线段、角的对称性(1)
线段、角的轴对称性课件1
因为点P是线段AB的垂直平分线上的 点，所以PA＝PB ．
l P
1 A
2 O
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相等吗？ 为什么？请你画出图形，试着说明.
解：不相等.
l Q 1 2 B P
如图，在线段AB的垂直平分线l外任 取一点P，连接PA、PB，设PA交l于点Q， 连接QB． 根据“线段的垂直平分线上的点到 线段两端点的距离相等”，因为点Q在 AB的垂直平分线上，所以QA＝QB． 于是PA＝PQ＋和大于第三边，
所以PQ＋QB＞PB，即PA＞PB．
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
1．利用网格线画线段PQ的垂直平分线．
P
Q
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
2．如图，要在公路旁设一个公交车的
停车站，停车站应设在什么地方，才 能使A、B两村到车站的距离相等？ B村 A村
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
1．如图，在线段AB的垂直平分线l上 任意找一点P，连接PA、PB，PA与
l P
PB相等吗？证明你的结论．
2．像这样的点P还有吗？为什么？
1 A 2 O B
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
2.4 线段、角的对称性（1）
定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
初中数学 八年级(上册)
2.4
线段、角的对称性（1）
2.4 线段、角的对称性（1）
做一做
在一张薄纸上画一条线段AB，操作并思考： 线段是轴对称图形吗？
A
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段是轴对称图形，它的对称轴在哪里？为什么?
2.4线段-角的对称性
lQABP§线段，角的轴对称性（1）教学案主备人：赵廷尧自主学习问题1：如图，线段AB ，通过折叠，能否是使点A 与点B 重合问题2：线段是轴对称图形吗上面操作中的折痕是什么 <问题3：在折痕上任意取一点C ，连接AC 、BC ，AC 与BC 的数量关系怎样你能证明吗通过以上三个问题的解决你知道了什么 几何语言：∵MN ⊥AB ，AC ＝BC ，∴_______（线段垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等）． "探究活动例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端的距离相等吗为什么变形:在例1的条件下：1、若AP=6，BP=4，求△QPB 的周长；2、若△QPB 的周长为12，△APB 的周长为17，求AB ； %3、若△QPB 的周长为12，AB ＝7，求△APB 的周长。
4、若△QCB 的周长为24,△APB 的周长与四边形BPQC 的周长之差为12，求CQA BC例2、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长D FC ·例3、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的中点为O，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，连接AF．求证：AE＝AF．(【课堂练习】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，求DC的长.\§线段，角的轴对称性（1）达 标 自 测班级 学号 姓名自测内容1.线段垂直平分线上的点到 距离相等。
2、如图，直线MN 是线段AB 的垂直平分线，垂足为D ，点P 是MN 上一点．若AB ＝10 cm ，则BD ＝_______cm ；若PA ＝10 cm ，则PB ＝_______cm ．3.如图，在ΔABC 中，AB 的中垂线交AC 与点E ，若AC=9,AE:CE=2：1，则B 、E 两点间的距离是 。
2.4线段、角的轴对称性(1)
lO PB AB A 2.4线段、角的轴对称性 (1)班级 姓名 学号【学习目标】1．经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体会轴对称性的特征，发展空间观念。
2．探索证明线段的垂直平分线的性质。
3．运用线段的垂直平分线的性质解决相关问题。
【重点难点】重点：线段的轴对称性。
难点：线段的垂直平分线的性质及其应用。
【自主学习】读一读：课本P 51-P 52想一想:1．折纸使线段AB 两端点重合,并画出对称轴.2．对称轴上取一点P ，连接PA 、PB ，再沿对称轴对折，观察PA 、PB 有何数量关系？3．你能说明此结论的正确性吗？练一练： 利用网络画图中线段的垂直平分线【新知归纳】线段垂直平分线的性质：即：如图，∵直线l 是线段AB 的垂直平分线, 点P 在直线l 上∴ .【活动探究】例1.如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm, 求△BCE的周长。
例2.如图，点A、B在直线m的同侧，点B'是点B关于m的对称点，A B'交m于点P．⑴A B'与AP+PB相等吗？为什么？⑵在m上再取一点Q，并连接AQ与QB，比较AQ+QB与AP+PB的大小，并说明理由．河流外婆家小孩家 【课堂检测】1．如图，已知AB 是线段CD 的垂直平分线，E 是AB 上的一点，如果∠ECD=55°，那么下 列说法错误的是（ ）A ．EC=EDB ．EF ⊥CDC ．∠D=55°D ．EC=CD3．如图，有一条河，河岸的同一侧住着一个小孩和他的外婆。
小孩每天上学前要到河边提一桶水送给外婆。
问题（1）若他想到河边某一点去取水，使得所走的两段路程相等。
请你画出取水点P 的位置。
问题（2）若他想到河边某一点去取水，使得所走的路程最短。
请你画出取水点Q 的位置。
【课后巩固】1．如图1：AB是线段CD的垂直平分线，则图中全等三角形对数有（）A．2对 B．3对 C．4对 D．5对2．如图2，在△ABC中，∠ABC=∠C,∠A=50°，DE是AB的垂直平分线，E为垂足，交AC于点D，则∠ABD= °，∠DBC= °.3．如图3，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，交BC于E，交AC于D．若△ABD周长为10，AC=7，则AB长是 .图1图2 图34．已知：如图，在△ABC中，边AB、BC的垂直平分线m、n相交于点O。
1.4 线段、角的轴对称性 练习(1)
学案1.4 线段、角的轴对称性知识与基础1、在下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A 、一条线段B 、两条相交直线C 、有公共端点的两条相等的线段D 、有公共端点的两条不相等的线段2、有下列图形：（1）两个点；（2）一条线段；（3）一个角；（4）一个长方形；（5）两条相交直线；（6）两条平行线。
其中轴对称图形共有（ ）A 、3个B 、4个C 、5个D 、6个3、如图，OC 平分∠AOB ，点P 在OC 上，PD ⊥OA 于D ，PE ⊥OB 于E ，若∠1＝20º，则∠3＝______º；若PD ＝1cm ，则PE ＝_________cm. A AD C DPO E B B E C4、如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点E ，交AB 于点D ，△ACE 的周长为11cm ，AB ＝4cm ，则△ABC 的周长为__________cm.5、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°,BD 平分∠ABC CD ：AD ＝2：3，则点D 到AB 的距离为A D CPA B6、如图，直线交于点O ，点P 关于l 1、l 2的对称点分别为P 、P 。
（1）若l 1、l 2相交所成的锐角∠AOB ＝60°，则∠P 1OP 2＝_________；（2）若OP ＝3，P 1P 2＝5，则△P 1OP 2的周长为_________。
7、如图，在△ABC 中，AD 是边BC 的垂直平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F 。
（1）AD 是∠BAC 的角平分线吗？为什么？（2）写出图中所有的相等线段，并说明理由。
应用与拓展8、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 互相垂直平分，交点为O ，写出图中所有相等的线段和相等的角，A O C并说明理由。
B9、“西气东输”是造福子孙后代的创世工程，现有两条高速公路l 1、l 2和两个城镇A 、B （如1 2 3图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇等距离，请你画出中心站的位置。
苏科版数学八年级上册教学设计《2-4线段、角的轴对称性(1)》
苏科版数学八年级上册教学设计《2-4线段、角的轴对称性（1）》一. 教材分析《苏科版数学八年级上册》第三章是关于几何图形的对称性，本节课是该章节的第一节，主要内容是2-4线段和角的轴对称性。
教材通过引入日常生活中的实例，让学生感受对称性的存在，从而引导学生探究线段和角的对称性质。
教材先从线段的对称性入手，让学生了解线段的对称轴和轴对称的性质，再引入角的对称性，让学生探究角的对称轴和轴对称的性质。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了平面几何的基本概念，对图形的性质有一定的了解。
但对称性这一概念对学生来说较为抽象，需要通过实例和活动让学生感受和理解。
学生在学习过程中，需要从实际问题出发，通过观察、操作、猜想、验证等环节，体会对称性的存在和意义。
三. 教学目标1.理解线段和角的对称性质，掌握线段和角的对称轴的定义。
2.能够判断一个线段或角是否具有对称性，并找出其对称轴。
3.会用对称性解释一些实际问题，提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.教学重点：线段和角的对称性质，对称轴的定义。
2.教学难点：如何判断一个线段或角是否具有对称性，如何找出其对称轴。
五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、操作验证法、小组讨论法等，引导学生从实际问题中发现对称性，通过操作和验证理解对称性，通过小组讨论深化对对称性的理解。
六. 教学准备1.准备一些具有对称性的线段和角的实例，用于导入和呈现。
2.准备一些操作工具，如直尺、量角器等，用于学生操练。
3.准备一些练习题，用于巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些具有对称性的线段和角的实例，如折纸、剪纸等，引导学生观察和思考：这些图形有什么共同的特点？它们是如何形成的？从而引出对称性的概念。
2.呈现（10分钟）介绍线段和角的对称性质，讲解对称轴的定义。
通过展示线段和角的轴对称的动画，让学生直观地理解对称性质。
同时，让学生尝试判断一些线段和角是否具有对称性，并找出其对称轴。
1.4线段、角的轴对称性(1)教案
教案1．4线段、角的轴对称性(1)【学习目标】：1.经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念；2 .探索并掌握线段的垂直平分线的性质.【重点难点】：线段中垂线的性质和判定【预习指导】：自学课本18页到19页，回答下列问题并写下疑惑摘要问题1：线段是轴对称图形吗？为什么问题2线段的对称轴是什么？问题3已知线段MN=3cm ,直线l是MN的垂直平分线。
分别以M,N 为圆心，2cm的长为半径画弧，两弧相交于点G、H，并观察点G,H与直线l有什么关系?课堂活动活动一对折线段问题1：按要求对折线段后，你发现折痕与线段有什么关系？问题2：按要求第二次对折线段后，你发现折痕上任一点到线段两端点的距离有什么关系？结论：1＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿例题：P18 例1这是一道文字描述的几何说理题，对大多数同学来说容易理解，但不易叙述，因此要做一定的分析，如：你能读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样一个结论？题中的已知条件和要说明的结论能画出图形来表示吗？根据图形你能说明道理吗？活动二用圆规找点问题1：你能用圆规找出一点Q，使AQ＝BQ吗？说出你的方法并画出图形（保留作图痕迹），还能找出符合上述条件的点M吗？问题2：观察点Q、M，与直线l有什么关系？符合上述条件的点你能找出多少个？它们在哪里？结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿活动三用直尺和圆规作线段的垂直平分线1.按课本上19页的方法在书上作出线段的垂直平分线；2.同位可画出不同位置的线段，相互作出线段的垂直平分线结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿【典题选讲】：已知：如图，AB=AC=12 cm，AB的垂直平分线分别交AC、AB于D、E，△ABD的周长等于29 cm，.求DC的长【学习体会】：【课堂练习】：1、如图，△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，若BC=25cm ，求△AEG的周长？2.在下图中分别作出点P 关于OA 、OB 的对称点C 、D ，连结C 、D 交OA 于M ，交OB 于N,若CD=5厘米，求ΔPMN 的周长.3、滨海政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A 、B 、C 之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等.C BA（ 编写者：李晓红）· BO A。
线段、角的轴对称性(1)
文新学堂数学学科导学案（第次课）教师：陈晶学生：年级：八年级上课时间：年月日段星期：课题线段、角的轴对称性教学目标重点、难点[要点综述]：?新知导入：1、回答：（1）线段是轴对称图形吗？为什么？（2）线段的对称轴是什么？2、请按要求画图并回答问题结论：1、__________________________________________；2、__________________________________________。
思考：不在垂直平分线上的点到两端点的距离相等吗？例1：如图，要在公路旁设一个公共汽车站，车站应设在什么地方，才能使A、B两村到车站的距离相等？变式训练：1、如下图,在直线AB上找一点P,使PC =PD.2、利用网格线画线段PQ的垂直平分线：3、有特大城市A及两个小城市B、C，这三4、已知A、B两点,在l点上找一点p,使得AP+BP最短。
个城市共建一个污水处理厂，使得该厂到A、B、C三城市的距离相等，试确定污水处理厂的位置。
例2：如图，△ABC中，AB+AC=6cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长是多少厘米？变式训练：1、到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点2、如图,△ABC中，DE垂直平分AC，与AC交于E，与BC交于D，∠C=15°, ∠BAD=60°，则△ABC是__________三角形.3、如图，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD：∠CAD=3：1，则∠B＝_______.4、如图，己知AB=AC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E两点，若AB=12cm，BC=10cm, ∠A=49o，求△BCE的周长和∠EBC的度数.5、如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC于点E，边AC的垂直平分线交BC于点D，若BC＝8，求△ADE的周长．例3：已知，如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1，l2相交于点O。
轴对称的性质及线段、角的对称性(1)
轴对称总复习之一——轴对称图形、线段和角【知识梳理】知识点1、轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于对称，也称这两个图形成，这条直线叫做，两个图形中的对应点叫做．知识点2、轴对称图形定义：，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。
轴对称与轴对称图形的区别和联系区别：联系：1：2;【例题精讲】例1：如图，阴影部分是由5个大小相同的小正方形组成的图形，请分别在图中方格内涂两个小正方形，使涂后所得阴影部分图形是轴对称图形．例2：如图，如下图均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在四个图中各画出一个与△ABC成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．巩固练习1.如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格点为顶点的三角形，请在下面所给的格纸中一一画出所有符合条件的三角形．（所给的六个格纸未必全用）2.如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形．知识点3、线段的垂直平分线(重点)1.定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条直线的，也叫中垂线。
2.线段的垂直平分线必须满足两个条件：①；②．3.轴对称的性质（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等．（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线．知识点4、成轴对称的图形的画法画一个图形关于某条直线对称的图形，其步骤为：①首先要确定哪条直线是对称轴；②然后在已知图形中找特殊点，过此点作对称轴的垂线段并延长一倍，即得到对称点；③顺次连接对称点。
知识点5、线段的轴对称性(重点、难点)线段是轴对称图形，它的对称轴有条，分别是．线段垂直平分线的性质：．线段垂直平分线的判定：．知识点6、线段的垂直平分线的作法(重点)用尺规作线段AB的垂直平分线的方法：1．分别以A、B为圆心，为半径画弧，两弧相交于点C、D．2．过C、D两点作直线．直线CD就是线段AB的垂直平分线．画图，理由如下：知识点7、角的轴对称性(重点、难点)角是轴对称图形，它的对称轴有条，对称轴是．角平分线的性质：．角平分线的判定：．注：“距离”指垂直到直线的线段长度。
八上 1.4 线段、角是轴对称性(1)
1.4 线段、角是轴对称性（1）--- ( 教案)班级 姓名 学号教学目标：1、线段、角的轴对称的性质的掌握；2、线段的垂直平分线的作法，性质的掌握；3、角平分线的作法、性质的掌握教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质教学过程：教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合教学过程：一、情境创设：如图，A,B,C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回设计师，在图中确定学校的位置，你能办到吗？相信通过本课的学习，你就会轻易的解决这个问题新授：1、让学生准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线段AB ，折纸，使两端点重合，你发现了什么？ 学生通过动手和讨论得到结论：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2练习：如图，直线l ⊥AB ，垂足为C ，CA=CB ，点M 在l 上，那么 .你还能得出一个更一般的结论吗？结论： 线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等B C例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？思考题：如图1，已知线段AB，你能否利用圆规找一点Q，使点Q到A、B的距离相等，观察点Q是否在直线l上？老师巡视，给予个别辅导最后给出肯定答案：即：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3、用尺规作图法作线段的垂直平分线在总结上一题的基础上，老师给出作图过程和作图方法，学生在理解的基础上模仿，掌握用尺规作图作线段的垂直平分线的方法.师生共同总结：如果直线l是线段AB的垂直平分线，那么，若点P在l上，则PA=PB；若QA==QB，则点Q在l上.由此，可得到：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合二、例题示范：例2、如图10.2.2，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE ＝6，求△BCE的周长．图10.2.2。
2.4线段、角的轴对称性(1)说课稿-苏科版八年级数学上册
2.4 线段、角的轴对称性（1）说课稿-苏科版八年级数学上册一、教材分析本节课是苏科版八年级数学上册中的第2.4节，主要介绍线段和角的轴对称性。
通过本节课的学习，学生将掌握线段和角的轴对称定义、判断和绘制轴对称图形的方法。
在前面的学习中，学生已经学习了线段和角的基本概念和性质，理解了线段和角的度量和运算方法。
通过本节课的学习，可以进一步加深对线段和角的理解，并通过绘制轴对称图形的练习，提高学生的问题解决能力和几何思维能力。
二、教学目标知识与技能目标：1.理解线段的轴对称定义及其性质；2.理解角的轴对称定义及其性质；3.掌握判断线段和角是否具有轴对称的方法；4.能够根据已知条件绘制具有轴对称性的图形。
过程与方法目标：1.注重观察和思考，培养学生的几何思维和推理能力；2.引导学生通过实例分析和讨论，理解轴对称性的概念和特点；3.鼓励学生进行合作学习和探究，培养团队合作意识和解决问题的能力。
情感态度与价值观目标：1.培养学生的观察力和细致心思，培养学生对几何学习的兴趣和热情；2.培养学生的合作精神和团队意识，鼓励学生互帮互助，共同进步。
三、教学重点与难点教学重点：1.线段的轴对称性及其判断方法；2.角的轴对称性及其判断方法；3.绘制具有轴对称性的图形。
教学难点：1.引导学生理解轴对称的概念和特点；2.培养学生观察和分析问题的能力。
四、教学过程与方法引入新知：1.利用实例引入轴对称的概念，例如一把剪刀、一个图形等，让学生观察并发现其中的特点；2.引导学生分析并总结轴对称的特点，例如镜面对称；3.引入线段和角的轴对称性的概念，让学生讨论并理解。
讲解与练习：1.通过示例和图形，讲解线段的轴对称性，并引导学生掌握判断线段是否具有轴对称性的方法；2.通过示例和图形，讲解角的轴对称性，并引导学生掌握判断角是否具有轴对称性的方法；3.组织学生进行练习，巩固判断线段和角是否具有轴对称性的能力。
拓展与应用：1.引导学生思考如何绘制具有轴对称性的图形；2.组织学生进行绘制图形的练习，培养他们的几何思维和创造力；3.引导学生分析和讨论绘制图形的方法和策略。
线段、角的轴对称性(1)
BH
C
M
E
N
0 F
∠AOC=∠BOC
PD⊥OA， PE⊥OB
PD=PE
A D
PC
O
EB
性质定理：在角的平分线上的点到这个
角的两边的距离相等.
判定定理：到一个角的两边的距离相等的
点，在这个角的平分线上.
角平分线是到角的两边距离相等的点的
集合.
动脑筋 已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC
上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
E
M
D
B
NF
C
动脑筋 已知：在∠ABC中，D是
∠ABC平分线上一点,E、F分别在AB、AC
上，且DE=DF. 试判断∠BED与∠BFD的
关系，并说明理由.
A
M
E
D
B
NF
C
动脑筋 已知：在ΔABC中，D是BC
上一点,DE⊥BA于E,DF⊥AC于F,且DE=DF. 线段AD与EF有何关系?并说明理由.
C E
D
A
B
F
●本节课你还有哪些疑问?
与轴对称有关的问题
判定定理：和一条线段两个端点距离相等
垂直平分线是到线段两端距离相等的点 的集合.
例题讲解 已知:如图,在ΔABC中, AB、
BC的中垂线交于点O，那么点O在AC的中垂 线吗？为什么？
A ME
·O
B
C
FN
随堂练习 如图，在△ABC中, ∠ACB=900,AB的中垂线交BC于E,垂足 为D,∠CAE:∠EAB=3:2,则∠B=___ ．
C M
1.4线段、角的轴对称性(1)
l Q● ● P
A
B
我们大家动动脑筋： 我们大家动动脑筋：
怎样用圆规和直尺作一条线段的 垂直平分线？ 垂直平分线？
试一试: 已知:如图 如图,在 试一试 已知 如图 在∆ABC中, 中
的垂直平分线交于P. 边AB，BC的垂直平分线交于 ， 的垂直平分线交于 试说明PA=PB=PC吗? 试说明 吗
A
B
C
实际问题
1、求作一点P，使它和 、求作一点 ， 已知△ 已知△ABC的三个顶点 的三个顶点 距离相等. 距离相等
数学化
实
A
际 问 题 1
B
p
C
PA=PB=PC
A
实际问题2 实际问题
国道L 沪段） 在312国道 （昆—沪段）的同 国道 有两个工厂A、 ， 侧，有两个工厂 、B，为了便于 两厂的工人看病， 两厂的工人看病，市政府计划在公 路边上修建一所医院， 路边上修建一所医院，使得两个工 厂的工人都没意见， 厂的工人都没意见，问医院的院址 应选在何处？ 应选在何处？
A
C
问题1：线段是轴对称图形吗？ 问题 ：线段是轴对称图形吗？ 为什么？ 为什么？
探索活动： 探索活动：
1请你准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线 请你准备一张薄纸， 准备一张薄纸 AB，折纸，使两端点重合. 段AB，折纸，使两端点重合.
探究1 按要求对折线段后， 探究1：按要求对折线段后，你发现折痕 与线段有什么关系？ 与线段有什么关系？
初中数学八年级 上册
(苏科版) 苏科版)
初中数学八年级 上册
(苏科版) 苏科版)
1.4线段的对称性(1) 1.4线段的对称性(1) 线段的对称性
2.4 线段、角的对称性(1)示范课
公路 A′
八（上）----线段、角的对称性（1）
这节课的收获是……
问题：如果直线l是线段AB的垂直平分线, 那么线段AB是轴对称图形吗？
八（上）----线段、角的对称性（1）
1
直线l是线段AB的垂直平分线， 把OA沿直线l翻折180°你发现了什么？
线段是轴对称图形 线段的垂直平分线是它的对称轴
八（上）----线段、角的对称性（1）
2
（1）在垂直平分线l上任取一点 Ｐ，
Ｑ
Ｑ
八（上）----线段、角的对称性（1）
P52
1.利用网格线画图：画线段ＰＱ的垂直平分线
P
O 23
A
1
Q
∴直线OA就是要画的垂直平分线
八（上）----线段、角的对称性（1）
P52
实际问题
转化
数学问题
2.如图,要在公路旁设一个公共汽车站,车站应 设在什么地方,才能使A、B两村的距离相等？
P
公路 P ∴点P就是要找的点
八（上）----线段、角的对称性（1）
定理
线段垂直平分线上的点到线段 两端的距离相等. 符号语言
∵点Ｐ在线段AB的垂直平分线上
（或OP⊥AB,OA=OB） ∴ＰA=ＰB
八（上）----线段、角的对称性（1）
例题讲解
1.已知,如图பைடு நூலகம்B =AC =12cm, 直线DE垂直 平分AB交AC、AB 于D、E， 若BC=5 cm，求△BCD的周长
八（上）----线段、角的对称性（1）
例题讲解
1.已知,如图AB =AC =12cm, 直线DE垂直 平分AB交AC、AB 于D、E，
变式1 若△BCD的周长 =20 cm， 求BC的长
课件：1.4.1线段、角的轴对称性(1)
B
L
312 国 道
实际问题
2、如图，在直线L上求 、如图，在直线 上求 作一点P， 作一点 ，使PA=PB.
数学化
实 际 问 题
A
2
B L
数学问题源于生活实 践，反过来数学又为 生活实践服务 PA=PB
p
小结： 小结：
1.线段的轴对称性 线段的轴对称性 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线 3.利用线段的垂直平分线的 利用线段的垂直平分线的 性质解决实际问题
A
B
C
实际问题
1、求作一点P，使它和 、求作一点 ， 已知△ 已知△ABC的三个顶点 的三个顶点 距离相等. 距离相等
数学化
实
A
际 问 题 1
B
p
C
PA=PB=PC
A
实际问题2 实际问题
国道L 沪段） 在312国道 （昆—沪段）的同 国道 有两个工厂A、 ， 侧，有两个工厂 、B，为了便于 两厂的工人看病， 两厂的工人看病，市政府计划在公 路边上修建一所医院， 路边上修建一所医院，使得两个工 厂的工人都没意见， 厂的工人都没意见，问医院的院址 应选在何处？ 应选在何处？
A
C
问题1：线段是轴对称图形吗？ 问题 ：线段是轴对称图形吗？ 为什么？ 为什么？
探索活动：对折线段 探索活动：对折线段AB 探究1：按要求对折线段后， 探究 ：按要求对折线段后，你发 现折痕与线段有什么关系？ 现折痕与线段有什么关系？ 探究2：按要求对折线段后， 探究 ：按要求对折线段后，你发现 折痕上任一点到线段两端点的距离有 什么关系？ 什么关系？
问题2：由此你能得到
什么规律？ 什么规律？ 结论： 结论：
1.线段是轴对称图形，线段的 线段是轴对称图形， 线段是轴对称图形 垂直平分线是它的对称轴； 垂直平分线是它的对称轴；
2.4 线段、角的轴对称性(1) 2
数学教学设计
教 作 材：义务教育教科书·数学（八年级上册） 者：王正东（盐城市射阳县长荡初级中学） 2.4 线段、角的轴对称性（1）
1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理，能利用所学知识提出问题并解决生活中的实际问题； 2．能利用基本事实有条理的进行证明，做到每一步有根有据，渗透反证法的思想；
根据 “线段的垂直平分线上的点到线段两 端的距离相等” ，因为点 Q 在 AB 的垂直平分 线上，所以 QA＝QB．
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于是 PA＝PQ＋QA＝PQ＋QB． 因为三角形的两边之和大于第三边， 所以 PQ＋QB＞PB，即 PA＞PB． 练习：课本 P52 练习 1、2．
Q l P
解．另外对于文字题
利用题中的已知条件和要说明的结论画出图
师通过逐层提问、分
法，引导学生画出图
图形你能证明吗？试一试，让学生自己作图， 外任取一点 P，连接 PA、PB，设 PA 交 l 于点 Q，连接 QB．
A
语言表示出命题，巩
B
并给出结论和证明．
的思考方法与表达形
评，用幻灯片给出解答过程：
本题是线段的垂
：线段的垂直平分线外的点到这条线段两端的
质的应用，主要是让
？
完成证明： 线段垂直平分线上的点到线段 较线段垂直平分线上 两端的距离相等．
生展开讨ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
的点与线段的两个端
读懂题目吗？题中已知哪些条件？要说明怎样
解：线段的垂直平分线外的点，到这条线 关系，进一步加深对 段两端的距离不会相等． 如图，在线段 AB 的垂直平分线 l
点
线段和角的对称性典型例题
线段和角的轴对称性知识梳理1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的.（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段距离的点在线段的上．细节剖析线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的平分线，画出到线段两个的距离，这样就出现线段，直接或间接地为构造三角形创造条件.三角形三边交于一点，该点到三角形三顶点的相等，这点是三角形外接圆的圆心—— .:2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的.（2）角平分线上的点到角两边的相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的上.细节剖析（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的相等.若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，则PE＝PF.（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的上.若PE∠AD于点E，PF∠BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB典型例题【考点1】角平分线的性质【例1】（2019秋•淮安期末）如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP∠OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则∠ODQ的面积是（）A．4B．5C．10D．20【变式1】（2019秋•南开区期末）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD∠CD，∠ADB＝∠C．若P是BC边上一动点，则DP长的最小值为（）A．1B．6C．3D．12【变式2】（2019秋•裕华区校级期末）如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE∠AC 于点E，且PE＝3，AP＝5，点F在边AB上运动，当运动到某一位置时∠F AP面积恰好是∠EAP面积的2倍，则此时AF的长是（）A．10B．8C．6D．4【变式3】（2019秋•樊城区期末）小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C ．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D ．以上均不正确【考点2】线段垂直平分线的性质【例2】（2019秋•宿豫区期中）如图，在△ABC 中，BC ＝8，AB 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 、E ，△BCE 的周长为18，则AC 的长等于（ ）A ．12B ．10C ．8D ．6【变式1】（2020春•郫都区期末）如图，在△ABC 中，∠C ＝31°，∠ABC 的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么∠A 的度数为（ ）A ．31°B ．62°C ．87°D ．93°【变式2】（2019秋•海安市期末）如图，在△ABC 中，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，连接AE ，BE ，作直线EF 交AB 于点M ，连接CM ，则下列判断不正确的是（ ）A ．AB ＝2CM B ．EF ⊥ABC ．AE ＝BED ．AM ＝BM【变式3】（2019秋•涟源市期末）如图，△ABC 中，∠C ＝90°，ED 垂直平分AB ，若AC＝12，EC ＝5，且△ACE 的周长为30，则BE 的长为（ ）A ．5B ．10C ．12D ．13本次课课后练习知识点1：角平分线的性质1.（2020春•丹东期末）如图，在ABC ∆中，BD 是AC 边上的高，AE 平分CAB ∠，交BD 于点E ，8AB =，3DE =，则ABE ∆的面积等于( )A ．15B ．12C ．10D ．142.（2020秋•渝中区校级月考）如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，6BC =，10AB =，CAB ∠和ABC ∠的平分线交于点O ，OM BC ⊥于点M ，则OM 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．43.（2020春•五华区校级期末）在四边形ABCD 中，ADC ∠与BCD ∠的角平分线交于点E ，115DEC ∠=︒，过点B 作//BF AD 交CE 于点F ，2CE BF =，54CBF BCE ∠=∠，连接BE ，254BCE S ∆=，则CE = ．4.（2019秋•濉溪县期末）如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，CD 平分ACB ∠交AB 于点D ，DE AC ⊥于点E ，//BF DE 交CD 于点F ．求证：DE BF =．知识点2：线段垂直平分线的性质5.（2020•枣庄）如图，在ABC∆中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若6∆的周长为()BC=，5AC=，则ACEA．8B．11C．16D．176.（2020春•太原期末）如图，在ABC∠=︒，AB边的垂直平分线交AB于点D，∆中，80BAC交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则EAG∠的度数为()A．15︒B．20︒C．25︒D．30︒7.（2019秋•贵阳期末）如图，ABC∆中，AB的垂直平分线交AC于点E，BC的垂直平分线交AC于点F，点D，G分别是垂足，若6FC=，则ABC∆的周长AE=，8EF=，10是．8.（2020春•东明县期末）如图，在ABC∆中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，A ABE∠=∠．（1）求证：DF是线段AB的垂直平分线；（2）当AB AC∠的度数．∠及F=，46A∠=︒时，求EBC。
八上 1.4 线段、角是轴对称性(1)
1.4 线段、角是轴对称性（1） (教案)班级 姓名 学号教学目标：1、线段、角的轴对称的性质的掌握；2、线段的垂直平分线的作法，性质的掌握；3、角平分线的作法、性质的掌握教学重点：探索并掌握线段的垂直平分线的性质教学过程：教学难点：线段的垂直平分线是具有特殊性质的点的集合教学过程：一、情境创设：如图，A,B,C 三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学问题，计划建一所小学，要使学校到三所村庄的距离相等.请你当一回设计师，在图中确定学校的位置，你能办到吗？相信通过本课的学习，你就会轻易的解决这个问题新授：1、让学生准备一张薄纸，在这薄张上任意画一条线段AB ，折纸，使两端点重合，你发现了什么？ 学生通过动手和讨论得到结论：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.2练习：如图，直线l ⊥AB ，垂足为C ，CA=CB ，点M 在l 上，那么 .你还能得出一个更一般的结论吗？结论： 线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等B C例1、线段的垂直平分线外的点，到这条线段两端点的距离相等吗？为什么？思考题：如图1，已知线段AB，你能否利用圆规找一点Q，使点Q到A、B的距离相等，观察点Q是否在直线l上？老师巡视，给予个别辅导最后给出肯定答案：即：到线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.3、用尺规作图法作线段的垂直平分线在总结上一题的基础上，老师给出作图过程和作图方法，学生在理解的基础上模仿，掌握用尺规作图作线段的垂直平分线的方法.师生共同总结：如果直线l是线段AB的垂直平分线，那么，若点P在l上，则PA=PB；若QA==QB，则点Q在l上.由此，可得到：线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合二、例题示范：例2、如图10.2.2，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE ＝6，求△BCE的周长．图10.2.2。
2.4线段、角的轴对称性(1)(2)
_________________________________．的周，厘米，的垂直平分线．．如图，要在公路旁设一个公交车的停车站，停车站应设在什么地方，，边BC的垂直平分线分别交AB、AC于点2.4线段、角的轴对称性（2）课型：新授课主备人：董兰审核人：凌林授课时间：2014.9二次备课【学习目标】1．探索并证明线段垂直平分线的性质定理的逆定理，会用尺规作线段的垂直平分线；2．能利用所学知识提出问题并解决实际问题；3．经历探索线段的轴对称的过程，在“操作——探究——归纳——证明”的过程中培养思考的严谨性和表达的条理性．【学习重点】利用线段的轴对称性探索线段垂直平分线的性质定理的逆定理．【学习难点】灵活运用线段垂直平分线的性质解决实际问题．【预习作业】1．线段的垂直平分线上的点_____________________________________．2．到线段两端距离相等的点，在_________________________________．3．如图．∵QA＝QB．∴____________________________．4．到三角形的三个顶点距离相等的点是（）A.三条角平分线的交点B.三条中线的交点C.三条高的交点D.三条边的垂直平分线的交点5．如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，两线相交于点P，分别交AB边、BC边于点E、F∵点P是AB边垂直平线上的一点∴_____ =_________ （）．同理，PB=______．∴______ = ______（等量代换）．∴点P在AC的垂直平分线上．（到线段两端距离相等的点,在这条线段的______________________）∴AB，BC，AC的垂直平分相交于同一点．6．有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处）你能根据图形用符号语言表示你发现的结论吗？在线段的垂直平分线上的点都具有同一个性质而毫无例外；反之，具有这一性质的点都在这条线段的垂直平分线上而无一遗漏。
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定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．
2.4 线段、角的对称性（1）
牛刀小试
1.如图，P是线段AB的垂直平分线上的一 点．已知线段PA＝5，则线段PB的长为
_____.
第1题图
l
2.如图，点P在线段AB的垂直平分线L上，L
P
与AB相交于点O，PA=5cm，OB=3cm，则
PB=_____cm,△PAB的周长为______cm。
跑道
P
2.4 线段、角的对称性（1）
实际问题
数学化
变式：如图，把点Ａ、Ｂ在直线l的两侧。 在直线l上求作一点P，使PA=PB.
A
l
P
B
2.4 线段、角的对称性（1）
迁移与应用
7.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,若牧童从A处将 牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路 程最短？
A′
NM
A
B
A
B
DE
C
变式2 如图，△ABC中边BC的垂直平分线交AB于点 D，交BC于点E ，AB=12，BD=3，求AC的取值范围。
2.4 线段、角的对称性（1）
走进生活
6 .如图，三位同学在操场上玩游戏，小明和小红分 别站在A、B两点，小芳从跑道某处去追他们，小芳该 从哪里出发，对小明和小芳才公平。
B A
2.4 线段、角的对称性（1）
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段是轴对称图形吗？，它的对称轴在哪里？为什么?
A
B
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
在线段AB的垂直平分线l上任意找一
l
点P，连接PA、PB，PA与PB相等吗？
P
∵点P是线段AB的垂直平分线上的点 ∴PA＝PB ．
12
ห้องสมุดไป่ตู้
A
OB
2.4 线段、角的对称性（1）
变式 如图，已知，∠AOB内有一点P，求作△PQR， 使Q在OA 上，R在OB上，且使△PQR的周长最小. 当P'P''=10cm时，△PQR的周长=_______cm
P′ A
Q P
●
O
R
B
P″
2.4 线段、角的对称性（1）
说说你本节课你有什么收获？
l
P
Q
12
A
O
B
2.4 线段、角的对称性（1）
牛刀小试
5.如图，△ABC中，AB＋AC＝6cm，BC 的垂直平分线 l与AC相交于点D，则△ABD 的周长是多少？
课堂练习
变式1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 于___8___．
12
A
OB
第2题图
2.4 线段、角的对称性（1）
牛刀小试
3.利用网格线画线段AB的垂直平分线．
A
B
l2
2.4 线段、角的对称性（2）
4.如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线 l1，l2相交于点O．证明：OB=OC。
A
l1
O
l2
B
C
2.4 线段、角的对称性（1）
想一想
线段垂直平分线外的点到这条线段两端的距离相 等吗？为什么？请你画出图形，试着说明.