尴尬的循环论证

尴尬的循环论证

作者：甘志国

来源：《数学教学通讯·初等教育》2014年第12期

摘 ;要：在解答2014年高考北京卷理科第18题时，容易想到用分离常数法，这样就需要求一个“型”问题的极限. 若用导数的定义求这个极限，就很容易犯循环论证的错误. 而循环论证是解题中应当杜绝的，防止循环论证的方法就是要清楚相应的知识体系.

关键词：循环论证;高考题;函数;导数;不等式;恒成立

2014年高考北京卷理科第18题？摇已知函数f（x）=xcosx-sinx，x∈0， ;，

（1）求证：f（x）≤0;

（2）若a<

官方给出的参考答案（略有改动）？摇（1）由导数公式

（sinx）′=cosx①，（cosx）′=-sinx②，

可求得f ′（x）=-xsinx≤00≤x≤ ;，所以函数f（x）是减函数. 由此，得f（x）≤f（0）

=00≤x≤ ;.

（2）设g（x）=sinx-ax0

题设中的a< ;对x∈0， ;恒成立，即g（x）>00

易知a≤0时成立：g（x）≥sinx>00

g′（x）=cosx-a0

当a≥1时，g′（x）<00

当000

所以a的取值范围为-∞， ;，得a的最大值是 ;.

设h（x）=sinx-bx0

题设中的

易知b≤0时不成立：h（x）≥sinx>00

h′（x）=cosx-b0

当b≥1时成立：h′（x）<00

当0g（0）=0，这与题设矛盾！

所以b的取值范围[1，+∞），得b的最小值是1.

（笔者认为此题的背景是约当不等式：若0

笔者对第（2）问解答的注记

1）以上对第（2）问的解答没用到第（1）问的结论，这似乎不合常理.可这样求解第（2）问：

设g（x）= ;0

a的最大值是g ;= ;，b的最小值是 ; ;.

下面求 ; ;（此解法源于权威的高校教材第86页例2）.

如图1， ;是以点O为圆心、半径为1的圆弧. 过点A作 ;的切线与射线OB交于点C，作BD⊥OA于D.

图1

设∠DOB=x（rad）0

2S△AOB<2S扇形AOB<2S△AOC，

sinx

cosx< ;<1，

1= ;cosx≤ ; ;≤1，

=1，

所以a的最大值是 ;，b的最小值是1.

可以用导数的定义求以上极限吗？

= ; ;=（sinx）′ ;=cosx ;=cos0=1③，

所以 ; ;=1.

实际上，这是不对的！因为犯了循环论证的错误！

在③中运用了导数公式①，而证明此公式需要用到极限 ; ;=1④.

这可见高校教材第147页的例4：（sinx）′= ; ;= ; ;= ;cosx+ ;· ; ;=cosx.

但普通高中课程标准实验教科书《数学·选修2-2·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《选修2-2》）第14页只给出了导数公式①，而没有证明，考生用导数的定义求极限的方法犯了循环论证的错误. 何况考生可能还会这样认为：解答第（1）问时可以用导数公式①，为什么解答第（2）问时就不能用导数公式①呢？

实际上这很正常：因为前者没有犯循环论证的错误，而后者犯了这种错误.

《选修2-2》第32页B组第1题第（1）小题：利用函数的单调性，证明不等式sinx

与《选修2-2》配套使用的《教师教学用书》（人民教育出版社，2007年第2版）第28页给出了这道题的解答，但该解答中运用了导数公式①，而证明此公式需要先用图1的面积法证明sinx

所以此证法也是循环论证！

普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》（人民教育出版社，2007年第2版）（下简称《必修4》）第108页第4题是：

求证：（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）.

文献（甘志国，对人教版教科书《数学·A版必修④》的几点建议）指出了与《必修4》配套使用的《教师教学用书》第97页给出的该题的证法二也是循环论证.

专著（甘志国著，三角与平面向量）还指出了一些权威文献及高考试题中出现的循环论证的例子.

要想避免循环论证不容易！只有弄清了各定理、公式、定义之间的关系，才能有效地避免犯循环论证的错误.

亲爱的老师，你的学生知道何谓循环论证吗？应向他们适当介绍一点，以免他们犯了这样的错误却不知道.