x f 唯一的不动点，则数列{}p x n -是一个公比为a 等比数列例2 若32,111+=-=-n n a a a ，（*N n ∈，且2≥n ），求数列{}n a 的通项公式.解 根据迭代数列321+=-n n a a ，构造函数()32+=x x f ，易知()x f 有唯一的不动点3-=p ，根据推论 可知3,2==b a ，则()()()3231--=---n n a a所以()3231+=+-n n a a所以{}3+n a 是以231=+a 为首项，2为公比的等比数列，则当2≥n 时，有n n a 23=+，故32-=n n a又11-=a 也满足上式.所以{}n a 的通项公式为32-=n n a .在高中阶段，学生在学习了数列之后，经常会遇到已知1a 及递推公式，求数列()n n a f a =+1的通项公式的问题，很多的题目令人感到非常棘手.而不动点定理给出了一个“公式”性的方法——不动点法，应用此法可巧妙地处理此类问题.3.2 数列的有界性在高考中会经常出现证明数列有界性的问题，不等式问题是高考中的一个难点，数列与不等式结合，使得这类问题更加的棘手了，而不动点定理却给了我们思想上的一个指导，即解决这类问题，我们可以先求出不动点，然后用数学归纳法证明.例3(2008年全国II )函数()x x x x f ln -=.数列{}n a 满足()n n a f a a =<<+11,10．证明:11<<+n n a a ．分析 函数()x x x x f ln -=的不动点是1=x 显然此题就是要证明数列向不动点1=x 收敛证明 当()1,0∈x 时，()0ln '>-=x x f ，所以()x f 在区间()1,0内是增函数；又101<<a ，所以()()11ln 111121=<-==<f a a a a f a a ；假设k n =时有11<<+k k a a ，因为()x f 是增函数()1,0∈x ，所以()()()111=<<+f a f a f k k ，即121<<++k k a a ，当1+=k n 时结论也成立．故原不等式成立这类问题可以以各种类型的函数与数列为载体．考查导数、单调性、方程的根等问题．对学生综合能力有较高的要求，在2010年的高考中此类问题进一步拓展，又有了一些新变化：利用数列的有界性求含参数列中参数的取值范围.例4（2010年全国I )已知数列{}n a 中，nn a c a a 1,111-==+，求使不等式31<<+n n a a 成立的c 的取值范围.解:该数列应该是向其某个不动点收敛.不妨设该不动点为0x ，则有310≤<x ，即方程()x x f =在(]3,1有一个实根．我们继续用不动点的思路方法解决该问题.因为31<<+n n a a 对任意自然数都成立，所以首先应有321<<a a ，可得42<<c ． 设()xc x f 1-=，则()x f 是增函数，()+∞∈,0x . 令()x x f =，即01,12=+-=-cx x x xc .当2>c 时，该方程有2个不等的实数根．设为2121,,x x x x <，由韦达定理121=x x ，可知211x x <<只要让32≤x 即可.令()()31003,12≤⇒≥+-=c g cx x x g . 即当310≤c 时，()x f 在(]3,1上存在不动点0x (0x 就是2x )所以c 的取取范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛310,2.再用数学归纳法证明结论的正确性：因为310≤<x 且()xc x f 1-=在()+∞,0是增函数，所以当3102≤<c 时，有()()002111x f x f a a =<=<=.假设k n =时，有301≤<<+x a a k k ．因为()x f 是增函数，故()()()01x f a f a f k k <<+，即021x a a k k <<++，当1+=k n 时结论也成立，所以当c 的取值范围是⎥⎦⎤⎝⎛310,2时， ()xc x f 1-=有在区间(]3,1内的不动点0x ，数列{}n a 单调递增向该不动点收敛. 3.3 数列的单调性及收敛性近几年一些地区高考试题对利用不动点解决递推数列的问题比较青睐，如求数列的通项公式，利用不动点研究数列的单调性等等．下文利用不动点及特征函数的性质研究数列的单调性及收敛性，并借此解决一些高考题．3.3.1 关于数列单调性、收敛性的重要结论定义8 设R I f →:，其中I 是R 的一个区间，数列{}n x 由a a =1和递推关系()n n x f x =+1来定义.则数列{}n x 称为递推数列.()x f 称为数列{}n x 的特征函数，()x f x =称为数列{}n x 的特征方程，a x =1称为初始值.若设f 是连续的，若{}n x 收敛而且有极限0x ，()()010lim lim x f x f x x n n ===+.因此问题就变为寻找方程 ()x f x =解(即f 的不动点)，并验证数列是不是收敛于数 0x ．定理 11设f 是定义在I 上的一个压缩映射，则由任何初始值[]b a x ,1∈和递推数列()n n x f x =+1，*N n ∈生成的数列{}n x 收敛．证明：由于f 是[]b a ,上的一个压缩映射，故[]()[]b a b a f ,,⊂，则[]b a x n ,∈，且()1,0∈∃k ，使得*,N p n ∈∀，有()().1112221111b a k x x k x x k x x k x f x f x x n p n p n n p n n p n n p n n -≤-≤≤-≤-≤-=-+--+--+--+-+ 于是，0>∀ε（不妨设 a b -<ε)，只要取*,,ln /lnN p n k a b N ∈∀⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=ε，都有ε<-+p n n x x 根据Cauchy 收敛准则，{}n x 收敛．[证毕]定义9 在不动点0x 处，若()10'<x f ，则称0x 为()x f y =的吸引不动点；若()10'>x f ，则称0x 为()x f y =的排斥不动点．定理12 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，0x 是吸引不动点，则存在0x 的邻域区间U ，对一切 U x ∈，都有()1'<x f 且0lim ()n n f x x →∞=．这里的记号1`()(())n n f x f f x -=.证明：因为()x f 连续可导，又()10'<x f ，则这样的区间 显然存在．对任意一点U x ∈，在0,x x 为端点的闭区间上，由拉格朗日中值定理得()()()()00'00x x x x f x f x f x x f -<-=-=-ξ所以，()U x f ∈ 由定理1可得数列(){}x f n 收敛，且0lim ()nn f x x →∞=．[证毕]定理表明吸引不动点在迭代过程中，可以吸引周边的点．下面研究数列{}n x 将以何种方式收敛于0x .定理13 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，只有一个不动点 0x ，且为吸引不动点，初始值01x x ≠,递推数列()*1,N n x f x n n ∈=+，则(1)当f 在I 上递增时，则数列{}n x 单调且收敛于0x ；(2)当f 在I 上递减时，则{}n x 的两个子列的{}12-k x 和{}k x 2一递增一递减，且收敛于0x ．证明：(1)当f 在I 上递增时，若()121x x x f >=，则由数学归纳法可证明()()n n n n x x f x f x =>=-+11，{}n x 递增；若()121x x x f <=，则由数学归纳法可证明 ()()n n n n x x f x f x =<=-+11，{}n x 递减．(2)当f 在I 上递减时，此时复合函数()[]x f f 递增，而子数列{}12-k x 和{}k x 2中有一个递增，另一个递减．若13x x >，用数学归纳法可证明{}12-k x 单调递增．事实上，若1212+-<k k x x ，则 ()()2212122++-=>=k k k k x x f x f x ，()()3222212+++=<=k k k k x x f x f x ，由此可得{}k x 2单调递减；若13x x <，证明类似．[证毕]定理14 若()x f y =是定义在I 上的连续可导函数，有且只有两个不动点()βαβα<,且()()1,1''≠≠βαf f ，异于βα,的初始值1x ，递推数列()*1,N n x f x n n ∈=+．则两个不动点βα,至多只有一个吸引不动点．证明：设函数()()x x f x g -=，则()()1''-=x f x g .假设两个不动点βα,同为吸引不动点，则()()1,1''<<βαf f 从而()()0,0''<<βαg g .又()()0==βαg g ，可得()εαε,,00+∃>∀U ,使得()0'<x g ，则()()()0,,0=<∈∃+αεαg a g U a ，同理 ()βεβ,-∈∃b ，使得()0>b g ．由()x g 连续及零点存在定理，得()x g 在区间()b a ,上必有一个零点．这与()x g 仅有两个零点矛盾．因此假设不成立，则两个不动点βα, ，至多一个为吸引不动点．[证毕]定理15 若()x f y =是定义在I 上的连续可导的凸函数，有且只有两个不动点()βαβα<,，且βα,，中有一个吸引不动点，()()1,1''≠≠βαf f ．异于βα,的初始值1x ，递推数列 ()*1,N n x f x n n ∈=+，则α为吸引不动点，β为排斥不动点，且当α<1x <O 时，{}n x 单调递增且收敛于α；当βα<<1x 时，{}n x 单调递减且收敛于α；当 β>1x 时，{}n x 单调递增且不收敛；证明：由()x f y =为凸函数，可得()x f '为增函数．由βα<且中有一个吸引不动点及定理4得()()βα''1f f <<，即α为吸引不动点，β为排斥不动点．构造函数()()x x f x g -=，则()()1''-=x f x g 为增函数且()()0,0''><βαg g ．于是()βα,∈∃x ，使得()0'=x g ，于是()x g 在()x ,∞-上递减，在()β,x 上递增．下面分四种情况进行说明：(1)当α<1x 时，()()01=>αg x g 即()11x x f >，所以12x x >，结合数学归纳法易证{}n x 单调递增且收敛于α；(2)当x x <<1α时，()()01=≤αg x g 即()11x x f <，所以12x x <，结合数学归纳法易证{}n x 单调递减且收敛于α；(3)当β<<1x x 时，()()01=<βg x g 即()11x x f <所以12x x <，结合数学归纳法易证{}n x 单调递减且收敛于α；(4)当β>1x 时，()()01=>βg x g 即()11x x f >，所以12x x >，结合数学归纳法易证{}n x 单调递增且不收敛．综上，当β>1x 时，{}n x 单调递增且不收敛；当βα<<1x 时，{}n x 单调递减且收敛于α；当α<1x 时，{}n x 单调递增且收敛于α [证毕]定理表明初始值也将影响数列{}n x 收敛与否、以何种方式收敛于α.3.3.2 数列的单调性、收敛性的证明当初始值与特征函数都确定的情况下，主要判断特征函数的单调性，及不动点是否为吸引不动点，借助定理13可以解决．例 5 (2007广东理)已知函数()12-+=x x x f ,βα,是方程()0=x f 的两个根(βα>) ,()x f '是()x f 的导数．设()()),2,1(,1'11 =-==+n a f a f a a a n n n n .(1)求βα,的值；(2)证明：对任意的正整数n ,都有α>n a ；(3)略．解：(1)易得.251,251--=+-=βα (2)()12'+=x x f ，则121121221++=+-+-=+n n n n n n n a a a a a a a ，特征函数()1212++=x x x g ，特征方程 1212++=x x x ， 即012=-+x x ，于是不动点251,251--=+-=βα，()()()()()222'1221222+=+-+=x x f x x x x g ，()()()()()()0122,01222'2'=+==+=βββαααf g f g ,可得βα, 均为吸引不动点．又()132,1121<==>=a g a a α,当 ()()0,,'>+∞∈x g x α,由定理13可得数列{}n a 单调递减，且α>=+∞→n n n a a a ,lim .本题的背景是牛顿切线法求方程()0=x f 的近似解.本题特征函数()1212++=x x x g 在定义域上不连续，有两个吸引不动点．由于初始值α>=11a 且不动点的导数值恰为0，使得()+∞∈,αx 时恒有()0'>x g ，使问题简单化．例6(2009陕西22)已知数列{}n x 满足，*11,11,21N n x x x nn ∈+==+. ⑴猜想数列{}n x 的单调性，并证明你的结论；(2)略．解：由 nn x x +=+111得特征函数()x x f +=11,在()1,-∞-、()+∞-,1上分别单调递减．由特征方程x x +=11得不动点251,251--=+-=βα .由于()()2'11x x f +-=，则()()15142'>-=αf ，()()15142'<+=βf ，可得 α为排斥不动点，β为吸引不动点．由()x x f +=11在()+∞-,1上单调递减，又211=x 且 02122121111111112112111111111213>++--=+--+=-++=-++=-+=-x x x x x x x x x x x x x x x x由定理13得数列{}n x 的两个子列{}12-k x 单调递增，{}k x 2单调递减． 由于特征函数()xx f +=11在()+∞-,1上单调递减，结合定理13，可得如下结论： 当()α,11-∈x 时，可得13x x >，数列{}12-k x 单调递增，{}k x 2单调递减；当α=1x 时，数列{}n x 为常数列；当()+∞∈,1αx 时，可得13x x <，数列{}12-k x 单调递减，{}k x 2单调递增．当初始值或特征函数中出现未知量或参数时，难度有所增加，考虑降低难度要求的需要，高考题给出的特征函数一般为凹或凸函数，此时主要结合定理15进行判断即可．例7(2009安徽21)首项为正数的数列{}n a 满足()*21,341N n a a n n ∈+=+ ． (I )略；(II )若对一切n ∈N ，都有n n a a >+1，求1a 的取值范围. 解：（II ）记()()3412+=x x f ，则()x x f 21'=，()21''=x f ，于是()x f 为凸函数.令()3412+=x x 得不动点3,1==βα.由对一切*N n ∈，都有n n a a >+1，得数列{}n a 为递增，根据定理15得，α<1a 或β>1a ，又01>a ，所以1a 的取值范围101<<a 或31>a本题已知数列的单调性，求首项的取值范围，利用不动点定理可以证明数列的单调性及收敛性，所以此题是对数列单调性及收敛性的逆向考查，是高考中的难题，继续采用不动点定理的思想，根据定理15可以很简单快捷地求出首项的取值范围，有别出心裁的效果.3.4 本章小结本章详细研究了利用不动点定理解决求数列通项，数列有界性，数列的单调性及收敛性问题，对这类问题的解决方法做了简单的概括.第6章结束语本次的毕业论文创作过程是对大学四年学习的一个总结.在历时将近半年的时间里，我通过到图书馆翻阅资料，上网，质询指导老师，收集了足够的质料，按照指导老师提供的要求按时完成了我的论文.通过撰写毕业论文，对不动点定理有了自己的认识和进一步的理解.不动点定理虽然是拓扑学中的一个著名的定理，但它在初等数学中也有极其广泛的运用，运用不动点定理可以简单快捷地解决初等数学中的一些问题，例如本文中提到的求数列通项、数列的有界性问题，数列的单调性及收敛性方面的问题；当然本文所涉及的不动点定理的应用不是很全面,还有很多方面的内容没有涉及.本次毕业论文，我按照老师的要求完成了大部分论文的内容.不动点定理，我论文中有了详细的说明，不动点定理在数列中的应用文中也作了详细的分析.这次毕业论文让我在数学理论知识应用上成熟了很多，是大学四年学习的总结，也是今后工作的宝贵经验和财富.随着全国教育体系的逐步完善，我相信数学的学习深度将进一步提高，我希望本论文对读者了解不动点定理及其在数列中的应用有所帮助.参考文献[1] CLARKSON J A．Uniformly Convex Spaces[J]．Trans．Amer．Math．Soc．,1936,40(3)：396~414．[2] CLARKSON J A．1nhe von Neumann Constants for Lebesgue Space[J]．Ann of Math,1937，38(1)：114~115.[3] JAMES R C．Uniformly Non—square Spaces0]．Ann of Math,1964,80(3)：542~550．[4] KIILXAAFixed Point Theorem for Mappings Which Do Not IncreaseDistances[J]．Amer．Math．Monthly,1965,72(9)：1004~1006．[5] AKSOY A G,KHAMSI M A．Nonstandard Methods in Fixed Point Theory[M]．Heidelberg：Springer-Verlag,1990：11~13．[6] 江秉华．隐函数存在定理及隐函数组定理的一个证明方法[J]．湖北师范学院学报(自然科学版)，2005，25(1)：87~89．[7] 龚怀云．应用泛函分析[M]．第1版．西安：西安交通大学出版社，1985．[8] 谭长明.龙丽．不动点定理在方程解方面的应用[J]．吉林师范大学学报(自然科学版)，2007，28(1)：84~86．[9] 张学山．刘裕维．高等数学辅导与测试[M]．北京：高等教育出版社，2004．[10] 刘炳初.泛函分析[M].北京:科学出版社,1998 .11] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京:高等教育出版社,1993[12] 林武忠,等. 常微分方程[M]. 北京:科学出版社,2003 .`[13] 李思华. 积分方程[M]. 天津:天津大学出版社,1993 .14] 张恭庆,等.泛函分析讲义[M].北京:北京大学出版社,1990 .[15] 程其襄．数学分析[M](第二版)．北京：高等师范出版社，1991．56~58．[16] 华东师范大学教学系．数学分析上册[M]．北京：高等师范教育出版社．2000．56~58．[17] [不动点定理的方法与应用[J]．德州师范学院报，2005，10(2)：5~7．[18] 李德本．微分中值定理的新证法[J]．四平师范学院学报，1982，1(4)；32~34．[19] 刘炳初.泛函分析[M].北京:科学出版社,1998 .[20] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M]. 北京:高等教育出版社.1993．[21] 林武忠,等. 常微分方程[M]. 北京:科学出版社,2003 .[22 ] 李思华. 积分方程[M]. 天津:天津大学出版社,1993.[23] 张恭庆,等.泛函分析讲义[M].北京：北京大学出版社,1990 .。
Banach不动点理论及其应用
不动点定理及其应用综述摘要 本文主要研究Banach 空间的不动点问题。
[1]介绍了压缩映射原理证明隐函数存在定理和常微分方程解得存在唯一性定理上的应用；[2][3]介绍了应用压缩映射原理需要注意的问题；[4]介绍了不动点定理在证明Fredholm 积分方程和V olterra 积分方程解的存在唯一性以及在求解线性代数方程组中的应用；[5]讨论了不动点定理在区间套定理的证明中的应用。
一、压缩映射原理压缩映射原理的几何意义表示：度量空间中的点x 和y 在经过映射后，它们在像空间中的距离缩短为不超过d(x,y)的α倍（1α<）。
它的数学定义为： 定义1.1 设X 是度量空间，T 是X 到X 的映射，若存在α，1α<，使得对所有,x y X ∈，有下式成立(,)(,)d Tx Ty d x y α≤ （1.1） 则称T 是压缩映射。
定理1.1（不动点定理）：设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有唯一的不动点，即方程Tx=x 有且只有唯一解。
证明：设0x 是X 种任意一点，构造点列{}n x ，使得 21021010,,,n n n x Tx x Tx T x x Tx T x -===== （1.2）则{}n x 为柯西点列。
实际上，111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤ 10(,)m d x x α≤≤ （1.3）根据三点不等式，当n m >时，1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101()(,)m m n d x x ααα+-≤++011(,)1n mmd x x ααα--=- （1.4）由于1α<，故11n m α--<，得到01(,)(,)()1mm n d x x d x x n m αα≤>- （1.5）所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 为柯西列。
不动点理论的发展历程及
2023-11-08CATALOGUE 目录•不动点理论概述•不动点理论的核心概念•不动点理论的应用场景•不动点理论的挑战与解决方案•不动点理论的未来发展趋势及展望01不动点理论概述不动点理论是指函数在某一点上达到平衡状态，即函数在该点上的值不再发生改变。
这个概念被广泛应用于数学、物理学、经济学等多个领域。
不动点理论在数学中通常是指对于某个映射或函数，存在一个点使得该映射或函数在该点上的作用结果等于该点的原始值。
这个概念可以用于研究函数的单调性、收敛性等性质。
不动点理论定义不动点理论的重要性不动点理论在数学、物理学、经济学等领域中具有重要的应用价值。
例如，在数学中，不动点理论可以用于证明某些函数的收敛性；在物理学中，不动点理论可以用于研究系统的平衡状态；在经济学中，不动点理论可以用于研究市场的稳定性和均衡价格。
不动点理论的发展历程中涌现出了许多重要的数学家和物理学家，他们对不动点理论的形成和发展做出了重要的贡献。
不动点理论的发展可以追溯到19世纪末期，当时一些数学家开始关注函数的不动点性质。
其中最为著名的是法国数学家皮埃尔·弗朗索瓦·韦尔辛斯基，他在1890年左右证明了连续函数的不动点的存在性和唯一性定理。
不动点理论的历史与发展随后，不动点理论得到了广泛的应用和发展。
在20世纪初期，一些数学家开始研究拓扑学中的不动点理论，并取得了重要的成果。
同时，不动点理论也被应用于物理学、经济学等领域中，成为研究系统平衡状态的重要工具之一。
近年来，不动点理论仍然是一个活跃的研究领域。
随着计算机科学和人工智能的发展，不动点理论在机器学习、神经网络等领域中也得到了广泛的应用和发展。
02不动点理论的核心概念压缩映射原理是指对于两个非空集合A和B，如果存在一个映射f，使得对于A中的任意元素x，f(x)都在B中，并且对于B中的任意元素y，都存在一个x属于A，使得f(x)=y。
那么我们就称f是一个压缩映射，A和B是满足压缩映射原理的。
专题：关于函数不动点的研究及其应用
关于函数不动点的研究及其应用相关概念：定义：一般地，对于定义在区间D 上的函数()y f x =（1）若存在0x D ∈,使得00()f x x =,则称0x 是函数()y f x =的一阶不动点,简称不动点；（2）若存在0x D ∈,使00(())f f x x =,则称0x 是函数()y f x =的二阶不动点,简称稳定点； 说明：（1）不动点实际上是方程组⎩⎨⎧==xy x f y )(的解),(00y x 的横坐标，或两者图象的交点的横坐标（2）稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.（3）令()0f x t =，则()()00f x t x t =≠，故函数()y f x =有两个二阶不动点0,x t 就是二元方程()()00f x t f t x =⎧⎪⎨=⎪⎩有解，即点()()00,,,t x x t 都在函数()y f x =图象上，所以()y f x =得二阶不动点就是函数()y f x =图象上关于直线y x =对称两点的横坐标。
（4）若0x 为函数)(x f y =的不动点，则0x 必为函数)(x f y =的稳定点，但稳定点不一定就是不动点，但若函数()y f x =单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
（证明）相关习题：1.（2013年四川文科）.设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数）. 若存在]1,0[∈b 使b b f f =))((成立，则a 的取值范围是（ ）A. ],1[eB. ]1,1[+eC. ]1,[+e eD.]1,0[分析：题目的等价于()y f x =存在二阶不动点]1,0[∈b ，而易知()y f x =在定义域内为单调递增函数，故二阶不动点与一阶不动点等价，进而转化为()y f x =存在一阶不动点]1,0[∈b ，即[]0,1x ∃∈，使得x a x e x f x =-+=)(在]1,0[∈x 有解,整理可得，2x x e a x -+=，在]1,0[∈x 有解令2)(x x e x g x -+=，]1,0[∈x∵021121)(=-+>-+='x e x g x ，∴)(x g 在]1,0[∈x 单调递增 1)0(=g ，e g =)1(，],1[e a ∈，故选择A变式：（2013四川理科）设函数a x e x f x -+=)(（R a ∈，e 为自然对数的底数）. 若曲线x y sin =上存在点),(00y x 使00))((y y f f =成立，则a 的取值范围是（ ）A . ],1[e B. ]1,1[1--e C. ]1,1[+e D. ]1,1[1+--e e2.如果函数()()2f x x a a R =+∈的二阶不动点恰是它的一阶不动点，求实数a 的取值范围。
不动点理论
不动点理论
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石。
布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（英语：l. e. j. brouwer）。
布劳威尔不动点定理说明：对于一个拓扑空间中满足一定条件的连续函数f，存在一个点x0，使得f(x0) = x0。
布劳威尔不动点定理最简单的形式是对一个从某个圆盘d射到它自身的函数f。
而更为广义的定理则对于所有的从某个欧几里得空间的凸紧子集射到它自身的函数都成立。
不动点定理（fixed-point theorem）：
对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言，所谓不动点，是指经过该映射保持“不变的”点。
不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理。
常用的不动点定理有：
该定理常被用作证明竞争性平衡的存有性。
不动点定理一般只给出解的存在性判断，至于如何求解，则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(h.e.scarf)提出的不动点算法。
因此，不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题，例如多人非合作对策中均衡点的存在性等。
不动点理论及其应用
不动点理论及其应用主要内容：●不动点理论—压缩映像原理●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录：一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、 引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。
这个重合点就是一个不动点。
函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。
二、 压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。
定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。
X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ， 满足下面三个条件：（1）。
0),(≥y x ρ， 而且0),(=y x ρ， 当且仅当 y x =； （2）。
),(),(x y y x ρρ=；（3）。
),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤， （X ,,∈∀z y x ）。
这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。
定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。
定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<<a ， 使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。
三、 在微分方程中的应用定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==.00)(),,(y x y y x f dx dy假设 ),(y x f 在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00内连续，而且对 y 满足Lipschitz 条件，则上述问题在区间],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解，其中.|),(|max },,min{),(y x f M Maa h R y x ∈>=（1）。
指数函数与对数函数的微分方程与不动点理论
指数函数与对数函数的微分方程与不动点理论指数函数、对数函数以及微分方程与不动点理论是微积分中重要的概念和工具。
本文将探讨指数函数与对数函数的微分方程以及不动点理论对这些函数的应用。
一、指数函数的微分方程指数函数可表示为f(x)=a^x，其中a为正常数且a≠1。
其微分方程形式为f'(x)=k*f(x)，其中k为常数。
对上述微分方程进行求解，可得到指数函数的通解。
以求解f'(x)=2*f(x)为例，设f(x)=A*e^(bx)，其中A和b为待定系数。
对f(x)进行求导并代入微分方程，可以得到b=2。
因此，该微分方程的通解为f(x)=A*e^(2x)。
二、对数函数的微分方程对数函数可表示为f(x)=log_a(x)，其中x为正实数且a为正常数且a≠1。
其微分方程形式为f'(x)=k/x，其中k为常数。
以求解f'(x)=2/x为例，设f(x)=A*log_a(x)，其中A为待定系数。
对f(x)进行求导并代入微分方程，可以得到A=2。
因此，该微分方程的通解为f(x)=2*log_a(x)。
三、不动点理论不动点是函数的一个重要概念，指的是函数值不随输入变化的点。
在微分方程中，不动点是指函数的导数为零的点。
以指数函数为例，f(x)=a^x的导数为f'(x)=ln(a)*a^x，当f'(x)=0时，即ln(a)*a^x=0。
由于ln(a)不等于零，所以只有当a^x=0时，导数为零。
但由于指数函数没有定义在负实数上，因此指数函数没有不动点。
而对数函数f(x)=log_a(x)的导数为f'(x)=1/(x*ln(a))，当f'(x)=0时，即1/(x*ln(a))=0。
由于ln(a)不等于零，所以对数函数的导数不为零，因此对数函数也没有不动点。
不动点理论在微分方程和函数的性质研究中起着重要的作用。
通过对函数的导数进行分析，可以确定函数的不动点，并进一步探究函数的特性和行为。
不动点定理在数列中的应用
不动点定理在数列中的应用不动点定理（Fixed-point theorem）是数学中的一个重要定理，它在许多数学领域中都有广泛的应用。
数列是数学中一个重要的概念，在实际问题中也经常涉及到数列的应用。
下面我们就来探讨一下不动点定理在数列中的应用。
不动点定理是说，如果一个函数f在一些区间上连续，并且满足存在一个点c，使得f(c)=c，那么在这个区间上一定存在一个不动点。
而不动点就是满足f(x)=x的点。
不动点定理告诉我们，在一些条件下，可以通过寻找不动点来解决一些问题。
首先，我们来看一个简单的例子，以说明不动点定理在数列中的应用。
考虑一个数列a_1,a_2,a_3,...,a_n，假设该数列满足以下条件：a_n+1=f(a_n)，其中f是一个连续函数。
我们希望找到一个数x，使得f(x)=x。
根据不动点定理，如果x是f的一个不动点，那么x必然是数列的极限点。
因此，我们可以通过数列极限点的方法来求解不动点。
现在我们来具体讨论几个应用。
1.迭代方法求解方程：当我们想求解一个方程f(x)=0时，可以采用迭代方法来逼近方程的根。
假设我们选择一个初始值x_0，然后通过不断地迭代计算x_n+1=f(x_n)，直到满足其中一种停止准则。
根据不动点定理，如果迭代函数f满足一定条件，那么迭代序列{x_n}将收敛到方程f(x)=0的解。
这种方法在数值计算中经常使用，例如牛顿法、二分法等。
2.数值逼近：不动点定理可以用于数值逼近问题。
我们可以通过构造一个递推数列来逼近一些数值解。
假设我们要求解方程f(x)=c的根，我们可以选择一个初始点x_0，并通过迭代计算x_n+1=f(x_n)来逼近方程的解。
这个逼近序列可能会发散，也可能会收敛到一个数值解。
通过不动点定理，我们可以给出一些条件来保证逼近序列的收敛性，并通过不停地迭代来提高逼近的精度。
3.动力系统：不动点定理也在动力系统中有广泛的应用。
动力系统是研究一些变化随时间的系统的一个数学分支。
数学中不动点理论及其应用分析
数学中不动点理论及其应用分析不动点理论是数学中一个重要的概念和工具，被广泛应用于不同的学科和领域，例如动力系统、函数方程、微分方程、经济学等。
本文将对不动点理论进行详细分析，并探讨其在数学中的应用。
不动点是指一个函数中的某个点，在施加函数变换后，其值保持不变。
即对于函数f(x)，若存在x使得f(x) = x，则x即为f的不动点。
不动点理论主要关注寻找函数的不动点，并研究其性质和存在条件。
在数学分析中，不动点理论由Banach不动点定理和Brouwer不动点定理两大支柱构成。
Banach不动点定理也被称为压缩映射原理，它是20世纪最重要的数学发现之一，为数学中不动点理论的研究奠定了基础。
Banach不动点定理的核心思想是基于完备度的概念。
如果在某个度量空间中，存在一个压缩映射，即满足d(f(x), f(y)) ≤ q · d(x, y)(0＜q＜1)，其中d(x, y)代表x和y之间的距离，则这个压缩映射必有一个不动点。
换句话说，如果将一个空间的点映射到自身，并且映射过程中距离会不断缩小，那么必然存在一个点保持不变，这个点即为不动点。
Brouwer不动点定理则更加普遍，它适用于拓扑空间中的紧集合。
该定理表明，任何连续映射都至少有一个不动点。
虽然定理的证明相对复杂，但其结论确实深刻而重要。
不动点理论在数学的各个领域都有广泛的应用。
其中，动力系统是其中之一。
动力系统研究的是在时间推移下，系统如何演化的数学模型。
通过不动点理论，我们可以确定系统演化的稳定状态，即系统的不动点。
不动点的稳定性分析在动力系统研究中起着至关重要的作用。
不动点理论还被应用于函数方程和微分方程的研究。
对于给定的方程，通过找到方程的不动点，可以解决方程的存在性及唯一性问题。
这对于数学建模和分析具有重要意义。
此外，不动点理论还在经济学、物理学等学科中有广泛的应用。
在经济学中，通过构建经济模型的不动点，可以研究经济系统的平衡状态和稳定性。
不动点定理及其应用
不动点定理及其应用一、不动点定理不动点定理fixed —point theorem ：如果f 是1n +维实心球1{,11}n B x R n x +=∈+≤ 到自身的连续映射(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则f 存在一个不动点1n x B +∈（即满足(0)0f x x =）。
（一）、压缩算子:1、定义： 设（1)X距离空间；（2）算子:T X X →的映射。
若(01),..,s t x y X θθ∃≤<∀∈，恒有(,)(,)Tx Ty x y ρθρ≤， 则称T 是X 上的压缩算子.θ为压缩系数.2、性质：压缩算子T 是连续的 证 ：若nx x →，即(,)0n x x ρ→，则(,)(,)0n n Tx Tx x x ρθρ≤→例:11:T R R →，则 ①12Tx x =是压缩算子因为1111(,)(,),2222Tx Ty Tx Ty x y x y ρρθ=-=-==②0Tx x =是压缩算子（0θ= ） ③Tx x =不是压缩算子（1θ= )（二）、不动点定理1、定义：设（1）X --—— 是完备的距离空间；（2):T X X →的压缩算子.则T 在X 上存在唯一的不动点*x ，即***,..x X s t x Tx ∃∈=2、注意（1）定理的证明过程就是求不动点的方法,称为构造性的证明. （2）定理的条件是结论成立的充分非必要条件。
（3）迭代的收敛性和极限点与初始点无关。
但T 的选取及初始点0x 的选取对迭代速度有影响。
初始点离极限点越近，其收敛速度越快，而不影响精确度。
（4）误差估计①事前(或先验）误差:根据预先给出的精确度,确定计算步数。
此方法有时理论上分析困难。
设迭代到第n 步，将*n xx ≈，则误差估计式为*0010(,)(,)(,)11n nn x x Tx x x x θθρρρθθ≤=--②事后(或后验）误差：计算到第n 步后,估计相邻两次迭代结果的偏差1(,)n n x x ρ-，若该值小于预定的精度要求，则取*n x x ≈。
第6章 不动点理论及应用
§6.3 不动点定理的应用
不动点定理建立在距离空间基础上的，而距离空间是一 个比较广泛的抽象空间，所以不动点定理有着广泛的应用。
应用不动点定理解决实际问题的步骤： （1）寻找压缩算子 T ，将问题转化为求 x Tx 的不动点；
* { x } x （2）构造迭代序列 n ，取极限点 xn ；
T : L2[a, b] L2[a, b]
的算子。下证 T 的压缩性。
第一种情形举例
s, 0 s t K ( s, t ) C [0,1] 例 设在 上有 t , t s 1 ，求方程
1 1 (t ) 1 K ( s, t ) ( s)ds 10 0
* { x } x 若序列 n 收敛，则极限点 为 x Tx 的不动点。
这种用逐次代入构造近似解的方法称为迭代法。不同 的算子方程，得到不同的迭代法。
§6.2 不动点定理
1.压缩算子: 设（1） X 距离空间； （2）算子 T : X X 的映射。 若 (0 1), s.t. x, y X ，恒有
则通过点 ( x0 , y0 ) 必有且只有一条积分曲线 y y( x)
证：初值问题 求解方程 y( x) y( x0 ) x0 f (t , y(t ))dt 令 Ty y0 x f (t , y)dt ，则问题为解 y Ty 的不动点。
0
x
（下面只要证明 T 满足不动点定理的两个条件即可）
3 x 例如：求方程 x 1 0 在区间（0,2）内的近似根；
求解线性方程组 Ax b
实际上，对于上述各种方程的求解问题，都可统一为求解相应 的算子方程的不动点问题，并在此基础上建立了迭代方法。 转化方法：方程 f ( x) 0 x x f ( x) 令算子
Banach不动点理论及其在方程组求解中的应用
Banach不动点理论及其在方程组求解中的应用Banach不动点理论是数学中一个重要的概念，它在方程组求解等领域有着广泛的应用。
本文将介绍Banach不动点理论的基本概念和原理，并探讨其在方程组求解中的具体应用。
一、Banach不动点理论概述Banach不动点理论是由波兰数学家斯捷凡·巴拿赫（Stefan Banach）研究并提出的。
它是函数分析中的一个重要分支，研究在完备度量空间中具有某种特定性质的映射的不动点存在性问题。
在数学上，给定一个度量空间X和一个映射T：X→X，如果T存在一个点x∈X，使得T(x)=x，那么我们称x为T的不动点。
Banach不动点理论研究的是在何种条件下，一个映射T必然存在不动点。
二、Banach不动点定理Banach不动点理论的核心定理就是Banach不动点定理，也被称为压缩映像原理。
该定理给出了在完备度量空间中，压缩映射必然存在不动点的条件。
具体表述如下：定理：设X是一个完备度量空间，T：X→X是一个压缩映射。
则T 存在唯一的不动点。
这个定理的意义在于，通过找到一个满足压缩条件的映射T，在完备度量空间中总能找到该映射的不动点。
这为方程组求解提供了一种有效的方法。
三、Banach不动点理论在方程组求解中的应用Banach不动点理论在方程组求解中有着广泛的应用。
我们以线性方程组的求解为例，说明Banach不动点理论在方程组求解中的具体应用。
对于线性方程组Ax=b，其中A是一个已知的n×n矩阵，x和b是未知向量。
我们可以将方程组改写成一个不动点问题：x=T(x)+c，其中T(x)=(I-A)x和c=A·b，I是n阶单位矩阵。
这里T(x)是一个线性映射。
根据Banach不动点定理，如果T是一个压缩映射，那么方程组Ax=b就有唯一解x。
因此，我们可以通过构造一个满足压缩条件的映射T，然后使用Banach不动点定理来求解线性方程组。
在具体操作中，可以使用迭代法来逼近不动点。
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理及其应用
巴拿赫不动点定理是一个重要的数学定理，它主要研究自映射的不动点问题。
该定理表明，任何具有一定性质的自映射都一定存在一个不动点。
这个定理的应用非常广泛，例如在经济学、物理学、计算机科学和控制论等领域都有着广泛的应用。
在经济学中，巴拿赫不动点定理被用来解决市场均衡的问题；在物理学中，它被用来研究流体力学的问题；在计算机科学中，它被用来设计算法，例如快速排序；在控制论中，它被用来设计稳定的控制系统。
因此，掌握巴拿赫不动点定理及其应用是非常重要的。
- 1 -。
泛函分析中不动点理论及其应用
目录内容摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)1．引言 (1)2．不动点定义及定理介绍 (2)2.1不动点相关定义 (2)2.2不动点思想 (2)2.3不动点相关定理 (6)3．不动点思想在其他学科的应用 (8)3.1在求数列通项公式中的应用 (8)3.2在求方程解中的应用 (11)3.3在求函数解析式中的应用 (12)4．不动点定理在证明中的应用 (14)4.1 应用不动点定理证明数列极限 (14)4.2 应用不动点定理证明隐函数定理 (15)4.3 应用不动点定理证明微分方程解的存在性定理 (17)4.4 应用不动点定理证明积分方程解的存在性定理 (17)4.5 不动点定理在图论中的证明 (14)参考文献 (18)致谢 (19)内容摘要：本文简要介绍了不动点思想及相关定理，对Banach不动点定理做了一些简单的推论，应用不动点思想解决数列通项公式、方程的解、函数的解析式等问题。
并对隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理做出了证明。
关键词：不动点不动点思想不动点定理应用Abstract：Key words：1．引言泛函分析是本世纪出才逐渐形成的一个新的数学分支，以其高度的统一性和广泛的应用性，在现代数学领域占有重要的地位。
在泛函分析中。
许多分散在各个数学分支中的事实都得到了统一的处理，例如隐函数定理、微分方程解的存在性定理、积分方程解的存在性定理，在泛函分析中都归结为一个定理——不动点定理。
这正是抽象的结果。
不动点定理实际上是算子方程T x x =的求解问题，是分析学的各个分支中存在和唯一性定理的重要基础，它是关于具体问题解的存在唯一性的定理，其中Banach 不动点定理，亦称压缩映射原理，它提供了线性方程解的最佳逼近程序，给出了近似解的构造，在常微分方程、积分方程等领域中也有着广泛的应用，在现代数学发展中有着重要的地位和作用。
2．不动点相关定义及定理介绍2.1不动点相关定义定义1 设X 为非空集合，:T X X ®是一个映射，如果x X $ 使得T x x =成立，则称x 为映射T 的一个不动点。
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不动点理论及其应用主要内容：●不动点理论—压缩映像原理●不动点理论在微分方程中的应用●不动点理论在中学数学中的应用目录：一、引言二、压缩映像原理三、在微分方程中的应用四、在中学数学中的应用五、其它一、 引言取一张照片，按比例缩小，然后把小照片随手放在大照片上，那么大小两张照片在同一个部位，一定有一个点是重合的。
这个重合点就是一个不动点。
函数的不动点, 在数学中是指被这个函数映射到其自身的一个点, 即函数)(x f 在取值过程中, 如果有一个点0x 使00)(x x f =,则 0x 就是一个不动点。
二、 压缩映像原理定理：（Banach 不动点定理—压缩映像原理）设 ),(ρX 是一个完备的距离空间， T 是),(ρX 到其自身的一个压缩映射，则T 在X 上存在唯一的不动点。
这里有三个概念：距离空间，完备的距离空间，压缩映射距离空间又称为度量空间。
定义：（距离空间）设 X 是一个非空集合。
X 称为距离空间，是指在X 上定义了一个双变量的实值函数 ),(y x ρ， 满足下面三个条件：（1）。
0),(≥y x ρ， 而且0),(=y x ρ， 当且仅当 y x =； （2）。
),(),(x y y x ρρ=；（3）。
),(),(),(z y y x z x ρρρ+≤， （X ,,∈∀z y x ）。
这里 ρ 叫做 X 上的一个距离，以 ρ 为距离的距离空间 X 记作),(ρX 。
定义：（完备的距离空间）距离空间),(ρX 中的所有基本列都是收敛列，则称该空间是完备的。
定义：（压缩映射）称映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，如果存在 10<<a ， 使得 ),(),(y x a Ty Tx ρρ≤ ),(X y x ∈∀成立。
三、 在微分方程中的应用定理：（存在和唯一性）考虑如下初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==.00)(),,(y x y y x f dx dy假设 ),(y x f 在矩形区域b y y a x x R ≤-≤-||,||:00内连续，而且对 y 满足Lipschitz 条件，则上述问题在区间],[00h x h x I +-= 上有且仅有一个解，其中.|),(|max },,min{),(y x f M Maa h R y x ∈>=（1）。
传统的证明方法 通常，我们分成四步来证明：a. 转换成等价的积分方程⎰+=xx dt y t f y y 0),(0b. 构造皮卡迭代序列c. 证明皮卡迭代序列一致收敛，而且极限函数是解d. 证明解唯一（2）。
压缩映像原理证明根据上面的理论，先定义 )(],[00I C h x h x C X =+-= 然后， 给一个度量 |)()(|max ),(t y t x y x It -=∈ρ由积分方程 ⎰+=xx dt y t f y y 0),(0， 我们可以定义一个映射：⎰+=xx dt t y t f y x Ty 0))(,())((0我们要证明两点：a. 任意 X x ∈， 则 X Tx ∈b. 检验映射 ),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射|))(,())(,(|max 2|))(,()(,(|max ),(0t y t f t x t f h d y f d x f Ty Tx It tx tx It -≤-=∈∈⎰⎰ττττττρ注意函数 ),(y x f 对 y 满足Lipschitz 条件： |,||),(),(|2121x x L x t f x t f -≤- 其中 L 是一个常数。
容易得到),(2|))(,())(,(|max 2|))(,()(,(|max ),(0y x hL t y t f t x t f h d y f d x f Ty Tx It tx tx It ρττττττρ≤-≤-=∈∈⎰⎰因此，只要 h 取得适当小， 使得 12<hL ， 则映射),(),(:ρρX X T → 是一个压缩映射，因此，有唯一的不动点y ，使得⎰+=xx dt y t f y y 0),(0这样，存在与唯一性同时成立。
四、 在中学数学中的应用例1， 假设定义在R 上的奇函数 )(x f 的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。
证明：函数 )(x f 为奇函数，所以 )()(x f x f -=-，R x ∈特别，取 0=x ， 则 0)0(=f 。
因此 0 是一个不动点。
如果 0≠c 是一个不动点，即c c f =)(， 那么 c c f c f -=-=-)()( 说明 c - 也是一个不动点， 而且 c c ≠-。
或者说，奇函数的非零不动点是成对出现的，由题目条件，可知结论成立。
例2， 给定函数 bx ax x f ++=3)(， b a , 为常数。
（1）。
如果函数)(x f 有两个关于原点对称的不动点，求b a ,应该满足的条件。
（2）。
在（1）的条件下，取 )(,8x f y a == 的图像上 ',A A 两点的横坐标是函数)(x f 的不动点，P 为函数)(x f 图像上的另外一点，而且其纵坐标大于3，求点P 到直线'AA 距离的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标。
解：设0x 是函数)(x f 图像上的不动点，则有00003)(x bx ax x f =++=整理得 0)3(020=--+a x b x （*）由题意知方程（*）有两个根，而且绝对值相等，符号相反。
由韦达定理得 ⎩⎨⎧<-=-03a b由此得 393)(,0a 3+-+=>=x a x f b ， 故 9≠a 。
因此，b a ,应该满足的条件是：9,0a 3≠>=a b ，。
（2）。
在（1）的条件下，取 ,8=a 则 383)(++=x x x f 由x x x =++383得函数 )(x f 的两个不动点 221=x ，222-=x 故 )22,22(A ， )22,22('--=A 设 ),(y x P ， 则 3>y 。
由3383>++x x ， 解得 3-<x 直线'AA 的方程为 x y =。
设点P 到直线'AA 的距离为 d 。
246221]631)3[(2131)9(21|383|212||2=+≥+--+--=--+-=++-=-=）（x x x x x x x y x d当且仅当 313--=--x x ， 即 4-=x 时上式等号成立，此时， 4,4=-=y x故点P 到直线'AA 距离的最小值为24，此时点P 的坐标为)4,4(-。
五、 其它a. 还有很多其它不动点定理Brouwer 不动点定理: n 维欧氏空间中的闭单位球有不动点性质，即 如果 n S 表示这个球，n n S S f →: 是任意连续函数，则存在一个点n S x ∈0， 使得 00)(x x f =在经济均衡理论中的应用例如， 经典的Leontieff 模型。
假设每生产一个产品有 N 个生产者，N i P i ,...,2,1,=i X 表示生产者 i P 的全部产品，ij x 表示i P 生产的产品被j P消耗的全部总数。
定义 ij Nj i i x X Y 1=∑-=上式含义：i P 的全部产品数与由生产者N P P P ,...,,21消耗的总数之差。
i Y 称为商品 i 的“最后要求”。
闭合的Leontieff 模型假设 N i Y i ,...,2,1,0==。
iij ij X x a =称为 “产品系数”。
如果 ij a 是常数， 那么 Y X A I =-)(， 其中 )(ij a A =， ),...,(1N X X X =， ),...,(1N Y Y Y =。
一般情况下，假设ij a 为正连续函数。
)(x f ij 称为 “要求函数”：表示当i P 的收益为x ， 而花费在由j P 生产的产品 j G 上的资本总数。
显然，0)(=x f ii。
现在，如果每个生产者由于买另外生产者的商品而花掉其收益，那么有如下关系式)(x f x Nj ij ∑= （1）一般的经济规律认为， 生产者 i P 的收益 i x 按照这样的方式确定，即由生产者卖出的每个产品的总额必等于由另外的生产者买进产品的总值，用数学语言表示，有关系式 )(x f x Ni ij j ∑= （2）现在，假设函数 ij f 是非线性连续函数，则可知存在点),...,(1N x x x = 适合关系式（2）。
定理：假设函数 ij f 都是正的连续函数，满足条件（1），则存在点),...,(1N x x x =适合关系式（2）。
Schauder 不动点定理: Banach 空间中每个凸紧集，对于连续映射有 不动点性质。
b. 在偏微分方程的处理中有很多应用c. 引言中例子的证明我们把大照片抽象成矩形 )(1ABCD K ，小照片抽象成矩形)(''''2D C B A K 。
而照片的叠放可以看成是从 1K 到 12K K ⊂ 的连续映射（由伸缩和旋转的连续形变）。
假设 那个不动点为 O 点， 见下图。
要证明的结论可以转化为：存在O 点， 使得 OAB ∆与''B OA ∆相似。
证明：延长''B A 交AB 于点P ，然后过P A A ,,' 三点作圆1O ，过P B B ,,' 作圆 2O ， 记圆1O 和作圆 2O 的另一个交点为O 。
因为点B P B O ,,,'在圆 2O 上， 所以 OBP A OB ∠=∠''。
（因为OBP BO B BP B PO B OP B A OB ∠=∠+∠=∠+∠=∠''''''） 又因为点P A A O ,,,'在圆1O 上，所以 OAP P OA ∠=∠'因此，OAB ∆与''B OA ∆ 相似。
这就说明，在O 点上，大小照片中的“景物”是相同的。
思考题：A 是定义在 [2，4]上而且满足如下条件的函数 )(x ϕ组成的 集合：（1），对任意的]4,2[∈x ， 都有)2,1()(∈x ϕ；（2），存在常数)10(<<L L ， 使得对任意 ]2,1[,21∈x x ， 都有|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ。
（I ）。
设 31)(x x +=ϕ， ]4,2[∈x ， 证明：A x ∈)(ϕ。
（II ）。
设A x ∈)(ϕ，如果存在 )2,1(0∈x ， 使得 )2(00x x ϕ=，那么这样的 0x 是唯一的。