组合数的性质
组合数常用公式
组合数常用公式摘要：一、组合数定义二、组合数公式1.二项式定理2.阶乘与组合数的关系3.组合数的性质4.组合数公式推导三、组合数的应用1.组合数的计算2.组合数的应用场景四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式2.常见递推关系举例五、组合数的性质与公式总结正文：一、组合数定义组合数（Combination）是离散数学中的一个概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
用符号表示为C(n, m)，即n 个元素中取m 个元素的组合数。
二、组合数公式1.二项式定理二项式定理是组合数计算的基础，它表示如下：(a + b)^n = C(n, 0)a^n b^0 + C(n, 1)a^(n-1) b^1 + ...+ C(n, n)a^0 b^n其中，C(n, 0), C(n, 1), ..., C(n, n) 即为组合数。
2.阶乘与组合数的关系组合数与阶乘（n!）之间存在如下关系：C(n, m) = n! / [m!(n-m)!]3.组合数的性质组合数具有以下几个性质：- C(n, m) = C(n, n-m)- C(n, 0) = 1- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)4.组合数公式推导根据阶乘与组合数的关系，可以推导出组合数的计算公式。
三、组合数的应用1.组合数的计算组合数的计算是组合数学中的基本操作，可以通过递推关系、二项式定理等方法进行计算。
2.组合数的应用场景组合数在实际生活中有很多应用场景，例如概率论、组合优化、密码学等。
四、组合数的递推关系1.递推关系的一般形式根据组合数的性质，可以得到递推关系的一般形式：C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)2.常见递推关系举例常见的组合数递推关系有：- C(n, 0) = 1- C(n, 1) = n- C(n, n) = 1- C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1, m)五、组合数的性质与公式总结组合数是组合数学中的基本概念，它表示从n 个元素中取出m 个元素的不同组合方式数量。
组合数定理
组合数定理组合数定理是组合数学中的重要定理之一。
在数学中，组合数是从给定集合中选择出特定个数的元素组成的集合的个数，通常用C(n, k)表示。
组合数定理主要研究的是这些组合数的性质和计算方法。
首先，我们需要了解一下组合数的定义。
给定一个n 元素的集合，从中选取k个元素，组成一个无序的集合，这样的集合个数即为组合数。
组合数的计算方法可以通过以下公式进行计算：C(n, k) = n! / (k! * (n - k)!)其中n!表示n的阶乘，即n * (n - 1) * (n - 2) * ... * 1，0的阶乘定义为1。
组合数的计算方法还可以通过递推公式进行计算：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)这个递推公式的意思是，要么选择n作为组合的一部分，那么剩下的k-1个元素就要从剩下的n-1个元素中选择；要么不选择n，那么k个元素就要从剩下的n-1个元素中选择。
通过递推公式，我们可以通过计算相对较小的组合数，迭代地计算出较大的组合数。
组合数定理具有以下几个重要的性质：1. 对任意整数n和k，组合数C(n, k)满足对称性质：C(n, k) = C(n, n-k)。
这是由组合数的定义以及递推公式可以得到的结论。
2. 组合数满足递推关系：C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)。
这个递推关系可以用来计算较大的组合数，通过计算较小的组合数，不断迭代得到结果。
3. 组合数的性质可以帮助我们解决很多实际问题。
比如，在排列组合数的计算中，组合数可以用来解决从n个元素中选择k个元素的问题；在概率论中，组合数可以用来计算事件的发生概率。
除了上述性质外，组合数定理还有一些重要的应用：1. 组合公式的应用：组合数定理可以用来简化复杂的组合公式，使得计算更加方便。
比如，通过组合数定理，我们可以证明等式(1+x)^n = C(n, 0)*x^0 + C(n, 1)*x^1 + ... + C(n, n)*x^n。
选修2-3《组合数的性质》辅导与练习(带答案)
选修2-3《组合数的性质》辅导与练习知识方法：1. 组合数的性质1：mn nm n C C -=． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素后，剩下n m -个元素．因为从n 个不同元素中取出m 个元素的每一个组合，与剩下n - m 个元素的每一个组合一一对应．．．．，所以从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，等于从这n 个元素中取出n - m 个元素的组合数，即：mn nm n C C -=．在这里，主要体现：“取法”与“剩法”是“一一对应”的思想。
证明：∵)!(!!)]!([)!(!m n m n m n n m n n C m n n -=---=- 又)!(!!m n m n C m n -=，∴n n m n C C -= 说明：①规定：10=n C ；②等式特点：等式两边下标同，上标之和等于下标；③此性质作用：当2n m >时，计算m n C 可变为计算m n n C -，能够使运算简化.例如20012002C ＝200120022002-C ＝12002C =2002； ④y n x n C C =y x =⇒或n y x =+。
2．组合数的性质2：m n C 1+＝m n C +1-m nC ． 一般地，从121,,,+n a a a 这n+1个不同元素中取出m 个元素的组合数是mn C 1+，这些组合可以分为两类：一类含有元素1a ，一类不含有1a ．含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m -1个元素与1a 组成的，共有1-m n C 个；不含有1a 的组合是从132,,,+n a a a 这n 个元素中取出m 个元素组成的，共有m n C 个．根据分类计数原理，可以得到组合数的另一个性质．在这里，主要体现从特殊到一般的归纳思想，“含与不含其元素”的分类思想．证明：)]!1([)!1(!)!(!!1---+-=+-m n m n m n m n C C m n m n )!1(!!)1(!+-++-=m n m m n m n n )!1(!!)1(+-++-=m n m n m m n )!1(!)!1(+-+=m n m n m n C 1+= ∴m n C 1+＝m n C +1-m n C 。
组合和组合数公式
组合和组合数公式组合是组合数学中的一个重要概念，用来计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
组合数公式是用来计算组合数的公式。
本文将详细介绍组合和组合数公式，并说明其应用和性质。
1.组合的定义组合由n个元素中选取r个元素所组成的集合，称为从n个元素中选取r个元素的组合。
组合中的元素是无序的，即选取的元素的顺序对组合没有影响。
2.组合的表示方法组合通常用C(n,r)来表示，其中n是总的元素个数，r是选取的元素个数。
例如，从4个元素中选取2个元素的组合可以表示为C(4,2)。
组合数公式用于计算从n个元素中选取r个元素的方式数。
常用的组合数公式有以下几种：3.1乘法法则根据乘法法则，从n个元素中选取r个元素的方式数等于从n中选择1个元素的方式数乘以从n-1个元素中选取r-1个元素的方式数。
这一公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)*n/r3.2递推公式根据递推关系，可以通过前一项的组合数计算后一项的组合数。
递推公式可以表示为：C(n,r)=C(n-1,r-1)+C(n-1,r)3.3组合公式组合公式是计算组合数的一种常用方法。
组合公式可以表示为：C(n,r)=n!/(r!(n-r)!)其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*14.组合的性质组合具有以下几个重要的性质：4.1对称性组合数具有对称性，即C(n,r)=C(n,n-r)。
这是因为从n个元素中选取r个元素的方式数与从n个元素中选取n-r个元素的方式数是一样的。
4.2递推性组合数具有递推性，即可以通过递推公式计算组合数。
这使得计算大规模组合数变得更加高效。
4.3性质的递推公式组合数的性质也可以通过递推公式计算。
例如，根据乘法法则和递推公式可以推导出组合数的对称性。
5.组合数的应用组合数在组合数学、概率论和统计学等领域具有广泛的应用。
以下是几个常见的应用：5.1排列组合组合数可以用于计算排列组合的方式数。
排列是组合的一种特殊情况，它要求选取的元素有序。
组合数的性质
组合数的性质组合导学案课题:组合数的性质课型:新授执笔:韩春冬审核: 使用时间:一、学习目标1、了解组合数的性质2、会应用组合数的性质解决计算问题二、重点难点1、组合数的性质2、组合数的性质应用三、学习内容 1、对偶法则因为从n 个元素中选取k 个元素的组合数,与从n 个元素中选留n -k 个元素的组合数是相等的,因此有等式:2、增一法则:我们来做一个练习:2399989871202!3!C C ???+=+=, 31010981203!C ??==, 于是有 2339910C C C +=,这是巧合还是具有一般性?把这个浅显的道理,推广到一般的情况,就得到组合数的第二个重要性质:四、探究分析1、计算:(1)4850C ; (2)296300C ;(3)239999C C +.方法总结:2、若1105102-+=x x CC,求x 的值方法总结:课堂训练1、计算:(1)97100C ; (2)198200C ;(3)9798100100C C +.2、若42020-=n n C C ,求n课后作业1、计算:(1)2830C (2)58605760C C +2、求证:(1)5105958575655C C C C C =++++ (2)1212++-+=++m n m n m n m n CC C C3、解方程:112315---=+X x x x x C C C教学后记相关文档：更多相关文档请访问：。
组合数的性质和应用
4.已知C C C C C K
0 n 1 n 2 n n n
化简 : C 2C 3C (n 1)C
1 n 2 n 3 n
n 1 n
变式(1)已知 C n = Cn ，求n的值
3n-6 （2）已知 C18 = C18 ，求n的值 n
13
7
巩固练习
1．方程 C C
(1)
例1 计算 198
( 2 )
C C
200
;
2
C
ห้องสมุดไป่ตู้2 200
200 199 21
19900
3 99
C 99;
C
3
3
3
100
2
100 99 98 3 21
161700
( 3 )
2C
3 8
C 9 C 8 .
3 2 2 3
2C 8 (C 8 C 8 ) C 8 C 8 56
n! A n(n 1)(n 2) (n m 1) m Cn C A m! m !(n m)!
m n m n m m
新课引入
引例1:利用组合数公式考察:
与 C11 ; C10 与 的关系,并发现什么规律?
11
C
9
2
7
C
3 10
;
C 11 11! 11 10 9!2! 2! 2 11 10 11 2!
元素中取出m个的组合数是C n 1
m
含有a1的
元素与a1 组成, 有 C n 个
m 1
不含有a1的
m
从 a2 , a3, an 1中取出m 1个 从 a2 , a3, an 1中取出m个
组合数公式大全
组合数公式大全组合数是数学中的一个重要概念，用于表示从n个元素中选取r个元素的组合的数量。
在组合数的计算中，有多种公式和方法可供选择。
本文将介绍一些常用的组合数公式，帮助读者理解和计算组合数。
1. 乘法公式：组合数的一个基本性质是乘法公式。
当n和r为非负整数时，组合数C(n, r)可以通过以下公式计算：C(n, r) = n! / ((n-r)! * r!)其中，n!表示n的阶乘。
2. 递推公式：递推公式是一种常见的计算组合数的方法，通过逐步递推得到结果。
C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)如果r为0或r等于n，则C(n, r)为1。
3. Pascal三角形：Pascal三角形是一种展示组合数的图形表示方法，利用递推公式来计算组合数。
Pascal三角形的第n行第r个数表示C(n, r)。
例如，Pascal三角形的第4行为：1 3 3 1，表示C(4,0)=1, C(4,1)=4, C(4,2)=6, C(4,3)=4, C(4,4)=1。
4. 二项式定理：二项式定理是组合数的一个重要公式，将一个二项式展开为一系列项的和。
(x + y)^n = C(n, 0) * x^n + C(n, 1) * x^(n-1) * y + ... + C(n, n-1) * x * y^(n-1) + C(n, n) * y^n5. 组合数的性质：- C(n, r) = C(n, n-r)，即从n个元素中选择r个等于从n个元素中选择n-r个。
- C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)，符合递推公式的性质。
- 对于任意正整数n，有C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = 2^n，表示从n个元素中选择0个到n个元素的所有组合数之和等于2的n次方。
6. Lucas定理：Lucas定理是组合数的一个重要定理，用于计算模p的组合数。
对于非负整数n和p，设n = nk * pk + ... + n1 * p + n0，其中0 <= ni < p，0 <= i <= k。
组合数的性质教案
组合数的性质教案教案标题：组合数的性质教案教案目标：1. 理解组合数的概念和计算方法。
2. 掌握组合数的性质，包括乘法原理、加法原理和二项式定理。
3. 能够应用组合数的性质解决相关问题。
教案步骤：引入活动：1. 引入组合数的概念，通过举例说明组合数的应用场景，如从一组物品中选择若干个物品的可能性等。
知识讲解：2. 介绍组合数的计算方法，包括排列和组合的区别，以及组合数的计算公式。
3. 讲解组合数的性质：a. 乘法原理：如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n 种，则两个事件同时发生的方式有m * n种。
b. 加法原理：如果一个事件发生的方式有m种，另一个事件发生的方式有n 种，且这两个事件不可能同时发生，则这两个事件发生的方式有m + n种。
c. 二项式定理：展开二项式(a + b)^n，可以得到一系列组合数。
示例演练：4. 给出一些实际问题，要求学生利用组合数的性质解决问题。
例如：a. 从10个人中选出3个人组成小组，共有多少种可能的组合？b. 从一副扑克牌中随机抽取5张牌，共有多少种可能的抽取方式？c. 展开二项式(x + y)^4，写出各项系数。
巩固练习：5. 提供一些练习题，让学生巩固对组合数的理解和应用。
鼓励学生积极参与讨论和解答问题。
总结：6. 总结本节课所学内容，强调组合数的概念和性质，并提醒学生在实际问题中运用组合数的方法。
拓展活动：7. 鼓励学生在日常生活中寻找更多与组合数相关的问题，并尝试解决，以提高他们的综合应用能力。
教学资源：- 白板/黑板和可擦笔- 教学课件或投影仪- 练习题和答案评估方法：- 教师观察学生的参与度和讨论质量。
- 练习题的完成情况和答案的正确性。
注意事项：- 确保学生已经掌握了排列和组合的基本概念。
- 鼓励学生多思考和动手实践，培养解决问题的能力。
- 根据学生的学习进度和理解情况，适当调整教学内容和难度。
组合数的性质
组合数的性质与特点
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
组合数的特点
• 组合数与排列数的关系：C(n, k) = P(n, k) / k!，其中P(n, k)为排列数
组成的组合数，记为C(n, k)
k)!)
• 当k=0时，C(n, 0) = 1
• 即C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)
• 递推法：C(n, k) = C(n-1, k-1) +
• 当k=n时，C(n, n) = 1
C(n-1, k)
• 迭代法：C(n, k) = C(n-1, k) +
• 计算多项式分布的置信区间：P(X=k) = C(n, k)p_1^k * p_2^k * ... * p_n^k
组合数在假设检验中的应用
假设检验的定义
• 对总体参数θ进行假设检验，检验H_0：θ=θ_0是否成立
组合数在假设检验中的应用
• 计算二项分布的假设检验：P(X=k) = C(n, k)p^k(1-p)^(n-k)
组合数的递推关系
• C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
组合数的性质
• 对称性：C(n, k) = C(n, n-k)
• 交换性：C(n, k) = C(n, k')，其中k' = n-k
• 加法性：C(n, k) + C(n, k-1) = C(n+1, k)
第2课时 组合数的性质
反思感悟 性质“Cnm＝Cnn－m”的意义及作用
二、组合数的性质2
知识梳理
组合数的性质 2：Cmn＋1＝Cmn ＋Cmn －1. 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标 与大的相同的一个组合数； (2)体现了“含”与“不含”的分类思想.
第六章 6.2.3 组合
学习目标
1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题.
一、组合数的性质1
知识梳理
组合数的性质 1：Cmn ＝_C__nn－_m__. 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想； (2)两边下标相同，上标之和等于下标.
例 2 (1)已知 m≥4，C3m－C4m＋1＋C4m等于
A.1 B.m
√ C.m＋1
D.0
解析 C3m－C4m＋1＋C4m＝C3m＋C4m－C4m＋1＝C4m＋1－C4m＋1＝0.
(2)C04＋C14＋C25＋C36＋…＋C22 002129等于
A.C22 020
B.C32 021
C.C32 022
解析 C7n＋1＝C7n＋C8n＝C8n＋1，∴n＋1＝7＋8，n＝14.
(2)C22＋C23＋C24＋…＋C218等于
A.C318
√B.C319
C.C318－1
D.C319－1
解析 C22＋C23＋C24＋…＋C218＝C33＋C23＋C24＋…＋8＝C34＋C24＋…＋C218 ＝C35＋C25＋…＋C218＝…＝C319.
组合数的性质(2)
C C
1 2 2 98
100件产品中, 98件合格品,2件次品. 例 在100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这 100件产品中任意抽出3 100件产品中任意抽出3件 (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多 少种? 法1 含1件次品或含2件次品 1 2 2 1 C2 • C98 + C2 • C98 = 9604(种)
一般地，从a1 , a2 ,L , an +1这n + 1个不同的元素 中取 出 m个 元 素 的 组 合 数 是 C ， 这些组合可分成两类：一类含有a1，一类不含有a1，
m n +1
含 有 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m − 1个 元 素 与 a 1 组 成 的 ， 共 有 C n − 1 个 ；
8
= C7 + C7
2
3
对上面的发现(等式 作怎样解释 对上面的发现 等式)作怎样解释？ 等式 作怎样解释？
C
3 8
=C + C
2 7
3 7
我们可以这样解释： 我们可以这样解释：从口袋内的 8个球中所取出的 个球，可以分为 个球中所取出的3个球 个球中所取出的 个球， 两类：一类含有 个黑球，一类不含 两类：一类含有1个黑球， 含有 有黑球．因此根据分类计数原理， 有黑球．因此根据分类计数原理， 上述等式成立． 上述等式成立．
法2 100件中抽3件减98件合格品中抽3件 3 3 C100 − C98 = 9604(种)
例 计算
(1)
; C200
198
C
2
组合数的性质
不 含 a 1的 组 合 是 从 a 2 , a 3 , L , a n + 1 这 n个 元 素 中 取 出
m m个 元 素 组 成 的 ， 共 有 C n 个
由分类计数原理，得
组合数性质2 组合数性质
Cn+1 = Cn +Cn
m m
m−1
性质2 性质
证明:
m n
C +C
= cn + cn c n +1
n−m n m n
作业： 作业：习题 10.3 1，9，11(B本) ， ， 本
本讲到此结束，请同学们课 后再做好复习. 谢谢！
再见！
王新敞 王新敞 王新敞 王新敞 特级教师 特级教师 特级教师 特级教师 源源 头学子小屋 头学子小屋 源 /:源 .c 38 23 0 .oc m 头学子小屋 头学子小屋 hp x t w
(2) C
m+1 n m−1 n m n m+1 n+ 2
一、等分组与不等分组问题
本不同的书， 例3、6本不同的书，按下列条件，各有多少种不同的分法； 、 本不同的书 按下列条件，各有多少种不同的分法； （1）分给甲、乙、丙三人，每人两本； ）分给甲、 丙三人，每人两本； （2）分成三份，每份两本； ）分成三份，每份两本； （3）分成三份，一份 本，一份 本，一份 本； ）分成三份，一份1本 一份2本 一份3本 （4）分给甲、乙、丙3人，一人 本，一人 本，一人 本； ）分给甲、 人 一人1本 一人2本 一人3本 （5）分给甲、乙、丙3人，每人至少一本； ）分给甲、 人 每人至少一本； （6）分给5个人，每人至少一本； ）分给 个人，每人至少一本； 个人 本相同的书， （7）6本相同的书，分给甲乙丙三人，每人至少一本。 ） 本相同的书 分给甲乙丙三人，每人至少一本。
组合数性质
序言
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（3）从口袋里取出6个球，使其中不含黑球 共有多少种取法？
从上述计算结果可 中以 我发 们现
c c c 6 6 5
9
8
8
组合数的性质及应用
性 2 。 质 c cc mm m 1 n 1 n n
例2计算
c c （1） 2 3
19
19
c c c c c （2） 1 2 3 4 5
3
3
4
表示方法 Cmn
复习
组合数公式
C
m n
=
A
m n
A
m m
组合数及其性质和证明
组合数及其性质和证明组合数从n n 个不同元素中，任取m(m≤n)m(m≤n) 个元素并成⼀组，叫做从n n 个不同元素中取出m m 个元素的⼀个组合；从n n 个不同元素中取出m(m≤n)m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫做从n n 个不同元素中取出m m 个元素的组合数，记作C m n Cnm。
注意：1. 线性⽂本中的C(n,m)C(n,m) 等价于本⽂中的C m n Cnm。
2. 特别地，∀n>0∀n>0 有C0n=0=1.组合数的性质1. （定义式）∀m,n∈N∀m,n∈N 有C m n=n!m!(n−m)!Cnm=m!(n−m)!n!2. ∀m,n∈N∗∀m,n∈N∗且m≠n m=n 有C m n=C n−mnCnm=Cnn−m 证明：由定义式易得。
3. ∀m,n∈N∗∀m,n∈N∗有C m n=C m−1n−1+C m n−1Cnm=Cn−1m−1+Cn−1m证明：右边=(n−1)!(m−1)!(n−m)!+(n−1)!m!(n−m−1)!=(n−1)!×mm!(n−m)!+(n−1)!×(n−m)m!(n−m)!=(n−1)!×(m+n−m)m!(n−m)!=n!m!(n−m)!=C m n.右边=(m−1)!(n−m)!(n−1)!+m!(n−m−1)!(n−1)!=m!(n−m)!(n−1)!×m+m!(n−m)!(n−1)!×(n−m)=m!(n−m)!(n−1)!×(m+n−m)= m!(n−m)!n!=Cnm.Q.E.D..Q.E.D..Lucas 定理Lucas 定理是⽤来求Unexpected text node: '  'Cnm mod p，p p 是素数的值，Unexpected text node: '  'CNm mod p=Cpnpm×Cn mod pm mod p mod pLoading [MathJax]/jax/output/HTML-CSS/fonts/TeX/fontdata.js。
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计数问题知识网络
复杂的计数问题 简单的计数问题
组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
C
3 4
C
0 4
注2：上下前后及某项 知四有一两头同(中间差)
§249 组合数的性质
一、对称性：
Cnr
C nr n
二、增减性：
左右对称抛物线 左增右减中间大
三、拆并性： 拆并要连同 上大下＋1
1.
Cnr
Cnr1
C r1 n1
2. Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
四、可和性： 系数求和赋值法 方法要熟正负1
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
幂的运算性质
③ amn am an
④ amn am an
⑤ amn (am )n (an )m
特殊幂
① a0
1②
an
1 an
⑦ an bn (当n 2,3时，背诵之)
⑧
(a b)n
当 当nn
42时,3时, 二，项背式诵定之理
⑨ (a b)n an bn
3.在与不在 4.含与不含 5.至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2；a4=9；a5=44……
②递推法： ①〇 an (n 1)(an1 an2 )
②〇 Ann Cn0a1 Cn1a1 Cn2a2 Cnnan
7.定序：
①倍缩法(等概率法)：N n! m!
m
⑥ a n n am
同底幂
⑩
( a )n b
an bn
异底幂
二项式定理——通项公式
Tr1 Cnr anrbr
T上1 C下上前下上后上
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
注1：相关概念： ①项与项数： 类似于学号与同学的关系
②系数与二项式系数：Cnr 称为二项式系数 ;容斥关系
C r1 n1
其中含A元素的组合数是 Cnr 不含A元素的组合数是 Cnr 1
所以
Cnr
C r1 n
C r1 n1
三、拆并性： 拆并要连同 上大下＋1
1. Cnr
C r1 n
C r1 n1
2. Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
(6)
C10 2014
C11 2014
CC1?1 2?015
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C
0 1
C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 3
法2：由题意得x2的系数是
C32
C42
C52
C2 n2
1 (C33 C32 ) C42 C52 Cn22
1 C43
C42
C52
C2 n2
1
C3 n3
n(n2 6n 11)
6
实际上，由
Crr
Crr1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
得
x2的系数是
Cn33
1
n(n2
6n 6
11)
9.分配：
(1)不同元素的分配： 先分组后分配
(2)相同元素的分配(分组)：0—1法
10.染色问题：
(1)条型域：
如图，1 2 3 … n ,用k种颜色染n块区域，相邻
区域不能同色, 则共有 tn k(k 1)n1 种染法
注1：染色基础是条型 方法多多随爱好 从头到尾逐个染 乘法原理显神功
注2：隐含了颜色有剩余
§249 组合数的性质
一、对称性：
Cnr
C nr n
二、增减性：
左右对称抛物线 左增右减中间大
三、拆并性： 拆并要连同 上大下＋1
1.
Cnr
Cnr1
C r1 n1
2. Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
四、可和性： 系数求和赋值法 方法要熟正负1
1. C0n C1n C2n C3n Cnn 2n 2. C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
⑦分配
均匀分配 非均匀分配
先分组后分配
⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……
⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法
⑩染色——递推法
1.相邻问题捆绑法：
先捆可邻成大元 次变个数全排列
2.不邻(相离)问题插空法：
先排可邻后插空 多元切忌间接法
二元可用间接法 亮灯空位是变式
引：相间问题位置法
相邻相离综合体 一般解法位置法
四、可和性： 系数求和赋值法 方法要熟正负1
1. C0n C1n C2n C3n Cnn 2n 2. C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
练习4.可和性：
(8)赋值法证：C0n C1n C2n C3n Cnn 2n
证明①：令a=b=1,代入
② 先组后排：排列可以看作是先取组合，再做全排列
Anm Cnm m!
两理两数四原则 十大题型递推法
①先理后数 ②先组后排 ③特殊优先 ④正难则反
两理两数四原则 十大题型递推法
①相邻——捆绑法
②不邻(相离) ——插空法
③在与不在
④含与不含 ⑤至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
⑥分组
相同元素——0-1法 不同元素——公式法
1. C0n C1n C2n C3n Cnn 2n 2. C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
一、对称性：
Cnr
C nr n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
二、增减性：
n
1.当n为偶数时，展开式中间的一项
C2 n
取得最大
n 1
n 1
2.当n为奇数时，展开式中间的两项
hn (k 2)hn1 (k 1)hn2 (n 4)
注：二三环型点算法 四块以上递推法
异色插入第一类 同色剪开第二类
二项式的展开式
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
注1：(前项)后n 项C“n0+n”相Cn1连n1 展开共 C有nrn n+rr Cnnn
C2 n
，Cn 2
相等
且同时取得最大
一、对称性： 二、增减性：
左右对称抛物线 左增右减中间大
杨辉三角形——二项式系数表
11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C15
C
3 5
C
4 4
C
4 5
C
0 5
C
5 5
左增右减中间大
练习1.对称性：
(1)对称性
Cnr