刚体力学基础

3） 运动描述仅需一个坐标。
9
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
三、 匀变速转动公式 匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为 恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
1 2 x x0 v0t at 2
v v0 at
S：质量面密度
对质量体分布的刚体：
dm S dS
dm dV

：质量体密度
21
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 例3-2 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒。求： （1）细棒对通过棒的中心,并与棒垂直的转轴的转动 惯量;（2）细棒对通过棒的端点,并与棒垂直的转轴 的转动惯量.

0

0
8
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
转速
n
：每分钟转过的圈数。
角速度与转速的关系 角加速度
d dt
2 πn πn 60 30
定轴转动的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
与刚体转动方向之间 的关系按右手螺旋法 则确定.

方向：沿转轴,

把右手的拇指伸直, 其余四指弯曲,使弯曲方 向与刚体转动方向一致, 这时拇指所指的方向,就 是角速度矢量的方向.
12
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
1 例3-1 一半径 r 0.50 m的飞轮,转速n 600 r min, 制动后转过 10 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变 速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的 时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加 速度和法向加速度. 2πn 2 π 600 1 1 rad s 62.8 rad s 解 (1) 0 60 60
z
O
r *
P
F
M Fr sin
0 π
π 2π
sin 0 力矩为正.
sin 0 力矩为负.
15
0 或 π sin 0 力矩为零. 第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
力臂: 点 O 至力 F
的作用线的垂直距离.
2 2
m
R R
O
r dr
m πR
2
dJ r dm 2 π s r dr
2 3
其中s
J 2 π s r dr
3 0
R
s
2
πR
4
1 2 J mR 2
第三章 刚体力学
24
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转 轴的位置 . 四、平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
平动：刚体在运动 的过程中,如果刚体上 任意两点的连线在空间 的指向始终保持不变. 刚体平动 质点运动
5
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
刚体的转动 刚体在运动时,如果刚体上的各点都绕同 一条直线在垂直于这条直线的平面内作半径大 小不同的圆周运动,这种运动称为刚体的转动, 这条直线称为转轴. 如果转轴是固定不 动的,这种转动称为绕固 定轴的转动,简称定轴转 动.
§3.1 (2)
刚体 刚体定轴转动的描述
1 s 末飞轮的角速度
1 1 0 t 62.8 31.4 1 rad s 31.4 rad s
轮边缘某点的线速度
v r 0.5 31.4 m s1 15.7 m s1
z
O
d r sin
d
r *
P
F
M Fd
力对轴的力矩大小等于力的大小和力臂的乘积.
16
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 于转轴方向的两个分量
若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直
F F1 F2
其中 F 对转轴的力矩为 1 零.
z
k
O
F1
F
22
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 （2）细棒对通过棒的端点,并与棒垂直的转轴的 转动惯量
O
l 2
2
x
dx l 2
2
x
m 其中 l l
O
l l dJ x dm l x dx 2 2
J
l 2 l 2
l 1 3 l x dx l l 2 3
1
第三章 刚体力学
第三章
3-1 3-2 3-3 3-4 恒定律 刚体
刚体力学基础
刚体定轴转动的描述
刚体定轴转动的转动定律 刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守
2
第三章 刚体力学
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。 二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。 三 理解刚体的定轴转动定律，能计算简单 的定轴转动问题。
2 0
0 t
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2
2 02 2 ( 0 )
10
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度 线速度大小与 角速度大小的关系
z
3
第三章 刚体力学
教学基本要求
四 了解力矩的功和刚体转动动能的概念。
五 理解刚体对定轴的角动量概念，理解 刚体定轴转动的角动量定理，理解角动量守 恒定律。 六 了解经典力学的适用范围。
4
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
一、刚体的平动和定轴转动 刚体:在力的作用下,大小和形状都保持不变的物体. 刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动.
r 沿顺时针方向转动 0
第三章 刚体力学
7
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
瞬时角速度（角速度） d lim t 0 t dt 刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以 用角速度的正负来表示 .
z
z
面对 Oz 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时 针转动;反之,刚体顺 时针转动.
刚体的一般运动可以看成平动和转动的合成.
6
第体定轴转动的描述
二、刚体转动的角速度和角加速度 角坐标（角位置） 刚体绕定轴转动的转动方程
z
(t )
x
转动平面
(t )
刚体的角位移
(t t) (t)
规定 沿逆时针方向转动 0 r
以
ri 乘上式两边
2
Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri
对刚体上所有的个质点
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1 第三章 刚体力学
n n
18
2
1 2 J ml 3
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第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 例3-3 两质量均为 m 、半径均为 R 的薄圆环和均匀 圆盘，求通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量 . 解 （1）薄圆环
J R dm mR 0 （2）设圆盘面密度为 s ，在 盘上取半径为 r ，宽为 dr 的 圆环 dm 2 π rdr s
v r
a
an r
dv at r dt v2 2 an r r
at
et v
2 a ret r en
第三章 刚体力学
11
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
五、角速度矢量
角速度分量
d lim t 0 t dt
O
l 2
x
dx l 2
x
dJ x dm l x dx
2 2
l 2 l 2 2
O
解 设棒的线密度 为 l ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元
J
x
m 其中 l l
1 3 l x dx l l 12
dm l dx
1 2 J ml 12
第三章 刚体力学

F2
F 对转轴的力矩
M rF2 sin
r
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第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 二、转动定律 质点绕轴作圆周运 动,根据牛顿第二定律沿 切线方向的分量式
O
z
ri
Fii
mi
i
i
Fie
Fie sin i Fii sin i mi ait mi ri
切向加速度
at r 0.5 31.4 m s 15.7 m s
2
2
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
第三章 刚体力学
14
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
一、力对轴的力矩
力对轴的力矩：力的 作用点的矢径大小、力的 大小和矢径与力之间夹角 的正弦三者的乘积。
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1