潍坊一模高三数学(理科)及答案
山东省潍坊市高三一模考试数学理
理科数学本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。
2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
（特别强调：为方便本次阅卷，每位考生在认真填涂“数学”答题卡的前提下，再将Ⅰ卷选择题答案重涂在另一答题卡上。
）如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
0000的值为cos225?sin15sin45?cos15? 1）（3311（D）（A） -）C -（（B）2222A?|x||x|?4,x?R,B?|x|x?a,则“A?B?是“a>5?的(2) 集合（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件229y?x? PQ的方程是（3）若PQ是圆的弦，PQ的中点是（1,2）则直线0?2y?53?2y??0x?x（B）（A）0?y?2y?4?0xx2?（D））（C x e?y轴对称，xy=g(x)的图像与4（）已知函数y=f(x)与y=f(x)图像关于互为反函数，函数g(a)=1,则实数a值为若11?）A-e (B) (C) (D) e （ee22yx2??1y??12x的准线与双曲线等抛物线的两条渐近线所围成的三角形面积等(5)93于33233(D) (A) (C)2 (B)(6)一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于(A) 4 (B) 6(C) 8 (D)12(7)某射手在一次训练中五次射击的成绩分别为9.4、9.4、9.4、9.6、9.7，则该射手成绩的方差是(A) 0.127 (B)0.016 (C)0.08 (D)0.216?)?cos(xy?的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(8)将函数(纵坐标不变)，再3?个单位，所得函数图象的一条对称轴为向左平移6??????xx?x?x(c) (A) (D) (B) 982(9)已知m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，则下列命题正确的是??β,则α∥n，mβn,n α⊥β，则γ∥β(B)若m∥(A)若α⊥γ，(c)若m∥n，m ∥α，则n∥α(D)若n⊥α，n⊥α，则α∥β(10)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投人生产,已1n(n?1)(2n?f(n)?1)吨，但如果年产n 知该生产线连续生产年的累计产量为2量超过150吨，将会给环境造成危害．为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是(A)5年(B)6年(C)7年(D)8年设函数，若f(-4)=f(0)f(-2)=0,则关于确不等(11)??xf)≤1 的解集为式(A)(一∞，一3] ∪[一1，+∞) (B)[一3，一1](C)[一3，一1] ∪(0，+∞) (D)[-3，+∞))三段的端点相接(米的铁丝随机剪成三段，则这三段能拼成三角形1将长度为(12)．的概率等于1111(B) (c) (A)(D) 8432第Ⅱ卷(非选择题共90分)注意事项：1．第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题．2．第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置上．二、填空题：本大题共4小题。
2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x≤2}，则A∩B=（）A．{2}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}2．若复数z满足（1﹣i）z=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b ＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q4．已知函数f（x）=log a x（0＜a＜1），则函数y=f（|x|+1）的图象大致为（）A．B．C．D．5．运行如图的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n 的值是（）A．5 B．6 C．7 D．86．下列结论中错误的是（）A．若0＜α＜，则sinα＜tanαB．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sinα=D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16πB．8πC．πD．π8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．9．设变量x，y满足约束条件，若目标函数z=a|x|+2y的最小值为﹣6，则实数a等于（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣110．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）=﹣4x2+8x．若在区间[a，b]上，存在m（m≥3）个不同整数x i（i=1，2，…，m），满足|f（x i）﹣f（x i+1）|≥72，则b﹣a的最小值为（）A．15 B．16 C．17 D．18二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知向量，，其中||=2，||=1，且（+）⊥，则|﹣2|=．12．在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为．13．在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是a，则x ﹣1dx=．14．对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得x i f （x i）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=具有性质P，则实数a的取值范围为．15．已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C 交于M，N两点，P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN，连接PM交y轴于Q点，过Q作QD⊥MF于点D，若|MD|=2|FN|，则|MF|=．三、解答题（共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB=a．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间[﹣，]上值域．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，BC=CD，△APB是等边三角形，且侧面APB ⊥底面ABCD，E，F分别是PC，AB的中点．（1）求证：PA∥平面DEF．（2）求平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．18．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首．若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮．该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是．甲、乙、丙猜对互不影响．（1）求该小组未能进入第二轮的概率；（2）记乙猜对歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是公比大于0的等比数列，且b1=﹣2a1=2，a3+b2=﹣1，S3+2b3=7．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．20．已知椭圆C与双曲线y2﹣x2=1有共同焦点，且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（1）设A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM与AN的斜率之积为﹣3①试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；②若P点为椭圆C上异于M，N的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP 的面积的最小值．21．设函数f（x）=lnx﹣e1﹣x，g（x）=a（x2﹣1）﹣．（1）判断函数y=f（x）零点的个数，并说明理由；（2）记h（x）=g（x）﹣f（x）+，讨论h（x）的单调性；（3）若f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合A={x|x=2n，n∈N*}，B={x≤2}，则A∩B=（）A．{2}B．{2，4}C．{2，3，4}D．{1，2，3，4}【考点】交集及其运算．【分析】求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：∵A={x|x=2n，n∈N*}={2，4，6，…}，B={x≤2}={x|0≤x≤4}，∴A∩B={2，4}，故选：B．2．若复数z满足（1﹣i）z=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件求出z，再根据复数与复平面内对应点之间的关系，可得结论．【解答】解：由（1﹣i）z=i，可得z====﹣+i，它在复平面内对应的点的坐标为（﹣，），故选：B．3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；q：“ab＞1“是“a＞1，b ＞1”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q【考点】复合命题的真假．【分析】命题p：是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a ＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．进而判断出结论．【解答】解：命题p：对任意x∈R，总有2x＞x2；是假命题，例如取x=2时，2x与x2相等．q：由“a＞1，b＞1”⇒：“ab＞1”；反之不成立，例如取a=10，b=．∴“ab＞1“是“a＞1，b＞1”的必要不充分条件，是假命题．∴下列命题为真命题的是￢p∧（￢q），故选：D．4．已知函数f（x）=log a x（0＜a＜1），则函数y=f（|x|+1）的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】利用特殊点代入计算，排除即可得出结论．【解答】解：由题意，x=0，y=f（1）=0，排除C，D．x=1，y=f（2）＜0，排除B，故选A．5．运行如图的程序框图，如果输出的数是13，那么输入的正整数n 的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得8＞n≥7，即可得解输入的正整数n的值．【解答】解：模拟程序的运行，可得A=1，B=1，k=3满足条件k≤n，执行循环体，C=2，A=1．B=2，k=4满足条件k≤n，执行循环体，C=3，A=2．B=3，k=5满足条件k≤n，执行循环体，C=5，A=3．B=5，k=6满足条件k≤n，执行循环体，C=8，A=5．B=8，k=7满足条件k≤n，执行循环体，C=13，A=8．B=13，k=8由题意，此时应该不满足条件8≤n，退出循环，输出C的值为13，可得：8＞n≥7，所以输入的正整数n的值是7．故选：C．6．下列结论中错误的是（）A．若0＜α＜，则sinα＜tanαB．若α是第二象限角，则为第一象限或第三象限角C．若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sinα=D．若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，象限角的定义，判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：若0＜α＜，则sinα＜tanα=，故A正确；若α是第二象限角，即α（2kπ，2kπ+π），k∈Z，则∈（kπ，kπ+），为第一象限或第三象限，故B正确；若角α的终边过点P（3k，4k）（k≠0），则sinα==，不一定等于，故C不正确；若扇形的周长为6，半径为2，则弧长=6﹣2×2=2，其中心角的大小为=1弧度，故选：C．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16πB．8πC．πD．π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，利用圆锥的体积公式，求出几何体的体积．【解答】解：由题意，几何体为圆锥的一半，底面半径为2，高为4，几何体的体积为=，故选D．8．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b（其中c为双曲线的半焦距），则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合；双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的一条渐近线方程，利用渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得弦长为2b，结合勾股定理，推出a，b，c关系，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx+ay=0，圆（x﹣c）2+y2=4a2的圆心到双曲线的渐近线的距离为：，∵渐近线被圆（x﹣c）2+y2=4a2截得的弦长为：2b，∴b2+b2=4a2，∴b2=2a2，即c2=3a2，∴e=．故选：B．9．设变量x，y满足约束条件，若目标函数z=a|x|+2y的最小值为﹣6，则实数a等于（）A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最小值，判断目标函数的最优解，求解a即可．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图，目标函数z=a|x|+2y的最小值为﹣6，可知目标函数的最优解为：B，由，解得B（﹣6，0），﹣6=a|﹣6|，解得a=﹣1；故选：D．10．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（2﹣x），当x∈[0，2]时，f（x）=﹣4x2+8x．若在区间[a，b]上，存在m（m≥3）个不同整数x i（i=1，2，…，m），满足|f（x i）﹣f（x i+1）|≥72，则b﹣a的最小值为（）A．15 B．16 C．17 D．18【考点】函数的周期性．【分析】根据已知可得函数周期为8，且函数的图形关于x=2对称，从而画出函数图象，结合图象，要使b﹣a取最小值，则不同整数x i 为极值点即可．【解答】解：定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=f（2﹣x），得f（x+2+2）=f（2﹣x﹣2）=f（﹣x）=﹣f（x），即f（x+4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x+4）=﹣[﹣f（x）]=f（x）．∴f（x）的周期为8．函数f（x）的图形如下：比如，当不同整数x i分别为﹣1，1，2，5，7…时，b﹣a取最小值，∵f（﹣1）=﹣4，f（1）=4，f（2）=0，，则b﹣a的最小值为18，故选：D二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．已知向量，，其中||=2，||=1，且（+）⊥，则|﹣2|= 2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据（+）⊥得出（+）•=0，求出•的值，再计算从而求出|﹣2|．【解答】解：向量，中，||=2，||=1，且（+）⊥，∴（+）•=+•=0，∴•=﹣=﹣4，∴=﹣4•+4=4﹣4×（﹣4）+4×1=24，∴|﹣2|=2．故答案为：2．12．在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题利用几何概型求概率．先解绝对值不等式，再利用解得的区间长度与区间（﹣4，4）的长度求比值即得．【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度．由不等式|x﹣2|+|x+3|≥7可得x≤﹣3，﹣x+2﹣x﹣3≥7，∴x≤﹣4；﹣3＜x＜2，﹣x+2+x+3≥7，无解；x≥2，x﹣2+x+3≥7，∴x≥3故原不等式的解集为{x|x≤﹣4或x≥3}，∴在（﹣4，4）上随机取一个数x，则事件“|x﹣2|+|x+3|≥7成立”发生的概率为P==．故答案为．13．在二项式（x2﹣）5的展开式中，含x4的项的系数是a，则x ﹣1dx=ln10．【考点】定积分；二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理求出a=10，从而x﹣1dx=x﹣1dx，由此能求出结果．【解答】解：对于Tr+1=（x2）5﹣r（﹣）r=（﹣1）r x10﹣3r，由10﹣3r=4，得r=2，则x4的项的系数a=C52（﹣1）2=10，∴x﹣1dx=x﹣1dx=lnx=ln10﹣ln1=ln10．故答案为：ln10．14．对于函数y=f（x），若其定义域内存在不同实数x1，x2，使得x i f （x i）=1（i=1，2）成立，则称函数f（x）具有性质P，若函数f（x）=具有性质P，则实数a的取值范围为．【考点】函数的值．【分析】由题意将条件转化为：方程xe x=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xe x并求出g′（x），由导数与函数单调性的关系，判断出g（x）在定义域上的单调性，求出g（x）的最小值，结合g（x）的单调性、最值、函数值的范围画出大致的图象，由图象求出实数a 的取值范围．【解答】解：由题意知：若f（x）具有性质P，则在定义域内xf（x）=1有两个不同的实数根，∵，∴，即方程xe x=a在R上有两个不同的实数根，设g（x）=xe x，则g′（x）=e x+xe x=（1+x）e x，由g′（x）=0得，x=﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，+∞）上递增，∴当x=﹣1时，g（x）取到最小值是g（﹣1）=，∵x＜0，g（x）＜0、x＞0，g（x）＞0，∴当方程xe x=a在R上有两个不同的实数根时，即函数g（x）与y=a的图象有两个交点，由图得，∴实数a的取值范围为，故答案为：．15．已知抛物线C：y2=4x焦点为F，直线MN过焦点F且与抛物线C 交于M，N两点，P为抛物线C准线l上一点且PF⊥MN，连接PM交y轴于Q点，过Q作QD⊥MF于点D，若|MD|=2|FN|，则|MF|=+2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】直线MN的方程为y=k（x﹣1），代入抛物线方程可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，求出k的值可得M的坐标，即可得出结论．【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），直线MN的方程为y=k（x ﹣1），代入抛物线方程可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0∴x1+x2=2+，2|FN|=|MD|，可得2（x2+1）=|MD|，∵，∴=，∴x2=﹣1，联立可得x1=2+，∵x1=，∴2+=，∴3k2=4+4，∴x1=+1，∴|MF|=+2，故答案为+2．三、解答题（共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A为锐角，且bsinAcosC+csinAcosB=a．（1）求角A的大小；（2）设函数f（x）=tanAsinωxcosωx﹣cos2ωx（ω＞0），其图象上相邻两条对称轴间的距离为，将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）图象，求函数g（x）在区间[﹣，]上值域．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA，由于sinA≠0，利用两角和的正弦函数公式可求sinA的值，结合A的范围即可得解A的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin （2ωx﹣），由已知可求T，利用周期公式可求ω，利用三角函数平移变换可求g（x）=sin（2x+），由x的范围，利用正弦函数的性质可求g（x）的值域．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵bsinAcosC+csinAcosB=a，∴由正弦定理可得：sinBsinAcosC+sinCsinAcosB=sinA，∵A为锐角，sinA≠0，∴sinBcosC+sinCcosB=，可得：sin（B+C）=sinA=，∴A=．（2）∵A=，可得：tanA=，∴f（x）=sinωxcosωx﹣co s2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx=sin（2ωx﹣），∵其图象上相邻两条对称轴间的距离为，可得：T=2×=，解得：ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣），∴将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到图象对应的函数解析式为y=g（x）=sin[2（x+）﹣]=sin（2x+），∵x∈[﹣，]，可得：2x+∈[，]，∴g（x）=sin（2x+）∈[，1]．17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，BC=CD，△APB是等边三角形，且侧面APB ⊥底面ABCD，E，F分别是PC，AB的中点．（1）求证：PA∥平面DEF．（2）求平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC，交DF于O，连结OF，推导出四边形CDFB是平行四边形，从而DF∥BC，进而O是AC中点，由此得到OE∥PA，从而能证明PA∥平面DEF．（2）以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值．【解答】证明：（1）连结AC，交DF于O，连结OF，∵AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2CD，E，F分别是PC，AB的中点．∴CD BF，∴四边形CDFB是平行四边形，∴DF∥BC，∴O是AC中点，∴OE∥PA，∵PA⊄平面DEF，OE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF．解：（2）∵在四棱锥P﹣ABCD中底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ABC=90°，△APB是等边三角形，且侧面APB⊥底面ABCD，F是AB的中点，∴DF⊥AF，PF⊥平面ABCD，以F为原点，FA为x轴，DF为y轴，FP为z轴，建立空间直角坐标系，设BC=CD=，则D（0，﹣，0），C（﹣1，﹣，0），P（0，0，），E（﹣，），F（0，0，0），=（0，﹣，0），=（﹣，），=（﹣1，﹣，﹣），=（0，﹣，﹣），设平面DEF的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（，0，1），设平面PCD的法向量=（a，b，c），则，取b=，得=（0，，﹣1），cos＜＞===﹣，∴平面DEF与平面PCD所成的二面角（锐角）的余弦值为．18．甲、乙、丙三人组成一个小组参加电视台主办的听曲猜哥歌名活动，在每一轮活动中，依次播放三首乐曲，然后甲猜第一首，乙猜第二首，丙猜第三首．若有一人猜错，则活动立即结束；若三人均猜对，则该小组进入下一轮．该小组最多参加三轮活动．已知每一轮甲猜对歌名的概率是，乙猜对歌名的概率是，丙猜对歌名的概率是．甲、乙、丙猜对互不影响．（1）求该小组未能进入第二轮的概率；（2）记乙猜对歌曲的次数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“该小组未能进入第二轮”为事件A，其对立事件为，则P（A）=1﹣P，即可得出．（2）利用相互独立事件的概率计算公式、对立事件的概率计算公式即可得出．【解答】解：（1）设“该小组未能进入第二轮”为事件A，其对立事件为，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）由题意可得：ξ的可能取值为0，1，2，3．P（ξ=0）==，P（ξ=1）=××+××+×=，P（ξ=3）=×××××=，P（ξ=2）=1﹣P（ξ=0）﹣P（ξ=1）﹣P（ξ=3）=．∴ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P∴Eξ=0+1×+3×=．19．已知数列{a n}是等差数列，其前n项和为S n，数列{b n}是公比大于0的等比数列，且b1=﹣2a1=2，a3+b2=﹣1，S3+2b3=7．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q ＞0，利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．（2）c n=．对n分类讨论，分组求和，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q＞0，且b1=﹣2a1=2，a3+b2=﹣1，S3+2b3=7．∴a1=﹣1，b1=2，﹣1+2d+2q=﹣1，3×（﹣1）+3d+2×2×q2=7，解得d=﹣2，q=2．∴a n=﹣1﹣2（n﹣1）=1﹣2n，b n=2n．（2）c n=．①n=2k（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和T n=T2k=（c1+c3+…+c2k﹣1）+（c2+c4+…+c2k）=2k+（+…+），令A k=+…+，∴=+…++，∴A k=+﹣=+4×﹣，可得A k=﹣．∴T n=T2k=2k+﹣．②n=2k﹣1（k∈N*）时，数列{c n}的前n项和T n=T2k﹣2+a2k﹣1=2（k﹣1）+﹣+2=2k+﹣．∴T n=，k∈N*．20．已知椭圆C与双曲线y2﹣x2=1有共同焦点，且离心率为．（1）求椭圆C的标准方程；（1）设A为椭圆C的下顶点，M、N为椭圆上异于A的不同两点，且直线AM与AN的斜率之积为﹣3①试问M、N所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；②若P点为椭圆C上异于M，N的一点，且|MP|=|NP|，求△MNP 的面积的最小值．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）由题意，椭圆的焦点坐标为（0，±），=，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）①设直线MN的方程为x=ky+m，联立，得（k2+3）x2+2kmx+m2﹣3=0．由此利用韦达定理、直线斜率，结合已知条件，能求出直线MN恒过（0，0）．②推导出OP⊥MN，设OP所在直线方程为y=﹣，则，，由此利用三角形面积公式、基本不等式性质，能求出k=±1时，△MNP的面积最小，并能求出最小值．【解答】解：（1）由题意，椭圆的焦点坐标为（0，±），=，设椭圆方程为=1（a＞b＞0），∴c=，a=，b=1，∴椭圆C的标准方程为=1；（2）①若MN的斜率不存在，设M（x1，y1），N（x1，﹣y1）．则k AM•k AN===﹣3，而，故不成立，∴直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为x=ky+m，联立，得（k2+3）x2+2kmx+m2﹣3=0．∴x1+x2=﹣，x1x2=，，，∵直线AM与直线AN斜率之积为﹣3．∴k AM•k AN=•=====﹣3，整理得m=0．∴直线MN恒过（0，0）．②由①知，，∵|MP|=|NP|，∴OP⊥MN，当k≠0时，设OP所在直线方程为y=﹣，则，，当k=0时，也符合上式，∴S△MNP=|OM|•|OP|=•=•=3，令k2+1=t（t≥1），k2=t﹣1，=3，∵t≥1，∴0．当，即t=2时，﹣取最大值4，∴当k2=1，即k=±1时，△MNP的面积最小，最小值为．21．设函数f（x）=lnx﹣e1﹣x，g（x）=a（x2﹣1）﹣．（1）判断函数y=f（x）零点的个数，并说明理由；（2）记h（x）=g（x）﹣f（x）+，讨论h（x）的单调性；（3）若f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题；根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f（e）的值，求出零点个数即可；（2）求出h（x）的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；（3）问题等价于a（x2﹣1）﹣lnx＞﹣在（1，+∞）恒成立，设k（x）=﹣=，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1）由题意得：x＞0，∴f′（x）=+＞0，故f（x）在（0，+∞）递增；又f（1）=﹣1，f（e）=1﹣e1﹣e=1﹣＞0，故函数y=f（x）在（1，e）内存在零点，∴y=f（x）的零点个数是1；（2）h（x）=a（x2﹣1）﹣﹣lnx+e1﹣x+﹣=ax2﹣a﹣lnx，h′（x）=2ax﹣=（x＞0），当a≤0时，h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）递减，当a＞0时，由h′（x）=0，解得：x=±（舍取负值），∴x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）递增，综上，a≤0时，h（x）在（0，+∞）递减，a＞0时，h（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；（3）由题意得：lnx﹣＜a（x2﹣1）﹣，问题等价于a（x2﹣1）﹣lnx＞﹣在（1，+∞）恒成立，设k（x）=﹣=，若记k1（x）=e x﹣ex，则（x）=e x﹣e，x＞1时，（x）＞0，k1（x）在（1，+∞）递增，k1（x）＞k1（1）=0，即k（x）＞0，若a≤0，由于x＞1，故a（x2﹣1）﹣lnx＜0，故f（x）＞g（x），即当f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立时，必有a＞0，当a＞0时，设h（x）=a（x2﹣1）﹣lnx，①若＞1，即0＜a＜时，由（2）得x∈（1，），h（x）递减，x∈（，+∞），h（x）递增，故h（）＜h（1）=0，而k（）＞0，即存在x=＞1，使得f（x）＜g（x），故0＜a＜时，f（x）＜g（x）不恒成立；②若≤1，即a≥时，设s（x）=a（x2﹣1）﹣lnx﹣+，s′（x）=2ax﹣+﹣，由于2ax≥x，且k1（x）=e x﹣ex＞0，即＜，故﹣＞﹣，因此s′（x）＞x﹣+﹣＞=＞0，故s（x）在（1，+∞）递增，故s（x）＞s（1）=0，即a≥时，f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立，综上，a∈[，+∞）时，f（x）＜g（x）在（1，+∞）恒成立．。
山东省潍坊市高考数学一模预考数学(理科)试卷有答案
2017年山东省潍坊市高考数学一模预考数学（理科）试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知1213i 3i z z =-=+，，其中i 是虚数单位，则12z z 的虚部为（ ）． A ．1-B ．45C ．i -D ．4i 52．已知全集为R ，且集合()21{}log 2A x x =+＜，201x B x x ⎧⎫-=≥⎨⎬-⎩⎭，则A B R （）ð等于（ ）． A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．)[1,2D ．[]1,23．将函数()2sin π36x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向上平移3个单位，得到函数()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）．A ．()π32sin 34g x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=B ．()π32sin 34g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．()π3122sin 3x g x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+D ．()π3122sin 3x g x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭=4．若关于x 的不等式1270x x m ++-+-＞的解集为R ，则实数m 的取值范围为（ ）．A ．()4,+∞B ．[)4+∞,C ．()4-∞,D ．(],4-∞5．在等比数列{}n a 中，13282,81,n n a a a a -+=∙=且数列{}n a 的前n 项和121n S =，则此数列的项数n 等于（ ）． A ．4B ．5C ．6D ．76．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ）．A ．2B ．4C ．43D ．837．已知实数x ，y 满足不等式组2435y x x y x y -≤⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，若目标函数z y mx =-取得最大值时有唯一的最优解()1,3，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．1m -＜B ．01m ＜＜C ．1m ＞D ．1m ≥8．已知函数()()211f x f x x '=++，则()10f x dx ⎰=（ ）．A ．76-B ．76C ．56D ．56-9．已知圆M 过定点()0,1且圆心M 在抛物线22x y =上运动，若x 轴截圆M 所得的弦为PQ ，则弦长PQ 等于（ ）． A ．2B ．3C ．4D ．与点位置有关的值10．已知函数()()()2log 00x x f x x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩，函数()g x 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意x ∈R ，有()()122g x g x =+；③当[]1,1x ∈-时，()g x =()()y f x g x =-在区间[]4,4-上零点的个数为（ ）．A ．7B ．6C ．5D ．4二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）．11．已知向量,a b ，满足24a =，()()2,34b a b a b =+∙-=，则a 与b 的夹角为______．12．已知正整数m 的3次幂有如下分解规律：333311,235,37911,413451719,==+=++=+++若()3m m +∈N 的分解中最小的数为91，则m 的值为_______．13．阅读如图所示的程序框图，则输出结果S 的值为______．14．用1，2，3，4，5组成不含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是______．（注：结果请用数字作答） 15．函数()()fx x ∈R 满足()12f =且()f x 在R 上的导数()f x '满足()30f x '->，则不等式()33log 3log 1f x x <-的解集为______．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．设向量)sin sin cos a x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos ,sin cos b x x x =+，x ∈R ，记函数()f x a b =∙． （1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．若()12f A =，a ，求ABC △面积的最大值．17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,()332n n a S n +-=∈N ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足341log n n n a b a +∙=，记123n n T b b b b =++++，求证：()+72n T n ≤∈N ． 18．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，直线AF ABCD ⊥平面，2EF AB AD =∥，，21AB AF EF ===，点P 在棱DF 上． （1）求证：AD BF ⊥；（2）若P 是DF 的中点，求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值；（3）若13FP FD =，求二面角D AP C --的余弦值．19．有人在路边设局，宣传牌上写有“掷骰子，赢大奖”．其游戏规则是这样的：你可以在1，2，3，4，5，6点中任选一个，并押上赌注m 元，然后掷1颗骰子，连续掷3次，若你所押的点数在3次掷骰子过程中出现1次，2次，3次，那么原来的赌注仍还给你，并且庄家分别给予你所押赌注的1倍，2倍，3倍的奖励．如果3次掷骰子过程中，你所押的点数没出现，那么你的赌注就被庄家没收． （1）求掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率；（2）如果你打算尝试一次，请计算一下你获利的期望值，并给大家一个正确的建议．20．已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且与直线1:60x l -+=相切，设点A 为圆上一动点，AM x ⊥轴于点M ，且动点N 满足13122ON OA OM ⎛⎫=+- ⎪⎪⎝⎭，设动点N 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）若动直线2l :y kx m =+与曲线C 有且仅有一个公共点，过()()121,010F F -,,两点分别作1222F P l F Q l ⊥⊥,，垂足分别为,P Q ，且记1d 为点1F 到直线2l 的距离，2d 为点2F 到直线2l 的距离，3d 为点P 到点Q 的距离，试探索()123d d d +∙是否存在最值？若存在，请求出最值．21．已知函数()2ln f x x a x -=．（1）若()f x 在[]35,上是单调递减函数，求实数a 的取值范围； （2）记()()()()2ln 21g x f x a x b x =++--，并设()1212,x x x x ＜是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．2017年山东省潍坊市高考数学一模预考数学（理科）试卷答 案一．选择题 1~5．BCBAB6~10．BCBAD二．填空题 11．2π3 12．10 13．2016201714．48 15．()0,3 三．解答题16．解：（1）∵())()sin cos sin cos sin cos f x a b x x x x x x =∙=-+，1sin 2sin 223x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， ∴令πππ2π22π,232k x k k -≤-≤+∈Z ， 解得：ππππ,32k x k k -≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为：π5ππ,π,1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ，（2）∵()12f A =，∴π1sin 232A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合ABC △为锐角三角形，可得：ππ236A -=∴π4A =，在ABC △中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：(2222b c bc =+≥∙，（当且仅当b=c 时等号成立）∴2bc ≤=又sin sin4A π=∴1sin 22ABC S bc A ==△（当且仅当b c =时等号成立），∴ABC △面积最大值为12+， 17.（1）解：由()+332n n a S n -=∈N ． 当1n =时，1111233a S S a =+=，，得13a =．当2n =时，22233S a +=，即有()122233a a a ++=，解得29a =． 当2n ≥时，1n n n a S S --=，∵()*11233233n n n n S a n S a --+=∈+=N ,， 两式相减可得1233n n n a a a -=- ， ∴13n n a a -=，∴数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列．∴3nn a =．对1n =也成立． 故数列{}n a 的通项公式为3nn a =．（2）证明：由413413log log 341n n n n a b a n ++===+∙， 得()411413nn n n b n a +⎛⎫==+∙ ⎪⎝⎭， ∴123n n n T T b b b b ==++++=()21115941333nn ⎛⎫⎛⎫∙+∙+++∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()231111159413333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙+∙+++∙ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得，()231251111441333333nn n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++++∙⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，()11111519344113313n n n +-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯-+∙ ⎪⎝⎭-，化简可得()7117472232nn T n ⎛⎫=-+∙ ⎪⎝⎭＜18．（1）证明：∵AF ⊥平面ABCD ，∴AF AD ⊥， 又,AD AB ABAF A AD ⊥=⊥,平面ABEF ，又BF ⊂平面ABEF ，∴AD BF ⊥．（2）解：∵直线AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AF AB ⊥， 由（1）得,AD AF AD AB ⊥⊥，∴以A 为原点，,AB AD AF ,所在直线为,x y z ,轴，建立空间直角坐标系，则()()111,0,0,,0,1,0,1,,1,2,022B E P C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴111,0,1,2,1,2BE CP ⎛⎫=-⎛⎫--= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，设异面直线BE 与CP 所成角为θ， 则4cos BE CP BE CPθ∙==∙∴异面直线BE 与CP． （3）∵AB ⊥平面ADF ，∴平面ADF 的一个法向量()11,0,0n =．由13FP FD =，知P 为FD 的三等分点，且此时220,,33P ⎛⎫⎪⎝⎭．在平面APC 中，()220,,,1,2,033AP AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴平面APC 的一个法向量()22,1,1n =--． ∴1212126,3n n COS n n n n +==， 又∵二面角D AP C --．19．解：（1）掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点， ∴根据对立事件的性质，掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率：2115751366216p C ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）试玩游戏，设获利ξ元，则ξ的可能取值为23m m m m -,,,， ()211575366216P m C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2215152366216P m C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭，()2311336216P m C ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，()20512536216P m C ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭-，()751511251723,216216216216216E m m m m m ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯-=- 0,E ξ∴＜建议大家不要尝试．20．解：（1）设圆2221:C x y R +=，根据圆1C 与直线1l 相切，得R =，即R =∴圆的方程为2212x y +=，设()()00A x y N x y ,,,,∵AM x ⊥轴于M ，∴0,0Mx （） ∴()()()000001110,222x y x y x y ⎫⎫=+--=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭,,，∴00312x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即002x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∵点()00A x y ,为圆1C 上的动点，∴220012x y +=，22)(2)12y ∴+= ∴22143x y +=．（2）由()1中知曲线C 是椭圆，将直线2:l y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得()2224384120k x kmx m +++-= 由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知，()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，整理得2243m k =+，且12d d ==当0k ≠时，设直线2l 的倾斜角为θ，则123123||ta ||n d d d d d kθ-∙=-=,即d ． ∴()()2212121231222441613114m m d d d d d d d d d m k k k m m --+=+====-+++ ∵2243m k =+∴当0k ≠时，m >．∴13m m +>=，∴()123d d d +<， 当0k =时，四边形12F F PQ为矩形，此时1232d d d ===． ∴()1232d d d +==综上可知，()123d d d +∙存在最大值，最大值为． 21．解：（1）()2ln f x x a x =-在[]3,5上是单调减函数，∴()20af x x x'=-≤在[]3,5上恒成立， ∴22a x ≥恒成立，[]3,5x ∈．∵22y x =在[]3,5上单调递增，∴22y x =在[]3,5上的最大值为22550⨯=， ∴50a ≥．（2）()()()()22ln 2ln 212ln 21g x x a x a x b x x x b x =-++--=+--， ∴()()()22112221x b x g x x b x x⎡⎤--+⎣⎦'=+--=， 令0gx '=（）得()2110x b x +--=， 12121,1x x b x x ∴+=-=，()()()()22111122222ln 212ln 21g x g x x x b x x x b x ⎡⎡⎤∴=+-⎤----⎣+⎦-⎣⎦，()()()221122122ln 21x x x b x x x =+-+-- ()()()22112122122ln2x x x x x x x x =+-++- 2212122lnx x x x =+- 221212122ln x x x x x x -=+1212122lnx x x x x x =+-（） 设12x t x =，则01t ＜＜， ∴()()1212ln g x g x t t t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，令()12ln h t t t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()22212110t h t t t t -'=--=-＜， ∴()h t 在()0,1上单调递减，∵72b ≥∴()22514b -≥，即()()2212121212524x x x x t x x t ++==++≥， ∴241740t t -+≥，解14t ≤或4t ≥． 又01t ＜＜， ∴104t <≤． ∴()min 111152ln 44ln 24444h t h ⎛⎫⎛⎫==+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()12g x g x -的最小值为154ln 24-.2017年山东省潍坊市高考数学一模预考数学试卷（理科）解 析1．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出． 【解答】解：()()()()1213i 3i 13i 68i 3i 3i 3i 10z z +-++===++-的虚部为45． 故选：B ．2．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】解()2log 12x +＜即可求出集合A ，而解不等式201x x -≥-即可求出集合B ，然后进行交集和补集的运算即可求出A B R （）ð．【解答】解：由()2log 12x +＜得()22log 1log 4x +＜；∴014x +＜＜； 解得13x -＜＜； ∴()1,3A =-；解201x x -≥-得1x ＜，或2x ≥； ∴()[),12,B =-∞+∞；∴[)1,2B =R ð；∴[)1,2A B =R （）ð． 故选C ．3．【考点】函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换．【分析】由条件利用函数()sin y A x ωϕ=+ 的图象变换规律，得出结论．【解答】解：将函数()π2sin 36x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π4个单位，再向上平移3个单位，得到函数()g x 的图象， 则()1ππππ2sin 32sin 3,34634g x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦故选：B ．4．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】不等式变形移项处理：127x x m ++--＞，利用绝对值不等式的几何意义即可得到答案． 【解答】解：不等式1270x x m ++-+-＞ ， 移项：127,x x m ++--＞根据绝对值不等式的几何意义，可知：12x x ++-的最小值是3， 解集为R ，只需要37m -＞恒成立即可， 解得4m ＞， 故选：A ．5．【考点】等比数列的通项公式．【分析】由题意易得1a 和n a 是方程282810x x +=- 的两根，求解方程得到两根，分数列递增和递减可得1,n a a 再由121n S =得,q 进一步可得n 值．【解答】解：由等比数列的性质可得132•81n n a a a a -==， 又182n a a +=，∴1a 和n a 是方程282810x x -+=的两根， 解方程可得1x =或81x =，若等比数列{}n a 递增，则11,81n a a ==， ∵121n S =，∴18112111n a a q qq q--==--， 解得q=3，∴18113n -=⨯，解得5n =； 若等比数列{}n a ，递减，则181,1n a a ==， ∵121n S =，∴18112111n a a q qq q--==--， 解得13q =，∴111813n ⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭-，解得5n =．综上，数列的项数n 等于5．故选：B ．6．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥， 其底面面积()131362S =⨯+⨯=， 高2h =，故体积143V sh ==， 故选：B7．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y mx z =+斜率的变化，从而求出m 的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图，由z y mx =-，得y mx z =+ ，即直线的截距最大，z 也最大 若0m =，此时y z =，不满足条件；若0m ＞，目标函数y mx z =+的斜率0k m =＞，要使目标函数z y mx =-取得最大值时有唯一的最优解()1,3，则直线y mx z =+的斜率1m ＞若0m ＜，目标函数y mx z =+的斜率0k m =＜，不满足题意． 综上1m ＞． 故选：C ．8．【考点】定积分．【分析】求出()11f '=-，再根据定积分法则计算即可．【解答】解：∵()()211f x f x x '=++，∴()()2'11f x f x '=+， ∴()()12'11f f '=+，∴11f '=-（）， ∴21f x x x =-++（）， ∴()221111700326f x dx x x x ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭⎰ 故选B ．9．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据条件设21,2M a ⎛⎫⎪⎝⎭a ，并可得出圆M 的半径，从而得出圆M 的方程，令0y =便可求出x ，即求出,P Q 点的坐标，根据,P Q 点的坐标便可得出||PQ ．【解答】解：设21,,2M a r ⎛⎫ ⎪⎝⎭a ∴圆M 的方程为：()22222211122x a y a ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭a a -，令0,1y x a ==±； ∴()112PQ a a =+--=． 故选：A ．10．【考点】函数零点的判定定理．【分析】当[]3,1x ∈--时，()g x =当[]1,3x ∈时，()g x =在同一坐标系中，作出()(),f x g x 的图象，两个图象有4个交点，可得结论．【解答】解：∵对任意x ∈R ，有()()122g x g x =+；当[]1,1x ∈-时，()g x∴当[]3,1x ∈--时，()g x =[]1,3x ∈时，()g x = 在同一坐标系中，作出()()f x g x ，的图象，两个图象有4个交点， ∴函数()()y f x g x =-在区间[]4,4-上零点的个数为4， 故选D ．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】将式子()()34a b a b +∙-=展开计算a b ∙，代入向量的夹角公式计算即可．【解答】解：∵()()34a b a b +∙-=，∴22324a b a b +-=∙， 即12424a b +=∙-， ∴=2a b ∙-．∴21cos ,222a b a b a b∙-===-⨯， ∴,b a 的夹角为23π． 故答案为：23π． 12．【考点】归纳推理．【分析】由题意知，n 的三次方就是n 个连续奇数相加，且从2开始，这些三次方的分解正好是从奇数3开始连续出现，由此规律即可建立3*m m ∈N （）的分解方法，从而求出m 的值． 【解答】解：由题意，从32到3m ，正好用去从3开始的连续奇数共()()212342m m m +-+++⋯+=个，91是从3开始的第45个奇数当9m =时，从23到93，用去从3开始的连续奇数共()()9291=442+-个当10m =时，从23到103，用去从3开始的连续奇数共()()102101=542+-个．故10m =． 故答案为：1013．【考点】程序框图．【分析】由题意，程序的功能是求和222=132520152017S ++⨯⨯⨯，利用裂项法，即可求和． 【解答】解：由题意，程序的功能是求和222111112016==1-+-+-=132520152017335201520172017S ++⨯⨯⨯， 故答案为20162017．14．【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】对数字2分类讨论，结合数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得出结论．【解答】解：数字2出现在第2位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第3，4位或者4，5位，共有22232212C A A =个，数字2出现在第4位时，同理也有12个；数字2出现在第3位时，数字1，3，5中相邻的数字出现在第1，2位或第4，5位，共有1222232224C C A A =个，故满足条件的不同五位数的个数是48． 故答案为：48．15．【考点】导数的运算．【分析】令()()3g x f x x =-，求出()11g =-，问题转化为()()3log 1g x g ＜，根据函数的单调性得到关于x 的不等式，解出即可．【解答】解：令()()()()3,30,g x f x x g x f x =-'='-则＞ 可得()g x 在R 上递增，由()12f =，得()()1131g f =-=-，()33log 3log 1f x x -＜，即()()3log 1g x g ＜，故3log 1x ＜，解得：03x ＜＜， 故不等式的解集是：()0,3．三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16．【分析】()1利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求()πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ222π,232k x k k π-≤-≤+∈Z ，即可解得()f x 的单调递增区间． （2）由已知可求π1232sin A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，结合ABC △为锐角三角形，可得A ，利用余弦定理，基本不等式可求2bc ≤【解答】（本题满分为12分）解：()1∵())()sin cos sin cos sin cos 2f x a b x x x x x x =∙=+-+，1sin 2sin 223x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ 令πππ2π22π,232k x k k -≤-≤+∈Z ， 解得：ππππ,32k x k k -≤≤+∈Z ，∴函数()f x 的单调递增区间为：π5ππ,π,,1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z()2∵()12f A =，∴π1sin 232A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 结合ABC △为锐角三角形，可得：πππ2364A A -=∴=， 在ABC ∆中，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得：(2222b c bc =+≥∙，∴2bc ≤=又∵sin sin42A π==，∴1sin 22ABC S bc A ==≤+=△b c =时等号成立），∴ABC △面积的最大值为17．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】()1利用递推关系：当1n =时，11a S =；当2n ≥时，1,n n n a S S -=-及其等比数列的通项公式即可得出；()2求出()41,4131n n nn n b a ⎛⎫+ ⎝=⎪⎭+=利用“错位相减法”与等比数列的前n 项和公式即可得出． 【解答】()1解：由()332n n a S n +-=∈N ． 当1n =时，1111233a S S a =+=，，得13a =． 当2n =时，22233S a +=，即有()122233a a a ++=，解得29a =． 当2n ≥时，1n n n a S S --=，∵()*11233233n n n n S a n S a --+=∈+=N ,， 两式相减可得1233n n n a a a -=- ， ∴13n n a a -=，∴数列{}n a 是以9为首项，3为公比的等比数列．∴3nn a =．对1n =也成立． 故数列{}n a 的通项公式为3nn a =．()2证明：由413413log log 341n n n n a b a n ++===+∙，得()()41413nn nn b n a +==+∙， ∴123n n n T T b b b b ==++++=()21115941333nn ⎛⎫⎛⎫∙+∙+⋯++∙ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()231111159413333n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∙+∙+++∙ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，两式相减得，()23125111144133333]3n n n T n +-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯++++∙⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦， ()11111519344113313n n n +-⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯-+∙ ⎪⎝⎭-，化简可得()7117472232nn T n ⎛⎫=-+∙ ⎪⎝⎭＜18．()1证明：∵AF ⊥平面ABCD ，∴AF AD ⊥， 又,AD AB ABAF A AD ⊥=⊥,平面ABEF ，又BF ⊂平面ABEF ，∴AD BF ⊥．()2解：∵直线AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AF AB ⊥，由()1得,AD AF AD AB ⊥⊥，∴以A 为原点，,AB AD AF ,所在直线为,x y z ,轴，建立空间直角坐标系，则()()111,0,0,,0,1,0,1,,1,2,022B E P C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴111,0,1,2,1,2BE CP ⎛⎫=-⎛⎫--= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，设异面直线BE 与CP 所成角为θ， 则4cos BE CP BE CPθ==∴异面直线BE 与CP ． ()3解：∵AB ⊥平面ADF ，∴平面ADF 的一个法向量()11,0,0n =．由13FP FD =，知P 为FD 的三等分点，且此时220,,33P ⎛⎫⎪⎝⎭．在平面APC 中，()220,,,1,2,033AP AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴平面APC 的一个法向量()22,1,1n =--． ∴1212126,3n n COS n n n n ==， 又∵二面角D AP C --的大小为锐角，． 18．【考点】二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角．【分析】()1推导出,,AF AD AD AB ⊥⊥从而,AD ABEF ⊥平面由此能证明AD BF ⊥ ．()2以A 为原点,,AB AD AF 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D AP C--的余弦值．【解答】证明：()1∵AF ⊥平面ABCD ，∴AF AD ⊥， 又,AD AB AB AF A AD ⊥⋂=⊥,平面ABEF ， 又BF ⊂平面ABEF ，∴AD BF ⊥．解：()2∵直线AF ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AF AB ⊥， 由()1得,AD AF AD AB ⊥⊥，∴以A 为原点，,AB AD AF ,所在直线为,x y z ,轴，建立空间直角坐标系，则()()111,0,0,,0,1,0,1,,1,2,022B E P C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴111,0,1,2,1,2BE CP ⎛⎫=-⎛⎫--= ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，设异面直线BE 与CP 所成角为θ， 则4cos BE CP BE CPθ==∴异面直线BE 与CP． ()3∵AB ⊥平面ADF ，∴平面ADF 的一个法向量()11,0,0n =．由13FP FD =，知P 为FD 的三等分点，且此时220,,33P ⎛⎫⎪⎝⎭．在平面APC 中，()220,,,1,2,033AP AC ⎛⎫== ⎪⎝⎭．∴平面APC 的一个法向量()22,1,1n =--． ∴1212126,n n COS n n n n ==， 又∵二面角D AP C --．19．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】()1掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，根据对立事件的性质，能求出掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率．()2试玩游戏，设获利ξ元，则ξ的可能取值为,2,3,m m m m -，分别求出相应的概率，由此能求出170216E m ξ-<＜，建议大家不要尝试． 【解答】解：()1掷3次骰子，至少出现1次为5点的对立事件是3次都没有出现5点，∴根据对立事件的性质，掷3次骰子，至少出现1次为5点的概率：2115751366216p C ⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．()2试玩游戏，设获利ξ元，则ξ的可能取值为23m m m m ,,,-， 211575366216P m C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭（），2215152366216P m C ξ⎛⎫==⨯⨯= ⎪⎝⎭（），2311336216P m C ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭（），20512536216P m C ξ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭（﹣），()751511251723,216216216216216E m m m m m ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯-=- 0,E ξ∴＜建议大家不要尝试． 20．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】()1设圆2221:C x y R +=，根据圆1C 与直线1l 相切，求出圆的方程为2212x y +=，由此利用相关点法能求出曲线C 的方程．()2将直线2:l y kx m =+代入曲线C 的方程223412x y +=中，得（2224384120k x kmx m +++-=），由此利用根的判别式、韦达定理、直线方程、椭圆性质、弦长公式，结合已知条件能求出123•d d d +（）存在最大值，并能求出最大值．【解答】解：()1设圆2221:C x y R +=，根据圆1C 与直线1l 相切，，即R =，∴圆的方程为2212x y +=，设()()00A x y N x y ,,,,∵AM x ⊥轴于M ，∴0,0Mx （） ∴()()()000001110,23232x y x y x x y ⎫⎛⎫=+--=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,，∴0012x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即002x y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∵()001A x y C 点,为圆上的动点, ∴2212x y +=，∴)()22212y +=,∴22143x y +=．()2由()1中知曲线C 是椭圆，将直线2:l y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得()2224384120k x kmx m +++=- 由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知，()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，整理得2243m k =+，且12d d ==1︒当0k ≠时，设直线2l 的倾斜角为θ，则123123||ta ||n d d d d d kθ-∙=-=,即d ． ∴()()2212121231222441613114m m d d d d d d d d d m k k k m m --+=+====-+++ ∵2243m k =+∴当0k ≠时，m >．∴1mm+>=，∴()123d d d+<，2︒当0k=时，四边形12F F PQ为矩形，此时1232d d d===．∴()1232d d d+==综上12︒︒、可知，()123d d d+∙存在最大值，最大值为．21．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】()1令()0f x'≤在[]3,5上恒成立，分离参数得22a x≥，利用二次函数的单调性求出最值即可得出a范围；()2令()0g x'=根据根与系数的关系可得12121,1,x x b x x+=-=化简得()()121212212lnx x xg x g xx x x⎛⎫-=+-⎪⎝⎭，令12xtx=，根据b的范围得出t的范围，利用函数单调性可求得()12lnh t t tt⎛⎫=+-⎪⎝⎭的范围，得出结论．【解答】解：()1()2lnf x x a x=-在[]3,5上是单调减函数，∴()20af x xx'=-≤在[3,5]上恒成立，∴22a x≥恒成立，[]3,5x∈．∵22y x=在[]3,5上单调递增，∴22y x=在[]3,5上的最大值为22550⨯=，∴50a≥．()2()()()()22ln2ln212ln21g x x a x a x b x x x b x=-++--=+--，∴()()()22112221x b xg x x bx x⎡⎤--+⎣⎦'=+--=，令()0g x'=得()2110x b x+--=，∴12121,1x x b x x+=-=，∴()()()()22111221222ln212ln21g x g x x x b x x x b x⎡⎡⎤=+--+-⎤--⎣⎦⎣⎦-，()()()221122122ln21xx x b x xx=+-+--()()()22112122122ln2xx x x x x xx=+-++-2212122lnxx xx=+-221212122lnx x xx x x-=+1212122lnx x xx x x=+-（）设12xtx=，则01t＜＜，∴()()1212ln g x g x t t t ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，令()12ln h t t t t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()()22212110t h t t t t -'=-=--＜， ∴h t （）在()0,1上单调递减， ∵72b ≥∴()22514b -≥，即()()2212121212524x x x x t x x t ++==++≥， ∴241740t t -+≥，解14t ≤或4t ≥． 又01t ＜＜， ∴104t <≤． ∴()min 111152ln 44ln 24444h t h ⎛⎫⎛⎫==+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()12g x g x -的最小值为154ln 24-。
山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟(一模)考试数学(理科)试题(解析版)
潍坊市高考模拟考试理科数学本试卷共4页.满分150分.注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合B，再利用交集并集的定义判断选项．【详解】∵B＝，＝{x|}，∴A∩B＝．，故选：B．【点睛】本题考查交集并集的求法，是基础题，解题时要注意交集并集的区别．2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -5【答案】C【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】由（1+i）z＝|3+4i|，得z，∴z的虚部为．故选：C．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】表示两个不同平面，直线是内一条直线，若∥，则∥，所以∥是∥的充分条件；若∥不能推出∥，故不是充分条件∴∥是∥的充分不必要条件故选A4.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的渐近线推出b，a关系，然后求解离心率即可．【详解】由已知双曲线C（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x，可得∴，，故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，解题时注意焦点位置，考查计算能力．5.执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A. 0B.C. 0或D. 0或1【答案】C【解析】【分析】根据程序框图，转化为条件函数进行计算即可．【详解】程序对应的函数为y，若x≤0，由y＝1得e x＝1，得x＝0，满足条件．若x＞0，由y＝2﹣lnx＝1，得lnx＝1，即x＝e，满足条件．综上x＝0或e，故选：C．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．6.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C【解析】【分析】求出，即可求出此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数．【详解】∵，，所以，所以此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为．故选：C．【点睛】本小题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．7.若函数的图象过点，则（）A. 点是的一个对称中心B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是【答案】D【解析】【分析】根据函数f（x）的图象过点（0，2），求出θ，可得f（x）＝cos2x+1，再利用余弦函数的图象和性质，得出结论．【详解】由函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ）的图象过点（0，2），可得2sin2θ＝2，即sin2θ＝1，∴2θ，∴θ，故f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x＝2cos2x＝cos2x+1，当x时，f（x）＝1，故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为π，故C不正确；显然，f（x）＝cos2x+1∈[0，2]，故D正确，故选：D．【点睛】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．8.函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】计算函数与y轴的交点坐标，再判断函数的单调性，即可判断出答案．【详解】当x ＝0时，y ＝4﹣1＝3＞0，排除C ，当>x>0时，是单调递减的，当x>时，导函数为-4sinx-<0,所以也是单调递减的，又函数连续，故当x>0时，函数时递减的，故选A.故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的判断，一般从奇偶性，单调性，特殊值等方面判断，属于基础题． 9.已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（ ） A. B. C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由函数的解析式可得f （x ）在（-1，0）上为减函数，结合函数的奇偶性可得f （x ）在（0，1）上为增函数，又由α，β为锐角三角形的两个内角分析可得sin α＞sin （90°﹣β）＝cos β，结合函数的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，当x ∈（﹣1，0）时，f （x ）＝2﹣x＝（）x，则f （x ）在（0，1）上为减函数， 又由f （x ）为偶函数，则f （x ）在（0，1）上为增函数，若α，β为锐角三角形的两个内角，则α+β＞90°，则α＞90°﹣β，则有sin α＞sin （90°﹣β）＝cos β， 则有f （ sin α）＞f （cos β）， 故选：B ．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，涉及三角函数的诱导公式的运用，属于基础题． 10.已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得,，∴，由二次函数知，当上式取最小值时，，由题意可得，求得，∴，故选：C ．考点：数量积表示两个向量的夹角.11.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则（）A. 33B. 31C. 17D. 15【答案】D【解析】【分析】由简单的合情推理得：是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，得解．【详解】设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n），则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n﹣1），则有P（n）＝2P（n﹣1）+1，则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1]，又P（1）＝1，即是以P（1）+1＝2为首项，2为公比的等比数列，由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n，所以P（n）＝2n﹣1，即P（4）＝24﹣1＝15，故选：D．【点睛】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式，属中档题．12.定义：区间，，，的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】B【解析】【分析】当m＞0时，∵m⇔0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，根据韦达定理以及f（1），f（2）的符号，判断x1，x2与1和2的大小可得不等式的解集，再根据区间长度的定义可得．【详解】当m＞0时，∵0⇔0，令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，则0，且x1+x23，∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0，f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0，∴1＜x1＜2＜x2，所以不等式的解集为（1，x1]∪（2，x2]，∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝33，故选：B．【点睛】本题考查分式不等式的解法，涉及对新定义区间长度的理解，属于难题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】[﹣3，3]【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.详解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得，，化目标函数为直线方程的斜截式.由图可知，当直线过，直线在y轴上的截距最大，z最小，最小值为；当直线过时，直线在y轴上的截距最小，z最大，最大值为.的取值范围为[﹣3，3].故答案为：[﹣3，3].点睛：利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.14.在等比数列中，，，为的前项和.若，则__________．【答案】10【解析】【分析】根据题意，由等比数列的通项公式，分析可得q4＝8×q，解可得q的值，结合等比数列的前n项和公式可得S n2n﹣1＝1023，解可得n的值，即可得答案．【详解】根据题意，等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝8a2，则有q4＝8×q，解可得q＝2，若S n＝1023，则有2n﹣1＝1023，解可得：n＝10；故答案为：10．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式的应用，关键是掌握等比数列前n项和的形式，属于基础题．15.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线及其准线依次相交于、、三点（其中在、之间且在第一象限），若，，则__________．【答案】2【解析】【分析】由已知|MN|＝2|MF|可得MN所在直线当斜率，写出MN所在直线方程，与抛物线方程联立，求得G的横坐标，再由抛物线焦点弦长公式求解p．【详解】如图，过M作MH⊥l＝H，由|MN|＝2|MF|，得|MN|＝2|MH|，∴MN所在直线斜率为，MN所在直线方程为y（x），联立，得12x2﹣20px+3p2＝0．解得：，则|GF|，即p＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是中档题．16.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得；②翻折过程中，的长是定值；③若，则；④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.【答案】②④【解析】【分析】对于①，取AD中点E，连接EC交MD与F，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，对于②，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE AB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC是定值．对于③，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，可得球半径为1，表面积是4π．【详解】对于①：如图1，取AD中点E，连接EC交MD与F，则NE∥AB1，NF∥MB1，如果CN⊥AB1，可得到EN⊥NF，又EN⊥CN，且三线NE，NF，NC共面共点，不可能，故①错．对于②：如图1，可得由∠NEC＝∠MAB1（定值），NE AB1（定值），AM＝EC（定值），由余弦定理可得NC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC，所以NC是定值，故②正确．对于③：如图2，取AM中点O，连接B1O，DO，易得AM⊥面ODB1，即可得OD⊥AM，从而AD＝MD，显然不成立，可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时，三棱锥B1﹣AMD的体积最大，易得AD中点H就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心，球半径为1，表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．【点睛】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了反证法的应用，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，已知，，.（1）求角的大小和的长；（2）设的角平分线交于，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan C，结合范围C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值．（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，可求∠DBC，可得S△DBC，利用三角形的面积公式可求S△BCE S△CED，代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，即可解得S△CED的值．【详解】（1）∵由题意可得：sin C+1﹣2sin20，∴sin C+cos（A+B）＝0，又A+B＝π﹣C，∴sin C﹣cos C＝0，可得tan C，∵C∈（0，π），∴C，∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣21，解得：BD＝1，（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，∴∠DBC，∴S△DBC BD•BC，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠BCE＝∠DCE，在△CEB和△CED中，S△BCE，S△CED，可得：，∴S△BCE S△CED，∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，（1）S△CED，∴S△CED（2）＝23．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中档题．18.如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）过点C作CO⊥AA1，则CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能证明AA1⊥BC．（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．【详解】（1）过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，所以为平面的一条法向量，，，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）这样的直线不存在.详见解析【解析】【分析】（1）设，，则，，且，通过，转化求解即可．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，则其充要条件为，则点Q的坐标为（x1+x2，y 1+y2）．由此利用韦达定理结合点Q在曲线上，得到关于k的方程求解即可．【详解】（1）设，，则，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得，②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】（1）（2）每株“相近”的株数的最大值为5.（3）的分布列为：一株产量的期望为【解析】【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（2）先根据题意求得产量的范围，再根据回归方程解得m的范围即可；（3）根据相邻株数的取值计算对应的产量，从而得出分布列和数学期望．【详解】（1）由题意得：，，∴，，所以，，所以.（2）设每株的产量为，根据题意：，解得，令，解得，所以每株“相近”的株数的最大值为5.（3）由回归方程得：当时，，当时，，当时，，当时，，由题意得：，，，，所以的分布列为：所以，所以一株产量的期望为.【点睛】本题考查了线性回归方程的计算及应用，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．21.已知函数.（1）求函数的极值；（2）设函数，若存在，使，证明：.【答案】（1）函数的极小值为，无极大值（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；（2）求出a，问题转化为证明lnx1+lnx2＜2（1），即ln•2，不妨设x1＞x2，t1，即证lnt•2，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）的定义域为，，令，所以，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以函数的极小值为，无极大值.（2），当时，由于，所以，，即，当时，由于，所以，，即，当时，，综上，，故在单调递增，故只须证明，即证，由，可知，故，即证，，，也就是，，，.不妨设，，即证，，即证，设，，故在单调递增.因而，即，因此结论成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.22.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线与直线交点的极坐标（，）.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出极坐标系下的结果．【详解】（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为.（2）的普通方程为，联立，解得或，所以交点的极坐标为，.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）若，设，，且满足，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的最值，即可求出t的值，（2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．【详解】（1）由得，所以，即.（2）因为，由，知=，当且仅当，即时取等号.所以.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，属于基础题．。
山东省潍坊市高三数学一模考试试卷附解析
11.【解析】【解答】由题意知：
，故
，
∴
，A 不符合题意；
，B 符合题意；
，C 符合题意；
， 故答案为：BC
，显然
，D 不符合题意；
【分析】 根据题中给出的图形，结合题意找到各层球的数列与层数的关系，得到 各个选项进行逐一的判断即可．
， 由此对
12.【解析】【解答】因为
所以 A 符合题意.
又
可化为
6.【解析】【解答】原式
，所以展开式中含
中 项为
，和
中
，这两项的系数和为 11+1=12.
故答案为：C
的项包含 的项为
【分析】 由题意利用二项展开式的通项公式，得出结论． 7.【解析】【解答】由题意知：
，而
，
∴
在定义域内单调减，故
，那么 B 不符合题意；
，A 不符合题意；
在第一象限的单调递增知 定义域内单调递减，即 故答案为：D
，求导列出不等式，求出 z 的范围，即可判断选项 D． 三、填空题
13.【解析】【解答】由题意可得， 是正方形的对角线长，故
，
又
所以
.
故答案为： .
即可判 ，
【分析】由
得
.
14.【解析】【解答】由于正弦函数 故答案为：sinx
为奇函数，且存在极值
【分析】 根据题意，分析可得 f〔x〕可以为正弦函数，即可得答案．
交于点
为坐标原点，且
，那么
________．
16.某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出奉献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如下列
图，其中扇形
的半径为 10，
，假设按此方案设计，工
2019届山东省潍坊市高三一模考试数学(理)试卷(word版)
潍坊市高考模拟考试理科数学本试卷共4页.满分150分.注意事项：1. 答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3. 考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B2.若复数满足，则的虚部为（）A. 5B.C.D. -5【答案】C3.已知是两个不同平面，直线，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A4.已知双曲线：的一条渐近线方程为，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C5.执行下边的程序框图，如果输出的值为1，则输入的值为（）A. 0B.C. 0或D. 0或1【答案】C6.某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A. 150B. 200C. 300D. 400【答案】C7.若函数的图象过点，则（）A. 点是的一个对称中心B. 直线是的一条对称轴C. 函数的最小正周期是D. 函数的值域是【答案】D8.函数的图象可能是（）A. B. C. D.【答案】A9.已知偶函数，当时，，若，为锐角三角形的两个内角，则（）A. B.C. D.【答案】B10.已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C11.如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱.已知起始柱上套有个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面.现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动.若将个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为，则（）A. 33B. 31C. 17D. 15【答案】D12.定义：区间，，，的长度均为，若不等式的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为，则（）A. 当时，B. 当时，C. 当时，D. 当时，【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若，满足约束条件，则的最大值是__________．【答案】[﹣3，3]14.在等比数列中，，，为的前项和.若，则__________．【答案】1015.已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线及其准线依次相交于、、三点（其中在、之间且在第一象限），若，，则__________．【答案】216.如图，矩形中，为的中点，将沿直线翻折成，连结，为的中点，则在翻折过程中，下列说法中所有正确的序号是_______.①存在某个位置，使得；②翻折过程中，的长是定值；③若，则；④若，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积是.【答案】②④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.的内角、、的对边分别为，，，点为的中点，已知，，.（1）求角的大小和的长；（2）设的角平分线交于，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得tan C，结合范围C∈（0，π），可求C的值，由余弦定理可得BD的值．（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，可求∠DBC，可得S△DBC，利用三角形的面积公式可求S△BCE S△CED，代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，即可解得S△CED的值．【详解】（1）∵由题意可得：sin C+1﹣2sin20，∴sin C+cos（A+B）＝0，又A+B＝π﹣C，∴sin C﹣cos C＝0，可得tan C，∵C∈（0，π），∴C，∴在△BCD中，由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣21，解得：BD＝1，（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2，∴∠DBC，∴S△DBC BD•BC，∵CE是∠BCD的角平分线，∴∠BCE＝∠DCE，在△CEB和△CED中，S△BCE，S△CED，可得：，∴S△BCE S△CED，∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD，（1）S△CED，∴S△CED（2）＝23．【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和数形结合思想，考查了转化思想的应用，属于中档题．18.如图，三棱柱中，，，平面平面.（1）求证：；（2）若，直线与平面所成角为，为的中点，求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）过点C作CO⊥AA1，则CO⊥平面AA1B1B，CO⊥OB，推导出Rt△AOC≌Rt△BOC，从而AA1⊥OB，再由AA1⊥CO，得AA1⊥平面BOC，由此能证明AA1⊥BC．（2）以O为坐标原点，OA，OB，OC所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．【详解】（1）过点作，垂足为，因为平面平面，所以平面，故，又因为，，，所以，故，因为，所以，又因为，所以平面，故.（2）以为坐标原点，，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，因为平面，所以是直线与平面所成角，故，所以，，，，，，，，设平面的法向量为，则，所以，令，得，因为平面，所以为平面的一条法向量，，，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.如图，点为圆：上一动点，过点分别作轴，轴的垂线，垂足分别为，，连接延长至点，使得，点的轨迹记为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点，分别位于轴与轴的正半轴上，直线与曲线相交于，两点，试问在曲线上是否存在点，使得四边形为平行四边形，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）这样的直线不存在.详见解析【解析】【分析】（1）设，，则，，且，通过，转化求解即可．（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得关于x的一元二次方程，假设存在点Q，满足题意，则其充要条件为，则点Q 的坐标为（x1+x2，y1+y2）．由此利用韦达定理结合点Q在曲线上，得到关于k的方程求解即可．【详解】（1）设，，则，，由题意知，所以为中点，由中点坐标公式得，即，又点在圆：上，故满足，得.（2）由题意知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，因为，故，即①，联立，消去得：，设，，，，，因为为平行四边形，故，点在椭圆上，故，整理得，②，将①代入②，得，该方程无解，故这样的直线不存在.【点睛】本题考查点的轨迹方程的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法，体现了数学转化思想方法，是中档题．20.某水果种植基地引进一种新水果品种，经研究发现该水果每株的产量（单位：）和与它“相近”的株数具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过），并分别记录了相近株数为0，1，2，3，4时每株产量的相关数据如下：（1）求出该种水果每株的产量关于它“相近”株数的回归方程；（2）有一种植户准备种植该种水果500株，且每株与它“相近”的株数都为，计划收获后能全部售出，价格为10元，如果收入（收入=产量×价格）不低于25000元，则的最大值是多少？（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果，其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为，已知该梯形地块周边无其他树木影响，若从所种的该水果中随机选取一株，试根据（1）中的回归方程，预测它的产量的分布列与数学期望.附：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，.【答案】（1）（2）每株“相近”的株数的最大值为5.（3）的分布列为：一株产量的期望为【解析】【分析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（2）先根据题意求得产量的范围，再根据回归方程解得m的范围即可；（3）根据相邻株数的取值计算对应的产量，从而得出分布列和数学期望．【详解】（1）由题意得：，，∴，，所以，，所以.（2）设每株的产量为，根据题意：，解得，令，解得，所以每株“相近”的株数的最大值为5.（3）由回归方程得：当时，，当时，，当时，，当时，，由题意得：，，，，所以的分布列为：所以，所以一株产量的期望为.【点睛】本题考查了线性回归方程的计算及应用，离散型随机变量的分布列和数学期望，属于中档题．21.已知函数.（1）求函数的极值；（2）设函数，若存在，使，证明：.【答案】（1）函数的极小值为，无极大值（2）见解析【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的极值即可；（2）求出a，问题转化为证明lnx1+lnx2＜2（1），即ln•2，不妨设x1＞x2，t1，即证lnt•2，根据函数的单调性证明即可．【详解】（1）的定义域为，，令，所以，当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.所以.所以函数的极小值为，无极大值.（2），当时，由于，所以，，即，当时，由于，所以，，即，当时，，综上，，故在单调递增，故只须证明，即证，由，可知，故，即证，，，也就是，，，.不妨设，，即证，，即证，设，，故在单调递增.因而，即，因此结论成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.22.选修4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），在以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）求曲线与直线交点的极坐标（，）.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）直接利用参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用直线和曲线的位置关系的应用建立二元二次方程组，进一步求出极坐标系下的结果．【详解】（1）曲线化为普通方程为：，由，得，所以直线的直角坐标方程为.（2）的普通方程为，联立，解得或，所以交点的极坐标为，.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，二元二次方程的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23.已知函数的最大值为.（1）求实数的值；（2）若，设，，且满足，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）通过讨论x的范围化简函数的解析式，根据函数的性质求出函数的最值，即可求出t的值，（2）根据三角不等式和基本不等式的性质求出g（m+2）+g（2n）≥2．【详解】（1）由得，所以，即.（2）因为，由，知=，当且仅当，即时取等号.所以.【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质，属于基础题．。
山东省潍坊市高三数学一模试卷 理(含解析)
2015年山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•潍坊一模）集合M={x|（）x≥1}，N={x|y=lg（x+2）}，则M∩N等于（）A．[0，+∞）B．（﹣2，0] C．（﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2）∪[0，+∞）【考点】：交集及其运算．【专题】：集合．【分析】：求出M和N，再利用两个集合的交集的定义求出M∩N．【解析】：解：因为集合M={x|≥1}={x|≥}，所以M={x|x≤0}，N={x|y=lg（x+2）}={x|x＞﹣2}，所以A∩B={x|x≤0}∩{x|x＞﹣2}={x|﹣2＜x≤0}，故选：B．【点评】：本题考查解指数不等式、求对数的定义域以及集合的交集的定义与求算，属基础题．2．（5分）（2015•潍坊一模）设复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，则的虚部为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【专题】：数系的扩充和复数．【分析】：利用复数的对称性求出z2，然后利用复数的乘除运算法则化简复数求出虚部即可．【解析】：解：复数z1，z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1﹣2i，z2=﹣1﹣2i，则====．复数的虚部为：．故选：D．【点评】：本题考查复数的基本运算，复数的对称性，乘除运算，基本知识的考查．3．（5分）（2015•潍坊一模）如果双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x ﹣y+=0平行，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．3【考点】：双曲线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：渐近线与直线3x﹣y+=0平行，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．【解析】：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x﹣y+=0平行∴双曲线的渐近线方程为y=±x∴=，得b2=3a2，c2﹣a2=3a2，此时，离心率e==2．故选：C．【点评】：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．4．（5分）（2015•潍坊一模）已知函数y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）=0，当x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1，则函数）y=f（x）的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：作图题．【分析】：利用已知条件判断函数的奇偶性，通过x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1判断函数的图象，然后判断选项即可．【解析】：解：因为函数y=f（x）的定义域为{x|x≠0}，满足f（x）+f（﹣x）=0，所以函数是奇函数，排除C、D．又函数当x＞0时，f（x）=1nx﹣x+1，当x=10时，y=1﹣10+1=﹣8，就是的图象在第四象限，A正确，故选A．【点评】：本题考查函数的图象的判断，注意函数的奇偶性以及函数的图象的特殊点的应用，考查判断能力．5．（5分）（2015•潍坊一模）某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下4 8 1250岁以上16 2 18合计20 10 30则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为（）附：参考公式和临界值表：Χ2=K 2，.706 3，.841 6，.636 10，.828P（Χ2≥k）0，.10 0，.05 0，.010 0，.001A．90% B．95% C．99% D．99.9%【考点】：独立性检验．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：计算观测值，与临界值比较，即可得出结论．【解析】：解：设H0：饮食习惯与年龄无关．因为Χ2==10＞6.635，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．故选：C．【点评】：本题考查独立性检验，考查学生利用数学知识解决实际问题，利用公式计算观测值是关键．6．（5分）（2015•潍坊一模）下列结论中正确的是（）①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是∃x∈（0，2），3x≤x3；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.8，则P（0＜ξ＜1）=0.2；④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7=21．A．①②B．②③C．③④D．①④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：综合题；推理和证明．【分析】：对四个命题分别进行判断，即可得出结论．【解析】：解：①命题：∀x∈（0，2），3x＞x3的否定是∃x∈（0，2），3x≤x3，正确；②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α或l与α相交，故不正确；③若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），且P（ξ＜2）=0.8，则P（ξ＞2）=0.2，P（0＜ξ＜1）=0.5﹣0.2=0.3，不正确；④等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=3，则S7==7a4=21，正确．故选：D．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，考查学生分析解决问题的能力，知识综合性强．7．（5分）（2015•潍坊一模）如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC=3，BD=5，sin∠ABC=，则CD的长为（）A．B．4 C．2D．5【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件利用诱导公式求得cos∠CBD的值，再利用余弦定理求得CD的值．【解析】：解：由题意可得sin∠ABC==sin（+∠CBD）=cos∠CBD，再根据余弦定理可得CD2=BC2+BD2﹣2BC•BD•cos∠CBD=27+25﹣2×3×5×=22，可得CD=，故选：B．【点评】：本题主要考查诱导公式、余弦定理，属于基础题．8．（5分）（2015•潍坊一模）某几何体的三视图是如图所示，其中左视图为半圆，则该几何体的体积是（）A．π B．C．π D．π【考点】：由三视图求面积、体积．【专题】：计算题；空间位置关系与距离．【分析】：根据几何体的三视图，得出该几何体是平放的半圆锥，结和数据求出它的体积即可．【解析】：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是平放的半圆锥，且圆锥的底面半径为1，母线长为3，∴圆锥的高为=2；∴该几何体的体积为V半圆锥=×π×12×2=π．故选：A．【点评】：本题考查了利用空间几何体的三视图的求体积的应用问题，是基础题目．9．（5分）（2015•潍坊一模）已知抛物线方程为y2=8x，直线l的方程为x﹣y+2=0，在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1，P到l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（）A．2﹣2 B．2C．2﹣2 D．2+2【考点】：抛物线的简单性质；抛物线的标准方程．【专题】：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x﹣y+2=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．【解析】：解：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x﹣y+2=0的垂线，此时d1+d2最小，∵F（2，0），则d1+d2=﹣2=2﹣2，故选：C．【点评】：本题主要考查了抛物线的简单性质，点到直线距离公式的应用，正确运用抛物线的定义是关键．10．（5分）（2015•潍坊一模）对于实数m，n定义运算“⊕”：m⊕n=，设f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1），且关于x的方程f（x）=a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是（）A．（﹣，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）【考点】：函数的零点与方程根的关系．【专题】：综合题；函数的性质及应用．【分析】：由新定义，可以求出函数的解析式，进而求出x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，实数m的取值范围，及三个实根之间的关系，进而求出x1•x2•x3的取值范围．【解析】：解：由2x﹣1≤x﹣1，得x≤0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=﹣（2x﹣1）2+2（2x﹣1）（x﹣1）﹣1=﹣2x，由2x﹣1＞x﹣1，得x＞0，此时f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1）=（x﹣1）2﹣（2x﹣1）（x﹣1）=﹣x2+x，∴f（x）=（2x﹣1）⊕（x﹣1）=，作出函数的图象可得，要使方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x2＜＜x3＜1，且x2和x3，关于x=对称，∴x2+x3=2×=1．则x2+x3≥2，0＜x2x3＜，等号取不到．当﹣2x=时，解得x=﹣，∴﹣＜x1＜0，∵0＜x2x3≤，∴﹣＜x1•x2•x3＜0，即x1•x2•x3的取值范围是（﹣，0），故选：A．【点评】：本题考查根的存在性及根的个数判断，根据已知新定义，求出函数的解析式，并分析出函数图象是解答的关键．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．. 11．（5分）（2015•潍坊一模）|x+3|+|x﹣1|≥6的解集是{x|x≤﹣4或x≥2}．【考点】：绝对值不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：根据绝对值的意义求得不等式|x+2|+|x﹣1|≤3的解集．【解析】：解：由于|x+3|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到﹣3、1对应点的距离之和，而2和﹣4对应点到﹣3、1对应点的距离之和正好等于6，故|x+3|+|x﹣1|≥6的解集是{x|x≤﹣4或x≥2}，故答案为：{x|x≤﹣4或x≥2}．【点评】：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于基础题．12．（5分）（2015•潍坊一模）运行右面的程序框图，如果输入的x的值在区间[﹣2，3]内，那么输出的f（x）的取值范围是[，9]．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序，可得其功能是求分段函数f（x）=的值，根据实数x的取值范围即可求出函数的值域．【解析】：解：模拟执行程序，可得其功能是求分段函数f（x）=的值，所以，当x∈[﹣2，2]时，f（x）=2x∈[，4]，当x∈（2，3]时，f（x）=x2∈（4，9]．故如果输入的x的值在区间[﹣2，3]内，那么输出的f（x）的取值范围是[，9]．故答案为：[，9]．【点评】：本题考查了程序框图的运行过程的问题，解题时应读懂框图，得出分段函数，从而做出正确解答，属于基础题．13．（5分）（2015•潍坊一模）若变量x，y满足约束条件，且z=x+3y的最小值为4，则k=1．【考点】：简单线性规划．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【解析】：解：由z=x+3y，得，作出不等式对应的可行域，平移直线，由平移可知当直线，经过点B时，直线，的截距最小，此时z取得最小值为4，即x+3y=4，由，解得，即B（1，1），B同时也在直线y=k上，则k=1，故答案为：1【点评】：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．14．（5分）（2015•潍坊一模）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察下列等式：．按照此规律第n个等式的等号右边的结果为2n2+n．【考点】：归纳推理．【专题】：推理和证明．【分析】：由[x]表示不超过x的最大整数，分别研究等式的左边和右边，归纳出规律即可求出第n个等式的等号右边的结果．【解析】：解：因为[x]表示不超过x的最大整数，所以=1，=2，…，因为等式：，，，…，所以第1个式子的左边有3项、右边1+1+1=1×3=3，第2个式子的左边有5项、右边2+2+2+2+2=2×5=10，第3个式子的左边有7项、右边3×7=21，则第n个式子的左边有（2n+1）项、右边=n（2n+1）=2n2+n，故答案为：2n2+n．【点评】：本题考查了归纳推理，难点在于发现其中的规律，考查观察、分析、归纳能力．15．（5分）（2015•潍坊一模）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，P为以点A为圆心，以AB为半径的圆弧上一点，若=x+y（xy≠0），则以下说法正确的是：①④（请将所有正确的命题序号填上）①若点E和A重合，点P和B重合，则x=﹣1，y=1；②若点E是线段AB的中点，则点P是圆弧的中点；③若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则x+y=3；④若点E与B重合，点P为上任一点，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分．【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：数形结合；转化思想；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，①，若点E和A重合，点P和B重合，可求得E、P的坐标及向量=（0，﹣1），=（1，0），利用=x+y（xy≠0）及向量的坐标运算可求得x=﹣1，y=1，从而可判断①；②，若点E是线段AB的中点，点P是圆弧的中点，同理可求得，此方程组无解，从而可判断②；③，若点E和B重合，且点P为靠近D点的圆弧的三等分点，可求得x+y=，可判断③；④，若点E与B重合，点P（a，b）为上任一点，=x+y⇒（1，1）=x（1，﹣1）+y（a，b），利用a2+b2=1可得：+=1，整理得：﹣x2=1，从而可判断④．【解析】：解：以AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，如图，则A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），=（1，1）．因为=x+y（xy≠0），所以，对于①，若点E和A重合，点P和B重合，则E（0，0），P（1，0），=（0，﹣1），=（1，0），=x+y⇒（1，1）=x（0，﹣1）+y（1，0），即，故①正确；则x=﹣1，y=1；对于②，若点E是线段AB的中点，则E（，0），=（，﹣1）；若点P是圆弧的中点，则P（cos45°，sin45°），即P（，），=（，），=x+y⇒（1，1）=x（，﹣1）+y（，），即，此方程组无解，故②错误；对于③，若点E和B重合，则E（1，0），=（1，﹣1）；又点P为靠近D点的圆弧的三等分点，则P（cos60°，sin60°），即P（，），=（，），=x+y⇒（1，1）=x（1，﹣1）+y（，），即，解得，则x+y=，故③错误；对于④，若点E与B重合，则E（1，0），=（1，﹣1）；又点P（a，b）为上任一点，则=（a，b）（0≤a≤1，0≤b≤1，a2+b2=1），=x+y⇒（1，1）=x（1，﹣1）+y（a，b），即，由a2+b2=1得：+=1，整理得：﹣x2=1，则动点（x，y）的轨迹为双曲线的一部分，故④正确．综上所述，说法正确的是①④，故答案为：①④．【点评】：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查向量的数量积的坐标运算，考查等价转化思想、方程思想与运算求解能力、作图能力，属于难题．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12分）（2015•潍坊一模）已知函数f（x）=sin（2wx﹣）﹣4sin2wx+2（w＞0），其图象与x轴相邻两个交点的距离为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求当m取得最小值时，g（x）在[﹣，]上的单调增区间．【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】：三角函数的图像与性质．【分析】：（1）由条件利用三角函数的恒等变换求得f（x）=sin（2wx+），再根据正弦函数的周期性求出ω的值，可得函数f（x）的解析式．（2）由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），求得g（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范围可得函数的增区间，再结合合x∈[﹣，]，进一步确定g（x）的增区间．【解析】：解：（1）函数f（x）=sin（2wx﹣）﹣4sin2wx+2（w＞0）=sin2wx﹣cos2wx ﹣4•+2=sin2wx+cos2wx=sin（2wx+），根据图象与x轴相邻两个交点的距离为，可得函数的最小正周期为2×=，求得ω=1，故函数f（x）=sin（2x+）．（2）将f（x）的图象向左平移m（m＞0）个长度单位得到函数g（x）=sin[2（x+m）+]=sin（2x+2m+）的图象，再根据g（x）的图象恰好经过点（﹣，0），可得sin（2m﹣）=0，故m=，g（x）=sin（2x+）．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，故函数g（x）的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈z．再结合x∈[﹣，]，可得增区间为[﹣，﹣]、[，]．【点评】：本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的周期性和求法，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．17．（12分）（2015•潍坊一模）如图，已知平行四边形ABCD与直角梯形ABEF所在的平面互相垂直，其中BE∥AF，AB⊥AF，AB=BE=AF，BC=AB，∠CBA=，P为DF的中点．（1）求证：PE∥平面ABCD；（2）求平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值．【考点】：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【专题】：空间位置关系与距离；空间向量及应用．【分析】：（I）如图所示，取AD的中点M，连接MP，MB．又P为DF的中点．利用三角形的中位线定理可得，验证，可得，四边形BMPE为平行四边形，得到PE∥BM，可得PE∥平面ABCD；（II）连接AC，在△ABC中，由余弦定理可得AC=AB，AC⊥AB．由平面ABCD⊥平面ABEF，可得AC⊥平面ABEF．分别以AB，AF，AC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可设AB=1，设平面DEF的法向量为=（x，y，z），则，可得．取平面ABCD的一个法向量=（0，1，0），利用=，即可得出．【解析】：（I）证明：如图所示，取AD的中点M，连接MP，MB．又P为DF的中点．∴，又∵，∴，∴四边形BMPE为平行四边形，∴PE∥BM，而PE⊄平面ABCD，BM⊂平面ABCD，∴PE∥平面ABCD；（II）解：连接AC，在△ABC中，BC=AB，∠CBA=，由余弦定理可得：AC2=BC2+AB2﹣2BC•ABcos∠CBA==AB2，∴AC=AB，∴△ABC是等腰直角三角形，AC⊥AB．∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴AC⊥平面ABEF．分别以AB，AF，AC为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=1，则A（0，0，0），B（1，0，0），E（1，1，0），C（0，0，1），D（﹣1，0，1），F （0，2，0）．∴=（2，1，﹣1），=（1，2，﹣1）．设平面DEF的法向量为=（x，y，z），则，∴，令x=1，则y=1，z=3．∴=（1，1，3）．取平面ABCD的一个法向量=（0，1，0），则===．∴平面DEF与平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为．【点评】：本题考查了线面平行与垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形的判定与性质定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用线面垂直的性质定理、向量垂直与数量积的关系及平面的法向量的夹角求出二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（12分）（2015•潍坊一模）某校从参加某次数学能力测试的学生中中抽查36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率直方图如图所示，其中成绩分组间是：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120]（1）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列条件的概率：（1）有且仅有1名学生成绩不低于110分；（2）成绩在[90，100）内至多1名学生；（2）在成绩是[80，100）内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在[90，100）内的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望EX．【考点】：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【专题】：应用题；概率与统计．【分析】：（1）根据频率分布直方图，求出a的值，计算成绩在各分数段内的学生数，计算满足条件的事件的概率即可；（2）根据题意得出X的可能取值，计算对应的概率，求出X的分布列与数学期望即可．【解析】：解：（1）由频率分布直方图，得；10a=1﹣（++）×10=，解得a=；∴成绩在[80，90）分的学生有36××10=3人，成绩在[90，100）分的学生有36××10=6人，成绩在[100，110）分的学生有36××10=18人，成绩在[110，120）分的学生有36××10=9人；记事件A为“抽取3名学生中同时满足条件①②的事件”，包括事件A1=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，0人在[90，100）分之间”，事件A2=“抽取3名学生中，1人成绩不低于110分，1人在[90，100）分之间”，且A1、A2是互斥事件；∴P（A）=P（A1+A2）=P（A1）+P（A2）=+=+=；（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3；∴P（X=0）==，p（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==；∴X的分布列为X 0 1 2 3P数学期望为EX=0×+1×+2×+3×=2．【点评】：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了互斥事件的概率以及离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是综合性题目．19．（12分）（2015•潍坊一模）已知各项为正数的等比数列数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式bn=（n∈N*），若S3=b5+1，b4是a2和a4的等比中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列{an•bn}的前n项和为Tn．【考点】：数列的求和；数列递推式．【专题】：等差数列与等比数列．【分析】：（1）由已知得b5=6，b4=4，，，从而q=2，a1=1，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）当n为偶数时，利用分组求和法和错位相减法能求出+=（n ﹣）•2n+．当n为奇数，且n≥3时，Tn=Tn﹣1+（n+1）•2n﹣1==+，由此能求出Tn．【解析】：解：（1）∵数列{bn}的通项公式bn=（n∈N*），∴b5=6，b4=4，设各项为正数的等比数列数列{an}的公比为q，q＞0，∵S3=b5+1=7，∴，①∵b4是a2和a4的等比中项，∴，解得，②由①②得3q2﹣4q﹣4=0，解得q=2，或q=﹣（舍），∴a1=1，．（2）当n为偶数时，Tn=（1+1）•20+2•2+（3+1）•22+4•23+（5+1）•24+…+[（n﹣1）+1]•2n﹣2+n•2n﹣1=（20+2•2+3•22+4•23+…+n•2n﹣1）+（20+22+…+2n﹣2），设Hn=20+2•2+3•22+4•23+…+n•2n﹣1，①2Hn=2+2•22+3•23+4•24+…+n•2n，②①﹣②，得﹣Hn=20+2+22+23+…+2n﹣1﹣n•2n=﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1，∴Hn=（n﹣1）•2n+1，∴+=（n﹣）•2n+．当n为奇数，且n≥3时，Tn=Tn﹣1+（n+1）•2n﹣1==+，经检验，T1=2符合上式，∴Tn=．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想、分组求和法和错位相减法的合理运用．20．（13分）（2015•潍坊一模）已知点M是圆心为C1的圆（x﹣1）2+y2=8上的动点，点C2（1，0），若线段MC2的中垂线交MC1于点N．（1）求动点N的轨迹方程；（2）若直线l：y=kx+t是圆x2+y2=1的切线且l与N 点轨迹交于不同的两点P，Q，O为坐标原点，若•=μ且≤u≤，求△OPQ面积的取值范围．【考点】：轨迹方程；平面向量数量积的运算；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：（1）利用椭圆的定义，可得动点N的轨迹是以C1，C2为焦点，以2为长轴长的椭圆，即可求出动点N的轨迹方程；（2）利用韦达定理确定|PQ|的范围，即可求出△OPQ面积的取值范围．【解析】：解：（1）由已知得|MN|=|NC2|，则|NC1|+|NC2|=|NC1|+|MN|=2＞|C1C2|=2，故动点N的轨迹是以C1，C2为焦点，以2为长轴长的椭圆，a=，c=1，b2=1，动点N的轨迹方程为+y2=1；（2）∵直线l：y=kx+t是圆x2+y2=1的切线，∴=1，∴t2=k2+1，直线l：y=kx+t代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2﹣2=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则△=8k2＞0可得k≠0．∴x1+x2=﹣，x1x2=，∴y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=，∵t2=k2+1，∴x1x2=，y1y2=，∴•=μ=x1x2+y1y2=，∵≤μ≤，∴≤≤，∴≤k2≤1，∵|PQ|=•=2令λ=k4+k2，∵≤k2≤1∴λ∈[，2]．|PQ|==2•在[，2]上单调递增，∴≤|PQ|≤，∵直线PQ是圆x2+y2=1的切线，∴O到PQ的距离为1，∴S△OPQ=|PQ|，即≤|PQ|≤]．故△OPQ面积的取值范围是[，]．【点评】：本题考查椭圆的定义域方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用韦达定理是关键．21．（14分）（2015•潍坊一模）已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（1）若f（x）无极值点，求a的取值范围；（2）设g（x）=x+﹣（lnx）2，当a取（1）中的最大值时，求g（x）的最小值；（3）证明不等式：＞ln（n∈N*）．【考点】：不等式的证明；利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】：综合题；导数的综合应用；推理和证明．【分析】：（1）求导函数，函数f（x）无极值，等价于方程x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根，由此即可求a的取值范围；（2）先证明x＞0时，|x﹣|≥|2lnx|=|lnx2|，再换元，即可求函数g（x）的最小值；（3）先证明＞ln，再利用放缩法，即可得到结论．【解析】：（1）解：求导函数，可得f′（x）=，∵函数f（x）无极值，∴方程x2﹣ax+1=0在（0，+∞）上无根或有唯一根，∴方程a=x+在（0，+∞）上无根或有唯一根，又x+≥2（x=1取等号），故（x+）min=2，∴a≤2；（2）解：a=2时，f（x）=x﹣﹣2lnx，g（x）=x+﹣（lnx）2，由（1）知，f（x）在（0，+∞）上是增函数，当x∈（0，1）时，f（x）=x﹣﹣2lnx＜f（1）=0，即x﹣＜2lnx＜0；当x∈（1，+∞）时，f（x）=x﹣﹣2lnx＞f（1）=0，即x﹣＞2lnx＞0；∴x＞0时，|x﹣|≥|2lnx|=|lnx2|，令x2=t＞0，∴|﹣|≥|lnt|，平方得t+﹣2≥（lnt）2，∴t＞0时，t+﹣2≥（lnt）2成立，当且仅当t=1时取等号，∴当x=1时，函数g（x）取最小值2；（3）证明：由上知，x＞1时，x+﹣（lnx）2＞2，∴x＞1时，﹣＞lnx成立，令x=，得﹣＞ln，即＞ln，∴不等式：＞ln+…+ln＞ln+…+ln=ln（2n••…•）=ln即＞ln（n∈N*）．【点评】：本题考查导数知识的运用，函数函数的单调性与极值，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
【附15套精选模拟试卷】山东省潍坊市2020届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试卷含解析
山东省潍坊市2020届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数f （x ）=x 2-ln|x|，则函数y=f （x ）的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．2．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n na aa L =⨯⨯⨯∏（即n∏表示数列{}na 的前n 项之积），则891011,,,∏∏∏∏中值最大的是（ ）A ．8∏B ．9∏C ．10∏D ．11∏3．函数23420182019()(1...)cos 223420182019x x x x x f x x x =+-+-+-+在区间[3,4]-上零点的个数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．84．函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．23 B ．1 C ．43 D ．2236．若函数()()2ln 1f x x ax x =++-的图象不经过第四象限，则正实数a 的取值范围为( )A ．[)1,+∞B ．1,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 7．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，60A =︒，3a =4b =，则B =（ ）A ．30B =︒或150B =︒ B ．150B =︒C ．30B =︒D ．60B =︒8．过双曲线2213y x -=的右支上一点P 分别向圆1C ：22(2)4x y ++=和圆2C ：22(2)1x y -+=作切线，切点分别为,M N ，则22||||PM PN -的最小值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)...(2018)f f f f ++++=（ ）A ．50B ．2C ．0D ．-201810．若变量x ，y 满足约束条件3123x y x y x y +⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩…，则yz x =的最大值为（ ）A ．4B ．2C ．12D ．5411．已知直线a ，b 和平面α，若a α⊂，b α⊄，则“a b ⊥rr”是“b α⊥”的（ ）． A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12． “函数2()2(1)3f x x a x =--++在区间(,2]-∞上单调递增”是“4a ≤-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市2020届高三数学第一次模拟考试 理(潍坊市一模,含解析)新人教B版
20 1 3年高考模拟考试数 学（理工农医类）本试卷共4页，分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第1卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的．1．复数31i z i +=-的共轭复数z =(A) 12i + (B)12i - (C)2i + (D)2i -【答案】B 【解析】3(3)(1)24121(1)(1)2i i i i z i i i i ++++====+--+，所以12z i =-，选B. 2．设集合{}|24x A x =≤，集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域，则A B =I (A)()1,2 (B)[]1,2 (C)[1,2) (D) (1,2]【答案】D 【解析】{}|24{2}x A x x x =≤=≤，由10x ->得1x >，即{1}B x x =>,所以{12}A B x x =<≤I ，所以选D. 3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分也非必要条件【答案】A【解析】当//αβ时，由l ⊥平面α得，l β⊥，又直线m ∥平面β，所以l m ⊥。
若l m ⊥，则推不出//αβ，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，选A.4．设随机变量~X N (3，1)，若(4)P X p >=，，则P(2<X<4)=( A)12p + ( B)l —p (C)l-2p (D)12p -【答案】C【解析】因为(4)(2)P X P X p >=<=，所以P(2<X<4)= 1(4)(2)12P X P X p ->-<=-，选C.5．设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ，则函数2()y x g x =的部分图象可以为．【答案】C【解析】'cos y x =,即()cos g x x =，所以22()cos y x g x x x ==，为偶函数，图象关于y 轴对称，所以排除A,B.当2cos 0y x x ==，得0x =或,2x k k Z ππ=+∈，即函数过原点，所以选C. 6．运行右面框图输出的S 是254，则①应为(A) n ≤5(B) n ≤6 (C)n ≤7(D) n ≤8【答案】C 【解析】本程序计算的是212(12)2222212n nn S +-=+++==--L ，由122254n +-=，得12256n +=，解得7n =。
2023年潍坊市高考一模数学(答案)
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山东省潍坊市高考数学一模试卷(理科)
山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·双鸭山月考) 已知集合，，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二下·长春期末) 复数的共轭复数为（）A .B .C .D .3. （2分）(2018·河北模拟) 朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为（）A . 14B . 16C . 18D . 204. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 已知向量满足，，，则（）A .B .C .D . 25. （2分） (2018高二下·科尔沁期末) 函数y= log2|x|的大致图象是（）A .B .C .D .6. （2分） (2018高一下·南阳期中) 如图是一个中心对称的几何图形，已知大圆半径为2，以半径为直径画出两个半圆，在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A .C .D .7. （2分）(2017·晋中模拟) 执行如图的程序框图，则输出K的值为（）A . 98B . 99C . 100D . 1018. （2分）(2017·潮南模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A .C .D . π9. （2分）不等式x+y﹣1＞0表示的区域在直线x+y﹣1=0的（）A . 左上方B . 左下方C . 右上方D . 右下方10. （2分）已知点A(-1,0),B(1,0)及抛物线y2=2x，若抛物线上点P满足|PA|=m|PB|，则m的最大值为（）A . 3B . 2C .D .11. （2分）已知函数f（x）=x3﹣3x，则函数g（x）=f（f（x））﹣1的零点个数为（）A . 3B . 5C . 7D . 912. （2分） (2018高二下·临泽期末) 点是曲线上任意一点, 则点到直线的距离的最小值是（）A . 1C . 2D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·赣州开学考) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2=4，点A、B在圆C上，且|AB|=2 ，则| + |的最小值是________．14. （1分）以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A、B为两个定点，k为正常数，||+||=K，则动点P的轨迹为椭圆；②双曲线与椭圆有相同的焦点；③方程2x2﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④和定点A（5，0）及定直线x=的距离之比为的点的轨迹方程为．其中真命题的序号为________15. （1分） (2016高二上·桐乡期中) 已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于________．16. （1分）(2017·太原模拟) 对于正整数n，设xn是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）=________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高三上·烟台期中) 如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．18. （5分）(2017·泰安模拟) 某公司有A、B、C、D四辆汽车，其中A车的车牌尾号为8，B、C两辆车的车牌尾号为2，D车的车牌尾号为3，已知在非限行日，每辆车都有可能出车或不出车．已知A、D两辆汽车每天出车的概率为，B、C两辆汽车每天出车的概率为，且四辆汽车是否出车是相互独立的．该公司所在地区汽车限行规定如下：车牌尾号0和51和62和73和84和9限行日星期一星期二星期三星期四星期五（Ⅰ）求该公司在星期二至少有2辆汽车出车的概率；（Ⅱ）设ξ表示该公司在星期三和星期四两天出车的车辆数之和，求ξ的分布列和数学期望．19. （5分）(2017·石嘴山模拟) 在如图所示的五面体中，面ABCD为直角梯形，∠BAD=∠ADC= ，平面ADE⊥平面ABCD，EF=2DC=4AB=4，△ADE是边长为2的正三角形．（Ⅰ）证明：BE⊥平面ACF；（Ⅱ）求二面角A﹣BC﹣F的余弦值．20. （5分）(2017·金华模拟) 已知椭圆M：的右焦点F的坐标为（1，0），P，Q为椭圆上位于y轴右侧的两个动点，使PF⊥QF，C为PQ中点，线段PQ的垂直平分线交x轴，y轴于点A，B（线段PQ 不垂直x轴），当Q运动到椭圆的右顶点时，．（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；（Ⅱ）若S△ABO：S△BCF=3：5，求直线PQ的方程．21. （10分）(2017·泸州模拟) 设函数f（x）=ex+sinx（e为自然对数的底数），g（x）=ax，F（x）=f（x）﹣g（x）．（1）若a=2，且直线x=t（t≥0）分别与函数f（x）和g（x）的图象交于P，Q，求P，Q两点间的最短距离；（2）若x≥0时，函数y=F（x）的图象恒在y=F（﹣x）的图象上方，求实数a的取值范围．22. （10分） (2019高三上·大同月考) 在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 .（1）设点分别为曲线与曲线上的任意一点，求的最大值；（2）设直线（为参数）与曲线交于两点，且，求直线的普通方程.23. （10分）(2019·哈尔滨模拟) 已知函数 .（1）讨论在上的零点个数；（2）当时，若存在，使，求实数的取值范围.（为自然对数的底数，其值为2.71828……）参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
山东省潍坊市高三一模理科数学试卷及答案
潍坊市高考模拟考试理科数学2019．3本试卷共6页．满分150分． 注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名、考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}{}1,21xA x xB x =>=>，则A. {}0A B x x ⋂=> B. {}A B x x ⋂=>1 C. {}1A B x x ⋃=>D. A B R ⋂=2.若复数z 满足()134i z i z +=+，则的虚部为 A.5B.52C. 52-D. 5-3.设,αβ为两个不同平面，直线m α⊂，则“//αβ”是“//m β”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知双曲线()2222:10,0y x C a b a b -=>>的一条渐近线方程为2y x =，则C 的离心率为A.B.5C.2D.55.执行右边的程序框图，如果输出的y 值为1，则输入的x 的值为 A.0 B.e C.0或e D.0或16．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布()()2105,0N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为 A ．150 B ．200 C ．300D ．4007.若函数()()2sin 2cos 02f x x x πθθ⎛⎫=+⋅<<⎪⎝⎭的图象过点()0,2，则 A.点(),04y f x π⎛⎫=⎪⎝⎭是的一个对称中心 B. 直线()4x y f x π==是的一条对称轴C.函数()y f x =的最小正周期是2πD. 函数()y f x =的值域是[]0,28.函数4cos xy x e =-的图象可能是9. 已知偶函数()y f x =，当()()1,02,x x f x αβ-∈-=时，若，为锐角三角形的两个内角，则A. ()()sin sin f f αβ>B. ()()sin cos f f αβ>C. ()()cos cos f f αβ>D. ()()cos sin f f αβ>10.已知不共线向量,OA OB 夹角为()(,1,2,1,0OA OB OP t OA OQ tOB t α===-=≤)01,PQ t t ≤=在处取最小值，当0105t α<<时，的取值范围为A.03π⎛⎫⎪⎝⎭，B. 32ππ⎛⎫⎪⎝⎭，C. 223ππ⎛⎫⎪⎝⎭，D. 23ππ⎛⎫⎪⎝⎭，11．如图所示，在著名的汉诺塔问题中，有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘，三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱．已知起始柱上套有n 个圆盘，较大的圆盘都在较小的圆盘下面．现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上，规则如下：每次只能移动一个圆盘，且每次移动后，每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面，规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动．若将n 个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p (n )，则p (4)= A ．33 B ．31 C ．17 D ．15 12.定义：区间[](]()[),,,,,,a b a b a b a b 的长度均为b a -，若不等式()12012m m x x +≥≠--的解集是互不相交区间的并集，设该不等式的解集中所有区间的长度之和为l ,则A.当0m l >=时，B. 当30m l m>=时， C.当0m l <=时，D. 当30m l m<=-时， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省潍坊市高考数学一模理科试卷含答案解析
山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．22．已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为（）A．5 B．4 C．3 D．23．在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若=， =，则=（）A．+B．﹣+C．﹣D．﹣﹣4．已知函数f（x）=﹣x2+2，g（x）=log2|x|，则函数F（x）=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．5．已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．6．已知p：函数f（x）=（x﹣a）2在（﹣∞，﹣1）上是减函数，恒成立，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；③若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．18．设函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，且∀x∈R，满足f（x﹣）=f（x+），当x∈[2，3]时，f （x）=x，则当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）A．|x+4| B．|2﹣x| C．2+|x+1| D．3﹣|x+1|9．执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数K的最大值是（）A．18 B．50 C．78 D．30610．已知函数f（x）=ax+lnx﹣有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则（1﹣）2（1﹣）（1﹣）的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．观察式子，…，则可归纳出．12．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．13．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为．14．将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有种．（用数字作答）15．已知抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣1焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点B在x轴下方，若，则直线AC的方程为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx在x=处取得最值，其中ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=，求cosα17．如图所示的几何体中，四边形ABCD和四边形BCEF是全等的等腰梯形，且平面BCEF⊥平面ABCD，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G为线段AB的中点（1）求证：AC⊥BF；（2）求二面角D﹣FG﹣B（钝角）的余弦值．18．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=a，数列{b n}满足b n b n+1=3，且b1=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；b4+…+a1b2n，求T n．（Ⅱ）记T n=a n b2+a n﹣119．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见表．规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制85以及以上70分到84分60分到69分60分以下等级 A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（Ⅲ）在选取的样本中，从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），设=（bx1，ay1），=（（bx2，ay2），O为坐标原点．当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：△MON的面积为定值，并求出该定值．21．函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）e x（a，b∈R）．（1）当a=0，b=﹣3时．求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点．（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时．设x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3））是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在．说明理由．山东省潍坊市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i是虚数单位，若复数是纯虚数，则a=（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后由实部等于0求得a值．【解答】解：∵ =是纯虚数，∴a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，若M=P∩Q，则M的子集个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】求出P与Q的交集确定出M，即可求出M子集的个数．【解答】解：∵P={2，3，4，5，6}，Q={3，5，7}，∴M=P∩Q={3，5}，则M的子集个数为22=4．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．在△ABC中，PQ分别是AB，BC的三等分点，且AP=AB，BQ=BC，若=， =，则=（）A．+B．﹣+C．﹣D．﹣﹣【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【专题】对应思想；综合法；平面向量及应用．【分析】利用平面向量的线性运算的几何意义，使用表示出．【解答】解： =．∵AP=AB，BQ=BC，∴ ==， ==．∴=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量线性运算的几何意义，属于基础题．4．已知函数f（x）=﹣x2+2，g（x）=log2|x|，则函数F（x）=f（x）•g（x）的大致图象为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】应用题；数形结合；函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据函数的奇偶性和函数值的变化趋势，即可判断．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x2+2=f（x），g（﹣x）=log2|x|=g（x），∴F（﹣x）=f（﹣x）g（﹣x）=f（x）g（x）=F（x），∴函数F（x）为偶函数，其图象关于y轴对称，∵当x→+∞时，f（x）→﹣∞，g（x）→+∞，∴当x→+∞时，F（x）→﹣∞，故选：B．【点评】本题考查了函数图象的识别，关键是判断函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．5．已知双曲线的左、右焦点与虚轴的一个端点构成一个角为120°的三角形，则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据题意，设虚轴的一个端点M（0，b），结合焦点F1、F2的坐标和∠F1MF2=120°，得到c=b，再用平方关系化简得c=a，根据离心率计算公式即可得到该双曲线的离心率．【解答】解：双曲线，可得虚轴的一个端点M（0，b），F1（﹣c，0），F2（﹣c，0），设∠F1MF2=120°，得c=b，平方得c2=3b2=3（c2﹣a2），可得3a2=2c2，即c=a，得离心率e==．故选：B．【点评】本题给出双曲线两个焦点对虚轴一端的张角为120度，求双曲线的离心率．着重考查了双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．6．已知p：函数f（x）=（x﹣a）2在（﹣∞，﹣1）上是减函数，恒成立，则￢p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】对于命题p：利用二次函数的单调性可得：﹣1≤a，￢p：a＜﹣1．对于命题q：由于x＞0，利用基本不等式的性质可得： =x+≥2，即可得出结论．【解答】解：p：函数f（x）=（x﹣a）2在（﹣∞，﹣1）上是减函数，∴﹣1≤a，∴￢p：a＜﹣1．q：∵x＞0，∴ =x+≥=2，当且仅当x=1时取等号，∴a≤2．则￢p是q的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了不等式的解法、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，以下四个命题：①若m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n；②若m⊥α，n∥β，且α∥β，则m⊥n；③若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n．其中正确命题的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】在①中，m与n平行或异面；在②中，由直线与平面垂直的性质得m⊥n；在③中，m 与n相交、平行或异面；在④中，由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n．【解答】解：由两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，知：在①中，若m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n平行或异面，故①错误；在②中，若m⊥α，n∥β，且α∥β，则由直线与平面垂直的性质得m⊥n，故②正确；在③中，若m∥α，n⊥β，且α⊥β，则m与n相交、平行或异面，故③错误；在④中，若m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则由面面垂直和线面垂直的性质得m⊥n，故④正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．8．设函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，且∀x∈R，满足f（x﹣）=f（x+），当x∈[2，3]时，f （x）=x，则当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）A．|x+4| B．|2﹣x| C．2+|x+1| D．3﹣|x+1|【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性条件推出函数是周期为2的周期函数根据函数周期性和对称性进行转化求解即可．【解答】解：∵∀x∈R，满足f（x﹣）=f（x+），∴∀x∈R，满足f（x+﹣）=f（x++），即f（x）=f（x+2），若x∈[0，1]时，则x+2∈[2，3]，f（x）=f（x+2）=x+2，x∈[0，1]，若x∈[﹣1，0]，则﹣x∈[0，1]，∵函数y=f（x）（x∈R）为偶函数，∴f（﹣x）=﹣x+2=f（x），即f（x）=﹣x+2，x∈[﹣1，0]，若x∈[﹣2，﹣1]，则x+2∈[0，1]，则f（x）=f（x+2）=x+2+2=x+4，x∈[﹣2，﹣1]，即f（x）=，故选：D．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和周期性的关系进行转化是解决本题的关键．9．执行如图所示的程序框图，若输出的n=7，则输入的整数K的最大值是（）A．18 B．50 C．78 D．306【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；算法和程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，即可得出输入的整数K的最大值．【解答】解：模拟执行程序，可得n=1，S=0S=2，n=2不满足条件S≥K，S=6，n=3不满足条件S≥K，S=2，n=4不满足条件S≥K，S=18，n=5不满足条件S≥K，S=14，n=6不满足条件S≥K，S=78，n=7由题意，此时满足条件78≥K，退出循环，输出n的值为7．则输入的整数K的最大值是78．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题目．10．已知函数f（x）=ax+lnx﹣有三个不同的零点x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3），则（1﹣）2（1﹣）（1﹣）的值为（）A．1﹣a B．a﹣1 C．﹣1 D．1【考点】函数零点的判定定理．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】先分离参数得到a=﹣，令h（x）=﹣．求导后得其极值点，h （x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．再令a=﹣μ，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）的值．【解答】解：令f（x）=0，分离参数得a=﹣，令h（x）=﹣，由h′（x）==0，得x=1或x=e．当x∈（0，1）时，h′（x）＜0；当x∈（1，e）时，h′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，h′（x）＜0．即h（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，a=﹣=﹣，令μ=，则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，对于μ=，μ′=则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．画其简图，不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2===μ3，∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．故选：D．【点评】本题考察了利用函数研究函数单调性，极值等性质，训练了函数零点的判断方法，运用了分离变量法，换元法，函数构造法等数学转化思想方法，综合性强属于压轴题范畴．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．观察式子，…，则可归纳出（n≥1）．【考点】归纳推理．【专题】阅读型．【分析】根据已知中，分析左边式子中的数与右边式了中的数之间的关系，由此可写出结果．【解答】解：根据题意，每个不等式的右边的分母是n+1．不等号右边的分子是2n+1，∴1+…+＜（n≥1）．故答案为：（n≥1）．【点评】本题考查归纳推理．归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．12．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a•cosB+b•cosA=3c•cosC，则cosC=．【考点】正弦定理；余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】利用余弦定理化简已知可得a2+b2﹣c2=，由余弦定理即可求得cosC的值．【解答】解：∵a•cosB+b•cosA=3c•cosC，∴利用余弦定理可得：a×+b×=3c×，整理可得：a2+b2﹣c2=，∴由余弦定理可得：cosC===．故答案为：．【点评】本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点，则该点落在阴影部分中的概率为．【考点】几何概型．【专题】计算题；方程思想；综合法；概率与统计．【分析】根据题意，易得正方形OABC的面积，观察图形，由定积分公式计算阴影部分的面积，进而由几何概型公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，由函数y=x与y=围成阴影部分的面积为∫01（﹣x）dx=（﹣）|01=，由于y=x2与y=互为反函数，所以阴影部分的面积为，则正方形OABC中任取一点P，点P取自阴影部分的概率为．故答案为：．【点评】本题考查几何概型的计算，涉及定积分在求面积中的应用，关键是正确计算出阴影部分的面积．14．将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子放有2个连号小球的所有不同放法有18种．（用数字作答）【考点】计数原理的应用．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．【分析】先把4个小球分为（2，1，1）一组，其中2个连号小球的种类有（1，2），（2，3），（3，4）为一组，再全排列即可，【解答】解：先把4个小球分为（2，1，1）一组，其中2个连号小球的种类有（1，2），（2，3），（3，4）为一组，分组后分配到三个不同的盒子里，共有C31A33=18种，故答案为：18．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分组分配，属于基础题．15．已知抛物线y2=2px的准线方程为x=﹣1焦点为F，A，B，C为该抛物线上不同的三点，成等差数列，且点B在x轴下方，若，则直线AC的方程为2x﹣y﹣1=0．【考点】抛物线的简单性质．【专题】方程思想；转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据抛物线的准线方程求出p，设A，B，C的坐标，根据成等差数列，且点B在x轴下方，若，求出x1+x3=2，x2=1，然后求出直线AC的斜率和A，C的中点坐标，进行求解即可．【解答】解：抛物线的准线方程是x=﹣=﹣1，∴p=2，即抛物线方程为y2=4x，F（1，0）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），∵||，||，||成等差数列，∴||+||=2||，即x1+1+x3+12（x2+1），即x1+x3=2x2，∵，∴（x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1，y1+y2+y3）=0，∴x1+x2+x3=3，y1+y2+y3=0，则x1+x3=2，x2=1，由y22=4x2=4，则y2=﹣2或2（舍），则y1+y3=2，则AC的中点坐标为（，），即（1，1），AC的斜率k=====2，则直线AC的方程为y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0，故答案为：2x﹣y﹣1=0【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，根据条件求出直线AB的斜率和AB的中点坐标是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．已知函数f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx在x=处取得最值，其中ω∈（0，2）．（1）求函数f（x）的最小正周期：（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．若α为锐角．g（α）=，求cosα【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】函数思想；数形结合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2ωx﹣）﹣，由函数的最值可得ω，再由周期公式可得；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（x﹣）﹣，可得sin（α﹣）=，进而可得cos（α﹣）=，整体代入cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）﹣sin（α﹣）计算可得．【解答】解：（1）化简可得f（x）=4sin（ωx﹣）•cosωx=4（sinωx﹣sinωx）cosωx=2sinωxcosωx﹣2cos2ωx=sin2ωx﹣cos2ωx﹣=2sin（2ωx﹣）﹣，∵函数f（x）在x=处取得最值，∴2ω×﹣=kπ+，解得ω=2k+，k∈Z，又∵ω∈（0，2），∴ω=，∴f（x）=2sin（3x﹣）﹣，∴最小正周期T=；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位得到y=2sin[3（x+）﹣]﹣=2sin（3x﹣）﹣的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=2sin（x﹣）﹣的图象．∵α为锐角，g（α）=2sin（α﹣）﹣=，∴sin（α﹣）=，∴cos（α﹣）==，∴cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）﹣sin（α﹣）=﹣=【点评】本题考查三角函数图象和解析式，涉及三角函数图象变换，属中档题．17．如图所示的几何体中，四边形ABCD和四边形BCEF是全等的等腰梯形，且平面BCEF⊥平面ABCD，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G为线段AB的中点（1）求证：AC⊥BF；（2）求二面角D﹣FG﹣B（钝角）的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）根据线面垂直的性质定理证明AC⊥平面BCEF即可．（2）建立空间直角坐标系，求出对应平面的法向量，利用向量法进行求解即可．【解答】解：（1）连接CF，∵四边形ABCD和四边形BCEF是全等的等腰梯形，AB∥DC，CE∥BF，AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，G为线段AB的中点，∴DG∥BC，AC⊥CB，同理CF⊥BC，∵平面BCEF⊥平面ABCD，AC⊥BC，∴AC⊥平面BCEF，∵BF⊂平面BCEF，∴AC⊥BF；（2）由（1）知CF⊥平面ABCD，∴建立以C为坐标原点，以CA，CB，CF分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：∵AD=BC，AB=2CD，∠ABC=∠CBF=60°，∴设BC=1，则AB=2，AC=CF=，则A（，0，0），B（0，1，0），F（0，0，），G（，，0），则=（﹣，﹣，），==（0，1，0），=（，﹣，0），设平面DFG的一个法向量为=（x，y，z），则，则y=0，令x=2，则z=1，即为=（2，0，1），设平面FGB的一个法向量为=（x，y，z），则，即，令x=1，则y=，z=1，即为=（1，，1），则cos＜，＞====，∵二面角D﹣FG﹣B是钝二面角，∴二面角（钝角）的余弦值为﹣．【点评】本题主要考查空间直线垂直的判断以及二面角的求解，根据线面垂直的性质定理以及建立坐标系，利用向量法求二面角是解决本题的关键．18．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=a，数列{b n}满足b n b n+1=3，且b1=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；b4+…+a1b2n，求T n．（Ⅱ）记T n=a n b2+a n﹣1【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（I）正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=a，利用递推关系及其等差数列的通项公式即可得出．数列{b n}满足b n b n+1=3，且b1=1．可得b n b n+1=3n，b2=3．利用递推关系可得：b n+2=3b n．可得数列{b n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．即可得出．（II）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）正项数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，S n+1+S n=a，∴当n≥2时，S n+S n=，相减可得：a n+1+a n=a﹣，﹣1∴a n+1﹣a n=1，∴数列{a n}是等差数列，首项为1，公差为1．∴a n=1+（n﹣1）=n．∵数列{b n}满足b n b n+1=3，且b1=1．∴b n b n+1=3n，b2=3．∴==3，∴b n+2=3b n．∴数列{b n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为3．∴b2k=3k﹣1，b2k=3k．﹣1∴b n=（k∈N*）．b4+…+a1b2n=3n+（n﹣1）×32+（n﹣2）×33+…+3n．（II）T n=a n b2+a n﹣13T n=32n+（n﹣1）33+…+2×3n+3n+1，∴﹣2T n=3n﹣32﹣33﹣…﹣3n﹣3n+1=3n﹣=3n﹣，∴T n=﹣．【点评】本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50，100]内，发布成绩使用等级制．各等级划分标准见表．规定：A、B、C三级为合格等级，D为不合格等级．百分制85以及以上70分到84分60分到69分60分以下等级 A B C D为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计．按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．（I）求n和频率分布直方图中的x，y的值；（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（Ⅲ）在选取的样本中，从A、C两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】（Ⅰ）由题意知，先求出样本容量，由此能求出n和频率分布直方图中的x，y的值．（Ⅱ）成绩是合格等级人数为45人，从而得到从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，由此能求出至少有1人成绩是合格等级的概率．（Ⅲ）由题意知C等级的学生人数为9人，A等级的人数为3人，ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，样本容量n=，x==0.004，y==0.018，（Ⅱ）成绩是合格等级人数为：（1﹣0.1）×50=45人，抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，故从该校学生中任选1人，成绩是合格等级的概率为，设在该校高一学生中任选3人，至少有1人成绩是合格等级的事件为A，则P（A）=1﹣=．（Ⅲ）由题意知C等级的学生人数为0.18×50=9人，A等级的人数为3人，故ξ的可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，∴ξ的分布列为：ξ 0 1 2 3PEξ==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F且倾斜角为30°的直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1．（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若动直线l交椭圆E于不同两点M（x1，y1），N（x2，y2），设=（bx1，ay1），=（（bx2，ay2），O为坐标原点．当以线段PQ为直径的圆恰好过点O时，求证：△MON的面积为定值，并求出该定值．【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（I）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线MN的斜率存在和不存在，以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得⊥，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．【解答】解：（I）由题意可得e==，过椭圆的左焦点F（﹣c，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=（x+c），由直线与圆x2+y2=b2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a2﹣b2=c2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y2=1；（Ⅱ）证明：（1）当MN的斜率不存在时，x1=x2，y1=﹣y2，以线段PQ为直径的圆恰好过点O，可得⊥，即有•=0，即有b2x1x2+a2y1y2=0，即有x1x2+4y1y2=0，即x12﹣4y12=0，又（x1，y1）在椭圆上，x12+4y12=4，可得x12=2，|y1|=，S△OMN=|x1|•|y1﹣y2|=••=1；（2）当MN的斜率存在，设MN的方程为y=kx+t，代入椭圆方程（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣4=0，△=64k2t2﹣4（1+4k2）（4t2﹣4）=4k2﹣t2+1＞0，x1+x2=﹣，x1x2=，又•=0，即有x1x2+4y1y2=0，y1=kx1+t，y2=kx2+t，（1+k2）x1x2+4kt（x1+x2）+4t2=0，代入整理，可得2t2=1+4k2，即有|MN|=•=•=•，又O到直线的距离为d=，S△OMN=d•|MN|=|t|•=|t|•=1．故△MON的面积为定值1．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，考查三角形的面积的求法，注意讨论直线的斜率是否存在，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点到直线的距离公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．21．函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）e x（a，b∈R）．（1）当a=0，b=﹣3时．求函数f（x）的单调区间；（2）若x=a是f（x）的极大值点．（i）当a=0时，求b的取值范围；（ii）当a为定值时．设x1，x2，x3（其中x1＜x2＜x3））是f（x）的3个极值点，问：是否存在实数b，可找到实数x4，使得x4，x1，x2，x3成等差数列？若存在求出b的值及相应的x4，若不存在．说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】综合题；压轴题；函数思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）（i）函数g（x）=x2+（b+3）x+2b，结合x=a是f（x）的一个极大值点，我们分析函数g （x）=x2+（b+3）x+2b的两个零点与0的关系，即可确定b的取值范围；（ii）由函数f（x）=（x﹣a）2（x+b）e x，我们易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x1、a、x2是f（x）的三个极值点，求出x1，x2，分别讨论x1、a、x2是x1，x2，x3，x4的某种排列构造等差数列时其中三项，即可得到结论．【解答】解：（1）a=0，b=﹣3时：f（x）=x2（x﹣3）2e x，f′（x）=e x x（x﹣3）（x﹣2）（+3），令f′（x）＞0，解得：x＜﹣3或0＜x＜2或x＞3，令f′（x）＜0，解得：﹣3＜x＜0或2＜x＜3，∴f（x）在（﹣∞，﹣3），（0，2），（3，+∞）递增，在（﹣3，0），（2，3）递减；（2）（i）解：a=0时，f（x）=x2（x+b）e x，∴f'（x）=[x2（x+b）]′e x+x2（x+b）（e x）′=e x x[x2+（b+3）x+2b]，令g（x）=x2+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）2﹣8b=（b﹣1）2+8＞0，∴设x1＜x2是g（x）=0的两个根，①当x1=0或x2=0时，则x=0不是极值点，不合题意；②当x1≠0且x2≠0时，由于x=0是f（x）的极大值点，故x1＜0＜x2．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．（ii）解：f'（x）=e x（x﹣a）[x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a]，令g（x）=x2+（3﹣a+b）x+2b﹣ab﹣a，则△=（3﹣a+b）2﹣4（2b﹣ab﹣a）=（a+b﹣1）2+8＞0，于是，假设x1，x2是g（x）=0的两个实根，且x1＜x2．由（i）可知，必有x1＜a＜x2，且x1、a、x2是f（x）的三个极值点，则x1=，x2=，假设存在b及x4满足题意，①当x1，a，x2等差时，即x2﹣a=a﹣x1时，则x4=2x2﹣a或x4=2x1﹣a，于是2a=x1+x2=a﹣b﹣3，即b=﹣a﹣3．此时x4=2x2﹣a=a﹣b﹣3+﹣a=a+2或x4=2x1﹣a=a﹣b﹣3﹣﹣a=a﹣2，②当x2﹣a≠a﹣x1时，则x2﹣a=2（a﹣x1）或（a﹣x1）=2（x2﹣a）若x2﹣a=2（a﹣x1），则x4=，于是3a=2x1+x2=，即=﹣3（a+b+3）．两边平方得（a+b﹣1）2+9（a+b﹣1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b﹣1=此时b=﹣a﹣，此时x4===﹣b﹣3=a+．②若（a﹣x1）=2（x2﹣a），则x4=，于是3a=2x2+x1=，即=3（a+b+3）两边平方得（a+b﹣1）2+9（a+b﹣1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b﹣1=，此时b=﹣a﹣，此时x4=═﹣b﹣3=a+，综上所述，存在b满足题意，当b=﹣a﹣3时，x4=a±2，b=﹣a﹣时，x4=a+，b=﹣a﹣时，x4=a+．【点评】本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用及等差数列等基础知识，同时考查推理论证能力、分类讨论等综合解题能力和创新意识．。
山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟(一模)考试数学(理)试卷附答案解析
） B. ������ ∩ ������ = {������|������ > 1} D. ������ ∪ ������ = ������
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出集合 B，再利用交集并集的定义判断选项． 【详解】∵B＝{������|2������ > 1}，＝{x|������ > 0}，
C. 0 或������
D. 0 或 1
【答案】C 【解析】
【分析】
根据程序框图，转化为条件函数进行计算即可．
{=
【详解】程序对应的函数为 y
������������， 2 ‒ ������������������，
������ ≤ 0 ������＞0 ，
若 x≤0，由 y＝1 得 ex＝1，得 x＝0，满足条件．
若 x＞0，由 y＝2﹣lnx＝1，得 lnx＝1，即 x＝e，满足条件．
综上 x＝0 或 e，
故选：C．
【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件转化为分段函数是解决本题的关键． 6.某校有 1000 人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布������(105,������2)(������ > 0)，试卷满分 150
1
分，统计结果显示数学成绩优秀（高于 120 分）的人数占总人数的5，则此次数学考试成绩在 90 分到 105 分
之间的人数约为（ ）
A. 150 【答案】C 【解析】
B. 200
C. 300
D. 400
【分析】
求出������(90
≤
������
≤
105)
=
3
10，即可求出此次数学考试成绩在
2019年山东省潍坊市高考一模数学试卷含参考答案(理科)
2019年山东省潍坊市高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x＞1}, B＝{x|2x＞1}, 则（）A．A∩B＝{x|x＞0}B．A∩B＝{x|x＞1}C．A∪B＝{x|x＞1}D．A∪B＝R2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝|3+4i|, 则z的虚部为（）A．5B．C．D．﹣53．（5分）设α, β为两个不同平面, 直线m⊂α, 则“α∥β”是“m∥β”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知双曲线C：＝1（a＞0, b＞0）的一条渐近线方程为y＝2x, 则C 的离心率为（）A．B．C．D．5．（5分）执行如图的程序框图, 如果输出的y值为1, 则输入的x的值为（）A．0B．e C．0或e D．0或16．（5分）某校有1000人参加某次模拟考试, 其中数学考试成绩近似服从正态分布N（105, σ2）（σ＞0）, 试卷满分150分, 统计结果显示数学成绩优秀（高于120分）的人数占总人数的, 则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（）A．150B．200C．300D．4007．（5分）若函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0, 2）, 则（）A．点（, 0）是y＝f（x）的一个对称中心B．直线x＝是y＝f（x）的一条对称轴C．函数y＝f（x）的最小正周期是2πD．函数y＝f（x）的值域是[0, 2]8．（5分）y＝4cos x﹣e|x|图象可能是（）A．B．C．D．9．（5分）已知偶函数y＝f（x）, 当x∈（﹣1, 0）时, f（x）＝2﹣x, 若α, β为锐角三角形的两个内角, 则（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（cosα）＞f（cosβ）D．f（cosα）＞f（sinβ）10．（5分）已知不共线向量, 夹角为α, ||＝1, ||＝2, ＝（1﹣t）, ＝t（0≤t≤1）, ||在t＝t0处取最小值, 当0＜t0时, α的取值范围为（）A．（0, ）B．（, ）C．（, ）D．（, π）11．（5分）如图所示, 在著名的汉诺塔问题中, 有三根高度相同的柱子和一些大小及颜色各不相同的圆盘, 三根柱子分别为起始柱、辅助柱及目标柱．已知起始柱上套有n个圆盘, 较大的圆盘都在较小的圆盘下面．现把圆盘从起始柱全部移到目标柱上, 规则如下：每次只能移动一个圆盘, 且每次移动后, 每根柱上较大的圆盘不能放在较小的圆盘上面, 规定一个圆盘从任一根柱上移动到另一根柱上为一次移动, 若将n个圆盘从起始柱移动到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n）, 则p（4）＝（）A．33B．31C．17D．1512．（5分）定义：区间[a, b], （a, b], （a, b）, [a, b）的长度均为b﹣a, 若不等式≥m（m≠0）的解集是互不相交区间的并集, 则该不等式的解集中所有区间的长度之和为l, 则（）A．当m＞0时, l＝B．当m＞0时, l＝C．当m＜0时, l＝﹣D．当m＜0时, l＝﹣二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．13．（5分）若x, y满足约束条件, 则z＝x﹣2y的最大值是．14．（5分）在等比数列{a n}中, a1＝1, a5＝8a2, S n为{a n}的前n项和．若S n＝1023, 则n＝．15．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F, 准线为l, 过F的直线与抛物线及其准线l依次相交于G、M、N三点（其中M在G、N之间且G在第一象限）, 若|GF|＝4, |MN|＝2|MF|, 则p＝．16．（5分）如图, 矩形ABCD中, M为BC的中点, 将△ABM沿直线AM翻折成△AB1M, 连结B1D, N为B1D的中点, 则在翻折过程中, 下列说法中所有正确的序号是．①存在某个位置使得CN⊥AB1；②翻折过程中, CN的长是定值；③若AB＝BM, 则AM⊥B1D；④若AB＝BM＝1, 当三棱锥B1﹣AMD的体积最大时, 三棱锥B1﹣AMD的外接球的表面积是4π．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题, 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a, b, c, 点D为AC的中点, 已知2sin2﹣sin C＝1, a＝, b＝4．（1）求角C的大小和BD的长；（2）设∠ACB的角平分线交BD于E, 求△CED的面积．18．（12分）如图, 三棱柱ABC﹣A1B1C1中, CA＝CB, ∠BAA1＝45°, 平面AA1C1C⊥平面AA1B1B．（1）求证：AA1⊥BC；（2）若BB1＝AB＝2, 直线BC与平面ABB1A1所成角为45°, D为CC1的中点, 求二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值．19．（12分）如图, 点T为圆O：x2+y2＝1上一动点, 过点T分别作x轴, y轴的垂线, 垂足分别为A, B, 连接BA延长至点P, 使得＝, 点P的轨迹记为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若点A, B分别位于x轴与y轴的正半轴上, 直线AB与曲线C相交于M, N两点, |AB|＝1, 试问在曲线C上是否存在点Q, 使得四边形OMQN为平行四边形, 若存在, 求出直线l方程；若不存在, 说明理由．20．（12分）某水果种植基地引进一种新水果品种, 经研究发现该水果每株的产量y（单位：kg）和与它“相近”的株数x具有线性相关关系（两株作物“相近”是指它们的直线距离不超过lm）, 并分别记录了相近株数为0, 1, 2, 3, 4时每株产量的相关数据如下：x01234y15121198（1）求出该种水果每株的产量y关于它“相近”株数x的回归方程；（2）有一种植户准备种植该种水果500株且每株与它“相近”的株数都为m（m∈N*）, 计划收获后能全部售出, 价格为10元/kg, 如果收入（收入＝产量x价格）不低于25000元, 则m的最大值是多少？（3）该种植基地在如图所示的直角梯形地块的每个交叉点（直线的交点）处都种了一株该种水果, 其中每个小正方形的边长和直角三角形的直角边长都为1m, 已知该梯形地块周边无其他树木影响, 若从所种的该水果中随机选取一株, 试根据（1）中的回归方程预测它的产量的分布列与数学期望．附：回归方程＝+x中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝, ＝﹣．21．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax﹣x（a∈R）．（1）求函数f（x）的极值；（2）设函数g（x）＝e mx+x2﹣mx（x＞0, m∈R）, 若存在x1≠x2, 使f（x1）＝f（x2）,证明：g（x1•x2）＜g（e2a）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 已知曲线C：（α为参数）, 在以坐标原点O为极点, 以x轴正半轴为极轴建立的极坐标系中, 直线l的极坐标方程为cos（）＝﹣2．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）求曲线C与直线l交点的极坐标（ρ≥0, 0≤θ＜2π）．23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|的最大值为t．（1）求实数t的值；（2）若g（x）＝f（x）+2|x+1|, 设m＞0, n＞0, 且满足＝t, 求证：g（m+2）+g（2n）≥2．2019年山东省潍坊市高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：B＝{x|x＞0}, A＝{x|x＞1}；∴A∩B＝{x|x＞1}, A∪B＝{x|x＞0}．故选：B．【点评】考查描述法的定义, 指数函数的单调性, 以及交集、并集的运算．2．【解答】解：由（1+i）z＝|3+4i|＝,得z＝,∴z的虚部为﹣．故选：C．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算, 考查复数的基本概念, 是基础题．3．【解答】解：根据题意, 由于α, β表示两个不同的平面, l为α内的一条直线, 由于“α∥β,则根据面面平行的性质定理可知, 则必然α中任何一条直线平行于另一个平面, 条件可以推出结论, 反之不成立,∴“α∥β是“l∥β”的充分不必要条件．故选：A．【点评】主要是考查了空间中面面平行的性质定理的运用, 属于基础题．4．【解答】解：∵双曲线的渐近线方程为y＝±, 一条渐近线的方程为y＝2x, ∴＝2, 设b＝t, a＝2t则c＝＝t∴离心率e＝＝．故选：C．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是熟练掌握双曲线方程中的a,b和c基本关系．5．【解答】解：程序对应的函数为y＝,若x≤0, 由y＝1得e x＝1, 得x＝0, 满足条件．若x＞0, 由y＝2﹣lnx＝1, 得lnx＝1, 即x＝e, 满足条件．综上x＝0或e,故选：C．【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用, 根据条件转化为分段函数是解决本题的关键．6．【解答】解：∵P（X≤90）＝P（X≥120）＝0.2,∴P（90≤X≤120）＝1﹣0.4＝0.6,∴P（90≤X≤105）＝P（90≤X≤120）＝0.3,∴此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为1000×0.3＝300．故选：C．【点评】本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义等基础知识, 考查运算求解能力, 是基础题．7．【解答】解：由函数f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x（0＜θ＜）的图象过点（0, 2）, 可得2sin2θ＝2, 即sin2θ＝1, ∴2θ＝, ∴θ＝,故f（x）＝2sin（x+2θ）•cos x＝2cos2x＝cos2x+1,当x＝时, f（x）＝1, 故A、B都不正确；f（x）的最小正周期为＝π, 故C不正确；显然, f（x）＝cos x+1∈[0, 2], 故D正确,故选：D．【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质, 属于中档题．8．【解答】解：显然y＝4cos x﹣e|x|是偶函数, 图象关于y轴对称,当x＞0时, y′＝﹣4sin x﹣e x＝﹣（4sin x+e x）,显然当x∈（0, π]时, y′＜0,当x∈（π, +∞）时, e x＞eπ＞e3＞4, 而4sin x≥﹣4,∴y′＝﹣（4sin x+e x）＜0,∴y′＝﹣（4sin x+e x）＜0在（0, +∞）上恒成立,∴y＝4cos x﹣e|x|在（0, +∞）上单调递减．故选：D．【点评】本题考查了函数图象的判断, 一般从奇偶性, 单调性, 特殊值等方面判断, 属于基础题．9．【解答】解：根据题意, 当x∈（﹣1, 0）时, f（x）＝2﹣x＝（）x, 则f（x）在（﹣1, 0）上为减函数,又由f（x）为偶函数, 则f（x）在（0, 1）上为增函数,若α, β为锐角三角形的两个内角, 则α+β＞90°, 则α＞90°﹣β, 则有sinα＞sin （90°﹣β）＝cosβ,则有f（sinα）＞f（cosβ）,故选：B．【点评】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用, 涉及三角函数的诱导公式的运用, 属于基础题．10．【解答】解：由题意有：不共线向量, 夹角为α, ||＝1, ||＝2, 由＝（1﹣t）, ＝t（0≤t≤1）,得：＝＝t﹣（1﹣t）,所以||2＝（t﹣（1﹣t））2＝（5+4cosθ）t2﹣2（1+2cosθ）t+1,由二次函数图象的性质有：当t＝t0＝时, ||取最小值,即0＜,解得﹣＜cosθ＜0,又θ∈[0, π],即θ∈（, ）,故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算、向量模的运算及向量夹角的取值范围, 属中档题．11．【解答】解：设把圆盘从起始柱全部移到目标柱上最少需要移动的次数记为p（n）, 则把起始柱上的（除最底下的）圆盘从起始柱移动到辅助柱最少需要移动的次数记为p（n ﹣1）,则有P（n）＝2P（n﹣1）+1,则有P（n）+1＝2[P（n﹣1）+1], 又P（1）＝1,即是以P（1）+1＝2为首项, 2为公比的等比数列,由等比数列通项公式可得：P（n）+1＝2n, 所以P（n）＝2n﹣1,即P（4）＝24﹣1＝15,故选：D．【点评】本题考查了数列的递推公式及等比数列的通项公式, 属中档题．12．【解答】解：当m＞0时, ∵+≥0⇔≤0, 令f（x）＝mx2﹣（3+3m）x+2m+4＝0的两根为x1, x2, 且x1＜x2,则≤0, 且x1+x2＝＝3+,∵f（1）＝m﹣3﹣3m+2m+4＝1＞0, f（2）＝4m﹣6﹣6m+2m+4＝﹣2＜0,∴1＜x1＜2＜x2,所以不等式的解集为（1, x1]∪（2, x2],∴l＝x1﹣1+x2﹣2＝x1+x2﹣3＝3+﹣3＝,故选：B．【点评】本题考查分式不等式的解法, 涉及对新定义区间长度的理解, 属于难题．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．13．【解答】解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y, 得y＝,平移直线y＝, 当直线y＝经过点A（3, 0）时, 直线的截距最小, 此时z最大,此时z的最大值为z＝3﹣2×0＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用, 利用z的几何意义, 通过数形结合是解决本题的关键．14．【解答】解：根据题意, 等比数列{a n}中, a1＝1, a5＝8a2,则有q4＝8×q, 解可得q＝2,若S n＝1023, 则有＝2n﹣1＝1023,解可得：n＝10；故答案为：10．【点评】本题考查等比数列的前n项和公式的应用, 关键是掌握等比数列前n项和的形式, 属于基础题．15．【解答】解：如图, 过M作MH⊥l＝H,由|MN|＝2|MF|, 得|MN|＝2|MH|,∴MN所在直线斜率为,MN所在直线方程为y＝（x﹣）,联立, 得12x2﹣20px+3p2＝0．解得：,则|GF|＝, 即p＝2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的简单性质, 考查直线与抛物线位置关系的应用, 是中档题．16．【解答】解：对于①：如图1, 取AD中点E, 连接EC交MD与F, 则NE∥AB1, NF ∥MB1,如果CN⊥AB1, 可得到EN⊥NF, 又EN⊥CN, 且三线NE, NF, NC共面共点, 不可能, 故①错．对于②：如图1, 可得由∠NEC＝∠MAB1（定值）, NE＝AB1（定值）, AM＝EC （定值）,由余弦定理可得NC2＝NE2+EC2﹣2NE•EC•cos∠NEC, 所以NC是定值, 故②正确．对于③：如图2, 取AM中点O, 连接B1O, DO, 易得AM⊥面ODB1, 即可得OD ⊥AM, 从而AD＝MD, 显然不成立, 可得③不正确．对于④：当平面B1AM⊥平面AMD时, 三棱锥B1﹣AMD的体积最大, 易得AD中点H 就是三棱锥B1﹣AMD的外接球的球心, 球半径为1, 表面积是4π．故④正确．故答案为：②④．【点评】本题主要考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理, 考查了空间想象能力和推理论证能力, 考查了反证法的应用, 属于中档题三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题, 每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．【解答】解：（1）∵由题意可得：sin C+1﹣2sin2＝0,∴sin C+cos（A+B）＝0,又A+B＝π﹣C,∴sin C﹣cos C＝0, 可得tan C＝,∵C∈（0, π）,∴C＝,∴在△BCD中, 由余弦定理可得：BD2＝3+4﹣2×＝1,解得：BD＝1,（2）由（1）可知BD2+BC2＝4＝CD2,∴∠DBC＝,∴S△DBC＝BD•BC＝,∵CE是∠BCD的角平分线,∴∠BCE＝∠DCE,在△CEB和△CED中, S△BCE＝,S△CED＝,可得：＝＝,∴S△BCE＝S△CED,∴代入S△BCE+S△CED＝S△BCD＝, （1+）S△CED＝,∴S△CED＝＝（2﹣）＝2﹣3．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用, 余弦定理, 三角形的面积公式在解三角形中的综合应用, 考查了计算能力和数形结合思想, 考查了转化思想的应用, 属于中档题．18．【解答】证明：（1）过点C作CO⊥AA1, 垂足为O,∵平面AA1C1C⊥平面AA1B1B,∴CO⊥平面AA1B1B, 故CO⊥OB,又∵CA＝CB, CO＝CO, ∠COA＝∠COB＝90°,∴Rt△AOC≌Rt△BOC, 故OA＝OB,∵∠A1AB＝45°, ∴AA1⊥OB,∵AA1⊥CO, ∴AA1⊥平面BOC,∴AA1⊥BC．解：（2）BB1＝AB＝2, 直线BC与平面ABB1A1所成角为45°, D为CC1的中点, 以O为坐标原点, OA, OB, OC所在直线分别为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系, ∵CO⊥平面AA1B1B, ∴∠CBO是直线BC与平面AA1B1B所成角, ∴∠CBO＝45°, ∴AB＝, AO＝BO＝CO＝1,∴A（1, 0, 0）, B（0, 1, 0）, C（0, 0, 1）, A1（﹣1, 0, 0）, B1（﹣2, 1, 0）, D（﹣1, 0, 1）,＝（0, 0, 1）, ＝（1, ﹣1, 1）,设平面A1B1D的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, 0）,∵OB⊥平面AA1C1C, ∴平面AA1C1C的法向量＝（0, 1, 0）,设二面角B1﹣A1D﹣C1的平面角为θ,则cosθ＝＝＝,∴二面角B1﹣A1D﹣C1的余弦值为．【点评】本题考查线线垂直的证明, 考查二面角的余弦值的求法, 考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识, 考查运算求解能力, 考查数形结合思想, 是中档题．19．【解答】解：（1）设T（x0, y0）, P（x, y）,由A（x0, 0）, B（0, y0）由题意＝, 即A为PB的中点∴x＝2x0, y＝﹣y0,即x0＝x, y0＝﹣y,∵x02+y02＝1故点P的轨迹C的方程为+y2＝1,（2）由题意知l的斜率存在且不为零,设直线l的方程为y＝kx+t,∵|AB|＝1,∴（﹣）2+t2＝1,即+t2＝1, ①联立, 消y可得（4k2+1）x2+8ktx+4（t2﹣1）＝0,设M（x1, y1）, N（x2, y2）,∴x1+x2＝﹣, x1x2＝,∴y1+y2＝k（x1+x2）+2t＝,∵四边形OMQN为平行四边形, 故Q（﹣, ）,∴（﹣）2+（）2＝1,整理可得4t2＝4k2+1, ②,将①代入②可得4k4+k2+1＝0, 该方程无解,故这样的直线不存在．【点评】本题考查点的轨迹方程的求法, 考查满足条件的点是否存在的判断与直线方程的求法, 体现了数学转化思想方法, 是中档题．20．【解答】解：（1）由题意可得, ＝＝2, ＝11（1分）＝﹣2×4+（﹣1）×1+0×0+1×（﹣2）+2×（﹣3）＝﹣17＝（﹣2）2+（﹣1）2+02+12+22＝10∴b＝＝（3分）＝﹣＝11﹣2×＝,∴＝﹣x（4分）（2）设每株的产量为ykg, 根据题意可得10×500y≥25000∴y≥5（5分）令﹣x≥5可得, x即m最大值是5（7分）（3）由回归方程可得, 当x＝1时, y＝当x＝2时, y＝11, 当x＝3时, y＝当x＝4时, y＝∴P（y ＝）＝P（y＝11）＝,P（y ＝）＝P（y ＝）＝即y的分布列为P12.7119.37.6yE（y ）＝＝（11分）即产量的期望（12分）【点评】本题主要考查了线性回归方程的求解及随机变量期望及分布列的求解, 属于中档试题21．【解答】解：（1）f（x）的定义域是（0, +∞）,f′（x）＝lnx﹣a, 令f′（x）＝0, 解得：x＝e a,故f（x）在（0, e a）递减, 在（e a, +∞）递增,故f（x）极小值＝f（e a）＝﹣e a,故f（x）的极小值是﹣e a, 无极大值；（2）g′（m）＝me mx+2x﹣m＝m（e mx﹣1）+2x,当m＞0时, 由于x＞0, 故e mx＞1, e mx﹣1＞0, 即g′（x）＞0,当m＜0时, 由于x＞0, 故e mx＜1, e mx﹣1＜0, 即g′（x）＞0,当m＝0时, g′（x）＝2x＞0,综上, g′（x）＞0, 故g（x）在（0, +∞）递增,故只需证明x1•x2＜e2a,即证lnx1+lnx2＜2a,由g（x1）＝g（x2）, 可知x1lnx1﹣ax1﹣x1＝x2lnx2﹣ax2﹣x2,故a ＝﹣1,即证lnx1+lnx2＜2（﹣1）,lnx1+lnx2﹣2（＜﹣2,即证＜﹣2,ln•＜﹣2,ln•＜﹣2,不妨设x1＞x2, t＝＞1,即证lnt•＜﹣2,lnt＞,即证lnt+2＞0,设h（t）＝lnt+2（t＞1）,h′（t）＝＞0,故h（t）在（1, +∞）递增,故h（t）＞h（1）＝0,即lnt+2＞0,故结论成立．【点评】本题考查了函数的单调性, 极值问题, 考查导数的应用以及不等式的证明, 考查转化思想, 是一道综合题．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【解答】解：（1）已知曲线C：（α为参数）,转换为直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2＝1,直线l的极坐标方程为cos（）＝﹣2．转换为直角坐标方程为：x﹣y+2＝0．（2）由（1）得：,解得：或转换为极坐标为（）（2, ）．【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换, 二元二次方程的应用, 主要考查学生的运算能力和转化能力, 属于基础题型．23．【解答】解：（1）由f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|＝,∴f（x）max＝f（﹣1）＝2, 即t＝2,证明：（2）g（x）＝|x﹣1|, 由+＝2,知g（m+2）+g（2n）＝|m+1|+|2n﹣1|≥|m+1+2n﹣1|＝|m+2n|＝|（m+2n）•（+）|＝|++2|≥|2+2|＝2,当且仅当＝, 即m2＝4n2时取等号,∴g（m+2）+g（2n）≥2．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题, 考查绝对值不等式的性质以及基本不等式的性质, 是一道常规题．。
山东省潍坊市高三一模考试数学（理）试题含答案
山东省潍坊市高三下学期一模考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数z 满足()142i z i +=+，则z =（ ）A ．3i -+B ．32i -C ．3i +D ．1i + 2.已知集合{}{}22,20A x x B x x x =<=-->，则A B ⋂=（ ） A ．{}22x x -<< B ．{}12x x -<< C ．{}21x x -<<- D ．{}12x x -<<3.若函数()x x f x a a -=-（0a >且1a ≠）在R 上为减函数，则函数()log 1a y x =-的图象可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4.已知,x y 满足约束条件10330210x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则函数22z x y +的最小值为（ ）A ．12B 2C ．1D 25.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分別为,,a b c ，已知()cos 2cos ,2,1b A c a B c a =-==，则ABC ∆的面积是（ ） A ．12B 3C ．1D 36.对于实数,a b ，定义一种新运算“⊗”：y a b =⊗，其运算原理如程序框图所示，则5324=⊗+⊗（ ）A ．26B ．32C ．40D ．467.若函数()()3log 2,0,0x x f x g x x ->⎧⎪=⎨<⎪⎩为奇函数，则()()3f g -=（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．08.如图，网格纸上正方形小格的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．20πB ．24πC ．28πD ．32π9.已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象关于直线23x π=对称.给出下面四个结论：①函数()f x 在区间40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先增后减；②将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的图象关于原点对称；③点,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心；④函数()f x 在[],2ππ上的最大值为1.其中正确的是（ ）A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④10.甲、乙、丙、丁四位同学参加一次数学智力竞赛，决出了第一名到第四名的四个名次.甲说:“我不是第一名”；乙说:“丁是第一名”；丙说:“乙是第一名”；丁说:“我不是第一名”.成绩公布后，发现这四位同学中只有一位说的是正确的.则获得第一名的同学为（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁11.双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交曲线左支于,A B 两点,2F AB ∆是以A 为直角顶点的直角三角形，且230AF B ∠=︒.若该双曲线的离心率为e ，则2e =（ ）A ．1143+．1353+．1663- D ．193-12.函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，且()y f x =在[)0,+∞上单调递减.若[]1,3x ∈时，不等式()()()2ln 323ln 32f mx x f f x mx --≥-+-恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．1ln 66,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1ln 36,26e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1ln 66,6e +⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1ln 36,6e+⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13. 实数,a b 满足2221a b +=，则ab 的最大值为 ．14.()(511x x +-展开式中2x 的系数为 ． (用数字填写答案）15．已知抛物线()20y ax a =>的准线为l ，若l 与圆()22:31C x y -+=3则a = ．16．正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111A B C D 上的动点，给出下列四个结论：①若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个； ②若3PD P 的轨迹是一段圆弧；③若//PD 平面1ACB ，则PD 与平面11ACC A 2；④若//PD 平面1ACB ，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得图形面积最大值为2512π.其中所有正确结论的序号为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知410S =，且139,,a a a 成等比数列. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列3n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .18.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，14,2,22,45CC AB AC BAC ===∠=︒，点M 是棱1AA 上不同于1,A A 的动点.（1）证明:1BC B M ⊥；（2）若平面1MB C 把此棱拄分成体积相等的两部分，求此时二面角1M B C A --的余弦值. 19.某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测.现从该生产线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数14μ=，标准差2σ=，绘制如图所示的频率分布直方图.以频率值作为概率估计值.（1）从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X ，依据以下不等式评判（P 表示对应事件的概率）：①()0.6826P X μσμσ-<<+≥ ②()220.9544P X μσμσ-<<+≥ ③()330.9974P X μσμσ-<<+≥评判规则为：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；（2）将数据不在()2,2μσμσ-+内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y ，求Y 的分布列与数学期望EY .20.如图，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，左右顶点分别为,,A B P 为椭圆C 上任一点（不与A B 、重合）.已知12PF F ∆的内切圆半径的最大值为22-，椭圆C 的离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 过点B 且垂直于x 轴，延长AP 交l 于点N ，以BN 为直径的圆交BP 于点M ，求证:O M N 、、三点共线.21.函数()()()sin ,1cos 2x x f x e x g x x x e ==+-. （1）求()f x 的单调区间；（2）对120,,0,22x x ππ⎡⎤⎡⎤∀∈∀∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，使()()12f x g x m +≥成立，求实数m 的取值范围；（3）设()()2sin 2sin x h x f x n x x =⋅-⋅在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点，求正实数n 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩）（t 为参数，0απ≤<），在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2211sin ρθ=+.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）设点M 的坐标为()1,0，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11MA MB+的值. 23.选修4-5：不等式选讲设函数()()()210,f x ax x a a g x x x =++->=+. （1）当1a =时，求不等式()()g x f x ≥的解集； （2）已知()32f x ≥，求a 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:CCDBB 6-10:CBCCA 11、12：DB 二、填空题 2 14. 120 15.1216.①②③ 三、解答题17. （1）设{}n a 的公差为d ，由题设可得， 123194610a d a a a +=⎧⎪⎨=⋅⎪⎩， ∴()()12111461028a d a d a a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩， 解得11,1a d ==. ∴n a n =. （2）令3n nnc =， 则12n n T c c c =+++231123133333n nn n--=+++++，① 231112133333n n n n nT +-=++++，② ①－②得： 21211133333n n n nT +⎛⎫=+++-⎪⎝⎭ 1111331313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=--1112233n n n+=--⨯， ∴323443n nn T +=-⨯. 18.（1）解:在ABC ∆中，由余弦定理得，2482222cos454BC =+-⨯⨯︒=， ∴2BC =，则有2228AB BC AC +==， ∴90ABC ∠=︒，∴BC AB ⊥， 又∵11,BC BB BB AB B ⊥⋂=， ∴BC ⊥平面11ABB A ， 又1B M ⊂平面11ABB A ， ∴1BC B M ⊥.（2）解：由题设知，平面把此三棱柱分成两个体积相等 的几何体为四棱锥1C ABB M -和四棱锥111B A MCC -. 由（1）知四棱1C ABB M -的高为2BC =， ∵111122482ABC A B C V -=⨯⨯⨯=三棱柱，∴1142C ABB M V V -==四棱锥柱，又11112433C ABB M ABB M ABB M V S BC S -=⋅==四棱锥梯形梯形，∴14622ABB M AM S +==⨯梯形，∴2AM =. 此时M 为1AA 中点，以点B 为坐标原点，1,,BA BC BB 的方向为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -.∴()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,2,0,2A C B M . ∴()()()110,2,4,2,0,2,2,2,0CB B M AC =-=-=-， 设()1111,,n x y z =是平面1CB M 的一个法向量，∴111100n CB n B M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即1111240220y z x z -+=⎧⎨-=⎩，令11z =，可得()11,2,1n =，设()2222,,n x y z =是平面1ACB 的一个法向量，∴2120n CB n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2222240220y z x y -+=⎧⎨-+=⎩，令21z =，可得()22,2,1n =，∴121212776cos ,36n n n n n n ⋅===⋅ 所以二面角1M B C A --76. 19.解：（1）由题意知，14,2μσ==，由频率分布直方图得()()()12160.290.1120.80.6826P X P X μσμσ-<<+=<<=+⨯=>， ()()()2210180.80.040.0320.940.9544P X P X μσμσ-<<+=<<=++⨯=<，()()()338200.940.0150.00520.980.9974P X P X μσμσ-<<+=<<=++⨯=>， ∵不满足至少两个不等式成立，∴该生产线需检修. （2）由（1）知()47220.9450P X μσμσ-<<+==， 所以任取—件是次品的概率为30.0650=， 所以任取两件产品得到的次品数Y 可能值为0，1,2， 则()24722090502500P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()1247314115051250P Y C ==⋅=； ()2392502500P Y ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；∴Y 的分布列为∴22091419301225001250250025EY =⨯+⨯+⨯=. 20.解：（1）由题意知:22c a =，∴22c =，又222b a c =-，∴22b =，设12PF F ∆的内切圆半径为r ， 则()12121212PF F S PF PF F F r ∆=++⋅， ()()1222a c r a c r =+⋅=+， 故当12PF F ∆面积最大时，r 最大， 即P 点位于椭圆短轴顶点时，22r = ∴()(22a c bc +=，把22,c b ==代入，解得2,2a b ==， ∴椭圆方程为22142x y +=.（2）由题意知，直线AP 的斜率存在，设为k ， 则所在直线方程为()2y k x =+，联立()222142y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()2222 218840k x k x k +++-=，则有()2284221p k x k -⋅-=+，∴222421p k x k -=+，()24221p p ky k x k =+=+，得22284,2121k k BP k k ⎛⎫-= ⎪++⎝⎭，又()2,4N k ，∴()2,4ON k =， 则2222161602121k k ON BP k k -⋅=+=++， ∴ON BP ⊥而M 在以BN 为直径的圆上，∴MN BP ⊥，∴,,O M N 三点共线.21.解：（1）()()sin cos sin cos 2sin 4x x x x f x e x e x e x x e x π⎛⎫'=+=++ ⎪⎝⎭， 当224k x k ππππ≤+≤+，即32,244x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦时，()()0,f x f x '≥单调递增； 当2224k x k πππππ+≤+≤+，即372,244x k k ππππ⎡⎤∈++⎢⎥⎣⎦时，()()0,f x f x '<单调递减； 综上，()f x 的单调递增区间为32,2,44k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦， ()f x 的单调递减区间为372,2,44k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()12f x g x m +≥，即()()12f x m g x ≥-， 设()()t x m g x =-，则原问题等价于()()min min ,0,2f x t x x π⎡⎤≥∈⎢⎥⎣⎦， 一方面由（1）可知，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥， 故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增， ∴()()min 00f x f ==另—方面：()()1cos 2x t x m x x e =-++，()()cos 1sin 2x t x x x x e '=-+++，由于[]cos 1,022x x e -∈-≥ ∴cos 20x x e ->，又()1sin 0x x +≥， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()0t x '>，()t x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦为增函数， ()()min 012t x t m ==-+ 所以120m -≤，12m ≤（3）()2sin 2,0,2x h x xe n x x π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭， ()()()22cos2212cos2x x x h x e xe n x x e n x '=+-=+-. ①若01n <≤，则()()0,h x h x '>单调递增，()()00h x h >=无零点， ②若1n >时，设()()212cos 2x k x x e n x =+-， 则()()224sin 20x k x e x n x '=++>，故()k x 单调递增，∵()0220k n =-<，221022k e πππ⎛⎫⎛⎫=+⋅> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以存在00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00k x =，因此当()00,x x ∈时，()0k x <，即()()0,h x h x '<单调递减； 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0k x >即()()0,h x h x '>单调递增. 故当()00,x x ∈时，()()00h x h <=无零点， 当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()200,02h x h e πππ⎛⎫<=> ⎪⎝⎭，存在唯一零点， 综上，1n >时，有唯一零点.22.解:（I )曲线2221sin ρθ=+，即222sin 2ρρθ+=， ∵222,sin x y y ρρθ=+=，∴曲线C 的直角坐标方程为2222x y +=即2212x y +=. （2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2222x y +=并整理得()221sin 2cos 10t t αβ++-=， ∴1212222cos 1,1sin 1sin t t t t ααα-+=-⋅=++， ∴121211MA MB AB t t MA MB MA MB MA MB t t +-+===⋅⋅-⋅， ∵()()22121212224cos 42241sin 1sin t t t t t t ααα-=+-+=++， ∴222111sin 2211sin MA MBαα++==+23.解:（1）当1a =时，不等式()()g x f x ≥即211x x x x +≥++-， 当1x <-时，222,30x x x x x +≥-+≥，∴0x ≥ 或3x ≤-， ∴此时，3x ≤-，当11x -≤≤时，222,0x x x x +≥+≥，∴1x ≥或2x ≤-， ∴此时，1x =，当1x >时，222,0x x x x x +≥-≥，∴1x ≥或0x ≤ 此时，1x >，∴不等式的解集为{3x x ≤-或}1x ≥. （2）()()()()111,,1111,,11,,a x a x a f x ax x a a x a x a a a x a x a ⎧-++-<-⎪⎪⎪=++-=-++-≤≤⎨⎪⎪+-+>⎪⎩若01a <≤则()()2min 1f x f a a ==+，∴2312a +≥， 解得:2a 或2a ≤21a ≤≤， 若1a >则()min 11322f x f a a a ⎛⎫=-=+>> ⎪⎝⎭，∴1a >，综上所述，2a .。
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高考模拟
3
高三数学（理工农医类） 2015.03
本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：本大题共10小题．每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 集合}1)2
1(|{≥=x
x M ，)}2lg(|{+==x y x N ，则N M 等于
A ．),0[+∞
B ．]0,2(-
C ．),2(+∞-
D ．),0[)2,(+∞--∞ 2. 设复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，若i z 211-=，则
1
2
z z 的虚部为 A ．
53 B ．53- C ．54
D ．5
4- 3. 如果双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的一条渐近线与直线033=+-y x 平行，则双曲线的离心
率为
A ．2
B ．3
C ．2
D ．3
4. 已知函数)(x f y =的定义域为R x x ∈|{，且}0≠x ，且满足0)()(=-+x f x f ，当0>x 时，
1ln )(+-=x x x f ，则函数)(x f y =的大致图像为
则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为
A ．90%
B ．95%
C ．99%
D ．99.9%
附：参考公式和临界值表 由)
)()()(()(2
2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=
，
6. 下列结论中正确的是：
①命题：3
3),2,0(x x x
>∈∀的否定是3
3),2,0(x x x
≤∈∃；
②若直线l 上有无数个点不在平面α内，则α//l ；
③若随机变量ξ服从正态分布),1(2δN ，且8.0)2(=<ξP ，则2.0)10(=<<ξP ； ④等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若34=a ，则217=S 。
A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④
7. 如图在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC=33，BD=5，sin ∠ABC=
5
3
2，则CD 的长为 A ．14 B ．4 C ．52 D ．5
8.某几何体的三视图如图所示，其中左视图为半圆， 则该几何体的体积是
A ．
π32 B ．2π C ．π3
2
2 D ．π
9. 已知抛物线方程为x y 82
=，直线l 的方程为02=+-y x ，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为1d ，P 到l 的距离为2d ，则21d d +的最小值为
A.232-
B. 22
C. 222-
D. 222+
10. 对于实数n m ,定义运算“⊕”：⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-+-=⊕)
()(1
22
2
n m m n
n n m m n m n m ，
设)1()12()(-⊕-=x x x f ，且关于x 的方程a x f =)(恰有三个互不相等的实数根321,,x x x ，则
321x x x 的取值范围是
A.)0,321(-
B. )0,16
1
(- C. )321,0( D. )161,0(
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11.6|1||3|≥-++x x 的解集是 ；
12. 运行右面的程序框图，若输入的x 的值在区间]3,2[-内，那么则输出的
)(x f 的取值范围是 ；
13. 若x 变量x 、y 满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨
⎧≥≤--≥-+k y y x y x 062302，且y x z 3+=的最小值
为4，则=k __________．
14. 在对于实数x ，][x 表示不超过的最大整数，观察下列等式：
高考模拟
3
3]3[]2[]1[=++ 10]8[]7[]6[]5[]4[=++++
21]15[]14[]13[]12[]11[]10[]9[=++++++
……
按照此规律第n 个等式的等号右边的结果为 ；
15.如图，正方形ABCD 中，E 为AB 上一点，P 为以点A 为圆心，以AB 为半径的圆弧上一点。
若AP y DE x AC +=(0≠xy ），则以下说法正确的是： .（请将所有正确命题的序号填上）
①若点E 和A 重合，点P 和B 重合，则1,1=-=y x ； ②若点E 是线段AB 的中点，则点P 是圆弧
的中点；
③若点E 和B 重合，且点P 为靠近D 点的圆弧上的三等分点，则3=+y x ； ④若点E 和B 重合，点P 为
上任一点，则动点（y x ,）的轨迹为双曲线的一部分．
三、解答题：本大题共6小题,共75分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分） 已知函数)0(2sin 4)6
2sin()(2>+--
=ωωπ
ωx x x f ，其图像与x 轴相邻两个交点的距离为
2
π
． （Ⅰ）求函数)(x f y =的解析式；
（Ⅱ）若将)(x f 的图像向左平移)0(>m m 个长度单位得到函数)(x g 的图像恰好经过点（0,3
π
-），求
当m 取得最小值时，)(x g 在]127,
6[π
π-上的单调递增区间．
17．（本小题满分12分）
如图，已知平行四边形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直，其中BE ∥AF ，AB ⊥AF ，AB=BE=2
1
AF ，
BC=2AB ，∠CBA=
4
π
，P 为DF 的中点。
（Ⅰ）求证：PE ∥平面ABCD ；
（Ⅱ）求平面DEF 与平面ABCD 所成角（锐角）的余弦值 18．（本小题满分12分）
某校从参加某次数学能力测试的学生中抽出36名学生，统计了他们的数学成绩（成绩均为整数且满分为120分），成绩的频率分布直方
图如图所示，其中成绩分组区间是：)90,80[，)100,90[，)110,100[，]120,110[． （Ⅰ）在这36名学生中随机抽取3名学生，求同时满足下列两个条件的概率：①有且仅有1名学生成绩不低于110分；②成绩在)100,90[内至多1名学生；
（Ⅱ）在成绩是)100,80[内的学生中随机选取3名学生进行诊断问卷，设成绩在)100,90[内人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望)(X E . 19．（本小题满分12分）
已知各项为正数的等比数列数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{n b }的通项公式
*)(1
N n n n n n b n ∈⎩⎨
⎧+=为奇数
为偶数
，若153+=b S ，4b 是2a 和4a 的等比中项．
（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）求数列{n n b a ⋅}的前n 项和为n T . 20．（本小题满分13分）
已知点M 是圆心为1C 的圆8)1(22=++y x 上的动点，点)0,1(2C ，若线段2MC 的中垂线交1MC 于点
N .
（Ⅰ）求动点N 的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线t kx y l +=:是圆122=+y x 的切线且l 与N 点轨迹交于不同的两点P 、Q ，O 为坐标原点，若μ=⋅,且5
4
32≤≤μ，求△OPQ 面积的取值范围. 21．（本小题满分14分） 已知函数x a x
x x f ln 1
)(--
=． （Ⅰ）若)(x f 无极值点，求a 的取值范围； （Ⅱ）设a x x
x x g )(ln 1
)(-+=，当a 取（Ⅰ）中的最大值时，求)(x g 的最小值； （Ⅲ）证明不等式：
∑
=+∈+>+n
i n n i i N n 1
1
*)(122ln )12(21
．
高考模拟
3
高考模拟3。