结构力学——第9章渐进法

在力矩的分配传递过程中，柱中原 有的剪力保持不变而不增加新的剪力 —无剪力分配法。
§9-4 无剪力分配法
图a 所示刚架，各横梁均为无侧移杆，各竖柱均为剪力静定杆。只 加刚臂阻止各结点的转动，不阻止其线位移，如图b。
此时，各层柱子两端均无转角，只有侧移。分析任一层柱子例如 BC 两端的相对侧移时，可将其看作是下端固定上端滑动。如图c
10
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
计算过程如下图
1、放松结点1，其 不平衡力矩为 -300kN· m，反号分 配并传递，如图。 2、放松结点2，其 不平衡力矩为 150+75=225kN· m， 反号分配并传递， 如图。 3、结点1有了新的 不平衡力矩 -64kN· m，反号分 配并传递，如图。
§9-4 无剪力分配法
例9-4 试用无剪力分配法计算图a所示刚架。
解： 各柱端的劲度系数=柱的线刚度。
计算固端弯矩，柱AC：
F F M AC 5kN m，M CA 15kN m
柱CE：除本层荷载外还有柱顶剪力10kN。
F F M CE 25kN m，M EC 35kN m
与上端固定下端滑动同样角度时的受力和变形状态完全相同，如图f。 因而，可推知其劲度系数为i，传递系数为-1。
BA
i 1 3 2i 6 ， BC i 3 2i 7 i 3 2i 7
§9-4 无剪力分配法
固定结点时：柱AB的剪力是静定的 。 放松结点时：柱B端的分配弯矩乘以-1传到A端， AB 杆的弯矩为常数而剪力为0。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一半刚架的弯矩图如图d。
原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略）
§9-4 无剪力分配法
图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两 组，如图b、c。
荷载正对称时如图b， 结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。 荷载反对称时如图c， 结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法：适用于连续梁和无结点线位移的刚架计算。 劲度系数 杆件AB（如图）的A断转动单 位角时，A端（近端）的弯矩 MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB表示。
劲度系数标志该杆端抵抗 转动能力的大小，又称为转动 刚度。与杆件的线刚度有关， 与杆件另一端（远端）的支承 情况有关。
如图所示连续梁 各杆件线刚度为i 分配系数为
4i 1 4i 1 ，12 4i 4i 2 4i 4i 2 4i 4 3i 3 21 ， 23 4i 3i 7 4i 3i 7
固端弯矩为
F F M 01 300kN m，M 10 300kN m F F M 12 600kN m，M 21 600kN m F F M 23 450kN m，M 32 0
取一半结构计算，如图d。
由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪 力静定杆→可用无剪力分配法求解。
§9-4 无剪力分配法
计算过程如图a。
§9-4 无剪力分配法
弯矩图如图b。
求F点的竖向位移时，静定的基本体系如图c。
ΔFy
1 Fl 1523l 1 2l 1811l 2 2l 1155l 5 2l [ EI 10000 2 3 3 2 3 3 2 6 3 511l 4 2l 770l 2 2l 896l 1 2l Fl 3 ] 0.0476 () 2 6 3 2 6 3 2 6 3 EI
解： 将支座去掉以反力代替其作用， 利用对称性，将荷载和反力分解为 对x轴正、反对称两组。 正对称时：略去轴向变形影响，各杆弯矩皆为0； 反对称时：可用无剪力分配法求解，如图b。
§9-4 无剪力分配法
图b所示结构外力平衡，有确定的内力和变形，但可以有 任意的刚体位移。假设H点不动，B点无水平位移，如图c。 图c与图b受力相同。
如此反复将各结点的不平衡力矩进行分 配和传递，直到传递弯矩的数值小到可以略 去，停止计算。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-2 试用力矩分配法计算图a 所示连续梁，并绘制弯矩图。
解：EF的内力是 静定可去掉。 1、计算分配系数 设i=2EI/8m。
DC BC
4i 0.625 4i 3 0.8i DE BA 0.375
§9-2 力矩分配法的基本原理
传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用 CAB表示。
C AB M BA M AB
等截面直杆的劲度系数和传递系数 远端支承情况 固 定 铰 支 滑 动 自由或轴向支杆 劲度系数S 4i 3i i 0 传递系数C 0.5 0 -1
§9-2 力矩分配法的基本原理
(a )
（a）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的； 第二项相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大 小的比例分配给各近端→分配弯矩。
1 j
S
S1 j
分配系数
同一结点
1j

1j
1
§9-2 力矩分配法的基本原理
各杆远端弯矩为
C12 S12 F ( M 1Fj ) M 21 C12[ 12 ( M 1Fj )] S1 j F M 31 M 31 C13[ 13 ( M 1Fj )] F M 41 M 41 C14[ 14 ( M 1Fj )]
r11 4i12 3i13 i14 S12 S13 S14 S1 j
→汇交于结点1的各杆端劲度系数总和
§9-2 力矩分配法的基本原理
由叠加法 M M P M 1Z1
F 12
各杆近端弯矩为
S12 F F F M 12 M ( M 1 j ) M 12 12 ( M 1 j ) S1 j S13 F F F F M 13 M 13 ( M 1 j ) M 13 13 ( M 1 j ) S1 j S14 F F F F M 12 M 14 ( M 1 j ) M 14 14 ( M 1 j ) S1 j
§9-5 剪力分配法
适用于所有横梁为刚性杆、竖柱为弹性杆的框架结构。
图a所示排架的横梁为刚性二力杆，只有一个独立结点线位移Z1。为 求此位移，将各柱顶截开，得隔离体如图b所示。
F
各柱顶剪力与柱顶水平位移Z1的关系可查表得
x
0，F FS12 FS34 FS56
FS12
3i34 3i56 3i12 Z ， F Z ， F Z1 1 S34 1 S56 2 2 2 h h h
F SCB 2ql
§9-4 无剪力分配法
推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁， 除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于柱顶以上 各层所有水平荷载的代数和。
图d为放松结点c时的情形。 结点c转动角度θC，BC、CD两柱将产生相对侧移。 由平衡条件，两柱剪力均为0处于纯弯矩受力状态。 各柱的劲度系数取各自的线刚度i，传递系数为-1。 注意：汇交于结点c的各杆才产生变形而受；。 B以下各层无任何位移固不受力； D以上各层随D点一起运动，各杆两端无相对 侧移，故不受力。 放松结点C时，力矩的分配传递只在CB、CD、 CF三杆范围内进行。放松其他结点时同理。
柱EG：除本层荷载外还有柱顶剪力20kN。
F F M EG 45kN m，M GE 55kN m
§9-4 无剪力分配法
计算分配系数，如图b。 整个计算过程如图b。 弯矩图如图c。
§9-4 无剪力分配法
例9-5 试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求 结点F的竖向位移。
§9-4 无剪力分配法
取反对称的半刚架如图a所示。
查表可得 ql 2 ql 2 F F M AB ，M BA 3 6 F SBA 0，F SAB ql
全部水平荷载由柱 的下端剪力平衡。 横梁BC：两端无相对线位移—无侧移杆件 竖柱AB：由于支座C无水平反力，其剪力是静定的 —剪力静定杆件
解：这是一个对称结构，承受正对称荷载，取一半结构如图b。 设：EI/8m=1， 各杆线刚度如图上 圆圈中所注。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
计算过程如图c。
校核各结点处的杆端弯矩是否满足平衡条件：
M M
Bj Cj
54.4 4.7 59.1 0 27.5 12.2 15.3 0
图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1， 其典型方程为
r11Z1 R1P 0
M P、M 1 图如图b、c
F F F R1P M12 M13 M14 M1Fj
→刚臂反力矩或结点上的不平衡力矩
解典型方程得
F R1P M 1 j Z1 r11 S1 j
2、计算固端弯矩
F M DE 2kN m F M DC 5.62kN m F M CD 9.38kN m
各固端弯矩及计算过程如图b
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-3 试用力矩分配法计算图a所示刚架。
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-1 试作图a所示刚架的弯矩图。
解：（1）计算各杆端分配系数。
（2）计算固端弯矩，查表计算。
30kN / m (4m) 2 M 40kN m 12 30kN / m (4m) 2 F M AB 40kN m 12 3 50kN 4m F M AD 75kN m 8 50kN 4m F M DA 25kN m 8
M
F Aj
(40 75)kN m 35kN m
§9-2 力矩分配法的基本原理
（4）计算杆端最后弯矩。并作弯矩图如图c。
近端弯矩=固端弯矩+分配弯矩 远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
对于具有多个结点转角但无侧移的结构，需先固定所有 结点，然后各结点轮流放松。把各结点的不平衡力矩轮流地 进行分配、传递，直到小到可以停止。
F BA
令iAB=iAC =EI/4=1，则iAD=2。
AB AC AD
4 1 4 0.445 4 1 3 1 2 9 3 0.333 9 2 0.222 9
§9-2 力矩分配法的基本原理
（3）进行力矩的分配和传递。结点A的不平衡力矩为
计算过程如图b。
（1）固定结点。加刚臂阻止结点B转动，不阻止其线位移，如图b。
柱AB上端不能转动，但可自由地水平滑行，相当于下端固定上端滑动的梁 ， 如图 。因其水平位移并不影响内力，相当于一端固定另一端铰支的梁 横梁c BC
§9-4 无剪力分配法
（2）放松结点。结点B即转动Z1角，同时也发生水平位移，如图d。
当上端转动时柱AB的剪力为0，处于纯弯曲受力状态，如图e。
第 九章 渐进法
§9-1 概述
§9-2 力矩分配法的基本原理
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9-4 无剪力分配法 §9-5 剪力分配法
§9-1 概 述
位移法
计算超静定结构→
力 法
→组成和解算典型方程
力矩分配法
无剪力分配法 迭代法 →位移法的变体 →避免组成和解算典型方程
易于掌握，适合手算，可不计算结点位移而直接求得杆端弯矩 。
F M 21 M 21
( b)
（b）式的第一项为固端弯矩； 第二项是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例 传到各远端→传递弯矩。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法的步骤
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（1）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有 固端弯矩。 （2）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩， 计算各近端的分配弯矩及各远端的传递 弯矩。 （3）各杆端弯矩。近端=固端弯矩+分配弯矩； 远端=固端弯矩+传递弯矩