方差2-方差的性质
随机变量方差的概念及性质
= ( n 2 n) p 2 + np.
D( X ) = E ( X 2 ) [ E ( X )]2
= ( n 2 n) p 2 + np ( np )2
= np(1 p ) ).
3. 泊松分布
设 X ~ π(λ ), 且分布律为
P{ X = k } =
λk
k!
e λ , k = 0,1,2,
π π 2 = 3π + 24 2 4 16
4 2
2
= 20 2π 2 .
2 0 例4 设 X ~ 1 1 3 2
1 3 , 求 D( 2 X 3 + 5). 1 1 12 12
解
D( 2 X 3 + 5) = D( 2 X 3 ) + D( 5)
= 4 D( X )
= E[ X E ( X )]2 + E[Y E (Y )]2 ± 2 E {[ X E ( X )][Y E (Y )]}
= D( X ) + D(Y ).
推广 若 X 1 , X 2 ,
D( X1 ± X 2 ±
, X n 相互独立 , 则有 + D( X n ).
± X n ) = D( X1 ) + D( X 2 ) +
= C E {[ X E ( X )] }
2 2
= C 2 D( X ).
(3) 设 X, Y 相互独立, D(X), D(Y) 存在, 则
D( X ± Y ) = D( X ) + D(Y ).
证明
D( X ± Y ) = E {[( X ± Y ) E ( X ± Y )]2 } = E {[ X E ( X )] ± [Y E (Y )]}2
方差的性质
一般地， 一般地，
若 i ~ N(µi ,σi2 ), i =1 2,L , 且 互 立 则 X , n 相 独 ，
C1X1 +C2 X2 +L+Cn Xn +C ~ N∑Ciµi +C, i=1
n
∑C σ . i=1
n 2 2 i i
这 ， 1,C2,L Cn是 全 0 常 。 里 C , 不 为的 数
i=1 i =1 i =1 j≠i n n n n
2
性质4: 若随机变量 性质 若随机变量X1, X2, …, Xn相互独立， 相互独立， 则
Var( X1 + L+ X n ) = Var( X1 ) + L+ Var( X n )
n＝2时由于 ＝ 时由于 Var(X±Y)= Var(X) +Var(Y) ±2E(X-EX)(Y-EY) ± 独立， 若X, Y 独立，则 Var(X±Y)= Var(X) +Var(Y) ±
23
例9. 设 ( X ,Y ) ~ N ( µ1, σ12,µ2,σ22,ρ), 求 ρXY 解: cov( X,Y) = ∫−∞ ∫−∞(x − µ1)( y − µ2) f (x, y)dxdy
x−µ1 令 =s
+∞ +∞
σ1 y−µ2 =t σ2
+∞ +∞ σ1σ2 = ∫−∞ ∫−∞ ste 2π 1− ρ2
E | X | = ∫ | x | f (x)dx≥ ∫ | x | f (x)dx+ ∫ | x |α f (x)dx
−∞ −ε −∞
α
α
α
ε
≥ ∫ ε f (x)dx+ ∫ ε f (x)dx
随机变量方差的定义及性质
02
CATALOGUE
方差的性质
方差的非负性
总结词
方差具有非负性，即对于任何随机变量X，其方差Var(X)总是非负的。
详细描述
方差的独立性
要点一
总结词
如果两个随机变量X和Y是独立的，那么Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
要点二
详细描述
这是方差的一个重要性质，表明如果两个随机变量相互独 立，那么它们的和的方差等于它们各自方差的和。这个性 质在概率论和统计学中非常重要，因为它允许我们通过独 立随机变量的方差来计算复合随机变量的方差。
度。
方差主要关注数据点的离散程度 ，而峰态则关注数据点的集中趋
势。
如果数据分布更加尖锐，即数据 点更加集中在平均值附近，则方 差可能会减小，因为数据点之间
的差异较小。
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方差还可以表示为
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。这个公式可以用来计算方差，其中E(X^2)表示随机变量X的平方的期望值 ，E(X)表示随机变量X的期望值。
方差与期望值的关系
方差的大小与期望值有关。如果一个随机变量的期望值越大，其方差也越大；如果一个随机变量的期望值越小，其方差也越 小。
03
CATALOGUE
方差的应用
方差在统计学中的应用
描述数据分散程度
方差是衡量随机变量取值分散程度的量，用于描述数 据的离散程度。
检验假设
在统计学中，方差分析（ANOVA）等方法用于检验 多个总体均值是否相等，从而判断假设是否成立。
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
方差
EX kC p (1 p)
n
k 1
n
np
k k 2 E ( X 2 ) k 2Cn p (1 p) n k n n 1 p np k 1
DX n(n 1) p np n p np(1 p) npq
2 2 2
EX np
2 ( x EX ) pk , k DX k 1 ( x EX ) 2 p ( x)dx,
5
注：方差描述了随机变量的取值与其均值的偏离程度。
计算方差的简便公式：
DX E ( X ) ( EX )
2
2
展开
证明
DX E ( X EX )
k 1
k 1
k 1
k
15
5．均匀分布：
X ~ U (a, b) 参数为 a, b . 1 ,a xb 密度函数: p( x) b a 0 , other 2 b ab b x x dx EX xp( x)dx a 2(b a ) a ba 2 2 b x 2 2 E ( X ) x p( x)dx a b a dx x3 b a 2 ab b 2 2 2 DX E ( X ) ( EX ) 3(b a ) a 3
1 如第i次试验成功 Xi 0 如第i次试验失败
n i 1
i 1, 2,3,
, n.
X Xi
是n 次试验中“成功” 的次数
EX i P( X i 1) p
故
E( X i2 ) p
DX i E ( X i 2 ) ( EX i ) 2 p p 2 p(1 p)
方差
一、方差的概念 二、方差的计算 三、方差的性质 四、切比雪夫不等式 五、课堂练习
一、方差的概念 1.概念的引入
引例 设两个班的成绩X,Y 分布律分别为 A班 B班 X p Y p 60 0.2 70 0.7 80 0.1 90 100 0.2 0.05
40 50 60 70 80 0.1 0.2 0.15 0.1 0.2
D(CX ) C 2 D( X ).
证明 D(CX ) E {[CX E (CX )]2 }
C 2 E {[ X E ( X )]2 } C 2 D( X ).
(3)若 X，Y 独立，则 D(X+Y )=D(X )+D(Y );
证明: D ( X Y ) E{( X Y ) 2 } [ E ( X Y )]2
2
1
e x , x 0 f ( x) 0, x 0
x
,
2 2
E ( X ) x f ( x) d x 0 x e 用两次分部积分 2 2.
dx
D( X ) E ( X ) E ( X )
2 2
A班 B班
X p Y p
60 0.2
70 0.7
80 0.1 90 100 0.2 0.05
40 50 60 70 80 0.1 0.2 0.15 0.1 0.2
E(X )=69. E(Y )=69.
D( X ) [ xk E ( X )]2 pk
k 1
(60 69) 0.2 (70 69) 0.7 (80 69) 0.1 29. D(Y ) [ yk E (Y )]2 pk
概率论与数理统计4-2 方差
X
,
为X的 标准化 变量
E ( X ), D( X )。 X 1 * ) E( X ) 0 解 E( X ) E( X 2 * * 2 * 2 E[( ) ] D( X ) E([ X ] ) [ E( X )] 1 1 2 D( X ) 1 E[( X ) ] 2
推论
若 X i (i 1, 2,...n)相互独立，则有： D( X 1 X 2 ... X n ) D( X 1 ) D( X 2 ) ... D( X n ) 进一步有：D( Ci X i ) [C D( X i )]
i 1 i 1 2 i n n
4. D(X)=0
P{X= C}=1 , 这里C=E(X)
下面我们的举例说明方差性质应用 .
例7 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解
X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 如第i次试验成功 i=1,2，…，n 若设 X i 0 如第i次试验失败
则X
1 fZ ( z) e 3 2
( z 5)2 18
.
四、切比雪夫不等式
定理 设随机变量X具有数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) 2 , 则对于任意正数 ，有不等式
事件{|X-E(X)|< }的概率越大，即随机变量X 集
P{| X E ( X ) | } 2 2 或 P{| X E ( X ) | } 1 2 由切比雪夫不等式可以看出，若 2 越小，则
b 2
2
b a ab E( X ) , D( X ) 2 12
总结归纳方差的性质
总结归纳⽅差的性质总结归纳⽅差的性质 ⽅差是在概率论和统计⽅差衡量随机变量或⼀组数据时离散程度的度量。
概率论中⽅差⽤来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的⽅差（样本⽅差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平⽅值的平均数。
在许多实际问题中，研究⽅差即偏离程度有着重要意义。
以下是⼩编整理的总结归纳⽅差的性质，⼀起来看看吧。
总结归纳⽅差的性质篇1 ⼀.⽅差的概念与计算公式 例1 两⼈的5次测验成绩如下： X： 50，100，100，60，50 E(X )=72; Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X 不稳定，对平均值的偏离⼤。
⽅差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是 消除符号影响 ⽅差即偏离平⽅的均值，记为D(X )： 直接计算公式分离散型和连续型，具体为： 这⾥是⼀个数。
推导另⼀种计算公式 得到：“⽅差等于平⽅的均值减去均值的平⽅”。
其中，分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均⽅差，⽅差描述波动 ⼆.⽅差的性质 1.设C为常数，则D(C) = 0(常数⽆波动); 2. D(CX )=C2 D(X ) (常数平⽅提取); 证： 特别地 D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )(⽅差⽆负值) 特别地 独⽴前提的逐项求和，可推⼴到有限项。
⽅差公式： 平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n (n表⽰这组数据个数，x1、x2、x3……xn表⽰这组数据具体数值) ⽅差公式：S=〈(M-x1)+(M-x2)+(M-x3)+…+(M-xn)〉╱n 三.常⽤分布的⽅差 1.两点分布 2.⼆项分布 X ~ B ( n, p ) 引⼊随机变量 Xi (第i次试验中A 出现的次数，服从两点分布)， 3.泊松分布(推导略) 4.均匀分布 另⼀计算过程为 5.指数分布(推导略) 6.正态分布(推导略) 7.t分布 :其中X~T(n)，E(X)=0;D(X)=n/(n-2); 8.F分布：其中X~F(m,n),E(X)=n/(n-2); ~ 正态分布的后⼀参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度(随机波动)，这与图形的特征是相符的 总结归纳⽅差的性质篇2 第⼀章实数 ⼀、重要概念 1.数的分类及概念数系表： 说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏) 2)有标准 2.⾮负数：正实数与零的统称。
方差定理公式
方差定理公式方差定理公式是一种用于描述随机变量的离散程度的数学工具，它可以帮助我们分析数据的变化情况，评估统计模型的拟合效果，以及进行假设检验等。
方差定理公式有多种形式，本文将介绍其中的几种，并给出相应的证明和应用。
什么是方差方差是一种衡量随机变量或者一组数据与其均值之间的距离的度量，它反映了数据的波动程度。
方差越大，说明数据越分散，越不稳定；方差越小，说明数据越集中，越稳定。
方差的定义有多种方式，其中最常见的一种是：V ar(X)=E[(X−E(X))2]其中，X是一个随机变量，E(X)是它的期望值，E[(X−E(X))2]是它与期望值之差的平方的期望值。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能的输出值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
另一种常见的定义是：V ar(X)=E(X2)−[E(X)]2这个定义可以通过展开上面的定义得到，也可以记忆为“期望平方内减外”。
这个定义可以理解为：方差等于随机变量的平方的期望值减去随机变量的期望值的平方。
还有一种常见的定义是：V ar(X)=n∑i=1(x i−μ)2f(x i)其中，x i是随机变量X的第i个可能取值，μ=E(X)是它的期望值，f(x i)是它取该值的概率。
这个定义可以理解为：方差等于每个可能取值与均值之差的平方乘以其概率后求和。
以上三种定义都是等价的，可以根据不同的情况选择合适的形式来计算或推导方差。
方差定理公式方差定理公式是一些关于方差运算或性质的公式，它们可以帮助我们简化计算或推导过程，也可以帮助我们理解方差背后的含义或规律。
以下介绍几种常用的方差定理公式。
方差线性性质如果X,Y是两个随机变量，a,b是两个常数，则有：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)+2abCov(X,Y)其中，Cov(X,Y)是X,Y之间的协方差，它表示两个随机变量之间的线性相关程度。
如果X,Y相互独立，则协方差为零，上式就简化为：V ar(aX+bY)=a2V ar(X)+b2V ar(Y)这个公式说明了方差具有线性性质，即两个独立随机变量之和或者差的方差等于它们各自方差乘以系数后求和。
方差加减的性质
方差加减的性质
性质：
1、设C是常数，则D(C)=0;
2、设X是随机变量，C是常数，则有：
3、设 X 与 Y 是两个随机变量，则：
其中协方差：
特别的，当X，Y是两个不相关的随机变量则：
此性质可以推广到有限多个两两不相关的随机变量之和的情况。
统计学意义
当数据分布比较分散(即数据在平均数附近波动较大)时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大;当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小。
因此方差越大，数据的波动越大;方差越小，数据的波动就越小。
样本中各数据与样本平均数的差的平方和的平均数叫做样本方差;样本方差的算术平方根叫做样本标准差。
样本方差和样本标准差都是衡量一个样本波动大小的量，样本方差或样本标准差越大，样本数据的波动就越大。
方差概念及计算公式
方差概念及计算公式一．方差的概念与计算公式例1两人的5次测验成绩如下：X：50，100，100，60，50 E(X )=72；Y：73，70，75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即，其中分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
二．方差的性质1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）；证：特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）3．若X、Y相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
三．常用分布的方差1．两点分布2．二项分布X ~ B( n, p )引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布），3．泊松分布（推导略）4．均匀分布另一计算过程为5．指数分布（推导略）6．正态分布（推导略）~正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。
例2求上节例2的方差。
解根据上节例2给出的分布律，计算得到求均方差。
均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。
S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
就是说当n很大时，事件发生的频率于概率有较大偏差的可能性很小。
由实际推断原理，在实际应用中，当试验次数很大时，便可以用事件发生的频率来代替事件的概率。
方差(概率论与数理统计)
方差分析通过比较不同组数据的分散程度，判断不同因素对数据变 异的贡献程度，从而进行多因素比较。
方差分析的适用条件
进行方差分析前需要满足独立性、正态性和方差齐性等条件，以确 保分析结果的准确性和可靠性。
方差分析的步骤
包括建立假设、计算自由度、计算F值、进行显著性检验等步骤，最 终得出各因素对数据变异的贡献程度和显著性水平。
统计学推断
在统计学中，方差分析、回归分析和生存分析等方法都涉及到方差的 概念和应用。
质量控制
在生产过程中，方差分析可以用于检测产品质量的一致性和稳定性。
社会科学研究
在社会学、心理学和经济学等社会科学领域，方差分析常用于研究不 同组别之间的差异和变化。
02
方差的计算方法
离差平方和的分解
离差平方和是由数据点与平均值的偏差平方和组成的，即每个数据点与平 均值的差的平方的总和。
其中，n是数据点的数量，组内离差平方和是每个数据点 与其所属类别的平均值的偏差平方和的总和，组间离差平 方和是不同类别的平均值之间的偏差平方和。
方差的计算实例
首先计算每个数据点与平均值的偏差的平方： {0, 1, 2, 3, 4}。
最后，根据方差的计算公式，方差 = (5-1) / 5 * 30 + 1 / 5 * 0 = 24。
假设有一个数据集{1, 2, 3, 4, 5}，其平均值为3。
然后求出偏差的平方的总和：0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30。
03
方差与其他统计量的关 系
方差与期望值的关系
方差是衡量数据离散程度的统计量，而期望值是数据的平均 水平。方差和期望值之间存在密切的关系，通常表示为方差 等于期望值的平方减去数据点的平方。
一随机变量方差的定义及性质
D( X ) 100 2
250 1 100 2
0.975
(2)设需要做n次独立试验,则X ～ B(n,0.5),求n使得
P0.35
X n
0.65
P0.35
n
0.5
n
X
0.5n
0.65n
0.5n
PX 0.5n 0.15n 0.95
成立,由切比谢夫不等式得
DX
0.25n
P X 0.5n 0.15n 1 (0.15n)2 1 (0.15n)2
10 D(C ) 0; 20 D(CX ) C 2D( X ); 30 当X,Y独立时，D( X Y ) D( X ) D(Y ).
4. 契比雪夫不等式
P{ X
μ
ε}
σ2 ε2
P{ X
μ
ε
}
1
σ2 ε2
.
5. 矩是随机变量的数字特征.
随机变量 X 的数学期望 E( X ) 是 X 的一阶原点矩;
12 p 02 (1 p) p2 pq
2. 二项分布
设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布, 其分布律为
P{ X k} n pk (1 p)nk ,(k 0,1,2,,n),
k
则有
0 p 1.
EX
n
k0
k
n k
p
k
(1
p)nk
np
E( X 2 ) E[X ( X 1) X ]
(3) 在实际应用中,高于 4 阶的矩很少使用.
三阶中心矩E{[X E( X )]3 }主要用来衡量随
机变量的分布是否有偏. 四阶中心矩 E{[X E( X )]4 } 主要用来衡量随 机变量的分布在均值附近的陡峭程度如何.
1方差的定义
第二节 方 差1.方差的定义数学期望描述了随机变量取值的“平均”.有时仅知道这个平均值还不够.例如，有A ，B 两名射手，他们每次射击命中的环数分别为X ，Y ，已知X ，Y 的分布律为：表4-7其他的因素.通常的想法是：在射击的平均环数相等的条件下进一步衡量谁的射击技术更稳定些.也就是看谁命中的环数比较集中于平均值的附近，通常人们会采用命中的环数X 与它的平均值E （X ）之间的离差｜X -E （X ）｜的均值E ［｜X -E （X ）｜］来度量，E ［｜X -E （X ）｜］愈小，表明X 的值愈集中于E （X ）的附近，即技术稳定；E ［｜X -E （X ）｜］愈大，表明X 的值很分散，技术不稳定.但由于E ［｜X -E （X ）｜］带有绝对值，运算不便，故通常采用X 与E （X ）的离差｜X -E （X ）｜的平方平均值E ［X -E （X ）］2来度量随机变量X 取值的分散程度.此例中，由于E ［X -E （X ）］2=0.2×(8-9)2+0.6×(9-9)2+0.2×(10-9)2=0.4，E ［Y -E (Y )］2=0.1×(8-9)2+0.8×(9-9)2+0.1×(10-9)2=0.2.由此可见B 的技术更稳定些.定义4.2 设X 是一个随机变量，若E ［X -E （X ）］2存在，则称E ［X -E （X ）］2为X 的方差（Variance ），记为D （X ），即D （X ）=E ［X -E （X ）］2. （4.7）称)(X D 为随机变量X 的标准差（Standard deviation ）或均方差(Mean square deviation)，记为σ（X ）.根据定义可知，随机变量X 的方差反映了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度.若X 取值比较集中，则D （X ）较小，反之，若X 取值比较分散，则D （X ）较大.由于方差是随机变量X 的函数g （X ）=［X -E （X ）］2的数学期望.若离散型随机变量X 的分布律为P {X =x k }=p k ，k =1，2，…，则D （X ）=k k k p XE x∑∞=-12)]([. （4.8） 若连续型随机变量X 的概率密度为f （x ），则 D （X ）=⎰+∞∞--.)()]([2x x f X E x d （4.9）由此可见，方差D （X ）是一个常数，它由随机变量的分布惟一确定.根据数学期望的性质可得：D （X ）=E ［X -E (X )］2=E ［X 2-2X ·E (X )+［E (X )］2］=E (X 2)-2E (X )·E (X )+［E (X )］2=E (X 2)-［E (X )］2.于是得到常用计算方差的简便公式D （X ）=E （X 2）-［E （X ）］2. （4.10）例4.11 设有甲，乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果如下表：表4-9且评定它们的质量.解 由于E （X ）=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30，E (Y )=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30，故得D （X ）=（28-30）2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=4×0.1+1×0.15+0×0.5+1×0.15+4×0.1=1.1，D (Y )=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=4×0.13+1×0.17+0×0.4+1×0.17+4×0.13=1.38.因D （X ）＜D （Y ），所以甲种棉花纤维长度的方差小些，说明其纤维比较均匀，故甲种棉花质量较好.例4.12 设随机变量X 的概率密度为f （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧<≤-<≤-+.,0,10,1,01,1其他x x x x求D （X ）.解 E （X ）=⎰⎰-++-1001)1()1(x x x x x x d d =0， E （X 2）=⎰⎰-++-102012)1()1(x x x x x x d d =1/6， 于是 D （X ）=E （X 2）-［E （X ）］2=1/6.2.方差的性质方差有下面几条重要的性质.设随机变量X 与Y 的方差存在，则1°设c 为常数，则D （c ）=0；2°设c 为常数，则D （cX ）=c 2D （X ）；3°D （X ±Y )=D (X )+D (Y )±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］；4°若X ，Y 相互独立，则D （X ±Y ）=D (X )+D (Y )；5°对任意的常数c ≠E (X )，有D (X )<E [（X -c ）2].证 仅证性质4°，5°.4°D （X ±Y ）=E ［(X ±Y )-E (X ±Y )］2=E ［(X -E (X ))±(Y -E (Y ))］2=E ［X -E (X )］2±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］+E ［Y -E (Y )］2=D (X )+D (Y )±2E ［(X -E (X ))(Y -E (Y ))］.当X 与Y 相互独立时，X -E （X ）与Y -E （Y ）也相互独立，由数学期望的性质有E ［（X -E （X ））（Y -E （Y ））］=E （X -E （X ））E （Y -E （Y ））=0.因此有D （X ±Y ）=D (X )+D (Y ).性质4°可以推广到任意有限多个相互独立的随机变量之和的情况.5°对任意常数c ，有E [(X -c )2]=E [(X -E (X )+E (X )-c )2]=E [(X -E (X ))2]+2(E (X )-c )·E [X -E (X )]+(E (X )-c )2=D (X )+(E (X )-c )2.故对任意常数c ≠EX ,有DX <E [(X -c )2].例4.13 设随机变量X 的数学期望为E （X ），方差D （X ）=σ2（σ＞0），令Y =σ)(X E X -，求E （Y ），D （Y ）.解 E （Y ）=[],0)()(1)]([1)(=-=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-X E X E X E X E X E X E σσσ D （Y ）=.1)(1)]([1)(2222===-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-σσσσσX D X E X D X E X D 常称Y 为X 的标准化随机变量.例4.14 设X 1，X 2，…，X n 相互独立，且服从同一（0-1）分布，分布律为P {X i =0}=1-p ,P {X i =1}=p , i =1,2，…，n .证明 X =X 1+X 2+…+X n 服从参数为n ，p 的二项分布，并求E （X ）和D （X ）.解 X 所有可能取值为0，1，…，n ，由独立性知X 以特定的方式（例如前k 个取1，后n -k 个取0）取k （0≤k ≤n ）的概率为p k （1-p ）n -k ,而X 取k 的两两互不相容的方式共有kn C 种，故P {X =k }=kn C p k （1-p ）n -k , k =0，1，2，…，n ,即X 服从参数为n ，p 的二项分布.由于E （X i ）=0×(1-p )+1×p =p ，D (X i )=(0-p )2×(1-p )+(1-p )2×p =p (1-p )， i =1，2，…，n ，故有 E （X ）=.)(11np X E X E ni i n i i ==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑== 由于X 1，X 2，…，X n 相互独立，得D （X ）= ).1()(11p np X D X D ni i n i i -==⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑== 3.常用分布的方差（1） （0-1）分布设X 服从参数为p 的0-1分布，其分布律为由例4.14知，D (X )=p (1-p ).(2) 二项分布设X 服从参数为n ,p 的二项分布，由例4.14知，D （X ）=np (1-p ).(3) 泊松分布设X 服从参数为λ的泊松分布，由上一节知E （X ）=λ，又E （X 2）=E [X （X -1）+X ]=E [X (X -1)]+E (X )=∑∑∞=--∞=-+-=+-2220)!2(!)1(k k k kk k k k λλλλλλλe e=λ2e -λ·e λ+λ=λ2+λ,从而有D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=λ2+λ -λ2=λ.（4） 均匀分布设X 服从[a ,b ]上的均匀分布，由上一节知E （X ）=2ba +，又E （X 2）=3222b ab a x a b x b a ++=-⎰d ,所以D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=12)()(41)(312222a b b a b ab a -=+-++.(5) 指数分布 设X 服从参数为λ的指数分布，由上一节知.E (X )=1/λ，又E （X 2）=222λλλ=⎰-b a x x x d e ,所以D （X ）=E （X 2）-[E (X )]2=.112222λλλ=⎪⎭⎫ ⎝⎛-(6) 正态分布设X ~N （μ,σ2），由上一节知E （X ）=μ，从而D （X ）=[]⎰⎰∞+∞--∞+∞--=--d e πd x x x x f XE x x 222)(2221)()()(σμσμ令σμ-x =t 则D （X ）=)(22222222222⎰⎰∞+∞--∞+∞--∞+∞--+-=t t t t t t td e e πd e πσσ=)20(22ππ+σ =σ2.由此可知：正态分布的概率密度中的两个参数μ和σ分别是该分布的数学期望和均方差.因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定.再者，由上一章第五节例3.17知道，若X i ~N (μi ,σi 2),i =1,2,…,n ，且它们相互独立，则它们的线性组合c 1X 1+c 2X 2+…+c n X n （c 1，c 2，…，c n 是不全为零的常数）仍然服从正态分布.于是由数学期望和方差的性质知道：c 1X 1+c 2X 2+…+c n X n ~⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑==n i n i i i i i c c N 1122,σμ.这是一个重要的结果.例4.15 设活塞的直径（以cm 计）X ~N (22.40,0.032)，气缸的直径Y ~N （22.50,0.042），X ，Y 相互独立，任取一只活塞，任取一只气缸，求活塞能装入气缸的概率.解按题意需求P {X <Y }=P {X -Y <0}.令Z =X -Y ，则E （Z ）=E （X ）-E （Y ）=22.40-22.50=-0.10,D (Z )=D (X )+D (Y )=0.032+0.042=0.052,即Z ~N （-0.10,0.052）,故有P {X <Y }=P {Z <0}=⎪⎭⎫⎝⎛Φ=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--<--05.010.005.0)10.0(005.0)10.0(Z P=Φ(2)=0.9772.。
方差概念及计算公式
方差概念及计算公式-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1方差概念及计算公式一．方差的概念与计算公式例1两人的5次测验成绩如下：X： 50，100，100，60，50 E(X )=72；Y： 73， 70， 75，72，70 E(Y )=72。
平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。
方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。
单个偏离是消除符号影响方差即偏离平方的均值，记为D(X )：直接计算公式分离散型和连续型，具体为：这里是一个数。
推导另一种计算公式得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”，即，其中分别为离散型和连续型计算公式。
称为标准差或均方差，方差描述波动程度。
二．方差的性质1．设C为常数，则D(C) = 0（常数无波动）；2．D(CX )=C2D(X ) （常数平方提取）；证：特别地D(-X ) = D(X ), D(-2X ) = 4D(X )（方差无负值）3．若X、Y相互独立，则证：记则前面两项恰为D(X )和D(Y )，第三项展开后为当X、Y 相互独立时，，故第三项为零。
特别地独立前提的逐项求和，可推广到有限项。
三．常用分布的方差1．两点分布2．二项分布X ~ B( n, p )引入随机变量X i（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布），3．泊松分布（推导略）4．均匀分布另一计算过程为5．指数分布（推导略）6．正态分布（推导略）~正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。
例2求上节例2的方差。
解根据上节例2给出的分布律，计算得到求均方差。
均方差的公式如下：（xi为第i个元素）。
S = ((x1-x的平均值)^2 + (x2-x的平均值)^2+(x3-x的平均值)^2+...+(xn-x的平均值)^2)/n)的平方根大数定律表表明：事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p，这个定理以严格的数学形式表达了频率的稳定性。
六西格玛黑带知识点(方差的性质及方差的计算)
一、***方差的性质及方差的计算题目：某机械企业在下料时需要把长度为L的钢材截成长度为L1和L2的两段，已知L服从均值为10cm，标准差为0.4cm的正态分布，L1服从均值为5cm，标准差为0.3cm的正态分布，则关于L2的分布，下列说法正确的是：CA. 一定不是正态分布B. 服从均值为5cm，标准差为0.1cm的正态分布C. 服从均值为5cm，标准差为0.5cm的正态分布D. 服从均值为5cm，标准差为0.7cm的正态分布X1和X2相互独立时，有此题是两正态分布之差L2还是正态分布，均值10-5=5，标准差是两方差之和再开平方。
Var(X1-X2)=VarX1+VarX2Var(L2)=Var(L-L1)=VarL+VarL1=0.4^2+0.3^2=0.25Stdev(L2)=0.25^0.5=0.5注意：方差有可加性，sqrt(0.08^2+0.06^2)=sqrt(0.01)=0.1题目：某公司对20名六西格玛绿带奖励了2万元，奖金按每个绿带的表现进行了二次分配，有人计算出奖金额的方差为81。
后来，公司又出了两个追加奖金的备选方案：（1）每人增加100元；（2）每人增加10%。
问若实施这两种方案，奖金的方差分别是多少（保留整数）？AA. 81 98B. 81 89C. 91 98D. 以上都不对方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。
概率论中方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
统计中的方差（样本方差）是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。
在概率分布中，设X是一个离散型随机变量，若E{[X-E（X）]^2}存在，则称E{[X-E（X）]^2}为X的方差，记为D（X），Var（X）或DX，其中E（X）是X的期望值，X是变量值[1]，公式中的E是期望值expected value 的缩写，意为“变量值与其期望值之差的平方和”的期望值。
概率论中的期望与方差
概率论中的期望与方差概率论是一门研究随机现象的数学理论。
在概率论中，期望和方差是两个重要的概念。
本文将围绕这两个概念展开阐述，并探讨它们在概率论中的应用。
一、期望的定义与性质期望是对随机变量的平均值的度量，反映了随机变量的平均水平。
设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的期望E(X)定义为∑[x·P(X=x)]。
期望具有线性性质，即对于任意常数a和b，E(aX+b)=aE(X)+b。
期望在概率论中有着广泛的应用。
在统计学中，期望被用于描述样本均值的性质。
在金融领域，期望被用于计算资产收益的预期值。
在工程学中，期望被用于评估系统的性能。
二、方差的定义与性质方差用于衡量随机变量的离散程度。
设随机变量X的分布律为P(X=x)，则X的方差Var(X)定义为∑[(x-E(X))^2·P(X=x)]。
方差的算术平方根称为标准差。
方差的计算是概率论中的重要内容。
方差衡量了随机变量与其期望之间的差异程度，越大表示随机变量值的分散程度越大。
方差的应用包括金融学中的风险度量、质量控制中的异常度量等。
三、期望与方差的关系期望和方差是概率论中两个紧密相关的概念。
根据方差的定义可得，Var(X)=E[(X-E(X))^2]。
这说明方差是对随机变量离散程度的度量，同时也可以看作是随机变量与其期望之差的平方的期望。
期望和方差之间存在一定的关系。
例如，对于两个独立随机变量X和Y，有Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)。
这个性质被称为方差的可加性。
另外，若常数a和b分别为aX和bY的系数，则Var(aX+bY)=a^2·Var(X)+b^2·Var(Y)。
四、期望与方差的应用期望和方差在概率论中有着广泛的应用。
以期望为例，它可以用于计算随机变量的平均值，进而评估随机事件的结果。
在统计学中，期望被用于估计总体参数，如样本均值是总体均值的无偏估计。
方差的应用也是多种多样的。
在金融学中，方差被用于度量资产的风险程度。
方差的简化运算公式 加详细证明
1. 方差的简化运算公式：如果一组数据12,,...,n x x x 中，各数据的平均数是x ，那么，它们的方差可用下面的公式计算： （1） 22222121[(...)]n s x x x nx n =+++-， 或写成22222121(...)n s x x x x n =+++-. 请看老师的证明过程：（2）22222121[(''...')']n s x x x nx n =+++-， 其中1122',',...,'.n n x x a x x a x x a =-=-=- ， a 是接近这组数据平均数的一个常数.2. 平均数、方差的运算性质（1） 如果一组数据12,,...,n x x x 的平均数是x ，方差是2s ，那么一组新数据12,,...n x b x b x b +++的平均数是x b +，方差仍是2s 。
请看老师的证明过程：（2） 如果一组数据12,,...,n x x x 的平均数是x ，方差是2s ，那么一组新数据12,,...n ax ax ax 的平均数是22,,ax a s a s 方差是标准差是。
请看老师的证明过程：（3） 如果一组数据12,,...,nx x x 的平均数是x ，方差是2s ，那么一组新数据12,,...,n ax b ax b ax b +++的平均数是ax b +，方差是22a s ，标准差是a s ，其中,a b 是常数。
请看老师的证明过程：3. 方差问题的两个补充定理定理1如果一组数据12,,...,n x x x 的方差21,s a =那么另一组数据22122,,....n mx mx mx s m a =的方差定理 2 如果数据12,,...n ax ax ax 的方差为m ，那么数据12,,...,n bx bx bx 的方差是2·.b m a ⎛⎫⎪ ⎭⎝。
离散型随机变量的方差
离散型随机变量的方差1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义： 设离散型随机变量X 的分布列为X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n①方差D (X )＝∑ni ＝1__(x i －E (X ))2p i ． ②标准差为D （X ）．(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2D (X )．随机变量与样本方差的关系(1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．(2)对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差． 2．两个常见分布的方差(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√已知X 的分布列为X 1 2 3 4 P14131614则D (X )的值为A.2912 B.121144 C.179144 D.1712 答案：C已知X 的分布列为X 0 1 2 P131313设Y ＝2X ＋3，则D (Y )＝________． 答案：83已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np （1－p ）＝20，解得p ＝13.答案：13探究点1 求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差. 【解】 由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120， P (ξ＝2)＝220＝110，P (ξ＝3)＝320， P (ξ＝4)＝420＝15.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 4 P1212011032015所以E (ξ)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2×12＋(1－1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2×15＝2.75.[变条件]在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值． 解：由D (aξ＋b )＝a 2D (ξ)＝11，E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1，及E (ξ)＝1.5，D (ξ)＝2.75，得2.75a 2＝11，1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.求离散型随机变量的方差的步骤(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出分布列．(4)利用公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出随机变量的期望E (X )．(5)代入公式D (X )＝(x 1－E (X ))2p 1＋(x 2－E (X ))2p 2＋…＋(x i －E (X ))2·p i ＋…＋(x n －E (X ))2p n 求出方差D (X )．(6)代入公式σ(X )＝D （X ）求出随机变量的标准差σ.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，34.在前3次投篮中，乙投篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差． 解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.P (ξ＝0)＝13×13＝19； P (ξ＝1)＝13×23＋23×14＝718. P (ξ＝2)＝23×34＝12.故ξ的分布列为ξ 0 1 2 P1971812E (ξ)＝0×19＋1×718＋2×2＝18，D (ξ)＝(0－2518)2×19＋(1－2518)2×718＋(2－2518)2×12＝149324. 探究点2 两点分布与二项分布的方差一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是13.(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差．【解】 (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，13)，故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝43.(2)由已知η＝30ξ，故E (η)＝30E (ξ)＝60，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.正确认识二项分布及在解题中的应用(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程． (2)对于二项分布公式E (X )＝np 和D (X )＝np (1－p )要熟练掌握．抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数．(1)若抛掷1次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )． 解：(1)X 服从两点分布X 0 1 P1212所以E (X )＝p ＝12，D (X )＝p (1－p )＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝14.(2)由题意知X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，12， 所以E (X )＝np ＝10×12＝5，D (X )＝np (1－p )＝10×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＝52.探究点3 方差的实际应用甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 与Y ，且X ，Y 的分布列如下：X 1 2 3 Pa0.10.6Y 1 2 3 P0.3b0.3(1)求a ，b 的值；(2)计算X ，Y 的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况． 【解】 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，得a ＝0.3.同理0.3＋b ＋0.3＝1，得b ＝0.4.(2)E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，E (Y )＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，D (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (Y )＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.由于E (X )＞E (Y )，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (X )＞D (Y )，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三种方案．第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为12；第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15；第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由． 解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为ξ的数学期望E (ξ)＝4×2＋(－2)×2＝1.若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：η的数学期望E (η)＝2×5＋0×5＋(－1)×5＝1.若按方案三执行，收益y ＝10×3%＝0.3，因此E (ξ)＝E (η)＞y .又D (ξ)＝(4－1)2×12＋(－2－1)2×12＝9，D (η)＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85.由以上可知D (ξ)＞D (η)．这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥． 所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．1．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下表所示，则随机变量X 的方差D (X )等于( )A.19B.9C.13D.23解析：选B.由题意可知：m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23，所以D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－232×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×23＝29.2．已知A 1，A 2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高校的个数为随机变量X ，则D (X )＝( ) A.316 B.54 C.2564D.1964解析：选A.因为X 的取值为0，1，P (X ＝0)＝12×12＝14， P (X ＝1)＝12＋12×12＝34，所以E (X )＝0×14＋1×34＝34，D (X )＝916×14＋116×34＝316.故选A.3．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)． 解：ξ的可能取值为6，9，12.ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，则P (ξ＝6)＝C 38C 310＝715.ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，则P (ξ＝9)＝C 28C 12C 310＝715.ξ＝12表示取出的3张卡片上两张标有5，一张标有2，则P (ξ＝12)＝C 18C 22C 310＝115.所以ξ的分布列为P715 715 115所以E (ξ)＝6×715＋9×15＋12×15＝7.8， D (ξ)＝(6－7.8)2×715＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115＝3.36.知识结构深化拓展对随机变量X 的方差、标准差的五点说明(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更为广泛．(4)D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．(5)方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2计算(可由D (X )＝∑ni ＝1 (x i －E (X ))2p i 展开得到).1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，A 发生，0，A 不发生，则ξ的方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1)D ．m (1－m )解析：选D.随机变量ξ的分布列为：ξ 0 1P1－mm所以E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m 所以D (ξ)＝(0－m )2×(1－m )＋(1－m )2×m ＝m (1－m )．2．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是( )A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1C．E(X1)＝12，D(X1)＝2D．E(X1)＝7，D(X1)＝2解析：选D.E(X1)＝2E(X)－5＝12－5＝7，D(X1)＝4D(X)＝4×0.5＝2.3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X的均值与方差分别为( )A．E(X)＝0，D(X)＝1B．E(X)＝12，D(X)＝12C．E(X)＝0，D(X)＝1 2D．E(X)＝12，D(X)＝1解析：选A.由题意知，随机变量X的分布列为所以E(X)＝(－1)×12＋1×2＝0，D(X)＝12×(－1－0)2＋12×(1－0)2＝1.4．已知X的分布列如下表所示：则下列式子：①E(X)＝－3；②D(X)＝27；③P(X＝0)＝3.其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选C.由分布列知P(X＝0)＝1 3，E(X)＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－12＋16＝－13，D(X)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132＋13×⎝⎛⎭⎪⎫0＋132＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故只有①③正确．5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k·(13)n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝24，则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.29D ．16解析：选A.由题意可知ξ～B (n ，23)，所以23n ＝E (ξ)＝24.所以n ＝36.所以D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝29×36＝8.6．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于________． 解析：因为ξ～B (10，0.02)，所以D (ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案：0.1967．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.答案：258．随机变量ξ的分布列如下，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝53，则D (ξ)的值为________．解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .又因为a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13.又因为E (ξ)＝a ＋2b ＋3c ＝53，所以a ＝12，b ＝13，c ＝16，所以ξ的分布列为所以D (ξ)＝(1－53)2×12＋(2－3)2×3＋(3－3)2×6＝9.答案：599．已知η的分布列为(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．解：(1)E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2×13＋(10－16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2×115＝384，D （η）＝8 6.(2)因为Y ＝2η－E (η)，所以D (Y )＝D (2η－E (η))＝22D (η)＝4×384＝1 536.10．从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值与方差；解：(1)ξ可能取的值为0，1，2，且P (ξ＝0)＝C 02·C 35C 37＝27，P (ξ＝1)＝C 12·C 25C 37＝47，P (ξ＝2)＝C 22·C 15C 37＝17，所以ξ的分布列为(2)E (ξ)＝0×27＋1×47＋2×17＝67，D (ξ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0－672×27＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－672×47＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－672×17＝140343＝2049.[B 能力提升]11．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，a ，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. (1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术． 解：(1)依题意0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1， 解得a ＝0.1，因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为(2)结合第一问中ξ，ηE (ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E (η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D (ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21，由于E (ξ)>E (η)，说明甲平均射中的环数比乙高；又D (ξ)<D (η)，说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定，所以甲的技术比乙好． 12．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝62. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ服从二项分布ξ～B(n，p)．(1)由E(ξ)＝np＝3，D(ξ)＝np(1－p)＝3 2，得1－p＝12，从而n＝6，p＝12.ξ的分布列为：(2)得P(A)＝1＋6＋15＋2064＝2132.13．(选做题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如下表：0.3，0.7，0.9，求：(1)工期延误天数Y的均值与方差；(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有P(X<300)＝0.3，P(300≤X<700)＝P(X<700)－P(X<300)＝0.7－0.3＝0.4，P(700≤X<900)＝P(X<900)－P(X<700)＝0.9－0.7＝0.2.P(X≥900)＝1－P(X<900)＝1－0.9＝0.1.所以Y的分布列为于是，E(Y)＝0×0.3＋2×D(Y)＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.故工期延误天数Y的均值为3，方差为9.8.(2)由概率的加法公式，得P(X≥300)＝1－P(X<300)＝0.7，又P(300≤X<900)＝P(X<900)－P(X<300)＝0.9－0.3＝0.6.由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝P （300≤X <900）P （X ≥300）＝0.60.7＝67.故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是67.离散型随机变量的均值与方差(强化练)1．已知随机变量X 的分布列为且已知E (X )＝2，D (X )＝0.5123解：根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧p 1＋p 2＋p 3＝1，①p 1＋2p 2＋3p 3＝2，②p 1（1－2）2＋p 3（3－2）2＝12，③ 由③得p 1＋p 3＝12，④上式代入①得p 2＝12，代入②得p 1＋3p 3＝1， 所以p 3＝14，p 1＝14.2．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．求： (1)员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？ 解：(1)由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是C 310＝120，设甲抽奖一次所得奖金为ξ，则奖金ξ的可能取值是0，30，60，240， 所以P (ξ＝240)＝1120， P (ξ＝60)＝8120＝115， P (ξ＝30)＝7×2＋6×7120＝715，P (ξ＝0)＝1－1120－115－715＝1124.所以ξ的分布列是所以E (ξ)＝30×15＋60×15＋240×120＝20. (2)由(1)可得，乙一次抽奖中奖的概率是1－1124＝1324，四次抽奖是相互独立的，所以中奖次数η～B ⎝⎛⎭⎪⎫4，1324， 所以D (η)＝4×1324×1124＝143144. 3．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的均值和方差． 解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ， 则P (A )＝A 22×A 44A 66＝115.所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为115.(2)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4. P (X ＝0)＝A 22×A 55A 66＝13，P (X ＝1)＝4×A 22×A 44A 66＝415， P (X ＝2)＝A 24×A 22×A 33A 66＝15， P (X ＝3)＝A 34×A 22×A 22A 66＝215， P (X ＝4)＝A 44×A 22A 66＝115.随机变量X 的分布列为P13 415 15 215 115因此，E (X )＝0×3＋1×15＋2×5＋3×15＋4×15＝3.D (X )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫0－432＋415⎝ ⎛⎭⎪⎫1－432＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫2－432＋215⎝ ⎛⎭⎪⎫3－432＋115⎝ ⎛⎭⎪⎫4－432＝149. 4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个的概率；(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量都不低于100个且另1天销售量低于50个”．因此P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6×(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62×(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.所以X 的分布列为X123因为X ～B (3，0.6)，0.6)＝0.72. 5．现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下；投资股市(1)至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围；(2)丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝12，那么丙选择哪种投资方案，才能使一年后投资收益的均值较大？给出结果并说明理由．解：(1)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝AB ∪AB ∪AB ，且A ，B 独立． 由题表可知，P (A )＝12，P (B )＝p .所以P (C )＝P (AB )＋P (AB )＋P (AB )＝12×(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p >45，解得p >35.又因为p ＋13＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤23.所以p 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤35，23.(2)假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X 的分布列为则E (X )＝8×12＋0×18＋(－4)×38＝52.假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y 的分布列为Y 4 0 －2 P121316则E (Y )＝4×12＋0×13＋(－2)×6＝3.因为E (X )>E (Y )，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的均值较大． 6．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：度)的函数解析式； (2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值；(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．解：(1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；当200<x ≤400时，y ＝0.5×200＋0.8×(x －200)＝0.8x －60， 当x >400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140， 所以y 与x 之间的函数解析式为： y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200<x ≤400，x －140，x >400.(2)由(1)可知：当y ＝260时，x ＝400，则P (x ≤400)＝0.80，结合频率分布直方图可知⎩⎪⎨⎪⎧0.1＋2×100b ＋0.3＝0.8，100a ＋0.05＝0.2，所以a ＝0.001 5，b ＝0.002 0.(3)由题意可知x 可取50，150，250，350，450，550. 当x ＝50时，Y ＝0.5×50＝25，所以P (Y ＝25)＝0.1， 当x ＝150时，Y ＝0.5×150＝75，所以P (Y ＝75)＝0.2， 当x ＝250时，Y ＝0.5×200＋0.8×50＝140， 所以P (Y ＝140)＝0.3，当x ＝350时，Y ＝0.5×200＋0.8×150＝220， 所以P (Y ＝220)＝0.2，当x ＝450时，Y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×50＝310， 所以P (Y ＝310)＝0.15，当x ＝550时，Y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×150＝410， 所以P (Y ＝410)＝0.05， 故Y 的概率分布列为：所以随机变量Y E (Y )＝25×0.1＋75×0.2＋140×0.3＋220×0.2＋310×0.15＋410×0.05＝170.5.。
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20.2.2 方差2
• 方差的性质
一、研究方差性质
数 据 平均数
xA= A
x 8
2
xB= B 方差
原 始 数 据x 10 5
数据A：x+4 数据B：3x 14 9
8
6
11
x 8 s = 26 x A 12/ 5
2
xC = S C 26 / 5
12 10 15
A
S
31
1
1
2
3
2
4
5
3
的平均数和方差是( D )
1 A、4， D、4，3 , x 3 , x 4 , x 5 , , 3 x 1 B、4，12 , 3 x 3 C、4，-13 x 5 2 , 2, 3 x2 2, 3 x4 2, 2 3
3
1
4
5
2
3
4
5
x, s , x A
2
2 2 2 2 数据C=mx+k ,sx22,,ss22 m mx22sk22, s 2 m 2 s 2 s ks x A , x,Bs B s m s C C m s C m A x B 2Biblioteka 一、研究方差性质小结：
1、在原始数据的基础上加减一个常数，
x+3 x x-2
二、方差性质练习
1、计算数据6，6，6，6，6的方差
x 答案： 6 s 0
2
5
, 3 x1 2, 3 x 2 2, 3 x 结合“方差是用来考察数据波动程度”的 2、已知一组数据 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 , 的平均数是2,方差是3 2 3 1 1 一个量，分析一下为什么2s,23 0 ？, 3 x 2 , x ,,那么另一组数据 3, x x 2 ,, 3 x ,2 , x 3 x x, 3, xx , 2 , 3 ,x 2 3 2 2 3x 2 x 3 6 ,x , x , x 2
2 2 A A 2
26/5
30 15 24 18 33 x B = 24
2
S 2 234/5 B B
2 S C 234/5 C
2
数据C：3x+4 34 19 28 22 37 x C = 28 C
S2 A 2 2 x, s x x x , 原 始 数 据 x , s , x A2A x x , k 2, ,xxB,A Amx k s 2 S B 2 2 2 2 , 2 , 2 x s 2 s B 2 数据A=x+k s 2 , x 2A sx x s s ,xxB2A Am22 ,s2k, ,xx m m s s , x 2 B m 2 m s s B C x, k m , 方差性质 s A , B s A 2 C SC 2 2 2 2 2 2 2 2 2 数据B=mx, s ,,sx B s msmx2,xxCB,, Bm m 2, xkC2 ,s C s 2 s 2 m m s 2 m x2 s xA x A x 归纳 x , s , x A xs k x ,A k, s s C B
会改变平均数的大小，但不会改变方差的大小；
平均数会跟着加减一个常 数 2、在原始数据的基础上乘以一个常数，
平均数和方差的大小都会改变.
方差会跟着乘以这个常数的平方
平均数会跟着乘以这个常
一、研究方差性质
为什么“在原始数据的基础上加减一个常数，
会改变平均数的大小，但不会改变方差的大小”呢？
新数据A 原始数据 新数据B