高三上期数学周练试卷

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高三(上)第一次周考数学试卷

→ →高三（上）第一次周考数学试卷一.选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 设集合 A = {x|y = ln (1 − x)}，集合 B = {y|y = x 2}，则 A ∩ B = ( ) A.[0, 1] B.[0, 1) C.( − ∞, 1] D.( − ∞, 1)2. 已知函数 f(x)的定义域为( − 1, 0)，则函数 f(2x + 1)的定义域为（） A.f(cos A) < f(cos B)B.f(sin A) < f(cos B)C.f(sin A) > f(sin B)D.f(sin A) > f(cos B)10. 已知函数 f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c 有两个极值点x 1，x 2，若 f(x 1) = x 1 < x 2，则关于 x 的方程 3（f(x)） 2 + 2af(x) + b = 0 的不同实根个数为（） A.3 B.4 C.5 D.6 二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）A.( − 1, 1)B.( − 1, − 1)C.( − 1, 0)( 1,1)则f( 7)的值为．23. 则角α的终边在第几象限（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 12. 在△ABC 中，角 A 、B 、C 所对边的长分别为 a 、b 、c ，若a 2 + b 2 = 2c 2，则 cos C 的最小值等于_ __．4. ，其中α为向量a 和的夹角，若 u =A.− 33→ → → → →→ → b|sin αb5. A.4 1 条件（填充分不必要、必要不充分、充6. A.1 足|a| = | b| = | c|, a + b = c 6 < a, b >= ( )1 2 1 2 1 2 ②f(x)在区间[ − , ]上是单调递增；7.→AO1 1 A.2 38. + ) = x − a ，(0 ≤ x ≤ 4)的值域为集合 B ．A.fB.fC.fD.f(x)的最大值为19. 已知函数 f(x)的导函数图象如图所示，若△ABC 为锐角三角形，则一定成立的是（）（1）求角 B 的大小；（2）若 b = 13,a + c = 4，求△ABC 的面积．cos C， 2a+c．D. 2 2 11. 已知奇函数 f(x)满足 f(x + 2) =− f(x)，且 x ∈(0, 1)时，f(x) = 2x，已知点 P(tan α, cos α)在第三象限，已知 cos (x − π ) =− 3，则c os x + cos (x − π) = ( ) 13. 定义→ →是向量→和→的“向量积”，它的长度 → → →633 a ∗ b a b | a ∗ b| = | a|| 2 3B.±2 3 C.− 1 D.± 1(2, 0)， u − v = (1, − 3)，则| u ∗ ( u + v)| =．→ →→ →π已知向量 a = (cos θ,sin θ 2，0 B.4，0设非零向量→、→、→满 a b c 50∘ B.120∘ )，向量 b = C.→ → C. 3,1)，则|2 a − b|的最大值和最小值分别为（） 6.0D.4，4 2→ → → →，则 → → 0∘D.30∘→ → → → 14. 设α，β是锐角，则α + β = 是(1 + tan α)(1 + tan β) = 2 的4要和既不充分也不必要）．15. 关于函数 f(x) = cos 2x − 2 3sinx cos x ，下列命题： ①若存在x ，x 有x − x = π时，f(x ) = f(x )成立；π π6 3π在△ABC 中，AB →= 3，AC = 2，若 O 为△ABC 内部的一点，且满足：OA + OB+ OC = 0，则③函数 f(x)的图象关于点( ,0)成中心对称图象；125π ⋅ BC = ()21 ④将函数 f(x)的图象向左平移个单位后将与 y = 2sin 2x 的图象重合12其中正确的命题序号（注：把你认为正确的序号都填上）B.5对于函数 f(x) = cos 2(x − (x)在( π , π )内是递增的4 2(x)的图象关于原点对称 (x)的最小正周期为 2πC.π ) + sin 2(x 12D.4π ) − 1，下列选项中正确的是（）12三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16. 设关于 x 的函数 f(x) = lg (x 2 − 2x − 3)的定义域为集合 A ，函数 g(x （1）求集合 A ，B ；（2）若集合 A ，B 满足 A ∩ B = B ，求实数 a 的取值范围．17. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角 A 、B 、C 的对边，且cos B =−b3 318. 已知函数 f(x) = 3sin 2x+cos 2x+12cos x（1）求 f(x)的定义域和值域；π π（2）若曲线 f(x)在点 P （x 0, f(x 0)）( − 2 < x 0 < 2 )处的切线平行直线 y = x，求在点 P 处的切线方程．→→19. 已知向量 a = (cos 3x , sin 3x )， b = (cos x − sin x )，且x ∈[0, π]． 22222→→（1）已知a // b ，求 x ；→→→ →（2）若 f(x) = a ⋅ b − 2λ| a + b| + 2λ的最小值等于− 3，求λ的值．20. 定义在 R 上的单调函数 f(x)满足 f(3) = log 23 且对任意 x ，y ∈R 都有 f(x + y) = f(x) + f(y)．（1）求证 f(x)为奇函数；（2）若 f(k ⋅ 3x ) + f(3x − 9x − 2) < 0 对任意x ∈R 恒成立，求实数 k 的取值范围．21. 已知函数 f(x) = x 3 − 3ax + b 在 x = 1 处有极小值 2．（1）求函数 f(x)的解析式；（2）若函数 g(x) = mf′(x) − 2x + 3 在[0, 2]只有一个零点，求 m 的取值范围．参考答案与试题解析一.选择题：（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】B【考点】交集及其运算对数函数的定义域【解析】由集合A = {x|y = ln(1 − x)}，表示函数y = ln(1 − x)的定义域，集合B = {y|y = x2}，表示y = x2的值域，我们不难求出集合A，B，再根据集合交集的定义，不难得到答案．由cosα < 0，得α在第二、三象限∴α在第二象限．故选B．4.【答案】C【考点】两角和与差的余弦公式的应用【解析】先利用两角和公式把cos(x −π)展开后加上cos x 整理，进而利用两角和的余弦公式化简，把cos(x −π)的值代3 6入即可求得答案．【解答】解：∵cos(x − π ) =− 3，【解答】63解：∵ A = {x|y = ln(1 − x)} = {x|x < 1}，∴cos x + cos(x − π ) = cos x + 1 cos x + 3 sin xB = {y|y = x2} = {y|y ≥ 0}，∴ A ∩ B = [0, 1)． 3 33 2 23 1 π故选B2.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】原函数的定义域，即为2x + 1 的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为( − 1, 0)，= cos x + sin x = 3( cos x + sin x) = 3cos(x − ) =− 1．2 2 2 2 6故选C5.【答案】B【考点】向量的模【解析】先求出向量的坐标，再表示其模，根据三角函数的运算性质化成一角一函数的形式求最值即可．【解答】→→∴− 1 < 2x + 1 < 0，解得− 1 < x <− 1．2解：由题意可得2 a − b = (2cosθ − 3, 2sinθ − 1)，→ →∴则函数f(2x + 1)的定义域为( − 1, − 1 )．2∴|2 a − b| =故选B．3.【答案】B【考点】三角函数【解析】由题意，推导出tanα <0，确定α的象限，然后取得结果．α < 0【解答】解：∵P(tanα,cosα)在第三象限，∴tanα < 0，cosα < 0由tanα < 0，得α在第二、四象限，= 8 − 4 3cosθ − 4sinθ =当sin(θ + π) =− 1 时，上式取最大值4，3当sin(θ + π ) = 1 时，上式取最小值0，3故选：B6.【答案】B【考点】数量积表示两个向量的夹角【解析】根据向量加法的平行四边形法则，两个向量的模长相等可构成菱形的两条相邻边，三个向量起点处的对角线(2cosθ − 3)2 + (2sinθ − 1)2π 长等于菱形的边长，这样得到一个含有特殊角的菱形．【解答】解：由向量加法的平行四边形法则，解：函数 f(x) = 1 cos (2x − π ) + 1 − cos (2x + π)] − 12661 3 1 3 1 ∵ 两个向量的模长相等= ( cos 2x + sin 2x − 2 2 2 cos 2x + sin 2x) 2 2 →→1∴ a 、b 可构成菱形的两条相邻边， = sin 2x ，2 →→→π π π π∵ a + b = c令− + 2kπ ≤ 2x ≤ + 2kπ，k ∈Z ，得到− + kπ ≤ x ≤ + kπ，k ∈Z ，2244→→π π∴ a 、b 为起点处的对角线长等于菱形的边长， ∴两个向量的夹角是120 ∘，∴f(x)的递增区间为[ − + kπ, + kπ]，k ∈Z ，44当 x ∈( π , π)时，2x ∈( π, π)，此时函数为减函数，选项 A 错误；4 22故选 B ．7.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算【解析】当 x = 0 时，f(x) = 0，且正弦函数关于原点对称，选项 B 正确； ∵ ω = 2，∴最小正周期 T = 2π= π，选项 C 错误；2∵ − 1 ≤ sin 2x ≤ 1，∴f(x) = 1sin 2x 的最大值为1，选项 D 错误，22故选：B ．→→→→可知点 O 是三角形 ABC 的重心，再将向量 →、 →用向量 →和 →表示出来代入即可得到9. 先由OA + OB+ OC = 0答案．【解答】 AO BC AB AC 【答案】 D【考点】解：∵ →→→→， OA + OB+ OC = 0∴ 点 O 是三角形 ABC 的重心. 函数的单调性与导数的关系【解析】根据导数函数图象可判断；f(x)在(0, 1)单调递增，(1, + ∞)单调递减，→→→→→→∵AO = 1 (AB + AC),BC = AC− AB ，由△ABC 为锐角三角形，得 A + B > π，0 < π− B < A < π，再根据正弦函数，f(x)单调性判断．3→ →→→ → →→→【解答】2 2 2∴AO ⋅ BC = 1 (AB + AC) ⋅ (AC − AB) = 1(AC 2 − AB 2) = 1 (4 − 3) = 1.3 故选 C ． 3 3 3解：根据导数函数图象可判断；f(x)在(0, 1)单调递增，(1, + ∞)单调递减， ∵△ABC 为锐角三角形，∴A +B > π，0 < π− B < A < π，8.【答案】B【考点】求二倍角的余弦求两角和与差的正弦求二倍角的正弦三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性正弦函数的对称性【解析】函数 f(x)解析式前两项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后得到一个角的正弦函数，利用正弦函数的单调性，对称性，周期性，以及值域，即可做出判断．【解答】222∴0 < sin ( π− B) < sin A < 1，0 < cos B < sin A < 12f(sin A) > f （sin ( − B)），2即 f(sin A) > f(cos B)故选；D 10.【答案】A【考点】利用导数研究函数的极值根的存在性及根的个数判断【解析】由函数 f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c 有两个极值点x 1，x 2，可得 f′(x) = 3x 2 + 2ax + b = 0 有两个不相等的实数根，必有3 3 3 3 23 11 2△= 4a 2 − 12b > 0．而方程 3（f(x)） 2 + 2af(x) + b = 0 的△1 =△> 0，可知此方程有两解且 f(x) = x 1或x 2．再分别讨论利用平移变换即可解出方程 f(x) = x 1或 f(x) = x 2解的个数．【解答】解：∵ 函数 f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c 有两个极值点x 1，x 2， ∴ f′(x) = 3x 2 + 2ax + b = 0 有两个不相等的实数根， ∴ △= 4a 2 − 12b > 0．解得x = ∴f( 7) =− f(0.5) =− 22 =− 2故答案为：− 12.【答案】 1∵ x 1 < x 2，∴x 2【考点】余弦定理【解析】而方程 3（f(x)） 2 + 2af(x) + b = 0 的△1 =△> 0， ∴此方程有两解且 f(x) = x 1或x 2．通过余弦定理求出 cos C 的表达式，利用基本不等式求出 cos C 的最小值．【解答】解：因为a 2 + b 2 = 2c 2，所以由余弦定理可知，c 2 = 2ab cos C ，22 2c1 a +bcos C == ×≥ 1．2ab2 2ab2故答案为：1．2不妨取 0 < x 1 < x 2，f(x 1) > 0．①把 y = f(x)向下平移x 1个单位即可得到 y = f(x) − x 1的图象， ∵ f(x 1) = x 1，可知方程 f(x) = x 1有两解． ②把 y = f(x)向下平移x 2个单位即可得到 y = f(x) − x 2的图象，∵ f(x 1) = x 1，∴f(x 1) − x 2 < 0，可知方程13.【答案】 2 3【考点】平面向量数量积【解析】由题意易得→和→→的坐标，进而可得→• →→ 和 → 以及 →→的值，可得 →，→ → 和→，→ f(x) = x 2只有一解．综上①②可知：方程 f(x) = x 1或 f(x) = x 2．只有 3 个实数解．即关于 x 的方程 3（f(x)） 2 + 2af(x) + b = 0 的 →vu + v u ( u + v) |u| | u + v|cos < u u + v > sin < u u + 只有 3 不同实根．故选：A ．二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分） v >，由新定义代值可得．【解答】→→→11.解：∵u = (2, 0)， u − v = (1, − )，【答案】→→→∴ v = (1, − )，∴u + v = (3, )，【考点】抽象函数及其应用函数奇偶性的性质 ∴ →• → →u ( u + v) = 6→→ →函数的周期性 ∴ |u| = 2，| u + v| == 2 ，【解析】→， u + v >= 6 = 3，由题设条件 f(x + 2) =− f(x)可得出函数的周期是 4，再结合函数是奇函数的性质将 f( 7)函数值，用(0, 1)上的函→ → ∴ cos < u2×2 3 22→，→→，数值表示，再由 0 < x < 1 时，f(x) = 2x ，求出函数值，然后对比四个选项得出正确选项．【解答】∴sin < u→ →u + = 12→解：由题意定义在 R 上的奇函数满足 f(x + 2) =− f(x)，故有 f(x + 2) =− f(x) = f(x − 2)，故函数的周期是 4 7f( 2) = f( − 0.5) =− f(0.5) 又 0 < x < 1 时，f(x) = 2x ，∴| u ∗ ( u + v)| = 2 × 2 故答案为：2 14.【答案】× 1= 2 2222 32 +3 3 333 3充要【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断两角和与差的正切【解析】根据两角和的正切公式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：由(1 + tan α)(1 + tan β) = 2 得 1 + tan α + tan β + tan αtan β = 2，即 tan α + tan β = 1 − tan αtan β， ∴ tan (α + β) = tan α+tan β = 1−tan α⋅ tan β = 1，∴ 4 − a <− 1 或− a > 3，解得：a > 5 或 a <− 3． ∴ 实数 a 的取值范围是{a|a > 5 或 a <− 3}．【考点】函数的定义域及其求法交集及其运算函数的值域 1−tan α⋅ tan β∵ α，β是锐角， ∴0 < α + β < π，∴α + β =π． 41−tan α⋅ tan β 【解析】（1）由对数式的真数大于 0 解不等式求解集合 A ，求一次函数的值域得到集合 B ；（2）利用 A ∩ B = B 得到 B ⊆A ，根据集合之间的关系借助于端点值列不等式求解实数 a 的取值范围．【解答】解：（1）由题意可知：A = {x|x 2 − 2x − 3 > 0} = {x|(x − 3)(x + 1) > 0} = {x|x <− 1 或 x > 3}， ∴则α + β = π是(1 + tan α)(1 + tan β) = 2 的充要条件．4 故答案为：充要． 15.【答案】①③【考点】命题的真假判断与应用【解析】根据二倍角公式，可化简函数的解析式为正弦型函数的形式，根据函数的周期性可判断①；根据函数的单调性可判断②；根据函数的对称性可判断③；根据函数图象的变换法则可判断④．【解答】由 0 ≤ x ≤ 4，得− a ≤ x − a ≤ 4 − a ， ∴ B = {y| − a ≤ y ≤ 4 − a}；（2）∵ A ∩ B = B ，∴ B ⊆A ．∴ 4 − a <− 1 或− a > 3，解得：a > 5 或 a <− 3． ∴ 实数 a 的取值范围是{a|a > 5 或 a <− 3}． 17.【答案】解：（1）由正弦定理a =b =c = 2R 得：解：函数 f(x) = cos 2x − 2 sin x cos x = cos 2x − sin 2x = 2sin (2x + 5π) sin Asin Bsin C6 由ω = 2，故函数的周期为π，故x 1 − x 2 = π时，f(x 1) = f(x 2)成立，故①正确；a = 2R sin A ，b = 2R sin B ，c = 2R sin C ，将上式代入已知cos B =− b 得 cos B =− sin B，由 2x + 5π∈[ − π+ 2kπ, π+ 2kπ]得，x ∈[ − 2π+ kπ, − π+ 2kπ](k ∈Z)，故[ − 2π, − π]是函数的单调增区间，区间cos C 2a+c cos C 2sin A+sin C 6223636[ − π , π]应为函数的单调减区间，故②错误；即 2sin A cos B + sin C cos B + cos C sin B = 0，即 2sin A cos B + sin (B + C) = 0， 6 3∵ A + B + C = π，当 x = π 时，f(x) = 0，故点( π,0)是函数图象的对称中心，故③正确；1212函数 f(x)的图象向左平移5π个单位后得到函数的解析式为f(x) = 2sin [2(x + 5π ) + 5π ] = 2sin (2x + 5π)，故④错误∴ sin (B + C) = sin A ，∴2sin A cos B + sin A = 0，即 sin A(2cos B + 1) = 0， ∵sin A ≠ 0，∴cos B =− 1，12故答案为：①③12632∵ B 为三角形的内角，∴B = 2π；三、解答题（共 6 小题，满分 75 分）16.32222【答案】解：（1）由题意可知：A = {x|x 2 − 2x − 3 > 0} = {x|(x − 3)(x + 1) > 0} = {x|x <− 1 或 x > 3}， (II)将 b = 13,a + c = 4,B = π代入余弦定理b3= a + c1− 2ac cos B 得：由 0 ≤ x ≤ 4，得− a ≤ x − a ≤ 4 − a ， ∴ B = {y| − a ≤ y ≤ 4 − a}；（2）∵ A ∩ B = B ，∴ B ⊆A ．b 2 = (a + c)2 − 2ac − 2ac cos B ，即 13 = 16 − 2ac(1 − )，2∴ ac = 3，13 3 3 3 3 3 2 + 2cos 2x 0 0．…2π π π ．…2…13π π 2π π π π π ∴S △ABC = 2 ac sin B = 4 3．【考点】解三角形【解析】又∵ − < x + < x + = 或 − ，∴ x = 0 或 − 3636663切点为P(0,1)或 P( − π, − 1)， 3（1）根据正弦定理表示出 a ，b 及 c ，代入已知的等式，利用两角和的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据 sin A 不为 0，得到 cos B 的值，由 B 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出角 B 的度数；切线方程为：y = 【考点】x + 1 和 y = 3π x +− 1 3（2）由（1）中得到角 B 的度数求出 sin B 和 cos B 的值，根据余弦定理表示出 b2，利用完全平方公式变形后，将 b ，a + c 及 cos B 的值代入求出 ac 的值，然后利用三角形的面积公式表示出△ABC 的面积，把 ac 与 sin B 的值代入即可求出值．【解答】解：（1）由正弦定理a =b =c = 2R 得：利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】（1）化简函数，再求 f(x)的定义域和值域；（2）求导数，确定切点的坐标，即可求在点 P 处的切线方程． sin Asin Bsin C【解答】a = 2R sin A ，b = 2R sin B ，c = 2R sin C ，将上式代入已知cos B=−b得cos B =−sin B，解：（1）f(x) = 2 3sin x cos x+2cos x−1+1 =由 2cos x ≠ 0,得 x ≠ kπ + π(k ∈Z),2sin x + cos x = 2sin (x + π)∴f(x)的定义域为{x|x ∈R,且 x ≠ kπ + π,k ∈Z}， cos C2a+ccos C 2sin A+sin C2cos x62 π2π即 2sin A cos B + sin C cos B + cos C sin B = 0，即 2sin A cos B + sin (B + C) = 0， ∵ A + B + C = π，∴ f(x)的值域为[ − 2, 2]．…（2）f /(x) = 3cos x − sin x 由题意得 x + ≠ kπ + (k ∈Z)时, − 2 ≤ y ≤ 263∴ sin (B + C) = sin A ，f /(x ) = 3cos x − sin x ∴ 2sin A cos B + sin A = 0，即 sin A(2cos B + 1) = 0， ∵sin A ≠ 0，∴cos B =− 1，2 0 0 0π= 2cos (x 0 + 6)= 3∵B 为三角形的内角，∴B = 2π；∴cos (x+ π ) = 3 30 6 2(II)将 b =,a + c = 4,B = 2π代入余弦定理b 2 = a 2 + c 2 − 2ac cos B 得：又∵ − π< x + π< 2π，∴ x + = 或 − ，∴x = 0 或 −π3363 06663b 2 = (a + c)2 − 2ac − 2ac cos B ，即 13 = 16 − 2ac(1 − 1 )， 2切点为P(0,1)或 P( − π, − 1)， 3∴ ac = 3，13切线方程为：y = x + 1 和 y =3π x + − 1 3∴S △ABC = 2 ac sin B = 4 3．18.【答案】19.【答案】→→解：（1）f(x) = 2 3sin x cos x+2cos x−1+1 =由 2cos x ≠ 0,得 x ≠ kπ + π(k ∈Z),2sin x + cos x = 2sin (x + π)∴f(x)的定义域为{x|x ∈R,且 x ≠ kπ + π,k ∈Z}，解：（1）∵ a // b ，∴ cos 3x × ( − sin x) − sin 3x cos x= 0，即 sin 2x = 0， 2cos x62 x + π ≠ kπ + 2π(k ∈Z)时, − 2 ≤ y ≤ 222226 3 ∵x ∈[0, π]，∴x = 0，π∴ f(x)的值域为[ − 2, 2]．…2 2（2）f /(x) = cos x − sin x 由题意得→→（2）∵ a = (cos 3x , sin 3x )， b = (cos x sin x)，f /(x 0) = cos x 0 − sin x 0 π 2222→→3x x3x x= 2cos (x 0 + 6 )= ∴a ⋅b = cos2cos 2− sin 2sin 2= cos 2x ，→ →→→，∴cos (x 0 + π ) = 36 2| a + b| = 2 + 2 a ⋅ b =3 3 3 3∵x ∈[0, π]，2∴f(x) = cos2x − 2λ 1 + 2cos2x + 2λ = 2cos2x − 4λcos x + 2λ− 1，令g(t) = 2t2 −4λt + 2λ − 1，0 ≤ t ≤ 1∴①当λ ≤ 0时，g(t)在[0, 1]上为增函数，g(t)min = g(0) = 2λ − 1 =−3，∴λ =− 1 ≤0；②当0 < λ ≤ 1 时，g(t)min = g(λ) =− 3，∴λ2 −λ − 1 = 0∴λ = 1± 5 ∉[0, 1]，舍去；2③当λ > 1 时，g(t)在[0, 1]上为减函数，g(t)min = g(1) = 1 − 2λ =−3，∴λ = 2 >0．∴由上可知，λ =− 1 或2．【考点】求二倍角的余弦向量的模平行向量的性质平面向量数量积的运算【解析】（1）利用向量共线的结论，化简可求x；（2）利用向量的数量积公式化简函数，再利用二次函数求最值的方法，分类讨论，即可求λ的值．【解答】g(t)min = g(1) = 1 − 2λ =−3，∴λ = 2 >0．∴由上可知，λ =− 1 或2．20.【答案】解：（1）证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，①令x = y = 0，代入①式，得f(0 + 0) = f(0) + f(0)，即f(0) = 0．令y =− x，代入①式，得f(x − x) = f(x) + f( − x)，又f(0) = 0，则有0 = f(x) + f( − x)．即f( − x) =− f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．（2）解：f(3) = log23 > 0，即f(3) > f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由（1）f(x)是奇函数．f(k ⋅3x) <− f(3x − 9x −2) = f( − 3x + 9x + 2)，k ⋅3x <− 3x + 9x + 2，令t = 3x > 0，分离系数得：k <− 1 + t +2，t问题等价于k <− 1 + t + 2，对任意t > 0 恒成立．t∵− 1 + t + 2 ≥− 1 + 2 2，t∴k <− 1 + 2 2．【考点】→→抽象函数及其应用解：（1）∵a//b，∴cos 3x × ( − sin x ) − sin 3x cos x = 0，即sin2x = 0，2 2 2 2∵x ∈[0, π]，∴x = 0，π2 2…→→函数单调性的性质函数奇偶性的判断【解析】（1）欲证f(x)为奇函数即要证对任意x 都有f( − x) =− f(x)成立．在式子f(x + y) = f(x) + f(y)中，令y =− x 可得f(0) = f(x) + f( − x)于是又提出新的问题，求f(0)的值．令x = y = 0 可得f(0) = f(0) + f(0)即f(0) = 0，f(x)是奇函数得到证明．（2）∵ a = (cos 3x , sin 3x )，b = (cos x sin x )，2 2 2 2→→（2）先将不等关系f(k ⋅3x) + f(3x − 9x − 2) < 0 转化成f(k ⋅3x) < f( − 3x + 9x + 2)，再结合函数的单调性去掉“f”符号，转化为整式不等关系，最后利用分离系数法即可求实数k 的取值范围．∴ a ⋅ b = cos 3x cos x −sin 3x sin x = cos2x，2 2 2 2→ →→→，| a + b| = 2 + 2 a ⋅b = 2 + 2cos2x∵x ∈[0, π]，2∴f(x) = cos2x − 2λ 1 + 2cos2x + 2λ = 2cos2x − 4λcos x + 2λ− 1，令g(t) = 2t2 −4λt + 2λ − 1，0 ≤ t ≤ 1∴①当λ ≤ 0时，g(t)在[0, 1]上为增函数，g(t)min = g(0) = 2λ − 1 =−3，∴λ =− 1 ≤0；②当0 < λ ≤ 1 时，g(t)min = g(λ) =− 3，∴λ2 −λ − 1 = 0∴λ = 1± 5 ∉[0, 1]，舍去；2③当λ > 1 时，g(t)在[0, 1]上为减函数，【解答】解：（1）证明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R)，①令x = y = 0，代入①式，得f(0 + 0) = f(0) + f(0)，即f(0) = 0．令y =− x，代入①式，得f(x − x) = f(x) + f( − x)，又f(0) = 0，则有0 = f(x) + f( − x)．即f( − x) =− f(x)对任意x ∈R 成立，所以f(x)是奇函数．（2）解：f(3) = log23 > 0，即f(3) > f(0)，又f(x)在R 上是单调函数，所以f(x)在R 上是增函数，又由（1）f(x)是奇函数．f(k ⋅3x) <− f(3x − 9x −2) = f( − 3x + 9x + 2)，k ⋅3x <− 3x + 9x + 2，令t = 3x > 0，分离系数得：k <− 1 + t +2，t。

高三数学上学期周考训练10 试题

赣榆县海头高级中学2021届高三数学上学期周考训练〔10〕一、填空题：本大题一一共14题，每一小题5分，一共70分.请把答案填写上在答题纸相应位置上.1．集合{}0,1,3M =，{}3,N x x a a M ==∈，那么M N = ▲ ．2．假设复数1i1i a +-为纯虚数，i 是虚数单位，那么实数a 的值是 ▲ ．3．假设采用系统抽样方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，420，那么抽取的21人中，编号在区间[]241,360内的人数是 ▲ ．4．在如下图的算法中，输出的i 的值是 ▲ ． 5．{}n a 是等差数列，假设75230a a --=，那么9a 的值是 ▲ ．6．假设将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子的放球数量不限，那么在1，2号盒子中各有一个球的概率是 ▲ ．7．在平面直角坐标系xOy 中，假设双曲线的渐近线方程是2y x =±，且经过点，那么该双曲线的方程是 ▲ ．8．假设1cos()33απ-=，那么sin(2)απ-6的值是 ▲ ． 9．假设221a ab b -+=，a ，b 是实数，那么a b +的最大值是 ▲ ．10．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，假设各条棱长均为2，且M 为11AC的中点，那么三棱锥1M AB C -的体积是 ▲ ．11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()f x x x =+，那么关于x 的不等式()2f x <-的解集是▲ ． 12．光线通过点()3,4M -，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线通过点()2,6N ，那么反射光线所在直线的方程是 ▲ ．13．如图，ABC ∆中，4AB AC ==，90BAC ∠=，D 是BC 的中点，假设向量14AM AB m AC =+⋅，且AM 的终点M 在ACD ∆的内部〔不含边界〕，那么AM BM ⋅的取值范围是 ▲ ．14．函数22()21f x x ax a =-+-，假设关于x 的不等式(())0f f x <的解集为空集，那么实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分，请在答题纸指定的区域内答题，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15．〔此题满分是14分〕ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3B π∠=．〔1〕假设2a =，b =，求c 的值；〔2〕假设tan A =，求tan C 的值．ABC1A1B1CM(第10题图)〔第4题图〕16．〔此题满分是14分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，且PB PD =．〔1〕求证：BD PC ⊥；〔2〕假设平面PBC 与平面PAD 的交线为l ，求证：//BC l ．17．〔此题满分是14分〕如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．AB 为直径，且2AB =km,O 为圆心，C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且CD ∥AB ．如今准备从A 经过C 到D 建造一条观光道路，其中A 到C 是圆弧，C 到D 是线段CD .设rad AOC x ∠=，观光道路总长为km y .〔1〕求y 关于x 的函数解析式，并指出该函数的定义域；〔2〕求观光道路总长的最大值.(第16题图)︵AC18．〔此题满分是16分〕函数()e x f x =〔其中e 是自然对数的底数〕，2()1g x x ax =++，a ∈R ．〔1〕记函数()()()F x f x g x =⋅，且0a >，求()F x 的单调增区间；〔2〕假设对任意12,x x ∈[]0,2，12x x ≠，均有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，务实数a 的取值范围．19．〔此题满分是16分〕如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :2212412x y +=,设00(,)R x y 是椭圆C 上的任一点，从原点O 向圆R ：()()22008x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于点P ，Q .〔1〕假设直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程；〔2〕假设直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为1k ，2k ，求证：21k k 为定值；〔3〕试问22OP OQ +是否为定值？假设是，求出该值；假设不是，说明理由．20．〔此题满分是16分〕数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为Sn ，假设410S =，1391S =．〔1〕求n S ；〔2〕假设数列{Mn}满足条件： 11t M S =，当2n ≥时，nn t M S =－1n t S -，其中数列{}n t 单调递增，且11t =，n t *∈N ．①试找出一组2t ，3t ，使得2213M M M =⋅； ②证明：对于数列{}n a ，一定存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．R(第19题图)数学Ⅱ 附加题局部21 B. 二阶矩阵A 有特征值11λ=及对应的一个特征向量111⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e 和特征值22λ=及对应的一个特征向量210⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ，试求矩阵A ．21C.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩〔α是参数〕，假设以O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系中一样的单位长度，建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．22．〔本小题满分是10分〕如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=o，1AB AC ==，13AA =，点E ，F 分别在棱1BB ，1CC 上，且1113C F C C=，1BE BB λ=，01λ<<．〔1〕当13λ=时，求异面直线AE 与1A F 所成角的大小；〔2〕当直线1AA 与平面AEF 时，求λ的值．1A 1C23．数列{}n a 的各项均为正整数，对于任意n ∈N*，都有11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+ 成立，且24a =．〔1〕求1a ，3a 的值；〔2〕猜测数列{}n a 的通项公式，并给出证明．数学参考答案与评分HY 数学Ⅰ 必做题局部一、填空题：〔本大题一一共14小题，每一小题5分，一共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写上在答题卡相应位置上〕 1．{}0,3 2．1 3．6 4．7 5．36． 29 7．2214y x -= 8． 79-9．2 1011．(2,)+∞ 12．660x y --= 13．()2,6- 14．(],2-∞-二、解答题: 本大题一一共6小题， 15~17每一小题14分，18~20每一小题16分，一共计90分．请在答题卡指定的区域内答题，解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 15．〔1〕由余弦定理得，2222cos b c a c a B =+-⋅， …………………………3分因为3B π∠=，2a =，b =，所以21242c c =+-，即2280c c --= …………………………5分解之得4c =，2c =-〔舍去〕．所以4c =. ……………………………7分〔2〕因为πA B C ++=，tan A =，tan B =所以tan tan()C A B =-+ ……………………………9分tan tan 1tan tan A B A B+=--== ……………………11分所以tan C =． ……………………………………14分16．〔1〕连接AC ，交BD 于点O ，连接PO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥ ……2分又因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以BD PO ⊥ ……………………………………4分又因为ACPO O =所以BD APC ⊥平面，又因为PC APC ⊂平面所以BD PC ⊥……………………………………7分〔2〕因为四边形ABCD 为菱形，所以//BC AD …………………………9分因为,AD PAD BC PAD ⊂ ⊄平面平面．所以//BC PAD 平面 ………………………………………11分又因为BC PBC ⊂平面，平面PBC 平面PAD l =．所以//BC l ． ………………………………………………14分17．(1)由题意知，1AC x x =⨯=， …………………………………2分2cos CD x =， …………………………………5分因为C 为圆周上靠近A 的一点，D 为圆周上靠近B 的一点，且//CD AB ，所以02x π<<所以2cos y x x =+ ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ……………………7分 (2)记()2cos f x x x=+,那么()12sin f x x '=-， ………………………………9分令()0f x '=，得6x π=， ………………………………………………11分列表x(0，6π) 6π(6π，2π)()f x ' ＋－f (x)递增极大值递减所以函数()f x 在π6x =处获得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分即()66f ππ=+答：观光道路总长的最大值为6π+千米． ……………………………14分18．〔1〕因为()()2()()e 1x F x f x g x x ax =⋅=++，所以()()()e 11x F x x a x '=⎡++⎤+⎣⎦， ……………………2分令()0F x '>，因为0a >，得1x >-或者()1x a <-+， ……………………5分所以()F x 的单调增区间为(),1a -∞--和()1,-+∞； ……………………6分〔2〕因为对任意12,x x ∈[]0,2且12x x ≠，均有1212()()()()f x f xg x g x ->-成立，不妨设12x x >，根据()e x f x =在[]0,2上单调递增，所以有1212()()()()f x f xg x g x ->-对12x x >恒成立，……………………8分所以211212()()()()()()f x f x g x g x f x f x -<-<-对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，即11221122()()()()()()()()f x g x f x g x f x g x f x g x +>+⎧⎨->-⎩对12,x x ∈[]0,2，12x x >恒成立，所以()()f x g x +和()()f x g x -在[]0,2都是单调递增函数，………………11分当()()0f x g x ''+≥在[]0,2上恒成立，得()e 20x x a ++≥在[]0,2恒成立，得()e 2xa x -+≥在[]0,2恒成立，因为()e 2x x -+在[]0,2上单调减函数，所以()e 2xx -+在[]0,2上获得最大值1-，解得1a -≥． ………………………………13分当()()0f x g x ''-≥在[]0,2上恒成立，得()e 20x x a -+≥在[]0,2上恒成立，即e 2x a x -≤在[]0,2上恒成立，因为e 2x x -在[]0,ln 2上递减，在[]ln 2,2上单调递增，所以e 2x x -在[]0,2上获得最小值22ln 2-，所以22ln 2a -≤， ……………………………15分所以实数a 的取值范围为[]1,22ln 2--． ………………………16分19．〔1〕由圆R 的方程知，圆R的半径的半径r = 因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以4OR ==，即220016x y +=，①………………………………………1分又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y +=，②……………………………………2分联立①②，解得00x y ⎧=±⎪⎨=±⎪⎩ ……………………………………………………3分所以所求圆R的方程为((228x y ±+±=． ………………………4分〔2〕因为直线OP ：1y k x =，OQ ：2y k x =，与圆R 相切，=,化简得222010010(8)280x k x y k y--+-=………………6分同理222020020(8)280x k x y k y--+-=，……………………………………………7分所以12,k k是方程2220000(8)280x k x y k y--+-=的两个不相等的实数根，212288yck ka x-⋅===-…………………………8分因为点00(,)R x y在椭圆C上，所以220012412x y+=，即22001122y x=-，所以2122141282xk kx-==--．………………………………10分〔3〕22OP OQ+是定值，定值为36，……………………………………………11分理由如下：法一：(i)当直线,OP OQ不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y,联立122,1,2412y k xx y=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得212122112124,1224.12xkkyk⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩………………………………………12分所以2221112124(1)12kx yk++=+，同理，得2222222224(1)12kx yk++=+，…………13分由1212k k=-，所以2222221122OP OQ x y x y+=+++2212221224(1)24(1)1212k kk k++=+++22112211124(1())24(1)211212()2k kkk+-+=+++-2121367212kk+=+36=……15分(ii)当直线,OP OQ落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ+=，综上：2236OP OQ +=． ……………………………………………………16分法二：(i)当直线,OP OQ 不落在坐标轴上时,设1122(,),(,)P x y Q x y ,因为12210k k +=，所以1212210y y x x +=,即2222121214y y x x =， ……………12分因为1122(,),(,)P x y Q x y 在椭圆C 上，所以221122221241212412x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即2211222211221122y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩……………………………………………13分所以22221212111(12)(12)224x x x x --=，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2236OP OQ +=． ……………………………………………………15分 (ii)当直线,OP OQ 落在坐标轴上时,显然有2236OP OQ +=，综上：2236OP OQ +=． ………………………………………………16分 20．〔1〕设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，由410S =，1391S =，得11434102131213912a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩， ……………………2分解得111a d =⎧⎨=⎩，所以21(1)22n n n n nS na d -+=+=……………………………………………4分〔2〕①因为111M S ==，假设22,t =221312M S S =-=-=，()33332132t t t M S S +=-=-，因为2213M M M =⋅，所以()331342t t +-=，()33114t t +=，此方程无整数解； ………………6分假设23,t =231615M S S =-=-=，()33333162t t t M S S +=-=-，因为2213M M M =⋅，所以()3316252t t +-=，()33162t t +=，此方程无整数解；………………8分假设24,t =2411019M S S =-=-=，()333341102t t t M S S +=-=-，因为2213M M M =⋅，所以()33110812t t +-=，()331182t t +=，解得313t =，所以24t =，313t =满足题意…………………………………………………10分②由①知11t =，213t =+，23133t =++，那么11M =，223M =，239M =，一般的取213113332n n n t --=++++=， ………………………13分此时31311222n n n t S ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，11131311222n n n t S ---⎛⎫--+ ⎪⎝⎭=，那么n M ＝n t S －1n t S -＝()112131313131112222322n n n n n ---⎛⎫⎛⎫----++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，所以n M 为一整数平方．因此存在数列{}n t ，使得数列{}n M 中的各数均为一个整数的平方．……16分数学Ⅱ局部21．【选做题】A ．(选修4—1：几何证明选讲)因为BE 切⊙O 于点B ，所以CBE ∠60BAC =∠=，因为2BE =，4BC =，由余弦定理得EC =．………4分又因为2BE EC ED =⋅，所以ED =，…………………8分所以CD EC ED =-==． ………………10分B ．〔选修4—2：矩阵与变换〕设矩阵a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，这里a b c d ∈R ,,,，因为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于11λ=的特征向量，那么有11111a b cd ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ①， ……4分又因为10⎡⎤⎢⎥⎣⎦是矩阵A 的属于22λ=的特征向量，那么有11200a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⨯⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ② …6分根据①②，那么有11,20a b c d a c +=⎧⎪+=⎪⎨=⎪⎪=⎩,,,…………………………………………………8分从而2101a b c d ==-==,,,,所以2101A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦． ……………………………10分 C ．〔选修4-4：坐标系与参数方程〕由cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨=+⎩得cos ,1sin ,x y αα=⎧⎨-=⎩两式平方后相加得22(1)1x y +-=， …………4分因为曲线C 是以(0,1)为圆心，半径等于1的圆．得2sin ρθ=．即曲线C 的极坐标方程是2sin ρθ=． …………………………10分 D ．〔选修4－5：不等式选讲〕因为11,ax ax a a -+--≥ ……………………………5分〔第21—A 题图〕所以原不等式解集为R 等价于1 1.a -≥ 所以20.a a 或≥≤所以实数a 的取值范围为(][),02,-∞+∞． ………………………10分22．建立如下图的空间直角坐标系A xyz -．〔1〕因为AB=AC=1，1AA =3，13λ=，所以各点的坐标为(0,0,0)A ,(1,0,1)E ，1(0,0,3)A ，(0,1,2)F ．(1,0,1)AE =，1(0,1,1)A F =-． …………2分因为12AE A F ==11AE A F ⋅=-，所以111,1cos 22AE A F AE A F AE A F⋅===-．所以向量AE 和1A F 所成的角为120o，所以异面直线AE 与1A F 所成角为60． ……………4分〔2〕因为(1,0,3)E λ，(0,1,2)F ，所以(1,0,3),(0,1,2)AE AF λ==．设平面AEF 的法向量为(,,)x y z =n ，那么0AE ⋅=n ，且0AF ⋅=n ．即30x z λ+=，且20y z +=．令1z =，那么3,2x y λ=-=-．所以(3,2,1)λ=--n 是平面AEF 的一个法向量． ………6分又1(0,0,3)AA =，那么111,cos 39AA AA AA ===n n n又因为直线1AA 与平面AEF ，=12λ=． ………………10分23．〔1〕因为11111122111n n n na a a a n n ++++<<+-+ ，24a =xA当1n =时，由21211111222a a a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，即有1112212244a a +<+<+，解得12837a <<．因为1a 为正整数，故11a =． ………………………………2分当2n =时，由33111126244a a ⎛⎫+<+<+ ⎪⎝⎭，解得3810a <<，所以39a =． …………………………………………………4分〔2〕由11a =，24a =，39a =，猜测：2n a n =………………………………5分下面用数学归纳法证明．1º当1n =，2，3时，由〔1〕知2n a n =均成立．……………………………6分2º假设()3n k k =≥成立，那么2k a k =，由条件得()22111111212k k k k a ka k ++⎛⎫+<++<+ ⎪⎝⎭，所以()()23121111k k k k k k a k k k ++-+<<-+-， ………………………………………8分所以()()2212111111k k k a k k k k +++-<<++-+- …………………………9分因为3k ≥，21011k k k +<<-+，1011k <<-，又1k a *+∈N ，所以()211k a k +=+．即1n k =+时，2n a n =也成立．由1º，2º知，对任意n *∈N ，2n a n =． ……………………………………10分1．集合{}1,2的子集个数为．2．假如1i x y -+与i 3x -是一共轭复数〔x 、y 是实数〕，那么x y += ． 3．函数()sin cos f x x x=的最大值是．4．等差数列{}n a 中，12782,8a a a a +=+=，该数列前10项的和10S = ．5．焦点为F 的抛物线)0(22>=p px y 过点)2,2(M ，那么=MF ．6．平面向量()(),23,23,1a b ==-，那么a 与b 的夹角是．7．函数1lg 1y x x =-+的零点个数是．8．直线30ax by --=与()xf x xe =在点()1,e P 处的切线互相垂直，那么a b = ．9．设命题p ：2210ax ax ++>的解集是实数集R ；命题q ：01a <<，那么p 是q 的．〔填充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件〕10．圆22:()()1(0)C x a y a a -+-=>与直线3y x =相交于P ，Q 两点，假设090PCQ ∠=，那么实数a = ．11．将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象，向左平移π3ω个单位，得到函数()y g x =的图象．假设()y g x =在π[0,]4上为增函数，那么ω的最大值为 . 12．AD 是ABC∆的中线，假设120A ∠=，2-=⋅AC AB ，．13．函数()()()221211x ax x f x ax x ⎧-+≥⎪=⎨-<⎪⎩，假设存在两个不相等的实数12,x x ，使得()1f x = ()2f x ，那么实数a 的取值范围为．14．设函数()2()1f x x x =-，记()f x 在(]0,a 上的最大值为()F a ，那么函数()()F a G a a=的最小值为__________.二、解答题：本大题一一共6小题，一共计90分，请在答题纸指定的区域内答题，解答题应写出文字说明、证明过程或者演算步骤. 15．〔此题满分是14分〕ABC ∆的面积为S ，且AB AC S ⋅=.〔1〕求tan A 的值；〔2〕假设,34B c π==，求ABC ∆的面积S .16．〔此题满分是14分〕如图，三棱柱ABC －A1B1C1中，M ，N 分别为AB ，B1C1的中点．〔1〕求证：MN ∥平面AA1C1C ；〔2〕假设CC1＝CB1，CA ＝CB ，平面CC1B1B ⊥平面ABC ，求证：AB ⊥平面CMN ．A 1AB CB 1CM N〔第16题图〕．17．〔此题满分是14分〕某公司销售一种液态工业产品，每升产品的本钱为30元，且每卖出一升产品需向税务部门交税a 元(常数a *∈N ，且2≤a ≤5)．设每升产品的售价为x 元 (35≤x ≤41)，根据场调查，日销售量与xe (e 为自然对数的底数)成反比例．当每升产品的售价为 40元时，日销售量为10升．〔1〕求该公司的日利润y 与每升产品的售价x 的函数关系式；〔2〕当每升产品的售价为多少元时，该公司的日利润y 最大？并求出最大值(参考数据：取 4e =55，5e =148)．18．〔此题满分是16分〕椭圆22:24C x y +=．求椭圆C 的离心率；设O 为原点，假设点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥，求直线AB 与圆222x y +=的位置关系，并证明你的结论.19．〔此题满分是16分〕等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，假设4224,21n n S S a a ==+．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()12,2m m +内的项的个数记为{}m b①求数列{}m b 的通项公式；②记2122m m m c b -=-，数列{}m c 的前m 项和为m T ，求所有使得等式1m m T t T t +-=-11t c +成立的正整数,m t ．20．〔此题满分是16分〕函数32()()f x ax bx b a x =++-(a b 、是不同时为零的常数)，导函数为()f x '．〔1〕当13a =时，假设存在[3,1]x ∈--，使得()0f x '>成立，求b 的取值范围；〔2〕求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点；〔3〕假设函数()f x 为奇函数，且在1x =处的切线垂直于直线230x y +-=，关于x 的方程1()4f x t=-，在[1,](1)t t ->-上有且只有一个实数根，务实数t 的取值范围．1． 4 2.43-3．21 4．30 5．25 6．120度 7．3 8．e 21-9．必要不充分 10．25±11．2 12．1 13．[)+∞,0 14．1915、解：〔1〕2tan =A -------------------------------------------------------------------6分〔2〕3=S ------------------------------------------------------------------------14分 16、证明：〔1〕取A1C1的中点P ，连接AP ，NP ．因为C1N ＝NB1，C1P ＝PA1，所以NP ∥A1B1，NP ＝12A1B1． ……………… 2分在三棱柱ABC －A1B1C1中，A1B1∥AB ，A1B1＝AB ．故NP ∥AB ，且NP ＝12AB ．因为M 为AB 的中点，所以AM ＝12AB ．所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ．所以四边形AMNP 为平行四边形．A 1ABCB 1CM N〔第16题图〕 P所以MN ∥AP ． ……………………………… 4分因为AP ⊂平面AA1C1C ，MN ⊄平面AA1C1C ，所以MN ∥平面AA1C1C ． ……………………………………… 6分〔2〕因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ． …………………… 8分因为CC1＝CB1，N 为B1C1的中点，所以CN ⊥B1C1．在三棱柱ABC －A1B1C1中，BC ∥B1C1，所以CN ⊥BC ．因为平面CC1B1B ⊥平面ABC ，平面CC1B1B ∩平面ABC ＝BC ．CN ⊂平面CC1B1B ，所以CN ⊥平面ABC ． …………………………… 10分因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB ． …………………………… 12分因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ，所以AB ⊥平面CMN ． ………………………… 14分 17、解：〔1〕设日销售量e xk p =(k 为比例系数)，因为当x =40时，p =10，所以k 4010e =， …… 2分从而4010e (30)e x x a y --=，x []35 41∈，； …… 6分〔2〕设30x t -=，[]5 11t ∈，，那么401010e (30)10e ()=e e x t x a t a y ---=，[]5 11t ∈，由[]1010e (1)0e xt a y --+'==，得t =a +1， …… 9分因为5≤t≤11，2≤a≤5，*a ∈N ，所以a+1=3，4，5，6，假设a+1=3，4，5，那么0y '≤，函数在[5，11]上单调递减，所以当t =5即x =35时，5max 10(5)e 1480(5)y a a =-=-； …… 11分假设a+1=6，列表：所以当t =6即x =36时，4max 10e 550y ==，答：假设a =2，3，4，那么当每升售价为35元时，日利润最大为510(5)e a -元；假设a =5，那么当每升售价为36元时，日利润最大为550元．…… 14分18、解：〔I 〕由题意，椭圆C 的HY 方程为22142x y +=所以224,2a b ==，从而2222c a b =-=。

江苏省启东中学2022-2023学年高三上学期数学周练试题

江苏省启东中学2020级高三上学期数学周练（1）一、单项选择题（本大题共8小题，共40分）1．从集合{1,2,3}U =的非空子集中随机选择两个不同的集合A ，B ，则{1}A B ⋂=的概率为（） A ．421B ．542 C ．17D ．5562．若3cos 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，sin 2α=（）A ．2425-B ．725-C ．2425D ．7253．复数z 满足20211iz i=+，则12z -=（）A ．12iB ．1C ．12D 2 4．已知14sin 4,ln 4,4a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（） A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b c a <<5．函数2()1cos e 1x f x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．6．双曲线C ：2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（）.A ．25B ．45C 25D 457．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，N 为BC 的中点.当点M 在平面11DCC D 内运动时，有//MN 平面1A BD ，则线段MN 的最小值为（）A ．1B 6C 2D 38．已知12x <时，有()21124212nx x x x =-+-+-++，根据以上信息，若对任意12x <都有()()220125112n n x a a x a x a x x x =+++++-+，则10a =( )A ．245B ．246C ．247D ．248二、多项选择题（本大题共4小题，共20分）9．关于函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，有如下命题，其中正确的有（）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 的图象关于直线3x π=对称D ．()f x 在54,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 10．甲口袋中有3个红球，2个白球和5个黑球，乙口袋中有3个红球，3个白球和4个黑球，先从甲口袋中随机取出一球放入乙口袋，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲口袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙口袋中随机取出一球，以B 表示由乙口袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（） A ．1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 B ．事件1A 与事件B 相互独立 C ．()2311P B A =D ．()25P B =11．已知抛物线M ：24y x =，圆N ：()()22210x y r r -+=>，过点()1,0的直线l 与圆N 交于C ，D 两点，交抛物线M 于A ，B 两点，则满足AC BD =的直线l 有三条的r 的值有（） A ．1B ．2C ．3D ．412．()f x 是定义在R 上的函数，若()2f x x +是奇函数，()f x x -是偶函数，函数()()[]()(),0,121,1,f x x g x g x x ∞⎧∈⎪=⎨-∈+⎪⎩，则（）A ．当()1,2x ∈时，()2264g x x x -+-=B ．当()2,3x ∈时，()242020x g x x =-+-C ．()2124212k g k N k g *+⎛⎫ ⎪⎝⎭=∈-⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1212124nk nk g =--⎛⎫=⎪⎝⎭∑ 三、填空题（本大题共4小题，共20分）13．某办公楼前有7个连成一排的车位，现有三辆不同型号的车辆停放，恰有两辆车停放在相邻车位的概率是__________．14．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为22(0)y px p =>，一平行x 轴的光线射向抛物线上的点P ，反射后经过抛物线的焦点F 射向抛物线上的点Q ，再反射后又沿平行x 轴方向射出．若抛物线的方程为24y x =，则在每次反射过程中，与x 轴平行的两条光线间的最小距离为__________．15．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB ＝AD ＝2，13AA =，1160DAB DAA BAA ∠=∠=∠=︒，点E 是AB 中点，则异面直线1AC 与DE 所成角余弦值是______．{}n a 各项都是16．已知数列正数，且211n n n a a a ++=-，若{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围是_______.若123a =，()111n nn b a +-=-，且12320201k b b b b k <++++<+，则整数k =_______.四、解答题（本题共6小题，共70分）17．在ABC 中，2ABC ACB ∠=∠，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点D . （1）若58AB AC =，求cos DCB ∠的值；（2）若AB CD =，求BDC ∠的大小.18．设数列{}n a 为等比数列，且252,16a a ==，数列{}n b 满足10b =且()12n n b b n n *++=∈N .（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若,n n n n c a b T =⋅是{}n c 的前n 项和，求n T .19．如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为22．第14题第15题（1）求A 到平面1A BC 的距离；（2）设D 为1A C 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．20．冰壶是2022年2月4日至2月20日在中国举行的第24届冬季奥运会的比赛项目之一．冰壶比赛的场地如图所示，其中左端（投掷线MN 的左侧）有一个发球区，运动员在发球区边沿的投掷线MN将冰壶掷出，使冰壶沿冰道滑行，冰道的右端有一圆形的营垒，以场上冰壶最终静止时距离营垒区圆心O 的远近决定胜负，甲、乙两人进行投掷冰壶比赛，规定冰壶的重心落在圆O 中，得3分，冰壶的重心落在圆环A 中，得2分，冰壶的重心落在圆环B 中，得1分，其余情况均得0分．已知甲、乙投掷冰壶的结果互不影响，甲、乙得3分的概率分别为13，14；甲、乙得2分的概率分别为25，12；甲、乙得1分的概率分别为15，16．（1）求甲、乙两人所得分数相同的概率；（2）设甲、乙两人所得的分数之和为X ，求X 的分布列和期望．21．已知点()2,0A -，()2,0B ，动点(),R x y 满足直线AR 与BR 的斜率之积为14-.记R 的轨迹为曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）设经过点()1,0Q 的直线l 交曲线C 于M ，N 两点，设直线BM ，BN 的斜率为1k ，2k ，直线AM 与直线BN 交于点G .①求12k k 的值； ①求证点G 在定直线上.22．已知函数()()ln 2xf x e ax a R =--∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；第19题（2）当2a =时，求函数()()ln 2cos g x f x x =+-在,2π⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上的零点个数．。

高三上学期数学(理)周练8

周练高三数学（理科）试题命题人：陈从猛一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若复数z=（a ∈R ，i 是虚数单位）是纯虚数，则|a+2i|等于( )A ．2B ．2C ．4D ．82.已知{}2log ,1,U y y x x ==>1,2,P y y x x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭则U C P 等于( ) A. 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C. ()0,+∞D. (]1,0,2⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭3.=-00017cos 30cos 17sin 47sin （）A 、23-B 、 21-C 、21 D 、234.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若，则角A 的大小为( )A ．或B ．C ．或D ．5.设等差数列{n a }的前n 项和为n s ,已知1a =-2012,2013201120132011S S -=2,则2012S=( )A.-2013B.2013C.-2012D. 20126.等差数列{}n a 前n 项和n S , 15890,0S a a >+<,则使0nn S a n+<的最小的n 为（） A ．10 B ． 11 C ． 12 D ． 13 7.函数cos622x xxy -=-的图像大致为（）8.已知△ABC 中，||=2，||=3，且△ABC 的面积为，则∠BAC=（）A ． 150°B ． 120°C ． 60°或120°D ． 30°或150°9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112,0,3m m m S S S -+=-==，则m=（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．610.已知M （x ，y ）为由不等式组，所确定的平面区域上的动点，若点，则的最大值为（）A ． 3B ．C ． 4D ．11.已知函数=y )(x f 是定义在R 上的奇函数，且当)0,(-∞∈x 时不等式()()0f x xf x '+<成立，0.30.33311993(3),(log 3)(log 3),(log )(log )a fb fc f ππ=⋅=⋅=⋅，则c b a ,,的大小关系是（）A. a b c >>B. c a b >>C. c b a >>D. b c a >>12.定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),(0),()(1)(2),(0).x x f x f x f x x -≤⎧=⎨--->⎩则f(1)+ f(2) +f(3)+… +f(2013)的值为 A ．-2B ．-1C ．1D ．2二.填空题 (本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷中的横线上)13.计算错误！未找到引用源。

高三数学经典周测卷高三上周考卷及答案详解

高三年级上学期数学周测试卷(答案附后)姓名：班级：学号: 得分： 1 一、填空题（请把正确的答案写在题后的横线上，每小题5分，共80分）1.设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝ ;2.已知集合A ＝{x |0<log 4x <1}，B ＝{x |x ≤2}，则A ∩B ＝ ;3.已知A ，B 均为集合U ＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{1}，(∁U A )∩(∁U B )＝{2,4}，则B ∩(∁U A )＝ ;4.已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为个；5.已知集合{}{}131x A x x B x =<=<，，则=B A ，=B A ；6.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B = ；7.已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤，集合B 为整数集，则A B = ； 8.若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为 ;9..已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝ ; 10.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为 ; 11..函数()f x 在()-∞+∞，单调递减，且为奇函数．若()11f =-，则满足()121f x --≤≤的x 的取值范围是 ;112.函数()f x =的定义域为； 13.设函数f （x ）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，那么实数k 的取值范围为 ;14.定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝ ;15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ()-，0∈∞时，()322=+f x x x , 则()2=f ;16.设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数，当[1,1)x ∈-时,242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩，则3()2f =___________;111二、解答题（20分）17．(1)已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )；(3)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．高三年级上学期数学周测试卷参考答案1.解析：T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，2.解析：0<log 4x <1，即log 41<log 4x <log 44，∴1<x <4，∴集合A ＝{x |1<x <4}，∴A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．3.解析：依题意及韦恩图得，B ∩(∁U A )＝{5,6}．答案：{5,6}4.【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，5.【解答】{}1A x x =<，{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x =<，{}1A B x x =<，6.【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，7.【答案】{1,0,1,2}-8.解析：函数f (x )的定义域为R ，所以2x 2＋2ax －a －1≥0对x ∈R 恒成立，即2x 2＋2ax －a ≥1，x 2＋2ax －a ≥0，恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0.答案：[－1,0]9.解析：f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1；f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3，解得a ＝12. 故f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝210.解析：当a >0时，由f (a )＋f (1)＝0得2a ＋2＝0，故此时不存在实数a 满足条件；当a ≤0时，由f (a )＋f (1)＝0得a ＋1＋2＝0，解得a ＝－3，满足条件11.【解答】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤|又()f x 在()-∞+∞，单调递减 121x ∴--≤≤3x ∴1≤≤或[]13，12.【解答】(2,)+∞13.【解答】解：∵f （x ）=是（﹣∞，+∞）上的增函数，∴，解得k ≤﹣1或1≤k ≤2，则实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]，故答案为：（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．14.解析：设－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)] 15.【答案】1216.【答案】117.解析：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1. (2)设f (x )＝ax ＋b ，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，则有a ＝2，b ＋5a ＝17，∴a ＝2，b ＝7，故f (x )＝2x ＋7.(3)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．①令x ＝－x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．②由①②消去f (－x )，得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．。

上学期高三数学周练试题

2021年上学期二中高三数学周练试题制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日2021－12－5一. 选择题 : 本大题一一共12小题, 每一小题5分, 一共60分.有且只有一项是哪一项符合题目要求的 .1．设A = { x| x ≥ 2}, B = { x | |x – 1|< 3}, 那么A ∩B= ( )A [2，4]B 〔–∞，–2〕C [–2，4]D [–2，+∞] 2．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，那么a cos C+c cos A 的值是 ( )A b. B2cb +. C 2cosB. D 2sinB. 3．直线1：2x ―y ―4=0绕它与x 轴交点逆时针旋转45°，所得到的直线方程是〔〕A ．x+3y －2=0B ．3x+y －6=0C ．3x －y －6=0D ．x+y －2=01232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是〔〕 A 单调递增的函数. B 单调递减的函数. C 先减后增的函数 . D 先增后减的函数. 5．在等差数列}{n a 中，假设1391197533,100a a a a a a a -=++++则的值是〔〕A ．20B ．30C ．40D ．506．当x ∈ R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或者相等者，设a ≤ f ( x ) ≤ b, 那么a + b 等于 ( )A 0B 1 +22. C 1–22. D 22–1. 7．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A (3，1)，B (－1，3)，假设点C 满足OC ＝t (1)OA t OB +-，其中t ∈R ，那么点C 的轨迹方程为 ( )A 3x －2y －11＝0B (x －1)2＋( y －2)2＝5 C 2x －y ＝0 D x ＋2y －5＝08．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b > 0是使ax + b > 0恒成立的〔〕A 充要条件B 充分不必要条件C 必要不充分条件D 既不充分也不必要条件9. 有三个平面α，β，γ，以下命题中正确的选项是〔〕A 〕假设α，β，γ两两相交，那么有三条交线〔B 〕假设α⊥β，α⊥γ，那么β∥γC 〕假设α⊥γ，β∩α=a ，β∩γ=b ，那么a ⊥b 〔D 〕假设α∥β，β∩γ=∅，那么α∩γ=∅10．设x 1＜x 2＜x 3＜…＜x n －1＜x n ，{x │x 3＜x ＜x 4}是不等式(x －x 1)(x －x 1)…(x －x n －1)(x －x n )＜0的解集的一个子集，那么 ( )A n 是奇数B n 是偶数C n 可能是偶数也可能是奇数D n 不存在 11．函数y = f ( x )〔x ∈R 〕满足f (x +1) = f ( x – 1)，且x ∈[–1，1]时，f (x) = x 2，那么y = f ( x ) 与y = log 5x 的图象的交点个数为 ( )A 1.B 2 .C 3 .D 4.12．直线b a by ax ,(01=-+不全为0〕与圆5022=+y x 有公一共点，且公一共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线一共有〔〕A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条二. 填空题: 本大题有6小题, 每一小题4分, 一共24分. 请将答案填写上在题中的横线上.13. 9)222(-x展开式的第7项为421，那么实数x 的值是14. 在△ABC 中，假设3BC AB →-→-⋅=2CA BC →-→-⋅=1ABCA →-→-⋅，那么cosA 等于 15．假设不等式ax+〔2a-1〕y+1<0表示直线ax+〔2a-1〕y+1=0的下方区域，那么实数a 的取值范围为16．直线02052:1=+-y x l 和0102:2=--y mx l 与两坐标轴围成的四边形有外接圆，那么实数m 的值是__________。

2021年高三上学期数学周练试卷(理科实验班12.29) 含答案

2021年高三上学期数学周练试卷（理科实验班12.29）含答案一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．三条直线l1：x－y＝0；l2：x＋y－2＝0；l3：5x－ky－15＝0围成一个三角形，则k的取值范围（）A．k≠±5且k≠1 B．k≠±5且k≠－10 C．k≠±1且k≠0 D．k≠±5 2．直线y＝kx＋3与圆（x－3）2＋（y－2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（）A．[－，0] B．（－∞，－]∪[0，＋∞）C．[－，] D．[－，0]3.若直线与圆相切，且为锐角，则这条直线的斜率是( )A． B． C． D．4.已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为（）A. B. C. D.5．已知圆：上到直线的距离等于1的点至少有2个，则的取值范围为（）A． B． C． D．6．设点是函数图象上的任意一点，点是直线上的任意一点，则的最小值为（）A． B． C． D．以上答案都不对7．已知函数（）的导函数为，若存在使得成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．8．由的图象向左平移个单位，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到的图象，则为（）A． B． C． D．9．已知实数变量满足且目标函数的最大值为8，则实数的值为( )A. B. C.2 D.110.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．11.已知圆和圆，动圆M与圆,圆都相切，动圆的圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为，（），则的最小值是（）A. B. C. D.12. 已知，函数，若关于的方程有6个解，则的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．若点在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程_____.14. ∆ABC 中，|CB →|cos ∠ACB =|BA →|cos ∠CAB =3，且AB →·BC →=0，则AB 长为． 15. 正实数满足，则的最小值为．16. 四棱锥底面是一个棱长为2的菱形，且∠DAB=60º，各侧面和底面所成角均为60º，则此棱锥内切球体积为．丰城中学xx 学年上学期高三周练试卷数学答题卡（理科尖子、重点班）班级姓名学号得分一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共60分）13． 14． 15． 16．三、解答题：（10分*2=20分）17. 已知过点A (0,1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M 、N 两点．(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值．18.如图, 已知四边形和均为直角梯形，∥，∥，且，平面⊥平面,（Ⅰ）证明：AG平面BDE;（Ⅱ）求平面和平面所成锐二面角的余弦值.参考答案1-6：BAABAB 7-12：CBDDAD 13．14．．15．9 16．15.16.17.(1)∵直线l过点A(0,1)且方向向量a＝(1，k)，∴直线l的方程为y＝kx＋1.由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)、N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0， ∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2， ∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1.∴4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1.18. 【解析】由平面，平面,平面BCEG , .………2分根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得(0,2,0(20,0(002(2,1,0)(0,2,1)B D E A G ），，），，，），………….3分（Ⅰ）设平面BDE 的法向量为，则即，，平面BDE 的一个法向量为………………………………………………..5分，，，∴AG ∥平面BDE . ……………………………………………….7分（Ⅱ）设平面的法向量为，平面和平面所成锐二面角为……….8分因为,,由得，……….10分平面的一个法向量为，.故平面和平面所成锐二面角的余弦值为……….12分 25977 6579 敹40350 9D9E 鶞35800 8BD8 诘B31335 7A67 穧31420 7ABC窼>36693 8F55 轕22490 57DA 埚25615 640F 搏32844 804C 职21150 529E 办,。

高三数学上学期周周练试卷-周练13(附答案)

高三数学练习卷（13）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 1.i 为虚数单位，则2310i i i i ++++= ▲2.若集合{{}1|,|2x A x y B y y -====，则A B = 。

3.已知1sin 3θ=-，则cos(2)πθ+的值等于 ▲ .4.正四面体ABCD 的四个顶点都在半径为4的球面上，则该四面体的棱长为 ▲ ．5.设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝ ▲ ．6. 已知l 、m 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，有下列4个命题：① 若,l βαβ⊂⊥且，则l α⊥； ② 若,//l βαβ⊥且，则l α⊥； ③ 若,l βαβ⊥⊥且，则//l α； ④ 若,//m l m αβ=且，//l α则．其中真命题的序号是 ▲ ．（填上你认为正确的所有命题的序号） 7.若存在[0,]2x π∈，使得sin cos 0x x m +-=成立，则实数m 的范围是 ▲ .8．在直角三角形ABC 中，1,1,2AB AC AB AC BD DC ⊥===uu u r uuu r,则AD CD ⋅uuu r uu u r 的值等于___▲_____.．9. 直线1y kx =+与圆22(3)(2)9x y -+-=相交于A B 、两点，若4AB >，则k 的取值范围是 ___▲_____.10. 已知实数a ≠0，函数f (x )＝2,12,1x a x x a x +<⎧⎨--≥⎩，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 ▲ ．11. 点P 在曲线41xy e -=+上，α是在点P 处切线的倾斜角，则α的取值范围是 ▲ ． 12．如图,12,F F 是双曲线C:22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ,B 两点,若22::3:4:5AB BF AF =,则双曲线的离心率为 ▲ . 13.设,(2,2),1x y xy ∈-=-，则函数224949x y+--的最小值为 ▲ ． 14. 数列{a n }的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a 2＋a 4=a 1＋a 5，a 4＋a 7=a 6＋a 3。

高三数学周练一

高三数学周练一第I 卷（选择题）一、选择题（共10题，每题5分，共50分）1．已知i 是虚数单位,（） A ．1-2i B ．2-i C ．2+i D ．1+2i2（a ，b ∈R ，i 为虚数单位），则2a b -=（） A. 1 B. 2 C. 3 D.43 ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限4．若sin 211)i θθ-++是纯虚数（其中i 是虚数单位），且[0,2)θπ∈，则θ的值是（）A 、4π B 、34π C 、54π D 、544ππ或5．观察式子：111 ，则可归纳出一般式子为( )A ．1 (n≥2)B ．1 (n≥2)C ．1 (n≥2)D ．1 (n≥2) 6．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线b ⊆/平面α，直线⊂a 平面α，直线b ∥平面α，则直线b ∥直线a ”的结论显然是错误的，这是因为（）A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误7．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤： ①9090180A B C C ++=︒+︒+>︒，这与三角形内角和为180︒相矛盾，90A B ==︒不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设三角形的三个内角A 、B 、C 中有两个直角，不妨设90A B ==︒，正确顺序的序号为（）A ．①②③B ．③①②C ．①③②D ．②③① 8．把正奇数数列按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，第五个括号两个数，第六个括号三个数，．依次划分为)1(，)5,3(，)11,9,7(，)13(，)17,15(，)23,21,19(，)25(，．则第50个括号内各数之和为（）A ．396B ．394C ．392D ．3909．已知,xy 满足不等式组22y xx y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值除以最小值等于（）A 、2 C 10．设，若a ，1，b 成等比数列，且c ，1，d 成等差数列，则下列不等式恒成立的是（）A 、B 、C 、D 、第II 卷（非选择题）二、填空题（每题5分，共4题，共20分）11．在复平面内，复数)(1R a i ai ∈+对应的点位于虚轴上，则=a 12．类比平面内 “垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出空间下列结论：①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一个平面的两个平面互相平行.则正确结论的序号是13．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为________。

2021年高三上学期周练(7.8)数学试题含答案

2021年高三上学期周练（7.8）数学试题含答案一、选择题：共12题每题5分共60分1．已知O为坐标原点，双曲线的左焦点为，以OF为直径的圆交双曲线C的渐近线于A,B，O三点，且．关于的方程的两个实数根分别为和，则以为边长的三角形的形状是（）A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形2．已知，若，则实数（）A． B．3 C．6 D．83．函数是定义在上的奇函数，当时，则方程在上的所有实根之和为（）A．0 B．2 C．4 D．64．已知直线与双曲线（）的渐近线交于两点，且过原点和线段中点的直线的斜率为，则的值（）A． B． C． D．5．已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．326．已知，又若满足的有四个，则的取值范围为（）A． B．C． D．7．设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且则的值为（）A．2 B． C．3 D．8．已知函数与有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的（）A． B．C． D．9．已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．10．点是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点，若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（）A． B． C． D．11．已知函数，且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A． B．或C．或 D．或12．过双曲线左支上一点作相互垂直的两条直线分别经过两焦点,其中一条与双曲线交于点，若，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：共4题每题5分共20分13．已知抛物线与经过该抛物线焦点的直线在第一象限的交点为在轴和准线上的投影分别为点，，则直线的斜率为．14．已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为9，则____________. 15．已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .16．已知函数，若存在，，当时，，则的取值范围是．三、解答题：共8题共70分17．已知函数．（Ⅰ）求此函数的单调区间及最值；（Ⅱ）求证：对于任意正整数，均有1＋＋…＋≥（e为自然对数的底数）．18．工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。

河北省衡水中学高三上学期第周周测数学(理)试题 Word版含答案2

河北省衡水中学2021届高三上学期第21周周测数学〔理〕试题第一卷一、选择题〔本大题共12个小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的〕1、含有三个实数的集合可表示为{,1,}b a a ，也可表示为2{,0,}a b a +，那么20162016a b + 的值是 A ．0 B ．1 C ．-2 D ．1±2、设复数2()1a i z i +=+，其中a 为实数，假设z 的实部为2，那么z 的虚部为 A ．12- B ．12i - C ．32- D ．32i - 3、函数cos 42x x y =的象大致是4、在ABC ∆中，080,100,45a b A ===，那么此三角形的解的情况是A ．一解B ．两解C ．一解或两解D ．无解5、函数()f x 是R 上的单调函数且对任意实数x 都有21[()]213x f f x +=+，那么2(log 3)f = A ．1 B ．45 C ．12D ．0 6、假设某程序框如下，那么该程序运行后输出的值是A ．2B ．3C ．4D ．57、平面直角坐标系内的两个向量(1,2),(,3,2)a b m ==-，，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成(,c a b λμλμ=+为实数〕那么m 的取值范围是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．(,)-∞+∞D ．(,2)(2)-∞+∞8、棱长为1的正方体的俯视是衣蛾面积为1的正方形，记该正方体的正视与侧视的面积分别为12,S S ，那么A ．1211S S -为定值 B．22122S S +为定值 C ．1211S S +为定值 D ．12221222S S S S ++为定值 9、平面区域3418020x y x y +-≤⎧⎪Ω≥⎨⎪≥⎩夹在两条斜率为34-的平行直线之间，且这两条平行直线间的最短间隔为m ，假设点(,)P x y ∈Ω，且mx y -的最小值为的,y p x m +最大值为q ，那么pq 等于 A ．2722 B ．3 C ．25D ．0 10、如，阴影局部是由四个全等的直角三角形组成的形，在大正方形随机取一点，这一点落在小正方形内的概率为15 假设直角三角形的两条直角边的长分别为,()a b a b >，那么b a =A ．13B ．12C 3．2211、如，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为23动点P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形〔含三角形〕的周长为y ，设BP x =，那么当[]1,5x ∈时，函数()y f x =的值域为A ．[26,66]B ．[26,18]C ．[36,18]D ．[36,66]12、函数()f x 与()f x '的象如下列所示，那么函数()()x f x g x e=的递减区间 A ．(0,4) B ．4(,1),(,4)3-∞ C ．4(0,)3 D ．(0,1),(4,)+∞第二卷二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上..13、数列{}n a 定义如下：12212(1)1,3,,1,2,3,21n n n n n a a a a a n n n +++===-=++，假设201642017m a >+ 那么正整数m 的最小值为 14、设,,[0,2)a b R c π∈∈，假设对任意实数x 都有2sin(3)sin()3x a bx c π-=+，定义在区间[0,3]π上的函数sin 2y x =的象与cos y x =的象的焦点横坐标为,d 那么满足条件的有序实数组(,,,)a b c d 得组数为15、先后抛掷投资〔骰子的六个面分别标有1,2,3,4,5,6个点〕两次，落在程度桌面后，记正面朝上的点数分别为,x y ，设事件A 为“x y +为偶数〞，事件B 为“,x y 中有偶数且x y ≠〞，那么事件(|)P B A 等于16、过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，假设,48AF FB BA BC =⋅=，那么抛物线的方程为三、解答题：本大题共6小题，总分值70分，解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤17、〔本小题总分值12分〕递增的等比数列{}n a 的前n 项和为6,64n S a =，且45,a a 的等差中项为33a .〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设21n nn b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、〔本小题总分值12分〕某园林基地培养了一中新欣赏植物，经过一点的生长发育，技术人员从中抽取了局部植株的高度〔单位：厘米〕作为样本〔样本容量为n 〕进展统计，按照[)[)[)[)[]50,60,60,70,70,80,80,90,90,100分组作出频率分布直方，并作出样本高度的茎叶〔中仅列出了高度在[)50,60[],90,100的数据〕.〔1〕求样本容量n 和频率分布直方中,x y 的值；〔2〕在选取的样本中，从高度在80厘米以上〔含80厘米〕的植株中随机抽取3珠高度在[)80,90 内的株数，求随机变量X 的分布列及数学期望.19、〔本小题总分值12分〕如，在三棱柱111ABC A B C -中，0111,90,BB B A AB BC B BC D ===∠=为AC 的中点，1AB B D ⊥. 〔1〕求证：平面11ABB A ⊥平面ABC ；〔2〕求直线1B D 与平面11ACC A 所成角的正弦值.20、〔本小题总分值12分〕两点1(3,0)F -和点2(3,0)F ，点(,)P x y 使平面直角坐标系xOy 内的一动点，且满足24OF OP OF OP +++=，设点P 的轨迹为C .〔1〕求轨迹C 的方程；〔2〕设曲线C 上的两点,M N 均在x 轴的上方，且12//FM F N 点使轴上的定点(0,2)R ，假设以MN 为直径的圆恒过定点R ，求直线1F M 的方程.21、〔本小题总分值12分〕函数()()21ln ,8f x x xg x x x ==-. 〔1〕求()f x 的单调区间和极值点；〔2〕是否存在实数m ，使得函数()()3()4f x h x m g x x=++有三个不同的零点？假设存在，求出m 的取值范围；假设不存在，请说明理由.22、〔本小题总分值10分〕曲线C 的参数方程为6cos (4sin x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数〕，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换1314x x y y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得到曲线C '. 〔1〕求曲线C '的普通方程；〔2〕假设点A 在曲线C '上，点(1,3)D ，当点A 在曲线C '上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程.23、〔本小题总分值10分〕选修4-5 不等式选讲函数()5()f x x m x m R =+--∈.〔1〕当3m =时，求不等式()6f x >的解集；〔2〕假设不等式()10f x ≤对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围.附加题24、函数()1ln()f x x ax a =+-，其中a R ∈且0a ≠ .〔1〕讨论()f x 的单调区间；〔2〕假设直线y ax =的象恒在函数()f x 像的上方，求a 的取值范围；〔3〕假设存在1210,0x x a-<<>，使得()()120f x f x ==，求证：120x x +>。

高三数学上学期第一周周测试题1 文普通班试题

卜人入州八九几市潮王学校大名县第一2021届高三数学上学期第一周周测试题1文〔普通班〕一、选择题.(每一小题5分) 1.集合{}ln 0A x x =>，集合{}(1)(5)0B x N x x =∈--≤，那么AB =()A.{}0,1,2,3,4,5B.{}1,2,3,4,5C.{}1,2,3,4D.{}2,3,4,52.12ii +=-() A.135i +B.335i+ C.133i+ D.333i+ 3.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S 假设2a ，8a 是方程2430x x --=的两根，那么9S =()A.18B.19C.20D.364.设函数1212,2()3log (2),2x x f x x x -⎧+≥=⎨+-<⎩，那么((0))f f =()A.5B.8C.9D.175.设双曲线2222:1x y C a b -=-的渐近线方程为023x y ±=，那么双曲线C 的离心率为()B.3C.2D.26.“关注夕阳、爱老敬老〞—某马拉松协会从2013x 年(2013年是第一年)与捐赠的现金y (万元)的对应数据，由此表中的数据得到了y 关于x 的线性回归方程.ˆ035y mx =+，那么预测2019年捐赠的现金大约是()A.5万元B.5.2万元C.5.25万元D.5.5万元7.如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形组成一个大正方形，直角三角形两直角边的比为1:2，小正方形的边长为2，作出小正方形的内切圆，如今大正方形内随机取-点，那么此点取自圆内局部的概率为() A.8π B.12πC.20πD.25π 8.我国古代科学家祖冲之儿子祖暅在理论的根底上提出了体积计算的原理：“幂势既同，那么积不容异〞(“幂〞是截面积，“势〞是几何体的高)，意思是两个同高的几何体，如在等高处截面的面积恒相等，那么它们的体积相等.某不规那么几何体与如下列图的三视图所表示的几何体满足“幂势既同〞，那么该不规那么几何体的体积为()A. 12π-B.8π-C.122π-D.122π-9.某几何体的三视图如下列图，那么该几何体的体积为() ＋8π＋8π＋16π＋16π10.某几何体的三视图(单位：cm)如下列图，那么该几何体的体积是() A.108 cm 3B.100 cm 3C.92 cm 3D.84 cm 311.过点(2,1)P 作直线l 与圆22:240C x y x y a +--+=交于A ，B 两点，假设P 为A ，B 中点，那么直线l 的方程为()A.3y x =-+ B.23y x =- C.23y x =-+ D.1y x =-12.一个圆锥的母线长为2，圆锥的母线与底面的夹角为4π，那么圆锥的内切球的外表积为 A.8πB.24(22)π- C.24(22)π+ D.232(22)49π-13．函数在上单调，且函数的图象关于直线对称，假设数列是公差不为0的等差数列，且，那么的前100项的和为〔〕 A ．300B ．100C ．D ．14.抛物线212y x =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两点，假设20AF BF +=，那么2AF BF +=()A.3B.154C.4D.5二、填空题〔每一小题5分〕 15.函数()sin 2cosx f x x x =-在(0,(0))f 处的切线方程为_______．16.向量(2,1)a=-，(4,2)b =-，(2,3)c =，那么c 在a b +上的投影是_____．17.假设实数x ，y 满足不等式组010220y x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，那么2z x y =+的最小值是_______．18.数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足22()n n S a n n N *=+∈，那么n a =_____．三、解答题〔容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 19.〔每一小题10分〕在ABC ∆中，cos()0A C +=，1sin 3A =(1)求sin C 的值； (2)设ABC ∠的平分线与AC 交于D ，假设3AC =，求BD 的长.20.〔每一小题10分〕如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，ABCD 是梯形，且//BE AD ，22AC CD AD ==，244AD PD BC ===. (1)求证：AE⊥平面PCD ；(2)求三棱锥B PCD -的体积； (3)在棱PD 上是否存在点M ，使得//CM平面PAB ？假设存在，求PMPD得值；假设不存在，说明理由. 21.〔每一小题10分〕为响应国家“精准扶贫、精准脱贫〞的号召，某贫困县在精准推进上下实功，在在精准落实上见实效现从全县扶贫对象中随机抽取16人对扶贫工作的满意度进展调查，以茎叶图中记录了他们对扶贫工作满意度的分数(总分值是100分)如下列图，图中的平均数与中位数一样.现将满意度分为“根本满意〞(分数低于平均分)、“满意〞(分数不低于平均分且低于95分)和“很满意〞(分数不低于95分)三个级别.(1)求茎叶图中数据的平均数和a的值;(2)从“满意〞和“很满意〞的人中随机抽取2人，求至少有1人是“很满意〞的概率.周测答案二.12y =-122n +-19〔10分〕【详解】(1)由cos()0A C +=，得2A C π+=，又由A B C π++=,所以2B π=，所以sin sin()cos 2C A A π=-==. (2)在直角ABC ∆中，1sin 3A =，3AC =，所以1sin 313BC AC A ==⨯=，在DBC ∆中，sin sin()4BDCA π∠=+=cos )A A +=由正弦定理得，sin sin BD BC C BDC =∠，所以sin sin BC C BD BDC ==∠47=. 20.〔10分〕【详解】(1)由题意，可知AC CD AD ==，那么222221122AC CD AD AD AD +=+=，所以AC CD ⊥，PD ABCD 平面⊥，AC ⊂面ABCD ，所以PD AC ⊥，又因为PD CD D ⋂=，所以AE 是(2)因为AC CD =，AC CD ⊥，ABC ∆∴为等腰直角三角形，所以4CADπ∠=，在ABC ∆中，1BC =，AC =4ACBCAD π∠=∠=，又PD ABCD ⊥平面，B PAC B ABC V V --==三棱锥三棱锥1121sin 23243π⨯⨯⨯⨯=. (3)在棱PD 上取点M ，使得14PM PD =，过M 作//MN AD 交PA 于N ，那么14MN AD =，又14BC AD =且BC AD //，所以//BC MN 且BC MN =，所以四边形MNBC 为平行四边形，所以//CMBN ，CM ⊄平面PAB ，BN ⊂平面PAB ，所以//CM平面PAB ，故在棱PD 上存在点M ，当14PM PD =时，使得//CM 平面PAB . 21〔10分〕【详解】(1)由题意，根据图中16个数据的中位数为8789882+=，由平均数与中位数一样，得平均数为88，所以8873567992557870390616a +++++++++++++++⨯+⨯88=，解得4a =；(2)依题意，16人中，“根本满意〞有8人，“满意〞有4人，“很满意〞有4人.“满意〞和“很满意〞的人一共有4人.分别记“满意〞的4人为a ，b ，c ，d ，“很满意〞的4人为1，2，3，4.从中随机抽取2人的一切可能结果所组成的根本领件一共28个：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,)b c ，(,)b d ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,)c d ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4).用事件A 表示“8人中至少有1人是很满意〞这一件事，那么事件A 由22个根本领件组成：(,1)a ，(,2)a ，(,3)a ，(,4)a ，(,1)b ，(,2)b ，(,3)b ，(,4)b ，(,1)c ，(,2)c ，(,3)c ，(,4)c ，(,1)d ，(,2)d ，(,3)d ，(,4)d ，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，一共有22个.故事件A 的概率为2211()2814P A ==。

高三数学上学期周考试卷

高三数学上学期周测试卷〔测试内容：函数与解几,测试时间120分钟,总分值150分,命题人：张吉华〕一. 选择题〔以下各题有且只有一个选项正确,每题5分,共60分〕1．映射f ：A →B,如果满足集合B 中的任意一个元素在Ａ中都有原象,那么称为“满射〞.集合A 中有4个元素,集合B 中有3个元素,那么从A 到B 的不同满射的个数为〔〕A ．24B ．6C ．72D ．362．假设),1,1(0lg lg ≠≠=+b a b a 其中那么函数x x b x g a x f ==)()(与的图象关于〔〕A ．直线y =x 对称B ．x 轴对称C ． y 轴对称D ．原点对称 3．θ∈R,那么直线013sin =+-y x θ的倾斜角的取值范围是〔〕 A ．[0°,30°] B ．[0°,30°]∪)180,150[︒︒ C ．)180,150[︒︒ D ．[30°,150°] 4．假设P 〔4,－9〕,Q 〔－2,3〕,那么直线PQ 与y 轴的交点分PQ 所成的比为〔〕A ．31B ．21C ．2D ．35．实数x ,y 满足22,052y x y x +=++那么的最小值为〔〕 A ．5 B ．10 C ．25 D ．2106．设函数)(x f =x |x| + b x + c 给出以下四个命题：①c = 0时,y =)(x f 是奇函数②b =0 ,c >0时,方程)(x f =0 只有一个实根 ③y =)(x f 的图象关于(0 , c)对称④方程)(x f =0至多两个实根,其中正确的命题是〔〕A ．①、④B ．①、③C ．①、②、③D ．①、②、④ 7．假设关于x320kx k -+=有且只有两个不同的实数根,那么实数k 的取值范围是〔〕A ．5,12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．5,112⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．50,12⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．53,124⎛⎤⎥⎝⎦8．双曲线19422=-y x 的渐近线方程是〔〕A ．x y 23±=B ．x y 32±=C ．x y 49±=D ．x y 94±=9．抛物线241x y ＝中,F 是焦点,P 是其上动点,那么线段PF 中点的轨迹方程是〔〕A ．122－＝y xB ．16122－＝y x C ．212－＝y x D ．222－＝y x10．共焦点的椭圆122=+b y a x (a>b>0)和双曲线122=-ny m x (m,n>0)的交点是P,那么|PF 1||PF 2|为〔〕A ．n b + B ．n b + C ．m a - D ．a m -11．以下结论, ①渐近线方程为()0,0>>±=b a x aby 的双曲线标准方程必是12222=-b y a x ；②抛物线221x y -=的准线方程是21=x ；③等轴双曲线的离心率是2；④椭圆()0,012222>>=+n m ny m x 焦点坐标是(),0,22n m -±其中正确的选项是〔〕A ．①②B ．②③C ．③D ．③④12．假设a ≠b ,且a 2sin θ+a cos θ－4π=0 ,b 2sin θ+b cos θ－4π=0,那么过〔a ,a 2〕,〔b ,b 2〕两点的直线与单位圆的位置关系是〔〕 A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不能确定二．填空题〔每题4分,不给中间分,共12分〕13．x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-+0,0033y x y x ,那么z ＝12-+x y 的取值范围是14．过直线x =2上一点M 向圆()()x y ++-=51122作切线,那么M 到切点的最小距离为_ ____15．有一系列椭圆,满足条件：①中央在原点；②以直线x=2为准线；③离心率)()(*21N n e n n ∈=,那么所有这些椭圆的长轴长之和为16．曲线axy=2与其关于点(1,1)对称的曲线有两个不同的交点A和B,如果过这两个交点的直线的倾斜角是︒45,那么实数a的值是_____________高三数学上学期周测试卷〔测试内容：函数与解几,测试时间120分钟,总分值150分,命题人：张吉华〕二. 填空题〔每题4分,不给中间分,共12分〕13．14．15．16．三. 解做题〔共74分〕17．在平面直角坐标系中,在y轴的正半轴上给定A、B两点,在x轴正半轴上求一点C,使∠ACB取得最大值．18．(12分) 函数f(x)=ax2-2x+2 (a>0),当x∈[1,4]时,f(x)>0恒成立,求实数a的取值范围．19．〔12分〕圆(x+4)2+y2=25的圆心为M1,圆(x－4)2+y2=1的圆心为M2,一动圆与这两个圆都外切.〔1〕求动圆圆心P的轨迹方程；〔2〕假设过点M2的直线与〔1〕中所求轨迹有两个交点A、B,求|AM1|·|BM1|的取值范围.20．〔12分〕抛物线xy42=的一条焦点弦被焦点分成长为m、n的两局部. 求证：11m n+为定值.21．〔12分〕A、B、C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的一个顶点,BC 过椭圆中央O,如图,且AC·BC=0,|BC|=2|AC|,〔1〕求椭圆的方程；〔2〕如果椭圆上两点P、Q,使∠PCQ的平分线垂直AO,那么是否存在实数λ,使PQ=λAB？请说明理由.. 22．〔14分〕如下图,圆MAyxC),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点,点P在AM 上,点N在CM上,且满足NAMNPAPAM点,0,2=⋅=轨迹为曲线E.〔1〕求曲线E的方程；〔2〕假设过定点F〔0,2〕的直线交曲线E于不同的两点G、H〔点G在点F、H之间〕,且满足FHFGλ=,求λ的取值范围.密封线内严禁答题。

高三数学上学期周测试题13文

卜人入州八九几市潮王学校外语学院第二外国语2021届高三数学上学期周测试题〔13〕文时间是：40分钟总分：70分班级__________成绩__________一、选择题：本大题一一共6小题，每一小题5分，计30分1、〔〕A 所有实数的平方都不是正数B 有的实数的平方是正数C 至少有一个实数的平方是正数D 至少有一个实数的平方不是正数2、假设0x 是方程lg 2x x +=的解，那么0x 属于区间〔〕A 〔0,1〕B 〔1,〕C 〔,2〕D 〔2,〕3、在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是内角A 、B 、C 所对的边，3C π=，假设OD aOE bOF =+，且D 、E 、F 三点一共线〔该直线不过点O 〕，那么ABC ∆周长的最小值是〔〕 A 12B 54C 32D 944、如图，1F ，2F 是双曲线22221x y a b-=(0a >,0)b >的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点。

假设22::AB BF AF =3:4:5，那么双曲线的离心率为〔〕A 13B 15C2D 35、函数11()()2cos()2x f x x π-=+〔24x -≤≤〕的所有零点的和〔〕 A2B4C6D86、在区间［0,1］上任意取两个实数a ，b ，那么函数()f x =312x ax b +-在区间［-1,1］上有且仅有一个零点的概率为〔〕A 18B 14C 34D 78二、填空题：本大题一一共5小题，每一小题5分，一共25分7、θ是第二象限角，且4sin 5θ=，那么tan()4πθ-的值是_______________ 8、假设双曲线221x y k+=的离心率等于k 的值是_______________ 9、正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222112n n n a a a +-=+〔n ≥2〕，那么6a 等于_______________ 10、设函数()f x 是以2为周期的偶函数，当x ∈［0,1］时，()f x x =，假设在区间［[1-,3]内，函数()()g x f x kx k =--有4个零点，那么实数k 的取值范围是_______________11、在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，c ：b =8：5，ABC ∆的面积为_______________三、解答题：本大题一一共2小题，其中12题12分，13题13分，计25分12、在ABC ∆中，三条边a ,b ,c 所对的角分别为A ,B ,C ，向量(sin m A =,cos )A ，(cos n B =,sin )B ，且满足sin 2m n C ⋅=〔1〕求角C 的大小；〔2〕假设sin A ,sin C ,sin B 成等比数列，且()18CA AB AC ⋅-=，求c 的值13、三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2 的等边三角形，D 为AB 边中点，且12CC AB =〔1〕求证：平面1C CD ⊥平面ABC 〔2〕求证：1//AC 平面1CDB〔3〕求三棱锥1D CBB -的体积 C 1B 1A 1DCB A。

高三数学上学期测试周考试题试题

中宁一中2021届高三数学周考12〔理〕一、选择题:本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分,在每一小题给出的四个选项里面,只有一项是哪一项符合题目要求的．1．{}}222,1,2xM y y x N x y ⎧⎪===+=⎨⎪⎩那么M N ⋂= A ．{(1,1),(1,1)}- B ．{1} C ．D ． [0,1]2．i 为虚数单位，那么201411i i +⎛⎫= ⎪-⎝⎭A. iB. 1-C. i -D.13.设x,y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则〔A 〕有最小值2，最大值3 〔B 〕有最小值2，无最大值〔C 〕有最大值3，无最小值〔D 〕既无最小值，也无最大值4．设{}n a 是公差不为0的等差数列，12a =且136,,a a a 成等比数列，那么{}n a的前n 项和n S =A ．2744n n +B ．2533n n +C ．2324n n + D ．2n n +5. 假如执行右面的程序框图，那么输出的S =〔〕 A ．2450B ．2500C ．2550D ．26526．幂函数)(x f y =的图像过点()2,4，令)()1(n f n f a n ++=，+∈N n ，记数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n S ，那么n S =10时，n 的值是A. 110B. 120C. 130D. 1407．关于x 的不等式x2－(a ＋1)x ＋a ＜0的解集中，恰有3个整数，那么a 的取值范围是( ) A ．(4，5) B ．(－3，－2)∪(4，5) C ．(4，5] D ．[－3，－2)∪(4，5]8．假设不等式x 2＋ax ＋10对于一切x 〔0，12〕成立，那么a 的取值范围是A ．0≥aB ．2-≤aC ．25-≥a D ．3-≤a9．D 是ABC ∆的边BC 上〔不包括B 、C 点〕的一动点，且满足AD AB AC αβ=+，那么11αβ+的最小值为A. 3B. 5C. 6D. 4 10．锐角βα,满足：51cos sin =-ββ， 3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，那么cos α=A ．33410 B ． 33410 C ．3310+ D ．331011．假设函数)0,0(1)(>>-=b a e bx f ax 的图象在0x =处的切线与圆221x y +=相切，那么a b +的最大值是 A ．4 B.22212．假设存在正实数M ，对于任意(1,)x ∈+∞，都有()f x M ≤，那么称函数()f x 在(1,)+∞ 上是有界函数．以下函数：①1()1f x x =-； ②2()1x f x x =+； ③ln ()x f x x=； ④()sin f x x x =. 其中“在(1,)+∞上是有界函数〞的序号为A. ②③B. ①②③C. ②③④D. ③④二、填空题：〔本大题一一共4小题，每一小题5分．〕13．正四棱锥的各棱棱长都为23，那么正四棱锥的外接球的外表积为A ．π36B ．π12C ．π72D ．π10814．等差数列}{n a 中12014a =，前n 项和为n S ,10121210S S -2-=，那么2014S 的值是____.15. 一个几何体的三视图如右图所示，那么该几何体的外表积为 .16. 0a >,,x y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,假设2z x y =+的最小值为1,那么a =_______三、解答题:解容许写出文字说明．证明过程或者演算步骤 17.(本小题满分是12分〕数列{}n a 的首项1122,,1,2,3,......31n n n a a a n a +===+.〔1〕证明：数列1{1}n a -是等比数列；〔2〕求数列{}n n a 的前n 项和n S ．18.〔本小题满分是12分〕如图，三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是3，D 是AC 的中点。

高三上学期数学周练试卷(2)

高三数学周练试卷（2）一、填空题 1．已知函数()32f x x ax x =++是定义在[]1,27b b -++上的奇函数，则a b += .2．函数()1log (0.1)a f x x a a =->≠的图象恒过定点，若定点在直线20+-=mx ny 上，其中0mn >，则11m n+的最小值为 .3．已知()f x 是R 上的奇函数，当()2021x f x x x >=--时，，则()f x 的解析式为 4．已知()()13?,12log ?,1a a x a x f x x x ⎧--<⎪=⎨⎪≥⎩是(,)-∞+∞上的增函数，那么实数a 的取值范围是； 5．已知函数()f x 满足()(π)f x f x =-，且当ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()sin f x x x =+，设(1),(2),(3)a f b f c f ===，则,,a b c 的大小关系是．6．已知定义在R 上的奇函数()f x 与偶函数()g x 满足. ()()2x f x g x -=，若(]0,2x ∀∈，()(2)0mf x g x -≥恒成立，则实数m 的取值范围是 .二、解答题7．已知函数()f x ，()g x 满足()()2211421f x g x x x -++=--．(1)求()()33f g +的值；(2)若()2g x x =，求()f x 的解析式与最小值．8．已知命题2:R,210P x ax x ∃∈+-=为假命题.(1)求实数a 的取值集合A ；(2)设集合{}|32B x m x m =<<+，若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数m 的取值集合. 9．函数2(3)f x x ax =++.(1)若当x ∈R 时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围；(2)若存在[]4,2x ∈--，使()f x a ≥成立，求实数a 的取值范围；(3)若当[]4,6a ∈时，()0f x ≥恒成立，求实数x 的取值范围.。

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……外…………○学……内…………○绝密★启用前高三上期数学第一次周练试卷考试时间：120分钟一、单选题1．（5分）已知集合A ={x|2x ≤4,x ∈N },B ={x|6x+1>1,x ∈Z}，则满足条件A ⊆C ⊆B 集合C 的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．12．（5分）已知p:“∀x ∈R,x 2+3≥3”，则¬p 是（） A ．∀x ∈R,x 2+3<3 B ．∃x ∈R,x 2+3≤3 C ．∃x ∈R,x 2+3<3 D ．∃x ∈R,x 2+3≥3 3．（5分）下列命题中正确命题的个数是（1）对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越小，判断“X 与Y 有关系”的把握越大；（2）若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后，则样本的方差不变；（3）在残差图，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；（4）设随机变量ξ服从正态分布N (0,1)；若P (ξ>1)=p ，则P (−1<ξ<0)=12−p （） A ．4 B ．3 C ．2 D ．14．（5分）《张丘建筑经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第二天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现有一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织布的尺数为（） A ．18B ．20C ．21D ．255．（5分）某几何体的三视图如图所示，则这个几何体最长的一条棱长为（）A ．B ．C ．4D ．6．（5分）设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1=−1,an+1S n+1=S n ，则S 10=（）7．（5分）设a =∫sinxdx π0，则(a √x −x)6·(x 2+2)的展开式中常数项是（） A ．332 B ．-332 C ．320 D ．-3208．（5分）设a =sin3900，函数f (x )={a x x <0log a x x ≥0，则f (110)+f (log 218)的值等于（）A ．9B ．10C ．11D ．129．（5分）现有一个不透明的口袋中装有标号为1，2，2，3的四个小球，他们除数字外完全相同，现从中随机取出一球记下号码后放回，均匀搅拌后再随机取出一球，则两次取出小球所标号码不同的概率为（） A ．16 B ．56 C ．38 D ．5810．（5分）已知定义在区间[−π2,π]上的函数y =f (x )的图象关于直线x =π4对称，当x ≥π4时，f (x )=sinx ，如果关于x 的方程f (x )=a 有解，记所有解的和为S ，则S 不可能为（） A ．34π B ．π2C ．πD ．2π11．（5分）已知直线l 与双曲线x 24−y 2=1相切于点P ，l 与双曲线两条渐进线交于M ，N 两点，则OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关12．（5分）设f n (x )=1+x +x 2+⋅⋅⋅+x n (x >0)，其中n ∈N,n ≥2，则函数G n (x )=f n (x )−2在(12,1)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．与n 有关二、填空题13．（5分）已知复数z =1−i ，则z 2−2z z−1=__________．14．（5分）过平面区域{x −y +2≥0y +2≥0x +y +2≤0 内一点P 作圆O:x 2+y 2=1的两条切线，切点分别为A,B ，记∠APB =α，当α最大时，点P 坐标为__________．15．（5分）已知抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，直线l 过点F 与抛物线交于A ，B 两点，与其准线交于点C （点B 在点A ，C 之间），若3BC =BF ，且9AB =，则p =______．16．（5分）已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭， ()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的………○…………装学校:___________姓………○…………装三、解答题17．（12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知向量m ⃗⃗ =(sinx,cos (x +π4)),n ⃗ =(cosx,sin (x −π4))，设f (x )=m ⃗⃗ ·n ⃗ . （1）求f (x )的最小正周期；（2）在锐角三角形ΔABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，若f (C2)=0,c =1，求ΔABC 面积的最大值.18．（12分）某公园设有自行车租车点，租车的收费标准是每小时2元(不足一小时的部分按一小时计算)．甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为11,42，一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为11,24，两人租车时间都不会超过三小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X ，求X 的分布列与数学期望()E X ．19．（12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC =900,CD//AB,AB =2,AD =CD =1,M 为线段AB 的中点.将ΔADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D −ABC ，如图2所示.（1）求证：平面DBC ⊥平面ACD ；（2）求二面角B −CD −M 的余弦值.20．（12分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1的离心率为12,F 1F 2是椭圆的两个焦点，P 是椭圆上任意一点，且ΔPF 1F 2的周长是6. （1）求椭圆C 的方程；（2）设圆：T:(x −t )2+y 2=49，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于E 、F 两点，当圆心在x 轴上移动且t ∈(0,1)时，求EF 的斜率的取值范围.…………○………………○……21．（12分）已知函数f (x )＝ln x －ax ，a ∈R.(1)若函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝1时，g (x )＝f (x )＋x ＋12x－m 有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 1＋x 2＞1. 22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程：{x =1+tcosθy =tsinθ （θ为参数），曲线C 的参数方程：{x =√3cosαy =sinα （α为参数），且直线交曲线C 于A,B 两点.（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，并求θ=π3时，|AB |的长度；（2）已知点P (1,0)，求当直线倾斜角θ变化时，|PA |·|PB |的范围. 23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知实数a >0,b >0，且a 2+b 2=8，若a +b ≤m 恒成立. （1）求实数m 的最小值；（2）若2|x −1|+|x |≥a +b 对任意的a,b 恒成立，求实数x 的取值范围.参考答案1．A2．C 3．B 4．C 5．A 6．B 7．B 8．C 9．D 10．D 11．A 12．B13．2i. 14．(−1,−1). 15．416．32 2,3e e-⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．（1）T=π.（2）S≤2−√34.【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积公式，结合利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及诱导公式将函数f(x)化为sin2x−12，利用正弦函数的周期公式可得函数的周期；（2）由三角形面积公式可得S=14ab，利用余弦定理结合基本不等式求得ab≤2+√3，从而可得结果. 【详解】（1）f(x)=m⃗⃗ ·n⃗=sinx·cosx+sin(x−π4)cos(x+π4)=sinx·cosx+sin(x−π4)cos(x−π4+π2)=sinx·cosx−sin(x−π4)sin(x−π4)=sin2x2−1−cos(2x−π2)2=sin2x−12，故f(x)的最小正周期T=π；（2）f(C2)=sinC−12=0又三角形为锐角三角形，故C=π6,S=12absinπ6=14ab，c2=1=a2+b2−2abcosπ6≥2ab−√3ab=(2−√3)ab，∴ab≤2+√3，∴S=12absinπ6=14ab≤2−√34.【点睛】以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.18．（1）516；（2）见解析【解析】【分析】（1）两人所付租车费用相同的情况有2,4,6三种，分别算出对应概率，相加得到答案. （2）X 的可能取值为4,6,8,10,12，分别计算概率，写出分布列计算数学期望. 【详解】解：（1）甲、乙两人所付租车费用相同即为2,4,6元．都付2元的概率为1111428P =⨯=，都付4元的概率为2111248P =⨯=；都付6元的概率为31114416P =⨯=，故所付费用相同的概率为123P P P P ++==1115881616++= （2）依题意知，X 的可能取值为4,6,8,10,12()1114,428P X ==⨯=()111156442216P X ==⨯+⨯=，()1111115844242416P X ==⨯+⨯+⨯=；()1111310442416P X ==⨯+⨯=；()111124416P X ==⨯=，故X 的分布列为所求数学期望()1553468108161616E X =⨯+⨯+⨯+⨯11512162+⨯= 【点睛】本题考查了概率的计算，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力. 19．（1）见解析. （2）−√33. 【解析】【分析】（1）由勾股定理可证明AC ⊥BC ，利用面面垂直的性质可得OD ⊥平面ABC ，从而得OD ⊥BC ，由线面垂直的判定定理可得BC ⊥平面ACD ，进而利用面面垂直的判定定理可得结果；（2）作OM ⊥AC ,以OA,OM,OD 为x 、y 、z 轴建立坐标系，分别利用向量垂直数量积为零，列方程组求出平面CDM 与平面ACD 的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果. 【详解】（1）在图1中，可得AC =BC =√2，从而AC 2+BC 2=AB 2，故AC ⊥BC ，取AC 中点O 连结DO ,则DO ⊥AC ，又面ADE ⊥面ABC ，面ADE ∩面ABC =AC,DO ⊂面ACD ，从而OD ⊥平面ABC ，∴OD ⊥BC ，又AC ⊥BC,AC ∩OD =O ，∴BC ⊥平面ACD ，故平面DBC ⊥平面ACD ；（2）建立空间直角坐标系O −xyz 如图所示，则M (0,√22,0),C (−√22,0,0),D (0,0,√22)， CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,√22,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√22,0,√22)，设n 1⃗⃗⃗⃗ =(x,y,z )为面CDM 的法向量，则{n 1⃗⃗⃗⃗ ·CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n 1⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 即{√2x +√2y =0√2x +√2z =0 ，解得{y =−x z =−x ，令x =−1，可得n 1⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,1)，又n 2⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0)为面ACD 的一个法向量，∴cos ⟨n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ⟩=n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ·n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3=√33，∴二面角B −CD −M 的余弦值为−√33. 【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离. 20．（1）x 24+y 23=1.（2）(0,54√377). 【解析】【分析】（1）由椭圆离心率得到a,c 的关系，再由ΔPF 1F 2的周长是6，得a,c 的另一关系，联立求得a,c 的值，代入a 2=b 2+c 2求得b ，则椭圆方程可求；（2）椭圆的上顶点为M(0,√3)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为y =kx +√3，由圆心到切线距离等于半径得到关于切线斜率的方程，由根与系数关系得到k 1+k 2=18√3t 9t 2−4，k 1k 2=239t 2−4，再联立切线方程和椭圆方程，求得E 的坐标，同理求得F 坐标，利用斜率公式得到k EF =3(k 1+k 2)3−4k 1k 2=54√3t104−27t 2，然后由函数单调性求得EF 的斜率的范围. 【详解】（1）由e =12，可知a =2c ，因为ΔPF 1F 2的周长是6，所以2a +2c =6，所以a =2,c =1，所求椭圆方程为x 24+y 23=1；（2）椭圆的上顶点为M(0,√3)，设过点M 与圆T 相切的直线方程为y =kx +√3，由直线y =kx +1与T 相切可知√3|√k 2+1=23,(9t 2−4)k 2+18√3tk +23=0，∴k 1+k 2=−18√3t9t 2−4,k 1k 2=239t 2−4，由{y =k 1x +√3x 24+y 23=1 得(3+4k 12)x 2+8√3k 1x =0，∴x E =−8√3k 13+4k 12，同理x F =−8√3k23+4k 22，k EF =y E −y F x E −x F=(k 1x E +√3)−(k 2x F +√3)x E −x F=k 1x E −k 2x F x E −x F，3(k 1+k 2)3−4k 1k 2=54√3t 104−27t 2，当0<t <1时，f (t )=54√3t104−27t 2为增函数，故EF 的斜率的范围为(0,54√377). 【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于a,b,c 的方程组，解出a,b,，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单 21．（1）a ≥1；（2）详见解析. 【解析】【分析】(1)由题得当x ＞1时a ≥1x 恒成立，即得实数a 的取值范围；（2）先求出121121,2ln x x x x x -=2121212ln x x x x x -=.令12x t x =，其中0＜t ＜1，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=.构造函数h (t )＝t －1t －2ln t (0＜t ＜1)，证明t －1t－2ln t ＜0得证. 【详解】(1)解：因为f (x )＝ln x －ax ，则f ′(x )＝1x －a ＝1axx-，若函数f (x )＝ln x －ax 在(1，＋∞)上单调递减，则1－ax ≤0在(1，＋∞)上恒成立，即当x ＞1时a ≥1x恒成立，所以a ≥1.(2)证明：根据题意，g (x )＝ln x ＋12x－m (x ＞0)，因为x 1，x 2是函数g (x )＝ln x ＋12x－m 的两个零点，所以121211ln 0,ln 022x m x m x x +-=+-=. 两式相减，可得122111ln 22x x x x =-，即112221ln 2x x x x x x -=，故1212122ln x xx x x x -=. 那么122112112211,2ln 2lnx x x x x x x x x x --==. 令12x t x =，其中0＜t ＜1，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t---+=+=. 记h (t )＝t －1t －2ln t (0＜t ＜1)，则22(1)()t h t t-'=. 因为0＜t ＜1，所以h ′(t )＞0恒成立，故h (t )＜h (1)，即t －1t－2ln t ＜0.可知112ln t t t->，故x 1＋x 2＞1.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平分析推理能力，属于中档题. 22．（1）|AB |=3. （2）[13,1]. 【解析】【分析】（1）利用三角函数的平方关系式，将曲线C 的参数方程化为普通方程，，直线l 的参数方程：{x =1+12t y =√32t （t 为参数），代入x 23+y 2=1，得t 2+t −2=0，利用韦达定理结合直线参数方程的几何意义，即可求出|AB |的长度；（2）直线l 参数方程代入得(cos 2θ+3sin 2θ)t 2+2cosθt−2=0，则|PA|·|PB|=−t1t2=2cos2θ+3sin2θ=11+2sin2θ，利用三角函数的有界性可得结果. 【详解】（1）曲线C的普通方程为x 23+y2=1；当θ=π3时，直线l的参数方程：{x=1+12ty=√32t（t为参数），将l的参数方程代入x23+y2=1，得t2+t−2=0，解得t1=−2,t2=1，所以|AB|=|t1−t2|=3.（2）直线l参数方程代入得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cosθt−2=0，|PA|·|PB|=−t1t2=2cos2θ+3sin2θ=11+2sin2θ，0≤sin2θ≤1,13≤|PA|·|PB|≤1，所以|PA|·|PB|的范围是[13,1].【点睛】本题主要考查，直线参数方程的应用，以及参数方程化普通方程的方法，属于中档题.消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法.23．（1）m≥4.（2）{x|x≤−23或x≥2}.【解析】【分析】（1）结合a2+b2=8，利用综合法证明(a+b)≤4，从而可得m≥4；（2）由2|x−1|+|x|≥a+b恒成立，结合（1）可得，只需2|x−1|+|x|≥4，对x分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式组，再求并集即可得结果.【详解】（1）∵a2+b2≥2ab，∴2a2+2b2≥(a+b)2，∴(a+b)2≤16，∴(a+b)≤4故m≥4；（2）由2|x−1|+|x|≥a+b恒成立，故只需2|x−1|+|x|≥4，；当0≤x≤1时，不合题意，当x≥1时，可得x≥2；当x≤0时，可得x≤−23或x≥2}.综上可得实数x的取值范围是{x|x≤−23。