长安大学水力学第三章水动力学基本定律
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第三章 水动力学理论基础(新)
过水断面积与湿周之 比称为水力半径。
R
5.流量
单位时间内通过某一 过水断面的液体体积， 用Q表示，单位：
m3/s或l/s 。
udt
ω
u
dω
对于元流，dt时段通过断面dω的液体体积为： udtd dQ udtd ud
dt
Q dQ ud
6.断面平均流速
四、均匀流与非均匀流
1.均匀流
流线为相互平行的直线？
均匀流
非均匀流
均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的 流线是曲线或者是不相互平行的直线。
问题：1、直径不变的圆管中的水流是均匀流吗？ 2、均匀流的当地加速度为零吗？
均匀流的特性
①均匀流过水断面为平面，且形状、尺寸沿程不变。
②均匀流同一流线上不同点的流速相等，从而各过水断 面上的流速分布相同，断面平均流速相等。
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
物体的运动是绝对的，欧拉法和L法描述同一运 动应该是等价的。即两个场的描述可以相互转 换；转换的方法-自变量的基本公式；在欧拉法 中，如何求质点运动的加速度？
在欧拉法中，如何求质 点运动的加速度？
ux
ux ( x,
y, z, t)
u y u y (x, y, z, t)
怎样描述整个液体的运动规律呢？
一、拉格朗日法
以液体质点为研究对象，跟踪每一个质点， 研究各个质点的运动要素随时间的变化规律。
质点系法
设某一液体质点质在点t0运时动刻占据起始坐标（a，b， z c），在t 时刻 质点的运轨动迹到空间坐标（x，y， z）
M
t
t0
线就叫 迹线
c
z
R
5.流量
单位时间内通过某一 过水断面的液体体积， 用Q表示，单位：
m3/s或l/s 。
udt
ω
u
dω
对于元流，dt时段通过断面dω的液体体积为： udtd dQ udtd ud
dt
Q dQ ud
6.断面平均流速
四、均匀流与非均匀流
1.均匀流
流线为相互平行的直线？
均匀流
非均匀流
均匀流的流线必为相互平行的直线，而非均匀流的 流线是曲线或者是不相互平行的直线。
问题：1、直径不变的圆管中的水流是均匀流吗？ 2、均匀流的当地加速度为零吗？
均匀流的特性
①均匀流过水断面为平面，且形状、尺寸沿程不变。
②均匀流同一流线上不同点的流速相等，从而各过水断 面上的流速分布相同，断面平均流速相等。
着眼于空间点，研究 质点流经空间各固定 点的运动特性
物体的运动是绝对的，欧拉法和L法描述同一运 动应该是等价的。即两个场的描述可以相互转 换；转换的方法-自变量的基本公式；在欧拉法 中，如何求质点运动的加速度？
在欧拉法中，如何求质 点运动的加速度？
ux
ux ( x,
y, z, t)
u y u y (x, y, z, t)
怎样描述整个液体的运动规律呢？
一、拉格朗日法
以液体质点为研究对象，跟踪每一个质点， 研究各个质点的运动要素随时间的变化规律。
质点系法
设某一液体质点质在点t0运时动刻占据起始坐标（a，b， z c），在t 时刻 质点的运轨动迹到空间坐标（x，y， z）
M
t
t0
线就叫 迹线
c
z
水力学 第三章 水动力学基础
pd ( p dp)d ddn cos o 因dn cos dz 所以dp dz 0 即z p C
对恒定均匀流，无加速度，惯性力等于零。
z
p
C
恒定渐变流中，同一过水断面上的动水压强近似按地静水压强分布 恒定均匀流中，同一过水断面上的动水压强精确地按静水压强分布
活学活用
恒定渐变流中，同一过水断面上的动水压强近似按地静水压强分布 恒定均匀流中，同一过水断面上的动水压强精确地按静水压强分布
对于断面AB
对恒定均匀流， z p C 同一过水断面上:
pA
zA
pB
z B C1
pA ? pB ?
对于断面CD pC
zC
pD
渐变流(又称缓变流)：指各流线接近于平行直线的流动， 即渐变流各流线之间的夹角很小，流线的曲率半径 R 很大。 否则称为 急变流。 渐变流的极限情况是流线为平行直线的均匀流．
渐变流过水断面具有的两个性质：
(1) 渐变流过水断面近似为平面； (2) 恒定渐变流 过水断面上，动水压强近似 地按静水压强分布。
p1
在总流过水断面上积分
2 u12 p2 u 2 ' ( z1 ）dQ ( z2 )dQ hwdQ Q Q Q 2g 2g
p1
p1 u12 Q ( z1 ）dQ Q 2 gdQ
2 u2 ' ( z 2 )dQ dQ hwdQ Q Q 2g Q
流线的形状与固体边界的形状有关，离边界越近， 受边界的影响越大。 在运动液体的整个空间，可绘出一系列流线，称为 流线簇。流线簇构成的流线图称为流谱。
水力学 第三章 水动力学基础
流线的性质：
1 3
2
2
源流动
1、驻点 2、奇点 3、切点
汇流动
图 流经弯道的流线
绕过机翼剖面的流线
绕叶片的流线
绕突然缩小管道的流线
§3-2 描述液体运动的概念
a.流线不能相交；
b.流线必须是一条光滑、连续的曲线； c.流线的相交只有三种情况： 1)在驻点处（流速为零的点） 2)在奇点处（流速为无穷大） 3)流线相切时
①由于流体质点有无穷多个，每个质点运动规律不同，很难跟踪足够 多质点；②数学上存在难以克服的困难；③实用上，不需要知道每个质点 的运动情况。因此，一般水文工作者在研究波浪运动中使用这一方法。
§3-1 分析液体运动的两种方法
二、欧拉法（流场法、空间点法）
欧拉法是研究被液体所充满的空间中，液 体质点流经各固定空间点时的流动特性。 在直角坐标系中，各运动要素是空间坐标x， y，z和时间变量t的函数。空间点的坐标x，y，z， t称为欧拉变量。 则流速场u可表示为： u=u(x，y，z，t) 设流速u在x、y、z三个坐标轴方向的投影是 Ux,Uy,Uz 则： U Uxi U y j Uz k 流速场可写成：
§3-2 描述液体运动的概念
同理：
ay
du y dt
u y t
ux
u y x
uy
u y y uz源自u y zduz u z u z u z u z az ux uy uz dt t x y z
第一项为当地加速度，后三项为迁移加速度。
或：
dQ u1dA1 u2 dA2 常数
（元流的连续性方程）
§3-3 一维恒定总流的连续性方程
总流流量等于元流流量之和，故总流的连续性方 程为：
水力学第三章
拉格朗日法
(a, b, c)
:
质点起始坐标
t
:
任意时刻
(x, y, z)
:
质点运动的位置坐标
(a, b, c , t ) :
拉格朗日变数
欧拉法
(x, y, z)
: 空间固定点（不动）
t
: 任意时刻
(x, y, z , t ) : 欧拉变数
t = t0 ＝ 给定时刻，（x，y，z）＝ 变数
同一时刻，不同空间点上液体质点的流速分布，即流场。
dx dy
dz
ux (a,b, c,t)dt uy (a,b, c,t)dt uz (a,b, c,t)dt
dx ux
＝
dy ux
＝ dz ux
＝f
(x,
y,
z,t)
7
2.2 流线 某瞬时在流场中的一条空间曲线，曲线上所有液体质点的速度向量都与该曲线相切。
流线画法
z
u1
A3
u2
A2
A4
A1
Δs2 Δs3 Δs1
uz
dz(a,b, c,t) dt
d dt
ux u y
dx(a,b, c,t) dt
dy(a,b, c,t) dt
ax a y
d 2x(a,b, c,t) dt 2
d 2 y(a,b, c,t) dt 2
uz
dz(a,b, c,t) dt
az
d 2z(a,b, c,t) dt 2
第三章 水运动学基础
第一节 描述液体运动的两种方法
液体运动时，表征运动特征的运动要素一般随时空而变，而液体又是众多质点组成的连 续介质，怎样描述整个液体的运动规律呢？
水力学第三章
1 z1
h
p2 z1 2 h p
p
O
O
第六节 实际液体恒定总流的动量方程
动量定理：所有外力合力的冲量等于动量的变化。
1
1'
2
2'
1
dA1 1
1' u1
1'
1
1'
元流 总流
2
2'
u2
dA2
2
2'
2' 2
d K d( m u) F dt
元流：d K dm u 2 dm u1 dm(u 2 u1) dQdt (u 2 u1)
Q流入=Q流出
2
u2 dA2
A2
第三节 恒定元流的能量方程
一、理想液体恒定元流的能量方程 1、恒定流动；2、液体不可压缩；3、两个断面间不存在奇点；4、理想液体 牛顿第二定律
1断面受压力: pdA
1
2断面受压力: (p+dp)dA pdA
液体所受重力：dG
z
O
ds
dG
沿流线方向运用牛顿第二定律： F ma
Z+p/γ≈ C（常数）
急变流的特点：
1、过水断面是曲面；
2、同一过水断面上动水压强不服从静水压强分布的规律；
Z+p/γ≠ C（常数）
第二节 恒定流连续性方程
恒定元流的连续性方程 1、恒定流动；2、液体为不
可压缩液体；3、两个计算断 面之间不存在奇点。 根据质量守恒原理，单位时 间内流入1-2断面的流量，要 等于流出的流量。
pdA ( p dp)dA dG cos dM du
dt
dM dAds
dG dAds
cos dz
h
p2 z1 2 h p
p
O
O
第六节 实际液体恒定总流的动量方程
动量定理：所有外力合力的冲量等于动量的变化。
1
1'
2
2'
1
dA1 1
1' u1
1'
1
1'
元流 总流
2
2'
u2
dA2
2
2'
2' 2
d K d( m u) F dt
元流：d K dm u 2 dm u1 dm(u 2 u1) dQdt (u 2 u1)
Q流入=Q流出
2
u2 dA2
A2
第三节 恒定元流的能量方程
一、理想液体恒定元流的能量方程 1、恒定流动；2、液体不可压缩；3、两个断面间不存在奇点；4、理想液体 牛顿第二定律
1断面受压力: pdA
1
2断面受压力: (p+dp)dA pdA
液体所受重力：dG
z
O
ds
dG
沿流线方向运用牛顿第二定律： F ma
Z+p/γ≈ C（常数）
急变流的特点：
1、过水断面是曲面；
2、同一过水断面上动水压强不服从静水压强分布的规律；
Z+p/γ≠ C（常数）
第二节 恒定流连续性方程
恒定元流的连续性方程 1、恒定流动；2、液体为不
可压缩液体；3、两个计算断 面之间不存在奇点。 根据质量守恒原理，单位时 间内流入1-2断面的流量，要 等于流出的流量。
pdA ( p dp)dA dG cos dM du
dt
dM dAds
dG dAds
cos dz
水力学——水动力学
dM u1dtd1 u2dtd2 dQdt
dEu=
1 2
dMu22
1 2
dM
u12
dQdt
u22 2g
u2 1
2g
2、重力做功：
dAG dM g ( z1 z2 ) dQdt ( z1 z2 )
3、压力做功
dAp p1d1dl1 p2d2dl2 p1d1u1dt p2d2u2dt
§3-2 运动液体的分类
一、恒定流与非恒定流 恒定流：流场中所有空间点上的一切运动要素都不随时间变化。 非恒定流：流场中所有空间点上的一切运动要素都随时间变化。
二、均匀流与非均匀流 1、均匀流的定义：流线为相互平行的直线。 2、均匀流的特征： （1）过水断面为平面，且形状、尺寸均沿程不变。 （2）同一流线上各点流速相等，各过水断面流速分布相同。
第三章 水动力学
§3-1 液体运动的基本概念
一、描述液体运动的两种方法
1、拉格朗日法
实质就是以液体质点为研究对象，跟踪它，研究每个液体 质点所具有的运动要素（速度、加速度、压强）随时间的变化 规律。
质点运动的轨迹线叫迹线。如果把组成流场的所有质点的
运动规律都搞清楚了，即可得到整个流场的运动特性。 由于液体质点的运动轨迹非常复杂，除特殊情况外，在水
(x, y, z ,t称为欧拉变量)。由于某一质点在不同时刻占据不同的空 间点，因此运动坐标也是时间t的函数。 则：
a
dux dt
ux t
ux x
dx dt
ux y
dy dt
ux z
dz dt
=
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
水力学第三章水动力学基础PPT课件
斯托克斯定理
总结词
描述流体在重力场中运动时，流速与密 度的关系。
VS
详细描述
斯托克斯定理指出，在不可压缩、理想流 体中，流体的流速与密度之间存在一定的 关系。具体来说，流速大的地方密度小， 流速小的地方密度大。这个定理对于理解 流体运动的基本规律和解决实际问题具有 重要的意义。
06 水动力学中的流动现象与 模拟
设计、预测和控制等领域。
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静水压强
静止液体内部压强的分布规律。
液柱压力计
利用静止液体的压强测量压力的方法。
帕斯卡原理
静止液体中任意封闭曲面所受外力之和为零。
浮力原理
浸没在液体中的物体受到一个向上的浮力， 其大小等于物体所排液体的重量。
03 水流运动的基本方程
连续性方程
总结词
描述水流在流场中连续分布的特性
详细描述
连续性方程是水力学中的基本方程之一，它表达了单位时间内流场中某一流体 的质量守恒原理。对于不可压缩流体，连续性方程可以简化为：单位时间内流 出的流量等于该时间内流体的减少量。
湍流
水流呈现不规则状态，流线曲折、交 叉甚至断裂，流速沿程变化大，有强 烈的脉动现象。
均匀流与非均匀流
均匀流
水流在同一条流线上，速度和方向保持一致，过水断面形状和尺寸沿程保持不变 。
非均匀流
水流在同一条流线上，速度和方向发生变化，过水断面形状和尺寸沿程也发生变 化。
一维、二维和三维流动
一维流动
水流只具有一个方向的流动，如 管道中的水流。一维流动的研究 可以通过建立一维数学模型进行。
水力学第三章水动力学基础ppt课 件
目 录
水力学第3章 水动力学
代入
pdA ( p dp)dA gdAdz dAds du
dt
d (z p u2 ) 0
ds g 2g
可得：
将上式沿流程s积分得：
z p u2 C
g 2g
(2.17)
28
对微小流束上任意两个过水断面有：
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
(2.18)
ｚ ：液体中某一点处的几何高度，单位重 量液体的位能；
x x(a、b、c、t) y y(a、b、c、t) z z(a、b、c、t)
质点速度
ux uy uz
x
t y
t z
t
x(a,b, c,t)
t y(a, b,
c,
t
)
t z (a, b,
c,
t)
t
液体质点不同于固体质点和数学上的空间点。是指
具有无限小体积的液体微团（具有一定质量）。
单位时间内通过某一过水断面的液体体积称为流 量。流量常用的单位为 米３／秒（m3/s），符号Ｑ 表示。
元流流量 dQ=udA
总流流量: Q Q dQ AudA
19
（6）断面平均流速
总流过水断面上的平均流速v，是一个想象的流 速，如果过水断面上各点的流速都相等并等于v，此 时所通过的流量与实际上流速为不均匀分布时所通 过的流量相等，则流速v就称为断面平均流速。
11
流线：是某一瞬时在流场中绘出的一条
曲线，在该曲线上所有各点的速度向量都与该 曲线相切。
12
绘制方法如下：
设在某时刻t1流场中有一 点A1，该点的流速向量为u1， 在这个向量上取与A1 相距
第三章__水动力学基础
第三章__水动力学基础第三章水动力学基础本章研究液体机械运动的基本规律及其在工程中的初步应用。
根据物理学中的质量守恒定律、牛顿运动定律和动量定理，建立了流体力学的基本方程，为以后章节的研究奠定了理论基础。
液体的机械运动规律也适用于流速远小于音速（约340m/s）的低速运动气体。
因为当气体的运动速度不大于约50m/s时，其密度变化率不超过1%，这种情况下的气体也可认为是不可压缩流体，其运动规律与液体相同。
研究液体的运动规律就是确定描述液体运动状态的物理量，如速度、加速度、压力和剪应力等运动要素随空间和时间的变化规律和关系。
由于实际液体存在粘性，使得水流运动分析十分复杂，所以工程上通常先以忽略粘性的理想液体为研究对象，然后进一步研究实际液体。
在某些工程问题上，也可将实际液体近似地按理想液体估算。
§3-1描述液体运动的两种方法描述液体运动的方法有拉格朗日（grange）法和欧拉（l.euler）法两种。
1．拉格朗日法（lagrangianview）拉格朗日法是以液体运动质点为对象，研究这些质点在整个运动过程中的轨迹（称为迹线）以及运动要素(kinematicparameter)随时间的变化规律。
每个质点运动状况的总和就构成了整个液体的运动。
所以，这种方法与一般力学中研究质点与质点系运动的方法是一样的。
当用拉格朗日方法描述液体的运动时，运动坐标不是自变量。
假设粒子在初始时间t=t0的空间坐标为a、B和C（称为初始坐标），则其在任何时间t的运动坐标x、y和Z 可以表示为确定粒子初始设置和时间变量的函数，即x?x(a,b,c,t)??y?y(a,b,c,t)?z?z(a,b,c,t)??(3-1-1)变量a、B、C和T统称为拉格朗日变量。
显然，对于不同的粒子，起始坐标a、B和C 是不同的。
根据方程式（3-1-1），可以通过描绘粒子运动坐标的时间历程来获得粒子的轨迹。
在直角坐标中，给定质点在x，y，z方向的流速分量ux，uy，uz可通过求相应的运动坐标对时间的一阶偏导数得到，即ux？乌尤兹？十、TYTZT(3-1-2)给定质点在x，y，z方向的加速度分量ax，ay，az，可通过求相应的流速分量对时间的一阶偏导，或求相应的运动坐标对时间的二阶偏导得到，即axayaz2？十、2.TT2.嗯？YTT2.乌兹？Z2.TT用户体验（3-1-3）由于液体质点的运动轨迹非常复杂，用拉格朗日法分析流动，在数学上会遇到很多的困难，同时实用上一般也不需要知道给定质点的运动规律，所以除少数情况外（如研究波浪运动），水力学通常不采用这种方法，而采用较简便的欧拉法。
水力学——水动力学
四、实际液体恒定总流能量方程的推导 单位时间通过元流过水断面的全部液体的能量关系为
z1
p1
u12 2g
dQ
z2
p2
u22 2g
dQ hw' dQ
1 z1
p1
u12 2g
u1d1
2
z
2
p2
u2 2
2g
u 2 d 2
Q
hw' dQ
1 (z1
p1
)u1d1
1
u13 2g
§3-2 运动液体的分类
一、恒定流与非恒定流 恒定流：流场中所有空间点上的一切运动要素都不随时间变化。 非恒定流：流场中所有空间点上的一切运动要素都随时间变化。
二、均匀流与非均匀流 1、均匀流的定义：流线为相互平行的直线。 2、均匀流的特征： （1）过水断面为平面，且形状、尺寸均沿程不变。 （2）同一流线上各点流速相等，各过水断面流速分布相同。
（3）所选取的两个过水断面应符合均匀流或渐变流的条件，
两断面之间的水流可 以不是渐变流。
（4）两断面之间无流量或能量输入、输出。
2、注意事项
（1）计算断面应选在已知参数较多的断面，并使方程含有所求
的未知量。
（2）基准面可以任意选取，但方程两边应选取同一基准面。
（3）方程中的
p
项可以用相对压强，也可以用绝对压强，
dM u1dtd1 u2dtd2 dQdt
dEu=
1 2
dMu22
1 2
dM
u12
dQdt
u22 2g
u2 1
2g
2、重力做功：
dAG dM g ( z1 z2 ) dQdt ( z1 z2 )
3第三章 水动力学基础
优点：着眼于各种运动要素的分布场
液体运动时的加速度：
du x u x u x dx u x dy u x dz dt t x dt y dt z dt
du x u x u u u ux x u y x uz x dt t x y z 同理可得 du y u y u y u y u y ux uy uz dt t x y z du z u z u u u ux z u y z uz z dt t x y z 即
1 A1 2 A2
Q1 Q2 总流连续性方程适用于连续的不可压缩液体作恒定流的
情况，对理想液体和实际液体的各种流动状态都适用。
第三节
一、理想液体 元流能量方程：
若令 上式即
恒定流元流能量方程
2 u12 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
p1
u2 H z 2g p
均匀流具有下列特征：
1）过水断面为平面，且形状和大小沿程不变； 2）同一条流线上各点的流速相同，因此各过水断面上 平均流速 v 相等； 3）同一过水断面上各点的测压管水头为常数（即动水 压强分布与静水压强分布规律相同，具有z p C
的关
系），即在同一过水断面上各点测压管水头为一常数。 3．有压流与无压流（根据过水断面上的周线是否有自由 表面分类）
在管道均匀流中，同一断面上各测压管水面必上升至同一高 度，但不同断面上测压管水面所上升的高程是不相同的。
流动的恒定、非恒定是相对时间而言，均匀、
非均匀是相对空间而言；
恒定流可是均匀流，也可以是非均匀流，
非恒定流也是如此，但是明渠非恒定均匀流是不
可能存在的(为什么?)。
液体运动时的加速度：
du x u x u x dx u x dy u x dz dt t x dt y dt z dt
du x u x u u u ux x u y x uz x dt t x y z 同理可得 du y u y u y u y u y ux uy uz dt t x y z du z u z u u u ux z u y z uz z dt t x y z 即
1 A1 2 A2
Q1 Q2 总流连续性方程适用于连续的不可压缩液体作恒定流的
情况，对理想液体和实际液体的各种流动状态都适用。
第三节
一、理想液体 元流能量方程：
若令 上式即
恒定流元流能量方程
2 u12 p2 u 2 z1 z2 2g 2g
p1
u2 H z 2g p
均匀流具有下列特征：
1）过水断面为平面，且形状和大小沿程不变； 2）同一条流线上各点的流速相同，因此各过水断面上 平均流速 v 相等； 3）同一过水断面上各点的测压管水头为常数（即动水 压强分布与静水压强分布规律相同，具有z p C
的关
系），即在同一过水断面上各点测压管水头为一常数。 3．有压流与无压流（根据过水断面上的周线是否有自由 表面分类）
在管道均匀流中，同一断面上各测压管水面必上升至同一高 度，但不同断面上测压管水面所上升的高程是不相同的。
流动的恒定、非恒定是相对时间而言，均匀、
非均匀是相对空间而言；
恒定流可是均匀流，也可以是非均匀流，
非恒定流也是如此，但是明渠非恒定均匀流是不
可能存在的(为什么?)。
水力学第3章
Z1 p1
2 2 u1 p2 u2 Z2 hw 2g 2g
z为单位重量液体的势能（位能）。 u2/2g为单位重量液体的动能。 p/为单位重量液体的压能（压强势能）。
• z+p/=该质点所具有的势能。 • z+p/+ u2/2g=总机械能 • hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2 过程中由于克服流动的阻力作功而消耗 的机械能。这部分机械能转化为热能而 损失，因此称为水头损失。
0
Δh
h1
h2
动 压 管
A-A
静 压 管
A
1
2
例3 试证明图中所示的具有底坎的矩形断面 渠道中的水流是否有可能发生．
（a） 假设这种水流可以发生 证：
以0-0为基准面，列1-1， 2-2断面能量方程：
p1 1V12 p2 2V22 Z1 Z2 hw12 2g 2g
Q3 Q1 Q2
Q3 Q1 Q2 Q1
Q1 Q2 Q3
Q3 Q2
对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为： ∑Q流入=∑Q流出 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用 力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断 面的面积求断面平均流速或者已知流速求流量，它是 水力学中三个最基本的方程之一。
二、迹线和流线 迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质 点不同时刻在空间位置的连线。 流线是某一瞬间在流场中画 出的一条曲线，这个时刻位于 曲线上各点的质点的流速方向 与该曲线相切。 对于恒定流，流线的形状不随时间而变化， 这时流线与迹线互相重合；对于非恒定流，流 线形状随时间而改变，这时流线与迹线一般不 重合。
Q dQ udA
2 2 u1 p2 u2 Z2 hw 2g 2g
z为单位重量液体的势能（位能）。 u2/2g为单位重量液体的动能。 p/为单位重量液体的压能（压强势能）。
• z+p/=该质点所具有的势能。 • z+p/+ u2/2g=总机械能 • hw'为单位重量的流体从断面1-1流到2-2 过程中由于克服流动的阻力作功而消耗 的机械能。这部分机械能转化为热能而 损失，因此称为水头损失。
0
Δh
h1
h2
动 压 管
A-A
静 压 管
A
1
2
例3 试证明图中所示的具有底坎的矩形断面 渠道中的水流是否有可能发生．
（a） 假设这种水流可以发生 证：
以0-0为基准面，列1-1， 2-2断面能量方程：
p1 1V12 p2 2V22 Z1 Z2 hw12 2g 2g
Q3 Q1 Q2
Q3 Q1 Q2 Q1
Q1 Q2 Q3
Q3 Q2
对于有分叉的恒定总流，连续性方程可以表示为： ∑Q流入=∑Q流出 连续性方程是一个运动学方程，它没有涉及作用 力的关系，通常应用连续方程来计算某一已知过水断 面的面积求断面平均流速或者已知流速求流量，它是 水力学中三个最基本的方程之一。
二、迹线和流线 迹线是液体质点运动的轨迹，它是某一个质 点不同时刻在空间位置的连线。 流线是某一瞬间在流场中画 出的一条曲线，这个时刻位于 曲线上各点的质点的流速方向 与该曲线相切。 对于恒定流，流线的形状不随时间而变化， 这时流线与迹线互相重合；对于非恒定流，流 线形状随时间而改变，这时流线与迹线一般不 重合。
Q dQ udA
第三章 水动力学基础
在方程的推导过程中，两断面是任意选取的。很
容易把这个关系推广到元流的任意断面,即:
p u2 z C
2g
Z — 断面相对于选定基准面的高度，水力学中称为位置
水头，表示单位重量液体的位置势能，简称位能。
p
— 断面压强作用使液体沿测压管所能上升的高度，
水力 学中称压强水头，表示压力作功所能提供的单位能
二、表达式：
设某一质点在某一时刻t0的初始坐标(a,b,c)作为 该质点的标志，则在任一时刻，此质点的迹线 方程可表示为：
x＝x(a,b,c,t) y＝y(a,b,c,t) z＝z(a,b,c,t) 其中，a,b,c,t统称为拉格朗日变量，不同初始值 (a,b,c)表示流场中不同液体质点的初始位置。 三、基本特征：
在t时刻的运动坐标
对同一质点来说，坐标x，y，z不是独立的，而是 时间t的函数，因此，加速度的三个坐标分量需要 通过相对应的三个速度分量复合求导得到：
a
x
a y
dux dt
du y dt
u x t u y
t
(ux (ux
u x x u y
x
uy uy
u x y u y
y
uz uz
2g
意义：理想不可压缩液体恒定元流中，各断面总水 头相等，单位重量的总能量保持不变。
流速水头可用皮托管测定。 皮托管前端管口正对河水来流方向，另一端垂直向上，
Q u1 dA1 u2 dA2
A1
A2
引入断面平均流速，可得：
Q＝υ1A1＝υ2A2＝常数 恒定总流连续性方程
★ 它在形式上与恒定元流连续性方程类似，应注
意的是，以断面平均流速v代替点流速u。
意义：恒定总流连续性方程是一个不涉及任何作用
水力学系统讲义课件第三章水动力学基础
ux t
ux
ux x
uy
ux y
uz
ux z
ay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4
a du du(x, y, z,t) u u dx u dy u dz
z p C
g
中，各项都为长度量纲。
位置势能（位能）： Z 位置水头（水头） ： Z
pA /
pB /
压强势能（压能）： p
测压管高度(压强水头) ： g
zA
O
zB
O
单测位压势管能水：头：z
p
g
35
恒定总流的能量方程
理想液体恒定微小流束能量方程推导
动能定理：某物体在运动过程中动能的改变等于其在同 一时间内所有外力所做的功。
解：ax
ux t
ux
ux x
uy
ux y
4y 6x 4y 6xt 6t 6y 9xt 4t
4y 6x 1 6t2 6t2
将t 2, x 2, y 4代入得，ax 4m / s2 同理可得， ay (6 y 9x) (4 y 6x)9t 2 (6 y 9t)6t 2
Q A
49 60
umax
24
（2）过流断面上，速度等于平均流速的点距管壁的距离。
1/ 7
水力学-第3章 水动力学基础
p x
dx
FP M
p
1 2
p x
dx dydz
FP N
p
1 2
p x
dx
dydz
质量力：x方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即
Fbx Xdxdydz
根据牛顿第二定律，x方向：
p 1 p dxdydz p 1 p dxdydz Xdxdydz dxdydz dux
u1dA1 u2dA2 Q
或
Q1 Q2 或
v1A1 v2 A2
上式是在总流沿程无分流或合流条件下得出的，若总流
沿程流量有变化，则所有流量变化可表示为
Q流入 Q流出
连续性方程是质量守恒定律的水力学表达式。
问题一： 水由水箱经等直径圆管满管向下流，沿途流速如何变化？
z mgz 单位重量液体所具有的位置势能，或位能； mg 某点到基准面的位置高度，或位置水头；
p h mgh 单位重量液体所具有的压强势能，或压能；
g
mg 该点的测压管高度，或压强水头；
z p 单位重量液体所具有的总势能；
g 该点测压管液面的总高度，或测压管水头；
u 2 1 mu2 单位重量液体所具有的动能；
ux
ux x
uy
ux yBiblioteka uzux zay
uy t
ux
uy x
uy
uy y
uz
uy z
az
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
上式为欧拉法描述液体运动中质点加速度的表达式，其中
水力学课件 第3章液体一元恒定总流基本原理
其中dx , dy , dz 是液体质点位置坐标对时间的变化率，应等于质点速度。 dt dt dt
ux
dx dt
,uy
dy dt
,uz
dz dt
故液体质点的加速度为
ax
u x t
ux
u x x
uy
u x y
uz
u x z
ay
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
az
21
3.3.5 流量与断面平均流速
1.流量 单位时间内通过某一过水断面的液体量称为流量,用Q表示。而液
体量可用体积或质量来度量，就有体积流量QV，和质量流量Qm。 水力学中采用体积流量，用Q来表示。 流量是衡量过水断面过水能力大小的物理量，单位m3/s,l/s
22
dt时刻通过过水断面dA的液体体积
z p c
g
z： 单位位能、位置水头 p/ρg： 单位压能、压强水头 z+p/ρg：单位总势能、测压管水头
伯努利方程
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
u2
2g ：
单位动能、流速水头
z p u2 g 2g
：单位机械能、总水头
43
44
3.5.3实际流体恒定元流的能量方程
由于实际流体具有粘性，在流动过程中其内部会产 生摩擦阻力，液体运动时为克服阻力要消耗一定的能量。 液体的机械能将转换为热能而散失，因此总机械能将沿称 减少。对实际液体，根据能量守恒，实际液体恒定元流 的能量方程为：
24
3.3.6 均匀流和非均匀流，均匀流的特性
流速的大小和方向沿流线不变的流动称为均匀流； 否则称为非均匀流。
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若给定a，b，c，即 可以得到某一质点 的轨迹方程。-迹线
某一液体质点M，在t0时刻占有空间坐
标为(a、b、c)，在任意t时刻所占有 的空间坐标为(x、y、z)，则(x、y、 z)可表示为时间t与(a、b、c)起始坐 标的函数，即
z t
ux
x t
x(a,b, c,t) t
uy
y t
y(a,b, c,t) t
迹线——是指某个液体质点不同时刻所流经的空
间点所连成的线。流动的轨迹线
流线——是指某一时刻，在流场中，由许多质点
组成的一条光滑曲线，其上所有点的速度方向 都与该曲线相切。
流线能反映瞬时的流动方向 流线图
流线的基本特性
1．恒定流时，流线的形状和位置不随时间而改变。
因为整个流场内各点流速向量均不随
2．恒定流时液体质点运动的迹线与流线相重时合间。而改变，不同时刻的流线的形状
uz
z t
z(a,b, c,t) t
液体质点在任意时刻 的速度。 返回
（x，y，z）
t0
O M （a，b，c） x
y
欧拉法
ux ux (x, y, z,t) uy uy (x, y, z,t) uz uz (x, y, z,t)
ax
dux (x, y, z,t) dt
ay
duy (x, y, z,t) dt
本课程只研究恒定流。
如果流场中任何空间点上有任何一个运动要素是随时间而变化的，这种 水流称为非恒定流。
2.基本概念 Basics of Liquid Flow
• 迹线与流线 • 流管、元流（微小流束）、总流和过水断面 • 流量和断面平均流速 • 水流的分类 • 均匀流、渐变流过水断面的重要特性
迹线与流线 Path Line Stream Line
和位置应是固定不变的。
恒定流时，各点流速方向和流线不随时间变
3．流线不能相交或转折。
化，质点始终沿着固定的流线运动，流线与迹 线相重合。相反，若水流为非恒定流，不同的
否则流线在相交或时转刻折，处各，点流的速流速方向均与原来不同，此时迹
4.流线的形状向与量固同体时边具界有形两状个线有切一关线般。方与向流；线显不相重合。 然，一个液体质点在同一时刻只
az
duz (x, y, z,t) dt
若令上式中x、y、z为常数，t为变数，即可求得
在某一固定空间点上，液体质点在不同时刻通过
该任点意的时流刻速t通的过变流化场情中况任。意若点令(tx为、常y、数z，)的x、液y、z 为体变质数点，的则流可速求在得各在坐同标一轴时上刻的，投通影过可不表同示空为间: 点
dω
and Section
流管——由流线构成的一 个封闭的管状曲面
元流——充满以流管为 边界的一微小流束
过水断面——与元流
总流——在一定边界内具
或总流的流线成正交
有一定大小尺寸的实际流
按照流线不能的相横交断的面特性，微小流束内的液体不会穿过流动管的的水管流壁，向它外是流由动无，数流多管
外的液体也不会穿过流管的管壁向流束内流动。当水流为个恒元定流流组时成，微小流束的形
如果实际水流的流线不平行程度和弯曲程度太大（急变流），
在过水断面上，沿垂直于流线方向存在着离心惯性力，这时，再 把过水断面上的动水压强按静水压强分布规律看待所引起的偏差 就ntinuity
3. 恒定流连续方程——
d 2
液体运动必须遵循质量守恒的普遍规律，液流的
上的流速分布相同，断面平均流速相等。 3．均匀流过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相
同，即在同一过水断面上各点测压管水头为一常数。Z p C证明 返回目录
在管道均匀流中，任意选择1-1及2-2两过水断
面，分别在两过水断面上安装测压管，则同一断面上 各测压管水面必上升至同一高程，即z+p/r=C。
连续方程就是质量守恒定律的一种特殊形式。
d1
推导:1）在恒定流中取出一段微小流束来研究。过水断面1-1和过水断面2-2。 2）由于恒定流中微小流束的形状和尺寸是不随时间而改变的，且通过微小流束的侧
壁没有液体流入或流出。有质量流入或流出的，只有两端过水断面。 3）在dt时段内，从1—1断面流入的液体质量为u1d1dt ，从断面2—2流出的液体质量
有关具体边界条件的特定形式水流运动，如管流、明渠水流、 堰闸水流等，将分别在后面各章讨论。
主要内容
描述液体运动的两种方法 基本概念及液体运动分类幻灯片 25 恒定流连续方程 恒定流能量方程 能量方程的应用 实际液体恒定总流动量方程
1.描述液体运动的两种方法
Lagrange法与Euler法的对 比：一般使用Euler法。
水力学
第三章
上一章已经介绍了有关水静力学的基本原理及其应用。从第三章开始 将讨论水动力学的一些基本理论及其应用。
液体的运动特性可用位移、流速、加速度、动水压强……等物理量来
表征，这些物理量通称为液流的运动要素。
水动力学的基本任务就是研究这些运动要素随时间和空间的变 化情况，建立这些运动要素之间的关系式，并用这些关系式来 解决工程上所遇到的实际问题。
管道水流、渠道水流在不考虑流速在过水断面的
分布Q情 况 u，d只 考 d虑Q 断面平均流Q速 沿ud流 程 变V 化时，
则可简化为一元流。
本课程只研究一元流动。 V= Q／w
水流分类 Types of Flow
按 当若水运水流动流的要的流素流线是线虽否不然随是不时互是间相互变平相化平行行的直直线线，，恒但该定几水流乎流近称于为平非行均直匀线时 按 称 如 将流 管 程果 其为运中 缓。一 视渐动水 慢如个 为变要流 均果实 渐流素匀流)际 变，(随水 流扩线或或流。空散虽缓者，间或然变其流坐收互流流线标缩相)线虽。的的平之为所间变渐行以直夹化变但渐角线管不很变但中是小流不水直，的非互二 三一或流线极恒相流元 元元()限定线如 都平流 流流情曲流行管 属况率径 于(半如就不 非径管是变 均很均径大的 匀匀沿，弯 流流则。。可
1.拉格朗日法：以研究单个液体质点的运动过程作为
基础，综合所有质点的运动，构成整个液体的运动。又 称为质点系法。
2.欧拉法：以考察不同液体质点通过固定的空间 点的运动情况作为基础，综合所有空间点上的运动情
况，构成整个液体的运动。又称为流场法。
拉格朗日法
x x(a,b, c,t) y y(a,b, c,t) z z(a,b,c,t)
条件下的能量转化过程，因此水流各运动要素之间的关系，可以
通过分析水流的能量守恒规律求得。水流的能量方程就 是能量守恒规律在水流运动中的具体表现。
返回
流线图
均匀流
渐变流 非均匀流
急变流 均匀流 非均匀流 均匀流
急 非变 均流
匀 流
均 匀 流
非均匀流 急变流
4. 恒定流能量方程Energy Equation
上的液体质点的流速的分布情况(即流速场)。-
流线
z
质点通过流场 中任意空间点 点的加速度
t时刻
M （x，y，z） O
x
y
在实际工程中，我们一般都只需要弄清楚在某一些空间位 置上水流的运动情况，而并不去追究液体质点的运动
轨迹。至于是什么液体质点通过这些空间位置，也毋须去追究。 例如研究一个隧洞中的水流，只要知道了液体经过隧洞中不同
液体作机械运动运动时，仍遵循物理学及力学中的质量守恒定律、 能量守恒和转化定律及动量定理等普遍规律。
本章首先建立有关液体运动的基本概念，然后从流束理论出 发，讨论一般液体运动所遵循的普遍规律并建立相应的方程。
即从质量守恒定律出发建立水流的连续方程，从能量守恒定律 出发建立水流的能量方程，从动量定理出发建立水流的动量 方程。
dω u
dQ ud
Q ud dQ
断面平均流速 Mean Velocity
引入断面平均流速，是欧拉法的一种科学手段。它等于流量
—与—过水是断一面个面想积象之比的，流当速流，量如一定果时过，水过断水面断面越上大各，点断的面 流平速均流都速相越等小并；等过水于断V，面越此小时，所断通面过平均的流流速量越与大实。它际使上三流 速元为流不动均简匀化分为布一时元所流通动过，的若沿流流量程相取等坐，标轴则，该则流v 速= Vv称 为( s断，面t )平。均一流元恒速定。流V = V ( s ) 。
方程建立的思路： • 理想重力液体恒定元流的能量方程 • 实际重力液体恒定元流的能量方程 • 实际重力液体恒定总流的能量方程
Energy Equation for steady motion of an ideal fluid along a streamline
理想重力液体恒定元流的能量方程
推导：1）在理想液体恒定元流中，取ds流段来研究。柱体 2）根据牛顿第二定律，作用在ds流段上的外力沿s
状和位置不会随时间而改变。在非恒定流中，微小流束的形状和位置将随时间而
改变。
由于微小流束的横断面积是很小的，一般在其横断面上各点的流速或动水压强可看
作是相等的。
过水断面的形状可以 是平面也可以是曲面。
流量 Flow rate
流量——单位时间内通过某一过水断面的液体体积， 常用单位m3/s，以符号dQ或Q表示。
能有一个离流边动界方越向近，，因边此界对流流线线只形状的影响越大，流线形状越
能是互不接相近交边的界光形滑状曲。线在边。界突变处，由于惯性作用，流线与
边界相脱离，并在主流和边界之间形成漩涡区。
流管、元流、总流、过水断面
Flow tube, Element flow, Total flow,
流场中 一微小 封闭曲 线，
均匀流过水断面上的动水压强分布规律 与静水压强分布规律相同，因而过水断 面上任一点动水压强或断面上动水总压 力都可以按照静水压强以及静水总压力 的公式来计算。