高中数学第一章立体几何初步121平面的基本性质学案苏教版

1.2.1 平面的基本性质

学习目标 1.掌握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握有关平面的三个公理及三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.

知识点一平面的概念

思考几何里的“平面”有边界吗？用什么图形表示平面？

梳理(1)平面的概念

广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念.

(2)平面的画法

一般用水平放置的____________作为平面的

直观图

一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立

体感，被遮挡部分用____画出来.

(3)

平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等.

知识点二点、线、面之间的位置关系

思考直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用符号来表示？直线和平面呢？

梳理点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达

位置关系符号表示

点P在直线AB上P∈AB

点C不在直线AB上C∉AB

点M在平面AC上M∈平面AC

点A1不在平面AC内A1∉平面AC

直线AB与直线BC交于点B AB∩BC＝B

直线AB在平面AC内AB⊂平面AC

直线AA1不在平面AC内AA1⊄平面AC

知识点三平面的基本性质

思考1 直线l与平面α有且仅有一个公共点P.直线l是否在平面α内？有两个公共点呢？

思考2 观察下图，你能得出什么结论？

思考3 观察正方体ABCD—A1B1C1D1(如图所示)，平面ABCD与平面BCC1B1有且只有两个公共点B、C吗？

梳理

公理文字语言图形语言符号语言作用

(推论

)

公理1 如果一条直线上

的两点在平面内，

那么这条直线上

所有的点都在这

个平面内

⎭⎪

⎬

⎪⎫

A∈α

B∈α

⇒

(1)判定直线在平面

内；

(2)证明点在平面内

公理2如果两个平面有

一个公共点，那么

它们还有其他公

共点，这些公共点

的集合是

的一条直线

⎭⎪

⎬

⎪⎫

P∈α

P∈β

⇒

____

(1)判断两个平面是

否相交；

(2)判定点是否在直

线上；

(3)证明点共线问题

公理3 经过

，有且只有一个平

面

A，B，C不共线

⇒A，B，C确定

一个平面α

(1)确定一个平面的

依据.

(2)证明平面重合；

(3)证明点、线共面

推论1经过一条直线和

这条直线的一点，

有且只有一个平

面

A∉l⇒A和l确

定一个平面α

推论2经过两条直线，有

且只有一个平面

a∩b＝A⇒a，b

确定一个平面

α

推论3经过两条直线，有

且只有一个平面

a∥b⇒a，b确定

一个平面α

类型一点、直线、平面之间的位置关系的符号表示

例1 如图，用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.

(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.

跟踪训练1 根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

(1)A∈α，B∉α；

(2)l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

(3)平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC.

类型二点线共面

例2 如图，已知：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ⊂α.

引申探究

将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内.

反思与感悟证明多线共面的两种方法

(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.

(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.

跟踪训练2 已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C如图所示.求证：直线l1，l2，l3在同一

平面内.

类型三点共线、线共点问题

命题角度1 点共线问题

例3 如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线.

反思与感悟证明多点共线通常利用公理2，即两相交平面交线的惟一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在直线上.

跟踪训练3已知△ABC在平面α外，其三边所在的直线满足AB∩α＝P，BC∩α＝Q，AC∩α＝R，如图所示.求证：P，Q，R三点共线.

命题角度2 线共点问题

例4 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点.求证：CE、D1F，DA三线交于一点.

反思与感悟证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.

跟踪训练4 已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行.求证：l1，l2，l3相交于一点.

1.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为______.

2.平面α，β有公共点A，则α，β有________个公共点.

3.下图中图形的画法正确的是________.(填序号)

4.空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是______.

5.如图，a∩b＝A，a∩c＝B，a∩d＝F，b∩c＝C，c∩d＝D，b∩d＝E，求证：a，b，c，d 共面.