刍甍、羡除、刍童及楔形四棱台的体积公式

刍蔓、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式

见甘志国著《立体几何与组合》(哈工大，2014)第48-52页

高考题1 (2013 ••文・20)如图1,某地质队自水平地面儿B, C三处垂直向地下钻探,

自月点向下钻到川处发现矿藏，再继续下钻到川处后下面已无矿，从而得到在力处正下方的矿层厚度为儿4=山.同样可得在B、C处正下方的矿层厚度分别为3力2=仏，CG=\且

(I) 证明：中截面D£FG是梯形；

(II) 在△/!%中，记BC = “，滋边上的高为爪面积为S.在估测三角形ABC区域正下方的矿藏储量(即多面体AB,C,-AB2C2的体积V )时，可用近似公式来估算.

已知V吕(山+仏+〃"，试判断％与卩的大小关系，并加以证明.

请问，该題中的V = 1(J,+J1+J,)S即1/ =丄必(4+厶+〃3)是怎么来的呢？这由下面

3 6

推导的羨除体积公式立得.

《九章算术•商功》篇有部分题目涉及到刍爰、羨除、刍童及楔形四棱台的体积公式, 这些公式汉时人都已掌握，下面来推导它们.

1 .刍莞

刍叠是图2中的五面体ABCDEF、其中ABHDC//EF.底面ABCD是平行四边形. 设AB = a9直线AB. CD之间的距离是力，直线与平面ABCD之间的距离是则

证明如图3.设点E、F在面ABCD上的射影分别是点EF・

我们把平面ABCD 分成三块区域：区域/指该平面位于直线AD 左侧的部分(不包括直 线AD).区域〃指该平面夹在直线AD. BC 之间的部分(包括直线这两条直线)，区域〃/ 指该平面位于直线BC 右侧的部分(不包括直线BC).

应分六种情形来证明：

(1) 点EF 均位于区域/;

(2) 点E'位于区域/,点F 位于区域〃；

(3) 点£'位于区域/,点F 位于区域/〃；

⑷点均位于区域〃；

(5) 点F 位于区域〃，点F 位于区域〃/；

(6) 点均位于区域〃/.

下面只对情形(5)予以证明：

过点E'作GH 丄CD 于交A 〃于G ；过点F 作〃丄CQ 于/,交于丿，得

GH=h 、EE' = H ，所以

U =怯 二棱柱 EGH-PJI +(%g 梭勒

— Mq 梭側〃 c ・)= —（^AGHD 一 S B 〃C ）= © + 〒（*ABCD 一 ^GJIH ）=

Hh H … 八 Hh_ 、

=——c + — （ah-ch ）=——（2o + c ）

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中的五面体ABCDEF,其中AB//DC//EF.底面ABCD 是梯形.设

AB = a,DC = b(a>b),直线AB. CD 之间的距离是力，直线与平面ABCD 之间的

如图5,延长CD 至/?,使AB = RC,得刍製ABCREF,由刍耋的体积公式，得

17 ” ” Hh H (a-b)h Hh

I = V

^ABCREF _ V ： .^E-ADR =二~("十 _ 三 --------- j — = =-(& + b + C ) 注 羨除的体积公式是由刍耋的体积公式推得的；当羨除的下底面梯形变成平行四边形 (即图4中的a = b )时，羨除就变成了刍曼，也得刍曼的体积公式是羨除的体积公式的极限

Hh

——c +

2 证毕！

2.羨除

羨除是图

情形.

3.刍童

刍童是图6中的六面体ABCD-A!B9CD9,其中面ABCD〃面A!B9CD r ,底面

ABCD、底面A'B'CD均是平行四边形.设AB = a.A,B' = b,面A3、CD之间的距离是h , A f B\ C77之间的距离是力‘，面ABCD、A!B9CD f之间的距离是则其体积

证明如图7,可得面ABA!B f与平行平面ABCD、A0CD的交线43、平行. 所以AB' // CD •连结A'D, B'C.

由刍憂的体积公式，得

H

V = + 匕沁CZM'JJ'CTT =石| (2d + d )力 + (2d +0)11 ]

注刍童的体积公式是由刍耋的体积公式推得的；当刍童的上底面平行四边形变成线段 (即图4中的方' = 0)时，刍童就变成了刍曼，也得刍叠的体积公式是刍童的体积公式的极限情形.

4.楔形四棱台

楔形四棱台是图8中的六面体ABCD-AB f CD f t其中面ABCD〃面XB,CD,,底面ABCD、底面A'B'CQ'均是梯形.设AB = a,CD = b、A'B'= b,C'D'= b',面AB、CD 之间的距离是力，A!B\ CQ'之间的距离是力‘，面ABCD. AB'C^之间的距离是H,

图8

证明如图9,可得A'B‘〃CD•连结A f D. B f C.

由羨除的体积公式，得

H

V =妝除 BEG +$ 除如86 =石［(d + b + NM + S + F + b)/门

注楔形四棱台的体枳公式是由羨除的体积公式推得的；当楔形四棱台的上底面的梯形变成线段（即图4中的// = 0）时，楔形四棱台就变成了羨除，也得刍耋的体积公式是楔形四棱台的体积公式的极限情形.

由刍爰的体积公式可推得羨除、刍童、楔形四棱台的体积公式，由楔形四棱台的体积公式也可推得刍耋的体积公式.

高考题2 （2013 -全国卷•文理・4）如图10,在多面体ABCDEF中，已知A3CD是

边长为1的正方形，且MDE、A5CF均为正三角形，EF〃AB、EF=2,则该多面体的体积为（）

图10

解A.由刍耋的体积公式可得（先算得H=：）.

2

高考题3 （1999 -全国卷•文理・10）如图11,在多面体ABCDEF中，已知面ABCD

3

是边长为3的正方形，EFHAB,EF = -. EF与面ABCD的距离为2,则该多面体的体

积为（

图11

解D.由刍叠的体积公式可得.

美国邀请赛题图12中的多面体的底面是边长为s的正方形，上面的棱平行于底面, 其长为2s,其余棱