刚体力学基础
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刚体力学基础
mB
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
mA
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
解：研究对象：A、B、圆柱 用隔离法分别对各物体作受力 分析，如图所示。
mB
N
mA
f
mB m Bg
TB
TA
mA
aB T 'B
aA
mAg
T 'A
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
N
f
mB m Bg
TB
TA
T 'B
T 'A
mA mAg
aA
aB
A: mA g TA mAaA TB f mB aB B: N mB g 0
2.7
定点转动：
刚体力学基础
运动中刚体上只有一点固定不动，整个刚体绕过该
固定点的某一瞬时轴线转动. 如：陀螺的运动
i3
（转轴方向（2），绕轴转角（1））
第5章 刚体力学基础
2.7
刚体力学基础
二 刚体定轴转动的运动学描述 定轴转动：刚体上任意点都绕同一 轴在各自的转动平面内作圆周运动
特征：刚体各个部分在相同时间内绕 转轴转过的角度（角位移）都相同 引入角量描述将非常方便。
oo mi vi 垂直于z轴。
i
th
刚体 mi
oo mi vi ri mi vi
z
我们只对z方向的分量感兴趣：
Liz ri mi vi mi ri 2
Lz Liz mi ri
2
ω,α vi
△ mi
ri O’ × 刚体 × O
刚体定轴转动的动能=绕质心转动的动能+
刚体携总质量(质心)绕定轴作圆周运动的动能
第三章刚体力学基础
（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
第三章-刚体力学基础
薄板对Z轴的转动惯量 J Z ＝
对X轴的转动惯量 J X
对Y轴的转动惯量 JY
Z
垂直轴定理
JZ JX JY
O
yi
Y
xi
ri
X
JZ miri2 mi xi2 mi yi2 Jx J y
五 刚体定轴转动的转动定律的应用
例１、一个质量为Ｍ、半径为Ｒ的定
滑轮（当作均匀圆盘）上面绕有细绳， 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂
分析： 由 每分钟150转 可知
0
t
2 150
60
5
rad
/ s
而已知 r=0.2m t=30s ω=0
可由公式求相应的物理量
解: (1) 0 0 5 (rad / s2 )
t
30
6
负号表示角加速度方向与角速度方向相反
（飞轮做匀减速转动）
2 02 2
(5 )2 2 ( )
末位置：
Ek
1 2
J 2
l
由刚体定轴转动的动能定理
1 mgl sin 1 J 2 0
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml2
2l
3
dm dl
gdm
（用机械能守恒定律解） 假设棒在水平位置时的重力势能为零势能
0 1 J2 (mg l sin ) O
动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的
角加速度和角速度。（分别用动能定理和机械能守
恒定律求解）
解： （用动能定理解）
重力对轴的力矩为
M 1 mgl cos（M
O
刚体力学基础详解
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳端，试计 算飞轮的角加速。
rO T
解 (1) FrJ F r9 80.23.2 9rad 2 /s
J 0.5 (2) m gTma
F mg
TrJ ar
J
mgr mr2
两者区别
0.59 1 80 0.2 0.222.1 8rad 2 /s
例 圆盘以 0 在桌面上转动,受摩擦力而静止
3. 一般运动
刚体不受任何限制的的任意运动称为刚体
的一般运动。它可视为以下两种刚体的基
本运动的叠加：
随基点O（可任 选）的平动
FMac
绕通过基点O的瞬时 轴的定轴转动
质点运动
本章主要讨论
§5.2 刚体绕定轴转动运动学
z 组成刚体的各质点都绕同一直线 做圆周运动 _____ 刚体转动。
转轴固定不动 — 定轴转动
当 M 为零时，则刚体保持静止或匀速转动
实验证明 当存在 M 时， 与 M 成正比
M
在国际单位中 M J
刚体的转动定律 Mz J
作用在刚体上所有的外力对 定轴 z 轴的力矩的代数和
推论
刚体对 z 轴 的转动惯量
(1) M 正比于 ，力矩越大，刚体的 越大
(2) 力矩相同，若转动惯量不同，产生的角加速度不同
dr
J0 m r2 d m 0 R2 R m 2r3 d rm 2R 2
O
Rm dr
r O
(3) J 与转轴的位置有关
z
z
M
L
M
L
O
dx
x
O dx
x
J Lx2dx1M2L
0
3
J L/2x2dx1M2L
刚体力学基础
0
0t
1 t2
2
2
2 01 刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度
线速度大小与 角速度大小的关系
v r
at
dv dt
r
z
a an r
at ve t
an
v2 r
2r a
ret
r 2en
第三章 刚体力学基础
3-1 刚体 刚体定轴转动的描述 3-2 刚体定轴转动的转动定律 3-3 刚体定轴转动的动能定理 3-4 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守 恒定律
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。
二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。
O
F ri
Fii
i
i
ie
mi
Fie sini Fii sin i miait miri
以 ri 乘上式两边
Fieri sin i Fiiri sin i miri2
rad s1
62.8
rad s1
角位移 0 2πN 2π 10 rad 62.8 rad
角加速度
2 02
0 62.82
rad s2 31.4 rad s2
2 0 2 62.8
制动过程的时间
t
0
0 62.8 31.4
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
1.3大学物理(上)刚体力学基础
dm ds dm dV
面密度和体密度。
线分布
面分布
体分布
注 意
只有对于几何形状规则、质量连续且均匀分布
的刚体，才能用积分计算出刚体的转动惯量。
[例3.1]: 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同 轴的转动惯量。 [分析]：取如图坐标，dm=dx
A B
L
X
J A r dm
2
x dx mL / 3
T1 mg sin ma 1 2 T2 R T1 R J mR 2 mg T2 ma
a R
mg
[例3.4]: 转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度 为ω0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度 ω的平方成正比，比例系数为k（k>0）,当ω= ω0/3时，飞 轮的角速度及从开始制动到现在的时间分别是多少？ [分析]: (1)已知 M k 2
练习：右图所示，刚体对经过
棒端且与棒垂直的轴的转动惯
mL
量如何计算？(棒长为L、球
半径为R）
mO
J L1
1 2 mL L 3
2 2 J o mo R 5
2 2
J L 2 J 0 m0 d J 0 m0 ( L R)
1 2 2 2 2 J mL L mo R mo ( L R) 3 5
dL d ( mv ) dr d (mv ) dr r mv F , v dt dt dt dt dt dL v mv 0, r F M r F v mv dt dL 角动量定理的微分形式 M dt
平均角速度
角速度
t
刚体力学基础
非专业训练，请勿模仿
例 解 由转动定律得
1 mgl sin J 2 1 2 式中 J ml 3 3g sin 得 2l
角加速度与质量无关，与长 度成反比，竹竿越长越安全。
-------------------------------------------------------------------------------
刚体的一般运动 质心的平动
+
绕质心的转动
-------------------------------------------------------------------------------
二、刚体绕定轴转动定律
F外力 F内力 mi ai
ai ：质元绕轴作圆运动
-------------------------------------------------------------------------------
二、定轴转动的角动量守恒定律
质点角动量（相对O点）
定轴转动刚体
L r p r mv
-------------------------------------------------------------------------------
解：
M 1l gdl cos M mgL cos 2 m g1 l cos dl cos mgl M 2 3g cos L 1 22 J 2l M ml L g 3 cos L 2 3g cos d d d d 1 2 l dt cos d d mgL dt 2
2 法向： F cos F cos m r 法向力的作用线过转轴 i i i i. 内力 ,其力矩为零 外力 切向：F外力 sin i F内力 sin i mi ri
第3章刚体力学基础
将圆盘视为一个系统，破裂后其受合 外力矩为零，所以其角动量守恒。
§3-3 刚体的能量
一、力矩的功
α
二、力矩的功率
说明：1、变力矩情况
2、此式的简单应用 三、转动动能 对刚体上任一质点mi, ri Vi ω 和质点的动能形式进行比较。
四、动能定理
意义：合外力矩对定轴转动的刚体所作的功， 等于刚体转动动能的增量。
第三章 刚体力学基础
§3-1 刚体运动的描述 一、刚体（rigid body） 刚体:在任何外力作用下，其形状和大小均不发生 改变的物体。 说明：
1）理想模型。
2）在外力的作用下，物体的形状和大小的变化很小 ,可以忽略不计,该物体仍可视为刚体。
二、刚体的运动 1、平动（translation）
刚体内任意两点的连线在
由平行轴定理
6g sinq 由(1)、(2)得： w = 2 7l v v v + mg = ma c 应用质心运动定理： N
(3) (4)
7 = ml 48
2
(2)
l = w2 a cl 4 6 = g sin q 7 l a = ct 4
(5)
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
l l 4 mg cos q = 4 J o 3 g cos q = (6) 7 13 N = mg sin q , l 7
解得:
应用型问题研究时以ω 绕轴旋转，在Δt 时间内其 角速度变为零。 d X C 碰撞过程中受力图为： ω Nx L/2 在图示坐标中， NY 依角动量定理： Z Y F
∵X方向无运动,∴NX = 0 结论：门碰装在离轴2/3处，开门时对轴的冲击力最小。
3）刚体匀变速转动公式
同匀变速直线运动公式。
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3） 运动描述仅需一个坐标。
9
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
三、 匀变速转动公式 匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为 恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
1 2 x x0 v0t at 2
v v0 at
S：质量面密度
对质量体分布的刚体：
dm S dS
dm dV
：质量体密度
21
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 例3-2 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒。求： （1）细棒对通过棒的中心,并与棒垂直的转轴的转动 惯量;（2）细棒对通过棒的端点,并与棒垂直的转轴 的转动惯量.
0
0
8
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
转速
n
：每分钟转过的圈数。
角速度与转速的关系 角加速度
d dt
2 πn πn 60 30
定轴转动的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
与刚体转动方向之间 的关系按右手螺旋法 则确定.
方向：沿转轴,
把右手的拇指伸直, 其余四指弯曲,使弯曲方 向与刚体转动方向一致, 这时拇指所指的方向,就 是角速度矢量的方向.
12
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
1 例3-1 一半径 r 0.50 m的飞轮,转速n 600 r min, 制动后转过 10 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变 速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的 时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加 速度和法向加速度. 2πn 2 π 600 1 1 rad s 62.8 rad s 解 (1) 0 60 60
z
O
r *
P
F
M Fr sin
0 π
π 2π
sin 0 力矩为正.
sin 0 力矩为负.
15
0 或 π sin 0 力矩为零. 第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
力臂: 点 O 至力 F
的作用线的垂直距离.
2 2
m
R R
O
r dr
m πR
2
dJ r dm 2 π s r dr
2 3
其中s
J 2 π s r dr
3 0
R
s
2
πR
4
1 2 J mR 2
第三章 刚体力学
24
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转 轴的位置 . 四、平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
平动：刚体在运动 的过程中,如果刚体上 任意两点的连线在空间 的指向始终保持不变. 刚体平动 质点运动
5
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
刚体的转动 刚体在运动时,如果刚体上的各点都绕同 一条直线在垂直于这条直线的平面内作半径大 小不同的圆周运动,这种运动称为刚体的转动, 这条直线称为转轴. 如果转轴是固定不 动的,这种转动称为绕固 定轴的转动,简称定轴转 动.
§3.1 (2)
刚体 刚体定轴转动的描述
1 s 末飞轮的角速度
1 1 0 t 62.8 31.4 1 rad s 31.4 rad s
轮边缘某点的线速度
v r 0.5 31.4 m s1 15.7 m s1
z
O
d r sin
d
r *
P
F
M Fd
力对轴的力矩大小等于力的大小和力臂的乘积.
16
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 于转轴方向的两个分量
若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直
F F1 F2
其中 F 对转轴的力矩为 1 零.
z
k
O
F1
F
22
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 （2）细棒对通过棒的端点,并与棒垂直的转轴的 转动惯量
O
l 2
2
x
dx l 2
2
x
m 其中 l l
O
l l dJ x dm l x dx 2 2
J
l 2 l 2
l 1 3 l x dx l l 2 3
1
第三章 刚体力学
第三章
3-1 3-2 3-3 3-4 恒定律 刚体
刚体力学基础
刚体定轴转动的描述
刚体定轴转动的转动定律 刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守
2
第三章 刚体力学
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。 二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。 三 理解刚体的定轴转动定律，能计算简单 的定轴转动问题。
2 0
0 t
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2
2 02 2 ( 0 )
10
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度 线速度大小与 角速度大小的关系
z
3
第三章 刚体力学
教学基本要求
四 了解力矩的功和刚体转动动能的概念。
五 理解刚体对定轴的角动量概念，理解 刚体定轴转动的角动量定理，理解角动量守 恒定律。 六 了解经典力学的适用范围。
4
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
一、刚体的平动和定轴转动 刚体:在力的作用下,大小和形状都保持不变的物体. 刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动.
r 沿顺时针方向转动 0
第三章 刚体力学
7
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
瞬时角速度（角速度） d lim t 0 t dt 刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以 用角速度的正负来表示 .
z
z
面对 Oz 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时 针转动;反之,刚体顺 时针转动.
刚体的一般运动可以看成平动和转动的合成.
6
第体定轴转动的描述
二、刚体转动的角速度和角加速度 角坐标（角位置） 刚体绕定轴转动的转动方程
z
(t )
x
转动平面
(t )
刚体的角位移
(t t) (t)
规定 沿逆时针方向转动 0 r
以
ri 乘上式两边
2
Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri
对刚体上所有的个质点
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1 第三章 刚体力学
n n
18
2
1 2 J ml 3
23
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 例3-3 两质量均为 m 、半径均为 R 的薄圆环和均匀 圆盘，求通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量 . 解 （1）薄圆环
J R dm mR 0 （2）设圆盘面密度为 s ，在 盘上取半径为 r ，宽为 dr 的 圆环 dm 2 π rdr s
v r
a
an r
dv at r dt v2 2 an r r
at
et v
2 a ret r en
第三章 刚体力学
11
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
五、角速度矢量
角速度分量
d lim t 0 t dt
O
l 2
x
dx l 2
x
dJ x dm l x dx
2 2
l 2 l 2 2
O
解 设棒的线密度 为 l ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元
J
x
m 其中 l l
1 3 l x dx l l 12
dm l dx
1 2 J ml 12
第三章 刚体力学
F2
F 对转轴的力矩
M rF2 sin
r
17
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 二、转动定律 质点绕轴作圆周运 动,根据牛顿第二定律沿 切线方向的分量式
O
z
ri
Fii
mi
i
i
Fie
Fie sin i Fii sin i mi ait mi ri
切向加速度
at r 0.5 31.4 m s 15.7 m s
2
2
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
第三章 刚体力学
14
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
一、力对轴的力矩
力对轴的力矩：力的 作用点的矢径大小、力的 大小和矢径与力之间夹角 的正弦三者的乘积。
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1
9
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
三、 匀变速转动公式 匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为 恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
1 2 x x0 v0t at 2
v v0 at
S：质量面密度
对质量体分布的刚体：
dm S dS
dm dV
：质量体密度
21
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 例3-2 一质量为 m、长为 l 的均匀细长棒。求： （1）细棒对通过棒的中心,并与棒垂直的转轴的转动 惯量;（2）细棒对通过棒的端点,并与棒垂直的转轴 的转动惯量.
0
0
8
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
转速
n
：每分钟转过的圈数。
角速度与转速的关系 角加速度
d dt
2 πn πn 60 30
定轴转动的特点 1） 每一质点均作圆周运动，圆面为转动平面；
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
与刚体转动方向之间 的关系按右手螺旋法 则确定.
方向：沿转轴,
把右手的拇指伸直, 其余四指弯曲,使弯曲方 向与刚体转动方向一致, 这时拇指所指的方向,就 是角速度矢量的方向.
12
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
1 例3-1 一半径 r 0.50 m的飞轮,转速n 600 r min, 制动后转过 10 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变 速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的 时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加 速度和法向加速度. 2πn 2 π 600 1 1 rad s 62.8 rad s 解 (1) 0 60 60
z
O
r *
P
F
M Fr sin
0 π
π 2π
sin 0 力矩为正.
sin 0 力矩为负.
15
0 或 π sin 0 力矩为零. 第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
力臂: 点 O 至力 F
的作用线的垂直距离.
2 2
m
R R
O
r dr
m πR
2
dJ r dm 2 π s r dr
2 3
其中s
J 2 π s r dr
3 0
R
s
2
πR
4
1 2 J mR 2
第三章 刚体力学
24
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 注意 转动惯量的大小取决于刚体的质量、形状及转 轴的位置 . 四、平行轴定理 质量为 m 的刚体，如果对 其质心轴的转动惯量为 J C ，则 对任一与该轴平行，相距为 d 的转轴的转动惯量
平动：刚体在运动 的过程中,如果刚体上 任意两点的连线在空间 的指向始终保持不变. 刚体平动 质点运动
5
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
刚体的转动 刚体在运动时,如果刚体上的各点都绕同 一条直线在垂直于这条直线的平面内作半径大 小不同的圆周运动,这种运动称为刚体的转动, 这条直线称为转轴. 如果转轴是固定不 动的,这种转动称为绕固 定轴的转动,简称定轴转 动.
§3.1 (2)
刚体 刚体定轴转动的描述
1 s 末飞轮的角速度
1 1 0 t 62.8 31.4 1 rad s 31.4 rad s
轮边缘某点的线速度
v r 0.5 31.4 m s1 15.7 m s1
z
O
d r sin
d
r *
P
F
M Fd
力对轴的力矩大小等于力的大小和力臂的乘积.
16
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 于转轴方向的两个分量
若力 F 不在转动平面内，把力分解为平行和垂直
F F1 F2
其中 F 对转轴的力矩为 1 零.
z
k
O
F1
F
22
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 （2）细棒对通过棒的端点,并与棒垂直的转轴的 转动惯量
O
l 2
2
x
dx l 2
2
x
m 其中 l l
O
l l dJ x dm l x dx 2 2
J
l 2 l 2
l 1 3 l x dx l l 2 3
1
第三章 刚体力学
第三章
3-1 3-2 3-3 3-4 恒定律 刚体
刚体力学基础
刚体定轴转动的描述
刚体定轴转动的转动定律 刚体定轴转动的动能定理 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守
2
第三章 刚体力学
教学基本要求
一 理解刚体绕定轴转动的角速度和角加速 度的概念，理解角量与线量的关系。 二 理解力矩和转动惯量的概念，能应用 平行轴定理和转动惯量的可加性，计算刚体对定 轴的转动惯量。 三 理解刚体的定轴转动定律，能计算简单 的定轴转动问题。
2 0
0 t
1 2 0 0 t t 2
v v 2a( x x0 )
2
2 02 2 ( 0 )
10
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
四、绕定轴转动刚体上各点的速度和加速度 线速度大小与 角速度大小的关系
z
3
第三章 刚体力学
教学基本要求
四 了解力矩的功和刚体转动动能的概念。
五 理解刚体对定轴的角动量概念，理解 刚体定轴转动的角动量定理，理解角动量守 恒定律。 六 了解经典力学的适用范围。
4
第三章 刚体力学
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
一、刚体的平动和定轴转动 刚体:在力的作用下,大小和形状都保持不变的物体. 刚体最基本的运动形式是平动和定轴转动.
r 沿顺时针方向转动 0
第三章 刚体力学
7
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
瞬时角速度（角速度） d lim t 0 t dt 刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以 用角速度的正负来表示 .
z
z
面对 Oz 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时 针转动;反之,刚体顺 时针转动.
刚体的一般运动可以看成平动和转动的合成.
6
第体定轴转动的描述
二、刚体转动的角速度和角加速度 角坐标（角位置） 刚体绕定轴转动的转动方程
z
(t )
x
转动平面
(t )
刚体的角位移
(t t) (t)
规定 沿逆时针方向转动 0 r
以
ri 乘上式两边
2
Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri
对刚体上所有的个质点
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1 第三章 刚体力学
n n
18
2
1 2 J ml 3
23
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 例3-3 两质量均为 m 、半径均为 R 的薄圆环和均匀 圆盘，求通过各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量 . 解 （1）薄圆环
J R dm mR 0 （2）设圆盘面密度为 s ，在 盘上取半径为 r ，宽为 dr 的 圆环 dm 2 π rdr s
v r
a
an r
dv at r dt v2 2 an r r
at
et v
2 a ret r en
第三章 刚体力学
11
§3.1
刚体 刚体定轴转动的描述
五、角速度矢量
角速度分量
d lim t 0 t dt
O
l 2
x
dx l 2
x
dJ x dm l x dx
2 2
l 2 l 2 2
O
解 设棒的线密度 为 l ，取一距离转轴 OO´ 为 处的质量元
J
x
m 其中 l l
1 3 l x dx l l 12
dm l dx
1 2 J ml 12
第三章 刚体力学
F2
F 对转轴的力矩
M rF2 sin
r
17
第三章 刚体力学
§3.2 刚体定轴转动的转动定律 二、转动定律 质点绕轴作圆周运 动,根据牛顿第二定律沿 切线方向的分量式
O
z
ri
Fii
mi
i
i
Fie
Fie sin i Fii sin i mi ait mi ri
切向加速度
at r 0.5 31.4 m s 15.7 m s
2
2
法向加速度
an r 2 0.5 3.142 m s2 493 m s2
第三章 刚体力学
14
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
一、力对轴的力矩
力对轴的力矩：力的 作用点的矢径大小、力的 大小和矢径与力之间夹角 的正弦三者的乘积。
§3.2 刚体定轴转动的转动定律
n 2 Fie ri sin i Fii ri sin i mi ri i 1 i 1 i 1