切线的概念·判定·性质
切线的判定和性质
切线的判定和性质在我们学习数学的旅程中，圆是一个重要且有趣的几何图形。
而与圆密切相关的一个概念——切线，更是有着独特的魅力和重要的应用。
今天，咱们就来好好聊聊切线的判定和性质。
先来说说切线的定义。
简单来讲，切线就是与圆只有一个公共点的直线。
可别小看这简单的定义，它可是后续我们理解和运用切线相关知识的基础。
那怎么判定一条直线是不是圆的切线呢？这就有几种常见的方法了。
第一种，如果直线与圆有唯一的公共点，那这条直线就是圆的切线。
这是从定义直接得出的判定方法，比较直观。
第二种，如果圆心到直线的距离等于圆的半径，那么这条直线就是圆的切线。
咱们来想象一下，圆的半径就像是从圆心到圆周的固定长度，如果一条直线到圆心的距离刚好等于这个半径，那不就意味着这条直线刚好与圆相切嘛。
第三种，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
这个方法理解起来稍微有点难度，咱们可以这样想：半径是圆的一部分，而如果一条直线既经过半径的外端，又与这条半径垂直，那它就像是一把锋利的刀，刚好切在圆上，所以它就是切线。
接下来，咱们再深入探讨一下切线的性质。
切线的性质可是非常重要和有用的。
首先，切线与圆只有一个公共点，这是切线的基本特点。
其次，切线垂直于经过切点的半径。
这一点很好理解，因为切线与圆的接触就那么一个点，而在这个点上，切线必须与半径垂直，才能保证它与圆相切。
还有一个很关键的性质，圆的切线垂直于经过切点的弦，并且平分弦所对的两条弧。
想象一下，切线就像是一把精准的剪刀，刚好把经过切点的弦剪成两半，而且还把弦所对应的弧也平分了。
切线的判定和性质在解决实际问题中有着广泛的应用。
比如说在几何证明题中，当我们需要证明某条直线是圆的切线时，就可以根据上面提到的判定方法来进行推理。
而在计算与圆相关的长度、角度等问题时，切线的性质又能为我们提供重要的思路和依据。
再举个例子，在实际生活中，工人师傅在制作圆形零件时，就需要知道切线的知识来确保零件的精度和质量。
切线的定义和判定定理
切线的定义和判定定理切线的定义和判定定理是数学中关于圆的切线的重要知识点。
以下是关于这个主题的详细解释。
一、切线的定义切线与圆的定义是几何学中的基本概念，对于每一个圆来说，其切线是指与圆只有一个公共点的直线。
这个公共点被称为切点，切线与圆的切点是唯一的。
在二维平面上，如果一条直线与圆有且仅有一个交点，则这条直线被称为圆的切线。
切线的性质：切线与圆只有一个交点，即切点。
切线与经过切点的半径垂直。
切线的斜率等于经过切点的半径的斜率。
二、切线的判定定理判定定理一：定义判定法，如果直线上的每一个点都位于圆外，则直线为切线。
这是最直接的判定方法，也是最常用的。
判定定理二：半径垂直法，如果直线经过半径的外端并且垂直于该半径，则直线为切线。
这个判定方法通常用于证明过程中，尤其是在解题时，可以根据已知条件证明某直线满足这个判定定理。
判定定理三：角平分线法，如果直线平分圆的任意一条弦（非直径），并且垂直于该弦，则直线为切线。
这个判定方法在一些特殊情况下非常有用，可以通过证明某直线满足这个判定定理来证明某直线为切线。
在具体的应用中，可以根据题目的条件和要求选择合适的判定方法来确定切线的位置和性质。
同时，也要注意切线与半径、弦之间的关系，以及切线与其他几何元素之间的联系，以便更好地理解和掌握切线的性质和判定定理。
在实际应用中，了解和掌握切线的性质和判定定理是非常重要的。
在解析几何、平面几何、圆和圆锥曲线等学科中，都需要用到这些知识点来解决相关问题。
通过深入理解切线的定义和判定定理，我们可以更好地理解和应用几何学的其他概念和定理，从而更好地解决各种数学问题。
此外，切线的性质和判定定理也在其他领域有着广泛的应用。
例如，在物理学中，切线性质可以用于研究物体运动轨迹的变化；在工程学中，判定定理可以用于确定机械零件的尺寸和位置；在经济学中，可以用于研究供需关系和市场均衡等等。
因此，深入理解切线的定义和判定定理不仅可以提高数学素养，也可以为其他学科的学习和研究提供有益的帮助。
人教版数学九年级上册24.2.2切线的概念、切线的判定与性质教案
“切线的判定”教学设计教材分析：“切线的判定”是人教版九年级上册第二十四章第二节第三课的内容，是学生已经学习了直线和圆的三种位置关系之后提出来的。
切线的判定定理、性质定理是研究三角形的内切圆、切线长定理以及后面研究正多边形与圆的关系的基础。
结合学生的实际水平和平时的练习情况，对教材进行了一些处理。
我把圆的切线证明作为本节课的主要内容，切线的性质放在下堂课学习。
学习完切线的判定定理和例1后，引导学生进行例2的探究，与例1结合起来，构成了有关切线证明问题中常见的两种类型，以及常用的两种辅助线作法。
教学目标：1、引导学生自主探究学习，发现切线的判定定理。
2、在定理的发现过程中，让学生体验“观察—猜想—论证—归纳”的数学研究的方法。
3、使学生获得猜想的认识过程以及“添加辅助线”的解决问题的方法，激发学生学习几何的主动性和积极性。
教学重点：切线的判定定理，圆的切线证明。
教学难点：圆的切线证明问题中两种常用辅助线的作法。
教学准备：教师课前制作的多媒体课件。
教学过程：一、复习引入：1.直线与圆有几种位置关系？判断的方法是什么？2.判定一条直线是圆的切线有几种方法？通过复习，我们发现可以用切线的定义来判定一条直线是圆的切线，有两种方法，还有没有其他方法？二、发现定理：给出一个思考：在⊙O中经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA,则圆心O到直线l 的距离是多少？直线l 和⊙O有什么位置关系?请同学们归纳直线l满足了什么条件，才是⊙O的切线。
学生猜想：一条直线满足：经过半径的外端；垂直于这条半径,那么这条直线是圆的切线（让学生试用文字语言加以概括）切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径l的直线是圆的切线．练一练：判断下列说法是否正确。
(1)过半径外端的直线是圆的切线．（）(2)与半径垂直的直线是圆的切线．（）(3)过半径的端点且与半径垂直的直线是圆的切线。
（）(1)中直线l不与半径垂直；(2)、（3）中直线l不经过半径外端。
切线的性质定理和判定定理
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆 相切。通过证明直线与圆的交点唯一 ，可以判定直线与圆相切。
判定定理2
圆心到直线的距离等于半径时，直线 与圆相切。利用点到直线的距离公式 ，可以计算出圆心到直线的距离，进 而判定直线与圆的位置关系。
结合多种方法解决复杂问题
在解决复杂问题时，可以结合切线性质定理和判定定理，以及其他数学知识如三角函数、相似三角形等，建立方程或不等式 组，逐步求解。
VS
利用直线与圆的公共点的个数来判断。 若直线与圆只有一个公共点，则该直 线为切线；若有两个公共点，则为割 线。
04 判定定理三：切线长定理
从圆外一点引圆的两条切线
切线的定义
从圆外一点引到圆上的线段 ，如果它的端点在圆上，则 这条线段叫做圆的切线。
切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半 径。
切线长的定义
从圆外一点引圆的两条切线 ，它们的切线长分别是从该 点到切点的线段的长度。
它们的切线长相等
切线长定理的表述
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。
切线长定理的证明
由于两条切线都垂直于过切点的半径，因此它们与半径构成的直角三角形全等，从而得出切线长相等。
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
01
公共点的存在表明割线与圆有交点， 是判定割线与圆位置关系的重要依据。
割线长度大于切线长度
从圆外一点引两条线，一条是切线，一条是割线，则切线长小于割线长。
切线长是指从圆外一点引到圆上的切线段的长度，而割线长则是指从同一点引到圆上的割线段的长度 。
割线与圆相切判定方法
利用圆心到直线的距离等于半径来判 断。若圆心到直线的距离等于半径， 则该直线为切线；若距离大于半径， 则为割线。
切线的概念、切线的判定与性质
24.2.2直线与圆的位置关系——切线的概念、切线的判定与性质一、内容和内容分析1.内容人教新课标2011版九年级上册第二十四章圆，24.2.2直线与圆的位置关系中的第2课时切线的概念、切线的判定与性质.2.内容分析第2课时切线的判定定理,是在学生学完直线和圆的三种位置关系概念的基础上进一步研究直线和圆相切的关系,是《圆》这一章的重点之一,也是后续学习切线长和切线长定理等知识的基础.本节课关注学生的学习过程,意在体现数学课堂的本质,培养学生思维的深刻性和有序性以及分析问题、解决问题的能力.二、教学目标（1）知识与技能：理解切线的判定定理和性质定理，并能灵活运用.（2）过程与方法：以圆心到直线的距离和圆的半径之间的数量关系为依据，探究切线的判定定理和性质定理，领会知识的延续性，层次性.（3）情感态度与价值观：让学生感受到实际生活中存在的相切关系，有利于学生把实际的问题抽象成数学模型.三、教学重、难点重点：切线的判定定理与性质定理.难点：引导学生得出切线的判定定理,掌握添加辅助线的方法.四、教学过程设计（一）导语通过上节课的学习，我们知道，直线和圆的位置关系有三种：相离、相切、相交.而相切最特殊，这节课我们专门来研究切线.师生行为：教师联系近期所学知识，提出问题，引起学生思考，为探究本节课定理作铺垫.设计意图：开头动图上直线与圆的位置关系的变化，是通过直线与圆的交点个数来改变，为后面的动手操作与探究请学生说理埋下伏笔.（二）复习旧知、探究新知老师：已知在⊙O所在平面内，过⊙O外一点C画一条直线AB，问直线AB和⊙O的位置关系?请小组讨论.设计意图：复习旧知，回忆上节课所学内容，通过交点个数或者圆心到直线AB的距离来判别直线与圆分别是相交、相切、相离的位置关系，为引入新知做好准备.请学生上台，展示结果，并询问是通过什么来判定圆与直线的位置关系的.学生1：我们可以通过观察直线与圆的交点个数，直线与圆没有交点，则直线与圆相离；直线与圆只有一个交点，我们说直线与圆相切；直线与圆有两个交点，这条直线与圆相交（或者：我们小组是通过圆心到直线的距离d与r的大小来确定直线与圆的位置关系的.d>r,直线与圆相离；d=r，直线与圆相切；d<r，直线与圆相交）.追问1：大家还有没有其他的判定方法.思考1：现在我们来观察这个时刻，就是圆心到直线的距离刚好等于半径（直线与圆刚好只有一个交点）的时候，我想问问大家，我们研究几何除了可以从数量关系上来研究以外，我们还可以从位置关系来观察.当直线AB与半径OG 满足怎样的位置关系时，直线AB与圆O的相切？学生3：直线AB与半径OG垂直.（直线AB与半径OG垂直于G.）追问2：去掉刚刚同学所说的“经过半径的外端（或者垂直为G，）”会怎样？去掉“垂直于半径”又会怎么样呢？学生4：直线AB与圆O不相切.老师总结：满足这两个条件，经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，这就是我们今天所要学习的切线的判定定理。
什么是切线切线的性质
什么是切线切线的性质 切线指的是⼀条刚好触碰到曲线上某⼀点的直线。
那么你对切线了解多少呢?以下是由店铺整理关于什么是切线的内容，希望⼤家喜欢! 切线的性质和定理 切线的性质定理 圆的切线垂直于过其切点的半径;经过半径的⾮圆⼼⼀端，并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的⼀条切线。
切线判定定理 ⼀直线若与⼀圆有交点，且连接交点与圆⼼的直线与该直线垂直，那么这条直线就是圆的切线。
⼀般可⽤： 1、作垂直证半径 2、作半径证垂直 圆的切线 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论1：经过圆⼼且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆⼼. 切线的主要性质 线段DA垂直于直线AB(AD为直径) 线段DA垂直于直线AB(AD为直径) (1)切线和圆只有⼀个公共点; (2)切线和圆⼼的距离等于圆的半径; (3)切线垂直于经过切点的半径; (4)经过圆⼼垂直于切线的直线必过切点; (5)经过切点垂直于切线的直线必过圆⼼; (6)从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项 其中(1)是由切线的定义得到的，(2)是由直线和圆的位置关系定理得到的,(6)是由相似三⾓形推得的，也就是切割线定理。
切线的判定和性质 切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
圆的切线垂直于这个圆过切点的半径。
⼏何语⾔：∵l⊥OA，点A在⊙O上 ∴直线l是⊙O的切线(切线判定定理) 切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径 ⼏何语⾔：∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A ∴l ⊥OA(切线性质定理) 推论1 经过圆⼼且垂直于切线的直径必经过切点 推论2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆⼼ 切线长定理 定理从圆外⼀点可引出圆的两条切线，它们的切线长相等，圆⼼和这⼀点的连线平分两条切线的夹⾓ ⼏何语⾔：∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点 ∴PA=PC，∠APO=∠CPO(切线长定理) 弦切⾓ 弦切⾓定理弦切⾓等于它所夹的弧对的圆周⾓ ⼏何语⾔：∵∠BCN所夹的是，∠A所对的是 ∴∠BCN=∠A 推论如果两个弦切⾓所夹的弧相等，那么这两个弦切⾓也相等 ⼏何语⾔：∵∠BCN所夹的是，∠ACM所对的是， = ∴∠BCN=∠ACM 弦切⾓概念：顶点在圆上，⼀边和圆相交、另⼀边和圆相切的⾓叫做弦切⾓.它是继圆⼼⾓、圆周⾓之后第三种与圆有关的⾓.这种⾓必须满⾜三个条件： (1)顶点在圆上，即⾓的顶点是圆的⼀条切线的切点; (2)⾓的⼀边和圆相交，即⾓的⼀边是过切点的⼀条弦所在的射线; (3)⾓的另⼀边和圆相切，即⾓的另⼀边是切线上以切点为端点的⼀条射线. 它们是判断⼀个⾓是否为弦切⾓的标准，三者缺⼀不可，⽐如下图中，均不是弦切⾓. (4)弦切⾓可以认为是圆周⾓的⼀个特例，即圆周⾓的⼀边绕顶点旋转到与圆相切时所成的⾓.正因为如此，弦切⾓具有与圆周⾓类似的性质. 弦切⾓定理：弦切⾓等于它所夹的弧对的圆周⾓.它是圆中证明⾓相等的重要定理之⼀. 切割线定理：从圆外⼀点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的⽐例中项。
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法
圆的切线：切线的定义、性质和求解方法切线是与圆相切于一点且只与圆的该点相交一次的直线。
切线与半径垂直，也就是与半径所在的直径形成直角。
切线的定义给定一个圆，如果通过圆上的一点作两条直线，其中一条与半径垂直且只与该点相交一次，那么称这条直线为这个圆的一条切线。
切线的性质1. 切线与圆相切于一点，且只与圆的该点相交一次。
2. 切线与半径垂直，即与半径所在的直径形成直角。
3. 以切点为端点的切线被称为切线段。
4. 圆心到切点的线段被称为切线的斜率。
切线的求解方法求解圆的切线可以根据以下步骤进行：1. 给定一个圆和切点P，连接圆心O与切点P，得到半径OP。
2. 利用切线性质，使切线与半径OP垂直，得到直角三角形。
3. 根据已知条件，计算切线的长度。
切线的长度可以通过利用勾股定理或几何构造法进行计算。
勾股定理法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 根据勾股定理，有切线长度s的平方等于d的平方减去圆的半径r的平方，即s^2 = d^2 - r^2。
3. 取根号可以得到切线的长度s。
几何构造法求切线长度1. 已知圆的半径r和切点与圆心的连线OP的长度d。
2. 以切点为圆心，作一条半径为r的圆。
3. 连接圆心与新圆上与切点P相对应的点Q，得到直角三角形OPQ。
4. 根据直角三角形OPQ中的三边关系，可以计算出切线的长度s。
这是圆的切线的定义、性质和求解方法的简要介绍。
掌握这些基本概念和求解方法，可以帮助我们更好地理解和应用切线在几何学中的重要性。
九年级数学圆的切线的知识点
九年级数学圆的切线的知识点数学中的圆是一个常见的几何图形，它有许多有趣的性质，其中之一就是切线。
切线是一个与圆相切于一点且与圆没有其它的交点的直线。
在这篇文章中，我们将探讨九年级数学课程中关于圆的切线的知识点。
1. 切线定义及性质切线是一个特殊的直线，它与圆只有一个交点，且与圆在该点的切线相切。
切线的性质有以下几点：(1) 切线与半径垂直：切线与从切点到圆心的半径垂直相交。
(2) 弦切角相等：切线和过切点的弦所夹的角相等。
(3) 切线长度相等：从圆外的任意一点引切线，得到的切线长度都相等。
2. 切线的判定方法在几何中，判断一条直线是否为圆的切线，有以下两种判定方法：(1) 切线判定法一：若直线与圆只有一个交点，并且该交点到圆心的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线。
(2) 切线判定法二：若直线与圆相交，且与圆的切点处平分被切角，那么该直线也是圆的切线。
3. 切线的性质在解题中的应用切线的性质经常在解题过程中被使用，下面介绍几个常见的应用情况：(1) 切线的长度：我们可以利用切线的性质来求解切线的长度。
根据切线与半径垂直的性质，我们可以使用勾股定理或者勾股定理的变形来求解切线的长度。
(2) 弦的长度：通过切线和弦的切角相等的性质，我们可以利用已知的切线长度和弦的长度来计算未知的切线或者弦的长度。
(3) 切线的方程：切线与圆的关系可以通过方程来表示。
我们可以利用切线判定法一中的条件，得到切线方程的一般形式。
4. 实际生活中的切线应用切线在实际生活中有许多应用，下面介绍几个例子：(1) 轮胎的设计：车辆的轮胎通常是圆形的，轮胎的切线对于保证行驶的稳定性非常重要。
(2) 光学反射：光线在两种介质之间传播时，若入射角等于反射角，则光线与界面的交点所在的直线即为切线。
(3) 经济决策：在经济学中，曲线图表上的切线可以表示某一点的边际效应，帮助决策者做出合理的判断。
总结起来，九年级数学课程中关于圆的切线的知识点包括切线的定义及性质，切线的判定方法，切线性质的应用，以及实际生活中的切线应用。
初中数学九年级上册《切线的概念、切线的判定和性质》PPT课件(共12张PPT)
直线和⊙O相离
d＞r (没有公共点)
直线和⊙O相切
d = r (一个公共点)
直线和⊙O相交
d＜r (两个公共点)
第2页，共12页。
如图在⊙O中经过半径OA的外端点A 做直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离 是多少？
直线 l 和⊙O有什么位置关系?
o
A
l
这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径．
·O
∵ l2切⊙O于B，OB是半径
∴ l2⊥OB.
又∵ AB为直径，
l2
B
∴ l1∥ l2 .
第8页，共12页。
知识拓展
▪ 例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB
的延长线上，且∠DCB= ∠A．
▪ （1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相 切，请说明理由．
▪ （2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
1.如图 AB是⊙O的直径,∠ABT=45°AT=AB,
求证AT 是⊙O的切线. 证明: ∵ AT=AB,∠ABT = 45°，
∴ ∠ATB = ∠ABT=45 °.
∴ ∠TAB = 180°－∠ATB－∠ABT
B
= 90°.
∴ TA⊥OA.
·O
又∵ OA是⊙O的半径 ∴ AT是⊙O的切线.
T
A
第6页，共12页。
▪ 归纳小结
▪ 本节课应掌握： ▪ 1．直线和圆相交、割线、直线和圆相切，切线、切点、直线和圆
相离等概念． ▪ 2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d则有： ▪ 直线L和⊙O相交d<r
▪ 直线L和⊙O相切d=r
▪ 直线L和⊙O相离d>r
切线的知识点总结
切线的知识点总结一、基本概念1. 切线的定义在平面解析几何中，给定曲线上一点P(x0, y0)，若曲线经过该点的一条直线与曲线在该点处有且仅有一个公共点，则该直线被称为曲线在该点处的切线。
2. 切线方程设曲线的方程为F(x, y) = 0，点P(x0, y0)为曲线上的点，当曲线在点P处有切线时，切线方程可表示为F’(x0, y0)(x - x0) + F’’(x0, y0)(y - y0) = 0，其中F’和F’’分别表示对x和y的偏导数。
3. 切线的性质（1）切线与曲线的关系：切线与曲线在切点处相切。
（2）切线方向：切线在切点处与曲线的切线方向相同。
二、求解切线的方法1. 隐式求导法经典方法是先求出曲线的导数函数，再利用导数的定义求得曲线在给定点处的斜率，进而得出切线方程。
例如，对于曲线y = x^3 - 2x^2 + 3x - 1，点P(1, 1)处的切线方程的求解过程可用隐式求导法进行。
2. 参数方程法对于一些曲线如抛物线、双曲线等，可以用参数方程表示其方程，从而通过参数方程法求得切线方程。
3. 极坐标下的切线方程对于极坐标系下的曲线，通过导数和极坐标系的极坐标变换，可以求得曲线在给定点处的切线方程。
4. 三角函数和指数函数的切线方程对于三角函数和指数函数等特殊函数，可通过函数导数的求解和切线方程的一般形式得出切线方程的具体形式。
三、切线的应用1. 几何意义切线是研究曲线的一个基本工具，它可以描述曲线在某点的切线方向，从而揭示曲线的局部性质。
例如，切线可以用来描述曲线在某点的陡峭程度，曲线的凸凹情况等。
2. 物理应用在物理学中，切线常被用来描述曲线运动的速度、加速度等物理量。
在物体做曲线运动时，可以利用切线的方向和斜率表示速度方向和大小，从而分析物体的运动状态。
3. 工程应用在工程领域，切线的概念常被应用在工程设计、建筑设计等领域。
利用切线概念，可以分析曲线的局部形态，辅助工程设计过程。
中考数学复习切线的概念判定性质[人教版]
![中考数学复习切线的概念判定性质[人教版]](https://img.taocdn.com/s3/m/f0de51a351e79b89680226e6.png)
⑴直线和圆有 公共点时,叫做直线和
圆相切.其中的直线叫做圆的 ,唯一的
公共点叫做 .直线和圆 公共点时,叫
做直线和圆相离.直线和圆有 公共点
时,叫做直线和圆相交.
⑵⊙O的半径为r,O到直线L的距离为d.
① d＞r
;
②
.
直线L和⊙O相切;
③
.
直线L和⊙O相交;
2.切线的判定和性质
⑴判定定理:经过半径的 是圆的切线.
复习(一)
切线的概 念·判定·性 质
复习目标:
1.了解切线的概念,直线和圆的位置关系; 2.掌握切线的判定定理和性质定理; 3.会用切线的判定,性质进行证明或计算.
复习指导:
回忆下列知识点,会的直接写,不会的可 翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正 确填写,并能运用它们解题.
知识要点:
1.直线和圆的位置关系:
4.如图,直角梯形ABCD
中,AD//BC ∠A=900,以 A D
CD为直径的圆切AB于E. 已知AD=3,BC=4,则⊙O
E
O
的直径为 .
BC
5.如图,D是△ABC的AC边上一点,
且AD:DC=2:1.已知∠C=450, A
∠ADB=600.求AB是
D
△BCD的外接圆的切线.
B O
C
6.如图,在△ABC
B
中,∠C=900,⊙O切
AB于D,切BC于E,
D
切AC于F,求∠EDF E O
的度数.
CF A
7.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O 于B,⊙O的弦AD//OC.
⑴求证:DC是⊙O的切线;
C
⑵如果设⊙O的半径 为r.①求AD·OC的值; D ②若有AD+OC=9r/2, A O B 求CD的长.
中考数学复习切线的概念判定性质[人教版]
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⑵性质定理:
①经过圆心垂直于切线的直线必经过 ②圆的切线垂直于 的半径;
;
③经过切点垂直于切线的直线必经过
.
检测练习:
1.设⊙O的半径为R,圆心到直线L的 距离为d,已知R=2,d=3,则直线与圆的 位置关系是 ; 若R=√5,则当 时, 直线与圆相交. 2.如图,以O为圆心,OA为 半径的⊙O交OB于C.若 O C OA=3,AB=4,BC=2,则AB A B 与⊙O的位置关系是 .
7.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O 于B,⊙O的弦AD//OC.
⑴求证:DC是⊙O的切线;
⑵如果设⊙O的半径 为r.①求AD· OC的值; ②若有AD+OC=9r/2, 求CD的长.
D A OCBFra bibliotek课堂作业:
1.⊙O的圆心O到直线L的距离为d,⊙O 的半径为R.若d,R是方程x2-8x+15=0的 两个根时,则直线L与圆的位置关系 是 ;当d,R是方程x2-2x+m=0的两根, 若直线L与圆相切时,m= .
3.已知⊙O的半径r=7cm,直线a//b, 且a与⊙O相切,圆心O到b的距离为 9cm,则a与b的距离为 . 4.如图,直角梯形ABCD 中,AD//BC ∠A=900,以 A D CD为直径的圆切AB于E. E O 已知AD=3,BC=4,则⊙O B C 的直径为 .
5.如图,D是△ABC的AC边上一点, A 0 且AD:DC=2:1.已知∠C=45 , D 0 ∠ADB=60 .求AB是 C B △BCD的外接圆的切线. O 6.如图,在△ABC B 0 中,∠C=90 ,⊙O切 AB于D,切BC于E, D E 切AC于F,求∠EDF O A C 的度数. F
切线的判定和性质
切线的判定和性质1. 引言在数学中，切线是研究曲线的一个重要概念。
切线可以描述曲线在某一点上的局部行为，并有着独特的性质。
本文将介绍切线的判定方法，以及切线的一些重要性质。
2. 切线的判定方法2.1 直观判定法直观上，我们可以将切线理解为与曲线在某一点相切且只在该点上与曲线相交一次的直线。
从几何的角度来看，我们可以通过观察曲线在某一点的附近形状来判定该点是否存在切线。
2.2 解析判定法除了直观的方法，我们还可以通过解析的方法来判定切线的存在。
对于给定的曲线，我们可以求得其导数，并通过导数的性质来进行判定。
切线的斜率等于曲线在该点的导数值。
因此，如果曲线在某一点的导数存在且不为无穷大，那么该点存在切线。
具体而言，我们可以通过以下步骤来判定切线的存在：1.求得曲线的导数。
2.计算曲线在给定点处的导数值。
3.判断导数值是否为有限数值。
如果导数值存在且不为无穷大，则该点存在切线。
3. 切线的性质切线作为曲线的局部近似，具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个性质。
3.1 切线与曲线的关系切线与曲线相切于该点，因此，切线与曲线在该点处具有相同的斜率。
这意味着切线可以用来近似曲线在该点的局部变化趋势。
3.2 切线的方程对于给定曲线上的点P(x0, y0)，过该点的切线的方程可以表示为：y - y0 = m(x - x0)其中，m为曲线在点P处的斜率。
3.3 切线的唯一性切线与曲线相交于该点且只在该点上相交一次，因此切线是唯一的。
换句话说，通过给定点且与曲线相切的直线只有一条。
3.4 切线的性质总结综上所述，切线具有以下性质：•切线与曲线在相切点处具有相同的斜率。
•切线的方程可以表示为 y - y0 = m(x - x0)，其中m为曲线在相切点处的斜率。
•给定点且与曲线相切的切线是唯一的。
4. 总结本文介绍了切线的判定方法和一些重要性质。
我们可以通过直观判定法或解析判定法来判断切线的存在，切线具有与曲线在相切点处相同的斜率，可以用来近似描述曲线的局部行为。
切线的判定及性质
l是圆的切线 l是圆的切线 l是圆的切线
（有交点，连半径，证垂直）
半径）
（无交点，作垂直，证
辅助线作法：连接圆心与切点可得半径与切线垂直。 即“连半径，得垂直”。
再见 教科书第60页第3、
6题
2
M
A
D
O
E
N
4.如图，AB是⊙O的直径，点P是⊙O外
一点，PO交⊙O于点C，连接BC，PA。
若∠P=400，当∠B等于_2_5_0_时，PA与⊙O
A
相切。
PC
O
B
B
解：∵AB=AC
∴∠ACB=∠ABC=450
O
∴∠BAC=900
即AB⊥AC
C
A
∵ AB是⊙O的直径
∴ AC是⊙O的切线
（1）证明 ：连接OC ∵CD是切线， ∴OC⊥CD, ∵BD⊥DF, ∴OC∥BD, ∴∠OCB=∠CBD, ∵OB=OC, ∴∠OCB=∠OBC, ∴∠CBD=∠OBC ∴BC平分∠ABD.
切线的性质和判定
切线的性质和判定
下雨天转动雨伞时飞出的水，以及在砂轮上打 磨工件飞出的火星，均沿着圆的切线的方向飞出．
切线的定义：直线与圆只有一个公共点时， 这条直线叫做圆的切线。
（1）根据切线的定义，和圆只有一个公共点的 直线是圆的切线。
（2）根据数量关系，到圆心的距离等于半径的 直线是圆的切线。
l PA
这与“直角三角形的斜边大于直角边”矛盾。
所以假设OA与l不垂直不成立。
圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的性质定理:
圆的切线 垂直于过切点的半径。
切线 得出 垂直
定理的几何符号表达： O.
∵ 直线 l 切⊙O于点A
数学教案：切线的判定和性质
数学教案：切线的判定和性质一、教学目标1.知道什么是切线，什么是切点。
2.掌握切线的判定方法。
3.理解切线的性质，能应用切线的性质解决问题。
二、教学重点1.切线的判定方法。
2.切线的性质，包括切线与圆心的关系、切线与弦的关系等。
三、教学难点1.切线的判定方法，包括几何判定和代数判定。
2.切线的性质的应用，尤其是解决实际问题的能力。
四、教学过程1. 切线的定义圆上一个点的切线是通过这个点，且与圆相切的一条直线。
点P在圆O上，直线l过点P，与圆O相切于点T。
则l是圆O在点P处的切线，PT是切线。
2. 切线的判定方法2.1 几何判定几何上，点P在圆O上的切线有以下几种情况：•过圆心的直线是圆的切线。
•与圆相交的直线的斜率等于过圆心与该线垂直的直线的斜率，那么该直线与圆的交点处的切线就是该直线。
2.2 代数判定代数上，已知圆心坐标为(a,b)，半径为r，点P(x,y)在圆上，则点P到圆心的距离为：d=sqrt((x-a)^2 + (y-b)^2)若点P在圆上，则d=r。
将d代入上式，得到方程：(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2此为圆的标准方程。
点P在圆上的切线可由圆的标准方程求得。
3. 切线的性质3.1 切线与圆心的关系在圆的同侧，以切线为直线的两个角互补。
在圆的异侧，以切线为一条直线，圆心角等于此角所对的弧的度数。
3.2 切线与弦的关系在圆的同侧，以切线为直线的两个角相等。
在圆的异侧，以切线和弦为直线的两个角互补。
4. 应用实例4.1 切线的长度已知圆O半径r，点P(x1,y1)在圆上，求线段PT的长度。
解法：由切线和弦的性质可知，直线PT的长度等于点P到圆心的距离。
设圆心坐标为(a,b)，则PT的长度为：PT=sqrt((x1-a)^2 + (y1-b)^2)4.2 切线与切线的交点的位置已知圆O的方程(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2，过圆外一点P的直线l1与圆O相交于点A，直线l2与圆O相交于点B，若AB的斜率为k，求证：PA=PB。
切线的性质与判定方法
切线的性质与判定方法引言在数学中，切线是用于描述曲线和函数图像上某一点附近的直线。
切线具有重要的几何性质，能够帮助我们理解曲线在某一点的变化规律。
本文将介绍切线的性质以及判定方法，以帮助读者更好地理解和应用切线概念。
切线的定义和性质切线是曲线在某一点处与曲线相切的直线。
切线具有以下性质：1.切线与曲线相切于相交点，且相交点上的切线方向与曲线方向一致；2.切线与曲线的变化趋势相近，可以用切线来近似曲线在该点的变化规律。
切线的判定方法方法一：利用导数切线的判定方法之一是利用函数的导数。
对于函数f(x)，若某一点x=a处的导数存在，则可以通过求出该点的导数值来判定是否存在切线。
具体步骤如下：1.计算函数f(x)关于x的导数f′(x)；2.判断导数在点x=a处是否存在，即f′(a)是否有定义；3.若f′(a)存在，则点(a,f(a))处存在切线，其斜率为导数值f′(a)。
方法二：利用近似线性化切线的判定方法之二是利用近似线性化，即将曲线在某一点附近进行线性化处理，将曲线近似看作直线。
具体步骤如下：1.选择一个点P，并计算其横坐标和纵坐标分别为x0和y0；2.确定一个合适的区间范围，例如x在[x0−ℎ,x0+ℎ]的范围内，其中ℎ为一个较小的正数；3.在该区间内选择另外一个点Q，并计算其横坐标和纵坐标分别为x和y；4.计算点P和点Q之间的斜率 $k=\\frac{y-y_0}{x-x_0}$；5.若在不同的点对P和Q计算得到的斜率值都相近，则表示该曲线在点P的附近存在切线。
切线的应用举例例一：求曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程首先，计算函数y=x2的导数：$$ \\frac{dy}{dx} = 2x $$在点(1,1)处的导数值为2，因此切线的斜率为2。
切线方程可以表示为：y−1=2(x−1)例二：利用切线近似计算函数值考虑函数 $y = \\sin(x)$，在x=0处的切线方程为y=x。
利用切线的性质，我们可以近似计算 $\\sin(0.1)$ 的值：将x=0.1代入切线方程y=x，得到y=0.1。
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案
切线的概念、切线的判定和性质-人教版九年级数学上册教案一、切线的概念1. 切线的定义在圆上取一点P，连接P与圆心O，若通过点P的直线与圆相交于点P，则这条直线称为该圆在点P处的切线。
2. 切线的性质切线只与圆相交于切点，且垂直于半径。
二、切线的判定1. 判定方法1在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
若连接P与圆心O的线段与已知直线L 垂直，则L与圆的交点就是切点，而L即为此点处的切线。
2. 判定方法2在圆上任取一点P，连接P与圆心O。
作过点P并与已知直线L平行的直线，与圆相交于点Q。
再连接点Q与圆心O，则Q与L的交点即为圆在点P处的切点，L即为点P处的切线。
三、切线性质的应用1. 切线定理若一条直线与圆相交于点A、B，则与这条直线垂直的切线分别过点A、B。
2. 判定定理在圆上任取两点P、Q，以这两点为端点连一条线段，若该线段平分圆周角，则它的延长线必过圆的圆心。
3. 弦割定理两条互相垂直的弦互相垂直。
4. 弦长定理两条互相垂直的弦所对圆周的两段弧相等。
5. 弧上点角定理圆周上一点的任意两个角所对的弧长相等。
四、练习题1.已知圆O，半径为3.4cm，P为圆上一点，PA为一条直线，且PA=8.1cm。
求PA的垂线与OP的夹角。
2.已知圆的直径是20cm，D,E,F,G均在圆上。
若DE⊥FG，DE=12cm，FG=9cm，求DG的长。
3.已知圆心角ACB的弧度是20度，线段AB上一点D是圆上的一点，求角ADC的角度。
五、课堂小结1.切线的定义和性质。
2.切线判定方法和定理。
3.切线性质的应用。
4.练习题的解答。
六、作业1.完成课堂练习题。
2.独立思考，将切线定理、判定定理、弦割定理、弦长定理和弧上点角定理的证明写出来。
九年级数学上册《切线的概念切线的判定和性质》教案、教学设计
（五）总结归纳
1.回顾本节课所学内容，引导学生总结切线的定义、判定定理和性质。
2.强调切线在实际问题中的应用，如最短路线、圆的切线方程等。
3.提醒学生注意切线知识在后续学习中的重要性，为后续课程打下基础。
4.鼓励学生在生活中观察、发现切线相关的现象，将数学知识运用到实际中。
4.老师将根据作业完成情况，给予评价和反馈，帮助学生不断提高。
3.实践应用：
-设计具有挑战性的问题，让学生运用切线知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
-组织学生进行小组讨论，分享解题思路，培养学生的合作精神和交流能力。
-针对不同难度的练习题，给予学生适当的指导，帮助他们突破难点，提高解题能力。
4.教学方法：
-采用启发式教学，引导学生主动思考，培养他们的创新意识。
2.切线的判定定理：讲解切线的判定定理，如“过圆上一点的直线，若与圆的切线垂直，则该直线为圆的切线”。
3.切线的性质：引导学生观察切线与半径的关系，推导出切线的性质，如“切线垂直于过切点的半径”。
4.实例讲解：通过具体实例，讲解切线判定定理和性质的应用。
（三）学生小组讨论ຫໍສະໝຸດ 1.分组：将学生分成若干小组，每个小组讨论以下问题：
在教学过程中，注重学生的个体差异，关注学生的成长需求，充分调动学生的积极性、主动性和创造性，使学生在轻松愉快的环境中掌握知识，提高能力。同时，注重情感教育，培养学生的道德品质和人文素养，为学生的全面发展奠定基础。
二、学情分析
九年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了圆的基本概念和相关性质，但对于切线的概念及其判定与性质的理解尚浅。在学习本章节时，学生可能面临以下问题：对切线定义的理解不够深入，难以区分切线与割线；对切线判定方法的掌握不够熟练，容易混淆判定条件；对切线性质的应用不够灵活，难以解决实际问题。因此，在教学过程中，应注重以下几点：
切线知识点总结
切线知识点总结一、切线的定义切线是指在几何图形中，与该图形的曲线或曲面相切的直线。
具体来说，在平面上，如果一条直线与一个圆相交，且相交点只有一个，那么这条直线就是圆的切线；在三维空间中，如果一个平面与一个曲面相切，那么这个平面就是曲面的切平面，切平面与曲面交线称为曲面的切线。
二、切线的判定在平面几何中，判断一条直线是否为圆的切线可以采用如下两种方法：1. 使用切线判定定理进行判定。
切线判定定理指出，一条直线与一个圆相切的充分必要条件是这条直线与圆的圆心之间的距离等于圆的半径，即直线与圆的圆心的距离刚好等于圆的半径时，这条直线就是圆的切线。
2. 使用直线方程和圆的方程进行判定。
设圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r², 如果直线的方程为y=kx+m，那么当直线与圆的方程联立时，求得的交点满足系统方程同时成立，那么直线就是圆的切线。
在空间中，判断一个平面是否为曲面的切平面也可以采用相似的方法进行判定。
三、切线的性质1. 切线和圆相切于圆上的点处互相垂直。
如果直线与圆相切于圆上的点处，那么这条直线与圆的切点处的切线互相垂直。
2. 切线与半径的夹角是直角。
在圆的切点处，切线和半径的夹角是90度。
3. 切线的斜率等于曲线在切点处的导数。
在函数的图像中，切线的斜率等于曲线在切点处的导数值。
四、切线的求解1. 在平面几何中，求解一个直线与一个圆的切点位置可以采用切线判定定理，根据直线与圆的方程，通过联立方程求解直线与圆的交点，求得的交点就是切点的位置。
2. 在空间几何中，求解一个平面与一个曲面的切线可以采用类似的方法，根据平面与曲面的方程，求解平面与曲面的交线即可得到曲面的切线。
五、切线的应用1. 在几何学中，切线经常用于证明几何性质，如证明两个圆相切、证明曲线的凹凸性等；2. 在物理学中，切线常用于描述运动过程中的速度、加速度等；3. 在工程学中，切线常用于计算曲线的斜率、弧长等。
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直线与圆相交.
2.如图,以O为圆心,OA为
半径的⊙O交OB于C.若 O
OA=3,AB=4,BC=2,则AB
C
与⊙O的位置关系是 . 精选ppt
AB
5
3.已知⊙O的半径r=7cm,直线a//b, 且a与⊙O相切,圆心O到b的距离为 9cm,则a与b的距离为 .
4.如图,直角梯形ABCD
中,AD//BC ∠A=900,以 A D
知识要点:
1.直线和圆的位置关系:
⑴直线和圆有 公共点时,叫做直线和
圆相切.其中的直线叫做圆的 ,唯一的
公共点叫做 .直线和圆 公共点时,叫
做直线和圆相离.直线和圆有 公共点
时,叫做直线和圆相交.
⑵⊙O的半径为r,O到直线L的距离为d.
① d＞r
;
②
.
直线L和⊙O相切;
③
.
精选pp直t 线L和⊙O相交3 ;
切AC于F,求∠EDF
的度数.
精选ppt
D
EO
CF
A 7
7.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O 于B,⊙O的弦AD//OC.
⑴求证:DC是⊙O的切线;
C
⑵如果设⊙O的半径 为r.①求AD·OC的值; D ②若有AD+OC=9r/2, A O B 求CD的长.
精选ppt
8
课堂作业:
1.⊙O的圆心O到直线L的距离为d,⊙O 的半径为R.若d,R是方程x2-8x+15=0的 两个根时,则直线L与圆的位置关系 是 ;当d,R是方程x2-2x+m=0的两根, 若直线L与圆相切时,m= .
复习(一)切线的概念· Nhomakorabea定·性质
精选ppt
1
复习目标:
1.了解切线的概念,直线和圆的位置关系; 2.掌握切线的判定定理和性质定理; 3.会用切线的判定,性质进行证明或计算.
复习指导:
回忆下列知识点,会的直接写,不会的可 翻书查找,边填边记,5分钟后,比谁能正 确填写,并能运用它们解题.
精选ppt
2
2.如图,OA,OB是⊙O的半 径,OA⊥OB.延长OB到C, 使BC=OB,CD切⊙O于D, 则∠OAD= 度.
精选ppt
O BC
AD
9
3.正△ABC的边长为a,以A为圆心画半
径为r的圆,要使这个圆与三角形的三边
都有公共点,则r的取值范围是
.
4.如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于
B,OC交⊙O于D,连AD并延长交BC于E. ⑴若BC=√3,CD=1,求⊙O的半径; A
2.切线的判定和性质
⑴判定定理:经过半径的 是圆的切线.
的直线
⑵性质定理:
①经过圆心垂直于切线的直线必经过 ;
②圆的切线垂直于 的半径; ③经过切点垂直于切线的直线必经过 .
精选ppt
4
检测练习:
1.设⊙O的半径为R,圆心到直线L的
距离为d,已知R=2,d=3,则直线与圆的
位置关系是 ; 若R=√5,则当 时,
⑵若取BE的中点F,连DF.
求证:DF是⊙O的切线.
DO
⑶过点D作DG⊥BC于
M
G,OE与DG交于M,试 C
EGF B
判断DM与GM是否精相选ppt 等,并说明理由.10
CD为直径的圆切AB于E. 已知AD=3,BC=4,则⊙O
E
O
的直径为 .
BC
精选ppt
6
5.如图,D是△ABC的AC边上一点,
且AD:DC=2:1.已知∠C=450, A
∠ADB=600.求AB是
D
△BCD的外接圆的切线.
B O
C
6.如图,在△ABC
B
中,∠C=900,⊙O切
AB于D,切BC于E,