组合数的性质

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组合数的性质
对称性 拆并性 增减性 可和性
计数原理型 排列组合型 十大题型
计数问题总述： 两理两数四原则 十大题型递推法
①
②
③
④
⑤
注①：分类加法及分步乘法计数原理：
化大为小是共性 顾名思义是区分
注②：排列数与组合数： 注③：①○先理后数②○先组后排③○特殊优先④○正难则反
类似于物理中的串联电路
说明
最终结果“分类” 用“加 法 最”终结果“ 分步”用“乘 “法分”类”要不重不漏；各类间要互斥独立
“分步”要连续完整；各步间要关联独立
两理两数四原则 十大题型递推法
1.阶乘： n!1 23 n
A 2.排列数： m n! n • (n 1) • (n 2) (n m 1) n (n m)!
C
3 4
C
4 4
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
左右对称抛物线
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C13
C
2 3
C
0 3
C14
C
2 4
C
3 3
C
3 4
C
0 4
注2：上下前后及某项 知四有一两头同(中间差)
§249 组合数的性质
一、对称性：
Cnr
C nr n
二、增减性：
左右对称抛物线 左增右减中间大
三、拆并性： 拆并要连同 上大下＋1
1.
Cnr
Cnr1
C r1 n1
2. Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
四、可和性： 系数求和赋值法 方法要熟正负1
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
幂的运算性质
③ amn am an
④ amn am an
⑤ amn (am )n (an )m
特殊幂
① a0
1②
an
1 an
⑦ an bn (当n 2,3时，背诵之)
⑧
(a b)n
当 当nn
42时,3时, 二，项背式诵定之理
⑨ (a b)n an bn
3.在与不在 4.含与不含 5.至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
6.错排：①背诵法：a2=1；a3=2；a4=9；a5=44……
②递推法： ①〇 an (n 1)(an1 an2 )
②〇 Ann Cn0a1 Cn1a1 Cn2a2 Cnnan
7.定序：
①倍缩法(等概率法)：N n! m!
m
⑥ a n n am
同底幂
⑩
( a )n b
an bn
异底幂
二项式定理——通项公式
Tr1 Cnr anrbr
T上1 C下上前下上后上
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnra b nr r Cnnbn
注1：相关概念： ①项与项数： 类似于学号与同学的关系
②系数与二项式系数：Cnr 称为二项式系数 ;容斥关系
C r1 n1
其中含A元素的组合数是 Cnr 不含A元素的组合数是 Cnr 1
所以
Cnr
C r1 n
C r1 n1
三、拆并性： 拆并要连同 上大下＋1
1. Cnr
C r1 n
C r1 n1
2. Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
(6)
C10 2014
C11 2014
CC1?1 2?015
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C
3 5
C
4 5
C
5 5
C
0 1
C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
0 5
C
1 5
C
2 5
C
3 3
法2：由题意得x2的系数是
C32
C42
C52
C2 n2
1 (C33 C32 ) C42 C52 Cn22
1 C43
C42
C52
C2 n2
1
C3 n3
n(n2 6n 11)
6
实际上，由
Crr
Crr1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
得
x2的系数是
Cn33
1
n(n2
6n 6
11)
9.分配：
(1)不同元素的分配： 先分组后分配
(2)相同元素的分配(分组)：0—1法
10.染色问题：
(1)条型域：
如图，1 2 3 … n ,用k种颜色染n块区域，相邻
区域不能同色, 则共有 tn k(k 1)n1 种染法
注1：染色基础是条型 方法多多随爱好 从头到尾逐个染 乘法原理显神功
注2：隐含了颜色有剩余
§249 组合数的性质
一、对称性：
Cnr
C nr n
二、增减性：
左右对称抛物线 左增右减中间大
三、拆并性： 拆并要连同 上大下＋1
1.
Cnr
Cnr1
C r1 n1
2. Crr
Cr r 1
Cr r2
Cr n-1
Cr1 n
四、可和性： 系数求和赋值法 方法要熟正负1
1. C0n C1n C2n C3n Cnn 2n 2. C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
⑦分配
均匀分配 非均匀分配
先分组后分配
⑧错排：二元1种；三元2种；四元9种……
⑨定序——倍缩法(等概率法)；插空法
⑩染色——递推法
1.相邻问题捆绑法：
先捆可邻成大元 次变个数全排列
2.不邻(相离)问题插空法：
先排可邻后插空 多元切忌间接法
二元可用间接法 亮灯空位是变式
引：相间问题位置法
相邻相离综合体 一般解法位置法
四、可和性： 系数求和赋值法 方法要熟正负1
1. C0n C1n C2n C3n Cnn 2n 2. C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
练习4.可和性：
(8)赋值法证：C0n C1n C2n C3n Cnn 2n
证明①：令a=b=1,代入
② 先组后排：排列可以看作是先取组合，再做全排列
Anm Cnm m!
两理两数四原则 十大题型递推法
①先理后数 ②先组后排 ③特殊优先 ④正难则反
两理两数四原则 十大题型递推法
①相邻——捆绑法
②不邻(相离) ——插空法
③在与不在
④含与不含 ⑤至多与至少
——
特殊优先直接法 正难则反间接法
⑥分组
相同元素——0-1法 不同元素——公式法
1. C0n C1n C2n C3n Cnn 2n 2. C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
一、对称性：
Cnr
C nr n
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等
二、增减性：
n
1.当n为偶数时，展开式中间的一项
C2 n
取得最大
n 1
n 1
2.当n为奇数时，展开式中间的两项
hn (k 2)hn1 (k 1)hn2 (n 4)
注：二三环型点算法 四块以上递推法
异色插入第一类 同色剪开第二类
二项式的展开式
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnranrbr Cnnbn
注1：(前项)后n 项C“n0+n”相Cn1连n1 展开共 C有nrn n+rr Cnnn
C2 n
，Cn 2
相等
且同时取得最大
一、对称性： 二、增减性：
左右对称抛物线 左增右减中间大
杨辉三角形——二项式系数表
11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C15
C
2 5
C15
C
3 5
C
4 4
C
4 5
C
0 5
C
5 5
左增右减中间大
练习1.对称性：
(1)对称性
Cnr
C nr n
的证明：
法1：
Cnr
(n
n! r)!r!
, Cnnr
(n
n! r)!r!
Cnr
C nr n
法2：参课本P：25～26
(2)课本P：41 B组 Ex1①
解.组合数：
m n
nm Anm
n
m!
注1.一般的，乘积式用于计算，阶乘式用于证明
注2. 常用的排列数： An0 1 An1 n Ann n！
注3.常用的组合数： Cn0 1 Cn1 n Cnn 1
两理两数四原则 十大题型递推法
排列与组合的关联：
① 排列有序，组合无序，可用特值法来验证有无顺序
即 C0n C2n C4n C1n C3n C5n 2n-1
析1：二项式系数最大项是第4项和第5项
析2：因 T4 C73x4 y3 ,T5 C74 x3 y4
故系数最大项为第5项
三、拆并性：
1. Cnr
C r1 n
C r1 n1
拆并要连同 上大下＋1
练习3.拆并性：
(5)拆并性
Cnr
Cnr1
C r1 n1
的证明：
法1：用阶乘式展开……
法2：从n+1个元素中取出r+1个元素的组合数是
3.容斥计数原理: 先把包含于某内容中的所有对象的数目计算出来
再把重复计算的数目排斥出去,这种计数的方法
化大为小是共性 顾名思义是区分
共同点 都是采用“分”的手法，将大事件化为小事件
“分类”是指完成事件共有n类办法 每类办法都能独立地完成这件事
类似于物理中的并联电路
不同点
“分步”是指完成事件共有n个步骤 每一步都不能独立完成这件事
，即 n(n 1) 21 2!
解得 n=6
练习2.增减性：
(3)课本P：35 练习1①
n
ⅰ:当n为偶数时，展开式中间的一项
C2 n
取得最大
n 1
n 1
ⅱ:当n为奇数时，展开式中间的两项
C2 n
，Cn 2
相等
且同时取得最大
(4)在(x-y)7的展开式中,二项式系数最大项是第_____项 系数最大项是第______项.
;
C10 2014
CC??29013C??C210013
析：
Crr Crr1 Crr2 Crn-1
C r 1 r 1
C rr 1
C rr 2
Crn-1
Cr1 r2
Crr2
Cr n-1
C r 1 r3
Cr n-1
C r 1 n
(7)课本P：41 B组 Ex5
法1：等比数列求和公式……
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，
则不同的染色方法有多少种？
法1：通项公式：
hn (k 1)n (1)n (k 1)
法2：化环型域为条型域：
h1 k
A1 An
A2
An1
A3
A4
h2 k(k 1) , h3 k(k 1)(k 2)
注④：①○相邻(捆绑法)
②○不邻(插空法)
③○在与不在 ④○含与不含 ⑤○至多与至少
直接法 间接法
⑦○分配 均匀分配 非均匀分配
⑨○定序
⑥○分组
相同元素 不同元素
二元1种 ⑧○错排 三元2种
⑩○染色 四元9种
注⑤：设n元某计数问题共有an种方法 若求an的通项公式有难度，可考虑求其递推公式
1.分类加法计数原理：
1 三块组成每一项 前降后升和为n
注2：(1 )n Cn0 Cn1 Cn22 Cnnn
杨辉三角形——二项式系数表
11 121 1331 14641 1 5 10 10 5 1
C10 C11
C
0 2
C12
C
2 2
C
0 3
C13
C
2 3
C
3 3
C
0 4
C14
C
2 4
C
3 4
C
4 4
C
0 5
C
1 5
8.分组：
②插空法：N
Anm n
(1)相同元素的分组：参分配 (2)不同元素的非均匀分组：常规法处理
(3)不同元素的均匀分组：
①将2n个不同元素均匀的分成2组,共有 C2nnCnn 种分法
2!
②将3n个不同元素均匀的分成3组,共有 C3nnC2nnCnn 种分法 (4)不同元素的混合分组：先均匀后非均匀 3!
tn hn hn1 (n 4)
注：思路显然，但操作量过大
2.环型域： ①无心环型域: 如图，用k种不同的颜色,涂圆中n块区域
要求每个区域染一种颜色，相邻的区域不同色，
则不同的染色方法有多少种？
法3：环型域递推法：
h1 k h2 k(k 1)
A1 An
A2
An1
A3
A4
h3 k(k 1)(k 2)
完成一件事有n类方式, 在第一类方式中有m1种不同 的方法,在第二类方式中有m2种不同的方法……,在第n类 方式中有mn种不同的方法.
那么完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn种不同的方法
2.分步乘法计数原理： 完成一件事需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同
的方法，做第2步有m2种不同的方法……,做第n步有mn种 不同的方法 那么完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn种不同的方法
(a b)n Cn0an Cn1anb L Cnranrbr L Cnnbn (n N
即得 C0n C1n C2n C3n Cnn 2n
证明②：令a=－b=1,代入