结构力学——第9章渐进法
合集下载
第9章渐进法
M 图 （ kN.m ）
§9.2用力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架
上节通过单结点的连续梁说明了力矩分配法的基本思路，对于多 结点的连续梁或无结点线位移的刚架，只要逐次对每一个结点应用上 述基本运算，就可以求出最终杆端弯矩。下面举例说明其计算过程。
例2 如图示连续梁，作M图。 解：在B、C结点引入刚臂 求出固端弯矩
-42.3/ i
-17.94
7.7/ i
5.15
例4 如图示对称结构，用力矩分配法作M图（EI=常数）。
解：此结构和荷载均为双对称
因此仅取 ¼ 结构即可。 固端弯矩
F 2 M AG 1 qlAg 22.5kN.m 3
q=30kN/m
A B C
3m
F
E D
M
F GA
ql
1 6
1 12
2 Ag
如图所示，对于BK杆根据转角位移方程得
F M BK 4i BK B 2i BK K M BK F M KB 2i BK B 4i BK K M KB
K B J
iBK
iBJ
上式中消去K， 得 1
B
M BK
2
M KB
1 1 M KB M BJ M JB 2 2 i BK i BJ
杆端 AB BA 0.4 0 0 BC 0.6 -300
Fp=400kN q=40 kN/m
A i=2 6m B i=3 3m 3m C i=4 6m D
如：
CB 0.5 300 分配系数 固端弯矩 0.5
图(a)
CD DC
SAB
1
2 传递系数C
传递系数： 一单跨超静定梁的一端（A端）单位转角时，发生于远 端（B端）的弯矩与近端（A端）的弯矩之比。
9第九章渐近法6
M AB
A
C
BC ( M B ) M BC
MAB= MABF+ M AB
13
然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 F 200kN 150 kN m MAB = 20kN/m 8 90 300 F= 150 kN m M BA EI EI C B A 2 20 6 90kN m MBCF= 3m 6m 3m 8 MB= MBAF+ MBCF= 60 kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150 150 0.429
D
9.8 1.7
4.89
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9
1.65 0.07 1.72
-1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6
-4.65 -0.25 -4.90
M图 (kN m)
F
E
21
22
结点 杆端 μ
A AB 0
E EB BE 0.263
0.03 －0.01 －0.01 －0.01 M 0 －1.42 －2.85 掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和+结点集中 力偶(逆时针为正,顺时针为负)
A
C
BC ( M B ) M BC
MAB= MABF+ M AB
13
然后各跨分别叠加简支梁的弯矩图，即得最后弯矩图。
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 F 200kN 150 kN m MAB = 20kN/m 8 90 300 F= 150 kN m M BA EI EI C B A 2 20 6 90kN m MBCF= 3m 6m 3m 8 MB= MBAF+ MBCF= 60 kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150 150 0.429
D
9.8 1.7
4.89
-0.5 0.15 0.15 0.2 43.45 3.45 -46.9
1.65 0.07 1.72
-1.0 -0.5 -0.7 24.4 -9.8 -14.6
-4.65 -0.25 -4.90
M图 (kN m)
F
E
21
22
结点 杆端 μ
A AB 0
E EB BE 0.263
0.03 －0.01 －0.01 －0.01 M 0 －1.42 －2.85 掉静定伸臂,将其上荷载向结点作等效平移。
有结点集中力偶时,结点不平衡力矩=固端弯矩之和+结点集中 力偶(逆时针为正,顺时针为负)
结构力学教案第9章用渐进法计算超静定梁和刚架
结构力学教案第9章用渐进法计算超静定梁和刚架第九章用渐进法计算超静定梁和刚架9．1 力矩分配法的基本概念一、力矩分配法中使用的几个名词 1、转动刚度（S ij )使等截面直杆某杆端旋转单位角度?=1时，在该端所需施加的力矩。
2．传递系数（C ij ）远端弯矩与近端弯矩之比称为传递系数，用C ij 表示。
3、分配系数（μi j ）杆ij 的转动刚度与汇交于i 结点的所有杆件转动刚度之和的比值。
（a ）MBM ACADM（a ）A BS AB=3EI/lBS AB =EI/l（c ）（d ）（b ）S=0二、用力矩分配法计算具有一个结点铰位移的结构 1、解题思路2、解题步骤（1）在刚结点上加上刚臂（想象），使原结构成为单跨超静定梁的组合体，计算分配系数。
（2）计算各杆的固端弯矩，进而求出结点的不平衡弯矩。
（3）将不平衡弯矩（固端弯矩之和）反号后，按分配系数、传递系数进行分配、传递。
（4）将各杆的固端弯矩、分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆的最后弯矩。
3、例题: 例9?1 试作图示连续梁的弯矩图。
各杆EI 为常数。
M BM f BC M f BACB A (b)A(a)例9?2 试作图示刚架的弯矩图。
9．2用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架一、基本概念1、力矩分配法是一种渐近法。
2、每次只放松一个结点。
3、一般从不平衡弯矩绝对值较大的结点算起。
二、计算步骤1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。
2、计算个杆端的固端弯矩。
3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点上的传递弯矩小到可以略去不计为止。
4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加，即得各杆端的最后弯矩。
B 120kN 89.8三、例题: 试用弯矩分配法计算图示连续梁，绘弯矩图。
M 图(kN.m)A300kN30kN/m160kNM图(kN.m)例9?4用力矩分配法计算图9?8（a）所示的刚架，并绘M图。
9．3 无剪力分配法一、无剪力分配法的应用条件刚架中除两端无相对线位移的杆件外，其余杆件都是剪力静定杆件。
结构力学李廉锟 第9章_渐近法
§9-1 引言
力矩分配法的理论基础是位移法，力矩 分配法中对杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩 的正负号规定，与位移法相同（顺时针旋转 为正号）。
§9-2 力矩分配法的基本原理 一、力矩分配法中几个概念
1. 转动刚度（劲度系数）
转动刚度表示杆端抵抗转动的能力。它在数值上 等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。其值与 杆件的线刚度i=EI/l及远端的支承情况有关。
B 28i
10 i SAB 28 i
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-3 图示梁的AC 杆为刚性杆段，CB 杆段EI=常数。 求SAB ,CAB。
A A l l CC l l BB AA
θθ ==1 1
a)
C C
B B
θθ l l
SAB S AB A
3i 3
iΔ /l=3 33i /l=3 i i C C
§9-2 力矩分配法的基本原理
3．传递系数
远端弯矩（传递弯矩） 1 M AB M BA C AB M BA 2
MB A B
B
C
M CB 0 CCB M BA
M BA C AB M AB
—— 称为由A 端向B 端的传递系数。
上述计算过程可归纳为：
结点B作用的力偶，按各杆的分配系数分配给各杆 的近端；远端弯矩等于近端弯矩乘以传递系数。 思考：汇交于同一结点的各杆杆端的分配系数之 和∑μ(B) 应等于多少？
1
M AB = 4i
A
EI l
B
M B A= 2i
转动刚度
S AB 4i
A端一般称为近端，B端一般称为远端。
§9-2 力矩分配法的基本原理
1
MAB =3i
09渐进法与近似法
E BC杆件看作：一端固定一端滑动单元。
i
C
A
B
其中：
AB
i 3i i
0.25
AD AB BA
0.75 0.25 0.2
BE
0.6
C BC CB
0.2
BC
i 3iii
0.2
FBgC
2FPL16kN 2
9.6
-8.0 -8.0 -4.8 4.8 3.2 -3.2
-16.0 -16.0
§9-1 力矩分配法的基本概念
L
解方程，得：
1
3i
M i 4i
M 8i
2 EI
M
1 EI 4
EI
每个单元 的转动刚度
回代，得
3
L
L
M 12i1s1 21s1s2M12 M
M 12 34i 1s121s1s3M1M 3
+
M 143i 1s121s1s4M1M 4
FP
1
2
原结构
=
…
FP
1
2
+
-MB
1
2
+
-MC
1
2
+
把结点固定起来，求 固端弯矩。
用单结点的力矩分配 法，对1结点的不平衡 力矩进行分配。
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
§9-3 多结点力矩分配法
例1：用力矩分配法计算图示连续梁。
2kN
i
i
i
4m
4m
4m
0.5 0.5
14.4
4.8 -4.8
…
§9-5 近似法
i
C
A
B
其中：
AB
i 3i i
0.25
AD AB BA
0.75 0.25 0.2
BE
0.6
C BC CB
0.2
BC
i 3iii
0.2
FBgC
2FPL16kN 2
9.6
-8.0 -8.0 -4.8 4.8 3.2 -3.2
-16.0 -16.0
§9-1 力矩分配法的基本概念
L
解方程，得：
1
3i
M i 4i
M 8i
2 EI
M
1 EI 4
EI
每个单元 的转动刚度
回代，得
3
L
L
M 12i1s1 21s1s2M12 M
M 12 34i 1s121s1s3M1M 3
+
M 143i 1s121s1s4M1M 4
FP
1
2
原结构
=
…
FP
1
2
+
-MB
1
2
+
-MC
1
2
+
把结点固定起来，求 固端弯矩。
用单结点的力矩分配 法，对1结点的不平衡 力矩进行分配。
锁住1结点，用单结点 的力矩分配法，对2结 点的不平衡力矩进行分 配。
§9-3 多结点力矩分配法
例1：用力矩分配法计算图示连续梁。
2kN
i
i
i
4m
4m
4m
0.5 0.5
14.4
4.8 -4.8
…
§9-5 近似法
结构力学 渐进法
EI=1 6m
D
iBC iCD
M F -60
1 2 S 4 BA 6 3 S 4 1 1 BC 4
1 6 2 1 8 4 1 6
B
分 14.7 配 与 传 1.5 递
0.2
Mij -43.6 43.6 A 21.9
0.3
92.6 -92.6 92.6 B
B
F
CB 0.445 CF 0.222 0.333 CD
单独使用时对连续梁和无结点线位移刚架的 计算特别方便。
一、基本概念
（1）转动刚度（S）： 使杆端发生单位转角时需要施加的杆端弯矩。 SAB=4i
A B
SAB=3i
1
A B
1
SAB=i
A B
SAB=0
A
B
1
SAB=4i SAB与杆的i（材料的性质、横截面 的形状和尺寸、杆长）及远端支承 有关， 而与近端支承无关。
F 21 2
A
q 12kN / m
M1
1
M2
2
B
28.6
50
6.1
100
-28.6 -57.1 -42.9
21.4
-9.2 -12.2
1.8 1.8
-6.1
6.1 3.5 2.6
放松结点1(结点2固定):
S12 4i S1 A 3i 12 0.571 1 A 0.429
… … ...
41.3
-41.3
0
2 3 0.4 BA 2 1 3 0.6 BC 1 S 4 1 CB 4 S 3 1 1 CD 6 2
结构力学 第九章07 渐近法
j =1
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
显然， 结点各杆的分配系数总和恒等于1 显然， A结点各杆的分配系数总和恒等于1。
分配力矩：将A结点的不平衡力矩改变符号， 结点的不平衡力矩改变符号， 分配力矩： 乘以交汇于该点各杆的分配系数， 乘以交汇于该点各杆的分配系数，所得到的杆端 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 弯矩称为该点各杆的分配力矩（分配弯矩）。 传递系数：三类位移法基本杆件AB，当仅 传递系数：三类位移法基本杆件AB， 其一端产生转角位移时， 其一端产生转角位移时，远端的杆端弯矩和近 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 端的杆端弯矩的比值，称为该杆的传递系数， 记作C 例如对位移法三类等直杆 记作CAB 。 C AB = 1 / 2 C AB = 0 C AB = −1 i A B A i B A i B 显然，传递系数也仅与远端约束有关。 显然，传递系数也仅与远端约束有关。
C ij =
4iφA EI A φA 3iφA EI A φA l iφA EI A φA l B l 0 B -iφA B 2iφA
M ji M ij
CAB=2iϕA/ 4iϕA=1/2 CAB=0/ 3iϕA=0
CAB=-iϕA/ iϕA=-1
二、举例说明力矩分配法的基本原理
解题思路: 1、解题思路: P
1、确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 确定各结点处杆端力矩的分配系数、传递系数。 计算个杆端的固端弯矩。 2、计算个杆端的固端弯矩。 3、逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡，直至结点 逐次循环放松各结点，以使结点弯矩平衡， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 上的传递弯矩小到可以略去不计为止。实际应用时， 一般只进行二、三轮的分配和传递。 一般只进行二、三轮的分配和传递。 将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 4、将各杆端的固端弯矩与历次分配弯矩、传递弯矩相加， 即得各杆端的最后弯矩。 即得各杆端的最后弯矩。
结构力学09第九章渐近法
MB11kN.m
9 B -8
例9-1-2 讨论悬臂端的处理。
200kN
20kN/m
30kN
A
EI B
EI C D
a)
3m
3m
6m
2m
解： 切除CD段，则BC杆的C端有顺时针方向
的力矩60kN.m，该力矩在BC杆产生固端弯 矩，见图 b）。
200kN
20kN/m 60KN.m 30kN
A
EI B
3m
B
C
32.13
158.56 M图（ kN.m ）
例题9-1-1 作图示刚架 M 图。
解：
10kN.m
12kN
6kN/m
1）求分配系数 i E I
4
A
D I (i) B I (i)
S BA 3i SBD 4i
(2i) 2I
4m
SBC23i6i
BA
3 13
0.231
C
2m 2m
4m
BC
6 13
分配法进行计算，见图 c）。
解： i E I
6
1）求分配系数
SBA 4i
BA
4 7
0.571
SBC 3i
BC
3 7
0.429
2）求固端弯矩
M A FB1 82006150kN.m MB FA1 82006150kN.m
MB FC1 8206290kN.m
结点B约束力矩为： 结点B分配力矩为：
SBA35i15i S BC 3i
BA
5 6
BC
1 6
2）结点C处的分配系数是为了解决固端弯矩 的求解问题。
3）上面的计算过程等同于下图所示的处理方
lv_9渐进法及超静定结构影响线解析
结 构 力 学
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
力学建立方程，数学渐近解
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
传递
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4 -3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4 1.3 ← 2.6 1.9 → 1 - 0.6 → -0.3 0.5 -0.5 ← 0.3 100 100 40.3
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 8
例1. 作图示连续梁弯矩图。 167.2
（1）固定B结点 MAB=
M图(kN· m) 115.7 200kN 60 20kN/m MBA= 150 kN m 2 90 20 6 300 90kN m MBC= EI EI C B 8 A 150 -90 -150 MB= MBA+ MBC= 60 kN m 3m 6m 3m （2）放松B，即加-60分配 + -60 设i =EI/l 计算转动刚度： 0.571 0.429 SBA=4i SBC=3i A -17.2 4i -34.3 B -25.7 0 C 分配系数： BA 4i 3i 0.571 0.571 A -150 -17.2 -167.2 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7 C 分配力矩: 0 0
分配传递 -20.8 -4.2
第九章 渐进法及 超静定结构影响线
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 1
9-1 渐近法概述
1、结构力学的渐近法
不建立方程式，直接逼近真实受力状态。
力学建立方程，数学渐近解
本章讲解第二种方法，其突出的优点是每一步都有明确 的物理意义。
2、不建立方程组的渐近解法有：
传递
50 50 → 25 16.7 ← 33.3 7.2 ← 14.3 10.7 → 5.4 -3.6 - 3.6 → 1.8 -2.7 ← -5.4 1.3 ← 2.6 1.9 → 1 - 0.6 → -0.3 0.5 -0.5 ← 0.3 100 100 40.3
计算单刚结点无侧移结构的解是精确的。
2019年4月6日4时45分 By Lvyanping 8
例1. 作图示连续梁弯矩图。 167.2
（1）固定B结点 MAB=
M图(kN· m) 115.7 200kN 60 20kN/m MBA= 150 kN m 2 90 20 6 300 90kN m MBC= EI EI C B 8 A 150 -90 -150 MB= MBA+ MBC= 60 kN m 3m 6m 3m （2）放松B，即加-60分配 + -60 设i =EI/l 计算转动刚度： 0.571 0.429 SBA=4i SBC=3i A -17.2 4i -34.3 B -25.7 0 C 分配系数： BA 4i 3i 0.571 0.571 A -150 -17.2 -167.2 0.429 150 B -90 -34.3 -25.7 115.7 -115.7 C 分配力矩: 0 0
分配传递 -20.8 -4.2
渐进法
——比例系数μAj MAj＝μAjM ——加于A点的M按μAj分配到各杆A端
分配系数
Aj
S
A
S Aj
—— 表示杆Aj的转动刚度 在交于A点各杆的转动刚度之和中所占比例 关系式： Aj＝ AB＋ AC＋ AD＋ AE＝1
A
（4）固端弯矩MF（同位移法,表8－1）
2、基本运算（单结点力矩分配）
力学过程 a)受载结构的实际受力、变形（θB、θC） b)B、C加约束，各杆隔离（独立受力、变形） 阻止结点B、C转动→MB、MC （荷载作用产生的不平衡力矩） c)放松B，（C仍约束）即加反向力矩（－MB） B结点单结点力矩分配、传递 → MC‘（结点C不平衡力矩） d)约束B，（在 c）状态基础上）放松C， 即加反向力矩 －(MC＋MC') C结点单结点力矩分配、传递 → MB‘（结点B不平衡力矩） e)约束c，（在 d)状态基础上）放松B，… …
（悬－铰）
题9－13～15（对称性）
*题9－16（简捷计算）
8/3
8
1
4 8
2
8
0.8
3.2
4
4
【例9－3】对称结构，取半跨。 （无剪力）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ动支座
§9－5无剪力分配法
无侧移刚架 ——力矩分配法 特殊的有侧移刚架 ——无剪力分配法 无剪力分配法概念： 1.基本原理 与力矩分配法相同——i、s、μ、c、MF。 2.应用条件： 刚架中除两端无相对线位移的杆件外， 其余杆件都是剪力定杆件。
剪力分配法（反弯点法） ——侧移刚度
[例]图示刚架，横梁刚度∞，作用水平结点力 柱端滑动杆——抗剪刚度 Q → r= 12i/l2 （Δ=1，侧移刚度） 位移法解：
结构力学-第9章渐进法
F
各柱顶剪力与柱顶水平位移Z1的关系可查表得
FS12 3i12 h
2
x
转动刚度 (劲度系数)标志该杆 端抵抗转动能力的大小。与杆 件的线刚度有关，与杆件另一 端（远端）的支承情况有关。
§9-2 力矩分配法的基本原理
传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用 CAB表示。
C AB M BA M AB
M BA C AB M AB
等截面直杆的劲度系数和传递系数 远端支承情况 固 定 铰 支 滑 动 自由或轴向支杆 劲度系数S 4i 3i i 0 传递系数C 0.5 0 -1
解：（1）计算各杆端分配系数。
（2）计算固端弯矩，查表计算。
30kN / m ( 4m) 12 30kN / m ( 4m) 12 3 50kN 4m 8 50kN 4m 8 25kN m 75kN m
2 2
M
F BA
40kN m 40kN m
令iAB=iAC =EI/4=1，则iAD=2。
M
AB AC AD
4 1 4 1 3 1 2 3 9 2 9 0.222 0.333
F AB
4 9
0.445
M AD
F
M DA
F
§9-2 力矩分配法的基本原理
（3）进行力矩的分配和传递。结点A的不平衡力矩为
§9-4 无剪力分配法
查表可得
M
F AB
ql
2
，M
3
F BA
ql
2
6
F SBA 0，F SAB ql
全部水平荷载由柱的 下端剪力平衡。 横梁BC：两端无相对线位移—无侧移杆件 竖柱AB：由于支座C无水平反力，其剪力是静定的 —剪力静定杆件 柱AB相当于下端固定上端滑动的梁， 横梁BC因其水平位移并不影响内力，相当于一端固定另一端铰支的梁 。 i 1 3 2i 6 BA ， BC
结构力学完整：第九章《渐近法》ppt课件
.
2
§9—1 引 言
计算超静定结构，不论采用力法或位移法，均要组成 和解算典型方程，当未知量较多时，其工作量非常大。为 了寻求较简捷的计算方法，自本世纪三十年代以来，又陆 续出现了各种渐进法，力矩分配法就是其一。
渐进法的共同特点是，避免了组成和解算典型方程， 而以逐次渐进的方法来计算杆端弯矩，其结果的精度随计
1
A
MAB =4i
EI
L SAB=MAB=4i
的弯矩按一定比例传到远端一样，
1
故将B端弯矩与A端弯矩之比称为由
A
A端向B端的传递系数，用CAB表示。M=3AiB
即
CAB
M BA M AB
或 MBA=CABMAB
由右图或表(10—1)可得
1
A
MAB =i
EI
SAB=MAB=3i
EI
SAB=MAB=i
远端固定时： CAB=0.5 远端铰支时： CAB=0 远端滑动支撑： CAB=－1
然后可按叠加法 MMPM1Z1计算各杆端的最后弯
矩。
返回
.
7
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M
F 12
S 12 S1
j
(M1Fj )
M1F2
12 (M1Fj)
M13=M1F3SS113j (M1Fj) M 1F313 (M 1Fj)
M14=M1F4SS114j (M1Fj)M 1F414(M 1Fj)
算轮次的增加而提高，最后收敛于精确解。
这些方法的概念生动形象，每轮计算的程序均相同，
易于掌握，适合手算，并可不经过计算结点位移而直接求
得杆端弯矩。在结构设计中被广泛采用。
返回
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
M
F Aj
(40 75)kN m 35kN m
§9-2 力矩分配法的基本原理
（4）计算杆端最后弯矩。并作弯矩图如图c。
近端弯矩=固端弯矩+分配弯矩 远端弯矩=固端弯矩+传递弯矩
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
对于具有多个结点转角但无侧移的结构，需先固定所有 结点，然后各结点轮流放松。把各结点的不平衡力矩轮流地 进行分配、传递，直到小到可以停止。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法：适用于连续梁和无结点线位移的刚架计算。 劲度系数 杆件AB（如图）的A断转动单 位角时，A端（近端）的弯矩 MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB表示。
劲度系数标志该杆端抵抗 转动能力的大小，又称为转动 刚度。与杆件的线刚度有关， 与杆件另一端（远端）的支承 情况有关。
F M 21 M 21
( b)
（b）式的第一项为固端弯矩； 第二项是将各近端的分配弯矩以传递系数的比例 传到各远端→传递弯矩。
§9-2 力矩分配法的基本原理
力矩分配法的步骤
（1）固定结点。加入刚臂，产生不平衡力矩；各杆端有 固端弯矩。 （2）放松结点。在结点上加上一个反号的不平衡力矩， 计算各近端的分配弯矩及各远端的传递 弯矩。 （3）各杆端弯矩。近端=固端弯矩+分配弯矩； 远端=固端弯矩+传递弯矩
§9-4 无剪力分配法
例9-4 试用无剪力分配法计算图a所示刚架。
解： 各柱端的劲度系数=柱的线刚度。
计算固端弯矩，柱AC：
F F M AC 5kN m，M CA 15kN m
柱CE：除本层荷载外还有柱顶剪力10kN。
F F M CE 25kN m，M EC 35kN m
§9-5 剪力分配法
适用于所有横梁为刚性杆、竖柱为弹性杆的框架结构。
图a所示排架的横梁为刚性二力杆，只有一个独立结点线位移Z1。为 求此位移，将各柱顶截开，得隔离体如图b所示。
F
各柱顶剪力与柱顶水平位移Z1的关系可查表得
x
0，F FS12 FS34 FS56
FS12
3i34 3i56 3i12 Z ， F Z ， F Z1 1 S34 1 S56 2 2 2 h h h
10
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
计算过程如下图
1、放松结点1，其 不平衡力矩为 -300kN· m，反号分 配并传递，如图。 2、放松结点2，其 不平衡力矩为 150+75=225kN· m， 反号分配并传递， 如图。 3、结点1有了新的 不平衡力矩 -64kN· m，反号分 配并传递，如图。
F SCB 2ql
§9-4 无剪力分配法
推知：不论刚架有多少层，每一层柱子均可视为上端滑动下端固定的梁， 除了柱身承受本层荷载外，柱顶处还承受剪力，其值等于柱顶以上 各层所有水平荷载的代数和。
图d为放松结点c时的情形。 结点c转动角度θC，BC、CD两柱将产生相对侧移。 由平衡条件，两柱剪力均为0处于纯弯矩受力状态。 各柱的劲度系数取各自的线刚度i，传递系数为-1。 注意：汇交于结点c的各杆才产生变形而受；。 B以下各层无任何位移固不受力； D以上各层随D点一起运动，各杆两端无相对 侧移，故不受力。 放松结点C时，力矩的分配传递只在CB、CD、 CF三杆范围内进行。放松其他结点时同理。
§9-4 无剪力分配法
取反对称的半刚架如图a所示。
查表可得 ql 2 ql 2 F F M AB ，M BA 3 6 F SBA 0，F SAB ql
全部水平荷载由柱 的下端剪力平衡。 横梁BC：两端无相对线位移—无侧移杆件 竖柱AB：由于支座C无水平反力，其剪力是静定的 —剪力静定杆件
r11 4i12 3i13 i14 S12 S13 S14 S1 j
→汇交于结点1的各杆端劲度系数总和Βιβλιοθήκη §9-2 力矩分配法的基本原理
由叠加法 M M P M 1Z1
F 12
各杆近端弯矩为
S12 F F F M 12 M ( M 1 j ) M 12 12 ( M 1 j ) S1 j S13 F F F F M 13 M 13 ( M 1 j ) M 13 13 ( M 1 j ) S1 j S14 F F F F M 12 M 14 ( M 1 j ) M 14 14 ( M 1 j ) S1 j
取一半结构计算，如图d。
由于假设H点无水平位移，此时竖杆均为无侧移杆，所有横梁都是剪 力静定杆→可用无剪力分配法求解。
§9-4 无剪力分配法
计算过程如图a。
§9-4 无剪力分配法
弯矩图如图b。
求F点的竖向位移时，静定的基本体系如图c。
ΔFy
1 Fl 1523l 1 2l 1811l 2 2l 1155l 5 2l [ EI 10000 2 3 3 2 3 3 2 6 3 511l 4 2l 770l 2 2l 896l 1 2l Fl 3 ] 0.0476 () 2 6 3 2 6 3 2 6 3 EI
（1）固定结点。加刚臂阻止结点B转动，不阻止其线位移，如图b。
柱AB上端不能转动，但可自由地水平滑行，相当于下端固定上端滑动的梁 ， 如图 。因其水平位移并不影响内力，相当于一端固定另一端铰支的梁 横梁c BC
§9-4 无剪力分配法
（2）放松结点。结点B即转动Z1角，同时也发生水平位移，如图d。
当上端转动时柱AB的剪力为0，处于纯弯曲受力状态，如图e。
§9-2 力矩分配法的基本原理
传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用 CAB表示。
C AB M BA M AB
等截面直杆的劲度系数和传递系数 远端支承情况 固 定 铰 支 滑 动 自由或轴向支杆 劲度系数S 4i 3i i 0 传递系数C 0.5 0 -1
§9-2 力矩分配法的基本原理
图a所示刚架用位移法计算时，只有一个结点转角Z1， 其典型方程为
r11Z1 R1P 0
M P、M 1 图如图b、c
F F F R1P M12 M13 M14 M1Fj
→刚臂反力矩或结点上的不平衡力矩
解典型方程得
F R1P M 1 j Z1 r11 S1 j
柱EG：除本层荷载外还有柱顶剪力20kN。
F F M EG 45kN m，M GE 55kN m
§9-4 无剪力分配法
计算分配系数，如图b。 整个计算过程如图b。 弯矩图如图c。
§9-4 无剪力分配法
例9-5 试作图a所示空腹梁（又称空腹桁架）的弯矩图，并求 结点F的竖向位移。
第 九章 渐进法
§9-1 概述
§9-2 力矩分配法的基本原理
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架 §9-4 无剪力分配法 §9-5 剪力分配法
§9-1 概 述
位移法
计算超静定结构→
力 法
→组成和解算典型方程
力矩分配法
无剪力分配法 迭代法 →位移法的变体 →避免组成和解算典型方程
易于掌握，适合手算，可不计算结点位移而直接求得杆端弯矩 。
2、计算固端弯矩
F M DE 2kN m F M DC 5.62kN m F M CD 9.38kN m
各固端弯矩及计算过程如图b
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
3、计算杆端最后弯矩，作弯矩图如图c。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
例9-3 试用力矩分配法计算图a所示刚架。
§9-2 力矩分配法的基本原理
例9-1 试作图a所示刚架的弯矩图。
解：（1）计算各杆端分配系数。
（2）计算固端弯矩，查表计算。
30kN / m (4m) 2 M 40kN m 12 30kN / m (4m) 2 F M AB 40kN m 12 3 50kN 4m F M AD 75kN m 8 50kN 4m F M DA 25kN m 8
与上端固定下端滑动同样角度时的受力和变形状态完全相同，如图f。 因而，可推知其劲度系数为i，传递系数为-1。
BA
i 1 3 2i 6 ， BC i 3 2i 7 i 3 2i 7
§9-4 无剪力分配法
固定结点时：柱AB的剪力是静定的 。 放松结点时：柱B端的分配弯矩乘以-1传到A端， AB 杆的弯矩为常数而剪力为0。
§9-3 用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架
一半刚架的弯矩图如图d。
原刚架的弯矩图可利用对称性作出。（略）
§9-4 无剪力分配法
图a所示单跨对称刚架，可将荷载分为正、反对称两 组，如图b、c。
荷载正对称时如图b， 结点只有转角，没有侧移，可用力矩分配法计算。 荷载反对称时如图c， 结点有转角，还有侧移，要采用无剪力分配法计算。
解： 将支座去掉以反力代替其作用， 利用对称性，将荷载和反力分解为 对x轴正、反对称两组。 正对称时：略去轴向变形影响，各杆弯矩皆为0； 反对称时：可用无剪力分配法求解，如图b。
§9-4 无剪力分配法
图b所示结构外力平衡，有确定的内力和变形，但可以有 任意的刚体位移。假设H点不动，B点无水平位移，如图c。 图c与图b受力相同。
(a )
（a）式的第一项为固端弯矩，荷载产生的； 第二项相当于把不平衡力矩反号后按劲度系数大 小的比例分配给各近端→分配弯矩。
1 j
S
S1 j
分配系数
同一结点
1j
1j
1
§9-2 力矩分配法的基本原理
各杆远端弯矩为
C12 S12 F ( M 1Fj ) M 21 C12[ 12 ( M 1Fj )] S1 j F M 31 M 31 C13[ 13 ( M 1Fj )] F M 41 M 41 C14[ 14 ( M 1Fj )]